UKURAN PENYIMPANGAN Ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilainilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.
Macam ukuran penyimpangan • • • •
Range/Rentang/Jangkauan Standar Deviasi/simpangan baku Varians Ukuran penyimpangan lain
Range/Rentang • Range/rentang merupakan perbedaan (jarak) data yang terbesar dengan data yang terkecil. Rumus
• • • •
R xt x r Keterangan R= range/rentang Xt = data terbesar dalam kelompok Xr = data terkecil dalam kelompok.
Contoh • Suatu penelitian dilakukan di Puskesmas tentang hasil tekanan darah 10 pasien hipertensi. Hasil penelitian adalah sebagai berikut:90, 120, 160, 60, 180, 190, 90, 180, 70, 160. • Berdasarkan data tersebut berapa range tekanan darah pasien hipertensi tersebut. Jawab • Datat terbesar = 190 • Data terkecil = 60 • R = 190 – 60 = 130.
Range data kelompok
•
Range dapat ditentukan dengan dua cara yaitu: – Range adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah. – Range adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.
Contoh : Tentukan range dari distribusi frekuensi berikut! Tinggi Badan (cm) 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 - 174 Jumlah
Frekuensi
2 4 10 14 12 5 3 50
Jawab: • Titik tengah kelas terendah 142 • Titik tengah kelas tertinggi 172 • Tepi bawah kelas terendah 139,5 • Tepi atas kelas tertinggi = 174,5 • Range = 172 – 142 = 30 • Range = 174,5 – 139,5 = 35
Deviasi Rata-rata (simpangan Rata-rata)
Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangansimpangannya. Deviasi rata-rata terbagi 2 yaitu : a. Deviasi data tunggal dan b. Deviasi data kelompok
a. Deviasi rata-rata Data tunggal
Untuk data tunggal, deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus: 1 ∑ [ X – X] DR = --- ∑ [ X – X ] atau DR = -------n n
Contoh Tentukan deviasi rata-rata dari 2,3,6,8,11 Penyelesaian: 2 +3+6+8+11 Rata-rata hitung X = ------------------=6 5 ∑ [ X – X ] = ( 2-6 ) + ( 3-6 ) + ( 6-6 ) + ( 8-6 ) + ( 11-6 ) = 4 + 3 + 0 + 2 + 5 = 14 ∑ [ X – X] 14 DR = --------------- = ------ = 2,8 n 5
b. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok
Rumus : ∑f[X–X] DR = ---------------n
Titik Tengah (X)
f
160-303
231,5
2
287,9
575,8
304-447
375,5
5
143,9
719,5
Interval
X – X
f X – X
RUMUS MD = f |X – X| n
MD =2015,2/20=100,76 448-591
519,5
9
0
0
592-735
663,5
3
144,1
432,3
736-878
807,0
1
287,6
287,6
Xrata-rata = 519,4
11
Deviasi standar (Simpangan baku) a. Data tidak berkelompok, rumusnya
xi x s n
2
• Rumus lain (short cut)
xi ( xi ) 2 2
s
n
Contoh • Suatu penelitian dilakukan terhadap 10 mahasiswa tentang hasil ujian. Hasil penelitian adalah sebagai berikut: 60, 70, 65, 80, 70, 65, 75, 80, 70, 75. • Berdasarkan data tersebut berapa standar deviasi nilai ujian mahasiswa tersebut.
