´ Uloha 2: Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti v tahu a modulu pruˇ znosti ve smyku ´ ´I PRAKTIKUM FJFI CVUT ˇ FYZIKALN V PRAZE Datum mˇ eˇ ren´ı: 19.10.2009 Pracovn´ı skupina: 11 ˇ ep´ Spolupracovn´ıci: Stˇ an Timr
Jm´ eno: Frantiˇsek Batysta Roˇ cn´ık a krouˇ zek: 2. roˇcn´ık, pond. odp. Hodnocen´ı:
Abstrakt V t´eto u ´loze jsme stanovili modul pruˇznosti v tahu oceli metodou natahov´ an´ı dr´ atu, respektive mˇeˇren´ım prohnut´ı nosn´ıku. D´ ale jsme zmˇeˇrili modul pruˇznosti ve smyku oceli vyuˇzit´ım torze ocelov´eho dr´ atu. Namˇeˇren´e hodnoty se shoduj´ı s tabulkov´ ymi hodnotami bˇeˇzn´ ych ocel´ı.
´ Uvod
1
Pˇri studiu deformaˇcn´ıch vlastnost´ı tuh´ ych l´atek se zav´adˇej´ı charakteristick´e l´atkov´e veliˇciny Young˚ uv modul pruˇznosti v tahu E, a modul pruˇznosti ve smyku G. Za pˇredpokladu, ˇze zkouman´a l´atka je izotropn´ı, homogenn´ı a deformace jsou v˚ uˇci deformuj´ıc´ı vnˇejˇs´ı s´ıle line´arn´ı, jsou pruˇzn´e vlastnosti tˇemito dvˇema veliˇcinami l´ atky plnˇe pops´ any. Tyto materi´alov´e konstanty maj´ı velk´ y technick´ y v´ yznam napˇr´ıklad pˇri konstrukci nosn´ık˚ u, mostn´ıch konstrukc´ı, kdy lze dobˇre linearizovat z´avislost pruˇzn´ ych deformac´ı na p˚ usob´ıc´ı s´ıle. C´ılem tohoto experimentu je zmˇeˇrit nˇekolika zp˚ usoby moduly pruˇznosti E a G oceli.
1.1
Pracovn´ı u ´ koly
1. Zmˇeˇrte z´ avislost relativn´ıho d´elkov´eho prodlouˇzen´ı ∆l/l ocelov´eho dr´atu na napˇet´ı pˇri zatˇeˇzov´an´ı a odlehˇcov´ an´ı dr´ atu a sestrojte graf t´eto z´avislosti. Vypoˇc´ıtejte metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u modul pruˇznosti v tahu ocelov´eho dr´ atu. 2. Zmˇeˇrte z´ avislost pr˚ uhybu z na velikosti s´ıly F pˇri zatˇeˇzov´an´ı i odlehˇcov´an´ı ocelov´eho nosn´ıku a nar´ ysujte graf t´eto z´ avislosti. Metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u vypoˇc´ıtejte modul pruˇznosti v tahu. O zp˚ usobu zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u se doˇctete v pˇr´ıloze tohoto dokumentu, kter´ a je pˇrejat´ a z knihy [1], (str. 72 - 74). 3. Odvod’te vzorec pro ploˇsn´ y moment obd´eln´ıkov´eho pr˚ uˇrezu ˇs´ıˇrky a a v´ yˇsky b. 4. Zmˇeˇrte z´ avislost u ´hlu zkroucen´ı ϕ ocelov´eho dr´atu na velikosti krout´ıc´ıho momentu pˇri postupn´em zvˇetˇsov´ an´ı a postupn´em zmenˇsov´ an´ı tohoto momentu. V´ ysledky mˇeˇren´ı vyneste do grafu. Metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u vypoˇctˇete modul pruˇznosti ve smyku G dr´atu. 5. Na torzn´ım kyvadle zmˇeˇrte moment setrvaˇcnosti z´akladn´ıho syst´emu I0 a modul pruˇznosti ve smyku G ocelov´eho dr´ atu. Dobu torzn´ıch kmit˚ u zmˇeˇrte postupnou metodou. 6. Odvod’te vzorce pro v´ ypoˇcet modulu pruˇznosti ve smyku G a momentu setrvaˇcnosti z´akladn´ıho syst´emu torzn´ıho kyvadla I0 .
