SMA Santa Angela Jl. Merdeka 24, Bandung
MODUL TURUNAN SUATU FUNGSI (Kelas XII IPA) Oleh Drs. Victor Hery Purwanta I. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. II. Kompetensi Dasar : 1. Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi. 2. Menggunakan turunan limit untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah. III. Tujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan mampu menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi, menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah, merancang model matematika yang berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi, dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya. Untuk mencapai hal-hal di atas tujuan pembelajaran dirumuskan sebagai berikut : 1. Menghitung turunan fungsi sederhana dengan menggunakan definisi. 2. Menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya. 3. Menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar dan turunan fungsi trigonometri. 4. Menentukan persamaan garis singgung kurva. 5. Menetukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya. 6. Menggambarkan grafik fungsi. 7. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya menentukan ekstrim fungsi. 8. Menentukan penyelesaian dari model matematika yang menggunakan aturan turunan. IV. Peta Konsep
V. Materi Pembelajaran 1. Pendahuluan. Kereta Api adalah salah satu sarana alternatif yang lebih cepat, efektif dan efisien dalam mendistribusikan suatu barang dari suatu tempat ke tempat yang lain, jika dibandingkan dengan transportasi darat yang lain. Misalkan Kereta Api berangkat dari Bandung menuju ke Surabaya dengan membawa sejumlah muatan barang dengan berat kg. Jika untuk tiap kilogram barang, biaya yang dibutuhkan untuk menempuh perjalanan
1
tersebut dinyatakan sebagai fungsi f( ) = ( – 20 + ) ribu rupiah, berapakah biaya minimum yang dibutuhkan oleh Kereta Api tersebut untuk membawa muatan barang tersebut? Biaya total minimum untuk membawa x kg barang, dapat diketahui dengan menggunakan turunan fungsi. Materi mengenai Turunan Fungsi dapat dipelajari secara mendalam pada bab ini. 2. Pengertian Turunan Fungsi A. Laju Perubahan Nilai Fungsi Dalam kehidapan sehari-hari sering kita jumpai kalimat-kalimat seperti : - Laju pertumbuhan penduduk - Laju inflasi - Laju pertumbuhan ekonomi, dsb. Istilah laju dalam bahasa sehari-hari dalam matematika diartikan sebagai laju perubahan nilai fungsi. Ada 2 macam laju perubahan nilai fungsi, yaitu laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat. A1. Laju Perubahan Rata-Rata Kecepatan gerak suatu benda dapat ditentukan apabila diketahui letak atau posisi suatu benda sebagai fungsi waktu. Hal ini dapat dilakukan dengan cara mencatat letak benda dari waktu ke waktu secara terus menerus. Sebagai contoh seorang siswa mengendarai sepeda motor dari rumahnya menuju ke sekolah yang berjarak 10 km. Jika siswa tersebut berangkat dari rumah pukul 5.45 dan setiap 5 menit siswa tersebut mencatat jarak tempuhnya melalui speedometer pada motornya, dan datanya ditampilkan dalam tabel berikut ini Waktu 5.45 5.50 5.55 6.00 6.05 6.10 Jarak Tempuh (km) 0 3 4 6 9 10 Berdasarkan data di atas jarak sejauh 10 km dapat di tempuh dalam waktu 25 menit. Dengan demikian kecepatan-rata-rata siswa mengendarai motornya adalah : rata-rata = Perhatikanlah bahwa kecepatan rata-rata ditentukan sebagai perbandingan antara perubahan jarak terhadap perubahan waktu, dituliskan dengan rumus : rata-rata =
dengan
dan
