Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Nominální napětí v pásnici 0.025 Mean Std

Std

0.02

0.015

Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

0.01

0.005

140

160

180

200

220

240

260

Osnova přednášky 

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny:   



Přehled důležitých spojitých rozdělení pravděpodobnosti Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Lognormální rozdělení pravděpodobnosti

Programový nástroj HistAn:   

Představení programového prostředku Aproximace parametrického rozdělení pravděpodobnosti useknutým histogramem Tvorba parametrického rozdělení pravděpodobnosti:  



Zadáním statistických momentů – parametrů Zpracováním naměřených hodnot – prvotních dat

Volba vhodného parametrického rozdělení s využitím:  

Koeficientu těsnosti Reziduálního (zbytkového) součtu čtverců

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

1 / 21

(Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány  x   2  analytickou funkcí – např. obecný vzorec funkce f  x  ,   1 e 2 2 2  hustoty normálního (Gaussova) rozdělení Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny (např.  střední hodnota a  směrodatná odchylka) Nominální napětí v pásnici 0.025 Mean

Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti

Std

Std

0.02

0.015

Mez kluzu Mean Std

0.025

Std

0.01

0.02

0.005

0.015 140

160

180

200

220

240

260

0.01

0.005

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

420

definovány na základě měření, často i dlouhodobých 2 / 21

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Variable 1

Důležitá spojitá rozdělení pravděpodobnosti: • Rovnoměrné rozdělení • Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení) • Exponenciální rozdělení • Laplaceovo rozdělení • Logistické rozdělení Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny parametry • Maxwellovo rozdělení (např. střední hodnota a směrodatná • Studentovo rozdělení odchylka) • Fischerovo-Snedecorovo rozdělení • χ² rozdělení (Chí kvadrát) Mean

0.02

Std

Std

0.015

0.01

0.005

240

260

280


300

320

340

360

3 / 21

Normální rozdělení pravděpodobnosti Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti:  x   2  1 2 f  x  ,   e 2 2 

 ... střední hodnota

f  x  ,  

1  ( x ) 2 1 e 2 2 

1 n    xi n i 1

 ... směrodatná odchylka

1 n 2    x    i n i 1


4 / 21

Mez kluzu fy oceli S235


5 / 21

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny  ... střední hodnota  ... směrodatná odchylka

Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti 1 f  x  ,   e 2 



 x   2 2

0,1

2

0,09 0,08 0,07

Obecný vzorec funkce hustoty lognormálního rozdělení pravděpodobnosti 1 f  x  ,   e x 2 

 ln x   2 2

2

s=0.5

1 n    ln  xi  n i 1

0,06

s=0.75 s=1

1 n lnxi    2   n i 1

0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0,1

1,1


2,1

3,1

4,1

5,1

6 / 21

Mez kluzu fy oceli S235


7 / 21

Tlaková pevnost betonu


8 / 21

Krycí vrstva betonu


9 / 21

Pevnost zdiva


10 / 21

Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti


11 / 21

Programový nástroj HistAn   









Slouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů. Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu) Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu) Určení kombinace několika vstupních histogramů Určení tzv. sumárního histogramu (výpočty s tzv. větrnou růžicí) Tvorba histogramů s parametrickým rozdělením Zpracování naměřených (prvotních) dat


12 / 21

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc) 







Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich vyhodnocování. Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozdělením s možností volby počtu intervalů. Použití histogramů s parametrickým rozdělením. K dispozici škála 23 typů s možností výběru nejvhodnějšího z nich pro daný soubor získaných či naměřených hodnot s využitím koeficientu těsnosti.


13 / 21

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc) Pravděpodobnost pro „useknutí“ parametrického rozdělení

                     


Normální LogNormální Gumbel I a II Raised-Cosine Cauchy Fischer-Tippett Laplace Logistic Weibull Rayleigh Lévy Student Beta v nule Beta obecné Gama Snedecorovo Pareto Uniform Trianguler Exponenciální X2 Half-Logistic

14 / 21

Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti

Histogram aproximace parametrického rozdělení pravděpodobnosti omezeným diskrétním (discrete) rozdělením pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

15 / 21

Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení Charakteristiky odvozených parametrických dat

Výběr vhodného rozdělení dle koeficientu těsnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

16 / 21

Koeficient těsnosti 2 2 s  .  yi  Yi  . Yi  y  y,x 2 sY n i 1   s y2 s y2

sY2  0,1 2 sy

1 2 s y2  .  yi  y  n i

rozptyly pro n intervalů

1 2 sY2  . Yi  y  n i s

2 y,x

1 2  .  yi  Yi  n i

Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnosti parametrického rozdělení v příslušné hodnotě xi y ... střední hodnota ze všech yi Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

17 / 21

Reziduální (zbytkový) součet čtverců Rozptyl

1 2 s y2, x  .  yi  Yi  n i

... žádoucí nejmenší hodnota

Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnosti parametrického rozdělení v příslušné hodnotě xi


18 / 21

nevhodná vhodná

Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik


19 / 21

Využití histogramů s parametrickým rozdělením pravděpodobnosti


20 / 21

Závěry Přednáška: 

byla zaměřena na způsob vyjádření náhodných veličin formou parametrického rozdělení pravděpodobnosti,



ukázala základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti a výpočetní postup pro jejich sestrojení,



vysvětlila využití koeficientu těsnosti pro volbu vhodného parametrického rozdělení pravděpodobnosti,



představila jednoduchý programový prostředek HistAn, kterým lze pro další pravděpodobnostní výpočty vytvářet histogramy s parametrickým rozdělením pravděpodobnosti.

Závěry

22 / 22

Děkuji za pozornost!

Nominální napětí v pásnici 0.025 Mean Std

Std

0.02

0.015

0.01

0.005

140

160

180

200

220

240

260

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Recommend Documents