STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN REASURANSI
HERLAN BUDIAWAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2013
ABSTRAK HERLAN BUDIAWAN. Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal dengan Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Reasuransi merupakan pertanggungan mengenai seluruh atau sebagian risiko perusahaan asuransi. Perusahaan asuransi membayar sejumlah premi yang telah disepakati kepada perusahaan reasuransi (reinsurer). Selanjutnya, premi-premi tersebut akan menjadi pendapatan bagi perusahaan reasuransi. Perencanaan premi sangat diperlukan perusahaan reasuransi dalam menghadapi risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Perencanaan premi dalam karya ilmiah ini adalah perencanaan premi pada kontrak reasuransi dengan reinstatement. Premi ini tidak dibayarkan pada awal kontrak, tetapi dibayarkan ketika kerugian reinsurer melebihi batas maksimum kemampuannya. Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan bahwa kerugian reasuransi mengikuti sebaran eksponensial terpotong. Kontrak reasuransi meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara total pemasukan premi dan kerugian perusahaan reasuransi, sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal. Minimisasi nilai harapan kuadrat terhadap semua perencanaan premi tersebut dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak penjelas pada perencanaan premi dengan reinstatement memiliki invers sehingga perencanaan premi optimal tersebut memiliki solusi unik. Perencanaan premi optimal bersifat tak bias dan tak negatif. Kata kunci: reasuransi, reinstatement, sebaran eksponensial terpotong
ABSTRACT HERLAN BUDIAWAN. Studying on Optimal Premium Plans with Reinstatements of Reinsurance. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI. Reinsurance is an underwrite all or a portion of the insurance risk. Insurer paid a number of premiums to reinsurer and that premiums would be income for reinsurer. Premium plan is very important for reinsurer facing risks of submitted claims. Premium plan in this paper is premium plan of reinsurance with reinstatement. This premium is not paid in the beginning of the contract, but it is paid when the loss of the reinsurer exceed maximum bound capacity of reinsurer. For illustration purpose, it is assumed that the reinsurerโs loss is satisfied a truncated exponential distribution. Reinsurance contract minimizes the expectation of square the difference between the total premium income and the loss of the reinsurance, therefore it is said to be optimal. Minimizing the expectation of square all over premium plans can be viewed as a credibility problems. Covariance matrix of the explanatory random variables of premium plan with reinstatement is invertible, so that the premium plan has a unique solution. Optimal premium plan are unbiased and nonnegative. Keywords: reinsurance, reinstatement, truncated exponentials distribution
STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN REASURANSI
HERLAN BUDIAWAN
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2013
Judul Skripsi Nama NIM
: Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi. Rerlan Budiawan : G54080028
dengan
Menyetujui Pembimbing I, .
Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaba, DBA. NIP: 19651218199002 1 001
Ir. Re 0 Budiarti, MS. NIP: 19610729 1989032001
Mengetahui:
MS.
Tanggal Lulus:
2B MAY 201
Judul Skripsi Nama NIM
: Studi terhadap Perencanaan Premi Optimal Reinstatements pada Perusahaan Reasuransi. : Herlan Budiawan : G54080028
dengan
Menyetujui Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. NIP: 19651218 199002 1 001
Ir. Retno Budiarti, MS. NIP: 19610729 198903 2 001
Mengetahui: Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali pihak yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. keluarga tercinta: Ayah dan Ibu. Ayah sebagai pemberi motivasi dan Ibu sebagai sumber inspirasi, kakakku Eni Rustini beserta suami Hary Widjayanto, Ida Farida beserta suami Anwar Musadad, Rina Haerani beserta suami Sigit, dan Deden Komara beserta istri Lia Nuraeni (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran dan kasih sayangnya), adikku Yanti Wulandari (terima kasih atas doa, semangat, motivasi dan dukungannya). Keponakanku Irvan, Andre, Fauzi, Indria, Fadhil dan Fakhri (terimakasih atas doa dan keceriannya). 2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa, 3. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, motivasi, kritik dan saran, serta doanya, 4. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya, 5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Mas Hery, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak Deni, IbuYanti atas semangat dan doanya, 7. Dewi, Hendra dan Rochmat yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas pada seminar karya ilmiah saya, 8. teman-teman satu bimbingan: Heru, Aisyah, Prama, Fenny, dan Irma, 9. sahabatku Hardono, Arbi, Khafizd, Izzudin, James, Ari, Haryanto, Ridwan, Irwan, Beni, Fuka, Nova, Achie, Fenny, Mega (terima kasih atas kebersamaannya), 10. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya), 11. kakak-kakak Matematika angkatan 43 dan 44 yang menjadi cermin untuk menjadi pribadi yang lebih baik, 12. adik-adik Matematika angkatan 46 dan 47 yang terus mendukung agar berkembang, 13. Gumatika Brilian, Gumakusi dan HIMAT yang menunjukkan hal-hal baru, 14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya. Bogor, Mei 2013
Herlan Budiawan
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cianjur Jawa Barat, pada tanggal 12 Desember 1989 dari Bapak Koko dan Ibu Kokom. Penulis merupakan putra ke-5 dari enam bersaudara. Pada tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri Girimukti, tahun 2005 penulis lulus dari SMP Negeri 1 Cipanas, tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sukaresmi. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada tahun akademik 2010-2011. Tahun 2008-2010 penulis mendapatkan beasiswa PPA (Peningkatan Prestasi Akademik) IPB dan Beasiswa BUMN (Badan Usaha Milik Negara) pada tahun 20112012. Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Staf Divisi Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) tahun 2010-2011 dan sebagai sekretaris organisasi mahasiswa daerah Cianjur yang dikenal dengan HIMAT (Himpunan Mahasiswa Tjiandjoer). Penulis pernah menjadi sekretaris Masa Perkenalan Departemen untuk angkatan 2010 atau angkatan 47. Penulis pernah mendapatkan penghargaan, yaitu juara 1 bulu tangkis G-5 League tahun 2010, 2011, 2012 dan juara II bulu tangkis KEJURDA UNPAD tahun 2012.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ ix I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1.2 Tujuan ................................................................................................................................
1 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional ............................................................................... 2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang .............................................................................. 2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran...................................................................................... 2.4 Nilai Harapan dan Ragam .................................................................................................. 2.5 Matriks...............................................................................................................................
1 2 2 3 3
III PEMBAHASAN 3.1 Kontrak Reasuransi dengan Reinstatements ...................................................................... 3.2 Perencanaan Premi Optimal .............................................................................................. 3.3 Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal ............................................... 3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal ............................................................................... 3.5 Contoh Sebaran Eksponensial Terpotong (Truncated Exponentials Distribution) ............
4 5 5 7 9
IV SIMPULAN ............................................................................................................................. 12 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 13 LAMPIRAN ........................................................................................................................... 14
viii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bukti Lema 1 ........................................................................................................................ 15 2 Bukti Persamaan 3.23 ........................................................................................................... 18
ix
1
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada dasarnya kehidupan manusia tidak lepas dari risiko, bahaya atau kerugian material yang datang di luar perhitungannya. Seseorang atau badan usaha yang selalu menghadapi risiko akan berusaha untuk mengurangi atau menghindari risiko tersebut dengan berbagai cara. Salah satu cara yang ditempuh seseorang atau badan usaha untuk memperkecil risiko yang mereka hadapi adalah dengan berasuransi. Di sisi lain, perusahaan asuransi atau pihak penanggung yang bidang usahanya justru menjual jasa asuransi untuk mengambil alih sebagian atau seluruh risiko yang dihadapi oleh tertanggung, juga akan selalu menghadapi risiko kemungkinan adanya tuntutan ganti kerugian dan/atau santunan dari tertanggung yang wajib mereka bayar sesuai dengan persyaratan dan ketentuan polis yang berlaku. Dengan demikian, pihak penanggung juga memerlukan kebijakan mengelola risiko tanggung gugat yang mungkin akan terjadi setiap saat akibat perjanjian-perjanjian asuransi dengan pihak tertanggung. Langkah yang harus ditempuh oleh para penanggung untuk memperkecil risiko tanggung gugat adalah dengan mempertanggungkan kembali kepentingan atas kelebihan tanggung gugat yang tidak mungkin mereka tanggung sendiri. Kegiatan pertanggungan ulang terhadap risiko yang dihadapi oleh perusahaan asuransi seperti ini dikenal dengan reasuransi. Reasuransi atau pertanggungan ulang pada kenyataannya mempunyai peranan yang sangat penting dalam industri asuransi. Peran dan fungsi reasuransi tidak hanya memberikan proteksi asuransi, tetapi juga dapat menaikkan kapasitas akseptasi perusahaan asuransi atas
risiko-risiko yang melampaui batas kemampuannya karena kelebihan tanggung gugat yang tidak bisa mereka tanggung sendiri akan dijamin oleh penanggung ulang. Reasuransi mempunyai dua tipe kontrak atau perjanjian reasuransi, yaitu kontrak proporsional (proportional treaties) dan kontrak tak proporsional (non proportional treaties). Kedua kontrak tersebut mempunyai perbedaan mendasar terutama dalam hal penetapan premi. Pada karya ilmiah ini dibahas perencanaan premi optimal dengan reinstatement untuk kontrak tak proporsional pada perusahaan reasuransi. Di dalam kontrak ini, premi reinstatement, yaitu jumlah yang harus dibayarkan ketika kerugian perusahaan reasuransi melebihi batas maksimum yang akan dibayarkan kepada tertanggung didefinisikan sebagai peubah acak. Rujukan utama karya ilmiah ini adalah tulisan Hess dan Schmidt (2004) yang berjudul โOptimal Premium Plans for Reinsurance with Reinstatementsโ. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1. Mempelajari eksistensi perencanaan premi yang meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara total pemasukan premi dan kerugian suatu perusahaan reasuransi. 2. Menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal ada, unik, dan memenuhi prinsip premi bersih. 3. Mempelajari sifat-sifat perencanaan premi optimal.
II LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan dibahas beberapa landasan teori yang berkaitan dengan bahasan karya ilmiah ini. 2.1 Kontrak Reasuransi Tak Proporsional Sebagaimana telah disebut di pendahuluan, salah satu kategori kontrak reasuransi adalah kontrak reasuransi tak proporsional. Kontrak reasuransi tak proporsional mempunyai cara kerja berbeda dengan kontrak reasuransi proporsional. Kontrak reasuransi proporsional
menetapkan pembagian sesi premi secara berimbang dan beban risiko yang ditanggung penanggung pertama (pemberi sesi) dan penanggung ulang adalah sama, sedangkan dalam kontrak reasuransi tak proporsional, tidak berlaku cara kerja seperti itu. Penetapan premi dalam kontrak reasuransi tak proporsional tidak hanya tergantung pada jumlah limit tanggung gugat yang menjadi tanggungan penanggung ulang, tetapi juga didasarkan pada tingkat rasio klaim/kerugian. Risiko-risiko yang dijamin oleh kontrak
2
reasuransi tak proporsional tidak hanya terbatas pada risiko biasa, tetapi juga meliputi kejadian-kejadian yang dapat menimbulkan kerugian besar. Adapun yang dimaksud dengan kontrak reasuransi tak proporsional adalah suatu perjanjian reasuransi yang menetapkan bahwa para penanggung ulang dengan menerima sejumlah premi yang telah disepakati bersedia membayar kepada penanggung pertama seluruh kerugian yang melampaui limit retensi (underlying net retention) sampai pada batas jumlah atau persentase tertentu akibat peristiwa-peristiwa tertentu yang telah disepakati. (Marianto 1997)
Definisi 6 (Ukuran Peluang) Misalkan โฑ adalah medan-๐ dari ruang contoh โฆ. Ukuran peluang ๐ pada (โฆ, โฑ ) adalah suatu fungsi ๐: โฑ โ [0,1] yang memenuhi: 1. ๐(ร) = 0, ๐(โฆ) = 1, 2. Jika ๐ด1 , ๐ด2 , โฆ โ โฑ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu ๐ดi โฉ ๐ดj = โ
untuk setiap pasangan ๐ โ ๐, maka
2.2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 7 (Peubah Acak) Misalkan โฆ adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi ๐ terdefinisi pada โฆ yang memetakan setiap unsur ๐ โ โฆ ke satu dan hanya satu bilangan real ๐ ๐ = ๐ฅ disebut peubah acak. Ruang dari ๐ adalah himpunan bagian bilangan real ๐ = {๐ฅ: ๐ฅ = ๐ ๐ , ๐ โ โฆ}. (Hogg et al. 2005)
Definisi 1 (Percobaan Acak) Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. (Hogg et al. 2005) Definisi 2 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan โฆ. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 3 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh โฆ. (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 4 (Kejadian Saling Lepas) Kejadian ๐ด dan ๐ต disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (โ
). (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 5 (Medan-๐) Medan-๏ณ adalah suatu himpunan โฑ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh โฆ yang memenuhi kondisi berikut: 1. ร โ โฑ, 2. Jika ๐ด โ โฑ maka ๐ด๐ โ โฑ, 3. Jika ๐ด1 , ๐ด2 , โฆ โ โฑ maka โ
โ
๐
โ
๐ด๐ = ๐=1
(Grimmet & Stirzaker 1992) 2.3 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 8 (Fungsi Sebaran) Misalkan ๐ adalah peubah acak dengan ruang ๐. Misalkan kejadian ๐ด = (โโ, ๐ฅ] โ ๐, maka peluang dari kejadian ๐ด adalah ๐ ๐ โค ๐ฅ = ๐น๐ ๐ฅ . Fungsi ๐น๐ disebut fungsi sebaran dari peubah acak ๐. (Hogg et al. 2005) Definisi 9 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak ๐ dikatakan diskret jika nilainya berada hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari โ. (Grimmet & Stirzaker 1992) Catatan: Suatu himpunan bilangan ๐ถ disebut terhitung jika ๐ถ terdiri atas bilangan terhingga atau anggota ๐ถ dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak ๐ dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai
๐ด๐ โ โฑ . ๐=1
(Grimmet & Stirzaker 1992)
๐ ๐ด๐ . ๐=1
๐ฅ
๐น๐ ๐ฅ =
๐ ๐ข ๐๐ข, โโ
3
untuk suatu fungsi ๐: โ โ 0, โ yang dapat diintegralkan. Selanjutnya, fungsi ๐ = ๐๐ disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi ๐. (Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret ๐ adalah fungsi ๐: โ โ 0, 1 yang diberikan oleh ๐๐ ๐ฅ = ๐ ๐ = ๐ฅ . (Grimmet & Stirzaker 1992) Definisi 12 (Peubah Acak Eksponensial) Suatu peubah acak ๐ disebut peubah acak eksponensial dengan parameter ๐ผ, ๐ผ > 0, jika nilainya terletak pada [0, โ) dan mempunyai fungsi kepekatan peluang
โ
๐ธ ๐|๐ = ๐ฆ =
๐ฅ๐๐|๐ ๐ฅ|๐ฆ ๐๐ฅ. โโ
(Hogg et al. 2005) Definisi 15 (Ragam) Ragam dari peubah acak ๐ adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara ๐ dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai ๐๐๐ ๐ = ๐ธ ๐ โ ๐ธ ๐ 2 = ๐ธ ๐2 โ ๐ธ ๐
2
.
(Hogg et al. 2005) Definisi 16 (Koragam) Misalkan ๐ dan ๐ adalah dua peubah acak dengan ๐ธ ๐ = ๐1 dan ๐ธ ๐ = ๐2 , maka koragam peubah acak ๐ dan ๐ adalah
๐๐ ๐ฅ = ๐ผ๐ โ๐ผ๐ฅ , ๐ฅ โฅ 0. (Grimmet & Stirzaker 1992)
๐ถ๐๐ฃ ๐, ๐ = ๐ธ ๐ โ ๐1 ๐ โ ๐2 = ๐ธ ๐๐ โ ๐1 ๐2 .
