Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Torsi. Pertemuan - 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah Kode SKS

: Mekanika Bahan : TSP – 205 : 3 SKS

Torsi Pertemuan - 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU :  Mahasiswa dapat menghitung besar tegangan dan regangan yang terjadi pada suatu penampang

• TIK :  Mahasiswa dapat menghitung tegangan geser pada penampang akibat momen torsi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :  Deformasi Torsional Batang Lingkaran Elastis Linier  Torsi Tak Seragam  Tabung Berdinding Tipis

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran Torsi mengandung arti puntir yang terjadi pada batang lurus apabila batang tersebut dibebani momen (atau torsi) yang cenderung menghasilkan rotasi terhadap sumbu longitudinal batang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Suatu batang prismatis berpenampang lingkaran mengalami torsi murni • Penampang batang tidak berubah bentuk pada saat berotasi terhadap sumbu longitudinal • Akibat torsi T, ujung kanan batang akan berotasi dengan sudut kecil f, yang disebut sudut puntir • Garis pq akan menjadi pq’, dimana q’ adalah posisi titik q setelah penampang ujung berotasi sebesar f

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • • • • •

Tinjau elemen kecil abcd dari suatu batang dengan beban torsi Elemen memiliki sisi ab dan cd yang semula sejajar sumbu longitudinal Akibat torsi, penampang kanan berotasi terhadap penampang kiri dengan sudut puntir kecil df Titik b dan c masing-masing bergerak ke b’ dan c’. Panjang sisi elemen yang sekarang ab’c’d tidak berubah, namun sudut bad menjadi berkurang sebesar

 maks

bb'  ab

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Regangan geser maks dinyatakan dalam radian • Karena bb’ dapat dinyatakan dalam rdf, serta ab = dx, maka persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk : rdf  maks  dx • Besaran df/dx adalah besarnya perubahan sudut puntir f terhadap jarak x yang diukur di sepanjang sumbu batang, dapat disebutkan pula sebagai sudut puntir per panjang satuan atau laju puntiran , q

q

df dx

 maks 

rdf  rq dx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Pada umumnya, f dan q bervariasi terhadap x di sepanjang sumbu batang • Pada kasus torsi murni, laju puntiran konstan dan sama dengan sudut puntir total f dibagi panjang batang L, sehingga q = fL

rf L • Pada sisi dalam penampang, regangan geser dapat dihitung dengan persamaan df     q   maks dx r

 maks  rq 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Dari hukum Hooke untuk geser

  G • G adalah Modulus Geser dan  adalah regangan geser yang dinyatakan dalam radian • Dengan mengingat persamaan untuk maks, maka dapat dituliskan

 maks  Grq

  Gq 

 r

 maks

maks adalah tegangan geser di permukaan luar batang (jari-jari r),  adalah tegangan geser di titik interior (jari-jari ) dan q adalah laju puntiran

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Selanjutnya akan ditentukan hubungan antara tegangan geser dan torsi • Resultan dari tegangan geser yang bekerja pada suatu penampang secara kontinu, akan membentuk momen yang sama dengan momen torsi T

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Untuk menentukan resultan ini, tinjau elemen luas dA yang terletak pada jarak radial  dari sumbu batang • Gaya geser yang bekerja pada elemen sama dengan dA • Momen dari gaya ini terhadap sumbu batang sama dengan dA • Dari persamaan untuk  sebelumnya, maka diperoleh :

dM  dA 

 maks r

 2 dA

• Momen resultan T adalah integral dari persamaan tersebut :

T   dM 

 maks r

2   dA 

 maks r

Ip

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Sehingga nilai tegangan geser maksimum yang timbul akibat torsi T adalah : Ip adalah momen inersia polar untuk lingkaran

 maks

T r  Ip

Ip 

 r4 2



 d4 32

• Sehingga persamaan untuk maks dapat dituliskan menjadi :

 maks

maks = tegangan geser maksimum (MPa) T = momen torsi yang bekerja (N∙mm) d = diameter penampang lingkaran (mm)

16T   d3

• Tegangan geser pada jarak  dari pusat batang adalah :



 r

 maks 

T  Ip

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Dari persamaan sebelumnya terdapat hubungan maks = Grq • Sehingga dapat diturunkan rumus untuk laju puntiran q : T q GIp • Nilai G∙Ip disebut dengan kekakuan torsional (Torsional Rigidity) • Untuk torsi murni, sudut puntir total (f) sama dengan laju puntiran dikalikan panjang batang (artinya f = qL), sehingga :

