1.
Úloha počítačové grafiky. Význam, výhody, nevýhody. Význam z hlediska informačního, uživatelského, hardwaru, softwaru. Význam: - zřetelnost a srozumitelnost (mezinárodní) - je to doplňující informace textu či tabulky, ze které se dá vyčíst mnohem více než z textu (barva, tvar,..) - dle kvality obrazu – vyzdvihnutí důležitých vlastností objektu (poloha, vztah k okolí, vlastnosti) - význam stoupá s rozvojem výpočet. techniky – technický záznam obrazu - snímek je příjemnější než dlouhý popis Dělení (dle tech. možností): - Pseudografika = obraz dán přetiskem znaků (písmen) - znakové tiskárny či psací stroje (jako terminály) - nekvalitní, ale dříve vystačující Př.: - znázornění intenzity deformace při válcování (odstupňování dáno tabulkou) - zobrazování matematických funkcí jako výstupů programů - Semigrafika = obraz dán přetiskem znaků (ne písmen) Př.: -text editory se znaky pro kreslení čar, rámečků apod. Výhody: - uživatelsky příjemnější – silný nástroj pro ilustraci textu, grafů, tabulek - informačně kvalitnější – poskytuje více informací - impulz pro rozvoj HW a SW - rychlejší pochopení významu objektu – globální pohled (mezinárodní) Nevýhody:- zpočátku nekvalitní a nepřesné - celkově náročnější na HW a SW, cenově náročnější - časově náročnější Dejte příklady využití v praxi. Zhodnoťte vliv počítačové grafiky v jiných oblastech (vliv na vývoj a užití systémů - Windows,Autocad - MS PC Intergraph, databázové systémy a pod.) 2. Principy vektorového a rastrového výstupu Vysvětlete principy vektorového a rastrového výstupu z hlediska HW s SW. Obrazovka - tiskárna – plotr;Paměť, rychlost, užitná vlastnost(smysl výstupu - pracovní, reprezentační,... ) Rastrový obraz – grafická karta adresuje obrazovku na jednotlivé pixely – vykreslení do bitmapy bod po bodu - monitory jsou vybaveny vlastními obvody potřebnými pro řízení výstupu na tento monitor. - náročnější na paměť - Obrazová paměť je částí operační paměti - programovatelná Zobrazení – znak. režim - v grafické kartě displeje nutné generátory alfanum. znaků (pokud ne – nutné pro každý znak definované kód+atributy (barva, blikání,..)) - existují generátory znaků, kde je možno vytvořit vlastní fonty pro různé rastry a různé programy Vektorový obraz – vykreslení znaků jako řadu úseček - jde o seznam vektorů vykreslujících se vždy, kdy bude vykreslení znaku žádáno Obsah rast. Paměti PC – pro obrazovkový adaptér BIOS - služby pro styk s technickými prostředky - nastavení režimu zobrazení, kurzor + poloha - nastavení palety barev, polohy světlého pera - definuje množiny znaků pro generátor Výhody používání služeb operačního systému při tvorbě programů pro grafiku – přenositelnost mezi podsystémy na PC a PS/2 Nevýhody – malá rychlost - nevyužití výhod grafických karet a) dočasný záznam - obrazovka - znaková - bodová - grafická . b) trvalý záznam - plotry - kreslící stoly - tiskárny - znakové - bodové. - grafické adaptéry: MDA - monochromatický monitor, který zobrazí na 25 řádcích 80 znaků alfanum. textu. CGA – monochrom. monitor (zobrazí 25 řádků po 80-ti znacích); podpora alfanum. ve 2režimech. 640 bodů - 2 barvy nebo 320 bodů - 4 barvy; špatná kvalia alfanumerických znaků (díky malé rozlišitelnosti). EGA - barevný i monochrom. displej; generuje signály pro barevné zobrazení 16 barev z 256 barev ve znakovém režimu nebo 640 * 350 bodů v grafickém režimu; poskytuje grafický režim i pro monochromatický displej.
HGC - Umožňuje na monochromatický monitor zobrazovat dobře čitelný text i grafiku. Adaptér HGC+ (1987) umožňuje práci s 16-ti barvami z 64 barev. Všechny adaptéry Hercules pracují s rozlišením 720 * 348 bodů. VGA - funkce adaptéru EGA s větším rozlišením (720*400 - textovém r.,640*480 – graf. r. a 256 barev z 2↑18 3. Význam vlastního vstupního a výstupního zařízení pro grafický systém Význam z hlediska programátora - zpracování vstupních resp. výstupních informací. Porovnejte výhody - nevýhody jednotlivých zařízení z hlediska - uživatele - programátora Vstupní zařízení dělíme do několika tříd dle funkčnosti zařízení. - lokátor - poskytuje identifikaci polohy v rovině i v prostoru; - valuátor - poskytuje číselnou hodnotu; - zařízení pro výběr grafického prvku, je schopné identifikovat grafický prvek; - klávesnice - pro vstup znaků. Vstupní zařízení tablet, digitizér, pisátko, myš (osa x a y –kolečko,laser), světelné pero (výstup=hodnota), scanner, kamera (výstup=bitmapa) Výstupní zařízení a) dočasný záznam - obrazovka - znaková; - bodová-grafická . Katodová – paprsek vychylován cívkami vykresluje obraz po řádcích zleva doprava; kombinace RGB: paprskymaska-luminofor; - bodová maska – trysky ve vrcholech rovnostran. trojúhelníka, deformace obrazu na okraji - Trinitron – ploché; maska ze svislých drátků; +vyšší jas, kontrast; – měkkost masky - CromaClear – štěrbinová maska Ploché LCD – displeje z tekutých krystalů mezi dvěma skleněnými deskami, na nichž jsou elektrody a polarizační filtr. Při napětí na elektrodách se molekulární tyčinky (TN) jinak prostorově orientují a polarizují světlo. - pasivní TN, STN – úhel natáčení tyčinek z 90° na 240°, DSTN – dvě vrstvy proti sobě (lepší kontrast) - TFT - LC vrstvy osazeny tranzistory, každý z nich řídí jeden obrazový bod, rychlé, bez chyb, kontrast PlazmovéPD- směs plynů neonu a argonu, kterou elektrické pole přiměje k vyzařování. Barva vzniká přimíšením svítících látek, které se aktivují ultrafialovým zářením plazmy; nedostatečná kvalita obrazu, ale nízká cena Tech. data: - úhlopříčka (15“,..), rozlišení – obraz z bodů s určitou roztečí; obnovovací frekvence (blikání, ostrost, rozdělení jasu) Ergonom. normy pro úsporu energie; šířka videopásma – počet pixelů zobrazených za 1s b) trvalý záznam - plotry - kreslící stoly, výhody: přesnost, barvy, velikost kresby, různé druhy papírů -jedno-více pisátkové, tabulové, stolní, válcové;nevýhody: pomalé, velké, drahé, pouze originál - tiskárny - znakové a bodové. Výhody: rychlá kresba, levné, kopie; nevýhody: nepřestost, „barvy“, volba kvality a velikosti papíru - jehličková – průklepy jehel, nekvalitní, hlučné, levné (pokladny, výplat.pásky, kontrol.výpis) - inkoustové – trysky – topný odpor ohřeje inkoust - laserové – řádek magneticky přenesen na válec a pak na papír 4. Charakteristika počítačové grafiky pro počítače řady PC-AT Možnosti (základní) počítačové grafiky na počítačích řady PC - knihovny, HW vybavení.SW - pouze knihovny GRAPH a základní vstupní a výstupní zařízení.Určeno (převážně) pro programátory. Programové systémy aplikované na PC.AutoCAD, MS PC Intergraph, GIS a jiné systémy a pod. Rastrová – monitory,… Vektorová – plotry,… Obrazová paměť je částí operační paměti - programovatelná. PC mají vlastní monitory, které jsou vybaveny vlastními obvody potřebnými pro řízení výstupu na tento monitor. Pracují obvykle ve dvou režimech - textovém (znakovém) a grafickém. Znak. Režim - ke generování alfanumerických znaků je potřebný generátor znaků, který je obsažen v grafické kartě displeje. Pokud není přítomen takovýto generátor, je nutno v obrazové paměti mít pro každý znak nejen jeho kód, ale i jeho atributy (barva popředí, pozadí, blikání a pod.) - existují generátory znaků, kde je možno vytvořit vlastní fonty pro různé rastry a různé programy Obsah rast. Paměti PC – pro obrazovkový adaptér BIOS - služby pro styk s technickými prostředky - nastavení režimu zobrazení, kurzor + poloha - nastavení palety barev, polohy světlého pera - definuje množiny znaků pro generátor Výhody používání služeb operačního systému při tvorbě programů pro grafiku – přenositelnost mezi podsystémy na PC a PS/2 Nevýhody – malá rychlost - nevyužití výhod grafických karet - grafické adaptéry: MDA - monochromatický monitor, který zobrazí na 25 řádcích 80 znaků alfanum. textu. CGA – monochrom. monitor (zobrazí 25 řádků po 80-ti znacích); podpora alfanum. ve 2režimech. 640 bodů - 2 barvy nebo 320 bodů - 4 barvy; špatná kvalita alfanumerických znaků (díky malé rozlišitelnosti).
