Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Kolom. Pertemuan 14, 15

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah Kode SKS

: Mekanika Bahan : TSP – 205 : 3 SKS

Kolom Pertemuan – 14, 15

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU :  Mahasiswa dapat melakukan analisis suatu elemen kolom dengan berbagai kondisi tumpuan ujung

• TIK :  memahami konsep tekuk dan stabilitas pada suatu elemen kolom


• Sub Pokok Bahasan :  Tekuk dan Stabilitas  Kolom dengan Kedua Ujung Sendi  Kolom dengan Kondisi Tumpuan Lainnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tekuk dan Stabilitas • Struktur dapat gagal dengan berbagai cara, tergantung pada jenis struktur, kondisi tumpuan, jenis beban dan bahan yang digunakan • Kegagalan dapat dicegah dengan mendesain struktur tersebut sedemikian sehingga tegangan maksimum dan perpindahan maksimum masih berada dalam batas-batas toleransi • Atau dikatakan bahwa strength dan stiffness adalah faktor penting dalam desain • Jenis kegagalan lain adalah tekuk (buckling), yang umumnya terjadi pada komponen struktur yang panjang, langsing dan dibebani aksial tekan • Kolom merupakan salah satu komponen struktur yang wajib diperiksa terhadap bahaya tekuk

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tekuk dan Stabilitas • • •

• •

•

Gambar di samping menunjukkan suatu model struktur yang memikul beban tekan Selanjutnya model ini dianggap terdiri atas dua batang sangat kaku AB dan BC yang panjangnya L/2 Kedua batang dihubungkan di B oleh sambungan sendi dan dipertahankan pada posisi vertikal oleh pegas rotasional dengan kekakuan br Struktur tersebut diganggu dengan gaya luar yang mengakibatkan titik B sedikit bergerak lateral Kedua batang yang sangat kaku tersebut berotasi dengan sudut q yang sangat kecil dan timbul momen pemulih (restoring moment) yang cenderung mengembalikan struktur ke posisi lurus semula Pada saat yang sama gaya aksial tekan akan menambah besarnya peralihan lateral

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tekuk dan Stabilitas • Jika gaya aksial P relatif kecil, maka aksi momen pemulih akan lebih dominan dan struktur akan kembali ke posisi lurus  kondisi stabil • Jika gaya aksial P besar, maka peralihan lateral di B akan bertambah dan batang akan berotasi pada sudut yang besar dan semakin besar hingga akhirnya struktur akan mengalami keruntuhan akibat tekuk dalam arah lateral  kondisi tidak stabil • Transisi antara kondisi stabil dan tidak stabil terjadi pada suatu harga gaya aksial yang disebut beban kritis (Pcr) • Besarnya beban kritis dapat diperoleh dengan meninjau diagram badan bebas dari batang BC stable Jika P < Pcr

unstable Jika P > Pcr

neutral Jika P = Pcr

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tekuk dan Stabilitas • •

•

•

•

Batang BC mengalami gaya aksial P dan momen MB di pegas Momen MB sama dengan kekakuan rotasional br dikalikan dengan sudut rotasi 2q pada pegas : MB = 2brq Karena sudut q dianggap kecil, maka peralihan lateral titik B adalah qL/2, sehingga dengan mengambil SMB = 0 diperoleh :  qL  M B  P   0  2  Jika P < Pcr  kesetimbangan stabil Atau Jika P > Pcr  kesetimbangan tidak stabil PL    2b r  q  0 Jika P = Pcr  kesetimbangan netral 2  

Sehingga

4b r Pcr  L stable

unstable

neutral

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Kedua Ujung Sendi •

• • •

•

Untuk menentukan beban kritis dan bentuk defleksi yang berkaitan pada kolom ideal yang berujung sendi, akan digunakan persamaan diferensial orde dua sebagai berikut : EIv’’ = M Dari kesetimbangan momen di titik A diperoleh : M + Pv = 0 atau M = − Pv Sehingga persamaan diferensial untuk kurva defleksi menjadi : EIv’’ + Pv = 0 Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi : v’’ + k2v = 0 Dengan

