Simbul skematik sumber tegangan AC adalah:

BAB II, Rangkaian AC

Hal: 47

BAB II ANALISA RANGKAIAN ARUS BOLAK BALIK Arus bolak-balik/Alternating Current (AC) adalah arus yang berubah tanda (polaritas) pada selang waktu tertentu. Arus bolak balik dapat berupa sinyal periodik maupun sinyal tak periodik. Sinyal periodik adalah suatu sinyal yang bersifat berulang untuk selang waktu tertentu yang sama (perioda) yang biasanya dinyatakan dalam fungsi sinusoidal. Contoh sinyal AC diberikan pada gambar berikut, termasuk dibandingkan dengan sinyal DC.

AC

DC

DC

Gambar 1, Perbandingan sinyal AC dan DC Sinyal AC yang dibahas di sini hanya sinyal periodik dengan nilai tegangan atau arus rata-rata terhadap waktu sama dengan nol, atau ( v(t ) = i(t ) = 0 ) . Simbul skematik sumber tegangan AC adalah:

Sastra Kusuma Wijaya

FISIKA FMIPA UI

Diktat Elektronika I


Hal: 48

Tegangan AC dinyatakan sebagai v(t ) = Vo cos ωt diumpankan pada suatu komponen elektronik arusnya kemungkinan berbeda fasa dengan tegangan supply, misalnya dinyatakan sebagai i (t ) = I o cos (ωt + φ ) , seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini.

Fasa (beda fasa) menunjukkan perbedaan dalam satu perioda, yang 2π t dinyatakan sebagai: φ = T Secara umum sinyal listrik merupakan gabungan dari sinyal DC dan sinyal AC, yaitu v(t ) = VDC + VAC (t ) . Andaikan sinyal tegangan yang dikehendaki adalah sinyal tegangan DC (misalnya sumber tegangan DC), akibatnya komponen AC dari sinyal gabungan itu tidak dikehendaki dan sinyal AC ini dikenal sebagai tegangan ripple. Sebaliknya jika yang dikehendaki adalah sinyal AC dan ternyata masih ada sinyal DC-nya maka sinyal DC ini dikenal sebagai tegangan offset. Tegangan ripple adalah tegangan AC yang terdapat dalam tegangan DC, untuk mengukurnya dilakukan dengan menggunakan osiloskop, dengan men-set kopling AC pada osiloskop sehingga kapasitor yang terdapat pada terminal input dipakai untuk mem-bypass tegangan AC dan menahan tegangan DC. Tegangan offset adalah tegangan DC yang terdapat dalam sinyal AC. Untuk mengukurnya dapat dilakukan dengan men-set kopling DC


FISIKA FMIPA UI



Hal: 49

pada osiloskop. Naik/turunnya tegangan terhadap level tegangan nol (pada saat osiloskop di-set pada posisi GROUND) adalah tegangan offset yang dicari. Gambar berikut yang menunjukkan gabungan dari sinyal AC dan DC yang diukur dengan osiloskop masing-masing dengan kopling AC dan kopling DC.

Gambar 2, Sinyal gabungan diukur dengan kopling AC dan DC Notasi

Notasi yang dipergunakan untuk besaran arus atau tegangan dalam elektronik mengacu pada standar IEEE, berikut ini adalah notasi yang biasa dipergunakan. Tabel 1, Notasi besaran elektronika Besaran

Variabel


Indeks

FISIKA FMIPA UI

Contoh



Sesaat total DC Titik kerja Sesaat AC RMS Maksimum (sinusoidal) Rata - rata

Hal: 50

Huruf kecil besar besar kecil besar

Huruf besar besar besar + Q kecil kecil

iC , vBE IC , VBE ICQ , VBEQ ic , vbe Ic , Vbe

besar

kecil + m

Icm , Vbem

besar

besar + ave

ICave , VBeave

PENGUKURAN RMS

Nilai rata-rata dari suatu sinyal listrik dinyatakan sebagai: 1T V = ∫ V (t )dt , untuk sinyal periodik V (t ) = Vo cos ωt diperoleh T0

1 1 2π t V = ∫ Vo cos ωtdt = ∫ Vo cos dt = 0 T0 T0 T T

T

Sedangkan tegangan dan arus RMS dari sinyal sinusoida dinyatakan sebagai: Vo 2

Vrms =

v2 =

Vo2 cos 2 ωt =

I rms =

i2 =

I o2 cos 2 (ωt + φ ) =

Io 2

Bentuk umum dari daya RMS adalah: Prms = vi =

1 Vo2 cos 2 ωt = Vo I o cos φ 2


FISIKA FMIPA UI



Hal: 51

1 × Amplitudonya , 2 misalnya untuk sinyal kotak (dengan duty cycle 50%) nilai RMS-nya 1 = × Amplitudonya . 2

Untuk sinyal lainnya tidak lagi sama dengan

Jika sumber tegangan AC diberikan ke hambatan secara seri, maka beda fasa antara tegangan dan arus adalah φ = 0 atau cos φ = 1 , sehingga daya RMS yang diberikan pada hambatan R adalah: Prms = 12 Vo I o = Vrms I rms

BENTUK GELOMBANG

Bentuk gelombang: persamaan atau grafik yang menggambarkan karakteristik sinyal sebagai fungsi dari waktu. 1. step

⎧ 0 untuk t-Ts < 0 u (t − TS ) = ⎨ ⎩ A untuk t-Ts > 0

2. sinusoida

v(t) = A sin (ωt + θ)