Sekarang misalkan letak benda sebagai fungsi waktu diketahui dan dapat dinyatakan sebagai s = f(t). Ketika t = ( ) t1 benda berada di f(t1) dan t = t2 benda berada di f(t2), sehingga perubahan jaraknya ( ) dan perubahan waktunya adalah . Dengan demikian, kecepatan rata-rata dalam interval ( ) ( ) adalah rata-rata =
Tafsiran geometris dari kecepatan rata-rata diperlihatkan pada gambar di samping. 𝑆 Tampak bahwa kecepatan rata-rata = 𝑡 ditafsirkan sebagai koefisien arah garis g, dan disebut gradien atau kemiringan garis g. A2. Laju Perubahan Rata-Rata nilai fungsi. Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Jika x berubah dari x 1 ke x2 dengan x1 < x2 maka nilai fungsi f(x) berubah dari f(x1) menjadi f(x2). Jadi perubahan x sebesar Δx = x2 – x1 mengakibatkan perubahan nilai fungsi f(x) sebesar Δf = f(x2) – f( x1) Dengan demikian laju rata-rata nilai fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut : Misalkan diketahui fungsi y = f( ). Laju perubahan rata-rata nilai fungsi y = f( ) dalam interval ( ) ( ) ditentukan oleh
1
2
Contoh 1 : Tabel berikut ini menunjukkan pertumbuhan jumlah penduduk di suatu desa yang di hitung setiap bulan April 5 tahun sekali dari tahun 1995 sampai tahun 2015. Tahun Jumlah Penduduk Tentukan laju pertumbuhan rata-rata penduduk dalam 1995 40.000 orang interval-interval waktu waktu berikut ini. 2000 60.000 orang a. Dari tahun 1995 sampai tahun 2000 2005 75.000 orang b. Dari Tahun 2000 sampai tahun 2005 2010 85.000 orang c. Dari Tahun 1995 sampai tahun 2005 2015 90.000 orang d. Dari Tahun 1995 sampai tahun 2015
2
Jawab : Misalkan P(t) menyatakan jumlah penduduk pada tahun t maka : a. Laju pertumbuhan jumlah penduduk tahun 1995 sampai tahun 2000 adalah = ( ) ( ) b.
Laju pertumbuhan jumlah penduduk tahun 2000 sampai tahun 2005 adalah = ( ) ( )
c.
Laju pertumbuhan jumlah penduduk tahun 1995 sampai tahun 2005 adalah = ( ) ( )
d.
Laju pertumbuhan jumlah penduduk tahun 1995 sampai tahun 2015 adalah = ( ) ( )
A3. Laju Perubahan Perubahan sesaat. Menyimak dari teori fisika tentang gerak benda jatuh bebas. Jika jarak jatuh terhadap kedudukan semula dari benda tersebut dinyatakan sebagai fungsi t, dan dirumuskan dengan S(t) = di mana s = jarak jatuh terhadap kedudukan semula dalam satuan meter dan t = waktu yang diperlukan dan dinyatakan dalam satuan detik, dan g = percepatan gravitasi = 10 m/det2. Kecepatan rata-rata benda tersebut dalam interval t1 = 1 detik dan t2 = 2 detik adalah rata-rata = ( )
(
)
(
) (
)
Jika interval waktu antara t1 dan t2 makin kecil dengan kata lain nilai t2 mendekati t1 maka akan mendekati nol. Sehingga dalam keadaan seperti ini kecepatan rata-rata dihitung menggunakan konsep limit. Untuk selanjutnya kecepatan rata-rata yang diselesaikan dengan proses limit ini disebut dengan kecepatan sesaat. Bila dinyatakan dengan h maka kecepatan sesaat dapat ditentukan dengan konsep limit yaitu : Kecepatan sesaat
V(t)
(
rata-rata
A4. Laju perubahan sesaat nilai fungsi. Misalkan fungsi y = f(x) terdefinisi dalam interval a
)
( )
(a + h) , dengan h > 0
Laju perubahan rata-rata nilai fungsi f(x) terhadap x, pada interval x1 = a sampai x2 = a+h adalah : 𝑓 𝑥
𝑓(𝑎 (𝑎
)
)
𝑓(𝑎) 𝑎
𝑓(𝑎
)
𝑓(𝑎)
Laju perubahan sesaat nilai fungsi f(x) terhadap x pada x = a, diperoleh dari laju perubahan rata-rata nilai fungsi f(x) apabila nilai h mendekati nol. Definisi Laju perubahan sesaat nilai fungsi Misalkan diketahui fungsi y = f(x) dan terdefinisi untuk setiap nilai x di sekitar x = a. Laju perubahan sesaat nilai fungsi f(x) pada x = a, ( ) ( ) adalah = dengan catatan nilai limitnya terdefinisi.
