Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Téma 9 Těžiště • Těžiště rovinných čar • Těžiště jednoduchých rovinných obrazců • Těžiště složených rovinných obrazců Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Těžiště Hmotný útvar - v nejobecnějším případě trojrozměrné těleso z látky o měrné tíze γ [kN/m3] , také idealizovaná tělesa jako např.: Hmotný rovinný obrazec (tuhá deska) - o měrné tíze γ [kN/m2] Hmotná rovinná čára - o měrné tíze γ [kN/m] Tíhově homogenní hmotné útvary – měrná tíha je po celém útvaru konstantní Fyzikální význam těžiště: a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlastní tíhy elementů hmotného útvaru. Těžnice – osa procházející těžištěm Pojem těžiště

2 / 48

Varignonova momentová věta Zadáno: obecná rovinná soustava n sil Pi a m statických momentů dvojic sil Mj . Vypočteno: výslednice Rd . Pierre Varignon (1654 - 1722)

Platí:

Statický moment výslednice obecné rovinné soustavy k libovolnému momentovému středu v rovině soustavy se rovná algebraickému součtu všech statických momentů sil soustavy k témuž momentovému středu a všech statických momentů dvojic sil. … Varignonova věta

Matematicky:

n

m

i =1

j =1

Rd . pR = ∑ Pi . pi + ∑ M j Téma č.2 – „Přímková a rovinná soustava sil“

Těžiště rovinných čar

3 / 48

Těžiště obecné rovinné čáry Rovinné čáry jednoduché (po celé délce jeden matematický předpis) a složené (několik spojených jednoduchých čar) Jednoduché rovinné čáry – úsečka, kružnicový oblouk, parabolický oblouk Předpoklad: čáry tíhově homogenní, u kterých hodnota měrné tíhy γ nemá na polohu těžiště žádný vliv, proto γ = 1 (bez fyzikálního rozměru) Dle diferenciální geometrie rovinných křivek platí:

ds = 1 + z d x '2

z′ =

dz dx

Délka (a zároveň i tíha) čáry:

s = ∫ ds = s

xb

∫

1 + z ' 2 dx

xa


Rovinná čára Obr. 4.1. / str. 41 4 / 48

Těžiště obecné rovinné čáry V každém elementu působí elementární síla vyjadřující jeho vlastní tíhu dP = γ .ds = ds Vzniká soustava rovnoběžných sil se statickým středem v těžišti. Směr paprsků rovnoběžných sil lze volit: a) v rovině vyšetřované čáry xz , povaha rovinné soustavy sil, směr svislý (z) , pak vodorovný (x) Statické momenty sil k momentovému středu (k počátku O): xb

S z = ∫ x.ds = ∫ x. 1 + z '2 dx s

xa

xb

S x = ∫ z.ds = ∫ z. 1 + z '2 dx s

xa

Z Varignonovy věty: Těžiště rovinných čar

xT =

Sz s

zT =

Sx s

Těžiště rovinné čáry jako statický střed rovinné soustavy rovnoběžných sil Obr. 4.2.a. / str. 42 5 / 48

Těžiště obecné rovinné čáry Směr paprsků rovnoběžných sil lze volit: b) kolmo k rovině vyšetřované čáry xz , tedy ve směru y, povaha prostorové soustavy sil, výpočet statických momentů ke dvěma souřadnicovým osám (z a x) Obě pojetí vedou ke shodným výsledkům Poučka: Je-li rovinná čára (nebo jakýkoli jiný vyšetřovaný útvar) symetrická podle nějaké osy symetrie, leží těžiště čáry (útvaru) nutně na této ose symetrie. Má-li vyšetřovaný útvar dvě nebo více os symetrie – těžiště leží v průsečíku os Těžiště rovinné čáry jako statický střed symetrie a není třeba zjišťovat prostorové soustavy rovnoběžných sil výpočtem. Obr. 4.2.b. / str. 42


6 / 48

Těžiště úsečky Úsečka má osu symetrie - těžiště leží uprostřed úsečky při jakémkoliv sklonu úsečky.