EGA - barevný i monochrom. displej; generuje signály pro barevné zobrazení 16 barev z 256 barev ve znakovém režimu nebo 640 * 350 bodů v grafickém režimu; poskytuje grafický režim i pro monochromatický displej. HGC - Umožňuje na monochromatický monitor zobrazovat dobře čitelný text i grafiku. Adaptér HGC+ (1987) umožňuje práci s 16-ti barvami z 64 barev. Všechny adaptéry Hercules pracují s rozlišením 720 * 348 bodů. VGA - funkce adaptéru EGA s větším rozlišením (720*400 - textovém r.,640*480 – graf. r. a 256 barev z 2↑18 5. Grafické stanice (workstation) a grafika na PC. Porovnejte z hlediska HW. Uveďte základní charakteristiku PS - HW, SW.Zaměření z hlediska uživatele - programátora . Uživatel (programátor) - programování aplikačních podprogramů a pod... Porovnejte HW z hlediska účelného využití PC vers. PS. PC – jednoprocesorový stroj, levnější - lze také připojit různá zařízení (nutné ovladače) Graf. stanice – zaměřeno na grafiku – lepší SW i HW • základ = počítač výkonnější něž standardní PC • operační paměť od 16 MB • víceprocesorový stroj - paralelní běh několika úloh • větší vybavenost vstupními i výstupními periferiemi (tablet,…) • víceobrazovkový režim - jeden znakový displej, jeden (minimálně) grafický displej • komunikace na obrazovce s využitím vícenásobných oken • programová podpora pro určitý obor a zaměření stanice apod. • rastrová grafika minimálně s 1 miliónem obrazových bodů. Grafická stanice po hardwarové stránce je vybavena zařízením, ke kterému je výrobcem dodáno příslušné programové vybavení. V případě, že tomu tak není, je výrobcem dodán přesný popis zařízení a je na programátorovi, aby požadovaný software naprogramoval. 6. Programové vybavení počítačové grafiky na PS a PC. Porovnejte z hlediska softwaru. Uveďte SW vybavení PC a PS z hlediska programátora a uživatele. Programátor: knihovna GRAPH a základní I/O zařízení Uživatel: pouze "hotové" systémy (AutoCAD) a programy ("systémy") vyrobené "na míru" programátorem. PC – vybaveno pouze tím, co si uživatel koupí – hotové programy Graf. stanice – SW podpora pro určitý obor (zřetelnost a srozumitelnost a pod.) - normalizace entit – stejný popis zákl. graf. prvků - entit (úsečky, kruhové oblouky, kružnice, elipsy, polygony, generování znaků a pod.) - vznikly programové balíky, které tyto entity v daném systému a daném HW vykreslí - pro větší názornost prvky počítačové grafiky využívají i programy určené pro grafiku - automaticky naprogramovány různé operace (např. rotace v prostoru, osvětlování – jako v 3D Studiu) - popř. nutná specifikace zařízení pro programátora - využití grafiky: operační systémy, databáze - vhodnější komunikační prostředek. 7. Generování úseček (křivek) v rastrové grafice (DDA). Význam generování úseček pro rastrovou grafiku.Vysvětlete princip DDA algoritmu. Výhodnost nevýhodnost použití z hlediska typuvvykreslované entity (rychlost, úsečka - oblouk, tloušťka křivky a pod). Úsečka = zákl. prvek graf. obrazu Generování úsečky v Rastru – nutno rozhodnout, kterými body bude obraz úsečky aproximován - záleží na velikosti rastru či kroku plotru – jak nejkratší úsečku lze nakreslit Vykreslení na plotru – operace: 1. najeď pisátko na místo 2. spusť 3. odjeď (různá tloušťka pisátka) Vykreslení na rastru – okénko se vysvítí nebo ne, - algoritmy vychází z rovnice úsečky y=m*x+b (m=směrnice,b=posun) - zadání pro 2 konc. body – dle hodnoty směrnice se vyvozuje vykreslení úsečky pro kvadrant či oktant - otočení kolem osy y = změna znamének u x-ových souřadnic, úsečka se transformuje - princip(kružnice): využívá se symetrie – vypočte se bod, který se pak 4x či 8x obrátí - základem algoritmů na kresbu úsečky je rov.: ∆ y = m * ∆ x DDA – přírůstkový algoritmus pro dočasný záznam - souřadnice x se zvyšuje po jedné - postupné přičítání přírůstků k oběma souřadnicím při výpočtu pozic pixelů zobrazujících úsečku - pro m<1 mění souř. o 1; y i+1 = yi + m x-reál.osa - pro m>1 – změny souřadnice x a y - k poč.hodnotám x1 a y1 jsou přičítány konst.přírůstky až do konc,bodu
- vykresluje se vždy 1 pixel, po dosažení určité hodnoty se přeskočí na vyšší řád (horní pixel) - tlustá čára – zmnožení pixelů
8. Bresenhamův algoritmus pro generování úsečky. Význam generování úseček pro rastrovou grafiku. Vysvětlete princip Bresenhamova algoritmu. Výhodnost - nevýhodnost použití z hlediska typu vykreslované entity (rychlost, úsečka - oblouk, tloušťka křivky a pod). ∆y m= , kde Úsečka zadána dvěma koncovými body a směrnicí (předpokládejme m<1) ∆x - zjišťuje se podíl, kde úsečka teoreticky pixel protíná – zobrazí se horní i dolní pixel (resp. jestli při kroku rastru do xi+1 = xi + 1 bude nová souřadnice yi+1 = ∆x = x1 − x 2 yi nebo yi+1 = y1 + 1. ) - zobrazí se tak, že se vysvítí reciprokou hodnotou intenzity jednotlivých pixelů, ∆y = y1 − y 2 součet intenzit barvy těchto pixelů je roven plné intenzitě vysvícované barvy Intenzita vysvícení jednotlivých pixelů je dána poměrem d1 a d2 . Viz. obr. Hodnoty d1 a d2 jsou reciproké hodnoty intenzity vysvícení jednotlivých pixelů. d1 = yi+1 - y = yi + 1 - m ( xi +1) - b (1.9) d2 = y - yi = m ( xi + 1 ) + b - yi (1.10) Z ( 1.9, 1.10) => ∆d = d1 - d2 = 2m (xi + 1) - 2yi +2b - 1 (1.11) Hodnota ∆d rozhoduje, který ze dvou pixelů leží blíže skutečné hodnotě úsečky a bude se kreslit. Význam – čára je rozmazanější, ale nezdá se být kostičkovaná (jako u DDA) - vysvícení 2 pixelů nad sebou – intenzita barvy obou je rovna jednomu - rychlost - tloušťka – vysvícení více pixelů – počet je závislý na velikosti pixelu, úhlu úsečky a tloušťce čáry 9. Princip vyplňování (šrafování) obrazců. Uveďte metody vyplňování. Semínková, řádková apod.Porovnejte výhody a možnosti použití jednotlivých metod a jejich problémy. Vyplňování - šrafování. Uveďte postup - algoritmus - pro vybarvení ohraničeného obrázku Semínkové algoritmy = vybarvování pixelů určenou barvou místo barvy pozadí. Princip: uzavřená oblast a bod, k němuž určíme sousední body a ty vybarvíme pokud nemají barvu hranice ani barvu vyplňovaní Výhoda – jednoduché programování (rekurze); Nevýhoda – náročné na paměť (pouze pro malé plochy – text) - čtvercová oblast: - rozložení vyplňované oblasti na čtverce s postupně půlemi stranami (až do 1 pixelu). Leží-li čtverec celý v oblasti je vyplněn, jinak je rozčtvrcen a znovu testován (rekurze – Watkinsonův alg.) Řádkové algoritmy = vybarvování pixelů určenou barvou místo barvy pozadí po jednotlivých řádcích ve směru osy x nebo y (transformace otočením) - u větších ploch, když nelze užít rekurzi Princip: výpočet průsečíků šrafovací křivky s hranicí oblasti, počítá se se sudým počtem průsečíků přímky s núhelníkem (hranicí plochy). Při 1 průsečíku:- vrchol (při lokálním min nebo max se vrchol vypustí) - přímka řádku je rovnoběžná s hranou oblasti - vynechání - postup od horního vrcholu dolů zleva doprava – 1. vyřadíme vodorovné hrany 2. upravení rostoucích (klesajících) hran a orientaci hran (1. vrchol vždy vyšší souřadnici y než 2.vrchol) Šrafování – přičítání „řádků“ o více něž 1 pixel - nerovnoměrné šrafy s x – otočení o úhel - α a poté otočení zpět - každá šrafa je samostatná entita (úsečka)
10. Odvoďte vztahy pro translaci a rotaci rovinných a prostorových útvarů. Vysvětlete princip pro odvození těchto vztahů. Význam homogenních souřadnic.Porovnejte programování na PC a PS. Grafické karty a pod. Posunutí vektorem (a , b ), kde a je posun ve směru osy x, kde b je posun ve směru osy y. Přepočet souřadnic posunutých bodů je dán vztahem: x ' = x + a; y ' = y + b V homogenních souřadnicích x’ = T(a, b) . x Měřítko x’ = x . k k - násobek ve směru osy x y’ = y . q q - násobek ve směru osy y z’ = z . r r - násobek ve směru osy z . x’ = M( k, q, r) . x Homogenní souřadnice - pro transformační výpočty pomocí maticových operací včetně počátku souřadné soustavy - umožňují realizovat jednotlivé geometrické operace pomocí jedné maticové operace - umožňují počítat s nevlastními body soustavy Bod (x,y) je v homol. souř. (wx, wy, w), kde w je různé od nuly a pro bod (x,y,w) je x = X/W a y = Y/W. Rotace 2D dané úhlem α a středem otáčení (počátkem) souřadnicového systému platí vztah:
x´ = x ⋅ cos α − y ⋅ sin α y´ = x ⋅ sin α + y ⋅ cos α
V homogenních souřadnicích:
x´ cos α y´ = sin α 1 0
− sin α cos α 0
0 x 0 ⋅ y x ' = R( α ) ⋅ x 1 1
11. Rotace v prostoru 3D. Vysvětlete princip rotace v 3D prostoru.Uveďte (odvoďte) vztahy pro rotaci okolo souřadnicových os. Vysvětlete princip rotace 3D těles okolo obecné osy v 3D prostoru. Princip: rotujeme objekt pouze kolem souřadnicových os ! -okolo z: - musíme dávat pozor na znaménka prvků matice – levo-pravotočivost s. - řešení při obecné ose: 1. Jednu z os položíme přímo do osy rotace: Translace O → O'(x ,y ,z ) - aby osa rotace procházela počátkem - rotace složena z několika rotací, ale vždy kolem základních os 2. Otočíme objekt tak, aby osa padla do souř. osy - nejspíše do osy z. a) Otočíme osu rotace kolem osy z do roviny(nárysny xz) o úhel ϕ1. - spočítáme úhel, který svírá osa x pravoúhlým průmětem osy o do půdorysu (zanedbám z, tedy z=0) - ϕ1 = úhel dvou přímek - skalární součin vektorů b) Otočíme objekt okolo osy y o úhel ϕ2. - úhel který svírá osa rotace s osou z z 3. Otočíme objekt okolo osy z o úhel α. o’ 4. Otočíme objekt okolo osy y o úhel -ϕ2 . o 5. Otočíme objekt okolo osy z o úhel -ϕ1 . 6. Provedeme translaci O → O'(-xp ,-yp ,-zp ).
