SBÍRKA ÚLOH Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
ANTONÍN KEJZLAR
1963
Vydavatel: Vysoká škola strojní a textilní v Liberci Nakladatel: Státní nakladatelství technické literatury Praha Elektronické zpracování: Jan Mizerovský, SPŠ sdělovací techniky v Praze 1, Panská 3
Předmluva Deskriptivní geometrie patří mezi nejsnazší předměty pro toho, kdo dokonale porozuměl základním poznatkům; tomu, kdo tyto základní poznatky naprosto bezpečně nezvládl, se bude studium deskriptivní geometrie jevit neobyčejně obtížným. Už od prvních začátků je nutno osvojovat si všechny poznatky na základě plného porozumění. Prostorovou představivost, již má studium deskriptivní geometrie také pěstovat, cvičíme užíváním vhodných modelů, třebas i jen improvizovaných. Pohotovosti a utvrzení představivosti docílíme častým cvikem, tj. vyřešením značného množství úloh. S postupujícím rozvojem prostorové představivosti záměrně omezujeme používání modelů; vymodelování složitějších prostorových situací je ostatně často velmi obtížné a řešení se tu zakládá na dobré představě i správném logickém usuzování. Velmi cenným cvičením je slovní popisování rozboru i postupu řešení. Dovede-li studující úlohu stručně a výstižně vysvětlit, je to velkou zárukou, že věci skutečně rozumí. Výmluvu, že „to umím, jen to nedovedu říci“ nutno zamítnout jako zcela lichou. Délkové rozměry jsou uváděny v centimetrech (v původním textu byly uváděny v milimetrech). Kladné souřadnice x nanášíme na osu x vpravo od počátku, kladné souřadnice y pod osu x a kladné souřadnice z nad osu x. Na konci některých úloh jsou v kulaté závorce uvedena čtyři čísla, jež informují o tom, kolik místa je třeba nad počátkem, kolik nalevo i napravo od počátku a kolik pod počátkem. U příkladů z axonometrie tato čtyři čísla informují o potřebě místa vzhledem k vrcholu X axonometrického stopního trojúhelníka. Některé obtížnější úlohy mají na konci oddílu pokyny k řešení. Takové příklady mají za číslem úlohy ♣. V některých příkladech je poloha bodů určena jen dvěma souřadnicemi, jak je obvyklé při určování polohy bodu v rovině. © Antonín Kejzlar, 1959 Sbírka obsahuje velmi kvalitní, metodicky promyšlený výběr úloh. Úloha deskriptivní geometrie pro tvorbu technického myšlení při výchově budoucích techniků je nezastupitelná. Toto jsou důvody, které mne vedly k přepisu sbírky do elektronické podoby. Pan profesor Kejzlar patřil mezi nejlepší učitele, s nimiž jsem se jako žák setkal. Budu rád, pokud jeho práce, i po tolika letech od svého prvého vydání, bude inspirací pro studenty, které baví geometrie. Úlohy sbírky lze využít k obohacení výuky. Kapitoly, které přesahují rámec středoškolské výuky mohou být podnětné pro volbu dlouhodobých seminárních prací. Proti původnímu vydání jsem délkové rozměry převedl z mm na centimetry a upravil jsem číslování (nikoli řazení) úloh. Děkuji svým žákům Jakubu Arnoldovi a Ondřeji Dyrkovi, studentům technického lycea, za pomoc při pečlivém přepisu této sbírky. Jan Mizerovský, 2006
2
AI.
Geometrické konstrukce
Planimetrie Příklady uvedené v tomto oddíle je třeba rozřešit všechny a k obtížnějším úlohám se po čase ještě jednou nebo dvakrát vrátit. Vyskytnou se jako součást řešení některých úloh o kružnici, o ploše kulové a j.
A - I. 1.
Sestrojte různoběžník daný stranami a, b, c a vnitřními úhly α, β.
A - I. 2.
Jsou dány různoběžky a, b, c jdoucí bodem D. Sestrojte úsečku AB tak, aby měla délku d, aby bod A ležel na přímce a a bod B na přímce b a aby AB bylo rovnoběžno s přímkou c.
A - I. 3.
♣ Daný trojúhelník proměňte na rovnoplochý trojúhelník rovnostranný.
A - I. 4.
♣ Uvnitř úhlu sevřeného polopřímkami a, b leží bod C. Bodem C veďte přímku tak, aby úsečka vyťatá na ní polopřímkami a, b byla bodem C půlena.
A - I. 5.
Zvolte úsečky a = 5, b = 4 tak, aby se protínaly ve vnitřních bodech a svíraly úhel asi 120°. Najděte body, z nichž je viděti úsečku a pod úhlem 60° a úsečku b pod úhlem 105°.
A - I. 6.
♣ Jsou dány různoběžky a, b a body C, D ležící uvnitř jednoho úhlu jimi vytvořeného. Narýsujte dráhu světelného paprsku, který vychází z bodu C, odráží se od přímky a i b a prochází bodem D.
A - I. 7.
Spojte daný bod A s nepřístupným průsečíkem přímek a, b.
A - I. 8.
♣ Ve čtyřúhelníku ABCD jsou protilehlé vrcholy A, C nepřístupné. Sestrojte úhlopříčku, jež těmito vrcholy prochází.
A - I. 9.
♣ Do dané kruhové výseče vepište čtverec.
A - I. 10.
♣ Dány jsou rovnoběžky a, b a bod C, který na žádné z nich neleží. Bodem C veďte přímku tak, aby rovnoběžky a, b na ní vytínaly úsečku dané délky.
A - I. 11.
♣ Jsou dány tři navzájem rovnoběžné přímky a, b, c a bod A ležící na přímce a. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrchol B ležel na přímce b a vrchol C na přímce c.
A - I. 12.
Sestrojte pravidelný a) pětiúhelník (desetiúhelník) vepsaný do kružnice daného poloměru ♣ b) pětiúhelník o dané straně.
A - I. 13.
Na přímce AB najděte bod C, aby platilo (ABC) = k, kde k je rovno 1,5 nebo -6; nebo -3.
A - I. 14.
Sestrojte úsečky: x =
abc , y = ab + cd , z = a 7 , kde a, b, c, d, e jsou úsečky de
dané délky.
A - I. 15.
Sestrojte trojúhelník, dáno-li a) a + b = 8, c = 5, γ = 60 D b) a − b = 3, c = 6, γ = 60 D . 3
A - I. 16.
Sestrojte nevyznačený střed narýsovaného kruhového oblouku.
A - I. 17.
♣ Kruhový oblouk má nedostupný střed. Ve zvoleném bodě tohoto oblouku sestrojte tečnu.
A - I. 18.
Sestrojte přímku jdoucí daným bodem A tak, aby protínala danou kružnici k(S; 4,5) tak, že délka tětivy měří d = 2,5 /SA = 7/.
A - I. 19.
Sestrojte kružnici o poloměru r = 12 tak, aby se dotýkala dané kružnice k(S; 6) a dané přímky p / střed S leží ve vzdálenosti ;8 od přímky p /.
A - I. 20.
Sestrojte společné tečny dvou daných kružnic a) leží-li jedna vně druhé; b) protínají-li se obě kružnice.
A - I. 21.
♣ Sestrojte kružnici tak, aby procházela bodem A a dotýkala se různoběžek b, c.
A - I. 22.
♣ Sestrojte kružnici tak, aby procházela danými body A, B a dotýkala se dané přímky m.
A - I. 23.
Sestrojte chordálu dvou daných kružnic, jež se neprotínají.
A - I. 24.
♣ Sestrojte kružnici, která se dotýká dané kružnice k a přímky t v bodě T.
A - I. 25.
♣ Sestrojte kružnici , která se dotýká daných přímek a, b a dané kružnice k.
A - I. 26.
♣ Sestrojte kružnici jdoucí danými body A, B a dotýkající se dané kružnice k.
Pokyny k řešení některých úloh: 3. Daný trojúhelník proměňte na rovnoplochý čtverec. Zvolený rovnostranný trojúhelník proměňte rovněž na rovnoplochý čtverec. Strany obou čtverců a jim odpovídajících rovnoplochých rovnostranných trojúhelníků jsou úměrné. 4. Bod C je průsečík úhlopříček rovnoběžníka, jehož jeden vrchol je společný bod polopřímek a, b a další vrcholy jsou průsečíky polopřímek a, b s hledanou přímkou. 6. Je-li C1 obraz bodu C podle osy souměrnosti a a D1 obraz bodu D podle osy b, leží na přímce C1D1 paprsek po prvním odrazu. 8. K trojúhelníku ABC sestrojte dva stejnolehlé trojúhelníky při středu stejnolehlosti ve vrcholu D. Vrcholy C1, C2 těchto stejnolehlých trojúhelníků leží na hledané úhlopříčce. 9. Užijte stejnolehlosti se středem totožným se středem kružnice. Čtverec může být do výseče vepsán tak, že na oblouku leží jeden nebo dva vrcholy čtverce. 10. Využijte rovnosti protilehlých stran rovnoběžníka. 11. Předpokládejme, že rovnoběžka b leží uvnitř přímého pásu vytvořeného rovnoběžkami a, c. Otočme hledaný trojúhelník ABC kolem A o 60°, takže vznikne trojúhelník AB1C1. Platí C = B1. Přímka b se otočí do polohy b1, kterou snadno sestrojíme. Bod C bude ležet tedy také na přímce b1. Je-li jiné uspořádání přímek a, b, c než předpokládáme, provádíme otáčení kolem vrcholu, jenž leží na přímce ležící uvnitř přímého pásu vytvořeného zbývajícími rovnoběžkami. 12. b) Existuje jednoduchá avšak méně známa konstrukce. Lze též použíti stejnolehlosti s pravidelným pětiúhelníkem vepsaným do zvolené kružnice. 4
19. Tětivy rovnoběžné s tečnou jsou půleny poloměrem jdoucím bodem dotyku. 21. Řešte pomocí stejnolehlosti hledané kružnice s libovolnou kružnicí, jež se dotýká daných různoběžek. Středem stejnolehlosti je průsečík daných různoběžek. 22. Určete průsečík C přímek AB, m. Pomocí mocnosti bodu C ke hledané kružnici najděte na přímce m bod dotyku. 24. Hledaná kružnice je stejnolehlá s kružnicí k, střed stejnolehlosti je v neznámém bodu dotyku obou kružnic. Odpovídá-li v této stejnolehlosti bod Tk na kružnici k danému bodu T, prochází přímka TTk hledaným středem stejnolehlosti. 25. Hledaná kružnice je stejnolehlá s kružnicí k podle středu, jímž je neznámý bod dotyku obou kružnic. Pár bodů v této stejnolehlosti sobě odpovídajících určí průsečík přímek a, b a průsečík s nimi sdružených tečen a1, b1 kružnice k. 26. Sestrojte libovolnou kružnici k1 jdoucí body A, B a protínající kružnici k. Spolu s hledanou kružnicí máme zde tři kružnice, jejichž potenční střed snadno sestrojíme. Tečna ve společném bodě kružnice k a kružnice hledané je zároveň jejich chordálou a pomocí potenčního středu ji snadno sestrojíme.
II.
Stereometrie Úlohy uvedené v tomto oddíle patří k základnímu učivu SŠ. Je třeba rozřešiti všechny úlohy, neboť se často vyskytují jako součást složitějších úloh. Řešení se provádí ústním vysvětlením postupu nebo symbolickým zápisem postupu, někdy náčrtem ve volném rovnoběžném promítání.
A - II. 1.
Daným bodem proložte rovinu rovnoběžnou se dvěma danými mimoběžkami.
A - II. 2.
Dány jsou dvě různoběžné roviny. Bodem, který neleží v žádné z nich, veďte přímku rovnoběžnou s oběma rovinami.
A - II. 3.
V dané rovině veďte daným bodem rovnoběžku s jinou danou rovinou.
A - II. 4.
Přímkou a, jež protíná různoběžné roviny β, γ veďte rovinu, jež protíná roviny β, γ v rovnoběžkách.
A - II. 5.
Dána je přímka p a rovina ρ, jež je různoběžná s přímkou p. Sestrojte úhel, který svírá přímka p s rovinou ρ.
A - II. 6.
V rovině ρ veďte bodem M přímku kolmou k dané přímce p, jež je různoběžná s rovinou ρ.
A - II. 7.
Je dána rovina ρ a přímka p s ní rovnoběžná. Daným bodem A, který neleží ani na přímce p ani v rovině ρ, veďte přímku a různoběžnou s přímkou p tak, aby úsečka vyťata na přímce a přímkou p a rovinou ρ měla danou délku d.
A - II. 8.
Jsou dány různoběžky a, b a přímka c s oběma mimoběžná. Dále je dána rovina ρ, jež není rovnoběžná se žádnou z těchto tří přímek. Sestrojte přímku d tak, aby protínala přímky a, b, c a byla rovnoběžná s rovinou ρ.
A - II. 9.
Jsou dány mimoběžky p, q. Sestrojte k nim příčku a) jdoucí daným bodem A b) mající daný směr s. 5
A - II. 10. Jsou dány mimoběžky a, b. Sestrojte jejich osu. A - II. 11. Co je geometrické místo bodů, které jsou stejně vzdáleny a) od tří bodů neležících na jediné přímce b) od tří rovin, jež mají společný právě jeden bod.
A - II. 12. Jsou dány body A, B a přímka c, jež jimi neprochází. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC s vrcholem C na přímce c tak, aby úsečka AB byla a) jeho základnou; b)jeho ramenem.
A - II. 13. Sestrojte úhel dvou daných rovin. A - II. 14. ♣ Sestrojte rovnoběžnostěn, jehož tři mimoběžné hrany leží na daných mimoběžkách a, b, c.
A - II. 15. ♣ Dány jsou mimoběžky a, b a rovina ρ. K daným mimoběžkám veďte příčku rovnoběžnou s rovinou ρ tak, aby s oběma mimoběžkami svírala stejné úhly.
A - II. 16. ♣ Sestrojte dvě shodné rotační plochy válcové, jež se vzájemně dotýkají a jejichž osy leží na daných mimoběžkách a, b.
A - II. 17. Jsou dány tři mimoběžky a, b, c. Sestrojte rotační válcovou plochu, jež obsahuje přímku a a dotýká se přímek b, c.
A - II. 18. ♣ Sestrojte plochu kulovou, znáte-li její 4 tečny, z nichž 3 procházejí jedním bodem.
A - II. 19. ♣ Sestrojte plochu kulovou, znáte-li tři její body a rovinu, jíž se má dotýkat. Pokyny k řešení některých úloh: 14. Jedna z hran hledaného rovnoběžnostěnu směru a je příčkou mimoběžek b, c; podobně to platí o dalších směrech. 15. Libovolným bodem veďte přímku a’, resp. b’ rovnoběžnou s přímkou a, resp. b. Kterákoli přímka ležící v rovině, jež převádí souměrností přímku a’ do přímky b’, svírá s přímkami a, b shodné úhly. 16. Poloměry válcových ploch jsou rovny polovině nejkratší příčky mimoběžných os válců. 20. Třemi tečnami vycházejícími z jednoho bodu je určena rotační plocha kuželová, jíž se hledaná plocha kulová dotýká. Libovolná plocha kulová vepsaná do této plochy kuželové je s hledanou kulovou plochou stejnolehlá. Rovina proložená společným bodem daných tří tečen a čtvrtou tečnou protne pomocnou i hledanou kulovou plochu v kružnicích, jež jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je v bodě společném daným třem tečnám). 21. Spojnice dvou daných bodů protne tečnou rovinu v bodě M. Pomocí mocnosti bodu M k ploše kulové určíme jedno geometrické místo bodů dotyku v dané rovině tečné. Totéž opakujeme pro spojnici jiné dvojice daných bodů a zjistíme bod dotyku na dané tečné rovině.
B-
Kuželosečky
V tomto oddíle jsou zahrnuty takové úlohy o kuželosečkách, jež lze řešit pomocí ohniskových definic kuželoseček. Kromě těchto definic je třeba umět sestrojit body kuželoseček, řešit úlohy o tečnách a o kružnicích (event. přímkách) vrcholových a řídicích. Při rýsování kuželoseček se používá vždy oskulačních kružnic ve vrcholech. 6
Úlohy o sestrojení kuželosečky je třeba vyřešit tak daleko, aby kuželosečka byla určena co nejjednodušeji (např. vrcholy).
B - I. 1.
K dané kuželosečce sestrojte tečny a) z daného bod; b) rovnoběžné s daným směrem.
B - I. 2.
♣ Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohniskem. Jejím středem prochází přímka p. Určete průsečíky přímky p s elipsou bez rýsování křivky.
B - I. 3.
Sestrojte elipsu, dáno-li: a) jeden hlavní a jeden vedlejší vrchol a délka poloosy; ♣ b) hlavní vrchol A, vedlejší vrchol C a délková výstřednost e; ♣ c) vedlejší vrchol C, ohnisko F1 a tečna t. d) oba hlavní vrcholy a jeden bod.
B - I. 4.
Sestrojte elipsu, znáte-li jedno její ohnisko F1 (-4,3; 4,6), délku hlavní osy 2a = 11 a dva body M(-3,7; 7,2), N(3,7; 7,2). (11; 6; 6; 0).
B - I. 5.
Sestrojte hyperbolu, dáno-li: a) přímka, na níž leží reálná osa, jedno ohnisko a jedna asymptota; b) ohnisko, jedna asymptota a směr druhé asymptoty; ♣ c) ohnisko, směry obou asymptot a tečna; d) obě asymptoty a bod; e) obě asymptoty a tečna.
B - I. 6.
♣ Hyperbola je dána oběma asymptotami a jedním bodem T. V bodě T sestrojte tečnu bez určení ohnisek hyperboly.
B - I. 7.
♣ Hyperbola je dána asymptotami a bodem M. Omezte její průměr, který leží v tom úhlu asymptot jako bod M.
B - I. 8.
♣ Sestrojte hyperbolu, znáte-li jednu její asymptotu a tři body.
B - I. 9.
Sestrojte parabolu, dáno-li: a) osa s ohniskem a jeden bod; b) osa s ohniskem a tečna; ♣ c) osa s ohniskem a normála; d) osa a tečna s bodem dotyku; e) osa, normála, délka parametru p; ♣ f) osa, tečna a délka parametru p; g) ohnisko, tečna a bod, který na dané tečně neleží; ♣ h) osa a dva body; i) řídicí přímka a dvě tečny; j) řídicí přímka, tečna a bod, který neleží na dané tečně; k) ohnisko a dva body; l) dvě tečny s body dotyku.
B - I. 10.
♣ Sestrojte parabolu, znáte-li směr osy, tečnu s bodem dotyku a a) další bod; b) další tečnu.
B - I. 11.
♣ Sestrojte parabolu, je-li dán její vrchol a tečna s bodem dotyku.
B - I. 12.
Sestrojte kuželosečku, dáno-li: a) oba hlavní vrcholy a jedna tečna; b) obě ohniska a jedna tečna; c) ohnisko a tři tečny; ♣ d) obě ohniska a normála; e) jedno ohnisko, dva body a délka hlavní poloosy; f) jedno ohnisko, dvě tečny a délka hlavní poloosy; g) jedno ohnisko, tečna s bodem dotyku a délka hlavní poloosy; h) jedno ohnisko, jeden bod a jedna tečna (jež nejsou incidentní), délka hlavní poloosy; i) střed, dvě tečny a délka hlavní poloosy; j) střed, tečna a délky obou poloos.
B - I. 13.
♣ Sestrojte kružnici, která se dotýká a) tří daných kružnic; b) dvou daných kružnic a dané přímky.
B - I. 14.
Sestrojte osy elipsy dané sdruženými průměty. 7
Pokyny k řešení některých úloh: 2. Sestrojte průměr q sdružený s průmětem p. Tečny směru q se elipsy dotýkají v bodech ležících na průměru p. 3. b) Použijte vztahů (AC)2 = a2 + b2 , e2 = a2 - b2. c) CF1 = a. 5. c) Sestrojte nejprve vrcholovou kružnici. 6. Úsek tečny ležící mezi asymptotami je půlen bodem dotyku. 7. Bodem M veďte rovnoběžku s průměrem p, jež protne asymptoty v bodech X, Y. Součin ⏐MX⏐x⏐MY⏐ je konstantní pro každý bod hyperboly. Je-li jeden koncový bod průměru p označen P, musí platit (SP)2 = ⏐MX⏐x⏐MY⏐. 8. Protíná-li libovolná sečna hyperbolu v bodech M, N a její asymptoty v bodech X, Y, platí ⏐MX⏐=⏐NY⏐. 9. c) součet subtangenty a subnormály je půlen ohniskem f) pomocí subnormály sestrojte na dané tečně bod dotyku h) průměr, který půlí úsečku spojující oba dané body, má v koncovém bodě tečnu rovnoběžnou s touto úsečkou. Můžeme tedy sestrojit délku parametru p. 10. Využijte vlastnosti, že průměr procházející průsečíkem tečen půlí tětivu která spojuje jejich body dotyku. 11. Průmět bodu dotyku do osy křivky a průsečík tečny s osou křivky jsou středově souměrné podle vrcholu křivky. Průmět bodu dotyku do osy musí tedy ležeti na přímce, jež je s tečnou souměrně sdružena podle vrcholu jakožto středu souměrnosti. Dále využijte toho, že spojnice bodu dotyku s jeho průmětem do osy je na osu kolmá. 12. d) Obraz jednoho ohniska podle normály jakožto osy leží na průvodiči, který spojuje bod, v němž je normála sestrojena, s druhým ohniskem. 13. Řešte pomocí geometrických míst středů kružnic, které se dotýkají dvou daných kružnic nebo jež se dotýkají dané přímky a dané kružnice.
C-
Kótované promítání
Některé základní úlohy se velmi často vyskytuji jako součást řešení úloh složitějších. Základní úlohu je třeba dokonale ovládat, abychom při řešení složitějších úloh již nemuseli promýšlet tyto detaily a mohli se plně věnovat dané úloze. Základní úlohy jsou obsazeny v příkladech 1 – 9 a je výhodné provést každou asi až desetkrát při nejrůznější volbě zadání. Toto cvičení je vhodné rozvrhnou do několika dnů, nemělo by cenu provést všech 10 řešení po sobě (i když by to časově bylo snadno možné). Není třeba tyto úlohy přesně rýsovat, stačí náčrtky od ruky. Z ostatních úloh není třeba (a časově ani není možno) podrobně prorýsovat všechno. Stačí podrobně vyřešit jen 15% - 25% úloh a ostatní řešit jen rozborem (rozložením úlohy na sled částí a uvědomit si, kterých základních úloh se při tom použije). Je třeba podrobně provést tu úlohu, která se zdá méně snadná nebo příliš složitá. Úlohy, které následují za sebou se v některých podstatných věcech sobě podobají a není nutné je tedy řešit všechny. Začátečník bude řešit větší počet úloh, a to hlavně na začátku tohoto oddílu. Úlohu, kterou jste nemohli rozřešit samostatně, si vyznačte a po čase se pokuste rozřešit ji znovu samostatně (tj. kromě textu úlohy nepoužít ničeho jiného, ani např. neprohlížet obrázek, na němž jste úlohu dříve rozřešili). Je omylem domnívat se, že jsem 8
se něčemu naučil tím, že jsem si prohlédl vyřešenou úlohu a všemu jsem rozuměl. Chci-li mít jistotu, že věc umím, musím to zkusit zcela samostatně a nedávat si pomoci ničím. Není třeba provést řešení vždy až do konce, stačí provést je tak daleko, že jsem si jist, že v dokončení již není nic, co bych nedokázal bezpečně a samostatně vyřešit.
I.
Základní úlohy
C - I. 1.
♣ Promítací lichoběžník a rozdílový trojúhelník: Sestrojení skutečné délky úsečky, Nanesení úsečky dané délky na přímku. Odchylka přímky od průmětny. Určení koty bodu ležícího na přímce a daného průmětem a sestrojení bodu ležícího na přímce majícího danou kótu.
C - I. 2.
Určiti vystupňovanou spádovou přímku roviny dané a) bodem a přímkou, jež nejsou incidentní; b) dvěma různoběžkami; c) dvěma rovnoběžkami; d) třemi body neležícími na jediné přímce.
C - I. 3.
Daným bodem vésti rovinu rovnoběžnou s danou rovinou (jakkoli zadanou).
C - I. 4.
Určit odchylku od roviny (jakkoli zadané) od průmětny.
C - I. 5.
Určit průsečnici dvou rovin (jakkoli zadaných).
C - I. 6.
Určit průsečík přímky s rovinou (jakkoli zadanou).
C - I. 7.
Daným bodem vésti přímku kolmou k dané rovině (jakkoli zadané). Daným bodem vésti rovinu kolmou na danou přímku.
C - I. 8.
Otočit rovinu s útvary v ní obsaženými do průmětny nebo do polohy rovnoběžné s průmětnou.
C - I. 9.
Sestrojit průmět kružnice ležící v dané rovině a určené středem a poloměrem.
Pokyny k řešení některých úloh: 1. Sestrojte skutečné délky stran a pomocí nich skutečný tvar a velikost trojúhelníka. V něm sestrojte výšky a pak sestrojte jejich průměty pomocí vrcholů a pat výšek.
II.
Přímky, roviny, rovinné útvary
C - II. 1.
Bodem A(-1; 4; 2) veďte rovnoběžku s průmětnou tak, aby protínala přímku b = BP [ B(-2; -1,5; 5), P(3; 3; 0)]. (2; 5; 4; 5).
C - II. 2.
Zvolte si trojúhelník kotovanými průměty jeho vrcholů a sestrojte v něm obrazy jeho výšek. Úlohu řešte pouze užitím promítacích lichoběžníků nebo rozdílových trojúhelníků.
C - II. 3.
Je dána přímka a různoběžná s rovinou ρ. Bodem A roviny ρ sestrojte v rovině ρ kolmici na danou přímku a.
C - II. 4.
Dány jsou dvě mimoběžky a, b. Určete jejich úhel.
9
C - II. 5.
Přímka a je různoběžná s rovinou ρ. Sestrojte pravoúhlý průmět přímky a do roviny ρ.
C - II. 6.
Určete úhel, který svírá přímka m = AB s rovinou ρ(-3,5; 4; 3) [A(0; 2; 6), B(3; 4; 0)]. (4; 6; 6; 9)
C - II. 7.
Stanovte úhel, který svírá rovina trojúhelníka ABC s rovinou ρ(-5; 4; 4) [A(2; -3; 2), B(-3; -5; 6), C(-2; -1; 4)]. (11; 10; 10; 9)
C - II. 8.
V rovině ρ(-3; 2; -5) určete příčku mimoběžek a = AP, b = BC [A(1; 0; 4,5), B(1; 6; 5), C(8; 3; 0), P(-3; 0; 0)]. (0; 4; 9, 7)
C - II. 9.
Sestrojte příčku mimoběžek a = AB, b = CD rovnoběžnou se směrem s = EF [A(4; 2; 5), B(0; -7; 0), C(-4; 1,5; 3), D(1,5;10; 9), E(-2; 2; 3), F(2; 5; 0)]. (1; 6; 10; 11)
C - II. 10. Bodem P(7; 8; 0) veďte příčku k mimoběžkám a = AC, b = BD [A(0; 10; 1), B(9,5; 8; -2), C(11; 1,5; 8), D(1,5; 1,5; 7)]. (0; 1; 12; 12)
C - II. 11. Sestrojte osu mimoběžek a = AO, b = BP. [A(0; 5; 5), B(-4; 0; 7), O(0; 0; 0), P(3; 0; 0)]. (4; 6; 6; 10)
C - II. 12. Sestrojte roviny souměrnosti dvojice rovin α (4; -7; -3), β (9; -3; 8). (8; 6; 13; 6) C - II. 13. Sestrojte zásek rovnoběžníků ABCD a PQRS a vyznačte viditelnost [A(-5; 3; 4), B(0; 6; 0), C(3; 0; 3), P(4; 3; 0), Q(-4; 6; 6), R(-2; 0; 1)]. (4; 8; 9; 8)
C - II. 14. V kótovaném promítání zobrazte střechu na budově obdélníkového půdorysu. Půdorysné odchylky sousedních rovin volte různě veliké.
C - II. 15. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, který leží v rovině kolmé k přímce q = QR a má vrchol B na přímce q [A(2; 5; 6), Q(-6; 6; 8), R(5; -2; -2)]. (6; 13; 7; 15)
C - II. 16. ♣ Zobrazte trojúhelník ABC, znáte-li jeho uhly α = 60°, β = 45°, víte-li, ze vrchol C leží v rovině ρ(5; 5; 4) [A(-6; 9; 6), B(5; 6; 3)]. (5; 9; 6; 16).
C - II. 17. Zobrazte pravidelný šestiúhelník, který leží v rovině kolmé na přímku q = QR, znáte-li jeho vrchol A(-2; 4; 5) a víte li, že jeho střed leží na přímce q [Q(6; 6; 8), R(-5; -2; -2)]. (5; 6; 10; 13).
C - II. 18. Zobrazte kružnici o středu S(0; 3; 4) tak, aby se dotýkala přímky t = QR [Q(-6; 2; 5), R(-1; 6; 1)]. (0; 10; 6; 15)
C - II. 19. Zobrazte kružnici o poloměru r = 3 tak, aby procházela bodem M(-2; 2; 6) a dotýkala se přímky t = QR [Q(-6; 2; 5), R(-1; 6; 1)]. (0; 9; 5; 15)
C - II. 20. Sestrojte kružnici dotýkající se přímky t = AB v bodě B a procházející bodem C(-2; -9; 8) [A(5; -10; 0), B(0; -4; 4)]. (13; 8; 10; 0)
C - II. 21. Sestrojte kružnici se středem na přímce a = AB tak, aby procházela body C, D [A(-2; 2; 2), B(3; -4; 8), C(1; -5; 7), D(4; -1; 3)]. (9; 10; 10; 14)
10
C - II. 22. Sestrojte kružnici vepsanou trojúhelníku ABC [A(-7; 0; 0), B(2,5; 0; 2), C(0; -5; 5)]. (6; 8; 3; 11).