2
Z´ akladn´ı vztahy
Pop´ıˇseme v´ yznam obou modul˚ u pruˇznosti E a G. Nejprve definujeme Young˚ uv modul pruˇznosti v tahu. Mˇejme kv´ adr upevnˇen´ y svou doln´ı podstavou o ploˇse S. Pˇritom p˚ usob´ıme na horn´ı podstavu silou F kolmo k podstavˇe (obr 1). P˚ usob´ıc´ı s´ıla posune horn´ı podstavu o vzd´alenost ∆l Modul pruˇznosti v tahu E je pak d´ an vztahem ∆l F =E (1) S l , 1
P˚ usob´ı-li s´ıla F teˇcnˇe k horn´ı podstavˇe (obr. 2), je tˇeleso deformov´ano smykem. Modul pruˇznosti ve smyku je d´ an vztahem F δl =G , S l
(2)
kde δl je posunut´ı horn´ı podstavy ve smˇeru p˚ usob´ıc´ı s´ıly. Pˇri deformaci tˇelesa smykem se sice zmˇen´ı jeho tvar, ale celkov´ y objem z˚ ustane zachov´ an.
2.1
F S
l
Ohyb nosn´ıku
Pomoc´ı modul˚ u pruˇznosti E, G lze z´ıskat vztahy i pro nˇekter´e sloˇzitˇejˇs´ı deformace. Uk´ aˇzeme souvislost mezi modulem pruˇznosti v tahu a pr˚ uhybem nosn´ıku. Budeme uvaˇzovat tzv. ˇcist´ y ohyb, tj. nosn´ık se nestaˇcuje, nebo nenatahuje jako celek. Uvaˇzujme nosn´ık libovoln´eho pr˚ uˇrezu, kter´ y je zakˇriven s polomˇerem kˇrivosti R. Zat´ımco vnitˇrn´ı ˇc´ asti nosn´ıku (bl´ıˇze stˇredu kˇrivosti) jsou ohybov´ymi silami stlaˇcov´any, vnˇejˇs´ı ˇc´asti jsou Obr´azek 1: S´ıla natahov´ any. Tak dostaneme moment silov´e dvojice. Lze dok´azat [2] n´asleduj´ıc´ı vztah p˚ usob´ıc´ı tahem. mezi celkov´ ym momentem sil M na pr˚ uˇrezu nosn´ıku a polomˇerem kˇrivosti 1/R: I , (3) R R 2 kde I = y dS z´ avis´ı pouze na geometrick´em tvaru profilu nosn´ıku (geometrick´ y moment setrvaˇcnosti). M =E
Nyn´ı uvedeme vztah pro v´ ypoˇcet pr˚ uhybu nosn´ıku poloˇzen´eho na dvou bˇritech (obr 4). Zaj´ım´a n´as, o kolik poklesne nosn´ık ve stˇredu mezi bˇrity, p˚ usob´ıme-li na nˇej v tomto m´ıstˇe silou F . Pˇredpokl´ ad´ ame-li pouze mal´e pr˚ uhyby (1/R 1), lze v´ ychylku ve stˇredu nosn´ıku vyj´adˇrit jako
∆l
S
Ft
γ
F L3 ∆z = − , 48EI
(4)
l
kde L je vzd´ alenost mezi bˇrity.
2.2
b
a
Torze v´ alce kruhov´ eho pr˚ uˇ rezu
V´ alec zkroucen´ y pod´el sv´e osy symetrie se snaˇz´ı narovnat se Obr´azek 2: S´ıla p˚ usob´ıc´ı smykem. do p˚ uvodn´ıho stavu, nebot’ kaˇzd´ y z element´arn´ıch hranol˚ u, ze kter´ ych je v´ alec sloˇzen je deformov´ an ve smyku (obr. 3). Pro v´ alec d´elky L a polomˇeru R, kter´ y je vyroben z materi´alu o modulu pruˇznosti ve smyku G lze napsat z´ avislost momentu sil, kter´ y p˚ usob´ı na podstavu, a u ´hlu zkrutu ϕ. M =G
πR4 ϕ. 2L
Obr´ azek 3: Deformace element´arn´ıch hranol˚ u smykem pˇri torzi dr´atu. 2
(5)
3 3.1
Experiment´ aln´ı uspoˇ r´ ad´ an´ı a metody Pom˚ ucky
Stojan s indik´ atorov´ ymi hodinkami a ocelov´ ym dr´atem, zaˇr´ızen´ı na mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti v tahu z pr˚ uhybu nosn´ıku, zaˇr´ızen´ı na mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti ve smyku z torze dr´atu statickou a dynamickou metodou, mikrometr, kontaktn´ı mˇeˇr´ıtko, stopky, sada z´avaˇz´ı.
