Probabilistisch model hydraulische randvoorwaarden Benedenrivierengebied

Ministerie van Verkeer en Waterstaat

Directoraat – Generaal Rijkswaterstaat RIZA Rijksinstituut voor Integraal Zoetwaterbeheer en Afvalwaterbehandeling

Probabilistisch model hydraulische randvoorwaarden Benedenrivierengebied RIZA - werkdocument 2003.128x Auteur: C.P.M. Geerse RIZA, afdeling WSH Lelystad, december 2003

2

Inhoudsopgave Samenvatting 7 Voorwoord 9 1

Inleiding 11

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Algemeen 11 Wat berekent Hydra-B? 11 Doelgroep en aard van het rapport 12 Relatie met andere rapporten 14 Overzicht van het rapport 15

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Gebruikte stochasten 19 Waterstandsommen en dwarsopwaaiing 21 Golven 21 Berekening van de overschrijdingsfrequentie 22 Uitsplitsingen en illustratiepunten 23 Globale indeling van het Benedenrivierengebied 24 Gebiedsgrenzen Hydra-B en het tussengebied 25 Windgolven, deiningsgolfdoordringing en seiches nabij de keringen 26 Betrouwbaarheid van de implementatie en PC-Ring 26

3

Marginale verdelingen van de gebruikte stochasten 29

3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.3 3.4

Inleiding 29 Afvoerstatistiek 29 Afvoerstatistiek Lobith en Lith 29 De standaardgolfvormen 30 De werklijnen 31 De dagenlijnen 33 Belangrijke begrippen voor de afvoerstatistiek 33 Wind 37 Zeewaterstand Maasmond en de wind-waterstandstatistiek 39

Hydra-B in vogelvlucht 19

4

Waterstandsommen, faalmechanismes en isovlakken 41

4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2

Inleiding 41 De 50%-lijnen voor Rijn en Maas 41 Waterstandsommen 44 Het Sobekmodel 44 De zeeranden 45 Het windveld 47 De afvoerranden 47 Maeslant- en Hartelkering en overige kunstwerken 48 Aantal doorgerekende combinaties 49 Hydra-B locaties en golven 50 Beschikbare locaties in Hydra-B 50 Bretschneider en dwarsopwaaiing 50 Modules voor dam, voorland en dijk 54 Dammodule 55 Voorlandmodule 55 De dijkmodule 58 Combineren van maximale wind en maximale waterstand 59 Wiskundige formulering van de hydraulische belasting 61 Isovlakken, isolijnen en gerepareerde belastingen 62 Isovlakken en isolijnen 62 Gerepareerde belastingen 65

3

5

Probabilistisch model voor het Benedenrivierengebied 71

5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.3

Inleiding 71 Overschrijdingsfrequentie en hulpdijkhoogtes 71 Kansdichtheid getijperiode en de getijkans 72 De Deltamethode en de berekening in Hydra-B voor de lage en hoge afvoeren 75 Splitsing in lage en hoge afvoeren en overschrijdingsduren tijdens falen 75 De Deltamethode voor de combinatie van zeewaterstanden en afvoeren 79 De berekeningswijze in Hydra-B voor de lage afvoeren 82 De berekeningswijze in Hydra-B voor de hoge afvoeren 84 Gedetailleerde formules Hydra-B 87 Algemene Hydra-B formules 87 Getijkans voor afhankelijk falen 88 Getijkans voor onafhankelijk falen 89 Getijkans exclusief keringen 89

6

Nadere beschouwingen over Hydra-B 91

6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5 6.6

Inleiding 91 Invloed grenswaarde en vergelijking tussen Hydra-B en de Deltamethode 91 Invloed van de grenswaarde in Hydra-B 91 De Deltamethode vergeleken met Hydra-B 96 Voor welke terugkeertijden mogen de Hydra-B formules worden toegepast? 99 Opmerkingen over het model Dijkring en over Methode Van der Made 100 Opmerkingen over het model Dijkring 100 Opmerkingen over Methode Van der Made 101 Invloed van aftoppen bij 18000 m3/s op toetspeilen 103 Invloed breedte afvoergolf als stochast 104

7

De stormvloedkeringen in de Nieuwe Waterweg en het Hartelkanaal 107

7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.4 7.5

Inleiding 107 Sluitcriteria en de voorspelling voor Hoek van Holland 107 De sluitfunctie gebaseerd op Rotterdam en Dordrecht 107 De kansverdeling van de voorspelde zeewaterstand 108 De kansen op gesloten en open keringen 111 Inleiding 111 Sluitstrategie en afhankelijk en onafhankelijk falen 111 De kansen op open en dichte keringenvoor afhankelijk falen 112 De kansen op open en dichte keringenvoor onafhankelijk falen 114 De sluitfrequentie van de keringen 114 Gevoeligheidsanalyse voor de faalkans en voorspelnauwkeurigheid 115

8

Wind-waterstandstatistiek Maasmond 119

8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.4

Inleiding 119 Marginale verdeling zeewaterstand Hoek van Holland en Maasmond 120 Inleiding 120 Omrekening van frequenties van 10°-sectoren naar 22.5°-sectoren voor Hoek van Holland 120 Omrekening van frequentie per whjaar naar getijperiode voor Hoek van Holland 123 Zeespiegelstijging 124 Verschuiving Hoek van Holland naar Maasmond 124 Wind-waterstandstatistiek Volker 127 Inleiding 127 Volkers formules uit 1987 127 Volkers marginale windsnelheidsverdeling 129 Volkers marginale windsnelheidsverdeling en het Rijkoort-Weibull model 131 Bepalen van de nieuwe wind-waterstandstatistiek voor Maasmond 133

9

Additionele informatie bij de Hydra-B berekening 135

9.1 9.2 9.2.1 9.2.2 9.3

Inleiding 135 Uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie 135 Uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie naar afvoerniveau, windrichting en keringsituatie 135 Voorlopige resultaten voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus 138 Illustratiepunten 141

4

9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4

Illustratiepunten ofwel ontwerppunten 141 Methode voor het bepalen van illustratiepunten 142 Voorlopige resultaten voor illustratiepunten 146 Het nut van uitsplitsingen en illustratiepunten 155

Bijlagen Bijlage 1 – Reparatie van belastingen 159 1 2 3 4

Recept voor reparatie belastingen en waterstanden 159 Plaatjes voor Rotterdam voor richting 292.5 graden 160 Plaatjes voor Rotterdam met belastingen voor richting 315 graden, bij windsnelheden 0, 10, 20 en 30 m/s, exclusief reparatie 163 Plaatjes voor Dordrecht met belastingen voor richting 315 graden, bij windsnelheden 0, 10, 20 en 30 m/s, exclusief reparatie 165

Bijlage 2 – Aantal stochasten in Hydra-B en de problematiek van stormopzet en windverloop 167 1 2 3 3.1 3.2

Inleiding 167 Opmerkingen ten behoeve van het opnemen van extra stochasten in het model 167 De problematiek van de opzet als stochast, in samenhang met het windverloop 170 De problematiek van de opzet als stochast 170 Het windverloop 174

Bijlage 3 – Extra formules en motivatie ten behoeve van Hydra-B 181 1 2 3 3.1 3.2 3.3 4 5 6 7 7.1 7.2 8 8.1 8.2 8.3 8.4

Inleiding 181 Hydra-B formules 182 Uitsplitsing naar afvoerniveaus 183 Uitsplitsing naar afvoerniveaus voor de lage afvoeren 183 Uitsplitsing naar afvoerniveaus voor de hoge afvoeren 184 Het uitsplitsingsrecept voor volledig afvoergedomineerde locaties 185 Uitsplitsing naar piekafvoeren 186 Continue versie voor de Hydra-B formules 188 Alternatieve formule voor de Deltamethode 189 Nieuw recept voor het uitsplitsen van de overschrijdingsfrequentie 191 Globale uitleg van het nieuwe recept 192 De formules voor het nieuwe recept 193 Nadere beschouwingen over het nieuwe recept 197 Percentielen volgens het nieuwe recept vergeleken met de uitsplitsing naar piekwaarden 197 Het nieuwe recept voor volledig afvoergedomineerde locaties en vergelijking met het oude recept 199 Alternatieve formule voor het nieuwe recept en additiviteit van de uitsplitsingen 201 Het nieuwe recept en de uitsplitsing volgens de Deltamethode 203

Bijlage 4 – Methodiek voor de dijkringberekening 205 1 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Inleiding 205 Methodiek 205 Berekeningsmethode 205 Verband met het programma Dijkring 206 Behandeling Rijn en Maas 207 Buiten de keringen en deining en seiches 207 Schatting van de rekentijd voor een ringberekening 208

Begrippenlijst 209 Symbolenlijst 211 Referenties 213

5

6

Samenvatting In de Wet op de Waterkering staat dat de minister van Verkeer en Waterstaat elke vijf jaar hydraulische randvoorwaarden publiceert ten behoeve van het toetsen van de veiligheid van de primaire waterkeringen in Nederland. Het Benedenrivierengebied (dijkringgebieden 14 t/m 25, 34, 34a en 35) is een van de watersystemen waarvoor deze randvoorwaarden moeten worden bepaald. Het bestaat uit het benedenstroomse gedeelte van de Rijn en de Maas waarvoor de waterstanden tijdens hoge afvoergolven nog een significante invloed ondervinden van stormen op de Noordzee. Daarom is voor dit gebied door Rijkswaterstaat RIZA het probabilistisch model Hydra-B ontwikkeld. Het model is geïmplementeerd door het bureau HKV Lijn in Water – het resulterende computerprogramma wordt eveneens met de naam Hydra-B aangeduid. Het is een toetsprogramma voor de hoogte van waterkeringen in het Benedenrivierengebied. Met een eerdere versie van dit programma zijn de toetspeilen uit het Randvoorwaardenboek [HR 2001] berekend. Met Hydra-B kan bij gegeven terugkeertijd het hydraulisch belastingniveau worden berekend voor de faalmechanismes overloop (ten behoeve van waterstandsberekeningen), 2%-golfoploop en golfoverslag (bij opgegeven overslagdebiet). De berekening gebeurt voor individuele dijkvakken, waarbij alleen belastingaspecten maar geen sterkteaspecten worden betrokken. De belangrijkste stochasten in het probabilistisch model Hydra-B zijn: de Rijnafvoer te Lobith, de Maasafvoer te Lith, de zeewaterstand te Maasmond, de beheerssituatie (open of dicht) van de keringen in de Nieuwe Waterweg en het Hartelkanaal, en de windsnelheid en windrichting boven het gebied. Dit rapport beschrijft het probabilistisch model Hydra-B. Aan de orde komen: kansverdelingen van de stochasten, met Sobek gemaakte waterstandsommen, golfgegevens, dammodule, voorlandmodule en dijkmodule (vaak ook oploop- en overslagmodule genoemd). Verder worden de formules voor de berekening van de overschrijdingsfrequentie van een bepaald hydraulisch niveau gegeven – die laatste formules vormen de kern van het probabilistisch model Hydra-B. In het rapport ligt de nadruk op precieze formules, uitgebreide motiveringen en onderbouwingen van allerlei keuzes. Het is daarmee wat wel wordt genoemd een ‘technisch rapport’ – bedoeld voor specialisten die zich in detail op de hoogte willen stellen van het model. Het eerste deel van hoofdstuk 1 en daarnaast hoofdstuk 2 zijn voor een grotere doelgroep bestemd: na de inleidende beschouwingen in paragraaf 1.1 en 1.2 wordt in hoofdstuk 2 een globaal overzicht van het model gegeven.

7

8

Voorwoord Het probabilistisch model Hydra-B is in het jaar 2000 beschreven in een conceptrapport getiteld ‘Probabilistisch model voor het Benedenrivierengebied’, zie [Geerse, 2000]. Dat rapport vormde de basis voor de implementatie van het computerprogramma Hydra-B. Het concept bestond uit een ‘vrij abstracte’ weergave van de probabilistische formules om hydraulische belastingen te berekenen, zonder dat de benodigde gegevens als kansverdelingen, waterstandsommen, golfgegevens etcetera erg expliciet werden gemaakt. De reden voor dat laatste was simpelweg dat die toen nog grotendeels ontbraken; ook was de implementatie van het computerprogramma Hydra-B nog niet afgerond. Daarom konden in het concept geen concrete resultaten worden gepresenteerd. In juli 2000 is het genoemde concept besproken in een vergadering van de TAW Rand. In die vergadering werd het vrij abstracte karakter van de beschrijving in het concept als een gemis ervaren – grote behoefte bestond aan een samenhangende beschrijving, die naast de probabilistische formules ook de waterstandsberekeningen en golven zou omvatten. Verder dienden een aantal zaken beter te worden gemotiveerd (onder meer de aanpak van Rijn en Maas met 50%-lijnen en de invloed van de grenswaarde van de afvoer waaronder en waarboven verschillende berekeningwijzen worden gebruikt). Hydra-B berekeningen voor toetspeilen konden voor het eerst in december 2001 worden gemaakt. Nu is het computerprogramma Hydra-B gereed, en zijn alle invoergegevens voorhanden, om ook berekeningen met golven te kunnen maken. Dit rapport geeft een samenhangende beschrijving van het probabilistisch model, waarmee aan de wens van de TAW toegemoet wordt gekomen.