C - II. 23. Sestrojte pravoúhlý průmět elipsy, jež má hlavní vrcholy A(-4; 2; 5), B(0; 9; 1) a prochází bodem M(-2; 2,5; 3). (1; 10; 10; 13)
Pokyny k řešení některých úloh: 16. Uvažte, co je geometrické místo vrcholů C trojúhelníků o straně AB a daných úhlech.
III.
Zobrazení těles
C - III. 1.
Zobrazte krychli se stěnou ležící v rovině ρ(4,5; 5; 4,5), znáte-li dva protilehlé vrcholy této stěny A(-2; 0; ?), C(2,5; 1; ?). (6; 5,5; 6,5; 7,5)
C - III. 2.
Zobrazte krychli, znáte-li středy dvou rovnoběžných stěn 1S(0; 6,5; 4,5), 2 S(3,5; 3; 7), víte-li, že jedna úhlopříčka stěny se středem 1S svírá s průmětnou úhel 60°. (1; 10; 10; 13)
C - III. 3.
Zobrazte krychli o hraně AB, jejíž jedna stěna touto hranou proložená svírá s průmětnou úhel φ [A(7,5; 5; 2,8), B(11; 9,5; 1), tgφ = 5/3]. (0; 0; 17; 14).
C - III. 4.
♣ Zobrazte krychli, znáte-li průměty jejích dvou hran vycházejících z téhož vrcholu [A(0; 0; 0), D(5; 0; ?), A1B1 = 4, ∠ B1A1D1 = 60°]. (8; 2,5; 9; 5) B
C - III. 5.
Zobrazte pravidelný trojboký hranol s pobočnou hranou AD, jehož další pobočná hrana prochází bodem M [A(-4; 4; 6), D(2; 7; 9), M(4; 4; 4,)]. (1,5; 8,5; 6,5; 11)
C - III. 6.
Zobrazte průmět pravidelného čtyrbokého jehlanu s temenem V(6; 0; 8) a podstavným vrcholem A(-5; 8; 8), jehož osa prochází bodem R(-8; 10; 0). (8; 11; 10; 16)
C - III. 7.
Zobrazte pravidelný čtyrboký jehlan s temenem V(3; 7; 8), jehož podstava leží v rovině ρ(6; 6; 3) a jeden podstavný vrchol je A(2; 1; ?). (0; 5; 7; 13)
C - III. 8.
Zobrazte pravidelný čtyrboký jehlan, jehož jedna pobočná stěna leží v rovině ρ = LMN, osa leží na přímce o = PQ a výška v = 7 [L(6,5; 7; 0), M(0; 3; 11,5), N(3; 11; 6), P(8; 2; 0), Q(-4; 12; 5,5)]. (2; 9,5; 1;5; 18)
C - III. 9.
Zobrazte pravidelný čtyrboký hranol s tělesovou úhlopříčkou AG, jehož podstava leží v rovině určené body A, K, L [A(3; 7; 2), G(-2; 7; 9). K(-2; 0; 0), L(5; 5; 0)] (9; 8; 12; 18)
C - III. 10. Zobrazte pravidelný pětiboký jehlan o temeni V(6; 1,5; 8,2), středu podstavy S(0; 4,5; 6), jehož jedna pobočná hrana je rovnoběžná s osou x. (1; 8; 11; 13)
C - III. 11. Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou o středu S(0; ?; 4) v rovině ρ(-8; 9; 7), jehož jedna stěna leží v průmětně. (1; 9; 7; 16)
C - III. 12. Zobrazte krychli, znáte-li její střed S(-1;2; 6,9; 6,4), rovinu jedné stěny
α(-15,5; 17,7; z > 0) s odchylkou φ = 60° a kótu vrcholu A v rovině α zA = 3 (0; 17; 0; 14) 11
C - III. 13. ♣ Dokažte, že obrysem průmětu krychle, jejíž jedna tělesová úhlopříčka je kolmá k průmětně, je pravidelný šestiúhelník.
C - III. 14. Zobrazte pravidelný osmistěn s osou EF a s jedním dalším vrcholem v půdorysně [E(-3,7; 6,5; 1), F(4,5; 1; 7)]. (4; 6; 9; 11)
C - III. 15. Zobrazte pravidelný dvanáctistěn stojící jednou stěnou na půdorysně, znáte-li střed této stěny S(0; 0; 0) a jeden vrchol A(0; 3; 0). (7; 7; 7; 7)
C - III. 16. Sestrojte obraz pravidelného dvacetistěnu, jehož jedna osa jdoucí vrcholem A(;;0) je kolmá k průmětně, znáte-li délku hrany a = 4. (6; 6; 6; 6)
C - III. 17. ♣ Zobrazte rotační kužel, znáte-li dva body K, L na podstavné hraně, poloměr
podstavy r = 4 a vrcholovou přímku v = PQ [K(0; 10; 10), L(4; 8; 6), F(4; 0; 0), Q(-2; 2; 2)]. (1; 10; 6; 15)
C - III. 18. ♣ Zobrazte rotační kužel o straně s = 1;5 a poloměru podstavy r = 3,5, aby jeho vrchol měl průmět na ose x a aby se podstavná kruhová hrana dotýkala přímky t = TQ v bodě T [Q(2; 8; 1), T(-1; 8; 4,3)]. (0; 7; 9; 13)
C - III. 19. Zobrazte rotační kužel s osou na přímce a = AP, s tělesovou výškou v = 12 a s tečnou rovinou τ(∞; -1; -1) [S(-5; -6,5; 3,5), P(-1,5; -5,7; 0)]. (12; 9; 10; 0)
C - III. 20. Zobrazte rotační komolý kužel, jehož plášť vytvoří úsečka MN otáčející se kolem osy o = KL [M(2; 11,5; 0), N(-1; 7; 2,5), K(0; 5,5; 1), L(6; 11; ?)]. (0; 9,5; 1;5; 13)
C - III. 21. Zobrazte plochu kulovou, která se dotýká přímky a = AN v bodě A a přímky b = BM v bodě B [A(2; 4,2; 0), B(4; 8; 9), M(9; 4; 7), N(2; 0; 0)]. (5; 7,5; 9,5; 15)
C - III. 22. Zobrazte plochu kulovou se středem v rovině ρ(∞; -9; 6) a procházející body A(-3; 4; 1), B(5; 2; 6), C(1; 6; 8). (10; 9; 8; 10)
C - III. 23. Sestrojte plochu kulovou, která prochází body A(-2; 6; 2), B(2; 6; 3), C(0; 5; 8) a dotýká se půdorysny. (3; 10; 10; 16)
C - III. 24. Sestrojte průmět plochy kulové, která se dotýká roviny τ(1,5; 3; 2,5) v bodě T(-1,5; 2,3; ?) a prochází bodem A(2; 7,5; 6). (1; 7; 8; 10)
C - III. 25. Zobrazte plochu kulovou, která se dotýká přímky t = TM v bodě T a jejíž střed leží na přímce s = QR [T(0; 3,5; 8), M(7; 3,5; 0), Q(7; 6; 6,5), R(-7; 6; 6,5)]. (0; 10; 10; 16)
C - III. 26. ♣ Dány jsou body A(-2; 3; 0), B(3; 6; 0), C(-4; 9; 0). Zobrazte rovinu ρ tak, aby její vzdálenost od bodu A byla 1, od bodu B 2, a od bodu C 3. (1; 8; 10; 13)
Pokyny k řešení některých úloh: 4. Třetí hrana jdoucí vrcholem A je kolmá k rovině ABD. Sestrojme plochu kulovou o středu A a poloměru rovném délce hrany hledané krychle. Rovina ABC tuto kouli protne v hlavní kružnici, jejíž dva sdružené průměry již známe a dovedeme tedy sestrojit její osy. Pak dovedeme sestrojit i obraz kolmice k této rovině. Využijme ještě vlastnosti, že délka průmětu kolmého poloměru je rovna délkové výstřednosti narýsované hlavní kružnice.
12
13. Tři hrany krychle vycházející z jednoho vrcholu svírají s tělesovou úhlopříčkou jdoucí tímtéž vrcholem shodné úhly. Svírají tedy shodné úhly i s rovinou kolmou k této úhlopříčce a jejich průměty do této roviny jsou shodné. Totéž platí i o hranách vycházejících z druhého vrcholu tělesové úhlopříčky. Rovina proložená koncovými vrcholy hran vycházejících z jednoho vrcholu (a různých od tohoto vrcholu) je kolmá k tělesové úhlopříčce a protne krychli v rovnostranném trojúhelníku. 17. Vrchol kužele V je v průsečíku vrcholové přímky rovinou souměrnosti dvojice bodů K, L. Úsečka VK nebo VL udává délku strany kužele, můžeme tedy sestrojit i tělesovou výšku kužele. Rovina podstavy prochází přímkou KL a dotýká se plochy kulové opsané kolem vrcholu V poloměrem výšky kužele. 18. Strana kužele jdoucí bodem T je kolmá k přímce t. Vrchol kužele tedy musí ležet v rovině kolmé k tečně t a jdoucí bodem T a to na kružnici opsané poloměrem s kolem středu T. 26. Rovina rovnoběžná s hledanou rovinou a vedená bodem A bude mít od zbývajících bodů vzdálenosti buď menší o 1 nebo větší o 1 než rovina hledaná
D-
Mongeovo promítání
Podobně jako při kótovaném promítání je i zde třeba až do zautomatizování nacvičit základní úlohy obsažené v prvních 14 příkladech (D-I.1 – D-I.14). Jde o jednoduché úlohy a stačí nakreslit náčrty od ruky. Opět je třeba provést každou úlohu vícekrát a volit pokud možno různá zadání. Tato cvičení je vhodné rozložit do doby několika dní. Srovnejte provádění základních úloh v Mongeově promítání s řešením těchže úloh v promítání kótovaném a zapamatujte si, v čem jsou shodná a v čem se liší. Složitější úlohy není ani časově možno provést všechny podrobně. Většinu z nich řešíme opět jen rozborem. Vyplatí se však provést podrobně tu úlohu, o níž mám pochybnost, že bych ji dovedl bezpečně provést. Doporučuje se prorýsovat všechny úlohy o příčkách mimoběžek, i když se zdají začátečníku nezajímavé a samoúčelné. Tyto úlohy se budou vyskytovati při řešení rozmanitých úloh o zborcených kvadrikách a bylo by pozdě učit se jim teprve tehdy, když je jejich použití nenahraditelné. Stane-li se Vám, že pří řešení některé úlohy jste měli při podrobném provádění nějaké nesnáze, než jste přišli na správný postup, je dobré se k takovéto úvaze po čase vrátit. Neprovádějte ji však podle zadání v textu uvedeného, nýbrž změňte je tak, že zaměníte souřadnice y a z a pokud se v textu mluví o průmětnách, zaměníte také půdorysnu a nárysnu; pro orientaci o potřebě místa je třeba zaměnit první a čtvrté číslo. Je také možno změnit druhé a třetí číslo.
I.
Základní úlohy
D - I. 1.
Promítací lichoběžník a rozdílový trojúhelník: Sestrojení skutečné délky úsečky, Nanesení úsečky dané délky na přímku. Odchylka přímky od průměten. Řešení těchže úloh otočením do polohy rovnoběžné s průmětnou.
D - I. 2.
Najít stopníky dané přímky.
D - I. 3.
Určiti stopy nebo hlavní přímky roviny dané a) bodem a přímkou, jež nejsou incidentní; b) dvěma různoběžkami; c) dvěma rovnoběžkami; d) třemi body neležícími na jediné přímce. 13
D - I. 4.
Určit odchylky roviny (jakkoli zadané) od průměten.
D - I. 5.
Nalézti chybějící průmět bodu nebo přímky ležící v dané rovině (jakkoli zadané), je-li dán jeden jejich průmět.
D - I. 6.
Určiti průsečnici dvou rovin jakkoli zadaných.
D - I. 7.
Přímka je dána jedním průmětem s vyznačeným stopníkem v té průmětně, v níž je průmět přímky dán. Určete chybějící průmět tak, aby přímka byla rovnoběžná s danou rovinou (jakkoli zadanou).
D - I. 8.
Určiti průsečík přímky s rovinou jakkoli zadanou.
D - I. 9.
Daným bodem vésti rovinu rovnoběžnou s danou rovinou (jakkoli zadanou).
D - I. 10.
Daným bodem vésti a) přímku kolmou na danou rovinu (jakkoli zadanou) b) rovinu kolmou na danou přímku.
D - I. 11.
Otočiti danou rovinu s útvary v ní obsaženými do některé průmětny nebo do polohy s některou průmětnou rovnoběžné.
D - I. 12.
Sestrojit průmět kružnice ležící v dané rovině a určené středem a poloměrem.
D - I. 13.
Sestrojit třetí průmět přímky m do průmětny sdružené s půdorysnou (nebo nárysnou) a různoběžné s přímkou m.
D - I. 14.
Rovina ρ je dána svými stopami. Sestrojte její třetí průmět do průmětny sdružené s půdorysnou (nebo s nárysnou) a kolmé k rovině ρ.
II.
Úlohy polohy a úlohy metrické
D - II. 1.
Užitím třetí průmětny sestrojte průsečík přímky m = AB s rovinou ρ(-5; 6; 4) [A(0; 6; 4), B(5; 3,5; 3)]. (8; 7; 6; 9)
D - II. 2.
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a a roviny ρ (jakkoli zadané).
D - II. 3.
Určete zda daný bod M leží v rovině ρ (jakkoli zadané).
D - II. 4.
Rozhodněte o vzájemné poloze přímek a = AB, c = CD [A(0; 2; 4,5), B(0; 5; 2,5), C(3; 2,2; 5), D(3; 1,5; 2)]. (6; 1; 12; 6).
D - II. 5.
Určete stopy roviny proložené přímkou a = AB a rovnoběžné s přímkou b = PN [A(7; 2; 1,5), B(9; 5; 0), P(0; 4; 0), N(3; 0; 7)] (6; 1; 10; 6).
D - II. 6.
Určete průsečnici rovin ρ(5; 6; 8), σ(5; 8; 6). (9; 7; 7; 9)
D - II. 7.
Sestrojte průsečík přímky m = AB s rovinou ρ(5; 6; 4) [A(0; 4; 0), B(0; 0; 7)]. (8; 8; 6; 7)
D - II. 8.
Dány jsou rovnoběžky a = AD, b (prochází bodem B) a přímka c = CE s nimi mimoběžná. Sestrojte přímku rovnoběžnou s rovinou ρ(3; 5; 3) tak, aby protínala přímky a, b, c [A(-6; 6; 1), B(-3; 7; 0), C(6; 7; 6), D(3; -1; 8), E(0; 5;-1)]. (1;8,11,9) 14
D - II. 9.
Rovina ρ je dána splývajícími obrazy stop a přímka m splývajícími průměty. Sestrojte jejich průsečík. [Např. ρ(-6; 4,5; 4,5), m = AB, A(0; 3; -3), B(4,5; -2,5; 2,5)]. (6; 9; 1; ,4)
D - II. 10. Bodem M(-5; 2,7; 3,1) veďte příčku k mimoběžkám a = PN, b = P’N‘ [P(-7; 7; 0), N(2; 0; 6), P‘(2; 7; 0), N‘(-3; 0; 9)]. (10; 8; 8; 12)
D - II. 11. Sestrojte příčku mimoběžek a = AC, b = BD rovnoběžnou se směrem s = SR [A(-5; 6; 2), B(5; 6; 10), C(4; 0; 2), D(4; 6; 2), R(4; 2; 2), S(2; 0; 0)]. (11; 10; 10; 10)
D - II. 12. ♣ Na přímce m určené prvním i druhým průmětem najděte bod stejně vzdálený od obou průměten.
D - II. 13. Určete průsečík přímek a = AC, b = BD [A(0; 4; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 8), D(0; 0; 3)]. (9; 9; 1; 8)
D - II. 14. Sestrojte přímku m jdoucí bodem M (0; 5; 4) tak, aby její půdorys svíral s osou x úhel 120° a aby odchylka přímky od nárysny byla 45°. (10; 4; 4; 6)
D - II. 15. ♣ Bodem A(0; 5; 7) veďte přímku, jež svírá s půdorysnou odchylku 50° a s nárysnou 30° . (10; 6; 6; 10)
D - II. 16. Přímkou m = NP proložte rovinu ρ, jež svírá s půdorysnou odchylku 75° a rovinu σ, jež svírá s nárysnou odchylku 75° [N(-4; 0; 6), P(1; 7; 0)]. (8; 8; 6; 8)
D - II. 17. Dvě různoběžné síly působící v jednom bodě jsou dány svými průměty. Sestrojte skutečnou velikost jejich výslednice.
D - II. 18. V daném bodě A působí čtyři síly. Určete jejich výslednici. D - II. 19. ♣ V daném bodě působí tři různé síly. Najděte sílu, jež je uvede v rovnováhu. D - II. 20. Určete vzdálenost bodu M(-4; 6; 6) od přímky a = AN [A(4; 4; 6), N(-5; 0; 2)]. (9; 8; 8; 8)
D - II. 21. Na přímce m = AB najděte body , které mají od roviny ρ(-5; 4; 3,5) vzdálenost d = 2 [A(5,5; 0; 0), B(0; 3,7; 4,2)]. (8; 12; 7; 11)
D - II. 22. Je dána rovina ρ, přímka p. jež v ní neleží a bod A, který není incidentní ani s přímkou p ani s rovinou ρ. Na přímce p zjistěte bod B tak, aby byl od roviny ρ ve stejné vzdálenosti jako bod A a aby ležel v opačném poloprostoru vyťatém rovinou ρ než bod A.
D - II. 23. Sestrojte rovinu σ, jež je rovnoběžná s rovinou ρ a má od ní danou vzdálenost d. D - II. 24. Sestrojte trojúhelník souměrný k trojúhelníku ABC podle roviny ρ(-15; 13; 10) [A(-9; 7; 2,5), B(5,5; 1; 9,5), C(0; 0; 6)]. (11; 15,5; 4; 13,5)
D - II. 25. ♣ Sestrojte průmět pravého úhlu AVB [A(3,8; 6,4; ?), B(3,2; -2,2; 5,5), V(0; 4; 3)]. (8; 1; 11; 8)
D - II. 26. K daným mimoběžkám a, b sestrojte příčku rovnoběžnou s půdorysnou a vzdálenou od půdorysny 2,5.
15
D - II. 27. K daným mimoběžkám a, b sestrojte příčku kolmou k nárysně. D - II. 28. Najděte nejkratší vzdálenost přímky a = AB od osy x [A(-3; 0; 6), B(3; 6; 0)]. (7; 7; 7; 7)
D - II. 29. Určete nejkratší vzdálenost mimoběžek a = AC, b = BD [A(9; 0; 0), B(-9; 0; 3), C(0; 6; 8), D(0; 6; 13)]. (10; 10; 10; 15)
D - II. 30. Sestrojte osu mimoběžek a = PN, b = QN’ [P(7; 10; 0), N(1;5; 0; 7), Q(0; 8; 6), N’(8; 0; 1)]. (8; 1; 18; 13)
D - II. 31. Jsou dány mimoběžky a = AC, b = BD. Sestrojte rovinu s oběma rovnoběžnou a od obou stejně vzdálenou [A(3; 10; 0), B(7; 2; 0), C(-8; 0; 7), D(0; 10; 11)]. (12; 12,5; 7,5; 11)
D - II. 32. Sestrojte průsečnici roviny α, jež půlí půdorysnou odchylku roviny ρ(-5; 5; 7) s rovinou β, jež půlí nárysnou odchylku téže roviny. (9; 6; 9; 8)
D - II. 33. Zobrazte trojhran o straně a = 75° a přilehlých úhlech β = 75°, γ = 60°, leží-li strana a v nárysně.
D - II. 34. Zobrazte trojhran o stranách a = 70°, b = 80° a úhlu jimi sevřeném γ = 40°, leží-li jedna jeho strana v průmětně.
D - II. 35. Zobrazte trojhran o stranách a = 60°, b = 70°, c = 80°, leží-li strana a v půdorysně (nárysně).
D - II. 36. Zobrazte dráhu paprsku, který vychází z bodu M(4; 3; 7) a po odraze od přímky m = AB prochází bodem N(0; 4; ?), který leží v rovině určené bodem M a přímkou m [A(-3; 2,7; 0), B(4; 0; 10)]. (11; 11; 6; 15).
D - II. 37. Určete vzdálenost rovnoběžek a = AC, b = BD, ležících v rovině totožnosti [A(-3; 4; -4), B(0; 2; -2), C(3; -4; 4)]. (7; 8; 8; 7)
D - II. 38. Dány jsou rovnoběžky a = AD, b (procházející bodem B). Sestrojte přímku c s nimi rovnoběžnou a vzdálenou od přímky a 5, od přímky b 6 [A(-4; 5,5; 0), B(7,5; 7; 5), D(-8,5; 3; 4,5)]. (8; 10; 9; 11)
D - II. 39. Jsou dány tři rovnoběžky neležící v téže rovině. Sestrojte přímku s nimi rovnoběžnou a od všech stejně vzdálenou.
D - II. 40. ♣ Sestrojte tři rovnoběžné roviny tak, aby vzdálenost sousedních rovin byla
d = 2 a aby každá rovina procházela právě jedním z bodů A(-1; 3; 2), B(4; 5; 2), C(6; 1; 2). (7; 8; 9; 11)
D - II. 41. ♣ Zakreslete dráhu světelného paprsku, který vychází z bodu A(3,7; 4; 5) a po odrazu od zrcadlící roviny ρ(-6; 5; 7) prochází bodem B(3; 6,5; 1,5). (7; 7; 5; 8)
D - II. 42. ♣ Bod A otočte kolem osy o, jež neprochází bodem A, do roviny ρ, jež neprochází ano bodem A ani přímkou o.
D - II. 43. Otočte rovinu ρ(-8,3; 6,5; 6) kolem přímky a = AB o úhel 90° [A(-5; 4; 7,5), B(3,7; 0,2; 0)]. (9; 12; 5; 12)
16
D - II. 44. ♣ Zvolený rovnostranný trojúhelník považujte za první a současně i druhý průmět jistého trojúhelníka. Sestrojte jeho skutečný tvar.
D - II. 45. Určete jaký úhel svírá přímka m = AB a osou x [A(-3; 4; 4), B(3; 2; 0)]. (7; 8; 4; 7) D - II. 46. ♣ Bod A(2; 3; ?) ležící v rovině ρ(-6; 5; 7) se má přesunout po nekratší dráze do bodu B(-2; 3; ?), který leží v rovině σ(8; 7; 5) a to tak, že se pohybuje jen v těchto dvou rovinách. (8; 9; 9; 17)
D - II. 47. V rovině ρ(-5; 8; -8) určete geometrické místo bodů stejně vzdálených od bodů A(-2,5; 2,5; 1,5), B(4; 6,5; 5,5). (8; 10; 8; 11).
Pokyny k řešení některých úloh: 12. Všechny body stejně vzdálené od první a druhé průmětny vyplní rovinu souměrnosti a rovinu totožnosti. 15. Zvolte na hledané přímce libovolnou délku. Pomocí známých odchylek od průměten snadno určíte velikosti průmětů této délky, jakož i rozdíl souřadnic y, resp. z koncových bodů této úsečky. 19. Hledaná síla má stejnou velikost jako výslednice daných sil, avšak její směr je opačný ke směru výslednice. 25. Bod A leží v rovině kolmé ke přímce VB a procházející bodem V. 40. Hledané roviny protnou rovinu proloženou body A, B, C v rovnoběžkách stejně vzdálených (jejich vzdálenost je větší nebo alespoň rovna délce d). Jedna z těchto rovnoběžek půlí jednu stranu trojúhelníka ABC. 41. Paprsek procházející bodem B leží na přímce, jež prochází bodem A’, který je souměrně sdružen s bodem A podle zrcadlící roviny. 42. Bod A se otáčí po kružnici, jež leží v rovině kolmé k ose o a procházející bodem A. Otočený bod leží také na průsečnici této roviny s danou rovinou. 44. Hledaný trojúhelník leží v rovině totožnosti, jejíž obě stopy splývají s osou x. Otočte tuto rovinu kolem osy x do některé průmětny. 46. Otočíme-li jednu rovinu do druhé kolem průsečnice obou rovin, přejde hledaná dráha v úsečku spojující jeden z daných bodů s bodem, který vznikne otočením druhého bodu do společné roviny. Ze dvou možných otočení je třeba voliti to, které odděluje průsečnicí obou rovin bod A (resp. bod B) od otočeného bodu B (resp. A).
III.
Rovinné mnohoúhelníky
D - III. 1.
Sestrojte obrazy pravidelného šestiúhelníka ležícího v rovině ρ(∞; 5; 4), znáte-li jeho střed S(0; 2,5; ?) a jeden vrchol A(2,5; 3; ?). (5; 4; 4; 12)
D - III. 2.
Zobrazte pravidelný pětiúhelník,který leží v rovině kolmé k půdorysně, znáte-li jeho střed S(-4; 4; 4,5) a jeden vrchol A(-2; 2; 2,5). (9; 5; 10; 7)
D - III. 3.
Zobrazte rovnoramenný trojúhelník o základně AB a s vrcholen C na přímce m = DE [A(0; 3,7; 2,2), B(5,3; 5,5; 6), D(5,3; ;5; -2), E(10; 2; 6)]. (8; 1; 11; 8)
17
D - III. 4.
Sestrojte čtverec s jednou úhlopříčkou na přímce m = QR, se středem S(0;?,?) a třetím vrcholem na přímce n = KL [K(-1; 4; 9), L(4; 1; 6,5), Q(-2; 7; 4), R(5; -1; 9,5)]. (12; 8; 9; 11)
D - III. 5.
Sestrojte rovnostranný trojúhelník nejmenšího obsahu tak, aby jeho vrcholy ležely na přímce a = PN a třetí vrchol na přímce b = KL [K(4,5; 5; 9), L(12; 0; 7,5), P(4,5; 2,5; 0), N(0; 0; -3,5)]. (15; 2; 18; 15)
D - III. 6.
♣ V rovině ρ(-8,5; 8; 10) leží rovnoběžník o středu O(0; 3,5,?) a úhlopříčkách e = 6, f = 10. Oba jeho průměty se jeví jako kosočtverce. Sestrojte je. (10; 11; 11; 10)
D - III. 7.
Sestrojte průsek trojúhelníků ABC, DEF a rozhodněte o viditelnosti [A(-4,2; 1,8; 3,2), B(0; 8; 6,4), C(4,4; ;8; 0), D(-2,6; ;6; ;8), E(4,4; 8; 6,6), F(6,6; 3; 2,6)]. (7; 5; 7; 9)
D - III. 8.
Sestrojte průsek trojúhelníků ABC, DEF a rozhodněte o viditelnosti [A(0; 1;5; 3,5), B(13; 8; 1,5), C(7; 3; 1;5), D(1,2; 4; 2,5), E(11; 12; 10), F(9,5; 3,5; 1)]. (11; 1; 14; 13)
D - III. 9.
Sestrojte průsek trojúhelníka EFG s rovnoběžníkem ABCD a rozhodněte o viditelnosti [A(4; 4,5; 2,7), B(8,4; 3,5; 4,5), C(5,6; 1,2; 6,6), E(4,5; 7; 7,8), F(7,2; ;7; 2,4), G(0; 1,4; 1)]. (9; 1; 9; 8)
Pokyny k řešení některých úloh: 6. Půdorys a nárys rovinného obrazce jsou v afinním vztahu. Osou afinity je průsečnice roviny obrazce s rovinou totožnosti.
IV.
Vynechaná základnice
D - IV. 1. S vynecháním základnice řešte některé úlohy, zejména všechny základní úlohy D-I.1 – D-I.14 a úl. D-II.17 – D-II.19.
V.
Úlohy o kružnici
D - V. 1.
Sestrojte stopy roviny ρ tak, aby její první stopa svírala s osou x úhel 45°, aby půdorys kterékoli kružnice v ní ležící se jevil jako elipsa s vedlejší osou poloměru kružnice.
D - V. 2.
Zobrazte kružnici opsanou i kružnici vepsanou trojúhelníku ABC [A(-3; 4; 2), B(3; 4; 3), C(1; 1; 7]. (10; 8; 8; ,8)
D - V. 3.
V rovině ρ(-7; 7; 10) leží kružnice o středu S(1; ?; 6) a poloměru r = 3. Zobrazte její obraz v zrcadle ABCD [A(-7; 6; 0), B(7; 6; 0), C(7; 0; 8), D(-7; 0; ?)]. (11; 8; 8; 9)
D - V. 4.
Zobrazte kružnici o poloměru r = 3 a ležící v rovině ρ(-5; -7; -5) tak, že se dotýká obou průměten. (Sestrojte jen jednu kružnici a to tu, která leží nad půdorysnou a před nárysnou). (6; 13; 1; 10) 18
D - V. 5.
♣ Sestrojte kružnici, která se dotýká půdorysny v bodě P(-3; 4; 0) a nárysny v bodě N(1; 0; 3,5). (10; 8; 7; 11)
D - V. 6.
Na bod A(-2; ;8; 6) působí dostředivá síla tak, že se otáčí kolem přímky m = BN. Když se bod A otočil o 90°, přestane na něj působit síla dostředivá, takže se bod pohybuje dále po přímce. Nakreslete průměty dráhy tohoto bodu [B(-4; 6,5; 6,2), N(2,5; 0; 1,4)]. (7; 10; 6; 12)
D - V. 7.
Sestrojte průmět kružnice, jež vznikne otáčením bodu A(1,5; 2; 7,5) kolem přímky m = MN [M(0; 6; 8), N(5; 0; 1,5)]. (14; 3; 8; 9)
Pokyny k řešení některých úloh: 5. Půdorysná i nárysná stopa roviny hledané kružnice jsou tečnami kružnice a jsou tedy úseky na nich (od průsečíku s osou x až k bodům dotyku) stejně dlouhé. Průsečík stop s osou x tedy leží v rovině souměrnosti dvojice bodů P, N.
VI.
Zobrazení hranolů, jehlanů a mnohostěnů
D - VI. 1. Zobrazte pravidelný n-boký jehlan (n = 4, 5, 6) o dané hraně podstavné i pobočné, který leží jednou pobočnou stěnou v půdorysně (nárysně).
