Technologie výpočtu vybraných parametrů tíhového pole Země ÚVOD Cílem bylo vytvořit a ověřit technologii pro výpočet parametrů tíhového pole Země pomocí webové aplikace. Technologie umožňuje výpočet parametrů různých polí: tíhového a gravitačního pole Země W a V, normálního tíhového a gravitačního pole Země Wn a Vn a poruchového pole T. Počítá se potenciál těchto polí z globálního modelu EGM08, jeho první derivace ve směrech os sférického souřadnicového systému a druhá derivace podle průvodiče r. Kromě toho technologie stanovuje postup pro přímý výpočet (tzn. bez explicitního zadávání typu parametru a použitého pole) některých běžně používaných parametrů: výškové anomálie a tížnicové odchylky. Technologie využívá ojedinělý (velmi rychlý a přesný) způsob výpočtu přidružených Legendreových funkcí nezbytných pro výpočet uvedených parametrů. Technologie popisuje dvě základní částí webové aplikace: výpočetní jádro - program v C++, který počítá výsledky na serveru VÚGTK a webový interface v jazycích PHP a Python. Všechny uvedené vzorce pro globální modely předpokládají vstup ve sférických souřadnicích (r, , ). Uživatel bude moci zadávat své souřadnice buďto v systému WGS84/ETRS89 nebo v systému JTSK. Souřadnice v systému JTSK budou nejprve transformovány pomocí globálního transformačního klíče pro ČR do ETRS89/WGS84. Následovat bude transformace z geodetických souřadnic do sférických souřadnic (r, , ). Tyto transformace jsou všeobecně známé (*1+, *2+). Chyby transformace rovinných souřadnic ze systému JTSK do výše popsaných geocentrických systému nejsou z pohledu naší aplikace podstatné, protože jsou o několik řádů menší než rozlišení použitých globálních i lokálních modelů (5’x5’, resp. 30”x30”). Lokální modely jsou uloženy ve formě rastru v souřadnicovém systému WGS84.
VÝPOČTY Z GLOBÁLNÍCH MODELŮ Protože koeficienty globálních modelů potenciálu (GGM) mají obecně jiné parametry GM, a než jsou parametry elipsoidu WGS84, je nutná jejich transformace *1+
(1)
n, m : C nm
GM EGM a EGM C nm GM WGS 84 aWGS 84
n 1
, S nm
GM EGM a EGM S nm GM WGS 84 aWGS 84
n 1
kde GM EGM , a EGM jsou parametry GGM a GM WGS 84 , aWGS 84 jsou parametry elipsoidu WGS84. Cnm a Snm jsou (plně normalizované) Stokesovy koeficienty GGM. V následujícím textu, není-li uvedeno jinak, používáme zkratky GM = GM WGS 84 , a = aWGS 84 .
Výpočet gravitačního potenciálu V Vstup: souřadnice , , h v systému WGS84 Výstup: hodnota V v jednotkách m2.s-2
Nejprve transformujeme souřadnice do sférické soustavy souřadnic (r, , ). Gravitační potenciál V počítáme z aktuálního globálního modelu geopotenciálu (GGM) pomocí vzorce (2)
GM V (r , , ) r
N max a n 1 Vn ( , ) , n2 r
kde Nmax je nejvyšší stupeň a řád daného GGM,θ = 90˚ - je pólová vzdálenost a funkce Tnje funkce definovaná předpisem: (3)
Vn ( , ) C nm cos m S nm sin m Pnm (sin ) n
m 0
kde Cnm , S nm jsou (plně normalizované a transformované podle (1)) Stokesovy koeficienty GGM a Pnm jsou plně normalizované přidružené Legendrerovy funkce.
