Transzverzális állóhullámok. Egy kötél egyik végét hozzuk rezgésbe és változtassuk ennek a rezgésnek a frekvenciáját! Figyeljük meg, hogy mi történik

Transzverzális állóhullámok

Egy kötél egyik végét hozzuk rezgésbe és változtassuk ennek a rezgésnek a frekvenciáját! Figyeljük meg, hogy mi történik.

Legtöbb frekvencia esetén kaotikusan rángatódzott a kötél, de voltak olyan frekvenciák, ahol a hullámhegy nem futott végig a kötélen. A rezgésállapot nem terjedt, ezért az ilyen hullámokat állóhullámoknak nevezzük. Azokat a helyeket, ahol nyugalomban volt a kötél csomópontnak, azokat a helyeket pedig, ahol maximális amplitúdójú a rezgés, duzzadó helynek nevezzük. Vizsgáljuk meg az ilyen lineáris transzverzális állóhullámok tulajdonságait.

Két szomszédos csomópont közötti részt tartománynak nevezzük. Két szomszédos csomópont között minden pont ugyanakkor ér a maximális kitéréshez. Egy tartományon belül a fázis minden pontban ugyanaz. A szomszédos tartományokban a fázis ellentétes. Vajon hogyan alakulhatnak ki az állóhullámok? Csak bizonyos frekvenciák esetén láttunk állóhullámokat. A kötél mindkét vége rögzített volt. Az egyik végét kényszerrezgésben tartottuk. A másik végén visszaverődtek a hullámok. Az egyik végén indított és a másik végén visszaverődő hullámok összeadódnak (szuperpozíció). Ha az induló és a visszaverődő hullámok fáziskülönbsége állandó, akkor a hullámok interferálnak és állóhullám alakul ki. Ha a kiinduló és a másik végéről visszavert hullámok interferálnak, akkor állóhullám jön létre. Keressük meg, hogy milyen frekvenciák esetén jöhetnek létre állóhullámok.

1. Mindkét vég rögzített Ekkor csak olyan állóhullám alakulhat ki, amelynek mindkét végén csomópont van.

o   o  2L 2 c c o    o 2L

Az első lehetséges eset:

L

Határozzuk meg az a többi lehetséges frekvenciát!

L   1  1 

A második lehetséges eset:

c c  1 L

A harmadik lehetséges eset:

L

3 c c 3c  2  2    2 2 2 L 2 L 3

Keressünk egy olyan képletet, amely mindegyik esetre igaz! Rendezzük olyan alakba a képleteket, hogy összehasonlíthatók legyenek. o 

c c  o 2L

alap frekvencia

   c c c  2   3  2 2 2L  L 3  . 1 

c c c  2 1 L 2L

felharmonikusok

. .

Így már láthatjuk, hogy az n-edik felharmonikus az alapfrekvencia egész számú többszöröse:

n   n  1

c 2L

n  0;1 ;2;

Az index éppen megadja a belső csomópontok számát.

Olvasnivaló: A húros hangszerek Feladatok: 1. Ha egy gumikötelet olyan frekvenciával kezdünk rezegtetni, amilyen az állóhullámok kialakulásához szükséges, azonnal kialakulnak-e az állóhullámok?

2. Milyen hosszú az a kötél, amelynek a végét 10 hertzes frekvenciával rezegtetve állóhullámok alakulnak ki? A terjedési sebesség 4 m/s. 3. Egy húr 400 Hz alapfrekvenciával rezeg. Hol kell leszorítani, hogy 800 ill. 1200 Hz frekvenciájú hangot adjon? Megoldások

2. Az egyik végén rögzített kötél rezgései

A kötél rögzített végén indított hullámok a szabad végről visszaverődnek, és megfelelő frekvenciák esetén, a szuperpozíció során állóhullám alakul  ki. Két csomópont távolsága . Mindegyik esetben a kötél hossza a 2 hullámhossz negyedének egész számú többszöröse. Keressük meg a lehetséges frekvenciákat! Az alapfrekvenciánál a kötél hossza a hullámhossz negyede.

  4L  o 

c c   4L

Az első felharmonikus esetén:

L

3 4 c c 1  1  L  1  3 4 4 3 4L L 3

Az második felharmonikus esetén:

L

5  4



4 c c L  2  5 5 5 4L L 4

Most már leolvasható az n.-edik felharmonikus frekvenciája:

n   2n  1

c 4L

3. Pálcák állóhullámai Egy acéldróton vagy autó antennán tanulmányozhatjuk a rugalmas pálcák rezgéseit. A pálcánál a csomópontok távolsága nem egyforma. A felhangok az alaphangnak nem felharmonikusai. A feladatokban számoljatok úgy, mintha az lenne. Ha a pálca egyik vége sincs rögzítve, mindkét végen duzzadóhely lesz. Akkor is kialakulhatnak állóhullámok, ha nem a végén rögzítjük a pálcát. Olvasnivaló: A hangvilla

4. Egyik végén sem rögzített pálcák állóhullámai

o 

c c   o 2L

alap frekvencia

   c c c  2   3  2 2 L 2L  3  . 1 

c c c  2 1 L 2L

felharmonikusok

. .

n   n  1

c n  0;1 ;2; 2L

5. Zárt görbék állóhullámai Zárt görbék mentén akkor alakulnak ki állóhullámok, ha a hullámhossz egész számszor fér rá a kerületre.

6. Felületi állóhullámok Kialakulhatnak szappanhártyákon, gumilepedőn, rugalmas lemezeken. Lesznek olyan vonalak, ahol maximális a kitérés, és lesznek olyanok, ahol nincs rezgés (csomóvonalak).