9

10

1 Inleiding 1.1 Algemeen In de Wet op de Waterkering staat dat de minister van Verkeer en Waterstaat elke vijf jaar hydraulische randvoorwaarden publiceert ten behoeve van het toetsen van de veiligheid van de primaire waterkeringen in Nederland. De meest recente hydraulische randvoorwaarden zijn vastgesteld in 2001 en gepubliceerd in een boekwerk dat – tezamen met de bijbehorende computerprogramma’s – vaak kortweg wordt aangeduid als het ‘Randvoorwaardenboek’, zie [HR 2001]. Een van de watersystemen waarvoor randvoorwaarden zijn bepaald is het Benedenrivierengebied, dat bestaat uit het benedenstroomse gedeelte van de Rijn en de Maas waarvoor de waterstanden tijdens hoge afvoergolven nog een significante invloed van stormen op de Noordzee ondervinden. Het bestaat uit de dijkringgebieden 14 t/m 25, 34, 34a en 35. De hydraulische randvoorwaarden waar in het Randvoorwaardenboek sprake van is, betreffen in principe toetspeilen (voorheen vaak maatgevende hoogwaterstanden genoemd) en golven – in [HR 2001] waren voor het Benedenrivierengebied echter alleen de toetspeilen beschikbaar. Die zijn berekend met het probabilistisch model Hydra-B. Dat model heeft als belangrijkste stochasten: de Rijn- en Maasafvoer, de zeewaterstand te Maasmond, de windsnelheid en -richting en de beheerssituatie van de Maeslant- en Hartelkering. De naam Hydra-B duidt zowel het probabilistisch model aan – dat bestaat uit wiskundige formules in termen van kansverdelingen – alsook het computerprogramma waarmee de eigenlijke berekeningen worden uitgevoerd. In 2001 was het computerprogramma Hydra-B nog niet in staat om (voldoende nauwkeurig) met golven te rekenen; ook ontbraken allerlei invoergegevens. Inmiddels kan zo’n berekening met golven wel worden gemaakt: het resultaat is, bij gegeven terugkeertijd, een zogeheten hydraulisch belastingniveau, dat vrij vertaald opgevat kan worden als een maat voor de benodigde kruinhoogte. Het computerprogramma Hydra-B kan daarmee worden omschreven als een ‘toetsprogramma voor de hoogte van waterkeringen in het Benedenrivierengebied’. De locale waterstand vormt een speciaal geval van een hydraulische belasting. Het probabilistisch model Hydra-B is ontwikkeld door afdeling WSH van Rijkswaterstaat RIZA, terwijl de implementatie van het model is uitgevoerd door het bureau HKV Lijn in Water. Het computerprogramma kent twee verschijningsvormen: een versie voor de ‘normale gebruiker’ en een versie voor de ‘geavanceerde gebruiker’. Met de laatste versie kunnen meer zaken worden berekend dan met de eerste. De bediening van de geavanceerde versie vergt echter, in tegenstelling tot degene voor de normale gebruiker, de nodige kennis van het probabilistisch model Hydra-B. Dit rapport beschrijft het probabilistisch model Hydra-B. De in dit rapport gegeven resultaten, die dienen als uitleg van het model, kunnen meestal alleen met de geavanceerde versie van het computermodel worden berekend.

1.2 Wat berekent Hydra-B? In Hydra-B kan worden gerekend met drie soorten hydraulische belastingen, elk met de eenheid m+NAP. Ze worden berekend voor een specifieke locatie – het betreft dus een dijkvak- en geen dijkringbenadering. De hydraulische belasting kan de waterstand zijn, de waterstand vermeerderd met de 2%-golfoploophoogte of de waterstand vermeerderd met de golfoverslaghoogte (zie de begrippenlijst of paragraaf 4.4 en 4.5 voor precieze definities). In het computerprogramma Hydra-B bestaat een keuze tussen locaties op de as van de rivier, gelegen om de kilometer, en tussen locaties aan de teen van de dijk, gelegen om de 100 á 200 meter. De locaties op de as van de rivier zijn die uit het Randvoorwaardenboek 2001; zie voor de op decimeters afgeronde getallen [HR 2001] en voor de precieze getallen [Berger, 2002] of [Duits en Thonus, 2001]. Het is praktisch, zoals ook elders in de literatuur gebruikelijk, om voor de drie beschouwde hydraulische belastingen te spreken van drie faalmechanismes, namelijk: 1. 2. 3.

waterstandoverloop of kortweg overloop (ten behoeve van waterstandsberekeningen) 2%-golfoploop golfoverslag (berekening vindt plaats bij een door de gebruiker opgegeven debiet)

11

Voor een beschouwde locatie dienen de hydraulische belastingniveaus te worden berekend voor een specifieke terugkeertijd T. Die is gelijk aan het omgekeerde van de wettelijk voorgeschreven frequentie van de dijkring waartoe de betreffende locatie behoort. (In [HR 2001] wordt de laatste frequentie de normfrequentie voor de dijkring genoemd.) Aan de bovenrand van het model geldt T = 1250 jaar; elders in het gebied komen ook waarden 2000, 4000 en 10000 jaar voor. In principe dienen de berekeningen slechts voor de genoemde specifieke waarden van T te worden gemaakt. Het probabilistisch model Hydra-B kan echter – evenals het gelijknamige computermodel – ruimer worden toegepast, namelijk voor willekeurige waarden van T die liggen tussen 10 en 20000 jaar. Voor de veiligheid spelen in werkelijkheid zowel sterkte- als belastingaspecten van dijken een rol. In sommige kringen wordt onder een ‘probabilistisch model’ een model verstaan waarin beide aspecten probabilistisch (dat wil zeggen met kansverdelingen) worden beschreven. In Hydra-B worden echter alleen belastingaspecten probabilistisch meegenomen. De enige manier waarop in Hydra-B (indirect) de sterkte van de dijk aan de orde komt, is bij berekeningen met het faalmechanisme golfoverslag. Daarbij moet de gebruiker een toegestaan overslagdebiet opgegeven. Bijvoorbeeld voor een dijk met een zeer goed onderhouden grasmat (‘een sterke dijk’) kan met een hoger overslagdebiet worden volstaan dan voor een dijk met een minder goed onderhouden grasmat (‘een minder sterke dijk’). Samengevat kan het model Hydra-B worden omschreven als volgt: Voor een groot aantal locaties in het Benedenrivierengebied kunnen voor de faalmechanismes overloop, 2%golfoploop en golfoverslag (bij door gebruiker opgegeven overslagdebiet) hydraulische belastingniveaus worden berekend voor terugkeertijden T tussen 10 en 20000 jaar. Deze locaties bevinden zich om de kilometer op de as van de rivier of om de 100 á 200 meter aan de teen van de dijk. De berekeningen vinden plaats op dijkvakniveau en niet op dijkringniveau, waarbij uitsluitend belastingaspecten probabilistisch worden behandeld maar niet de sterkteaspecten. Terzijde nog twee opmerkingen. Ten eerste: naast de genoemde berekeningen kan ook met het computerprogramma Hydra-B, bij opgegeven terugkeertijd T en bij bekende kruinhoogte, het overslagdebiet worden berekend dat gemiddeld eens in de T jaar voor die kruinhoogte wordt overschreden. De methodiek achter die berekening is eenvoudig – er hoeft slechts geïnterpoleerd te worden tussen resultaten van de gebruikelijke Hydra-B berekeningen – en wordt hier niet beschreven. Ten tweede: op dit moment wordt het computerprogramma Hydra-B uitgebreid met de dijkringbenadering, zodat op termijn niet alleen met dijkvakken maar ook met dijkringen kan worden gerekend. De methodiek daarvoor wordt beschreven in bijlage 4. Afgezien van die bijlage heeft dit rapport altijd betrekking op individuele locaties.

1.3 Doelgroep en aard van het rapport Dit rapport is geschreven voor mensen die zich in detail op de hoogte willen stellen van het model Hydra-B. Iets preciezer gezegd, voor mensen die geïnteresseerd zijn in de details van de probabilistische formules en de manier waarop de waterstandsberekeningen en golfgegevens in deze formules een rol spelen. Het is daarmee wat wel wordt genoemd een ‘technisch rapport’. De volgende zaken hebben bij het schrijven voor ogen gestaan:

12

1.

Het aangeven van de samenhang tussen de diverse onderdelen van het model Hydra-B. Die onderdelen zijn: - Met Sobek gemaakte waterstandsberekeningen - Met behulp van Bretschneider bepaalde golfgegevens: significante golfhoogte, piekperiode en golfrichting - Dammodule, voorlandmodule en dijkmodule waarmee de golfgegevens op open water worden vertaald naar de hydraulische belasting op de dijk - Kansverdelingen van de in Hydra-B gebruikte stochasten - Probabilistische formules waarmee de overschrijdingsfrequentie van een gegeven hydraulisch belastingniveau wordt bepaald; deze formules vormen het eigenlijke model Hydra-B

2.

Het geven van zeer precieze definities van de (vele) grootheden die in de formules voorkomen, tezamen met een wiskundig heldere en consistente notatie. Onder meer het gedetailleerd beschrijven van de in Hydra-B gebruikte stochasten en hun kansverdelingen.

3.

Het geven van een uitgebreide uitleg en motivatie van de formules, waarbij vooral gelet wordt op de ‘wiskundige correctheid’ van de gedachtengangen. Waar nodig wordt de uitleg voorzien van concrete voorbeelden.

Punt (1) spreekt voor zichzelf. Punt (2) lijkt ook evident – het lijkt nogal logisch dat grootheden op correcte wijze worden gedefinieerd. Wanneer het gaat over stochasten en kansverdelingen is de ervaring van schrijver dezes toch anders. In nogal wat rapporten uit het verleden blijft vaak onduidelijk wat grootheden als bijvoorbeeld de windsnelheid en de afvoer precies voorstellen. Betreft de windsnelheid de maximale windsnelheid tijdens een getijperiode, de windsnelheid tijdens hoogwater of weer wat anders? Betreft de afvoer een dagafvoer, een uurwaarde, een jaarmaximum of nog wat anders? In het verleden heeft ook de interpretatie van het begrip ‘werklijn’ van de afvoer vaak tot problemen geleid – de werklijn geeft een overschrijdingsfrequentie en geen overschrijdingskans van het jaarmaximum van de afvoer zoals vaak wordt gedacht. Die foutieve interpretatie heeft voor locaties in het overgangsgebied in het verleden meermalen tot fouten geleid. In dit rapport wordt geprobeerd zo eenduidig mogelijk de diverse grootheden te definiëren, in de hoop dat in de toekomst dan minder fouten worden gemaakt. Helemaal glashelder zullen de definities van de windsnelheden en afvoeren die in de kansverdelingen voorkomen zelden worden. Waarom? In de afleiding van zulke kansverdelingen moeten om diverse redenen op pragmatische wijze benaderingen worden gemaakt. Die benaderingen kunnen tot gevolg hebben dat de betreffende grootheden geen eenduidige interpretatie meer hebben. Wat punt (3) betreft wijkt dit rapport nogal af van veel rapporten uit het verleden over soortgelijke onderwerpen. Naar de mening van schrijver dezes geven veel van die rapporten meer ‘rekenrecepten’ om berekeningen te maken dan degelijke en goed gemotiveerde afleidingen. Bijvoorbeeld de welbekende Methode Van der Made is in de ogen van schrijver dezes niet meer dan een rekenrecept – dat recept oogt weliswaar plausibel, maar kan verder niet worden onderbouwd. Ook de afleiding van de probabilistische formule uit het programma Dijkring bevat punten die niet goed worden onderbouwd. Die onderbouwing valt overigens ook niet te geven: Dijkring geeft slechts in benadering het goede antwoord (zie desgewenst paragraaf 6.4.1). De wat boude bewering dat veel rapporten uit het verleden meer rekenrecepten dan degelijke afleidingen geven bevat een subjectief element. In de afleiding van de Hydra-B formules zitten ook aannames waar kritiek op mogelijk is. De werkelijkheid is nu eenmaal onmogelijk in een volledig exact model te vatten – daarom blijft altijd ruimte bestaan voor keuzes en voorkeuren betreffende ‘het beste’ model. De aanpak in dit rapport is de keuzes zoveel mogelijk met wiskundige beschouwingen te onderbouwen, zonder daarbij al te snel een beroep te doen op datgene wat ‘plausibel overkomt’. Keerzijde van die aanpak is dat de minder wiskundig onderlegde lezer dreigt om te komen in een woud van formules. De hoop van schrijver dezes is dat de lezer die doorbijt uiteindelijk tot een beter begrip komt van de weerbarstige materie van het probabilistisch rekenen. Niet iedereen hoeft het gehele rapport te lezen. Er kunnen drie typen lezers worden onderscheiden: degene die slechts een globaal overzicht wenst van het model, degene die het model, inclusief expliciete formules, in een iets bredere context wenst te bezien en de specialist die in alle details geïnteresseerd is. Voor deze soorten lezers worden de volgende hoofdstukken en paragrafen voorgesteld (in paragraaf 1.4 wordt de inhoud van de hoofdstukken kort weergegeven): 1.

