Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie

Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie Jiří Podolský

Studijní text k prosemináři TMF069 „Proseminář teoretické fyziky Iÿ

Ústav teoretické fyziky Matematicko–fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze prosinec 2006

elektronická sazba: František Štrupl a Robert Švarc c Jiří Podolský

Obsah 1 Základy diferenciální geometrie 1.1 Variety a základní objekty na nich . . . . . . . 1.1.1 Pojem variety . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Funkce na varietě . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Křivky na varietě . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Vektory na varietě . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Formy na varietě . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tečný bandl, kotečný bandl . . . . . . . . . . . 1.3 Fíbrovaný prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Vektorové pole a jeho integrální křivky . . . . . 1.5 Tok Φt generovaný vektorovým polem . . . . . 1.5.1 Zobrazení push-forward a pull-back . . . 1.5.2 Lieův přenos funkce, vektoru a formy . 1.6 Lieova derivace LX . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Diferenciální 2-formy a jejich vztah k 1-formám

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

4 4 4 7 8 8 10 12 13 14 15 16 17 18 20

2 Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky 2.1 Fázový portrét: dynamický systém coby vektorové pole 2.2 Základní geometrické objekty Lagrangeova formalismu 2.3 Lagrangeovská vektorová pole na TQ . . . . . . . . . . 2.4 Geometrická podoba Lagrangeových rovnic . . . . . . 2.5 Teorém Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

23 23 26 27 28 31

3 Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky 3.1 Legendreova duální transformace . . . . . . . . . . 3.2 Jednotné souřadnice na T∗Q a symplektická matice 3.3 Geometrická podoba Hamiltonových rovnic . . . . 3.4 Fázový prostor coby symplektická varieta . . . . . 3.5 Poissonovy závorky geometricky . . . . . . . . . . . 3.6 Hamiltonovská verze teorému Emmy Noetherové . 3.7 Invariance symplektické formy . . . . . . . . . . . . 3.8 Kanonické transformace geometricky . . . . . . . . 3.9 Liouvilleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

34 34 37 38 39 40 41 42 42 44

A Další vlastnosti tečného bandlu TQ A.1 Symplektická struktura na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Hamiltonovská dynamika na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 46 47

B Časově závislé hamiltoniány B.1 Zavedení objektů na rozšířeném fázovém prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Pohybové rovnice a vztah k časově nezávislé mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Časově závislé kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 51 52 55

2

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

OBSAH

B.4 Geometrická interpretace Hamiltonovy–Jacobiho teorie . . . . . . . . . . . . . . . .

3 57

Shrnutí hlavních pojmů a notace

58

Anglický slovníček

60

Rejstřík

61

Literatura

64

Kapitola 1

Základy diferenciální geometrie Diferenciální geometrie je společným jazykem velké části moderní fyziky. Jedná se v podstatě o spojení geometrie a matematické analýzy, v níž jsou metody klasického kalkulu aplikovány na křivky, plochy a další geometrické objekty, přičemž zavedení pojmů a manipulace s nimi jsou oproštěny od konkrétních souřadnic.

1.1

Variety a základní objekty na nich

Fundamentálním pojmem diferenciální geometrie je varieta. Věnujeme proto následující odstavce jeho zavedení a zevrubnému popisu. Poté na varietách postupně vybudujeme strukturu: funkce, křivky a především vektory a 1-formy.

1.1.1

Pojem variety

Různé variety jsou arénou nejen klasické mechaniky, ale i mnoha dalších oborů fyziky a matematiky. Jmenujme například polní teorie (elektromagnetismus a další kalibrační pole), teorii relativity, prostory řešení diferenciálních rovnic či Lieovy grupy. Zcela obecně (a vágně) lze varietu charakterizovat jako „spojitý prostor, který je lokálně kartézský a lze na něm provádět derivováníÿ.1 Varietou tedy není například množina racionálních čísel. Názorná ilustrace: zemský povrch (globus) Příkladem jednoduché variety je zemský povrch. Můžeme ho idealizovat jako sféru, tedy spojitou zakřivenou dvourozměrnou plochu S 2 , pro kterou zjevně platí: • lokálně můžeme zavést mapy souřadnic (např. mapu Evropy, Asie, atd.) • mapy dohromady tvoří atlas pokrývající celou varietu S 2 • trajektorie (např. vlaku) je omezena jen na varietu • vůči jednotlivým mapám lze studovat nejen trajektorii, ale i rychlost nebo zrychlení, lze tedy derivovat a integrovat • údaje určené z jednotlivých map lze mezi mapami na jejich překryvech konzistentně převádět, příslušné veličiny jsou tak určeny globálně, tedy „bez ohleduÿ na konkrétní mapy. Zhruba řečeno je tedy varieta M dimenze n množina bodů, která je lokálně podobná kartézskému prostoru Rn , neboli okolí každého bodu může být parametrizováno n nezávislými souřadnicemi. 1 Nemusí

být přitom metrický, euklidovský, afinní, apod.

4

5

KAPITOLA 1. ZÁKLADY DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE

Přesněji — a to už je rigorózní matematická definice — varieta M je množina, jejíž každý bod P leží v nějaké otevřené množině2 U, která je spojitě vzájemně jednoznačně zobrazená na otevřenou podmnožinu Rn . Symbolicky to lze vyjádřit ∀ P ∈ M ∃ U ⊂ M taková, že P ∈ U, a ∃ spojité φ : U → Rn takové, že U ↔ φ(U) je jednoznačné, přičemž • φ nazýváme souřadnicové zobrazení • dvojici (U, φ) nazýváme mapa • číslo n nazýváme dimenzí variety M. Zobrazení φ přitom zavádí na U lokální souřadnicový systém, který je inverzním3 obrazem φ−1 kartézského systému Rn , neboli φ(P ∈ U) ≡ (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , kde x1 , . . . , xn představují souřadnice bodu P v lokální mapě.

Obrázek 1.1: Varieta M je pokryta (lokálními) mapami neboli zobrazeními φ z U do Rn . Jak jsme již uvedli na příkladě zemského povrchu, celá varieta M je pokryta atlasem, neboli souborem map. Požadujeme ovšem, aby v místech překryvu byl vztah mezi mapami (resp. jejich souřadnicemi) dostatečně hladký. Konkrétně: Nechť (U, φ) a (V, ψ) jsou dvě různé mapy, přičemž souřadnice bodu P ∈ U ∩ V n n −1 jsou φ(P ) = (x1 , . . . , xn ) a ψ(P ) = (y 1 , . . . , y n ). Tím je definováno zobrazení R → R : ψ(φ ), tedy explicitně y 1 (x1 , . . . , xn ), . . . , y n (x1 , . . . , xn ) . Toto zobrazení musí být dostatečně hladké4 pro všechny mapy atlasu a všechny překryvy. Odtud název „diferencovatelná varietaÿ.

2 Tento

systém otevřených množin tvoří z M topologický prostor. φ−1 existuje, protože φ je vzájemně jednoznačné.

3 Zobrazení

4 Technicky

to znamená splnění požadavku spojitosti parciálních derivací

∂r yi (∂xj )r

až do jistého řádu r. Hovoříme

pak o C (r) varietě. Obvykle hladkostí roumíme existenci spojitých derivací všech řádů.

6


Obrázek 1.2: Na překryvech U ∩ V definují souřadnicová zobrazení φ a ψ složené zobrazení ψ(φ−1 ) z Rn do Rn , po němž požadujeme, aby bylo hladké. Poznámky: • O dvou atlasech řekneme, že jsou ekvivalentní a definují stejnou varietu, pokud jejich sjednocení je opět atlas splňující všechny podmínky zformulované výše. Na jednom topologickém prostoru lze zavést i vzájemně neekvivalentní atlasy, které pak definují různé variety lišící se tzv. diferenciální strukturou. • Na diferencovatelné varietě lze vybudovat významnou rozsáhlou strukturu (funkce, křivky, vektory, formy, Lieovy derivace, atd.). V následujícím textu zavedeme jen ty pojmy, které budeme potřebovat. Příklady variet: • kružnice S 1 – atlas tvoří alespoň 2 mapy, například mapa (U, φ) odpovídá úhlu x ∈ (0, 23 π) a mapa (V, ψ) úhlu y ∈ (0, 23 π), viz obrázek. Na překryvech U ∩ V platí mezi těmito lokálními souřadnicemi vztahy y = x + π resp. y = x − π. To jsou evidentně hladké funkce, takže kružnice S 1 je hladká jednorozměrná diferencovatelná varieta (která je odlišná od R1 ). ) )

)

) )

)

)

)

)

)

)

)


7

– jiný atlas dvou map lze zavést stereografickou projekcí ze severního resp. jižního pólu

– v mechanice tvoří S 1 konfigurační varietu matematického kyvadla (konfigurační varieta je množina všech poloh daného systému) • sféra S 2 – atlas tvoří alespoň 2 mapy – lze ho zavést např. pomocí stereografické projekce – v mechanice tvoří S 2 konfigurační varietu sférického kyvadla • torus T 2 (anuloid) – atlas tvoří alespoň 3 mapy – v mechanice tvoří T 2 konfigurační varietu dvojkyvadla

1.1.2

Funkce na varietě

Funkcí f na varietě M nazýváme zobrazení f : M → R,

(1.1)

neboli situaci, kdy každému bodu P ∈ M je přiřazeno reálné číslo f (P ). V lokálních souřadnicích mapy (U, φ) lze funkci f reprezentovat jejím souřadnicovým vyjádřením f (φ−1 ) = f (x1 , . . . , xn ).

Obrázek 1.3: Funkce f na varietě M je zobrazení z M do R. Ilustrace: hustota obyvatel na Zemi, teplota bubliny foukané z rozžhaveného skla Je tedy vidět, že pojem funkce na varietě je přirozený a intuitivní, neboť s funkcemi na varietách se ve skutečnosti setkáváme docela často.


1.1.3

8

Křivky na varietě

Křivkou γ(t) na varietě M nazýváme diferencovatelné zobrazení γ : R → M,

(1.2)

kde t je spojitý reálný parametr a γ(t) je odpovídající jednorozměrná spojitá trajektorie na M. Přesněji řečeno, parametrická křivka γ(t) je hladké zobrazení Ω → M, kde Ω ⊂ R je otevřený interval. Symbolicky tedy t0 ∈ Ω → bod P ≡ γ(t0 ) ∈ M. V lokální mapě (U, φ) je okolí bodu P ∈ M parametrizováno souřadnicemi x1 , . . . , xn , takže křivka γ(t) je lokálně určena funkcemi (x1 (t), . . . , xn (t)).

Obrázek 1.4: Parametrická křivka γ(t) na varietě M je zobrazení z R do M. Ilustrace: železniční trať, řeka

1.1.4

Vektory na varietě

Vektor v v bodě P ∈ M je dán tečnou ke křivce γ(t) procházející bodem P . Vektor v má: • daný směr

(určený směrem křivky γ(t))

• danou velikost (určenou velikostí změny γ(t) se změnou t). Tečný prostor: Skrze každý bod P ∈ M procházejí různé křivky různých parametrizací. Množinu všech vektorů určenou těmito křivkami nazýváme tečným prostorem TP M k varietě M v bodě P . Důležité poznámky: • Zatímco křivky γ(t) leží v M, vektory v leží v TP M, nikoli ve varietě M. • Ve skutečnosti jsou vektory v ∈ TP M třídami ekvivalence tečen ke γ(t), neboť daným směrem a danou rychlostí prochází bodem P nekonečně mnoho různých křivek. Vektor v tedy ztotožňujeme s třídami ekvivalence křivek stejného směru a rychlosti.

9


• TP M je lineární vektorový prostor. • V každém bodě P ∈ M existuje báze TP M, tedy v = v i ei , kde (e1 , . . . , en ) jsou bázové vektory a v i jsou jednotlivé složky vektoru v v dané bázi (používáme sumační konvenci). • Vidíme, že dimenze TP M je rovna dimenzi M, tedy n.

Obrázek 1.5: Vektory v tečné ke křivkám γ(t) v bodě P variety M tvoří tečný prostor TP M.

Vektor coby diferenciální operátor: Uvažujme nyní: • hladkou funkci f na varietě M, • křivku γ(t) procházející bodem P ∈ M; ta určuje tečný vektor v ∈ TP M. Funkce f (γ(t)) : R → R tedy udává hodnotu f podél γ, přičemž parametr t je nezávislá proměnná. Nyní provedeme derivaci f „ve směru vektoru vÿ, neboli5 f (γ(t + ∆t)) − f (γ(t)) df (γ(t)) ≡ lim , ∆t→0 dt ∆t

(1.3)

kterou lze chápat jako lineární operaci, která funkci f přiřazuje v P číslo df dt . Můžeme tedy na vektor v nahlížet jako na diferenciální operátor operující na funkcích f ; odmyslíme-li si f , což je d libovolná hladká funkce, zbyde z derivace df dt samotný operátor dt . V lokální souřadnicové mapě i (U, φ) má křivka γ(t) vyjádření x (t), a v bodě P lze tedy psát v(f ) ≡ kde jsme označili v i ≡

dxi dt .

dxi ∂f df ∂f df (γ(t)) d = vi i , ≡ = f xi (t) = i dt dt dt dt ∂x ∂x

(1.4)

Odmyslíme-li si nyní f , dostáváme formálně operátor v≡

d ∂ = vi i . dt ∂x

(1.5)

Srovnáním s obecným výrazem v = v i ei , kde ei je báze TP M a v i jsou složky v vůči této bázi, je vidět, že ∂ ∂ je tzv. souřadnicová báze tečného prostoru TP M. , . . . , (1.6) ∂x1 ∂xn 5 Argument γ(t) popisuje bod P , zatímco argument γ(t + ∆t) popisuje bod, který leží na křivce γ mající tečnu v, a který má hodnotu parametru t zvětšenou o ∆t oproti hodnotě odpovídající bodu P . Symbolicky bychom mohli psát γ(t) ≡ P a γ(t + ∆t) ≡ P + v∆t.

10


∂ i Operátory parciálních derivací ∂x i zřejmě reprezentují tečné vektory k souřadnicovým čarám x , neboli jsou to derivace ve směru příslušných souřadnicových čar.

Příklad: Na sféře S 2 je tečným prostorem TPS 2 v bodě P rovina. Bázi tohoto vektorového pro ∂ ∂ . To znamená, že každý vektor v tečné rovině TP S 2 , ∂ϕ storu tvoří například dvojice vektorů ∂ϑ

lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektoru noběžky.

1.1.5

∂ ∂ϑ

ve směru poledníku a vektoru

∂ ∂ϕ

ve směru rov-

Formy na varietě

1-forma α v bodě P ∈ M je lineární funkcionál na vektorech z TP M, tedy platí α(v) = číslo ∈ R,

(1.7)

α(c1 v1 + c2 v2 ) = c1 α(v1 ) + c2 α(v2 ). Stejně jako vektor má i 1-forma svoji velikost a orientaci. Kotečný prostor: Všechny formy v bodě P ∈ M tvoří lineární vektorový prostor nazývaný kotečný prostor TP∗ M k varietě M v bodě P . Kotečný prostor TP∗ M je duální k TP M.

Obrázek 1.6: Kotečný prostor TP∗ M 1-forem je duální k tečnému prostoru TP M vektorů. Vztah vektorů a 1-forem: Vektory a 1-formy v bodě P ∈ M jsou navzájem duální. Jejich interakce je dána operací „působení 1-formy na vektorÿ z definice (1.7), kterou lze též chápat jako bilineární operaci zúžení (kontrakce), kterou označujeme hα, vi ≡ α(v). (1.8)

11


Výsledkem zúžení vektoru s 1-formou je tedy reálné číslo z definice (1.7). Reprezentujeme-li formu α pomocí vrstevnic6 a vektor v pomocí šipky, pak geometrický význam čísla hα, vi odpovídá počtu vrstevnic, které šipka protne. Záleží zjevně na jejich vzájemné orientaci a velikosti. Čím je 1-forma větší, tím jsou její vrstevnice hustší. Čím je vektor větší, tím delší je jeho šipka.

Bázi kotečného prostoru TP∗ M tvoří n 1-forem (ε1 , . . . , εn ) takových, že každou 1-formu z TP∗ M lze vyjádřit jako7 α = αi εi , kde αi představují složky α k této bázi. Obvykle za bázi 1-forem volíme tzv. duální bázi k bázovým vekorům (e1 , . . . , en ) v TP M definovanou předpisem hεi , ej i = δji .

(1.9)

Jako okamžitý důsledek (1.9) dostáváme následující vztahy hα, ej i = hαi εi , ej i = αi hεi , ej i = αi δji = αj , j

j

i

i

j

hε , vi = hε , v ei i = v hε , ei i = i

j

j

v i δij

(1.11)

i

(1.12)

=v ,

i

(1.10)

j

hα, vi = hαi ε , v ej i = αi v hε , ej i = αi v . Diferenciál funkce coby 1-forma:

Nejdůležitější 1-formou je diferenciál funkce. Je-li f hladká funkce na varietě M, potom diferenciál funkce f v bodě P ∈ M je forma df definovaná vztahem hdf , vi ≡ v(f ).

(1.13)

Zúžení 1-formy df s vektorem v tedy je právě derivace funkce f ve směru vektoru v ∈ TP M, viz vztahy (1.3), (1.4). Důsledek: Vezmeme-li za vektor v přímo vektory (1.6) souřadnicové báze TP M a za funkci f přímo souřadnice xi z mapy (U, φ), pak z definice (1.13) plyne hdxi ,

∂ ∂xi i ≡ v(f ) = = δji , ∂xj ∂xj

(1.14)

takže8 (dx1 , . . . , dxn ) je duální souřadnicová báze kotečného prostoru TP∗ M.

(1.15)

∂ i Geometricky: zatímco vektor ∂x i obvykle reprezentuje šipka ve směru souřadnicové čáry x , i i 1-forma dx je znázorněna množinou ploch (vrstevnic) x = konst.

