PEMBAHASAN
1. Fungsi ( pemetaan ) Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain. Fungsi dalam matematika adalah mengacu adanya reaksi binar yang khusus antara dua himpunan. Pengertian ini pertama kali diperkenalkan oleh Gottofried W. Leibniz ( 1646 – 1716 ) pada tahun 1694. Ciri penting dari fungsi, yaitu : 1) Suatu fungsi hanya menghasilkan suatu output saja, nutuk setiap nilai satu input. 2) Fungsi tidak menerima sebarang input 3) Fungsi meiliki kriteria pada inputnya agar dapat menghasilkan output yang diinginkan. Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan, maka suatu relasi f disebut fungsi, jika memetakan setiap elemen A pada suatu elemen B, atau dengan kata lain jika x
A dipetakan pada y A
x
B oleh relasi f. Maka f(x) = y
B f
y
Gambar 1 Gambar 1 adalah ilustrasi fungsi f yang memetakan elemen himpunan A ke elemen himpunan B menggunakan diagram panah. Himpunan A merupakan domain ( daerah asal ) dari f dan dinotasikan dengan Dom(f). Domain ( daerah
1
asal ) adalah himpunan nilai – nilai x supaya y = f(x) terdefinisi ( ada nilainya ). Adapun syaratnya, yaitu : a. Jika y =
, g(x) ? 0
b. Jika y = √
, f(x) = 0
c. Jika y = f(x)log g(x)
, f(x) > 0, f(x) ? 1 dan g(x) > 1
d. Jika y = √
,
≥ 0 dan g(x) ? 0
Sedangkan himpunan B merupakan codomain ( daerah kawan ) dan f(x) adalah hasil pemetakan dari x
dom(f) atau f(x) disebut range ( daerah hasil ). Range
adalah kumpulan – kumpulan nilai y, untuk nilai x yang terdefinisi. Untuk setiap x pada dom(f),f(x) disebut bayangan ( image ) dari x oleh f dan dinotasikan dengan Im(f), dimana Im(f) = { f(x): x
dom(f)}. kita tidak bisa
mendiskripsikan bayangan dari fungsi dengan tepat, tetapi akan bisa dengan mudah mendiskripsikan himpunan yang memiliki subset bayangan fungsi tersebut. Jika Im(f) adalah subset dari himpunan B, maka B adalah daerah lawan ( codomain ) dari f. Keterkaitan suatu fungsi antara domain dengan codomain dinotasikan secara sistematis dengan f : A → B , dibaca fungsi f memetakan A ke B , dimana : dom(f) = A Codomain f = B Fungsi ( pemetaan ) dapat dinyatakan dalam bentuk : 1) Diagram Panah ●a 1 ● 2 ● 3 ●
A
●b ●c
Gambar 2
●d B
2
2) Himpunan Pasangan Berurutan Misalkan P = { -2, -1, 0, 1, 2 } , Q = { 0, 1, 2, 3, 4}, suatu pemetaan f dari A ke B, sedemikian hingga f(x) = x2 , maka himpunan pasangan berurutan adalah f(x) = { (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) }
3) Diagaram Kartesius Contoh: Fungsi f didefinisikan sebagai f : R → R dan f(x) = x + 4. Gambarkan graph G untuk f. Jawab: G = {(x,y) : x
R dan y = x + 4}
= {..., (-4,0), (-3,1), (-2,2),(-1,3),...} Dan G digambarkan sebagai berikut ( gambar 3 ) : y
y =f(x) 4 Gambar 3
-4
x
4) Notasi Fungsi, f : x → y Rumus fungsi, f(x) = y 2. Macam macam fungsi (pemetaan) Jenis pemetaan oleh fungsi ada 3 macam, yaitu: a. Fungsi satu- satu (Injektive) Fungsi f: A
B Disebut fungsi injective, Jika f memetakan setiap
elemen yang berbeda pada A ke elemen yang berbeda pada B. secara sistematis dapat dinotasikan sebagai berikut: 1). Jika a,b
A dan a
b, Maka f(a)
2). Jika f(a) = f(b), maka a=b.