D - VI. 2. Zobrazte pravidelný osmistěn o dané hraně tak, aby jednou stěnou spočíval na nárysně.
D - VI. 3. Kolmý jehlan s obdélníkovou podstavou o známých hranách podstavných
a známé tělesové výšce leží větší (menší) stěnou na jedné průmětně. Sestrojte jeho průměty.
D - VI. 4. Sestrojte průměty nejmenšího pravidelného pětibokého hranolu s osou o = OS a majícího jeden vrchol v půdorysně [O(-4; 5; 2,5), S(4; 3; 6,5)]. (9; 9; 6; 9)
D - VI. 5. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan o výšce v = 8 s postavou v rovině ρ(2; 3; 4)
a s jedním podstavným vrcholem A(-4; 3; ?), aby jeho temeno V leželo na přímce m = ML [M(-4; 4,5; 2), L(0; 8; 6), vrchol V volte nad rovinou ρ]. (12; 8; 13; 15)
D - VI. 6. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou v rovině ρ(4; 5; -6) o středu S (2; ?; 3), poloměru kružnice podstavě opsané r = 4, o jednom podstavném vrcholu A(?; ?; 1,5) a tělesové výšce v = 8. (9; 9; 10; 13)
D - VI. 7. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s osou na přímce o = QR, s jedním podstaveným vrcholem A(1; 8; 2) a délkou pobočné hrany h = 11 [Q(-5; 8; 2), R(3; 0; 9)]. (10; 10; 8; 14)
D - VI. 8. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s temenem V(6; 12; 10), jehož osa prochází bodem P (-8; 4; 0) a s podstavným vrcholem A(-5; 11,5; 0). (15; 10; 8; 15)
D - VI. 9. Pravidelný šestiboký jehlan stojí podstavou na půdorysně [V(0; 3,5; 7),
A(0; 0; 0). Otočte jej kolem podstavné hrany kolmé a nárysně a ležící vpravo od počátku o úhel -60° a tento otočený otočte kolem osy kolmé k půdorysně a jdoucí bodem O(8; 3,5; 0) o úhel +120°. (9; 3,5; 16,5; 12) 19
D - VI. 10. Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v rovině ρ(∞; 6; 4) o středu
S(-2; 3,5; ?) a vrcholu A(;5; 4; ?), jehož pobočné stěny jsou čtverce. (6,5; 9; 6; 11,5)
D - VI. 11. Zobrazte pravidelný čtyřstěn o známé hraně, leží-li jeho stěna v některé průmětně.
D - VI. 12. Sestrojte čtyřstěn ABCD s vrcholem D v rovině ρ(-3; 3; -3), aby hrany
vycházející z vrcholu D byly stejně dlouhé [A(-3; 2; 2), B(2; 3; 1), C(3; 7; 6)]. (7; 8; 6; 10)
D - VI. 13. Určete čtyřstěn ABCD, aby hrany vycházející z vrcholu D měřily 6 [A(4,5; 3,3; 3,5), B(-2; 7; 1), C(5,2; 5; 6)]. (9; 11; 7; 10)
D - VI. 14. Zobrazte krychli o hraně AB a s vrcholem C v půdorysně [A(0; ;5; 3,5), B(-3,5; 4; 2)]. (7,5; 8; 7; 9,5)
D - VI. 15. Zobrazte krychli se stěnou v rovině ρ(8; 5; 8), znáte-li protilehlé vrcholy A,C této stěny [A(0; 0; ?), C(-5; ?; 2)]. (13; 11; 9; 13)
D - VI. 16. Zobrazte pravidelný osmistěn s osou na přímce m = QR a s jedním vrcholem A(-1; 1; 3), [Q(3; 1; 10), R(-4; 8; 3)]. (11; 8; 11; 11)
D - VI. 17. Zobrazte pravidelný osmistěn se středem S (0; 4,5; 5),jehož jedna hrana leží na přímce m =PN [P (-4; 13,5; 0), N(5; 0; 3)]. (11; 10; 10; 14)
D - VI. 18. Zobrazte pravidelný osmistěn o ose AC a s dalším vrcholem B v nárysně [A(-5; 1; 5), C(5; 4; 9), zB >7]. (15; 9; 10; 11)
VII.
Zobrazení válců a kuželů
D - VII. 1. Rotační válec má osu rovnoběžnou s osou x. Na jeho válcové ploše leží dva
body A ,B , z nichž první je dán půdorysem a druhý nárysem. Sestrojte chybějící průměty.
D - VII. 2. Rotační kužel stojí podstavou na nárysně. Na jeho kuželové ploše leží body A,
B, z nichž prvý je dán půdorysem a druhý nárysem. Sestrojte chybějící průměty těchto bodů.
D - VII. 3. Zobrazte rotační válcovou plochu, znáte-li rovinu její řídicí kružnice ρ(4; 3; -5)
a tři body A, B, C této plochy [A(0; 3; 11,7), B(-4; 0; 12,6), C(6,4; 7; 1,8)]. (13; 6; 13; 14)
D - VII. 4. Zobrazte rotační válec, znáte-li jeho osu SS’ a tečnu t = PR válcové plochy [S(-6; 9; 5), S’ (-1; 1,5; 9), P(9; 4; 0), R(0; 8,5; 8) ]. (17; 11; 10; 14)
D - VII. 5. ♣ Sestrojte kosý kruhový válec stojící podstavou na půdorysně, znáte-li střed S dolní podstavy, poloměr r = 4, bod A ležící na horní podstavné hraně a bod B ležící na ploše válcové [A(2; 2; 9), B(4; 7; 5), S(-3; 8; 0)]. (10; 7,5; 7,5; 15)
D - VII. 6. ♣ Sestrojte kosý kruhový válec stojící eliptickou podstavou na půdorysně, znáteli bod A na horní podstavné hraně a bod B ležící na ploše válcové [A(2; 2; 9), 20
B(4; 7; 5), střed dolní podstavy S(-3; 8; 0), poloosa a = 5 je rovnoběžná s osou x, b = 3]. (10; 9; 7,5; 15)
D - VII. 7. Zobrazte rotační válec, znáte-li středy O, S jeho podstav a poloměr r = 3 [S(-3; 3,5; 2,5), O(3; 7,5; 9)]. (12; 6,5; 6,5; 12)
D - VII. 8. Zobrazte rovnostranný válec daný osou SS’ [S(-3; 4; 4), S’(3; 8; 5,5)] (10; 7; 7; 12)
D - VII. 9. Zobrazte rotační kužel, znáte-li střed podstavy S(0; 3,5; 3), vrchol V(3,5; 6; 8) a poloměr r = 3,5 (9; 4; 4; 10).
D - VII. 10. Zobrazte rotační kužel o vrcholu V(-3,5; 7; 2,5), podstava leží v rovině ρ(8; 45°; 6,5) a podstavná hrana prochází bodem L(1,3; 5; ?). (11; 4; 13,5; 7,5)
D - VII. 11. Zobrazte rotační kužel, znáte-li jeho vrchol V(-6; 9; 9), střed podstavy S(0; 4; 5) a bod Q(-1,7; 7; 4) ležící na plášti. (10; 7; 6; 11)
D - VII. 12. ♣ Zobrazte rotační kužel, znáte li tečnou rovinu τ(5,5; 10; ∞), vrchol V(5; ?; 1) a střed podstavy S(-2; 5,5; 6). (10; 11; 7; 14)
D - VII. 13. ♣ Zobrazte rotační plochu kuželovou, znáte-li její řídicí kružnici ležící v rovině
ρ(6,7; 6,5; 9,5) a mající střed S(0; ?; 4) a poloměr r = 3 a kromě toho tečnu t = QR plochy [Q(4; 4; 9), R(-2; 7,7; 5)]. (10; 11; 9; 14)
D - VII. 14. Zobrazte rotační kužel, znáte-li střed podstavy S(1,5; 5; 3,5), vrchol V(-5; 0; 0) a tečnu kuželové plochy t = PN [P(-5; 10; 0), N(0; 0; 7)]. (11; 9; 10; 16)
D - VII. 15. ♣ Rotační kužel o vrcholu V(-4; 6; 8) stojí podstavou o poloměru r = 3 na půdorysně. Sestrojte osu rotační plochy kuželové, jež má vrchol rovněž v bodě V, dotýká se daného kužele podél neznámé povrchové přímky a prochází body A(0; 11; 5), B(3; 3; 1). (9; 8; 9; 14)
D - VII. 16. Bodem A(-4,5; 1; 2,5) veďte tečné roviny k rotačnímu kuželi o vrcholu V(0; 7; 5,5) a podstavě o poloměru r = 4 v nárysně. (10; 9,5; 1;5; 8)
Pokyny k řešení některých úloh: 5. Povrchové přímky vedené body A a B mají stopníky A’, B’, přímka AB má stopník P. Body A’1, B’1 sestrojte pomocí stejnolehlosti s středem P1. Platí: P1A’1 : P1B’1 = P1A1 : P1B1, B
A1A’1 je rovnoběžné s B1B’1, A’1, B’1 leží na podstavné kružnici, A’1, B’1, P1 leží na přímce B
6. Použijte řešení předcházející úlohy, na niž se daná úloha dá pomocí afinity převést. 12. Podstavná rovina protíná rovinu tečnou v přímce, jež se dotýká podstavné hrany. 13. Tečná rovina protne rovinu podstavnou v tečně podstavné hrany. 15. Podstavy dvou rotačních kuželů o společné straně a společném vrcholu mají ve společném bodě společnou tečnu, jež je průsečnicí rovin obou podstav.
21
VIII. Zobrazení plochy kulové D - VIII. 1. Na dané ploše kulové leží body A, B, z nichž jeden je dán svým půdorysem a druhý nárysem. Sestrojte jejich chybějící průměty.
D - VIII. 2. Zobrazte nejmenší kouli, jež má střed na přímce a = AC a dotýká se přímky b = BD [A(3; 7,8; 1), B(2; 4,5; 3), C(0; 5,5; 0), D(4; 7,5; 7,5)]. (12; 8; 8; 12)
D - VIII. 3. Zobrazte plochu kulovou, znáte-li její tečnu t = TA s bodem dotyku T, víte-li, že střed leží na přímce p = PR [T(-2,5; 2,7; 5,1), A(0; 0; 7,3), (3,6; 11,2; 0), R(-1; 6,2; 10)]. (14; 9; 7; 14)
D - VIII. 4. Zobrazte plochu kulovou, která se dotýká půdorysny a roviny ρ(-3; 6; 8) a jejíž střed leží na přímce m = AB [A(0; 7; 4), B(8; 5; 2)]. (11; 10; 10; 12)
D - VIII. 5. ♣ Sestrojte plochu kulovou, která prochází body A(1,5; 8,5; 6), B(0; 2; 6), C(2; 6; 9) a dotýká nárysny. (14; 10; 9; 13)
D - VIII. 6. ♣ Zobrazte plochu kulovou, která prochází body A(-2; 2; 3), B(1; 8; 3), C(3; 2; 3) a dotýká se přímky t = MN [M(;5; 6; 10), N(-4,5; 9,5; 4)]. (11; 10; 10; 14).
D - VIII. 7. ♣ Určete plochu kulovou, která prochází body A(-4; 6; 3), B(1; 3; 8), dotýká se
půdorysny a roviny ρ, která je kolmá k nárysně a prochází body M(-8; 0; 0), N(-4; 0; 9). (12; 9; 9; 15)
D - VIII. 8. ♣ V rovině ρ(-7; 8; 3) určete přímky rovnoběžné s rovinou σ(6; 5; 5) a mající od bodu A(0; 6; 4) vzdálenost d = 4. (9; 8; 7; 13)
D - VIII. 9. ♣ Sestrojte rovinu jdoucí bodem A(0; 3; 3) tak, aby svírala s půdorysnou odchylku 60° a s nárysnou 75°. (12; 7; 7; 10)
D - VIII. 10.K dané ploše kulové veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou ρ(4; 5; 4) [S(0; 5; 4), r = 3,5]. (8; 4,5; 15,5; 9)
D - VIII. 11.Přímkou m = AB proložte roviny, jež protínají kouli o středu S(0; 4; 4) a poloměru r = 3,5 v kružnici o průměru d = 5 [A(-1; 11,5; 5), B(4; 4,5; 11,5)]. (12,5; 8; 6; 12,5)
Pokyny k řešení některých úloh: 5.
Mocností nárysného stopníku přímky AB ke hledané kulové ploše je udána vzdálenost bodu dotyku nárysny od tohoto stopníku. Opakujeme-li totéž pro přímku AC, můžeme sestrojit bod dotyku nárysny s plochou kulovou.
6.
Určete průsečík přímky t s rovinou ABC. Mocnost tohoto průsečíku ke kružnici jdoucí body A, B, C je rovna vzdálenosti bodu dotyku přímky t s plochou kulovou od tohoto průsečíku.
7.
Sestrojme roviny souměrnosti jednak dané dvojice bodů jednak dané dvojice tečných rovin. Na jejich průsečnici musí ležeti střed hledané plochy. Určíme-li půdorysný stopník přímky AB, pak pomocí mocnosti tohoto stopníku ke hledané ploše kulové určíme vzdálenost t neznámého bodu dotyku půdorysny a plochou kulovou od tohoto stopníku. Střed hledané plochy kulové leží na rotační ploše válcové, jejíž řídicí kružnice v půdorysně má za střed půdorysný stopník přímky AB a poloměr t. 22
8.
Všechny přímky mající od bodu A vzdálenost d se dotýkají kulové plochy o středu A a poloměru d.
9.
Zvolte libovolnou plochu kulovou. Všechny tečné roviny této plochy kulové, jež mají žádanou půdorysnou odchylku, obalí dvě rotační plochy kuželové, jež se dotýkají plochy kulové podél dvou kružnic. Podobně dostaneme jiné dvě kružnice na ploše kulové pro tečné roviny se žádanou nárysnou odchylkou. Existují-li průsečíky dotykových kružnic, pak tečné roviny v nich sestrojené splňují obě podmínky.
EI.
Názorné zobrazovací metody
Kosoúhlé promítání
Stejně jako pří promítání pravoúhlém je potřeba i při kosoúhlém promítání umět bezpečně a téměř automaticky úlohy základní. Stačí však umět řešit jen úlohy polohy a kromě toho umět z kosoúhlých průmětů zjistit průměty pravoúhlé, protože metrické úlohy se provádějí v promítání pravoúhlém. Opět se vyplatí porovnat si řešení základních úloh v promítání kótovaném i v promítání Mongeově a uvědomit si, v čem se řešení sobě podobají a v čem se liší. Pokud není v textu úlohy stanoveno ω a q, je možno tyto údaje volit. V úlohách polohy není třeba znát q, jsou- li útvary již zadány kosoúhlými průměty. Tam, kde v textu není jinak stanoveno, volte si rovnou zadaní pomocí kosoúhlých průmětů, abyste se zbytečně nezdržovali. V příkladech 18, 19 a 21 proveďte řešení bez sestrojování osového kříže a bez volby q třebaže tyto úlohy obsahují též prvky metrické, je možno je provést bez zjišťování pravoúhlých průmětů.
E - I. 1.
Sestrojte kosoúhlý průmět bodu daného souřadnicemi, znáte-li ω, q.
E - I. 2.
Bod je dán kosoúhlým půdorysem a kosoúhlým průmětem. Sestrojte jeho pravoúhlé průměty (ω, q je dáno).
E - I. 3.
Bodem A veďte přímku rovnoběžnou s přímkou b a určete její stopníky.
E - I. 4.
Určete stopy roviny dané a) bodem a přímkou, jež nejsou incidentní; b) třemi body, jež neleží na jediné přímce; c) dvěma různoběžkami.
E - I. 5.
Najděte chybějící průmět bodu, který leží v rovině určené stopami (bod je dán jen jedním průmětem). Podobně řešte tuto úlohu o přímce ležící v dané rovině.
E - I. 6.
Sestrojte průsečík přímky a s rovinou ρ, jež je dána a) stopami; b) dvojicí rovnoběžek; c) dvojicí různoběžek; d) bodem a přímkou, jež nejsou incidentní. Případy b) – d) řešte bez vyhledání stop roviny.
E - I. 7.
Určete průsečnici daných rovin. Roviny jsou určeny a) obě stopami; b) jedna stopami, druhá dvojicí různoběžek; c) jedna dvojicí různoběžek, druhá dvojicí rovnoběžek. V případě b) i c) řešte úlohu bez vyhledání stop.
E - I. 8.
Sestrojte kosoúhlý průmět kružnice, ležící v souřadnicové rovině xy nebo yz.
E - I. 9.
Sestrojte skutečnou velikost úsečky a její odchylky od průmětny, znáte-li její kosoúhlý průmět a kosoúhlý půdorys. 23
E - I. 10.
Bodem A veďte kolmici k rovině ρ dané stopami.
E - I. 11.
Bodem A veďte rovinu σ rovnoběžnou s rovinou ρ (danou stopami).
E - I. 12.
Mimoběžky a, b jsou dány kosoúhlými průměty a kosoúhlými půdorysy. Určete jejich úhel.
E - I. 13.
Rovinu ρ (danou stopami) otočte do půdorysny nebo do nárysny.
E - I. 14.
Sestrojte průmět obdélníka, jehož jedna strana leží na ose x, třetí vrchol na přímce p = MN a čtvrtý na přímce q = PR [M(-4; 0; 6), N(3,5; 4,5; 2,5), P(7,5; 4; 6,5), R(15,5; 9,5; 11), ω = 120°, q = 2:3]. (7; 5; 10; 6)
E - I. 15.
Sestrojte příčku mimoběžek a = AC, b = BD procházející bodem M(1,3; ;8; 4,2) [A(3,1; 2,6; 0), B(5; -3,7; 0), C(0; 1,6; 4,5), D(5; 0; 5), ω = 135°, q = 2:3]. (7,5; 4; 9; 6)
E - I. 16.
Sestrojte příčku mimoběžek a = AC, b = BD rovnoběžnou se směrem s = SR [A(-3; 5; 3,5), B(0; 1; 1), C(1,5; 9; -2,5), D(4,5; 0; 4,5), R(0; 0; 5), S(-4,5; 3; 6,5), ω = 135°, q = 1:√2]. (9; 9; 10; 12)
E - I. 17.
Sestrojte pravidelný n-úhelník ležící v souřadnicové rovině xy nebo yz, znáte-li souřadnice jeho středu a jednoho vrcholu.
E - I. 18.
Zvolte si obecný trojúhelník ABS a považujte jej za kosoúhlý průmět rovnostranného trojúhelníka. Sestrojte v tomtéž kosoúhlém promítání obraz pravidelného šestiúhelníka o středu S a jedné straně AB.
E - I. 19.
♣ Sestrojte obecný trojúhelník a považujte jej za kosoúhlý průmět rovnostranného trojúhelníka. Zobrazte kosoúhlý průmět kružnice tomuto trojúhelníku opsané.
E - I. 20.
Sestrojte průmět pravidelného sedmibokého jehlanu s osou kolmou k půdorysně, s vrcholem V(0; 4; 0) a s jedním podstavným vrcholem A(0; 8; 7) [ω = 135°, q = 2:3]. (7; 10; 5; 9)
E - I. 21.
♣ Sestrojte obecný trojúhelník a považujte jej za kosoúhlý průmět stěny pravidelného čtyrstěnu ležící v půdorysně. Považujte zvolenou stranu za rovnoběžnou s osou x; doplňte obraz nekosoúhlý průmět celého čtyrstěnu.
E - I. 22.
Zobrazte pravidelný osmistěn s osou AF kolmou k půdorysně, s vrcholem A v půdorysně a s vrcholem B v nárysně [F(4; 4; 10),ω = 135°, q = ;6]. (10; 6; 10; 8)
E - I. 23.
♣ Ve zvoleném kosoúhlém promítání zobrazte pravidelný dvacetistěn, jehož jedna osa je kolmá k půdorysně.
E - I. 24.
♣ Ve zvoleném kosoúhlém promítání zobrazte pravidelný dvanáctistěn ležící jednou stěnou na půdorysně.
E - I. 25.
Zobrazte rotační válec stojící podstavou na bokorysně, znáte-li střed S(8; 4; 4) druhé podstavy a poloměr podstavy r = 4 [ω = 135°, q = ;75]. (8; 8; 8; 8)
E - I. 26.
Zobrazte rotační kužel stojící podstavou v půdorysně, znáte-li jeho vrchol V(5; 4; 7) a poloměr podstavy r = 4 [ω = 135°, q = ;8]. (7; 5; 9; 8) 24
E - I. 27.
Zobrazte plochu kulovou se středem v počátku, znáte-li její poloměr r = 3,5 [ω = 135°, q = ;4]. (6; 6; 6; 6)
Pokyny k řešení některých úloh: 19. Osy stran rovnostranného trojúhelníka splývají s těžnicemi. Tečna kružnice opsané sestrojená v kterémkoli vrcholu tohoto trojúhelníka je rovnoběžná s protilehlou stranou. 21. Hrana rovnoběžná s osou x se jeví ve skutečné velikosti, dovedeme tedy sestrojit i délku tělesové výšky. Její pata leží v průsečíku výšek stěny položené na půdorysně. 23. Těleso má dvanáct vrcholů, jež leží po 5 ve dvou rovinách kolmých k ose proložené zbývajícími dvěma vrcholy. Libovolný vrchol s pěti sousedními vrcholy jsou vrcholy pravidelného pětibokého jehlanu a také zbývající vrcholy lze považovati za vrcholy jehlanu shodného s prvým jehlanem. Oba jehlany jsou souměrné podle středu dvacetistěnu. 24. Těleso má dvacet vrcholů položených po 5 ve čtyřech rovnoběžných rovinách. K sestrojení pravoúhlého půdorysu vrcholů neležících v půdorysně nebo ve stěně s půdorysnou rovnoběžné užijte otočení stěny do půdorysny nebo do roviny s půdorysnou rovnoběžné. Souřadnice z vrcholů neležících v půdorysně sestrojte z půdorysu pomocí rozdílových trojúhelníků.
II.
Pravoúhlá axonometrie Také pro řešení úloh v pravoúhlé axonometrii je třeba ovládat řešení základních úloh, jež jsou obsaženy v příkladech 1 – 15. Pokud v textu nejsou udány souřadnice, volte si útvary již v axonometrickém zobrazení. Při základních úlohách si opět uvědomte, čím se podobají a čím se liší od Řešení těchže úloh v promítáních dříve probraných. Uvědomíte-li si, které úlohy se řeší velmi podobně jako v promítání kosoúhlém a které velmi podobně jako v promítání kótovaném, nemusíte si osvojovat mnoho nových věcí a vaše vědomosti budou bezpečnější. Pravoúhlá axonometrie je poněkud složitější než pravoúhlá promítání dříve poznaná; vyplatí se proto nespoléhat se na bezprostřední představu, nýbrž opírat se o odvozené poučky. Kdo se učí tomuto způsobu promítání poprvé, udělá dobře, rozřeší-li téměř všechny úlohy podrobně. Jednodušší úlohy stačí kreslit od ruky. Čísla uvedená v závorce za značkou Δ udávají strany axonometrického stopního trojúhelníka Δ(XY, YZ, ZX). Vrchol X leží vpravo, Y vlevo, Z nahoře.
E - II. 1.
Sestrojte měřítka na osách, je-li dán osový kříž.
E - II. 2.
Sestrojte axonometrický stopník přímky dané axonometrickým půdorysem (nebo axonometrickým nárysem nebo axonometrickým bokorysem) a axonometrickým průmětem.
E - II. 3.
Axonometrie je určena osovým křížem. Axonometrickou průmětnu proložte bodem A, jehož poloha je určena axonometrickým průmětem a axonometrickým půdorysem (nebo axonometrickým nárysem nebo axonometrickým bokorysem).
E - II. 4.
Určete stopy roviny procházející body A, B, C, jež neleží na jediné přímce. 25
E - II. 5.
Sestrojte průsečnici dvou daných různoběžných rovin (jakkoli zadaných).
E - II. 6.
Sestrojte průsečík dané přímky m s danou rovinou (jakkoli zadanou).
E - II. 7.
Sestrojte axonometrickou stopu dané roviny. Úlohu řešte také v případě, že rovina protíná některou souřadnou osu ve vrcholu axonometrického trojúhelníka.
E - II. 8.
Bodem A ležícím v některé souřadnicové rovině veďte přímku k ležící v téže souřadnicové rovině a kolmou k přímce m, jež rovněž leží v téže souřadnicové rovině.
E - II. 9.
Určete vzdálenost daného bodu A od axonometrické průmětny.
E - II. 10. Daným bodem veďte rovinu kolmou k dané přímce. E - II. 11. Bodem A veďte přímku kolmou k rovině ρ(4,5; 5,5; -16) [A(6; 4; 7), souřadnice v obou případech udány již zkráceny; Δ(12,5; 11,5; 15)]. (12; 16; 0; 15)
E - II. 12. Sestrojte skutečnou délku úsečky AB [ A(4,8; 3; 5,2), B(7,8; 2,2; 7,2), souřadnice jsou udány již zkráceny; Δ(12; 15; 15,5)]. (16; 15; 2; 4)
E - II. 13. Sestrojte skutečnou velikost trojúhelníku ABC, který leží v rovině ρ
[ρ(2,6; -6; 6,5), souřadnice jsou udány již zkráceny; body A, B, C jsou dány axonometrickými průměty, jež sestrojíme zanesením prvé úsečky na osu y a druhé z toho bodu směrem osy z: A(8; 7,2), B(6,8; 5,5), C(3,4; 2,5); Δ(19; 22; 23,5)]. (22; 20; 1; 7)
E - II. 14. Sestrojte průmět kružnice ležící v některé průmětně, znáte-li polohu jejího středu a velikost poloměru.
E - II. 15. Sestrojte průmět kružnice ležící v rovině ρ, znáte-li její střed S a poloměr r = 3,5 [ρ(4,5; 5; -6,2), souřadnice uvedeny již zkráceny; střed S je dán axonometrickým průmětem, jejž sestrojíme tak, že na osu x naneseme 1,4 a odtud směrem osy z 4,5; Δ(15; 13; 16,5)]. (13; 16; 0; 4)
E - II. 16. Určete vzájemnou polohu přímek a = AC, b = BD [A(0; 5; 0), B(7; 0; 0), C(2,8; 0; 6,5), D(0; 1,3; 6), souřadnice uvedeny již zkráceny; Δ(11; 12; 13)]. (11,5; 12; 1; 0)
E - II. 17. Bodem A veďte přímku rovnoběžnou s danou přímkou m a určete její stopníky (také stopník axonometrický).
E - II. 18. Bodem A veďte rovinu σ rovnoběžnou s danou rovinou ρ. E - II. 19. Daným bodem M veďte rovinu rovnoběžnou a danými mimoběžkami a, b. E - II. 20. Uvnitř úsečky AB najděte bod ležící ve vzdálenosti 4 od bodu B [A(0; 0; 2,1), B(7,5; 2,5; 8), souřadnice udány již zkráceny; Δ(10; 9; 11)]. (9; 17; 0; 6)
E - II. 21. Sestrojte rovinu souměrnosti dvojice daných bodů A, B. E - II. 22. Najděte vzdálenost bodu A od přímky m. E - II. 23. Určete úhel daných mimoběžek a, b. 26
E - II. 24. Sestrojte průsečík přímky m = PQ s rovnoběžníkem ABCD [A(2,5; 3; 1), B(-2; 0; 2), C(2; -3; 9), P(4; -5; 0), Q(0; 5; 10); Δ(10; 11; 12)]. (12; 12; 2; 6)
E - II. 25. Rozhodněte o vzájemné poloze rovnoběžníka ABCD a trojúhelníka EFG
a rozhodněte i o viditelnosti [B(5,7; 4,7; 7,3), C(1,5; 0; 7,3), D(0; 3; 5), E(0; 4; 2,4), F(5,7; 4; 11,2), G(2,2; 0; 5,7), souřadnice udány již zkráceny; Δ(13; 14; 12)].(12; 13; 1; 3)
E - II. 26. Sestrojte společný bod rovin α (-5; 4; 5), β (6; 8; 8), γ(4; 2; -6); Δ(10; 11; 12). (12; 13; 3; 6)
E - II. 27. K přímce m = AB veďte bodem N(4; 0; 4) příčku rovnoběžnou s půdorysnou
a bodem P (6; 2; 0) k přímce n = CD příčku rovnoběžnou s nárysnou [A(4; 2; 1), B(-4; 4; 10), C(2; 0; 10), D(-2; 7; 6); Δ(10; 11; 12)]. (13; 13; 2; 6)
E - II. 28. K mimoběžkám a = AC, b = BD veďte příčku z bodu M [A(;5; 6,7; 0), B(1,5; 1,5; 0), C(2,2; 0; 5), D(6; 1,7; 10), M(3,9; ;4; 7), všechny souřadnice udány již zkráceny; Δ(10; 11; 11)]. (11; 11; 3; 3)
E - II. 29. K mimoběžkám a = AC, b = BD veďte příčku rovnoběžnou se směrem s = EO
[A(;5; -6,7; 0), B(1,5; 1,5; 0), C(2,2; 0; 5), D(6; 1,7; 10), E(-2,5; 3; -1,2) O(0; 0; 0), všechny souřadnice udány již zkráceny; Δ(10; 11; 11)]. (11; 12; 3; 3)
E - II. 30. Sestrojte kružnici vepsanou stopnímu trojúhelníku roviny ρ(9; 3; 7) [souřadnice již zkráceny; Δ(10; 10; 10)]. (11; 11; 3; 8)
E - II. 31. Zobrazte pravidelný pětiboký hranol o výšce v = 3 s podstavou v nárysně, znáte-
li její střed S (1,5; 0; 5,5) a jeden vrchol A(-1; 0; 2,5); Δ(10; 11; 12). (13; 12; 4; 6)
E - II. 32. Zobrazte pravidelný čtyrboký jehlan s podstavou v rovině ρ(5; -12; 10) znáte-li střed jeho podstavy S(4; 8; ?), jeden podstavný vrchol A(5; 5,5; ?) a výšku v = 11; Δ(10; 11; 12). (14; 11; 8; 9)
E - II. 33. Zobrazte rotační kužel o výšce v = 9, jehož podstava ležící v rovině ρ(4; 7; 8,4) se dotýká půdorysny v bodě A(2; ?; 0) a dotýká se též nárysny; Δ(12,2; 13; 15). (15; 16; 2; 8)
E - II. 34. Zobrazte plochu kulovou o středu S(8; 5; 2) a dotýkající se axonomoterické průmětny Δ(10; 11; 12). (11; 14; 7; 7)
E - II. 35. Sestrojte axonometrický kříž tak, aby zkrácení na ose x bylo ;8 a na ose y ;75. E - II. 36. Sestrojte osový kříž, znáte-li odchylky α, β osy x a y od axonometrické průmětny! (úhly α, β jsou ostré a jejich součet musí být menší než 90°.)
