PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT
INDAH ROSLIYANA G54103035
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
2
ABSTRACT INDAH ROSLIYANA. Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements. Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU. Reinsurance is a company which agrees to indemnify an insurance company against all or a portion of the primary insurance risk underwritten by the ceding company under one or more insurance contracts. Essentially, the reinsurance mechanism is equal to an insurance mechanism. All principals and procedures that hold in insurance process also hold for reinsurance. One of them is premium plan. This study discuss premium plan in a reinsurance contract using reinstatement premium. Reinsurance contract with reinstatement can be formulated in many ways. In this contract, the reinstatement premium is defined as a random variable. The reinstatement premium used is a constant that is not influenced by loss. This premium is not paid in the beginning of the contract, but it is paid when the loss of the reinsurance company is greater than a maximum bound paid to insured. It is expected that the company will not obtain a loss in taking risk. Reinsurance contract minimizing expected squared difference between the loss and the total premium income of the reinsurance, therefore it is said to be optimal. The problem of minimizing the expected squared over all premium plans can be viewed as a credibility problem. Covariance matrix of the explanatory random variables of premium plan with reinstatement has inverse, so that the premium plan has a unique solution. The premiums of the optimal premium plan are unbiased and nonnegative.
3
ABSTRAK INDAH ROSLIYANA. Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU. Perusahaan reasuransi adalah suatu perusahaan yang di dalamnya terdapat perjanjian antara beberapa perusahaan asuransi mengenai pengalihan sebagian risiko, untuk menghindarkan risiko yang terlalu besar. Secara prinsip, mekanisme reasuransi sama dengan mekanisme asuransi. Semua prinsip dan prosedur yang berlaku pada proses asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah satunya adalah mengenai perencanaan premi. Tulisan ini membahas tentang perencanaan premi dalam suatu kontrak resuransi yang menggunakan premi reinstatement. Kontrak reasuransi dengan reinstatement dapat diformulasikan dalam banyak cara. Dalam kontrak ini, premi reinstatement didefinisikan sebagai peubah acak dan premi reinstatement yang digunakan adalah konstanta sehingga besarnya tidak dipengaruhi oleh jumlah kerugian. Premi ini tidak dibayarkan pada awal kontrak, melainkan ketika kerugian perusahaan reasuransi lebih besar daripada batas maksimum yang akan dibayarkan kepada tertanggung. Sehingga diharapkan perusahaan tidak akan mengalami kerugian dalam menanggung risiko. Kontrak reasuransi dengan reinstatement meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total pemasukan premi. Sehingga perencanaan premi yang digunakan optimal. Minimisasi dari nilai harapan kuadrat tersebut terhadap semua perencanaan premi dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak penjelas pada perencanaan premi dengan reinstatement memiliki invers sehingga perencanaan premi optimal tersebut memiliki solusi dan unik. Premi pada perencanaan premi optimal bersifat tak bias dan tak negatif.
