Sylabus 18
Stabilita svahu
Stabilita svahu Smykové plochy – rovinná – v hrubozrnných zeminách ev. u vrstevnatého ukloněného podloží – válcová – v jemnozrnných homogenních zeminách – obecná – nehomogenní podloží vč. stavebních prvků X O R R uvažovaná Smyková plocha
W L
Metody řešení stability svahu: – analytické řešení metodami mezní rovnováhy (rovnováha sil podél uvažované smykové plochy s postupným vyhledáváním smykové plochy s nejnižší stabilitou) – numerické modely řešící napjatostně-deformační stav, např. MKP
Stupeň stability obecně:
F=∑
∑
í í
ž ž
á í í ů
í í
Za předpokladu použití dílčích součinitelů spolehlivosti na smykové parametry: F ≥ 1 stabilní svah F < 1 nestabilní svah
Rovinná smyková plocha – hrubozrnné (nesoudržné zeminy) Případ bez podzemní vody Svah je na hranici stability, pokud je jeho sklon stejný jako úhel vnitřního tření zeminy.
Podmínka rovnováhy:
.
! . "#
. $%&
Po úpravě:
tg ! tg&
Stupeň stability: Obr [2]:
F= - = . "#
. $%&
'.
(. )* )* = '. ( )(
Rovinná smyková plocha – hrubozrnné (nesoudržné zeminy) Případ s podzemní vodou proudící rovnoběžně se svahem Svah je na hranici stability, pokud je jeho sklon přibližně poloviční než úhel vnitřního tření zeminy. Podmínka rovnováhy: 1.
2 4
1
$% 4 Po úpravě:
2 1
35
2
tg !
! ! 35
1. "#
1 . "#
. $%&
!
1. $%&
1
$%&
12
. $%&
3
≈0,5 , jelikož γw=10kN.m-3 a γsu≈ 10-11kN.m-3
./0
Obr [2]:
3.
1 . "#
Stupeň stability:
. $%& 6
1 . "# 1
2
3
. $%ϕ .
$%& 1 2 3 $% 1
Konvenční metoda (Pettersonova metoda) Konvenční metoda, někdy též zvaná Pettersonova vychází z momentové výminky rovnováhy na kruhové smykové ploše. Stupeň stability je definován jako poměr momentu stabilizujícího ku momentu destabilizujícímu po smykové ploše resp. poměr sil na poloměru smykové kružnice. Používá principu rozdělení svahu na proužky. α
W = γ ·b·h·1 BC=l
O
X b n
R h
n+1 u/ γ w
W S
B
C
α
Obr [3]:
α
+
N
F
α
-
[c′l + (N − ul )⋅ tgϕ ′] ∑ = ∑W sin α
Bishopova metoda Bishopova metoda je založena na obdobném principu jako metoda konvenční, jen navíc uvažuje vliv meziproužkových sil dle obr.
Obr [3]:
Dosazením ze složkového obrazce sil do rovnice pro konvenční metodu dostaneme rovnici pro tzv. rigorózní Bishopovu metodu: 1 1 cos α ′ ′ F= ∑ c b + (W − ub + X n − X n+1 )tgϕ ⋅ tgϕ ′ ⋅ tgα W sin α ∑ 1+ F
Zanedbáme-li v rovnici () hodnoty svislých meziproužkových sil, jejichž rozdíl je malý, dostáváme rovnici pro zjednodušenou, avšak běžně nazývanou Bishopovu metodu 1 c′b + (W − ub ) ⋅ tgϕ ′ F= ∑ Řešení je iterační. tgϕ ′ ⋅ sin α ∑ W sin α cos α + F
Metoda Janbu Janbuova metoda spadá do kategorie metod stanovujících stupeň stability po obecné smykové ploše. Opět je smyková plocha rozdělena na proužky. Janbu předpokládá znalost umístění působiště meziproužkových sil a normálových sil na bázi proužku. Schéma svahu a sil působících na jednotlivý proužek :
Obr [4]:
Tato metoda je označována též za rigorózní, neboť jsou uplatňovány všechny 3 výminky rovnováhy. Pro výpočet stupně stability se používá rovnice: Ti − Ti +1 + Wi ′ c + − u ef i ⋅ tan ϕ n ∆xi ⋅ ∆xi ⋅ 1 + tan 2 α i ∑ tan ϕ ′ ⋅ tan α i i =1 1+ F F= n E a − Eb + ∑ [∆Qi + (Ti − Ti +1 + Wi ) ⋅ tan α i ]
(
i =1
)
Příklad 1: Posuďte stabilitu svahu silničního násypu výšky 3 m se sklonem svahu 1:1,5, který je vybudován na pevném podloží. Materiálem násypu je hlinitý štěrk GM (siGr dle ČSN EN ISO 14688-1) s charakteristickými hodnotami c´k=3 kPa, ϕ´k=32°, γk=19 kN.m-3. Uvažované proměnné charakteristické zatížení násypu je plošné spojité fQk=10 kN.m-2, působící 1 m od hrany svahu. Hladina podzemní vody nebyla v podloží zastižena. S
b2
b1
b3
b4
b5
b6 1 m 0,52 m
F1
m R=7
3m
,5 1:1 α3 W3 α2 W N3 2
α1
N1
W1 N2 T1
α5
N5
N4
N6 T6 T5
Násyp GM (siGr)
T4
T3 T2
α6 W6
W5 α4 W4
fQk =10kN.m-3
m ,01 7 L=
Pevné podloží