Contoh Soal 2 : Gerak sebuah partikel ditentukan dengan persamaan s = f(t) = 2t2 + t + 6 (s dalam meter dan t dalam detik). Tentukanlah besarnya kecepatan sesaat pada waktu t = 2 detik. Jawab : V(t=2)
(
)
( )
( (
)
(
)
Jadi kecepatan partikel pada saat t = 2 detik adalah
3
) (
)
(
)
Contoh soal 3 : Tentukanlah laju perubahan sesaat nilai fungsi y = f(x) = 2x3 – 1 pada x = 1 Jawab : ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( (
)
)
( )
( Latihan 1. 1. Sebuah partikel bergerak dengan rumus s = f(t) = t2 2t + 9. ( s dalam meter dan t dalam detik ). Tentukanlah kecepatan rata-rata partikel tersebut pada interval : a. 2 c. 2 b. 3 d. 3 2. Sebuah partikel bergerak dengan rumus s = f(t) = t2 2t + 9. ( s dalam meter dan t dalam detik ). Tentukanlah kecepatan pada saat : a. t = 1 detik c. t = 3 detik b. t = 2 detik d. t = 5 detik 3. Tentukankanlah laju perubahan sesaat nilai fungsi berikut ini pada titik yang disebutkan. a. f(x) = -2x + 10 pada x = 2 c. f(x) = √ pada x = 3 b. f(x) = 4 – 3x – x2 pada x = 2 d. f(x) = pada x = 3 4. Suatu persegi dengan panjang sisi cm, mempunyai keliling K = f( ) = 4 cm. Tentukanlah laju perubahan keliling K terhadap panjang sisi ketika = 5 cm. 5. Suatu persegi panjang dengan lebar (3 ) cm dan panjang sisi (5 ) cm. a. Jika L menyatakan luas persegi panjang, maka nyatakanlah L sebagai fungsi b. Tentukanlah Laju perubahan luas L terhadap pada cm. 6. Sebuah lingkaran berjari-jari r cm dan keliling lingkaran cm. a. Nyatakan Luas lingkaran L sebagai fungsi . b. Buktikan bahwa laju perubahan luas terhadap keliling lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran r. 7. Sebuah kota dijangkiti penyakit demam berdarah. Petugas memperkirakan bahwa setelah t hari mulainya epidemi, banyaknya orang yang sakit demam berdarah dinyatakan dengan fungsi p(t) = 60t – t3 , dengan 0 hari. Tentukanlah laju perubahan pada saat : a. t = 10 hari b. t = 20 hari c. t = 25 hari B. Definisi Turunan. Turunan fungsi y = f(x) terhadap , ditulis dengan notasi (
y’ = f’(x) =
(
Rumus f’(x)
)
)
( )
( )
( )
didefinisikan dengan :
Jika nilai limit itu ada.
dikenal sebagai rumus umum definisi turunan.
Contoh Soal 4. Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut ini dengan menggunakan definisi turunan. a. f(x) = 4x – 1 c. k(x) = √ 2
b. g(x) = 5x – 2x + 3 Jawab : ( ) a. f’(x)
d. p(x) = ( )
(
)
b. c.
(
g’(x)
)
( (
( )
(
(
4
)
(
k’(x)
(
)
) (
(
d.
)
√ (
) )
)
(
)
)
√ ( (
)
)
(
( )
) (
√
)
(
)(
)
√
√ (
)
(
)
√
√ (
)
(
)
√
)
( (
)
(
(√ (
)
) (
) (
)
√
)
(√ (
)
)
(
)
e.