E - II. 37. Sestrojte osový kříž, znáte-li poměr poměrů zkrácení na osách. (Jsou-li čísla
udávající tyto poměry m, n, p, musí platit že součet čtverců kterýchkoli dvou je větší než čtverec třetího čísla.)
III.
Středové promítání
Ve středovém promítání dostáváme při vhodné volbě distance a polohy zobrazeného předmětu obrazy, které se blíží tomu, jak předměty vídáme. Přesto však není vhodné 27
spoléhat jen na názor při sestrojování obrazů, nýbrž velmi se vyplatí dokonale si osvojit některé konstrukce, jako by to byly poučky. Jednoduché úlohy, které je dobře nacvičit až do úplného zautomatizování, jsou obsaženy v příkladech 1 – 11. V příkladech 1 a 2 se používá kromě středového průmětu bodu také jeho průmětu pravoúhlého. Tuto konstrukci je třeba znát proto, abychom dovedli sestrojit středový průmět z průmětu pravoúhlého (nebo ze známých souřadnic bodu) nebo úlohu obrácenou. V ostatních úlohách se zpravidla pravoúhlého průmětu nepoužívá a je tedy třeba umět ostatní úlohy řešit jen s jediným a to středovým průmětem. Je dobré si uvědomit, že hlavního bodu ani distance se nepoužívá při řešení úloh polohy a není tedy třeba při zadání takových úloh znát ony dva údaje. Oba údaje jsou však nezbytné pro řešení úloh metrických. Pro bezpečnou znalost středového promítání se vyplatí provést podrobně prvých 33 úloh a teprve u dalších je možno provést jen rozbor úlohy.
E - III. 1.
Sestrojit středový průmět bodu A, je-li znám jeho nárys a kóta. (Určiti kótu bodu, je-li znám jeho středový a pravoúhlý průmět nebo určiti pravoúhlý průmět ze známého průmětu středového a kóty.)
E - III. 2.
Bod A je dán středovým průmětem AS na nositelce b (jejíž středový průmět je určen stopníkem a úběžníkem). Určete jeho druhý průmět.
E - III. 3.
Středový průmět přímky je dán stopníkem a úběžníkem. Určete odchylku přímky od průmětny.
E - III. 4.
Přímka je dána středovým průmětem s vyznačeným stopníkem. Je-li známa její odchylka od průmětny, určete její úběžník.
E - III. 5.
Rovina je určena stopou a úběžnicí. V rovině leží bod A určený středovým průmětem AS. Zjistěte jeho kótu.
E - III. 6.
Sestrojte skutečnou délku úsečky AB a najděte též obraz jejího středu. Body A, B jsou dány středovými průměty AS, BS na přímce pS, jejíž stopník i úběžník je vyznačen. (K sestrojení skutečné délky úsečky užijte dělící kružnice).
E - III. 7.
V rovině dané úběžnicí a stopou je dána přímka a se středovým průmětem aS a bod B s středovým průmětem BS. Sestrojte středový průmět přímky b, jež prochází bodem B a je rovnoběžná s přímkou a.
E - III. 8.
Sestrojte stopu a úběžnici roviny proložené přímkou a a bodem B, který leží na nositelce b. Obě přímky jsou určeny středovým průmětem s vyznačeným úběžníkem i stopníkem.
E - III. 9.
Sestrojte průsečík dané přímky s danou rovinou.
E - III. 10. V rovině ρ určené stopou a úběžnicí narýsujte spádovou přímku jdoucí bodem O a vyneste na ni měřítko od bodu O jako počátku [nρS = x, uρS je 8 nad nρS, S2(2; 5), d = 3, OS(-2; 1)]. (9; 4; 6; 1)
E - III. 11. Určete úběžník kolmic k rovině jež je dána úběžnicí a stopou. E - III. 12. ♣ Určete stopník a úběžník přímky p = AB, jsou-li body A, B dány svými středovými průměty na nositelkách a, b. 28
E - III. 13. ♣ Najděte stopu a úběžnici roviny proložené body A, B, C, jež leží
na nositelkách a, b, c [NaS(-5,3; 1,5), UaS(1,3; ?), AS(-3; 0), NbS(;6; 7,1), BS(2,5; 0), UbS(3; ?), NcS(-1,7; 3,8), CS(2,7; 4), UcS(6; ?)]. (13; 9; 8; 8) B
E - III. 14. Sestrojte společné body rovin α, β, γ, jež jsou určeny svými stopami a úběžnicemi.
E - III. 15. ♣ Zobrazte průsečnici rovin ρ, σ, jestliže platí nρS || nσS, uρS ≠ uσS. E - III. 16. Sestrojte vzdálenost bodu M, který leží na nositelce m, od přímky p
[S2(0; 3,5), d = 2,5, MS(-1; ?), NmS(-4; 0), UmS(3; 5), NpS(0; 6), UpS(4; 0)]. (7; 5; 6; 3)
E - III. 17. Přímky a, b jsou určeny svými středovými průměty (s vyznačenými stopníky a úběžníky). Určete jejich vzájemnou polohu.
E - III. 18. Přímka a je dána svým středovým průmětem s vyznačeným úběžníkem
a stopníkem. Přímka b, která je s ní různoběžná, je dána svým středovým průmětem s vyznačeným stopníkem (nebo úběžníkem). Najděte úběžník (stopník) přímky b.
E - III. 19. Rovina ρ je určena úběžnicí a stopou. Přímka a je určena úběžníkem a stopníkem. Rozhodněte o jejich vzájemné poloze.
E - III. 20. Stanovte vzdálenost rovnoběžek a, b [S2(-4; 0), d = 3, NaS (-2,6; 3,5), UaS (2,5; -4), NbS (1,5; 3,5)]. (6; 8; 5; 5)
E - III. 21. Určete odchylku směrů a, b [UaS(4; 2), UbS(-2; 5), S2(0; 3), d = 3]. (7; 4; 5; 0) E - III. 22. Sestrojte stopu a úběžnici roviny ρ, znáte-li její spádovou přímku a vyznačeným úběžníkem a stopníkem.
E - III. 23. Bodem A roviny ρ veďte přímku a rovnoběžnou s rovinou σ (roviny jsou zadány stopami a úběžnicemi, bod A středovým průmětem AS).
E - III. 24. Bodem A, který leží na nositelce a, veďte rovinu σ rovnoběžnou s rovinou ρ [nρS = x, uρS leží 7 nad x, NaS(-2; 8), UaS(3; -2), AS(0; ?)]. (8; 5; 5; 15)
E - III. 25. Sestrojte středový obraz pravoúhlého průmětu přímky m do roviny ρ [uρS je rovnoběžná s osou x ve vzdálenosti -4, nS ve vzdálenosti +4, NmS(5; 3), UmS(2,7; -2,7), S2(0; 0), d = 3]. (6; 4; 7; 5)
E - III. 26. Stanovte vzdálenost bodu M, který leží na přímce m, od roviny α [nαS = x, uS 8,6 nad osou x, NmS(1,5; 7,5), UmS(-2; 8), MS(-5; ?), S2(4; 4,8), d = 2]. (10; 9; 7; 4)
E - III. 27. Sestrojte příčku mimoběžek a, b tak, aby ležela v rovině ρ [nρS = x, uS leží 4 nad osou x, NaS(-6; 5), UaS(-2; 6), NbS(3,5; 7), UbS(4; -1)]. (8; 7; 7; 2).
E - III. 28. Sestrojte příčku mimoběžek a, b procházející bodem M, který leží na přímce c
[UaS,7; 12,5), NaS(5,8; 2,3), UbS(11,2; 1,8), NbS(14,3; 1,8), UcS(0; 7,2), NcS(14,9; 4,2), MS(1;8; ?)]. (16; 1; 16; 0)
E - III. 29. Stanovte příčku mimoběžek a, b rovnoběžnou se směrem q [NaS(-4; 0), UaS(1,3; -8), NbS(-2,5; -6), UbS(3; 0), UqS(4,7; -1,2)]. (5; 8; 7; 10) 29
E - III. 30. Zobrazte osu mimoběžek a, b [S2(-4; 7), d = 3, NaS(1; 7), UaS(-1,5; 11), NbS(1; 4,5), UbS(7; 9)]. (13; 7,5; 8; 1)
E - III. 31. V rovině určené stopou a úběžnicí leží mnohoúhelník, jehož středový průmět je dán. Sestrojte jeho skutečný tvar a velikost.
E - III. 32. Sestrojte středový průmět pravidelného n-úhelníka, který leží v rovině určené stopou a úběžnicí, znáte-li středový průmět středu mnohoúhelníka a jednoho vrcholu. (n = 3,4,5,6)
E - III. 33. Zobrazte čtverec ležící v rovině ρ, znáte-li jeho protilehlé vrcholy A, C [nρS rovnoběžné s osou x ve vzdálenosti 5, uρS ve vzdálenosti -5, AS(0; 2,6), CS(2; 1), S2(-6; 0), d = 3]. (6; 10; 10; 6)
E - III. 34. Zobrazte těžiště trojúhelníka ABC, který leží v rovině ρ [nρS je rovnoběžno
s osou x ve vzdálenosti -4, uρS ve vzdálenosti +4, S2(0; 0), d = 3, AS(5; -6), BS(-4; 0), CS(0; 1,7)]. (10; 14,5; 5,5; 7) B
E - III. 35. Ve středovém promítání na nárysnu sestrojte středový průmět pravidelného pětiúhelníka ležícího v půdorysně, znáte-li jeho střed O(-1; -6; 0) a jeho vrchol A(-3; -1; 0). Střed promítání S(0; 6; 5). (12; 7; 7; 7)
E - III. 36. Rovnostranný trojúhelník AoBoCo ležící v průmětně otočte do roviny α kolem její B
nárysné stopy [S2(0; 0), d = 1,5, Ao(-2,6; 2,8), Co(0; 7,7), nαS je rovnoběžno s osou x ve vzdálenosti 2, uαS ve vzdálenosti -2]. (10; 8; 8; 8)
E - III. 37. Ve středovém promítání na nárysnu [střed promítání S(-4; 6; 7)] zobrazte
kružnici ležící v rovině ρ a mající střed O(2; ?; 1,5) a poloměr r = 5 [nρS = x, uρS leží 10 nad osou x]. (11; 11; 9; 8)
E - III. 38. Zobrazte kružnici ležící v rovině ρ, znáte-li její střed a poloměr. Jak musí kružnice v rovině ležet, aby její průmět byl a) elipsa; b) parabola; c) hyperbola?
E - III. 39. Ve středovém promítání na nárysnu [střed promítání S(0; 5; 8)] zobrazte kružnici ležící v půdorysně, jež má střed O(-3; -4; 0) a dotýká se nárysny. (14; 8; 7; 6)
E - III. 40. Ve středovém promítání na nárysnu [střed promítání S(4; 4; 11)] zobrazte krychli stojící jednou stěnou na půdorysně, znáte-li dva protilehlé vrcholy A, C této stěny [A(-7; -5; 0). C(-3; 0; 0)]. (15; 15; 9; 0)
E - III. 41. Ve středovém promítání na nárysnu zobrazte rotační válec o ose PQ a poloměru
r = 3,5 [střed promítání S(12; 7; 10), P(0; -3,5; 3,5), Q(5; -3,5; 3,5)]. (18; 8; 20; 1)
E - III. 42. Ve středovém promítání na nárysnu [střed S(4,5; 8,5; 6)] zobrazte rotační kužel
o vrcholu V(0; -6; 12) a poloměru podstavy r = 5, stojící podstavou na půdorysně. (16; 9,5; 1;5; 12)
E - III. 43. Ve středovém promítání na nárysnu [střed promítání S(4; 5; 6)] zobrazte plochu kulovou o středu O(-4; 8; -5) a poloměru r = 4. (11; 10; 10; 14)
Pokyny k řešení některých úloh:
30
8. Bodem B proložte přímku c, rovnoběžnou s přímkou a, takže rovina je pak určena přímkami a, c. Stopník přímky c určete z vlastnosti středových průmětů různoběžek b, c. 12. Přímka p leží v rovině určené přímkou a a bodem B (nebo v rovině určené přímkou b a bodem A). Viz též příklad 8. 13. Rovina je určena přímkou AB a bodem C. Srovnej též příklady 8 a 12. 14. Hledaná průsečnice r je rovnoběžná se stopami daných rovin. Jeden její bod určíme pomocí libovolné třetí roviny, jež je s danými rovinami různoběžná.
FI.
Transformace
Osová afinita V příkladech 1 – 6 jde o určování bodů pomocí afinity a o určení afinity žádaných vlastností. V příkladech 7 – 11 jsou úlohy o elipse, jež se výhodně řeší pomocí afinity. V příkladech 12 – 18 jde o elipsu určenou pěti podmínkami a o převedení tohoto určení na určení pomocí sdružených průměrů (nebo os); tyto příklady není třeba provádět celé, postačí určit afinitu, jež danou elipsu převádí na kružnici.
F - I. 1.
K danému pětiúhelníku sestrojte pětiúhelník afinně sdružený, je-li dána osa afinity a bod, který odpovídá jednomu vrcholu daného pětiúhelníka.
F - I. 2.
Jsou dány tři páry bodů afinně sdružených. Sestrojte osu afinity.
F - I. 3.
♣ V osové afinitě odpovídá trojúhelníku ABC trojúhelník rovnostranný, jehož jeden vrchol je A’. Určete tuto afinitu a sestrojte trojúhelník A’B’C’ [A(-7; 4), B(-2,5; 5), C(-2; 9), A’(0; 2)]. (17; 10; 10; 0)
F - I. 4.
V osové afinitě o ose o = x sestrojte k danému rovnoběžníku ABCD sdružený čtverec [A(0; 1,5), B(-4,5; 1,5), C(-6,5; 4)]. (8; 7; 5; 6)
F - I. 5.
Sestrojte osovou afinitu s osou o = x tak, aby trojúhelníku ABC odpovídal trojúhelník rovnostranný [A(3; -1,5), B(-2; -4), C(0; -6)]. (10; 10; 10; 7)
F - I. 6.
Sdružené průměty rovinného obrazce jsou v Mongeově promítání afinně sdruženy. Směr afinity udávají ordinály, osou afinity je obraz průsečnice roviny totožnosti s rovinou, v níž obrazec leží. Užitím tohoto vztahu sestrojte chybějící průmět rovinného obrazce, znáte-li kromě stop roviny, v níž obrazec leží, jeden jeho průmět.
F - I. 7.
Elipsa je dána párem sdružených průměrů. Pomocí afinity sestrojte k ní a) tečny z daného bodu; b) tečny daného směru; c) průsečíky s danou přímkou. (Elipsu není třeba rýsovat).
F - I. 8.
♣ Sestrojte elipsu, je-li dána její osa o = x, střed S(0; 0) a dva body M(1; 2,7), N(4,5; 1,7). (7; 7; 12; 7)
F - I. 9.
♣ Elipsa je dána sdruženými průměry. Užitím afinity sestrojte její osy.
F - I. 10.
Elipsa je dána párem sdružených průměrů. Užitím afinity omezte v ní průměr daného směru r a sestrojte průměr s, který je s ním sdružen. 31
F - I. 11.
♣ Elipsa e1 je dána sdruženými průměry M1N1, P1Q1. Elipsa e2 je s ní stejnolehlá a je dána průměrem M2N2 (M1N1||M2N2). Pomocí afinity sestrojte průsečíky obou elips.
F - I. 12.
♣ Sestrojte elipsu danou středem S(0; 0), polohou hlavní osy o = x, a tečnou t (jež protíná hlavní osu ve vzdálenosti 6 od středu S a vedlejší osu ve vzdálenosti 3 od středu S) a bodem dotyku T(2,5; ?). (6; 7; 7; 6)
F - I. 13.
♣ Elipsa je dána neomezenými sdruženými průměry p, q a dvěma body M, N. Sestrojte její osy.
F - I. 14.
♣ Elipsa je dána neomezenými sdruženými průměry p, q a tečnou t a bodem dotyku T. Sestrojte ji.
F - I. 15.
♣ Sestrojte elipsu, znáte-li její dvě rovnoběžné tečny a a) tři body; b) 2 body a tečnu; c)tečnu s bodem dotyku a další bod.
F - I. 16.
♣ Sestrojte elipsu, znáte-li její střed S a a) bod T1 a tečny t2 a t3; b) body T1, T2 a tečnu t3.
F - I. 17.
♣ Sestrojte elipsu, jež je dána středem S, tečnou s bodem dotyku a a) dalším bodem; b) další tečnou.
F - I. 18.
♣ Sestrojte elipsu, znáte-li dvě rovnoběžné tečny s bodem dotyku na jedné z nich a kromě toho ještě a) dva body; b) bod a tečnu; c) tečnu s bodem dotyku.
Pokyny k řešení některých úloh: 3. Viz řešení příkladu 11 z oddílu 1(planimetrie) 8. Osou afinity je přímka o, směr afinity je kolmý k ose afinity. Označme číslicí 1 samodružný bod přímky MN. Je-li P středem úsečky MN, bude P’ středem úsečky M’N’. Úhel SP’1 musí být pravý. 9. Za osu afinity volte např. tečnu v některém koncovém bodě daného průměru. Dané elipse nechť odpovídá kružnice. Průměr této kružnice je shodný s délkou toho průměru elipsy, který je rovnoběžný s osou afinity. 11. volte za osu afinity přímku M2N2. Afinita, která převede elipsu e2 na kružnici, převede na kružnici také elipsu e1. 12. Osou afinity je přímka o , směr afinity je k ní kolmý. Průměr kružnice jdoucí bodem T’ je kolmý na tečnu t’, jež odpovídá tečně t elipsy. 13. Volte za osu afinity přímku MN. Střed odpovídající kružnice leží na Thaletově kružnici, jež má za průměr úsečku spojující samodružné body průměrů p, q. 14. Za osu afinity volte průměr procházející bodem T. 15. Za směr afinity volte směr rovnoběžných tečen. 16. Za osu afinity volte přímku ST1 a omezte průměr sdružený k průměru ST1. 17. Za osu afinity volte spojnici středu s bodem dotyku na dané tečně. Průměr elipsy sdružený k tomuto průměru má směr tečny. 18. Za směr afinity volte směr rovnoběžných tečen.
32
II.
Perspektivní kolineace V příkladech 1 – 5 jde o sestrojování kolineárně sdružených bodů a o určení kolineace žádaných vlastností. V dalších příkladech jde o užití kolineace pří řešení úloh o kuželosečkách nebo o sestrojení kuželosečky pomocí kolineace. Doporučuje se podrobně provést všechna oddělení příkladu 6. U dalších příkladů je třeba alespoň promyslet, jak se zjistí kolineace, jež hledanou kuželosečku převede na elipsu.
F - II. 1.
Kolineace je určena osou o, úběžnicí u a středem S. Danému trojúhelníku ABC sestrojte kolineárně sdružený trojúhelník A’B’C’, jestliže a) žádný bod obvodu daného trojúhelníka neleží na úběžnici; b) jeden vrchol daného trojúhelníka leží na úběžnici; c) úběžnice protíná daný trojúhelník ve dvou bodech.
F - II. 2.
Kolineace je určena třemi páry odpovídajících si bodů. Sestrojte její osu a obě úběžnice.
F - II. 3.
Kolineace je určena dvěma páry odpovídajících si bodů a párem odpovídajících si přímek. Určete její osu a úběžnice.
F - II. 4.
♣ Kolineace je určena osou o = MN, úběžnicí (prochází počátkem) a její střed S se má určit tak, aby trojúhelníku ABC odpovídal trojúhelník pravoúhlý rovnoramenný [A(-1; 3), B(3; -1), C(6; 5), M(5; 0), N(0; 8,5)]. (7; 8; 12; 13)
F - II. 5.
Sestrojte rovinnou kolineaci takovou, aby danému čtyřúhelníku ABCD byl přiřazen čtverec o straně a’ = 6,5 [A(6,8; 1,6), B(5,8; 3,4), C(3,5; 3,7), D(2,3; ;8)]. (11,5; 5; 11; 11)
F - II. 6.
Sestrojte kuželosečku, která v dané perspektivní kolineaci (určené osou, úběžnicí a středem kolineace) odpovídá dané kružnici. Úlohu řešte v případě, že a) úběžnice danou kružnici neprotíná; b) úběžnice se dané kružnice dotýká; c) úběžnice danou kružnici protíná.
F - II. 7.
V perspektivní kolineaci určené dvěma páry sdružených bodů A, A’; B, B’ a bodem M(0; 0) osy kolineace sestrojte ke kružnici o středu M a poloměru r = 2 sdruženou kuželosečku [A(-2,4; 5,6), , B(4,8; 5,6), A’(-6,4; -4), B’(8; -4)]. (16; 8; 10; 8)
F - II. 8.
♣ Sestrojte kuželosečku určenou dvěma tečnami t1, t2 s body dotyku T1, T2 a) a dalším bodem M; b) a další tečnou t3.
F - II. 9.
♣ Sestrojte kuželosečku, znáte-li její tečnu t1 s bodem dotyku T1, další tečnu t2 a dva další body M, N z nichž žádný neleží na t2.
F - II. 10. ♣ Sestrojte kuželosečku, znáte-li čtyři tečny a bod dotyku na jedné z nich. F - II. 11. ♣ Sestrojte kuželosečku, znáte-li tečnu t s bodem dotyku T, další dvě tečny m, n a bod P, který na žádné z nich neleží.
F - II. 12. ♣ Sestrojte kuželosečku určenou dvěma tečnami a dalšími třemi body. F - II. 13. ♣ Sestrojte kuželosečku, znáte-li její dva body M, N a tři tečny t1, t2, t3 , jež jimi neprocházejí.
33
F - II. 14. ♣ Parabola je dána třemi body A, B, C a tečnou t. Sestrojte její tečnu rovnoběžnou s daným směrem m
F - II. 15. ♣ Sestrojte parabolu, máte-li tečnu t1 s bodem dotyku T1, další tečnu t2 a bod T3, který na přímce t2 neleží.
F - II. 16. ♣ Sestrojte parabolu určenou tečnami t1, t2 a body T3 a T4 , jež na daných tečnách neleží.
F - II. 17. ♣ Sestrojte parabolu, znáte-li směr její osy a kromě toho a) jeden bod a dvě tečny; b) tři tečny; c) tři body.
F - II. 18. ♣ Sestrojte hyperbolu, znáte-li směr jedné asymptoty, tečnu t1 s bodem dotyku T1, další tečnu t2 a bod M, jež na t2 neleží.
F - II. 19. ♣ Sestrojte hyperbolu, znáte-li směry asymptot a kromě toho jeden bod a dvě tečny.
F - II. 20. ♣ Hyperbola je dána směry obou asymptot, tečnou t a bodem dotyku T a dalším bodem M. Určete její průsečíky s danou přímku p.
F - II. 21. ♣ Sestrojte hyperbolu, znáte-li jednu její asymptotu x, tečnu t1 s bodem dotyku T1 a další tečnu t2 .
F - II. 22. ♣ Kuželosečka je dána dvěma tečnami a body dotyku a dalším bodem. Sestrojte její průsečíky s danou přímkou m.
F - II. 23. ♣ Kuželosečka je dána dvěma tečnami a body dotyku a další tečnou. Veďte k ní tečny a) z daného bodu M; b) rovnoběžné s daným směrem m.
F - II. 24. ♣ Pomocí kolineace odvoďte konstrukci středů oskulačních kružnic ve vrcholech kuželosečky.
Pokyny k řešení některých úloh: 4. Protínají-li přímky m, n úběžnici u v bodě Um , resp. Un , pak přímky SUm, SUn svírají týž úhel jako přímky m’, n’, které jsou v kolineaci přiřazeny přímkám m, n. 5. Průsečíkům protilehlých stran daného obrazce odpovídají nevlastní body kolineárně sdruženého čtverce. Sestrojíme tedy snadno jednu úběžnici. Spojnice neznámého středu kolineace s úběžníky stran nebo úhlopříček daného různoběžníka budou svírat úhly 90° nebo 45°. Můžeme tedy pomocí vhodných geometrických míst sestrojit střed kolineace. Směr stran čtverce A’B’C’D’ je nyní již znám a jde tedy jen o to určit polohu jedné strany tak, aby měla žádanou délku 8. a) Střed kolineace volte v průsečíku daných tečen. b) Střed kolineace volte v průsečíku tečny t3 s tečnou t1 nebo t2. Je možno také nejprve volit osu kolineace například T1T2 nebo považovat za osu kteroukoli tečnu, na níž znáte bod dotyku. 9. Za střed kolineace volte průsečík daných tečen. 10. Za osu kolineace volte tečnu, na níž znáte bod dotyku. 11. Za osu kolineace volte přímku PT. 12. Za střed kolineace volte průsečík daných tečen. 13. Za osu kolineace volte přímku MN. 34
14. Za osu kolineace volte spojnici dvou daných bodů (z trojice A, B, C). 15. Za osu kolineace volte přímku T1T3 . 16. Za osu kolineace volte přímku T3T4. 17. a) Střed kolineace volte v průsečíku tečen. b) Střed kolineace volte v průsečíku jedné dvojice tečen. c) Za osu kolineace volte spojnici kterékoli dvojice daných bodů. 18. Střed kolineace volte v průsečíku daných tečen. 19. Střed kolineace volte v průsečíku daných tečen. 20. Za střed kolineace volte bod T. 21. Za střed kolineace volte průsečík daných tečen. 22. Úlohu řešte pomocí kolineace a kružnicí. Kuželosečku není třeba rýsovat. 23. b) Hledaným tečnám odpovídají tečny kružnice jdoucí úběžníkem přímky m’, jež v kolineaci odpovídá směru m. 24. Je-li vrchol kuželosečky středem kolineace, je kolineace, jež přiřazuje kuželosečce oskulační kružnici, elací. Střed kružnice určete pomocí tečny v sousedním vrcholu elipsy, pomocí asymptoty u hyperboly a pomocí tečny v koncovém bodě tětivy kolmé k ose a jdoucí ohniskem u paraboly
GI.
Úlohy o tělesech
Hranol a jehlan – řez rovinou a průsečíky s přímkou
Pro rýsování řezů je třeba umět sestrojit jeden vrchol mnohoúhelníka řezu a ostatní vrcholy najít pomocí kolineace nebo afinity. Tuto úlohu je třeba umět řešit ve všech druzích promítání. Průsečíky přímky se nejvhodněji stanoví řezem tou vrcholovou rovinou, jež obsahuje danou přímku. Pokud není v textu výslovně stanoveno jinak, provádějte řešení v Mongeově promítání
G - I. 1.
Pravidelný pětiboký jehlan stojí podstavou na půdorysně. Protněte jej rovinou ρ(0; 45°; 150°) [A(0; 10; 0), V(0; 6; 8)]. (9; 8; 8; 11)
G - I. 2.
Pravidelný šestiboký hranol stojící podstavou na půdorysně protněte rovinou ρ(6; 12; 4) [střed podstavy S(0; 3,7; 0), A(-3; 3; 0), v = 8]. (9; 5; 7; 13)
G - I. 3.
Kosý hranol se čtvercovou podstavou v nárysně protněte rovinou kolmou k pobočným hranám a procházející bodem M(-3; 6,5; 10) [A(-6; 0; 4), B(-3; 0; 3), B’(6; 9; 5), zC > 3]. (11; 8; 9; 10)
G - I. 4.
Pravidelný čtyrboký jehlan s podstavou v rovině ρ(4; 5; -6) má střed podstavy S(2; ?; 3), poloměr kružnice opsané podstavě r = 4 a jeden podstavný vrchol A(?; ?; 1,5). Výška jehlanu se rovná úhlopříčce podstavy. Sestrojte jeho řez rovinou σ(-1; -6; 2). (10; 7; 10; 15)
35
G - I. 5.
Trojboký kosý jehlan s pravidelnou podstavou v půdorysně protněte rovinou, jež prochází bodem M(-5; 4; 6) a je kolmá k hraně AV [A(-4; 1; 0), B(1; 2; 0), yC > 2, V(5; 7; 8)]. (10; 9; 9; 10)
G - I. 6.
♣ Čtyrboký jehlan s podstavou v průmětně protněte rovinou v rovnoběžníku s jedním vrcholem D. Proveďte v kótovaném promítání [A(-4; 1; 0), B(-2; 8,5; 0), C(5; 3,5; 0), D(1; 1,5; 0), V(0; 4,5; 7,5)]. (2; 6; 6; 9)
G - I. 7.
Čtyrboký jehlan s podstavou v průmětně protněte rovinou kolmou k nejdelší pobočné hraně a procházející počátkem. Proveďte v kótovaném promítání [A(-3,5; 3; 0), B(0; 1,5; 0), C(3,5; 4; 0), D(-2; 10; 0), V(1; 3,5; 8)]. (1; 5; 11; 12)
G - I. 8.
V kosoúhlém promítání zobrazte řez pravidelného šestibokého jehlanu s vrcholem V (6; 6; 8) a s podstavou v půdorysně o vrcholu A (6; 2; 0) rovinou σ (-8; 8; 3) [ω = 135°, q = 1 : 2 ]. (7; 10; 10; 11)
G - I. 9.
Zvolte si kosoúhlý obraz kvádru a sestrojte je ho řez rovinou určenou třemi body, jež po jednom leží na mimoběžných hranách kvádru.
