Obr.78. Podobně jako v předcházejících příkladech převedeme soustavu těles 2 a 3 na statickou soustavu tříkloubového nosníku, zobrazenou v pravé části obrázku. Tuto soustavu nemůžeme řešit přímo se všemi působícími silami a provedeme proto řešení pro každou sílu zvlášť. Dílčí výsledky v úložných bodech geometricky sečteme ( tato skutečnost vyplývá ze základní vlastnosti lineárních rovnic, kterými soustavu popisujeme – součet dílčích řešení ). Zákon superposice můžeme vyjádřit následovně: Reakce v jednotlivých úložných bodech těles soustavy zatížené několika silami jsou dány geometrickým součtem reakcí v příslušných bodech, způsobených každou silou zvlášť.
Obr.79.
Na obr.79. provedeme grafické řešení tříkloubového nosníku tak, že nejprve řešíme soustavu jakoby nepůsobila síla F1. Binární člen 2 je nezatížen a směr reakcí A, C leží na přímce určené body A, C. Na uvolněný člen 3 působí tři síly, které se protínají v bodě 1. V silovém obrazci určíme reakce B´´, A´´. Při následujícím řešení předpokládáme, že nepůsobí síla F2. Binární člen 3 je nezatížený vnější silou a reaguje ve směru B,C. Na uvolněný člen 2 působí tři síly, které se protínají v bodě k. V silovém obrazci určíme reakce A´, B´. Pro výsledné reakce platí r r r A = A ′ + A ′′ ,
r r r B = B ′ + B ′′ .
Tyto geometrické součty jsou provedeny přímo v silovém obrazci. Zde je určena rovněž velikost reakce C mezi členy 2, 3.
Na obr.80. je superposiční metodou řešen klikový mechanismus zatížený silami F1 a F2. Hledáme velikost síly na nositelce X, která udržuje mechanismus v rovnováze, a velikost reakcí A, B, C.
Obr.80.
Vyjdeme z předpokladu, že síla F2 se rovná nule. Pak člen 3 reaguje ve spojnici bodů B,C. Na člen 4 působí tři síly: síla F1, reakce C34 a reakce způsobená stěnou válce C14. Všechny tyto síly procházejí bodem C. Pro jejich rovnováhu platí:
r r r r ′ + C14′ = 0. F1 + C 34 Tato vektorová rovnice je graficky řešena na obr.80.a. Na člen 2 působí síly: X´, B´32, A´12. Uvedené tři síly se protínají v bodě k. Grafické řešení rovnice:
r r r ′ = 0. X ′ + A12′ + B32 ′ = C 34 ′ je ale opačného smyslu. Rovnice je graficky řešena na obr.80.a. Reakce B32 ′′ , Druhou část řešení provedeme za předpokladu, že F1 = 0. Na člen 3 působí síly F2 , B23 ′′ . Tyto tři síly se protínají v bodě l. Platí: C 43
r r r r ′′ + C 43 ′′ = 0. F2 + B23 ′′ , X ′′, A12′′ . Tyto síly se protínají v bodě k. Platí: Na člen 2 pak působí síly B32
r r r r ′′ + X ′′ + A12′′ = 0. B32 Řešení obou rovnic je graficky provedeno na obr.80.b. Pro určení výsledné síly X a reakcí je nutné částečné výslednice superponovat ( graficky sečíst ). Tento krok je proveden ve spodní části obrázku.
5. Rovinné prutové soustavy Prutové soustavy jsou složeny z těles - prutů -, které jsou vzájemně vázány křivkovými podporami. Pruty jsou zpravidla prismatického průřezu s převládajícím délkovým rozměrem. Znázorňujeme je úsečkami. Pruty mohou být tyče kruhového průřezu, trubky, válcované profily, trámy, prkna nebo lana. Místa, kde jsou pruty vzájemně vázány nazýváme styčníky. Ve styčnících jsou pruty teoreticky vázány otočně. V technické praxi se setkáváme se spoji nýtovanými nebo svařovanými; i tato spojení považujeme s jistou nepřesností za otočná. U prutové soustavy budeme umísťovat vnější síly do styčníků. Pak jsou pruty namáhány tlakem, ( vzpěrem ), nebo tahem. Zanedbáváme tíhy prutů, které bývají ve srovnání s vnějšími silami, které působí na prutovou soustavu, zanedbatelné.
Podle počtu prutů, které se stýkají ve styčníku, rozeznáváme styčníky: - Dvojné ( se dvěma pruty ). - Trojné ( se třemi pruty ). - ………………………….
Při vytváření prutové soustavy můžeme postupovat způsobem naznačeným na obr.81.
