Modul 1
Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si.
PEN D A HU L UA N
M
odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham betul tentang sistem bilangan real serta sifat-sifat yang terkandung di dalamnya. Apabila kita ingin mencari x yang memenuhi persamaan
x2 1 0 ;
x2 4 x 5 0
maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi masing-masing persamaan tersebut. Untuk dapat menyelesaikan atau memperoleh jawaban perlu diperkenalkan bilangan kompleks. Dalam bentuk formal, bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan terurut dua bilangan real. Namun demikian ada beberapa penulisan lain yang mempunyai maksud atau arti yang sama dengan pendefinisian tersebut. Arti geometri dari bilangan kompleks dalam beberapa hal dapat dipahami sebagai vektor di bidang. Meskipun demikian hal tersebut hanya untuk memudahkan Anda memahami bilangan kompleks pada tahap awal saja. Setelah mempelajari modul ini secara umum Anda diharapkan dapat: 1. memahami operasi aljabar pada sistem bilangan kompleks, 2. memahami sifat dan arti geometri dari bilangan kompleks.
1.
Dan secara lebih khusus lagi Anda diharapkan dapat: menjumlahkan, mengalikan, mengurangkan dan mencari invers suatu bilangan kompleks,
1.2
2. 3. 4. 5.
Fungsi Kompleks
menyajikan bilangan kompleks dalam sistem koordinat Cartesius, polar dan bentuk eksponen, menyatakan persamaan dan pertaksamaan dari daerah lingkaran atau daerah lainnya dalam bentuk bilangan kompleks, menyelesaikan pertaksamaan dalam nilai mutlak (modulus) bilangan kompleks, mencari akar dan memangkatkan suatu bilangan kompleks.
1.3
MATA4322/MODUL 1
Kegiatan Belajar 1
Aljabar Bilangan Kompleks Definisi 1: Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y, yang dinyatakan oleh (x,y). Pernyataan di atas merupakan definisi formal dari bilangan kompleks. Selanjutnya, perhatikan beberapa lambang dan ketentuan berikut. Bilangan kompleks dilambangkan oleh huruf z = (x,y). Bilangan real x disebut bagian real dari z, ditulis Re ( z ) . Bilangan real y disebut bagian imaginer dari z, ditulis Im (z). Beberapa pasangan terurut diidentifikasikan secara khusus, yaitu (x,0) = x, merupakan bilangan real x (0,1) = i, dinamakan satuan imaginer Kesamaan dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2:
z1 ( x1 , y1 ) dan z2 ( x2 , y2 ) dikatakan sama, ditulis z1 z2 , jika x1 x2 dan y1 y2 . Khususnya z ( x, y) (0,0) jika dan hanya jika, x 0 dan y 0 . Dua bilangan kompleks
Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut.
1.4
Fungsi Kompleks
Definisi 3: Jika z1 ( x1 , y1 ) dan z2 ( x2 , y2 ) adalah bilangan kompleks, maka jumlah dan hasil kali z1 dan z2 , masing-masing adalah bilangan kompleks z1 z2 dan z1 z2 yang diberikan oleh aturan berikut, z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
z1 z2 ( x1 , y1 )( x2 , y2 ) ( x1x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) Himpunan semua bilangan kompleks C, bersama operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu lapangan (field). Teorema 1: Himpunan bilangan kompleks C memenuhi sifat-sifat lapangan, yaitu: 1. z1 z2 C dan z1 z2 C, z1 , z2 C 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
z1 z2 z2 z1 dan z1 z2 z2 z1 , z1 , z2 C ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) dan ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 , z1 , z2 , z3 C Ada 0 (0,0)C , sehingga z 0 0 z z; z C Ada 1 (1,0) 0, 1C , sehingga z.11.z z ; z C Untuk setiap z ( x, y)C ada z ( x, y)C sehingga z ( z) ( z) z 0 x y Untuk setiap z ( x, y)C , z 0 ada z 1 2 , 2 2 x y x y2 sehingga zz 1 z 1 z 1 .