G - I. 10. Zvolte si kosoúhlý obraz pravidelného šestibokého jehlanu a sestrojte na něm
řez rovinou určenou třemi body, z nichž dva leží na mimoběžných hranách a třetí na tělesové výšce.
G - I. 11. V pravoúhlé axonometrii zobrazte řez roviny ρ(12,5; 5; ∞) pravidelným šestibokým hranolem jehož podstava ležící v nárysně má střed S(5; 0; 6,5), poloměr kružnice opsané podstavě je r = 5 a jedna úhlopříčka podstavy je rovnoběžná s osou x, tělesová výška je v = 11. [Δ(10; 12; 13)]. (14; 14; 4; 5)
G - I. 12. V pravoúhlé axonometrii sestrojte řez pravidelného šestibokého jehlanu
s podstavou v půdorysně rovinou ρ(∞; 11; 7) [střed podstavy S(5,5; 4,5; 0), jeden podstavný vrchol A(5,5; 0; 0), temeno V(7,5; 2; 10), Δ(15; 16,5; 18)]. Sestrojte též skutečný tvar a velikost řezu. (18; 19; 3; 10)
G - I. 13. V pravoúhlé axonometrii zobrazte dolní část pravidelného čtyřbokého jehlanu
stojícího podstavou v bokorysně a rozříznutého rovinou ρ(6,5; 5,2; -5,8) [A(0; 5,3; 1,6), C(0; 1,8; 6,7), v = 12; Δ(10; 12; 11)]. (11; 11; 2; 7)
G - I. 14. Určete průsečíky přímky m = NP s jehlanem ABCV [A(-5; 2; 0), B(-2; 9; 0), C(4; 4; 0), N(-5; 0; 7), P(6; 10; 0), V(0; 5; 7)]. (8; 8; 8; 11)
G - I. 15. Pravidelný osmiboký jehlan má podstavnou hranu a = 2,5, pobočnou hranu h = 7. Konstrukčně určete úhel stěny pobočné s podstavou jakož i úhel sousedních pobočných stěn.
G - I. 16. Trojboký kosý jehlan s pravidelnou podstavou v půdorysně protněte přímkou m, jež prochází bodem M(-6; 5; 6) a je kolmá ke stěně ACV [A(-4; 1; 0), B(1; 3; 0), yc > 4, V(2,5; 5; 7,5)]. (10; 7; 5; 9)
G - I. 17. V kosoúhlém promítáni zobrazte průsečíky přímky m = GH s pravidelným šestibokým jehlanem stojícím podstavou na půdorysně [ω = 135°, q = 1 : A(6; 2; 0), V(6; 6; 8), G(0; 8,3; 5,6), H(1;5; 6; 2,2)]. (6; 6; 11; 9).
36
2,
G - I. 18. V kosoúhlém promítání sestrojte průsečíky přímky m = EF s kosým hranolem,
jehož čtvercová podstava ležící v půdorysně je určena středem S(2; 6; 0) a jedním vrcholem A(4,5; 9,5; 0); vrchol horní podstavy A’(8; 6; 9) [E(0; 2,5; 8), F(9; 5,5; 0), ω = 135°, q = 1]. (12; 9; 12; 11).
G - I. 19. V pravoúhlé axonometrii protněte kosý hranol se čtvercovou podstavou
v půdorysně přímkou m = KL [A(2; 4; 0), C(8; 2; 0), A’(0; 5; 9), K(1; 4; 7), L(-4; 0; 2); Δ(10; 11; 12)]. (11; 12; 3; 6).
Pokyny k řešení některých úloh: 6. Má-li rovina protnout dvě různoběžné roviny v rovnoběžkách, musí být rovnoběžná s jejich průsečnicí.
II.
Válec - řez rovinou a průsečíky s přímkou Obraz elipsy, jež je řezem válce, je třeba určiti párem sdružených průměrů. Kromě toho je třeba vyhledat body dotyku na zdánlivém obryse. Tuto úlohu je nutno znát ve všech druzích promítání. Průsečíky přímky se řeší pomocí řezu vrcholovou rovinou, jež danou rovinou prochází. Je třeba dát pozor na to, že pravoúhlý průmět přímky do roviny podstavy válce nemusí být stopou vrcholové roviny na rovině podstavné Pokud není jinak stanoveno, mají se úlohy řešit v Mongeově promítání.
G - II. 1.
Kosý kruhový válec stojí podstavou na půdorysně [S(4; 4; 0), r = 2,7, S'(-4; 8; 8)]. Sestrojte jeho řez rovinou ρ(-8,5; 8; 70). (9; 9; 8; 11)
G - II. 2.
Kosý kruhový válec stojí podstavou na půdorysně [S(2,5; 7; 0), r = 3; S'(-3; 4; 8)]. Sestrojte jeho řez rovinou ρ(∞; 2,5; -3). (9; 8; 7; 11)
G - II. 3.
Zobrazte řez rotačního válce o ose SS' a poloměru r = 3,2 rovinou ρ(7,5; -11,5; 6) [S(-3,5; 3,5; 3,5), S'(6,5; 8; 9,5)]. (14; 6; 10; 14)
G - II. 4.
Sestrojte řez rotačního válce s osou SS' rovnoběžnou s osou x a poloměru r = 3,5 rovinou ρ(8; 7; 9) [S(7; 3,5; 3,5), S'(-7; ?; ?)]. (10; 8; 9; 8)
G - II. 5.
V kosoúhlém promítání zobrazte řez rotačního válce stojícího podstavou na půdorysně rovinou ρ(10; 105°; 10) [S(2; 5; 0), r = 4; v = 12; ω = 135°, q = 1 : 2 ]. (13; 8; 11; 10)
G - II. 6.
Rotační válec o středu jedné podstavy S(0; 10; 3,5) stojí druhou podstavou na nárysně (r = 3,5). Na jeho plášti sestrojte elipsu, jež má jedno ohnisko v bodě F(2; 7,5; 2). (14; 4,5; 9; 11)
G - II. 7.
V rovině rovnoběžné s nárysnou leží elipsa o hlavních vrcholech A(-4; 3,5; 3,5), B(4; ?; 8,5) a vedlejší poloose b = 3,5. Sestrojte rotační válec o nejkratší výšce tak, aby na něm tato elipsa ležela. (12; 7; 7; 11)
G - II. 8.
Rotační válcovou plochu s osou o = PQ a poloměru r = 3 protněte rovinou, jejíž půdorysná odchylka je 45° a jež prochází počátkem a bodem M(-4; 0; 4) [P(-6; 8; 0), Q(4; 4,5; 6), kótované promítání]. (1; 8; 8; 13) 37
G - II. 9.
V kosoúhlém promítání sestrojte řez kosého válce s kruhovou podstavou v půdorysně a s osou SS' rovinou ρ(10; ∞; 8) [S(4; 5; 0), S'(6; 0; 7), r = 4; ω = 135°, q = 1 : 2 ]. (12; 9; 11; 10)
G - II. 10. V pravoúhlé axonometrii sestrojte řez rotačního válce stojícího podstavou
na půdorysně rovinou ρ(9,4; 5,7; 4,3). Sestrojte průmět os elipsy os řezu jakož i body dotyku na obryse. [S(0; 0; 0), r = 4; souřadnice uvedeny již zkráceny; Δ(10; 12; 11)]. (15; 11; 4; 3)
G - II. 11. V pravoúhlé axonometrii zobrazte řez kosého válce podstavou v půdorysně
[S(3; 4; 0), r = 3; osa válce prochází bodem N(4; 0; 6)] rovinou ρ(10; ∞; 7) [Δ(10; 11; 12)]. (12; 12; 4; 7)
G - II. 12. V pravoúhlé axonometrii zobrazte řez rotačního válce stojícího podstavou na bokorysně [S(0; 3; 5), r = 4] rovinou ρ(4; 6; -8,5) [Δ(10; 12; 11)]. (12; 15; 5; 9)
G - II. 13. Kosý válec s osou SS' stojí s kruhovou podstavou o poloměru r = 3,5
na nárysně. Sestrojte jeho průsečíky s přímkou m = AB [S(5; 6; 7), S'(-5; 0; 4), A(-5; 6; 8), B(5; 0; 0)]. (11; 9; 9; 7)
G - II. 14. Jsou dány mimoběžky a, b. Na jedné z nich najděte bod, který má od druhé mimoběžky danou vzdálenost d.
G - II. 15. Sestrojte průsečíky přímky m = MN a rotační plochu válcovou, jejíž osa je
o = OS a poloměr r = 3 [M(-4; 2; 2), N(7; 5; 6), O(4; 2; 7),S(-3; 5; 3); proveďte v kótovaném promítání] (1; 6; 8; 9)
G - II. 16. V pravoúhlé axonometrii zobrazte průsečíky přímky m = AB s kosým kruhovým
válcem stojícím podstavou na půdorysně [A(0; 5; 0), B(12; 3; 8), S(5; 6; 0), S'(7; 4; 8), r = 4; Δ(11; 12; 13)]. (12; 12; 4; 5)
III.
Kužel - řez rovinou a průsečíky s přímkou
Je-li řezem elipsa, postačí určit její sdružené průměry. Při parabolickém řezu se zpravidla určuje osa i vrchol průmětu křivky (planimetricky pomocí známého směru osy, z tečen s body dotyku). Při hyperbolickém řezu je nejkratší najít průměty asymptot a pak planimetricky pomocí jednoho bodu omezit hlavní osu. Vždy je třeba určit také body dotyku průmětu křivky se zdánlivým obrysem tělesa. Doporučuje se vyřešit větší množství příkladů (a to jak pro každý druh křivky, tak i pro různé druhy promítání). Úlohy o řezech rovinou jsou v podstatě aplikací perspektivní kolineace. Průsečíky přímky s plochou kuželovou se řeší pomocí řezu vrcholovou rovinou obsahující danou přímku. Pokud není jinak uvedeno, mají se úlohy provést v Mongeově promítání.
G - III. 1. Rotační kužel stojí podstavou na půdorysně [ V (0; 5; 8), r = 4]. Sestrojte jeho
řez rovinou jež prochází body T(-3,4; 5; ?), Q(2; 5; ?), R (-1,5; ?; 3), které leží na ploše kuželové [yR < 5] (10; 12; 8; 11)
G - III. 2. Rotační dvojkužel s podstavou v nárysně [V(0; 6; 4), r = 4] protněte rovinou ρ(6; 9,5; 5). (11; 10; 10; 13)
38
G - III. 3. Rotační dvojkužel s podstavou v půdorysně [V(0; 5; 6), r = 5] protněte rovinou ρ(7,5; 8; 11). (18; 10; 10; 12)
G - III. 4. Sestrojte řez rotačního kužele s podstavou v půdorysně rovinou ρ(10; 10; ?), která prochází bodem R(-3,5; 8,5; ?) pláště kužele [V(0; 7; 5); r = 4]. (6; 6; 14; 13)
G - III. 5. Rotační kužel stojí podstavou na půdorysně [V(0; 5; 8), r = 4]. Sestrojte řez rovinou procházející bodem M (0; 8; 7,3) a rovnoběžnou s tečnou rovinou kužele, jež se kužele dotýká podél povrchové přímky p = PV [P(-3; y < 5; 0]. (12; 9; 11; 10)
G - III. 6. Rotační plocha kuželová je dána osou o = SV a povrchovou přímkou a = UV. Sestrojte její řez nárysnou [S(0; 4; 3), V(5; 8; 9), U(0; 8; 3)]. (14; 10; 10; 15)
G - III. 7. ♣ Rotační kužel stojí podstavou na nárysně [V(-2,4; 7,8; 5,4), r = 4,8]. Body
A(-1,2; ?; 5,4), B(3,4; ?; 6,6) ležícími na jeho plášti proložte elipsu, která na ploše leží a dotýká se podstavné hrany. (12; 8; 8; 10)
G - III. 8. Rotační kužel s podstavou v půdorysně [V(0; 5; 10), r = 5] protněte rovinou ρ tak, aby bod O (0; 4; 4) byl středem řezu. (11; 6; 6; 11)
G - III. 9. ♣ Rotační plocha kuželová má osu kolmou k půdorysně, vrchol V(0; 4,5; 8,5) a dotýká se přímky t = MP. Stanovte kuželosečku na této ploše tak, aby se dotýkala půdorysny a přímky t [M(-3; 4; 8), P(1,5; 9; 0)]. (9; 8; 10; 12)
G - III. 10. Rotační kužel stojící podstavou na půdorysně protněte v parabole rovinou
procházející přímkou a = PN [V(0; 5; 7), r = 4; P(0,8; 2,3; 0), N(9,5; 0; 7,5), ze dvou možných rovin řezu volte tu, která protíná kladnou část osy x]. (11; 6,5; 10; 9)
G - III. 11. ♣ Rotační kužel daný vrcholem V(-2; 5,5; 10) a podstavou o poloměru r = 4,5 v průmětně protněte rovinou v elipse, jež má jedno ohnisko v bodě F(0; 6,5; 2,5). [Proveďte v kótovaném promítání]. (5; 7; 7; 10)
G - III. 12. Na rotačním kuželi stojícím podstavou na nárysně [V (0; 10; 5,5), r = 5] sestrojte parabolu, jež má vrchol v bodě A(-1; ?; 4). (13; 10; 8; 12)
G - III. 13. V kosoúhlém promítání zobrazte rotační kužel stojící podstavou na půdorysně [S(5; 6; 0), r = 4], jeho vrchol volte tak, aby ho rovina ρ(6; ∞, 12) proťala v parabole. Sestrojte tento řez a kromě toho určete průsečíky přímky m = PR s kuželem [ω = 135°, q = 1 : 2 , P(10; 9; 0), R(0; 1; 4)]. (12; 9; 11; 11)
G - III. 14. V kosoúhlém promítání zobrazte řez rotačního dvojkužele s podstavou v půdorysně rovinou ρ(2; 8,8; -11) [ω = 135°, q = 1 : (15; 12; 8; 12,7)
2 , V(0; 6; 6). r = 5].
G - III. 15. V kosoúhlém promítání sestrojte řez rotačního kužele stojícího podstavou na půdorysně rovinou ρ(8; 8 2 ; 5) [V(0; 0; 10), r = 5; ω = 135°, q = 1 : (11; 7; 9; 9)
2 ].
G - III. 16. V kosoúhlém promítání zobrazte řez rotačního kužele stojícího podstavou
na půdorysně rovinou ρ(∞; 4,5; 2,7) [ω = 120°, q = 2:3, S(0; 0; 0), r = 4,5, v = 9,5]. (10; 6; 6; 6) 39
G - III. 17. V kosoúhlém promítání sestrojte řez rotačního dvojkužele stojícího podstavou
na půdorysně rovinou ρ(-8; 7,5; ∞) [V(0; 5; 4,5), r = 5; ω = 45°, q = 2:3]. (11; 9; 11; 10)
G - III. 18. Rotační kužel s podstavou v půdorysně protněte rovinou ρ(10,5; ∞; 7) [kosoúhlé promítání, ω = 135°, q = 1 :
2 , V(5; 6; 10), R = 4]. (8; 4; 11; 6)
G - III. 19. V pravoúhlé axonometrii zobrazte řez rovnostranného kužele stojícího
podstavou na půdorysně rovinou ρ(-4; 1; -8) [S(4; 4; 0), r = 4; Δ(10; 11; 12)]. (15,5; 13; 1; 7)
G - III. 20. Kosý kruhový kužel stojí podstavou na nárysně [S(0; 0; 6), r = 4,5, V(-3; 10; 5)].
Sestrojte jeho řez rovinou ρ = PLK [P(-1; 0; 0), L(5; 0; 5,5), K(-6,5; 4; 0)]. (12; 11; 11; 11)
G - III. 21. Kosý kruhový kužel s podstavou v půdorysně [S(2; 5; 0), r = 5; V(0; 5,5; 5,5)] protněte rovinou ρ(1,6; -3; 1,4). (12; 10; 8; 12)
G - III. 22. Kosý kruhový kužel s podstavou v nárysně [S(-2,8; 0; 6), r = 5; V(0; 9; 7)] protněte v parabole rovinou, která prochází přímkou a = AN [A(-6; 8; 12,5), N(4; 0; 1)]. (15; 11; 9; 11)
G - III. 23. Kosý kruhový kužel stojí podstavou na půdorysně [S(0; 4,5; 0), r = 4,5,
V(1,5; 5,5; 10)]. Určete na něm elipsu, která prochází body A(-2; 8; ?), B(0,5; 3,5; ?) a jejíž levý obrysový bod nárysu je X(-2,7; ?; ?). (11; 13; 8; 11)
G - III. 24. Sestrojte řez kosého kruhového kužele stojícího podstavou na půdorysně rovinou ρ(-13; 16; 5,7) [S(0; 6; 0), V(-2,5; 2; 8), r = 5,5]. (8,5; 14; 6,5; 17)
G - III. 25. Kosý kužel s kruhovou podstavou v půdorysně protněte v parabole rovinou, jejíž
půdorysná stopa prochází středem podstavy a svírá s kladnou částí osy x úhel 120° [S(0; 6; 0), r = 4,5, V(-2; 3,5; 9)]. (11; 9; 9; 14)
G - III. 26. Kosý kužel s kruhovou podstavou v půdorysně [S(0; 6; 0), r = 5; V(2; 6; 6)]
protněte rovinou ρ(-3,3;?; ?) rovnoběžnou s povrchovými přímkami VX, VY [X(-3,5; y < 6; 0), Y(2; y > 6; 0)]. (13; 8; 10; 13)
G - III. 27. ♣ Kosý kužel s kruhovou podstavou v půdorysně protněte rovinou rovnoběžnou
s povrchovou přímkou PV v rovnoosé hyperbole [střed podstavy S(2,5; 9; 0), vrchol V(0; 8; 5,5), P(7; 4,5; 0), půdorysná stopa roviny řezu prochází bodem R(7; 8,5; 0)]. (12; 10; 10; 17)
G - III. 28. V kosoúhlém promítání sestrojte řez kosého dvojkužele omezeného shodnými
kruhovými podstavami z nichž jedna leží v půdorysně, rovinou procházející bodem A(x > 5; 2,5; 0) na ploše kuželové a dalšími body B, C [B(5,5; 3,5; 9), C(5,5; 7,5; 3), S(6; 6; 0), S'(1,5; 4; 11), r = 5; ω = 135°, q = 2:3]. (15; 11; 8; 12)
G - III. 29. V kosoúhlém promítání zobrazte parabolu ležící na kosém kuželi s kruhovou
podstavou v půdorysně, znáte-li její nejvyšší bod Q(-1; -2,2; ?) [ω = 120°, q = 2:3, S(0; 0; 0), r = 4; V (0,9; -2,3; 5,6)]. (9; 5; 6; 5)
G - III. 30. V kosoúhlém promítání zobrazte hyperbolický řez kosého dvojkužele s kruhovou podstavou v půdorysně rovinou ρ(5,3; 4; ?) [ω = 135°, q = 2 : 3, S(0; 4; 0), r = 4; 40
V(1,8; 2,7; 5,3), druhá podstava leží v rovině souměrně položené k půdorysně podle vrcholu V]. (14; 8; 9; 10)
G - III. 31. V pravoúhlé axonometrii zobrazte rotační kužel o vrcholu V(5; 4,5; 12), stojící podstavou o poloměru r = 4,5 na půdorysně a na jeho plášti sestrojte parabolu, jež má vrchol v bodě A (5; 2,5; ?) [Δ(10; 11; 12)]. (12; 12; 5; 9)
G - III. 32. V pravoúhlé axonometrii zobrazte řez rotačního kužele stojícího podstavou na půdorysně rovinou ρ(15; ∞; 6) [V(6; 6; 15), r = 5; Δ(11; 15; 14)]. (14; 14; 6; 6)
G - III. 33. V pravoúhlé axonometrii zobrazte kosý kruhový kužel, jehož podstava se
středem v počátku leží v půdorysně poloměr r = 4 a temeno V(8; 0; 10) a sestrojte jeho řez axonometrickou průmětnou [Δ(10; 11; 12]. (10; 15; 5; 12)
G - III. 34. V pravoúhlé axonometrii zobrazte řez rotačního kužele stojícího podstavou
na půdorysně [r = 4,5, V(5; 5; 10)] rovinou ρ(∞, 6,5; ∞) [Δ(6; 6,5; 5,5)]. (9; 10; 4; 7)
G - III. 35. Rotační kužel o vrcholu V(0; 8; 4) stojí podstavou o poloměru r = 3,5
na nárysně. Určete jeho průsečíky s přímkou m = AB [A(-5; 6; 10), B(5; 0; 0)]. (13; 6; 6; 9)
G - III. 36. Kosý kužel o vrcholu V(-2; 8; 3) stojí kruhovou podstavou na nárysně [střed
S(0; 0; 4), r = 3,5]. Určete body, v nichž ho protíná přímka m = AB [A(-5; 6; 7), B(5; 0; 0)]. (11; 6; 6; 9)
G - III. 37. Kosý kruhový kužel stojí kruhovou podstavou na půdorysně. určete jeho
průsečíky s přímkou m = AB [S(0; 4,5; 0), r = 4,5, V(2; 3,5; 8), A(-5; 9; 0), B (0; 5,5; 6)]. (10; 6; 8; 10)
G - III. 38. V kosoúhlém promítání vyšetřete vzájemný vztah přímky m = AB a kosého kužele, který stojí kruhovou podstavou na půdorysně (ω = 135°, q = 0,5, S(0; 0; 0), V(5; 6; 9), r = 4; A(0; 8; 0), B(5; 0; 6,5)]. (9; 5; 8; 4)
G - III. 39. V pravoúhlé axonometrii sestrojte průsečíky přímky m = AB s kosým kruhovým
kuželem stojícím kruhovou podstavou na nárysně [A(0; -1; 2), B(3,5; 0; 1,5), S(3,5; 0; 3,5), r = 3; vrchol kužele je ve vrcholu Y axonometrického stopního trojúhelníka; Δ(10; 11; 12); všechny souřadnice jsou uvedeny již zkráceny]. (12; 11; 2; 1)
Pokyny k řešení některých úloh: 7. Nárysná stopa roviny hledané elipsy je tečnou podstavné kruhové hrany. určíme bod O’1, který odpovídá bodu O1 v perspektivní kolineaci mezi půdorysem hledané křivky řezu a půdorysem podstavy kužele. Tečny z bodu O’1 ke kružnici odpovídají asymptotám hledané křivky a tedy spojnice jejich bodů dotyku je úběžnicí kolineace. Tato úběžnice je stopou vrcholové roviny rovnoběžné s rovinou hledaného řezu. 9. Půdorysná stopa roviny hledané elipsy se dotýká kružnice, v níž plochu kuželovou protíná půdorysna; není totožná se stopou tečné roviny proložené přímkou t 11. Hledaná rovina řezu se dotýká v bodě F plochy kulové vepsané do dané kuželové plochy
41
27. Protože asymptoty rovnoosé hyperboly jsou navzájem kolmé, budou kolmé též povrchové přímky kužele, které leží v příslušné vrcholové rovině. jedna z těchto površek je PV, druhá leží v rovině kolmé k této površce.
IV.
Sítě těles
Při rozvinutí plášťů válců a kuželů je třeba zjistit též inflexní body rozvinutých křivek, jakož i tečny v nich. Je též třeba umět sestrojit tečnu v kterémkoliv bodě rozvinuté křivky. Pokud není jinak stanoveno, užije se Mongeova promítání. Údaje o potřebě místa se týkají jen místa potřebného pro konstrukci průmětů.
G - IV. 1. Sestrojte síť kosého čtyřbokého hranolu se čtvercovou podstavou ABCD
v průmětně a pobočnou hranou AA' [A(-9; 11; 0), B(-7,5; 6; 0), A'(-2; 5; 8), kótované promítání]. (0; 9,5, 12; 16)
G - IV. 2. Sestrojte síť kosého hranolu stojícího čtvercovou podstavou na půdorysně [A(2,7; 3; 0), střed podstavy S(0; 4; 0), A'(-1; 6,5; 6)]. (13; 9; 10; 13)
G - IV. 3. Sestrojte síť kosého jehlanu o vrcholu V(1,5; 3; 7), jehož pravidelná
osmiúhelníková podstava v půdorysně má střed S(0; 5; 0) a jeden vrchol A(0; 8,5; 0). (8; 6; 5; 9)
G - IV. 4. Sestrojte síť pravidelného a) osmistěnu, b) dvanáctistěnu, c) dvacetistěnu, máte-li délku hrany tělesa
G - IV. 5. Rotační válec se středem podstavy S(0; 4; 0) a poloměrem r = 3 stojí podstavou
na průmětně. Je seříznut rovinou, jejíž spádová přímka je m = QR. Sestrojte síť částí válce mezi průmětnou a rovinou řezu [Q(-4; 6; 3), R(0; 9; 8), kótované promítání]. (1; 10; 10; 20)
G - IV. 6. Rotační válec je seříznut rovinou ρ(7; ∞; 5) na dvě části. Sestrojte síť dolní části rozříznutého tělesa. [osa válce je SS' ; S(0; 3,5; 0), S'(0; 3,5; 9), r = 3,5]. (10; 4; 8; 8)
G - IV. 7. Sestrojte síť kosého kruhového válce stojícího podstavou na půdorysně [S(-3; 4; 0), r = 3; S'(1; 7; 6)]. (7; 11; 5; 14)
G - IV. 8. Sestrojte síť kosého kruhového válce jehož kruhová podstava má poloměr r = 3 a jehož osa délky d = 9 svírá s rovinou podstavy úhel ϕ = 60°.
G - IV. 9. Sestrojte síť rotačního komolého kužele, znáte-li poloměry obou podstav [r1 = 3,5, r2 = 2] a tělesovou výšku v = 3.
G - IV. 10. Sestrojte síť kosého kužele s kruhovou podstavou o poloměru r = 3,5, tělesové výšce v = 7; víte-li, že pata výšky leží ve vzdálenosti d = 1,5 od středu podstavy.
G - IV. 11. Rotační kužel s podstavou o poloměru r = 4 v půdorysně a vrcholu V(0; 4; 9)
rozřízněte rovinou ρ(8; ∞; 5) a sestrojte síť spodní části seříznutého tělesa (10; 5; 9; 9)
42
G - IV. 12. Rotační kuželová plocha s řídicí kružnicí v půdorysně [V(0; 4; 9), r = 4] je seříznuta rovinou ρ(4; ∞; 4). Rozviňte část plochy ležící mezi půdorysnou a rovinou řezu a v inflexních bodech sestrojte tečny. (20; 10; 11; 9)
G - IV. 13. Sestrojte síť kosého kruhového kužele stojícího podstavou na půdorysně [S(5; 5; 0), r = 4; V(-4; 5; 8)]. Kužel protněte rovinou, jež se dotýká podstavné hrany a je kolmá k ose tělesa. Křivku řezu zakreslete do sítě tělesa.
V.
Plocha kulová – řez rovinou a průsečíky s přímkou
G - V. 1.
V kótovaném promítání zobrazte kouli o středu v počátku a poloměru r = 6,3, odřízněte z ní vrchlík rovinou ρ(∞; 4; 4) a zbývající (větší) vrchlík protněte přímkou a = AB [A(7,4; 7; 0), B(-2,8; -7,7; 4,8)]. (10; 7; 8; 8)
G - V. 2.
V Mongeově promítání sestrojte řez plochy kulové rovinou souměrnosti poloměru SA [S(0; 5; 6), r = 4,5, A(2; 3,5; ?), A leží na ploše v půdorysu viditelné. (11; 6; 6; 10)
G - V. 3.
V Mongeově promítání zobrazte na ploše kulové kružnici, jež má střed v bodě O(1,5; 7; 5,5) [S(0; 6; 7), r = 3,5]. (11; 8; 4; 16)
G - V. 4.
Na přímce a = AN najděte body, z nichž je vidět úsečku BC pod pravým úhlem [A(-2; 8; 6), B(-2,5; 3; 2), C(2; 6; 6), N(5; 0; -1), Mongeovo promítání.] (9; 6; 8; 12)
G - V. 5.
V Mongeově promítání zobrazte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrchol C ležel ve vzdálenosti d = 6,5 od bodu D(3; 5; 5) [A(-1; 3; 4), B(4; 6; 7]. (12; 4,5; 12; 11)
G - V. 6.
V kótovaném promítání zobrazte řez plochy kulové o středu S(0; 7; 6) a poloměru r = 5 rovinou PQR [P(-2; 1,5; 0), Q(11; 0; 0), R(-5; 0; 12)]. (10; 10; 10; 10)
G - V. 7.
V rovině ρ(-9; 7,5; 5,5) stanovte geometrické místo bodů, jež mají od bodu S(0; 4; 4,5) vzdálenost d = 4 [kótované promítání]. (0; 10; 9; 13)
G - V. 8.
V pravoúhlé axonometrii zobrazte řez koule se středem S(2; 2,5; ?) v axonometrické průmětně a poloměrem r = 5 rovinou ρ(13; 7; 15) [Δ(12,5; 13,5; 11,5)]. (17; 15; 5; 7)
G - V. 9.
V pravoúhlé axonometrii zobrazte průsečíky plochy kulové se středem S (0; 1; 2) a poloměrem r = 3,5 s přímkou m = AB [A (0; 2; 2), B (5; 0; 0), souřadnice vesměs udány již zkráceny; Δ(10; 11; 9]. (10; 11; 2; 2)
H-
Rovnoběžné průměty kuželoseček
Při průmětu elipsy postačí sestrojit sdružené průměty průměrů, u paraboly je třeba sestrojit osu, vrchol a ohnisko a u hyperboly asymptoty a hlavní vrcholy.
H - I. 1.
V Mongeově promítání sestrojte elipsu ležící v rovině ρ = ABM, znáte–li její hlavní vrcholy A, B a víte–li, že se dotýká půdorysny [ A(-4; 2; 4), B(0; 9; 1), M(-2; 3; 2)] (9; 9; 8; 12) 43
H - I. 2.
♣ Sestrojte libovolný rovnoběžník a považujte jej za kosoúhlý průmět rovnoběžníka. Sestrojte kosoúhlý obraz elipsy, jež se daného rovnoběžníka dotýká, znáte–li obraz jednoho bodu dotyku na jedné straně průmětu rovnoběžníka. [Tento bod budiž různý od středu strany rovnoběžníka. Směry stran jsou směry sdružených průměrů elipsy.]