ϕ2 ϕ1 y
x ϕ1
12. Homogenní souřadnice. Vysvětlete princip zavedení homogenních souřadnic ve smyslu jejich použití pro programování transformací v počítačové grafice.(Rotace, měřítko, posunutí.) Homogenní souřadnice (- bez problému) - počátek ve 2D je vždy S(0,0,1) – nenulový!!! – pro výpočty - pro transformační výpočty pomocí maticových operací včetně počátku souřadné soustavy - umožňují realizovat jednotlivé geometrické operace pomocí jedné maticové operace - najednou!!! (otočení+posun) - umožňují počítat s nevlastními body soustavy Bod (x,y) je v homog. souř. (wx, wy, w), kde w je různé od nuly a pro bod (x,y,w) je x = X/W a y = Y/W. - grafických stanicích všechny výpočty pomocí homog. souř. - prostor 2D vzatý do 3D přidáním 1 nenulové souřadnice 13. Jaké výhody poskytuje počítačová grafika ve srovnání s tradiční konstruktivní geometrii? Vliv PG (HW i SW) na řešení geometrických problémů.Vysvětlete tradiční ( papír - kreslící nástroje ) řešení: problém ⇒ zobrazení ⇒ řešení ⇒ zobrazení (další zpracování - výpočty a pod..) - rozdělení řešení problému do více oborů - nutné znát i vedlejší prostředky (promítaní,…) = zdlouhavé Použití počítače: Problém ⇒ řešení problému ⇒[zobrazení ] ⇒ [výpočet a pod. ] - příjemnější uživatelské prostředí - názornější řešení problému - velké množství nástrojů pro řešení! – různé způsoby řešení - programově náročnější 14. Odvoďte transformační rovnice pro promítání kosoúhlé. Vysvětlete princip kosoúhlého promítání.Promítací rovina, záchytná rovina (nákresna), promítací paprsek a záchytná rovina - nákresna.Odvoďte převodní vztahy (rovnice) pro převod 3D → 2D. - rovnoběžné promítání 3D do 2D, kde osa y se promítá pod úhlem α kosým k ostatním průmětnám a průmětům os - jednotková délka ve směru této osy je násobena nenulovým číslem (zkrácením) q ≠ 0. - je zadáno průmětnou rovinou a směrem promítání (vektorem) - všechny promítací paprsky jsou rovnoběžné a kosé - Nákresnu (zobrazovací rovinu (x‘ y´) ) ztotožníme s rovinou (xz). - Průmět osy z ztotožníme s osou y´ zobrazovací roviny, osu x´ zobrazovací roviny ztotožníme s osou x souřadnicového systému. Tedy ⇒ z ≡ y ', x ≡ x '. q….prodloužení pro osu y při q=0 jde o kolmé promítání Potom dle obrázku plyne: x´ = x – y * q * cos α y´ = z - y * q * sin α . Pro technické kosoúhlé promítání je q = SQRT(2)/2 a α = 135° . - nevyhovuje, protože zanechává x a y souřadnice
15. Odvoďte transformační rovnice pro axonometrii. Vysvětlete princip axonometrického promítání.Axonometrické osy (kříž) - axonometrický trojúhelník.Promítací rovina, záchytná rovina (nákresna), promítací paprsek a záchytná rovina. Vysvětlete pojmy: izometrie, dimetrie, trimetrie. Zkrácení - jednotky - na souřadnicových osách. Odvoďte převodní vztahy (rovnice) pro převod 3D → 2D. - ortogonální axonometrie = paprsek je kolmý na průmětnu (zobraz. rovinu = záchytnou rovinu - šikmá), která není rovnoběžná s žádnou ze souřadnicových os - je zadána osovým křížem se svislou osou z a úhly průmětu α, β osy x, y axonometrii - souřadnicová osa y´ nákresny se promítá do průmětu osy z souřadnicového systému. - souřadnicové osy se zkracují – neodpovídají realitě - odvození pro bod M(x,y,z): x´M = yM . cos β - xM . cos α y´M = zM - a – b ⇒ zM - yM . sin β - xM . sin α Nahradíme obecné souřadnice bodu M násobkem jednotky na osách x, y, z. A to x’M = xM . J x y’M = yM . J y z’M = zM . J z Pro odvození zkrácení jednotek na platí: Z cos α ’= 12
12 a cos α = x ⇒ J x = J
cos γ , cos β , cos α , y z a obdobně J = a J = . cos γ cos β cos α
Je zřejmé, že jednotky zkrácení Jx , Jy , Jz NELZE VOLIT LIBOVOLNĚ. Izomerie – je-li trojúhelník rovnostranný – není třeba řešit zkrácení Dimetrie – je-li trojúhelník rovnoramenný Trimetre – obecný trojúhelník
x’ = y . Jy . cos β - x . Jx. cos α y’ = z . Jz - y . Jy . sin β - x . Jx . sin α
16. Odvoďte transformační rovnice pro perspektivu. Vysvětlete princip perspektivního promítání.Promítací rovina, záchytná rovina (nákresna), promítací paprsek a záchytná rovina - nákresna. Odvoďte převodní vztahy (rovnice) pro převod 3D → 2D. - jednostředové promítání – dané průmětnou a středem promítání - všechny paprsky jdou z 1 bodu – středu promítání – jsou různoběžné - vychází z průmětu M do záchytné roviny a stejnolehlosti trojúhelníků - promítací rovina xz=x’y‘ Z podobnosti ∆ MM1S a ∆ M’M1’S ⇒
y ' M 1' S = z M 1S
a z podobnosti ∆ RM1S a ∆ OM1’S ⇒
M 1' S x ' d = = M 1S x d + y
x' y' d = = = k ←- transformační konstanta x z d+y Transformační rovnice perspektivní projekce: x’ = k . x a y’ = k . z kde
k=
d . d+y
Jestliže střed perspektivy neleží na ose y a průmětna není totožná s rovinou (x,z) - nárysnou, otočíme průmětnu kolem osy z o úhel α. Ze vztahu otočení kolem osy z vypočteme a, b a nové x a y.
17. Jak lze vyjádřit křivky v počítačové grafice v rovině a prostoru? Matematické a "jiné" vyjádření křivek (ploch).Rovnice (předpis) - graf funkce 2 - 3 proměnných, (interpolace).Body (sítí)a) uspořádaně (měřené hodnoty, polynomy, sítě), (- interpolace); b) neuspořádané hodnoty (aproximace - regrese) Dejte příklady na vyjádření (zobrazení) v PG ((drátěný model, vybarvení, stínování...) . Matematické – zadána funkce ; Počítačové – zadány body, hledá se funkce Křivky – v grafické praxi vždy zadané pomocí bodů a tečen jako soustava parametrů nějaké rovnice Plochy – zadané pomocí bodů a tečných rovin jako soustava parametrů nějaké rovnice, která se pak zobrazí - graf funkce 2 proměnných Dělení: 1. dané body: Interpolační křivky – křivka prochází přesně zadanými body v určitém intervalu - uspořádané body, měřené hodnoty, polynomy, sítě, splajny - Př.: fyzikální děj - v intervalu křivka interpoluje, mimo interval extrapoluje – předvídání děje Aproximační křivky – regresní, prochází v minimální blízkosti zadaných bodů, ale samotnými body neprochází – lze interpolovat i extrapolovat, rozdíl pro xi jeden nebo více bodů - záleží na druhu prokládané křivky - Př.: průměrná teplota na různých místech 2. dané analytickým přepisem – nejvhodnější zadání 3. určené lomenou čarou – dána kostra bodů, kterými křivka může či nemusí procházet (Beziér, Coons) 18 Druhy rovnic pro vyjádření křivek (ploch) v počítačové grafice. Typy zadání: rovnicí - explicitní - implicitní tvar - parametricky. Význam jednotlivých vyjádření křivek (ploch) pro použití v PG. Explicitně - nevhodné pro PG.Kdy a proč? U křivek, ploch. Parametricky - kresba křivek (drátěný model, řezy souřadnicovými rovinami,...) Křivka – reprezentována jako soustava parametrů nějaké rovnice, která se pak zobrazí Geometrická křivka – nejkratší spojnice dvou bodů na ploše Rovinné křivky: Explicitní rovnice y = f ( x ) , kde x ∈ < a , b > . Příklad: y = x2 + x + 1 . . . jde o parabolu . . . pozn.: Pozor na definiční obor funkce f(x) . př.: řetězová funkce – funkce obsažená ve funkci Implicitní rovnice F(x,y)=0 -nevhodné – neumožňuje postupný výpočet křivky Parametrické rovnice x = x ( t ) y = y ( t ) , kde a ≤ t ≤ b - jde o parametrické vyjádření dráhy pohybujícího se bodu. Tento bod má časové souřadnice x(t) a y(t), poloh. vektor P(t)=[x(t),y(t)] - nejpoužívanější, derivuje se po složkách, závislost na 1 parametru - nezaručuje rovnoměrné rozložení bodů na křivce Vektorové rovnice polohový vektor R=R(t) pro a
R' ( t ) = ( x' ( t ) , y' ( t ) ) - derivace =tečna – potřeba pro zjištění normály Prostorové křivky – přidán 3. rozměr x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) , kde a < t < b. Vektorová rovnice: R ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , kde a < t < b. Derivace (tečna): R' ( t ) = ( x' ( t ) , y' ( t ) , z'( t )) . R' je tečný vektor v bodě R( x( t ), y( t ), z( t ) ) křivky. Polohové vektory A, B bodů A (xA , yA, zA) a B (xB, yB, zB) určují vektorovou rovnici úsečky AB. R = A * (1- t ) + B * t, kde bod A ( pro t = 0 ) je počáteční bod a B ( pro t = 1) je koncový bod. 0 < t < 1 .