Výpočet potenciálu normálního tíhového pole U Vstup: souřadnice , h v systému WGS84 (na souřadnici výsledek nezávisí) Výstup: hodnota U v jednotkách m2.s-2
Za normální pole bereme pole elipsoidu WGS84. Po transformaci vstupních souřadnic do sférické soustavy souřadnic (r, , ) určíme hodnotu normálního potenciálu jako (4)
U = Vnorm + Φ,
kde Vnorm je normální gravitační potenciál, který spočteme podle (5)
GM Vnorm (r , ) r
2n k a 1 J 2 n P2 n (sin ) , n 1 r
a Φ je odstředivý potenciál, který počítáme pomocí vztahu (6)
1 (r , ) 2 r 2 sin 2 , RRR5 2
kde k určuje stupeň rozvoje normálního potenciálu (stačí zvolit k=10) a P2n(cos θ) jsou Legendrerovy polynomy. Konstanta J2 je pro elipsoid WGS84 pevně určena a koeficienty J2n se z ní určují pomocí vzorce (7)
J 2 n (1) n1
3e 2 n 1 n 5nJ 2 e 2 (2n 1)(2n 3)
Plně normalizované koeficienty z nich spočítáme pomocí vztahu (8)
J 2n
J 2n 2n 1
Výpočet tíhového potenciálu W Vstup: souřadnice , , h v systému WGS84 Výstup: hodnota W v jednotkách m2.s-2
Hodnotu W spočítáme snadno pomocí vzorce (9)
W(r, , ) = V(r, , ) + Φ(r, ),
kde V spočítáme podle (2) a Φ podle (6).
Výpočet poruchového potenciálu T Vstup: souřadnice , , h v systému WGS84 Výstup: hodnota T v jednotkách m2.s-2
Poruchový potenciál T se spočítáme podle vztahu (10)
T(, , h) = W(, , h) - U(, , h),
kde hodnotu W(, , h) určíme podle (2) a U(, , h) podle (5). Poruchový potenciál můžeme rovněž vyjádřit ve formě řady (11)
GM EGM GM WGS 84 GM T (r , , ) aWGS 84 r
N max
n2
n
a Tn ( , ) , r
kde Tn ( , ) C nm cos m S nm sin m Pnm (sin )
pro liché n
Tn ( , ) (C n 0 J n ) Pn (sin ) C nm cos m S nm sin m Pnm (sin )
pro sudé n
n
(12)
m 0
n
m 1
Výpočet tíhové anomálie Δg Vstup: souřadnice , , h v systému WGS84 Výstup: hodnota Δg v jednotkách mGal (1 mGal = 10-5 ms-2)
Opět nejprve transformujeme geodetické souřadnice do sférických a hodnotu Δg vyjadřuje vzorec (13)
g (r , , )
GM r2
n
a (n 1) Tn ( , ) r n2
Nm ax
Výsledek je nutné vynásobit konstantou k=105, abychom dostali výsledek v mGal.
Výpočet radiální derivace tíhového zrychlení gr Vstup: souřadnice , , h v systému WGS84 Výstup: hodnota gr v jednotkách mGal na km (fyzikální rozměr s-2)
Hodnotu gr rozložíme na dvě složky (14)
gr
g g r h r
Dílčí složky radiální derivace spočítáme pomocí vztahů (15)
2 a 2 e (1 f m 2 f sin 2 ), m , h a e
kde e je velikost normálního zrychlení na elipsoidu, kterou spočítáme podle (19) a f jeho zploštění. Druhou složku spočítáme podle vzorce (16)
g GM 3 r r
n
a (n 2)(n 1) Tn ( , ) r n2
Nm ax
Následně vynásobíme řešení konstantou k=108, abychom dostali výsledek v požadovaných jednotkách.