Voor een globaal overzicht volstaat het lezen van: Hoofdstuk 1 t/m paragraaf 4.4. Hiermee is duidelijk wat de in Hydra-B gebruikte stochasten zijn en hoe de waterstandsberekeningen en golfgegevens in Hydra-B zijn verwerkt. De probabilistische formules uit Hydra-B komen in deze paragrafen slechts kwalitatief aan de orde; de lezer die de essentie van deze formules wenst te weten kan daarnaast de paragrafen 5.1 t/m 5.4 doorlezen.

2.

Voor een uitgebreider overzicht kunnen de hoofdstukken 1 t/m 5 worden gelezen, met daarnaast naar keuze: - Paragraaf 6.2.1 over de invloed van de in Hydra-B gebruikte afvoergrenswaarde op de uitkomsten. - Paragraaf 6.4 over Hydra-B in relatie tot Methode Van der Made en het model Dijkring. - Paragraaf 6.5 over de invloed op de toetspeilen van een fysisch maximum van de Rijnafvoer van 18000 m3/s. - Paragraaf 6.6 over de invloed op de Hydra-B uitkomsten indien de breedte van de afvoergolf als stochast zou worden meegenomen. - Paragraaf 7.2 over de ten behoeve van de Maeslant- en Hartelkering afgegeven waterstandvoorspellingen te Hoek van Holland en de sluitcriteria voor Rotterdam en Dordrecht. - Paragraaf 7.5 met voor toetspeilen een gevoeligheidsanalyse waarin de faalkans van de keringen en de standaardeviatie van de voorspellingen worden gevarieerd. - Paragraaf 9.2 waarin de overschrijdingfrequentie wordt uitgesplitst naar bijdragen van afvoerniveaus, windrichtingen en keringsituaties. Met deze uitsplitsingen kan bijvoorbeeld inzicht worden verkregen over welke afvoeren tijdens toetspeiloverschrijdingen met name van belang zijn. - Paragraaf 9.3 over illustratiepunten.

3.

Voor de specialist geldt uiteraard dat alles kan worden gelezen.

13

1.4 Relatie met andere rapporten Naast dit rapport zijn andere rapporten van belang, ofwel omdat delen van het voorliggende rapport daarop gebaseerd zijn, ofwel omdat die andere rapporten een nadere motivatie/beschrijving geven van het probabilistisch model Hydra-B of van het gelijknamige computerprogramma. Hier volgt een lijst van de meest relevante rapporten en memo’s: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Waterloopkundige berekeningen in het Benedenrivierengebied voor het Randvoorwaardenboek 2001, [De Deugd, 2002]. Werkwijze waterloopkundige berekeningen in het Benedenrivierengebied voor het Randvoorwaardenboek 2001, [De Goederen, 2003]. Methodiek voor vaststelling van de vorm van de maatgevende afvoergolf van de Rijn bij Lobith, [Klopstra en Duits, 1999]. Uitbreiding afvoerstatistiek − Borgharen, Lith, Lobith, Olst, [Kalk et al, 2001]. Wind-waterstandstatistiek Hoek van Holland, [Geerse et al, 2002]. Memo: De 50%-lijnen van Bovenrijn en Maas, [Fioole, 1999]. Achtergronden Hydraulische Belastingen Dijken IJsselmeergebied - Deelrapport 9: Modellering dammen, voorlanden en golfoploop, [De Waal, 1999]. Hydraulische Randvoorwaarden 2001 – Benedenrivierengebied – Hydra-B, [Duits et al, 2001]. Hydra – Benedenrivieren resultaten 2001, 33uurs sommen, [Duits en Thonus, 2002]. Memo: Samenhang afvoer Bovenrijn en Maas, [De Deugd, 1998]. De standaardgolfvorm voor Rijn en Maas in samenhang met de consistentieproblematiek, [Geerse, 2001]. Invloed van de grenswaarde in het model Hydra-B voor het Benedenrivierengebied, [Geerse, 2002a]. Probabilistisch model voor de IJsseldelta, [Geerse, 2003a]. Rekenmodule Benedenrivieren, Versie 1.1 – Testrapport, [Duits en Kolen, 2001]. Rekenmodule Benedenrivieren, Versie 1.1 – Testrapport Hollandsch Diep en Haringvliet [Thonus en Duits, 2001]. Testrapport Hydra-B 1.0.0. [Lammers en Duits, 2002]. Rekenmodule Benedenrivieren – Systeemdocumentatie, versie 1.7, [Duits, 2003a]. Rekenmodule Benedenrivieren – Technische documentatie, versie 1.7, [Duits, 2003b]. Rekenmodule Benedenrivieren, Versie 1.4 – Handleiding, [Duits et al, 2001]. Handleiding Hydra-B – Geavanceerde gebruikers, versie 2.0, [Duits, 2003c]. Gebruikershandleiding Hydra-B, versie 2.0, [Duits, 2003d].

Hier wordt kort aangegeven waar deze documenten over gaan. Niet alle begrippen zullen in dit stadium duidelijk zijn; desnoods kan de lezer na lezing van de hoofdstukken 2 t/m 4, waar de hier genoemde begrippen worden behandeld, naar deze alineas terugkeren. De documenten 1 t/m 7 gaan over in Hydra-B gebruikte invoergegevens, zoals onder andere waterstandsommen, kansverdelingen en modules voor dam, voorland en dijk. De documenten 1 en 2 betreffen de met Sobek ten behoeve van Hydra-B gemaakte waterstandsommen. Hierin wordt gedetailleerd beschreven hoe die sommen zijn gemaakt en welke programmatuur daarvoor is gebruikt. Document 3 beschrijft hoe met de zogenaamde opschalingsmethode de in Hydra-B gebruikte standaardafvoergolven voor de Rijn zijn bepaald. In document 4 wordt de statistiek van de Rijn compleet gemaakt, waarbij naast de reeds voorhanden zijnde afvoergolven ook de dagenlijn van de afvoer wordt bepaald, die het gemiddeld aantal overschrijdingsdagen van de afvoer per winterhalfjaar geeft. In dit document worden ook overeenkomstige statistieken voor Borgharen, Lith en Olst bepaald. De in Hydra-B voor Lith en Lobith gebruikte afvoerstatistieken zijn gebaseerd op dit document (Olst en Borgharen worden in Hydra-B niet gebruikt). Document 5 geeft de gegevens voor de in Hydra-B gebruikte wind-waterstandstatistiek, die de correlatie betreft tussen windsnelheid, windrichting en zeewaterstand. Document 6 gaat over de in de Sobeksommen gebruikte relatie (50%-lijn) tussen Rijn- en Maasafvoeren. Document 7 beschrijft de dam-, voorland- en dijkmodules die in Hydra-B gebruikt worden (in Hydra-B worden dezelfde modules gebruikt als in het programma Hydra-M voor het IJsselmeer). De documenten 8 en 9 geven resultaten van Hydra-B berekeningen. Document 8 geeft met Hydra-B berekende toetspeilen waarop de getallen in het Randvoorwaardenboek [HR 2001] zijn gebaseerd (voor het tussengebied hebben deze resultaten een bewerking ondergaan, zie paragraaf 2.7). Document 9 geeft met Hydra-B berekende toetspeilen voor een stormduur van 33 uur in plaats van de in [HR 2001] gebruikte 29 uur. De documenten 10 t/m 13 geven nadere motivaties en/of achtergronden voor in Hydra-B gemaakte keuzes. Document 10 is gebruikt om te motiveren dat de Rijn en de Maas in Hydra-B niet beiden volledig probabilistisch als gecorreleerde stochasten hoeven te worden opgenomen, maar dat de aanpak met zogenaamde 50%-lijnen

14

voldoende nauwkeurig is. Document 11 gaat in op de zogenaamde consistentieproblematiek (betreft ruwweg het al of niet overeenstemmen van standaardafvoergolven met afvoermetingen) die in [Kalk et al, 2001] bij het bepalen van de afvoerstatistiek voor Lobith en Lith naar voren kwam; tevens wordt gedemonstreerd dat het hoogste en meest relevante deel van de met de opschalingsmethode bepaalde standaardafvoergolven, zie [Klopstra en Duits, 1999] en [Klopstra en Vrisou van Eck, 1999], goed gemotiveerd kan worden. Document 12 laat zien dat een andere keuze van de grenswaarde in Hydra-B, tenzij deze bijzonder hoog wordt gekozen, tot praktisch dezelfde resulaten leidt; was dat laatste niet het geval geweest, dan zou Hydra-B geen goed model zijn. Document 13 bevat een uitgebreide appendix waarin allerlei aspecten van kansen en frequenties aan de orde komen die voor specialisten van belang zijn.1 Ook de in het programma Dijkring gebruikte probabilistische formule wordt uitgebreid becommentarieerd. De documenten 14 t/m 21 spreken voor zichzelf.

1.5 Overzicht van het rapport Naast de inhoudsopgave, de samenvatting en het voorwoord bestaat dit rapport uit de onderdelen: • • • • •

Hoofdstuk 1 t/m 9; deze worden tezamen als de ‘hoofdtekst’ aangeduid Bijlage 1 t/m 4 Begrippenlijst Symbolenlijst Referenties

In de begrippenlijst worden de belangrijkste begrippen uit de hoofdtekst omschreven. De symbolenlijst beschrijft de meest voorkomende symbolen uit de hoofdtekst. Hieronder volgt een korte beschrijving van de hoofdstukken 2 t/m 9 en van de bijlagen 1 t/m 4. Hoofdstuk 2 geeft een globaal overzicht van het model Hydra-B. Aan de orde komen zaken als de gebruikte stochasten, waterstandsommen, dwarsopwaaiing en golven (paragraaf 2.1 t/m 2.3). Paragraaf 2.4 beschrijft kort de probabilistische rekenmethode in Hydra-B. Paragraaf 2.5 gaat over de zogenaamde uitsplitsingen en illustratiepunten, die informatie geven over de omstandigheden die tijdens een overschrijding van een gegeven belastingniveau kunnen optreden. Paragraaf 2.6 geeft een ‘kwalitatieve’ indeling van het Benedenrivierengebied in: het zeegebied (met name stormvloeden zijn bedreigend), het rivierengebied (met name afvoeren zijn bedreigend) en het overgangsgebied (stormvloeden en afvoeren beiden van belang). Paragraaf 2.7 geeft aan voor welke locaties Hydra-B mag worden toegepast. In paragraaf 2.8 wordt kort iets gezegd over deiningsgolfdoordringing en seiches. Paragraaf 2.9 geeft beknopte informatie over Hydra-B in relatie tot het computerprogramma PC-Ring. Hoofdstuk 3 beschrijft de in Hydra-B gebruikte kans- en frequentieverdelingen. Paragraaf 3.2 gaat over de afvoerstatistieken van Lobith en Lith. Daarbij komen de standaardgolfvormen, de werklijnen en de dagenlijnen aan de orde. Verder worden een aantal begrippen uit de afvoerstatistiek behandeld die in de rest van dit rapport een belangrijke rol spelen. Paragraaf 3.3 behandelt de in Hydra-B gebruikte windstatistiek en in paragraaf 3.4 komen de statistiek van de zeewaterstand en de correlatie tussen wind en zeewaterstand aan de orde. Hoofdstuk 4 behandelt zaken die relevant zijn voor Hydra-B, maar die niet of slechts zijdelings met de probabilistische formules te maken hebben. Paragraaf 4.2 gaat over de manier waarop de Rijn en de Maas in Hydra-B zijn verwerkt. Deze rivieren worden niet als gecorreleerde stochasten beschouwd, maar (semi)deterministisch middels zogenaamde 50%-lijnen; die versimpelde aanpak wordt met getallen gemotiveerd. Paragraaf 4.3 beschrijft hoe de in Hydra-B gebruikte Sobeksommen zijn gemaakt. In paragraaf 4.4 worden de locaties beschreven waaruit in Hydra-B een keuze kan worden gemaakt. Verder worden daar besproken: dwarsopwaaiing, golfvoorwaarden (bepaald met Bretschneider), definitie van hydraulische belastingen en modules voor dam, voorland en dijk. Ook wordt uitgelegd dat in Hydra-B als versimpeling van de (gecompliceerde) werkelijkheid altijd de maximale windsnelheid wordt gecombineerd met de maximale waterstand, ook al hoeven deze in de tijd niet samen te vallen. Paragraaf 4.5 geeft als aanvulling op de ‘fysische’ behandeling van de hydraulische belasting uit paragraaf 4.4 de precieze wiskundige formulering daarvan – die formulering is nodig om de latere probabilistische formules van Hydra-B netjes te kunnen opschrijven. In 1