3. eksponensial

−t / T v(t) = A u (t )e C

4. sinusoida teredam

−t / T v(t) = A u (t )e C cos(ωt − φ )

5. pulse train 6. gelombang kotak


FISIKA FMIPA UI



Hal: 52

7. gelombang gigi gergaji 8. gelombang segitiga 9. dll Bentuk gelombang lainnya merupakan gabungan sinyal dari fungsi step, sinusoida dan eksponensial. Untuk sinyal eksponensial secara praktis akan menuju asimtotik setelah berdurasi 5 × Tc , dengan TC adalah time constant (TC = RC) yang berarti adalah waktu yang diperlukan oleh suatu sinyal untuk berkurang hingga 1 e dari sinyal maksimumnya, dengan e adalah bilangan natural (e = 2,7182828…). Sinyal periodik

Untuk merepresentasi besaran sinyal periodik antara interval waktu 0 < t < T , parameter yang seringkali digunakan dalam satu observasi adalah: 1. Nilai peak:

V p = max { v(t ) }

2. Nilai peak to peak:

V pp = max {v(t )} − min {v(t )} T

3. Nilai rata-rata:

VAVE

1 = ∫ v(t )dt T0 T

4. Nilai root-mean-square VRMS

1 2 = v t dt ( ) [ ] T ∫0

5. Daya rata-rata:

2 VRMS = R

PAVE

6. frequensi


FISIKA FMIPA UI



Hal: 53

7. fasa REPRESENTASI BILANGAN KOMPLEKS

Imajiner

Untuk menyatakan sinyal periodik sinusoidal seringkali dinyatakan dalam bilangan kompleks A = x + j y, dengan x dan y adalah bilangan real dan j = √-1 (bilangan imajiner). Secara visual dapat dinyatakan dalam diagram phasor, seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

? R eal

Gambar 3, Representasi bilangan kompleks A = x + j y = A (cos φ + j sin φ)

atau dalam representasi Euler A = (x2 + y2)1/2 ejφ = A ejφ e jφ = cos φ + j sin φ

dengan

( jφ ) 2 ( jφ )3 ( jφ ) 4 e = 1 + jφ + + + +" 2! 3! 4! jφ

⎛ φ2 φ4 ⎞ e = ⎜1 − + − " ⎟ + 2! 4! ⎝ ⎠ jφ

Artinya

⎛ ⎞ φ3 φ5 j ⎜φ − + − "⎟ 3! 5! ⎝ ⎠

cos φ = Re ( e jφ )

sin φ = Im ( e jφ )


FISIKA FMIPA UI



Hal: 54

Representasi ini dapat dinyatakan dengan bentuk polar atau eksponensial yaitu A = A∠φ

dengan:

A = (x2 + y2)1/2 y φ = tan −1 x

Dari besaran bilangan kompleks A = Aejφ dinyatakan garis radial seperti pada Gambar 3, jika garis tadi berotasi dengan kecepatan sudut ω, maka fungsi kompleks menjadi: A = A ej(ωt+φ)

Areal = A cos (ωt + φ) Aimag = A sin (ωt + φ) Kedua besaran tsb dipergunakan untuk mewakili besaran sinusoida, namun biasanya komponen real lebih umum dipergunakan. Representasi Sinusoida

Sembarang sinyal periodik dapat digantikan menjadi kombinasi linear dari sinyal sinusoidal, dalam representasi Fourier dinyatakan sebagai: ∞

f (t ) = ∑ Ai e jωit , −∞


FISIKA FMIPA UI



Hal: 55

dengan Ai dan ωi adalah masing-masing amplitudo dan frekuensi dari sinyal sembarang tsb. Misal suatu sinyal arus sinusoida pada frekuensi tertentu dinyatakan dalam bentuk: i = Io cos (ωt + φ) Hal ini menunjukkan bahwa sinyal arus sinusoida periodik memiliki 3 parameter yaitu: ampltiduo Io, frekuensi ω, dan fasa φ. Namun dari ketiga parameter tsb, dapat direduksi hingga menjadi dua parameter saja, yaitu Io dan φ. Reduksi dari tiga parameter menjadi dua parameter, karena pada saat analisa hanya menganalisa pada frekuensi tertentu saja, dan besaran frekuensi itu tak berubah sehingga besaran frekuensi dapat diabaikan terlebih dahulu. Sebagai contoh pada penjumlahan dua sinyal AC (i1 dan i2) dari frekuensi yang sama pada satu titik simpul A akan menghasilkan arus listrik i3 dengan frekuensi yang sama pula, seperti ditunjukkan berikut:

i1

i2

A i3

Gambar 4, Penjumlahan arus i3 = i1 + i2 = I1 cos (ωt + φ1) + I2 cos (ωt + φ2) = I3 cos (ωt + φ3) Terlihat bahwa frekuensi sinyal arus listrik i3 tetap tak berubah, sehingga besaran AC dapat dinyatakan dengan dua parameter


FISIKA FMIPA UI



Hal: 56

saja, yaitu amplitudo dan fasa. Dalam notasi phasor dituliskan sebagai i3 = I 3e jφ3 . REPRESENTASI PHASOR

Suatu tegangan sesaat dinyatakan sebagai fungsi sinusoida yaitu : v(t) = Vm cos (ωt +φ) = V√2 cos (ωt +φ) dengan

Vm : amplitudo tegangan

V : tegangan efektif Besaran v(t) tersebut dinyatakan sebagai komponen real dari suatu fungsi kompleks yaitu: v(t) = Re {Vm ej(ωt+φ)} = Re { (Vejφ) (√2 ejωt) } Terlihat ada dua komponen, yaitu komponen konstanta dan komponen fungsi waktu. Komponen konstanta dinyatakan dalam phasor V disebut transformasi tegangan v(t) sehingga : V = V ejφ = V∠φ.