Výpočet výškové anomálie ζ Vstup: souřadnice , , h v systému WGS84 Výstup: hodnota ζ v jednotkách m
Výškovou anomálii určíme ze vztahu (17)
( , , h)
T ( , , h) ( , , h)
Výpočet velikosti vektoru normálního zrychlení γ
Vstup: souřadnice , , h v systému WGS84 Výstup: hodnota γ v jednotkách mGal (1 mGal = 10-5 ms-2)
(18)
1
(19)
2 a
( , h) ( ,0) 1 (1 f m 2 f sin 2 )h
( ,0) a
3 2 a 2 h ) , m e a2
b b a a sin 2 a b 1 e 2 sin 2
Konstanty a, b, f, γa, γb, ω jsou parametry zvoleného elipsoidu. Parametry elipsoidu WGS84 jsou (podle [3]) a
= 6 378 137 m
b
= 6 356 752, 3142 m
e2
= 6,694 379 990 14 . 10-3
f
= 1/298,257 223 563
ω
= 7 292 115 . 10-11 rad s-1
GM
= 3 986 004, 418 . 108 m3 s-2
γa
= 9,780 325 3359 m s-2
γb
= 9,832 184 9378 m s-2
Parametry se pro různé modely GGM, ale vždy jsou uvedeny v jeho dokumentaci.
GENEROVÁNÍ PŘIDRUŽENÝCH LEGENDREROVÝCH FUNKCÍ Pnm Klasický způsob generování přidružených Legendrerových funkcí je založen na rekurentních formulích. S těmi je možné počítat modely do stupně a řádu 360. Nový EGM08 ovšem obsahuje koeficienty do stupně a řadu 2160. Pro takto vysoký stupeň a řád již nelze pomocí těchto
jednoduchých rekurentních formulí přidružené Legendrerovy funkce počítat a výpočet je nutné podstatně modifikovat. VOLBA ALGORITMU Rešerší dostupné literatury zabývající se generováním přidružených Legendreových funkcí byl zvolen jako nejvhodnější algoritmus „Forward column“ (FC) algoritmus s numerickým řešením problému podtečení rozsahu pomocí škálování. Pro stupeň a řád použitý v současném modelu EGM08 stačí konstantní škálování (přibližně do stupně a řádu 2800). Zároveň byla testována metoda dynamického škálování, kterou je možné užít i pro případné budoucí modely tíhového pole Země do vyšších řádů a stupňů (funguje spolehlivě nejméně do stupně a řádu 20000). Pro účely aplikace byl však algoritmus mírně modifikován následujícím způsobem: Normované Legendreovy funkce mají tvar (pro bod o sférických souřadnicích P[r, ])
Tento tvar je výhodný při výpočtech vysoko nad zemským povrchem, kdy může hodnota
dosáhnout velmi vysokých hodnot a hrozí přetečení. Naše aplikace bude sloužit pro výpočty na povrchu Země či v jejím blízkém okolí, kde lze ukázat, že přetečení z tohoto důvodu nehrozí. Proto postačí tvar normovaných ALF
který má tu výhodu, že normované ALF jsou závislé pouze na polární vzdálenosti a nikoliv na velikosti průvodiče r, což výrazně redukuje počet nutných výpočtů normovaných ALF při výpočtech v rastru na povrchu Země, kdy se pro danou zeměpisnou šířku mění r ale zůstává konstantní. IMPLEMENTACE Protože pro uvedený algoritmus neexistuje vhodná knihovna, bylo přistoupeno k jeho implementaci. Algoritmus byl implementován nejprve v jazyce Matlab, ve kterém byla ověřena jeho spolehlivost a přesnost. Metoda dynamického škálování byla rovněž implementována. Protože testy potvrdily vysokou přesnost a efektivnost metody konstantního škálování pro model do stupně a řádu 2190, bylo přistoupeno k její finální implementaci v jazyce C++. Po úspěšném testování přesnosti implementace v C++ byla věnována značná pozornost časové optimalizaci programu. V neoptimalizovaném kódu trvá výpočet ALF pro jeden bod přibližně 2 s,