Onder meer wordt een exact verband tussen de overschrijdingskans van het jaarmaximum en de overschrijdingsfrequentie aangegeven (zonder veronderstelling van een Poissonproces). Ook wordt een exacte afleiding van de zogenaamde oucrossingsformule gegeven; behalve een benadering van de overschrijdingskans van het jaarmaximum blijkt deze formule de exacte overschrijdingsfrequentie te geven. 15

paragraaf 4.6 worden isolijnen (ook betrekkingslijnen of contouren genoemd) en isovlakken behandeld. Dat zijn lijnen en vlakken met eenzelfde waarde van de belasting. Daarnaast wordt ingegaan op het zogenaamde ‘repareren’ van belastingen. Die reparatie zorgt ervoor dat bij een toename in windsnelheid, afvoer of zeewaterstand de belasting nooit kan afnemen. Ook de argumentatie daarvoor wordt gegeven. Hoofdstuk 5 geeft de probabilistische formules die het eigenlijke Hydra-B model vormen. Paragraaf 5.2 geeft wat terminologie in verband met de overschrijdingsfrequentie van het hydraulisch belastingniveau en beschrijft de zogenaamde ‘hulpdijkhoogtes’ die in het (computerprogramma) Hydra-B worden gebruikt om bij gegeven terugkeertijd het bijbehorende belastingniveau te vinden. Paragraaf 5.3 gaat over de zogenaamde ‘getijkans’: dat is de kans dat bij gegeven afvoer het beschouwde belastingniveau gedurende een getijperiode wordt overschreden. De getijkans vormt als het ware de bouwsteen van de probabilistische formules die de frequentie voor een heel winterhalfjaar geven. Voor toetspeilberekeningen wordt de getijkans geïllustreerd met getallen voor Rotterdam, Dordrecht en Gorinchem. In paragraaf 5.4 wordt de probabilistische rekenmethode uit Hydra-B behandeld, waarmee de overschrijdingsfrequentie van een gegeven belastingniveau kan worden bepaald. Als voorbereiding daarop volgt eerst een kwalitatieve beschouwing over de invloed van getij en afvoer voor ten eerste locaties dicht bij zee, ten tweede locaties meer landinwaarts en ten derde locaties aan de oostzijde van het gebied; daarbij wordt ook de duur van overschrijdingen betrokken en de mate waarin de afvoer tijdens die overschrijdingen varieert. Daarna wordt de methode van de Deltacommissie om overschrijdingsfrequenties te berekenen behandeld en dan volgt de uitleg van de probabilistische rekenmethode uit Hydra-B. In paragraaf 5.5 worden (voor specialisten) de gedetailleerde wiskundige Hydra-B formules gegeven. Hoofdstuk 6 geeft wat nadere beschouwingen over Hydra-B. Ze zijn bedoeld voor de meer geïnteresseerde lezer, die Hydra-B in een wat bredere context wil zien.. In paragraaf 6.2 wordt uitgelegd dat de keuze van de grenswaarde in Hydra-B, die de berekeningswijze voor de lage en hoge afvoeren scheidt, van weinig invloed is op de resultaten, mits die grenswaarde niet al te hoog wordt gekozen. Ook wordt daar de Deltamethode vergeleken met Hydra-B. Paragraaf 6.3 geeft aan voor welke (lage) terugkeertijden Hydra-B nog mag worden toegepast. In paragraaf 6.4 wordt Hydra-B vergeleken met de in het verleden toegepaste Methode Van der Made en met de probabilistische formules uit het programma Dijkring. Paragraaf 6.5 onderzoekt de invloed op het toetspeil van een fysisch maximum van 18000 m3/s voor de Rijn. Paragraaf 6.6 maakt duidelijk dat het meenemen van de breedte van de afvoergolf als stochast in Hydra-B weinig effect op de resultaten zou hebben. Hoofdstuk 7 behandelt de problematiek van de stormvloedkeringen in de Nieuwe Waterweg en in het Hartelkanaal. Die problematiek staat min of meer los van de rest van het model voor de Benedenrivieren, vandaar dat die apart van de Hydra-B formules uit hoofdstuk 5 kan worden beschouwd. Paragraaf 7.2 gaat over de voorspellingen van de waterstand bij Hoek van Holland, zoals die door de stormvloedwaarschuwingsdienst worden gemaakt. De kansverdeling voor deze voorspellingen wordt beschreven. Paragraaf 7.3 geeft formules voor de kansen op geopende en gesloten keringen. Ook worden de veronderstellingen van afhankelijk en van onafhankelijk falen behandeld. Paragraaf 7.4 geeft de formule voor de sluitfrequentie van een kering. Paragraaf 7.5 geeft tot slot enkele gevoeligheidsanalyses waaruit blijkt hoe de faalkans van de keringen en de nauwkeurigheid van de waterstandsvoorspellingen te Hoek van Holland van invloed zijn op berekende toetspeilen. Hoofdstuk 8 gaat over de wind-waterstandstatistiek, die een kansdichtheid voor een getijperiode betreft waarin de wind en de zeewaterstand gecorreleerd voorkomen. Dit vrij lastige hoofdstuk is vooral bedoeld voor specialisten. In paragraaf 8.2 worden de kansverdelingen volgens de meest recente RIKZ-gegevens voor de zeewaterstand te Hoek van Holland behandeld. De verdelingen van het RIKZ, die in feite frequentieverdelingen betreffen, worden daarbij omgezet naar een kansdichtheid per getij. Verder worden de zeepiegelrijzing en de transformatie van Hoek van Holland naar Maasmond behandeld. In paragraaf 8.3 wordt de windwaterstandstatistiek voor Hoek van Holland behandeld, zoals die in 1987 is opgesteld voor Hoek van Holland. Volkers formules worden beschreven en becommentarieerd. In het bijzonder wordt ingegaan op Volkers aannames betreffende de marginale verdelingen van de windsnelheid, maar ook op problemen in verband met de omrekening van stormfrequenties van 30°-sectoren naar 22.5°-sectoren. Daarbij speelt de interpretatie van het Rijkoort-Weibull model een rol. Paragraaf 8.4 geeft de parameters van de nieuwe wind-waterstandstatistiek. Hoofdstuk 9 behandelt twee soorten gegevens die als aanvulling op het door Hydra-B berekende hydraulische belastingniveau dienen. Paragraaf 9.2 gaat over de zogenaamde uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie. Die geeft (zij het op pragmatische wijze) de kansen waarmee tijdens een overschrijding van een hydraulisch belastingniveau afvoeren, windrichtingen en keringsituaties optreden. Paragraaf 9.3 behandelt de zogenaamde illustratiepunten. Voor elke richting richting en keringsituatie kan zo’n punt worden berekend. Het punt bestaat dan uit een combinatie van afvoer, zeewaterstand en windsnelheid die een relevante kansbijdrage geeft aan de overschrijdingsfrequentie van het hydraulisch belastingniveau. Voor twee riviertakken, namelijk ‘Waal – Noord

16

– Maasmond’ en ‘Waal – Nieuwe Merwede – Haringvliet’, worden voor waterstanden (T = 1250 jaar) voorlopige resultaten gegeven voor uitsplitsingen en illustratiepunten. Bijlage 1 geeft nadere informatie over de in paragraaf 4.6 van de hoofdtekst genoemde reparatie van belastingen. Het algoritme van de reparatie wordt gegeven met daarnaast diverse plaatjes voor Rotterdam en Dordrecht. Bijlage 2 gaat over het aantal in Hydra-B gebruikte stochasten (paragraaf 2.2), over de problematiek van opzet en getij en over het windverloop tijdens stormvloeden (paragraaf 2.3). Deze bijlage is hoofdzakelijk geschreven naar aanleiding van commentaar dat is geleverd tijdens de in het voorwoord genoemde TAW Rand vergadering van juli 2000. Los van het TAW-commentaar is paragraaf 2.3 uit deze bijlage van belang omdat daar vrij uitgebreid wordt ingegaan op de in Hydra-B gebruikte modellering van de zeewaterstand en op de problemen die daarbij spelen. Bijlage 3 is voor experts geschreven en geeft allerlei formules en motivaties die in het kader van Hydra-B van belang zijn. Deze bijlage dient onder andere als naslagwerk (hoofdstuk 2, 3 en 4), om te zien welke formules voor de uitsplitsingen van de overschrijdingsfrequentie t/m versie 1.8.2 van het Hydra-B rekenhart zijn gebruikt. In hoofdstuk 5 en 6 worden alternatieve formules voor de Deltamethode en voor Hydra-B gegeven. De alternatieve versie van de Hydra-B formules maakt het mogelijk de vergelijking met de in het programma Dijkring gebruikte formules te maken. Tevens kan daarmee een verbeterd recept (zie hoofdstuk 7) voor het uitsplitsen van de overschrijdingsfrequentie worden gegeven. Dat nieuwe recept wordt uitgebreid gemotiveerd en vergeleken met het oude in hoofdstuk 8 van deze bijlage. Bijlage 3 wordt vooraf gegaan door een uitgebreidere weergave van de hoofdstukken dan hier gegeven. Bijlage 4 geeft de methodiek voor de uitbreiding van Hydra-B van dijkvakken naar dijkringen. Ook wordt ingegaan op de relatie met het programma Dijkring en hoe om te gaan met dijkringen die zowel langs de Rijn als de Maas liggen.

17

18

2 Hydra-B in vogelvlucht Dit hoofdstuk geeft een globaal overzicht van het model Hydra-B. Aan de orde komen zaken als de gebruikte stochasten, waterstandsommen, dwarsopwaaiing en golven (paragraaf 2.1 t/m 2.3). Paragraaf 2.4 beschrijft kort de probabilistische rekenmethode in Hydra-B. Paragraaf 2.5 gaat over de zogenaamde uitsplitsingen en illustratiepunten, die informatie geven over de omstandigheden die tijdens een overschrijding van een gegeven belastingniveau kunnen optreden. Paragraaf 2.7 geeft een ‘kwalitatieve’ indeling van het Benedenrivierengebied in: het zeegebied (met name stormvloeden zijn bedreigend), het rivierengebied (met name extreme afvoeren zijn bedreigend) en het overgangsgebied (stormvloeden en afvoeren beiden van belang). Paragraaf 2.7 geeft aan voor welke locaties Hydra-B mag worden toegepast. In paragraaf 2.8 wordt kort iets gezegd over deiningsgolfdoordringing en seiches. Paragraaf 2.9 geeft beknopte informatie over Hydra-B in relatie tot het computerprogramma PC-Ring. De inhoud van de paragrafen 2.1 t/m 2.6 komt in de rest van dit rapport nog uitgebreid aan de orde, vandaar dat in deze paragrafen maar weinig verwijzingen naar de gebruikte literatuur worden gegeven. De in paragraaf 2.7 t/m 2.9 behandelde zaken komen elders in dit rapport niet of nauwelijks meer aan de orde.

2.1 Gebruikte stochasten De waterbeweging in het Benedenrivierengebied is afhankelijk van drie processen. Ten eerste van de afvoeren van de Rijn en de Maas, ten tweede van de zeewaterstand te Maasmond en bij de Haringvlietsluizen en ten derde van de wind boven het gebied. De zeewaterstand is onderhevig aan de getijbeweging en kan sterk verhoogd worden tijdens een stormvloed die ontstaat door een storm boven de Noordzee. De waterstanden in het gebied worden tevens beïnvloed door een aantal kunstwerken: de Maeslantkering in de Nieuwe Waterweg, de Hartelkering in het Hartelkanaal, de Haringvlietsluizen, de stormstuw in de Hollandsche IJssel en de keersluis in het Heusdensch Kanaal. Tijdens bedreigende situaties is de beheerssituatie van deze kunstwerken van belang. In Hydra-B worden alleen de Maeslant- en Hartelkering probabilistisch behandeld. De beheerssituaties van de overige kunstwerken zijn op deterministische wijze in de ten behoeve van Hydra-B gemaakte waterstandsommen opgenomen. Figuur 2.1 geeft een plaatje van het Benedenrivierengebied; de indeling in de gebieden Z, O en R wordt in paragraaf 2.6 besproken; de rode vlaggetjes vormen (een deel van) het in paragraaf 2.2 en 4.3 besproken Sobekmodel.

Figuur 2.1 Het Benedenrivierengebied volgens zekere criteria onderverdeeld in het zeegebied (Z), het overgangsgebied (O) en het rivierengebied (R). Grenzen Z/O bij: Nieuwe Maas km 998; Oude Maas km 1006; Hartelkering. Grenzen O/R bij: Lek km 968; Boven Merwede km 959; Bergsche Maas km 240.

19

De keringen in de Nieuwe Waterweg en het Hartelkanaal worden in het vervolg vaak kortweg aangeduid als ‘de keringen’. Deze keringen sluiten tijdens hoge stormvloeden op basis van waterstandvoorspellingen voor Rotterdam en Dordrecht, die op hun beurt worden berekend aan de hand van de voorspelde zeewaterstand te Hoek van Holland, windvoorspellingen en de optredende afvoeren van de Rijn en de Maas. Het sluitcriterium is 3 m+NAP voor Rotterdam en 2.9 m+NAP voor Dordrecht: indien de voorspelde waterstand op minstens een van deze locaties boven het gestelde criterium komt, wordt het sluitcommando voor de Hartel- en Maeslantkering gegeven. De keringen worden tijdens iets minder hoge stormvloeden niet gesloten, omdat het vanwege de scheepvaart onwenselijk is de keringen vaak te sluiten. Hierdoor bestaat de kans dat bij een onjuiste voorspelling van de waterstand de keringen tijdens een gevaarlijke stormvloed niet of te laat worden gesloten. Daarnaast bestaat de kans dat een kering faalt, in de zin dat deze bezwijkt of niet op de juiste manier geopend en/of gesloten kan worden. In Hydra-B wordt rekening gehouden met de faalkans van de keringen en met de kansen op onjuiste voorspellingen. De hydraulische belasting van een dijk wordt in Hydra-B probabilistisch bepaald. In het probabilistische model wordt rekening gehouden met de volgende stochasten: • • • • • •

Rijnafvoer in Lobith. Maasafvoer in Lith. Zeewaterstand in Maasmond. De windsnelheid boven het gebied (statistiek van Schiphol). De windrichting boven het gebied (statistiek van Schiphol). Beheerssituatie (beide open of beide dicht) van de Maeslant- en Hartelkering.