)
(
(
p’(x)
)
( .( .(
√
)
(
( ) )
((
(
( √
)
)
) (
( )
)
)
)( (
)(
)
)
)
)
(
) ( (
)
) )
)(
)(
)
(
(
) ( (
( ( (
)
(
)(
)
)
)
) (
)(
( (
)
)(√
( (√ (
√
) (
)
((
) )
(
)
)(
)
)
)
)
( (
)
)(
)
(
)
Latihan 2. 1. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut ini menggunakan definisi turunan. a. f(x) = 3x2 + 2 2
b. f(x) = 2x + 5x – 3 c. f(x) =
d. g(x) =
g. p(x) = 2.sin 3x
e. g(x) = √ f. g(x) =
h. p(x) = 5.cos 2x i. p(x) = 3.tan 4x
√
2. Fungsi linier y = f(x) = ax + b terdefinisi dalam daerah asal D f = { x | x }. Dengan menggunakan definisi turunan, Buktikan bahwa turunan fungsi tersebut pada x = p dengan p adalah sama dengan a. 3. Diketahui fungsi f(x) = dengan daerah asal Df = { x |x ,x }. a. Dengan menggunakan definisi turunan tunjukkan bahwa b. Berilah penjelasan mengapa ( ) tidak terdefinisi. 4. Dengan menggunakan definisi turunan Buktikan bahwa : a. Jika f( ) U( ).V( ) maka f’(x) U’( ).V( ) + U( ).V’( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b. Jika f( ) maka f’( ) ( )
( )
( )
c. Jika f( ) a. n maka f’( ) na. n-1 d. Jika f( ) Un( ) maka f’( ) n.U(n-1)( ).U’( ). e. Jika f( ) = a.sin b maka f’( ) f. Jika f( ) = a.cos b maka f’( ) g. Jika f( ) = a.tan b maka f’( ) Catatan berikut bisa dipakai untuk menyelesaikan soal-soal di atas. 1. pn – qn = (p – q)(pn-1 + pn-2.q + pn-3.q2 + pn-4.q3 + ... + p2.qn-3 + p.qn-2 + qn-1) 2.
sin P – sin Q = 2.
3.
cos P – cos Q = 2.
4.
tan
(
) (
( )
) (
)
tan Q = (1 + tan P.tan Q).tan (P – Q)
C. Rumus dan Aturan Turunan Fungsi. Berikut ini adalah tabel turunan fungsi-fungsi khusus : NAMA NOTASI FUNGSI RUMUS TURUNAN FUNGSI Fungsi Polinom f( ) a. n f’( ) na. n-1 Perkalian dengan konstanta
f( ) = k.U( )
f’( )
f( ) = a.sin b
( )
Jumlah Fungsi Selisih Fungsi
f( ) = U( )+V( ) f( ) = U( ) V( )
Perkalian Fungsi
f(x) = U(x).V(x)
f'( ) = U’(x).V(x) +U(x).V’(x)
Pembagian Fungsi
f(x)
Pemangkatan Fungsi Fungsi Komposisi
5
f( ) = a.cos b
f( ) = a.tan b
f(x) =
( )
) ) ) ) = U’( )+V’( ) ) = U’( ) V’( )
( )
( )
( )
f(x)=g(h(x))
( )
( )
( )
(x)
( )
( )
( )
f( ) = 2.cos 3
( )
f( ) = tan 5
( )
f( ) =
( )
(
)
( )
f( ) = 3.sin 4
f’( f’( f’( f'( f'(
Fungsi Trigonometri
CONTOH
( )
sin
( ) f( ) = cos f(x) = 5x3.sin 6x ( ) 15x2.sin 6x + 30x3.cos 6x ( )
f(x)=
( ) f ‘ (x) = n. ( )
( ). ( ( ))
( ) ( ) atau
f(x) = ( ) ( f(x)=sin ( f ‘(x) =
)
( )
) ) maka (
)
6(
