Számítógépes geometria (mester kurzus)

Számítógépes geometria (mester kurzus)

el®adásvázlat

2010 ®sz, Debreceni Egyetem

el®adásvázlat


Csuklós szerkezetek animációja

(Kép 1985-b®l: Tony de Peltrie)

el®adásvázlat


Csontváz-modellek

el®adásvázlat


Csuklós szerkezet (robotkar)

A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)

szegmensek (links) végberendezés (end eector)

végberendezés csukló

szegmens

robotkar rotációs csuklókkal

el®adásvázlat


A robotkar leírása

Állapotvektor Független paraméterek vektora, amely a csuklók és a végberendezés helyzetét egyértelm¶en megadja. Az állapotvektor komponenseinek száma a szabadsági fokok száma (DOF). Az összes lehetséges állapotvektor az állapotteret alkotja.

Kinematika vs. inverz kinematika direkt probléma (kinematika): az állapotvektorból határozzuk meg a végberendezés helyzetét: E

= f (Θ)

inverz probléma (inverz kinematika): a végberendezés helyzetéb®l következtetünk az állapotvektorra: E

el®adásvázlat

−→ Θ


2 szabadsági fokú 2D robotkar leírása az állapotvektorral

Prizmatikus csukló nélkül:

Θ = (θ1 , θ2 ) ∈ R2 . θ2 a2 a1 θ1

start

E

1. lépés

2. lépés

-

-

J1

= (0, 0)

J2

= (a1 , 0)

J2

← rotJ1 (θ1 )J2

E

= (a1 + a2 , 0)

E

← rotJ1 (θ1 )E

= (a2 cos (θ2 + θ1 ) + a1 cos θ1 , el®adásvázlat

-

E

a2 sin (θ2

← rotJ2 (θ2 )E + θ1 ) + a1 sin θ1 )


3D robotkar leírása: DenavitHartenberg (DH) paraméterek

xi a (zi , zi +1 ) normáltranszverzálisa, a csukló a z tengely körül forog. ai

= d (zi , zi +1 )

αi = ^(zi , zi +1 ) di +1

= d (xi , xi +1 )

θi +1 = ^(xi , xi +1 ) zi+1 xi+1 linki di+1 xi

zi

ai

el®adásvázlat


3D robotkar megadása az állapotvektorral

start

1. lépés

n. lépés (n = 2, . . . N )

N +1

J0

J1 = J0

Jn = Jn−1 + an−1 e1

E = JN + aN e1

e3 = (0, 0, 1)

e3 ← rot(e1 , α0 )e3

e3 ← rot(e1 , αn−1 )e3

e1 = (1, 0, 0)

e1 ← rot(e3 , θ1 )e1

e1 ← rot(e3 , θn )e1 Jn ← Jn + dn e3

el®adásvázlat


Forgatás a térben

Origón áthaladó tengely körüli elforgatás A p pont elforgatása n irányvektorú (knk

R (p )

= 1)

tengely körül

θ

szöggel:

= cos(θ) · p + (1 − cos(θ)) · n · hn, p i + sin(θ) · n × p

Innitezimális elforgatás

R kifejezésében a szögfüggvényeket 0 körül Taylor sorba fejtjük és az els® Taylor polinomjukkal helyettesítjük: sin θ

Rinf. (p )

≈ θ,

cos θ

≈ 1:

=p+θ·n×p

el®adásvázlat


Csuklós szerkezet animációja

Csuklós szerkezet animációja a végberendezés meghatározása az állapotvektorból: E görbe az állapottérben: c : [a, b ] animáció: E

: [a , b ] →

Rn , E (t )

→ RN ,

c (t )

= f (Θ) ∈ Rn

= (θ1 (t ), . . . , θN (t ))

= f (Θ(t )) = f (θ1 (t ), . . . , θN (t )).

Az állapottér görbéje

= a < t2 < · · · < tm = b , = (θi ,1 , . . . , θi ,N ).

kulcs-fázisok: t1

ci

az i -edik kulcsfázis

a kulcs-fázisok összekötése interpolációs görbével (pl. harmadfokú szplájnnal):

θj (t ) : [a, b ] → R, θj (ti ) = θi ,j

el®adásvázlat


Inverz kinematika

f

: RN → R n ,

E

= f (Θ),

E

−→ Θ?

f nemlineáris (sin, cos függvények) analitikus megoldás általában nem lehetséges b® megoldáshalmaz (redundancia, ugyanazt a térbeli helyzetet a végberendezés az állapottér több pontján is felveheti) üres megoldástér (elérhetetlen cél)

numerikus megoldásra van szükség Ötlet Linearizáció!

el®adásvázlat


Inverz kinematika: Jacobi-mátrix módszer

f

: RN → R n ,

E

= f (Θ) =⇒ dE = df (Θ)dΘ, df (Θ) ∈ Mn×N

Jacobi-mátrix: lineáris approximáció f -re

 ∂ f1

df (Θ) =

∂ f1 ∂θ1 ∂θ2  ∂ f2 ∂ f2  ∂θ1 ∂θ2  . . .  .. . ∂ fn ∂ fn ∂θ1 ∂θ2

el®adásvázlat

... ... ...