18 000

16 000 piekw a arde 1 60 00 m 3 /s 14 000

piekw a arde 1 30 00 m 3 /s piekw a arde 1 00 00 m 3 /s

Afvoe r [m 3/s]

12 000

10 000

8 000

6 000

4 000

2 000

0 -2 5

-20

-1 5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Tijd [da ge n]

Figuur 2.2 Enkele standaardafvoergolven voor Lobith. Deze stochasten worden in de hoofdstukken 3, 7 en 8 uitgebreid besproken. Hier geven we over de eerste vijf daarvan kort wat informatie die nodig is voor een goed begrip van de rest van dit hoofdstuk. In Hydra-B wordt gewerkt met standaardafvoergolven, kortweg ook afvoergolven genoemd, die beschikbaar zijn voor Lobith en Lith. Zo’n standaardafvoergolf geeft het gemiddelde tijdsverloop van de afvoer. Het maximum van de golf wordt de piekwaarde genoemd. De golven zijn in Hydra-B beschikbaar voor piekwaarden vanaf de eens per jaar afvoer 20

(circa 6000 m3/s voor Lobith en 1300 m3/s voor Lith). Figuur 2.2 geeft voor Lobith enkele afvoergolven. Zie figuur 3.1 voor nog meer afvoergolven en figuur 3.2 voor de golven te Lith. De zeewaterstand te Maasmond en de windsnelheid en windrichting boven het gebied zijn gecorreleerd. Tijdens een stormvloed, die hoofdzakelijk zal optreden bij één van de ‘westelijke’ richtingen ZW, WZW,…, N, moet rekening worden gehouden met (sterk) verhoogde windsnelheden. Daarom wordt in Hydra-B voor de westelijke richtingen gebruik gemaakt van de zogeheten wind-waterstandstatistiek, waarin de gezamenlijke kansen op windsnelheden, windrichtingen en zeewaterstanden worden beschouwd. Voor de (overige) oostelijke richtingen wordt geen correlatie tussen zeewaterstand en windsnelheid aangenomen. De laatste richtingen kunnen slechts bedreigend zijn voor locaties in de buurt van de bovenrand van het gebied, waar de extreme afvoer bepalend is voor de kruinhoogte. Op dergelijke locaties is de invloed van de zeewaterstand, vanwege de grote afstand tot zee, verwaarloosbaar.

2.2 Waterstandsommen en dwarsopwaaiing In Hydra-B worden waterstandsommen gebruikt die met het 1-dimensionale model Sobek zijn berekend. De sommen zijn gemaakt (zie paragraaf 4.3) voor een groot aantal combinaties (circa 7000 stuks) van rivierafvoeren, zeewaterstanden, keringsituaties, windsnelheden en windrichtingen. Een Sobeksom bevat de globale windopzet over het Benedenrivierengebied, maar niet de locale dwarsopwaaiing. Voor locaties aan de teen van de dijk is daarom deze dwarsopwaaiing berekend, op basis van formules uit de TAW-leidraad voor de benedenrivieren. Door de berekende dwarsopwaaiing op te tellen bij de waterstand uit Sobek, volgt de in HydraB gebruikte locale waterstand ter plaatse van de teen van de dijk. Voor elke met Sobek doorgerekende combinatie is dan in Hydra-B dus de locale waterstand beschikbaar. Tussen de doorgerekende combinaties wordt in Hydra-B lineair geïnterpoleerd om aan de locale waterstand te komen voor willekeurige combinaties van afvoeren, zeewaterstanden, keringsituaties, windsnelheden en windrichtingen.

2.3 Golven Indien in Hydra-B wordt gerekend met de faalmechanismes golfoploop of golfoverslag worden in de berekeningen golfgegevens gebruikt, namelijk: de significante golfhoogte Hs, de piekperiode Tp en de golfrichting θ. In de probabilistische berekening komen, voor open en gesloten keringen, allerlei afvoeren, windsnelheden, windrichtingen en zeewaterstanden voor; in de Hydra-B formules worden de kansen op deze grootheden op de juiste wijze verwerkt. Iedere combinatie van deze grootheden levert andere golfgegevens. Omdat in Hydra-B (in principe) oneindig veel combinaties van deze grootheden voorkomen, komen dus ook oneindig veel verschillende golfgegevens in de berekeningen voor. In eerste instantie worden de golfgegevens met de formules van Bretschneider berekend op open water. (Feitelijk volgt de significante golfperiode Ts uit Bretschneider, waarna de piekperiode wordt berekend als Tp = 1.08*Ts.) Daarna worden Hs en Tp met behulp van een dam- en voorlandmodule getransformeerd naar de teen van de dijk. Het gebruik van de dam- en voorlandmodule is overigens optioneel: er kan ook zonder dam en/of voorland worden gerekend, in welk geval de golfgegevens voor open water direct aan de teen van de dijk worden toegepast. De getransformeerde golfgegevens, die dus representatief zijn voor de teen van de dijk, vormen daarna, tezamen met de locale waterstand, invoer voor de dijkmodule. In de dijkmodule – ook vaak aangeduid als oploop- en overslagmodule – wordt voor iedere combinatie van locale waterstand, Hs, Tp en θ de hydraulische belasting op de dijk uitgerekend. Om de hier genoemde Hydra-B berekening te kunnen uitvoeren moeten door de gebruiker allerlei gegevens over de dam, het voorland en de dijk worden ingevoerd, zoals profielgegevens, bodemhoogtes, taludruwheden en, bij faalmechanisme golfoverslag, het gewenste overslagdebiet. De modules in Hydra-B voor dam, voorland en dijk zijn overgenomen uit het voor het IJsselmeer gebruikte programma Hydra-M volgens [HR 2001]. De golfgegevens Hs en Tp op open water worden zoals gezegd berekend met de formules van Bretschneider en de relatie Tp = 1.08*Ts. De berekening wordt per richting uitgevoerd, in principe met effectieve strijklengtes en bodemhoogtes die zijn opgenomen in een database die onderdeel uitmaakt van Hydra-B; de gebruiker heeft echter de mogelijkheid handmatig deze effectieve strijklengtes en bodemhoogtes naar eigen inzicht te wijzigen. De golfrichting θ op open water wordt in het huidige Hydra-B gelijk genomen aan de beschouwde windrichting. Indien Hs, Tp en θ in de toekomst met SWAN zouden worden bepaald, zal de golfrichting kunnen verschillen van de windrichting. In de implementatie van Hydra-B is met deze situatie al rekening gehouden – wanneer met SWAN bepaalde golfgegevens beschikbaar komen, hoeft de programmatuur dus niet te worden aangepast.

21

Indien in Hydra-B met een dammodule wordt gerekend, heeft deze alleen effect op de significante golfhoogte, die voor en na de dam verschilt; de piekperiode, golfrichting en waterstand voor en na de dam blijven bij de gebruikte dammodule gelijk. Tussen de dam en de dijk, of voor de dijk indien geen dam aanwezig is, kan een voorland liggen. Indien met de voorlandmodule wordt gerekend verschillen de golfhoogte en golfrichting aan het begin en het eind van het voorland; tevens verschilt de locale waterstand aan het begin en eind daarvan omdat in de module de locale opwaaiing boven het voorland wordt meegenomen. De golfperiode blijft in de dam- en voorlandmodule altijd onveranderd.

2.4 Berekening van de overschrijdingsfrequentie Het doel van Hydra-B is om voor een gegeven locatie en een gegeven terugkeertijd T0 het hydraulisch belastingniveau h0 (in m+NAP) te berekenen, voor één van de faalmechanismes overloop, 2%-golfoploop of golfoverslag. Daartoe worden in Hydra-B eerst voor een groot aantal niveaus h de bijbehorende overschrijdingsfrequenties berekend, die worden aangeduid als ΨH(h), in keren per winterhalfjaar. (De index H vormt de aanduiding van de hydraulische belasting.) De terugkeertijd T(h), in jaren, volgt voor niveau h dan als T(h) = 1/ΨH(h). Het niveau h0 waarvoor T(h0) = T0 volgt dan door interpolatie tussen de beschikbare terugkeertijden T(h). Het eigenlijke model Hydra-B bestaat uit de formules waarmee ΨH(h) wordt berekend. Hoofdstuk 5 geeft een uitgebreide uitleg van deze formules. Hier volgt een globale uitleg. Eerst moet echter de rol van Rijn en Maas worden toegelicht. 18000

P(falen| k=16000 m3/s) = 80% 16000

Afvoer [m3/s]

14000

P(falen| k=13000 m3/s) = 40% 12000

P(falen| k=10000 m3/s) = 5%

10000

8000

6000 -15

-10

-5

0

5

10

15

20

Tijd [dagen]

Figuur 2.3 Illustratie van de kans P(falen | k) dat tijdens de passage van de standaardafvoergolf met piekwaarde k het beschouwde belastingniveau wordt overschreden voor een afvoer boven de grenswaarde 6000 m3/s. Om de overschrijdingsfrequentie van het beschouwde belastingniveau te bepalen dienen de kansen P(falen | k) nog te worden gewogen met de frequenties waarmee de golven voorkomen. De Rijn en de Maas worden in Hydra-B niet volledig probabilistisch behandeld. Per locatie is eerst bepaald welke rivier het meest van invloed is. Alleen deze rivier wordt dan als stochast behandeld. Een locatie waar de Rijn de grootste invloed heeft worden Rijndominant genoemd, die waar de Maas het meeste invloed heeft Maasdominant. De grens is (net als in het verleden, toen eenzelfde werkwijze gevolgd werd) gelegd bij Keizersveer km 247 op de Bergsche Maas. Bovenstrooms hiervan ( ≤ km 246) is de Maas het meest van invloed, voor alle overige locaties is dat de Rijn. Voor de laatste locaties wordt bij iedere (stochastisch) beschouwde

22

Rijnafvoer een representatieve Maasafvoer gebruikt. Die representatieve waarde is gelijk genomen aan de mediaan (50%-waarde) van alle Maasafvoeren die bij de beschouwde Rijnafvoer kunnen optreden. Voor de locaties bovenstrooms van Keizersveer wordt omgekeerd bij iedere beschouwde Maasafvoer de mediane Rijnafvoer gebruikt. Nu volgt de uitleg van de overschrijdingsfrequentie ΨH(h). Om deze te bereken wordt het afvoerbereik gesplitst in een laag en een hoog deel, gescheiden door de zogenaamde grenswaarde. Deze grenswaarde is gelijk aan de eens per jaar afvoer (circa 6000 m3/s voor de Rijn en 1300 m3/s voor de Maas). Voor de lage afvoeren wordt een berekeningswijze gebruikt die in essentie teruggaat op de methode van de Deltacommissie. In hun methode wordt de frequentie van stormvloeden gecombineerd met de kans op de afvoer die tijdens deze stormvloed optreedt. In Hydra-B wordt deze methode uitgebreid op zo’n manier dat ook de kansen op de verschillende windsnelheden kunnen worden verdisconteerd. Het resultaat van deze berekening is de frequentie van overschrijdingen van een gegeven belastingniveau tijdens lage afvoeren. Voor de hoge afvoeren wordt de frequentie van de afvoergolven (die volgt uit de zogenaamde ‘werklijn’) beschouwd in combinatie met de eerder genoemde standaardafvoergolven. Deze berekeningswijze is in het verleden vaker toegepast, onder andere in het project ‘Uniformering Belastingen Waterkeringen’ (UBW), zie bijvoorbeeld [Duits et al, 1998]. In Hydra-B wordt voor iedere standaardafvoergolf, die gekarakteriseerd wordt door zijn piekwaarde k, eerst de kans P(falen | k) uitgerekend dat tijdens de passage van deze golf een gegeven belastingniveau wordt overschreden. In de berekening daarvan spelen de kansen op stormen en stormvloeden een rol. Hoe hoger de afvoergolf, hoe groter de kans P(falen | k) dat tijdens deze golf een storm en/of stormvloed optreedt. Figuur 2.3 toont ter illustratie (voor Rijndominante locaties) dezelfde golven als figuur 2.2, maar nu slechts het deel van deze golven boven de grenswaarde, omdat slechts dát deel in de berekening wordt gebruikt. In dit (fictieve) voorbeeld geeft de golf met piekwaarde 16000 m3/s tijdens de passage daarvan een kans van 80% dat het beschouwde belastingniveau h wordt overschreden, de golf met 13000 m3/s een kans van 40% en die met 10000 m3/s een kans van 5%. Wanneer P(falen | k) daarna wordt vermenigvuldigd met de frequentie waarmee de standaardafvoergolf met piekwaarde k voorkomt en vervolgens wordt gesommeerd over alle piekwaarden groter dan de grenswaarde, volgt de frequentie van overschrijdingen van het beschouwde belastingniveau tijdens hoge afvoeren. De totale overschrijdingsfrequentie ΨH(h) van een gegeven belastingniveau h volgt door de bijdragen van de lage en de hoge afvoeren op te tellen. Merk op dat de berekeningswijzen voor zowel de lage als de hoge afvoeren berusten op in het verleden vaker toegepaste berekeningsmethoden. Er is uitgebreid geverifieerd dat een andere keuze van de grenswaarde, tenzij deze al te hoog wordt gekozen, praktisch dezelfde uitkomsten van de berekeningen levert.