Seperti dijelaskan sebelumnya besaran ω tidak dimasukkan pada saat menganalisa, namun baru diperhitungkan bila diperlukan, yaitu pada saat untuk menyatakan hasil akhir. Contoh:

Arus listrik dinyatakan sebagai i(t) = 2 sin ( 100t + π/6), hendak dinyatakan dalam repersentasi phasor. Karena definisi phasor menggunakan fungsi cosinus, persamaan arus tsb diubah menjadi: i = 2 cos (100t + π/6 - π/2) = 2 cos (100t - π/3) atau dalam representasi phasor I = √2 e-j(π/3) = √2∠-60o.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 57

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Dua bilangan kompleks A dan Z dinyatakan sebagai: A = a + j b = A ejα = A∠α Z = x + j y = Z ejβ = Z∠β Kesamaan

Besaran kompleks A dan Z sama jika a = x dan b = y Penjumlahan A + Z = (a + x) + j (b + y) A - Z = (a - x) + j (b - y)

Dalam bentuk polar operasi penjumlahan tidak menyenangkan, berbeda dengan bentuk kartesia seperti di atas. Perkalian

Dalam bentuk polar operasi ini jauh lebih menyenangkan, yaitu: A Z = (A ejα) (Z ejβ) = AZ ej(α+β) = AZ∠(α+β)

Namun jika dinyatakan dalam bentuk kartesia A Z = (a + j b) (x + j y) = (ax - by) + j (bx - az) Pembagian

Dalam bentuk polar: A Ae jα A = = ∠(α − β ) Z Ze jβ Z


FISIKA FMIPA UI



Hal: 58

Dalam bentuk kartesia A a + jb x − jy (ax + by ) + j (bx − ay ) × = = Z x + jy x − jy x2 + y2

Pangkat dan Akar An = (A ejα)n = An ejnα =An ∠nα n

1

Α = A n = (A ejα)1/n = A1/n ejα/n = A1/n ∠α/n

Contoh 1

Hitung i3 =i1 + i2, jika ii = 3 cos ωt dan i2 = - 4 sin ωt, kedua besaran tsb dinyatakan dalam satuan ampere Jawab:

i1 = 3 cos ωt = 1,5√2 ej0

Æ x1 = 1,5√2; y1 = 0

i2 = - 4 sin ωt = 4 cos (ωt + π/2) = 2√2 ejπ/2 Æ x2 = 0; y2 = 2√2 Diperoleh I3 = 2,5√2 ∠I3 dengan

∠I3 = tan-1 4/3

Sehingga i3 = I3 cos (ωt +∠I3 ) I3 = 2,5√2 √2 A = 5 A artinya i3 = 5 cos (ωt + 53o) A Contoh 2:

Carilah representasi phasor untuk bentuk gelombang: v1(t) = cos ωt, v2(t) = - 2 sin ωt, v3 = - 3 cos ωt dan v4 = 4 sin ωt. Hitung : v1(t) + v2(t)


FISIKA FMIPA UI



Hal: 59

v3(t) + v4(t) Jawab:

Gunakan relasi cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β: Untuk v1 = cos (ωt) = cos (ωt+0) V1 = ½√2 ej0 = 0,5√2 cos 0o + j 0,5√2 sin 0o = 0,5√2 + 0 j

Untuk v2 = - 2 sin ωt = 2 cos (ωt + 90o) V2 = √2 ej90 = √2 cos 90o + j √2 sin 90o = 0 + √2 j

Untuk v3 = - 3 cos ωt = 3 cos (ωt + 180o) V3 =1,5√2 ej180 = 1,5√2 cos 180o + j 1,5√2 sin 180o

= - 1,5√2 + 0 j Untuk v4 = 4 sin ωt = 4 cos (ωt + 270o) V4 = 2√2 ej270 = 2√2 cos 270o + j 2√2 sin 270o = 0 - 2√2 j

Diperoleh: a. V1 + V2 = 0,5√2 + √2 j = √5 ∠tan-1 3

atau v1 + v2 = √10 cos (ωt + tan-1 3) b. V3 + V4 = -1,5√2 - 2√2 j = 2,5√2 ∠307o

atau v3 + v4 = 5 cos (ωt + 307o)

Contoh 3 :

Diketahui ZA = 3 ∠0o, ZB = 4 ∠90o dan ZC = 3 ∠-90o, tentukan Z11, Z12, Z21 dan Z22 dari parameter-Z untuk rangkaian umum dua-port, seperti pada Gambar 5.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 60

I1

ZA

I2

ZB ZC

V1

V2

Gambar 5, Rangkaian T Parameter dua port model-Z dinyatakan sebagai: V1 = Z11 I1 + Z12 I2 V2 = Z21 I1 + Z22 I2 Atau dalam representasi matriks: ⎛ V1 ⎞ ⎛ Z11 ⎜V ⎟ = ⎜ Z ⎝ 2 ⎠ ⎝ 21