∂ f1  ∂θN ∂ f2  ∂θN  .  .  . ∂ fn ∂θN Θ


3D csuklós szerkezet Jacobi mátrixa

Mozgó tengely formula

∆Ji =

i X

∆θj nj × (Ji − Jj −1 ) =⇒

j =1

 × (Pi − P0 )  n2 × (Pi − P1 )   df (Θ) =    . .   . ni × (Pi − P i − 1) 

n1

el®adásvázlat


Inverz kinematika: Jacobi-mátrix módszer

Elemzés ha n

=N

és

df (Θ) invertálható, akkor dΘ = df (Θ)− · dE : 1

iteratív

módszer alkalmazható

df (Θ)

invertálhatósága az állapotvektortól függ

az iterációs lépés hibája

ha N

> n,

kdf (Θ)dΘ − dE )k

akkor a rendszer kinematikailag redundáns, általában

végtelen sok megoldása létezik

általánosított invertálás eljárások adnak megoldást: dΘ = df (Θ)† dE (Pl. Moore Penrose pszeudoinverz)

másodlagos kritérium beiktatása

el®adásvázlat


Inverz kinematika: invertálható Jacobi-mátrix

Pszeudokód Input:

Θ0 , T Θ, melyre f (Θ) = T

Output:

Θ ← Θ0 dE = (T − f (Θ0 ))/k for i = 1 to k do Θ ← Θ + df (Θ)−1 dE return Θ

el®adásvázlat


A Jacobi-módszer hibája

Piros: az optimális pálya, piros háromszög: a cél Egy iterációs lépés hibája (tracking error):

el®adásvázlat

kdf (dΘ) − dE k


A tracking error javítása

Az iterációs lépés hibájának gyelése (közbens® cél kijelölése) és a célirány folyamatos korrekciója: Pszeudokód Input:

Θ0 , T , ∆ , δ Θ, melyre f (Θ) = T

Output:

Θ ← Θ0 dE = T − f (Θ) while kT − f (Θ)k > ∆ do −1 if kdf (df (Θ) dE ) − dE k < δ Θ ← Θ + df (Θ)−1 dE dE = T − f (Θ)

then

else

dE ← (dE )/2

return

Θ el®adásvázlat


Redundáns/szinguláris esetek

Általánosított inverz

X a J általánosított inverze, ha az alábbi tulajdonságok valamelyike teljesül:

JXJ XJX

=J =X

(XJ )t

= XJ

(JX )t

= JX

X a J mátrix pseudoinverze, ha mind a négy tulajdonság teljesül. Jelölés: X

= J †. + a pszeudoinverz egyértelm¶ - (relatíve) lassú a kiszámolása - szingularitásoknál instabil

J t általánosított inverz és jó eredményt ad! el®adásvázlat


Inverz kinematika: minimum módszer

f

: RN → R n ,

= f (Θ); D : RN → R,

E

A végberendezés a célban van

⇐⇒

D (Θ)

D (Θ)

= 0,

= kE (Θ) − T k2

azaz

Θ

a D függvény

abszolút minimumhelye.

Function

3.5

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

3 2.5 2 1.5 1 0.5 03

2 v

1

0

-1

-2

-3 -3

el®adásvázlat

-2

-1

0

1

2

3

u


Inverz kinematika: minimum módszer

Numerikus megoldás a minimumra: a legmeredekebb lejt® módszere (gradiens módszer)

Θk +1 = Θk − hdD (Θk )

el®adásvázlat


Feladatok

Feladat 2D csuklós szerkezet megrajzolása az állapotvektor ismeretében. A szegmensek hosszát a program input adatként kérje. 2D csuklós szerkezet animációjának megvalósítása az állapovektor paraméterezésével. (Kulcsfázisokból.) 3D csukló megrajzolása (pl. ortogonális axonometriában) az állapotvektor ismeretében. A program tartalmazza a gömbcsukló lehet®ségét is. Inverz kinematika (2D): egérrel kijelölt cél megtalálása. Inverz kinematika (2D): egeret követ® csuklós szerkezet. Inverz kinematika (2D): Animáció, melyben egy csuklós szerkezet végberendezése egy adott görbén mozog. Inverz kinematika: a Jacobi-mátrix módszer és a minimum módszer hibájának összehasonlítása. Inverz kinematika: két különböz® általánosított inverz módszer összehasonlítása. el®adásvázlat


Számítógépes geometria (mester kurzus)

Recommend Documents