PENDAHULUAN HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN URUTAN LINIER

PENDAHULUAN HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN URUTAN LINIER A. HIMPUNAN Setiap benda disebut objek. Beberapa objek atau sekelompok objek, karena suatu sebab, membentuk suatu kesatuan yang biasa disebut himpunan. Objek-objek yang membentuk suatu himpunan disebut elemen atau anggota himpunan tersebut. Penulisan :  Elemen atau anggota ditulis dengan huruf kecil latin Misal : a, b, c,........  Himpunan dituliskan dengan huruf kapital (huruf besar latin) Misal : A, B, C, ...... Jika objek x menjadi anggota himpunan A dituliskan dengan Jika objek y tidak menjadi anggota himpunan A dituliskan dengan Beberapa teknik penulisan himpunan: 1. Semua anggota himpunan diketahui * + Artinya N merupakan himpunan bilangan asli 1,2,3 dan seterusnya 2. Dalam keadaan syarat keanggotaan suatu himpunan diketahui * + Artinya A merupakan himpunan objek-objek dengan syarat objek itu bilangan nyata yang lebih besar dari pada bilangan 0 Macam –macam himpunan : 1. Himpunan bagian (setiap x anggota himpunan A berakibat x anggota himpunan B ditulis ) 2. Kesamaan Himpunan (x anggota himpunan A berakibat x anggota himpunan B dan sebaliknya ditulis ) 3. Himpunan Kosong * + (himpunan yang tidak mempunyai anggota) 4. Himpunan bagian sejati Contoh :

*

+

*

+

Operasi aljabar pada himpunan PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 1

1. Union ataugabungan. A union B atauAgabungan dapatdinyatakansebagai A  B= x x  A  x  B, x  R. . * + * + * + 2. Interseksiatauirisan. Ainterseksi B atau A irisan

B

B

dapatdinyatakansebagai A  B= x x  A  x  B, x  R. *

+

*

+

* +  3. Pengurangan. A – B = x x  A  x  B, x  R *

+

4. Penambahan. A + B = (A  B)-(A  B) atau dapat di artikan *

+

Dengan contoh himpunan yang sama seperti point 2, *

+

*

+

maka Langkah : A  B= = Maka

*

+

5. Perkalian. A x B = (a, b) a  A  b  B, a  R, b  R. *(

)(

)(

)(

)(

)

+

6. Komplemenatau Acadalah a a  A, a  R. Perlu dicatat bahwa jika tidak ada anggota A yang menjadi anggota B atau sebaliknya, maka Dalam keadaan seperti ini, dikatakan A dan B dua himpunan yang saling asing (disjoint). Berdasarkan operasi-operasi aljabar himpunan diatas diperoleh teorema-teorema yang mudah dibuktikan. Diketahui A, B, dan C masing-masing himpunan sebarang dalam suatu semesta pembicaraan S diperoleh : 1. Hukum Komutatif (a) Bukti : * + * + PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 2

(b) 2. Hukum Asosiatif (a) ( )

(b) ( ) 3. Hukum Distributif (a) ( ) ( (b) ( ) 4. Hukum indempoten (a) Bukti :

(

* ( *

(

)

) (

(

)

) )

( )

(

)

* * (b) 5. Elemen Netral (a) (b) (c) (d) 6. Hukum De Morgan ) (a) ( Bukti :

+ )+

( * *

) * (

( (

* ( * (

+

+

* )

)+

+ +

(

)+ +

+

) (b) ( Bukti : (diselesaikan bersama-sama) 7. Hukum Komplemen (a) ( ) Bukti : ( ) * ( ) + * ( ))+ (b) (c) Point 7 (b) dan 7(c) di kerjakan bersama-sama Latihan : 1. Buktikan bahwa PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 3

(

)

(

)

Jawab : *

2. Buktikan bahwa ( )

*

+

(

)

(

+

)

(

)

B. RELASI DAN SIFATNYA 1. PengertianRelasi Definisi 1 (Hasil Kali Kartesian) Hasilkalikartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulisAxBadalahsemuapasanganterurut (a, b) untuk a  A dan b  B. Contoh 1 Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka AxB = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} Banyaknyahimpunan yang terlibatdalamoperasiinimempengaruhinamaoperasinya, jikaoperasitersebuthanyamelibatkanduahimpunan, disebutoperasibiner. Definisi 2 (Relasi) Relasi, dilambangkandenganhuruf besar R, adalahSubsetdarihasilkaliCartesian (Cartesianproduct). Jika (x, y)  R, maka x berelasidengan y. {x  A| (x, y)  R untuksuatu y  B} disebutdomaindari R. SedangkanRangedari R= {y  B| (x, y)  R untuksuatu x  A} Contoh 2 Pada contoh 1, kitadapatmembuatrelasi: R1 = {(1, a), (1, b)} R2 = {(1, a), (2, a), (3, a)} R3 = {(1, b), (2, b), (1, a} R4 = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} R5 = 0 R6={(a, 1), (2, a)} Himpunanpasanganterurut R1, R2, R3, R4, R5, merupakansubsetdariAxB, dan membentuksuaturelasi, tetapi R6 bukanrelasidariAxB, karena (a, 1)  AxB. Sebuahpasanganterurutmenjadianggotarelasi R1, ditulis: (1, a)  R1 atau 1 R1 a. Dan jika (2, a) bukananggotarelasi R1, ditulis: (2,a)  R1 atau 2 R1 a. Definisi 3 (Relasibiner atas satuhimpunan A) RelasibineratashimpunanAadalahrelasibinerdari A ke A. PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 4