Z12 ⎞ ⎛ I1 ⎞ Z 22 ⎟⎠ ⎜⎝ I 2 ⎟⎠

Indeks 1 menunjukkan input dan 2 menunjukkan output. Diketahui V V V V , Z12 = 1 , Z 21 = 2 dan Z 22 = 2 . bahwa Z11 = 1 I1 I =0 I 2 I =0 I1 I =0 I 2 I =0 2

1

2

1

Jawab:

Dari parameter dua port tadi, diperoleh nilai Z11, Z12, Z21 dan Z22 adalah : Pada saat I 2 = 0 , tegangan V1 = I1 ( Z A + Z C ) Æ Z11 = ZA + ZC Z11 = 3 ∠0o + 3 ∠-90o = 3√2 ∠-45o Pada saat I1 = 0 , tegangan V1 = I 2 Z C Æ Z12 = ZC = 3 ∠90o Pada saat I 2 = 0 , tegangan V2 = I1Z C Æ Z21 = ZC = 3 ∠90o Pada saat I1 = 0 , tegangan V2 = I 2 ( Z B + Z C ) Æ Z22 = ZB+ ZC


FISIKA FMIPA UI



Hal: 61

Z22 = 4 ∠90o + 3 ∠-90o = 1 ∠90o

Z22

ZB

ZC

Z1 1

Z12=Z21

ZA

IMPEDANSI

Ada tiga komponen pasif yang dibahas di sini yaitu R, L dan C. Resistif

Dalam sinyal DC hukum Ohm dinyatakan sebagai V = R I , demikian pula untuk sinyal AC untuk hambatan ohmik ideal hukum Ohm tetap berlaku, yaitu: v(t ) = Ri (t )

dengan nilai R konstan terhadap frekuensi. Pembahasan berkaitan dengan hambatan telah diberikan pada bab sebelumnya. Kapasitif

Kapasitor dipergunakan untuk menyimpan energi listrik. Konstruksi dasar kapasitor disusun atas dua buah plat metal sejajar, di antaranya diberi bahan dielektrik. Gambar berikut menujukkan konstruksi dasar kapasitor berikut dengan simbolnya.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 62

Gambar 6, Konstruksi dasar kapasitor (a) , simbol kapasitor (b) dan simbol kapasitor non polar (c) Kapasitansi C antara dua bidang permukaan didefinisikan sebagai: C= dengan:

Q V

V adalah beda potensial antara kedua permukaan bidang, Q adalah jumlah muatan positif yang terdistribusi di salah satu permukaan bidang tsb.

Sebuah plat datar bermuatan dengan kerapatan muatan σ , dan luas penampang A, muatan totalnya adalah Q = Aσ . Dengan menganggap luas penampang besar sekali A → ∞ dari hukum Gauss diperoleh: G G Q , sehingga medan listrik yang keluar dari plat ⋅ = 2 = E dA EA v∫

εo

bermuatan itu adalah E =


σ . 2ε o

FISIKA FMIPA UI



Hal: 63

Jika ada dua buah plat bermuatan, masing-masing kerapatan muatan yang sama namun berbeda jenis dipisahkan dengan jarak d, maka akan timbul beda potensial di antara plat bermuatan itu sebesar σd , karena masing-masing plat memberikan kontribusi V = Ed =

εo

muatan sebesar

σ , sehingga: 2ε o

o total medan listriknya adalah E = o kapasitansinya adalah C =

σ εo

Q εo A = V d

Rating kapasitor dalam rentang 10 V hingga 104 V, dengan nilai pF (10-12 F) hingga dalam orde F. Seringkali menggunakan kode warna sama seperti pada hambatan, namun kadang pakai kode bilangan dengan 3 digit, misalnya 103 artinya 10 × 103 pF = 104 pF = 0.01μF , sedang untuk 223 artinya 22 × 103 pF = 224 pF = 0.022μF Kapasitor terbuat dari keramik, mylar, mika, tantalum, dan elektrolit dengan karakteristik ditunjukkan sbb: Bahan

Rentang

Keterangan

Keramik

1 pF – 1 μF

murah, akurasi rendah

Mylar

0.001μF – 100 μF

murah, akurasinya keramik

Mika

1 pF – 10,000 pF

kualitasnya lebih baik

Tantalum

0.1 μF – 1000 μF

akurasi rendah, polar (tak dapat digunakan pada sembarang rangkaian)

Elektrolit

0.1 μF – 1 F

tidak akurat dan polar


FISIKA FMIPA UI

lebih

baik

dari



Hal: 64

Kapasitor juga memiliki kapasitor variabel dengan simbol

Nilai C pada kapasitor variabel menunjukkan nilai maksimumnya. Kapasitor dalam rangkaian AC

Sebuah kapasitor dihubungkan dengan sumber tegangan AC seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Relasi antara tegangan dan arus dari rangkaian di atas adalah : dv 1 dQ 1 = = i dt C dt C

Dengan pemberian tegangan AC juga akan terjadi arus AC, untuk keadaan steady seringkali digunakan besaran reaktansi kapasitif XC, pada kapasitor berlaku : v( t ) = X C i (t ) =

dengan:

1

jω C

i (t ) ,

ω = 2 πf, f = frekuensi dalam hertz

C : kapasitas dari kapasitor dalam farad. Untuk tegangan DC atau tegangan yang invarian terhadap waktu (steady state) arus yang mengalir di kapasitor sama dengan nol, sedangkan untuk tegangan AC atau tegangan yang varian terhadap