Obr.81. Základem prutového tělesa je trojúhelník ( na obr.81. je vyšrafován ). K němu vážeme další body ( styčníky ) vždy dvěma pruty. Takto vzniklou soustavu uložíme na rám na tři plošné podpory, nebo jednu plošnou podporu a jedenu křivkovou podporu. Potom určíme statickou určitost podle výrazu p + s = 2b.
V této rovnici je p- počet prutů, s- počet složek reakcí ( křivková podpora dvě složky, plošná podpora jednu složku ), b- počet styčníků.
5.1 Vyšetřování sil v prutech Při vyšetřování sil v prutech vycházíme z následujících předpokladů: 1. Zanedbáváme hmotnost prutů. 2. Vnější síly působí pouze ve styčnících. 3. spojení prutů ve styčnících je otočné ( křivková podpora ). Na základě těchto předpokladů lze tvrdit, že každý prut je zatížen pouze dvěma silami, které leží na ose prutu. K vyšetřování sil v prutech používáme obvykle následující metody: - Metodu styčníkovou. - Metodu průsečnou. - Metodu neurčitého měřítka. Budeme se zabývat pouze grafickým řešením s použitím styčníkové metody.
Uvolníme jednotlivé styčníky a účinky prutů nahradíme osovými silami. Uvolněním styčníků získáme rovinnou centrální soustavu sil – obr.82. Při grafickém řešení osových sil v prutech prutové soustavy metodou styčníkovou je podmínkou dvojný styčník. Neexistuje-li, nelze styčníkovou metodu použít.
Obr.82.
Řešení úlohy provedeme následovně: 1. Nahradíme vnější síly výslednicí grafickým řešením vektorové rovnice
r r r r F = F1 + F2 + F3 a určíme její polohu na základě vláknového obrazce. 2. Z rovnováhy tří sil stanovíme reakce A, E. 3. Uvolníme dvojný styčník A, určíme velikosti sil S1, S2 grafickým řešením vektorové rovnice r r r r A + S 1 + S 2 = 0.
4. Uvolníme další styčník B se dvěma neznámými osovými silami a postupujeme Stejným způsobem jako u styčníku A.
6. Těžiště Těžiště tělesa můžeme definovat jako bod, kterým prochází tíha, nahrazující soustavu elementárních sil, elementárních tíh, které přísluší jednotlivým bodům tělesa. Elementární tíhy považujeme za rovnoběžnou prostorovou soustavu sil, protože jejich průsečík je vzhledem k poloměru Země R = 6378 km velmi vzdálen. Sledujme pro jednoduchost dvě rovnoběžné síly F1, F2, na obr.83., které jsou vázány na body A, B.
Obr.83.
Tyto síly svírají se spojnicí obou bodů úhel α a mohou se kolem těchto bodů libovolně otáčet vždy o stejný úhel ve stejném smyslu. Výslednice obou sil je s nimi rovnoběžná a leží v rovině určené nositelkami sil. Vzdálenost výslednice od síly F2 určíme z momentové věty
( F1 + F2 ) ⋅ b = F1 ⋅ p + F2 ⋅ 0. b = s ⋅ sin α , p = l ⋅ sin α
Potom
b=
F1 ⋅ p , F1 + F2
s=
l ⋅ F1 . F1 + F2
Je zřejmé, že vzdálenost s nezávisí na úhlu α. Budou-li se síly F1 a F2 otáčet kolem bodu A, B, bude jejich výslednice procházet stále bodem S. Pokud místo obecných sil tvoří soustavu síly tíže, nazýváme střed soustavy těžiště.
6.1 Těžiště tělesa – početní řešení
Obr.84. Určíme početně těžiště tělesa na obr.84., které si představujeme tak, jako by bylo složeno z bodů ve kterých působí tíhy Gi. Tyto síly ( tíhy ) tvoří prostorovou soustavu rovnoběžných sil, vázaných na jednotlivé body tělesa. Pro tuto soustavu platí
G = ∑ Gi . Pro určení souřadnice těžiště xT použijeme momentové věty kose y:
∑G
i
⋅ x1 = G ⋅ xT ⇒ xT =
∑G
i
⋅ xi
G
.
Analogicky platí
yT =
∑G
i
G
⋅ yi
,
zT =
∑G
i
⋅ zi
G
.
Při určování výrazu pro zT jsme otočili síly Gi o devadesát stupňů. Přejdeme-li od konečných veličin k veličinám nekonečně malým, můžeme souřadice těžiště zapsat rovněž přes objem tělesa V pomocí vztahů:
xT =
∫ x ⋅ dV , ∫ dV
yT =
∫ y ⋅ dV , ∫ dV
zT =
∫ z ⋅ dV . ∫ dV
Použití těchto vzorců ukážeme ukážeme ještě na příkladu výpočtu těžiště pravidelného přímého jehlanu – obr.85.
Obr.89.