T L f GIp

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Tegangan geser pada batang lingkaran solid akibat momen torsi akan mencapai maksimum di tepi luar penampang dan berharga nol di pusat • Dengan demikian sebagian besar bahan pada batang solid mengalami tegangan yang jauh lebih kecil daripada maks (maks terjadi pada permukaan terluar batang) • Oleh karena hal tersebut maka dalam mendisain penampang yang memikul beban momen torsi, akan lebih efisien apabila digunakan batang lingkaran berlubang

Ip  Ip 

 r 2



4

2

 d 32 

 r1 4

2

4



 d1

4



Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran • Untuk penampang berupa lingkaran berlubang, rumusan untuk inersia polar dapat dinyatakan dalam ketebalan dinding penampang, t

I p  2r 3t 

d 3t

4 • Dalam mendisain tabung lingkaran untuk menyalurkan momen torsi, tebal t harus cukup besar untuk mencegah terjadinya tekuk pada dinding tabung • Sebagai contoh, harga maksimum rasio jari-jari terhadap tebal dapat ditetapkan misal (r2/t)maks = 10 – 20.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Contoh 1 Sebuah batang baja pejal dengan penampang lingkaran berdiameter d = 40 mm, panjang L = 1,4 m, dan Modulus Elastisitas Geser, G = 80 GPa. Batang ini mengalami torsi T yang bekerja di ujung-ujungnya. a. Jika T = 340 N∙m, hitung maks yang timbul b. Jika ijin adalah 40 Mpa dan fijin adalah 2,5o, berapa torsi ijin maksimum Jawab :

16T 16  340  10 3 a.  maks  = 27,07 MPa  d 3   40 3 d 3 ijin   40 3  40 b.  ijin  40MPa = 502.400 Nmm T1   16 16 3 o G  I pfijin 80  10  251.200  2,5   180 o fijin  2,5 T2   = 626.006 N L 1400   d 4   40 4  I p    251.200mm 4  32 32  

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran Contoh 2 Sebuah batang baja akan dibuat entah dengan penampang lingkaran solid atau lingkaran berlubang. Batang ini harus menyalurkan momen torsi sebesar 1200 N∙m tanpa melebihi tegangan geser ijin sebesar 40 MPa dan laju puntir ijin 0,75o/m. Jika Gbaja = 78 GPa, tentukan : a. Diameter do untuk batang pejal b. Diameter luar d2 untuk batang berlubang, jika ditentukan t = 1/10 dari diameter luar

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab : a. Batang solid :

16(1.200)  152,8  10 6 d o  53,5mm  ijin  (40MPa) 32T 32(1.200)    11,97  10 6 d o  58,8mm Gq ijin 78  ( / 180)(0,75)

 ijin  40MPa

do 

fijin  0,75o /m

do

3

4

16T



Jadi digunakan do = 58,8 mm  60 mm b. Diameter dalam, d1 = d2 – 2t = d2 – 2(0,1d2) = 0,8d2

 ijin 

T (d 2 / 2) T r   40MPa 4 Ip 0,05796d 2

q ijin 

T T   0,75 o / m   4 180 GI p G(0,05796d 2 )

Ip 

d 32 

4 2

d2 = 63,7 mm

d2 = 67,1 mm

Jadi digunakan d2 = 67,1 mm  70 mm, dan d1 = 0,8d2 = 56 mm.



 d1  0,05796d 2 4

4

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Torsi Tak Seragam • Pada kasus torsi murni, beban momen torsi yang konstan bekerja pada suatu batang yang prismatis • Pada beberapa kasus beban momen torsi yang berbeda-beda dapat terjadi di sepanjang batang, terkadang pula batang bukan merupakan batang yang prismatis. Kasus demikian dinamakan sebagai torsi tak seragam (non uniform torsion) • Ada 3 macam kasus yang dapat terjadi : a. Batang yang mengandung segmen-segmen prismatis dengan torsi konstan di tiap segmen b. Batang dengan penampang yang berubah secara kontinu dan mengalami torsi konstan c. Batang dengan penampang yang bervariasi secara kontinu dan mengalami torsi yang bervariasi secara kontinu pula

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Torsi Tak Seragam (kasus 1) • Untuk keperluan analisis, maka dapat dibuat diagram badan bebas di tiap segmen, kemudian ditentukan besarnya torsi internal yang bekerja • Torsi internal bertanda positif jika vektornya berarah meninggalkan potongan dan negatif jika vektornya berarah menuju potongan !!