Relasi yang demikianini, seringkalimunculdalamkehidupansehari-hari, di dalamkalkulus I, kitakenalrelasidari R ke R, daribilanganriilkebilanganriil. Contoh 3 Masing-masing relasi berikut adalah relasi biner atas bilangan bulat (Z): R1 = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b  Z} R2 = {(a, b)| a < b, dan a, b  Z} R3 = {(a, b)| a=b atau a=-b, dan a, b  Z} R4 = {(a, b)| a=b, dan a, b  Z} R5 = {(a, b)| a = b+1, dan a, b  Z} R6 = {(a, b)| a + b ≤ 3, dan a, b  Z} R7 = {(a, b)| a|b, dan a, b  Z, dan b≠0} Contoh 4 D={a, b, c}  (D)={ 0 , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,c}, {a, b, c}} 2. Operasi Relasi Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juga berlaku dalam relasi: 1. Operasi  (intersection) 2. Operasi  (union) 3. Operasi  (symmetric difference) 4. Operasi - (difference) 5. Operasikomplemen (komplemen relative terhadap Cartesian product) Contoh 5 Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka: R1  R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5)} R1  R2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5,6)} R1  R2 = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6), (5, 6)} R1 - R2 = {(5, 5), (6, 6)} (R1  R2) C = AxA – (R1  R2) = {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 5)}. Operasikomposisi, merupakangabungandariduabuahrelasi yang harusmemenuhisyarattertentu, yaitujika R1 relasidari A ke A danR2 relasidari A ke A, makarelasikomposisi R1 dan R2, dinyatakanoleh R2°R1 berartirelasi R1 diteruskanolehrelasi R2. Syarattersebut adalahjika (a, b)  R1 dan (b, c)  R2, maka (a, c)  R2°R1. Contoh 6 PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 5

Denganmenggunakancontoh 5, didapat: R2°R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 6), (2, 2), (2, 5), (5, 6), (2, 6)} Yang diperolehdengan cara: Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka: R1 (1,1)

(2,2)

(5,5)

R2 (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6) (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6) (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6)

R2◦R1 (1,1) (1,2) (1,6) (2,2) (2,5) (5,6)

R1 (6,6)

(2,5)

R2 (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6) (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6)

R2◦R1 (2,6)

Tentunyaoperasikomposisiinitidakhanyaberlakupadarelasiatassatuhimp unansaja, melainkandapat pula digunakanuntukrelasiyang melibatkanduahimpunan.Jika S relasidarihimpunan A kehimpunan B, dan R relasidarihimpunan B kehimpunan C, makaR°S, komposisi S diteruskanke R adalahjika (a,b)  S, dan (b,c)  R,maka (a, c)  R°S. Contoh 7 Diberikan: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {z, x, y}, S={(1, a), (2,a), (2, b), (3, b)}, R = {(a, x), (a, y), (b, z)}. Tentukan R°S. Untuk menjawab persoalan ini, perhatikan: R°S = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (2, z), (3, z)}, yang didapatdari tabelberikut:

S (1,a)

R (a,x) (a,y)

R◦S (1,x) (1,y)

S (2,b)

PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

R (a,x) (a,y)

R◦S Page 6

(2,a)

(b,z) (a,x) (a,y) (b,z)

(2,x) (2,y) -

(3,b)

(b,z) (a,x) (a,y) (b,z)

(2,z) (3,z)

