[Rekayasa Trafik] [Pertemuan 9] Overview [Little’s Law Birth and Death Process Poisson Model Erlang-B Model]
eko fajar cahyadi [
[email protected]]
Overview 1. 2. 3. 4.
Little’s Law Birth & Death Process Model Poisson Model Erlang-B
1. Little’s Law Hukum Little merupakan teori yang berlaku umum untuk semua jaringan antrian. Pertama kali dikemukakan oleh J.D Little pada tahun 1961 dan dikembangkan menggunakan teori proses stokastik oleh Eilon pada 1969. Pada suatu sistem antrian, paket datang secara random melalui proses stokastik. Paket/panggilan datang ke sistem dengan waktu yang acak, dan menunggu untuk dilayani. Paket yang datang ada yang langsung dilayani ada yang harus mengantri di buffer terlebih dahulu. Setelah paket dilayani, paket akan meninggalkan sistem. Sama seperti ketika datang, ketika meninggalkan sistem, berjalan dalam proses stokastik. J.D Little menyatakan : “Jumlah rata-rata pelanggan dalam suatu sistem antrian sama dengan rate rata-rata datangnya panggilan pada sistem tersebut kali waktu rata-rata pelanggan dalam sistem tersebut”. Hukum Little bisa dituliskan dalam persamaan
Dimana: L : Jumlah rata-rata paket atau panggilan di dalam sistem λ : Intensitas rata-rata kedatangan paket W : Mean holding time per panggilan atau paket di dalam sistem
Latihan soal: 1. Pada Switch A suatu jaringan komputer, diketahui: Jumlah paket yang datang pada interval [0;10] detik = 0 paket, pada interval [10;20] detik = 200 Mega paket, pada interval [20;50] detik = 1800 Mega paket, dan pada interval [50;100] detik = 7000 Mega paket. Misal ukuran paket rata-rata = 800 bit/paket, Hitunglah; a. Densitas dari paket yang datang pada saat t = 100 detik b. Intensitas kedatangan paket rata-rata pada interval [0;100] detik c. Rata-rata jumlah paket yang berada di switch A jika kecepatan transfer switch adalah 100 Mega bit/detik 2. Berkas Trunk GSM dengan kapasitas satu E1 = 30 saluran voice, digunakan untuk melayani trafik dengan GOS maksimum yang diperbolehkan = 2%. Berapa carried traffic, loss traffic, dan offered traffic saat GOS = GOS maksimum yang diperbolehkan.
2. Birth and Death Process Penggambaran matematis untuk proses trafik yaitu dengan stokastik yang disebut dengan proses kelahiran dan proses kematian. Proses kelahiran pada telepon diasumsikan sebagai proses datangnya panggilan dan proses kematian diasumsikan adalah proses berakhirnya panggilan. Birth and Death process pada trafik telekomunikasi, adalah proses bertambahnya suatu paket atau layanan yang datang atau minta dilayani yang dianalogikan sbg kelahiran, sementara selesai dilayani oleh server suatu paket dianalogikan dengan kematian. Proses kelahiran dan kematian sangat berguna dalam analisis jaringan telekomunikasi. Sebuah jaringan telekomunikasi dapat dimodelkan sebagai proses kelahiran dan kematian dimana sejumlah sirkit (saluran) menyatakan populasi. Proses kelahiran dan kematian (Birth and Death Process) adalah diagram transisi kondisi dari rantai markov. Dalam pembahasan sebelumnya, konsep penting untuk memahami perilaku trafik telekomunikasi yaitu konsep point process dan arrival process Konsep kedua dalam rekayasa trafik telekomunikasi adalah birth and death process yang sering dimanfaatkan untuk menurunkan fungsi distribusi trafik telekomunikasi
Markov Chain “Markov Chain is a mathematical system that undergoes transitions from one state to another on a state space. It is a random process usually characterized as memoryless: the next state depends only on the current state and not on the sequence of events that preceded it.” “Untuk setiap waktu t, ketika kejadian adalah Kt dan seluruh kejadian sebelumnya adalah Kt(j),…, Kt(j-n) yang terjadi dari proses yang diketahui, probabilitas seluruh kejadian yang akan
datang Kt(j) hanya bergantung pada kejadian Kt(j-1) dan tidak bergantung pada kejadiankejadian sebelumnya yaitu Kt(j-2), Kt(j-3), …, Kt(j-n)”
Diagram Transisi Kondisi
Dimana: 0, 1, 2, 3, ...., ∞
P(0), P(1), … ,P(N)
Adalah state atau kondisi yang menggambarkan jumlah saluran (berkas) yang sibuk pada suatu saat. Proses yang ditinjau adalah kondisi yang menyatakan jumlah saluran atau peralatan yang diduduki sebagai fungsi waktu. Adalah state probability atau probabilitas kondisi yaitu lamanya kondisi tersebut berlangsung dalam interval waktu tertentu. Transisi atau berubahnya kondisi tertentu ke kondisi yang lain. Pada waktu d(t) kondisi N dapat menjadi (N+1) jika terdapat 1 panggilan datang dan (N-1) jika terdapat 1 pangilan berakhir.