3.2 3.2.1
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti v tahu (Youngova modulu E) Mˇ eˇ ren´ı prodlouˇ zen´ı dr´ atu
Young˚ uv modul pruˇznosti lze mˇeˇrit pˇr´ımo podle definiˇcn´ıho vztahu (1). Staˇc´ı mˇeˇrit prodlouˇzen´ı dr´atu ∆l v z´ avislosti na hmotnosti pˇridan´eho z´ avaˇz´ı. Dr´at byl v horn´ı ˇc´asti aparatury pevnˇe uchycen. Z´avaˇz´ı, kter´ a nap´ınala dr´ at bylo moˇzn´e povˇesit pˇres indik´atorov´e hodinky na spodn´ı konec dr´atu. Pro odstranˇen´ı poˇc´ ateˇcn´ıho zkroucen´ı dr´ atu jsme dr´ at pˇredem vypnuli z´avaˇz´ım o hmotnosti 1 kg. V pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı jsme postupnˇe pˇrid´ avali z´ avaˇz´ı o hmotnostech ` a 0,1 kg. Pro pˇr´ıpad hystereze jsme prodlouˇzen´ı dr´atu ∆l mˇeˇrili jak pˇri zatˇeˇzov´ an´ı, tak pˇri odlehˇcov´an´ı dr´atu. Namˇeˇrenou z´avislost (zatˇeˇzov´an´ı i odlehˇcov´an´ı) jsme uˇzit´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u proloˇzili jedinou pˇr´ımkou tvaru y = ax + b. 3.2.2
Mˇ eˇ ren´ı pr˚ uhybu nosn´ıku
Nosn´ık obd´eln´ıkov´eho pr˚ uˇrezu leˇz´ı vodorovnˇe na dvou bˇritech ve vzd´ alenosti L od sebe. Stˇred nosn´ıku zat´ıˇz´ıme z´avaˇz´ım o r˚ uzn´ ych hmotnostech, z´ avislost pr˚ uhybu stˇredu nosn´ıku na hmotnosti pˇridan´eho z´avaˇz´ı odeˇc´ıt´ ame mikroskopem bˇehem zatˇeˇzov´ an´ı i odlehˇcov´an´ı. Jeden d´ılek v mikroskopu odpov´ıd´ a 0,0253 mm. Young˚ uv modul pruˇznosti vypoˇcteme uˇzit´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u a vztahu (4), kam za geometrick´ y moment setrvaˇcnosti dosad´ıme Z Z b/2 1 3 I= y 2 dS = ay 2 dy = ab . (6) 12 S −b/2
3.3 3.3.1
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti ve smyku G torz´ı dr´ atu Obr´azek 4: Pr˚ uhyb nosn´ıku poloˇzen´eho na dvou bˇritech.