FISIKA FMIPA UI



Hal: 65

waktu arus yang mengalir di kapasitor sebanding dengan perubahan tegangan terhadap waktu atau secara matematik dinyatakan sebagai: Dengan menggunakan relasi: Q = CV i=

dq (t ) dv(t ) =C dt dt

Dengan menggunakan representasi variabel kompleks:

vc = Re [ Vc ejωt ] ic = C

dVc = Re [ jωC Vc ejωt ] = Re [ Ic ejωt ] dt

Ic = jωC Vc Atau VC =

1 Ic jωC

Dengan demikian:

XC =

1 Æ reaktansi kapasitif jωC

Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa:

1. Untuk besaran Ic dan Vc adalah besaran bilangan kompleks, nilai XC mengecil terhadap membesarnya frekuensi (XC berbanding terbalik dengan frekuensi). 2. Tegangan jatuh di kapasitor tidak dapat berubah sesaat jika arusnya finite. Hal ini dinyatakan dalam persamaan t 1 untuk i(t) finite, berlaku: v(t ) = ∫ i (t )dt + v(t1 ) , C t1 lim v(t ) = 0 + v(t1 ) . t →t1

3. Keadaan steady sering kali dapat didekati dengan t → ∞.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 66

Ada empat fungsi dasar kapasitor yang biasa digunakan dalam suatu rangkaian listrik: 1. Karena kapasitor dapat menyimpan energi, sehingga kapasitor dapat digunakan sebagai sumber arus atau tegangan (non ideal). 2. Karena kapasitor dapat melewatkan arus AC namun mem-blok arus DC, sehingga dapat digunakan untuk menghubungkan suatu rangkaian yang beroperasi pada level tegangan DC yang berbeda. 3. Sebuah kapasitor dan resistor yang dipasang secara seri akan membatasi arus, sehingga sinyal tegangan lancip (sharp) dapat diperhalus. 4. Pengisian (charging) ataupun pembuangan (discharging) kapasitor dengan arus konstan mengakibatkan slope tegangan dV I = = konstan. juga konstan, yaitu dt C Perhatikan:

1. Kapasitor elektrolit bersifat asimetrik dengan polaritas yang tidak dapat ditukar. 2. Rangkaian listrik real (non-ideal) selalu ada stray capacitance, arus bocor dan kopling induktif pada frekuensi tinggi. Æ Untuk menganalisa problem ini biasanya diabaikan. 3. Kapasitor tidak bisa menyimpan energi secara terus menerus (indefinite), karena bahan dieletrik yang dipakai bukan bahan insulator sempurna. 4. Beda potensial yang terdapat di antara plat kapasitor masih ada walaupun sistem telah dimatikan! Buanglah energi yang tersimpan di kapasitor terlebih dahulu, sebelum memeriksa rangkaian.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 67

Rating tegangan

Bahan dielektrik yang mengisi antara dua plat kapasitor, bisa sangat tipis dengan tujuan untuk mendapatkan nilai kapasitansi yang besar. Namun perlu diingat bahwa dengan pemberian beda potensial antara kedua plat akan akan merusak bahan dielektrik yang berakibat hubung singkat antara kedua plat kapasitor tsb. Kemampuan bahan dielektrik tsb dikenal sebagai dielectric strength. Untuk memperbesar rating tegangan dapat dilakukan dengan menyusun kapasitor secara seri, namun kapasitansi-nya berkurang. Induktif

Dalam suatu loop kawat tertutup yang dialiri arus I, menurut Ampere berlaku: G G B v∫ ⋅ dl = μo NI

Hal ini menunjukkan bahwa medan magnet dari lilitan kawat yang dialiri listrik besarnya adalah: B = μo nI , N dengan n : jumlah lilitan per-satuan panjang ⎛⎜ n = ⎞⎟ . ⎝

L⎠

Jumlah garis gaya magnet yang melewati lilitan kawat itu adalah: G G Φ = v∫ B ⋅ dA


FISIKA FMIPA UI



Hal: 68

Induktansi dari suatu loop didefinisikan sebagai: L =

Φ BA μo A , = = I I 2π r

sedangkan hubungan tegangan dengan arus listrik pada induktor dinyatakan dari hukum Henry-Faraday, yaitu:

VL = − L

di , dt

tanda minus menunjukkan bahwa potensial listrik berlawanan dengan perubahan arus. Dengan L adalah induktansi lilitan, satuannya adalah henry (H). Satuan yang lebih umum digunakan adalah μH atau mH. Dari persamaan hukum Henry-Faraday dapat diasosiasikan bahwa persamaan yang berlaku pada kapasitor dapat digantikan juga untuk induktor, dengan mengganti C dengan L dan saling tukar i(t) dan v(t). Artinya bahwa induktor berkecenderungan memperhalus perubahan arus, sama seperti pada kapasitor akan memperhalus perubahan tegangan. Namun perlu diingat bahwa untuk arus konstan (DC) tidak ada tegangan induksi. INDUKTOR DALAM RANGKAIAN AC

Perhatikan rangkaian berikut ini yang terdiri atas sebuah induktor dihubungkan dengan sumber tegangan AC.