4
PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : INDAH ROSLIYANA G54103035
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
5
Judul
:
Nama NRP
: :
Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement Indah Rosliyana G54103035
Menyetujui : Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. NIP 131878945
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. NIP 131663020
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP 131473999
Tanggal Lulus :
6
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia yang sangat besar sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Perencanaan Premi Optimal untuk Perusahaan Reasuransi dengan Reinstatement. Tanpa bantuan dan dukungan dari berbagai pihak mungkin penulis tidak dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I atas waktu, bimbingan, saran serta masukan yang telah diberikan hingga penulisan karya ilmiah ini selesai. 2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku pembimbing II atas bimbingan dan masukan yang telah diberikan dalam penyelesaian karya ilmiah ini. 3. Bpk. Drs. Effendi Syahril. Grad. Dipl. Sc. selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan. 4. Kedua orangtuaku dan adikku tersayang. 5. Keluarga keduaku Bpk. H. Amroni dan Ibu Hj. Amroni atas semua bimbingan dan nasihat yang telah diberikan kepada penulis. Untuk nenekku tercinta dan untuk semua kakak-kakakku. 6. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staff Departemen Matematika : Pak Deny, Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Bu Susi, Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika. 7. Teman-teman Matematika angkatan 40 : Marisa (untuk 4 tahun persahabatan kita), Mika (teman seperjuanganku dalam suka dan duka), Vina (sahabat yang selalu membuatku ceria), Amie (tetap semangat), Achie, Ifni dan Tiwi (untuk bantuannya dalam persiapan seminar), Septi, Metha, Bedu, Rama, Mufti, Azis, Yudi, Dimas, Sawa, Elis, Nchie, Ulfa, Sriti, Marlin, Yuda, Uli, Walidah, Dwi, Demi, Gatha (atas semangatnya), Mita (untuk segala bantuan yang telah diberikan), Herni, Nisa, Prima, Aam, Lili, Manto, Mukafi, Ari, Jayu, Rusli, Berri, Anton, Ali, Abay, Fe, Yusuf, Putra (tetap semangat). Kalian telah membuat hari-hariku penuh warna. 8. Kakak-kakak kelasku Math’39, Math’38, Math’37, Math’36 dan seterusnya. Serta adik-adik kelasku Math’41 dan Math’42. 9. Seluruh keluarga besar Wisma Blobo, terima kasih atas semua bantuan yang telah diberikan. 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Terima kasih atas segalanya. Harapan penulis adalah semoga karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya.
Bogor, Mei 2007
Indah Rosliyana
7
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 April 1985 sebagai anak pertama dari dua bersaudara dari pasangan Bapak Tahrim dan Ibu Maryana. Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di dalam kegiatan Badan Eksekutif Mahasiswa FMIPA dan kepengurusan Gugus Mahasiswa Matematika IPB selama periode 20032004 sebagai Staff Departemen Sosial Masyarakat dan Wira Usaha, kemudian periode 2004-2005 sebagai Kepala Departemen Kewirausahaan dan periode 2005-2006 sebagai Anggota Departemen PSDM.
DAFTAR ISI Halaman PENDAHULUAN Latar Belakang.......................................................................................................................... Tujuan .......................................................................................................................................
1 1
LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ..................................................................................... Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ............................................................................................ Fungsi Kerapatan Peluang........................................................................................................ Nilai Harapan............................................................................................................................ Ragam dan Kovarian ................................................................................................................ Matriks ...................................................................................................................................... Asuransi dan Reasuransi ..........................................................................................................
1 2 2 2 2 3 3
PEMBAHASAN Kontrak Reasuransi dengan Reinstatement ............................................................................ 4 Eksistensi dan Keunikan dari Perencanaan Premi Optimal..................................................... 5 Sifat dari Perencanaan Premi Optimal .................................................................................... 8 Contoh ...................................................................................................................................... 10 SIMPULAN.................................................................................................................................... 12 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 13 LAMPIRAN ................................................................................................................................... 14
vii
viii
PENDAHULUAN Latar Belakang Saat ini, sudah menjadi suatu fakta bahwa perusahaan asuransi mempunyai modal yang terbatas. Dengan modal yang terbatas itu, sebuah perusahaan asuransi tidak leluasa untuk melakukan akseptasi terhadap risikorisiko yang diterimanya. Hal ini disebabkan oleh adanya peraturan perundangan yang berisi bahwa perusahaan asuransi hanya diperkenankan mempunyai retensi sendiri sebesar 10% dari modal yang dimiliki. Menjawab permasalahan di atas, reasuransi hadir untuk memberikan solusi atas kapasitas akseptasi terbatas yang dimiliki perusahaan asuransi. Reasuransi juga berperan sebagai proteksi otomatis pada perusahaan asuransi. Secara prinsip, mekanisme reasuransi adalah sama dengan mekanisme asuransi. Semua prinsip dan prosedur yang berlaku pada asuransi juga berlaku untuk reasuransi. Salah satunya adalah mengenai perencanaan premi. Karya ilmiah ini mengkaji perencanaan premi optimal untuk kontrak reasuransi
dengan reinstatement. Di dalam kontrak ini, premi reinstatement, yaitu jumlah yang harus dibayarkan ketika kerugian perusahaan reasuransi melebihi jumlah batas tertentu yang telah ditentukan, adalah konstanta. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Hess and Schmidt (2004) yang berjudul Optimal Premium Plan for Reinsurance with Reinstatements. Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. Mempelajari eksistensi sebuah perencanaan premi yang meminimumkan nilai harapan dari kuadrat selisih antara kerugian dan total pemasukan premi suatu perusahaan reasuransi. 2. Menunjukkan bahwa perencanaan premi optimal ada, unik dan memenuhi prinsip premi bersih serta dapat dihitung dari momen pertama dan kedua fungsi kerugian reinsurer. 3. Mempelajari sifat perencanaan premi optimal.
LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
1. ∅ ∈ F ,
Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak. (Hogg dan Craig, 1995)
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. (Grimmet dan Stirzaker, 1992) Definisi 3 (Medan- σ ) Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut :
∞
Ai ∈ F ,
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F . (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi : 1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 , 2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk setiap
pasangan
i≠ j,
maka
⎛ ⎞ P ⎜ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) . ⎝ i =1 ⎠ i =1 (Grimmet dan Stirzaker, 1992) ∞
∞
2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Nilai Harapan
Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat {ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F untuk setiap x ∈ R .
Definisi 10 (Nilai Harapan) 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang px ( x ) , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E [ X ] , adalah
(Grimmet dan Stirzaker, 1992) Definisi 6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari R. (Grimmet dan Stirzaker, 1992) Catatan : Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 7 (Fungsi Sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A . Misalkan kejadian A = ( −∞, x ] ⊂ A , maka peluang dari kejadian px ( A) = P ( X ≤ x ) = Fx ( x ) .
A
adalah
Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. (Hogg and Craig, 1995) Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi f X ( x ) sehingga fungsi sebaran
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai
E [ X ] = ∑ xpx ( x ) , x
2.
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f x ( x ) . Nilai harapan dari X adalah E[X ] =
∞
∫ xf ( x)dx ,
−∞
asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg dan Craig, 1995) Teorema 1 Beberapa sifat dari nilai harapan 1. Jika k suatu konstanta, E [k ] = k . 2.
maka
Jika k suatu konstanta dan V1 , V2 adalah peubah acak, maka: E [ k1V1 + k2V2 ] = k1 E [V1 ] + k2 E [V2 ] . Secara umum, jika k1 , k2 ,..., kn adalah konstanta dan V1 , V2 ,..., Vn adalah peubah acak, maka E [ k1V1 + k2V2 + ... + knVn ]
= k1 E [V1 ] + k2 E [V2 ] + ... + kn E [Vn ] . Bukti: lihat Hogg dan Craig (1995).
∞
FX ( x ) = ∫ f X ( u ) du ,
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X. (Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 11 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan Φ ( x) = E (Y | X = x) . Maka Φ ( x) disebut nilai harapan bersyarat dari Y jika diketahui X , dan dituliskan E (Y | X ) . (Hogg dan Craig, 1995)
Fungsi Kerapatan Peluang
Ragam dan Kovarian
Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang) Misalkan ( Ω, F , P ) adalah ruang peluang.
Definisi 12 (Ragam) Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai 2 Var ( X ) = E ⎡( X − E[ X ]) ⎤ ⎣ ⎦
−∞
x ∈ R , dengan f : R → [0, ∞] adalah fungsi
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : R → [ 0,1] yang diberikan oleh : px ( x ) = P ( X = x ) . (Grimmet dan Stirzaker, 1992)
= E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ − ( E [ X ]) . 2
(Hogg dan Craig, 1995)