po optimalizaci se podařilo dosáhnout času přibližně 0,07 s / bod na běžném PC. Na výkonném serveru, kde aplikace poběží, lze předpokládat ještě výrazně vyšší rychlost. Hlavními metodami optimalizace bylo: 1. Důsledné využívání všech jednou vypočítaných hodnot i ve všech následujících výpočtech (např. normovací koeficienty). 2. Sekvenční přístup do polí v paměti pro lepší využití vyrovnávací paměti procesoru. 3. Úprava některých vzorců do rekurzivní podoby (např. časově náročné umocňování je nahrazeno postupným násobením). Výsledkem optimalizace je velice rychlý program, což ukázaly i testy (viz dále). Detaily implementace jsou patrné z přiložených zdrojových kódů a podrobné dokumentace programu. TESTY Protože není možné testovat přímo hodnoty ALF (chybí spolehlivý srovnávací SW), byl program rozšířen a nyní již umožňuje nejen spočítat hodnoty ALF, ale i provést syntézu a spočítat některé parametry tíhového pole Země (zatím však pouze ve speciálních případech pro účely testování s nutností modifikace zdrojového kódu, obecné řešení bude řešeno v dalších aktivitách). Níže uvedené testy tak testují nejen generování samotných ALF, ale i celou řadu výpočetních postupů použitých v aplikaci (transformace souřadnic, korekce C20členu, výpočty parametrů normálního pole GRS80 elipsoidu…). TESTY PŘESNOSTI VÝPOČTU K porovnání byly použity programy Synth *1+ a Gravsoft *2+. Jak již bylo zmíněno, ani jeden z těchto programů neumožňuje přímý výstup samotných ALF, proto byly porovnány výsledky vhodné z nich z nich odvozené veličiny. Takovou veličinou je výšková anomálie ζ, protože její výstup umožňují oba programy a zároveň je výpočet z ALF a koeficientů modelu Cnm, Snm poměrně jednoduchý. Navíc má tato veličina rozměr *m+, což usnadní kvantifikaci případných rozdílů ve výsledcích. Oba programy dávají různé výsledky, lišící se přibližně o 1 m. Je to způsobeno použitím jiného systému pro Stokesův koeficient modelu C20 (zero-tide, resp. mean-tide) a také faktem, že Synth při výpočtu zanedbává vliv členu nultého řádu v rozvoji (kvůli neznalosti přesného parametru GM jej nelze spočítat přesně), kdežto Gravsoft tento člen počítá (i když pouze přibližně). Oba výsledky lze tedy považovat za správné. Naše aplikace umožňuje oba režimy výpočtu a je tak možné srovnání s oběma programy. Testování bylo provedeno na 10 bodech o různé zeměpisné šířce, délce a výšce rovnoměrně rozložených na území ČR a v blízkém okolí. Výsledky shrnuje
tab. 1. Protože výsledky vychází absolutně shodně, testování na dalších bodech není považováno za nutné. Některé chyby způsobené podtečením a přetečením se projevují pouze v některých zeměpisných šířkách. Proto byly udělány další testy, které ukazují opět na absolutně shodné výsledky i pro tyto problematické šířky, pro účely naší aplikace však nemají význam a nejsou zde uvedeny.