3. Model Poisson Pada sistem rugi atau loss system panggilan yang tidak dapat ditangani oleh jaringan akan ditolak dengan diberikan atau ditandai dengan adanya busy tone. Penanganan panggilan Loss Call Held, Loss Call Clear dan Loss Call Return temasuk pada mekanisme ini (bisa anda baca di materi Pertemuan 7). Model trafik yang termasuk pada sistem rugi adalah model Poisson, model Erlang-B dan model Engset. Namun dalam materi ini, kita hanya akan membahas model Poisson dan Erlang-B saja. Dalam model Poisson, panggilan datang ketika seluruh saluran sibuk (block call) akan digenggam (held) sampai tersedia sebuah sirkit, pemanggil hanya membuat satu panggilan. Model Poisson berdasarkan asumsi berikut : Jumlah sumber tidak berhingga Pola kedatangan trafik random Blocked calls held Distribusi waktu pendudukan eksponensial negatif Disiplin operasi: o Sumber trafik tak terbatas o Jumlah saluran yang melayani : ∞ ( panggilan yang datang selalu dilayani) o Mean holding time terbatas = h o Laju rata-rata datangnya panggilan : λ (konstan) Diagram transisi kondisi untuk model Poisson ditunjukkan pada gambar di bawah, kondisi pada model ini terjadi dari kondisi 0 sampai kondisi tak terhingga (∞) dikarenakan asumsi jumlah saluran yang digunakan jumlahnya tak terhingga.
Diagram transisi kondisi Poisson
Pada keadaan kesetimbangan statistik (statistical equilibrium), yaitu proses perubahan dari kondisi (k-1) ke (k) sama jumlahnya dengan perubahan kondisi (k) ke (k-1). Penurunan pada keadaan kesetimbahan adalah sebagai berikut: Pertama ditinjau keadaan kesetimbangan kondisi 0 dan kondisi 1 λ P(0) = μ P(1), P(1) = λ/μ P(0) dimana λ/μ adalah A (intensitas trafik ) Setelah didapatkan persamaan pada keadaan kesetimbangan kondisi 0 dan 1 maka ditinjau kondisi selanjutnya yaitu kondisi 1 dan kondisi 2: P(1) = A P(0) λ P(1) = 2μ P(2) P(2) = λ/2μ P(1) P(2) = A/2 P(1) P(2) = A/2 A P(0) P(2) = A2/2 ! P(0) Dan seterusnya. Dari persamaan-persamaan tersebut, didapatkan nilai probabilitas N, yaitu probabilitas N saluran sedang sibuk atau sedang diduduki sebuah panggilan yaitu: P(N) = AN/N! P(0) Formula model Poisson adalah sebagai berikut : 𝐴𝑁 𝑒 −𝐴 𝑃(𝑁) = 𝑁! Dimana: A = Trafik yang ditawarkan e = Logaritmik natural (e = 2,7183) N = Jumlah kanal (saluran) Distribusi poisson digunakan untuk mendimensikan group trunk pilihan terakhir (final trunk group) dimana panggilan yang diblok tidak ditawarkan kepada group sirkit lainnya, dipakai dalam kasus Erlang-B. Jika rata-rata pemakaian kanal adalah A (dalam Erlang), persamaan di atas juga memberikan nilai probabilitas jumlah kanal yang dipakai pada waktu berlangsungnya panggilan (dalam sistem ini, pada satu waktu, satu kanal hanya dapat dipakai oleh satu panggilan, sehingga probabilitas jumlah kanal yang sedang terpakai sama dengan probabilitas banyaknya panggilan yang sedang berlangsung). Blocking terjadi jika seluruh N kanal terpakai atau kejadian (panggilan) melebihi jumlah kanal).
Formula poisson dikenal juga dengan the Molina lost calls held trunking formula, dengan probabilitas blocking sebagai berikut: 𝑁−1
𝑝(𝑘 ≥ 𝑁) = 1 − ∑ 𝑘=0
𝐴𝑁 𝑒 −𝐴 𝑁!
