TREFZEKERE INSTELBARE MINI-TREBUCHET
Projectbegeleider: Ria Callens Groepsleden: Adyns Christof Alliet Matthias Avet Frédéric Cools Sanne Van den Broeke Cedric
Academiejaar: 2013 – 2014 Module Multidisciplinair Ingenieursproject 1
Inhoudsopgave
1
Inleiding .......................................................................................................................... 3
2
Theoretische achtergrond............................................................................................... 4 2.1
2.1.1
Basiswerking .................................................................................................... 4
2.1.2
De baanvergelijking .......................................................................................... 4
2.2 3
Theorie .................................................................................................................... 4
Berekeningen .......................................................................................................... 5
Praktische uitwerking ..................................................................................................... 6 3.1
Trebuchet ................................................................................................................ 6
3.2
Doel ........................................................................................................................ 7
3.2.1
Chemisch aspect .............................................................................................. 7
3.2.2
Elektronisch aspect .......................................................................................... 8
3.2.3
Functioneel ontwerp ......................................................................................... 8
3.3
Kostprijsberekening ................................................................................................. 9
3.3.1
Kostprijs ........................................................................................................... 9
3.3.2
Nieuwprijs ........................................................................................................ 9
4
Resultaten .....................................................................................................................10
5
Besluit ...........................................................................................................................11
Literatuurlijst .........................................................................................................................12
2
1 Inleiding Een trebuchet is een middeleeuws wapen dat gebruikt werd om allerlei projectielen naar de vijand te schieten. In de Middeleeuwen werd er gebruik gemaakt van grote onnauwkeurige trebuchets. De opdracht bestaat eruit een mini-trebuchet te ontwerpen die instelbaar is om zeer nauwkeurig een doel op verschillende afstanden en hoogtes te raken. Met behulp van een theoretische studie die steunt op de schuine worp uit de fysica, werd de baan van het projectiel onderzocht. Hierbij konden de instelbare parameters worden bepaald. Gebaseerd op die kennis werd een trebuchet ontworpen die functioneel en nauwkeurig is. Het contragewicht werd als enige variabele behouden. Uit een reeks metingen met het ontworpen toestel werd een wiskundig model opgesteld. Door middel van dat model kan het contragewicht om een vooraf opgesteld doel te raken, berekend worden. Dat doel bevat chemische stoffen die een reactie met rookvorming veroorzaken bij inslag van het projectiel. Dat proces wordt gestuurd door een elektronische kring. Door een nauwkeurige trebuchet en een sluitend model op te stellen is het mogelijk om een opgegeven locatie te bereiken tot zelfs een oppervlakte van 100 cm² te raken.
3
2 Theoretische achtergrond 2.1 Theorie 2.1.1 Basiswerking Bij een trebuchet wordt gebruik gemaakt van gewichten die een verschillend moment veroorzaken. Er is namelijk een groot gewicht (contragewicht), klein gewicht (projectiel) en een arm die in een kleiner en groter stuk wordt verdeeld door het bevestigingspunt. Het contragewicht is bevestigd aan het kleinste deel van de arm. Het projectiel wordt in het lanceerdoekje van de slinger geplaatst. De ene zijde van deze slinger is vast bevestigd aan het uiteinde van de lange arm, de andere uiteinde wordt met een lus aan een haak gehangen. Een haak die onder een hoek bevestigd is aan het uiteinde van de lange arm (figuur 1). Bij lancering zal het contragewicht door de zwaartekracht met een versnelling van 9,81 m/s² naar beneden vallen. Hierdoor ontstaat er een moment rond het bevestigingspunt en zal er als tegenreactie ook een tegenmoment ontstaan van het projectiel (figuur 1). Het projectiel wordt hierdoor weggeslingerd. Wanneer de slinger los komt van het haakje zal het projectiel losgelaten worden. Dit projectiel heeft nu een beginhoogte en een beginsnelheid onder een hoek.