Parametrické rovnice tedy jsou: x = x A * ( 1 - t ) + x B * t; y = y A * ( 1 - t ) + y B * t;z = z A * ( 1 - t ) + z B * t
Plochy Explicitní rovnice plochy z = f ( x , y ) – sada křivek ( x ∈(a, b), y
∈ ( c, d ) … "okrajové" křivky plochy)
- vytvoříme tak, že vykreslíme řezy plochy rovinami, nejčastěji rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami - plocha = matice bodů - drátěný model – síť - mnoho řezů procházející osou z a od parametrů a do b
19. Charakterizujte interpolační křivky, které se používají v počítačové grafice. Metody pro určení interpolačních křivek v PG.Metoda nejmenších čtverců.Vysvětlete princip a odvoďte interpolační křivku (přímku, parabolu 2.řádu) pro zadaný počet bodů. Uveďte minimální počet vstupních bodů pro interpolaci křivkou. = křivka zadaná pro množinu bodů al = (x1, y1), a2 = (x2, y2), ... , an = (xn, yn), kterými prochází přesně Interpolační funkce je funkce f, jež splňuje požadavek yi = f (xi), i = 1, ... , n. - nejčastěji: interpolace polynomem f(xi)=yi a/ jediným polynomem n-1 řádu pro n bodů (Lagrang, Newton) - vstupem této rovnice jsou body, jimiž má křivka procházet a jejím řešením jsou parametry matice aij. Do výrazu se postupně dosazují body, jimiž má křivka procházet, a tím se obdrží soustava rovnic. - nevýhoda: nepřirozené vlnění při vyšším řádu polynomu (užívá se max 5) b/ po částech - pro n-tici bodů: aproximace polynomem 3. stupně = aproximace každý 4 bodů - navazování křivky – Akimova interpolace, interpolace Hermitovskými polynomy (jejíž zvláštním případem jsou Fergusonovy kubiky), které se používají i pro aproximace a konečně spline křivky k-tého řádu, které zaručují spojitost k-1 řádu. - Interpolační metody pro nevýhody moc v PG nevyužívány. - uplatnění v numerické matematice a v matematické statistice – usuzování potenciálního chování nějakých jevů v budoucnu (potom se hovoří o extrapolaci). Tyto metody z těchto oborů také původně vzešly. - metoda nejmenších čtverců – hledání hladké křivky a čtverce vzdálenosti řídicích bodů od ní je minimální. základem těchto postupů jsou zadané body. Generovaná křivka má jen informativní charakter. Mám určit aproximační křivku pro body P0 (0 , 0), P1 (1 , 2), P2 (3 , 3) . Obecná rovnice přímky (křivky) f(x) = a0 x + a1 tak, aby kvadratická odchylka byla minimální. Je třeba určit koeficienty a0 , a1 = ? dosadím do rovnice všechny body a vypočtu pro ně y. Vše sečtu a hledám minimum (lokální extrém) té funkce – extrahuji 1. parciální derivace a určím a0 , a1
20. Specifikujte pojmy interpolační křivka, regresní křivka,, křivky určené lomenou čarou. Na příkladu zadaných bodů ukažte použití interpolační a regresní křivky.Dejte příklad zadání bodů pro různé užití křivek v PG. Interpolační křivka – prochází všemi body Regresní křivka – neprochází všemi body (aproximační) - jedné hodnotě xi → více hodnot yi Křivka určená lomenou čarou
21. Lagrangeův - Newtonův interpolační polynom. Na příkladě uveďte jeho aplikaci. Odvoďte Lagrangeův - Newtonův interpolační polynom. Příklad aplikace L-N polynomu.Vlastnosti L-N polynomu. - křivka, která musí procházet polynomem; řeší se křivka na celém intervalu – u závislých dějů (teplota) x , y , x , y , x , y ,....., ( xn , yn ) Interpolační polynom pro (n+1) daných bodů ( 0 0 ) ( 1 1 ) ( 2 2 ) je předepsáno (n + 1) podmínek. Nechť
x0 < x1 < x2 < ..... < xn a jsou dány body ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,....., ( xn , yn ) .
Pak existuje právě jeden interpolační polynom pn (x) stupně nejvýše n. To je platí : pn (xi) = yi , i = 0, 1, ...., n. Pro body ( 0 ,0 ) , ( 1 , 2 ) , (3 , 3 ) určete interpolační polynom. Interpolační polynom bude stupně nejvýše 2. Bude tedy tvaru:
p2 ( x ) = a0 x 2 + a1 x + a2
- nevýhoda: nepřirozené vlnění při vyšším řádu polynomu (max 5) Po dosazení (viz ( 6 )) dostaneme soustavu:
a2 = 0 1 5 a0 + a1 + a2 = 2 ⇒ a0 = − , a1 = , a2 = 0 . 2 2 9a0 + 3a1 + a2 = 3 2 Interpolační polynom je tedy ve tvaru p2 ( x ) = −0.5x + 2.5x Výpočet tedy vede na řešení soustavy lineárních rovnic. Zobecněním lze odvodit tzv. Lagrangeův tvar interpolačního polynomu.
ϕ ( x) pn ( x ) = ∑ yi ⋅ i ϕ i ( xi ) i =0 n
=
n
n
i =0
j =0 i≠ j
∑ yi ⋅ ∏
x − xj
xi − x j
Newton: -liší se tak, že kroky jsou konstantní xi+1 - xi = konstanta -> i = 0, 1, ....., tabulka hodnot (vzdálenosti mezi nezávisle proměnnými) je ekvidistantní,
n - 1 ->
Výpočet: pro jednotlivé diference 22. Interpolace po obloucích. Uveďte příklad na Hermitovu interpolaci. Význam interpolace po obloucích. Použití. Výhody - nevýhody interpolace "po obloucích".Rychlost, smysl použití, a pod. Odvození tečen v zadaných bodech. Hermitova interpolace vychází ze zadaných bodů ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) , ..... , ( xn , yn ) a hodnot derivací y0' , ..... , yn' v jednotlivých bodech. Lze dokázat, že existuje právě jeden polynom h(x) stupně nejvýše 2n + 1 tak, že h(xi) = yi , i = 0 , ..... , n a h'(xi) = yi' , i = 0, ..... , n . - dána dvěma body a tečnami v těchto bodech – jejich derivace Výpočet pro n = 2, polynom h(x) bude stupně max 5. Určit koeficienty a0 , ... , a5 polynomu
h(x) = a0 x5 + a1 x4 + a2 x3 + a3 x2 + a4 x + a5 - dosazení x-ových hodnot pro y a polynomu (h(x)´ = 5a0 x4 +4 a1 x3 + 3a2 x2 + 2a3 x + a4 ) - pro y‘ vypočtení soustavy rovnic – určení a0,..a5 => h(x) = x5 -3 x4 + 2 x2 - x + 1 - po obloucích – velmi využívána v PG - výhoda: možnost měnit křivku pouze v určitém intervalu oproti Lagrangeovy resp. Newtonovy interpolace, kde změnou jediného parametru v daném bodě, se změnila křivka na celém intervalu. - je však třeba znát derivaci v jednotlivých bodech. - snaha je a) co nejednodušší výpočet - rychlost; b) přesnější vykreslení křivek - složitější výpočet; nároky na čas. Výpočet tečen v opěrných bodech. - Jestliže pro funkci známe (n + 1) opěrných bodů a chceme využít interpolace po obloucích, kde jednotlivé oblouky jsou popsány polynomy třetího stupně, je možné využít HP, jestliže v těchto opěrných bodech vypočteme y0', y1', . . . , yn' . - Z geometrického hlediska budeme předpokládat, že tečna v daném bodě grafu bude rovnoběžná se spojnicí sousedních bodů. Pro určení tečny v bodech x0 a xn se zpravidla určí derivace Obr. 3.8 polynomem druhého stupně, kde x = x0 , resp. x = xn a určíme derivace y0', resp. yn' tohoto polynomu. 23. Charakterizujte interpolaci po obloucích. Fergusonova interpolační křivka. Vysvětlete - použití kubických polynomů. - tečné vektory v koncových bodech. Fergusonovy křivky jsou dány dvěma body a tečnými vektory v nich. Mohou být i třídimenzionální. Jestliže užijeme Hermitovu interpolaci na složky vektorového vyjádření křivky pro jednotkovou změnu parametru na obloucích, získáme tzv. Fergusonovy křivky. - vektor je pro bod samostatný – může mít různou délku a různý směr (určujeme polohu a směr) - tvarování Ve vztahu ( 3.14 ) pro k = 1 obecně:
R( t ) = F0 ( t ) ⋅ G + F1 ( t ) ⋅ H + F2 ( t ) ⋅ g + F3 ( t ) ⋅ h
pro t ∈ < 0 , 1 > . G , H . . . polohové vektory bodů; g , h . . . vektory tečen v bodech, ve kterých je Fergusonova křivka jednoznačně určena. (derivace) Pro Fi , i = 0, 1, 2, 3 platí :
F0 ( t ) = 2t 3 − 3t 2 + 1 F1 ( t ) = −2t 3 + 3t 2
F2 ( t ) = t 3 − 2t 2 + t -pro inflexi nutný stupeň polynomu 3
F3 ( t ) = t 3 − t 2
t∈<0,1>.