Plochu základny jehlanu označíme písmenem A, výšku jehlanu písmenem v. Pro jeho objem platí: v
V = ∫ Ax ⋅ dx, kde Ax je plocha vyťatá řezem rovinou rovnoběžnou se základnou. 0
Protože
Ax x 2 x2 = 2 ⇒ Ax = A ⋅ 2 , dostaneme po dosazení do základního výrazu pro A v v
objem
A A⋅v V = 2 ⋅ ∫ x 2 ⋅ dx = . 3 v 0 Vzhledem k tomu, že jehlan má dvě roviny souměrnosti stačí určit pouze souřadnici xt . Protože dV = Ax ⋅ dx, bude v
v
xT =
v
1 3 3 ⋅ ∫ x ⋅ dV = ⋅ ∫ x ⋅ Ax ⋅ dx = ⋅ v, V 0 A⋅v 0 4
6.2 Těžiště rovinné plochy – grafické řešení Postup grafického určení těžiště rovinné plochy objasníme na příkladu průřezu zobrazeného na obr.90.
Obr.90.
Zvolíme vhodné měřítko pro délky a nakreslíme zadaný průřez. Plochu průřezu S rozdělíme na tři obdélníky a určíme jejich těžiště. V těžištích T1, T2, T3 jednotlivých obdélníků připojíme rovnoběžné fiktivní síly F1, F2, F3, jejichž velikost je úměrná příslušným plochám S1, S2, S3. Výslednice těchto fiktivních sil Fv prochází těžištěm plochy průřezu. Tím jsme získali souřadnici xT. Postup opakujeme pro síly otočené o 90o a získáme tak druhou souřadnici yT.
7. Pasivní odpory Působením pasivních odporů vznikají ve vazbách přídavné síly, které mění výsledky řešení, které bychom získali za předpokladu ideálních vazeb. Vliv pasivních odporů budeme sledovat u těles, které jsou uloženy převážně s jedním stupněm volnosti.
7.1 Smykové tření Sledujme těleso na obr.91., uložené na vodorovné desce, která se může otáčet kolem vodorovné osy o.
Obr.91. Začneme desku pomalu zvedat, až bude svírat s vodorovnou rovinou úhel α. Na těleso působí tíha G, vyvozující normálovou reakci N1. Protože tyto síly jsou v rovnováze, muselo by se těleso pohybovat účinkem složky G ⋅ sin α po nakloněné rovině směrem dolů. Je-li úhel α dostatečně malý, je těleso vzhledem k nakloněné rovině v klidu. Mezi tělesem a nakloněnou rovinou vzniká totiž tečná reakce F0. Tečnou reakci vyjádříme z podmínek rovnováhy ve směru osy y:
∑F
iy
= 0, ⇒ F0 − G ⋅ sin α = 0.
Zvedáme-li desku dále, pak po přestoupení jistého úhlu ϕ se těleso začne pohybovat. Složka síly G ⋅ sin ϕ je větší než síla vznikající mezi desskou a tělesem. Tuto sílu nazýváme třecí silou a označujeme ji Ft. Vyjadřujeme ji jako jistou část normálové reakce N2: Ft = f ⋅ N 2 . Koeficient f nazýváme součinitelem tření za pohybu. U plošné podpory zobrazené na obr.92. mohou nastat dva případy. Je-li těleso v klidu (levá část obrázku ), působí tečná reakce, neznámé jsou složky N, Fo.
Obr.92.
V tomto případě je plošná podpora veličinou dvouparametrovou. Je-li těleso v pohybu ( pravá část obrázku ), pak působí třecí síla, která je vyjádřena jako f – násobek normálové reakce. Známe-li f, je plošná podpora veličinou jednoparametrovou. Při grafickém řešení používáme výslednici R, která je odkloněna proti směru úpohybu o úhel ϕ. Platí:
tgϕ =
Ft f ⋅N = = f. N N
Součinitel smykového tření f se určuje pro dvojici materiálu měřením. Za klidu je větší než za pohybu.
7.2 Čepové tření
Obr.93.
Na obr. 93. je zobrazen otočný čep uložený v raiálním ložisku. Vliv pasivních odporů se vyjadřuje tak, že zavádíme dvojici čepového tření Mč, která působí proti smyslu otáčení čepu Mč = fč ⋅ r ⋅ FA,
kde fč je součinitel čepového tření, r poloměr čepu, FA je velikost výsledné reakce v čepu. FA =
Ax + A y = b ⋅ Ax + c ⋅ Ay . 2
2
Platí: b = 0,96 b = 0,4
c = 0,4 c = 0,96
pro Ax >> Ay pro Ax << Ay.
Výsledná reakce FA a silová dvojice Mč dávají jako výsledek reakci FA přeloženou na rovnoběžnou nositelku ve vzdálenosti r. fč od středu čepu. Kružnice o poloměru r.fč se nazývá třecí kružnice.
