STAROVĚKÁ ČÍNA Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. – zkoumání kalendáře (většina obyvatel zemědělci ⇒ správné určení doby setby a sklizně obilnin nezbytné) velké a malé měsíce po 30 a 29 dnech (podle měsíce) lunární rok: 12 měsíců ... 354 dní ... o 11 dní kratší než tropický rok (znali: 365¼) → 600 př. Kr.: po každých 19 lunárních letech vsouvali 7 lunárních měsíců
téměř do začátku našeho letopočtu nemáme dostatečně podrobné údaje o vývoji matematiky
Nejstarší zápisy čísel: 14. – 11. stol. př. Kr. ... na magických kostkách 10. – 3. stol. př. Kr. ... na keramických nebo bronzových předmětech a mincích } desítková soustava, zápis čísel nesystematický od 5. stol. př. Kr. ... číslice – tyčinky
... až do 13. stol. n.l.
(dnes vědci používají arabské číslice; od pradávna až dodnes hieroglyfické číslice – zápis „multiplikativní“, např. 200 zapsáno jako 2 a 100 vedle sebe, 324 = 3C 2x5)
Tyčinky: Aditivní princip vytváření číslic Vždy maximálně 5 tyčinek vedle sebe, čísla >6 pomocí kolmé pětky, např. 9:
„Při počítání musíme znát především postavení čísla, jednotky jsou svislé, desítky vodorovné, stovky leží, zatímco tisícovky stojí.“ (Sun-c’, 3. nebo 4. stol. př. Kr.)
Početní soustava ve starověké Číně, 4. stol. př. Kr. Číňané vytvořili desítkovou soustavu a číslice používané pro vědecké účely zapisovali pomocí vodorovných a kolmých svislých čárek
Pokud čísla od 1 do 9 používali na místě desítek a tisíců, zapsali je obráceně
(i v psaných textech, především matematických)
Počítací desky Čína, 4. stol. př. Kr.
Příklad:
57 777
Příklad:
9 876 + 5 647
Příklad:
9 876 + 5 647
Příklad:
9 876 + 5 647
Příklad:
9 876 + 5 647
Příklad:
9 876 + 5 647
Příklad:
9 876 + 5 647
Příklad:
9 876 + 5 647 = 15 523
Příklad:
234 x 24
Příklad:
234 x 24
Příklad:
234 x 24
Příklad:
234 x 24
Příklad:
234 x 24
Příklad:
234 x 24
Příklad:
234 x 24 = 5 616
Příklad:
5616 : 24
Příklad:
5616 : 24 5000 : 24 = 200 + ⋅⋅⋅
Před zahájením dělení se určí počet míst v podílu umístěním 2 – nejvyššího řádu
Příklad:
5616 : 24 5616 – 200x20 = 1616
Příklad:
5616 : 24 1616 – 200x4 = 816
Příklad:
5616 : 24 816 : 24 = 3 + ⋅⋅⋅
Příklad:
5616 : 24 816 – 30x20 = 216
Příklad:
5616 : 24 216 – 30x4 = 96
Příklad:
5616 : 24 96 : 24 = 4 + ⋅⋅⋅
Příklad:
5616 : 24 96 – 4x20 = 16
Příklad:
5616 : 24 16 – 4x4 = 0
Dělení se zbytkem: 5618 : 24
2 234 + 24
Dělení menšího čísla větším: 2
2
3
1
1 2
1 2
2 6 1 2
3 : 12
2 5
2 5
6
1
1 2
1 2
12 jsme posouvali celkem o 2 místa doprava ⇒ 0,25
2 5 1 2
ZLOMKY m n psali jako „m n-tých dílů“
pro nejčastěji používané zlomky speciální staré názvy a znaky (1/2 = pchan, 1/3 = malá polovina = šao pchan, 2/3 = velká polovina = tchaj-pchan, atd.)