2.5 Uitsplitsingen en illustratiepunten Met Hydra-B kunnen, als aanvulling op het berekende hydraulisch belastingniveau, twee soorten gegevens worden bepaald. Het gaat om de zogenaamde uitsplitsingen en illustratiepunten. Beide gegevens bieden inzicht in de afvoeren, windrichtingen en keringsituaties die tijdens een overschrijding van het beschouwde hydraulisch belastingniveau optreden. De uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) geeft (losjes gezegd) de kansen waarmee de afvoeren, windrichtingen en keringsituaties voorkomen in de situatie dat het niveau h wordt overschreden. Hoofdstuk 9 beschrijft hoe die uitsplitsingen worden berekend. Tevens wordt uitgelegd dat zo’n uitsplitsing uitsluitend op wat pragmatische wijze kan gebeuren. Voor twee riviertakken, namelijk ‘Waal – Noord – Maasmond’ en ‘Waal – Nieuwe Merwede – Haringvliet’, worden in hoofdstuk 9 voor waterstanden (T = 1250 jaar) de resultaten voor de uitsplitsingen gegeven. Die zijn echter voorlopig. De op dit moment gebruikte berekeningswijze kan namelijk voor een deel van de locaties – het betreft dan locaties waar vooral de afvoer belangrijk is met daarnaast ook enige zeeinvloed – tot vreemde resultaten leiden voor met name de afvoeren. Inmiddels is een nieuwe berekeningswijze beschikbaar. Op termijn wordt die in Hydra-B geïmplementeerd – de vreemde resultaten zullen dan verdwenen zijn. Terzijde: in de volgende paragraaf worden de kansen op open en dichte keringen gebruikt; op termijn kunnen die dus iets wijzigen, maar niet al te veel. Zie voor meer informatie over dit alles hoofdstuk 9. Een illustratiepunt kan voor elke richting en keringsituatie worden berekend. Het bestaat uit een combinatie van een afvoer, zeewaterstand en windsnelheid, welke voor deze richting en keringsituatie een relevante kansbijdrage geeft aan de overschrijdingsfrequentie van het hydraulisch belastingniveau. Volgens zekere criteria is het illustratiepunt de combinatie met de maximale kans van voorkomen temidden van alle combinaties waarvoor het beschouwde belastingniveau net wordt gehaald. Anders gezegd: het is de combinatie met de maximale kans

23

temidden van alle combinaties waarvoor ‘juist falen’ optreedt. Hoofdstuk 9 geeft meer uitleg. Daar wordt ook uitdrukkelijk gewezen op de vele haken en ogen die kleven aan het begrip illustratiepunt en op het betrekkelijke nut daarvan. Zo leveren iets andere criteria in de definitie van het illustratiepunt, waarbij eerst de betreffende kansverdeling naar een normale verdeling is getransformeerd, een ander punt – aangeduid als het illustratiepunt inclusief transformatie. Voor de hiervoor genoemde twee riviertakken worden in hoofdstuk 9 naast de resultaten voor de uitsplitsingen ook die voor de twee soorten illustratiepunten gegeven. Terzijde merken we op dat de Hydra-B code voor de illustratiepunten nog erg recent is – mogelijk bevat die nog wat kleine foutjes en/of onnauwkeurigheden. Binnenkort wordt de code hierop gecheckt. Op dit moment hebben zowel de uitsplitsingen (die immers ook voorlopig waren) als de illustratiepunten dus geen definitieve status. De resultaten zullen in de toekomst, zeker voor de uitsplitsingen, nog wijzigen wanneer de code is aangepast. De nieuwe code heeft overigens geen invloed op de resultaten voor toetspeilen en golven. De uitsplitsingen en illustratiepunten vormen slechts een aanvulling op de berekening van de hydraulische belastingniveaus, maar worden in de berekening van die niveaus verder niet gebruikt.

2.6 Globale indeling van het Benedenrivierengebied Het Benedenrivierengebied kan wat de bedreigingen door afvoeren en stormvloeden betreft ruwweg in drie gebieden worden ingedeeld: het zeegebied waar de invloed van zee groot is, het overgangsgebied waar zowel de rivier- als de zeeinvloed groot is en het rivierengebied waar de invloed van de rivier groot is; deze gebieden zijn weergegeven in figuur 2.1. Het zeegebied kan verder worden opgedeeld in locaties buiten en binnen de keringen (respectievelijk beneden- en bovenstrooms daarvan). Met nadruk wordt erop gewezen dat de in de figuur gegeven grenzen slechts een didactisch doel hebben. In werkelijkheid is geen sprake van abrupte overgangen. De in de figuur gegeven grenzen zijn bepaald uitgaande van bepaalde criteria, zie [Lodder, 2003] voor details. Uiteraard hoort iedere locatie buiten de keringen tot het zeegebied. Locaties worden tot het zeegebied bínnen de keringen gerekend indien voor een waterstandsberekening bij terugkeertijd T = 10000 jaar er minstens 90% kans bestaat op open keringen tijdens een overschrijding van de berekende waterstand. Locaties worden tot het rivierengebied gerekend indien voor een waterstandsberekening bij terugkeertijd T = 1250 jaar de invloed van stormvloeden en wind tezamen maximaal 10 centimeter bedraagt. Het overgangsgebied bestaat uit de locaties die niet tot zee- of rivierengebied behoren. Hier wordt de volgende karakterisatie van de gebieden gegeven (zie voor de rol van deiningsgolfdoordringing en seiches ook paragraaf 2.8):

24

•

Het zeegebied buiten de keringen. Hier worden de dijken bedreigd door stormvloeden, die vanuit zee het gebied binnenlopen. Daarbij komen hoge windsnelheden voor, die locale windgolven op de rivier veroorzaken. Tevens is sprake van seiches (opgewekt bij gesloten keringen) en deiningsgolfdoordringing vanuit zee.

•

Het zeegebied binnen de keringen. Ook hier worden de dijken voornamelijk bedreigd door stormvloeden. De hoogste dienen in principe te worden tegengehouden door de stormvloedkeringen in de Nieuwe Waterweg en het Hartelkanaal. Omdat die keringen kunnen falen, of omdat ze mogelijk te laat worden gesloten, is er in dit gebied een aanzienlijke kans dat tijdens een hoge stormvloed de keringen niet gesloten zijn. Voor waterstandsberekeningen voor T = 10000 jaar is er voor dit gebied immers per definitie minstens 90% kans op die situatie – in een berekening met golven zal de kans op open keringen tijdens overschrijden van een gegeven hydraulisch belastingniveau ook groot zijn. Tijdens stormvloeden komen hoge windsnelheden voor, die windgolven op de rivier veroorzaken. Bij (ten onrechte) niet gesloten keringen kunnen deze golven deels buiten de keringen zijn opgewekt. Verder is bij niet gesloten keringen sprake van deiningsgolfdoordringing vanuit zee.

•

Het overgangsgebied. In dit gebied worden de dijken voornamelijk bedreigd door stormvloeden, die samen gaan met hoge windsnelheden, in combinatie met relatief hoge, maar niet buitengewoon extreme, afvoeren. Niet alleen bij open keringen, maar ook bij gesloten keringen kunnen hoge waterstanden ontstaan, omdat de door de keringen ‘afgesneden’ afvoer het gebied voor de keringen geleidelijk doet vollopen. Tot dit gebied horen ook de brede wateren het Haringvliet en het Hollandsch Diep. Op die wateren zijn de strijklengtes relatief groot, waardoor naast de waterstand ook windgolven erg bedreigend zijn voor de dijken. Indien voor een locatie in dit gebied een gegeven hydraulisch belastingniveau wordt overschreden, kan dat afhankelijk van het beschouwde faalmechanisme en afhankelijk van de ligging van de locatie met een (redelijke) kans gebeuren bij open maar ook bij gesloten keringen. Voor bijvoorbeeld de toetspeilen op het Haringvliet en benedenstrooms Hollandsch Diep km 980 is er circa 95% kans op dichte keringen tijdens een toetspeiloverschrijding. Aan de

oostzijde van het gebied, dus op de grens tussen het overgangsgebied en het rivierengebied, bedraagt deze kans tijdens overschrijden van het toetspeil 2 á 3%. •

Het rivierengebied. De zee heeft weinig invloed meer op dit gebied. De waterstanden worden voornamelijk bepaald door extreme afvoeren, tijdens welke niet al te hoge windsnelheden voorkomen. De windgolven op de rivieren hebben, mede door de vrij korte strijklengtes, daardoor een relatief beperkte invloed. In dit gebied is het effect van de keringen verwaarloosbaar geworden: indien een gegeven hydraulisch belastingniveau wordt overschreden, zal dat vrijwel zeker gebeuren tijdens open keringen. De kans op open keringen tijdens toetspeiloverschrijdingen bedraagt minstens 97%.

2.7 Gebiedsgrenzen Hydra-B en het tussengebied Deze paragraaf gaat over de precieze locaties waarvoor Hydra-B mag worden toegepast. Onder het Benedenrivierengebied wordt het benedenstroomse deel van de riviertakken van de Rijn en Maas verstaan waar tijdens hoge afvoergolven een significante invloed bestaat van stormvloeden op de Noordzee. Met Hydra-B kunnen berekeningen worden uitgevoerd voor locaties op de Lek benedenstrooms van km 947 (Hagestein), op de Waal benedenstrooms van km 914 (Tiel) en op de Maas benedenstrooms van km 201 (stuw Lith). Naast de invloed van zee wordt in Hydra-B ook de globale windopzet over het gebied in de berekeningen meegenomen. Die windopzet is aan de oostzijde van het gebied zeer gering, omdat tijdens de zeer hoge afvoeren die hier voor de hydraulische belastingniveaus belangrijk zijn de kans op hoge windsnelheden, met dito hoge windopzet, verwaarloosbaar is. Nabij de genoemde locaties is het gecombineerde effect van zee en globale windopzet gering: nabij Tiel maximaal 2 cm en nabij Hagestein en Lith maximaal 5 cm, zie [Berger et al, 2002]. In het Bovenrivierengebied, gelegen bovenstrooms van het Benedenrivierengebied (en bovenstrooms van ongeveer Olst) is de invloed van zee (en van het IJsselmeer) verwaarloosbaar geworden. De dijken in dit gebied worden voornamelijk belast door waterstanden die het gevolg zijn van extreme afvoergolven, en in mindere mate door golven. In dit gebied worden de toetspeilen bepaald met het 2-dimensionale waterbewegingsmodel Waqua. Aan de bovenrand wordt een afvoergolf als randvoorwaarde opgelegd, terwijl aan de benedenrand (oostzijde van het Benedenrivierengebied) met een afvoer-waterstandsrelatie (Q-h relatie) wordt volstaan. In de berekening worden geen getijwerking en wind betrokken; wel wordt topvervlakking (enkele centimeters op de Rijn) meegenomen. Zoals eerder gezegd worden de waterstanden in Hydra-B bepaald met het 1-dimensionale model Sobek, waarmee een groot aantal combinaties van rivierafvoeren, zeewaterstanden, keringsituaties, windsnelheden en windrichtingen zijn doorgerekend. Bij het bepalen van de toetspeilen in het Benedenrivierengebied worden in Hydra-B deze combinaties losjes gezegd gewogen met de kansen waarop deze combinaties voorkomen. Samengevat: waar ten behoeve van het toetspeil in Hydra-B over een veelheid van combinaties wordt gewogen, wordt in Waqua slechts één waterstandsom gemaakt. Aan de oostzijde van het gebied zouden de uitkomsten van de Waqua-som en van Hydra-B in principe betrekkelijk goed op elkaar moeten aansluiten: vanwege de geringe topvervlakking en omdat het gecombineerde effect van zee en globale windopzet zoals hiervoor opgemerkt eveneens gering is, zou het verschil tussen Waqua en Hydra-B niet meer dan 5 á 10 cm moeten bedragen. De verschillen in toetspeiluitkomsten tussen Waqua en Sobek blijken volgens [Berger et al, 2002] echter op de Lek en de Maas tot circa 25 cm te kunnen bedragen, waarbij deze verschillen over afstanden van enkele kilometers (gemeten langs de rivier) ook nog eens uitzonderlijk veel variatie blijken te vertonen. Deze verschillen zijn, naast het verschil tussen één en twee dimensionaal rekenen, het gevolg van meerdere verschillen in gebruikte gegevens en uitgangspunten die aan beide modellen ten grondslag liggen, zie voor verdere informatie [Berger et al, 2002] en [Berger, 2002]. Op de Waal zijn de verschillen tussen Sobek en Waqua geringer, namelijk maximaal circa 10 cm. Vanwege de hier gesignaleerde aansluitingsproblematiek tussen boven- en benedenrivieren wordt voor het bepalen van de toetspeilen geïnterpoleerd tussen de Waqua- en Hydra-B-resultaten. Daartoe is de term tussengebied geïntroduceerd. Per definitie is dit het gebied waar de toetspeilen worden bepaald uit een combinatie van modelresultaten uit Waqua en Hydra-B. Het tussengebied is zo ver oostelijk gekozen dat de zeeinvloed gering is; het bestaat uit: • • •

Waal km 934 t/m 935 (tot en met km 934 Waquaresultaten en vanaf km 935 Hydra-B-resultaten). Lek km 947 t/m 967 (tot en met km 947 Waquaresultaten, voor km 967 en hoger Hydra-B-resultaten, met daartussen lineaire interpolatie gemeten langs de as van de rivier). Maas km 201 t/m 226 (tot en met km 201 Waquaresultaten, vanaf km 226 en hoger Hydra-B-resultaten, met daartussen lineaire interpolatie gemeten langs de as van de rivier).