Těžiště úsečky Obr. 4.3. / str. 43 Těžiště rovinných čar

7 / 48

Těžiště kružnicového oblouku a) pravoúhlá soustava – složité matematické výrazy b) polární soustava – pól S ve středu kružnice, úhlová souřadnice ϕ měřena od svislice procházející středem S kružnice, kladná ve směru hodinových ručiček, v radiánech, středové úhly ϕa a ϕb , poloměr kružnice r

(a)

(b)

Kružnicový oblouk v pravoúhlé (a) a polární (b) souřadnicové soustavě Obr. 4.4. / str. 44 Těžiště rovinných čar

8 / 48

Těžiště kružnicového oblouku Platí:

x = r. sin ϕ xa = r. sin ϕ a xb = r. sin ϕ b

z = r.(1 − cos ϕ ) ds = r.dϕ ϕb

Délka oblouku:

s = ∫ ds =r. ∫ dϕ =r.(ϕ b − ϕ a ) ϕa

s

ϕb

Statické momenty: S x = ∫ z.ds =r 2 . ∫ (1 - cosϕ ).dϕ =r 2 .[(ϕ b − ϕ a ) − (sin ϕ b − sin ϕ a )] s

ϕa xb

S z = ∫ x.ds =r 2 . ∫ sin ϕ .dϕ =r 2 .(cos ϕ a − cos ϕ b ) s

Souřadnice těžiště: xT = r. zT = r. Těžiště rovinných čar

xa

cos ϕ a − cos ϕ b ϕb − ϕa

ϕ b − ϕ a − (sin ϕ b − sin ϕ a ) ϕb − ϕ a 9 / 48

Těžiště kružnicového oblouku a) symetrický kružnicový oblouk podle osy z, středový úhel 2α, ϕa=-α, ϕb=+α

⎛ sin α ⎞ zT = r.⎜1 − ⎟ xT = 0 α ⎝ ⎠

b) půlkružnice, α=π/2

⎛ 2⎞ zT = r.⎜1 − ⎟ =& 0,3634.r xT = 0 ⎝ π⎠

(a)

(b) Symetrický kružnicový oblouk (a) a půlkružnice (b) Obr. 4.5. / str. 44


10 / 48

Příklad 9.1 Zadáno: r =8 30o ϕ a = −30 = − .π = −0,52360 rad o 180 o

ϕb = +22o = +0,38397 rad xT = ?

zT = ?

Řešení: xT = r.

cos ϕ a − cos ϕb = −0,539 m ϕb − ϕ a

ϕb − ϕ a − (sin ϕb − sin ϕ a ) zT = r. = +0,291 m ϕb − ϕ a Zadání a výsledek příkladu 9.1 Obr. 4.6. / str. 45 Těžiště rovinných čar

11 / 48

Težiště parabolického oblouku xa , xb , z a nebo zb

Zadáno:

2 Rovnice paraboly ve zvolené souřadnicové soustavě: z = k .x

z ′ = 2.k .x

Derivace rovnice paraboly: s=

xb

∫

1 + 4 k 2 x 2 dx

xa

k=

xb

S z = ∫ x. 1 + 4k 2 x 2 dx xa

z a zb = xa2 xb2

xb

S x = ∫ kx 2 1 + 4k 2 x 2 dx xa

S využitím: s = ∫ ds = s

xb

∫

1 + z ' 2 dx

xa xb

S z = ∫ x.ds = ∫ x. 1 + z '2 dx s

xa

xb

S x = ∫ z.ds = ∫ z. 1 + z '2 dx s

xa

Parabolický oblouk Obr. 4.7. / str. 45


12 / 48

Numerická integrace určitých integrálů Výpočet určitých integrálů je pracný – numerická integrace s využitím Simpsonova pravidla. Postup: a) Rozdělit integrační obor xb – xa na sudý počet n dílů, body dělení i = 0, 1, …, n Délka jednoho dílku: Δ =

xb − xa n

b) Určit souřadnici xi : xi = xa + i.Δ

Thomas Simpson (1710-1761)

c) Vypočítat číselnou hodnotu fi integrované fukce f(x) d) Přibližná číselná hodnota integrálu je pak: xb

∫

xa

⎡ f 0 + 4( f1 + f 3 + ... + f n −1 ) + ⎤ Δ f ( x )dx ≈ ⎢ . ⎥ ⎣+ 2( f 2 + f 4 + ... + f n − 2 ) + f n ⎦ 3