C
Bukti dari Teorema 1 dapat Anda lakukan dengan berpegang pada Definisi 2 dan 3. Pada bagian berikut Anda akan diperkenalkan pada suatu penulisan lain dari bilangan kompleks z ( x, y) . Dengan identifikasi x ( x,0) dan i (0,1) , gunakan Definisi 3, maka diperoleh:
1.5
MATA4322/MODUL 1
(0, y) (0,1).( y,0) iy , disebut bilangan imajiner sejati, z ( x, y ) ( x, 0) (0, y) x iy x yi Demikian pula i 2 i.i (0,1).(0,1) (1,0) 1 Karena itu setiap bilangan kompleks z ( x, y) dapat ditulis dalam bentuk z x yi dengan, x dan y bilangan real, i 2 1 x disebut bagian real dari z, ditulis x Re( z ) y disebut bagian imajiner dari z, ditulis y Im( z ) . Dengan menggunakan penulisan
z x yi , Anda akan lebih mudah
melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dilakukan seperti operasi pada bilangan real dengan memandang i 2 1 . Hal tersebut akan terlihat pada definisi beserta contoh-contohnya sebagai berikut. Definisi 4: Jika z1 x1 y1i dan z2 x2 y2i adalah bilangan kompleks, maka:
z1 z2 ( x1 y1i) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i z1.z2 ( x1 y1i) ( x2 y2i) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 ) i Pada definisi penjumlahan terlihat jelas seperti operasi pada bilangan real dan demikian pula untuk perkalian. z1 z2 x1 y1i x2 y2i x1x2 x1 y2i x2 y1i y1 y2i 2 , dengan mengganti i 2 oleh 1 didapat:
z1 z2 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i
1.6
Fungsi Kompleks
Contoh 1: Jika z ( x, y) dan 1 (1,0) , maka
z.1 ( x, y)(1,0) ( x yi)(1 0i) x yi z (Bukti Teorema 1 Nomor 6).
x y Jika z ( x, y ) dan z 1 2 , maka x y 2 , x 2 y 2 x y zz 1 ( x yi ) 2 2 i 2 2 x y x y
x2 y 2 x y 2
2
yx xy 2 2 i 1 0.i 1 x y
(Bukti Teorema 1 nomor 8). Contoh 2: Jika z ( x, y) dan a (a,0) maka,
az (a,0)( x, y) (a 0i)( x yi) ax ayi Khususnya jika a 1 (1,0) , maka
1.z x yi ( x yi) z . Contoh 3: Jika z1 x1 y1i dan z2 x2 y2i , maka
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i Selanjutnya jika z2 0 , maka
z1 x yi x yi x y i 1 1 1 1 . 2 2 z2 x2 y2i x2 y2i x2 y2i
x1 x2 x1 y2i x2 y1i y1 y2 i 2 x22 y22i 2
1.7
MATA4322/MODUL 1
x1 x2 y1 y2 x2 y2 2
2
x2 y1 x1 y2 x22 y22
i
Khususnya jika z x, y 0 dan 1 1,0 , maka
1 x yi 1 1 z x yi x yi x yi
x x y 2
2
y x y2 2
i z 1 .
Cara-cara pengerjaan pada Contoh 3 ini dapat menolong Anda apabila tidak z 1 dapat mengingat langsung z1 z2 , 1 dan . z2 z Dengan menggunakan kedua hal terakhir di atas dapat diperlihatkan 1 1 1 z1 1 z1 , z2 0 dan , z1 0 , z2 0 z2 z1 z2 z1 z2 z2
Contoh 4: Diberikan
z1 2 3i dan z2 5 i . Tentukan atau tuliskan bilangan
kompleks z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 dan
z1 z2
dalam bentuk a bi ;
real. Jawab:
z1 z2 (2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i z1 z2 (2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 7 4i
z1 z2 (2 3i) (5 i) 10 2i 15i 3i 2 7 17i z1 2 3i 2 3i 5 i 10 2i 15i 3i 2 . z2 5 i 5 i 5 i 25 i 2
13 13i 1 1 i . 26 2 2
a dan b
1.8
Fungsi Kompleks
Definisi 5: Jika z = (x,y) = x + yi, maka bilangan kompleks sekawan dari z; ditulis z dan didefinisikan sebagai z ( x, y) x yi Sebagai contoh untuk Definisi 5 di atas adalah: z1 3 4i , kompleks sekawannya adalah z1 3 4i z2 2 5i , kompleks sekawannya adalah z2 2 5 i Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut: Teorema 2: A. Jika z bilangan kompleks, maka 1. z z 2. z z 2Re( z ) 3. z z 2i Im( z ) 4. z z Re( z ) Im( z ) 2
2
B. Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka 1. z1 z2 z1 z2 2. z1 z2 z1 z2 3. z1 z2 z1 . z2
z 4. 1 z2
z1 , z2 0 z2
Contoh 5: Bukti Teorema 2, A. Misalkan z x yi , maka z x yi
z x yi x yi z
1.9
MATA4322/MODUL 1
z z ( x yi) ( x yi) 2 x 2Re( z) z z ( x yi) ( x yi) 2 yi 2i Im( z)
z z ( x yi) ( x yi) x2 y 2
Re( z) 2 Im( z) 2
B. Misalkan z1 x1 y1i , z2 x2 y2i
z1 z2 x1 y1i x2 y2i
x1 x2 y1 y2 i x1 x2 y1 y2 i x1 y1i x2 y2i z1 z2
z1 x1 y1i x1 x2 y1 y2 x y x y i 2 12 1 22 2 2 x2 y2 z2 x2 y2i x2 y2 x x y y x y x y 1 22 1 2 2 2 21 1 2 2 i; z2 0 x2 y2 x2 y2
z1 x yi x y i x y i x y i 1 1 1 1 1 1 2 2 z2 x2 y2i x2 y2i x2 y2i x2 y2i x x y y x y x y 1 22 1 2 2 2 21 1 2 2 i x2 y2 x2 y2 z z Dari dua hal di atas diperoleh 1 1 . z2 z2 Bagian lain dari Teorema 2 yang belum dibuktikan, Anda coba sendiri sebagai latihan. Contoh 6: Jika z 1 i , buktikan z 2 2 z 2 0 . Bukti
z 2 2 z 2 (1 i)2 2(1 i) 2
1.10
Fungsi Kompleks
1 2i i 2 2 2i 2 1 2i 1 2 2i 2 0
Contoh 7: Buktikan z1 z2 z1 z2 2Re z1 z2 2Re z1 z2 . Bukti Misalkan z1 x1 y1i ; z2 x2 y2i , maka diperoleh z1 x1 y1i ; z2 x2 y2i .