2.4 Nilai Harapan dan Ragam Definisi 13 (Nilai Harapan) 1. Jika ๐ adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang ๐๐ , maka nilai harapan ๐, dinotasikan dengan ๐ธ ๐ adalah ๐ธ ๐ =
๐ฅ ๐๐ ๐ฅ , ๐ฅ
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika ๐ adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ๐๐ , maka nilai harapan ๐ dinotasikan dengan ๐ธ ๐ adalah โ
๐ธ ๐ =
(Hogg et al. 2005) 2.5 Matriks Definisi 17 (Transpos dari Suatu Matriks) Transpos dari suatu matriks ๐จ berukuran ๐ ร ๐ adalah matriks ๐ฉ berukuran ๐ ร ๐ yang didefinisikan oleh ๐๐๐ = ๐๐๐ , untuk ๐ = 1,2, โฆ , ๐ dan ๐ = 1,2, โฆ , ๐. Transpos dari matriks ๐จ dinotasikan dengan ๐จ๐ . (Leon 2001 Definisi 18 (Matriks Simetris) Suatu matriks ๐จ berukuran ๐ ร ๐ disebut simetris jika ๐จ๐ = ๐จ. (Leon 2001)
๐ฅ ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ, โโ
asalkan integral di atas konvergen mutlak. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari ๐ tidak ada. (Hogg et al. 2005) Definisi 14 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan ๐ dan ๐ adalah peubah acak kontinu dan ๐๐|๐ adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari ๐ dengan syarat ๐ = ๐ฆ, maka nilai harapan dari ๐ dengan syarat ๐ = ๐ฆ adalah
Definisi 19 (Matriks Idempotent) Suatu matriks ๐จ berukuran ๐ ร ๐ disebut matriks idempotent jika ๐จ2 = ๐จ. (Leon 2001) Definisi 20 (Invers Matriks) Suatu matriks ๐จ berukuran ๐ ร ๐ dikatakan tak singular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks ๐ฉ sehingga ๐จ๐ฉ = ๐ฉ๐จ = ๐ฐ. Matriks ๐ฉ disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari ๐จ. (Leon 2001)
4
III PEMBAHASAN 3.1 Kontrak Reasuransi dengan Reinstatements Kontrak reasuransi tak proporsional merupakan suatu perjanjian reasuransi yang menetapkan bahwa para penanggung ulang (reinsurer) dengan menerima sejumlah premi yang telah disepakati bersedia membayar kepada penanggung pertama seluruh kerugian yang melampaui limit retensi (underlying net retention) sampai pada batas jumlah atau persentase tertentu akibat peristiwa-peristiwa tertentu yang telah disepakati. Misalkan bilangan real ๐ป โ 0, โ adalah konstanta yang menyatakan batas atas liabilitas total dari reinsurer dan peubah acak ๐: ฮฉ โ โ dengan ๐ 0 โค ๐ โค ๐ป = 1 adalah peubah acak yang menyatakan kerugian total dari reinsurer. Kerugian Asuransi Kerugian total ๐ โ yang ditanggung oleh sebuah perusahaan asuransi dapat dipresentasikan sebagai ๐โ
๐
โ
๐๐ โ
=
limit tertinggi ini erat sekali kaitannya dengan kerugian perusahaan terutama dalam hal minimisasi tingkat kerugian. Kerugian reinsurer dalam kontrak reasuransi dengan prioritas ๐ โ 0, โ dan nilai ๐ โ 0, โ adalah ๐โ
๐=
๐ โ = total klaim/kerugian total perusahaan asuransi, ๐ โ = banyaknya klaim yang diajukan oleh tertanggung, ๐๐ โ = besarnya klaim dari tertanggung ke-๐, dengan ๐ = 1,2, โฆ , ๐ โ . Model ini sering disebut juga model kolektif untuk kerugian total ๐ โ . Secara umum model ini merepresentasikan klaim secara menyeluruh pada periode tertentu. Peubah acak ๐ โ menyatakan banyaknya klaim dan peubah acak ๐๐ โ menyatakan besarnya klaim ke-๐, ๐ = 1,2, โฆ , ๐ โ . Diasumsikan ๐๐ โ adalah bebas stokastik identik dan ๐ โ๐ โ
Kerugian Reasuransi Perusahaan asuransi menentukan tingkat retensi tertinggi untuk setiap kelas risiko dari masing-masing pertanggungannya. Penetapan retensi pada kenyataannya tidak hanya penting bagi pemberi sesi, tetapi juga penting bagi para penanggung ulang dalam menentukan limit tertinggi yang dapat ditanggungnya berdasarkan kontrak reasuransi. Penentuan
,๐
(3.2)
dengan ๐ adalah batas maksimum klaim yang akan dibayarkan perusahaan asuransi terhadap pihak tertanggung dan ๐ adalah batas maksimum yang dapat dibayarkan oleh perusahaan reasuransi terhadap klaim yang diajukan. Peubah acak dari model bersama untuk kerugian tertanggung tidak dapat diamati oleh perusahaan reasuransi, tetapi model koleksi ๐ โ , ๐๐ โ
๐ โ๐ โ
dapat ditransformasikan ke
dalam model kolektif
๐, ๐๐
๐ โ๐
(Hess
2003). Oleh karena itu, kerugian total reinsurer dapat dipresentasikan sebagai ๐
๐=
๐๐๐ ๐๐ โ ๐ , ๐
(3.3)
๐ =1
dengan
bebas terhadap ๐ โ .
+
๐ =1
(3.1)
๐ =1
๐๐ โ โ ๐
๐๐๐
dengan ๐ = kerugian reinsurer, ๐๐ = besarnya klaim ke-๐ yang melebihi prioritas, ๐ = banyaknya klaim yang melebihi prioritas. Jika kontrak reasuransi merupakan prioritas total ๐ท โ 0, โ dan batas maksimum total ๐ป โ 0, โ , maka kerugian reinsurer adalah ๐ = ๐๐๐ ๐ โ ๐ท
+
,๐ป
(3.4)
dengan ๐โ๐ท
+
=
๐ โ ๐ท, 0,
jika ๐ โ ๐ท โฅ 0 jika ๐ โ ๐ท < 0.
Peubah acak ๐ memenuhi ๐ 0 โค ๐ โค ๐ป = 1. Kemudian diasumsikan kontrak reasuransi pada ๐ dengan ๐ โ โ0 reinstatements di dalam rentang 0, ๐ป dibagi ke dalam ๐ + 1 bagian 0, ๐ , ๐,2๐ , โฆ , ๐๐,๐ป dengan ๐=
๐ป . ๐+1
(3.5)
5
Premi awal ๐0 โ โ dibayarkan pada awal kontrak, yaitu pada rentang 0, ๐ , dan premi reinstatement ๐๐ โ โ dibayarkan ketika kerugian ๐ melebihi ๐๐ dengan ๐ โ {1,2, โฆ , ๐}. Barisan terhingga ๐ = ๐๐ ๐โ 0,1,โฆ,๐ โ โ menjadi perencanaan premi untuk kontrak reasuransi dengan n-reinstatements. Peluang premi reinstatements yang dibayarkan adalah ๐ผ๐ =
๐ 0โค๐โค๐ , ๐=0 ๐ ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ , ๐ โ 1, โฆ , n ,
(3.6) ๐ผ๐ โ 0,1 , โ๐ โ 0,1, โฆ , ๐ dan memenuhi ๐
๐ผ๐ = 1.
(3.7)
๐=0
Jika sekurang-kurangnya terdapat ๐-klaim yang melebihi prioritas dan jika klaim ke-๐ melebihi prioritas seperti ๐ โ1
๐
๐๐๐ ๐๐ โ ๐ , ๐ โค ๐๐ < ๐ =1
๐๐๐ ๐๐ โ ๐ , ๐ , ๐ =1
(3.8) maka premi reinstatement ๐๐ harus dibayar. 3.2 Perencanaan Premi Optimal Asumsikan ฮ adalah kumpulan dari semua perencanaan premi untuk kontrak reasuransi dengan n-reinstatements. Untuk rencana premi ๐ = ๐๐ ๐โ 0,1,โฆ,๐ โ ฮ , total premi reinstatement didefinisikan sebagai peubah acak dan dapat dipresentasikan sebagai ๐
๐ฟ ๐ = ๐0 +
๐๐ ๐ ๐๐ <๐
(3.9)
๐=1
dengan ๐ ๐๐ <๐
1, = 0,
jika ๐๐ < ๐ jika ๐๐ โฅ ๐.
(3.10)
Premi awal, dinotasikan dengan ๐0 merupakan premi yang dibayarkan pada awal kontrak, dan premi reinstatement, dinotasikan dengan ๐๐ merupakan premi yang dibayarkan ketika kerugian ๐ melebihi ๐๐ dengan ๐ โ {1,2, โฆ , ๐}. Nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi didefinisikan sebagai ๐ธ ๐ฟ ๐ โ๐
2
.
(3.11)
Rencana premi ๐ = ๐๐ dikatakan tak bias jika ๐ธ๐ฟ ๐
๐โ 0,1,โฆ,๐
=๐ธ ๐ ,
โฮ
(3.12)
tak negatif jika ๐๐ โฅ 0, โ๐ โ 0,1, โฆ , ๐ , dan optimal jika ๐ mengakibatkan ๐ธ ๐ฟ ๐ โ ๐ 2 minimum. Pada pembahasan selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa terdapat perencanaan premi unik ๐ โ = ๐๐โ ๐โ 1,2,โฆ,๐ โ ฮ yang meminimumkan ๐ธ ๐ฟ ๐ โ ๐ 2 , bersifat tak bias dan tak negatif. 3.3 Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal Meminimumkan ๐ธ ๐ฟ ๐ โ ๐ 2 terhadap semua perencanaan premi ๐ โ ฮ dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Masalah kredibilitas sangat penting bagi suatu perusahaan reasuransi karena hal ini akan memengaruhi seberapa besar tingkat kepercayaan tertanggung terhadap perusahaan tersebut. Kredibilitas ini sangat erat kaitannya dengan kemampuan suatu perusahaan reasuransi dalam menanggung kerugiankerugian yang dialami oleh pihak tertanggung. Telah diketahui bahwa masalah kredibilitas mempunyai solusi unik. Jika matriks koragam ๐ฒ dari vektor acak dibentuk oleh peubah acak penjelas yang mempunyai representasi unik sebagai penjumlahan linear dari peubah acak penjelas, dan jika invers dari matriks koragam ๐ฒ diketahui, maka formula eksplisit dapat diberikan untuk koefisien pada solusinya. Didefinisikan: ๐ ๐ <๐ โฎ ๐ฒ= (3.13) ๐ ๐๐ <๐ dengan ๐ = ๐ธ ๐ฒ ๐=๐ธ ๐ dan ๐บ = ๐๐๐ ๐ = ๐ถ๐๐ฃ ๐ 2 = ๐๐๐
, , ๐ฒ , ๐ฒ, ๐ , ๐ .