Figuur 1: Basisopstelling
2.1.2 De baanvergelijking De baan die het projectiel zal afleggen is afhankelijk van de beginhoogte, de beginsnelheid en de hoek waaronder de trebuchet het projectiel loslaat. De baanvergelijking wordt bepaald door de formules van een schuine worp. De baan heeft hierbij een parabolische vorm.
Figuur 2: Schuine worp
4
De beweging van het projectiel valt te herleiden tot een horizontale eenparige rechtlijnige beweging samengesteld met een verticale eenparige veranderlijke beweging met een negatieve versnelling. De snelheden zijn dan : (1)
met:
(2) vx = snelheidscomponent in de x-richting (m/s) vy = snelheidscomponent in de y-richting (m/s) v0 = beginsnelheid (m/s) α = lanceerhoek (°) t = tijd (s) g = valversnelling: - 9,81 m/s²
De bewegingsvergelijkingen zijn dan te vinden door de integraal te nemen van vergelijkingen (1) en (2) naar t : (3)
g *t ² 2
(4)
Door de bewegingsvergelijking voor x om te vormen naar t en dit te substitueren in de bewegingsvergelijking van y wordt de vergelijking voor de baan, een parabool, verkregen: (5) met:
y0 = beginhoogte (m)
2.2 Berekeningen Er zijn drie onbekenden in de algemene formule van een parabool, namelijk a, b en c. Om de vergelijking van de baan van het projectiel te verkrijgen zijn er drie verschillende meetpunten in de baan nodig. Het eerste punt werd gemeten op de grond. Voor het tweede punt werd een zandbak op een stoel geplaatst. Het laatste punt werd opgemeten door de inslag op een verticale plaat op korte afstand voor de trebuchet. Hierdoor worden drie paar coördinaten (x,y) verkregen. De horizontale as van het referentieassenstelsel valt samen met de grond en de verticale as snijdt de as van de arm. (6) De verschillende parameters (nl. a, b en c) die bij de parabool door de drie meetpunten horen kan gemakkelijk berekend worden met de functie 'polify' in Matlab of met een andere applicatie. Er worden verschillende parabolen bepaald die horen bij een specifieke massa van het contragewicht.
5
De drie parameters van de vergelijking (6) stemmen overeen met diegene uit de vergelijking van de schuine worp (5). (7)
Door a, b en c in te vullen kunnen de beginhoogte y0, de beginsnelheid v0 en de beginhoek α verkregen worden. De beginhoek en de beginhoogte zijn voor elk verschillend contragewicht constant. Tussen de beginsnelheid en de massa m (kg) van het contragewicht werd een lineair verband gevonden. (8) Met deze informatie is het mogelijk om de massa van het contragewicht te bepalen indien de coördinaten van een doelwit worden opgegeven. De parameter b en c wordt bepaald door respectievelijk de constante beginhoek α en beginsnelheid v0. De laatste parameter a kan gevonden worden door de coördinaat van het doelwit in te vullen. Hiermee is dus de vergelijking van de baan bepaald die door het doelwit gaat. Uit de parameter a van de vergelijking kan analoog de beginsnelheid v0 berekend worden. Door het verband (8) tussen beginsnelheid v0 en de massa m van het contragewicht, kan dan de massa berekend worden die nodig is om het gewenste punt te treffen.