Přesnost výpočtu závislá na n, pro praktické účely stačí již n=4 Těžiště rovinných čar

Simpsonovo pravidlo Obr. 4.8. / str. 45 13 / 48

Příklad 9.2 Zadáno: xa , xb , zb , za dopočteno z rovnice paraboly, n=4 Výpočet těžiště: Parametr k

k=

2 1 zb −1 = = = 0 , 0 5 m xb2 36 18

Δ=

6+2 =2m 4

Integrál pro i=4 ⎡ f 0 + 4( f1 + f 3 ) + ⎤ 2 ( ) ≈ f x x d ⎢+ 2( f ) + f ⎥. ∫−2 2 4 ⎣ ⎦ 3 +6

Zadání a výsledek příkladu 9.2 Obr. 4.9. / str. 46 Těžiště rovinných čar

14 / 48

Příklad 9.2 Tabulkový výpočet: i

x [m]

1 + (2kx )

kx 2 . 1 + (2kx )

0

-2

1,0244

0,2276

-2,0488

1

0

1,0000

0,0000

0,0000

2

2

1,0244

0,2276

2,0488

3

4

1,0943

0,9727

4,3773

4

6

1,2019

2,4037

7,2111

8,4349

4,6517

17,8460

2

2

x. 1 + (2kx )

2

s = 8,4349 m S x = 4,6517 m 2

S z = 17,8460 m 2

Souřadnice těžiště: xT =

Sz = 2,116 m s


zT =

Sx = 0,551m s

Zadání a výsledek příkladu 9.2 Obr. 4.9. / str. 46 15 / 48

Těžiště rovinné složené čáry Rovinná složená čára vzniká spojením několika (obecně n) jednoduchých rovinných čar v téže rovině. Prvky s označením i=1, …, n mohou mít různou měrnou tíhu γi , pokud je stejná - homogenní složená čára. Postup: a) Složenou čáru umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz b) Pro každý prvek i vypočítat délku si a odpovídající tíhovou sílu Pi = γ i .si c) Pro každý prvek i určit souřadnice xi a zi jeho těžiště Ti d) Zavést sílu Pi do těžiště Ti a určit: n

R = ∑ Pi i =1

n

S x = ∑ Pi .zi i =1

n

S z = ∑ Pi .xi i =1

e) Vypočítat souřadnice těžiště rovinné složené čáry xT =

Sz R


zT =

Sx R 16 / 48

Příklad 9.3 Zadáno: a) Svislá úsečka s hraničními body a1 a a2, γ1 = 1 b) Kružnicový oblouk s hraničními body a2 a a3 , ϕa2 = -1,1760 rad, ϕa3 = 0, r = 3,25 m, γ2 = 1,5 c) Svislá úsečka s hraničními body a3 a a4 , γ3 = 1,2 Řešení: a) délky, tíhy a těžiště prvků i (x2=-1,7007 m, z2=0,6990 m) b) souřadnice těžiště R = 10,807 m

S x = 13,081 m 2

S z = −13,291 m 2

xT = −1,230 m

zT = 1,210 m

Zadání a výsledek příkladu 9.3 Obr. 4.10. / str. 47


17 / 48

Těžiště rovinných příhradových nosníků

T

Pi

R zT

zi +x

+z


18 / 48

Dřevěné příhradové vazníky


19 / 48

Dřevěné příhradové vazníky


20 / 48

Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Jednoduchý rovinný obrazec – obrys umožňuje určit polohu těžiště bez výpočtu na základě symetrie nebo výpočtem podle jednoduchého matematického předpisu, tíhově homogenní Složený rovinný obrazec – několik spojených jednoduchých obrazců

Pi xT

T[xT,zT]

R

zi

zT

+z

Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

+x

21 / 48

Těžiště obecného rovinného obrazce Plošný obsah (plocha) rovinného obrazce A. γ = 1 → A = γ . A Plocha elementárního obdélníka: dA = dx.dz Celková plocha obrazce: A = ∫∫ dA = ∫∫ dx.dz A