25

Hydra-B mag voor de berekening van toetspeilen benedenstrooms van het tussengebied worden gebruikt tot aan Maasmond (km 1035) en tot de Haringvlietsluizen (km 1029). Buiten de keringen zijn de toetspeilen berekend uitgaande van ten allen tijde gesloten keringen, dus zonder rekening te houden met het eventuele falen van de keringen of van onjuist afgegeven voorspellingen waardoor de keringen ten onrechte open zouden zijn gebleven. Het rekenen met gesloten keringen heeft door opstuwing tegen de keringen een licht verhogend effect op de toetspeilen; bijvoorbeeld voor Hoek van Holland zou het toetspeil bij het rekening houden met falende keringen ongeveer 5 centimeter lager uitvallen. Buiten de keringen gelden voor seiches (zie ook de volgende paragraaf) nog toeslagen op de toetspeilen, zie [HR 2001].

2.8 Windgolven, deiningsgolfdoordringing en seiches nabij de keringen In Hydra-B wordt op dit moment geen rekening gehouden met deiningsgolfdoordringing (kortweg deining) vanuit zee en met seiches die vanuit zee het gebied inkomen; in de toekomst zal dat overigens wel gaan gebeuren. Buiten de keringen kan in Hydra-B daarom niet met golven (faalmechanismes golfoploop en golfoverslag) worden gerekend, omdat de seiches en deining daar van te veel invloed zijn. Daarom bevat de Hydra-B database buiten de keringen geen uitvoerpunten aan de teen van de dijk (wel op de as van de rivier). Binnen de keringen kan met Hydra-B wél met golven worden gerekend. Bedenk echter dat de bedreigende situaties met grote kans juist bij open keringen voorkomen (zie de beschrijving van het zeegebied binnen de keringen in paragraaf 2.6). De strijklengtes voor locaties binnen de keringen dienen dus voor de open situatie te worden bepaald. Ook wat deining betreft moet voor locaties binnen de keringen bij bedreigende situaties (tenminste met een grote kans) met geopende keringen rekening worden gehouden. In [HR 2001] worden deiningsgetallen, namelijk Hs en Tp, slechts voor locaties buiten de keringen gegeven – maar binnen de keringen is dus eveneens sprake van deiningsgolfdoordringing. Wel neemt deze deining vanwege refractie verder landinwaarts op de riviertakken snel af; volgens persoonlijke communicatie met Seiffert van het RIKZ zal op de Nieuwe Waterweg 5 kilometer landinwaarts van de kering de deining grotendeels verdwenen zijn. Voor seiches ligt de situatie anders dan voor golven en deining. Seiches ontstaan namelijk vooral bij gesloten keringen, als een ‘opslingering’ tegen de buitenzijde daarvan. In [HR 2001] worden daarom toeslagen voor seiches gegeven voor locaties buiten de keringen. Bij geopende keringen onstaan veel minder hoge seiches, onder meer in havens. Het is aan de gebruiker zelf te beoordelen hoe relevant de Hydra-B uitkomsten – die geen deining en seiches bevatten – zijn voor locaties binnen de keringen.

2.9 Betrouwbaarheid van de implementatie en PC-Ring De implementatie van het model Hydra-B heeft lang geduurd. Begin van het jaar 2000 is het implementatieproces gestart, waarna diverse testversies het licht hebben gezien. De implementatie is in opdracht van Rijkswaterstaat RIZA, afdeling WSH, uitgevoerd door het bureau HKV Lijn in Water. Op dit moment wordt nog steeds gewerkt aan het gebruiksvriendelijker maken van Hydra-B; tevens worden nog extra opties ingebouwd, zoals de dijkringbenadering (zie bijlage 4). Eind 2001 waren de uitkomsten voor waterstandsberekeningen zeer uitgebreid getest, omdat voor het Randvoorwaardenboek 2001 [HR 2001] de toetspeilen nodig waren. Op dat moment bestond (uiteraard) het vertrouwen dat met het computerprogramma Hydra-B op juiste wijze waterstandsberekeningen kunnen worden uitgevoerd. Daarna bleek nog een onafhankelijke controle op waterstandsberekeningen mogelijk. In 2001 en 2002 is namelijk in het kader van het UBW-project onderzoek uitgevoerd naar modellen voor het Benedenrivierengebied, met name naar de modellering van de rivierafvoer in de tijd, zie [Vrouwenvelder et al, 2002]. Daarbij is Hydra-B vergeleken met zogenaamde FBC-modellen die veel in het computerprogramma PCRing worden gebruikt. In zo’n FBC-model wordt het tijdsverloop van de afvoer gemodelleerd met zogenaamde ‘afvoerblokken’ (vergelijkbaar met figuur 6.4), in plaats van met de in Hydra-B gebruikte standaardafvoergolven. Als onderdeel van het onderzoek zijn de Hydra-B formules geïmplementeerd in PCRing, waarbij die implementatie volledig onafhankelijk is gebeurd; er zijn dus geen Hydra-B modules in PCRing overgenomen.

26

Voor 8 locaties zijn de twee Hydra-B programma’s (de RIZA versie en de PC-Ring versie) met elkaar vergeleken. Het betrof waterstandsberekeningen voor de zes terugkeertijden 30, 300, 1250, 2000, 4000 en 10000 jaar. Volgens [Vrouwenvelder et al, 2002] zijn de verschillen tussen de twee programma’s klein; de maximale verschillen per locatie zijn: • • • • • • • •

0.01 m bij Rotterdam 0.03 m bij Krimpen aan de IJssel 0.03 m bij Dordrecht 0.01 m bij Sliedrecht 0.02 m bij Jaarsveld 0.04 m bij Tiel 0.04 m bij Hollandsch Diep km 980 0.03 m bij Haringvliet km 1007

Deze verschillen geven meteen een indicatie van de numerieke (on)nauwkeurigheid van een computerprogramma waarmee, bij aanvaardbare rekentijd, de probabilistische formules uit het Hydra-B model worden doorgerekend. Een belangrijke bron van deze onnauwkeurigheden is de stapgrootte waarmee allerlei grootheden worden gediscretiseerd. Om aanvaardbare rekentijden te houden kunnen deze stapgroottes niet al te klein worden genomen; bij grotere stapgroottes (ruwere discretisaties) worden de resultaten onnauwkeuriger. De conclusie lijkt te zijn dat de genoemde numerieke onnauwkeurigheden voor waterstanden – en in het bijzonder voor de toetspeilen uit [HR 2001] – hooguit enkele centimeters bedragen. Voor berekeningen inclusief golven is tot dusver geen systematische vergelijking tussen Hydra-B en PC-Ring uitgevoerd. Verder wordt in [Vrouwenvelder et al, 2002] geconcludeerd dat het model Hydra-B de voorkeur verdient boven een FBC-model, zolang tenminste de rekentijd geen probleem vormt. De berekening volgens Hydra-B is nauwkeuriger dan met een FBC-model; incidenteel kunnen, afhankelijk van de beschouwde faalmechanismes en terugkeertijden, verschillen tot 1 á 2 dm optreden. Wel vereist het laatste model aanzienlijk minder rekentijd (standaard FBC met numerieke integratie is bijna 40 keer sneller dan Hydra-B, versie PC-Ring). Terzijde merken we op dat in de versie van PC-Ring met FBC-modellen meer stochasten dan in Hydra-B zijn ingebouwd, waarbij ook allerlei onzekerheden kunnen worden meegenomen. Hoewel PC-Ring met FBC-modellen dus minder nauwkeurig is, kunnen wel meer zaken in de berekening worden betrokken. Indien met zoveel stochasten wordt gerekend dienen echter wel benaderende berekeningsmethoden en/of Monte Carlo technieken te worden gebruikt.

27

28

3 Marginale verdelingen van de gebruikte stochasten 3.1 Inleiding Dit hoofdstuk gaat over de in Hydra-B gebruikte kans- en frequentieverdelingen. In paragraaf 3.2 wordt de in Hydra-B gebruikte afvoerstatistiek van Lobith en Lith behandeld. Paragraaf 3.2.1 geeft de onderdelen waaruit een ‘complete’ afvoerstatistiek bestaat. In paragraaf 3.2.2 t/m 3.2.4 komen deze onderdelen, namelijk de standaardgolfvormen, de werklijnen en de dagenlijnen, nader aan de orde. Paragraaf 3.2.5 behandelt een aantal begrippen betreffende de afvoerstatistiek die in de rest van dit rapport nodig zijn. Paragraaf 3.3 behandelt de in Hydra-B gebruikte windstatistiek en in paragraaf 3.4 komen de statistiek van de zeewaterstand en de correlatie tussen wind en zeewaterstand aan de orde.

3.2 Afvoerstatistiek 3.2.1 Afvoerstatistiek Lobith en Lith In Hydra-B wordt gebruik gemaakt van golfvormen van de afvoer, welke de afvoer geven als functie van de tijd. Het maximum van de golfvorm zal worden aangeduid als de piekwaarde van de afvoergolf. Het winterhalfjaar, dat in Hydra-B bestaat uit 182 dagen, zal kortweg worden aangeduid als whjaar. Een afvoerstatistiek op een bepaalde locatie (hier Lobith dan wel Lith) bestaat in Hydra-B uit drie onderdelen: 1.

De werklijn. Deze geeft bij iedere terugkeertijd T de bijbehorende piekafvoer. Tevens kan van iedere piekafvoer met behulp van de werklijn de overschrijdingsfrequentie in keren per whjaar worden bepaald. De werklijn is in Hydra-B beschikbaar vanaf de eens per jaar afvoer, die ongeveer 6000 m3/s bedraagt voor Lobith en ongeveer 1300 m3/s voor Lith.

2.

Standaardgolfvormen van de afvoer. Bij iedere piekwaarde hoort één standaardgolfvorm. Deze standaardgolfvormen geven het gemiddelde tijdsverloop van de afvoer en zijn in Hydra-B beschikbaar vanaf de eens per jaar afvoer.

3.

De dagenlijn. Deze geeft het gemiddelde aantal dagen per whjaar dat een bepaald afvoerniveau wordt overschreden. De dagenlijn is in Hydra-B beschikbaar over het volledige afvoerbereik.

In de volgende paragrafen zullen deze begrippen nader worden uitgelegd en zullen de gebruikte gegevens worden aangegeven. Voor de Rijn zal de statistiek ter plaatse van Lobith worden gebruikt. De geringe topvervlakking (enkele centimeters) en de topverbreding van de afvoer zal op het hele traject worden verwaarloosd. Dus vanaf Lobith tot aan de benedenranden zal op Lek en Waal geen topvervlakking worden aangenomen. Voor de Maas zal de statistiek ter plaatse van Lith worden gebruikt. Vanaf Lith tot aan de benedenranden zal, analoog aan het geval voor de Rijn, geen topvervlakking en topverbreding worden meegenomen. De topvervlakking van Borgharen tot Lith wordt wel in rekening gebracht; in paragraaf 3.2.2 wordt toegelicht hoe de statistiek van Borgharen naar Lith is getransformeerd. Het verwaarlozen van de topvervlakking levert een lichte overschatting van de waterstanden, terwijl het verwaarlozen van de topverbreding een lichte onderschatting van de waterstanden oplevert. De hier genoemde verwaarlozingen impliceren dat voor het hele gebied alleen met de afvoerstatistieken van Lobith en Lith kan worden gewerkt. Deze handelwijze is in het verleden ook gevolgd in het programma Dijkring [Den Heijer, 1994], [Volker, 1989] en ten behoeve van toetspeilberekeningen [HR 1996].

29

3.2.2 De standaardgolfvormen Door HKV Lijn in Water is in opdracht van Rijkswaterstaat/RIZA een golfvormgenerator gebouwd, zie [Klopstra, 1999a], [Klopstra en Duits, 1999] en [Klopstra en Vrisou van Eck, 1999], waarmee voor de Maas te Borgharen en de Rijn te Lobith standaardafvoergolven kunnen worden gegenereerd. Deze standaardgolven, of kortweg golfvormen, geven het gemiddelde verloop van de afvoer in de tijd. De standaardgolven zijn bepaald met de zogenaamde opschalingsmethode. Dat houdt in dat de (historisch) waargenomen afvoergolven eerst met een factor worden vermenigvuldigd naar een beschouwde piekwaarde. De standaardgolf voor deze piekwaarde volgt dan door middeling over de opgeschaalde waargenomen golven. Voor de lagere afvoeren, lager dan eens per jaar, zijn geen golfvormen bepaald, omdat het afvoerverloop daarvoor niet zinnig door een golfvorm kan worden weergegeven.2 In [Geerse, 2001] wordt de geldigheid van de gebruikte opschalingsmethode nader onderzocht. De conclusie is dat de opschalingsmethode voor het hoogste deel van de golven goed kan worden onderbouwd, maar dat dat niet geldt voor het laagste deel van de golven (zeg voor de afvoeren die minder dan 50% van de piekwaarde bedragen). Voor de uitkomsten van Hydra-B berekeningen is dat laatste niet van belang3, zodat de met de golfvormgenerator bepaalde golven in Hydra-B gebruikt mogen worden.