H - I. 3.
V Mongeově promítání zobrazte parabolu ležící v rovině ρ(-7; 8; 6), máte–li její vrchol V(0; 0; 6), jeden bod M(4; ?; 6) a osu, jež leží na hlavní přímce druhé osnovy. (9; 8; 9; 15)
H - I. 4.
V kótovaném promítání zobrazte parabolu, znáte–li obraz jejích dvou tečen RT, RT’ a body dotyku T, T’ [T(-2,5; 8; 2,2), T’(3; 5,8; 2,8), R(2; 3,2; 4)]. Zobrazte nejvyšší bod křivky, existuje–li. (0; 10; 7; 14)
H - I. 5.
V kosoúhlém promítání [ω = 135°, q = 0,8] zobrazte parabolu ležící v bokorysně, jejíž osa leží v souřadné ose z, vrchol je v počátku a jež prochází bodem M(0; 2,5; 3). (10; 5; 4; 2)
H - I. 6.
V Mongeově promítání zobrazte hyperbolu ležící v rovině ρ(-6; 7; 7,5), znáte–li její střed S(1,5; 3; ?), hlavní vrchol A(2,5; ?; 3,5) a dále délku vedlejší poloosy b = 3. (12; 9; 8; 13)
H - I. 7.
V kosoúhlém promítání [ω = 135°, q = 0,8] zobrazte rovnoosou hyperbolu, jejíž asymptoty jsou totožné se souřadnými osami x, y a jejíž vrchol je A(2,5; ?; ?). (8; 10; 10; 8)
Pokyny k řešení některých úloh: 2. Sestrojte bod dotyku na té straně rovnoběžníka, jež je rovnoběžná s tou stranou, na níž je jeden bod elipsy dán. Pak je elipsa určena jedním průměrem s tečnami v koncových bodech a další tečnou, takže ji můžeme sestrojit pomocí afinity,
II.
Průniky těles
Průniky hranolů a jehlanů
Přes poměrnou konstruktivní složitost jsou úlohy tohoto oddílu myšlenkově jednoduché. Je třeba zejména pozorně číslovat body na podstavách a pomocí nich sestrojit vrcholy průnikového mnohoúhelníka, jež očíslujeme shodně. Chyba v číslování v podstavě má za následek chybu ve spojování vrcholů průnikového mnohoúhelníka. Pokud není jinak stanoveno, řeší se v Mongeově promítání.
I - I. 1.
Sestrojte průnik rovnoběžnostěnu s podstavou ABCD v půdorysně s kosým pětibokým hranolem s podstavou EFGHJ rovněž v půdorysně [ A(-6,4; 3,3; 0), B(-5,6; 1,3; 0), C(-2; 2; 0), A’(0; 13; 7,3), E(2; 2,8; 0), F(4,8; 3,2; 0), G(5,7; 6; 0), H(4; 8; 0), J(9; 4,8; 0), E’(-6,1; 7,6; 7,3)]. (8; 8; 7; 15)
I - I. 2.
V kosoúhlém promítání zobrazte průnik pravidelného šestibokého hranolu stojícího podstavou na půdorysně s trojbokým hranolem MNPM’N’P’ [A(4,6; 0,8; 0), B(6,9; 0,8; 0), A’(4,6; 0,8; 10,8), M(0; 1,5; 4), N(1,4; 2,6; 0,3), P(2,1; 5,6; 3,2), M’(11; 1,5; 10,5), ω = 45°, q = 0,5 ]. (11; 1; 14; 4)
44
I - I. 3.
Sestrojte průnik jehlanů ABCV, DEFU [A(-2; 2; 0), B(4; 0,5; 0), C(1,5; 6; 0), V(2; 3; 6), D(-4; 0; 1,5), E(5; 0; 1), F(3; 0; 5), U(0; 7; 2)]. (10; 5; 6;10)
I - I. 4.
Sestrojte průnik trojbokého jehlanu ABCV s podstavou v půdorysně s pětibokým kolmým hranolem s podstavou v bokorysně [A(-6,8; 0,4; 0), B(-5,7; 6,5; 0), C(-0,4; 2,2; 0), V(-4; 2,8; 8,1); D(0; 0,6; 3,5), E(0; 1,4; 7,3), F(0; 6; 4,6), G(0; 6; 2,7), H(0; 3,5; 0,8) v = 8 ]. (10; 12; 9; 10)
I - I. 5.
V kosoúhlém promítání zobrazte průnik jehlanů ABCV DEFU [A(-7,5; 3; 0), B(-7; 5,5; 0), C(-2; 3,5; 0), V(-5; 3,5; 7,5), D(0; 5; 2,5), E(0; 8; 8), F(0; 3,5; 7,5), U(-8,5; 2; 3), ω = 45°, q = 1]. (10,5; 10; 10; 10)
I - I. 6.
Pravidelný trojboký jehlan EFGV stojí podstavou na půdorysně. Pravidelný čtyřboký hranol má podstavu v rovině kolmé k půdorysně a svírající s nárysnou úhel 60° (tento úhel svírá půdorys roviny s kladnou částí osy x). Její střed je S(-5; 10; 5). Hrana pobočná procházející vrcholem A je rovnoběžná s půdorysnou ve výši 8,5 nad půdorysnou a je různoběžná s výškou jehlanu. Sestrojte jejich průnik [E(5; 4,5; 0), V(0; 6; 12,5) ]. (13,5; 9,5; 10,5; 14)
I - I. 7.
Zobrazte průnik pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s podstavou v půdorysně s pravidelným čtyřbokým hranolem EFGHE’F’G’H’ s podstavou v nárysně [A(-4; 3; 0), C(5; 7; 0), v = 8; E(-0,5; 0; 1), G(2; 0; 5), v’ = 11]. (11; 10; 10;14)
I - I. 8.
Zobrazte průnik trojbokého jehlanu ABCV se čtyřbokým kosým hranolem DEFGD’E’F’G’ [A(5; 0; 2), B(1; 0; 6), C(0; 0; 1), V(-1; 8; 4), D(-3; 1; 0), E(-2; 4; 0), F(0; 5; 0), G(-1;2; 0), D’(5; 1; 8)]. (9; 6; 9; 9)
I - I. 9.
Sestrojte průnik pravidelného pětibokého jehlanu stojícího podstavou na půdorysně [V(2,5; 5,5; 12,5), A(0,8; 1; 0)] s kosým hranolem se čtvercovou podstavou nárysně [středy podstav S(-5,5; 0; 3,5), S’(6; 11,5; 3,5), jeden vrchol M(-6; 0; 0,5)]. (13; 10,5; 9,5; 12,5)
I - I. 10.
Sestrojte průnik pětibokého jehlanu ABCDEV s podstavou v půdorysně s trojbokým jehlanem FGHU s podstavou v rovině kolmé k půdorysně [A(0; 8; 0), B(1,2; 4,4; 0), C(-4; 6; 0), D(-5,6; 3; 0), E(-2,8; 0,4; 0), V(-1,6; 3; 8,6), F(0,6; 7,2; 2), G(3; 4; 4), H(4; ?; 0,6), U(-5; 0,4; 2,6)]. (11; 8; 10; 12)
I - I. 11.
Sestrojte průnik jehlanů ABCV, DEFU [A(-1; 0; 0), B(-6; 5; 0), C(-7,5; 1; 0), V(2; 8; 4), D(6,5; 1; 0), E(4; 7; 0), F(0,5; 2,5; 0), U(-6; 9; 8), proveďte v kótovaném promítání]. (0; 10; 10; 10)
I - I. 12.
V kótovaném promítání zobrazte průnik dvou trojbokých hranolů ABCA’B’C’, DEFD’E’F’ [A(-3; 0; 0), B(-7; 2,5; 0), C(-1; 4,5; 0), C’(-0,5; 13; 6), D(3,2; 3,2; 0), E(7; 4; 0), F(3,5; 8; 0), F’(-4,7; 11,3; 6) ]. (0; 9; 9; 15)
I - I. 13.
V kosoúhlém promítání zobrazte průnik čtyřbokého kolmého hranolu s podstavou ABCD v půdorysně a výškou v = 12 s trojbokým kolmým hranolem s podstavou EFG v bokorysně a výškou v’ = 15 [ω = 135°, q = 1, A(4,7; 5; 0), B(8,8; 6,1; 0), C(8,4; 3,8; 0), D(5,1; 3; 0), E(0; 5,5; 5), F(0; 7,5; 9), G(0; 3,5; 7,5)]. (10; 6; 14; 6)
I - I. 14.
V kosoúhlém promítání [ω = 135°, q = 1 : 2 ] zobrazte průnik pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavou v půdorysně [A(-3,5; 6; 0), V(0; 4; 9)] s kosým 45
trojbokým hranolem s rovnostrannou podstavou v půdorysně [M(3,5; 6; 0), N(5; 2,5; 0), xp > xm], jehož pobočné hrany jsou rovnoběžné se směrem s = VR [R(12,5; 3; 0)]. (10; 8; 13; 9)
II.
Průniky válců, kuželů a plochy kulové
Úlohy o průnicích válců a kuželů jsou založeny na stejné myšlence jako úlohy o průnicích hranolů a jehlanů. Pro spolehlivější zobrazení se vyplatí zjistit v bodech průnikové křivky také tečny. Vždy zjistěte též body na zdánlivých obrysech. Průnikové křivky tělesa, z nichž jedno je koule, zjišťujeme pomocí rovnoběžných rovinných řezů. Pokud není výslovně jinak stanoveno, řeší se úlohy v Mongeově promítání.
I - II. 1.
Sestrojte průnik dvou kruhových válců, jež mají podstavy v půdorysně o středech S a S’ a jejichž osy procházejí body O a O’ [S(-4; 7; 0), S’(4; 9; 0), O(4; 1; 7), O’(-4; 0; 7), r = r’ = 3] . (7; 7; 7; 12)
I - II. 2.
Zobrazte potrubí vytvořené shodnými rotačními válcovými plochami s poloměrem r = 3,5, jehož osa je lomená čára AOB. Potrubí je zakončeno kružnicemi se středy A resp. B [A(-4; 9; 10,2), B(5,5; 3,3; 3,5), O(0; 9; 3,5)]. (12,5; 8; 9; 13)
I - II. 3.
V pravoúhlé axonometrii sestrojte průnik dvou rotačních válců, z nichž první stojí podstavou na půdorysně [střed podstavy S(0; 6; 0), r = 5; v = 12] a druhý na nárysně [střed podstavy O(1,5; 0; 6), r 1= 4; v1 = 12; Δ(15; 18; 17 ]. (16; 19; 1; 8)
I - II. 4.
Sestrojte přímku svírající s půdorysnou úhel 30° a s nárysnou úhel 45° a vzdálenou od bodu A (-3; 3; 0) 3 a od bodu B(-3; 0; 3) 5. (8; 8; 8; 11)
I - II. 5.
Vyšetřete průnik dvou rotačních kuželů, z nichž jeden stojí podstavou na půdorysně [V(0; 5; 9), r = 5] a druhý na nárysně [U(2,5; 9; 3,7, r’ = 3,7 ]. (16; 9; 11; 13,5)
I - II. 6.
Sestrojte průnik dvou rotačních kuželů, z nichž první stojí podstavou na půdorysně [V(0; 6; 10), r = 5] a druhý má vrchol U(-7; 6; 5), střed podstavy S(6; 6; 5) a poloměr r’ = 4. (11; 10; 10; 15)
I - II. 7.
Sestrojte průnik dvou kosých kuželů stojících podstavami na půdorysně, mají–li oba kužele společnou jednu povrchovou přímku [první kužel má vrchol V(0; 5; 9), střed podstavy S(1; 5; 0) a poloměr podstavy r = 4,5; druhý kužel má vrchol V’(2; 5; ?), střed podstavy S’(-0,5; 7; 0)]. (10; 8; 6,5; 14)
I - II. 8.
Sestrojte průnik rotačního válce stojícího podstavou na půdorysně [S(0; 5; 0), r = 3,5, v = 12,5] a rotačním kuželem o vrcholu V(-4,5; 0; 7), středu podstavy S’(4; 7,2; 7) a poloměru r’ = 5]. (13,5; 10; 10; 12,5)
I - II. 9.
V kosoúhlém promítání zobrazte průnik rotačního válce s podstavou na půdorysně [V(6; 4; 11), r = 4] s kosým kruhovým kuželem s podstavou v bokorysně o středu O(0; 4; 8) a vrcholu U(16; 8; 0) [r’ = r, ω = 150°, q = 1]. (17; 9,5; 10,5; 9,5) 46
I - II. 10.
V pravoúhlé axonometrii zobrazte průnik rotačního válce stojícího podstavou na půdorysně [S(0; 5; 0), r = 4; v = 10] s rotačním kuželem stojícím podstavou na nárysně [V(2;12; 5), r’ = 5; Δ(15; 18; 17) ]. (22; 18; 2; 8)
I - II. 11.
V pravoúhlé axonometrii zobrazte průnik rotačního válce stojícího podstavou na půdorysně [r = 4; S(6,7; 5; 0), v = 14] s rotačním kuželem o vrcholu V(14; 6,5; 7,5) s podstavou v bokorysně. Poloměr podstavy kužele volte tak, aby proniková čára kužele měla dvojný bod [ Δ(9; 11; 11), souřadnice všech bodů jsou udány již zkráceny]. (17; 15; 4,5; 10,5)
I - II. 12.
Zobrazte průnik koule o poloměru r = 4,5 s rotačním kuželem stojícím podstavou na půdorysně [V(0; 7; 12), r’ = 6], jehož pláště se plocha kulová dotýká v bodě T(3; 7; ?)]. (13; 10; 10; 14)
I - II. 13.
Zobrazte průnik rotačního kužele stojícího podstavou na půdorysně s plochou kulovou, jež se dotýká plochy kuželové v jednom bodě a zároveň se dotýká její podstavy [kužel má vrchol V(0; 8; 10), r = 6; kulová plocha má střed O(1,5; 6; ?), bod dotyku obou ploch leží na částech ploch v náryse viditelných]. (11; 8; 11; 15)
I - II. 14.
V kosoúhlém promítání zobrazte průnik koule se středem v počátku a poloměrem r = 7,5 s rotační plochou válcovou jež má poloviční poloměr a osu rovnoběžnou s osou z. Obě plochy se dotýkají v bodě ležícím na ose y. [ω = 120°, q = 0,5 ]. (12; 10; 10; 14)
JI.
Další typy ploch
Rotační plochy jejich rovinné řezy a vzájemné průniky
Jako základní úlohy je třeba umět sestrojit chybějící průmět bodu, který na ploše leží a je určen jen jediným průmětem, sestrojení tečné roviny v bodě plochy a sestrojení tečny křivky rovinného řezu nebo průniku v libovolném jejím bodě. Pokud není řečeno jinak, provádějí se úlohy v Mongeově promítání.
J - I. 1.
♣ Zobrazte rotační elipsoid s osou rotace kolmou k půdorysně, znáte–li jeho střed S(-4; 5; 6) a tečnou rovinu τ(-4; 10; 6) s bodem dotyku T(?; ?; 2). (15; 14; 5; 11)
J - I. 2.
Najděte geometrické místo bodů v prostoru, které mají od roviny ρ rovnoběžné s nárysnou a od bodu F(0; 4; 6) stejné vzdálenosti [yρ = 5,5]. (11; 5; 5; 6)
J - I. 3.
Sestrojte geometrické místo bodů v prostoru, které mají od bodů A(0; 5; 2) a B (0; 5; 6) stálý součet vzdáleností d = 60. (8; 4; 4; 8)
J - I. 4.
Rotační jednodílný hyperboloid je dán osou rotace o kolmou k půdorysně a tvořící přímkou m = MN. V bodě R(3,5; 10; ?) této plochy sestrojte tečnou rovinu [P(0; 6,5; 0), M(-4; 12; 0), N(6; 5; 11)]. (12; 6; 7; 13)
J - I. 5.
Rotační jednodílný hyperboloid je dán osou rotace o kolmou k půdorysně a jdoucí bodem Po(0; 2; 0) a tvořící přímkou m = MN. V bodě R této plochy sestrojte normálu [M(0; 4,5; 10,5, N(8; 8; 0), R(4; 6; ?)]. (11; 4; 9; 9) 47
J - I. 6.
V pravoúhlé axonometrii zobrazte rotační hyperboloid, vzniklý rotací přímky p = PM kolem osy z. Plochu omezte půdorysnou a rovinou s ní souměrnou podle středu plochy [P(4; 2; 0), M(0; 2; 7,3), souřadnice udány již zkráceny; Δ(13,2; 13,2; 14,5) ]. (22; 16; 2; 3)
J - I. 7.
Sestrojte řez rotačního zploštělého elipsoidu rovinou ρ( -9; 6; 5) [osa rotace je kolmá k půdorysně, střed S(0; 6; 6), a = 6; b = 4 ]. (12; 10; 10; 14)
J - I. 8.
Sestrojte průsečíky přímky m = MP se zploštělým elipsoidem, jehož osa rotace je kolmá k půdorysně [S(0; 6; 5), a = 6; b = 4; M(0; 11; 9), P(6; 8; 0) ]. (12; 10; 10; 14)
J - I. 9.
Rotační zploštělý elipsoid má osu rotace kolmou k půdorysně, střed S(0; 6; 5), b = 3 a jeden bod T(-3; 2; 3). Sestrojte jeho řez rovinou ρ(-10,5; 14; ?), jež prochází bodem T. V bodě T sestrojte tečnu křivky řezu. (9; 11; 9; 15)
J - I. 10.
Rotační protáhlý elipsoid s rotační osou kolmou k půdorysně má střed S(0; 5; 6) a poloosy meridiánu a = 6; b = 4. Sestrojte jeho řez rovinou ρ(10; 8; 8). V bodě T(x > 0; 2; ?) průsečné křivky zjistěte tečnu křivky řezu. (13; 10; 10; 12)
J - I. 11.
Na přímce a = AB určete body stejně vzdálené od bodu F(-6; 4;3) a roviny ρ(-7; ∞; ∞) [A(-6; 7; 0), B(-1; 1; 7)]. (8; 8; 8; 10)
J - I. 12.
Rotační paraboloid s osou kolmou k půdorysně má vrchol V(0; 5; 7) a poloměr rovnoběžkové kružnice ležící v půdorysně r = 5. Zjistěte jeho průsečíky s přímkou m = PN [P(-5; 10; 0), N(9; 0; 10)]. (10; 9; 11; 11)
J - I. 13.
Rotační paraboloid s osou kolmou k půdorysně má vrchol V(0; 4; 6) poloměr kružnice, v níž je proťat půdorysnou, je r = 4. Sestrojte elipsu, jež leží na paraboloidu a prochází body A(1; 2; ?), B(1; 5; ?), C(-3; 2; ?). (7; 5; 5; 9)
J - I. 14.
Dvoudílný rotační hyperboloid s osou kolmou k půdorysně [S(2; 4; 5), a = 2; b = 1,5] protněte rovinou a) α(-4; 4; 75°), b) β(-5; 8; 2), c) γ(-4; 4; 2), d) σ(-4; 4; ?) v parabole. (10; 7; 7; 12)
J - I. 15.
Rotační zborcený hyperboloid má osu kolmou k půdorysně [S(1,5; 5; 4), a = 2; b = 3]. Sestrojte jeho řez rovinou a) α(-5; 6; 75°), β(-5; 6; 5), γ(-4; 5; 75°), d) σ(-1,5; 2; 5,5), e) ϕ (-1,5; 2; ?) v parabole. (8; 7; 7; 12)
J - I. 16.
Rotační jednodílný hyperboloid vznikne rotací přímky a = PN kolem osy kolmé k půdorysně a procházející bodem O(0; 7; 0). Je omezen půdorysnou a rovinou s ní souměrnou podle středu hyperboloidu. Zobrazte jeho průměty a určete průsečíky s přímkou p = RM [P(0; 13,5; 0), N(7,5; 0; 13,5), R(-6,5; 14; 0), M(7,5; 0; 8)]. (15; 10; 10; 15)
J - I. 17.
Rotační jednodílný hyperboloid je dán asymptotickou rovinou α(2,5; -4; 2), osou rotace, jež je kolmá k půdorysně a prochází bodem P (0; 7; 0) a poloměrem hrdelní kružnice r = 3. Kromě půdorysny je plocha omezena rovinou souměrnou k půdorysně podle středu plochy. Sestrojte jeho průměty a a) řez rovinou ρ(9; 9; ∞) b) tečnou rovinu v bodě M(-4; 9; ?) ležícím na dolní polovině plochy. (14; 10; 10; 15)
J - I. 18.
Osa rotační plochy kolmá k půdorysně prochází bodem O(0; 6; 0). Tvořící křivka k, jež není meridiánem, se jeví v obou průmětech jako kruhové oblouky 48
[S1(-6; 9; 0), r1 = 4; S2(-5; 0; 7), r2 = 3]. V bodě T(3; 4; ?) sestrojte a) tečnou rovinu; b) normálu. [T volte tak, aby zT byla minimální.] (9; 8; 6; 11)
J - I. 19.
Rotační plochu s osou kolmou k půdorysně a jdoucí bodem O(0; 4; 0) je dána tvořící křivkou k, jež není meridiánem a jeví se v obou průmětech jako kruhové oblouky [S1(10; 12; 0), r1 = 9; S2(-5; 0; 0), r2 = 10]. Sestrojte jeden bod R(?; ?; 4) řezu rovinou ρ(8; 7; 7) a v něm tečnu ke křivce řezu. (9; 7; 11; 11)
J - I. 20.
♣ Rotační plocha má osu rotace o rovnoběžnou s nárysnou a svírá s půdorysnou úhel 30°. Její stopník je P0(-6; 5; 0). Tvořící křivka k této plochy, jež není meridiánem, se v obou průmětech jeví jako kruhový oblouk [S1(1; -2; 0), r1 = 5; S2(3; 0; -3,5), r2 = 10 ]. Sestrojte jeden bod zdánlivého půdorysného obrysu a v něm sestrojte tečnu obrysové křivky. (10; 7; 7; 9)
J - I. 21.
Rotační plocha s osou rotace kolmou k půdorysně a jdoucí bodem O(0; 2,5; 0) má za tvořící křivku k kružnici ležící v rovině rovnoběžné s nárysnou [S(-5; 4,5; 3,5), r = 3,5]. Na ploše je dán bod M(2; ?; 1,5). Sestrojte v bodě M a) tečnou rovinu plochy a normálu plochy (nezávisle na tečné rovině); b) hlavní meridián a v některém jeho bodě tečnu (8; 9; 9; 11)
J - I. 22.
Sestrojte prvý zdánlivý obraz anuloidu o středu S(0; 7; 6), jehož osa o je rovnoběžná s nárysnou a svírá s půdorysnou úhel 60°. Kružnice meridiánu mají poloměr r = 2,4 a jejich středy jsou ve vzdálenosti d = 4 od osy rotace (12; 7; 7; 11)
J - I. 23.
Rotační plocha má osu kolmou k půdorysně a prochází bodem P(3,4; 4,6; 0). Její hlavní meridián je tvořen dvěma dotýkajícími se kruhovými oblouky [středy kružnic, jejichž částmi tyto oblouky jsou, jsou S(2; 4,6; 2), S’ (4,6; 4,6; 6,7), r’ = 2,8]. Sestrojte řez plochy rovinou ρ(-10,6; 10,4; 6,4) a ve zvoleném bodě průsečné křivky sestrojte tečnu. (12; 11; 8; 11)
J - I. 24.
Anuloid vzniklý rotací kružnice o středu S(6,6; 11; 3) a poloměru r = 3 okolo osy kolmé k půdorysně a jdoucí bodem P(0; 11; 0) protněte rovinou MRQ [M(0; 11; 5), R(10; 11; 0), Q(0; 7,6; 0)]. (7; 10; 10; 22)
J - I. 25.
Anuloid vzniklý rotací kružnice o středu S(5; 8; 3) a poloměru r = 3 kolem osy kolmé k půdorysně a jdoucí bodem P(0; 8; 0) protněte tečnou rovinou v bodě T(2; y > 8; 5) a v jednom bodě průsečné křivky sestrojte tečnu. (11; 10; 10; 18)
J - I. 26.
Zobrazte průnik rotačního zploštělého elipsoidu s osou rotace kolmou k půdorysně [S(0; 6; 5), a = 6; b = 4] s kosým kruhovým kuželem stojícím podstavou na půdorysně [střed podstavy O(1; 6; 0), r = 6; V(7; 6; 12)]. Ve zvoleném bodě průnikové křivky sestrojte tečnu. (13; 10; 10; 13)
J - I. 27.
Sestrojte průnik rotačního paraboloidu s rotačním válcem. Vrchol paraboloidu je V(0; 5; 6), osa je kolmá k půdorysně, rovnoběžková kružnice ležící v půdorysně má poloměr r = 4,5. Osa válce je rovnoběžná s osou x a prochází bodem R(0; 5; 3), poloměr podstavy je r’ = 2,5. (12; 10; 10; 12)
J - I. 28.
Sestrojte průnik rotačního paraboloidu s osou kolmou k půdorysně [vrchol V(0; 5; 7), parametr meridiánu je p = 14] s rotační válcovou plochou o poloměru r = 2 a s osou o = SQ [S(0; 5; 4), Q(5,8; 5; 6)]. (11; 10; 10; 13)
49
J - I. 29.
Sestrojte průnik anuloidu s rotační plochou válcovou. Osa anuloidu je kolmá k průmětně a prochází počátkem. Jedna kružnice hlavního meridiánu má střed S(9; 0; 0) a poloměr r = 3. Osa válcové plochy prochází bodem M(-1; 1; 1) a je rovnoběžná s osou y, poloměr r’ = 3. Proveďte v kótovaném promítání. (13; 6; 13; 5)
J - I. 30.
Na ploše kulové o středu S(2,5; 10; 8) a poloměru r = 4,5 stanovte geometrické místo bodů, z nichž je úsečku AB vidět pod úhlem 30°. [A(0; 8,5; 2,5), B(0; 8,5; 7)]. (13,5; 10; 10; 15,5)
Pokyny k řešení některých úloh: 1. Bod dotyku T leží na první spádové přímce tečné roviny různoběžné s osou rotace. Meridián je elipsa, v níž známe kromě polohy obou os jednu tečnu s bodem dotyku. Elipsu sestrojíme pomocí afinity na kterékoli ose elipsy .K určení přiřazené kružnice využijeme vlastnosti, že poloměr dotyku na kružnici je kolmý k tečně. 20. Hledaný bod leží na půdorysném obrysu plochy kulové, jež se dané rotační plochy dotýká podél rovnoběžkové kružnice. Střed této plochy kulové je vrcholem kuželové plochy, na níž leží normály, sestrojené ve všech bodech rovnoběžkové kružnice rotační plochy. Střed plochy kulové tedy leží na ose rotace dané plochy a v rovině kolmé k tečně křivky k v tom jejím bodě, který leží na oné rovnoběžkové kružnici.
II.
Zborcené kvadriky a přímkové plochy
Úlohy o zborcených kvadrikách (č. 1 – 17) jsou většinou úlohami o příčkách mimoběžek; kromě těchto úloh je třeba znát ještě několik pojmů jako asymptotická rovina, asymptotický kužel, nebo řídicí roviny, střed hyperboloidu a průměr a vrchol hyperbolického paraboloidu. Poslední dvě úlohy (č. 18 a 19) jednají o rozvinutelných přímkových plochách. Pokud není v úloze jinak stanoveno, řeší se v Mongeově promítání.
J - II. 1.
Zborcený hyperboloid je určen mimoběžkami a = AB, b = CD, c = EF. Určete asymptotickou rovinu obsahující přímku c [A(-4; 6; 3), B(0; 6,5; 1), C(-2; 1,5; 5), D(3; 5; 6), E(-3; 4,5; 4), F(1; 0; 8)]. (12; 10; 10; 12)
J - II. 2.
Zborcený hyperboloid je určen mimoběžkami a = AB, b = CD, c = EF. Stanovte na nich body zdánlivého prvého i druhého obrysu [A(-4,9; 0,7; 0), B(0; 2,8; 6,2), C(0; 2,2; 4,2), D(2; 1,2; 2,5), E(2,9; 3,2; 0), F(-1,3; 3,7; 8,4)]. (13; 8; 8; 7)
J - II. 3.
Zborcený hyperboloid je určen mimoběžkami a = AB, b = CD, c = EF. Sestrojte jeho řez půdorysnou [A(0; 2,9; 1,8), B(-1,7; 4,1; 5), C(2,9; 3,7; 8), D(0,7; 7,9; 0), E(0; 3,2; 7,3), F(3,4; 5; 1,5)]. (12; 9; 9; 10)
J - II. 4.
Určete střed zborceného hyperboloidu daného mimoběžkami a, b, c [a je kolmá k půdorysně, a1(-5; 30 0), b je kolmá k nárysně, b2(3; 0; 1), c = x ]. (7; 6; 6; 4)
J - II. 5.
♣ Sestrojte asymptoty zdánlivého nárysného obrysu zborceného hyperboloidu daného mimoběžkami a, b = BD, c =CE [a je kolmá k půdorysně, a1(0; 2; 0), B(-8; 7; 3), C (-4; 5; 1,5), D(-1,5; 0; 5), E(0; -10; 17,5) ]. (20; 10; 8; 100)
J - II. 6.
Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte jeho průměr v bodě D [A(-5; 4; 9), B(-1; 3; 1), C(6; 5; 5), D(0; 9; 5)]. (13; 9; 11, 12) 50
J - II. 7.
Hyperbolický paraboloid je určen přímkami a = AB, b = CD jednoho regulu a půdorysnou jako řídicí rovinou druhého regulu. V bodě T(0; ?; 5) sestrojte k němu tečnou rovinu [ A(-6; 6; 0), B(2; 0; 12), C(0; 6; 0), D(4; 0; 6)]. (14; 10; 10; 13)
J - II. 8.