Statick´ a metoda
Modul pruˇznosti ve smyku dr´ atu o d´elce L, polomˇeru R stanov´ıme torzn´ı statickou metodou ze vztahu 2M L G= , πϕR4
(7)
kde M je moment sil a ϕ je u ´hel zkroucen´ı dr´atu, kter´ y jsme mˇeˇrili zabudovan´ ym u ´hlomˇerem jak pˇri zatˇeˇzov´ an´ı, tak pˇri odlehˇcov´ an´ı. 3.3.2
Dynamick´ a metoda
Na dr´ atu o d´elce L a polomˇeru R je pˇripevnˇeno z´avaˇz´ı o momentu setrvaˇcnosti I (vzhledem k ose dr´atu). Je-li dr´ at v horn´ı ˇc´ asti upevnˇen´ y, chov´ a se aparatura jako torzn´ı oscil´ator. Pohybovou rovnici oscil´atoru m˚ uˇzeme ps´ at (ze vztahu (5)) GπR4 ϕ=0 (8) ϕ¨ + 2LI odkud r GπR4 2LI 2 ω = ⇒ T = 2π . (9) 2LI GπR4 Torzn´ı z´ avaˇz´ı je tvoˇreno vodorovn´ ym ˇsroubem pˇripevnˇen´ ym k dr´atu o nezn´am´em momentu setrvaˇcnosti I0 , kter´emu odpov´ıdala doba kmitu T0 . K urˇcen´ı momentu setrvaˇcnosti I0 je moˇzn´e pˇriˇsroubovat ˇctyˇri
3
Obr´ azek 5: Torzn´ı oscil´ ator s pˇr´ıdavn´ ymi z´avaˇz´ımi (konfigurace I). pˇr´ıdavn´ a z´ avaˇz´ı ve tvaru dut´eho v´ alce Moment setrvaˇcnosti dut´eho v´alce vzhledem ose proch´azej´ıc´ı jeho tˇeˇziˇstˇem a kolm´e k ose jeho rotaˇcn´ı symetrie je M 2 r1 + r22 + v 2 /3 . 4
(10)
Pomoc´ı Steinerovy vˇety dostaneme celkov´ y moment setrvaˇcnosti pˇr´ıdavn´eho z´avaˇz´ı: V2 m v2 M 2 2 2 2 2 2 R1 + R2 + + r1 + r2 + + 2M (a + v + V /2) + 2m (a + v/2) , ∆I = 2 3 2 3
(11)
kde M , R1 , R2 , V , resp. m, r1 , r2 , v jsou po ˇradˇe hmotnost, vnˇejˇs´ı polomˇer, vnitˇrn´ı polomˇer a v´ yˇska velk´eho, resp. mal´eho v´ alce, a je vzd´ alenost mal´eho v´aleˇcku od torzn´ıho dr´atu (viz obr 5). Z rovnice (9) 2 plyne, ˇze pod´ıl TI = konst., odkud dost´ av´ame I0 + ∆I I0 = T02 T12 I0 = ∆I
T12
(12)
T02 , − T02
(13)
kde T0 , T1 jsou doby kmitu pr´ azdn´eho, resp. zat´ıˇzen´eho ˇsroubu, kter´e zmˇeˇr´ıme stopkami. Hledan´ y modul pruˇznosti ve smyku pak m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit z rovnice (9). G=
3.4
8πLI . T 2 R4
(14)
Metoda nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u
Pˇrepokl´ adejme, ˇze zmˇeˇr´ıme N dvojic (xi , yi ), kter´e chceme po vynesen´ı do grafu pro proloˇzit pˇr´ımkou tvaru y = ax + b. (15) Ot´ azka zn´ı, jak volit (na z´ akladˇe zmˇeˇren´ ych dat (xi , yi )i∈Nˆ ) koeficienty a a b, aby se z´ıskan´a pˇr´ımka y = ax + b co nejv´ıce bl´ıˇzila skuteˇcn´e fyzik´aln´ı z´avislosti. u ˇr´ık´a, ˇze je tˇreba PNMetoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ zvolit koeficienty a, b tak, aby souˇcet ˇctverc˚ u odchylek i=1 (axi + b − yi )2 byl minim´aln´ı. Vyˇreˇsen´ım t´eto u ´lohy [1] dostaneme koeficienty a a b jako N
N P
xi yi −
i
a= N
N P
xi
N P
i
N P i
x2i
−
4
i
N P i
yi
2 , xi
(16)
N P
b=
i
x2i N
N P
N P
i N P i
3.5
yi −
xi
i
x2i −
N P
xi yi
i
N P
,
2
(17)
xi
i
V´ ypoˇ cet chyby mˇ eˇ ren´ı
