Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah Kode SKS

: Mekanika Bahan : TSP – 205 : 3 SKS

Analisis Penampang Pertemuan – 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU :  Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia

• TIK :  Mahasiswa mampu menentukan pusat berat dan momen inersia suatu penampang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :  Pusat Berat  Momen Inersia  Teorema Sumbu Sejajar  Momen Inersia Polar  Produk Inersia  Rotasi Sumbu  Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity) • Letak pusat berat (CoG) merupakan besaran dasar yang penting, yang merupakan titik tolak untuk menentukan besaran penampang yang lainnya • Suatu benda sembarang berada dalam koordinat xy, memiliki pusat berat di titik C, maka luas dari bidang tersebut dapat didefinisikan menggunakan integral sebagai berikut :

A   dA dA adalah elemen diferensial dari area yang mempunyai koordinat x dan y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity) • Momen pertama (statis momen) dari area tersebut terhadap sumbu x dan y masing-masing didefinisikan sebagai berikut :

Qx   y  dA

Qy   x  dA

• Momen pertama menunjukkan jumlah dari hasil kali setiap area diferensial dan koordinatnya • Momen pertama dapat bertanda positif atau negatif • Momen pertama memiliki satuan panjang pangkat tiga (mm3, m3, in3)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity) • Koordinat pusat berat C sama dengan momen pertama dibagi luas

x

Qy A

x  dA    dA

Qx  y  dA y  A  dA

• Untuk kasus khusus, letak CoG suatu penampang dapat ditentukan dengan mudah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity) Contoh 1 Sebuah semi segmen parabolik OAB dibatasi dengan sumbu x, sumbu y dan kurva parabolik yang mempunyai puncak di A. Persamaan kurva tersebut adalah :

 x2  y  f ( x )  h1  2   b  Dengan b adalah alas dan h adalah tinggi semi segmen. Tentukan lokasi pusat berat C untuk semi segmen tersebut.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab :

 x2  dA = ydx = h1  2 dx  b  b  x2  2bh   A =  dA   h1  2 dx  3 b  0  2

 x2  4bh 2 1  2  dx  15  b  b  x2  b2h Q y   xdA   hx1  2 dx  4  b  0 Qy 3b Qx 2h y  x  A 5 A 8 b

y h2 Qx   dA   2 2 0

 x2  y  f ( x )  h1  2   b 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity) • Penampang-penampang standar yang umum dijumpai dalam dunia teknik (persegi panjang, lingkaran, segitiga dsb.) pada umumnya sudah ditabelkan lokasi pusat beratnya • Yang sering dijumpai pula adalah adanya penampang yang merupakan gabungan dari beberapa bentuk penampang standar • Untuk menghitung lokasi pusat berat penampang gabungan tersebut, maka penampang tersebut dapat dibagi-bagi menjadi beberapa komponen • Misal diasumsikan bahwa area gabungan dibagi menjadi n bagian, dan luas bagian ke-i diberi notasi Ai

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity) • Selanjutnya dapat diperoleh luas dan momen pertama dengan penjumlahan sebagai berikut : n

n

A   Ai

Qx   yi  Ai

i 1

i 1

n

Qy   xi  Ai i 1

• Koordinat pusat berat penampang gabungan adalah : n

n

x

Qy A



x A i 1 n

i

i

A i 1

i

Qx y  A

y A i 1 n

i

i

A i 1

i

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Pusat Berat (Center of Gravity) Contoh 2 Sebuah penampang tersusun dari balok baja terbuat dari profil sayap lebar W 500.200 dengan pelat penutup 150 mm × 12 mm yang dilas di flens atas dan profil kanal C 250× 90. Tentukan lokasi pusat berat penampang diukur terhadap sumbu x dalam gambar.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab :

A1  150  12  1800mm2

y1  500 / 2  12 / 2  256mm

A2  11.420mm2

y 2  0mm

A3  4.407mm2

y 3  500 / 2  24,3  149,3mm

3

A   Ai  A1  A2  A3  17.627mm2 i 1

3

Q x   y i Ai  y1 A1  y 2 A2  y3 A3  197.165,1mm3 i 1

y

Qx  197.165,1   11,185mm A 17.627

Soal 2.1 – 2.10

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Momen Inersia • Momen Inersia (I) suatu bidang terhadap sumbu x dan y didefinisikan dalam bentuk integral sebagai berikut :

I x   y 2 dA

I y   x 2 dA

• Karena elemen dA dikalikan dengan kuadrat jarak dari sumbu referensi, maka momen inersia disebut juga momen kedua dari area • Momen Inersia suatu area selalu bernilai positif dan memiliki satuan panjang pangkat empat (mm4, in4, m4 dst.)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Momen Inersia • Tinjau sebuah persegi panjang dengan lebar b dan tinggi h • Sumbu x, y melalui pusat berat C • Elemen luas diferensial dA, diambil berupa strip horizontal tipis dengan lebar b dan tinggi dy (dA = b∙dy) • Sehingga momen inersia terhadap sumbu x adalah : h/ 2

3 bh I x   y 2 dA   y 2b  dy  12 h / 2

Iy = ??? IBB = ???