Najděte vrchol a násypný obraz hyperbolického paraboloidu určeného zborceným čtyřúhelníkem ABCD [A(4; 2; 8); B(-4; 2; 0), C(6; 6; 6), D(2; 6; 0)]. (13; 10; 10; 13)
J - II. 9.
V kosoúhlém promítání zobrazte plochu hyperbolického paraboloidu určeného zborceným čtyřúhelníkem ABCD [A(0; 6; 12), B(8; 6; 0), C(8; 0; 7), D(0; 0; 0), ω = 135°, q = 1 : 2 ]. (15; 7,5; 12,5; 10)
J - II. 10. V pravoúhlé
axonometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte jeho tečnou rovinu v bodě M(4; 6; ?) a vrchol plochy [A(0; 6; 12), B(4; 0; 0), C(12; 4; 8), D(8; 10; 0), Δ(10; 11; 12)]. (17; 10; 5; 8)
J - II. 11. V pravoúhlé axonometrii zjistěte obrys, vrchol ,vrcholovou rovinu a osu
hyperbolického paraboloidu daného zborceným čtyřúhelníkem ABCD [A(0; 6; 12), B(4; 0; 0), C(12; 4; 8), D(8; 10; 0), Δ(10; 11; 12)]. (17; 14; 6; 8)
J - II. 12. V pravoúhlé axonometrii zobrazte hyperbolický paraboloid určený mimoběžkami a = AB, b = CD a nárysnou jako řídicí rovinou [A(-1,2; 0; 0), B(0; 4,5; 4,5), C(0; 0; 2), D(7,3; 4,5; 0), Δ(8; 8,2; 4), souřadnice jsou uváděny již zkráceny]. Plochu omezte půdorysnou a dvěma rovinami rovnoběžnými s rovinou souměrnosti a stejně od ní vzdálenými, z nichž jedna prochází bodem D. (16; 13; 7,5; 11)
J - II. 13. Zborcená kvadrika je určena mimoběžkami a = AB, b = CD, c = EF. Určete bod
dotyku tečné roviny τ(-7; 9; 8), jež je proložena přímkou a [a1 || b1 || c1, A(-3,5; ?; 0), B(2; 0; ?), C(1; 3,5; 0), D(-3,5; ?; 7), E(4,5; 4; 0), F(-1; ?; 5,5)]. (12; 9; 11; 12)
J - II. 14. ♣ Zborcená kvadrika je dána mimoběžkami a, b ,c. Veďte k ní tečné roviny tak, aby obsahovaly danou přímku m. (Proveďte jen prostorové řešení).
J - II. 15. ♣ Ke zborcené kvadrice dané třemi mimoběžkami a, b, c veďte tečné roviny rovnoběžné s danou rovinou. (Proveďte jen prostorové řešení).
J - II. 16. V kosoúhlém promítání je dána zborcená kvadrika mimoběžkami a = PaA, b = PbB, c = PcC. Na přímce b určete bod zdánlivého kosoúhlého obrysu [Pa(-4,5; 1; 0), A(-1,5; -3; 11), Pb(8,5; 3; 0), B(0; 15; 15,5), Pc(3; 7; 0), C(3,3; 0; 13); ω = 135°, q = 0,5]. (14; 8; 10; 6)
J - II. 17. ♣ Vyšetřete, zda existuje příčka čtyř daných mimoběžek a, b, c, d (proveďte jen prostorové řešení).
J - II. 18. ♣ Sestrojte průměty několika povrchových přímek rozvinutelné plochy přímkové, jež je dána kružnicí ležící v půdorysně [střed S(-4,5; 6; 0), r = 4] a kružnicí ležící v nárysně [střed S’(3,5; 0; 6), r’ = 4 ]. Sestrojte také obrysové površky. (11; 10; 12; 11)
J - II. 19. Válcové potrubí o průměru d = 300 je třeba navázat na obdélníkový profil (a = 550; b = 450). Kružnice končící válcové potrubí leží v rovině rovnoběžné 51
s rovinou obdélníka a vzdálené od ní 350; její střed se pravoúhle promítne roviny obdélníka do průsečíku úhlopříček. Rozviňte tuto plochu do roviny. (Rozměry udány v mm. Proveďte v měřítku 1 : 10) Pokyny k řešení některých úloh: 5. Asymptoty zdánlivého nárysného obrysu jsou částí zdánlivého nárysného obrysu asymptotického kužele. Nárysná stopa každé asymptotické roviny je tečnou podstavné křivky asymptotického kužele ležící v nárysně. Bod dotyku těchto tečen je středem úsečky spojující nárysné stopníky těch rovnoběžných povrchových přímek, jež v asymptotické rovině leží. 14. Má–li přímka m s plochou průsečíky X, Y, pak jimi procházejí přímky x, x’, y, y’ dané plochy. Jsou–li přímky x, y téhož regulu, pak hledané tečné roviny jsou určeny různoběžkami x, y’ resp. x’, y. 15. Úloha je řešitelná, existují–li na ploše přímky rovnoběžné s danou kvadrikou. Jde–li o zborcený hyperboloid, existují takové přímky tehdy, existují-li přímky rovnoběžné s danou rovinou na asymptotickém kuželi. Jde–li o hyperbolický paraboloid, existuje tečná rovina tehdy, protne-li daná rovina řídicí roviny v různoběžných přímkách. 17. Mimoběžkami a, b, c je určena zborcená kvadrika, již protíná přímka d nejvýše ve dvou průsečících. Povrchová přímka plochy procházející takovým průsečíkem a nenáležející k regulu určenému přímkami a, b, c protíná všechny čtyři mimoběžky. 18. Tečná rovina se dotýká rozvinutelné plochy podél celé povrchové přímky. Tečny k oběma kružnicím v průsečících kružnic s jednou površkou jsou tedy přímky téže roviny a jejich průsečík bude ležet na průsečnici rovin obou kružnic. Při řešení úlohy sestrojte jen “vnější“ plášť, tj. ten, jehož tečné roviny neprotínaní úsečku SS’
K-
Šroubovice a šroubové plochy
V úlohách o šroubovici je třeba umět jako základní úlohy sestrojit velikost otočení příslušející určitému posunutí nebo úlohu opačnou, tečnu a oskulační rovinu v libovolném bodě šroubovice. Pokud jde o šroubové plochy, je třeba umět sestrojit chybějící průměty bodu plochy, je–li dán jen jeden průmět, sestrojit bod hlavního meridiánu a tečnu v něm , jakož i sestrojení bodu zdánlivého obrysu a tečny v něm. Pokud není jinak stanoveno, provádějí se úlohy v Mongeově promítání.
K - I. 1.
Pravotočivá šroubovice prochází bodem A(2; 1; 7). Její osa je kolmá k půdorysně a prochází bodem S(0; 4; 0), redukovaná výška závitu je v0 = 2,5. Sestrojte průsečík šroubovice s půdorysnou. (8; 5; 5; 9)
K - I. 2.
Pravotočivá šroubovice s osou kolmou k půdorysně leží na válcové ploše o poloměru r = 3 a spojuje nekratším obloukem body A(0; 1; 7), B(0; 6,5; 3). Zjistěte výšku závitu v, jakož i redukovanou výšku závitu v0 a v bodě B sestrojte oskulační rovinu šroubovice. (8; 5; 5; 7)
K - I. 3.
Pravotočivá šroubovice s osou kolmou k půdorysně leží na válcové ploše o poloměru r = 3 a prochází body A(0; 6,5; 3), B(0; 1; ?). Šroubovice stoupá pod úhlem 30°. V bodě B (který volte co nejblíže bodu A) zjistěte tečnu šroubovice i oskulační rovinu. (15; 5; 5; 7)
52
K - I. 4.
Pravotočivá šroubovice s osou kolmou k půdorysně a s největším možným stoupáním prochází body A(-1,5; 6; 2), B(2; 5,5 4,5), C(2; 1,5; z < 8). V bodě C sestrojte normálovou rovinu. (9; 4; 4; 7)
K - I. 5.
Sestrojte jeden závit pravotočivé šroubovice s osou kolmou k půdorysně a procházející bodem S(0; 4; 0). Šroubovice začíná na půdorysně a prochází bodem A(2; 2; 4), redukovaná výška závitu je v0 = 2. Zjistěte též oskulační rovinu a normálovou rovinu šroubovice v bodě A. (15; 7; 13; 10)
K - I. 6.
Pravotočivá šroubovice s osou kolmou k půdorysně stoupá pod úhlem 45° a prochází body A(-6; 5; 1,5), B(-2; 5; ?), C(-2; 1; ?) [souřadnice z bodu B, C volte co nejmenší]. Sestrojte plochu tečen mezi body A – C (uvažujte jen úsečky tečen od bodu dotyku až k půdorysnému stopníku). V bodě T(0; 7; ?) této plochy sestrojte tečnou rovinu. (16; 10; 10; 14)
K - I. 7.
Pravotočivá šroubovice s osou o kolmou k půdorysně [o1(0; 4; 0)] prochází bodem A(0; 7; 2) a má výšku závitu v = 12. Promítněte jí do půdorysny paprsky rovnoběžnými s nárysnou a svírajícími s půdorysnou úhel 45°. V bodě T(?; ?; 6) šroubovice sestrojte tečnu šroubovice a promítněte ji i s bodem dotyku uvedeným kosoúhlým promítáním do půdorysny. Sestrojte průsečík šroubovice s půdorysnou. [Zobrazte jeden závit začínající na půdorysně a kosoúhlý průmět sestrojte pomocí obrazů 17 bodů]. (15; 7; 13; 14)
K - I. 8.
V pravoúhlé axonometrii zobrazte jeden závit pravotočivé šroubovice začínající na půdorysně v bodě P(4; 0; 0), je–li osou šroubovice osa x a redukovaná výška závitu v0 = 2,5. V bodě M(-2; y > 0; ?) sestrojte tečnu šroubovice [šroubovici zobrazte pomocí 17 bodů; Δ(10; 11; 12)]. (16; 15; 5; 10)
K - I. 9.
Sestrojte průvodní trojhran pravotočivé šroubovice v bodě B(2,5; y > 4,5 ; ?) na jejím nejnižším závitu začínajícím na půdorysně. Osa šroubovice je kolmá k půdorysně [o1(0; 4,5; 0) , šroubovice protíná půdorysnu v bodě A(-3,5; 4,5; 0), redukovaná výška závitu je v0 = 1,8. (9; 13; 7; 15)
K - I. 10.
Zobrazte plochu tečen jednoho závitu pravotočivé šroubovice a omezte ji půdorysem a rovinou s ní rovnoběžnou ve vzdálenosti výšky závitu v = 10. Osa šroubovice o je kolmá k půdorysně [o1(0; 10; 0) ], šroubovice prochází bodem A(0; 11,5; 0). Šroubovici sestrojte pomocí 17 rovnoměrně rozložených bodů. (11; 10; 10; 13)
K - I. 11.
Zobrazte jeden závit spodní části rozvinutelné plochy šroubové, jejíž osa je kolmá k půdorysně [o1(0; 7,5; 0)]. Šroubovice je pravotočivá a prochází bodem P(0; 10; 0), redukovaná výška závitu je v0 = 2. (14; 17; 8; 12)
K - I. 12.
Vývrtková plocha je tvořena přímkou a = AB, osa šroubového pohybu je kolmá k půdorysně a prochází bodem O(0; 5; 0), redukovaná výška závitu je v0 = 1,5. Sestrojte její druhý obrys pomocí několika tečen s body dotyku [A(-3,7; 5; 0), B(0; 5; 3,7)]. (13; 10,5; 10,5; 10)
K - I. 13.
Sestrojte průměty šroubové plochy vytvořené pravotočivým šroubováním úsečky a = AB kolem osy kolmé k půdorysně a procházející bodem B. Šroubový pohyb je dán podmínkou, že úsečka po přešroubování do jiné polohy prochází bodem C(5; 2; 12). Na přešroubované úsečce jdoucí bodem D(5; 12; ?) sestrojte bod nárysného zdánlivého obrysu [A(-5; 12; 4), B(0; 7; 0), zD volte co nejmenší]. (14; 7; 7; 15) 53
K - I. 14.
Vývrtková plocha vznikne šroubovým pohybem úsečky PS kolem osy kolmé k půdorysně a procházející bodem S. Redukovaná výška závitu šroubového pohybu je v0 = 2. Určete bod M(-2,1; 7,2; ?) ležící na této ploše a nejbližší půdorysně a sestrojte v něm tečnou rovinu. Kromě toho sestrojte normální řez a na libovolné povrchové přímce najděte bod druhého zdánlivého obrysu [P(-5,4; 5,3; 0), S(0; 5,3; 3)]. (10; 9; 9; 12)
K - I. 15.
Sestrojte půdorys a nárys kosoúhlé otevřené šroubové plochy , jež vznikne pravotočivým šroubovým pohybem úsečky AB kolem osy kolmé k půdorysně a procházející bodem P(0; 4; 0). Výška závitu je v = 16. Určete obrazy přešroubované úsečky, jež prochází bodem C(8,5; 4; ?), který leží co nejblíže k půdorysně a v bodě T(0; 9; ?), který leží na ploše šroubové a je nejblíže půdorysně, sestrojte tečnou rovinu [A(-8,5; 4; 5), B(-2; 2; 0)]. (16; 10; 10; 13)
K - I. 16.
Zobrazte jeden závit šroubové plochy, jež vznikne pravotočivým šroubovým pohybem trojúhelníka ABC kolem osy o kolmé k půdorysně [A (5; 5; 2), B(2,5; 5; 0), C(2,5; 5; 4), o1(0; 5; 0), výška zavitu v = 120]. (16; 10;10; 10)
K - I. 17.
Sestrojte průměty jednoho závitu normální cyklické plochy (vinutý sloupek), jež vznikne pravotočivým šroubováním kružnice ležící v půdorysně a mající střed S(-4; 6; 0) a poloměr r = 2 kolem osy kolmé k půdorysně a jdoucí bodem P(0; 6; 0), je–li dána výška závitu v = 12. Určete nárys bodu M(4; 3; ?), který leží na ploše a je nejblíže půdorysně. (14; 10; 10; 13)
K - I. 18.
Vinutý sloupek vznikne šroubováním kružnice ležící v půdorysně a mající střed O(-2,8; 5,8; 0) a poloměr r = 1,3 kolem osy o kolmé k půdorysně [o1(0; 6; 0)]. Redukovaná výška závitu šroubového pohybu je v0 = 2,5. Sestrojte zdánlivé obrysy plochy a průměty bodu M(-0,3; 9,3; ?), který na ploše leží a je nejblíže půdorysně a v tomto bodě sestrojte tečnou rovinu plochy. Sestrojte též hlavní meridián plochy. (15; 6; 6; 11)
K - I. 19.
Šroubová plocha vznikne pravotočivým šroubovým pohybem přímky m = AB kolem osy o kolmé k půdorysně. Sestrojte řez plochy půdorysnou [o1(0; 6,5; 0), redukovaná výška závitu šroubového pohybu je v0 = 2,2, A(-6; 9,5; 0), B(0; 9,5; 3,5)]. (6; 8; 8; 14)
K - I. 20.
V pravoúhlé axonometrii zobrazte jeden závit rozvinutelné plochy šroubové (její spodní část). Osa leží v ose z, poloměr válce, na níž šroubovice leží, je r= 2; výška závitu v = 16. Počáteční bod šroubovice leží na ose souměrnosti kladných částí os x, y. Šroubovici sestrojte pomocí 17 bodů pravidelně rozložených [Δ(8; 8; 8)]. (17; 17; 3; 9)
K - I. 21.
♣ Najděte šroubovici vratu rozvinutelné plochy šroubové vzniklé šroubováním roviny ρ(-6; 10; 3,5) kolem osy o kolmé k půdorysně [o1(0; 4; 0)], je–li redukovaná výška závitu v0 =2,5. (6; 7; 7; 11)
Pokyny k řešení některých úloh: 21. Rovina ρ je oskulační rovinou hledané šroubovice vratu. Tečna šroubovice ležící v této rovině je první spádovou přímkou roviny. Můžeme již tedy sestrojit jednu povrchovou přímku řídicího kužele dané šroubovice. Pak je již snadné sestrojit půdorys hledané šroubovice a zjistit bod, v němž se rovina ρ dotýká šroubovice.
54
L-
Projektivní geometrie kuželoseček
Projektivní geometrie obsahuje učebnou látku, jež je pro všechny posluchače zcela nová a kromě počátečních úvah též velmi zajímavá. Zahrnuje a sjednocuje vlastnosti kuželoseček poznávané až dosud nesoustavně. I zde je nutno bezpečně nacvičit několik jednoduchých základních úloh. Je to sestrojení prvku (bodu nebo přímky) o daném dělícím poměru, sestrojení čtvrtého harmonického prvku ke třem daným prvkům, doplňování projektivních nebo involutorních řad bodových a svazků přímek, jakož i vyhledávání jejich samodružných prvků. Kromě projektivního vytvoření kuželoseček je nutno dokonale ovládat užití věty Pascalovy i Brianchónovy a znát základní vlastnosti pólu a poláry. Také princip duality je nutno znát a umět ho použít při řešení úloh. Podrobné řešení úloh se provádí často pomocí osové afinity nebo středové kolineace. Úlohy jsou sestaveny tak, aby posluchač mohl rozřešit úlohy o kuželosečce jakkoli určené co nejjednoduššími prostředky. Zpravidla půjde o to převést dané určení kuželosečky na takové, jež umožňuje řešení úlohy použitím osové afinity nebo středové kolineace.
L - I. 1.
♣ Na číselné ose jsou dány body A(2), B(5). Sestrojte bod C tak, aby platilo (ABC) = k ,kde a) k = 2; b) k = 0,6; c) k = -1; d) k = -4; e) k = (-2) : 3; f) k = a : b; kde a, b jsou dané úsečky; g) k = a2 : b2, kde a, b jsou dané úsečky.
L - I. 2.
Jak se změní dělící poměr (ABC) = k ,zaměníme–li základní body A, B?
L - I. 3.
♣ Jsou dány různoběžky a, b. Sestrojte přímku c, aby platilo (abc) = k, kde a) k = 2 : 3; b) k = (-3) : 4
L - I. 4.
Určete dělící poměr ramen libovolného úhlu a a) jeho osy; b) osy úhlu k němu vedlejšího.
L - I. 5.
♣ Na číselné ose leží obrazy čísel 0 (bod A), 40 (bod B) a 55 (bod C). Sestrojte bod D tak, aby platilo (ABCD) = k, kde a) k = 2; b) k = -3; c) k = 0,75; d) k = -0,8; e) k = m : n, kde m, n jsou dané úsečky.
L - I. 6.
♣ Jsou dány přímky a, b, c tvořící svazek. Sestrojte přímku d tak, aby platilo (abcd) = k, kde a) k = 0,6; b) k = (-5) : 7; c) k = -1.
L - I. 7.
♣ Na přímce jsou dány body a) A, B, C; b) B, C, A v uvedeném pořadí. Pouhým pravítkem sestrojte bod D tak, aby platilo (ABCD) = -1
L - I. 8.
♣ Jsou dány přímky a, b, c náležející témuž svazku. Pouhým pravítkem sestrojte přímku d tak, aby platilo (abcd) = -1
L - I. 9.
♣ Prodloužíme–li ramena lichoběžníka a spojíme jejich průsečík s průsečíkem úhlopříček, půlí tato spojnice obě základny lichoběžníka. Dokažte to.
L - I. 10.
♣ Ukažte, že úhlopříčky a střední příčky rovnoběžníka tvoří harmonickou čtveřinu.
L - I. 11.
Na přímce p leží body A, B, C, D, na přímce p’ leží body A’, B’, C’, E’. Body obou řad jsou v projektivní závislosti, odpovídající si body označené stejným písmenem. Určete body D’, E a úběžníky obou řad, jsou–li nositelky a) různoběžné; b) rovnoběžné
55
L - I. 12.
Svazek přímek a, b, c, … je projektivní se svazkem a’, b’, c’, …, přičemž si odpovídají přímky označené stejným písmenem. Vyhledejte přímku d’, sdruženou s danou přímkou d a přímku e, sdruženou s přímkou e’. Vrcholy obou svazků jsou a) různé; b) totožné.
L - I. 13.
Doplňujte soumístné projektivní a) řady bodové; b) svazky přímek, je–li projektivita dána samodružnými prvky a jedním párem projektivně přiřazených prvků nebo jedním samodružným prvkem a dvěma páry projektivně přiřazených prvků.
L - I. 14.
Body A, B, C, D, E tvoří vrcholy pětiúhelníka. Sestrojte spojnici zvoleného vrcholu s průsečíkem úhlopříček, jež procházejí zbývající vrcholy. Vyslovte a proveďte úlohu duální.
L - I. 15.
♣ Uvnitř jednoho páru vrcholových úhlů vytvořených přímkami a, b zvolte body C, D, E, jež neleží na jediné přímce. Průsečíky přímky CD s přímkami a, b spojte s bodem E. Vyslovte a proveďte úlohu duální.
L - I. 16.
Na přímce p leží body A, B, C, D. Ve svazku ,který není s řadou bodovou perspektivní, leží přímky a, b, c, e. Najděte bod E a přímku d, aby platilo (ABCD) = (abcd), (BDCE) = (bcde). Co platí o dvojpoměru ABCE a proč to platí?
L - I. 17.
Bodová involuce na přímce p je určena dvěma páry odpovídajících si bodů. Sestrojte její samodružné body, jestliže a) oba páry se vzájemně oddělují; b) jeden leží vně druhého; c) jeden leží uvnitř druhého. Změní se výsledek, zaměníme–li označení jediného páru?
L - I. 18.
Sestrojte samodružné přímky involuce určené dvěma páry odpovídajících si přímek.
L - I. 19.
Bodová involuce je dána dvěma páry odpovídajících si bodů A, A’, B, B’. K bodu C vyhledejte sdružený bod C’ bez předchozího vyhledání samodružných bodů.
L - I. 20.
Involuce je určena dvěma páry odpovídajících si přímek a, a’, b, b’. K přímce c vyhledejte odpovídající přímku c’ bez předchozího vyhledání samodružných prvků.
L - I. 21.
♣ Bodová involuce na přímce p je dána samodružnými prvky X, Y. K bodu A, o němž platí (AXY) = 1,5 najděte sdružený bod A’. Jak by se sestrojil bod A’ bez předchozího sestrojení bodu A?
L - I. 22.
Bodová involuce na přímce p je dána svým středem S a párem odpovídajících si bodů. Ke zvolenému bodu najděte bod odpovídající.
L - I. 23.
♣ Na přímce p leží body A(0), B(25), C(35), D(50). Vyhledejte body E, F tak, aby platilo (ABEF) = (CDEF) = -1.
L - I. 24.
♣ Přímky a, b, c, d tvoří svazek. Vyhledejte v tomto svazku přímky e, f tak, aby platilo (abef) = (cdef) = -1.
L - I. 25.
♣ Dokažte, že kuželosečka určena pěti body, z nichž žádné tři neleží na stejné přímce, je určena jednoznačně.
56
L - I. 26.
♣ Dokažte, že kuželosečka dotýkající se pěti přímek, z nichž žádné tři nemají společný bod, je určena jednoznačně.
L - I. 27.
♣ Dokažte, že kuželosečka určená tečnou s bodem dotyku a a) dalšími třemi body b) dalšími třemi tečnami je určena jednoznačně.
L - I. 28.
♣ Dokažte, že kuželosečka určena dvěma tečnami s body dotyku a a) dalším bodem; b) další tečnou je určena jednoznačně.
L - I. 29.
Na dvou různoběžkách sestrojte měřítka (o stejných nebo různých jednotkách). Dokažte, že spojnice obrazů stejných čísel obalí parabolu.
L - I. 30.
Kuželosečka je dána pěti body A, B, C, D, E. V bodě A sestrojte její tečnu. Užívajíce principu duality sestrojte bod dotyku na tečně a kuželosečky určené tečnami a, b, c, d, e.
L - I. 31.
Lze považovati úlohy : 1) sestrojení paraboly určené čtyřmi body; 2) sestrojení paraboly určené čtyřmi tečnami za úlohy vzájemně duální?
L - I. 32.
Sestrojte samodružné prvky dvou soumístných projektivních a) řad bodových; b) svazků přímek.
L - I. 33.
Kuželosečka je určena pěti body, z nichž žádné tři neleží na přímce. Sestrojte její průsečíky s danou přímkou, jež a) prochází jedním z daných bodů; b) neprochází žádným z daných bodů. (Řešte bez použití kolineace),
L - I. 34.
Kuželosečka je dána pěti tečnami, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Z bodu, který a) leží na jedné tečně; b) neleží na žádné z daných tečen veďte k ní tečny. (Úlohu řešte bez použití kolineace).
L - I. 35.
Kuželosečka je dána pěti body, z nichž žádné tři neleží na jediné přímce. Veďte k ní tečny z bodu, který je různý od bodů určujících kuželosečku. Úlohu řešte jednak s použitím kolineace jednak bez použití kolineace.
L - I. 36.
Kuželosečka je dána pěti tečnami, z nichž žádné tři neprocházejí jediným bodem. Sestrojte průsečíky dané přímky p s touto kuželosečkou. Úlohu řešte s použitím kolineace i bez použití kolineace.
L - I. 37.
Kuželosečka je dána pěti body, z nichž žádné tři neleží na přímce. Veďte k ní tečny rovnoběžné s daným směrem s. Úlohu řešte bez použití kolineace
L - I. 38.
Je–li kuželosečce opsán trojúhelník, pak spojnice vrcholů tohoto trojúhelníka s body dotyku na protější straně procházejí jediným bodem (což vyplývá z Brianchónovy věty). Formulujte tvrzení duální a užijte ho k sestrojení tečny kuželosečky v bodě C, znáte–li její další body A, B a tečny v nich sestrojené.
L - I. 39.
Užívajíce tvrzení obsaženého v příkladu 38 řešte nejkratším způsobem úlohu: sestrojit tečnu hyperboly v jejím bodě, znáte–li obě asymptoty.
L - I. 40.
Užívajíce tvrzení obsaženého v příkladu 38 odůvodněte, že bod dotyku na tečně hyperboly půlí úsek tečny vyťatý jejími asymptotami.
L - I. 41.
Kuželosečka je dána tečnou s bodem dotyku a dalšími třemi tečnami. Ze zvoleného bodu veďte k ní tečny ( bez použití kolineace). 57
L - I. 42.
Je–li středová kuželosečka dána hlavními vrcholy A, B a dalším bodem M, lze v bodě M sestrojiti tečnu m takto: sestrojme přímku p, jež spojuje průsečík přímky AM s tečnou b v bodě B s průsečíkem přímky BM s tečnou a v bodě A. Tečna m prochází průsečíkem přímek AB, p. Odůvodněte tuto konstrukci a řešte pal úlohu: Středová kuželosečka je dána hlavními vrcholy A, B s tečnou m; najděte na ní bod dotyku M. Lze obě úlohy řešit stejným postupem, jsou–li místo hlavních vrcholů dány vedlejší vrcholy C, D?
L - I. 43.
Kuželosečka je dána dvěma tečnami s body dotyku a a) dalším bodem; b) další tečnou. Bez užití kolineace sestrojte její průsečíky s danou přímkou p.
L - I. 44.
Řešte úlohu duální k předchozímu příkladu
L - I. 45.
♣ Kuželosečka je dána pěti tečnami, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Bez použití kolineace rozhodněte, zda jde o parabolu nebo o středovou kuželosečku.
L - I. 46.
♣ Sestrojte kuželosečku určenou a) pěti body; b) pěti tečnami; c) čtyřmi body a tečnou v jednom z nich; d) čtyřmi tečnami a bodem dotyku na jedné z nich.
L - I. 47.
Sestrojte parabolu dotýkající se přímek a, b, c, d.
L - I. 48.
Sestrojte hyperbolu, znáte–li její tři body, jež neleží na jediné přímce a směry obou asymptot.
L - I. 49.
Sestrojte parabolu, znáte–li její tři body neležící na jedné přímce a směr osy, jenž je různoběžný se spojnicí kterýchkoli dvou daných bodů paraboly.
L - I. 50.
♣ Středová kuželosečka je dána středem S a třemi body A, B, C. Rozhodněte, jde–li o elipsoidu nebo hyperbolu.
L - I. 51.
♣ Sestrojte středovou kuželosečku danou středem S a body A, B, C. Řešte také úlohu duální.
L - I. 52.
Sestrojte středovou kuželosečku, znáte–li její střed S, tečnu a s bodem dotyku A a další bod B. Řešte také úlohu duální.
L - I. 53.
♣ Kuželosečka je dána pěti body nebo pěti tečnami. Sestrojte její střed, jestliže existuje. (Řešte bez použití kolineace).
L - I. 54.
♣ Kuželosečka je dána body A, B, C, D, E, z nichž žádné tři neleží na přímce. Sestrojte pól a) přímky AB; b) přímky jdoucí jedním z daných bodů; c) přímky neprocházející žádným z daných bodů.
L - I. 55.
♣ Kuželosečka je dána pěti tečnami a, b, c, d, e, z nichž žádné tři nemají žádný společný bod. Sestrojte poláru bodu a) P = a ∩ b; b) Q, který leží na tečně a, avšak neleží v průsečíku se žádnou z daných tečen; c) R, jenž neleží na žádné z daných tečen.
L - I. 56.
Sestrojte kuželosečku, znáte–li pól P poláry p a a) tři body A, B, C; b) tři tečny a, b, c; c) dva body A, B a tečnu c; d) bod A a dvě tečny b, c; e) tečnu a s bodem dotyku A a další bod B nebo další tečnu b.
L - I. 57.
♣ Kuželosečka je dána body A, B, C, D a tečnou e. Sestrojte ji. 58
L - I. 58.
♣ Sestrojte parabolu určenou body A, B, C, D, z nichž žádné tři neleží na jedné přímce.
L - I. 59.
♣ Sestrojte kuželosečku určenou čtyřmi tečnami a, b, c, d, a bodem E.
L - I. 60.
Sestrojte parabolu, znáte–li směr její osy, dva body A, B a jednu tečnu c.
L - I. 61.
Užitím duality s předchozí úlohou sestrojte parabolu, znáte–li dvě tečny a, b, bod C a směr osy.
