a home base to excellence Mata Kuliah Kode SKS
: Kalkulus : TSP – 102 : 3 SKS
Integral Pertemuan - 6
a home base to excellence • TIU : Mahasiswa dapat memahami integral fungsi dan aplikasinya
• TIK : Mahasiswa mampu mencari integral fungsi Mahasiswa mampu menggunakan integral untuk menghitung persamaan diferensial orde satu Mahasiswa mampu menghitung integral tak tentu dengan teknik substitusi Mahasiswa mampu menghitung luas di bawah kurva Mahasiswa mampu menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tertentu, aturan pangkat dan substitusi umum
a home base to excellence • Sub Pokok Bahasan : Integral Tak Tentu Persamaan Diferensial Orde Satu Notasi Jumlah dan Sigma Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Integral Tak Tentu dengan Substitusi
Definisi F adalah anti turunan dari fungsi f pada interval I, jika Dx(F(x)) = f(x) pada I, F’ x = f(x) untuk semua x dalam I. Contoh : x4 adalah anti turunan dari 4 x3 sebab Dx(x4)= 4 x3 untuk semua x pada (-,). Note: x4 + c adalah solusi umum anti turunan dari 4 x3 sebab Dx(x4+c)= 4 x3 untuk tiap nilai x pada (-,) untuk tiap konstan c. Notasi : Anti turunan dari F(x) F(x)dx tanda integral F(x) integran Contoh : 4 x3 dx = x4 + c
Teorema Dasar Integral x r 1 1. x dx C r 1 r
untuk semua bilangan rasional r kecuali 1
2. sin x dx cos x C 3. cos x dx sin x C 4. kf ( x) dx k f ( x) dx 5. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x) dx g ( x) dx r 1 [ ( )] g x 6. [ g ( x)]r g ' ( x) dx C r -1 r 1
Contoh :
Temukan anti turunan dari fungsi berikut : 1. x 4 / 3 dx
6. sin10 x cos xdx
2. (3 x 4 x)dx
8. x 4 xdx 9. x / 2 3 x dx
7. x 6 x 6 x 2 12 dx
2
3. (u
3/ 2
3u 14)du
4. (1 / t t )dt 2
5. x 3 x 4
4 x 30
3
5
2
10
2
3
3 dx
2
2
Problem Set 3.8 No. 1 – 42
Persamaan Diferensial Orde Satu • Sembarang persamaan dengan sesuatu yang tidak diketahui adalah berupa fungsi, dan yang melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini, disebut dengan persamaan diferensial • Fungsi seperti itu, ketika disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial, menghasilkan sebuah kesamaan yang disebut solusi dari persamaan diferensial
Persamaan Diferensial Orde Satu Contoh : 1. Cari persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan yang kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu sama dengan dua kali absis titik itu 2 dy x 3 x 2. Selesaikan P.D 2 , cari solusi yang memenuhi y = 6 dx y bila x = 0 3. Percepatan suatu obyek yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat diberikan oleh a(t) = (2t+3)– 3 dalam m/s2. Jika kecepatan pada saat t=0 adalah 4m/s, carilah kecepatan 2 detik kemudian 4. Problem Set 3.9 No. 1 – 20
Notasi Jumlah dan Sigma Barisan : Sebuah fungsi yang domainnya adalah bilangan bulat atau suatu himpunan bagian lain dari bilangan bulat. Contoh : a(n)=n2 atau an=n2 dengan n=1, 2, ,… {an}: a1, a2, a3, a4,…= 1, , 9, 16, … Notasi Sigma : n
a i 1
i
4
a i 1
i
a1 a 2 ... an a1 a 2 a3 a4
1 1 1 4 1 1 1 1 25 j1 j 1 2 ... n j1 j 1 2 3 4 12 n
n
3
i 1
i 1
c c c ... c nc 5 5 5 5 15
Notasi Jumlah dan Sigma
Kelinieran S :
n
1.
ca i 1
i
n
c ai i 1
n
2.
n
n
a b a b i 1
i
i
i 1
i
i 1
i
Notasi Jumlah dan Sigma
Contoh : 100
100
100
i 1
i 1
i 1
1. Andaikan ai 60 dan bi 11 hitung (2ai 3bi 4) n
2. Tunjukkan (ai 1 ai ) an 1 an i 1
Integral Tentu • Jumlah Riemann ditafsirkan sebagai jumlah aljabar dari luas untuk f yang berpadanan dengan partisi P. n
RP f xi xi i 1
6
f x x i 1
i
i
A1 A2 A3 A4 A5 A6
Integral Tentu Contoh : Hitung jumlah Riemann untuk f(x) = (x+1)(x-2)(x-4) = x3 – 5x2 + 2x + 8 pada interval [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan titik partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sampel yang berpadanan x1 0,5; x2 1,5; x3 2,5; x4 3,6; x5 5
Integral Tentu
Definisi Anggap f suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Jika n
lim f x i xi P 0
i 1
b
ada, dikatakan bahwa f terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut
f ( x)dx a
disebut integral tentu (integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh :
f ( x)dx lim f x x b
a
n
P 0
i
i 1
i
Integral Tentu b
Definisi :
f ( x)dx menyatakan luas bertanda daerah yang terkurung a
di antara kurva y = f(x) dan sumbu-x dalam interval [a,b]
b
f ( x)dx A
atas
Abawah
Aatas
a
Abawah
Integral Tentu Teorema Keintegrasian Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh interval [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]
• Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi sinus dan kosinus, fungsi rasional, asalkan interval [a,b] tidak memuat titik yang mengakibatkan penyebut nol. Teorema Sifat Tambahan Pada Interval Jika f terintegrasikan pada sebuah interval yang memuat titik a, b, dan c, maka c
b
c
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Teorema Dasar Kalkulus Pertama Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah x sebagai sebuah titik (perubah) pada (a,b). Maka x d f ( x)dx f ( x) dx a
Contoh : Selesaikan dengan Teorema Dasar Kalkulus Pertama x d 3 1. t dt dx 0 x d t 3/ 2 2. dt dx 1 t 2 7
Teorema Dasar Kalkulus Pertama Kelinearan Integral Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f+g terintegrasikan dan : b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
1. kf ( x)dx k f ( x)dx 2. f g dx f ( x)dx g ( x)dx
Teorema Dasar Kalkulus Kedua Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah F sembarang anti turunan f pada [a,b], maka b
f x dx F b F a a
Contoh :
2
1. 4 x 6 x 2 dx 1 8
2. x1/ 3 x 4 / 3 dx 1
x
3.Dx 3 sin tdt 0
Aturan Substitusi untuk Integral Tak Tentu Jika g adalah fungsi yang terdiferensiasi and anggap F adalah anti turunan dari f, maka :
f g x g x dx F g x C /
Contoh :
1. sin 3 xdx 2. x sin x dx 2
3. x 3 x 4 11dx
4
4. x 2 x 2 x 1dx 0
/4
5. sin 3 2 x cos 2 xdx 0
Aturan Substitusi untuk Integral Tentu Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a,b], dan f kontinu pada range g, maka : b g (b ) f g x g / x dx
g (a)
a
x 1
1
Contoh :
1. 0
x
2
2x 6
f u du
2
2 /4
cos x x dx 2 /9
2.
Problem Set 4.4 No. 1 - 52
dx