Každou 1-formu z kotečného prostoru TP∗ M lze tedy psát α = αi dxi , přičemž platí (viz (1.10) a (1.11)), že ∂ αj = hα, i, (1.16) ∂xj v j = hdxj , vi. 6 Ve

více dimenzích je forma α reprezentována vrstevnicovými (nad)plochami. s v = vi ei . 8 Srovnej (1.14) s definicí duální báze (1.9). 7 Srovnej

(1.17)


12

Diferenciál df funkce f jako speciální 1-formu α lze ve složkách zapsat df = αi dxi , kde podle ∂f ∂ (1.13) je αi = hdf , ∂x i i = ∂xi , takže df =

∂f dxi ∂xi

(1.18)

a dále platí hdf , vi =

∂f i v. ∂xi

(1.19)

Geometrický význam: Diferenciál df odpovídá znázornění funkce f pomocí ekvipotenciál (v různých fyzikálních souvislostech zvaných též vrstevnice, izotermy, apod.). ∂f ∂f jsou souřadnicové složky 1-formy df ∈ , . . . , Poznámka: Ze vztahu (1.18) vidíme, že ∂x 1 ∂xn ∗ TP M. V prostorech se skalárním součinem (metrikou) lze s touto 1-formou asociovat vektor gradf ∈ TP M vyjadřující směr největšího růstu f , který je kolmý na ekvipotenciály, neboli gradf · v ≡ gki (gradf )k v i ,

(1.20)

kde

∂f . (1.21) ∂xj V kartézských souřadnicích v Rn je přirozená metrika triviální, totiž gki = δki , takže složky vektoru gradf jsou číselně rovny složkám 1-formy df. Proto se v základních kurzech fyziky (nepřesně) (gradf )k ≡ g kj

hovoří o vektoru gradientu, jehož složky jsou složky vždy.

1.2

∂f ∂f ∂x1 , . . . , ∂xn

, nikoli o 1-formě df , která má tyto

Tečný bandl, kotečný bandl

Tečný bandl S TM je sjednocení všech tečných prostorů TP M ve všech bodech P variety, tedy TP M. Je to opět varieta, jejíž dimenze je 2n. Každý bod z variety TM přitom TM ≡ P ∈M

představuje nějaký konkrétní tečný vektor v ∈ TP M v jistém bodě P ∈ M.

∗ M je sjednocení všech kotečných prostorů TP∗ M ve všech bodech P variety, tedy Kotečný bandl S T ∗ ∗ TP M. Každý bod z variety T∗M představuje nějakou konkrétní 1-formu α ∈ TP∗ M TM≡ P ∈M

v jistém bodě P ∈ M.

Obrázek 1.7: Tečný bandl TM je varieta všech tečných prostorů TP M (vlevo), zatímco duální kotečný bandl T∗M je varieta všech kotečných prostorů TP∗ M (vpravo).


13

Pro tečný bandl platí, že: • Bod Z ∈ TM jednoznačně určuje: 1. vektor v ∈ TP M (dané velikosti a orientace) 2. bod P ∈ M (v němž je v tečný k M). • Existuje přirozená projekce π : TM → M, přičemž platí π(Z) = P . ∂ • V lokálních souřanicích má bod P ∈ M souřadnice xi , vektor v má složky v i v bázi { ∂x i }.

• Bod Z ∈ TM má proto přirozené souřadnice (x1 , . . . , xn , v 1 , . . . , v n ), přičemž projekce je v souřadnicích dána jednoduše π(x1 , . . . , xn , v 1 , . . . , v n ) = (x1 , . . . , xn ). Podobnou strukturu má kotečný bandl, s tím rozdílem, že Z ∈ T∗M představuje konkrétní 1-formu α ∈ TP∗ M lokalizovanou v daném bodě P ∈ M. Jeho souřadnice jsou (x1 , . . . , xn , α1 , . . . , αn ), přičemž π(x1 , . . . , xn , α1 , . . . , αn ) = (x1 , . . . , xn ). Pravě díky existenci projekce π mají tečný bandl TM a kotečný bandl T∗M speciální strukturu. Jsou příkladem tzv. fíbrovaného prostoru.

1.3

Fíbrovaný prostor

Fíbrovaný prostor je vlastně zobecněním kartézského součinu. Nejsnáze lze podstatu fíbrované struktury přiblížit, pokud si představíme varietu B, do jejíhož každého bodu P ∈ B je jakoby „vlepenaÿ další varieta FP , viz obr. 1.8. Přitom musí platit, že variety FP jsou ve všech bodech P ∈ B difeomorfní 9 s nějakou společnou „typickouÿ varietou F , tj. pro ∀ P, P ′ ∈ B : FP ≃ FP ′ ≃ F . Varieta B se nazývá bázová varieta, F je typický fíbr a FP je fíbr v bodě P . Sjednocení [ F≡ FP (1.22) P ∈B

pak nazýváme totální prostor. Vztah mezi totálním prostorem a bázovou varietou je přitom dán přirozeným zobrazením FP → P , π:F →B (1.23) nazývaným kanonická projekce. Pojmem fíbrovaného prostoru tedy obecně rozumíme strukturu (B, π, F, F) zahrnující bázovou varietu, kanonickou projekci, typický fíbr a totální prostor.

Obrázek 1.8: Schématické znázornění fíbrované struktury. Navíc je ale ještě požadována tzv. lokální součinová struktura, tj. existence pokrytí Uα bázové variety B a soustavy difeomorfizmů ψα : π −1 (Uα ) → Uα × F,

(1.24)

takových, že πUα(ψα ) = π, přičemž zobrazením πUα je myšlena restrikce na Uα . Vágně řečeno, F (přinejmenším) lokálně vypadá jako součin B × F , až na to že fíbry FP mohou být vůči sobě trochu „zkroucenéÿ. Soustava zobrazení ψα se nazývá lokální trivializace. 9 Dvě variety nazýváme difeomorfní, pokud mezi nimi existuje bijektivní zobrazení f a přitom platí, že f a f −1 jsou hladká zobrazení.

14


Nejjednodušším fíbrovaným prostorem je zjevně tzv. součinová fíbrovaná varieta, kdy totálním prostorem je kartézský součin báze a fíbru, projekcí je projekce na první člen tohoto součinu: π : B × F → B.

(1.25)

Ilustrace: Jednoduchými příklady součinové fíbrované variety jsou válec a Möbiův pruh. V obou případech je bázová varieta B kružnice (varieta S 1 ) a typický fíbr F reálný interval (a, b).

Ilustrace: Příkladem fíbrované variety je také časoprostor. V Aristotelově pojetí jsou čas i prostor považovány za absolutní a časoprostor lze tudíž interpretovat jako čtyřrozměrnou varietu M4 definovanou kartézským součinem M4 = R × R3 , kde t ∈ R a r ∈ R3 . Kanonická projekce je dána π : R × R3 → R.

(1.26)

Naproti tomu Newtonův časoprostor, jenž je charakteristický absolutním časem avšak relativním prostorem10 , již není příkladem kartézského součinu času a prostoru. Přesto má fíbrovanou strukturu s kanonickou projekcí π : M4 → R, (1.27) kde M4 značí čtyřrozměrnou časoprostorovou varietu. Tato projekce přiřazuje každé časoprostorové události Z ∈ M4 odpovídající hodnotu času t = π(Z). Fíbrem je v tomto případě inverzní obraz π −1 (t), kde t ∈ R, tedy třírozměrný prostor v daném čase. Každý fíbr je difeomorfní s R3 . Fíbrovanou strukturu, avšak složitější, mají i Minkowského časoprostor speciální teorie relativity a zakřivený časoprostor Einsteinovy obecné teorie relativity.

1.4

Vektorové pole a jeho integrální křivky

Vektorovým polem ve fyzice intuitivně označujeme situaci, kdy je „v každém bodě prostoru definován vektorÿ. V preciznější geometrické formulaci to znamená, že ve všech tečných prostorech TP M variety M (fíbrech nad P ) existuje unikátní vektor XP , přičemž „pro blízké body P variety jsou vektory XP blízkéÿ. To nás přivádí k přesné definici. Definice: • vektorové pole X je hladký řez11 na tečném bandlu TM • pole 1-forem Θ je hladký řez na kotečném bandlu T∗M.

10 Platí 11 Řez

totiž známý Galileiho princip relativity. je hladké zobrazení X z M do TM takové, že π(X) je identické zobrazení na M, tedy π(X(P )) = P .

15


Pro další výklad je důležité, že každé vektorové pole automaticky generuje množinu tzv. integrálních křivek (ve fyzice v různých kontextech nazývaných „silokřivkyÿ, „proudniceÿ atd.): Definice: Integrální křivky vektorového pole X jsou křivky γ(t) takové, že tečný vektor ke γ(t) koinciduje s XP ∈ TP M, a to v každém bodě P ∈ M. Ilustrace: Integrální křivku můžeme přirovnat k turistické trase lemované orientačními šipkami udávajícími směr a dobu dalšího pochodu. Věta: Pro spojitá vektorová pole na diferencovatelné varietě integrální křivky existují. Důkaz: lze podat konstruktivně V lokálních souřadnicích (x1 , . . . , xn ) v okolí každého bodu P ∈ M musí platit dxi = X i (xk ) , dt

i = 1, . . . , n ,

(1.28)

i

1 n i k kde dx dt jsou složky tečného vektoru ke křivce γ(t) ≡ (x (t), . . . , x (t)) a X (x ) jsou složky vektorového pole X v bodě P , tedy XP . Tím dostáváme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu tvaru (1.28). Existence jejího řešení xk (t) je zaručena matematickou větou o (lokální) existenci.

⊠

Obrázek 1.9: Integrální křivky vektorového pole. Platí: • každým bodem P ∈ M prochází nějaká integrální křivka • integrální křivky vyplňují celou varietu (tvoří tzv. kongruenci, která je n − 1 rozměrná) • integrální křivky se mohou protínat jen v bodech kde X = 0 (tzv. singulární body).

1.5

Tok Φt generovaný vektorovým polem

Vektorové pole X tedy generuje integrální křivky γ(t). Celá kongruence (množina) těchto křivek definuje zobrazení variety M na sebe. Toto důležité zobrazení nazýváme tok generovaný polem X. Definice: Tok Φt generovaný vektorovým polem X je množina zobrazení Φt : M → M definovaných Φt : γ(t0 ) → γ(t0 + t).

(1.29)

16


To znamená, že každý bod P ≡ γ(t0 ) variety M je posunut podél křivky γ(t) generované polem d Φt (P ) = XP . X o vzdálenost parametru t do bodu P˜ ∈ M, kde P˜ = γ(t0 + t). Platí tedy dt t=0

Poznámky: • t je spojitý parametr množiny všech zobrazení Φt • Φ0 je identita • Φt1 +t2 = Φt1 ◦ Φt2 , což vyjadřuje skládání zobrazení • Φ−t je inverzní zobrazení k Φt . Vidíme, že tok Φt tvoří jednoparametrickou spojitou Lieovu grupu transformací na varietě M.

1.5.1

Zobrazení push-forward a pull-back

Definice: Hladké zobrazení Φ na varietě M indukuje důležitá tečná zobrazení na (ko)tečném bandlu:12 • Φ∗ na TM: push-forward (zobrazení „postrč vpředÿ vektor) • Φ∗ na T∗M: pull-back (zobrazení „stáhni zpětÿ formu) Konkrétně: nechť lokálně Φ : UP → UΦ(P )

(1.30)

zobrazuje body P ∈ UP ⊂ M na body Φ(P ) ∈ UΦ(P ) ∈ M, pak Φ∗ : TP M → TΦ(P ) M

(1.31)

zobrazuje vektor v tečný ke křivce γ na vektor w ≡ Φ∗ (v) tečný k obrazu Φ(γ) křivky γ. Naopak ∗ Φ∗ : TΦ(P M → TP∗ M (1.32) ) zobrazuje formu α na formu β ≡ Φ∗ (α) předpisem hβ, vi ≡ hα, wi, neboli hΦ∗ (α), viP ≡ hα, Φ∗ (v)iΦ(P ) .

(1.33)

Explicitně v souřadnicích platí Φ : xi → y j (xi ) , j ∂ i ∂y v , ∂xi ∂y j ∂y i α = αi dy i ⇒ β = βj dxj = Φ∗ (α) = αi j dxj . ∂x ∂ ∂ ⇒ w = wj j = Φ∗ (v) = v=v ∂xi ∂y i

Je tedy

∂y j , ∂xi i ∂y βj = αi j , ∂x

wj = v i

(1.34) (1.35) (1.36) (1.37) (1.38)

což vyjadřuje transformační vlastnosti vektoru resp. 1-formy při přechodu od souřadnic xi v okolí UP k souřadnicím y j v okolí UΦ(P ) . 12 Nemusí jít nutně jen o tok Φ , ale o libovolné hladké zobrazení Φ na varietě (tzv. difeomorfismus). Pro vzájemně t jednoznačné zobrazení Φ lze Φ∗ i Φ∗ invertovat.


17

Obrázek 1.10: Zobrazení Φ na varietě M přirozeně indukuje zobrazení Φ∗ (push-forward) na tečném bandlu TM a zobrazení Φ∗ (pull-back) na kotečném bandlu T∗M.

1.5.2

Lieův přenos funkce, vektoru a formy

Integrální křivky vektorového pole X definují tok Φt , což je hladké zobrazení a tudíž indukuje příslušná lineární zobrazení Φt∗ (push-forward ) a Φ∗t (pull-back ).13 Tato tři zobrazení lze použít k definici Lieova přenosu funkcí, vektorů a 1-forem. Definice: • Lieův přenos funkce f je nová funkce f˜ na varietě M definovaná přímo pomocí toku Φt generovaného polem X vztahem f˜(P˜ ) = f (P ) ,

kde

P˜ = Φt (P ) .

(1.39)

Funkce f˜ má tedy v bodě P˜ stejnou hodnotu jako původní funkce f v bodě P . ˜ definované vztahem • Lieův přenos vektorového pole Y podél pole X je nové pole Y ˜ P˜ ) = Φt∗ (Y(P )) . Y(

(1.40)

• Lieův přenos pole 1-forem α podél pole X je analogicky dán ˜ P˜ )) . α(P ) = Φ∗t (α(

(1.41)

Obrázek 1.11: Lieův přenos vektoru je push-forward zobrazení Φt∗ indukované tokem Φt , které je ˜ P˜ ) v bodě P˜ je definován jako tečna ke křivce Φt (δ(u)), generováno polem X. Konkrétně: vektor Y( kde δ(u) je křivka tečná k výchozímu vektoru Y(P ) v bodě P .

13 Inverzní

zobrazení k Φt∗ je Φ−t∗ a podobně inverzní zobrazení k Φ∗t je Φ∗−t .


1.6

18

Lieova derivace LX

Smyslem Lieovy derivace je charakterizovat změnu geometrického objektu ve směru (podél) vektorového pole X. Toho se docílí tím způsobem, že „od hodnoty veličiny v daném bodě odečteme hodnotu veličiny tam Lieovsky přenesené ze vzdálenosti t, tento rozdíl vydělíme t a provedeme limitu t → 0ÿ. Konkrétně tedy • Lieova derivace funkce f je funkce i 1h ˜ f (P ) − f˜(P˜ ) , t→0 t

LXf ≡ lim

(1.42)

• Lieova derivace vektorového pole Y je vektorové pole i 1h ˜ P˜ ) , Y(P˜ ) − Y( t→0 t

LXY ≡ lim

(1.43)

• Lieova derivace pole 1-forem α je pole 1-forem i 1h ˜ ˜ P˜ ) . α(P ) − α( t→0 t

LXα ≡ lim

(1.44)

Lze ukázat, že platí následující důležité vztahy: 1. Lieova derivace funkce je přímo rovna derivaci ve směru X: df = hdf , Xi. dt

(1.45)

LX(f Y) = (LXf )Y + f LXY , LX(f α) = (LXf )α + f LXα .

(1.46) (1.47)

LXf = X(f ) = 2. Platí, že

3. Pro Lieovu derivaci zúžení platí Leibnizovo pravidlo LXhα, Yi = hLXα, Yi + hα, LXYi.

(1.48)

4. Pro diferenciál platí LX(df ) = d(LXf ), tedy LXd = dLX.

(1.49)

5. Definujeme-li Lieovu závorku vektorových polí vztahem14 [X, Y] ≡ XY − YX,

(1.50)

LXY = [X, Y] .

(1.51)

pak platí Ukazuje se, že vektorová pole mají strukturu Lieovy algebry, tedy že: [c1 X1 + c2 X2 , Y] = c1 [X1 , Y] + c2 [X2 , Y] , [X, Y] = − [Y, X] , [[X, Y] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z, X] , Y] = 0 .

(1.52) (1.53) (1.54)

14 Zápis XY − YX má význam komutátorů operátorů daných vektory X a Y, tedy pro libovolnou funkci f platí (XY − YX)(f ) = X(Y(f )) − Y(X(f )).


19

6. Explicitní vyjádření ve složkách je ∂X i ∂ ∂Y i , Xj j − Y j j ∂x ∂x ∂xi ∂αi ∂X j LXα = X j j + αj dxi . ∂x ∂xi

LXY =

(1.55) (1.56)

Důkaz: 1. Tvrzení plyne ze vztahu (1.42), neboť užitím (1.29) a (1.39) je LXf = limt→0 1t [f (γ(t0 + t)) − f (γ(t0 ))], což je opravdu derivace funkce f ve směru X. 2. Vztahy dostaneme rozpisem podle definic (1.42), (1.43) a (1.44). ^ ˜ = hα, ˜ Yi 3. Důkaz plyne z definice užitím vztahu hα, Yi. Ten vyjadřuje skutečnost, že pokud ˜ ˜ ˜ Yi, kde všechny veličiny ve druhém výrazu jsou příslušné Lieovsky f = hα, Yi, pak f = hα, přenesené veličiny z prvního výrazu, což plyne z (1.33). 4. Lze dokázat z definice Lieovy derivace funkce (1.42). 5. Abychom ukázali platnost rovnice (1.51), využijeme vztahu (1.48) aplikovaného na α = df , tedy na 1-formu, která je diferenciálem funkce f . Platí hdf , LXYi = LXhdf , Yi − hLXdf , Yi = LXhdf , Yi − hdLXf , Yi = = LXY(f ) − hdX(f ), Yi = X (Y(f )) − Y (X(f )) = = (XY − YX)(f )

(1.57)

a opětovným užitím (1.13) také hdf , LXYi = (LXY)(f ).