Pro t = 0 . . . R(t) = G; pro t = 1 . . . R(t) = H. Pro g = h . . . GH je aproximováno úsečkou. - tečné vektory v koncových bodech Fergusonovy polynomy (kubické) – v 3.stupni nesmí být 0!! - krajní body jsou významné pro položení křivky (křivka jimi prochází). - vektory pak určují míru vyklenutí křivky. Čím je velikost vektoru větší, tím více se k němu křivka přimyká. Použití: textové editory, grafické módy 24. Charakterizujte spline funkce, spline křivky. Zadání a použití. Vysvětlete pojmy - spline funkce, spline křivky.Zadání - uspořádaná množina bodů - . . . xa < xn+1 . . . Křivka PROCHÁZÍ zadanými body. Spline = pružné homogenní křivítko (lodní konstruktéři – žebra lodi) - co nejmenší složitost funkce, křivky 3.stupně (pro aspoň 1 inflexní bod) – modelování po částech Spline pro n bodů a n+2 podmínek: - zadány derivace v 1. a posledním bodě– počáteční a koncový směr - zadání druhých derivací v x0 a xn – uzavřená křivka (Přirozený: P0“=Pn“=0) Kubická funkce Spline -> křivka n-tého řádu = f(z), která má spojité derivace f0, f'(z), ..., f(m-1) a na každém intervalu <xi, xi+1> je f(x) polynomem stupně m tedy f(x)=fi(x) i=0,..,m - interpolační křivka, která přesně prochází body uspořádané množiny nezávisle proměnných xa < xn+1 body: x0 < x1 < x2 < . . . < xn a v nichž jsou dány funkční hodnoty y0 , y1 , y2 , . . . , yn . - skládá se z obecného polynomu 3. stupně a zaručuje spojitost derivací v navazovacích bodech. - jsou jistým zobecněním polynomiálních interpolací a aproximací.
- fáze určení koeficientů polynomů: 1. spočítáme derivace v každém bodě 2. pomocí Fergusonových oblouků určíme oblouky - užitím Hermitovy interpolace podle vztahů (3.14) vypočteme koeficienty - převedeme na Fergusonovy kubiky tak, že dopočteme derivace v ostatních bodech - u přirozeného splinu zadaného body vypočteme nejdříve derivace y0' , . . . , yn' - z podmínek f0 '' (x1 ) = f1 '' (x1 ) a f '' (x0 ) = 0 vede k rovnici - rovnice splinu Kubickou spline křivkou P(t), kde t ∈ < t0 , tn > nazveme křivku, pro níž každá složka vektorového vyjádření je spline funkcí parametru t pro dvojice (t0,s0) , . . . , (tn,sn) , kde s0 , ... , sn jsou příslušné složky vektoru P0 , ..., Pn . Volbou čísel t0 , t1 , . . . ,tn - určujeme parametrizaci spline křivky. Nejčastěji se užívá tzv. uniformních splinů, t.j. volí se ti = i , i = 0 , . . . , n . - jednoznačně určena opěrnými body a polohovými vektory P0,..Pn a podmínkami: - zadány derivace v 1. a posledním bodě– počáteční a koncový směr - zadání druhých derivací v x0 a xn (Přirozený:P0“=Pn“=0-uzavřená) - zadání, že křivka je uzavřená Pro n = 1 je spline křivka totožná s Fergusonovou křivkou. - výpočet pro 3 body: výpočet derivací (vektorů tečen) v ostatních bodech – dosazení do Fergusonova vztahu – vypočtení prvního oblouku pro 2body, vypočtení 2. oblouku pro 2 body 25. Dejte příklad použití spline křivky. Otevřené, uzavřené. Vysvětlete pojmy - otevřená - uzavřená křivka. Zadání - parametrické, vektorové . Otevřený – např.: Coonsův B-spline – vznik navázáním Coonsových křivek - spojité 1. a 2. derivace – identické - určen n+1 body Uzavřený – opakováním n prvních bodů řídícího polygonu na jeho konci (n+1 bod zopakuje včetně tečny a je uzavřená) – jako poslední bod zopakuji první bod křivky Pn+1 = P0 a Pn+2 = Pi - Přirozený spline P0“=Pn“=0-uzavřená – navazuje na sebe - např.: písmo Vlastnosti – invariance vůči rotaci, transakci a změně měřítka Užití – textové fonty 26. Křivky určené lomenou čarou. Bézierovy křivky, princip, zadání. Vysvětlete princip, zadání, použití, vlastnosti křivek. Řídící polynom křivky, tečny v koncových bodech křivky. Konstrukce obecného bodu křivky. - Beziér – Renault (Casteljau) – daná lomenou čarou - křivka zadaná vektorově čtyřmi body P0,P1,P2,P3, kde P0 a P3 jsou koncové a P1 a P2 jsou řídící body - určena kde t Î <0,1> a B0, B1, B2, B3 jsou kubické Bersteinovy polynomy tvaru: B0(t) = (1 - t)3, B1(t) = 3t(1 - t)2, B2(t) = 3t2(1 - t), B3(t) = t3 – kombinační č. - Bézierova křivka prochází počátečním a koncovým bodem řídícího polygonu. - Bézierova křivka se dotýká spojnice 0. – 1. bod a spojnice 2. – 3. bod
- tečné vektory (spojnice 0. – 1. bod) – směr dvojice krajních bodů ; - velikost = 3x spojnice bodů -konstrukce: - rozdělení spojnice na 2 části, P(t) určuje bod, kde se rozdělí - rekurzivně se generují nové body polygonů nových křivek - použití v automobilovém průmyslu
27. B-spline křivky. Coonsova křivka, princip, zadání. Vysvětlete princip Coonsovy křivky, zadání, použití, vlastnosti. Řídící polynom křivky, tečny v koncových bodech křivky.Konstrukce obecného bodu křivky.Náhradní polygon pro obecný B-spline. Coonsova - je zobecněním Bézierových křivek na polynom jen 3. stupně - dosahuje se interpolací křivky po obloucích – pro dobré geometrické vlastnosti -> užití při navrhování ploch i modelování křivek Coonsova kubika se zadává stejně jako kubika Bézierova čtyřmi řídicími body P0, Pl, P2, a P3. Coonsova kubika se spočítá ze vztahu :
kde C0, C1, C2, C3 jsou kubické polynomy tvaru: C0(t) = (1 - t)3, C1(t) = 3t3 - 6t2 + 4, C2(t) = -3t3 + 3t2 + 3t + 1, C3(t) = t3 a t ∈ < 0,1 >. - krajní body křivky nevychází z řídicích bodů, ale z antitěžiště trojúhelníků P0PlP2 a P1P2P3 - tečna v 1. bodě je rovnoběžná se spojnicí bodů P0 a P2 - tečna v posledním bodě je rovnoběžná se spojnicí bodů P1 a P3 - konstrukce: antitěžiště - nevýhoda: neprochází 1. ani posledním bodem polygonu B-spline – spojení - náhradní polygon musíme určit tak, aby B - spline křivka pro tento náhradní polygon se dotýkala původního polygonu v počátečním a koncovém bodě původního polygonu.
28. Typy ploch se používaných v počítačové grafice? Význam použití ploch v PG z různých hledisek aplikací. Matematické aplikace - modelování, zobrazování rendering,... Je třeba znát vlastnosti plochy v daném bodě. Plocha MUSÍ procházet zadanými body. (Tečná rovina - normála - derivace ke křivkám plochy resp. parciální derivace). Technické aplikace - tvar plochy, její fyzikální a jiné vlastnosti. Plocha MUSÍ - NEMUSÍ procházet zadanými body a pod. Plocha = graf funkce 2 proměnných - určené: 1.okrajovými křivkami 2.sítí daných bodů (Beziér, Coons) - je dána vektorovou rovnicí: 1.matice+mapovací maticí+2.matice Interpolační plochy - plochy určeny čtyřmi okrajovými křivkami - v technické praxi se používají převážně plochy přímkové 1. Bilineární plochy - plochy určené dvěma okrajovými křivkami a0 , a1 určené vektor. funkcemi a0 (w) , a1 (w) s par. w z intervalu I ∈ < 0, 1 >. - rovnice R(u, w) = (1 – u) . a0 (w) + u . a1(w), u ∈ I obsahuje křivky a0 a a1 jako své okrajové parametrické wu – křivky - rovnice je interpolační plochou procházející křivkami a0 ,a1. - určené rovnicemi z = a0 ( y ) a z = a1 ( y ) v rovinách y = Y - určené rovnicí úseček plochy, které spojují body A0 a A1 v nichž rovina y = Y protíná křivky a0 a a1 2. Bikubická plocha - místo lineární funkce (přímky) (1 - u) a u je použita kubická funkce (má inflexní bod) F0 (u) a F1(u). R(t)= F0 (t) .G + F1 (t) .H + F2 (t) . g + F3 (t) . h - zadány všechny 4 okrajové křivky
- Protože
F0 ( 0) = F1 ( 0) = 1 a F0 ( 1) = F1 ( 0) = 0 , jsou okrajové křivky pro u = 0 resp. u = 1 určeny rovnicí
R( 0 , w) = a 0 ( w) resp. R( 1 , u) = a 1 ( w) ,takže plocha má dané křivky za své okrajové.