Relasi antara arus dan tegangan dari rangkaian di atas adalah:

v−L


di =0 dt

FISIKA FMIPA UI



Hal: 69

atau ∫ vdt = Li . Dengan memanfaatkan relasi tegangan dan arus AC, yaitu: v vdt = = Li , sehingga v = jω Li . Dari hukum Ohm besaran ∫ jω X L = jω L dapat dikatakan sebagai reaktansi induktif (XL sebanding dengan frekuensi). Nilai XL membesar terhadap pertambahan frekuensi. Namun perlu diingat bahwa induktor tidak ada yang benar-benar induktor murni, melainkan selalu ada hambatan pada lilitan kawat dan juga ada kapasitansi diantara lilitan kawat tsb Dengan menggunakan representasi variabel kompleks , dari :

v=L

di , dt

dengan iL = Re [IL ejωt], diperoleh vL = Re [j ω L IL ejωt]. Hasil ini sama seperti yang diperoleh sebelumnya, yaitu X L = jω L . Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan untuk memilih induktor (seringkali juga disebut choke), diantaranya adalah: 1. nilai induktasinya dapat bernilai 1 μH hingga 1 H, menggunakan kode warna sama seperti hambatan (namun dalam μH) 2. nilai hambatan DC dari coil tsb, 3. nilai induktansi dapat diperbesar dengan menyisipkan inti besi atau ferrite yang permeabilitasnya besar 4. arus maksimum yang diperkenankan dari coil tsb, 5. tegangan breakdown antara coil dengan frame, 6. rentang frekuensi yang diperkenankan.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 70

Perhatikan bahwa pada rangkaian arus DC, kapasitor akan berkelakuan sebagai rangkaian-open, sedangkan pada induktor akan berkelakuan sebagai rangkaian-short. RANGKAIAN RC SERI

Kapasitor dihubungkan seri dengan hambatan seperti pada gambar berikut. C

vs(t)

i

R

Gambar 7, Rangkaian RC seri Berdasarkan KVL untuk rangkaian AC, berlaku:

Σ emf - Σ IZ = 0 Vs -

1 I jωC c

- Ic R = 0

1

⇒ Ic =

Vs = Ic [ jωC + R]

Vs R+

1 jωC

Contoh untuk Vs = 5 cos ωt volt ; R = 2 Ω dan Zc = 2 Ω, diperoleh:

Ic =

Vs 1 R+ jωC

=

Vs 1 R− j ωC

=

5 2 − j2

=

5 2 2 ∠−π / 4

= 1,25 √2 ∠π/4

Jadi untuk vs = 5√2 cos ωt is = 2,5 cos (ωt + π/4)


FISIKA FMIPA UI



Hal: 71

Rangkaian RC seri tanpa sumber seperti ditunjukkan pada Gambar 8, dengan menganggap bahwa kapasitor sudah terisi.

R

C

Gambar 8, Rangkaian RC tanpa sumber. Dengan menggunakan hukum Kirchoff, Gambar 8 dapat dinyatakan dV dV d sebagai ∑Vi = 0 Æ C + R = 0 , dt dt dt I dI + R = 0 . Solusi persamaan differensial ini adalah C dt − t / RC I (t ) = I o e

atau

dengan

I o = I (t = 0) adalah arus awal, yaitu: I o =

Vo , R

Vo = V (t = 0) adalah tegangan awal,

τ = RC adalah konstanta waktu. Terlihat bahwa untuk waktu t → ∞ , arus I (t ) → 0 . Rangkaian RL seri

Dengan mengganti kapasitor dengan induktor pada rangkaian Gambar 7, dan dengan mengikuti KVL, diperoleh : V = I R + I jωL = I (R + jω). Sehingga impedansi total untuk RL seri adalah: Z = R +jωL = Z∠tan-1 (ωL/R).


FISIKA FMIPA UI



Hal: 72

Rangkaian LC

Perhatikan rangkaian LC berikut ini:

L

C

Berdasarkan hukum Kirchoff, berlaku: VL + VC = 0 . melakukan subsitusi untuk VL dan VC , diperoleh: L

dengan menggunakan I =

Dengan

dI Q + =0 dt C

dQ , diperoleh persamaan atas menjadi: dt d 2Q Q L 2 + =0 dt C

Persamaan ini adalah persamaan differensial orde dua, dengan salah satu solusi umum berbentuk:

Q = Qo cos(ωt + φ ) , dengan Qo , ω dan φ masing-masing adalah muatan total mula-mula, frekuensi sudut dan sudut fasa. Dengan menggunakan syarat batas Qo = Qmax , diperoleh tegangan dan arus pada kapasitor adalah: Q(t ) = Qo cos ωr t dQ = −ωr Qo sin ωr t = − I o cos(ωr t + π / 2) dt Q(t ) Qo = cos ωr t = Vo cos ωr t V (t ) = C C I (t ) =


FISIKA FMIPA UI



dengan ωr = 1

LC

Hal: 73

adalah frekuensi sudut alami.

Perhatikan bahwa pada rangkaian LC, arus yang mengalir pada rangkaian itu berosilasi, karena energi yang tersimpan di rangkaian tsb akan digunakan bersama-sama secara berulang antara kapasitor dan induktor. Sedangkan pada rangkaian RL dan RC berupa arus transien, energi yang tersimpan di induktor atau di kapasitor akan dibuang ke hambatan. Impedansi total dari komponen LC tsb adalah: −1

⎛ 1 (1 jωC )( jωC ) = − j L C Z L ZC 1 ⎞ + = = Z =⎜ ⎟ Z L + Z C (1 jωC ) + ( jωC ) ωC − 1 ωC ⎝ Z L ZC ⎠ Z=

jω L 1 − ω 2 LC

Pada saat ω = 1

LC , diperoleh Z → ∞ .