(1.58)

Porovnáním vztahů (1.57) a (1.58) dostáváme LXY = XY − YX = [X, Y] ,

(1.59)

čímž je důkaz hotov. 6. První vztah dokážeme tak, že levou stranou (1.55) působíme na funkci f . Dále postupujeme rozepsáním podle (1.51), (1.50), přechodem ke složkám v souřadnicové bázi a přeznačením sčítacích indexů. Odmyslíme-li si nakonec funkci f , dostáváme požadovaný vztah: i ∂ j ∂ j ∂ i ∂ Y f −Y X f= (LXY)(f ) = X (Y(f )) − Y (X(f )) = X ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂2f ∂Y j ∂f ∂2f ∂X i ∂f = X iY j i j + X i i − Y jXi j i − Y j j = (1.60) j ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xi i i i ∂Y j ∂ ∂ ∂ j ∂Y j ∂X j ∂X f = X − Y − Y f . = Xi i ∂x ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Při důkazu (1.56) postupujeme opět rozepsáním do složek a přeznačením sčítacích indexů: LXα = LX(αi dxi ) = (LXαi )dxi + αi LXdxi = (LXαi )dxi + αi d(LXxi ) = i ∂αi i j ∂x j ∂αi = X j j dxi + αj dX j = dx + αi d X =X ∂xj ∂xj ∂x ∂X j j ∂αi dxi . + αj = X ∂xj ∂xi

(1.61)

⊠


1.7

20

Diferenciální 2-formy a jejich vztah k 1-formám

Definice: 1-forma α je lineární zobrazení: vektor X → číslo α(X), viz (1.7). Definice: 2-forma ω je bilineární antisymetrické zobrazení: dvojice vektorů X, Y → číslo ω(Y, X), neboli15 ω(Y, c1 X1 + c2 X2 ) = c1 ω(Y, X1 ) + c2 ω(Y, X2 ) , ω(X, Y) = −ω(Y, X) , ω(X, X) ≡ 0 .

⇒ pro Y = X platí :

∂ ∂ 16 Složky ω v lokální souřadnicové bázi ( ∂z 1 , . . . , ∂z 2n ) jsou sadou čísel ∂ ∂ ωαβ ≡ ω . , ∂z α ∂z β

Zjevně platí:

∂ ∂ ω(Y, X) ≡ ω Y α α , X β β = ωαβ Y α X β , ∂z ∂z

(1.62) (1.63) (1.64)

(1.65)

(1.66)

přičemž ωαβ = −ωβα v důsledku (1.63). Vztah 2-forma → 1-forma: • operace iX neboli vložení vektoru X do formy Definice: Pro 1-formu α(•) a vektor X definujeme iX α = α(X) . . . 0-forma (funkce) ,

(1.67)

tj. číslo totožné s kontrakcí hα, Xi. Pro 2-formu ω(•, •) a vektor X definujeme iX ω(•) = ω(•, X) . . . 1-forma ,

(1.68)

čekající na vektor Y, která po jeho dosazení za • dá příslušné číslo ω(Y, X). Ve složkách vzhledem k souřadnicím z α platí iX α = αβ X β (iX ω)α = ωαβ X β ,

(1.69) (1.70)

iX ω = (iX ω)α dz α .

(1.71)

iY iX ω(•, •) ≡ ωαβ Y α X β = ω(Y, X) .

(1.72)

kde Je tedy

15 Zavádíme

jen antisymetrické 2-formy, a proto zde pro ně užíváme jen zkrácené označení „2-formaÿ. indexy α, β, γ, . . . nabývají hodnot 1, 2, . . . , 2n odpovídající souřadnicím (z 1 , z 2 , . . . , z 2n ) v Hamiltonově formalismu (viz kapitola 3). 16 Řecké

21


Vztahy 1-forma → 2-forma: • operace vnější součin ∧ Definice: α ∧ β je 2-forma vzniklá z 1-forem α a β vztahem (1.73)

α ∧ β ≡ α ⊗ β − β ⊗ α, kde symbol ⊗ značí tenzorový součin. Jinými slovy, při působení na vektory Y, X je (α ∧ β)(Y, X) = α(Y)β(X) − β(Y)α(X) ≡ hα, Yihβ, Xi − hβ, Yihα, Xi .

(1.74)

– je to zjevně bilineární antisymetrické zobrazení, tedy 2-forma – evidentně platí, že α ∧ β = −β ∧ α ,

(1.75)

iX (α ∧ β) = (α ∧ β)(•, X) = α(•)β(X) − β(•)α(X) .

(1.76)

Ve složkách: – (dz α ) . . . tvoří bázi všech 1-forem – (dz α ∧ dz β ) . . . tvoří bázi všech 2-forem, neboli lze vyjádřit X 1 ω = 2! ωαβ dz α ∧ dz β = ωαβ dz α ∧ dz β ,

(1.77)

α<β

takže ω(Y, X) = 21 ωαβ (dz α ⊗ dz β − dz β ⊗ dz α )(Y, X) = = 21 ωαβ (dz α (Y) ⊗ dz β (X) − dz β (Y) ⊗ dz α (X)) = = 21 (ωαβ Y α Xβ − ωαβ Y β Xα ) = ωαβ Yα Xβ ,

(1.78)

což je konzistentní s (1.66). • operace vnější derivace d Jedná se o zobecnění diferenciálu funkce f

⇒

df =

∂f dz µ . ∂z µ

(1.79)

Definice: vnější derivace pole 1-forem je pole 2-forem dané vlastnostmi d(α + β) = dα + dβ , d(f β) = (df ) ∧ β + f dβ ,

(1.80) (1.81)

d2 = 0 .

(1.82)

Speciálně pro α = f dg tedy je dα = df ∧ dg. Existenci a jednoznačnost takto definované operace nejlépe vidíme ve složkách. Pomocí (1.80), (1.81) a (1.79) snadno dokážeme, že α = αµ dz µ

Všimněme si, že pro α = df = 2

∂f µ ∂z µ dz

⇒

dα =

∂αµ κ dz ∧ dz µ . ∂z κ

odtud dostáváme dα =

∂2f ∂z κ ∂z µ

(1.83)

dz κ ∧ dz µ = 0, neboť

f κ člen ∂z∂κ ∂z ∧ dz µ je antisymetrický. Vlastnost d2 f µ je symetrický v κ a µ, zatímco člen dz zavedená v (1.82) tedy odpovídá záměnnosti smíšených parciálních derivací funkce f .

Obdobně lze definovat také 3-formy a zobecnit vnější derivaci na 2-formy tak, že platí d(α ∧ β) = (dα) ∧ β − α ∧ (dβ) .

(1.84)


22

Na závěr ještě uveďme významnou identitu, která dává do souvislosti Lieovu a vnější derivaci. Cartanova identita LX = iX d + d iX .

(1.85)

Důkaz: Nechť p, q jsou libovolné funkce, potom • pro 1-formy α = p dq: Aplikujme Lieovu derivaci LX na 1-formu α a poté užijme Leibnizova pravidla pro derivaci součinu, záměnost Lieovy derivace a diferenciálu funkce viz (1.49) a definici diferenciálu funkce viz (1.13): LXα = LX(p dq) = (LX p)dq + p(LXdq) = = (X(p))dq + p d(X(q)) = hdp, Xidq + p d(hdq, Xi) .

(1.86)

K takto vzniklému výrazu přičtěme a současně odečtěme výraz hdq, Xidp a následně užijme definice vnějšího součinu po vložení X, tedy (dp ∧ dq)(X, •), viz (1.76) a vztahů hp dq, Xi = iX (p dq) a dp ∧ dq = d(p dq). Tedy LXα = hdp, Xidq − hdq, Xidp + (dp)hdq, Xi + p d(hdq, Xi) = = iX (dp ∧ dq) + d(phdq, Xi) = (iX d + d iX )(p dq) = (iX d + d iX )α .

(1.87)

• pro 2-formy tvaru ω = dp ∧ dq: Provedením obdobných úprav, užitím (1.87) a uvážením identity d2 ≡ 0, viz (1.82), spočteme LXω = LX(dp ∧ dq) = LX(d(p dq)) = d(LX(p dq)) = = d(iX d(p dq) + d iX (p dq)) = d iX (dp ∧ dq) + d2 iX (p dq) = = d iX ω = (iX d + d iX )ω,

(1.88)

protože iX dω = iX d(dp ∧ dq) = iX (d2 p ∧ dq − dp ∧ d2 q) = 0 .

(1.89)

• pro obecné 2-formy ψ = fj ω j : Díky linearitě a vztahu (1.88) platí LXψ = (LXfj )ω j + fj LXω j = (iX dfj )ω j + fj (iX dωj + d iX ω j ) = = (iX dfj )ω j − (dfj ) ∧ iX ω j + (dfj ) ∧ iX ω j + fj d iX ω j =

(1.90)

= iX [d(fj ωj )] + d(fj iX ωj ) = (iX d + d iX )ψ . ⊠

Kapitola 2

Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky V této kapitole ukážeme, že přirozenou arénou Lagrangeovy mechaniky je tečný bandl TQ konfigurační variety Q, a že dynamický vývoj je určen vektorovým polem X, které řeší Lagrangeovy rovnice v geometrickém tvaru LXθL = dL. Integrální křivky γ(t) tohoto pole určují fázový portrét daného systému. Zformulujeme a dokážeme významný teorém Emmy Noetherové, který dává do souvislosti symetrie Lagrangeovy funkce a zákony zachování.

2.1

Fázový portrét: dynamický systém coby vektorové pole

Fázový portrét je znázornění možného vývoje systému v grafu rychlost versus poloha, tedy v(x). Prostor parametrů (x, v) nazýváme též „rychlostní fázový prostorÿ. • jedná se o množinu křivek γ(t): každým nesingulárním bodem prochází právě jedna křivka • každá křivka je jednoznačně určena počátečními podmínkami (x0 , v0 ) • bod v rychlostním fázovém prostoru (x, v) určuje fyzikální stav systému Zmíněné křivky γ(t) vývoje systému lze chápat jako integrální křivky speciálního vektorového pole X, které nazýváme dynamické vektorové pole. To je (pro případ n = 1) určeno výrazem ∂ ∂ d =v +a , (2.1) dt ∂x ∂v kde v je okamžitá rychlost a a je zrychlení částice, jež je v konkrétním případě určeno Newtonovou pohybovou rovnicí ma = F . X=

Ve smyslu operátoru aplikovaného na libovolnou funkci f tedy platí df ∂f F ∂f =v + , (2.2) dt ∂x m ∂v takže složky dynamického vektorového pole v rychlostním fázovém prostoru s nezávislými souřad F nicemi x, v jsou X = v, m . Odtud lze určit integrální křivky γ(t) řešením soustavy rovnic X(f ) ≡

dxi = X i (xk ) , dt

(2.3)

viz rovnice (1.28), kde souřadnice jsou (x1 , x2 ) ≡ (x, v). Explicitně tedy je dx = v, dt F dv = . dt m 23

(2.4) (2.5)

KAPITOLA 2. GEOMETRICKÁ FORMULACE LAGRANGEOVY MECHANIKY

24

Řešením soustavy (2.4), (2.5) dostáváme časový vývoj systému x(t), v(t) v rychlostním fázovém prostoru. Příklad: volný pád : F = mg, takže (2.1) je X=v

∂ ∂ +g . ∂x ∂v

(2.6)

Integrální křivky fázového portrétu jsou paraboly. Opravdu, řešení určené rovnicemi (2.4), (2.5) je x = 21 gt2 + v0 t + x0 ,

v = gt + v0 ,

(2.7)

(kde v0 , x0 jsou integrační konstanty) takže vyloučením t dostáváme g x= 2

v − v0 g

2

+ v0

v − v0 g

1 2 v02 + x0 = . v + x0 − 2g 2g

(2.8)

Fázový portrét je znázorněn na obrázku 2.1.

Obrázek 2.1: Dynamické vektorové pole a fázový portrét volného pádu.

Příklad: harmonický oscilátor : F = −kx, takže X=v

∂ ∂ − ω2x , ∂x ∂v

kde ω 2 =

k . m

(2.9)

Integrální křivky jsou elipsy, tedy uzavřené křivky se singulárním bodem v x = 0, neboť řešení soustavy (2.4), (2.5) nyní je x = A cos(ωt + δ),

v = −Aω sin(ωt + δ),

(2.10)

(A, δ jsou konstanty) a vyloučením t opravdu dostáváme x 2 A

viz obrázek 2.2.

+

v 2 = 1, Aω

(2.11)


25

Obrázek 2.2: Dynamické vektorové pole a fázový portrét harmonického oscilátoru. Příklad: matematické kyvadlo: F = −mg sin ϕ. Rychlostní fázový prostor je nyní určen úhlovými ∂ ∂ parametry (ϕ, ω), takže dynamické vektorové pole X = ω ∂ϕ + ε ∂ω má tvar X=ω

∂ g ∂ − sin ϕ , ∂ϕ l ∂ω

(2.12)

neboť pohybové rovnice určují, že úhlové zrychlení ε = − gl sin ϕ. Fázový portrét je znázorněn na obrázku 2.3.

Obrázek 2.3: Dynamické vektorové pole a fázový portrét matematického kyvadla. Závěr: Vidíme, že řešení úlohy v teoretické mechanice je možné převést na nalezení odpovídajícího (unikátního) dynamického vektorového pole X v rychlostním fázovém prostoru. Pole X je přitom geometrický objekt, který existuje nezávisle na konkrétních souřadnicích rychlostního fázového prostoru. Lze tedy v principu použít libovolné zobecněné souřadnice konfigurační variety. Ukážeme nyní, že pole X je opravdu určeno geometricky, a to Lagrangeovými rovnicemi.


2.2

26

Základní geometrické objekty Lagrangeova formalismu

Výklad lagrangeovské mechaniky v jazyce diferenciální geometrie začneme definicí několika důležitých pojmů: • konfigurační varieta Q je varieta všech možných poloh (tvarů) daného systému parametrizovaná zobecněnými souřadnicemi (q 1 , . . . , q n ), přičemž n je počet stupňů volnosti systému • tečný bandl TQ, neboli rychlostní fázový prostor, je fíbrovaná varieta dimenze 2n parametrizovaná souřadnicemi (q 1 , . . . , q n , q˙1 , . . . , q˙n ), kde q 1 , . . . , q n určují souřadnice konkrétního bodu P na varietě Q a složky q˙1 , . . . , q˙n specifikují konkrétní vektor z tečného prostoru TP Q, ∂ ˙j označuje souřadnice, nikoli časovou derivaci funkce) neboli v = q˙j ∂q j (zdůrazněme, že q • Lagrangeova funkce L je skalární funkce na tečném bandlu TQ, tedy zobrazení1 L : TQ → R d na TQ je vektorové pole, které je určeno Lagrangeovou • dynamické vektorové pole X ≡ dt funkcí L; jeho integrální křivky γ(t) určují fázový portrét, tj. udávají časový vývoj systému.

Ilustrace: matematické kyvadlo Konfigurační varietou Q matematického kyvadla je kružnice, tedy varieta S 1 . Na jejím tečném bandlu TQ = TS 1 je definována Lagrangeova funkce L, která má v přirozených souřadnicích tvar L(ϕ, ϕ) ˙ daný (2.13) L = 12 ml2 ϕ˙ 2 + mgl cos ϕ. Ta jednoznačně určuje dynamické vektorové pole X, neboli daným bodem Z ∈ TS 1 prochází právě jedna integrální křivka s tečnou XZ odpovídající konkrétnímu vývoji, viz obrázek 2.4.

Obrázek 2.4: Integrální křivky na tečném bandlu TS 1 matematického kyvadla. Poznámka: Uvědomme si, že vektorové pole X ve skutečnosti leží v tečném bandlu T(TQ), nikoli přímo v TQ. V případě matematického kyvadla tedy v T(TS 1 ). Proto je to hladký řez na T(TQ). 1 Pokud je Lagrangeova funkce navíc také časově závislá, platí L : TQ × R → R. (Pokud neexistuje potenciál V , jsou působící síly popsány 1-formami ρ = Fi dxi = Qj dq j .)


2.3

27

Lagrangeovská vektorová pole na TQ

Cílem lagrangeovského popisu je nalézt unikátní křivku δ(t) na konfigurační varietě Q určující vývoj systému při daných počátečních podmínkách. Tuto křivku získáme projekcí π křivky γ(t) ležící na varietě TQ. Připomeňme, že tečný bandl TQ je fíbrovaný prostor s bází Q (viz kapitola 1.3), a proto δ(t) = π(γ(t)). V lokálních souřadnicích máme δ(t) ≡ (q 1 (t), . . . , q n (t)) a γ(t) ≡ (q 1 (t), . . . , q n (t), q˙1 (t), . . . , q˙n (t)). V daném bodě P ≡ δ(t0 ) ∈ Q přitom tečna ke křivce δ(t) určuje rychlost systému popsanou dqj ∂ ∂ vektorem v ∈ TP Q, jenž má v souřadnicové bázi tvar v = v j ∂q j = dt (t0 ) ∂qj . Tím je ovšem ∂ jednoznačně určen odpovídající bod Z ≡ γ(t0 ) ∈ TQ, neboť obecně musí platit v = q˙j (t0 ) ∂q j . Porovnáním obou vyjádření vektoru v pro každou hodnotu parametru t0 odtud dostáváme podmínky konzistence ve tvaru2 dq j (t) q˙j (t) = (2.14) . dt Pouze takové křivky γ(t) na TQ splňující vztah (2.14) mohou konzistentně odpovídat příslušné křivce δ(t) na Q — pak říkáme, že γ(t) je „zdvihemÿ δ(t), zatímco δ(t) je „projekcíÿ γ(t). V Lagrangeově geometrickém formalismu se tedy musíme omezit jen na speciální dynamická vektorová pole X na TQ, aby jimi generované integrální křivky γ(t) automaticky splňovaly podmínky (2.14). Protože obecně platí X(f ) ≡

df dq˙j (t) ∂f dq j (t) ∂f + , = dt dt ∂q j dt ∂ q˙j

(2.15)

viz (1.4), omezení daná (2.14) implikují X = q˙j

∂ ∂ + W j (q i , q˙i ) j , j ∂q ∂ q˙

(2.16)

neboť jsme identifikovali dq j = q˙j , dt dq˙j = W j (q i , q˙i ). dt

(2.17) (2.18)

Speciální vektorová pole3 tvaru (2.16) se nazývají pole druhého řádu. Dynamické vektorové pole v Lagrangeově popisu tedy musí být polem druhého řádu, aby dávalo konzistentní řešení pohybových rovnic. Rychlostní fázový prostor TQ má sice dimenzi 2n, ale díky implicitní vazbě (2.14) implikující (2.16) se efektivně redukuje na n nezávislých proměnných konfigurační variety Q. 2 j q˙j Pro danou trajektorii δ(t) ≡ (q 1 (t), . . . , q n (t)) na Q díky (2.17), (2.18) platí ddtq2 = ddt = W j, takže funkce W j vyjadřují složky okamžitého zrychlení systému. Dynamicky je toto zrychlení určeno pohybovými v zobecněných souřadnicích, tedy Lagrangeovými rovnicemi II. rovnicemi ∂L ∂L d druhu, neboli dt ∂ q˙i − ∂qi = 0, kde L(q j , q˙j ) je příslušná Lagrangeova funkce. Explicitním rozpisem úplné časové derivace v prvním členu dostáváme ∂ 2 L dq˙j ∂ 2 L dq j ∂L + − i = 0, j i j i ∂ q˙ ∂ q˙ dt ∂q ∂ q˙ dt ∂q

(2.19)

takže funkce W j jsou řešením lineární soustavy rovnic Aji W j = Ci − Bji q˙j , 2 Opět

(2.20) j

zdůrazněme koncepční rozdíl mezi funkcí q˙j (t), souřadnicí q˙j a derivací dqdt(t) funkce q j (t). že obecné (hladké) vektorové pole na TQ má tvar X = V j ∂∂qj + W j ∂∂q˙j , kde V j a W j jsou

3 Připomeňme,

libovolné (hladké) funkce souřadnic q i a q˙i . Pro pole druhého řádu je speciálně V j = q˙j .