3. SifatRelasi Sifatrelasi: 1. Reflexive:  a  A, maka (a, a)  R 2. Symmetry:  a, b  A, jika (a, b)  R (b, a)  R 3. Antisymmetry:  a, b  A, jika (a, b)  R  a ≠ b (b, a)  R {inisetaradengan (a,b)  R  (b,a)  R a=b} 4. Transitivity:  a, b, c  A, jika (a, b)  R  (b, c)  R (a, c)  R Contoh 9: Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikutdiberikanrelasiatas A: R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)} R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)} R6 = {(3, 4)} R7 = {(1, 1)} R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} Manakahdarikedelapanrelasi di atas yang masingmasingbersifat:refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukansimetrisekaligusbukanantisimetri. Jawab: Pada relasi-relasi di atas yang bersifatrefleksifadalah: R3, dan R5.R1 tidak refleksif karena (3, 3)  R1. Relasi yang bersifatsimetri: R2, R3, dan R7. Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R6, dan R7. Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7. Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabelberikut: (a,b) (b,c) (a,c) Keterangan (1,1) (1,2) (1,2) Anggota R3 (1,2) (2,2) (1,2) Anggota R3 (1,4) (4,1) (1,1) Anggota R3 (2,1) (1,4) (2,4) Bukan Anggota R3 (2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut: R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 7

(a,b) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,2) (2,2) (2,4) (3,3) (3,4) (4,4)

(b,c) (1,2) (2,2) (3,3) (4,1) (2,4) (2,1)

(a,c) (1,2) (1,2) (1,3) (1,1) (2,4) (2,1)

Keterangan Anggota R5 Anggota R5 Anggota R5 Anggota R5 Bukan Anggota R3 Anggota R3

4. Relasi Ekivalen Pengertian Relasi Ekivalen Definisi 4 (Relasi Ekivalen) Adalah relasi yang memenuhi sifat: refleksif, simetri, dan transitif Contoh 15 R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, b  Z} Padarelasiini, jelasdipenuhi a=a,  a  Z, berarti (a, a)  R ataubersifatrefleksif. Untuksifatsimetri, terdapatduakemungkinan: - Jika a=b, berarti (a, b)  R,  a, b  Z maka b=a, berarti (b, a)  R - Jika a=-b, berarti (a, b)  R,  a, b  Z maka b=-a, berarti (b,a)  R,Sehingga R bersifat simetri. Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan: - Jika a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c)  R,  a,b,c  Z - Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c)  R,  a,b,c  Z - Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c)  R,  a,b,c  Z - Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c)  R,  a,b,c  Z Sehingga R bersifat transitif. Jadi, R relasi ekivalen. Contoh 16 R= {(a, b)| a-b  Z, a, b  R} Jelas kita dapatkan a-a =0  Z, berarti (a, a)  R, berarti R bersifatrefleksif Jika a-b  Z, maka b-a = -(a-b)  Z, berarti (b, a)  R, berarti Rbersifat simetri Jika a-b  Z dan b-c  Z, maka a-c=(a-b) + (b-c), berarti a-c  R,berarti R bersifat transitif. Jadi, R relasi ekivalen. C. FUNGSI Dalam matematika dan banyak aplikasi lain fungsi memainkan peranan penting. Dalam bab ini akan membahas fungsi sebagai PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 8

bentuk khusus dari relasi. Relasiakandibahassecaralebihmendalamdalam Bab 7. MisalkanA danB adalahhimpunantakkosong.Fungsi dari A ke B, f : AB dapatdipandangsebagaiaturanataucaramemasangkansetiapelemenAde ngantepatsatuelemenB. HimpunanA disebutdaerahasal(domain)darif, danhimpunanB dinamakandaerahkawan(codomain) darif.

Kawan (image) daria  Aadalahb = f(a)  B, seperti diagram panahpadaGambar 6.1. Daerah hasil(range) darif, dinotasikansebagaiRan(f), adalahhimpunansemuaelemenB yang menjadikawanelemenA. Jadi, Ran(f)  B. fungsi f : A  B dapat pula dipandangsebagaihimpunanbagianA  B danditulispasanganberurut (a,f(a)). Contoh 6.1. Misalkan A = {1, 2,3}dan B = {a, b, c}, maka f = {(1, a),(2, a),(3, c)}adalah fungsi, sedangkan g = {(1, a),(1, b),(3, c)} bukan fungsi karena g(1) = {a, b} (tidak memasangkan elemen A tepat satu pada elemen B). Perhatikan bahwa dalam contoh ini Ran(f) = {a, c}.

1. Fungsi Kebalikan (Fungsi Invers). Sebuah fungsi f : A  B dikatakan dapat dibalik (invers)bila f 1 : B  A juga merupakan fungsi. PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 9

Contoh 6.2. Fungsi f pada Contoh 6.1 tidak dapat dibalik karena f 1 a   {1,2} . 2. Komposisi Fungsi Misalkan f : A  B dan g : B  C adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan bahwa komposisi dari f dan g, f  g , adalah fungsi dari A ke C. Jika a  Adan b = f(a)  B sedangkan c = g(b)  C, maka ( f  g )(a) = g(f(a)); sehingga ( f  g )(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Gambar 6.3 menyajikan komposisifungsi dalam bentuk diagram panah

