Úloha 2 Tepelný odpor a vrstvená konstrukce

SF2 – Podklady pro cvičení

Úloha 2 – Tepelný odpor a vrstvená konstrukce Ing. Kamil Staněk, 10/2010 [email protected]

1 Tepelný odpor 1.1

Tepelný odpor materiálové vrstvy

Tepelný odpor materiálové vrstvy je podíl její tepelné vodivosti  [W/(m·K)] ku její tloušťce d [m]

R

d

m 2  K W   



(1.1)

Pro hustotu tepelného toku vedením materiálovou vrstvou ve směru osy x platí Fourierův zákon v obecném diferenciálním tvaru

q ( x )  

d ( x ) dx

 W m2   

(1.2)

Protože uvažujeme pouze jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu, kde platí q( x )  konst . , můžeme rovnici (1.2) přepsat v diferenčním tvaru

q ( x )  

2  1 d



1  2 d

 W m2   

(1.3)

 W m2   

(1.4)

Po dosazení (1.1) do (1.3) obdržíme

q( x ) 

1  2 R

Graficky můžeme situaci znázornit následovně

q

1  (x)

2



1

2 R

Obdobným způsobem můžeme zavést tepelnou vodivost materiálové vrstvy (nezaměňovat s materiálovou charakteristikou  ) jako 1

K

 d



1 R

 W (m2  K)  

(1.5)

a hustotu tepelného toku vedením materiálovou vrstvou ve tvaru

q  K 1  2 

 W m2   

(1.6)

Tepelné odpory a vodivosti vrstvy tloušťky 0,1 m pro vybrané materiály uvádí následující tabulka materiál beton hutný cihla plná omítka sádrová keramická tvárnice plynosilikát minerální vlna

1.2

tepelná vodivost tepelný odpor vrstvy tepelná vodivost vrstvy K [W/(m2.K)] R [m2.K/W] λ [W/(m.K)] 1,2 0,08 12,0 0,8 0,13 8,0 0,57 0,18 5,7 0,3 0,33 3,0 0,15 0,67 1,5 0,04 2,50 0,4

Tepelný odpor při přestupu tepla

Z úlohy 1 víme, že pro tepelnou bilanci povrchu konstrukce musí platit obecné schéma

teplo přivedené k povrchu  teplo odvedené z povrchu   tělesa všemi mechanismy  = tělesa všemi mechanismy      Tak např. pro vnitřní povrch konstrukce vystavený sálání a konvekci jsme v úloze 1 odvodili

q  qr ,i  qc,i   hr ,i  hc,i i  s,i 

 W m2   

(1.7)

kde hr ,i [W/(m2·K)] je součinitel přenosu tepla sáláním a hc,i [W/(m2·K)] je součinitel přestupu tepla konvekcí. Vzhledem k tomu, že oba přenosové součinitele vztahujeme k témuž teplotnímu rozdílu  i  s,i , můžeme je sečíst, čímž dostaneme celkový součinitel přenosu tepla na vnitřním povrchu  W (m2  K)  

hs,i  hr ,i  hc,i

(1.8)

a jeho převrácenou hodnotou je odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce

Rs,i 

1 1  hs,i hr ,i  hc,i

 2  m  K W 

 (x)

i

(1.9)

q

 s ,i

0

x

s,i

i Rs,i

Obdobně bychom mohli vyjádřit odpor při přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce, Rs,e . 2

Pokud budeme provádět normový výpočet šíření tepla konstrukcí v zimním období, jsou odpory při přestupu tepla (resp. součinitele přenosu tepla) na povrchu konstrukce dány následujícím schématem v závislosti na poloze a charakteru hodnocené konstrukce. V ostatních případech použijeme postup z úlohy 1.

Povrch Vnější Zemina Vnitřní

odpor při přestupu tepla Rs,i a Rs,e [m2.K/W] 0,04 stejně jako Rsi 0,00 0,13 0,10 0,17

Konstrukce jednoplášťová dvouplášťová styk se zeminou stěna střecha podlaha

0,04 (25)

ec st ř ha

10 0,

1-plášť

0 (1

Rs,i (hs,i )

0,13 (7,7)

0,10 (10) 0,04 (25)

)

střecha

0,17 (5,9) strop

0,04 (25)

Rs,e (hs,e )

součinitel přenosu tepla hs,i a hs,e [W/(m2.K)] 25 stejně jako hs,i ∞ 7,7 10 5,9

0,17 (5,9)

2-plášť

Rs,e  Rs,i (hs,e  hs,i )

0 ( )

podlaha

0 ( )

styk se zeminou

Všimněme si, že hodnoty pro vnější povrchy 1-plášťových konstrukcí jsou stejné bez ohledu na polohu konstrukce a jejich výše odpovídá rychlosti větru cca 4 m/s. U vnitřních povrchů již na poloze konstrukce záleží. Samostatnou skupinu tvoří 2-plášťové konstrukce, kde Rs,e  Rs,i ( hs,e  hs,i ). Později se ještě dozvíme, že pro normové výpočty šíření vlhkosti se používají mírně odlišné hodnoty.