28


kde Aji =

∂ 2L , ∂ q˙j ∂ q˙i

Bji =

∂2L , ∂q j ∂ q˙i

Ci =

∂L , ∂q i

(2.21)

jsou funkce na TQ určené Lagrangeovou funkcí.4 Vektorová pole X druhého řádu na TQ, tedy tvaru (2.16), kde funkce W j jsou dány vztahem (2.20), nazýváme lagrangeovská vektorová pole. Integrální křivky právě takových polí určují dynamiku soustavy v Lagrangeově formalizmu. Poznámka: Vektorové pole X druhého řádu lze definovat i v čistě geometrické řeči vztahem S(X) = ∆,

(2.22)

kde S je tzv. vertikální endomorfizmus a ∆ je Liouvillovo pole, což jsou kanonická tenzorová pole na tečném bandlu TM. Zde S je vertikální lift5 jednotkového tenzoru typu 11 , pro nějž platí ∂ ∂ ∂ = = 0, S dxj = 0, S dv j = dxj , (2.23) , S S j j j ∂x ∂v ∂v a ∆ je specifické vertikální pole6 , které má v lokálních souřadnicích tvar ∆ = vj

∂ . ∂v j

(2.24)

Aplikací (2.23) na vektorové pole v obecném tvaru X = V j (xi , v i )

∂ ∂ + W j (xi , v i ) j ∂xj ∂v

dostáváme S (X) = V j (xi , v i )

∂ . ∂v j

(2.25)

(2.26)

Je vidět, že geometrický vztah (2.22) implikuje V j = v j , a je tedy ekvivalentní soustavě dxj = vj , dt

dv j = W j (xi , v i ), dt

(2.27)

což odpovídá rovnicím (2.17) a (2.18).

2.4

Geometrická podoba Lagrangeových rovnic

Nyní můžeme přejít k otázce, jak nalézt zmíněné unikátní dynamické vektorové pole X příslušné dané Lagrangeově funkci L na tečném bandlu TQ. Ukážeme, že toto pole musí splňovat rovnici LXθL = dL,

(2.28)

což je geometricky vyjádřená Lagrangeova rovnice, jejíž význam si nejprve ozřejmíme. Levou stranu (2.28) tvoří Lieova derivace tzv. Lagrangeovy 1-formy podle námi hledaného vektorového pole X (které musí být druhého řádu). Lagrangeova 1-forma je speciální 1-forma na TQ definovaná v lokálních zobecněných souřadnicích výrazem θL ≡ 4 Matice

∂L j dq . ∂ q˙j

(2.29)

A je invertibilní když má nenulový determinant det A hessián; takový systém je nedegenerovaný. ` zvaný ´ lift je procedura, která z tenzorovného pole typu 11 na M vygeneruje tenzorové pole stejného typu na TM. Více informací lze nalézt např. v [3], kapitola 17.5. 6 Vertikálním polem nazýváme takové pole, které má pouze složky ∂ . ∂ vj 5 Vertikální


29

Všimněme si, že tato 1-forma, narozdíl od obecné 1-formy7 , má pouze složky tvaru dq j . Striktně vzato, jedná se o pole 1-forem, které jsou řezem T∗ (TQ). Důkaz platnosti rovnice (2.28). Uvažme Lieovu derivaci Lagrangeovy 1-formy podél obecného vektorového pole X. Aplikací Leibnizova pravidla dostaneme ∂L ∂L ∂L j = L dq j + j LX dq j . (2.30) dq LXθL = LX X j j ∂ q˙ ∂ q˙ ∂ q˙ Dále využijeme vztahu LXf ≡ X(f ) ≡ df dt , viz (1.45), a skutečnosti, že LX a d komutují, viz (1.49), j ∂L ∂L d ∂L dq d ∂L j = dq + dq j + j dq˙j . d (2.31) LXθL = dt ∂ q˙j ∂ q˙j dt dt ∂ q˙j ∂ q˙ d ∂L ∂L Nyní použijeme Lagrangeovy rovnice II. druhu v obvyklém souřadnicovém zápisu dt = ∂q j , ∂ q˙j které popisují dynamiku systému (viz přednáška OFY003). Díky nim ihned dostáváme LXθL =

∂L ∂L j dq + j dq˙j = dL, ∂q j ∂ q˙

(2.32)

kde v posledním kroku jsme použili výraz (1.18) pro diferenciál Lagrangeovy funkce L(q j , q˙j ). Tím jsme ověřili platnost vztahu (2.28) reprezentujícího Lagrangeovy rovnice v čistě geometrické řeči, tedy jako vztahu mezi geometrickými objekty na TQ, jenž je zcela nezávislý na souřadnicích. ⊠ Připomeňme znovu význam rovnice (2.28): pro zadanou Lagrangeovu funkci L (určující jak 1-formu θL , tak 1-formu dL) hledáme takové unikátní vektorové pole X druhého řádu, aby platil vztah (2.28). Integrální křivky γ(t) takového pole X pak určují fyzikální vývoj daného systému. Ilustrace: pohyb částice v potenciálu V (q) v jedné dimenzi Lagrangeova funkce má tvar L = 21 mq˙2 − V (q)

(2.33)

a pro Lagrangeovu formu (2.29) tedy platí θL = mq˙ dq.

(2.34)

dL = −V ′ dq + mq˙ dq. ˙

(2.35)

∂ ∂ + X2 , ∂q ∂ q˙

(2.36)

Dále je Naším cílem je nyní najít pole X = X1

takové aby platilo (2.28), přičemž X 1 = q˙ a funkci X 2 (q, q) ˙ hledáme. Obecně platí (1.56), tedy ∂X j ∂αi dxi , (2.37) LXα = X j j + αj ∂x ∂xi kde nyní α = θL , takže pro (x1 , x2 ) = (q, q), ˙ α = (α1 , α2 ) = (mq, ˙ 0) je 1 ∂α1 ∂X ∂X 2 ∂α1 dq + LXθL = X 1 + X2 + α1 + α2 ∂q ∂ q˙ ∂q ∂q ∂α2 ∂X 1 ∂X 2 ∂α2 X1 dq˙ + X2 + α1 + α2 ∂q ∂ q˙ ∂ q˙ ∂ q˙ ∂X 1 ∂X 1 = mX 2 + mq˙ dq + mq˙ dq. ˙ ∂q ∂ q˙ 7 Připomeňme,

že obecná 1-forma na TQ má tvar α = α1 dq 1 + . . . + αn dq n + β1 dq˙1 + . . . + βn dq˙n .

(2.38)


30

Porovnáním s dL z výrazu (2.35) již můžeme snadno vyjádřit obě složky hladaného vektorového pole X, neboť musí platit X 2 + q˙

1 ∂X 1 = − V ′, ∂q m ∂X 1 = 1. ∂ q˙

(2.39)

Protože X 1 = q, ˙ je druhá rovnice identicky splněna a první rovnice přímo určuje X 2 : X 1 = q, ˙ X2 = −

1 ′ V . m

(2.40)

∂ ∂x

(2.41)

Jako speciální ilustrace lze uvážit • volnou částici

Protože V = 0, q = x, je X = x˙

a integrální křivky γ(t) systému jsou dány diferenciálními rovnicemi dx = X 1 = x, ˙ dt dx˙ = X 2 = 0, dt

(2.42)

jejichž integrací dostáváme x˙ = v0 = konst. x = v0 t + x0 .

• volný pád

(2.43)

Potenciál je dán výrazem V (x) = −mgx, takže pole je dle (2.40) dáno X = x˙

∂ ∂ +g , ∂x ∂ x˙

(2.44)

z něhož dále dostáváme diferenciální výrazy pro integrální křivky dx = X 1 = x, ˙ dt dx˙ = X 2 = g, dt

(2.45)

jejichž řešením je x˙ = gt + v0 , x = 21 qt2 + v0 t + x0 .

(2.46)

31


2.5

Teorém Emmy Noetherové

Předpokládejme, že na TQ jsou dány: • L Lagrangeova funkce systému X

• X dynamické vektorové pole generující tok Φt Z

• Z další vektorové pole generující tok Φǫ . Pole Z na TQ odpovídá bodové transformaci na Q, tedy zobrazení q j → q ′k = q ′k (q j , ǫ). Bodová transformace na Q je generována vektorovým polem ZQ takovým, že Zk =

∂q′k ∂ǫ |ǫ=0 .

dqk dǫ

= Z k (q j ), neboli

Ilustrace: translace v ose x o vzdálenost ǫ je x′ = x + ǫ, y ′ = y. Generátorem této translace je ZQ =

∂ . ∂x

(2.47)

Ilustrace: rotace kolem počátku o úhel ǫ je r′ = r, ϕ′ = ϕ + ǫ. Generátorem této rotace je ZQ =

∂ . ∂ϕ

(2.48)

Vektorové pole ZQ = Z k ∂q∂k „žijeÿ na Q, zatímco pole Z je jeho rozšířením na TQ. Geometrický význam rozšíření pole ZQ na Z spočívá v tom, že zatímco pole ZQ generuje tok Φǫ na konfigurační varietě Q, pole Z generuje odpovídající tok (Φǫ , Φǫ∗ ) na tečném bandlu TQ, kde Φǫ∗ je příslušný push-forward tečného prostoru. To znamená, že integrální křivky pole Z jsou určeny (q j , q˙j ) → (qǫj , q˙ǫj ) ≡ Φǫ (q j ), Φǫ∗ (q˙j ) . Explicitní vyjádření pole Z najdeme následujícím způsobem. Pole Z musí být tvaru Z = Zk

∂ ∂ + Z˙ k k . ∂q k ∂ q˙

(2.49)

Zadáním Z k (q l ), což jsou složky ZQ , jsou složky Z˙ k již jednoznačně určeny. Musí totiž platit ∂Z k l d q˙ , Z˙ k = Z k q l (t) = dt ∂q l

(2.50)

kde q l (t) je souřadnicové vyjádření libovolné křivky určující tečný vektor v ∈ TP Q se složkami q˙l . (Výraz (2.51) odpovídá transformaci (1.35) složek vektoru pomocí zobrazení push-forward.) Pro Z tedy dostáváme ∂ ∂Z k l ∂ Z = Zk k + (2.51) q˙ . ∂q ∂q l ∂ q˙k Nyní již můžeme teorém Emmy Noetherové formulovat, a to následujícím způsobem:

32


Teorém:

Jestliže se hodnota Lagrangeovy funkce L nemění podél křivek Z, neboli LZ L = 0,

(2.52)

g = hθL , Zi

(2.53)

pak funkce g daná vztahem má stále stejnou hodnotu podél křivek X (tedy při vývoji systému), tj. platí LX g = 0,

(2.54)

což odpovídá definici integrálu pohybu. Abychom mohli ukázat platnost vysloveného teorému, dokážeme nejprve pomocné tvrzení: Lemma: Platí, že hθL , [Z, X]i = 0.

(2.55)

Důkaz lemmatu: Připomeňme, že vektorová pole X a Z jsou, viz (2.16) a (2.51), ∂ ∂ + Wj j , ∂q j ∂ q˙ ∂Z k l ∂ ∂ q˙ . Z = Zk k + ∂q ∂q l ∂ q˙k

X = q˙j

Také si uvědomme, že zde můžeme vynechat všechny členy tvaru viz definice (2.29), platí ∂ hθL , k i = 0, ∂ q˙ takže členy tvaru

∂ ∂ q˙k

(2.56) ∂ . ∂ q˙k

Opravdu: protože θL ∼ dq j , (2.57)

jsou v rámci tohoto důkazu dále irelevantní. Počítejme nyní komutátor8

[Z, X] ≡ ZX − XZ ≈ Z k

∂ q˙j ∂ ∂Z k l ∂ q˙j ∂ ∂Z k ∂ ∂Z k ∂ + q˙ − q˙j − Wj . k j l k j j k ∂q ∂q ∂q ∂ q˙ ∂q ∂q ∂q ∂ q˙j ∂q k

(2.58)

Ve výrazu (2.58) se nevyskytují členy obsahující druhé derivace, neboť se v komutátoru navzájem odečtou. Opravdu, obecně platí, že [a

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂b ∂ ∂2 ∂a ∂ ∂2 ∂ ,b ] ≡ a b −b a =a + ab −b − ba ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x ∂y∂x

a členy s druhou derivací (2. a 4. člen) se tedy odečtou. ∂ q˙j Výraz (2.58) můžeme dále upravit, uvědomíme-li si, že ∂q k = 0, Z k (q l ). Je tedy k ∂ ∂Z k l ∂ j ∂Z q ˙ − q ˙ . [Z, X] ≈ l k j ∂q ∂q ∂q ∂q k

∂ q˙j ∂ q˙k

= δkj a

∂Z k ∂ q˙j

(2.59)

= 0, protože (2.60)

Nyní již stačí jen přeznačit sčítací index j v druhém členu za l a ihned vidíme, že [Z, X] ≈ 0. Jak jsme tedy ukázali, komutátor [Z, X] má obecně jenom komponenty ∂∂q˙k , a v důsledku (2.57) musí platit hθL , [Z, X]i = 0, čímž je důkaz lemmatu dokončen. ⊠ 8 Právě

kvůli vynechání některých členů, které po zúžení s θL vypadnou, píšeme znaménko ≈ místo =.


33

Důkaz teorému Emmy Noetherové: Konečně můžeme elegantně s využitím právě dokázaného lemmatu ukázat platnost teorému, neboť užitím (1.48), Lagrangeových rovnic (2.28) a (1.51) je LX g = LXhθL , Zi = hLXθL , Zi + hθL , LXZi = = hdL, Zi + hθL , [X, Z]i = Z(L) + 0 ≡ LZL = 0.

(2.61) ⊠

Ilustrace: invariance L vůči translaci. Generátor translace je (2.47), tedy ZQ =

∂ = Z. ∂x

(2.62)

Například Lagrangeova funkce L = 12 m(x˙ 2 + y˙ 2 ) − V (y)

(2.63)

je vůči ní zřejmě invariantní, takže platí g = hθL , Zi = hmx˙ dx + my˙ dy,

∂ i = mx. ˙ ∂x

(2.64)

Rovnice (2.54) v tomto případě vyjadřuje zákon zachování hybnosti. Ilustrace: invariance L vůči rotaci. Generátor rotace je (2.48), tedy ZQ =

∂ = Z. ∂ϕ

(2.65)

Například pro Lagrangeovu funkci tvaru L = 21 m(r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 ) − V (r) dostáváme g = hθL , Zi = hmr˙ dr + mr2 ϕ˙ dϕ,

∂ i = mr2 ϕ, ˙ ∂ϕ

(2.66)

(2.67)

tedy teorém Emmy Noetherové implikuje zachování momentu hybnosti. Je ilustrativní podívat se na tutéž situaci také z pohledu kartézských souřadnic. V nich je generátor rotace x′ = x cos ǫ − y sin ǫ, y ′ = x sin ǫ + y cos ǫ dán ZQ = x

∂ ∂ −y , ∂y ∂x

(2.68)

takže Z již nemá stejný tvar jako ZQ : Z=x

∂ ∂ ∂ ∂ −y + x˙ − y˙ . ∂y ∂x ∂ y˙ ∂ x˙

Odtud pro L = 21 m x˙ 2 + y˙ 2 − V (x, y) dostáváme

g = hθL , Zi = hmx˙ dx + my˙ dy, Zi = m(xy˙ − y x), ˙

(2.69)

(2.70)

což je opět zákon zachování momentu hybnosti, nyní ovšem vyjádřený v kartézských souřadnicích.

Kapitola 3

Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky V této kapitole zjistíme, že přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově formulaci mechaniky geometricky odpovídá Legendreově duální transformaci mezi tečným bandlem TQ a kotečným bandlem T∗Q konfigurační variety Q. Poté ukážeme, že přirozenou arénou Hamiltonovy mechaniky je fázový prostor, který je vybaven symplektickou strukturou, to znamená, že na něm existuje symplektická 2-forma ω. Hamiltonovy rovnice mají tvar iX ω = dH, což je geometrická rovnice pro hamiltonovské vektorové pole X, jehož integrální křivky γ(t) určují vývoj systému ve fázovém prostoru. Ukážeme také geometrický význam Poissonových závorek a kanonických transformací.