souřadnice bodu (GRS80) φ
λ
h
49
13
50
ζ
ζ'
Gravsoft
GeoCalc rozdíl
Synth
Geocalc
rozdíl
300
46.279
46.279 0.000
47.195
47.195
0.000
13
500
46.378
46.378 0.000
47.292
47.292
0.000
51
13
800
43.985
43.985 0.000
44.898
44.898
0.000
49
15
300
45.601
45.601 0.000
46.517
46.517
0.000
50
15
500
43.932
43.932 0.000
44.846
44.846
0.000
51
15
800
42.023
42.023 0.000
42.936
42.936
0.000
49
17
300
42.807
42.807 0.000
43.722
43.722
0.000
50
17
500
43.471
43.471 0.000
44.386
44.386
0.000
51
17
800
40.261
40.261 0.000
41.173
41.173
0.000
50
18
500
42.026
42.026 0.000
42.941
42.941
0.000
tab. 1 - Porovnání přesnosti výpočtu
TESTY RYCHLOSTI VÝPOČTU Neoptimalizovaný výpočet parametrů tíhového pole Země trvá pro jeden bod přibližně 2 s (viz výše). Rychlost výpočtu je proto velmi důležitá. Provedli jsme proto srovnání rychlosti všech tří použitých programů. Výsledky shrnuje tab. 2 a graf 1. program / počet bodů
1
10
20
50
200
500
GeoCalc
0.8
1.4
2.0
4.1
14.9
35.5
Gravsoft
7
32
55
115
Synth
35
36
37
42
64
109
Tab. 2 - Porovnání rychlosti výpočtu v [s] 200,0 180,0 160,0
y = 2,164x + 8,427
140,0
120,0
GeoCalc
y = 0,148x + 34,46
100,0
Gravsoft
80,0
Synth
60,0 y = 0,069x + 0,702 40,0 20,0 0,0 0
100
200
300
400
500
600
Graf 1 – Závislost výpočetního času jednotlivých programů na počtu bodů v [s]
Výpočet byl prováděn pro náhodně rozmístěné body, kdy jednotlivé programy nemohly využít předchozích výsledků pro další body. Pokud se provádí výpočet v rastru geodetických souřadnic, stačí počítat časově nejnáročnější ALF pouze pro každou zeměpisnou šířku zvlášť. Neplatí to však již pro rastr v souřadnicích S-JTSK a program Synth této vlastnosti navíc dokáže využít pouze v případě, že jsou všechny body stejně vysoko nad referenční koulí, což výrazně limituje možnost využití tohoto způsobu zrychlení výpočtu. Srovnání výpočtu pro jednotlivé body lze proto považovat za nejobjektivnější porovnání rychlosti výpočtu. Výsledky jednoznačně prokazují efektivitu implementovaného algoritmu, který je více než 2x rychlejší než druhý nejrychlejší program Synth. Synth by navíc bylo v aplikaci obtížné použít kvůli velmi dlouhému spouštění programu, který trvá přes 30 s i při výpočtu jediného bodu. To je způsobeno patrně pomalým načítáním souboru Stokesových koeficientů, přestože byl celý tento soubor při všech testech uložen v paměťové cache a nebylo jej nutno načítat z pevného disku. SHRNUTÍ TESTŮ Provedené testy ukazují na vynikající přesnost i rychlost výpočtu poruchového potenciálu a výškové anomálie. Výsledky přesně odpovídají srovnatelným programům (Gravsoft a Synth) a to při několikanásobně (až řádově) kratším výpočetním čase.
ZÁVĚR pro výpočet normovaných ALF byl zvolen a implementován algoritmus, jehož vysoká kvalita a efektivita byla potvrzena srovnávacími testy s obdobnými programy. Program je předán ve formě zdrojových kódu včetně obsáhlé dokumentace i ve formě spustitelného souboru. Testy jsou předány ve formě textových dokumentů včetně tabulek a grafů.
VÝPOČTY Z LOKÁLNÍCH MODELŮ Všechny výpočty z lokálních modelů se dělají pomocí interpolace z předem připraveného rastru. Výhodou proti použití globálních modelů je vyšší rychlost výpočtu, vyšší prostorové rozlišení lokálního modelu i jeho vyšší přesnost. Nevýhodou ovšem je, že veličiny jsou vždy vztaženy pouze k jedné ploše, na níž jsou spočítány (topografie, geoid apod.). Z lokálního modelu lze pak interpolovat hodnoty opět pouze na této ploše. Většinu hodnot počítaných z lokálních modelů tedy budeme určovat prostou interpolací z předpočítaných rastrů. Některé hodnoty však velmi silně závisí na výšce a uživatel musí svou přesnou nadmořskou výšku pro výpočet zadat. Jedná se o velikosti vektoru tíhového zrychlení g a tíhovou anomálii Δg.