3 Praktische uitwerking 3.1 Trebuchet Er zijn verschillende types trebuchets, zoals de 'merlin' en de 'floating-arm'. Na enkele prototypes werd besloten om te kiezen voor het standaardtype. Vervolgens werd uit proefondervindelijk onderzoek de instelbare factoren bepaald. Hiervoor werd een eenvoudig model opgebouwd waarmee drie zaken ingesteld konden worden, nl. de hoek waaronder de pin staat, de lengte van de lange arm en de massa van het contragewicht. Uit de resultaten is besloten dat de massa de beste optie is als instelbare parameter. Als basis is er nood aan stevig hout, zodat bij het afvuren de trebuchet op zijn plaats blijft staan. Er wordt gebruik gemaakt van zware eiken balken om dit te realiseren. Door gleuven in dit hout te frezen worden stevige vormverbindingen gemaakt. Met houtlijm wordt alles definitief vastgezet tot een mooie en stevige constructie. Een klein deel van een stalen profiel wordt gebruikt als container voor het
Figuur 3: Trebuchet
6
contragewicht. De onderkant wordt toe gelast met een plaat zodat een halfopen container verkregen wordt. Het grote voordeel van een stalen bakje is dat het een groot eigengewicht heeft. De container wordt aan een U-vormig stuk bevestigd met een as zodat het contragewicht kan slingeren. Ongewenst slingeren in andere richtingen wordt vermeden doordat de container wordt opgehangen aan beide kanten en niet aan een centraal ophangingspunt. Aan de andere kant van het U-vormig deel wordt de lange arm, die ook uit eikenhout bestaat, bevestigd aan de basis. Die wordt vastgezet met twee bouten om het gemakkelijk demonteerbaar te maken. De afmetingen van de trebuchet zijn dezelfde als die van een A4-papierdoos. Enkel de arm moet gedemonteerd worden om het geheel in de doos te krijgen. De constructie is zwaar en het volume werd maximaal benut, hiermee wordt onstabiliteit vermeden. Om te lanceren wordt een klein platform geplaatst aan de trebuchet (m.b.v. een penverbinding) waar een wasknijper op bevestigd is. Doorheen de wasknijper is een pin geplaatst. Onder de wasknijper wordt een lusje van het zakje bevestigd met deze pin. Door de wasknijper in te drukken kan de trebuchet gelanceerd worden. Deze optie zorgt ervoor dat de lanceringen telkens op dezelfde manier verloopt, wat een grotere precisie garandeert. Figuur 4: Afgewerkte trebuchet
3.2 Doel 3.2.1 Chemisch aspect De visuele bevestiging bij het treffen van het doel, zal doorgaan onder een chemische reactie met rookvorming. De reactie is een exotherme degradatiereactie van waterstofperoxide versneld met mangaandioxide als katalysator:
De reactie zal in een open fles doorgaan, geïntegreerd in het centrum van het doel. De fles mag geen grote opening bevatten om opspattingen van het reagens te vermijden. Ook wordt er geopteerd voor een glazen reactievat. Glas zal namelijk niet vervormen bij de warmte die zal ontstaan. De reactie zal doorgaan wanneer een permeabele papieren bundel gevuld met katalysator in de fles met oplossing terechtkomt. Een hoeveelheid van 70 ml zuurstofwateroplossing brengt theoretisch een volume zuurstofgas van 7,4 liter teweeg.
7
3.2.2 Elektronisch aspect De chemische reactie wordt aangestuurd met behulp van een elektronisch circuit. De centrale component in dat circuit is een Arduino. Die kan detecteren wanneer het projectiel de slagplaat raakt en de schakelaar ingedrukt wordt. Vervolgens stuurt de Arduino een motor aan waardoor een as van de motor begint te draaien. Rond die as is een koord bevestigd waaraan de katalysator hangt. Tijdens het draaien van de as, zal de koord zakken in de fles zodat beide producten samen komen en de chemische reactie van start kan gaan. Er is ook een extra schakelaar voorzien zodat de motor manueel kan worden geactiveerd om het koordje op of af te winden. Het detecteren van een Figuur 5: Basisschakeling ingedrukte schakelaar is gebaseerd op volgende methode (figuur 4): indien de schakelaar niet ingedrukt wordt, zal de stroom vloeien naar de Arduino. In het andere geval, wanneer de schakelaar ingedrukt wordt, zal de stroom wegvloeien naar de massa van de Arduino. Als de Arduino niets meer inleest, is de schakelaar ingedrukt en zal hij de motor aansturen om het touw op of af te winden. Dit principe werd drie keer toegepast (bij de schakelaar voor het raken van het doel en twee keer bij de manuele schakelaar om de motor in beide richtingen te kunnen laten draaien).