Selanjutnya untuk memperlihatkan bahwa perencanaan premi optimal mempunyai solusi yang unik, akan ditunjukkan ๐บ mempunyai invers dan akan ditentukan invers dari ๐บ. Didefinisikan matriks ๐๐ = ๐๐:๐,๐ โ ๐๐๐ฅ๐ untuk ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ dengan ๐๐:๐,๐ =
1, 0,
jika ๐, ๐ โค ๐ selainnya.
3.14
6
Sehingga diperoleh matriks ๐ sebagai berikut.
๐1 =
1 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 , โฎ 0
๐3 =
1 1 1 โฎ 0
1 1 1 โฎ 0
1 1 1 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
Selanjutnya, sebagai
๐2 =
1 1 0 โฎ 0
1 1 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 , โฎ 0
0 0 0 , โฆ , ๐๐ = โฎ 0
1 1 1 โฎ 1
1 1 1 โฎ 1
1 1 1 โฎ 1
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
1 1 1 โฎ 1
๐
matriks
๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐
1, jika ๐, ๐ โ ๐๐:๐,๐ = โ1, jika ๐, ๐ โ 0, selainnya.
๐, ๐ , ๐ + 1, ๐ + 1 ๐, ๐ + 1 , ๐ + 1, ๐
. ๐0 =
didefinisikan
๐ผ๐ ๐๐ .
untuk
(3.18) (3.19)
Kemudian diperoleh ๐0 = ๐1 .
๐
๐=
Didefinisikan matriks ๐ โ 0,1, โฆ , ๐ dengan
(3.15)
1 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 โฎ 0
= ๐1 .
Lema 2 Matriks ๐จ adalah invertible dan memenuhi
๐=1
๐ โ๐
๐
Sehingga diperoleh matriks ๐ sebagai berikut.
๐ผ๐ โ1 ๐๐ .
=
(3.20)
๐=1 ๐
๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐ ๐=2 ๐
๐ผ๐ ๐=
๐
๐=2 ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
โฏ
๐ผ๐ .
๐=3 ๐
๐ผ๐ ๐=3
โฎ ๐ผ๐
โฏ
๐=3 ๐
๐=2 ๐
๐=3
๐ผ๐
๐ผ๐
โฏ
๐ผ๐
โฑ โฏ
โฎ ๐ผ๐
๐=3
โฎ ๐ผ๐
โฎ ๐ผ๐
Kemudian didefinisikan matriks ๐ โ ๐๐๐ฅ๐ dengan ๐
๐๐,๐ =
๐ผ๐ ,
jika ๐ = 1
0,
selainnya.
(3.16)
๐=๐
Bukti (Lema 2) Untuk ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ didefinisikan matriks ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ dengan 1, jika ๐ โค ๐ = ๐ ๐๐:๐,๐ = โ1, jika ๐ < ๐ + 1 = ๐ (3.21) 0, selainnya. Untuk โ๐, ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ didefinisikan ๐๐ , jika ๐ = ๐ ๐ถ, selainnya. Bukti: Disajikan pada Lampiran 2. ๐๐ ๐๐ =
Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (3.20) dan persamaan (3.22) diperoleh ๐๐โ๐
๐
๐=
0 0 0 0 โฎ 0 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ โฏ
0 0 0 0 . โฎ 0 0
๐=1 ๐
Lema 1 Matriks ๐บ memenuhi ๐บ = ๐ โ ๐๐๐ . Bukti: Disajikan pada Lampiran 1.
(3.17)
๐=1
๐ผ๐ ๐ผ๐ โ1 ๐๐ ๐๐ ๐=1 ๐
=
๐๐ ๐=1
= ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ + โฏ + ๐๐ง
=
Selanjutnya hubungan antara ๐บ, ๐, dan ๐ akan ditunjukkan dalam Lema sebagai berikut.
๐ผ๐ โ1 ๐๐
๐ผ๐ ๐๐
= 0 0 0 0 โฎ 0 0
๐
=
Sehingga diperoleh matriks ๐ sebagai berikut. ๐ผ1 + ๐ผ2 + โฏ + ๐ผ๐ ๐ผ2 + ๐ผ3 + โฏ + ๐ผ๐ ๐ผ3 + ๐ผ4 + โฏ + ๐ผ๐ ๐ผ4 + ๐ผ5 + โฏ + ๐ผ๐ โฎ ๐ผ๐โ1 + ๐ผ๐ ๐ผ๐
(3.22)
1 โ1 0 0 โฏ 0 0 0 0 0 โฏ 0 0 0 0 0 โฏ 0 0 0 0 0 โฏ 0 โฎ โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ 0 0 0 0 โฏ 0
0 0 0 + 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
+
0 0 0 0 โฎ 0
1 โ1 โฏ 0 1 โ1 โฏ 0 1 โ1 โฏ 0 + โฏ+ 0 0 โฏ 0 โฎ โฎ โฑ โฎ 0 0 โฏ 0
1 โ1 0 โฏ 0 1 โ1 0 โฏ 0 0 0 0 โฏ 0 0 0 0 โฏ 0 โฎ โฎ โฎ โฑ โฎ 0 0 0 โฏ 0 0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
1 1 1 1 โฎ 1
7
1 0 0 0 โฎ 0
=
0 1 0 0 โฎ 0
0 0 1 0 โฎ 0
0 0 0 1 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 1
๐ฟ ๐ โ = ๐ + ๐๐ป ๐บ โ1 ๐ฒ โ ๐ dan ๐ธ ๐ฟ ๐โ โ ๐
โ
Lema 3 Matriks ๐บ adalah invertible dan memenuhi ๐ผ๐ โ1 ๐๐ .
๐1โ โฎ = ๐บ โ1 ๐. ๐๐โ
๐=0
Bukti (Lema 3) Ambil ๐ = ๐๐๐ dan ๐๐ adalah simetris dan idempotent. Dari Lema 1 diperoleh
Menggunakan Lema 2 dan ๐๐ = 1 โ ๐ผ๐ ๐, diperoleh
persamaan
Perencanaan premi ๐ โ adalah tak bias. Bukti dapat dilihat di Hess & Schmidt [2001]. 3.4 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal
๐ถ๐๐ฃ ๐, ๐ ๐๐ <๐ , jika ๐ โ 1, โฆ , ๐, 0, jika ๐ โ 0, ๐ + 1 (3.28) ๐1 dan ๐ = โฎ . (3.29) ๐๐
๐ผ๐ โ1 ๐๐ ๐
๐ผ๐ โ1 ๐๐
๐๐ +
Untuk ๐ โ 0,1, โฆ , ๐, ๐ + 1 , didefinisikan ๐๐ =
๐
= ๐ฐ โ ๐ ๐ ๐ผ๐
(3.27)
Teorema 1 memperlihatkan eksistensi dan keunikan dari perencanaan premi optimal yang sama baiknya dengan formula eksplisit untuk premi awal dan premi reinstatement dari rencana premi ini. Akan ditunjukkan bahwa perencanaan premi optimal adalah tak negatif.
๐บ = ๐ โ ๐๐๐ = ๐ โ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ = ๐ โ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ = ๐ โ ๐๐๐ ๐๐ ๐ = ๐ โ ๐๐๐ ๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐ฐ โ ๐ ๐.
โ1
(3.26)
dan premi reinstatement ๐1โ , โฆ , ๐๐โ memenuhi
3.23
๐=0
= ๐ 2 + ๐๐ป ๐บ โ1 ๐. (3.25)
๐0 โ = ๐ โ ๐๐ป ๐บ โ1 ๐
๐
๐บ๐บ โ๐ = ๐บ
2
Secara khusus, premi awal ๐0โ memenuhi
= ๐ฐ.
๐บ โ๐ =
(3.24)
๐=1
= ๐ฐ โ ๐ ๐ ๐ผ๐ โ1 ๐๐ + ๐โ๐ = ๐ฐ โ ๐ ๐ผ๐ โ1 ๐๐๐ + ๐๐โ๐ = ๐ฐ โ ๐ ๐ผ๐ โ1 ๐๐๐ + ๐ฐ = ๐ฐ โ ๐ ๐ผ๐ โ1 ๐ + ๐ฐ = ๐ผ๐ โ1 ๐ โ ๐ผ๐ โ1 ๐๐ + ๐ฐ โ ๐ = ๐ผ๐ โ1 ๐ โ ๐๐ + ๐ฐ โ ๐ = ๐ผ๐ โ1 ๐ โ 1 โ ๐ผ๐ ๐ + ๐ฐ โ ๐ = ๐ผ๐ โ1 ๐ผ๐ ๐ + ๐ฐ โ ๐ =๐+ ๐ฐโ๐ = ๐ฐ.