A

Směr rovnoběžných elementárních sil dP lze volit: dP = γ .dA = dA a) v rovině vyšetřovaného obrazce xz , povaha rovinné soustavy sil, směr svislý (z) , pak vodorovný (x) Statické momenty obrazce k momentovému středu O: S z = ∫∫ x.dA = ∫∫ x.dxdz A

A

Rozměr [m3]

S x = ∫∫ z.dA = ∫∫ z.dxdz A

Sz s S zT = x s

xT =

Souřadnice těžiště: Z Varignonovy věty:

(a)


A

Těžiště rovinného obrazce jako statický střed rovinné soustavy rovnoběžných sil Obr. 4.11.a. / str. 48 22 / 48

Těžiště obecného rovinného obrazce Směr rovnoběžných elementárních sil dP lze volit:

dP = γ .dA = dA

b) kolmo k rovině vyšetřovaného obrazce xz , tedy ve směru y, povaha prostorové soustavy sil, výpočet statických momentů obrazce ke dvěma souřadnicovým osám (z a x) Obě pojetí vedou ke shodným výsledkům Poučka: Je-li rovinný obrazec symetrický podle nějaké osy symetrie, leží těžiště obrazce nutně na této ose symetrie.

(b)

Má-li vyšetřovaný obrazec dvě nebo více os symetrie – těžiště leží v průsečíku os symetrie a není třeba Těžiště rovinného obrazce jako statický střed prostorové soustavy rovnoběžných sil zjišťovat výpočtem. Obr. 4.11.b. / str. 48


23 / 48

Těžiště jednoduchých rovinných obrazců a) čtverec b) kosočtverec c) obdélník d) kosodélník e) rovnostranný trojúhelník f) pravidelný šestiúhelník g) kruh h) mezikruží i) elipsa (a)

(b)

(f)

(c)

(g)

(d)

(h)

(e)

(i)

Těžiště některých jednoduchých rovinných obrazců Obr. 4.12. / str. 50 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

24 / 48

Těžiště pravoúhlého a obecného trojúhelníku 1 A = .b.h Plocha trojúhelníku: 2

Statický moment: (a)

h h ⎡ zb / h ⎤ b 2 b.h 2 ⎡ z.b ⎤ S x = ∫∫ z.dx.dz = ∫ z ⎢ ∫ dx ⎥ dz = ∫ z ⎢ ⎥ dz = ∫ z dz = h ⎦ h0 3 A 0 ⎣ 0 0 ⎣ ⎦ h

(b)

(c)

(d)

Těžiště trojúhelníku Obr. 4.13. / str. 50 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

25 / 48

Těžiště pravoúhlého a obecného trojúhelníku b.h 2 2 2 zT = . = .h 3 b.h 3

Svislá pořadnice těžiště:

1 3

Výpočet ze souřadnic vrcholů: xT = .(x1 + x2 + x3 ) (a)

(b)

(c)

1 zT = .( z1 + z 2 + z3 ) 3

(d)

Těžiště trojúhelníku Obr. 4.13. / str. 50 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

26 / 48

Plocha kruhové úseče Symetrie podle osy z, polární soustava – středový úhel 2α, poloměr kružnice r (převod z pravoúhlé x = r . sin ϕ d x = r . cos ϕ . d ϕ d z = r . sin ϕ . d ϕ ( ) z = r . 1 − cos ϕ Platí: soustavy do polární)

Plocha úseče:

α

A = ∫∫ dx.dz = 2.∫ r. sin ϕr. sin ϕdϕ = 2.r A

0

α 2

sin 2α ⎞ 2 2 ⎛ sin ϕ r d ϕ r . α = − ⎜ ⎟ ∫0 2 ⎠ ⎝

Statický moment: zb

S x = ∫∫ z.dx.dz = 2. ∫ x.z.dz = A

0

α

= 2.∫ r. sin ϕ .r.(1 − cos ϕ ).r. sin ϕ .dϕ = 0

α

= 2.r

3

2 ( ) − ϕ ϕ .dϕ = 1 cos . sin ∫ 0

⎛ α sin 2α sin α ⎞ ⎟⎟ = 2.r 3 .⎜⎜ − − 2 4 3 ⎝ ⎠ 3


(a) Těžiště kruhové úseče Obr. 4.14.a. / str. 51 27 / 48

Těžiště kruhové úseče, půlkruhu a čtvrtkruhu ⎛ α sin 2α sin 3 α ⎞ ⎟⎟ − 2.r .⎜⎜ − 2 4 3 ⎠ ⎛ 4 Sx sin 3 α ⎞ ⎝ ⎟⎟ = r.⎜⎜1 − . = zT = sin 2α ⎞ A ⎛ ⎝ 3 2α − sin 2α ⎠ r 2 .⎜α − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 3