z1 z2 z1 z2 x1 y1i x2 y2i x1 y1i x2 y2i x1 x2 y1 y2 x1 y2i x2 y1i x1x2 y1 y2 x1 y2i x2 y1i
2 x1 x2 y1 y2 2Re z1 z2 2Re z1 z2 .
LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Ubahlah bilangan kompleks berikut menjadi bentuk x yi .
6i 6 5i
a. (5 2i) (2 3i)
d.
b. (2 i) (6 3i)
e. i 2 , i3 , i 4 , i5 , ... , i10
c. (2 3i) (2 3i)
f.
g.
1 i 1 i
2) Cari bilangan kompleks z x yi yang memenuhi a. z 1 z
b. z z
i 1 i 1 i i
1.11
MATA4322/MODUL 1
Petunjuk Jawaban Latihan 1) a. b.
7+i 4 + 2i
e. f.
c.
5 12i
g.
d.
2) a.
1, i, 1, i, …,1 i 3 1 i 2 2
30 36 i 61 61
z=1
b. z = yi
R A NG KU M AN Lambang bilangan kompleks : z (x, y) x yi; x, y real; i 2 1 . ( x,0) x ; (0, y) yi ; (0,1) i . Operasi: z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i z1 z2 x1 y1i x2 y2i x1 x2 y1 y2
x1 y2 x2 y1 i
z1 x yi x x y y x y x y 1 1 1 22 1 2 2 2 21 1 2 2 i z2 x2 y2i x2 y2 x2 y2 Himpunan bilangan kompleks C bersama operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu lapangan (Coba ingat kembali sifat-sifat lapangan). Invers bilangan kompleks z x yi terhadap a. operasi penjumlahan adalah z x yi b. operasi perkalian adalah
z 1
1 x y 2 2 i 2 z x y x y2
1.12
Fungsi Kompleks
1 z1 z1 , z2 0 z2 z2 1 1 1 ; z1 0 , z1 z2 z1 z2
z2 0
Kompleks sekawan: Bilangan kompleks sekawan dari z x yi adalah z x yi Sifat: 1. z z 2. 3.
1 z z 2 Re( z ) atau Re( z ) ( z z ) 2 1 z z = 2i Im( z ) atau Im( z ) = ( z z ) 2i
4.
z z Re( z ) Im( z )
5.
z1 z2 z1 z2
6.
z1 z2 z1 z2
7.
z1 z2 z1 z2
8.
z1 z1 , z2 0 z2 z2
2
2
TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Jika z1 3 2i dan z2 2 i , maka z1 z2 sama dengan .... A. 8 2i B. 4 i C. 8 i D. 4 2i
1.13
MATA4322/MODUL 1
2) Jika z1 2 3i dan z2 4 i , maka
z1 sama dengan .... z2
11 10 i 17 17 5 10 B. i 17 17 A.
11 3 i 17 17 5 3 D. i 17 17 C.
z 3) Jika z x yi , maka Re sama dengan .... z A. B. C. D.
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x 2 2 xy y 2 x2 y 2 x 2 2 xy y 2 x2 y 2
1 3i 4) Bilangan kompleks z sama dengan .... i 1 i 3 5 A. i 2 2 5 3 i B. 2 2 5 3 i C. 2 2 3 5 i D. 2 2
1.14
Fungsi Kompleks
5) Jika A. B. C. D.
z 2 i , maka z 2 sama dengan .... 3 2i 3 2i 3 4i 3 4i
6) Jika z 1 i , maka z 3 sama dengan .... A. 2 2i B. 2 2i C. 1i D. 4 4i 7) Pernyataan berikut yang benar adalah .... A. i z iz B. C. D.