k2 

P EI

atau

k

P EI

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Kedua Ujung Sendi • • •

• •

Solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah : v = C1 sin kx + C2 cos kx Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi : v’’ + k2v = 0 Untuk mengevaluasi konstanta integrasi C1 dan C2, maka dapat digunakan kondisi batas (boundary condition) bahwa defleksi adalah nol apabila x = 0 dan x = L, atau : v(0) = 0 dan v(L) = 0 Kondisi pertama menghasilkan C2 = 0, sehingga persamaan menjadi : v = C1 sin kx Kondisi kedua menghasilkan : C1 = 0 (solusi trivial) C1 sin kL = 0

sin kL = 0 (persamaan tekuk)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Kedua Ujung Sendi • •

Solusi dari persamaan sin kL = 0 adalah : kL = np n = 1,2,3,… Sehingga dengan mensubstitusikan nilai k ini ke persamaan sebelumnya, akan didapat :

n 2p 2 EI P L2 • •

Rumus ini memberikan harga P yang memenuhi persamaan tekuk dan memberikan solusi non trivial bagi persamaan diferensial Persamaan kurva defleksi menjadi :

npx v  C1 sin kx  C1 sin L


Beban kritis terkecil untuk kolom dengan ujung sendi diperoleh bila n = 1

Pcr  •

•

• •

p 2 EI L2

Jenis tekuk kolom yang diuraikan ini diesbut dengan tekuk Euler dan beban kritis untuk kolom elastis ideal sering disebut beban Euler. Jika kolom hanya ditumpu di ujung-ujungnya dan bebas menekuk dalam arah manapun, maka lenturan akan terjadi terhadap sumbu berat yang mempunyai momen inersia terkecil Penampang di samping mempunyai momen inersia I1 lebih besar daripada momen inersia I2 Kolom akan menekuk dalam bidang 1-1 dan momen inersia I2 yang lebih kecil harus digunakan dalam rumus untuk beban kritis



Jika beban kritis dibagi dengan luas penampang, maka akan dapat diperoleh besarnya tegangan kritis :

Pcr p 2 EI  cr   A AL2 •

Dengan mengingat persamaan untuk jari-jari girasi, maka persamaan untuk tegangan kritis dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih berguna :

 cr  • •

p 2E

L r 2

Besaran L/r merupakan rasio yang tak berdimensi yang disebut dengan rasio kelangsingan (slenderness ratio) Nilai rasio kelangsingan kolom berada antara 30 – 150

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship • Tegangan kritis merupakan tegangan tekan rata-rata di suatu penampang pada saat bebannya mencapai harga kritis • Hubungan antara L/r dan cr dapat diplot menjadi kurva Euler • Kurva ini hanya berlaku jika tegangan kritis lebih kecil daripada limit proporsionalnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Kedua Ujung Sendi Contoh 1 Sebuah kolom langsing dan panjang, ABC, mempunyai tumpuan sendi di kedua ujungnya dan ditekan oleh beban aksial P. Tumpuan diberikan di titik tengah B di dalam bidang gambar. Namun tumpuan lateral yang tegak lurus bidang gambar hanya diberikan di kedua ujungnya. Kolom tersebut terbuat dari penampang baja WF 500.200 yang mempunyai Modulus Elastisitas E = 200 GPa dan tegangan batas proporsional pl = 300 MPa. Panjang total kolom adalah L = 7,50 m. Tentukanlah beban ijin Pijin dengan menggunakan faktor keamanan n = 2,5 terhadap tekuk kolom Euler.

Ix = 47.800 cm4 Iy = 2.140 cm4 A = 114,2 cm2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab : Karena kondisi tumpuannya, maka kolom ini dapat menekuk di dalam salah satu bidang lentur utama. Pertama, kolom tersebut dapat menekuk di dalam bidang gambar, dimana jarak antara tumpuan lateral adalah L/2 = 3,75 m, dan lenturan terjadi terhadap sumbu 2-2. Kedua, kolom tersebut dapat menekuk tegak lurus bidang gambar dengan lenturan terhadap sumbu 1-1. Karena satu-satunya tumpuan lateral di dalam arah ini berada di kedua ujungnya, maka jarak antara tumpuan lateral adalah L = 7,5 m