3.1

Legendreova duální transformace

Velmi stručně řečeno, z geometrického hlediska můžeme oba zásadní přístupy k mechanice — Lagrangeův a Hamiltonův — shrnout takto: Lagrange: klíčová je funkce L na TQ, což je tečný bandl variety Q, Hamilton: klíčová je funkce H na T∗Q, což je kotečný bandl variety Q. Oba fíbrované prostory TQ a T∗Q jsou dobré nosiče dynamiky, neboť separují trajektorie vývoje, to znamená, že každým jejich bodem prochází právě jedna křivka vývoje γ(t). Přechod q˙j → pj , jak ho známe z klasických učebnic teoretické mechaniky, není pouhá ÿzměna souřadnicÿ na tečném bandlu TQ, ale je to (lokální souřadnicová) reprezentace zobrazení TQ → T∗Q ,

(3.1)

tedy identifikace vektoru v v bodě P (se složkami q˙j ) s odpovídající 1-formou Θ v tomtéž bodě P (se složkami pj ). Obecněji: záměna L ↔ H odpovídá zobrazení TQ ↔ T∗Q identifikující q˙j ↔ pj pomocí vztahů pj =

∂L , ∂ q˙j

q˙j =

34

∂H . ∂pj

(3.2)

KAPITOLA 3. GEOMETRICKÁ FORMULACE HAMILTONOVY MECHANIKY

35

Schematicky tedy platí

(q j , q˙j ) = Z ∈

R

R

↑L

↑H

TQ

T∗Q

←→

ցπ

∋ Z ∗ = (q j , pj )

πւ (q j ) = P ∈ Q

Vztah L(q j , q˙j ) ↔ H(q j , pj ) je přitom explicitně dán známým výrazem (viz OFY003) e j , pj ) , H(q j , pj ) ≡ pi q˙i (q j , pj ) − L(q

e j , pj ) je funkce L(q i , q˙i ), v níž je dosazeno q˙i (q j , pj ) inverzí pj = kde L(q

(3.3) ∂L ∂ q˙j

, viz (3.2).

Geometricky názorná interpretace vztahu mezi L a H

Pro jednoduchost uvažujme jen dimenzi n = 1 a potlačme psaní q (budeme však i nadále psát parciální derivace). Mějme tedy libovolnou funkci L(v) a po vzoru (3.3) zaveďme novou funkci H(p) = p v(p) − L(v(p)) ,

(3.4)

kde

∂L . (3.5) ∂v Lagrangeův a Hamiltonův popis je pak ekvivalentní vyjádření téhož grafu, viz obrázek 3.1, p(v) =

• buď dvojicí (v, L) ≡ (vodorovná osa, svislá osa), • nebo dvojicí (p, H) ≡ („směrnice tečnyÿ, „−absolutní člen tečnyÿ). Opravdu: obecná přímka je tvaru y = kx + q, zde tedy L(v0 ) = p0 v0 − H(p0 ), neboli H(p0 ) = p0 v0 − L(v0 ). Funkce L(v) je proto obalová křivka tečen parametrizovaných dvojicí (p, H(p)). Funkce L(v) a H(p) jsou ekvivalentní, neboť naopak platí L(v) = p(v)v − H(p(v)) .

(3.6)

∂v ∂L ∂v ∂H = v(p) + p − . ∂p ∂p ∂v ∂p

(3.7)

Opravdu, z (3.4) plyne

Protože ale

∂L ∂v

= p, dostáváme v(p) =

∂H . ∂p

(3.8)

Poznámky: • přechod L ↔ H daný vztahem (3.4) funguje dobře, dokud se v grafu neobjeví inflexní bod; 2 ∂p je tedy regulární jen v bodech, kde ∂v = ∂∂vL2 6= 0 2 • obecně lze Legendreovu transformaci (3.3) užít pokud je hessián det ∂ q∂˙j ∂Lq˙i 6= 0, viz také řešení rovnice (2.20)


36

Obrázek 3.1: Názorná ilustrace vztahu mezi L a H.

Další důsledky Legendreovy duality: Legendreovým obrazem Lagrangeovy 1-formy θL definované na TQ (přesněji θL ∈ T∗ (TQ)) vztahem (2.29), tedy ∂L (3.9) θL = j dq j , ∂ q˙ je významná Cartanova 1-forma θ 0 : Definice: kanonická Cartanova 1-forma θ0 na T∗Q (přesněji θ0 ∈ T∗ (T∗Q)) je definována vztahem θ 0 = pj dq j . (3.10) Její geometrická důležitost spočívá v tom, že • existuje globálně na celém T∗Q • nezávisí na konkrétní funkci L • je jednoznačně a přirozeně určena fíbrovanou strukturou kotečného bandlu T∗Q Podobně lze Legendreovu dualitu aplikovat i na integrální křivky dynamickéko vektorového pole d X ≡ dt určují vývoj daného systému. V Lagrangeově formalismu na TQ je XL = q˙j

∂ ∂ + W j (q i , q˙i ) j , j ∂q ∂ q˙

(3.11)

kde W j (q i , q˙i ) je kontrétní (obvykle složitá) funkce daná Lagrangeovými pohybovými rovnicemi viz (2.20). Naproti tomu ve formalismu Hamiltonově na T∗Q platí XH = kde

dqj dt

a

dpj dt

dq j ∂ dpj ∂ + , j dt ∂q dt ∂pj

jsou určeny Hamiltonovými kanonickými rovnicemi XH =

∂H ∂ ∂H ∂ − j . ∂pj ∂q j ∂q ∂pj

(3.12) dqj dt

=

∂H ∂pj

a

dpj dt

∂H = − ∂q j , tedy

(3.13)

Na T∗Q je proto vývoj systému určen trajektoriemi (q j (t), pj (t)), což jsou integrální křivky přiro∂H ∂H , − ∂q zeného vektorového pole XH = ( ∂p j ). j


3.2

37

Jednotné souřadnice na T∗Q a symplektická matice

Je výhodné zavést jednotné značení lokálních souřadnic na kotečném bandlu T∗Q dimenze 2n vztahem (z 1 , . . . , z n , z n+1 , . . . , z 2n ) ≡ (q 1 , . . . , q n , p1 , . . . , pn ), (3.14) tedy z j = qj , z j+n = pj ,

j = 1, . . . , n .

(3.15)

Prvních n parametrů představuje zobecněné souřadnice, zatímco druhá n-tice parametrů jsou odpovídající kanonicky sdružené hybnosti. Potom je možné Hamiltonovy kanonické rovnice přepsat do podoby ∂H , ∂z β+n ∂H z˙ β = − β−n , ∂z z˙ β =

β = 1, . . . , n ,

(3.16)

β = n + 1, . . . , 2n .

(3.17)

Oba výrazy jsou stejné až na znaménka. Nabízí se proto zavést tzv. symplektickou matici ωαβ typu 2n × 2n, jejíž prvky jsou 0, +1 nebo -1 dle „blokovéhoÿ předpisu   0 . . . 0 −1 . . . 0  .. .. .. ..  ..  . . . . .     0 -I 0 . . . 0 0 . . . −1   ωαβ = ≡ (3.18)  1 ... 0 0 ... 0  , I 0    . . .. ..  . . ...  .. . .  0 ... 1

0

0

...

kde I je jednotková matice typu n × n, I = diag(1, . . . , 1). Inverzní matice k ωαβ je zjevně 0 I ω βα = (3.19) , -I 0 neboť ωαβ ω βγ = δαγ , neboli

0 I

-I 0

0 I -I 0

=

I 0 0 I

.

(3.20)

Je vidět, že obě matice ωαβ a ω αβ jsou antisymetrické, ω αβ = −ω βα ,

ωαβ = −ωβα ,

(3.21)

a že jsou navzájem transponované. Užitím jednotných souřadnic a symplektické matice mají Hamiltonovy kanonické rovnice (3.16), (3.17) na T∗Q jednotný tvar ∂H ωαβ z˙ β = α , (3.22) ∂z neboli naopak z˙ β = ω βα

∂H . ∂z α

(3.23)

Snadno se přesvědčíme, že například α = 1 ⇒ β = n + 1, tedy z β = z n+1 = p1 , takže ω1β z˙ β =

∂H ∂z 1

⇔

−p˙ 1 =

∂H ∂q 1

atd.


38

Podobně lze pomocí symplektické matice vyjádřit: • dynamické vektorové pole (3.12), (3.13) XH = z˙ β • Poissonovu závorku {f, g} ≡

∂f ∂g ∂qj ∂pj

−

∂H ∂ ∂ = ω βα α β ∂z β ∂z ∂z

(3.24)

∂f ∂g ∂pj ∂qj

{f, g} =

∂f βα ∂g ω ∂z β ∂z α

(3.25)

Speciálně pro f = z β a g = z α dostáváme fundamentální Poissonovy závorky tj. {z β , z α } = ω βα ,

(3.26)

neboli v obvyklých kanonicky sdružených proměnných

3.3

{q j , q k } = 0 ,

{q j , pk } = δkj ,

{pj , pk } = 0 ,

{pj , q k } = −δjk .

(3.27)

Geometrická podoba Hamiltonových rovnic

Nyní postoupíme dále v geometrické formulaci Hamiltonovy mechaniky. Ukazuje se totiž, že sym0 -I plektickou matici ωαβ = lze chápat jako souřadnicové složky symplektické 2-formy ω I 0 na kotečném bandlu T∗Q. Právě tato symplektická forma ω tvoří centrální geometrický pojem hamiltonovského přístupu. (Zavedení obecných 2-forem je v kapitole 1.7.) Definice: symplektická forma je 2-forma ω, která je • uzavřená

. . . dω = 0

• nedegenerovaná . . . iX ω = 0 ⇔ X = 0 Přenásobením obou stran Hamiltonových kanonických rovnic (3.22) bázovou 1-formou dz α a vysčítáním přes α dostáváme vztah ωαβ z˙ β dz α =

∂H α dz , ∂z α

(3.28)

kde ωαβ jsou složky 2-formy ω, viz (1.65), a z˙ β jsou složky dynamického vektorového pole X příslušejícího H, viz (3.24). Jak je vidět z (1.70) a (1.71), celá levá strana odpovídá 1-formě, jež vzniká vložením dynamického vektorového pole X do symplektické 2-formy ω. Pravá strana je 1-forma dH, tedy diferenciál Hamiltonovy funkce. Vztah (3.28) vyjadřuje vztah mezi 1-formami, který můžeme oprostit od konkrétních souřadnic na T∗Q. Hamiltonovy kanonické rovnice v čistě geometrické řeči tedy mají velmi elegantní tvar iX ω = dH.

(3.29)

Vyjádřeno slovy, vývoj systému je určen integrálními křivkami takového vektorového pole X, které vložením do symplektické 2-formy ω dá právě diferenciál dané Hamiltonovy funkce.

39


3.4

Fázový prostor coby symplektická varieta

Nyní je klíčové si uvědomit, že na fázovém prostoru1 je symplektická forma ω přirozeně definovaná, a to vztahem ω = dθ0 , (3.30) kde θ0 je kanonická Cartanova forma, zavedená výrazem (3.10). Explicitně v souřadnicích na T∗Q tedy platí θ0 = pj dq j

(3.31)

ω = dpj ∧ dq j

(3.32)

Ověření: • uzavřenost ω plyne přímo z (3.30) a vlastnosti (1.82): dω = d(dθ 0 ) = d2 θ0 ≡ 0 • z definice vnější derivace 1-formy plyne ω = dθ0 = d(pj dq j ) ≡ dpj ∧ dq j • ve složkách je (3.31) explicitně ω = dp1 ∧ dq 1 + . . . + dpn ∧ dq n = −dq 1 ∧ dp1 − . . . − dq n ∧ dpn = = −dz 1 ∧ dz n+1 − . . . − dz n ∧ dz 2n , takže srovnáním s (1.77), neboli ω =

P

α<β

ωαβ dz α ∧ dz β , dostáváme ωαβ =

což je právě symplektická matice (3.18). • protože

det(ωαβ ) = det

0 I

-I 0

= 1 6= 0 ,

(3.33) 0 -I , I 0

(3.34)

inverzní matice ω βα existuje, a proto je 2-forma ω nedegenerovaná ⊠ Forma (3.30), tedy explicitně (3.32), je tudíž opravdu symplektická. Symplektická forma ω je důležitá především tím, že konvertuje vektory na 1-formy. Nechť je X vektor a σ je jemu přiřazená 1-forma, pak lze symbolicky psát: X

−→ ω♯

σ ∈

∈ TP M

ω♭ ←−

TP∗ M

kde jsme označili2 zobrazení z vektorů do 1-forem jako ω♭ , a naopak zobrazení z 1-forem do vektorů jako ω♯ , tedy ω♭ : ω♯ :

X→σ: σ→X:

σ = ω ♭ (X) ≡ ω(•, X) ≡ iX ω X = ω ♯ (σ) ,

(3.35) (3.36)

kde ω♯ je inverzní k ω ♭ . Vztah mezi X a σ je přitom jednoznačný díky nedegenerovanosti ω. 1 Pod fázovým prostorem zde rozumíme kotečný bandl T∗Q. Později ale ukážeme (viz kapitola 3.8 věnovaná kanonickým transformacím), že specifickou fíbrovanou strukturu T∗Q lze ve skutečnosti ignorovat, a proto již na tomto místě zavádíme obecnější pojem fázového prostoru. 2 Značení odpovídá běžné hudební notaci: „béčko ♭ÿ snižuje tóny, zatímco „křížek ♯ÿ tóny zvyšuje, což je analogické tomu, že složky vektorů, které mají horní indexy, přecházejí na složky 1-forem, které píšeme s indexy dole, viz (3.38), (3.39).


40

Platí tedy: • složení ω♭ a ω ♯ je identita: ω♭ ω ♯ = identita = ω ♯ ω ♭

(3.37)

σα = ωαβ X β X β = ω βα σα

(3.38) (3.39)

• ve složkách platí

• specielně na T∗Q s přirozenými souřadnicemi (q j , pj ) máme ∂ ∂q j ∂ ∂pj

♯

←→

♭

dpj

(3.40)

♯

←→

♭

−dq j

(3.41)

Díky této symbolice můžeme Hamiltonovy kanonické rovnice (3.29) iX ω = dH přepsat do podoby ω ♭ (X) = dH ,

(3.42)

X = ω♯ (dH).

(3.43)

neboli To je explicitní výraz pro dynamické vektorové pole X, které jednoznačně určuje vývoj systému pro danou Hamiltonovu funkci H. Obecně se pomocí symplektické formy ω zavádí tzv. hamiltonovské vektorové pole, které je přiřazeno libovolné funkci f na fázovém prostoru. Definice: hamiltonovské vektorové pole Xf vůči dynamické proměnné f je taková pole, že iXf ω = df,

(3.44)

Xf = ω ♯ (df ) ,

(3.45)

ω(•, Xf ) = df .

(3.46)

neboli neboli Přiřazení vektorového pole Xf funkci f je jednoznačné. Zdaleka ne každé pole je ale hamiltonovské.

3.5

Poissonovy závorky geometricky

Symplektická forma ω je úzce svázána s Poissonovými závorkami, neboť geometrická podoba Poissonových závorek je {f, g} = ω(Xg , Xf ) = −ω(Xf , Xg ) ,

(3.47)

kde Xg je Hamiltonovské pole vůči g, zatím co Xf je Hamiltonovské pole vůči f . Důkaz: Nechť dle (3.44) Xg = ω ♯ (dg) ,

Xf = ω ♯ (df ) ,

(3.48)

41


neboli ve složkách, viz (3.39), Xgβ = ω βα

∂g , ∂z α

Xfγ = ω γδ

∂f . ∂z δ

(3.49)

Pak s využitím (3.25) ω(Xg , Xf ) = ωβγ Xgβ Xfγ = ωβγ ω γδ

∂f ∂g ∂f βα ∂g ω = β ω βα α ≡ {f, g} . δ α ∂z ∂z ∂z ∂z

(3.50) ⊠

Z geometrické definice (3.47) okamžitě pro Poissonovy závorky plyne • antisymetrie • bilinearita • z uzavřenosti symplektické formy (dω = 0) plyne také Jacobiho identita takže struktura Poissonových závorek {•, •} tvoří Lieovu algebru na symplektické varietě. Navíc platí tyto vztahy: {f, g} = ω(Xg , Xf ) = iXg ω(•, Xf ) = iXg (df ) ≡ hdf , Xg i = Xg f = LXgf ,

(3.51)

tedy {f, g} = LXg f ,

{g, f } = LXf g ,

(3.52)

takže LXg f = −LXf g.

3.6

(3.53)

Hamiltonovská verze teorému Emmy Noetherové

V kapitole 2.5 jsme odvodili lagrangeovskou formulaci teorému Noetherové. Stručně řečeno, pokud LZ L = 0, pak LX g = 0, kde g = hθL , Zi. Jinými slovy, veličina g je v takovém případě integrálem pohybu, protože se nemění podél integrálních křivek dynamického vektorového pole X. Hamiltonova verze teorému Emmy Noetherové je mnohem elegantnější a zní: LXgH = 0

⇔

LXH g = 0

(3.54)

Důkaz: Stačí jen aplikovat identitu (3.53) pro f = H, tedy 0 = LXg H = −LXH g. ⊠ Příklady: 1. g = p1 , neboli hybnost, takže s pomocí (3.40) a (3.45) Xg ≡ ω ♯ (dp1 ) = což generuje translaci ve směru q 1 , L

∂ ∂q1

H =0

⇔

∂ ∂q1 ,

tedy Xp1 =

∂ ∂q1 ,

LX p1 = 0 . H

Je-li tedy H invariantní vůči translaci ve směru q 1 , zachovává se příslušná složka hybnosti p1 vůči translaci. 2. g = p2 q 1 − p1 q 2 , což je složka momentu hybnosti, takže Xg = ω♯ (q 1 dp2 − q 2 dp1 + p2 dq 1 − p1 dq 2 ) = −q 2

∂ ∂ ∂ ∂ + q 1 2 − p2 + p1 , 1 ∂q ∂q ∂p1 ∂p2

kde první dva členy generují rotaci v prostoru a druhé dva členy generují odpovídající rotaci v hybnostech — srovnej s výrazem (2.69). Invariance H vůči rotaci tedy odpovídá zákonu zachování momentu hybnosti.