- Parametrická u - křivka je určena rovnicí
R( u ,W ) = F0 ( u) ⋅ a 0 ( W ) + F1 ( u) ⋅ a 1 ( W ) . F0 (u) a F1 (u) jsou kubické funkce je
R (u,W) kubická vektorová funkce a parametrická u -křivka plochy (6.2 ) je kubika. Bilineární a bikubickou plochu nad jednotkovým čtvercem, kde je křivkou a0 - parabola a0 : z = 4 .y . ( 1 - y ) v rovině (y,z) x = 0 a křivkou a1 je sinusoida a1 : z = sin( 2π . Y ) v rovině x = 1. - užíváme protože celý prostor můžeme transponovat do krychle (kde se provedou translace) a zpátky 29. Bézierova plocha. Dejte příklad použití. Charakteristika plochy, její zadání a vlastnosti. Hraniční křivky plochy, tečné roviny v rohových bodech plochy. Bézierovy křivky jsou určeny okrajovými lomenými čarami sítě. - hraniční křivky jsou Beziérovy prostorové křivky Obecně je tedy plocha určena: 1) Rohovými body sítě U0 m , U0 n , Um 0 , Um n . 2) Tečné roviny plochy v rohových bodech sítě jsou určeny rohovými stranami sítě, tj. jsou to roviny U00U10U01,U0n-1U1nU1n ,Um-10Um 0Um1 a Um n-1Um nUm-1 n . - pro síť 4 × 4 je plocha určena šestnácti uzlovými body Ui j = 0, 1, 2, 3 - síť se skládá z devíti čtyřúhelníků. Takovéto síti je přiřazena plocha rovnicí
R( u , v ) = [ B0 ( u)
B1 ( u)
B2 ( u)
B3 ( u) ] ⋅ M ⋅ [ B0 ( w)
B1 ( w)
B2 ( w)
B3 ( w) ]
T
- v rovnici je M mapovací maticí polohových vektorů Ui j , určených uzlovými body Ui j= 0, 1, 2, 3 : a funkce B0(t), B1(t), B2(t) a B3(t) jsou kubické polynomy B03(t), B13(t), B23(t) a B33(t), kde B0(t) = (1 - t)3 B1(t) = 3t (1 t)2 B2(t) = 3t2 (1 - t) B3(t) = t3 - použití v automobilovém průmyslu U U U U 00
01
02
03
U U 11 U 12 U 13 10 M= U 20 U 21 U 22 U 23 U 30 U 31 U 32 U 33
30. Coonsova plocha. Dejte příklad použití. Charakterizujte plochu, její zadání a vlastnosti.Hraniční křivky plochy, tečné roviny v rohových bodech plochy. Coonsova bilineární plocha je interpolační plocha určená (omezená) čtyřmi křivkami (křivočarý čtyřúhelník), které se musí v koncových bodech protínat. Křivky a0 , a1 , b0 a b1 jsou vektorové funkce a0 (w) , a1 (w) , b0 (u) a b1 (u), aby platilo:
a 0 ( 0) = b0 ( 0) = 00
a 0 ( 1) = b1 ( 0) = 01
a1 ( 0) = b0 ( 1) = 10
a1 ( 1) = b1 ( 1) = 11
tj. křivky v bodech 00, 01, 10 a 11 se protínají - navazují na sebe. Rovnice určuje tzv. Coonsovu bilineární plochu. T
1 − u 00 − 1 ⋅ b 0 ( u) u 10
a 0 ( w) R( u , w ) a 1 ( w)
01 1 − w b 1 ( u) ⋅ − 1 = 0 11 w
Obr.6.6
- po vynásobení matic obdržíme R (0,w) = a0 (w) - proto plocha (6.6) obsahuje křivku a0, která je její okrajovou křivkou. Obdobně lze ukázat, že křivky a1 , b0 a b1 jsou okrajové. - jestliže položíme x = u, y = w jsou okrajové křivky a0 , a1 , b0 a b1 v rovinách x = 0, x = 1, y = 0 a y = 1 určené explicitními rovnicemi z = a0 ( y ) , z = a1 ( y ) , z = b0 ( x ) , z = b1 ( x ) které splňují podmínky a0 (0) = b0 (0) = 00, a0 (1) = b1 (0) = 01,
a1 (0) = b0 (0) = 10, a1 (1) = b1 (1) = 11, kde body 00,01,10 a 11 jsou z-tové souřadnice 'těchto' bodů. Rovnicí je určena interpolační plocha, obsahující křivky a0 , a1 , b0 a b1 T
1 − x 00 −1 ⋅ b x 0( ) x 10
a0 ( y ) z a1 ( 1)
01 1 − y b1 ( x ) ⋅ −1 = 0 11 y
Coonsova bikubická plocha – nahrazení lineární funkce kubickou - je-li místo funkcí F0 (t) a F1(t) lineární funkce 1-t a t jde o zobecněním bilineární plochy 31. Jaké metody se používají pro znázornění 3D objektů v počítačové grafice? Metoda drátěných modelů, křivky na ploše, řezy (rovinné) plochou (souřadnicovými rovinami, vrstevnice,...). Metoda vybarvovací - znázorňovací - rendering.Výpočet intenzity vysvícení bodu plochy - tělesa. Vysvětlete princip jednotlivých metod, jejich výhody a nevýhody,vhodnost použití jednotlivých metod. Drátěný model – řada úseček krokovaných v intervalu t ∈ < 0, 1 >. Vybarvení – intenzita barvy dle normály plochy (vektorový součin dvou vektorů) Pákování – pokrývání tapetou, kdy je předem zadán tvar a velikost Dvousměrová distribuční funkce - popisuje fyzikální model,vychází z => E . . . je výkon záření dopadajícího na povrch dP . . . je výkon dopadající na plošku dA. Intenzita – ploška je při dané intenzitě pod úhlem vysvícena určitou hodnotou - výpočet normál – určení osvětlení plošky
32. Které základní metody se v počítačové grafice používají při odstraňování neviditelných hran? Vysvětlete princip Robertsovy metody.Způsob zadání těles a ploch. (Vrchol, hrana, stěna.)Pro která tělesa lze metodu aplikovat. - cíl: nalezení viditelných objektů a jejich částí, popř. přerušovaně zakryté objekty - algoritmy vycházejí z analýzy průmětu prostorového objektu – obrysu objektu (viditel/neviditel hrany) - Efektivní algoritmy pro řešení viditelnosti jsou však kombinací metod objektivních i obrazových. Obrazová metoda zkoumá jednotlivé pixely obrazu a rozhoduje, který objekt v daném pixelu je zobrazen. Z – buffer – vykreslí pozadí a počítá odzadu hloubku z pro každý pixel, a ten vybarví barvou posledního objektu Malířův – rozdělí objekt na plošky, porovnám z-ovou souřadnici a vykreslím tu s menším z (třídící alg. !!!) Watkinsonův – řádkový, vykresluje od průsečíku k průsečíku, popř. jej dopočítá Warnockův – dělím scénu na oblasti, ty pak musí vyhovovat podmínkám(celá uvnitř či venku), jinak se dál dělí Plovoucí horizont – pro plochy, které jsou zadány řezy (funkcí), vytvoří se horní a dolní horizont - odstranění chyb: 1.zhuštěním sítě Objektová metoda zkoumá 3D objekty jednak samostatně a dále vzájemné souvislosti. Jestli se překrývají a podobně. Na výstupu je množina úseček - vektorů = nezávislost na rozlišení (bez ztráty kvality) Objekt je ohraničen rovinami – je-li bod Pi (xi ,yi ,zi ) bodem roviny, platí Axi + Byi + Czi + D = P ,kde P = 0 . pokud P > 0, leží bod "nad" rovinou α je-li P < 0 , leží bod "pod" rovinou α (A,B,C – určuje normálu) Robertsonův alg. – hranový alg. pro konvexní plochy a tělesa – mnohostěny (vypuklá tělesa - krychle) - tělesa zadána hranami a vrcholy, body nutné zapsat jako matici vrcholů - určím vrcholy a hrany (soustava rovnic) – zjišťuji společné body rovin, určím vnitřní bod
- postupně zpracovává jednotlivé hrany těles, testuje každou hranu, je-li či není zakryta - při částečném zakrytí se hrana rozdělí na zakrytou a nezakrytou a znovu testuje nezakrytou (rekurze) Určím: a) Průsečnice dvou viditelných rovin => hrana viditelná b) Průsečnice dvou neviditelných rovin => hrana neviditelná c) Viditelná rovina * neviditelná => viditelná - obrysová, mez vlastního stínu Algoritmus má tři části: 1. Odstranění neviditelných hran a povrchů 2. Porovnání hrany * ostatní tělesa => nalezení zakrytých částí (kladný vektor-vykreslím, záporný-ne) 3. Zjištění (nalezení) hran vzniklých jako průsečnice dvou rovin (ploch)
33. Vysvětlete základní pojmy: světlo, chromatické světlo, jas, sytost, světlost. Vysvětlete uvedené pojmy z fyzikálního hlediska a realizace v počítačové grafice. Světlo – elektromagnetické vlnění vyzařované nějakým světelným zdrojem – slunce, žárovka, zářivka, apod. Chromatické světlo - přirozené světlo obsahuje složky různých vlnových délek. - v PG složeno ze 3barev – RGB nebo CMY Achromatické světlo - Světelný zdroj vysílá všechny frekvence v daném pásmu (všechny vlnové délky o přibližně stejné intenzitě), které se skládají v konečné bílé světlo – nepestrý objekt Př.: černobílé TV, terminály, bodové tiskárny, noviny Jas = svítivost (luminace). Čím vyšší je intenzita světla, tím se jeví zdroj jasnější. Sytost - čistota barvy. Čím je spektrum barvy užší, tím je barva čistší - dána vzdáleností bodu, který danou barvu reprezentuje od bodu W (bílá barva – střed os) Světlost barvy je dána velikostí achromatických složek obsažených ve světle s určitou dominantní frekvencí. Dominantní frekvence – převládající frekvence osvětlovaného objektu (barva – kombinace pohlcených a odraž.) Barevnost (chromaticita) - vlastnost charakterizující světlo = sytost + dominantní frekvence.