3

2 Úloha 2 Uvažujte stěnu o ploše A [m2]. Stěna je složená ze tří odlišných materiálových vrstev o tloušťkách di [m] a tepelných vodivostech λi [W/(m·K)]. Na stěnu působí ekvivalentní vnitřní teplota θi [°C] a teplota venkovního vzduchu v zimním období θe [°C], které se v čase nemění (ustálený stav). Uvažujte návrhové hodnoty v zimním období dle ČSN 730540-3 v závislosti na: a) druhu místnosti a budovy a způsobu vytápění b) lokalitě budovy a nadmořské výšce (viz Úloha 1). Konzultujte doplňující text „Okrajové podmínky výpočtů“. Pro takto definovanou stěnu a určené okrajové podmínky: a) vypočítejte teploty na rozhraní materiálových vrstev b) vykreslete průběh teploty uvnitř konstrukce (v měřítku tloušťek vrstev) c) vypočítejte hustoty tepelného toku, které prochází jednotlivými materiálovými vrstvami d) vypočítejte hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce e) vypočítejte množství tepla, které za těchto podmínek projde konstrukcí za 24 hodin. Vypočtený průběh teploty ověřte také grafickým způsobem. Parametry stěny volte, okrajové podmínky odvoďte z doplňujícího textu „Okrajové podmínky výpočtů“. Výpočet proveďte pro normové odpory při přestupu tepla (souč. přenosu tepla). Nakresleme si nejprve obecné schéma zadané 3-vrstvé jednoplášťové konstrukce, kde jednotlivé vrstvy jsou homogenní.

q

i

 s ,i

1

 (x)

1

Rs,i

2

R1

3

2

1

s,i

i

2

R2

s ,e

e

2 R3

e Rs,e

V úloze 1 jsme hustotu tepelného toku a povrchové teploty 1-vrstvé homogenní stěny získali řešením 3 rovnic o 3 neznámých q , s,i a  s,e . Stejným způsobem bychom mohli postupovat zde, počet rovnic i neznámých by se však zvýšil o dvě (teploty na rozhraní vrstev 1 a  2 ). Ukážeme si proto elegantnější způsob. Jak již bylo uvedeno v (1.2), pro hustotu tepelného toku při 1D vedení tepla materiálovou vrstvou ve směru osy x v ustáleném stavu platí

q ( x )  

d ( x )  konst. dx

 W m2   

(2.1)

což znamená, že v libovolném místě x konstrukce musí být hustota tep. toku q( x ) shodná s hustotou tepelného toku celou konstrukcí q , tedy 4

 W m2   

q( x )  q

(2.2)

Pro hustotu tepelného toku v libovolném místě konstrukce analogicky s (1.4) platí

q( x ) 

i   ( x ) Rs,i  R( x )

 W m2   

(2.3)

a pro hustotu tepelného toku celou konstrukcí platí

q

 i  e

 W m2   

Rs,i  R  Rs,e

(2.4)

Kde R je celkový tepelný odpor konstrukce. V případě zadané 3-vrstvé skladby to bude 3

R   Ri i 1

m 2  K W   

(2.5)

 W m2   

(2.6)

Dosazením (2.3) a (2.4) do (2.2) získáme

i   ( x )



Rs,i  R( x )

 i  e Rs,i  R  Rs,e

a odtud vyjádříme teplotu v libovolném místě konstrukce ve výsledném tvaru

 ( x )  i 

Rs,i  R( x ) Rs,i  R  Rs,e

i  e 

[C]

(2.7)

Úlohu můžeme řešit též graficky. Všimněme si, že rovnice (2.7) je předpisem klesající přímky. Teplota  ( x ) protíná osu y v bodě [0;  i ] a lineárně klesá v závislosti na R( x ) do bodu [ Rs,i  R  Rs,e ; e ].

(x) [°C]

Vyneseme si ukázkový graf. 20 17 14 11 8 5 2 -1 -4 -7 -10 -13

 i  20 °C s,i  18,2 °C

1  4,2 °C

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

 2  9,8 °C s,e  12,4 °C e  13 °C 2,4

R(x) [m 2.K/W] Na ose y (osa teploty) jsme odečetli povrchové teploty a teploty na jednotlivých materiálových rozhraních. Teď můžeme rozložení teplot v konstrukci vynést v měřítku skutečného rozměru konstrukce. V rámci jednotlivých materiálových vrstev musí být za ustáleného stavu průběh teploty lineární.

5

(x) [°C]

20 17 14 11 8 5 2 -1 -4 -7 -10 -13

s,i  18,2 °C

1  4,2 °C

 2  9,8 °C 0

0,1

0,2

0,3

0,4

s,e  12,4 °C 0,5

d(x) [m]

6

3 Skládání tepelných odporů a vodivostí prvek 1

popis

zjednodušení

odpory v sérii

T1 R1

T12 R2

T2

2

T1 R +R 1 2

vodivosti v sérii T1

K1

3

T12 K2

T2

T1

K1K2 T2 K1  K2

T1

R1R2 T2 R1  R2

odpory paralelně

R1 T1

T2 R2

4

vodivosti paralelně

K1 T1

5

K2 T1

s vodivostmi (K1, K2); například přestup tepla prouděním a sáláním

K2

několik toků do uzlu

Q1 Q2

7

uzel s předepsanou okrajovou

K0 T0

T Q0

K1+K2

T2

dvě předepsané hodnoty (T1, T2)

K1

T2

T1

T2

T

6

T2

teplotou T0, vodivostí K0 a zdrojem

Tekv

K1+K2

T K1T1  K2T2 Tekv  K1  K2 Q 1 + Q2

T0 

Q0 K0

K0 T

tepla Q0;

7