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Beban Kritis. Jika kolom menekuk di dalam bidang gambar :

Pcr 

p 2 EI 2

L / 22



p 2  200000  2140 10 4 3750 2

 3.003.868 N = 3.003 kN

Jika kolom menekuk tegak lurus bidang gambar :

Pcr 

p 2 EI 1 L2



p 2  200000  47.800 10 4 7500 2

 16.773.940 N = 16.773 kN

Tegangan kritis

Pcr 3.003 103  cr    262,96MPa < pl = 300 MPa A 114,2 10 2

Beban ijin. Pijin 

Pcr 3.003   1.201,2kN n 2,5

(OK)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Kondisi Tumpuan Lainnya • Beban kritis untuk elemen kolom seperti telah diturunkan sebelumnya, berlaku untuk kondisi tumpuan ujung berupa sendi-sendi. • Namun, dalam prakteknya banyak dijumpai kondisi tumpuan lainnya seperti jepit, bebas, dan tumpuan elastis. • Beban kritis untuk masing-masing jenis kondisi tumpuan dapat dicari dengan prosedur yang sama dengan cara analisis kolom berujung sendi, yaitu dengan menggunakan persamaan diferensial • Hasil analisis beberapa jenis tumpuan dasar yang sering dijumpai, ditampilkan dalam bentuk tabel sebagai berikut :

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Kondisi Tumpuan Lainnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Kedua Ujung Sendi Contoh 2 Platform pemandangan di sebuah taman satwa liar dipikul oleh sederetan kolom pipa aluminium yang mempunyai panjang L = 3,25 m dan diameter luar d = 100 mm. Dasar kolom itu ditanam di pondasi telapak beton dan ujung atasnya ditahan secara lateral oleh platform. Kolom didesain untuk memikul beban tekan P = 100 kN. Tentukanlah tebal minimum t yang diperlukan jika faktor keamanan terhadap tekuk Euler n = 3. Gunakan nilai E = 72 GPa dan pl = 480 MPa

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab : Untuk kolom berujung jepit-sendi, beban kritisnya adalah :

2,046p 2 EI Pcr  L2

(a)

Dengan I adalah momen inersia penampang lingkaran berlubang :

I

d 64 p

4

 d  2t 

4



Dengan mensubstitusikan d = 100 mm (atau 0,1 m), diperoleh :

I

0,1 64 p

4

 0,1  2t 

4



(b)

Karena beban per kolom adalah 100 kN dan faktor keamanan adalah 3, maka tiap kolom harus didesain terhadap beban kritis Pcr = nP = 3(100) = 300 kN

(c)

Substitusikan persamaan (b) dan (c) ke dalam persamaan (a) sehingga diperoleh :

300.000 



2,046p 2  72 109 p 0,14  0,1  2t 4  2 64 3,25



Jika diselesaikan, akan diperoleh t = 0,006825 m. Sehingga tebal minimum yang dibutuhkan kolom adalah tmin = 6,83 mm

Soal 6.1 – 6.8


• Sub Pokok Bahasan :  Kolom dengan Beban Aksial Eksentris  Rumus Sekan untuk Kolom

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Beban Aksial Eksentris • Apabila beban aksial tekan P, diterapkan pada suatu elemen kolom, dengan eksentrisitas kecil e yang diukur dari sumbu kolom, maka pada kolom tersebut akan memikul momen lentur Mo yang besarnya sama dengan P dikali eksentrisitas (Mo = Pe) • Momen lentur di kolom pada jarak x dari ujung bawah adalah : EIv’’ = M = Pe – Pv • Persamaan diferensial kurva defleksi adalah : v’’ + k2v = k2e • Dengan k2 = P/EI, maka solusi umum persamaan : v = C1 sin kx + C2 cos kx + e

k2 

P EI

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Beban Aksial Eksentris • Dengan menggunakan kondisi batas : v(0) = 0 dan v(L) = 0 • Maka persamaan kurva defleksi menjadi :

 kL  v  etan sin kx  cos kx  1 2   • Karena kedua ujungnya sendi, maka beban kritis akan sama dengan :

Pcr 

p 2 EI L2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Kolom dengan Beban Aksial Eksentris • Defleksi maksimum terjadi di x = L/2, yaitu sebesar : kL    p    e sec  1  e sec 2     2