3.2.3 Functioneel ontwerp Tijdens het ontwerpen van de behuizing van het doel werd er rekening gehouden met een aantal vereisten zoals het inslagoppervlak, de elektronische elementen en de materiaalkeuze. Uit een reeks van ontwerpmogelijkheden, die staan weergegeven in bijlage A, werden de beste oplossingen geselecteerd om een functionele behuizing te bekomen. Er werd geopteerd voor een behuizing waarin het reactievat voor de chemische reactie centraal staat en omgeven wordt door de nodige elektronische aansturingselementen. Die elementen zijn optimaal verwerkt in de compartimenten van het doel. Door j-vormige uitsparingen in de houten tussenschotten voor de kabels te verzien, kunnen componenten gemakkelijk met elkaar worden verbonden en blijft het overzicht behouden. Het inslagoppervlak werd bevestigd aan een arm die op een schakelaar steunt. Hierdoor zal zelf bij een kleine drukkracht op de slagplaat de schakelaar worden ingedrukt en het elektrisch circuit worden aangestuurd. Bovendien kan de plaat gedraaid worden om de inslaghoek te regelen.
Figuur 6: Geopend doel
Figuur 7: J-vormige uitsparing
8
De focus van de behuizing van het doel ligt op functionaliteit. Alle onderdelen zijn verbonden met vormverbindingen. Zo kan het doel probleemloos worden gemonteerd of gedemonteerd zonder gereedschap of lijm. De dakpanelen kunnen eenvoudig worden losgemaakt zodat het reactievat of de elektronische componenten vervangen kunnen worden. Om de precisie van die vormverbindingen en de details van het ontwerp te realiseren, werden de houten onderdelen gemaakt met behulp van een lasercutter. Hiervoor werd MDF-hout gebruikt, omdat het goedkoop en gemakkelijk voor handen is. De arm van de slagplaat werd gemaakt uit een houtrestje en voor de assen werd K’nex gebruikt. Er wordt zeer goedkoop een functionele behuizing gemaakt die er ook heel mooi uitziet.
3.3 Kostprijsberekening 3.3.1 Kostprijs Alle onderdelen van de trebuchet zijn gemaakt uit gerecupereerd hout en metaal. Hierdoor kon de trebuchet kosteloos gemaakt worden. Ook de elektronische componenten waren al beschikbaar, die dienden dus niet aangekocht te worden. De enige kosten waren het aankopen van het MDF-hout en het laseren van het doel Tabel 1: Kostprijs
Component MDF-hout lasercutten doel Totaal:
totaal (€) € 3,60 € 10,00 € 13,60
3.3.2 Nieuwprijs Tabel 2: Nieuwprijs
Component Trebuchet Eiken balk 50x60x2700 Draadstang 1m rvs M10 Kleinnoden Doel K'nex motor Duvelfles (statiegeld) Arduino Schakelaar twee-fasige schakelaar Hout Laseren Batterijhouder 3x1.5V AA Batterijhouder 6x1.5V AA 70 ml H2O2-oplossing (1l, 30m%) < 1 g mangaandioxide (500 g, ~85%) Totaal:
aantal
eenheidsprijs (€)
totaal (€)
1 0,5 1
9,80 4,66 5
9,80 2,33 5,00
1 1 1 1 1 1 1 1 1
9,16 0,10 20,00 0,89 1,39 3,60 10,00 1,45 1,99
9,16 0,10 20,00 0,89 1,39 3,60 10,00 1,45 1,99
0,07 0,002
11,60 108,00
0,81 0,22 66,74 9
4 Resultaten Er zijn drie punten nodig om de vergelijking van de parabool op te stellen zoals besproken in de berekeningen. Elk punt wordt driemaal gemeten en hiervan wordt een gemiddelde bepaald. De tabellen in bijlage B bevatten alle meetresultaten. Met die drie punten wordt de vergelijking van de parabolische baan van het projectiel berekend. Deze bogen zijn weergegeven in de grafiek van figuur 8. Het verschil op herhaalde metingen bedraagt maximaal 0,53 m. En over alle metingen gezien is de maximale afwijking gemiddeld 0,20 m. 4
Verticale afstand y (m)
Massa 1 Massa 2
3
Massa 3 Massa 4 2
Massa 5 Massa 6 Massa 7
1
Massa 8 Massa 9 0 0
2
4
6
8
10
12
Horizontale afstand x (m) Figuur 8: Parabolische banen
Na omrekening wordt het verband tussen de massa van het contragewicht en de beginsnelheid uitgezet. De lineaire trend is duidelijk zichtbaar. 11
Beginsnelheid v0 (m/s)
10,5 10 9,5 9 8,5 8 7,5 7 1250
1450
1650
1850
2050
2250
2450
Massa tegengewicht m (g) Figuur 9: Verband massa en beginsnelheid
10
Met deze resultaten werd het model opgesteld waarmee de trebuchet ingesteld kan worden. Dat model is opgenomen in bijlage C.