L - I. 62.
Sestrojte hyperbolu, znáte–li jednu její asymptotu, dva body A, B a tečnu c.
L - I. 63.
Užitím duality s předchozí úlohou sestrojte hyperbolu, znáte–li jednu její asymptotu, dvě tečny a, b a bod C.
L - I. 64.
♣ Sestrojte kuželosečku, znáte–li poláry p, q pólů P, Q a a) jeden její bod A; b) jednu její tečnu a. (P neleží na q a tedy ani Q neleží na p. )
L - I. 65.
♣ Sestrojte kuželosečku, znáte–li její polární trojúhelník PQR a a) dva její body A, B; b) dvě její tečny a, b; c) tečnu a s bodem dotyku A; d) bod A a tečnu b
L - I. 66.
Parabola je určena tečnami MA, MB a body dotyku A, B. Dokažte, že přímka, na níž leží střední příčka trojúhelníka MAB rovnoběžná s AB je tečnou paraboly a bod dotyku leží na průměru jdoucím bodem M.
L - I. 67.
♣ Dokažte, že každá kružnice protne nevlastní přímku v těchže imaginárních bodech (v tzv. bodech isotropických). Dále dokažte, že kuželosečka procházející isotropickýmí body je kružnice.
L - I. 68.
Lze považovat úlohy: 1) Sestrojení kružnice jdoucí třemi body; 2) sestrojení kružnice dotýkající se třech přímek za vzájemně duální? Odpověď zdůvodněte.
L - I. 69.
Elipsa je dána polohou os a bodem M s tečnou m. Sestrojte oskulační kružnici v bodě M.
L - I. 70.
Hyperbola je dána polohou os a bodem M s tečnou m. Sestrojte oskulační kružnici v bodě M.
L - I. 71.
Parabola je dána polohou osy a bodem M s tečnou m. V bodě M sestrojte oskulační kružnici paraboly.
Pokyny k řešení některých úloh: 1. g) Je–li m = a2 : b, je k = m : b. 3. Je–li S = a ∩ b, zvolte na a bod A a na b bod B tak, aby platilo SA = SB. Najdeme–li na AB bod C tak, aby platilo (ABC) = k, je SC = c. Odůvodněte tento postup (ukažte, že poměr obsahů trojúhelníků ACS a BCS je roven číslu k; obsah vyjadřujte pomocí délek stran SA, SC, SB a úhlů jimi sevřených. 5. a) Lze psáti: (ABC) = m : p, kde p lze zjistit konstrukčně. Má–li být (ABCD) = m : n, musí být (ABD) = n : p. 7. Užijte vlastností úplného čtyřrohu. 8. Užijte vlastností úplného čtyřstranu. 9. Plyne z vlastností úplného čtyřrohu, jehož dvě protější strany jsou rovnoběžné. 59
10. K důkazu použijte čtveřiny průsečíků těchto přímek s některou stranou rovnoběžníka. 15. Množině přímek svazku přímek vyplňujících jeden pár vrcholových úhlů odpovídá duálně množina bodů jedné úsečky nebo množina bodů dvou polopřímek, které nemají společný bod a leží na téže přímce. 21. Platí (XYAA’) = -1, takže (XYA’) = -1,5. 23. Páry bodů A, B a C, D tvoří involuci se samodružnými body E, F. 24. Páry přímek a, b a c, d tvoří involuci se samodružnými prvky e, f. 25. Dokažte pomocí jednoznačné určenosti projektivních svazků, jimiž lze tuto kuželosečku vytvořit. 26. Dokažte, že libovolné dvě přímky protínají ostatní tečny v bodech, jež jednoznačně určují projektivnost přímých bodových řad. 27. Kuželosečku lze vytvořiti dvěma projektivními svazky přímek nebo dvěma projektivními řadami bodovými. Dokažte, že tyto projektivní útvary jsou určeny jednoznačně. 28. Kuželosečku lze vytvořit pomocí projektivních svazků nebo řad bodových. Dokažte, že projektivnost těchto útvarů je určena jednoznačně. 45. Parabola má jedinou vlastní tečnu rovnoběžnou s daným směrem. 46. Převeďte určení kuželosečky na určení dvěma tečnami s body dotyku a dalším bodem nebo další tečnou a pak použijte kolineace. 50. Všechny body elipsy leží v jediné polorovině vyťaté kteroukoli její tečnou; body hyperboly leží v obou polorovinách vyťatých kteroukoli její tečnou. 51. Jde–li o elipsu, omezte její sdružené průměry; Jde–li o hyperbolu, sestrojte nejprve její asymptoty. 53. Spojnice průsečíku tečen se středem tětivy spojujících jejich body dotyku prochází středem kuželosečky. 54. c) Na přímce zvolte dva body a sestrojte jejich poláry. Tyto poláry se protínají v hledaném pólu. Zvolíte–li body v průsečících s některou tečnou AB, AC, … bude konstrukce kratší. 55. Bodem R veďte dvě různoběžky a sestrojte jejich póly. Hledaná polára je spojnicí těchto pólů. Volíte–li různoběžky tak, aby procházely průsečíkem některé dvojice daných tečen, bude konstrukce kratší. 57. Pomocí úplného čtyřrohu ABCD sestrojte pól a poláru hledané kuželosečky a pomocí nich tečnu sdruženou s tečnou e. Pak užijte kolineace; kuželosečka je určena párem tečen a třemi body. 58. Pomocí úplného čtyřrohu ABCD sestrojte polární trojúhelník dané paraboly. Uvažte, proč rovnoběžka s polárou paraboly půlící vzdálenost pólu od poláry musí být tečnou paraboly. 59. Pomocí úplného čtyřstranu abcd sestrojte pól a poláru hledané kuželosečky a pomocí nich další bod E’, polárně sdružený s bodem E. Pak použijte kolineace (kuželosečka je určena dvěma body a třemi tečnami). 64. Je–li R = p ∩ q, je polára bodu R přímka r = PQ. Pomocí polár p, q, r sestrojte další body nebo další tečny kuželosečky. 66. Použijte vlastností poláry AB pólu M 60
67. Na kterékoli kružnici zvolte libovolný průměr MN a z jeho koncových bodů M, N promítejte body kružnice na nevlastní přímku. Ukažte, že tak vznikne na nevlastní přímce involuce bodů perspektivní s involucí pravoúhlou. Prochází–li kuželosečka isotropickými body, musí být křivkou druhu elipsa. Zvolme její libovolný průměr a promítejme z něho tu involuci bodovou na nevlastní přímce, jež má za samodružné body body isotropické.
M-
Kinematická geometrie v rovině
V kinematické geometrii jde o vyhledávání bodů trajektorií pohybujících se neproměnných rovinných útvarů, o sestrojování jejich tečen a středů křivosti. Kromě toho je třeba umět sestrojit poloidy daného pohybu, tj. sestrojit jejich jednotlivé body a v nich tečny. Pro řešení těchto úloh je třeba znát konstrukci Mannheimovu a konstrukce Bobillierovy.
M - I. 1.
Ke křivce dané graficky sestrojte v některém jejím bodě normálu.
M - I. 2.
K rovinné křivce k, dané graficky, sestrojte z bodu M, který na ní neleží, tečnu a určete na ní bod dotyku.
M - I. 3.
K rovinné křivce k, dané graficky, veďte z bodu M, který na ní neleží, normálu.
M - I. 4.
Na oblouku rovinné křivky k, dané graficky, najděte bod ležící nejblíže bodu M (který na křivce neleží) a sestrojte v něm tečnu.
M - I. 5.
Na oblouku rovinné křivky k, dané graficky, najděte bod ležící nejblíže přímce m (přímka m neprotíná daný oblouk).
M - I. 6.
Zvolte si obecný trojúhelník ABC a otočte ho v rovině kolem zvoleného středu S o úhel +45°, čímž vznikne trojúhelník A’B’C’, který otočte kolem jiného zvoleného středu S’ o úhel -120°, čímž vznikne trojúhelník A’’B’’C’’. Najděte střed otočení, jímž projde původní trojúhelník ABC v trojúhelník A’’B’’C’’.
M - I. 7.
Sestrojte ekvidistantu dané elipsy pro délku d < b (sestrojte obě její větve)
M - I. 8.
♣ Elipsa je dána osami a pomocí proužkové konstrukce byl sestrojen její libovolný bod M. Nejkratším způsobem sestrojte v bodě M tečnu.
M - I. 9.
Úsečka délky d = 6 se pohybuje koncovými body po různoběžkách a, b, jež svírají úhel 60°. Sestrojte trajektorii bodu C, který je a) vnitřním bodem pohybující se úsečky; b) bodem neležícím na přímce vzniklé prodloužením pohybující se úsečky.
M - I. 10. Úsečka AB délky 6 se pohybuje koncovými body po kolmých přímkách a, b. Sestrojte obálku přímky AB.
M - I. 11. Po vnitřním obvodu kružnice h(S; 2r) se kotálí kružnice o poloměru r. Dokažte, že libovolný průměr hybné poloidy obalí křivku, jež vznikne podle předpisu uvedeného v předešlém příkladě.
M - I. 12. Dokažte, že obálky vytvořené podle předpisů vytvořených obsažených
v předchozích dvou příkladech, jsou asteroidy. Asteroida vznikne jako trajektorie bodu hybné kružnice, jež se vnějším obvodem kotálí po vnitřním obvodu kružnice se čtyřnásobným poloměrem. 61
M - I. 13. ♣ Sestrojte obálku přímky m, jež je rovnoběžná s přímkou AB a pevně s ní spojena. Úsečka AB se pohybuje krajními body na kolmicích a, b.
M - I. 14. ♣ Přímku, na níž jsou zvoleny body A, C, B, položte tak, aby body A, B, C ležely na stejnojmenných přímkách a, b, c (jež jsou dány).
M - I. 15. ♣ Daný trojúhelník ABC položte tak, aby vrcholy ležely na stejnojmenných přímkách a, b, c.
M - I. 16. Úsečka AB = 6 se pohybuje tak, že trajektorie bodu A je přímka a, trajektorie
bodu B je kružnice b(S; 2,5). Sestrojte trajektorii bodu C, který je pevně spojen s přímkou AB, avšak neleží na ní, jestliže přímka a prochází a) bodem S; b) ve vzdálenosti d = 1,5 od středu S.
M - I. 17. Úsečka AB se pohybuje bodem A po přímce a, bodem B po kružnici k. Sestrojte obálku, kterou vytvoří přímka AB.
M - I. 18. Kloubový čtyřúhelník ABCD má rám AB. Sestrojte trajektorii bodu E, který je
pevně spojen s ojnicí CD. Bod E je a) vnitřním bodem úsečky CD; b) vnějším bodem úsečky CD; c) bodem ležícím mimo ojnici.
M - I. 19. Kloubový čtyřúhelník ABCD má rám AB. Sestrojte obálku vytvořenou ojnicí CD. M - I. 20. ♣ Kloubový čtyřúhelník je antiparalelogram (nesousední strany jsou shodné délky, avšak nejsou rovnoběžné), rám je kratší než kliky. Sestrojte obě poloidy.
M - I. 21. ♣ Řešte předchozí úlohu pro případ, že rám je delší než kliky. M - I. 22. Přímka p se pohybuje tak, že stále prochází bodem P a jeden její bod A má za
trajektorii přímku m, jež neprochází bodem P. Sestrojte trajektorie bodů B, B’ přímky p (BA = AB’ = 4) a bodu C, který je pevně spojen s přímkou p, avšak neleží na ní.
M - I. 23. Sestrojte pevnou poloidu pohybu uvedeného v předchozím příkladě. M - I. 24. Přímka p se pohybuje tak, že stále prochází bodem P a jeden její bod A opisuje
kruhovou trajektorii a(0; 2,5), jež bodem P neprochází. Sestrojte trajektorie bodů B, B’ přímky p ( BA = AB’ = 4) a bodu C, který je s přímkou p pevně spojen, avšak neleží na ní.
M - I. 25. ♣ Přímka p se pohybuje tak, že stále prochází bodem P a jeden její bod A opisuje kruhovou trajektorii a(O; 3), jež neprochází bodem P. Sestrojte pevnou poloidu tohoto pohybu.
M - I. 26. ♣ Přímka p stále prochází bodem P a její bod A se pohybuje po kružnici a(O; 2,5), jež prochází bodem P. Sestrojte trajektorii bodu B na přímce p. Sestrojte obě poloidy tohoto pohybu.
M - I. 27. ♣ Různoběžky a, b svírají úhel 60° a pohybují se tak, že přímka a stále prochází bodem A, přímka b bodem B (AB = 4,5). Sestrojte trajektorii bodu C, který je pevně spojen s danými různoběžkami, avšak neleží na žádné z nich.
M - I. 28. Dokažte, že trajektorie bodu C v předchozím příkladě je Pascalova závitnice.
62
M - I. 29. Pravý úhel se pohybuje tak, že jedno jeho rameno se dotýká kružnice k(S; 2,5) a druhé rameno prochází bodem P (SP = 5). Sestrojte trajektorii vrcholu tohoto pravého úhlu.
M - I. 30. ♣ Ukažte, že Pascalovu závitnici lze považovat za úpatnici kružnice. M - I. 31. Sestrojte Pascalovu závitnici pro případ, že D leží ve vzdálenosti průměru kružnice k od bodu A, který má tuto kružnici za svou trajektorii. (V tomto případě se nazývá Pascalova závitnice kardioida.)
M - I. 32. ♣ Různoběžky a, b se pohybují tak, že přímka a prochází pevným bodem A a přímka b pevným bodem B. Sestrojte obálku vytvořenou přímkou c, jež je s různoběžkami a, b pevně spojena.
M - I. 33. ♣ Je dán trojúhelník o stranách a = 2,5, b = 3,5, c = 4,5. Sestrojte tento
trojúhelník a umístěte ho tak, aby strana a nebo její prodloužení procházelo bodem M, strana b (nebo její prodloužení) bodem N a strana c nebo její prodloužení bodem P (MN = 3; NP = 5; PM = 5,3).
M - I. 34. ♣ Různoběžky a, b se pohybují tak, že přímka a prochází pevným bodem A, přímka b obaluje kružnici k(B; r). Sestrojte obálku přímky c, jež je pevně spojena s přímkami a, b.
M - I. 35. ♣ Trojúhelník o daných stranách a, b, c umístěte tak, aby strana c (nebo její prodloužení) se dotýkala kružnice k(S; r), strana a a strana b (nebo jejich prodloužení) procházely danými body A, B.
M - I. 36. ♣ Přímky a, b svírající úhel 60° se pohybují tak, že přímka a se dotýká kružnice
k1(S1; 1) a přímka b se dotýká kružnice k2(S2; 0,8) (S1S2 = 3,5). Sestrojte trajektorii průsečíku přímek a, b.
M - I. 37. ♣ Dvě pevně spojené různoběžky a, b se pohybují tak, že první je stále tečnou kružnice k1, druhá tečnou kružnice k2. Sestrojte poloidy tohoto pohybu.
M - I. 38. ♣ Trojúhelník o daných stranách a, b, c umístěte tak, aby se strany a, b dotýkaly kružnice k1(S1; r1), k2(S2; r2) a strana c procházela daným bodem C.
M - I. 39. ♣ Trojúhelník o zadaných stranách a, b, c umístěte tak, aby se jeho strany nebo jejich prodloužení dotýkaly kružnic k1(S1; r1), k2(S2; r2), k3(S3; r3)
M - I. 40. Kružnice h o průměru d se kotálí po vnitřním obvodu kružnice p o poloměru d. Sestrojte trajektorii bodu C, který je pevně spojen s kružnicí h. Bod c je a) bodem kružnice h b) vnitřním bodem kružnice h; c) vnějším bodem kružnice h.
M - I. 41. Sestrojte trajektorii libovolného bodu kružnice h o poloměru 2r, jež se kotálí
svým vnitřním obvodem po vnějším obvodu pevné kružnice p o poloměru r. (Hledaná trajektorie se nazývá kardioida.)
M - I. 42. Kardioidu lze sestrojiti také tak, že kružnice se kotálí vně po shodné kružnici.
Kardioidu vytváří kterýkoliv její bod. Dokažte, že křivka takto vzniklá je shodná s křivkou vytvořenou podle předpisu udaného v předchozím příkladě.
63
M - I. 43. Dokažte, že křivka vzniklá jako zvláštní případ Pascalovy závitnice (viz př. 31) a křivka vytvořená podle předpisů udaných v předcházejících dvou příkladech jsou vzájemně shodné.
M - I. 44. Kružnice h o poloměru 2r se kotálí svým vnitřním obvodem po vnějším obvodu
pevné kružnice p o poloměru r. Sestrojte trajektorii libovolného a) vnějšího; b) vnitřního bodu kružnice h.
M - I. 45. ♣ Dvě shodné paraboly jsou souměrně položeny podle společného vrcholu.
Jedna z nich je pevnou poloidou, druhá hybnou poloidou. Sestrojte trajektorii ohniska hybné plochy.
M - I. 46. ♣ Pravý úhel se pohybuje tak, že jeho vrchol V probíhá kruhovou trajektorií
k(S; a) a jedno jeho rameno prochází pevným bodem F (FS > a). Sestrojte obálku vytvořenou druhým ramenem.
M - I. 47. ♣ Předchozí úlohu řešte pro případ FS < a. M - I. 48. Sestrojte úpatnici elipsy pro pól P ležící uvnitř úsečky spojující její hlavní vrcholy. M - I. 49. Sestrojte úpatnici hyperboly pro pól P, který leží na hlavní ose vně úsečky omezené ohnisky.
M - I. 50. Sestrojte úpatnici paraboly pro pól P ležící na ose paraboly a různý od jejího ohniska.
M - I. 51. ♣ Sestrojte trajektorii bodu ležícího na ojnici deltoidového kloubového čtyřúhelníka.
M - I. 52. Kružnice h (r = 2) se kotálí po přímce p. Sestrojte trajektorii a) bodu A této
kružnice ( prostá cykloida); b) vnějšího bodu B kružnice ( prodloužená cykloida); c) vnitřního bodu C, různého od středu kružnice (zkrácená cykloida).
M - I. 53. Přímka h se kotálí po kružnici p. Sestrojte trajektorii a) bodu A přímky h (prostá kruhová evolventa); b) bodu B, který leží v téže polorovině vytvořené přímkou h jako střed pevné poloidy (prodloužená evolventa); c) bodu C, který leží v opačné polorovině vytvořené přímkou h než střed pevné poloidy.
M - I. 54. Sestrojte Archimédovu spirálu, jež je trajektorií středu S pevné kružnice p, po níž se kotálí přímka h. Bod S je pevně spojen s přímkou h.
M - I. 55. Po obvodu kružnice p se kotálí kružnice h dotýkající se jí vně. Sestrojte trajektorii a) bodu A kružnice h (prostá epicykloida); b) vnějšího bodu B kružnice h (prodloužená epicykloida); c) vnitřního bodu C kružnice h různého od jejího středu (zkrácená epicykloida).
M - I. 56. Po vnitřním obvodu kružnice p(S; 6) se kotálí vnitřním obvodem kružnice
h(r = 2). Určete trajektorii a) bodu A kružnice h (prostá hypocykloida - pro poměr poloměrů 3 : 1 se též nazývá Steinerova hypocykloida a pro poměr poloměrů 4 : 1 pravidelná asteroida); b) vnějšího bodu B kružnice h (prodloužená hypocykloida); c) vnitřního bodu C kružnice h (zkrácená hypocykloida).
M - I. 57. Sestrojte evolutu dané a) elipsy; b) hyperboly; c) paraboly. 64
M - I. 58. Sestrojte oskulační kružnici v libovolném bodě a) prosté cykloidy; b) prosté hypocykloidy
M - I. 59. Sestrojte evolutu a) prosté cykloidy; b) prosté epicykloidy; c) prosté hypocykloidy.
M - I. 60. Sestrojte oskulační kružnici v libovolném bodě prodloužené a) cykloidy; b) epicykloidy; c) hypocykloidy.
M - I. 61. Sestrojte evolutu zkrácené a) cykloidy; b) epicykloidy; c) hypocykloidy. M - I. 62. ♣ Kuželosečka h se kotálí po jiné pevné kuželosečce p. V bodě M trajektorie
bodu M pevně spojeného s hybnou polodií sestrojte oskulační kružnici této trajektorie.
M - I. 63. ♣ Úsečka AB se pohybuje bodem A po přímce a a bodem B po kružnici b(O; r). Sestrojte poloidy tohoto pohybu.
M - I. 64. Pevný trojúhelník ABC se pohybuje v rovině. Je–li znám střed křivosti SA
trajektorie bodu A v tomto bodě a střed křivosti SB trajektorie bodu B v bodě B, sestrojte střed křivosti SC trajektorie bodu C v bodě C.
M - I. 65. ♣ Dány jsou dva různé body A, B neproměnného rovinného útvaru a středy
křivosti SA, SB trajektorií bodů A, B v těchto bodech. Sestrojte tečnu v bodě dotyku obou poloid.
M - I. 66. ♣ Sestrojte pevnou poloidu v kloubovém čtyřúhelníku ABCD s rámem AB. M - I. 67. Sestrojte střed křivosti SB trajektorie bodu B v bodě B, znáte–li střed křivosti SA trajektorie koncového bodu A úsečky AB v bodě A, okamžitý pól S a tečnu pevné poloidy v bodě S.
M - I. 68. Úsečka AB se pohybuje tak, že bod A se pohybuje po přímce a, bod B po kružnici b. S úsečkou AB je pevně spojen bod C. Sestrojte střed křivosti SC trajektorie bodu C ve zvolené poloze tohoto bodu.
M - I. 69. Kloubový čtyřúhelník ABCD má rám AB. Bod E je pevně spojen s ojnicí CD. Sestrojte střed křivosti SE trajektorie bodu E pro zvolenou polohu tohoto bodu.
M - I. 70. Dvě pevně spolu spojené různoběžky se pohybují tak, že prvá prochází bodem
A, druhá bodem B. Bod C je s oběma různoběžkami pevně spojen a na žádné z nich neleží. Sestrojte střed křivosti SC trajektorie bodu C pro zvolenou polohu.
M - I. 71. ♣ Dvě různoběžky pevně spolu spojené se pohybují tak, že první se stále
dotýká kružnice a, druhá kružnice b. Sestrojte střed křivosti SC trajektorie bodu C, který je pevně spojen s pohybujícími se různoběžkami.
M - I. 72. ♣ Sestrojte střed křivosti libovolného bodu úpatnice kružnice k(O; 2,5) pro pól P (PO = 4,5).
M - I. 73. ♣ Sestrojte střed křivosti libovolného bodu přímé konchoidy přímky. M - I. 74. ♣ Sestrojte střed křivosti libovolného bodu přímé konchoidy kružnice k(O; 3) pro pól P ( PO = 4,5).
65
M - I. 75. ♣ Je dán bod A, střed křivosti SA trajektorie bodu A a okamžitý pól S (ležící
na přímce ASA). Sestrojte průsečíky přímky AS s kružnicí vratu a s kružnicí obratu.
Pokyny k řešení některých úloh: 8. Sestrojte nejprve normálu v bodě M pomocí okamžitého pólu. 13. Obálka je ekvidistantou pravidelné asteroidy. 14. Pohybují–li se body A, resp B po přímkách a, resp. b, vzniká eliptický pohyb. Určete trajektorii bodu C, jejíž průsečík s přímkou c určí jeden bod hledané polohy přímky. 15. Viz pokyn k předcházející úloze. 20. Okamžitý pól leží v průsečíku klik. Pevná poloida je elipsa s ohnisky ve vrcholech ležících na rámu a s hlavní osou rovnou délce kliky. Vratný pohyb dostaneme, zaměníme–li rám a ojnici. Hybná poloida je tedy elipsa shodná s poloidou pevnou. 21. Pevná poloida bude hyperbola s ohnisky ve vrcholech čtyřúhelníka ležícího na rámu a s hlavní osou rovnou délce kliky. Hybná poloida je shodná s poloidou pevnou. 23. Je–li jeden okamžitý pól S, platí PS ⊥ p, AS ⊥ m. Svazek přímek PS je projektivní s osnovou přímek AS, je tedy hledaná poloida parabola s vrcholem P a s osou kolmou k přímce m. 25. Hledaná poloida se dotýká v okamžitém pólu poloidy přímého konchoidálního pohybu přímky p pro pól P a pro pohyb bodu A po tečně kružnice b. 26. Pevná poloida je kružnice a, hybná poloida je kružnice s poloměrem rovným průměru pevné poloidy; hybná poloida se kotálí vnitřním obvodem po vnějším obvodu pevné poloidy. 30. Je–li k kružnice, po níž se pohybuje bod A přímky p, bod P ležící na kružnici k pólem Pascalovy závitnice, pak střed kružnice, jejíž úpatnicí je daná Pascalova závitnice, je bod kružnice k protilehlý k pólu P; poloměr této kružnice je roven vzdálenosti bodu tvořícího Pascalovu závitnici od bodu A. 32. Uvažte nejprve pohyb přímky c’, jež je rovnoběžná s přímkou c a prochází průsečíkem různoběžek a, b. 33. Umístěte nejprve trojúhelník tak, aby jeho strany procházely dvěma z daných bodů a pak použijte výsledku z předchozího příkladu. 34. Převeďte daný pohyb na pohyb přímek a, b’, kde b’ || b a b’ prochází bodem B. Užijte výsledku příkladu 32. 35. Sestrojte trojúhelník o daných stranách a veďte se stranou c rovnoběžky ve vzdálenosti r, čímž vzniknou dva trojúhelníky. Tyto trojúhelníky bude třeba umístit tak, aby jejich strany nebo jejich prodloužení procházely body A, B, S (Srovnejte řešení příkladu 33.) 36. Sestrojíme–li bodem S1 přímku a’ || a, a bodem S2 přímku b’ || b, lze pohyb přímek a, b nahradit pohybem přímek a’, b’, jež se pohybují tak, že první stále prochází bodem S1 a druhá bodem S2. 37. Viz předchozí úloha. Obě poloidy jsou kružnice. Hybná poloida má poloměr rovný průměru pevné poloidy a kotálí se po pevné poloidě svým vnitřním obvodem. 38. Viz návody k příkladům 33 a 35 39. Použijte myšlenek uvedeným v návodech k řešení př. 33 a 35. 66
45. Hledaná trajektorie je řídicí přímkou pevné poloidy. 46. Hledaná obálka je hyperbola se středem S, jedním ohniskem F a hlavní poloosou a. 47. Hledaná obálka je elipsa o středu S, jednom ohnisku F a o hlavní poloose a. 51. Hledaná trajektorie je úpatnicí hyperboly nebo elipsy s osou na rámu čtyřúhelníka a se středem v jednom vrcholu čtyřúhelníka (ležícím na rámu). Každou trajektorii lze vytvořit jako úpatnici dvou různých kuželoseček. 62. Nahraďte kuželosečky v okolí bodu M příslušnými oskulačními kružnicemi. 63. Sestrojte nejprve kružnici obratu (prochází okamžitým pólem, bodem A a třetím bodem, který pomocí Mannheimovy konstrukce sestrojíte na přímce OB). 65. Spojnice okamžitého pólu s průsečíkem AB ∩ SASB svírá s normálou trajektorie bodu A týž úhel, jako společná tečna obou poloid s normálou trajektorie bodu B; oba úhly jsou opačných smyslů. 66. Kromě bodu poloidy sestrojte její tečny podle návodu k předchozímu příkladu. 71. Převeďte na řešení předchozí úlohy. 72. Rovnoběžka s tečnou kružnice k vedená středem O kružnice k a kolmice na ní spuštěná z pólu P se pohybují podle předpisu uvedeného v příkladu 70. 73. Srovnejte řešení příkladu 23. 74. Užijte tečny pevné poloidy. Viz příklad 25. 75. Užijte Mannheimovy konstrukce.
67
OBSAH:
AI. II.
BC-
Geometrické konstrukce................................................................................................3 Planimetrie ....................................................................................................................3 Stereometrie..................................................................................................................5 Kuželosečky ..................................................................................................................6
Kótované promítání .......................................................................................................8 I. Základní úlohy ...............................................................................................................9 II. Přímky, roviny, rovinné útvary........................................................................................9 III. Zobrazení těles............................................................................................................ 11 D - Mongeovo promítání ...................................................................................................13 I. Základní úlohy .............................................................................................................13 II. Úlohy polohy a úlohy metrické.....................................................................................14 III. Rovinné mnohoúhelníky ..............................................................................................17 IV. Vynechaná základnice.................................................................................................18 V. Úlohy o kružnici ...........................................................................................................18 VI. Zobrazení hranolů, jehlanů a mnohostěnů ..................................................................19 VII. Zobrazení válců a kuželů.............................................................................................20 VIII. Zobrazení plochy kulové..............................................................................................22 E - Názorné zobrazovací metody......................................................................................23 I. Kosoúhlé promítání .....................................................................................................23 II. Pravoúhlá axonometrie................................................................................................25 III. Středové promítání ......................................................................................................27 F - Transformace ..............................................................................................................31 I. Osová afinita ...............................................................................................................31 II. Perspektivní kolineace.................................................................................................33 G - Úlohy o tělesech..........................................................................................................35 I. Hranol a jehlan – řez rovinou a průsečíky s přímkou...................................................35 II. Válec - řez rovinou a průsečíky s přímkou...................................................................37 III. Kužel - řez rovinou a průsečíky s přímkou...................................................................38 IV. Sítě těles .....................................................................................................................42 V. Plocha kulová – řez rovinou a průsečíky s přímkou ....................................................43 H - Rovnoběžné průměty kuželoseček..............................................................................43
II. II.
JI. II.
KLM-
Průniky těles................................................................................................................44 Průniky hranolů a jehlanů ............................................................................................44 Průniky válců, kuželů a plochy kulové .........................................................................46 Další typy ploch ...........................................................................................................47 Rotační plochy jejich rovinné řezy a vzájemné průniky ...............................................47 Zborcené kvadriky a přímkové plochy .........................................................................50 Šroubovice a šroubové plochy ....................................................................................52 Projektivní geometrie kuželoseček ..............................................................................55 Kinematická geometrie v rovině ..................................................................................61
68