34. Vysvětlete systém RGB, CMY, CMYK. Půltónování, resp. rozmývání barev. Princip jednotlivých systémů, jejich význam a použití. Barevné diagramy a převody mezi barevnými systémy. RGB - aditivní systém, přirozené světlo skládáme ze tří barev (R-Red),(G - Green)a(B-Blue) - barvy se sčítají - při kladných koeficientech r, g, b je barva definována c = rR + gG + bB -bílá - v PG model RGB jako jednotková kostka, kde počátek (0,0,0)=černá a vrchol W (1,1,1)=bílá - barevné monitory - po promítnutí jednotkové krychle do tzv. jednotkové roviny,dostaneme-> - bod W reprezentuje bílou barvu je v těžišti trojúhel. - Sytost dána vzdáleností bodu barvy D od bodu W, poměr WD a WC - Dominantní barva = C , Doplňkové barvy = A - smíchání dvou barev = součet vektorů obou barev CMY - subtraktivním modelu; modrozelená (C-Cyan), purpurová (MMagenta) a žlutá (Y-Yellow) - barvy odečítají od bílého pozadí - filmové materiály nebo pro barevné tiskárny Barva = váhového součtu jednotlivých složek
Převod mezi RGB a CMY:
c m = y
1 r 1 − g 1 b
, kde vektor [ 1,1,1] v systému RBG reprezentuje barvu bílou T
CMYK - přidání černé složky Půltónování - zobrazení obrazu do více úrovní šedi. Např.: při zvětšování bitmapy (aby nebyl čtverečkovaný) - je pro transformaci obrázků se 2 úrovněmi šedi na více úrovňovou šeď. - zjemnit přechod - zjemnit kontrast - tím, že zvětšíme počet úrovní šedi. Př.: novinové obrázky - základní myšlenka - použít vzory tak, aby černé a bílé body vytvářely dojem šedi - metoda vzorů. = náhradu pixelů vzorem o rozměru m × n (pro úroveň pěti šedi je třeba vytvořit vzor 2 × 2) svítí nebo nesvítí - při možnosti realizovat rozlišení šedi na více než 2 stupně intenzity (0,1) nutno každému pixelu přidělit více než jeden bit - vícestupňové úrovně intenzit pro vybarvení pixelů - Př.: tiskárny, kde je možno ovládat množství barvy, která je nanášena Rozmývání = opak půltónování, spočítám průměrnou barvu oblasti a vybarvím Chromatický diagram CIE – standard – mezinárodní 2D tabulky pro převody mezi barevnými systémy různých TV, popř. černobílá na barevnou či barevnou na černobílou - každá základní barva je popsána vlastní křivkou rozdělení energie. 35. Princip osvětlení objektů. Stín - intenzita osvětlení?Vysvětlete pojmy: mez vlastního stínu, vržený stín, intenzita vysvícení bodu plochy- tělesa. Výpočet intenzity vysvícení bodu plochy - tělesa. - pro ztvárnění objektu – plasticita objektů - zdroj světla: - směrový - plošný Vržený stín - promítneme-li obrys tělesa ze zdroje na záchytnou plochu, ze stínu (tmy) do osvětlené plochy prochází přes polostín Vlastní stín – neosvětlená část objektu Mez vlastního stínu – obrys tělesa(hranice mezi osvětlenou a neosvětlenou částí) - vlivem fyz.zákonů o lomu, odrazu a jiných - přechody mezi osvětlenou a neosvětlenou částí tělesa plynulé a prakticky neexistují ostré hranice - Lambertovo pravidlo: I' = R . I . cos α + R(1 - I) (I=intenzita,R=reflexe) Intenzita=zrcadlová+difůzní složka;čím větší je intenzita, tím je plocha světlejší Osvětlovací model = poměr odražené zářivosti a dopadajícího ozáření Stínování – 1. Interpolace barvou (Gourad)- rozdělení plochy na trojúhelníky a spočtou se jejich normály – dle úhlu, který svírá s paprsek a naším pohledem se vypočte 1 odstín a vybarví se. Normálový vektor nv = aritmetický průměr vektorů okolních plošek 2. Oblá tělesa – inkrementační metody – dle hodnot na vrcholech plošek, ostatní pixely uvnitř jsou interpolovány s ohledem na normálu plošky, počítají se odstíny v různých bodech plochy – vyhlazené (Phong) - intepolace po řádcích
36. Co rozumíme pod pojmem fraktální geometrie? Vysvětlete princip alespoň dvou systémů.Příklady: sněhová vločka, Cantorovo discontinuum, kapradina, Szerpinského trojúhelník - vysvětlete pojmem fraktální geometrie.Uveďte princip realizace jednoho typu fraktálu alespoň dvěma způsoby.Výhody a nevýhody fraktální geometrie vzhledem k aplikacím.Rychlost, kapacita, variantnost,.... Topologická dimenze - vícedimenzionální útvar lze rozdělit útvarem o dimenzi nižším na dva disjunktní útvary - např.: Krychli – 3D útvar - lze rozdělit rovinou – 2D útvarem-na dvě části (např.bod=0D, úsečka=1D) - příroda – nepravidelné útvary s vlastnostmi, které se topologicky obtížně popisují (Brownův pohyb částic) Fraktální geometrie = generováním soběpodobných útvarů - Fraktál = množina, jejíž Hausdorffova dimenze je větší než dimenze topologická (nekonečně členitý útvar) - základ – 60 léta – teorie soběpodobnosti (fractus = polámaný, nepravidelný) - Benoit B. Mandelbrot Hausdorffova dimense - míra soběpodobnosti = počet dílků/měřítko (členitější množina = vyšší dimenze)
- soběpodobná množina vznikne opakováním sebe sama při určité transformaci(změnu měřítka, rotace, posunutí) - soběpodobné množiny jsou invariantní vzhledem k těmto transformacím, tzn. jsou stejné – nemění se Cantorovo diskontinum - rekurzivní rozdělování úseček Sněhová vločka - oblast ohraničená křivkami Kochové - konstrukce 1.rozděl úsečku na n(3) díly 2.nad středním dílem sestroj dvě strany rovnostran.trojúhel. - rekurzivní vytváření do určité hloubky. pokud nezahrneme náhodný proces, vznikne pravidelný obrazec - nekonečně dlouhá,ale zabírá konečný prostor (spojitá) L–systémy (LOGO)– přepisování řetězců podle určitých pravidel - deterministický, bezkontextový G=[V,P,S] - generování rostlin, stromů, textur užití interace - Nedeterminální symbol - proměnná - znak z nějaké abecedy N, na něž lze aplikovat pravidlo. - Terminálním symbolem -znak z abecedy T, na který není možno aplikovat pravidlo -koncový - nepřepsatelný - Startovní symbol je neterminální symbol, od kterého začíná přepisování. -Přepsání = aplikace pravidla tak dlouho, dokud je to možné (tj. dokud řetězec obsahuje neterminální symboly) -množina T = { +, - , f , ( , ) }, kde f=pohyb dopředu, + =otočení doprava o D, - =otočení doleva o D (=uložení stavu do zásobníku, )=vybrání stavu ze zásobníku. (u stromu se ukládá, u vločky ne) Př.:Szerpinského kobereček, Cantorovo diskontinum, Hilbertova křivka x a a 12 x1 b1 IFS – systém interovaných funkcí (deterministická i náhodná) w 1 = 11 ∗ + x 2 a 21 a 22 x 2 b2 - komprese bitmapových obrazů, generování fraktálů (např.: kapradina) - základ metody - interaktivní proces kresby bodů na obrazovce Interakce = výpočet polohy „nového“ bodu z transformace bodu předcházejícího dle transform. předpisu. - každé afinní transformaci w můžeme přiřadit jediné reálné nejmenší možné číslo s Typ transformace: s < 1 je w kontrakcí; s = 1 je w symetrií; s > 1 je w extrakcí. Dynamické systémy – stavy měnící se v čase (deterministický chaos) - určeno f : f ( x ) -> X , kde nás budou zajímat posloupnosti dalších stavů v závislosti na x0 atraktor - množina stavů, k níž systém za určitých okolních stavů vždy konverguje podivný atraktor - stavy silně závislé na počátečním stavu (kutálení kuličky) - např.: růst populace – systém závisí na 1 parametru (ustálený, oscilující, chaotický) - v komplexní rovině – Juliova, Mandelbrotova množina 37. Generování pravidelných - nepravidelných (přírodních) fraktálních útvarů. Uveďte příklad pravidelných (vločka Kochové) resp. Nepravidelných fraktálů a jejich aplikace v PG.Uveďte výhody a nevýhody vzhledem k aplikacím.Příklad nepravidelného fraktálu - Brownowa pohybu v rovině prostoru 3D. Sněhová vločka - oblast ohraničená křivkami Kochové - konstrukce 1.rozděl úsečku na n(3) díly 2.nad středním dílem sestroj dvě strany rovnostran.trojúhel. - rekurzivní vytváření do určité hloubky. pokud nezahrneme náhodný proces, vznikne pravidelný obrazec - nekonečně dlouhá,ale zabírá konečný prostor (spojitá) Brownův pohyb (pohyb mikroskopických částeček v tekutině) – příklad náhodného - přírodního procesu - náhodném nahrazení středního bodu f (t) úsečky - dalším krokem aproximujeme pohyb lomenou čarou tak, že vychylujeme střední bod úsečky, ale již s menším rozptylem (př. Krajiny) Př.: model krajiny
38. Fraktály. Systémy IFS, L-systémy. Uveďte příklad IFS nebo L-systému na fraktálu - na př. kapradiny, stromu a pod.Výhody a nevýhody vzhledem k aplikacím. L–systémy (LOGO)– přepisování řetězců podle určitých pravidel - deterministický, bezkontextový G=[V,P,S] - generování rostlin, stromů, textur užití interace - Nedeterminální symbol - proměnná - znak z nějaké abecedy N, na něž lze aplikovat pravidlo. - Terminálním symbolem -znak z abecedy T, na který není možno aplikovat pravidlo -koncový - nepřepsatelný