Výpočet velikosti vektoru tíhového zrychlení g Vstup: souřadnice , v systému WGS84, H nadmořská výška1 (normální Moloděnského) Výstup: hodnota g v jednotkách m.s-2
Výpočet velikosti vektoru tíhového zrychlení na povrchu Země se bude počítat podle vzorce (20)
1
g (, , H ) g B (, ) AB (, ) AT (, ) F ( H ) (, H )
Výška H musí být výška na povrchu Země, tímto postupem nelze interpolovat hodnoty nad zemským povrchem. Nelze ji ovšem brát z DMT, protože velikost tíže velmi silně závisí na výšce a proto musí být spočtena přesně pro uživatelem zadanou nadmořskou výšku.
Hodnota
g B ( , )
je
Bouguerova
tíhová
anomálie,
která
bude
vyinterpolována
z předpočítaného rastru (výpočet je velmi náročný a nelze jej provádět online). AB ( , ) je gravitační zrychlení generované Bouguerovou sférickou slupkou, která bude interpolovaná z předpočítaného rastru. AT (, ) je terénní korekce ve sférické aproximaci, která bude rovněž interpolovaná z předpočítaného rastru. Hodnota F(H) je redukce ve volném vzduchu, která se spočítá podle vztahu (21)
F(H) = 0,3086h
a ( , H ) je velikost normálního zrychlení, které spočteme podle vzorce (18).
Výpočet tíhové anomálie Δg Vstup: souřadnice , v systému WGS84, H nadmořská výška1 (normální Moloděnského) Výstup: hodnota Δg v jednotkách m.s-2
Hodnotu spočítáme podle vztahu (22)
g ( , , H ) g ( , , H ) ( , H )
Hodnotu g ( , , H ) spočítáme pomocí (20) a ( , H ) podle (18).
Výpočet ostatních parametrů počítaných z lokálních modelů Vstup: souřadnice , v systému WGS84.
Výstup:
příčná složka tížnicové odchylky η ve stupních meridiánová složka tížnicové odchylky ξ ve stupních Bouguerova anomálie g B ( , ) v mGal terénní korekce AT (, ) v mGal gravitační zrychlení generované Bouguerovou sférickou slupkou AB ( , ) převýšení kvazigeoidu ζ v m převýšení geoidu N v m
Tyto hodnoty máme předpočítané a uložené ve formě rastru. Jednotlivé rastry jsou předpočítané vždy vztažené k nějaké výšce (ke geoidu, k topografii, ...) a výsledek interpolace je vždy vztažen k odpovídající výšce. Zadávání výšky od uživatele zde tedy nemá význam.
Interpolace
Hodnoty z jednotlivých rastrů budeme interpolovat pomocí bilineární interpolace z okolních buněk rastru
(23)
f ( , ) ( 2 1 )
f 1 , 1 f 2 , 1
f 1 , 2 2 , f 2 , 2 1
kde i, i jsou souřadnice okolních 4 buněk rastru, f(i, i)hodnoty těchto buněk rastru a , prostorové rozlišení rastru.
Popis jednotlivých předpočítaných rastrů
Rastry máme uložené v textovém formátu a v databázi GIS GRASS, která nám umožňuje export do celé řady dalších formátu. Konkrétní formát rastrových dat pro aplikaci bude zvolen až ve fázi programování znalostního systému. Podrobný popis těchto rastrů a jejich vzniku zde nebude pro svůj rozsah uváděn, většinou jsou uvedeny odkazy na články, ve kterých jsou data popsána.
Digitální model terénu Digitální model hustoty hornin Tíhové zrychlení na povrchu Země Popis těchto rastrů je uveden v *6+.
Příčná složka tížnicové odchylky η Meridiánová složka tížnicové odchylky ξ Převýšení geoidu N Tyto rastry byly spočítány v rámci řešení grantu MŠMT „Řešení přesných modelů geoidu a kvazigeoidu pro oblast střední Evropy“ P. Novákem. Jejich podrobný popis je uveden v *4+.
Terénní korekce AT (, ) Výpočet terénní korekce pro území ČR je popsán v *5+.
