• Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B
• Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal, boleh huruf kecil ataupun huruf besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan sebagainya • Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:A→B yang artinya f memetakan A ke B • A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
• Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df • Apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada.
Df = { x ∈
| f ( x) ∈
}
• Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan Range atau daerah hasil fungsi f, ditulis Rf
{
Rf = f ( x ) ∈
| x ∈ Df
}
• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
• Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:
1. f ( x ) = x + 3
2. f ( x ) = x
3. f ( x ) = 2 x − 6
4. f ( x ) =
3 5. f ( x ) = x − 4
2
x −9 2
1. f ( x ) = x + 3
Untuk setiap x ∈
nilai dari f ( x )
selalu ada dan f ( x ) ∈
.
Df = { x | x ∈ } dan R f =
{y
y ∈
}
2. f ( x ) = x 2 Untuk setiap x ∈
nilai dari f ( x ) selalu ada
dan memiliki nilai positif ( f ( x ) ∈
Df = { x | x ∈ } dan R f =
{
+
) sehingga:
y y ∈
+
}
3. f ( x ) = 2 x − 6 Jika kita memasukan nilai x = 1 maka f (1) = 2(1) − 6 = −4 (tak terdefinisi), Karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan yang lebih dari atau sama dengan nol. Jadi 2x − 6 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 6 ⇔ x ≥ 3 . Jadi daerah asalnya dalah: Df = { x | x ≥ 3, x ∈ } Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan nilai x pada daerah asal. R f = {y y ≥ 0 , y ∈
} = [0 , ~ )
4. f ( x ) = x 2 − 9 f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar lebih dari atau sama dengan nol, sehingga x 2 − 9 ≥ 0 ⇒ ( x + 3)( x − 3) ≥ 0 -3 0 3 Dan nilai–nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah x ≤ 3 atau x ≥ 3 jadi daerah asalnya adalah Df = { x x ≤ −3 atau x ≥ 3} . Rf =
{y
y ≥ 0, y ∈
} = [0 , ~ )
3 5. f ( x ) = x − 4
Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4 sehingga: Df = { x x ≠ 4} = { x x < 4 atau x > 4, x ∈ } 4 Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga : R f = {y y ≠ 0 , y ∈ } = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )
Carilah domain dan range dari fungsi : 1 f (x) = 4x + 3 Solusi: a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah : 3 4x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ − 4
3 3 D f = −∞ , − ∪ − , ∞ = 4 4
{ }
3 − − 4
b. Mencari Range f(x) tidak mungkin bernilai nol, sehingga Rf = − {0} R f = (− ∞,0 ) ∪ (0, ∞ )
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x+2 f (x ) = 3x + 1 a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x + 1 ≠ 0 1 x≠− 3
Sehingga
1 1 Dt = − ∞,− ∪ − , ∞ 3 3
b. Range
x+2 f (x ) = y = 3x + 1
3 xy + y = x + 2 3 xy − x = 2 − y x(3 y − 1) = 2 − y 2− y x= 3y −1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y −1 ≠ 0
1 y≠ 3 Jadi
1 1 R f = − ∞, ∪ , ∞ 3 3 Atau
{}
1 − 3
• Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan! a.
f (x) = 2x2 + 3
b.
f (x) =
c.
f (x) =
d.
4 f (x) = 2x + 6
e.
2x − 5 f (x) = 3x − 9
3x − 9 x 2 − 16
1. Fungsi polinom
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n -Fungsi konstan, f ( x ) = a0 -Fungsi linier,
f (x ) = a0 + a1 x -Fungsi kuadrat, f (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2
2. Fungsi Rasional Bentuk umum :
p(x ) q (x )
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh : f (x ) =
(x + 1)2
x3 + x 2 + 1 3. Fungsi harga/nilai mutlak
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f (x ) = 3 x − 1 + 2 x − 2
4. Fungsi bilangan bulat terbesar
x
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
5 = 5
− 1,2 = −2
3,2 = 3 5. Fungsi Genap Disebut fungsi genap jika
terhadap sumbu y
f (− x ) = f ( x ) dan grafiknya simetris
Contoh : f (x ) = x 2
f (x ) = x
f ( x ) = cos( x ) 6. Fungsi Ganjil Disebut fungsi ganjil jika f (− x ) = − f ( x ) dan grafiknya simetris terhadap titik asal, contoh :
f ( x ) = sin( x ) f (x ) = x3
7. Fungsi Komposisi Diberikan fungsi f ( x ) dan g ( x ), komposisi fungsi antara f ( x ) dan g ( x ) ditulis ( f o g )(x ) = f ( g ( x )) Domain dari
( f o g )(x ) adalah himpunan semua bilangan x dengan domain g ( x ) sehingga g ( x ) di dalam D f Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi R g ∩ Df ≠ ∅
maka harus
Rg ∩ Df ≠ ∅
Dengan cara yang sama,
(g o f )(x ) = g ( f (x ))
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,
maka harus
terpenuhi Rf ∩ Dg ≠ ∅ Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
{ = {x ∈ D
} f (x ) ∈ D }
D f o g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f Dgo f
f
g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
{ = {y ∈ R
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g Rgo f
g
y = g (t ), t ∈ R f
}
}
1. Jika diketahui
f (x ) =
x
g ( x ) = 1 − x 2 Tentukan
g o f dan f o g beserta domain dan range-nya! D f = [0, ∞ )
R f = [0, ∞ )
Karena
Dg = R g = (− ∞,1]
R f ∩ D g = [ 0,∞ ) ≠ ∅, maka fungsi
terdefinisi
(g o f )(x ) = g ( f (x )) = g (
)
x = 1− x
go f
a. Mencari Domain
Dgo f =
go f
{x ∈ D
f
f
( x )∈ D g }
{ x ∈ [0 , ∞ ) = {x ≥ 0 − ∞ <
=
{
}
= x≥0 x ≥0 = {x ≥ 0 x ≥ 0}
= x ∈ [0, ∞ ) ∩ [0, ∞ ) = x ∈ [0, ∞ )
x ∈ x < ∞
}
}
b. Mencari Range
go f
{ } = {y ∈ (− ∞,1] y = 1 − t , t ∈ [0, ∞ )}
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
Rg o f
2
Jadi R g o f = y ∈ (− ∞,1] ∩ (− ∞,1]
= y ∈ (− ∞,1]
Karena
R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞ ) =[ 0,1] ≠ ∅, maka fungsi
f o g terdefinisi dengan
( f o g )(x ) = f (g (x )) = f (1 − x 2 ) = c.Domain f o g
{ = {x ∈ = {x ∈
D f o g = x ∈ D g g (x ) ∈ D f
} }
1 − x 2 ∈ [ 0, ∞ )
}
1− x 2 ≥ 0
= { x ∈ −1 ≤ x ≤ 1} = ∩ [ −1,1] = [− 1,1]
1− x2
d. Range f o g
{
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
{
}
}
= y ∈ [0, ∞ ) y = t , t ∈ (− ∞,1]
{
}
= y ≥ 0 y = t ,0 ≤ t ≤ 1
= {y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1} = [0, ∞ ) ∩ [0,1]
= [0,1]
MA 1114 Kalkulus I
Tentukan
f og
dan g o f beserta domain dan range-nya!
a.
f ( x ) = x − 5 dan g( x ) = 2 x + 3
b.
f ( x) =
2
x −1 dan g( x ) = x 2 + 4