P Pcr

    1   

• Yang memberikan momen maksimum sebesar : M maks

p kL  Pe     Pe  sec  Pe  sec 2 2

P Pcr

   


Contoh 3 Batang perunggu AB menonjol dari sisi mesin besar dibebani gaya P = 6.500 N yang bekerja dengan eksentrisitas e = 11,5 mm. Batang tersebut mempunyai penampang persegi panjang dengan dimensi h = 30 mm dan b = 15 mm. Berapakah panjang batang Lmaks yang diijinkan jika defleksi di ujung dibatasi sebesar 3 mm? (gunakan Eperunggu = 110 GPa)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab : Untuk kolom berujung jepit-bebas, beban kritisnya adalah :

Pcr 

p 2 EI

(a)

4L2

I

Dengan momen inersia terhadap sumbu lenturnya : Sehingga beban kritisnya : Pcr 

p 2110.000  8.437 ,5 4 L

2



p



2

  e  sec

Defleksi di ujung batang adalah :



30 153  8.437 ,5mm 4 12

2.290.056.646,19 L2 P Pcr

    1   

Substitusikan nilai yang diketahui, sehingga didapat persamaan :

 p 3  11,5 sec   2



  6.500  L2   1 2.290.056.646,19   

1,261  sec 8,4237 10 4 p  L



Diperoleh L = 247,57 mm, atau digunakan Lmaks = 245 mm.

(L dalam mm)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rumus Sekan Untuk Kolom • Tegangan maksimum di kolom dengan beban aksial eksentris terjadi di penampang di mana defleksi dan momen lentur mempunyai harga terbesar, yaitu di titik tengah. • Pada penampang ini bekerja gaya tekan P dan momen lentur Mmaks yang menimbulkan tegangan tekan maksimum sebesar :  maks 

P M maks  c  A I

• Momen lentur maksimum, seperti dituliskan sebelumnya : M maks

p  Pe  sec 2

P Pcr

   

atau

M maks

 L  Pe  sec  2r

P   EA 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rumus Sekan Untuk Kolom • Dengan mensubstitusikan Mmaks ke dalam persamaan untuk tegangan, maka diperoleh besarnya tegangan maksimum sebagai berikut :  maks 

 L P  ec  1  sec  2  2r A  r 

P   EA 

• Persamaan ini dikenal dengan rumus sekan (secant formula) untuk kolom yang dibebani secara eksentris dengan kedua ujung sendi. • Besaran (ec/r2) dikenal sebagai rasio eksentrisitas

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Rumus Sekan Untuk Kolom Contoh 4 Sebuah kolom dengan profil sayap lebar W350.350 ditumpu sendi di kedua ujungnya dan mempunyai panjang 7,50 m. Kolom tersebut memikul beban sentris P1 = 1.400 kN dan beban eksentris P2 = 175 kN. Lentur terjadi terhadap sumbu 1-1 penampang, dan beban eksentris bekerja pada sumbu 22 pada jarak 340 mm dari pusat berat C. Dengan menggunakan rumus sekan dan mengasumsikan E = 205 GPa hitunglah tegangan tekan maksimum di kolom

A= 173,9 cm2 r1 = 15,20 cm

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab : Kedua beban P1 dan P2 secara statik adalah ekivalen dengan satu beban P = 1.575 kN yang bekerja dengan eksentrisitas e. Besar eksentrisitas e dihitung terhadap sumbu beban P 1 adalah : e

P2  340  37 ,78mm P1  P2

Suku-suku berikut diperlukan di dalam rumus sekan :

ec 37 ,78 175   0 ,286 r2 152 2 P 1.400  1751.000   90,57MPa A 173,9 10 2

L 7.500   24 ,67 2r 2 152 P 1.575 1.000   4 ,418 10 4 2 EA 205.000 173,9 10

Substitusikan ke rumus Sekan :

 maks

 L P  ec  1  2 sec  2r A  r 

P     90,57 1  0,286 sec 24,67  4,418 10  4  EA  

  116,47MPa  

Soal 6.9 – 6.14

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Kolom. Pertemuan 14, 15

Recommend Documents