- Startovní symbol je neterminální symbol, od kterého začíná přepisování. -Přepsání = aplikace pravidla tak dlouho, dokud je to možné (tj. dokud řetězec obsahuje neterminální symboly) -množina T = { +, - , f , ( , ) }, kde f=pohyb dopředu, + =otočení doprava o D, - =otočení doleva o D (=uložení stavu do zásobníku, )=vybrání stavu ze zásobníku. (u stromu se ukládá, u vločky ne) Př.:Szerpinského kobereček, Cantorovo diskontinum, Hilbertova křivka x a a 12 x1 b1 IFS – systém interovaných funkcí (deterministická i náhodná) w 1 = 11 ∗ + b x a a 2 21 - komprese bitmapových obrazů, generování fraktálů (např.: kapradina) 22 x 2 2 - základ metody - interaktivní proces kresby bodů na obrazovce Interakce = výpočet polohy „nového“ bodu z transformace bodu předcházejícího dle transform. předpisu. - každé afinní transformaci w můžeme přiřadit jediné reálné nejmenší možné číslo s Typ transformace: s < 1 je w kontrakcí; s = 1 je w symetrií; s > 1 je w extrakcí. Dynamické systémy – stavy měnící se v čase (deterministický chaos) - určeno f : f ( x ) -> X , kde nás budou zajímat posloupnosti dalších stavů v závislosti na x0 atraktor - množina stavů, k níž systém za určitých okolních stavů vždy konverguje podivný atraktor - stavy silně závislé na počátečním stavu (kutálení kuličky) - např.: růst populace – systém závisí na 1 parametru (ustálený, oscilující, chaotický) - v komplexní rovině – Juliova, Mandelbrotova množina 39. Principy počítačové animace. Využití. Využití: - technických disciplinách - "náhražka" reálných procesů; názornost a pod.; - výukové programy; - v umění - divadlo, film; - architektura - možnost simulování situace, která ještě nenastala ( na místo konstrukce pevných – nákladných modelů). Použití počítače: jak a ve kterých fázích lze použít počítač? Animace = náhražka reálné situace – simulace Základ animace - vytvoření snímku a jeho změna tak, aby se vytvořilo zdání pohybu. Prostředky: 1. rovinné - modelován pohyb objektů v prostoru a ten je potom "převáděn" - promítán do roviny. - pohyb jednotlivých objektů je dán tzv. uzlovými body dráhy, která je posléze interpolována - např.: posunutí, rotaci, měřítko, výřez 2. prostorové - 3D transformace např.: zastiňování těles - jedno druhým (problémy viditelnosti); - při znázorňování pohybu různých těles při různém pohybu - směru, rychlosti, čase a pod. Požadavky: - pohyb není rovnoměrný - přirozený "vzhledu" objektu (rozmělnění hran, neostrých přechodů světla-stín, neostré barvy a pod) - pohyb po jiných než rovinných plochách (kulové ploše); Počítačová 1. Vytváření obrázků a) digitalizaci nakreslené předlohy b) obrázek vytvořen pomocí grafického editoru počítače, po případě procedur a pod. c) obrázek "vytvořen" činností jiného vstupního či výstupního zařízení a počítačem "pouze" zpracován (scanner + další grafická editace + software na zpracování obrazu). 2. Vytváření iluze pohybu - Mezifáze pohybu generovány počítačem nebo postupně tvořeny přáním tvůrce. 3. Vybarvení -barevně lze snímky opravit dvojmo - k přirozenému (tedy méně "jasnému" obrazu) a opačně. 4. Snímání může být řízeno počítačem při vytváření animovaného filmu. Počítač simuluje pohyb kamery, její umístění ukládání obrázků a pod. 5. Konečná úprava. Synchronizace pohybu a zvuku, střih - editace a pod.Kdy použít počítač? Výhody - snadná editace … nelze vše vytvořit (snímky, …) Nevýhody - nákladné, odborné znalosti autorů i tvůrců Vlastní využití počítačů pro zlepšení Předpoklad : paměť(HW); rychlost (HW);grafické editory (SW). Vylepšení: maticový a grafický procesor; předesnímání (předpočítání) snímků; hrubší rastr omezit paletu barev.
40. Využití počítačů v animaci. Popište jednotlivé fáze animace. Vysvětlete pojmy: mezifáze, warping, morphing, tweeming.Využití křivek a ploch v animaci.Tvorba skeletu, dynamika pohybu, vybarvovací techniky. Modelování lidského těla, prutový tělesový model, stupně volnosti.
Barvy - stínování světlé, syté barvy … blízkost matné, šedé … vzdálené Snímání může být řízeno počítačem při vytváření animovaného filmu. Počítač simuluje pohyb kamery, její umístění ukládání obrázků a pod. Konečná úprava - Synchronizace pohybu a zvuku, střih - editace apod. Warping – přeměna objektu tvořeného křivkami na jiný objekt Morphing – přeměna objektu tvořeného bitmapou na jiný objekt Mezifáze – mezikrok jednotlivých sekvencí obrázků. jejich postupné vykreslení po předem určené trajektorii. - lze nahradit práci kresličů mezifází počítačem. Tweening - metoda přechodu od výchozí křivky ke konečné křivce rozfázováním - jedna křivka -> jedna křivka bod->bod, mezifáze jsou i intepolovány mezi fází1 a fází2 - zánik křivky -> „těžiště“ křivky (ne kdekoliv)
- více křivek: použití spline, coons, barvy, stíny,… - očísluji křivky a určím, která přejde v kterou - interpolace – přirazení objektů (vytvoření, zánik) - interpolace barvy pixelu – vzor->výsledek Dynamika pohybu – rovnoměrný=nepřirozený, proto P-přímka, kde symboly ° jsou od sebe o konstantní čas t - křivky pohybujícího se bodu – nutno interpolovat na známou funkci – úsečky Miursův alg. (čas, rychlost) Vybarvování: 1. Určení souřadnicemi příslušných pixelů v obrazové paměti – rychlější, velké plochy(pozadí) 2. Určení oblasti ve tvaru mnohoúhelníka, který je zadán vrcholy – viz. vyplnění uzavřené oblasti Skelet – pro interpolaci oblasti tak, aby nebyla interpolována - plocha rozdělena do čtyřúhelníkových oblastí a interpolace je prováděna pro každý čtyřúhelník Animace 3D – plocha je popsána sítí bodů, které se mění (dýchání, deformace) Modelování lidského těla – 1. Prutový model – systém prutů (úseček) vzájemně spojených – nevyhovující 2. Povrchový – tvořen rovinnými záplatami, umožňuje realizovat viditelnost plošek 3. Tělesový – tvořen základními geometrickými 3D objekty (válcový model, kulový, elipsoidy) - osy pohybu různých pohybů (posun, otočení, dotyk) – vykreslování mezifází počítačem, parametrické modely 41. Základní techniky počítačové animace. Požadavky na systém resp. programové prostředky pro počítačovou animaci jsou: - vytvoření modelu objektu - specifikace pohybu a synchronizace pohybu části scény; - vytvoření výsledného snímku s "reálným" dojmem. Požadavky na programovací jazyk: - strukturovaný popis objektů a možnost definicí operací nad objekty; - paralelní činnost objektů scény; - možnost komunikace objektů mezi nimi. Základní kroky konveční animace: 1. Vytvoření scénáře - na základě námětu. Určení obrazů scény. Ty potom rozdělit na jednotlivé záběry. Každý záběr charakterizovat "pohledem" kamery a pod. 2. Vykreslení konkrétní představy prostředí a "herců" dle scénáře. 3. Záznam zvukových efektů a hlasu "herců". 4. Vlastní animace. Výtvarník vytváří pro každý záběr výchozí (klíčové) fáze pohybu jednotlivých herců. 5. Vytváření jednotlivých mezifází pohybu. To jest vykreslení "meziobrázků" mezi jednotlivými fázemi pohybu. Každého "herce" zpracovává určitý výtvarník - programátor. 6. Vykreslení jednotlivých mezifází na materiály pro nasnímání kamerou (míněno na př.naceluloid pro TV). 7. Vybarvení pozadí i animovaných objektů. 8. Dynamická kontrola iluze dynamiky pohybu. 9. Snímání jednotlivých obrázků, fáze pohybu. 10. Editace, úpravy (střihy a pod.). Využití počítače - v bodech vytváření jednotlivých obrazů, užití transformačních funkcí, vytváření iluzí Základní techniky počítačové animace - animované filmy - tvorba grafickými editory (např.:GRAFEDIT) - potřebné programy a procedury (kresbu primitivů, tvorba větších celků – bloků – editace) - možností "doprogramování" dalších procedur pomocí "nižších" prog. jazyků (u AUTOCADu - LISP) - obsahují prostředky pro tvorbu modulů - objektů - pro potřebu kresliče - programátora. Např.: funkce SPLINE nebo BEZIER (z "kostry" bodů vytvoří "hladkou" křivku) 42. Grafické systémy.
Charakteristika systému - zaměřeno na uživatele - neprogramátora. Možnosti použití. Komunikace s uživatelem. Způsoby zadávání příkazů. Druhy menu, členění příkazů do jednotlivých menu. Vstupní a výstupní možnosti systému.