No
Nilai
x x i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
60 70 65 80 70 65 75 80 70 75 710
-11 -1 -6 9 -1 -6 4 9 -1 4 0
x x
2
i
121 1 36 81 1 36 16 81 1 16 390
S = 390 / 10 = 6,24
UKURAN PENYEBARAN DATA b. Data berbobot / berkelompok S =
f x x f
S =
fx f
2
2
f.x f
atau
2
UKURAN PENYEBARAN DATA Contoh: Tentukan standar deviasi dari data berikut
Interval
Frekw
x
3–5
2
4
6–8
4
7
9 – 11
8
10
12 - 14
6
13
Jumlah
20
UKURAN PENYEBARAN DATA Jawab : Interval
Frek
x
x2
f.x
f.x2
3–5
2
4
16
8
32
6–8
4
7
49
28
196
9 – 11
8
10
100
80
800
12 - 14
6
13
169
78
1014
Jumlah
20
194
2042
fx 2 f.x f f 2042 194 20 20
2
2
=
8,01 2,83
Varians • Varians merupakan jumlah kuadran semua deviasi nilainilai individu terhadap rata-rata kelompok. Rumus
x1 s • Keterangan n 2
• • • •
S= simpangan baku sampel n= jumlah sampel Xi = hasil pengamatan = nilai rata-rata kelompok
2
Contoh • Suatu penelitian dilakukan terhadap 10 mahasiswa tentang nilai ujian. Hasil penelitian adalah sebagai berikut: 60, 70, 65, 80, 70, 65, 75, 80, 70, 75. • Berdasarkan data tersebut berapa variansi nilai ujian mahasiswa tersebut..?
Dari hasil tabel pada contoh standar deviasi sebelumnya maka:
x1 s n
2
390 s 39 10
Jadi variansi untuk data diatas 39.
Standar deviasi dan variansi dari distribusi frequensi/data berkelompok • Rumus
f (x x)
2
s
2
i
i
n
• xi = tanda kelas • fi = frequensi yang sesuai dengan tanda kelas xi dan n = ∑fi
Contoh Berat badan
fi
xi
x
xi-x
(xi-x)2
31-40
1
35.5
76.60
-41.10
1689.21
1689.21
41-50
2
45.5
76.60
-31.10
967.21
1934.42
51-60
5
55.5
76.60
-21.10
445.21
2226.05
61-70
15
65.5
76.60
-11.10
123.21
1848.15
71-80
25
75.5
76.60
-1.10
1.21
30.25
81-90
20
85.5
76.60
8.90
79.21
1584.20
91-100
12
95.5
76.60
18.90
357.21
4286.52
3662.47
13598.80
Jumlah
s
2
80
fi(xi-x)2
13598.80 169.985 80 13598.80 s 169.985 13.04 80
Koefisien variansi • Harga deviasi dalam bentuk persentase. Berguna untuk membandingkan deviasi dua kelompok data • Bila koefisien variasi kecil, maka distribusi nilai data cenderung homogen. • Rumus:
simpanganbaku KV x100% rata rata
Contoh: dari data terdahulu
13.04 KV x100% 17.02% 76.6
Ukuran penyimpangan yang lain: Jangkauan Antarkuartil dan jangkauan semi interkuarti Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1) dirumuskan : JK = Q3 - Q1 Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah selisih kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1) . dirumuskan Qd = ½ (Q3 - Q1) Contoh : 1. Tentukan jangkauan artarkuartil dan jangkauan semi kuartil dari data tersebut? Jawab: • Q1 = 4 dan Q3= 12 JK = Q3 - Q1 = 12 -4 = 8 Qd = ½ (Q3 - Q1 ) = ½ (12 – 4) = 4
2. Tentukan jangkauan artarkuartil dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi tersebut?
Nilai 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 Jumlah
Frekuensi 2 3 5 14 24 20 12 80
• • • • • •
Penyelesaian:
n/4 – ( ∑ f1)o Q1 = B1 + ----------------- x C fQ1 20 - 10 = 59,5 + ----------- x 10 14 = 59,5 + 7,14 = 66,64 3n/4 – ( ∑ f3)o Q3 = B3 + ---------------- x C fQ3 60 - 48 = 79,5 + ----------- x 10 20 = 79,5 + 6 = 85,5 JK = 85,5 – 66,64 = 18,86 Qd = ½ ( 85,5 – 66, 64) = 9,43
Diketahui suatu populasi terdiri dari 10 angka. Jumlah kuadrat angka itu ada 282,5 dan deviasi standarnya 4. 1. Hitunglah mean dari data itu! 2. Jawaban dikirim lewat email ke alamat
[email protected] 3. Jawaban diterima paling lambat dua hari setelah jadwal kuliah.