3.7

42

Invariance symplektické formy

Pro každé hamiltonovské pole Xg vůči g platí LXg ω = 0.

(3.55)

Speciálně platí LXω = 0 pro dynamické vektorové pole X odpovídající Hamiltonově funkci H. Jinými slovy symplektická forma ω se při vývoji systému „neměníÿ . Důkaz: Provedeme snadno pomocí Cartanovy identity, podle níž platí LX = iX d+diX , viz (1.85). Je tedy LXg ω = iXg dω + d iXg ω = 0 + ddg = d2 g = 0, kde jsme užili faktu, že symplektická forma ω je uzavřená (neboli dω = 0) a definice hamiltonovského pole (3.44). ⊠

3.8

Kanonické transformace geometricky

Vůči kanonickým transformacím je symplekticá forma ω invariantní. Konkrétně Definice: kanonická transformace je taková změna souřadnic Z α (z β ) na fázového prostoru, která zachovává kanonický tvar symplektické formy ω, tedy její složky ωαβ ve starých souřadnicích 0 -I β j α j z ≡ (q , pj ) i v nových souřadnicích Z ≡ (Q , Pj ) jsou dány symplektickou maticí , I 0 1 1 ωαβ dz α ∧ dz β = 2! ωαβ dZ α ∧ dZ β . kde ω = 2! Konkrétně tedy: • ω = dpj ∧ dq j

. . . v původních souřadnicích

↓ kanonická transformace • ω = dPj ∧ dQj

. . . v nových souřadnicích

Speciálně pro n = 1 máme Q(q, p), P (q, p), takže ∂P ∂P ∂Q ∂Q ω = dP ∧ dQ = dq + dp ∧ dq + dp = ∂q ∂p ∂q ∂p ∂P ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂Q ∂P ∂Q = dp ∧ dq + dq ∧ dp = − dp ∧ dq (3.56) ∂p ∂q ∂q ∂p ∂q ∂p ∂q ∂p ∂P ∂P ∂Q musí tedy být roven 1, což je známá − Aby transformace byla kanonická, člen ∂Q ∂q ∂p ∂q ∂p podmínka {Q, P } = 1 známá z klasického kurzu teoretické mechaniky (OFY003).

Generující funkce kanonické transformace Každá (lokální) kanonická transformace odpovídá jisté (lokální) funkci F na fázovém prostoru. Připomeňme, že v kanonických souřadnicích je kanonická Cartanova forma θ 0 = pj dq j .

(3.57)

Aplikací vnější derivace d dostáváme dθ0 = dpj ∧ dq j = ω, což je symplekticá forma. Uvažujme nyní jinou kanonickou Cartanovu formu θ 1 = Pj dQj

(3.58)

43


v souřadnicích (Qj , Pj ), které jsou s (q j , pj ) na fázovém prostoru spojeny kanonickou transformací. Zjevně platí dθ 1 = dPj ∧ dQj = ω, takže odečtením dostáváme d(θ0 − θ 1 ) = 0 .

(3.59)

Forma (θ 0 − θ1 ) je tedy uzavřená, neboli 1-forma α ≡ pj dq j − Pj dQj je uzavřená. Nyní použijeme Poincarého lemma: Pro uzavřenou 1-formu α lokálně existuje funkce F taková, že α = dF . Důsledek: Pro danou kanonickou transformaci existuje na každém okolí U fázového prostoru lokální funkce F , zvaná generující funkce, taková, že pj dq j − Pj dQj = dF.

(3.60)

dF pj q˙j − Pi Q˙ i = dt

(3.61)

Odtud lze snadno ukázat, že platí

Důkaz: Vyjdeme ze vztahu (3.60), přičemž víme, že Qi = Qi (q j , pj ), tedy ∂Qi j ∂Qi ∂F ∂F = j dq j + pj dq j − Pi dq + dp dpj . j j ∂q ∂pj ∂q ∂pj

(3.62)

Porovnáním levé a pravé strany této rovnice dostaneme ∂F ∂Qi = −Pi j + pj , j ∂q ∂q Nyní dosadíme tyto výrazy do

dF dt

∂Qi ∂F = −Pi . ∂pj ∂pj

(3.63)

,

∂Qi ∂Qi ∂F ∂F j dF j q ˙ − P q ˙ + p ˙ = −P + p p˙ j ≡ i j i j dt ∂q j ∂pj ∂q j ∂pj ∂Qi j ∂Qi q˙ + p˙ j = pj q˙j − Pi Q˙ i . = pj q˙j − Pi ∂q j ∂pj ⊠

Generující funkce typu 1 až 4 Generující funkci F lze vyjádřit v libovolných lokálních souřadnicích na každém okolí U fázového prostoru, tedy F (q j , pj ). Předpokládejme nyní, že body z U lze jednoznačně specifikovat kombinací starých a nových souřadnic. O takových kanonických transformacích říkáme, že jsou typu 1 až 4: 1 2 3 4 (q, Q) (q, P ) (p, Q) (p, P ) • kanonická transformace typu 1: funkce lze vyjádřit pomocí (q j , Qj ) Ze vztahu (3.60) plyne pj dq j − Pj dQj = dF (1) (q j , Qj ) =

∂F (1) j ∂F (1) dq + dQj , ∂q j ∂Qj

kde F (1) (q j , Qj ) = F (q j , pi (q j , Qj )). Porovnáním levé a pravé strany dostáváme pj =

∂F (1) , ∂q j

Pj = −

∂F (1) . ∂Qj

(3.64)

44


• kanonická transformace typu 2: funkce lze vyjádřit pomocí (q j , Pj ) Zaveďme funkci F (2) (q j , Pj ) = F (q j , pi (q j , Pj )) + Pj Qj (q i , Pi ). Ze vztahu (3.60) pak plyne pj dq j − Pj dQj = d(F (2) − Pj Qj ) = dF (2) − (dPj )Qj − Pj dQj tedy pj dq j + Qj dPj =

∂F (2) j ∂F (2) dq + dPj , ∂q j ∂Pj

Porovnáním členů v předchozím výrazu dostáváme pj =

∂F (2) , ∂q j

Qj =

∂F (2) . ∂Pj

(3.65)

Podobně odvodíme výrazy pro kanonické transformace typu 3 resp. 4 užitím F (3) (pj , Qj ) = F (q j (pi , Qi ), pj ) − pj q j (pi , Qi ) resp. F (4) (pj , Pj ) = F (q j (pi , Pi ), pj ) + Pj Qj (pi , Pi ) − pj q j (pi , Pi ).

3.9

Liouvilleova věta

Je zajímavé, že objem oblasti vymezené ve fázovém prostoru se působením toku popisujícího vývoj hamiltonovského systému nemění. Konkrétně, nechť • R je oblast fázového prostoru (dim = 2n) • při dynamickém vývoji jsou body z R zobrazeny tokem ΦX t do oblasti R(t) • pak objem R(t) je stejný jako objem R Jak počítat (elementární) objem na varietě? • objem v R2 určený dvěma vektory x1 a x2 je v(x1 , x2 ) = ±|x1 × x2 | = det

x11 x21

x12 x22

= εij xi1 xj2 .

(3.66)

 x13 x23  = εijk xi1 xj2 xk3 . x33

(3.67)

• objem v R3 určený třemi vektory x1 , x2 , x3 je 

x11 v(x1 , x2 , x3 , ) = x1 · (x2 × x3 ) = det  x21 x31

x12 x22 x32

• objem v Rn určený n vektory x1 , . . . , xn je analogicky v(x1 , . . . , xn ) = εi...k xi1 . . . xkn .

(3.68)

Obecně v(x1 , . . . , xn ) je tzv. objemová funkce tedy zobrazení V × . . . × V → R, které je – lineární – antisymetrické – nedegenerované

45


• elementární objemový element na fázovém prostoru je 2n-forma. Specálně: kanonický objemový element (Liouvilleova 2n-forma) je definován v≡

1 1 ∧n ω ∧ ...∧ ω = ω , n! n!

(3.69)

kde ω je symplektická 2-forma. Explicitně v souřadnicích máme v = dp1 ∧ dq 1 ∧ dp2 ∧ dq 2 ∧ . . . ∧ dpn ∧ dq n .

(3.70)

Důkaz: Např. pro n = 2 je ω = dp1 ∧ dq 1 + dp2 ∧ dq 2 , takže v = 12 (ω ∧ ω) = 12 [(dp1 ∧ dq 1 + dp2 ∧ dq 2 ) ∧ (dp1 ∧ dq 1 + dp2 ∧ dq 2 )] = 21 [dp1 ∧ dq 1 ∧ dp2 ∧ dq 2 + dp2 ∧ dq 2 ∧ dp1 ∧ dq 1 ] = dp1 ∧ dq 1 ∧ dp2 ∧ dq 2 . ⊠ Diferenciální tvar Liouvilleovy věty: Kanonický objemový element v je invariantní vůči hamiltonovským tokům, neboli LX v = 0.

(3.71)

Důkaz: 1 ∧n LX v = LX n! ω =

n ∧(n−1) n! ω

∧ LX ω = 0 ,

(3.72)

neboť dle (3.55) je LX ω = 0 .

(3.73) ⊠

Dodatek A

Další vlastnosti tečného bandlu TQ V tomto dodatku1 ukážeme, jak regulární Lagrangeova funkce L umožňuje zavést symplektickou strukturu na TQ. Existence symplekticé formy ω tak není doménou jen „hamiltonovskéhoÿ kotečného bandlu T∗Q, ale také „lagrangeovskéhoÿ tečného bandlu TQ.

A.1

Symplektická struktura na TQ

Nejprve definujeme několik důležitých pojmů. Definice: Lagrangeova 1-forma θL je 1-forma na TQ definovaná v lokálních zobecněných souřadnicích vztahem (2.29), tedy ∂L θL = i dq i . (A.1) ∂ q˙ Definice: Lagrangeova 2-forma ω L je 2-forma definovaná jako ω L ≡ dθL = −

∂2L ∂2L i j dq ∧ dq − dq i ∧ dq˙j , ∂q j ∂ q˙i ∂ q˙j ∂ q˙i

(A.2)

což lze pomocí „blokovéhoÿ přepisu v souřadnicové bázi 2-forem vyjádřit následujícím způsobem   2 0 − ∂q∂j ∂Lq˙i   .. 2   . − ∂ q∂˙j ∂Lq˙i    ∂2L   ∂qi ∂ q˙j  0 (ωL )αβ =  (A.3) .   0 0     .. ∂2 L   . ∂ q˙i ∂ q˙j 0 0 Ukážeme nyní, že Lagrangeova 2-forma ω L je symplektická, tedy uzavřená a neegenerovaná. Uzavřenost Lagrangeovy 2-formy je vidět přímo z definice (A.2) užitím (1.82), dωL = d2 θL ≡ 0.

(A.4)

Podmínkou její nedegenerovanosti je regularita Lagrangeovy funkce. Každou 2-formu lze totiž ve složkách zapsat jako X 1 ωαβ duα ∧ duβ = ωαβ duα ∧ duβ , (A.5) ω = 2! α<β

1 Jeho

text vychází z bakalářské práce F. Štrupla (MFF UK, 2006).

46

DODATEK A. DALŠÍ VLASTNOSTI TEČNÉHO BANDLU TQ

47

přičemž duα ∧ duβ tvoří bázi všech 2-forem, zde duα jsou buď dq i nebo dq˙i . Podmínkou pro nedegenerovanost 2-formy zapsané ve tvaru (A.5) je pak existence inverzní matice ω αβ , což je ekvivalentní podmínce det(ωαβ ) 6= 0. (A.6) Zavedením jednotného značení lokálních souřadnic na tečném bandlu TQ dimenze 2n vztahem (u1 , . . . , un , un+1 , . . . , u2n ) ≡ (q 1 , . . . , q n , q˙1 , . . . , q˙n ),

(A.7)

tedy uj = q j ,

uj+n = q˙j

pro j = 1, . . . , n,

(A.8)

lze pak z (A.3) již snadno ukázat, že podmínka (A.6) odpovídá platnosti det

∂2L 6= 0, ∂ q˙i ∂ q˙j

(A.9)

což je podle předpokladů o regularitě L splněno. Shrnutí: Je vidět, že pro regulární Lagrangeovu funkci je Lagrangeova 2-forma ω L symplektická forma na tečném bandlu konfigurační variety TQ a činí tak z TQ symplektickou varietu.

A.2

Hamiltonovská dynamika na TQ

Nyní explicitně ukážeme, že symplektická struktura na tečném bandlu TQ konfigurační variety přímo implikuje existenci hamiltonovské dynamiky na TQ. Jedná se přitom právě o dynamiku danou Lagrangeovými rovnicemi. Chceme-li na varietu TQ, o které již víme, že je díky Lagrangeově 2-formě ω L nosičem symplektické struktury, zavést dynamiku, můžeme na TQ zavést tzv. hamiltonovské pole. Definice: hamiltonovským vektorovým polem Xf odpovídajícím libovolné funkci f na varietě Q je myšleno vektorové pole splňující definiční vztah (srovnej s (3.44)) iXf ω L = df.

(A.10)

Výběrem vhodné generující funkce f ≡ H můžeme získat hamiltonovský systém (TQ, ωL , H). Funkci H generující časový vývoj systému pak nazýváme hamiltonián. Ukazuje se navíc, že vhodnou volbou funkce H získáme dynamiku hamiltonovského systému odpovídající dynamice generované Lagrangeovými rovnicemi 2. druhu. Definice: Máme-li na TQ dánu Lagrangeovu funkci L : TQ → R, pak definujeme funkci EL , které říkáme energie odpovídající Lagrangeově funkci, vztahem EL =

∂L j q˙ − L. ∂ q˙j

(A.11)

Funkce EL v jistém smyslu souvisí s příslušným hamiltoniánem H, neboť integrální křivky dynamického pole příslušejícího funkci EL (tj. odpovídající Lagrangeovým rovnicím 2. druhu) se po projekci na konfigurační varietu Q shodují s projekcemi křivek odpovídajících Hamiltonovým rovnicím v Hamiltonově formalismu na fázové varietě T∗Q. Tvrzení: Lagrangeovo vektorové pole XL , viz (2.16), příslušející dané Lagrangeově funkci L (tj. dynamické vektorové pole udávající vývoj systému) musí splňovat rovnici iXL ω L = dEL .

(A.12)


48

Důkaz: Pro diferenciál energie dEL odpovídající Lagrangeově funkci zřejmě podle (A.11) platí dEL = q˙j

2 ∂L i ∂2L i j ∂ L dq − dq + q ˙ dq˙i , ∂q i ∂ q˙j ∂q i ∂ q˙i ∂ q˙j

(A.13)

protože dva členy se navzájem kompenzují. Nyní budeme naopak počítat levou stranu rovnice (A.12), tj. vložení vektorového pole XL do symplektické Lagrangeovy 2-formy ω L . Kombinací vztahů (2.16), (2.20) a (2.21) dostáváme pro vektorové pole XL zapsané ve složkách výraz ∂ + XL = q˙ ∂q k k

∂2L ∂ q˙k ∂ q˙l

−1

∂L ∂2L m − q˙ ∂q l ∂q m ∂ q˙l

∂ , ∂ q˙k

(A.14)

2 −1 vyznačuje inverzní matici. Vyjádření Lagrangeovy 2-formy ve složkách udává kde ∂ q∂˙k ∂Lq˙l vztah (A.2). Připomeňme dále, že operace vložení do 2-formy je definována vztahem (1.76) iX (α ∧ β) = (α ∧ β)(•, X) = α(•)β(X) − β(•)α(X),

(A.15)

kde α ∧ β je 2-forma vzniklá z 1-forem α resp. β. Platí přitom, že α(X) = αj X j .

(A.16)

Ve složkách lze operaci vložení do 2-formy vyjádřit jako iX ω = (iX ω)α duα ,

(A.17)

(iX ω)α = ωαβ X β .

(A.18)

kde Abychom výpočet iXL ωL zjednodušili a zpřehlednili, využijeme nejprve linearity operace vložení do 2-formy. Dostáváme tedy (2)

(1)

(A.19)

iXL ω L = iXL ω L + iXL ωL , kde jsme označili (1)

∂ 2L dq i ∧ dq j , ∂q j ∂ q˙i ∂ 2L = − j i dq i ∧ dq˙j . ∂ q˙ ∂ q˙

(A.20)

ωL = − (2)

ωL

(A.21)

Dále označíme také jednotlivé členy vektorového pole XL (1)

XL = q˙k (2)

XL =

∂ , ∂q k

∂2L ∂ q˙k ∂ q˙l

(A.22) −1

∂L ∂2L − m l q˙m l ∂q ∂q ∂ q˙

∂ , ∂ q˙k

(A.23)

takže platí (1)

(2)

XL = XL + XL .

(A.24)

Operaci vložení Lagrangeova vektorového pole do Lagrangeovy 2-formy tak nyní můžeme rozepsat na součet čtyř členů iXL ω L = iX

L

ωL + iX

L

(2)

ω L + iX

L

(2)

(2)

(1)

(1)

(1)

(1)

ω L + iX

L

(2)

ωL .