Gravitační zrychlení generované Bouguerovou sférickou slupkou AB ( , ) Tento jsme získali z rastru výšek pomocí jednoduchého vztahu (24)
AB(, ) = 0,1119 H(, )
Bouguerova anomálie g B ( , ) Hodnoty vygenerované na povrchu geoidu. Rastr Bouguerových anomálii jsme spočítali z rastru pozemních tíhových dat ( g ( , ) ) a z digitálního modelu terénu (H) podle známého vztahu *3+ (25)
g B (, ) g (, ) AB (, ) AT (, ) F ( H ) (, H )
POPIS UŽIVATELSKÉHO ROZHRANÍ Uživatelské rozhraní se skládá z těchto hlavních komponent: Výpočetní program gravCalc, který počítá parametry tíhového pole Země z globálních modelů, zejména EGM08. Tento program provádí časově velmi náročné operace a proto byl implementován v jazyce C++. Testováním bylo ověřeno, že při zachování stejné přesnosti výpočtu jako obdobné programy používané v odborné komunitě, je náš výpočetní program násobně až řádově rychlejší než obdobné programy GravSoft a hSynth. Program je multiplatformní a vstup probíhá pomocí parametrů příkazové řádky. Tím je zajištěna přenositelnost programu a vysoký výkon, ovšem za cenu nízkého uživatelského komfortu. Ten je následně řešen webovým rozhraním, které funguje jako front-end k výpočetnímu jádru a vstupní webové formulářové jsou transformované na požadované parametry příkazové řádky. Webový interface. Tento webový interface je naprogramován v jazycích PHP, HTML, JavaScript a Python. Má stejnou strukturu jako ostatní aplikace projektu InGeoCalc: úvodní obrazovku, možnost registrace uživatele, přehled projektů a okno s mapovým výstupem. Zadání a zpracování uživatelských dat je řešeno pomocí webových formulářů implementovaných na straně serveru v jazyce Python. Webová aplikace je dostupná na serveru VÚGTK pod URL: http://www.vugtk.cz/ingeocalc/igc/geocalcparam/. Mapová aplikace pro vizualizaci dat. Pro mapový výstup je na straně severu použit MapSever a na straně klienta pro zvýšení komfortu JavaScriptová knihovna HSLayers.
REFERENCE [1] Heiskanen, W. A., Moritz, H.: Physical geodesy. Freeman and Co., San Francisco 1967. [2] Cimbálník, M., Kostelecký, J.: Direct transformation between ETRS-89 and the Czech Cadastral System S-JTSK. Report on the Symposium of the IAG Subcomm. for the EUREF held in Ankara, 1996. Veroeff. der Bayer. Kommission fuer Int. Erdmessung der Bayer. Akad. der Wissenschaften, Heft No. 57, Muenchen 1996, printed 1997, p. 325 - 330. ISSN 0340-7691, ISBN 3 7696 9620 4 [3]Hoffmann-Wellenhof, B., Moritz, H.: Physical Geodesy. SpringerWienNewYork, Wien, 2005. ISBN 3-211-23584-1 [4] Novák, P.: Evaluation of local gravity field parameters from high resolution gravity and elevation data. Contributions to Geophysics and Geodesy 36: 1-33. 2006. [5] Kadlec, M.: Výpočet topografických oprav tíhových dat pro určení přesného regionálního modelu geoidu. (2007) JUNIORSTAV 2007 - Sborník anotací, plné texty na CD, ISBN 978-80-2143337-3, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Brno [6] Kadlec, M., Kostelecký J. ml., Novák P.: Databáze pro výpočty parametrů tíhového pole Země pro střední Evropu. (2007) Geodetický a kartografický obzor, č. 12/2007.
KONTAKT Ing. Milan Talich Ph.D., Ing. Mgr. Martin Kadlec VÝZKUMNÝ ÚSTAV GEODETICKÝ, TOPOGRAFICKÝ A KARTOGRAFICKÝ, v. v. i Ústecká 98, 250 66 - Zdiby Tel. +420 284 890 515 Fax + 420 284 890 056 Email:
[email protected] Web: http://www.vugtk.cz/