ˇ Shrneme pouˇzit´e metody pro v´ ypoˇcet chyby mˇeˇren´ı. Cerpali jsme pˇredevˇs´ım z [2]. • Chyby mˇeˇr´ıc´ıch pˇr´ıstroj˚ u ∆y odhadujeme velikost´ı d´ılku pˇr´ısluˇsn´eho mˇeˇr´ıc´ıho pˇr´ıstroje. • Chyby opakovanˇe mˇeˇren´ ych veliˇcin vypoˇc´ıt´ame jako smˇerodatnou odchylku aritmetick´eho pr˚ umˇeru v u N u X 1 2 sa¯ = t (ai − a ¯) (18) N (N − 1) i=1 • Celkovou chybu pˇr´ım´eho mˇeˇren´ı pak vyj´adˇr´ıme jako q ua¯ = s2a¯ + ∆yp2
(19)
• Pro nepˇr´ımo mˇeˇren´e veliˇciny f = f (x1 , x1 , · · · , xk ) stanov´ıme chybu jako v u k uX ∂f 2 2 ua¯ = t (ux¯i ) ∂x i i=1
(20)
• Smˇerodatnou odchylku koeficient˚ u urˇcen´ ych metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u jsme vypoˇc´ıtali ze vzorce [4] v u N P u r u S0 x2i t N So i=1 sb = , (21) sa = (N − 2)W W N −2 kde W =N
N X
x2i −
N X
i=1
4
!2 xi
; So =
i=1
N X (yi − a − bxi )2
(22)
i=1
V´ ysledky
Pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh 3.2.1, 3.2.2, 3.3.1 jsme pouˇz´ıvali jako z´atˇeˇz n´asleduj´ıc´ı z´avaˇz´ı: ˇc´ıslo z´ avaˇz´ı hmotnost [g]
1 100,9
2 100,9
3 100,8
4 100,7
5 100,9
6 100,8
7 100,8
8 100,8
9 100,3
10 100,1
Tabulka 1: Hmotnosti z´avaˇz´ı
4.1
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti v tahu (Youngova modulu E) z prodlouˇ zen´ı dr´ atu
Namˇeˇrili jsme n´ asleduj´ıc´ı hodnoty d´elky a polomˇeru nap´ınan´eho dr´atu: ˇc´ıslo polomˇer [µm] d´elka [m]
1 95 1,018
2 96 1,019
3 97 1,019
4 96 1,019
5 96 1,018
6 96 1,019
7 96,5
8 96
9 96,5
10 96,5
11 97
Tabulka 2: Poˇc´ ateˇcn´ı d´elka a polomˇer dr´atu pˇri mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti v tahu. 5
12 95,5
13 95
Z´ avislost prodlouˇzen´ı dr´ atu na pˇridan´em z´avaˇz´ı je vynesena v grafu 6.
Obr´ azek 6: Z´ avislost prodlouˇzen´ı dr´atu na hmotnosti z´atˇeˇze. Young˚ uv modul pruˇznosti v tahu jsme vypoˇc´ıtali vyj´adˇren´ım ze vzorce (1): E= pˇriˇcemˇz za
m ∆l
jsme dosazovali koeficient
1 a
m gL , ∆l πR2
z´ıskan´ y metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Celkovˇe dost´av´ame
E = (2, 1 ± 0, 2) · 1011 Pa.
4.2
(23)
(24)
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti v tahu (Youngova modulu E) z pr˚ uhybu nosn´ıku
Zmˇeˇren´e parametry aparatury jsou uveden´e v tabulce 3, Vzd´alenost dvou bˇrit˚ u, na nichˇz je nosn´ık poloˇzen jsme stanovili jako (496 ± 1)mm. # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ˇs´ıˇrka [mm] 9,96 9,96 9,96 9,96 10,22 10,21 10,14 10,27 10,28 10,16 9,46 9,46
v´ yˇska [mm] 3,95 3,95 3,96 3,96 3,95 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,95 3,96
Tabulka 3: Mˇeˇren´ı ˇs´ıˇrky a v´ yˇsky pr˚ uˇrezu nosn´ıku Z´ avislost prohnut´ı prostˇredn´ı ˇc´ asti nosn´ıku na hmotnosti pˇridan´eho z´avaˇz´ı je vynesena v grafu 7. 6
Obr´ azek 7: Z´ avislost prohnut´ı stˇredu nosn´ıku na hmotnosti pˇridan´eho z´avaˇz´ı. Modul pruˇznosti v tahu jsme vypoˇc´ıtali vyj´adˇren´ım ze vzorce (4) a (6). Odtud E=− pˇriˇcemˇz za vych´ az´ı
m ∆z
jsme opˇet dosadili koeficient
1 a
m gL3 , ∆z 4ab3
(25)
z´ıskan´ y metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. V´ ysledn´a hodnota
E = (2, 01 ± 0, 03) · 1011 Pa.