Re(iz) Im( z) Im(iz) Re( z) z z
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
1.15
MATA4322/MODUL 1
Kegiatan Belajar 2
Arti Geometri dari Bilangan Kompleks
M
enurut definisi formal, bilangan kompleks merupakan pasangan terurut dua bilangan real. Suatu bilangan kompleks z ( x, y) x yi , secara
geometri dinyatakan sebagai titik ( x, y) pada bidang Cartesian. Dengan demikian semua bilangan kompleks dapat terwakili oleh semua titik pada bidang Cartesian. Dalam keadaan ini ada penamaan baru untuk sumbu x sebagai sumbu real dengan sistem satuan 1 dan sumbu y dinamakan sumbu imajiner dengan sistem satuan i. Titik asal O menyatakan bilangan kompleks z 0 dan titik yang koordinatnya
x1 , y1
menyatakan bilangan kompleks
z x1 , y1
x1 y1 i . Bidang Cartesian dinamakan bidang kompleks atau bidang z. Penyajian bilangan kompleks dalam bidang ini disebut diagram Argand.
Gambar 1.1. Bidang Kompleks
1.16
Fungsi Kompleks
Anda telah mengetahui bahwa setiap vektor di bidang Cartesian dapat dinyatakan sebagai vektor yang berpangkal di titik O = (0,0) dan ujungnya di suatu titik (x,y). Kemudian pasangan terurut (x,y) tersebut menyatakan vektor yang dimaksud. Dalam pengertian yang terbatas bilangan kompleks z ( x, y) x yi dapat dipandang sebagai vektor ( x, y) dan operasi penjumlahan dan pengurangan dua bilangan kompleks secara geometri serupa dengan operasi tersebut pada vektor. Gambar berikut memperlihatkan arti geometri dari bilangan kompleks z1 , z2 , z1 z2 , z1 z2 .
Gambar 1.2
Contoh 8: Diketahui bilangan kompleks z1 1 3i , z2 3 2i . Gambarkan bilangan kompleks z1 , z2 dan z1 z2 , z1 z2 seperti penjumlahan dan pengurangan vektor. Jawab: Diletakkan pada satu bidang kompleks.
dengan cara
1.17
MATA4322/MODUL 1
Apabila dihitung, hasil gambar tersebut harus cocok dengan
z1 z2 (1 3i) (3 2i) 4 i z1 z2 (1 3i) (3 2i) 2 5i
Gambar 1.3
Contoh 9: Gambarkan kompleks sekawan dari z1 3 2i dan z2 2 3i
z1 3 2i z2 2 3i
Gambar 1.4
Setelah ditentukan
z1 dan z2 , ternyata secara geometri, kompleks
sekawan dari z merupakan pencerminan z terhadap sumbu real. Arti geometri dari perkalian kompleks dijelaskan pada Kegiatan Belajar 3.
1.18
Fungsi Kompleks
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 6: Jika z x yi bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z dan didefinisikan sebagai z x yi
x2 y 2
Definisi ini menunjukkan bahwa z merupakan bilangan real positif atau nol. Arti geometri z , menyatakan panjang vektor ( x, y) yaitu jarak dari titik asal O = (0,0) terhadap titik z ( x, y) . Akibat dari definisi tersebut, jika z1 x1 , y1 dan z2 x2 , y2 , maka
z1 z2
x1 x2 2 y1 y2 2 ,
menyatakan jarak antara titik z1 dan titik z2 pada bidang z.
Gambar 1.5
Selanjutnya apabila z1 x1 y1i dan r bilangan real positif, maka z z1 r menyatakan lingkaran berpusat di titik z1 x1 , y1 berjari-jari r, sedangkan
z z1 r
menyatakan daerah di dalam lingkaran yang berpusat di
z1 x1 , y1 berjari-jari r. Penting sekali diingat bahwa tidak ada urutan antara dua bilangan kompleks z1 dan z2 . Tetapi untuk modulusnya dikenal urutan karena modulus suatu bilangan kompleks merupakan bilangan real.
1.19
MATA4322/MODUL 1
Contoh 10: Gambarkan z 1 2i 3 dan z i 2 pada bidang z. Jawab: z 1 2i 3 dapat ditulis z (1 2i) 3 merupakan lingkaran berpusat di z1 1 2i (1, 2) berjari-jari 3 (Lihat Gambar 1.6.a).
z i 2 atau z (i) 2
menyatakan daerah lingkaran yang berpusat di
z1 i (0, 1) berjari-jari 2 (lihat Gambar 1.6.b).
