Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah Kode SKS
: Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS
Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Kemampuan Akhir yang Diharapkan :
Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menyelesaikan pertaksamaan Mahasiswa mampu membuat grafik persamaan Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship • Bahan Ajar : Sistem Bilangan Real Sistem Koordinat dan Grafik Persamaan Fungsi
• Text Book : Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon S. (2007). Calculus. 9th edition. Pearson. ISBN : 9780131293311 Thomas, G.B., Ross L. Finney (1996). Calculus and Analytic Geometry. 9th edition. Addison-Wesley Publishing Company.
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Bilangan Real
N : 1,2,3,……. N : Bilangan Asli Z : Bilangan Bulat Q : Bilangan Rasional
R : Bilangan Real
Z : ….., -2, -1, 0, 1, 2, ….. a q , a, b Z , b 0 Q: b R : Q Irasional Contoh bilangan irasional : √2, √3, 3√5, p
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Bilangan Real
Sifat – Sifat Bilangan Real 1. Trichotomy. Jika x dan y adalah bilangan, maka berlaku salah satu dari hubungan : x < y, x > y atau x = y 2. Transitivity. Jika x < y dan y < z, maka x < z 3. Addition. Jika x < y, maka x + z < y + z 4. Multiplication. Jika z > 0, x < y, maka xz < yz. Dan bila z < 0, x < y, maka xz > yz
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pertaksamaan • Pertaksamaan a < x < b, yang berasal dari dua pertaksamaan a < x dan x < b, mendeskripsikan suatu interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, namun tidak termasuk titik akhir a dan b. Interval ini dinotasikan (a,b) • Pertaksamaan a < x < b, mendeskripsikan interval tertutup, yang dapat dinotasikan [a,b]
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pertaksamaan Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan • 2x – 7 < 4x – 2 • − 5 < 2x + 6 < 4 • x2 – x < 6
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pertaksamaan Nilai absolut dinotasikan dengan │x│, didefinisikan sebagai : │x│ = x jika x > 0 │x│ = - x jika x < 0 Sifat – sifat nilai absolut : 1. │ab│= │a│ │b│ 2. │a+b│< │a│+│b│ 3. │a-b│> ││a│-│b││ 4. │a/b│ = │a│/│b│ 5. │x│< a ↔ -a < x < a 6. │x│> a ↔ x < - a atau x > a
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pertaksamaan Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan 1. │x - 4│ < 2 2. │3x - 5│> 1 3. Untuk e (epsilon) bilangan positif, tunjukkan bahwa : │x-2│< e/5 ↔ │5x-10│< e
4. Misalkan e adalah bilangan positif. Temukan sebuah bilangan positif d sehingga : │x-3│
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Koordinat Persegi Panjang • Sistem koordinat persegi panjang terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu horizontal x, dan sumbu vertikal y, yang berpotongan di suatu titik asal O. • Sumbu x dan y membagi bidang menjadi 4 kuadran (I, II, III dan IV) • Tiap titik P dalam sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai sepasang angka (a,b) yang disebut dengan koordinat Cartesian
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Koordinat Persegi Panjang • Jarak antara titik P(x1,y1) dan titik Q (x2,y2) dapat dihitung dengan formula jarak : d ( P, Q )
y
Q(x2,y2)
x2 x1 2 y2 y1 2 P(x1,y1)
Contoh : Hitung jarak antara titik P dan Q berikut ini : • P(-2,3) dan Q(4,-1)
R(x2,y1) x
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Koordinat Persegi Panjang • Sekumpulan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama terhadap suatu titik tetap, dinamakan dengan lingkaran. • Secara umum persamaan lingkaran yang berpusat di (h,k) dan memiliki radius r, dapat dinyatakan dalam bentuk :
x h 2 y k 2 r 2 Contoh : • Tuliskan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-5) dan memiliki radius 5
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Koordinat Persegi Panjang • Titik tengah antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dapat dicari menggunakan formula titik tengah : x1 x2 y1 y2 , 2 2 • Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik (1,3) dan (7,11)
• Garis lurus melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), memiliki kemiringan/slope, m yang besarnya : y B(x2,y2) m
y2 y1 x2 x1
A(x1,y1)
m
x
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Koordinat Persegi Panjang • Garis lurus yang melalui (x1,y1) dan memiliki slope m, dapat dituliskan persamaannya menjadi : y y y1 mx x1 (0,b) • Bentuk lain persamaan garis : m xk
y mx b
yk
Ax By C 0
x • Dua buah garis memiliki kemiringan m1 dan m2, maka dua buah garis tersebut akan : • Sejajar, apabila m1 = m2 • Tegak lurus bila m1.m2 = -1
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sistem Koordinat Persegi Panjang • Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1) • Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan sejajar dengan garis 3x – 5y = 11 • Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong antara 3x+4y = 8 dan 6x – 10y = 7, dan tegak lurus garis yang pertama Problem Set 0.3
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Grafik Persamaan • Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan tersebut • Langkah dalam mebuat grafik persamaan : • Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan • Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat • Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan suatu kurva mulus • Gambarkan grafik dari y = x2 – 3 • Gambarkan grafik dari y = x3
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Grafik Persamaan • Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu koordinat, memiliki beberapa peranan penting • Sebagai contoh, persamaan y = x3-2x2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3) • Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x. • Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6) merupakan titik potong grafik dengan sumbu y. • Tentukan semua titik potong grafik y2 – x + y – 6 = 0 • Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola y=2x2-4x-2, gambarkan sketsa grafiknya.
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Grafik Persamaan y=
x2
y = ax2 +bx + c a<0
y = −x2 y = ax2 +bx + c a>0
y=
x3
y= x = y2
Problem Set 0.4
−x3
y = ax3 +bx2 + cx + d a>0
y = √x
y = ax3 +bx2 + cx + d a<0
x = y3
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Fungsi Trigonometri
r
y
x
y sin r
csc
r y
cos
x r
sec
r x
tan
y x
cot
x y
Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu bilang positif p, sedemikian hingga : f(x + p) = f(x) Untuk semua bilangan real x dalam domain f. Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode fungsi. Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p. 180o = p radians ≈ 3,1415927 radians
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Fungsi Trigonometri
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Fungsi Trigonometri