4.3
(26)
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti ve smyku G torz´ı dr´ atu statickou metodou
V tabulce 4 jsou shrnuty namˇeˇren´e hodnoty polomˇeru dr´atu R a polomˇery kotouˇcku a. ˇc´ıslo R [µm] a [mm]
1 998 20,1
2 990 19,95
3 995 20
4 995 20
5 995
6 996
7 995
8 994
9 994
10 997
11 993
12 994
13 995
Tabulka 4: Mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti ve smyku statickou metodou: Polomˇer torzn´ıho dr´atu a polomˇer kotouˇcku. Z´ avislost u ´hlu zkroucen´ı dr´ atu na hmotnosti m jednoho z dvojice pˇridan´ ych z´avaˇz´ı je vynesena v grafu 8.
7
Obr´ azek 8: Z´ avislost u ´hlu zkroucen´ı dr´atu na hmotnosti z´avaˇz´ı m. Modul pruˇznosti ve smyku lze vyj´ adˇrit ze vzorce (7). Tak dostaneme G=
m 4gaL . ∆ϕ πR4
(27)
Koeficient a1 z´ıskan´ y metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u jsme dosadili do vztahu (27) za celkov´ y v´ ysledek
m ∆ϕ .
T´ım jsme dostali
G = (9, 3 ± 0, 5) · 1010 Pa.
4.4
(28)
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti ve smyku G torz´ı dr´ atu dynamickou metodou
V tabulce 5 jsou uvedeny namˇeˇren´e hodnoty parametr˚ u aparatury: polomˇer torzn´ıho dr´atu R a jeho d´elka L. R [µm] L [mm]
251 699
250 698
250 699
247,5 698
250
247,5
250
247,5
248,5
252,5
250
248,5
Tabulka 5: Mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti ve smyku dynamickou metodou: Polomˇer a d´elka torzn´ıho dr´atu. Nejprve jsme oscil´ ator nechali kmitat zcela bez pˇr´ıdavn´eho z´avaˇz´ı (moment setrvaˇcnosti I0 ), a zmˇeˇrili pˇr´ısluˇsnou dobu kmitu T0 . Doby kmitu T1 jsme mˇeˇrili po pˇrid´an´ı z´avaˇz´ı v konfiguraci I (obr 5). Namˇeˇren´ a data jsou shrnuta v tabulce 5.
8
R1 [mm] 24,9 24,88 24,9 24,93 24,88 24,9
R2 [mm] 3,2 3,25 3,25
V[mm] 7,95 8 8
M[g] 127,52 127
r1 [mm] 15 15 15
r2 [mm] 3,25 3,28 3,25 3,3
v[mm] 7,95 8 8
m[g] 43,96 43,94
10T0 48,8 48,7 48,7 48,9 48,7
T0 4,88 4,87 4,87 4,89 4,87
10T1 101,4 101,3 101,5 100,8 101,1 101
T1 10,14 10,13 10,15 10,08 10,11 10,1
Tabulka 6: Mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti ve smyku dynamickou metodou: Polomˇer a d´elka torzn´ıho dr´atu. Po ˇradˇe: Vnˇejˇs´ı a vnitˇrn´ı polomˇer, v´ yˇska a hmotnost vˇetˇs´ıho kotouˇcku, Vnˇejˇs´ı a vnitˇrn´ı polomˇer, v´ yˇska a hmotnost menˇs´ıho kotouˇcku, doba deseti, rep. jedn´e periody bez z´avaˇz´ı, doba deseti, rep. jedn´e periody se z´ avaˇz´ım. Po zpracov´ an´ı hodnot v tabulk´ ach 5 a 6 Dostaneme L = (0, 699 ± 0, 001) m −4
R = (2, 5 ± 0, 1) · 10
(29)
m
T0 = (4, 88 ± 0, 01) s T1 = (10, 12 ± 0, 015) s M = (127, 3 ± 0, 3) · 10−3 kg R1 = (2, 49 ± 0, 01) · 10−2 m R2 = (3, 2 ± 0.1) · 10−3 m V = (8, 0 ± 0, 1) · 10−3 m m = (43, 95 ± 0, 01) · 10−3 kg r1 = (1, 50 ± 0, 01) · 10−2 vm r2 = (3, 3 ± 0, 01) · 10−3 m v = (8, 0 ± 0, 1) · 10−3 m a = (5, 4 ± 0, 1) · 10−2 m Po dosazen´ı tˇechto hodnot do vztah˚ u (13) a (14) dostaneme G = (8, 35 ± 1, 4) · 1010 Pa.