Gambar 1.6
Apabila Definisi 6 digunakan langsung, persamaan dan pertaksamaan di atas dapat diturunkan sebagai berikut: Misalkan z x yi . Dari z 1 2i 3 diperoleh
x yi 1 2i 3 atau
( x 1) ( y 2)i 3
atau,
( x 1)2 ( y 2)2 3
atau
( x 1)2 ( y 2)2 9
merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1,2) berjari-jari 3. Dengan cara yang sama z i 2 , berarti
x yi i 2 atau
x ( y 1)i 2
1.20
Fungsi Kompleks
atau,
x 2 ( y 1)2 2 atau x2 ( y 1)2 4 , menyatakan daerah di dalam lingkaran yang berpusat di titik (0,1) berjarijari 2. Berikut ini kita perhatikan satu teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks. Teorema 3:
A. Jika z bilangan kompleks, maka 1.
z Re( z ) Im( z )
2.
z z
3.
z zz
4.
z Re( z) Re( z)
5.
z Im( z) Im( z)
B.
2
2
2
2
Jika z1 , z2 bilangan kompleks, maka
1.
z1 z2 z1 z2
2.
z z1 1 , z2 0 z2 z2
3.
z1 z2 z1 z2
4.
z1 z2 z1 z2
5.
z1 z2 z1 z2
Bukti: A. Misalkan z x yi , maka: 1.
2
z
x 2 y 2 x 2 y 2 Re( z ) Im( z ) 2
2
1.21
MATA4322/MODUL 1
2.
z x yi , sehingga z x 2 ( y)2 x 2 y 2 z
3.
z x2 y 2 ( x yi)( x yi) z z
4.
z x 2 y 2 x 2 x Re( z ) Re( z )
5.
z x2 y 2 y 2 y Im( z ) Im( z )
2
B. Misalkan z1 , z2 bilangan kompleks, maka 1.
z1 z2
2
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z1 z2 z1
2
z2
2
Jadi, z1 z2 z1 z2
2.
z1 1 z1. z2 z2
3.
z1 z2
2
Lanjutkan seperti bukti B.1
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 z1
z1 z2 z1 z2 z2 z1 2
2
Tetapi z1 z2 z2 z1 z1 z2 z1 z2 2Re z1 z2 2 z1 z2 2 z1 z2 2 z1 z2 Akibatnya
z1 z2 z1 z2 2 z1 z2 z1 z2 2
2
2
Jadi z1 z2 z1 z2 4.
Tulis z1 z1 z2 z2 , dengan menggunakan B.3,
z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 .
Dari kedua ruas paling luar didapat
z1 z2 z1 z2 .
2
.
1.22
Fungsi Kompleks
5. Tulis z2 z2 z1 z1 dengan cara seperti di B.4, didapat
z1 z2 z1 z2 . Gabungkan dengan hasil di B.4, maka diperoleh
z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 . Ini berarti
z1 z2 .
Rumus B.3 dapat diperluas menjadi
z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn . Rumus B.3, B.4 dan B.5 dikenal dengan nama ketaksamaan segitiga. Coba Anda gambarkan dua segitiga masing-masing dengan sisi : a. z1 , z2 , z1 z2 dan b. z1 , z2 , z1 z2 . Bentuk Polar (Kutub) dan Eksponen Dalam koordinat polar bilangan kompleks z ( x, y) dinyatakan dalam r dan
yaitu z (r , ) . Dari Gambar 1.7 di bawah ini didapat hubungan sebagai berikut:
x r cos ; y r sin r x2 y 2 z
sudut antara sumbu x positif dengan Oz .
Gambar 1.7
1.23
MATA4322/MODUL 1
y dan jika z 0 maka r 0 x dan dapat dipilih sembarang. Dengan demikian bilangan kompleks z ( x, y) x yi dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu Untuk z 0 , sudut dihitung dari tan
z r (cos i sin ) . Definisi 7: Pada bilangan kompleks z r (cos i sin ) , sudut disebut argument dari z, ditulis arg z . Sudut dengan 0 2 atau disebut argument utama dari z, ditulis A rg z . Pembahasan untuk tersebut dipilih salah satu saja.
Definisi 8: Dua
bilangan
kompleks
z2 r2 cosθ2 i sin θ2
z1 r1 cos 1 i sin 1
dikatakan sama, yaitu
z1 z2 ,
dan jika
r1 r2 dan 1 2
Dengan menggunakan rumus Euler,
ei cos i sin bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi
z r (cos i sin ) rei . Penulisan z rei merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z. Selanjutnya kompleks sekawan dari z adalah:
z r (cos i sin ) r (cos() i sin()) rei
1.24
Fungsi Kompleks
Catatan: Rumus Euler dapat Anda buktikan dengan menggunakan deret Maclaurin untuk cos ,sin dan ei . Contoh 11: Nyatakan bilangan kompleks z 3 i dalam bentuk polar dan bentuk eksponen Jawab: Dari masalah di atas kita mempunyai tan
1 3
z 3 i ,
r 3 1 2 dan
. Karena z di kuadran pertama, maka dipilih
, sehingga 6
didapat bentuk polar z 2 cos i sin dan bentuk eksponen z 2ei 6 . 6 6 Contoh 12: Nyatakan bilangan kompleks eksponen: a) 2 3 2i
z berikut dalam bentuk polar dan bentuk
b) 2 6 i c) 3 3i d) 5i Jawab: a)
kuadran
pertama,
maka
4e i / 6 .