TCD = − T1 − T2 + T3 TAB = − T1

n

n

i 1

i 1

f   fi  

TBC = − T1 − T2

Ti  Li Gi  I pi

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Torsi Tak Seragam (kasus 2) • Untuk momen torsi yang konstan, maka tegangan geser maksimum akan selalu terjadi di penampang yang mempunyai diameter terkecil • Sudut puntir, dicari dengan meninjau elemen yang panjangnya dx pada jarak x dari salah satu ujung batang. Sudut rotasi diferensial df untuk elemen ini adalah : T  dx df  G  I p x  • Sudut puntir total adalah : L

T  dx G  I p x  0

L

f   df   0

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Torsi Tak Seragam (kasus 3) • Sudut puntir untuk batang dapat dianalisis seperti halnya kasus 2, perbedaannya adalah bahwa torsi dan momen inersia polar juga bervariasi sepanjang sumbu • Sehingga persamaan untuk sudut puntir menjadi : L

T x   dx G  I p x  0

L

f   df   0

• Integral ini dapat dihitung secara analitis untuk beberapa kasus, namun biasanya harus dihitung secara numerik

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran Contoh 3 Sebuah batang baja solid ABCDE memiliki diameter d = 30 mm berputar dengan bebas di ujung A dan E. Batang ini digerakkan dengan gigi di C, yang menerapkan torsi T2 = 450 Nm. Gigi di B dan D digerakkan oleh batang tersebut dan mempunyai torsi penahan T1 = 275 Nm dan T3 = 175 Nm yang bekerja berlawanan dengan T2. Segmen BC dan CD masing-masing mempunyai panjang L1 = 500 mm dan L2 = 400 mm. Nilai G = 80 GPa. Tentukan tegangan geser maksimum di tiap bagian batang dan sudut puntir antara gigi B dan D !

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Jawab : TCD = T2 – T1 = 450 – 275 = 175 Nm TBC =  T1 =  275 Nm

 BC 

16TBC 16275 = 51,9 MPa  d 3  (30)3

 CD 

16TCD 16175 = 33,0 MPa  d 3  (30)3

Ip 

d 4 32



 (30) 4 32

= 79.520 mm4

fBC 

TBC L1  275500  = -0,0216 rad GI p (80)79.520

fCD 

175500 = 0,0110 rad TCD L2  GI p (80)79.520

fBD = fBC + fCD = - 0,0106 rad = - 0,61o

Soal 3.1 – 3.13

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tabung Berdinding Tipis • Penampang tabung berdinding tipis diberi beban momen torsi T

Tegangan geser yang timbul dihitung dengan menggunakan persamaan :



T 2tAm

 = tegangan geser (MPa) T = momen torsi yang bekerja (N∙mm) t = tebal penampang batang (mm) Am = luas yang dibatasi garis median T/2Am = f, disebut dengan aliran geser (shear flow)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tabung Berdinding Tipis • Penampang tabung berdinding tipis diberi beban momen torsi T

Tegangan geser dan sudut puntir yang timbul dihitung dengan persamaan :



4tAm J Lm

2

T 2tAm

f

TL GJ

 = tegangan geser (MPa) T = momen torsi yang bekerja (N∙mm) t = tebal penampang batang (mm) Am = luas yang dibatasi garis median T/2Am = f, disebut dengan aliran geser (shear flow) L = panjang batang (mm) J = konstanta torsi (mm4)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tabung Berdinding Tipis



T 2r 2t

J  2r 3t

 vert 

 horz 

T 2t1bh T 2t 2bh

2b 2 h 2t1t 2 J bt1  ht 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Deformasi Torsional Batang Lingkaran Contoh 4 Sebuah tabung lingkaran berlubang yang mempunyai diameter dalam 250 mm dan tebal dinding 25 mm, memikul momen torsi sebesar T = 135 kN∙m. Tentukan tegangan geser maksimum di tabung dengan menggunakan : a.Teori pendekatan tabung berdinding tipis b.Teori torsi eksak

250 mm

Jawab : a.  

T 135 10  = 45,48 MPa 2tAm 2  25    125  12,52 6

T  r 135 10 6  (300 / 2)  b.   49,21 MPa  Ip 4 4 300  250 32





25 mm

Soal 3.14 – 3.18