Rangkaian RLC seri L

R

C

Dengan menerapkan hukum Kirchoff: di Q + Ri + = 0 dt C d 2Q dQ Q L 2 +R + =0 dt dt C L


FISIKA FMIPA UI



Hal: 74

Solusi persamaan ini tidak hanya bergantung pada syarat awal melainkan juga dengan nilai relatif dari komponen masing-masing. Ada tiga kemungkinan solusi, yaitu: 1. Under damped ( R 2 < 4 L C ) Æ Ae − t /τ cos (ωt + φ ) 2. Over damped ( R 2 > 4 L C ) Æ A1e − t /τ1 + A2 e − t /τ 2 3. Critically damped ( R 2 = 4 L C ) Æ ( A1 + A2 )e − t /τ

Rangkaian RLC paralel iR

iL

iC

v(t)

i

Gambar 9, Rangkaian RLC paralel Jika komponen R, L dan C dipasang paralel dengan sumber tegangan V, seperti ditunjukkan pada Gambar 9. Arus yang mengalir pada masing-masing komponen adalah : IR =

V V , IL = dan I C = jωCV . R jω L

Sehingga arus total adalah:

I=

V V + + jωCV , R jω L

impedansi dapat dicari dari konduktansi total Y=

1 1 1 = + + jωC . Z R jω L


FISIKA FMIPA UI



Hal: 75

Contoh: Jika pada rangkaian RLC paralel menggunakan sumber tegangan 12√2 cos (1000t + π/4) volt dan masing masing komponen adalah 10 Ω, 30 mH dan 100 μF, tentukan arus total yang mengalir dihitung dengan cara menghitung arus yang mengalir di masing-masing komponen. (tegangan efektif = 12 volt)

Jawab Dengan V = 12∠45o IR =

V = 1/10 x 12∠45o = 1,2∠45o R

= 0,6√2 + j 0,6√2

IL =

V = 12∠45o : 30∠90o = 0,4∠-45o jω L

= 0,2√2 - j 0,2√2

I C = jωCV =0,1∠90o x 12∠45o = 1,2∠135o

= -0,6√2 + j 0,6√2

Sehingga Itotal = 0,2√2 + j = 1,08∠tan-1 2,5√2

= 1,08∠74,2o

Jadi i(t) = 1,08√2 cos (1000t + 74,2o) ampere.

Contoh Rangkaian LC paralel dioperasikan pada frekuensi dibawah frekuensi resonansinya ωo = 1 LC . Apakah bersifat induktif atau kapasitif?

Jawab:


FISIKA FMIPA UI



Hal: 76

Frekuensi resonansi rangkaian LC adalah ωo = 1/ LC . Impedansi 1 1 1 − ω 2 LC = + jω C = , atau rangkaian LC paralel adalah Z jω L jω L jω L jω L . = Z= 1 − ω 2 LC 1 − ω 2 / ωo 2 Untuk frekuensi dibawah frekuensi resonansi, penyebutnya selalu positif sehingga rangkaian LC tersebut bersifat induktif

Contoh: Rangkaian berikut ini diberi tegangan bolak balik dengan amplitudo Vo dan frekuensi ω = 1/ LC . Tentukan: a. arus yang mengalir di hambatan dalam L, R, C, dan Vo. b. beda fasa antara arus dan tegangan. C

L

R V

Jawab: Anggap sumber ideal (tidak ada informasi hambatan dalamnya). Impedansi rangkaian tsb adalah: 1 R R − jω CR 2 Z = jω L + = jω L + = jω L + 1 R + jω C 1 + jω CR 1 + ω 2 C 2 R2 ⎛ R ω CR 2 ⎞ Z= + j ⎜ω L − 1 + ω 2C 2 R 2 1 + ω 2C 2 R 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ω L + ω 3 LC 2 R 2 − ω CR 2 ⎞ R + j⎜ Z= ⎟ 1 + ω 2C 2 R 2 1 + ω 2C 2 R 2 ⎝ ⎠


FISIKA FMIPA UI



Hal: 77

dengan memanfaatkan ω = 1/ LC , diperoleh impedansi adalah: ⎛ L2 ⎞ 1 RL Z= + j⎜ 2 ⎟ L + CR 2 ⎝ L + CR ⎠ LC

Arus total yang mengalir di rangkaian tsb adalah: I tot = Sedangkan arus 1 iR = × I tot 1 + jω CR iR =

1 × 1 + jω CR

yang

mengalir

di

V

V Z

hambatan

=

adalah:

1 V × 1 + ja b + jc

⎛ L2 ⎞ 1 RL + j⎜ 2 ⎟ L + CR 2 ⎝ L + CR ⎠ LC V {(b − ac) − j (c + ab)} V = = (b − ac) + j (c + ab) (b − ac) 2 + (c + ab) 2

ω L2 RL , c= dengan a = ω CR, b = L + CR 2 L + CR 2 Dengan demikian beda fasa antara tegangan sumber dan arus di c + ab hambatan sebesar δ = tan −1 b − ac Konsep Penguatan

Penguatan adalah rasio dari tegangan (arus) output dengan tegangan (arus) input. Untuk memahami konsep penguatan, perhatikan gambar dua port berikut ini.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 78