5 Besluit De bekomen trebuchet is een standaard model vervaardigd uit massief hout. Om een degelijke herhaalbaarheid te garanderen, werd de trebuchet voorzien van een lossingsmechanisme dat een puntlossing van de slinger teweegbrengt. Steunend op de theorie van de schuine worp uit de fysica, worden berekeningen voor het model opgesteld. Bij invoeren van een gewenste afstand geeft het model het nodige contragewicht. Hiermee kan een doel op een afstand van 5 m tot 10,60 m geraakt worden. Het doel is opgebouwd in functie van de elektronische kring, het ontsteken van de chemische reactie en het praktisch hanteren van het doel. Bij treffen van het doel zal de inslag elektronisch vertaald worden in een beweging die een rookvormingsreactie in gang zet. Op basis van de resultaten is het mogelijk om een bepaald doelwit in te stellen. Bij meervoudige pogingen naar een doelwit wordt er een afwijking van ongeveer 0,20 m vastgesteld. Deze afwijking is te wijten aan omstandigheden die moeilijk in rekening te brengen zijn zoals de aanwezigheid van wind. In een meer uitgebreide studie zou een andere parameter, zoals de lengte van de werparm, ook onderzocht kunnen worden. Dit heeft potentieel om de nauwkeurigheid van de trebuchet te vergroten.
11
Literatuurlijst [1]
L. O Connor, "Building a better trebuchet," Mechanical Engineering, vol. 116, p. 66, Jan 1994
[2]
M. Denny, "Siege engine dynamics," European Journal of Physics, vol. 26, pp. 561577, Jul 2005.
[3]
D. B. Siano, "Trebuchet Mechanics," 2001.
[4]
J. O. West, S. Ross, and J. Flesher, "Rolling Release Siege Engines: Teaching and Old Machine a New Trick," Indiane State University.
[5]
G. Tural, "Amazing physics: learning about work, energy and projectile motion in a historical context," Physics Education, vol. 48, p. 336, 2013.
[6]
R. C. Hibbeler, Mechanica voor technici - Dynamica, 3e ed.: Pearson Benelux B.V., 2006.
[7]
M. A. Hasan, M. I. Zaki, L. Pasupulety, and K. Kumari, "Promotion of the hydrogen peroxide decomposition activity of manganese oxide catalysts," Applied Catalysis A: General, vol. 181, pp. 171-179, 5/3/ 1999.
[8]