Contoh 6.3. Misalkan f , g :    denganf(x) = x + 1 dan g(y) = y2: Tentukanlan f  g dan g  f . Jawab: ( f  g )(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1: dan ( g  f )(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1: Pada umumnya, g  f ≠ g  f . SIFAT – SIFAT FUNGSI A. Fungsi Surjektif


Page 10

Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. Contoh dalam diagram panah A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}

1

a

2

Fungsi f : A  B dinyatakan dalam pasangan

b

3

terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}.

c

Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf :

4

{a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi

surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada. A f B Fungsi f : A  B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf B. Contoh : 1

a

2

b

3

c

4 A

A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} fs f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf  B, maka fungsi f adalah fungsi into atau

f

B

fungsi ke dalam.


Page 11

B. Fungsi Injektif Fungsi f : a  B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1)  f (a2). Contoh : 1

a

A : {1,2,3} , B : {a,b,c}

2

b

f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut f

3

c

: {(1,a), (2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda

A

B

mempunyai peta yang berbeda di B Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.

Fungsi f C. Fungsi Bijektif

Fungsi f : A  B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh : 1

a

2

b

3

c

A : {1,2,3} , B : {a,b,c} fs f : A  B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

A

B Fungsi f

fungsi

f

adalah

fungsi

bijektif

atau

korespondensi satu-satu.


Page 12

LATIHAN RELASI DAN FUNGSI


Page 13


Page 14

LIMIT FUNGSI, KEKONTINUAN DAN DERIVATIF A. LIMIT FUNGSI Definisi: L disebut limit kiri dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kiri atau

lim f ( x)  L artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan  () sedemikian x a 

sehingga untuk setiap harga dalam interval a    x  a berlaku (f(x) – L<). L disebut limit kanan dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kanan atau

lim f ( x)  L artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan s() xa 

sedemikian sehingga untuk setiap harga x dalam interval a  x  a   berlaku (f(x) – L<) Jika

lim f ( x)  lim f ( x)  L x a 

xa 

maka dikatakan f(x) mempunyai limit di x = a atau

lim f ( x)  L . xa

a-

a

a+

Gambar 2.1 Skema Limit contoh: f(x) =

1 1 atau y  x 1 x 1

Nilai f(x) untuk x sama dengan satu tidak terdefinisi, karena nilai f(x) menjadi pecahan dengan penyebut bernilai nol. PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 15

f(x) = x, untuk x > 1 = x2, untuk x < 1 = 0, untuk x = 1

lim f ( x)  12 =1

x 1

lim f ( x)  1 , karena limit kiri sama dengan limit kanan maka dengan definisi di atas

x 1

terbukti lim f ( x)  1 . x 1

Teorema-teorema tentang limit: Ada beberapa teorema-teorema penting yang tidak diberikan buktinya di sini, akan tetapi di bidang teknik penggunaannya sangat penting. Jika diberikan

lim f ( x)  f dan lim g ( x)  g , maka x C

1.

x C

lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) = f  g x C

x C

x C

2. lim k f ( x)  k. lim f ( x) , dimana k adalah suatu konstanta. x C

x C

3. lim f ( x).g ( x)  lim f ( x) lim g ( x) = f . g x C

4. lim x C

x C

x C

f ( x) f f ( x) lim  x C  ,g  0 g ( x) lim g ( x) g x C

   lim f ( x)

5. lim f ( x)  lim f ( x)  f n n

x C

6. lim f ( x) g ( x ) x C

n

x C

lim g ( x ) x C

x C

=fg 7. lim n f ( x)  n lim f ( x)  n f , f  0 x c

x c

8. lim ln f ( x)  ln lim f ( x)  ln f , f  0 X C

x c

lim f ( x )

9. lim k f ( x )  k x c x c

kf

 1  1 10. lim 1    lim 1   x  x    x  x

x

e


Page 16

B. Kekontinuan Definisi: sebuah fungsi f dinamakan kontinu pada c, jika lim f ( x)  f (C ) x C

jadi syarat f kontinu di c: 1. f(c) ada (f terdefinisi di c) 2. lim f ( x)  ada , berarti limit kanan sama dengan limit kiri x 3

3. lim f ( x)  f (C ) x 3

Jika salah satu syarat tidak dipenuhi , maka f(x) diskontinu di C C. Derivatif Skema :

Q P



  