z 4 cos 6 i sin 6 b)
1 3 . Karena z di 2 3 3 diambil Diperoleh . 6
z 2 3 2i , r 12 4 4 dan tan
z 2 6 i , r 2 6 2 2 dan tan kuadran empat, diambil
z 2 2 cos 53 i sin 53 atau
2
6 2
3 . Karena z di
5 atau , sehingga diperoleh 3 3 2 2 e5i / 3
1.25
MATA4322/MODUL 1
z 2 2 cos 3 i sin 3
2 2 cos 3 i sin 3 2 2 e i / 3 c)
z 3 3i , r 9 9 3 2 dan tan
dua, maka dipilih z
3 4
3 1 . Karena z di kuadran 3
, sehingga diperoleh
z 3 2 cos 34 i sin 34
3 2 e3i / 4
d) Coba sendiri. Sebaliknya, dari contoh di atas mudah dilakukan, misalnya z 3 2 cos 34 i sin 34 merupakan bentuk polar. Jika dihitung
langsung, maka kita peroleh
1 1 z 3 2 2 i 2 3 3i 2 2 LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Hitung jarak antara z1 2 i dan z2 3 i . 2) Dalam bidang kompleks z, gambarkan dan sebutkan nama lengkungan yang memenuhi persamaan berikut. a) z 5 6 b) Re( z 2) 1 c) z i z i 3) Dalam bidang kompleks z, gambarkan dan arsirlah daerah yang memenuhi a) Im( z ) 0 b) 2 Re( z) 0 c) 1 z 3 d) z i 2 4) Tentukan bentuk polar dan bentuk eksponen bilangan kompleks. a) 2 2i b) 1 c) 3 i d) 3 3 3i
1.26
Fungsi Kompleks
Petunjuk Jawaban Latihan 1)
5
2) a.
z x yi z 5 ( x 5) yi
z 5 6
x 5 2 y 2
6
Jadi x 5 y 2 36 , lingkaran berpusat di (5,0), jari-jari 6. 2
b.
c.
Garis lurus x 1
z i z i x 2 y 1
2
x 2 y 1
2
x2 y 2 2 y 1 x2 y 2 2 y 1 4 y 0 y 0, garis lurus (sumbu x)
1.27
MATA4322/MODUL 1
3) a. y 0
c. 1 x2 y 2 9
b. 2 x 0
d. x2 ( y 1)2 4
y
7 7 4) a. 2 2 cos i sin 2 2 e7 i / 4 4 4 b. cos i sin ei
3 cos i sin 3 ei / 2 2 2 7 7 d. 6 cos i sin 6 e7 i / 6 4 6 c.
1 0 -1 -2 -3
x
1.28
Fungsi Kompleks
R A NG KU M AN Jika z x yi maka modulus dari z adalah z x 2 y 2 merupakan bilangan real yang lebih besar atau sama dengan nol dan arti geometrinya adalah jarak dari z ke titik pangkal O pada bidang kompleks z. Bilangan kompleks z x yi , dalam bentuk polar dan eksponen dinyatakan oleh z r (cos i sin ) rei dengan r z dan sudut antara sumbu x positif dengan garis Oz .
tan
y . x
disebut argument dari z, ditulis arg z . Argument utama dari z ditulis = Arg z dengan 0 2 atau . Sifat-sifat modulus bilangan kompleks z. A. 1.
z Re( z ) Im( z) 2
2
2.
zz
3.
z zz
4.
z Re( z ) Re( z)
5.
z Im( z ) Im( z )
B. 1.
2
z1 z2 z1 z2
2.
z z1 1 , z2 z2
3.
z1 z2 z1 z2
4.
z1 z2 z1 z2
5.
z1 z2 z1 z2
z2 0
2
MATA4322/MODUL 1
1.29
TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Jika z1 4 3i dan z2 2 11i, maka z1 z2 sama dengan .... A. 5 5 5 B. 10 C. 14 D. 14 2) Bentuk polar dari bilangan kompleks z 6 2 i adalah ....
5 5 2 2 cos i sin 3 3 1 1 B. 2 2 cos i sin 6 6 A.
5 5 C. 2 2 cos i sin 6 6 1 1 D. 2 2 cos i sin 3 3 3) Himpunan bilangan kompleks pada daerah yang diarsir berikut memenuhi hubungan .... A. 2 Im( z) 0 B.