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Momen Inersia Radius Girasi • Radius Girasi suatu area bidang didefinisikan sebagai akar dari momen inersia untuk area tersebut dibagi dengan luasnya • Radius Girasi (r) terhadap sumbu x dan y dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut :

rx 

Ix A

ry 

Iy A

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Momen Inersia Contoh 3 Tentukan momen inersia Ix dan Iy dari sebuah semi segmen parabolik OAB dengan persamaan :

 x2  y  f ( x )  h1  2   b  (area ini sama dengan yang dipakai dalam Contoh 4-1)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab : Elemen diferensial dA dipilih berupa strip vertikal yang lebarnya dx dan tingginya y.

 x2 dA  ydx  h1  2 b 

 dx 

 x2 I y   x dA   x h1  2 b  0 b

2

2

 2hb 3 dx  15 

1 y3 3 dx , maka : Karena dI x  (dx) y  3 3 b

Ix   0

b

y3 h3 dx   3 3 0

 x2 1  2 b 

3

 16bh 3  dx  105 

Soal 2.11 – 2.17

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Teorema Sumbu Sejajar • Teorema sumbu sejajar memberikan hubungan antara momen inersia terhadap sumbu berat dan momen inersia terhadap sumbu lain yang sejajar dengannya. • Tinjau suatu area sembarang dengan pusat berat C yang dilengkapi dengan dua sistem koordinat, yaitu sistem xcyc (yang berpusat di pusat berat C), serta sistem xy (yang sejajar xcyc, dan berpusat di O) • Jarak antara kedua sistem koordinat adalah d1 dan d2.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Teorema Sumbu Sejajar • Dengan menggunakan definisi momen inersia, maka dapt dituliskan persamaan untuk momen inersia Ix, terhadap sumbu x yaitu :

I x    y  d1  dA   y 2 dA  2d1  ydA  d1 2

I x  I xc  A  d1

2

 dA

2

• Dengan cara sama dituliskan momen inersia terhadap y, Iy :

I y  I yc  A  d 2

2

• Kedua persamaan tersebut menyatakan teorema sumbu sejajar untuk momen inersia Teorema Sumbu Sejajar : Momen Inersia suatu area terhadap sembarang sumbu di dalam bidangnya sama dengan momen inersia terhadap sumbu berat sejajar ditambah dengan hasil kali luas tersebut dan kuadrat jarak antara kedua sumbu

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Teorema Sumbu Sejajar

• Tentukan besarnya IBB dengan menggunakan teorema sumbu sejajar • Samakah hasilnya dengan menggunakan teknik integral ?

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Teorema Sumbu Sejajar Contoh 4 Tentukan momen inersia Ic terhadap sumbu horizontal C-C yang melalui pusat berat C untuk penampang dalam gambar berikut. Lokasi pusat berat sudah ditentukan dalam kuliah sebelumnya.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab : Dari contoh sebelumnya diperoleh : A1  150  12  1800mm2 y1  256mm A2  11.420mm2

y 2  0mm

A3  4.407mm2

y 3  149,3mm

c = 11,185 mm

I1 

bh 3 150  12 3   21.600mm 4 12 12

I 2  47.800  10 4 mm 4 I 3  342  10 4 mm 4 Inersia masing-masing bagian terhadap sumbu C-C :

I c1  I 1  A1  y1  c   128.539.816,6mm 4 2

I c 2  I 2  A2 c 2  479.428.690,3mm 4 I c 3  I 3  A3  y3  c   87.486.844,5mm 4 2

Sehingga Ic = Ic1 + Ic2 + Ic3 = 695.455.351,4 mm4

Soal 2.18 – 2.21

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Momen Inersia Polar •

•

•

Momen inersia yang dibahas sejauh ini didefinisikan terhadap sumbu yang terletak di dalam bidang area itu sendiri, seperti sumbu x dan y dalam gambar Kini akan ditinjau sumbu yang tegak lurus bidang area dan berpotongan dengan bidang tersebut di titik pusat O Momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus ini disebut momen inersia polar (Ip) yang dapat didefinisikan dalam bentuk :

I p    2 dA

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Momen Inersia Polar • Besaran  adalah jarak dari titik O ke elemen luas diferensial dA • Karena 2 = x2 + y2, maka :

I p    2 dA   x 2  y 2 dA   x 2 dA   y 2 dA I p  Ix  I y

• Dengan menggunakan dinyatakan pula bahwa :

I   I  p O

p

teorema

2  Ad C

sumbu

sejajar

dapat

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Momen Inersia Polar Contoh 5 Tentukan momen inersia polar (Ip) dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, terhadap pusat berat C, serta terhadap titik B di tepi luar lingkaran.