Pada bagian ini, akan diperoleh sebuah formula pelengkap untuk perencanaan premi optimal. Teorema 2 Perencanaan premi optimal ๐ โ = ๐๐โ memenuhi
๐โ 0,1,โฆ,๐
๐1 , jika ๐ = 0 ๐ผ๐ = ๐ โ๐ ๐๐โ1 โ ๐๐ ๐ ๐+1 โ , jika ๐ โ 1, โฆ , ๐ . ๐ผ๐ ๐ผ๐โ1 ๐โ
โ
๐๐โ
(3.30)
Lema ini menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal mempunyai solusi yang unik. Teorema 1 Terdapat suatu perencanaan premi optimal ๐ โ = ๐๐โ ๐โ 0,1,โฆ,๐ โ ฮ yang meminimumkan ๐ธ ๐ฟ ๐ โ๐ 2 dan premi total dari perencanaan premi ๐ โ yang memenuhi
Bukti (Teorema 2) โ๐ โ 0,1, โฆ , ๐ , kita mempunyai ๐๐ ๐ = ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐+1 (3.31)
dengan ๐๐ =
๐๐ , 0,
jika ๐ โ 1, โฆ , ๐, jika ๐ โ 0, ๐ + 1 ,
8
dan ๐๐ merupakan unit ke-๐ dari vector ๐๐ . Didefinisikan โฎ . ๐๐โ
(3.32)
Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.27), diperoleh ๐
โ = ๐บ โ1 ๐ ๐
๐ผ๐ โ1 ๐๐ ๐
= ๐=0 ๐
=
โ1
๐ผ๐ ๐=0 ๐
๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐+1
๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ ๐ผ๐
= ๐=0 ๐
๐
๐=0 ๐
๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ ๐ผ๐
= ๐=1
๐
๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐+1 ๐ผ๐
๐=1
๐๐โ1 โ ๐๐ ๐๐ ๐ผ๐โ1
๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ1 โ ๐๐ โ ๐๐ . ๐ผ๐ ๐ผ๐โ1
= ๐=1
๐ผ๐ ๐ =1
๐1โ
๐
โ =
๐
= ๐ โ ๐1 โ
๐๐โ
Persamaan terbukti untuk ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ . โ Selanjutnya, kita mempunyai ๐
๐
๐=1
๐ =๐
๐=
๐ผ๐ ๐๐ .
(3.33)
Dengan menggunakan persamaan (3.26), diperoleh ๐0 โ = ๐ โ ๐๐ป ๐บ โ1 ๐ = ๐ โ ๐ ๐ป ๐
โ ๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
=๐โ
๐ =๐ ๐
๐ผ๐ ๐ =1 ๐
=๐โ
๐=1
=๐โ ๐ =1 ๐
=๐โ ๐ =1
๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ1 โ ๐๐ โ ๐ผ๐ ๐ผ๐โ1 ๐๐ โ ๐๐ +1 ๐๐โ1 โ ๐๐ โ ๐ผ๐ ๐ผ๐โ1
๐ผ๐
๐๐ โ ๐๐ +1 ๐0 โ ๐1 โ ๐ผ๐ ๐ผ0
๐ผ๐
๐๐ โ ๐๐ +1 ๐1 + ๐ผ๐ ๐ผ0
๐ =1 ๐
๐1 = ๐ โ ๐1 + 1 โ ๐ผ0 ๐ผ0 ๐1 =๐โ . ๐ผ0 Persamaan ๐0 โ terbukti untuk ๐ = 0.
๐ผ๐ ๐1 ๐๐ โ ๐๐ +1 + ๐ผ0
โ
Teorema ini memberikan representasi lain dari premi pada perencanaan premi optimal dan menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal adalah tak negatif. Teorema 3 Perencanaan premi optimal ๐ โ = ๐๐โ memenuhi ๐๐โ =
๐ธ ๐| 0 โค ๐ โค ๐ , ๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ โ๐ธ ๐| ๐ โ 1 ๐ < ๐ โค ๐๐ ,
๐โ 0,1,โฆ,๐
jika ๐ = 0 0 jika ๐ โ 1, โฆ , ๐ .
(3.34) Secara khusus, perencanaan premi optimal adalah tak negatif. Bukti (Teorema 3) Untuk โ๐ โ 1, โฆ , ๐ , kita mempunyai ๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ ๐ธ ๐๐ ๐๐ <๐โค ๐+1 ๐ = ๐ ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ 1 = ๐ธ ๐๐ ๐๐ <๐ โ ๐ธ ๐๐ ๐ผ๐ =
=
๐
=๐โ
๐1 ๐ผ0
๐ +1 ๐ <๐
๐
๐
1 ๐ผ๐
๐๐ + ๐
1 ๐ผ๐
๐๐ โ ๐๐ +1 + ๐๐ผ๐
๐ผ๐
โ ๐๐+1 + ๐
๐ =๐
=๐+
๐ผ๐ ๐ =๐+1
๐๐ โ ๐๐ +1 . ๐ผ๐
๐ธ ๐| ๐ โ 1 ๐ < ๐ โค ๐๐ ๐ธ ๐๐ ๐โ1 ๐ <๐โค๐๐ = ๐ ๐ โ 1 ๐ < ๐ โค ๐๐ 1 = ๐ธ ๐๐ ๐ โ1 ๐ <๐ โ ๐ธ ๐๐ ๐๐ <๐ ๐ผ๐โ1 =
=
1 ๐ผ๐โ1
1
๐
๐๐โ1 + ๐
๐
๐ผ๐
โ ๐๐ + ๐
๐ =๐โ1
๐๐ โ1 โ ๐๐ + ๐๐ผ๐โ1 ๐ผ๐โ1 ๐๐โ1 โ ๐๐ =๐+ . ๐ผ๐โ1
๐ผ๐ ๐ =๐
9
Sehingga diperoleh ๐๐โ = ๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ โ๐ธ ๐| ๐ โ 1 ๐ < ๐ โค ๐๐ ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐โ1 โ ๐๐ = ๐+ โ ๐+ ๐ผ๐ ๐ผ๐โ1 ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐โ1 โ ๐๐ = โ , ๐ผ๐ ๐ผ๐โ1 untuk ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ . โ Dengan argumen serupa, dihasilkan ๐ธ ๐| 0 โค ๐ โค ๐ ๐ธ ๐๐ 0โค๐โค๐ = ๐ 0โค๐โค๐ 1 = ๐ธ ๐๐ 0<๐ โ ๐ธ ๐๐ ๐ <๐ ๐ผ๐ ๐
1 = ๐ผ๐
๐
๐
๐ผ๐
โ ๐1 + ๐
๐ =0
๐ผ๐ ๐ =1
1 ๐๐ผ0 โ ๐1 ๐ผ0 ๐1 = ๐ โ , untuk ๐ = 0. ๐ผ0
=
โ
Premi dari perencanaan premi optimal selanjutnya mengikuti Teorema 2. Sebagai tambahan, kita mempunyai ๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ โฅ ๐๐ โฅ ๐ธ ๐| ๐ โ 1 ๐ < ๐ โค ๐๐ , untuk โ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ dan ๐ธ ๐| 0 โค ๐ โค ๐ โฅ 0.
dan ๐๐ ๐ = ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ +1 ๐๐+1 , (seperti ditunjukkan dalam bukti Teorema 2), diperoleh 1 ๐ ๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐ป ๐๐ 2 ๐ 2 1 ๐ป = ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ 2 1 = ๐๐ ๐ ๐ป ๐๐ ๐ 2 1 = ( ๐๐ โ ๐๐ +1 ๐๐ โ (๐๐ โ ๐๐+1 )๐๐ +1 )๐ป . 2 ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ +1 ๐๐+1 1 = ๐๐ โ ๐๐+1 ๐๐ โ ๐๐ +1 ๐ป . ((๐๐ 2 โ๐๐ +1 )(๐๐ โ ๐๐ +1 )) 1 = ๐๐ โ ๐๐+1 2 ๐๐ โ ๐๐+1 ๐ป ๐๐ โ ๐๐+1 2 1 = ๐๐ โ ๐๐+1 2 ๐๐ โ ๐๐ +1 ๐ป ๐๐ โ ๐๐+1 2 1 = ๐๐ โ ๐๐+1 2 (๐๐๐ป ๐๐ โ ๐๐ป๐ ๐๐+1 2 ๐ป ๐ป โ๐๐+๐ ๐๐ + ๐๐+๐ ๐๐ +1 ) 1 = ๐๐ โ ๐๐+1 2 1 + 1 2 = ๐๐ โ ๐๐+1 2 . Berdasarkan persamaan (3.23) dan (3.25), diperoleh ๐ธ ๐ฟ ๐โ โ ๐ 2 = ๐ 2 + ๐๐ป ๐บ โ1 ๐ ๐
2
=๐ +๐ Sehingga secara tidak langsung premi optimal adalah tak negatif.