(A.25)


49

Pro jednotlivé členy pak snadno užitím vztahů (A.15) a (A.16) dostaneme (1)

∂ 2 L k ∂q i ∂ 2 L k ∂q j i q ˙ dq + q˙ dq j , ∂q j ∂ q˙i ∂q k ∂q j ∂ q˙i ∂q k 2 −1 ∂ L ∂L ∂ 2 L m ∂q j ∂2L − m l q˙ dq i =− j i ∂q ∂ q˙ ∂ q˙k ∂ q˙l ∂q l ∂q ∂ q˙ ∂ q˙k 2 −1 ∂2L ∂ L ∂L ∂ 2 L m ∂q i + − q ˙ dq j , ∂q j ∂ q˙i ∂ q˙k ∂ q˙l ∂q l ∂q m ∂ q˙l ∂ q˙k

iX

ωL = − (1)

iX

(2)

iX

ωL = − (1)

iX

(2)

L

L

L

L

(1)

ωL

(2)

(2)

ωL

∂ 2 L k ∂q i ∂ 2 L k ∂ q˙j i q ˙ dq + q˙ dq˙j , ∂ q˙j ∂ q˙i ∂q k ∂ q˙j ∂ q˙i ∂q k 2 −1 ∂ L ∂L ∂ 2 L m ∂ q˙j ∂2L − m l q˙ dq i , =− j i ∂ q˙ ∂ q˙ ∂ q˙k ∂ q˙l ∂q l ∂q ∂ q˙ ∂ q˙k 2 −1 ∂2L ∂ L ∂L ∂ 2 L m ∂q i + − q ˙ dq˙j . ∂ q˙j ∂ q˙i ∂ q˙k ∂ q˙l ∂q l ∂q m ∂ q˙l ∂ q˙k

(A.26) (A.27)

(A.28) (A.29)

Dále si stačí uvědomit, že platí ∂ q˙i = δji , ∂ q˙j

∂q i = δji , ∂q j

∂q i = 0, ∂ q˙j

∂ q˙i = 0, ∂q j

(A.30)

takže vztahy (A.26) až (A.29) pro jednotlivé operace vložení se redukují na (1)

∂2L i j ∂2L j i q ˙ dq + q˙ dq , ∂q j ∂ q˙i ∂q j ∂ q˙i

(A.31)

iX

ωL = − (1)

iX

(2)

ωL = 0,

iX

(1)

ωL =

(A.33)

iX

(2)

(2)

ωL

(A.34)

L

L

L

L

(1)

(2)

∂2L i j q˙ dq˙ , ∂ q˙j ∂ q˙i ∂L ∂2L m =− dq i . − q ˙ ∂q i ∂q m ∂ q˙i

(A.32)

Nakonec dosadíme zpět do vzorce (A.25), přeznačíme některé sčítací indexy a tím dostaneme iXL ω L = q˙j

2 ∂L i ∂2L i j ∂ L dq − dq + q ˙ dq˙i , ∂q i ∂ q˙j ∂q i ∂ q˙i ∂ q˙j

(A.35)

což je podle (A.13) rovno právě dEL . ⊠ Poznámka: Jestliže Lagrangeovo vektorové pole XL existuje, můžeme definovat konzistentní pohybové rovnice druhého řádu. Obecně však toto pole existovat nemusí a ani nemusí být jednoznačné. Podmínkou jednoznačné existence vektorového pole XL je právě regularita Lagrangeovy funkce L.

Dodatek B

Časově závislé hamiltoniány Přirozená geometrická aréna časově závislé Hamiltonovy mechaniky1 vzniká rozšířením fázového prostoru Γ (s lokálními souřadnicemi q j a pj ) z bezčasového případu diskutovaného v kapitole 3 o časovou osu R (se souřadnicí t). Jedná se tedy o kartézský součin zmíněných prostorů tj. Γ × R. Tuto novou varietu nazýváme rozšířeným fázovým prostorem. Lokální souřadnice na tomto novém prostoru jsou (q j , pj , t). Dimenze rozšířeného fázového prostoru je zjevně 2n + 1. Není to proto symplektická varieta, jako v nečasovém případě, jejíž dimenze musí být sudá, ale tzv. varieta „kontaktníÿ. Nejprve zadefinujme nezbytné obecné matematické pojmy: Definice: Nulový vektor a nesingulární 2-forma: • Vektor X, pro který je Ω(X, Y) = 0 nezávisle na volbě druhého vektoru Y, nazveme nulovým vektorem 2-formy Ω. Tento vektor je jednoznačně určen až na skalární násobek. • 2-formu Ω nazveme nesingulární, pokud lineární prostor generovaný množinou jejích nulových vektorů X má minimální možnou dimenzi: tedy dim = 1 pokud je dimenze celého prostoru, na kterém je forma Ω definována, lichá, a dim = 0 pokud je tato dimenze sudá. Zavedení pojmu nesingularity 2-formy je jakýmsi zobecněním pojmu nedegenerovanosti formy. Uvědomme si, že pokud je dimenze celého prostoru formy Ω sudá (tedy 2n), nesingulárnost říká, že nexistuje žádný nulový vektor, a forma je tedy nedegenerovaná. Pokud je dimenze prostoru lichá (tedy 2n + 1) a forma Ω je nesingulární, pak víme, že forma je degenerovaná speciálním způsobem, a to pouze „v jednom směruÿ. Nebude se však jednat o symplektickou formu, která musí být dle definice nedegenerovaná a uzavřená2. Ilustrace: Je možné ukázat, že • 2-forma ω = dpj ∧ dq j , dim = 2n, je nesingulární a tedy nedegenerovaná. • 2-forma Ω = dpj ∧ dq j − d(pj + q j )∧ dt, dim = 2n +1, je nesingulární, a tedy degenerovaná pouze v jednom směru, a to X = a

∂ ∂qj

−

∂ ∂pj

+

∂ ∂t

, kde a je libovolný skalární násobek.

Nyní ještě jednou přeformulujme předchozí definice a dejme do vztahu nesingulární 2-formu na prostoru liché dimenze a obecné vektorové pole: Platí: Pokud máme na (2n+1)-dimenzionálním rozšířeném fázovém prostoru zadanou nesingulární 2-formu Ω, potom lze najít právě jedno vektorové pole X, pro které (až na skalární násobek) platí iX Ω = 0 . Důkaz: Plyne přímo z definice nesingulární 2-formy na celém prostoru liché dimenze. 1 Text

tohoto dodatku vychází z bakalářské práce R. Švarce (MFF UK, 2006). že forma Ω se nazývá uzavřená, pokud platí dΩ = 0.

2 Připomeňme,

50

(B.1)

DODATEK B. ČASOVĚ ZÁVISLÉ HAMILTONIÁNY

51

⊠

B.1

Zavedení objektů na rozšířeném fázovém prostoru

Nyní již přistupme k zavedení konkrétních geometrických objektů. Na celém fázovém prostoru Γ × R je možné definovat tzv. kontaktní 1-formu Λ, a to vztahem Λ ≡ pj dq j − Hdt ,

(B.2)

kde H = H(q j , pj , t). Všimněme si podobnosti s kanonickou Cartanovou 1-formou θ0 = pj dq j z bezčasového případu, viz (3.10). Aplikací vnější derivace na Λ dostáváme uzavřenou, degenerovanou, ale přitom nesingulární 2-formu Ω (nejedná se tedy o formu symplektickou3 ): Ω ≡ dΛ = dpj ∧ dq j − dH ∧ dt.

(B.3)

Uzavřenost této formy je zřejmá, neboť dΩ = d2 Λ ≡ 0, degenerovanost a nesingulárnost ukážeme později. Je dobré si uvědomit, že symetrie výrazu (B.3) je pouze zdánlivá, neboť H = H(q j , pj , t), ∂H ∂H ∂H ∂H ∂H j j a tedy dH = ∂q j dq + ∂p dpj + ∂t dt, takže dH ∧ dt = ∂q j dq ∧ dt + ∂p dpj ∧ dt. j j Poznamenejme ještě, že pro vyjádření souřadnicových složek Ωαβ na Γ × R dostáváme matici typu (2n + 1) × (2n + 1) tvaru   0 −I − ∂H ∂q   0 − ∂H Ωαβ =  I (B.4) ∂p  , ∂H ∂H 0 ∂q ∂p

∂H ∂H ∂H ∂H ∂H kde ∂H , stejně tak značí sloupcový resp. řádkový blok značí blok , . . . , , . . . , ∂q ∂q1 ∂qn ∂p ∂p1 ∂pn a I je jednotková matice typu n × n. Je vidět, že levý horní blok typu 2n × 2n matice (B.4) odpovídá souřadnicovému vyjádření obvyklé symplektické 2-formy ω = dpj ∧ dq j , tedy matici ωαβ , z případu časově nezávislé mechaniky, viz (3.18). Na rozšířeném fázovém prostoru určují dynamiku soustavy integrální křivky vektorového pole X, které je obecně dáno výrazem X≡

∂ ∂ d ∂ + t˙ = q˙j j + p˙ j . dτ ∂q ∂pj ∂t

(B.5)

Tečka zde značí derivaci podle τ , což je parametr integrální křivky γ(τ ) na Γ × R. Tento parametr může mít například význam „vlastníhoÿ času obecně nezávislého na čase t, tedy na souřadnici rozšířeného fázového prostoru. Vztah určující toto vektorové pole můžeme upravit užitím Hamiltonových kanonických rovnic. Dále můžeme požadovat stejné plynutí obou časů t a τ , to znamená, že ztotožníme parametr integrální křivky se souřadnicí fázového prostoru. Tento dodatečný požadavek vyjádříme výrazem dt = 1. Výsledné vektorové pole má pak tvar t˙ = dτ X≡

∂H ∂ ∂ ∂H ∂ + − j . ∂pj ∂q j ∂q ∂pj ∂t

(B.6)

Nyní zbývá pouze vyřešit otázku vhodného „geometrickéhoÿ předpisu pro nalezení tohoto významného vektorového pole. Tento předpis nazveme pohybovými rovnicemi.

3 Opět

připomeňme, že symplektická forma je uzavřená a nedegenerovaná.

52


B.2

Pohybové rovnice a vztah k časově nezávislé mechanice

Platí: Dynamické vektorové pole X je jednoznačně určeno (až na skalární násobek) podmínkou iX Ω = 0.

(B.7)

Právě tento předpis je tedy možné považovat za invariantní tvar pohybových rovnic. Naopak platí, že toto vektorové pole X určuje v každém bodě rozšířeného fázového prostoru nulový vektor 2-formy Ω. Důkaz: Ukažme, že vektorové pole X, viz (B.6), je jednoznačně určeno podmínkou na nulový vektor formy Ω. Počítejme tedy přímo vložení obecného tvaru vektorového pole, viz (B.5), do formy Ω dané (B.3), přičemž užijme antisymetrie vložení vektorového pole do 2-formy a vztahu (1.70) iX (α ∧ β) = (α ∧ β)(•, X) = α(•)β(X) − β(•)α(X) ,

(B.8)

tedy iX Ω = Ω (•, X) = (dpj ∧ dq j − dH ∧ dt) (•, X)

= [dH(X)] dt − [dt(X)] dH − [dpj (X)] dq j + dq j (X) dpj .

Dále rozepišme jednotlivá vložení pole X do 1-forem z předchozího výrazu: ∂H i ∂H ∂ ∂H ∂ j ∂ ˙ dH(X) = dq + dpi + + p˙ j +t dt q˙ ∂q i ∂pi ∂t ∂q j ∂pj ∂t ∂H j ˙ ∂H ∂H ∂H ∂H ∂H δ +t + t˙ = q˙j j + p˙ j , = q˙j i δji + p˙j ∂q ∂pi i ∂t ∂q ∂pj ∂t dt(X) = t˙ ,

dpj (X) = p˙j ,

dq j (X) = q˙j .

(B.9)

(B.10) (B.11)

Dosaďme předchozí vztahy do výrazu (B.9), rozepišme dH a užijme podmínku k nelezení nulového vektoru, to znamená položme tento výraz rovný nule. Tím dostáváme rovnici ∂H j ∂H ∂H ∂H ∂H ∂H q˙j j + p˙ j + t˙ dq + dp + dt dt − t˙ j ∂q ∂pj ∂t ∂q j ∂pj ∂t − p˙ j dq j + q˙j dpj = 0 .

(B.12)

Porovnáním jednotlivých koeficientů u dt, dq j a dpj odvodíme následující tři podmínky q˙j

∂H ∂H = −p˙ j , j ∂q ∂pj

∂H t˙ j = −p˙ j , ∂q

∂H t˙ = q˙j , ∂pj

(B.13)

které jednoznačně určují koeficienty nulového vektorového pole formy Ω. Jejich dosazením do obecného předpisu (B.5) dostáváme hledaný výraz ∂H ∂ ∂ ∂H ∂ , (B.14) X = t˙ − + ∂pj ∂q j ∂q j ∂pj ∂t ˙ která určuje pouze stejné škálování každé ze souz kterého je rovněž zřejmá volnost ve volbě t, řadnic, viz (B.6). ⊠ Tímto jsme dokázali degenerovanost a přitom nesingulárnost 2-formy Ω, neboť vložení právě jednoho nenulového vektorového pole X do formy Ω je identicky nulové. Poznamenajme, že výraz (B.7) v souřadnicích říká, že složky dynamického vektorového pole ∂H ∂H X, tedy ∂p , − ∂q , 1 , jsou vlastním vektorem matice Ωαβ , viz (B.4). Tomuto vlastnímu vektoru přísluší vlastní číslo 0, jehož násobnost je jedna, což odpovídá degenerovanosti formy Ω.

53


Invariance formy Ω Dále je možné ukázat, že 2-forma Ω zůstává při vývoji systému daném vektorovým polem X konstantní, tedy že se nemění podél integrálních křivek generovaných tímto polem. Toto je možné vyjádřit pomocí Lieovy derivace LXΩ = 0. (B.15) Zmíněná skutečnost bude mít zajímavou interpretaci v kapitole B.3 o kanonických transformacích. Důkaz: Aplikujme na Ω známou Cartanovu identitu viz (1.85), tedy LX Ω = iX dΩ + d iX Ω .

(B.16)

První člen v předchozím výrazu je nulový, neboť forma Ω je uzavřená. Nulovost druhého členu plyne přímo z pohybových rovnic (B.7). ⊠ Platí: Funkce f je integrálem pohybu právě tehdy, když X(f ) = 0 .

(B.17)

d Důkaz: Stačí pouze připomenout definici vektorového pole (B.6), tj. X ≡ dτ a integrálu pohybu, df tedy dτ = 0. Následně je užitečné vyjádřit výraz X(f ) pomocí Poissonových závorek a Lieovy dt derivace (předpokládáme dτ = 1):

X(f ) ≡

∂f dt ∂H ∂f ∂f df ∂H ∂f + − j = {f, H} + ≡ ≡ LXf . ∂pj ∂q j ∂q ∂pj ∂t dτ ∂t dτ

(B.18)

Poslední ekvivalence plyne přímo z definice Lieovy derivace funkce. ⊠ Časově nezávislá mechanika na rozšířeném fázovém prostoru V připadě, že se Hamiltonova funkce nemění s časem t, tj. H = H(q j , pj ), bude systém popsán dt naprosto stejným způsobem jako v části B.1. V předchozích úvahách jsme užili volby dτ = 1 vyjadřující stejné plynutí obou časů, tedy ztotožnění parametru integrálních křivek a souřadnice rozšířeného fázového prostoru. Právě tato volba nám umožňuje setrvat na tomto prostoru i v případě, že hamiltonián je pouze funkcí q j a pj , přičemž tvar pohybových rovnic bude samozřejmě stejný jako v části B.1. 2

p + 12 kx2 . Příslušné vektorové pole Ilustrace: harmonický oscilátor. Hamiltonián má tvar H = 2m (B.6) je tedy dáno výrazem p ∂ ∂ ∂ X= − kx + . (B.19) m ∂x ∂p ∂t

Pro konkrétní hodnoty počátečních podmínek a danou hodnotu tuhosti k a hmotnosti m dostaneme dvě typické integrální křivky ve tvaru spirál. Dvě taková řešení jsou vykreslena na obrázku B.1. Průmětem do roviny (x, p) se ze spirál stanou elipsy, tak jak je dobře známo z fázového portrétu harmonického oscilátoru, viz obrázek 2.2 Časově nezávislá mechanika jako řez rozšířeného fázového prostoru Nyní uvažujme alternativní možnost, že oba časy t a τ jsou zcela nezávislé. Potom si časově neproměnný vývoj můžeme představit4 jako limitní případ, kdy čas τ (parametr integrální křivky) 4 Tento

pohled je ekvivalentní projekci π : Γ × R → Γ.


54

Obrázek B.1: Dvě typické integrální křivky vývoje oscilátoru v rozšířeném fázovém prostoru. plyne mnohem rychleji než čas t (souřadnice na rozšířeném fázovém prostoru). Tuto limitu je možné formálně vyjádřit jako dt =0, (B.20) dτ což nás prakticky omezí na jeden časový řez rozšířeného fázového prostoru, tedy volbu t = konst. Předpokládáme, že hamiltonián je pouze funkcí souřadnic q j a pj . Proto také dále při výpočtu diferenciálu hamiltoniánu nederivujeme podle souřadnice t. Vektorové pole (B.5), upravené užitím Hamiltonových kanonických rovnic a podmímky (B.20), přejde na tvar ∂H ∂ ∂H ∂ − j , (B.21) X= j ∂pj ∂q ∂q ∂pj které již má nulovou složku ve směru časové osy, srovnej s (B.6). Vložením tohoto pole do 2formy Ω, viz (B.3), dostáváme hledanou časově nezávislou pohybovou rovnici5 iX Ω = dH ,

(B.22)

z níž je zřejmé, že toto nové pole již není nulovým vektorem formy Ω. Důkaz: Postupujme obdobně jako v časově závislém případě tj. přímo upravujme levou stranu nových pohybových rovnic užitím antisymetrie vložení vektorového pole do 2-formy dle (B.9). Nyní upravujme jednotlivá vložení pole X jeho rozepsáním dle vztahu (B.21): ∂H i ∂H ∂H ∂ ∂H ∂ iX Ω = dt −0 dq + dp − i ∂q i ∂pi ∂pj ∂q j ∂q j ∂pj ∂H ∂ ∂H ∂ j j (B.23) +dq dpj + dpj dq ∂q i ∂pi ∂pi ∂q i ∂H ∂H i ∂H ∂H j ∂H ∂H j ∂H ∂H = dt δ − δ + dq j i δji + dpj δ = j dq j + dpj ≡ dH . ∂q i ∂pj j ∂pi ∂q j i ∂q ∂pi i ∂q ∂pj ⊠ Jelikož složka vektorového pole do směru osy t je nulová, je výhodné uvažovat pouze projekci tohoto pole a formy Ω na 2n-dimenzionální symplektickou varietu se souřadnicemi q j a pj . Na tomto novém fázovém prostoru takto dostáváme známou symplektickou formu ω = dpj ∧ dq j ∂H ∂ ∂H ∂ a vektorové pole X = ∂p j − ∂q j ∂p . Tyto dva objekty jsou přitom spojeny Hamiltonovými j ∂q j kanonickými rovnicemi v geometrickém tvaru, neboli iX ω = dH. 5 Tato

rovnice nápadně připomíná geometrické vyjádření (3.29) Hamiltonových kanonických rovnic z bezčasového případu, iX ω = dH, kde ω je symplektická forma na 2n-dimenzionální symplektické varietě. Naše rovnice však stále ještě „žijeÿ na variětě dimenze 2n + 1.