Latihan soal 1. Tentukan berapa saluran yang diperlukan jika suatu sentral kira-kira membuat dan menerima 300 panggilan per hari dengan rata-rata holding time 4 menit (240 detik). Diinginkan probabilitas bloking atau GoS 1 %, diasumsikan pada jam sibuk 20% panggilan terjadi pada jam sibuk (Anda dapat menggunakan tabel Erlang-B). Jawab: 300 panggilan * 20% = 60 panggilan selama jam sibuk Trafik yang ditawarkan : (60 panggilan * 240 detik)/3600 = 4 erlang selama jam sibuk Dilihat pada table Erlang-B (Lihat Tabel Erlang-B di halaman berikutnya) pada trafik 4 erlang dan pada probabilitas blocking 0.81% (mendekati 1%), maka didapatkan 10 saluran. Atau bisa dihitung dengan menggunakan formula poisson sebagai berikut :
4. Model Erlang-B Sebuah sistem telepon mempunyai jumlah kanal yang terbatas untuk membawa trafik. Panggilan yang datang dialokasikan untuk sebuah kanal sampai seluruh kanal terpakai. Jika ada panggilan yang datang setelahnya, maka panggilan tersebut akan diblok atau ditunda. Model Erlang-B adalah model Erlang yang paling banyak digunakan untuk menentukan jumlah kanal (saluran) yang diperlukan untuk membawa trafik selama jam sibuk dari nilai GoS dan beban trafik yang ditentukan. Model Erlang-B mengasumsikan bahwa seluruh panggilan yang ditolak akan di bersihkan (clear). Dalam sebuah sistem telepon Erlang-B, disediakan kanal (saluran) sebanyak N. panggilan baru (new call) diijinkan sampai seluruh kanal penuh. Ketika seluruh kanal telah terpakai, dan terdapat panggilan datang maka panggilan tersebut akan ditolak. Panggilan tersebut akan dibuang dari sistem dan pelanggan tidak akan mengulang. Model Erlang-B digunakan hanya untuk percobaan panggilan yang pertama kali dimana tidak mempertimbangkan panggilan ulang (pengulangan panggilan dianggap sebagai panggilan baru). Jumlah panggilan aktif digambarkan sebagai proses Markov dan panggilan datang sesuai dengan proses Markov dengan laju kedatangan rata-rata sebesar λ panggilan per satuan waktu dan panggilan berakhir dengan laju μ panggilan per satuan waktu. Secara ringkas asumsi yang digunakan pada model Erlang-B adalah sebagai berikut: Kedatangan panggilan acak (random arrival) Waktu pendudukan: distribusi eksponensial negatif Disiplin operasi:
o o o o o
Sumber trafik tak terbatas (∞) Jumlah saluran yang melayani : N, terbatas. Panggilan yang datang pada waktu semua saluran sibuk, dihilangkan. Full availability /berkas sempurna, setiap saluran yang bebas selalu dapat diduduki oleh panggilan yang datang Mean holding time terbatas = h Laju rata-rata datangnya panggilan: λ (konstan)
Diagram Transisi Kondisi Erlang-B
Pada keadaan kesetimbangan statistik (statistical equilibrium), yaitu proses perubahan dari kondisi (k-1) ke (k) sama jumlahnya dengan perubahan kondisi (k) ke (k-1). Penurunan pada keadaan kesetimbahan adalah sebagai berikut : Pertama ditinjau keadaan kesetimbangan kondisi 0 dan kondisi 1 P(0) = μ P(1) P(1) = λ/μ P(0) , dimana λ/μ adalah A (intensitas trafik ) setelah didapatkan persamaan pada keadaan kesetimbangan kondisi 0 dan 1 maka ditinjau kondisi selanjutnya yaitu kondisi 1 dan kondisi 2 P(1) = A P(0) λP(1) = 2μ P(2) P(2) = λ/2μ P(1) P(2) = A/2 P(1) P(2) = A/2 A P(0) P(2) = A2/2! P(0) Dan seterusnya. Dari persamaan-persamaan tersebut, didapatkan nilai probabilitas N, yaitu probabilitas N saluran sedang sibuk atau sedang diduduki sebuah panggilan yaitu: P(N) = AN/N! P(0) Harga P(0) didapat dari keadaan normal P(N) biasanya juga disimbolkan dengan B, atau rumus rugi Erlang-B. P (N) pada model Erlang-B juga menyatakan probabilitas blocking yaitu probabilitas seluruh kanal sedang sibuk. Pada kondisi ini jika ada panggilan yang datang maka panggilan baru tersebut akan ditolak. Sehingga probabilitas blocking atau formula Erlang-B adalah sebagai berikut:
Dimana: B(N,A) = P(N) = Pb N A
Merupakan probabilitas panggilan ditolak. Merupakan jumlah saluran Merupakan trafik yang ditawarkan
Tabel Erlang-B
Latihan soal 1. Berapa kanal yang diperlukan untuk melayani 100 user dengan GoS 2 % jika rata-rata trafik per user 30 mE ? Jawab: A = 100 x 30 mE = 3 Erlang Dari tabel pilih dengan GoS 2%, cari untuk nilai trafik 3 Erlang (atau nilai yang terdekat) kemudian tarik garis yang bersinggungan dengan jumlah kanal (trunk). Dari tabel ErlangB di atas ditemukan untuk trafik ±3 Erlang dan GoS 2%, jumlah kanal yang diperlukan adalah 8 kanal. 2. Dalam sebuah sistem terdapat 4 saluran dan trafik yang ditawarkan sebesar 2 Erlang. Berapa probabilitas blocking?
Jika jumlah saluran bertambah menjadi 6 saluran, berapa probabilitas blocking?