P. E. Chevedden, L. Eigenbrod, V. Foley, and W. Soedel, "The Trebuchet," Scientific American, pp. 2-5, 2002.
12
Bijlage BIJLAGE A
ontwerpproblemen
oplossingen
behuizing voor elektronische en chemische elementen
een burcht die in het kader van het concept past
enkel zijwanden: alles zit in een ‘doosje’
vakjes creëren door gebruik te maken van tussenschotten met vormverbindingen
inslagoppervlak
op de behuizing: schuine wand van het dak
voor de behuizing: gebruik maken van een hefboom en een instelbare hoek
inslag op stuk stof verbonden met een draadje aan een schakelaar
vormgeving
dakpanelen zijn losneembaar van tussenschotten
dakpanelen aan elkaar bevestigen, maar los van constructie
plat deksel boven de elektrische elementen
materiaal- en productiekeuze
houtrestjes bewerken in het atelier
multiplex laseren met de lasercutter
MDF laseren met de lasercutter
Figuur : Ontwerpmatrix doel
13
BIJLAGE B
Tabel: Meetresultaten 1835
1935
Massa 2035 (g)
Meting 1 2 3 Gemiddelde Max. afwijking
x(m) 6.33 6.55 6.3 6.39 0.25
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
x(m) 7.7 7.93 7.85 7.83 0.23
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
x(m) 8.73 8.26 8.75 8.58 0.49
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
x(m) 9.09 9.23 9.15 9.16 0.14
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
Meting 1 2 3 Gemiddelde Max. afwijking
x(m) 5.78 5.75 5.8 5.78 0.05
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
x(m) 7.17 7.22 7.11 7.17 0.11
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
x(m) 7.94 7.87 8 7.94 0.13
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
x(m) 8.52 8.39 8.52 8.48 0.13
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
Meting 1 2 3 Gemiddelde
x(m) 0.4 0.4 0.4 0.40
y(m) 1.28 1.26 1.21 1.27
x(m) 0.3 0.3 0.3 0.30
y(m) 1.16 1.18 1.21 1.18
x(m) 0.3 0.3 0.3 0.30
y(m) 1.21 1.12 1.17 1.17
x(m) 0.3 0.3 0.3 0.30
y(m) 1.21 1.185 1.2 1.20
Grondmeting
1635
Meting Stoel
1355
Meting Plaat
Meting Plaat
Meting Stoel
Grondmeting
Massa (g)
2135
2235
2335
2436
x(m) Meting y(m) 9.65 1 0.045 9.7 2 0.045 9.63 3 0.045 9.66Gemiddelde 0.05 0.07Max. afwijking -
x(m) 9.9 10.13 10.43 10.15 0.53
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
x(m) 10.15 10.3 10.3 10.25 0.15
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
x(m) 10.36 10.62 10.4 10.46 0.26
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
x(m) 10.6 10.69 10.52 10.60 0.17
y(m) 0.045 0.045 0.045 0.05 -
x(m) Meting y(m) 9.08 1 0.894 9.11 2 0.894 8.85 3 0.894 9.01Gemiddelde 0.89 0.26Max. afwijking -
x(m) 9.42 9.47 9.32 9.40 0.15
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
x(m) 9.7 9.5 9.53 9.58 0.20
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
x(m) 9.52 9.74 9.82 9.69 0.30
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
x(m) 9.85 9.81 9.9 9.85 0.09
y(m) 0.894 0.894 0.894 0.89 -
x(m) Meting y(m) 0.3 1 1.1 0.3 2 1.08 0.3 3 1.16 0.30Gemiddelde 1.11
x(m) 0.3 0.3 0.3 0.30
y(m) 1.11 1.135 1.165 1.14
x(m) 0.3 0.3 0.3 0.30
y(m) 1.14 1.17 1.19 1.17
x(m) 0.3 0.3 0.3 0.30
y(m) 1.1 1.15 1.16 1.14
x(m) 0.3 0.3 0.3 0.30
y(m) 1.17 1.15 1.13 1.15
14
BIJLAGE C
Tabel: Modelvoorbeeld uitgewerkt op 8 m afstand op de grond
Geef plaats van inslag op: x(m) y(m)
8 0,045 0 Resultaten:
Parameter a Parameter b Parameter c Totale vergelijking Beginsnelheid Beginhoogte Lanceerhoek Maximale hoogte Plaats maximale hoogte Massa
-0,157 1,161 0,824 y= - 0,157 x² + 1,161 x + (m/s) 8,557 (m) 0,824 (°) 49,255 (m) 2,966 (m) 3,691 (g) 1685,678
0,824
4
verticale afstand y (m)
3
2
1
0 0
2
4
6
8
10
12
Horizontale afstand x (m) Figuur: Baan van behandeld voorbeeld
15