1 Re( z 1) 1
C.
0 Im( z 1) 2
D.
0 z 2
4) Himpunan bilangan kompleks yang terletak pada daerah yang diarsir berikut memenuhi pertaksamaan .... A. z 2i 1 B.
z 2i 1
C.
z2 1
D.
z 2 1
1.30
Fungsi Kompleks
5) Daerah bilangan kompleks yang memenuhi z 2 z adalah daerah yang diarsir, yaitu ....
6) Bentuk eksponen dari bilangan kompleks z 2 3 2i adalah .... 5
i
A.
4e 6
B.
5 i 4e 6
C.
4e
D.
4e 6
7 i 6 7
i
1.31
MATA4322/MODUL 1
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
1.32
Fungsi Kompleks
Kegiatan Belajar 3
Perkalian dan Perpangkatan
P
ada Kegiatan Belajar 1 telah didefinisikan tentang perkalian dua bilangan kompleks. Apabila hal tersebut dilakukan dalam bentuk polar, perkalian antara z1 r1 cos 1 i sin 1 dan z2 r2 cos 2 i sin 2 adalah
z1 z2 r1r2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 Bentuk terakhir ini merupakan rumus perkalian dua bilangan kompleks di dalam bentuk polar. Segera terlihat bahwa
arg z1 z2 1 2 arg z1 arg z2 Perkalian dua bilangan kompleks z1 dan z2 dapat pula ditentukan secara geometris pada bidang kompleks, dengan alasan sebagai berikut. Pada Kegiatan Belajar 2 telah didapat z1 z2 z1 z2 , dan selanjutnya dapat dituliskan sebagai
z1 z2 z2
z2 1
, z2 0 .
Secara geometris, hal ini menyatakan adanya kesebangunan dua segitiga seperti terlihat pada Gambar 1.8.
Gambar 1.8
1.33
MATA4322/MODUL 1
Rumus De Moivre Apabila z1 r1 cos 1 i sin 1
z2 r2 cos 2 i sin 2 zn rn cos n i sin n ; n bilangan asli, maka dari rumus perkalian dua bilangan kompleks dapat dilanjutkan secara induktif dan didapat
z1 z2 zn r1r2 rn cos 1 2 n i sin 1 2 n
Akibatnya,
jika z r (cos i sin ) , maka z n r n (cos n i sin n)
Khususnya, jika r =1 didapat Rumus De Moivre:
(cos i sin )n cos n i sin n, n bilangan asli
Pembagian
bilangan
kompleks
z1 r1 cos 1 i sin 1
oleh
z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) 0 , adalah, r cos 1 i sin 1 r cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2 z1 1 1 . z2 r2 cos 2 i sin 2 r2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2
z1 r cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 1 z2 r2 cos2 2 sin 2 2
r1 cos 1 2 i sin 1 2 r2
z Dari rumus pembagian ini diperoleh arg 1 1 2 arg z1 arg z2 z2 Akibat lainnya, jika z r (cos i sin ) , maka
1.34
Fungsi Kompleks
1 1 cos () i sin () z r 1 cos i sin r Apabila z n menyatakan
1 zn
,
n bilangan asli, dapat ditunjukkan pula
bahwa
z n
n
1 1 n cos (n) i sin (n) zn z r 1
Jadi, rumus De Moivre berlaku untuk n bilangan bulat. Contoh 13: Hitung (1 i)7 . Jawab: Misalkan z 1 i , maka :
r z
12 12
2 dan tan
1 1 . 1
3 Karena z di kuadran dua, dipilih sehingga diperoleh 4 3 3 1 i 2 cos i sin 4 4 dan 7 21 21 (1 i)7 2 cos i sin 4 4 7 5 5 2 cos i sin 4 4 7 1 1 2 2 i 2 2 2 8 8i .
Contoh 14: Hitung
3 i
6
1.35
MATA4322/MODUL 1
Jawab: Misalkan z 3 i , maka r z 3 1 2 dan tan
1 3
. Karena z
sehingga diperoleh 6 3 i 2 cos i sin 6 6
di kuadran empat, dipilih
dan untuk
3 i
6
26 cos i sin
1 . 64
Akar dari Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar ke-n dari bilangan kompleks w apabila 1
z n w dan ditulis z w n . Jika z (cos i sin ) akar ke-n dari bilangan kompleks w r (cos i sin ) yang diketahui, maka
z n w atau
n (cos n i sin n) r (cos i sin )
Dari persamaan terakhir diperoleh n r dan n 2k ,
k bilangan
bulat 1
2k . n akar ke-n dari
Akibatnya diperoleh r n dan Dengan demikian didapat w r (cos i sin ) adalah
bilangan
kompleks
1
2k 2k z r n cos i sin ; k bilangan bulat dan n n n bilangan asli. Dalam hal ini ada n buah akar berbeda yang memenuhi memudahkan
z n w . Untuk
dipilih bilangan 2k k 0,1, 2,... , (n 1) ; 0 2 , sehingga didapat n sebagai akar ke-n dari w.