Ii

Io

C

B

AC

Vi

Vo

E

E

Gambar 10, Rangkaian dua port Penguatan tegangan

Av =

Vo Vi

Penguatan arus

Ai =

Io Ii

Penguatan daya

Ap =

Po Vo I o = = Av Ai Pi Vi I i

(Perhatikan Vo, Vi, Io dan Ii adalah besaran rms). Seringkali satuan penguatan adalah dB (desibel). Untuk penguatan tegangan dan arus: AvdB = 10log Av AidB = 10log Ai

Dan penguatan daya:

ApdB = 10log Ap

Hambatan dalam input

Ri =

Hambatan dalam output

Ro =

Vi Ii Vo (max) Io

;

Vo(max) : tegangan output pada saat dalam keadaan open,


FISIKA FMIPA UI



Hal: 79

Io(max) : arus pada saat RL di short. Daya yang diberikan oleh amplifier secara maksimum jika RL = Ro, yaitu sebesar Po = I o 2 RL , atau daya maksimum sebesar : 2

Po (max)

Vo (max) 2 ⎛ Vo (max) ⎞ =⎜ ⎟ Ro = R 2 4 Ro ⎝ o ⎠

Penguatan dalam dB Po Vo 2 / RL Ap = 10log = 10log 2 Pi Vi / Ri =20log

Vo R − 10log L Vi R

i umumnya diabaikan

Po I o 2 RL V R atau Ap = 10log = 10log 2 = 20log o − 10log L Pi I i Ri Vi R

i diabaikan

Sehingga Av = 20log

Vo Vi

Ai = 20log

Io Ii

Standarisasi Untuk daya dalam telekomunikasi seringkali menggunakan besaran db(m) yaitu menggunakan standard 1 mW = 0 dB(m).

Contoh : untuk daya 200 mW


Ap = 10 log 200/1 = 26 dB(m)

FISIKA FMIPA UI



Hal: 80

Untuk tegangan dipakai standard R = 600 Ω dalam hambatan terminal menggunakan patokkan tegangan standar sebesar 0,775 volt V = P × R = 1mW × 600Ω .

(

)

Misalnya, untuk tegangan 5 V, Ap = 20log

5 = 16, 2dB(V) 0,775

Contoh: Perhatikan rangkaian berikut ini. A B

C

D

Tentukan: a. fungsi transfer dari rangkaian ini, H ( s ) =

VD Vi

b. karakteristik frekuensi dari rangkaian ini. c. penguatan tegangan K agar faktor damping ζ = 1/√2.

Jawab: a. Dengan mengganti R dengan konduktansi Y =

1 , diperoleh pada : R

titik cabang B : (VB – VA) Y + (VB – VC) Y + (VB – VD) Cs = 0 - Y VA + (2 G + Cs) VB – Y VC – Cs VD = 0 titik cabang C : (VC – VB) Y + VC Cs = 0


FISIKA FMIPA UI



Hal: 81

- Y VB + (G + Cs) VC = 0 VD = K VC = V2

dengan

VA = V1 Dari kedua titik cabang tsb digabung diperoleh: -Y V1 + [(2Y + Cs) (Y +Cs)/Y – (Y + KCs)] VC = 0 atau [(RCs)2 + (3 – K) RCs + 1] VC = V1 Sehingga fungsi transfer menjadi : H ( s) =

VD KVC K = = V1 V1 ( RCs ) 2 + (3 − K ) RCs + 1

b. Dari fungsi transfer ini terlihat bahwa: |H(0)| = K Æ LPF dengan : frekuensi cut-off ωo2 = 1/RC, faktor damping ζ = (3 – K)/2 dengan pengutan

Æ dapat diatur tergantung

c. Agar ζ = 1/√2 Æ ( 3 – K ) = √2 Æ K = 1,29 Aplikasi lain dari kapasitor

Kapasitor dapat digunakan sebagai filter, rangkaian resonansi, diferensiator dan integrator. Disamping itu juga digunakan untuk by pass sinyal AC (mem-block sinyal DC) pem-filter-an sumber daya, pembangkit sinyal dan bentuk gelombang. By pass sinyal AC dengan memanfaatkan sifat impedansi yaitu impedansi kapasitor berkurang terhadap kenaikan frekuensi.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 82

Pem-filteran sumber daya: dasarnya adalah by pass sinyal AC. Umumnya sumber daya DC berasal dari sumber AC melewati suatu penyearahan dengan dioda, selanjutnya tegangan ripple dikurangi dengan menambahkan kapasitor yang bernilai besar ( ~ mF). Pembentukan sinyal dan gelombang: dasarnya adalah jika kapasitor diberi sumber arus konstan akan membentuk tegangan ramp atau gigi-gergaji. Selanjutnya dengan memanfaatkan rangkaian RC dipakai untuk membentuk rangkaian timing atau delay.


FISIKA FMIPA UI



Hal: 83

LATIHAN 1.

Arus listrik AC yang mengalir dalam rangkaian berikut ini dengan C = 0.25 μF dan R = 3 kΩ dan sumber tegangan V seperti gambar di bawah ini adalah : i = 0,005 cos (1000 π t)

(dalam satuan A)

V

R

C

a.

tuliskan representasi kompleks dari persamaan arus di atas

b.

hitung tegangan jaruh pada kapasitor VC dan tegangan jatuh pada hambatan VR

c.

gambarkan diagram phasor (dalam 1 gambar) untuk I, VC, VR dan V

d

tuliskan representasi kompleks dari V (amplitudo dan fasanya)

e

hitung beda fasa atara I dan VC serta I dan V.


FISIKA FMIPA UI


Simbul skematik sumber tegangan AC adalah:

Recommend Documents