Gambar 2.2. Fungsi y = f(x) untuk Mempermudah pemahaman derivative

Jika ada 2 titik : P(x,y); Q (x + x, y + y) P dan Q berada pada fungsi y = f(x). Garis singgung di P membentuk  dengan sumbu x. Garis singgung di Q membentuk  +  dengan sumbu x. tan< QPS =

y dengan x mendekati 0, dan  mendekati 0, koefisien arah garis x

singgung di P = tan  = lim

x 0

x . Jika Lim ada maka y


Page 17

tan =

dy  Y ' ( x)  Dy( x) = derivatif pertama dari y ke x dx

y = f(x) maka y + y = f(x + x) dy  f ( x  x)  f ( x)   f ' ( x)  lim   atau dy = f’(x) dx  x  0 dx x  

y = f(x) maka y’ =

df  f ' ( x) dx

Contoh: y = 3 1  x 4  (1  x 4 )

1 3

du  4x 3 dx

misal u = 1 – x4

dy 1  2 3  u dx 3

y = u1/3



dy dy du 1  .  1 x4 dx du dx 3



2

3

(4 x 3 )

Definisi 1. Misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang bukan suatu titik. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada selang I, jika turunannya (f’) terdefinisi. 2. Derivatif pertama dari y = f(x) ke-x

dy f ( x  x)  f ( x)  lim  x  0 dx x = y’ =

dy  f ' ( x) . dx

2.4.1.Rumus-rumus Derivatif jika u, v, w fungsi dari x, a, b, c, n = konstan: 1.

d (c )  0 dx

2.

d (cx )  c dx

3.

d (cx n )  ncx n1 dx


4.

d (u  v  w  ...) dx =

5.

du dv dw    ... dx dx dx

d du (cu )  c dx dx Page 18

6.

d dv du (uv)  u  v dx dx dx

20.

d  1 du cos 1 u  dx 1  u 2 dx

7.

d dw dv du (uvw)  uv  uw  vw dx dx dx dx

21.

d 1 du tan 1 u  dx 1  u 2 dx

22.

d  1 du cot 1 u  dx 1  u 2 dx

23.

d 1 du sec 1 u  dx u u 2  1 dx

24.

d  1 du cse 1u  dx u u 2  1 dx

25.

d a 1 du log u  . dx u ln a dx

26.

d 1 du ln u  . dx u dx

27.

d u du a  a u ln a dx dx

28.

d u du e  eu dx dx

29.

d v d v ln u u  e  dx dx

du dv u d u dx dx 8.   2 dx  v  v v

v0 9.

d n du (u )  n u n1 dx dx

dy dy du 10.  . dx du dx du 1 11.  dx dx du dy d 12.  du dx dx du

13.

d du sin u  cos u dx dx

14.

d du cos u   sin u dx dx

e v ln u

15.

d du tan u  sec 2 u dx dx

16.

d du cot u   csc 2 u dx dx

17.

d du sec u  sec u tan u dx dx

 v  du e v ln u     u  dx du e v ln u ln u (1)  dx du dv vu v 1  u v ln u dx dx

18.

d du csc u   csc u cot u dx dx

d 1 du 19. sin 1 u  2 dx 1  u dx

d (v ln u )  dx

30.

d du sinh u  cosh u dx dx

31.

d du cosh u  sinh u dx dx

32.

d du tanh u  sec h 2 u dx dx


Page 19

33.

d du coth u  c sec h dx dx

34.

d du sec hu   sec hu tanh u dx dx

35.

d du c sec hu  c sec hu cthu dx dx

36.

d 1 du sinh 1 u  . 2 dx u  1 dx

37.

d  1 du cosh 1 u  dx u 3  1 dx

d 1 du tanh 1 u  38. dx 1  u 2 dx 1  u  1 d 1 du coth 1 u  . 39. dx 1  u 2 dx u  1 \ / u  1

40.

d  1 du sec h 1u  dx u 1  u 2 dx

41.

d  1 du cseh 1u  dx u 1  u 2 dx


Page 20

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Contoh : 1. f(x) = x sin x maka f’(x) = x cos x + 1. Sin x = x cos x + sin x 2. f(x) = 2 x3 + 3 x2 tan x, x  0, maka f’(x) = 6x2 + 3x2. Sec2x + 6x tan x x 0

3. f(x) = f’(x) =

sin x ,x  0 x

x. cos x  1sin x ,x0 x2

4. f(x) = 2x5 – 3x2 -

1 3  , maka x x2

f'(x) = 10x4 - 6x + x-2 -6x-3. 5. f(x) =

1 x , x  1 , maka 1 x

f'(x) = {(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2. Catatan : 1 1  cos 2 x  2 1 cos 2 x  cos 2 x  1 2

sin 2 x 


Page 21

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2.4.2.Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai Komposisi fungsi: (f o g)1 (x ) = f’ (g(x)) . g’(x) Aturan rantai dy dy du  . dx du dx dy dy du dv dw  . . . dx du dv dw dx