bulat
z1 , z2 ,..., zn
1.36
Fungsi Kompleks
Contoh 15: Tentukan (16)1/ 4 . Jawab: Misalkan
z (16)1/ 4 ,
berarti harus dicari penyelesaian persamaan
z 16 . Tulis z (cos i sin ) dan 16 16(cos π i sin π) , sehingga 4
4 (cos 4 i sin 4) 16(cos i sin ) . Dari persamaan ini diperoleh 4 16 atau 2
2k , k bilangan bulat . 4 2k 2k Jadi z 2 cos i sin 4 4 4 2k atau
Keempat akar tersebut adalah: Untuk k 0; z1 2 cos i sin 2 2 i 4 4 3 3 k 1; z2 2 cos i sin 2 2i 4 4
k 2; k 3;
5 5 z3 2 cos i sin 2 2i 4 4 7 7 z4 2 cos i sin 2 2i . 4 4
LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Hitung (2 2i)15 . 2) Hitung (1 3 i)10 .
1.37
MATA4322/MODUL 1
3) Tentukan jawab persamaan z 3 2 2 3 i 0 . 4) Tentukan semua nilai z yang memenuhi a. z (1)1/ 3 b.
z (81)1/ 4
Petunjuk Jawaban Latihan 1)
87 (2 2 i)
2)
211 (1 3i)
3)
z1 3 4 cos i sin 9 9 7 7 z2 3 4 cos i sin 9 9 13 13 z3 3 4 cos i sin 9 9
4)
1 1 1 1 i 3 , z2 1 dan z3 i 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 i 2 , z2 2 i 2 , z3 2 i 2 dan b. z1 2 2 2 2 2 2 3 3 z4 2 i 2 2 2 z1
a.
R A NG KU M AN Apabila
z1 r1 cos 1 i sin 1
dan
maka : z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2 cos 2 i sin 2 ,
1.38
Fungsi Kompleks
z1 r1 cos 1 2 i sin 1 2 z2 r2
arg z1 z2 arg z1 arg z2 z1 arg z1 arg z2 z2 Rumus: arg
n r cos i sin r cos n i sin n ; berlaku untuk n bilangan bulat. Rumus De Moivre : (cos i sin )n cos n i sin n ; n bilangan bulat. n
Apabila z n w , w r cos i sin ; n bilangan asli, maka akar ke-n dari w adalah, 1
z wn 1
2k 2k r n cos i sin ; n bilangan asli dan k bilangan n n bulat. Dalam hal ini ada n akar, yaitu z1 , z2 ,..., zn yang diperoleh dengan cara mengambil k 0,1, 2,...,(n 1) . TES F OR M AT IF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1)
(1 i)6 = …. A. 8 8i B. 8i C. 8i D. 8 8i
MATA4322/MODUL 1
1.39
15
2)
1 1 = …. i 4 4 A. 87 (1 i) B. 815 (1 i) C. 87 (1 i) D. 815 (1 i)
3) Jika z 3 1 i , maka .... A.
1 z 26
2k 2k cos 12 3 i sin 12 3 ; k 0,1, 2
1
2k 2k B. z 2 6 cos i sin ; k 0,1, 2 3 3 4 4 1
C. z 2 6 cos 2k i sin 2k ; k 0,1, 2 4 4 1
D.
3 2k 3 2k z 2 6 cos i sin ; k 0,1, 2 4 3 3 4
4) Jika z 8 1 , maka z = ....
k k i sin 8 8 k k B. cos i sin 2 2 C. cos 2k i sin 2k A. cos
k k i sin 4 4 masing-masing untuk k = 0,1,2, ..., 7
D. cos
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.
1.40
Fungsi Kompleks
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.
1.41
MATA4322/MODUL 1
Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C 2) A 3) B 4) D 5) C 6) B 7) B
Tes Formatif 2 1) B 2) C 3) B 4) A 5) C 6) D
Tes Formatif 3 1) C 2) A 3) B 4) D
1.42
Fungsi Kompleks
Daftar Pustaka Churchill, Ruel V. (1960). Complex Variables and Applications. New York: McGraw-Hill Publishing Company, Inc. Kreyszig, Erwin. (1979). Advanced Engineering Mathematics. New York: John Wiley and Son. Paliouras, John D. (1975). Complex Variables for Scientists and Engineers. New York: Macmillan Publishing Company, Inc. Spiegel, Murray R. (1981). Complex Variables. Singapore: McGraw-Hill International Book Company.