B.3

55

Časově závislé kanonické transformace

Na problematiku kanonických transformací, které jsme v bezčasovém případě studovali v části 3.8, je možné pohlížet dvěma ekvivalentními způsoby: Rozlišujeme mezi pohledem pasivním a aktivním. V případě transformací pasivních jde pouze o změnu souřadnicového systému, přičemž body v rozšířeném fázovém prostoru zůstávají fixované. Naproti tomu v aktivním přístupu jeden bod z rozšířeném fázovém prostoru přechází pomocí jistého toku na bod jiný. Od kanonických transformací požadujeme zachování jednoduchého tvaru pohybových rovnic nebo ekvivalentně zachování 2-formy Ω. Nadále budeme uvažovat pouze transformace pasivní. Potom je možné zavést kanonické transformace následující definicí6 : Definice: kanonickou transformací nazýváme takovou záměnu souřadnic na fázovém prostoru, která zachovává kanonický tvar formy Ω, tedy (q j , pj , t) → (Qj (q j , pj , t), Pj (q j , pj , t), t) : dpj ∧ dq j − dH ∧ dt = dPj ∧ dQj − dH ′ ∧ dt .

(B.24)

Podívejme se nyní na dynamické vektorové pole určené Hamiltonovými rovnicemi. Tvrzení: Transformace generovaná fázovým tokem ΦX , tedy určena dynamickým polem X dle (B.6), je kanonická. Důkaz: Plyne přímo z ekvivalence vztahů (B.15) a (B.24) pro tok ΦX , tedy LXΩ = 0 ⇔ Φ∗X Ω = Ω .

(B.25) ⊠

Připomeňme, že každá (lokální) kanonická transformace odpovídá jisté generující funkci F na fázové varietě. Dále připomeňme, že kontaktní 1-forma na rozšířeném fázovém prostoru je tvaru Λ = pj dq j − Hdt, a že aplikací vnější derivace dostáváme nesingulární uzavřenou 2-formu Ω, tedy dΛ = Ω. Nyní uvažujme novou formu Λ1 danou výrazem Λ1 = Pj dQj − H ′ dt

(B.26)

v nových souřadnicích (Qj , Pj , t) spojených s (q j , pj , t) kanonickou transformací. Potom platí dΛ1 = Ω. Odečtením dvou různých souřadnicových vyjádření 2-formy Ω dostáváme d(Λ − Λ1 ) = 0 .

(B.27)

Z předchozího výrazu plyne uzavřenost formy α = (Λ − Λ1 ). Nyní užijme Poincarého lemmatu, podle něhož pro uzavřenou 1-formu α lokálně existuje funkce F taková, že α = dF . Důsledek: Pro danou kanonickou transformaci existuje na každém okolí U fázového prostoru lokální funkce F taková, že pj dq j − Pj dQj − Hdt + H ′ dt = dF,

(B.28)

což je zobecněním (3.60). Funkci F nazýváme generující funkcí kanonické transformace. Nyní ukažme, že nový hamiltonián H ′ (Qj , Pj , t) je určen výrazem H′ =

∂Qi ∂F + Pi +H . ∂t ∂t

(B.29)

6 V aktivním pohledu kanonickou transformací nazýváme diferencovatelné zobrazení g fázového prostoru, které zachovává 2-formu Ω, tedy g ∗ Ω = Ω, kde g ∗ je pull-back g.

56


Důkaz: Rozepišme diferenciály dF a dQj ve vztahu (B.28), kde F = F (q j , pj , t) a Qi = Qi (q j , pj , t): ∂Qi ∂Qi j ∂Qi dq + dp + dt − Hdt + H ′ dt pj dq j − Pi j ∂q j ∂pj ∂t ∂F ∂F ∂F dpj + dt . (B.30) = j dq j + ∂q ∂pj ∂t Nyní porovnejme levou a pravou stranu předchozího výrazu, čímž dostaneme tři užitečné vztahy, přičemž poslední z nich (B.33) je hledaným důkazem: ∂Qi ∂F = −P + pj , i ∂q j ∂q j ∂F ∂Qi = −Pi , ∂pj ∂pj

(B.31) (B.32)

∂Qi ∂F = −Pi − H + H′ . ∂t ∂t

(B.33) ⊠

Dále pro konkrétní trajektorii platí, že dF = (pj q˙j − H) − (Pi Q˙ i − H ′ ). dt

(B.34)

j Důkaz: Přímo počítejme dF dt a za jednotlivé parciální derivace funkce F (q , pj , t) pak dosaďme výrazy (B.31), (B.32) a (B.33), dF ∂Qi ∂Qi ∂F ∂Qi ∂F j ∂F p˙ j + p˙ j − Pi = j q˙ + = pj − Pi j q˙j − Pi − H + H′ dt ∂q ∂pj ∂t ∂q ∂pj ∂t (B.35) = (pj q˙j − H) − (Pi Q˙ i − H ′ ) .

⊠ Generující funkci F kanonické transformace je možné psát v libovolných souřadnicích na každém okolí U fázového prostoru. Předpokládejme nyní, že body z U lze jednoznačně specifikovat kombinací starých a nových souřadnic. O takových kanonických transformacích říkáme, že jsou typu 1 až 4: 1 2 3 4 (q, Q, t) (q, P, t) (p, Q, t) (p, P, t) • kanonická transformace typu 1: obecná funkce F na varietě lze vyjádřit v konkrétních souřadnicích (q j , Qj , t). Ze vztahu (B.28) potom plyne pj dq j − Pj dQj − Hdt + H ′ dt = dF (1) (q j , Qj , t) =

∂F (1) ∂F (1) j ∂F (1) j dq + dQ + dt , ∂q j ∂Qj ∂t

kde F (1) (q j , Qj , t) = F (q j , pi (q j , Qj , t), t). Porovnáním levé a pravé strany dostáváme pj =

∂F (1) , ∂q j

Pj = −

∂F (1) , ∂Qj

H′ = H +

∂F (1) . ∂t

(B.36)

• kanonická transformace typu 2: funkce F lze vyjádřit pomocí (q j , Pj , t) Zaveďme funkci F (2) (q j , Pj , t) = F (q j , pi (q j , Pj , t), t)+Pj Qj (q i , Pi , t). Ze vztahu (B.28) plyne pj dq j − Pj dQj − Hdt + H ′ dt = d(F (2) − Pj Qj ) = dF (2) − (dPj )Qj − Pj dQj ,

57


tedy pj dq j + Qj dPj − Hdt + H ′ dt =

∂F (2) ∂F (2) j ∂F (2) dPj + dq + dt . j ∂q ∂Pj ∂t

Porovnáním členů v předchozím výrazu dostáváme pj =

∂F (2) , ∂q j

Qj =

∂F (2) , ∂Pj

H′ = H +

∂F (2) . ∂t

(B.37)

• kanonická transformace typu 3: funkce F lze vyjádřit pomocí (pj , Qj , t) Zaveďme funkci F (3) (pj , Qj , t) = F (q i (pj , Qj , t), pj , t) − pj q j (pi , Qi , t) a postupujme analogicky jako v předchozích případech, tj. aplikací vztahu (B.28) a porovnáním vzniklých výrazů dostáváme ∂F (3) ∂F (3) ∂F (3) ′ , Pj = − , H = H + . qj = − (B.38) ∂pj ∂Qj ∂t • kanonická transformace typu 4: funkce F lze vyjádřit pomocí (pj , Pj , t) Zaveďme funkci F (4) (pj , Pj , t) = F (q i (pj , Pj , t), pj , t) + Pj Qj (pi , Pi , t) − pj q j (pi , Pi , t), aplikujme vztah (B.28) a porovnejme výrazy. Jako výsledek obdržíme qj = −

∂F (4) , ∂pj

Qj =

∂F (4) , ∂Pj

H′ = H +

∂F (4) . ∂t

(B.39)

Tím jsme odvodili vztahy pro kanonické transformace známé z klasických učebnic mechaniky.

B.4

Geometrická interpretace Hamiltonovy–Jacobiho teorie

V této části připomeneme klasické odvození Hamiltonovy–Jacobiho rovnice a uvědomíme si přitom, co jednotlivé kroky znamenají v řeči geometických objektů na rozšířeném fázovém prostoru. Vyjdeme z toho, že známe výraz pro dynamické vektorové pole X, viz (B.6), tedy X=

∂H ∂ ∂H ∂ ∂ − j + , ∂pj ∂q j ∂q ∂pj ∂t

a 2-formu Ω = dpj ∧ dq j − dH ∧ dt, viz (B.3), obojí zadané v souřadnicích (q j , pj , t). V úvodu této kapitoly jsme právě díky formě Ω definovali kanonické transformace a odvodili pro ně některé užitečné vztahy. Nyní se pokusíme provést takovou kanonickou transformaci, tedy změnu souřadnic na rozšířeném fázovém prostoru, která zjednoduší výraz pro vektorové pole X. Uvědomme si, že přechod (q j , pj , t) → (Qj , Pj , t) vede rovněž ke změně Hamiltoniánu H na H ′ a umožní nám zapsat Hamiltonovy kanonické rovnice v nových souřadnicích, tedy dQj ∂H ′ (Qj , Pj , t) = , ∂Pj dτ

dPj ∂H ′ (Qj , Pj , t) =− . ∂Qj dτ

(B.40)

Předchozí výrazy zároveň určují dynamické vektorové pole X v nových souřadnicích, X=

∂H ′ ∂ ∂H ′ ∂ ∂ − + . j ∂Pj ∂Q ∂Qj ∂Pj ∂t

(B.41)

Kanonická transformace je zadána svou generující funkcí F , viz (B.28). Tato funkce určuje také nový hamiltonián H ′ výrazem (B.29). Speciální volbou generují funkce je možné obdržet nový hamiltonián identicky rovný nule, tedy H ′ (Qj , Pj , t) ≡ 0 .

(B.42)


58

Touto volbou se stávají nulovými rovněž levé strany pohybových rovnic (B.40) a vektorové pole (B.41) podél vývoje přechází na velmi jednoduchý tvar X=

∂ . ∂t

(B.43)

Řešením takto transformovaných pohybových rovnic jsou konstanty dané počátečními podmínkami Qj = αj ,

Pj = βj .

(B.44)

Připomeňme, že vývoj systému je geometricky dán integrálními křivkami dynamického vektorového pole X. V souřadnicích jsou tyto křivky určeny řešením pohybových rovnic v konkrétních souřadnicích, tedy dvojicí funkcí q j (τ ) a pj (τ ) resp. Qj (τ ) a Pj (τ ). V našem případě jsou tímto řešením v nových souřadnicích konstanty. Neznamená to však, že by se systém nevyvíjel, ale pouze to, že v každém časovém řezu máme fixovanou stále stejnou polohu systému vůči vhodným aktuálním souřadnicím. Tyto souřadnice se však dynamicky mění právě s vývojem systému, tedy dle tvaru popisovaných integrálních křivek. Změna je určena časově závislou generující funkcí kanonické transformace7. Ještě si uvědomme, že kanonická transformace je definována jako jistý speciální tok na rozšířeném fázovém prostroru, podél kterého se zachovává 2-forma Ω. V úvodu této kapitoly jsme rovněž ukázali, že fázový tok určený polem X generuje kanonickou transformaci. Právě této tranformaci odpovídá předchozí popis. To znamená, že celá informace o vývoji systému je nyní „uloženaÿ v generující funkci. Uvažujme nyní konkrétní typ kanonické transformace, například typ 1, kdy lze vše vyjádřit pomocí souřadnic (q j , Qj , t) a generující funkce F (1) . Pro nový hamiltonián a zbylé souřadnice dostáváme vztahy (B.36). Pokud v posledním výrazu uplatníme podmínku nulovosti nového hamiltoniánu, dostáváme požadovanou rovnici pro generující funkci H+

∂F (1) (q j , Qj , t) =0. ∂t

(B.45)

∂S Nyní již zbývá pouze označit F (1) jako S a dosadit za pj do H(q j , pj , t) výraz pj = ∂q j . Tím jsme odvodili parciální diferenciální rovnici prvního řádu pro speciální generující funkci S zajišťující nulovost nového hamiltoniánu H ′ , ∂S ∂S =0, (B.46) H qj , j , t + ∂q ∂t

což je Hamiltonova–Jacobiho rovnice.

7 Připomeňme, že v tomto případě opět předpokládáme stejné plynutí obou časů tj. t jakožto souřadnice rozšídt = 1. řeného fázového prostoru a τ jakožto parametru integrální křivky, tedy volbu dτ

Shrnutí hlavních pojmů a notace

M

varieta (bod, mapa, atlas)

xi

kartézské souřadnice v Rn

f

funkce

γ(t)

křivka (s parametrem t)

a, b, . . . , v

vektor

d dt

vektor coby diferenciální operátor

α, β, . . . , θ

1-forma (kovektor, forma)

hα, vi

zúžení (kontrakce)

= α(v)

df

diferenciál funkce coby forma

hdf , vi = v(f )

v(f ) =

d dt f

ei

∂ ∂xi

obecná a souřadnicová báze vektorů

∂ v = v i ∂x i

εi

dxi

obecná a souřadnicová báze forem

α = αi dxi

=

TP M

tečný prostor v bodě P

TP∗ M

kotečný prostor v bodě P

TM

tečný bandl

T∗M

kotečný bandl

(B, π, F, F)

fíbrovaný prostor

LX

Lieova derivace

LXf = X(f )

[X, Y]

Lieova závorka vektorových polí

= LXY

Q

konfigurační varieta

TQ

rychlostní fázových prostor

59

df dt

60


T∗Q

fázový prostor

qj

zobecněné souřadnice

q˙j

zobecněné rychlosti

pj

kanonické hybnosti

ω

symplektická 2-forma

∧, d

vnější součin, vnější derivace

α ∧ β = −β ∧ α, d2 = 0

iX ω

vložení vektorového pole

ω(•, X) = −ω(X, •)

θ0

kanonická Cartanova forma

θ0 = pj dq j

symplektická matice

ω = dθ0 = dpj ∧ dq j

Xf

hamiltonovské pole vůči f

iXf ω = df

{f, g}

Poissonovy závorky

= LXgf = ω(Xg , Xf )

LXθL = dL

Lagrangeovy rovnice

iX ω = dH

Hamiltonovy rovnice

ωαβ =

0 -I I 0

Anglický slovníček

dimenze fázový prostor fíbrovaný prostor forma (1-forma) funkce generující funkce hybnost kanonická transformace (ko)tečný bandl (ko)tečný prostor křivka Lieova derivace mapa Poissonova závorka souřadnice symplektická 2-forma symplektická matice tok varieta vektor vektorové pole vložení vnější derivace vnější součin zdvih zobrazení zúžení

dimension phase space fibre space one-form function generating function momentum canonical transformation (co)tangent bundle (co)tangent space curve Lie derivative chart Poisson bracket coordinate symplectic 2-form symplectic matrix flow manifold vector vector field insert (inner product) exterior derivative exterior product (wedge product) lift mapping (map) contraction

61

Rejstřík Lagrangeova rovnice, 28 lagrangeovská vektorová pole, 28 Lieova algebra, 18 Lieova derivace diferenciálu, 18 formy, 18 funkce, 18 vektoru, 18 zúžení, 18 Lieova derivace ve složkách, 19 Lieova grupa transformací, 16 Lieova závorka, 18 Lieův přenos 1-formy, 17 funkce, 17 vektoru, 17 Liouvilleova věta, 44 lokální souřadnicový systém, 5

1-forma, 20 1-forma df , 12 2-forma, 20 anuloid, 7 atlas, 5 bodová transformace, 31 Cartanova identita, 22, 42 diferenciál funkce, 11 dimenze variety, 5 duální souřadnicová báze, 11 dynamické vektorové pole, 23, 26, 38 elementární objemový element, 45 forma, 10 forma na varietě, 10 funkce na varietě, 7 fázový portrét, 23

mapa, 5 matematické kyvadlo, 25, 26

generující funkce, 43

objem v R2 , 44 v R3 , 44 v Rn , 44 objemová funkce, 44

hamiltonovské vektorové pole, 40 Hamiltonovy kanonické rovnice, 37 harmonický oscilátor, 24 integrál pohybu, 32 integrální křivky, 15, 23 invariance L, 33

Poincarého lemma, 43 Poissonova závorka, 38 pole 1-forem, 14 pole druhého řádu, 27 prostor kotečný, 10 tečný, 8 pull-back, 16 push-forward, 16

jednotné značení lokálních souřadnic, 37 kanonická Cartanova 1-forma, 36 kanonická transformace, 42 kanonický objemový element, 45 konfigurační varieta, 7, 26 kontaktní varieta, 50 kontrakce, 10 kotečný bandl, 12 kružnice, 6 křivka na varietě, 8

rotace, 31 rychlostní fázový prostor, 26 sféra, 7 soubor map, 5 souřadnicová báze, 9 souřadnicové zobrazení, 5

Lagrangeova 1-forma, 28 Lagrangeova funkce, 26 62

REJSTŘÍK

symplektická forma, 38 symplektická matice, 37 teorém Emmy Noetherové, 31 tečný bandl, 12, 26 tok, 15 torus, 7 translace, 31 třída ekvivalence, 8 varieta, 5 vektor gradientu, 12 vektor na varietě, 8 vektorové pole, 14 vložení vektoru, 20 vnější derivace, 21 vnější součin, 21 volná částice, 30 volný pád, 24, 30 vztah mezi mapami, 5 zákon zachování hybnosti, 33 zákon zachování momentu hybnosti, 33 zúžení, 10

63

Literatura [1] Abraham R., Marsden J. E.: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1985. [2] Arnold V. I.: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York, 1978. [3] Fecko M.: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Iris, Bratislava 2004. [4] José J. V., Saletan E. J.: Classical Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. [5] Oliva W. M.: Geometric Mechanics, Springer, Berlin, 2002. [6] Schutz B. F.: Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. [7] Westenholz C. von: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, Amsterdam 1978.

64

Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie

Recommend Documents