3
f(b), atau
3). Jika G adalah Graph dari f, dimana G= { (x,y)
AxB : y = f(x) },
maka f adalah fungsi injektiv jika dan hanya jika untuk y banyak ada satu x
A sehingga (x,y)
B paling
G. Dari penjelasan fungsi
injektive dapat digambarkan dalam diagram gambar 4 sebagai berikut :
●
●
●
●
●
●
●
A
B Gambar 4
b. Fungsi kedalam (onto atau surjektive) Jika f: A⟶ B, fungsi f dikatakan fungsi surjektive jika Im (f) = B. dengan ungkapan lain, jika G adalah Graph dari f, dimana G = { (x,y) A x B : y = f(x) } maka f surjektive jika dan hanya jika untuk setiap y elemen B paling sedikit satu x
A sehingga (x,y)
G. dari
penjelasan fungsi surjektive dapat digambarkan dalam diagram gambar 5 berikut ini: A
B
● ●
⃝
●
⃝
●
⃝
●
4
Gambar 5
c. Fungsi Corespondensi Satu – satu ( Bijektive) Jika terdapat f: A⟶ B , fungsi f dikatakan bijektive apabila f merupakan fungsi injective dan surjektive. Dengan ungkapan lain jika G adalah graph dari f, dimana G = {(x,y)
AxB :y = f(x)}, maka f
bijektive jika dan hanya jika untuk setiap y sehingga (x,y)
B, hanya ada satu x
A
G. dari penjelasan fungsi bijektive dapat
digambarkan dalam diagram gambar 6 berikut ini:
● ●
Gambar 6
● ● ●
A
B
3. Fungsi- fungsi khusus. Didalam matemetika, banyak sekali dijumpai beberapa macam fungsi, diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas, fungsi tersebut diantaranya: a. Fungsi konstanta Suatu fyngsi f : A ⟶ B yang untuk elemen di A berkaitan hanya dengan sebuah unsur di B. sebagai mana gambar 6 yang memasangkan setiap elemen didalam himpunan A dengan hanya satu elemen saja di B.
5
a ●
● p
b ●
● q
c ●
● r
d ●
● s
D
Gambar 6
D
f
A
B
b. Fungsi genap dan fungsi ganjil Fungsi f: A ⟶ B disebut genap jika f(-x)=f(x), dan fungsi f:A ⟶ B disebut ganjil jika f(-x)= -f(x), sedangkan fungsi yang tidak memenuhi salah satu dari pernyataan diatas dikatakan fungsi yang tidak genap maupun tidak ganjil. c. Fungsi karakteristik Jika terdapat himpunan S dan A⊆S, fungsi pada S yang hanya memberikan nilai 1 pada elemen A dan memberikan nilai 0 pada elemen lainnya dan dinotasikan dengan xa. 1 untuk, x € A xa(x) = 0 untuk, x € S/A 4. Fungsi Komposit Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam B, dan fungsi G memetakan himpunan B ke dalam C. maka dapat digambarkan seperti gambar 6 dibawah ini: ●
●
●
x
y = f(x)
g(y) = g(f(x)
f
g
A
B g f
6
C
Untuk x
A maka petanya f(x) berada di B yang juga merupakan domein dari
fungsi G. oleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(x) dibawah pemetaannya G yaitu g (f(x)). Dengan demikian memiliki 1 aturan yang menentukn setiap x dengan tepat satu elemen g(f(x))
A
C. fungsi baru inilah yang disebut fungsi
komposit dari f dan g dinyatakan dengan notasi g f (dibaca “ g bundaran f”). secara singkat jika f: A ⟶ B, dan G: B ⟶ C maka didefinisikan suatu fungsi komposit g f : A ⟶ C sedemikian hingga ( g f) (a) = g(f(a)). Catatan: 1. Fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu, baru kemudian mengerjakan g. 2. Akan diperoleh fungsi komposit g f harus dipenuhi syarat, bahwa range dari f (Rf)
domain dari g (dom(g)) ≠
Sifat-sifat fungsi komposit: 1). (g f )(x) ≠ (f g)(x) ⟶ tidak komutatif Misalkan: f(x)= 2x – 5 dan g(x) = 3x2 + 1. Tentukan (g f )(x) dan (f g)(x) ? Solusi: (g f )(x) = g(f(x)) = g(2x – 5) = 3(2x – 5)2 + 1 = 3(4x2 – 20x + 25) + 1 = 12x2 – 60x + 76 (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x2 + 1) = 2(3x2 + 1) – 5 = 6x2 + 2 – 5 = 6x2 – 3 Maka dari contoh diatas dapat disimpulakan bahwa (g f )(x) ≠ (f g)(x) 2). ( h g) f = h (g o f)⟶ asosiatif Misalnya: Jika terdapat f : A → B, g: B → C dan h: C → D, maka ( h g) f = h (g o f) Bukti: Pada prinsipnya pembuktian ini memverifikasi hasil dari komposisi fungsi ( fungsi komposit ). Fungsi komposit ( h g) f dan h (g o f) keduanya jelas – jelas memetakan A ke dalam D, yaitu h(g(f(x))).
7