5 5.1
(30)
Diskuze Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti v tahu (Youngova modulu E) z prodlouˇ zen´ı dr´ atu
Prvn´ı n´ ami zmˇeˇren´ a hodnota E = (2, 1 ± 0, 2) · 1011 se shoduje s tabelovanou hodnotou E = 2, 1 · 1011 [5]. Pro sn´ıˇzen´ı relativnˇe velk´e chyby mˇeˇren´ı by bylo tˇreba zpˇresnit zejm´ena mˇeˇren´ı polomˇeru R natahovan´eho dr´ atu, kter´ y sme stanovili s relativn´ı pˇresnost´ı uRR ' 5%. Mˇeˇren´ı by bylo moˇzn´e zlepˇsit napˇr´ıklad vyuˇzit´ım difrakce laserov´eho svazku pˇri mˇeˇren´ı tlouˇst’ky dr´atu. D´ale indik´atorov´e hodinky nebyly ide´alnˇe pohybliv´e. Uk´ azalo se v´ yhodn´e vyˇckat po pˇrid´ an´ı z´ avaˇz´ı asi 20 vteˇrin, neˇz se ruˇciˇcka hodinek ust´alila. Pouˇzit´ım optick´eho mikroskopu pro mˇeˇren´ı prodlouˇzen´ı dr´atu by se odstranil mechanick´ y vliv indik´atorov´ ych hodinek, coˇz by mohlo tak´e v´est ke zv´ yˇsen´ı pˇresnosti experimentu.
5.2
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti v tahu (Youngova modulu E) z pr˚ uhybu nosn´ıku
V´ ysledek dynamick´eho mˇeˇren´ı se sice neshoduje pˇresnˇe s tabelovanou hodnotou, ale n´aˇs v´ ysledek to nevyvrac´ı. Young˚ uv modul pruˇznosti se totiˇz m˚ uˇze v´ yraznˇe liˇsit v z´avislosti na druhu pouˇzit´e oceli. 9
N´ ami stanoven´ a hodnota m´ a nejmenˇs´ı relativn´ı chybu ze vˇsech naˇsich mˇeˇren´ı. Jak je vidˇet ze vzorce (25), pˇresnost mˇeˇren´e veliˇciny z´ avis´ı pˇredevˇs´ım na pˇresnosti vzd´alenosti bˇrit˚ u L a na pˇresnosti v´ yˇsky nosn´ıku b (obˇe veliˇciny vystupuj´ı ve tˇret´ı mocninˇe). D´ıky relativnˇe velk´e v´ yˇsce b nosn´ıku (asi 5 mm) se vˇsak tyto kritick´e veliˇciny podaˇrilo zmˇeˇrit s pˇribliˇznˇe o ˇr´ad vyˇsˇs´ı relativn´ı pˇresnost´ı oproti pˇredchoz´ı u ´loze. Jako v´ yhodn´e se tak´e uk´ azalo mˇeˇrit prohnut´ı nosn´ıku ∆z pomoc´ı optick´eho mikroskopu, kter´ y na rozd´ıl od indik´ atorov´ ych hodinek (nebo u ´hlomˇeru z u ´lohy 3.3.1) mechanicky neovlivˇ nuje mˇeˇren´e veliˇciny.
5.3
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti ve smyku G torz´ı dr´ atu statickou metodou
Namˇeˇrili jsme hodnotu G = (9, 3±0, 5)·1010 Pa. Ud´avan´a tabulkov´a hodnota [5] je sice 8, 0·1010 Pa, opˇet je vˇsak nutn´e poznamenat, ˇze z´ avis´ı na druhu poˇzit´e oceli. Pomˇernˇe velk´a ˇs´ıˇrka dr´atu zajistila dobrou ´hlomˇer, kter´ y (spolu relativn´ı pˇresnost veliˇciny R, kde uRR ' 0, 5%. Slabou str´ankou tohoto mˇeˇren´ı je u s dalˇs´ımi mechanick´ ymi ˇc´ astmi aparatury (kladka, prov´azek)) byl jen m´alo ochotn´ y se volnˇe ot´aˇcet a mechanicky ovlivˇ noval mˇeˇren´ı.