๐ป ๐=0
๐
= ๐2 + Teorema 4 Nilai harapan dari kuadrat galat penduga premi total pada perencanaan premi optimal memenuhi persamaan
๐ผ๐ โ1 ๐๐ ๐ ๐ผ๐ โ1 ๐๐ โ ๐๐+1
2
.
โ
๐=0
3.5 Contoh Sebaran Terpotong (Truncated Distribution)
Eksponensial Exponentials
๐
๐ธ ๐ฟ ๐โ โ ๐
2
= ๐2 +
๐ผ๐ โ1 ๐๐ โ ๐๐+1
2
๐=0
(3.35) dan variannya memenuhi persamaan
Untuk ilustrasi secara umum, diasumsikan kerugian reasuransi memenuhi sebaran eksponensial terpotong. Anggap peubah acak ๐ dengan
๐
๐๐๐ ๐ฟ ๐
โ
๐ผ๐ โ1 ๐๐ โ ๐๐+1 2 . (3.36)
= ๐=0
๐ ๐โค๐ฅ
=
๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก, 0
Bukti (Teorema 4) Untuk โ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ , didefinisikan ๐๐ 2 = 2๐๐
0,
(3.37)
jika ๐ฅ โค 0
๐ฅ
jika ๐ฅ > 0,
untuk parameter ๐ผ โ 0, โ , yang berarti bahwa ๐ menyebar eksponensial dengan parameter ๐ผ.
10
๐ป
Didefinisikan =๐ผ ๐ = ๐๐๐ ๐, ๐ป ๐, jika ๐ โค ๐ป = ๐ป, jika ๐ > ๐ป. Besarnya premi bersih untuk ๐ adalah ๐ธ ๐ =๐ธ ๐ โค๐ป +๐ธ ๐ >๐ป ๐ป
๐ก๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก + ๐ป๐ โ๐ผ๐ป
= 0
1 โ๐ผ๐ป = โ๐ก๐ โ ๐ โ๐ผ๐ก |๐ป 0 + ๐ป๐ ๐ผ 1 1 = โ๐ป๐ โ๐ผ๐ป โ ๐ โ๐ผ๐ป โ 0 โ ๐ผ ๐ผ +๐ป๐ โ๐ผ๐ป 1 1 = โ ๐ โ๐ผ๐ป + ๐ผ ๐ผ 1 โ๐ผ๐ป = 1โ๐ . ๐ผ
๐ 0โค๐โค๐ ๐
๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก
= 0
Besarnya premi yang harus dibayarkan adalah ๐ธ ๐๐ 0โค๐โค๐ ๐
๐ก๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก
= 0
๐
= โ๐ก๐ โ๐ผ๐ก +
๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก 0
1 โ๐ผ๐ก ๐ ๐ |0 ๐ผ 1 1 = โ๐๐ โ๐ผ๐ โ ๐ โ๐ผ๐ โ 0 โ ๐ผ ๐ผ 1 1 = โ๐๐ โ๐ผ๐ โ ๐ โ๐ผ๐ + ๐ผ ๐ผ 1 โ๐ผ๐ โ๐ผ๐ = 1โ๐ โ ๐๐ . ๐ผ = โ๐ก๐
โ๐ผ๐ก
โ
๐
๐+1 ๐
๐ก๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก
= ๐๐
0
1 = ๐ผ โ ๐ โ๐ผ๐ก |๐0 ๐ผ = โ๐ โ๐ผ๐ก |๐0 = โ๐ โ๐ผ๐ โ โ๐ 0 = 1 โ ๐ โ๐ผ๐ .
๐๐ ๐+1 ๐
๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก ๐๐
1 ๐+1 ๐ = ๐ผ โ ๐ โ๐ผ๐ก |๐๐ ๐ผ ๐+1 ๐ = โ๐ โ๐ผ๐ก |๐๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ = โ๐ โ โ๐ ๐ผ๐ ๐ = ๐ โ๐ผ๐๐ โ ๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ .
= โ๐ก๐
โ๐ผ๐ก
1 ๐+1 โ ๐ โ๐ผ๐ก |๐๐ ๐ผ
๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก
๐+1 ๐
๐
โ
1 โ๐ผ ๐ ๐ผ
โ
๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก +
๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก ๐ป
๐+1 ๐
1 โ๐ผ๐ ๐ ๐ ๐ผ = ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ + 1 ๐๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ 1 1 + ๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐ +1 ๐ ๐ผ ๐ผ 1 โ๐ผ๐ ๐ = ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐ +1 ๐ + ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐ ๐ผ โ ๐ + 1 ๐๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ . ๐ธ ๐๐ ๐๐ <๐โค๐ป ๐ป
๐ก๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก + ๐ป๐ โ๐ผ๐ป
= ๐๐
๐ ๐๐ < ๐ โค ๐ป ๐ป
+
โ โ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐ โ
๐ผ๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก
=๐ผ
= โ๐ก๐
= โ ๐ + 1 ๐๐ โ๐ผ
๐+1 ๐
=
๐+1 ๐ โ๐ผ๐ก
๐๐
๐ ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐
๐๐
๐ป
๐ธ ๐๐ ๐๐ <๐โค ๐ +1
๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก
=
๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก
๐๐ก + ๐ผ
1 1 โ๐ผ๐ก โ = ๐ผ โ ๐ โ๐ผ๐ก |๐ป |๐ป ๐๐ + ๐ผ โ ๐ ๐ผ ๐ผ โ๐ผ๐ก ๐ป โ๐ผ๐ก ๐ป = โ๐ |๐๐ + โ๐ |๐๐ = โ๐ ๐ผ๐ป โ โ๐ โ๐ผ๐ ๐ + โ๐ โ โ โ๐ ๐ผ๐ป = ๐ โ๐ผ๐ ๐ .
๐
=๐ผ
๐ ๐๐
โ๐ผ๐ก
Besarnya peluang premi reinstatement yang dibayarkan adalah
โ โ๐ผ๐ก
= โ๐ก๐
๐ป โ๐ผ๐ก
๐ โ๐ผ๐ก ๐๐ก + ๐ป๐ โ๐ผ๐ป
+ ๐๐
11
1 โ๐ผ๐ก ๐ป ๐ |๐๐ + ๐ป๐ โ๐ผ๐ป ๐ผ 1 = โ๐ป๐ โ๐ผ๐ป โ ๐ โ๐ผ๐ป โ โ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐ ๐ผ 1 โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ + ๐ป๐ โ๐ผ๐ป ๐ผ 1 1 = ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐ + ๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ๐ป ๐ผ ๐ผ 1 โ๐ผ๐ ๐ = ๐ โ ๐ โ๐ผ๐ป + ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐ . ๐ผ = โ๐ก๐ โ๐ผ๐ก โ
๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ป ๐ธ ๐๐ ๐๐ <๐โค๐ป = ๐ ๐๐ < ๐ โค ๐ป 1 ๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ๐ป + ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐ ๐ผ = ๐ โ๐ผ๐ ๐ 1 ๐ โ๐ผ๐ = โ + ๐๐. ๐ผ ๐ผ Sehingga besarnya premi dari perencanaan premi optimal ๐ โ = ๐๐โ ๐โ 0,1,โฆ,๐ memenuhi
Oleh karena itu, diperoleh 1. Untuk ๐ = 0 ๐๐โ = ๐ธ ๐| 0 โค ๐ โค ๐ 1 ๐๐ โ๐ผ๐ = โ . ๐ผ 1 โ ๐ โ๐ผ๐
๐ธ ๐| 0 โค ๐ โค ๐ ๐ธ ๐๐ 0โค๐โค๐ = ๐ 0โค๐โค๐ 1 1 โ ๐ โ๐ผ๐ โ ๐๐ โ๐ผ๐ ๐ผ = 1 โ ๐ โ๐ผ๐ 1 ๐๐ โ๐ผ๐ = โ . ๐ผ 1 โ ๐ โ๐ผ๐
2. Untuk ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ โ 1 ๐๐โ = ๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ โ๐ธ ๐| 0 โค ๐ โค ๐ 1 ๐๐ โ๐ผ๐ 1 ๐๐ โ๐ผ๐ = โ + ๐๐ โ + ๐ผ 1 โ ๐ โ๐ผ๐ ๐ผ 1 โ ๐ โ๐ผ๐ = ๐๐.
๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ ๐ธ ๐๐ ๐๐ <๐โค ๐+1 ๐ = ๐ ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ 1 ๐ผ
= 1
=
๐ผ
๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ
๐ +1 ๐
+ ๐๐๐ โ๐ผ๐ ๐
โ ๐ + 1 ๐๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ ๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐ +1 ๐ โ๐ผ๐ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐ +1 ๐
๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ ๐๐ ๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ + ๐ โ๐ผ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ ๐๐ โ๐ผ ๐ +1 ๐ โ โ๐ผ๐ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ผ ๐+1 ๐ 1 ๐๐ โ๐ผ๐ ๐ ๐ โ๐ผ๐ = โ โ๐ผ๐ ๐ + ๐๐ ๐ผ ๐ 1 โ ๐ โ๐ผ๐ 1 ๐๐ โ๐ผ๐ = โ + ๐๐. ๐ผ 1 โ ๐ โ๐ผ๐
3. Untuk ๐ = ๐ ๐๐โ = ๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ป โ๐ธ ๐| ๐๐ < ๐ โค ๐ + 1 ๐ =
=
1 ๐ โ๐ผ๐ 1 ๐๐ โ๐ผ๐ โ + ๐๐ โ โ + ๐๐ ๐ผ ๐ผ ๐ผ 1 โ ๐ โ๐ผ๐
๐๐ โ๐ผ๐ ๐ โ๐ผ๐ โ . 1 โ ๐ โ๐ผ๐ ๐ผ
Sehingga dapat disimpulkan bahwa perencanaan premi optimal memenuhi 1 ๐๐ โ๐ผ๐ โ , jika ๐ = 0 ๐ผ 1 โ ๐ โ๐ผ๐ โ ๐๐, jika ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ โ 1 ๐๐ = ๐๐ โ๐ผ๐ ๐ โ๐ผ๐ โ , jika ๐ = ๐ 1 โ ๐ โ๐ผ๐ ๐ผ
dan ๐0โ < ๐๐ < ๐๐โ .
12
IV SIMPULAN Reasuransi merupakan perjanjian antara beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian atau seluruh risiko untuk menghindari kebangkrutan akibat risiko katastropik, yaitu risiko yang dapat mengakibatkan kerugian yang sangat besar. Perencanaan premi sangat diperlukan perusahaan reasuransi dalam menghadapi risiko-risiko atas klaim yang diajukan. Salah satu upaya yang dapat dilakukan perusahaan reasuransi untuk mengoptimalkan premi yang akan dibayarkan adalah dengan memberlakukan kontrak reasuransi dengan reinstatement. Total premi yang dibayarkan merupakan penjumlahan antara ๐0 (premi yang dibayarkan pada awal kontrak) dan ๐๐ (premi reinstatement) yang dibayarkan ketika kerugian perusahaan melebihi batas atas liabilitas reinsurer. Eksistensi dari suatu perencanaan premi adalah meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total
pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal dan dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Masalah kredibilitas ini sangat penting bagi perusahaan reasuransi karena sangat erat kaitannya dengan kemampuan perusahaan reasuransi dalam menanggung kerugian-kerugian yang dialami tertanggung sehingga akan memengaruhi seberapa besar tingkat kepercayaan tertanggung terhadap perusahaan tersebut. Perencanaan premi optimal memenuhi prinsip premi bersih dan mempunyai solusi unik karena matriks koragam dari perencanaan premi tersebut mempunyai invers. Selain itu, perencanaan premi optimal mempunyai beberapa sifat, yaitu tak bias dan tak negatif. Perencanaan premi bersifat tak bias ketika kerugian perusahaan reasuransi sama dengan total pemasukan premi pihak tertanggung.
13
DAFTAR PUSTAKA Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd Ed. Oxford: Clarendon Press. Hess KT. 2003. Das kollektive modelle der risikhotheorie in der schadenexzedenten ruckvericherung. Allg. Statist. Archiv 87:309-320.
reinstatements. Astin Bulletin 34(2):299313. Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6th Ed. New Jersey: Prentice Hall.
Hess KT, Schmidt KD. 2001. Credibility modelle in tarifierung und reservierung. Allg. Statist. Archiv 85:225-246.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. 5th Ed.
Hess KT, Schmidt KD. 2004. Optimal premium plans for reinsurance with
Marianto AJ. 1997. Reasuransi. Jakarta: Ghalia Indonesia.
14
LAMPIRAN
15
Lampiran 1 Bukti Lema 1 Matriks ๐บ memenuhi ๐บ = ๐ โ ๐๐๐ป . Berdasarkan persamaan (3.13), ๐บ = ๐๐๐ ๐ฒ = ๐ธ ๐ฒ๐ฒ๐ป โ ๐ธ ๐ฒ ๐ธ ๐ฒ
๐ป
.
Jadi, akan dibuktikan bahwa ๐ = ๐ธ ๐ฒ๐ฒ๐ป memenuhi ๐บ = ๐ โ ๐๐๐ป .
dan ๐๐๐ป = ๐ธ ๐ฒ ๐ธ ๐ฒ
๐ป
sehingga matriks ๐บ
Bukti: Berdasarkan persamaan (3.13), โ๐ โ 1, โฆ , ๐ dan ๐ โ 1, โฆ , ๐ , kita mempunyai ๐ฟ๐ = ๐ ๐๐ <๐ , ๐ฟ๐ = ๐ ๐ ๐ <๐ . Sehingga ๐ฟ๐ ๐ฟ๐ = ๐ ๐๐ <๐ โฉ ๐ ๐ <๐ = ๐ ๐๐ <๐ = ๐ฟ๐ Oleh karena itu, ๐ธ ๐ฟ๐ ๐ฟ๐ = ๐ธ ๐ฟ๐ = ๐ ๐๐ < ๐ ๐
=
๐ผ๐ . ๐=๐
1. ๐ธ ๐ฒ๐ฒ๐ป
๐ฒ=
๐ฒ๐ฒ๐ป =
๐ ๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐ ๐ ๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐
๐ ๐ <๐
=
๐ ๐ <๐ โฉ ๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ โฉ ๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฉ ๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐ โฉ ๐ <๐
=
๐ ๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐
๐ 2๐ <๐
๐ 3๐ <๐
๐ ๐ <๐ โฉ 2๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ โฉ 2๐<๐ ๐ 3๐ <๐ โฉ 2๐<๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐ โฉ 2๐<๐
๐ 2๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐
๐ 3๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐
โฏ
๐ ๐๐ <๐
๐ ๐ <๐ โฉ 3๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ โฉ 3๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฉ 3๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐ โฉ 3๐ <๐ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
๐ ๐๐ <๐ ๐ ๐๐ <๐ ๐ ๐๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
๐ ๐ <๐ โฉ ๐๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ โฉ ๐๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฉ ๐๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐ โฉ ๐๐ <๐
16
Sehingga ๐
๐
๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐=1 ๐
๐=2 ๐
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐=2 ๐
๐ผ๐ ๐=3
โฎ ๐ผ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
โฏ
๐ผ๐
๐ผ๐
โฏ
๐ผ๐
โฑ โฏ
โฎ ๐ผ๐
๐=3 ๐
๐ผ๐ ๐=3
โฏ
๐=3 ๐
๐ผ๐
๐ธ ๐ฒ๐ฒ๐ป =
๐ผ๐
๐=3
โฎ ๐ผ๐
โฎ ๐ผ๐
= ๐. Terbukti ๐ธ ๐ฒ๐ฒ๐ป = ๐. ๐ป
2. ๐ธ ๐ฒ ๐ธ ๐ฒ
โ
.
๐ ๐ <๐ ๐ 2๐ <๐ ๐ 3๐ <๐ โฎ ๐ ๐๐ <๐
๐ฒ=
๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐ ๐ธ ๐ฒ =
๐=2 ๐
๐ผ๐ ๐=3
โฎ ๐ผ๐ dan ๐
๐ธ ๐ฒ
๐ป
๐
๐ผ๐
=
๐
๐ผ๐
๐=1
๐=2
๐ผ๐
โฏ ๐ผ๐ .