IPC = ??? IPB = ???

Jawab :

I P c   

r

2

dA   2 d  3

0

I P B  I P c  Ad

2



r 4 2

r 4 2

 

 r r 2

2

3r 4  2

Soal 2.22 – 2.25

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Produk Inersia • Produk inersia suatu area terhadap sumbu x dan y, didefinisikan dalam bentuk integral sebagai berikut :

I xy   xydA • Produk inersia dapat bertanda positif, negatif atau bernilai nol • Produk inersia suatu area adalah nol terhadap sepasang sumbu yang salah satunya merupakan sumbu simetri dari area tersebut

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Produk Inersia • Dengan menggunaka teorema sumbu sejajar, maka produk inersia dapat dituliskan sebagai berikut :

I xy  I xc . yc  A  d1  d 2 • Produk Inersia untuk suatu area terhadap sepasang sumbu dalam bidang sama dengan produk inersia terhadap sumbu yang sejajar sumbu berat ditambah hasil kali luas dan koordinat pusat berat terhadap sepasang sumbu tersebut

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Produk Inersia Contoh 6 Tentukanlah produk inersia Ixy dari penampang-penampang dalam gambar berikut.

Soal 2.26 – 2.31

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rotasi Sumbu • Tinjau suatu area bidang dalam sistem sumbu xy, maka besarnya momen inersia dan produk inersia terhadap sumbu-sumbu tersebut adalah :

I x   y 2 dA

I y   x 2 dA I xy   xydA

• Selanjutnya terdapat sumbu x1y1 yang sepusat dengan sumbu xy namun diputar melalui sudut q berlawanan jarum jam terhadap xy

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

x1  x cos q  y sinq

y dA

x

y1  y cos q  x sinq

q q

y

q

x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rotasi Sumbu • Sehingga momen inersia terhadap sumbu x1 adalah

I x1   y1 dA    y cos q  x sin q  dA 2

2

 cos 2 q  y 2 dA  sin 2 q  x 2 dA  2 sin q cos q  xydA  I x cos 2 q  I y sin 2 q  2I xy sin q cos q

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rotasi Sumbu • Dengan mengingat hubungan trigonometri : 1 cos q  1  cos 2q  2

sin 2 q 

2

1 1  cos 2q  2

2 sinq cos q  sin 2q

• Maka momen inersia terhadap sumbu x1 adalah :

I x1 

Ix  Iy 2



Ix  Iy 2

cos 2q  I xy sin 2q

• Dengan cara sama dapat diperoleh momen inersia untuk sumbu y1

I y1 

Ix  Iy 2



Ix  Iy 2

cos 2q  I xy sin 2q

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rotasi Sumbu • Produk inersia terhadap sumbu x1y1 dapat dituliskan sebagai berikut :

I x1 y1   x1 y1dA   x cos q  y sin q  y cos q  x sin q dA



 I x  I y sin q cos q  I xy cos 2 q  sin 2 q



• Dengan menggunakan aturan trigonometri sekali lagi dapat dirumuskan produk inersia terhadap sumbu x1y1 dalam bentuk :

I x1 y1 

Ix  Iy 2

sin 2q  I xy cos 2q

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rotasi Sumbu • Dari rumusan untuk Ix1 dan Iy1, akhirnya dapat diperoleh suatu hubungan khusus sebagai berikut :

I x1  I y1  I x  I y • Persamaan ini hendak menunjukkan bahwa jumlah momen inersia terhadap sepasang sumbu akan tetap konstan apabila sumbusumbunya diputar terhadap pusatnya • Ingat pula hubungan Ix + Iy = Ip!!

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama Contoh 7 Tentukan Ix1, Iy1 dan Ix1y1 dari suatu penampang Z pada gambar. Jika sumbu xy diputar 30o berlawanan jarum jam. Gunakan nilai h = 200 mm, b = 90 mm dan t = 15 mm Dari perhitungan dilakukan diperoleh : Ix = 29,29∙106 mm4 Iy = 5,667∙106 mm4 Ix = -9,366∙106 mm4

yang

sudah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

I x1 

Ix  Iy 2



Ix  Iy 2

cos 2q  I xy sin 2q

 29 ,29  5,667  10 6 29 ,29  5,667  10 6   cos 60 o   9 ,366 10 6 sin 60 o 2

2

 ....