Contoh: 1. f(x) =

2 x 2  3x

dibentuk f(x) = (g o h) (x) = g (h(x)) g(x) =

x

g(h(x)) =

h(x)

h(x) = 2x2 + 3x maka (g o h)1 (x) = g’ (h(x)) . h’(x) 1

h’ (x) = 4x + 3

f’ (x) =

2 h( x )

h' ( x )

1 2 2 x 2  3x

g’ (x) =

.4 x  3

1  12 1 x  2 2 x

cara lain u = 2x2 + 3x

f(x) = y =

u y’ =

du  4x  3 dx

u = 2x2 + 3x

1 2 u


Page 22

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA dy dy du  . dx du dx 1 f’ (x) =  .4 x  3 2 u 1 .4 x  3 2 2 x 2  3x

2. f(x) = sin (tan x), maka f'(x) = {cos(tan x)}sec2x 3. f(x) = sec

1 x , maka 1 x

f'(x) = {sec

1 x 1 x tan }{{(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2} 1 x 1 x

2.4.3.Teorema Turunan Fungsi Invers misal y = f(x) x’(y) =

1 f ' ( x)

dx 1  dy dy dx teorema turunan fungsi f (x) = xr, r rasional f(x) = xr

f’(x) = rxr-1

contoh : Diberikan suatu fungsi f(x) =

3

( x 2  2 x) 2 = (x2 – 2x)2/3, maka

1

 2 f’(x) = ( x 2  2 x) 3 (2 x  2) 3

4( x  1)

=

3

3

x 2  2x

, x  {0,2} 1

g(x) = cos

3

tan x  cos (tan x) 3


Page 23

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 1

2

 1 g’(x) = - sin (tan x) 3 . (tan x) 3 sec 2 x = 3

sin 3 tan x . sec 2 x 3

-

3

2

,

(tan x)

1 x    k , k bulat 2

Contoh: 1. f(x) =

1 x 1 x

2. f(x) =

xsin x

3. f(x) =

3

sin x

4. Jawab : 1

1) f(x) =

1 x 1 x 2   = 1 x 1 x  

1

1  1  x  2 (1)(1  x)  (1  x)1 f’(x) =   . 2 1 x  (1  x) 2 

1

1 1 x  2 1 x 1 x  =   .  2  1  x   (1  x) 2  

1

1 1 x  2  2 =  =  . 2  1  x  (1  x) 2





   

1 1  1 1 x  (1  x) 2 (1  x) 2 (1  x) 2 . 1  x  1 (1  x) 2 1 3 2

(1  x) (1  x)

2) f(x) =

1 2

x sin x  ( x sin x)

1

2


Page 24

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 1 1 ( x sin x) 2 (1. sin x  s cos x) f’(x) = 2 1 1 ( x sin x) 2 (sin x  x cos x) 2

3) f(x) =

3

sin x  (sin x )

1 3

1 1 1 2 (sin x ) 3 . cos x ( x 2 ) 3 2 f’(x) = 1  12 2 x (sin x ) 3 . cos x 6

cari

dy dari x3 + y2 + x2 y3=3 dx

di (1,1) d f ( x, y) dy dy  3x 2  2 y  2 xy 3  3 y 2 x 2 0 dx dx dx

dy dy 23  0 dx dx dy 55 0 dx 3 2

di (1.1)

jika diminta untuk mencari 5

dy , maka dx

dy dy = – 5 , maka = –1 . dx dx

2.4.4.Mendeferensialkan Fungsi Implisit Fungsi implicit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c. Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut: Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa Contoh: 1)

x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)

dy dy  2x  2 y 0 dx dx


Page 25

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2x  2 y 2y

dy 0 dx

dy  2 x dx

dy 2x  dx 2y dy x  dx y

2)

jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0 tentukan di titik



dy d2y dan 2 dx dx

x3 y2

x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0 2x + 2y

dy dy 26 0 dx dx

(2y - 6)

dy =2 – 2x dx

2 (y-3)

dy =2(1-x) dx

dy 1  x = dx y  3 di (3,2) 

dy  2  2 dx  1

d 2 y d  1 x     dx 2 dx  y  3 


Page 26

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA ( y  3)(1)  (1  x)(1)  ( y  3) 2

dy dx

dy

(3  y )  (1  x) dx  (2  3) 2 (3  2)  (1  3).2  (2  3) 2 

3)

1  (2) 2 5 1

f(x,y)= x + xy2 – x sin y (atau, x + xy2 = x sin y) cari

dy d2y dan dx dx 2

2.4.5.Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2, u3, …, un adalah fungsi dari x, maka dz z du1 z du 2 z du n  .  .  ...  . dx u1 dx u 2 dx u n dx

z = derifatif parsiil pertama dari z ke u u artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan. Contoh: z = x2+y3+x2y3

dz dy dy  z'  2x  3 y 2  2 xy 3  3 y 2 x 2 dx dx dx z  z x  2 x  2 xy 3 x z  zy  3 y 2  3 y 2 x 2 y