Contoh Soal 5 : Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan rumus turunan! ( ) a. f(x) = 2x5 – 3x4 + 4x3 – 5x2 + 8 () () b. f(x) = 6 √ f(x) = 6 (Jika masih dalam bentuk √ maka ubahlah ke bentuk eksponen ) c. f(x) =(2x5 – 3x4 + 4x3 – 5x2 + 8)( √ )( √
( )=(
)(
f’(x) =
) √
√
)(
) ( (
(2x5 – 3x4 + 4x3 – 5x2 + 8)( 5 4 3 2 ) (2x – 3x + 4x – 5x + 8)( ( ) ( )
( )
, gunakan rumus (
( )
( ) ( ) f. f(x) = ( )
( )
( )
( ) (
(
)
) maka (
(
√ ) √ )
√ √
( )
( ) )
)( )
e. f(x) = tan 4x , maka ubah dulu f(x) =tan 4x menjadi f(x) = ( ) ( )
√
) gunakan rumus f'( ) = U’(x).V(x) + U(x).V’(x)
( )=(
d. f(x) =
√
dengan rumus (
maka didapat ( ) ( ( ) ))
)
) (
(
(
))
)
(
)
Latihan 2. A. Pemahaman Konsep Carilah turunan pertama fungsi-fungsi berikut ini menggunakan rumus turunan! 1. a. f(x) =
c. f(x) =
b. f(x) =
d. f(x) =
2. a. f(x) = b. f(x) = (
)
c. f(x) = 3. a. f(x) = ( b. f(x) =
)(
f. f(x) = √ )( d. f(x) = ( e. f(x) = (√ ) (√ f. f(x) = ) e. f(x) = ( f. f(x) = (
c. f(x) =
g. f(x) =
b. f(x) = 5.cos (3 +1)
h. f(x) =
√
) ) ) )(
)(
)
√
h. f(x) = ( d. f(x) = (
d. f(x) = √ 4. a. f(x) = 2.sin 4x
g. f(x) = 6 √
e. f(x) = 4
) ( )
e. f(x) =
) g. f(x) = cot 2 h. f(x) = sec 4
)
f. f(x) = (
5. a. f(x) = (
)
d. f(x) = √
g. f(x) = (
b. f(x) = (
)
e. f(x) = √
h. f(x) = (
)
c. f(x) = (
)
f. f(x) = (
i. f(x) =
)
c. f(x) = 4.tan (
)
)
i. f(x) = cosec 3
√(
)
B. Pemecahan Masalah. 1. Untuk memproduksi buah pensil, diperlukan biaya C( ) = 0,005 . a. Bila biaya marjinal dirumuskan dengan = C’( ), Maka tentukanlah besarnya biaya marjinal untuk memproduksi 10.000 pensil. b. Jika biaya marjinalnya Rp 1.000.000,00 maka berapa buah pensil yang diproduksi? 2. Sekelompok bakteri berkembang biak sehingga massanya setelah t detik diperkirakan dengan m = ( gram. Laju perubahan massa bakteri m terhadap waktu t ditentukan dengan massa bakteri itu ketika t = 3 detik.
)
. Hitunglah laju perubahan
3. Pertambahan Penduduk suatu kota setelah t tahun dapat dinyatakan dengan rumus P = 4 √ + 2√ ribu orang. Tentukan laju pertambahan penduduk pada saat t = 16 tahun. 4. Sebuah benda bergerak sepanjang bidang miring. Jarak yang ditempuh s dari titik asal selama t detik, dinyatakan dengan rumus s = 1,5 t2 + 0,6 t. ( s dalam meter dan t dalam detik). a. Tentukan rumus kecepatan gerak benda tersebut. ( V = ) b. Tentukan kecepatan benda pada saat t = 0,3 detik c. Tentukan waktu yang diperlukan ketika kecepatannya mencapai 6,6 m/detik.
6