Řešení: Pro výpočet použije 3. návrhový přístup (3.NP) dle ČSN EN 1997-1. Návrhové parametry zemin se stanoví z charakteristických hodnot při aplikaci dílčích součinitelů na materiál γM na soudržnost a úhel vnitřního tření viz ČSN EN 1997-1 Tabulka A4: c´d=c´k/γc´=3/1,25=2,4 kPa, ϕ´d=arctg(tg ϕ´k/γϕ´)=arctg(tg 32/1,25)=26,56°, γ´d=γ´k/γγ =19/1=19 kN.m-3. Pro stanovení návrhového zatížení u výpočtu stability svahu dle 3.NP se použije soubor dat součinitelů A2. Návrhová hodnota zatížení je: fQd=fQk.γQ=10.1,3=13 kN.m-2, kde γQ je dílčí součinitel pro proměnné zatížení – soubor dat A2 viz ČSN EN 1997-1 Tabulka A3. Řešení stability svahu spočívá ve vyhledání kritické smykové plochy, pro kterou je stupeň stability nejnižší. V případě násypu na pevném podloží bude kritická smyková plocha procházet patou svahu a pouze násypem, který má nižší smykovou pevnost než podloží. V následujícím bude ukázán princip ručního výpočtu stupně stability konvenční (Pettersonovou) a Bishopovou (zjednodušenou) metodou pro jednu zvolenou válcovou smykovou plochu. Obě metody spočívají v rozdělení svahu na n dílků. Počet dílků může výrazně ovlivnit přesnost výsledného stupně stability, proto se doporučuje u běžných a středně složitých úloh volit rozdělení svahu na min. 16 až 30 dílků. Pro názornost a demonstraci úlohy bylo v př. 1 zvoleno rozdělení na pouze 6 dílků. Vlastní tíha dílků se rozdělí do směru normálového (kolmého na smykovou plochu) a tangenciálního (tečna ke smykové ploše).
Řešení: Výpočet stupně stability Pettersonovou metodou je patrný z tabulky 1. Proměnné spojité zatížení násypu působí na těleso nad smykovou plochou v délce 0,52 m na dílku č.6. Proto bude vlastní tíha dílku č.6 navýšena o sílu F1=fQd.0,52 =13.0,52 = 6,76 kN.m-1. Tabulka 1: Výpočet stability svahu Pettersonovou metodou i
xi (m)
αi (°)
bi (m)
li (m)
Ai (m2)
Wi (kN.m-1)
Ni (kN.m-1)
Ti (kN.m-1)
1
0,4
3,2
1,0
1,0
0,33
6,291
6,281
0,349
2
1,2
10,1
1,0
1,0
0,90
17,028
16,764
2,986
3
2,2
18,6
1,0
1,1
1,31
24,865
23,568
7,926
4
3,2
27,5
1,0
1,1
1,55
29,442
26,110
13,607
5
4,2
37,3
1,0
1,3
1,49
28,320
22,537
17,149
6
5,1
46,5
1,0
1,5
0,63
18,677
12,866
13,539
108,126
55,554
7,01
V případě nulových pórových tlaků se Pettersonův vztah zjednoduší na: F=
∑ N .tgϕ + c .L = 108,126.tg 26,56 + 2,4.7,01 = 1,276 55,554 ∑T i
d
d
i
Stupeň stability dle Pettersona F ≥ 1, tudíž je svah na řešené smykové ploše stabilní.
Řešení: Stupeň stability dle Bishopovy zjednodušené metody se zanedbáním svislých meziproužkových sil se řeší iteračně dle vztahu: F =
1 ∑Wi sin α i
∑
cd .bi + (Wi − ui .bi ). tan ϕ d tan ϕ d . sin α i cos α i + Fgeo
V první iteraci je vhodné kvůli rychlejší konvergenci do jmenovatele dosadit za stupeň stability hodnotu F z konvenční Pettersonovy metody. Iterační výpočet probíhá do té doby, dokud se hodnota F dosazená do vzorce nerovná spočtené hodnotě F– viz tabulka 2. Tabulka 2: Výpočet stability svahu Bishopovou metodou ∑(A/B1) 5,442 10,367 13,831 16,036 16,033 12,070 73,779
∑(A/B2) 5,446 10,394 13,894 16,144 16,179 12,211 74,268
∑(A/B3) 5,447 10,398 13,905 16,161 16,203 12,233 74,348
∑(A/B4) 5,447 10,399 13,906 16,164 16,207 12,237 74,361
∑(A/B5) 5,447 10,399 13,907 16,165 16,208 12,238 74,363
A
∑B =∑ i
cd .bi + (Wi − u i .bi ). tan ϕ d tan ϕ d . sin α i cos α i + Fgeoi
F1=F z Pettersonovy metody =1,276, F2=1,328, F3=1,337, F4=1,338, F5=1,339, F6=1,339. Po čtvrté iteraci se již hodnoty F neliší, stupeň stability dle Bishopa je F= 1,338 ≥ 1, tudíž je svah na řešené smykové ploše stabilní.
Literatura [1] Janbu,N.: Slope stability computations. In: Embankment-dam engineering. John Wiley&Sons, New York, 1973, s. 46-86. [2] Lamboj,L., Štěpánek, Z: Mechanika zemin a zakládání staveb, skriptum ČVUT, 2005 [3] Vaníček,I.: Mechanika zemin, skriptum ČVUT, 2001 [4] Vaníček,M, Jirásko, D.: EC 7 – Navrhování geotechnických konstrukcí, Část 2 – Zemní konstrukce (Národní specifikace a doporučení) (v přípravě)