I y1 

Ix  Iy 2



Ix  Iy 2

Ix = 29,29∙106 mm4 Iy = 5,667∙106 mm4 Ix = -9,366∙106 mm4 q  30o

cos 2q  I xy sin 2q

 29 ,29  5,667  10 6 29 ,29  5,667  10 6   cos 60 o   9 ,366 10 6 sin 60 o 2

2

 ....

Soal 2.32 – 2.35

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama • Persamaan – persamaan untuk momen inersia dengan sumbu yang dirotasi sering disebut juga sebagai persamaan transformasi • Pada persamaan tersebut terdapat variabel sudut rotasi q, yang besarnya dapat berubahan- ubah • Pada suatu nilai q tertentu, maka akan menghasilkan nilai fungsi yang maksimum atau minimum. • Nilai maksimum dan minimum dari momen inersia tersebut dinamakan sebagai momen inersia utama (principal moments of inertia) • Sedangkan sumbu yang berkaitan dinamakan sumbu utama (principal axes)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama • Untuk mencari nilai q yang menghasilkan momen inersia Ix1 yang maksimum atau minimum, maka dapat diambil turunan Ix1 terhadap q dan menyamakannya dengan nol

dI x1  I x  I y sin 2q  2 I xy cos 2q  0 dq • Dari persamaan tersebut dapat dituliskan hubungan :

tan 2q p  

2 I xy Ix  Iy

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

• Sudut qp menunjukkan sudut yang memberikan sumbu utama • Persamaan tersebut akan menghasilkan dua nilai sudut 2qp dalam selang 0o – 360o, yang keduanya berbeda 180o • Hal ini berarti kedua harga qp berselisih 90o, atau dengan kata lain keduanya saling tegak lurus • Salah satu sumbu berkaitan dengan momen inersia maksimum dan satu lagi dengan momen inersia minimum

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama Sekarang tinjau variasi produk inersia Ix1y1 apabila sudut q bervariasi Jika q = 0, diperoleh Ix1y1 = Ixy Jika q = 90o, diperoleh Ix1y1 = − Ixy Artinya selama berputar 90o, produk inersia akan berubah tanda, dan berarti pula pada salah satu sumbu ada nilai produk inersia yang sama dengan nol • Samakan persamaan Ix1y1 dengan nol • • • •

I x1 y1 

Ix  Iy 2

sin 2q  I xy cos 2q  0

( I x  I y ) sin 2q  2I xy cos 2q  0

Merupakan persamaan untuk sumbu utama

Produk Inersia bernilai nol pada sumbu utama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

• Sumbu utama yang melalui pusat O adalah sepasang sumbu orthogonal dengan momen inersia maksimum dan minimum • Orientasi sumbu utama dinyatakan dengan sudut qp • Produk inersia adalah nol pada sumbu utama • Sumbu simetri selalu merupakan sumbu utama • Titik yang dilewati oleh semua sumbu utama disebut titik utama (principal point)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama • Dari rumusan untuk tan 2qp, dapat dituliskan pula

cos 2q p 

Ix  I y 2R

sin 2q p 

 I xy R

• R selalu diambil bernilai positif, dan merupakan sisi miring segitiga dalam gambar

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama • Substitusikan nilai cos 2qp dan sin 2qp ke dalam rumusan untuk Ix1, guna mendapatkan momen inersia utama yang lebih besar

I1 

Ix  Iy 2

 Ix  Iy    I xy 2    2  2

• Momen inersia utama yang lebih kecil diperoleh dari I1 + I2 = Ix + Iy, atau

I2 

Ix  Iy 2

 Ix  Iy    I xy 2    2  2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama Contoh 8 Tentukan orientasi sumbu utama serta besarnya momen inersia utama dari suatu penampang Z pada gambar. Gunakan nilai h = 200 mm, b = 90 mm dan t = 15 mm Dari perhitungan dilakukan diperoleh : Ix = 29,29∙106 mm4 Iy = 5,667∙106 mm4 Ix = -9,366∙106 mm4

yang

sudah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab :

I x1 

Hasil perhitungan momen inersia memberikan : Ix = 29,29∙106 mm4

Iy = 5,667∙106 mm4

2 I xy Ix  Iy

2



Ix  Iy 2

cos 2q  I xy sin 2q

Ixy = − 9,366∙106 mm4

Dari persamaan 2.26 :

tan 2q p  

Ix  Iy

I y1 

 0,7930 2qp = 38,4o atau 218,4o

Ix  Iy 2



Ix  Iy 2

cos 2q  I xy sin 2q

Sehingga qp = 19,2o dan 109,2o

Dengan menggunakan kedua harga qp ini dalam persaman transformasi untuk Ix1 , diperoleh I1 = 32,6∙106 mm4 dan I2 = 2,4∙106 mm4.

Soal 2.36 – 2.38