Pravidlo pro krácení: „To, co můžeš dělit dvěma, děl dvěma, jestliže není možné dělit dvěma, pak urči velikost čitatele a jmenovatele a odečti od většího menší, pokračuj ve vzájemném zmenšování, dokud nezískáš stejná čísla; tímto stejným číslem krať.“ (odpovídá Eukleidovu algoritmu)
Součet zlomků: jmenovatel = součin jmenovatelů činitelů, teprve výsledek krácen (pravidlo pro výpočet nejmenšího společného násobku zformuloval nejspíše až v 10. stol. Abu’l-Wafá, v Evropě Leonardo Pisánský (širší uplatnění až v 16., 17. stol.)
Dělení čísla zlomkem: číslo násobeno jmenovatelem dělitele, výsledek dělen čitatelem (toto vzniklo v Číně; antika a středověká Evropa: při dělení prostých zlomků oba převedli na společného jmenovatele, vydělili čitatele; až Steiffel roku 1544 znovu zformuloval pravidlo, že dělení zlomků = násobení jeho reciprokou hodnotou) 1 ... speciální případ zlomku
Desetinné zlomky: dříve než kdekoli jinde; spojeno s rozvojem desetinné soust. měr
Čínský abakus, 14. stol. n. l.
Čínský abakus, 14. stol. n. l.
7 230 189
Matematika v devíti knihách (Ťiou čang suan šu) významná učebnice matematiky pocházející z doby před dvěma tisíci lety, která na řadu století významně ovlivnila vývoj matematiky a vyučování matematice ve staré Číně text ustálen někdy před rokem 263 (Liou Chuej — Liu Hui) nejstarší z dochovaných čínských spisů věnovaných výhradně matematice Knihy: 1. Vyměřování polí (obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí, pomocné úvahy o zlomcích) 2. Poměry mezi různými druhy obilnin (tabulky, za kolik byly vzájemně směnitelné – např. 50 jednotek prosa za 30 jednotek rýže,...; úlohy vedoucí na trojčlenku a jednoduché soustavy lineárních rovnic) 3. Stupňovité dělení (např.: máme rozdělit 5 jelenů mezi úředníky s různou hodností úměrně číslům 5:4:3:2:1)
4. Šao-kuang (těžko přeložitelné; výpočet stran obdélníka, je-li dán obsah a jedna strana, stran čtverce z daného obsahu, hrana krychle z daného objemu, průměr kruhu a koule) 5. Ocenění pracnosti (měření objemů zdí, kanálů, přehrad, příkopů složitého tvaru, výpočet množství dělníků,...) 6. Poměrná rozdělování (různé lineární úlohy, např. o dvou poutnících, kde máme vypočítat vzdálenost (čas), kterou prošli (který uplynul) od místa setkání ... jeden dohání druhého, vzdalují se, jdou si vstříc,...) 7. O přebytku a nedostatku (metody numerického řešení soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých) 8. Fang čcheng (název algoritmu pro řešení systému lineárních rovnic o více neznámých) 9. Kou-ku (úlohy o pravoúhlých trojúhelnících; kou ... kratší, vodorovná odvěsna; kou-ku ... označení Pythagorovy věty)
ku
kou
Jednotlivé části napsány v různých dobách ⇒ různá úroveň vědomostí 8. Fang čcheng v moderní symbolice:
systém si vyjádřili na počítací desce ( ≈ matice) Prvky 1. sloupce odečítáme od prvků 2. sl. vynásobeného a11, dokud na místě a21 nezbyde nic (později odečítali násobek sloupce), totéž s dalšími sloupci
→
→ Gaussův eliminační algoritmus
Úloha, na jejímž základě bylo pravidlo formulováno: 3 snopy z dobré úrody, 2 z průměrné a 1 ze špatné dávají 39 tou zrní; 2 snopy z dobré, 3 z průměrné a 1 ze špatné dávají 39 tou; 1 z dobré, 2 z průměrné a 3 ze špatné dávají 26 tou. Kolik zrní dává každý mop z dobré, průměrné a špatné úrody?
Záporná čísla – první v historii (potřebná při sestavování tabulky a při úpravách) Příklad: Zkouška L=P.