2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter


Page 27

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA x  f (t )

t = parameter

y  g (t )

y  t dy dt y  t lim dy y  t 0   lim  lim dx x 0 x t 0 x  t lim x t dx dt t  0

dy  y' dx dy  Jika Y dt dx  X dt



y’=

Y 

maka

X

 dy   dy  d 2 y d  dt  d  dt  dt     . dx 2 dx  dx  dt  dx  dx  dt   dt 

dx d 2 y dy d 2 x 1 2  2 dt dt dx dt dt dt = 2 (dx ) dt 

= y" 



 



xyyx   x  

y' 

3

y 

x

Contoh: 1) x= 2 – t y=t2 – 6t + 5 

dy y maka y’ =  dx x

dx   y  2t  6 dt dx   x  1 dt dy 2t  6 y'    6  2t  2(2  t )  2 dx 1

= 2x+2 PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 28

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA = 2(x+1) 2)

x  t  sin t y  1  cos t

0


dx  1  cos t dt  dy y  sin t dt sin t sin t y'   1  cos t y

x

sin t dinyatakan dalam y y= 1 – cos t cos t = 1 – y

(sin2t + cos2t = 1)

sin t = 1 cos 2 t 1  (1  y) 2 = 1  (1  2 y  y 2 )

11 2y  y 2 = 2 y  y 2

y’=

1 2y  y2 y

2.4.7.Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka

df dapat dicari dx

dengan 2 cara: 1. z = uv ln z = ln uv ln z = v ln u diturunkan ke-x: 1 dz dv v du  . ln u  z dx dx u dx dz v du   dv  u v  ln u   dx u dx   dx

2. z = uv z = e ln u  e v ln u v


Page 29

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA dz v du   dv  e v ln u  ln u  dx u dx   dx v du   dv u v  ln u   u dx   dx

contoh: Diketahui z = xx Cara pertama: z = xx ln z = ln xx ln = x ln x

1 dz x  1. ln x  z dx x dz x =x (ln x +1) dx Cara kedua: z = xx z = e ln X  e x ln x X

dz   e x ln x 1ln x  dx 

x  x

e x ln x ln x  1 x x (ln x  1)


Page 30

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA TERAPAN DERIVATIF 3.1. FUNGSI NAIK DAN TURUN Definisi : Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1< x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) . Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1> x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) . Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1. Skema : fs naik

x0-h

x1

x0

x2

x0+h

fs turun x0-h

x1

x0

x2

x0+h

Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun Dalil : Jika

f ' ( x0 )  0

 y = f (x) naik di x = x0

f ' ( x0 )  0

 y = f (x) turun di x = x0

f ' ( x0 )  0

titik stasioner dari fungsi f tercapai

f " ( x0 )  0

maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum


Page 31

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum

f " ( x0 )  0

Contoh :

f ( x)  2 x 4  4 x 2  3 Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsif Jawab : f(x)

= 2x4 – 4x2 + 3

f’ (x)

= 8x3 – 8x = 8x (x2 – 1)

f” (x) = 24x2 – 8 Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0 f’ (x)

= 8x (x2 – 1) = 0 = 8x (x+1) (x-1) = 0 x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1 f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1

-

+ -1

0

+ 1

f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun. Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)


Page 32

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. Jika f " ( x)  0  Grafik f cekung ke atas pada I 2. Jika f " ( x)  0  Grafik f cekung ke bawah pada I

Definisi Titik Belok (Ekstrim) f fungsi kontinu pada selang terbuka I a  I . Titik ( a , f ( a )) dikatakan titik belok jika dipenuhi 2 syarat berikut : 1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsif disekitar x = a 2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di ( a , f ( a )) Contoh :

f ( x)  5 x 3  3 x 5  2 f ' ( x)  15x 4  15x 2  0

x 2 (15  15x 2 ) (a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah (b) Tentukan semua titik ekstrimnya Jawab :

f ( x)  5 x 3  3 x 5  2 , x  R f ' ( x)  15x 2  15x 4

, x R

f " ( x)  30 x  60 x 3

, x R

1 =  60 x( x 2  ) 2 =  60 x( x 

1 1 2) (x  2 2 2

x1  0

x2  

f (0)  2 ;

f (

1 2 2

1 7 2)  2  2 2 8

x3  ;

f(

1 2 2

1 7 2)  2  2 2 8


Page 33

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Titik Ekstrim

Titik Ekstrim

--

++

Titik Ekstrim

++

--

0



1 2 2 x

1 2 2

(b) Karena f”(x) ada di x  R dan disekitar x  

1 2 2

x

1 2 2

1 2 2



1 2 x0 2

(a) f cekung ke atas : 1   2  n ,  2  

;