Souřadnice kruhové úseče: Půlkruh: α = π 2

zT =

Sx 4 ⎞ ⎛ = r.⎜1 − ⎟ =& 0,5756r A ⎝ 3.π ⎠

(a)

Čtvrtkruh: xT = r − zT =

(b)

4.r =& 0,4244r 3.π

(c)

Těžiště kruhové úseče (a), půlkruhu (b) a čtvrtkruhu (c) Obr. 4.14. / str. 51 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

28 / 48

Příklad 9.4 Zadáno: r = 3,5m

2α = 120o → α = 60o =

zT = ?

π = 1,0472rad 3

Řešení: ⎛ 4 Sx sin 3 α ⎞ ⎟⎟ = 1,032 m zT = = r.⎜⎜1 − . α α A 2 − sin 2 3 ⎝ ⎠

Zadání a výsledek příkladu 9.4 Obr. 4.15. / str. 52 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

29 / 48

Těžiště parabolické úseče Plocha parabolické úseče:

zb

xb

xb

4 4 z A = ∫∫ dx.dz = 2. ∫ x.dz = 2. ∫ x.2kx.dx = 4k . ∫ x 2 .dx = . b2 .xb3 = .xb zb. 3 xb 3 A 0 0 0

Statický moment parabolické úseče:

4 zb2 5 4 S x = ∫∫ z.dx.dz = 2. ∫ z.x.dz = 2. ∫ kx .2kx.dx = 4k . ∫ x .dx = . 4 .xb = .xb zb2 5 5 xb A 0 0 0

Vzdálenost těžiště:

4 3 3 zT = .xb zb2 . = zb 5 4.xb zb 5

zb

xb

xb

3

2

4

(a) Těžiště parabolické úseče Obr. 4.16.a. / str. 53 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

30 / 48

Těžiště poloviny parabolické úseče Plocha poloviny parabolické úseče:

2 A = .xb zb. 3

Statický moment poloviny parabolické úseče:

xb 2 xb ⎤ ⎡x zb xb4 1 2 x 3 S z = ∫∫ x.dx.dz = ∫ ⎢ ∫ x.dx ⎥ dz = ∫ .2kx.dx = k . ∫ x .dx = 2 . = .xb zb xb 4 4 2 A 0 ⎣0 0 0 ⎦

Vzdálenost těžiště:

zb

1 3 3 xT = .xb2 zb . = xb 4 2.xb zb 8

(b) Těžiště poloviny parabolické úseče Obr. 4.16.b. / str. 53 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

31 / 48

Těžiště ocelových válcovaných tyčí Válcované průřezy (profily): různé tvary, I-profil, U-profil, rovnoramenný úhelník

(a)

(b)

(c)

Příklady válcovaných profilů Obr. 4.17. / str. 53 Těžiště jednoduchých rovinných obrazců

32 / 48

Ocelové válcované tyče


33 / 48

Tabulky ocelových válcovaných profilů


34 / 48

Tabulky ocelových válcovaných profilů


35 / 48

Ocelové válcované tyče profilu I


36 / 48

Ocelové válcované tyče profilu U


37 / 48

Ocelové válcované rovnoramenné úhelníky


38 / 48

Ocelové válcované nerovnoramenné úhelníky


39 / 48

Ocelové železniční kolejnice


40 / 48

Těžiště složených rovinných obrazců Složený rovinný obrazec vzniká spojením několika (obecně n) jednoduchých rovinných obrazců v téže rovině. Prvky s označením i=1, …, n mohou mít různou měrnou tíhu γi , pokud je stejná - homogenní složený rovinný obrazec. Postup: a) Složený obrazec umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz b) Pro každý prvek i vypočítat plochu Ai a odpovídající tíhovou sílu Pi = γ i . Ai c) Pro každý prvek i určit souřadnice xi a zi jeho těžiště Ti, možno použít lokální souřadnicovou soustavu d) Zavést sílu Pi do těžiště Ti a určit: (pro homogenní obrazce platí R=A)