5.4
Mˇ eˇ ren´ı modulu pruˇ znosti ve smyku G torz´ı dr´ atu dynamickou metodou
Naˇse hodnota modulu pruˇznosti ve smyku se v podstatˇe shoduje s tabukovou hodnotou, ale je zat´ıˇzena pomˇernˇe znaˇcnou chybou > 15 %, kterou m´a opˇet na svˇedom´ı nepˇresnost polomˇeru dr´atu R, jenˇz vystupuje ve vztahu (14) ve ˇctvrt´e mocninˇe. Pˇritom relativn´ı chyba uRR ' 2%. Na druhou stranu tato metoda je velice ˇcist´ a, nebot’ voln´ y torzn´ı oscil´ator ovlivˇ nuje v pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı jen m´alo neˇz´adouc´ıch jev˚ u. Pro zpˇresnˇen´ı metody by bylo tˇreba pouˇz´ıt bud’to ˇsirˇs´ı a delˇs´ı dr´at a k tomu z´avaˇz´ı s vˇetˇs´ım momentem setrvaˇcnosti, nebo radˇeji zmˇeˇrit l´epe polomˇer dr´atu R (napˇr´ıklad opticky pouˇzit´ım laseru).
6
Z´ avˇ er
Zmˇeˇrili jsme dvˇema r˚ uzn´ ymi metodami Young˚ uv modul pruˇznosti v tahu. Nejprve jsme nap´ın´an´ım dr´ atu stanovili jeho modul pruˇznosti jako E = (2, 1 ± 0, 2) · 1011 Pa, pot´e jsme podrobili studiu proh´ yb´an´ı kovov´eho nosn´ıku a zmˇeˇrili jeho modul pruˇznosti E = (2, 01 ± 0, 03) · 1011 Pa. Obˇe hodnoty se dobˇre shoduj´ı s tabulkov´ ymi hodnotami bˇeˇzn´ ych ocel´ı. D´ ale jsme mˇeˇrili dvˇema metodami modul pruˇznosti ve smyku. K tomu jsme vyuˇzili torzi dr´atu. Statick´ a metoda n´ am dala v´ ysledek G = (9, 3 ± 0, 5) · 1010 Pa, dynamick´a metoda G = (8, 35 ± 1, 4) · 1010 Pa. Tak´e tyto v´ ysledky odpov´ıdaj´ı bˇeˇzn´ ym hodnot´ am modulu pruˇznosti pro ocel. Diskutovali jsme vliv jednotliv´ ych d´ılˇc´ıch veliˇcin na celkovou chybu nepˇr´ım´eho mˇeˇren´ı. Uk´azali jsme, ˇze ke zmenˇsen´ı chyb naˇsich mˇeˇren´ı by bylo tˇreba u vˇsech mˇeˇren´ı zlepˇsit pˇresnost zejm´ena u polomˇeru dr´at˚ u R (kromˇe u ´lohy 3.2.2, kde ˇz´adn´ y dr´ at nebyl).
Reference ˇ J.: Z´ [1] BROZ, aklady fyzik´ aln´ıch mˇeˇren´ı I SPN, Praha, 1983, str. 120 aˇz 127. ˇ [2] FJFI CVUT: Chyby mˇeˇren´ı a zpracov´ an´ı namˇeˇren´ych v´ysledk˚ u [online], [cit. 26. ˇr´ıjna 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/ProvPokyny/chybynav/CHYBY1n.pdf ˇ [3] FJFI CVUT: Mˇeˇren´ı modulu pruˇznosti v tahu a ve smyku [online], [cit. 26. ˇr´ıjna 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost ˇTASTN ˇ ´ F. : Zpracov´ [4] S Y an´ı experiment´ aln´ıch dat [online], [cit. 26. ˇr´ıjna 2009], http://amper.ped.muni.cz/jenik/nejistoty/html tree/node10.html ´ CEK ˇ [5] MACHA M. :Matematick´e, fyzik´ aln´ı a chemick´e tabulky Prometheus, Praha, 2005, ISBN 80-7196-264-3
10