 1  2 0 ,  2 

fcekung ke bawah :  1  2 , 0   2 

;

1  2 , n  2 

,

x0 ,

x

1 2 ada 2

perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya 7 7  1  1  2 , 2 2  ; 0 , 2 ;  2 , 2 2  8 8  2  2 

Teorema-teorema yang mendukung pembahasan diatas adalah: 1. Teorema Rolle Misalkan f memenuhi syarat : a) Kontinu pada selang tertutup (a, b) b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b) c) f (a) = f (b) Maka terdapat suatu c  (a , b) Э f’ (c) = 0 (Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0 atau garis singgung mendatar). Skema : f’(c) = 0 f (c) PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 34

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA f f (a) = f (b) a

c

b

Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle. 2. Teorema Nilai Rata-rata Misalkan f memenuhi syarat : a) Kontinu pada selang tertutup (a, b) b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b) Maka terdapat suatu c  (a , b) sehingga f ' (c) 

f (b)  f (a) ba

(Teorema ini menjamin adanya titik pada fyang garis singgung // dengan ruas garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)). Skema : f’(c) f (c) (b, f (b))

f (b) f (a) a

c

b

b–a Gambar 3.3 Skema Teorema Nilai Rata-rata.

3.2.Teorema, Rumus Tayor Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk : f(x)

= f ( x0 ) 

f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x  x0 )  ( x  x0 ) 2    1! 2!

f ( n ) ( x0 ) f ( n1) (c) ( x  x0 ) n  ( x  x0 ) n1 n! (n  1)!

c terletak antara x dan x0 . PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA

Page 35

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Dapat ditulis :

f ( x)  Pn ( x)  Rn ( x) Dimana : Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n f ( n1) (c) Rn(x) = ( x  x0 ) n1 (n  1)!

= suku sisa uraian Taylor Contoh : Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0 Jawab : f(x)

= sin x

f (0) = 0

f’(x)

= cos x

f’(0) = 1

f”(x)

= -sin x

f”(0) = 0

f3(x)

= -cos x

f3(0) = -1

f4(x)

= sin x

f4(0) = 0

f5(x)

= cos x

f5(0) = 1

f(x)= f (0) 

f ' (0) f " (0) 2 x x   1! 2!

= 0  1.x  0  = x

(1) 3 x   3!

x3 x5    3! 5!

Deret Taylor dimana x0=0 dinamakan Deret Mac Laurin. Contoh : Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5 Tentukan semua titik ekstrimnya. Jawab: f'(x) = 3x2-18x+15 Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15=0 atau x2-6x+5 = 0. Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1. f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.


Page 36

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik (1,12). 3.3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:

 

0 ; 0

; 0. ;    ; 1

; 00

; 0

Aturan dari de l’Hospital : 1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali disekitar x=a.

f (a)  f ' (a)  f " (a)    f ( n1) (a)  0 g (a)  g ' (a)  g" (a)    g ( n1) (a)  0 Sedang f (n) (a) dan g(n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka : f ( x) g ( x)

lim x a



f ( n ) (a) g ( n ) (a)

2. Kecuali untuk bentuk

0  , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai untuk bentuk . 0 

f (a)  f ' (a)  f " (a)    f n1 (a)   g (a)  g ' (a)  g" (a)    g n1 (a)   Sedang f(n) (a) dan g(n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka : f ( x) g ( x)

lim x a



f ( n ) (a) g ( n ) (a)

Contoh: 1.

lim

x2  x  2 0  2 x 0

lim

sin x 2 0  2 sin x 0

x2

2.

x0

=

x 2

lim lim

2 x cos x 2 0  sin 2 x 0

lim

2 cos x 2  (2 x) (2 x) sin x 2 2 cos 2 x

x0

=

lim

2 x cos x 2 0  2 sin x cos x 0

x0

=

=

x0

2x  1  3 1


Page 37

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA = 3.

2.1 1 2

lim x

=

x2  x   2 3x  1 

lim

2x  1   6x 

lim

2x 1  x x 21 6x 6 3 x

x

=

x

 lim x

2 1  6 3

Contoh: 1.

lim x

 2

lim x

 2

1 2 ln( x   ) 2 = lim x   / 2 = lim cos x =   x  / 2 tan x sec 2 x x x 2

2

1 / 2(cos 2 x  1) 1 / 2(2 sin 2 x) = lim =0  x  / 2 1 x 2

ex 1 ex ex = lim  lim  1/ 2 x 0 2 x x 0 2 x 0 x2

2. lim 3.

lim

x2 x 1

= lim

2x 2 = lim x  0 x x   e e

x

x 


Page 38

NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA


Page 39

PENDAHULUAN HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN URUTAN LINIER

Recommend Documents