n

R = ∑ Pi i =1

n

S x = ∑ Pi .zi i =1

n

S z = ∑ Pi .xi i =1

e) Vypočítat souřadnice těžiště složeného rovinného obrazce xT =

Sz R

zT =

Sx R

Těžiště složených rovinných obrazců

41 / 48

Těžiště kosodélníku, lichoběžníku a obecného čtyřúhelníku a) kosodélník – úhlopříčka souřadnicová osa z

(h1 + h2 ) b.h1 b h1 b.h2 2.b A = = x = z = A = x = z 2 2 2 b) lichoběžník: 1 2 1 3 1 3 2 3 3 b.(h1 + h2 ) b.h h b.h (h + h ) b R= A= S x = 1 . 1 + 2 . 1 2 = . h12 + h1.h2 + h22 2 2 3 2 3 6

(

)

b h1 + 2.h2 b.h1 b b.h2 2.b b 2 Sz = . + . = .(h1 + 2.h2 ) xT = . 3 h1 + h2 2 3 2 3 6

1 h12 + h1.h2 + h22 zT = . 3 h1 + h2 c) obecný čtyřúhelník – obrazec složený ze dvou trojúhelníků (a) (b) (c)

Těžiště kosodélníku (a), lichoběžníku (b) a obecného čtyřúhelníku (c) Obr. 4.18. / str. 54 Těžiště složených rovinných obrazců

42 / 48

Těžiště rovinného obrazce složeného z válcovaných tyčí

xT PU zi R T[xT,zY] PI

zU

zI

+z


zT

+x

43 / 48

Těžiště složených obrazců s otvory a výřezy Zvláštní případ složených obrazců – s otvory (s oslabením) nebo s výřezy (otvory sousedící s obrysem obrazce) Výpočet: Jednotlivé obrazce považovat za samostatné prvky bez otvorů, otvory považovat za další prvky se zápornou plochou a měrnou tíhou stejnou jako obrazec obklopující.


44 / 48

Příklad 9.5 Zadáno: homogenní složený rovinný obrazec oslabený otvory, složený z půlkruhu r=0,3m, obdélníku a dvou kruhových otvorů o r=0,1m. Výpočet těžiště: a) plochy a souřadnice těžišť prvků i b) výslednice a statické momenty složeného obrazce R = 0,5585 m 2 S x = 0,3164 m 3 S z = +0,00628 m 3

c) souřadnice těžiště složeného obrazce xT = 0,0112 m zT = 0,5665 m

Zadání a výsledek příkladu 9.5 Obr. 4.19. / str. 55 Těžiště složených rovinných obrazců

45 / 48

Příklad 9.6 Zadáno: tíhově homogenní rovinný obrazec tvaru L (lze řešit jako dva obdélníky nebo jako obdélník opsán průřezu a jeho obdélníkový výřez) Výpočet těžiště: a) plochy a souřadnice těžišť prvků i b) výslednice a statické momenty složeného obrazce R = 0,1275 m 2 S x = 0,04669 m 3 S z = 0,01706 m 3

c) souřadnice těžiště složeného obrazce xT = 0,134 m

zT = 0,366 m


46 / 48

Příklad 9.7 Zadáno: tíhově nehomogenní rovinný obrazec ze tří obdélníků, γ1 a γ3 = 1, γ2 = 3 Výpočet těžiště: a) tíhové síly a souřadnice těžišť prvků i b) výslednice a statické momenty složeného obrazce R = 0,87 m 2 S x = 0,7365 m 3 S z = −0,0735 m 3

c) souřadnice těžiště složeného obrazce xT = −1,230 m

zT = 1,210 m


47 / 48

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Výpočet těžiště rovinných čar 2. Výpočet těžiště jednoduchých rovinných obrazců 3. Výpočet těžiště složených rovinných obrazců

Podklady ke zkoušce

48 / 48

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Recommend Documents