๐=3
Sehingga ๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ธ ๐ฒ ๐ธ ๐ฒ
๐ป
๐ผ๐ =
๐
๐
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐=1
๐ผ๐ ๐=3
โฎ ๐ผ๐
๐
๐ผ๐ ๐=2
๐ผ๐ ๐=3
โฏ ๐ผ๐
17
๐
๐
๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐=1 ๐
๐=1 ๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
โฎ
๐ผ๐
๐ผ๐
โฏ ๐ผ๐
โฎ
๐ผ๐
๐ผ๐
๐=2
๐ผ๐ ๐=3
๐
๐ผ๐
๐ผ๐ ๐=2 ๐
๐=3
โฎ
๐=1
โฏ ๐ผ๐
๐ผ๐
๐=3
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐=3 ๐
๐
๐ผ๐
โฏ ๐ผ๐
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐=2
๐
๐ผ๐ ๐=3 ๐
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐=3
๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐=1
๐
๐ผ๐ ๐=2 ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐=3
๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐
๐=2 ๐
=
๐
๐ผ๐
โฑ
โฎ
โฏ
๐ผ๐ ๐ผ๐
๐=3
Sedangkan ๐
๐ผ๐
0
๐ผ๐
0
0
โฏ 0 ๐
๐=1 ๐
๐๐๐ป =
0
๐
๐ผ๐
โฏ 0
๐=1
0
0
โฏ 0
โฎ ๐ผ๐
โฎ 0
โฎ 0
โฑ โฎ โฏ 0
๐
๐
๐=3
๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐ =
๐=2 ๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐ผ๐ ๐=3
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐ผ๐ ๐=1
โฎ
Terbukti ๐ธ ๐ฒ ๐ธ ๐ฒ
๐ผ๐
๐ผ๐
๐ป
0 0 โฎ 0
โฏ
๐ผ๐
๐ผ๐
โฏ
๐ผ๐
๐=3 ๐
๐ผ๐ ๐=3
๐ผ๐ ๐=2 ๐
๐ผ๐
โฏ
๐=3
โฎ
๐ผ๐
๐ผ๐ ๐=1 ๐
๐
๐ผ๐ ๐=2
โฏ โฏ โฑ โฏ
๐
๐ผ๐
๐ผ๐
โฎ
๐ผ๐
๐ผ๐
๐=3 ๐
๐
๐=1
=๐ธ ๐ฒ ๐ธ ๐ฒ
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐=2
โฏ
๐
๐=1 ๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐=2 ๐
๐=3
0 0 โฎ 0
๐
๐=2 ๐
๐ผ๐
๐ผ๐ ๐=3
0 0 โฎ 0
๐
๐=1 ๐
๐ผ๐ ๐=2
0 0 โฎ 0
๐=2 ๐
๐ผ๐
๐
๐ผ๐
๐ผ๐
๐ผ๐ ๐=3
โฑ
โฎ
โฏ
๐ผ๐ ๐ผ๐
๐=3
.
๐ป
= ๐๐๐ป .
โ
Jadi, berdasarkan (1) dan (2) terbukti bahwa matriks ๐บ memenuhi ๐บ = ๐ โ ๐๐๐ป dengan ๐ = ๐ธ ๐ฒ๐ฒ๐ป dan ๐๐๐ป = ๐ธ ๐ฒ ๐ธ ๐ฒ
๐ป
.
18
Lampiran 2 Bukti persamaan ๐. ๐๐ Berdasarkan persamaan 3.14 , 3.18 , dan (3.21), didefinisikan matriks ๐๐ , ๐๐ , dan ๐๐ berturutturut sebagai berikut. ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ dengan ๐๐:๐,๐ =
1, 0,
jika ๐, ๐ โค ๐ selainnya,
untuk ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ . 1, jika ๐, ๐ โ ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ dengan ๐๐ :๐,๐ = โ1, jika ๐, ๐ โ 0, selainnya, untuk ๐ โ 0,1, โฆ , ๐ . 1, ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ dengan ๐๐ :๐,๐ = โ1, 0, untuk ๐ โ 1,2, โฆ , ๐ .
๐, ๐ , ๐ + 1, ๐ + 1 ๐, ๐ + 1 , ๐ + 1, ๐
jika ๐ โค ๐ = ๐ jika ๐ < ๐ + 1 = ๐ selainnya,
Oleh karena itu, diperoleh
๐1 ๐1 =
1 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
1 โ1 โ1 1 0 0 0 0 โฎ โฎ 0 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐1 ๐2 =
1 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 1 0 โ1 0 0 โฎ โฎ 0 0
0 โ1 1 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐1 ๐3 =
1 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 1 โ1 โ1 1 โฎ โฎ 0 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐1 ๐๐ =
1 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 1
๐2 ๐1 =
1 1 0 0 โฎ 0
1 1 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
1 โ1 โ1 1 0 0 0 0 โฎ โฎ 0 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
=
0 0 0 0 โฎ 0
=
1 0 0 0 โฎ 0
โ1 0 0 0 โฎ 0
=
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
=๐ถ
=
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
=๐ถ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
=
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0 โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
= ๐๐
=๐ถ
0 0 0 0 โฎ 0
=๐ถ
19
๐2 ๐2 =
1 1 0 0 โฎ 0
1 1 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 1 โ1 โ1 1 0 0 โฎ โฎ 0 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐2 ๐3 =
1 1 0 0 โฎ 0
1 1 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 1 โ1 โ1 1 โฎ โฎ 0 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐2 ๐๐ =
1 1 0 0 โฎ 0
1 1 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 1
=
๐3 ๐1 =
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
1 โ1 โ1 1 0 0 0 0 โฎ โฎ 0 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐3 ๐2 =
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 1 โ1 โ1 1 0 0 โฎ โฎ 0 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐3 ๐3 =
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 1 โ1 โ1 1 โฎ โฎ 0 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
๐3 ๐๐ =
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
1 1 1 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 1
=
0 0 0 โฎ 0 0
0 0 0 โฎ 0 1
0 0 0 0 โฎ 0
=
1 1 0 0 โฎ 0
โ1 โ1 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
=๐ถ
=
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
=๐ถ
=
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
=๐ถ
=
0 0 0 0 โฎ 0
๐๐โ1 ๐๐ =
1 1 1 โฎ 1 0
1 1 1 โฎ 1 0
1 1 1 โฎ 1 0
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ โฏ
1 1 1 โฎ 1 0
0 0 0 โฎ 0 0
0 0 0 โฎ 0 0
0 0 0 โฎ 0 0
0 0 0 โฎ 0 0
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ โฏ
๐๐ ๐๐โ1 =
1 1 1 โฎ 1 1
1 1 1 โฎ 1 1
1 1 1 โฎ 1 1
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ โฏ
1 1 1 โฎ 1 1
1 1 1 โฎ 1 1
0 0 0 โฎ 0 0
0 0 0 โฎ 0 0
0 0 0 โฎ 0 0
โฏ 0 0 โฏ 0 0 โฏ 0 0 โฑ โฎ โฎ โฏ 1 โ1 โฏ โ1 1
=
0 0 0 0 โฎ 0
= ๐๐
0 0 0 0 โฎ 0
=
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
=๐ถ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
1 โ1 1 โ1 1 โ1 0 0 โฎ โฎ 0 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
=๐ถ
=
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 0
= ๐๐
=๐ถ
=๐ถ
20
1 1 1 โฎ 1 0
๐๐โ1 ๐๐โ1 =
1 1 1 1 โฎ 1
๐๐ ๐๐ =
1 1 1 1 โฎ 1
1 1 1 โฎ 1 0 1 1 1 1 โฎ 1
1 1 1 โฎ 1 0 1 1 1 1 โฎ 1
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ โฏ โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
1 1 1 โฎ 1 0 1 1 1 1 โฎ 1
0 0 0 โฎ 0 0 0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0 0 0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0 0 0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0 0 0 0 0 0 โฎ 0
โฏ 0 โฏ 0 โฏ 0 โฑ โฎ โฏ 1 โฏ โ1 โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
0 0 0 0 โฎ 1
0 0 0 โฎ โ1 1
=
0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 0 โฎ 0
=
0 0 0 โฎ 0 0 0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0 0 0 0 0 0 โฎ 0
0 0 0 โฎ 0 0
โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ โฏ
โฏ โฏ โฏ โฏ โฑ โฏ
1 1 1 1 โฎ 1
1 1 1 โฎ 1 0
โ1 โ1 โ1 โฎ โ1 0
= ๐๐งโ๐
= ๐๐ง
Uraian tersebut di atas dapat ditulis sebagai berikut. =๐ถ =๐ถ
๐1 ๐2 ๐1 ๐3 โฎ ๐1 ๐1 ๐2 ๐2 ๐3 ๐3
= ๐๐ = ๐๐ = ๐๐ โฎ
=๐ถ =๐ถ =๐ถ
๐1 ๐๐ ๐2 ๐1 ๐2 ๐3
๐๐ ๐๐ = ๐๐ jika ๐ = ๐.
๐๐โ1 ๐๐โ1 = ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐ = ๐๐ง
โฎ ๐2 ๐๐ ๐3 ๐1 ๐3 ๐2
=๐ถ =๐ถ =๐ถ
๐๐ ๐๐ = ๐ถ jika ๐ โ ๐.
โฎ ๐3 ๐๐ = ๐ถ ๐๐โ1 ๐๐ = ๐ถ ๐๐ ๐๐โ1 = ๐ถ
Jadi, dapat disimpulkan bahwa ๐๐ ๐๐ =
๐๐ , jika ๐ = ๐ ๐ถ, selainnya ๐ โ ๐ .
โ