Figuur 3.1 Standaardgolfvormen voor Lobith uit de golfvormgenerator. Overgenomen uit [Kalk et al, 2001]. (De ‘nieuw bepaalde golfvorm’ is door interpolatie bepaald.) Figuur 3.1 geeft een aantal met de golfvormgenerator bepaalde golfvormen voor Lobith. In Hydra-B wordt een beperkt aantal golfvormen als invoer gebruikt. Om willekeurige golfvormen te verkrijgen wordt in Hydra-B tussen deze golfvormen geïnterpoleerd. In figuur 3.1 is ter illustratie één zo’n geïnterpoleerde golfvorm aangegeven. 2

De ‘middelhoge’ golfvormen, waarvoor T tussen circa 1 jaar en 3.5 jaar ligt, zijn niet beschikbaar in de officiële golfvormgenerator van HKV [Klopstra, 1999abc]; voor Borgharen gaat het om piekwaarden k met 1300 < k < 1750 m3/s en voor Lobith om piekwaarden met 6000 < k < 8000 m3/s. Deze golfvormen zijn bepaald door de golfvormgenerator iets aan te passen; zie voor details [Kalk, 2001. 3 Het voert te ver om hier uit te leggen waarom het lagere deel van de golfvormen niet of nauwelijks van invloed is op de Hydra-B uitkomsten. We merken slechts op dat het te maken heeft met het feit dat (a) de dagenlijn van de afvoer vrijwel niet verandert als het lagere deel van de afvoergolven wel verandert en dat (b) de Hydra-B uitkomsten praktisch niet veranderen bij een keuze van een hogere grenswaarde (zie daarvoor paragraaf 6.2). 30

Om aan de golfvormen te Lith te komen is de volgende procedure gevolgd [Kalk et al, 2001]. Eerst zijn met de golfvormgenerator 10 golfvormen te Borgharen bepaald. Deze zijn daarna met Waqua doorgerekend naar Lith. Aldus resulteren 10 golfvormen te Lith. Willekeurige golfvormen te Lith worden in Hydra-B, net als voor Lobith, door interpolatie tussen deze golfvormen bepaald. In figuur 3.2 worden de 10 resulterende golfvormen voor Lith gegeven; ter illustratie is weer één geïnterpoleerde golfvorm aangegeven.

Figuur 3.2 Standaardgolfvormen voor Lith op basis van Waqua-berekeningen. Overgenomen uit [Kalk et al, 2001].

3.2.3 De werklijnen De werklijnen van Lobith en Lith worden gegeven door, zie [Kalk et al, 2001]: q(T ) = 1620.7 ln(T) + 5893.3

Lobith:

m3 /s

2 ≤ T ≤ 25

3

25 ≤ T ≤ 10000

q(T ) = 1517.78 ln(T) + 5964.63 m /s q(T ) = 1316.43 ln(T) + 6612.61 m /s

Lith:

1 ≤ T ≤ 2

3

q(T ) = 327.7 ln(T) + 1315.1

m3 /s

T ≥1

(3.1)

(3.2)

De werklijn voor Lobith is voor T > 2 jaar gelijk aan de door het WL afgeleide werklijn [Van de Langemheen en Berger, 2002]. In [Kalk et al, 2001] is deze uitgebreid met het traject 1 ≤ T ≤ 2 jaar. De werklijn voor Lith is bepaald met behulp van de in paragraaf 3.2.2 genoemde 10 standaardgolfvormen die met Waqua zijn doorgerekend van Borgharen naar Lith. Van elk van deze golven is de terugkeertijd bekend; die is namelijk gelijk aan de terugkeertijd van de corresponderende golf te Borgharen. De 10 golven te Lith geven dus 10 punten van de werklijn te Lith. Formule (3.2) is bepaald als fit aan deze 10 punten. Zie voor details [Kalk et al, 2001]. De maatgevende afvoer, dat wil zeggen de piekafvoer voor terugkeertijd T = 1250 jaar, bedraagt 16000 m3/s voor de Rijn en 3650 m3/s voor de Maas. Ter illustratie wordt in figuur 3.3 de werklijn voor de Rijn vergeleken

31

met de data. Het overeenkomstige plaatje voor Lith is niet beschikbaar, omdat slechts ongehomogeniseerde piekwaarden voor deze locatie beschikbaar zijn, terwijl de werklijn te Lith (via de Waqua-berekeningen) op gehomogeniseerde piekafvoeren is gebaseerd. Bedenk hierbij dat de werklijn te Borgharen op gehomogeniseerde piekafvoeren is gebaseerd en dat derhalve de piekafvoeren te Lith die in de werklijn (3.2) voorkomen eveneens als gehomogeniseerde afvoeren moeten worden opgevat. We merken nog op dat de golfvormen voor Lith, en daarmee tevens de maatgevende afvoer van 3650 m3/s, berekend zijn met een ouder Waquamodel dan het model waarmee de toetspeilen voor het bovenstroomse deel van de Maas uit [HR 2001] zijn berekend. Het nieuwere model zou uitkomen op 3600 m3/s, zie voor details [Van der Lee et al, 2001]. Indien de toetspeilen met deze lagere maatgevende afvoer en iets andere golfvormen zouden worden bepaald, zouden de verschillen niet meer dan enkele centimeters bedragen. Daarom zijn de berekeningen niet opnieuw met het nieuwe model uitgevoerd. 14000

13000

12000

Afvoer k [m3/s]

11000

10000

9000

8000

data

7000

werklijn 6000

5000 1

10

100

1000

terugkeertijd T [jaren]

Figuur 3.3 De werklijn te Lobith vergeleken met de data van 1901 t/m 1999. Overgenomen uit [Geerse, 2001].

32

3.2.4 De dagenlijnen De dagenlijn D(q) van de afvoer geeft het aantal overschrijdingsdagen per whjaar van niveau q. In [Kalk et al, 2001] wordt beschreven hoe deze zijn bepaald. Hier geven we een korte toelichting. Voor afvoeren die vaker dan eens per jaar voorkomen, dus voor T < 1 jaar, zijn de dagenlijnen door turven uit de metingen bepaald. Voor dergelijke lage afvoeren zijn namelijk zo veel metingen beschikbaar dat het aantal overschrijdingsdagen van een afvoerniveau betrouwbaar kan worden bepaald. Voor de hogere afvoeren worden de metingen te spaarzaam om het aantal overschrijdingsdagen van een afvoerniveau simpelweg door turven te bepalen, terwijl turven uiteraard onmogelijk wordt voor extreme afvoerniveaus die nog nooit zijn voorgekomen. Daarom zijn voor de hogere afvoeren, waarvoor T > 1 jaar, de dagenlijnen bepaald op basis van de werklijnen en de golfvormen. Omdat de golfvormen bekend zijn, en tevens de frequentie waarmee deze golfvormen voorkomen, ligt het aantal overschrijdingsdagen van een gegeven afvoerniveau namelijk vast. De preciese formule wordt in paragraaf 3.2.5 gegeven, zie (3.15). Er blijkt dan wel een consistentieprobleem op te treden, in de zin dat het door turven bepaalde deel van D(q) voor T < 1 jaar en het door berekening bepaalde deel van D(q) voor T > 1 jaar niet geheel op elkaar aansluiten. Dat laatste bleek met name voor de Maas het geval. Omgerekend naar waterstanden levert het hogere deel van D(q) ongeveer 0.05 meter hogere waterstanden dan het lagere deel voor T = 1 jaar. In de uitkomsten van Hydra-B zal men slechts een klein deel van deze 0.05 meter terugvinden, omdat de preciese kansen op de eens per jaar afvoeren nauwelijks van invloed zijn op de uitkomsten. De genoemde consistentieproblematiek wordt uitgebreid beschreven in [Geerse, 2001]. Er blijken diverse, nogal subtiele oorzaken aan te geven voor dit probleem, waarop hier niet nader wordt ingegaan.4 In [Kalk et al, 2001] is het consistentieprobleem op pragmatische wijze opgelost door de lagere afvoermetingen met een factor te vermenigvuldigen; deze factor bedraagt 1.0202 voor Lobith en 1.0565 voor Lith. Voor de reproduceerbaarheid van met Hydra-B berekende uitkomsten dient het volgende te worden vermeld. In [Kalk et al, 2001] worden zowel voor Lobith als Lith twee versies voor de dagenlijnen gegeven, zie bijlage D-1 en D-2 voor Lobith en bijlage C-1 en C-2 voor Lith. Voor afvoeren beneden de grenswaarde stemmen beide versies vrijwel precies overeen. De dagenlijnen C-1 en D-1 geven voor de extreme afvoeren verkeerde uitkomsten, losjes gezegd omdat niet voldoende hoge afvoergolven in de berekeningen zijn betrokken. De versies volgens C-2 en D-2 geven wel juiste uitkomsten tot aan de zeer extreme afvoerniveaus toe. Omdat in Hydra-B, zoals in hoofdstuk 5 zal blijken, de dagenlijnen alleen gebruikt worden beneden de grenswaarde, is het vrijwel irrelevant welke versies gebruikt worden in Hydra-B.5 Incidenteel kan een verschil van maximaal slechts 0.001 meter ontstaan. Dit verschil kan er echter voor zorgen dat de op decimeters afgeronde toetspeilen zeer incidenteel een decimeter anders kunnen uitvallen. Vanwege dat laatste, en omdat de toetspeilen inmiddels officieel zijn goedgekeurd, dienen de versies C-1 en D-1 in Hydra-B gebruikt te worden.

3.2.5 Belangrijke begrippen voor de afvoerstatistiek In deze paragraaf worden een aantal begrippen voor de afvoerstatistiek gedefinieerd die in de rest van dit rapport een grote rol spelen. Eerst volgt een lijst begrippen; voor sommige daarvan volgt in de tekst daarna nog een toelichting op deze begrippen. Enkele begrippen uit de lijst zijn al aan de orde geweest; omwille van het overzicht worden deze hier opnieuw weergegeven. We merken op dat de piekwaarde van een afvoergolf veelal (maar niet altijd) zal worden aangegeven met de letter k, dat ter onderscheiding van afvoerniveaus q die op de flanken van afvoergolven kunnen optreden. whjaar N qg

Winterhalfjaar, bestaande in Hydra-B uit 182 dagen. Aantal getijperioden per winterhalfjaar. N = 352 in Hydra-B. Grenswaarde van de afvoer. Beneden en boven deze grenswaarde worden in Hydra-B verschillende berekeningswijzen gevolgd voor het hydraulisch belastingniveau.

[-] getijden/whjaar m3/s

4

Aanvankelijk leek deze consistentieproblematiek er op te wijzen dat de met de golfvormgenerator bepaalde golfvormen voor de Maas circa 30% breder waren dan in werkelijkheid, vandaar dat zoveel aandacht aan deze problematiek is besteed. Na analyse bleek dat het genoemde betrekkelijk kleine verschil tussen het lage en hoge deel van de dagenlijn zich als het ware ‘exponentieel versterkt’ wanneer dit wordt vertaald in breedtes van golfvormen. 5 In (gevoeligheids)studies, zoals bijvoorbeeld in paragraaf 6.2 en in het project Veiligheid Nederland in Kaart (VNK) waarin ook hogere of helemaal geen grenswaarden worden gebruikt, dient men te beschikken over dagenlijnen die over het hele afvoerbereik juist zijn; vandaar dat C-2 en D-2 in een later stadium alsnog zijn bepaald. 33

D(q) P(Q>q) g(q) Ψ(k)

ψ(k) d(q) L(q,k)

Dagenlijn. Deze geeft het gemiddelde aantal overschrijdingsdagen per winterhalfjaar van niveau q; gedefinieerd voor het hele afvoerbereik. Momentane overschrijdingskans van de afvoer in het whjaar; gedefinieerd voor het hele afvoerbereik. De momentane kansdichtheid van de afvoer Q voor een getijperiode; gedefinieerd voor het hele afvoerbereik. Overschrijdingsfrequentie van de afvoergolven (gerelateerd aan de werklijn). Dit is het gemiddeld aantal keren per winterhalfjaar dat de piekwaarde van een afvoergolf de waarde k overschrijdt. Deze grootheid is slechts gedefinieerd voor piekwaarden hoger dan qg. Frequentiedichtheid van de afvoergolven; slechts gedefinieerd voor piekwaarden hoger dan qg. (De integraal over ψ(k) is niet genormeerd op 1.) Gemiddelde overschrijdingsduur van niveau q binnen afvoergolven waarvan de piekwaarden niveau q overschrijden; slechts gedefinieerd voor q > qg. De tijdsduur dat binnen een afvoergolf met piekwaarde k het niveau q wordt overschreden. Deze grootheid is slechts gedefinieerd voor q en k groter dan qg.

dagen/whjaar [-] s/m3 1/whjaar

s/(whjaar*m3) getijperioden getijperioden

De grenswaarde qg is reeds aan de orde geweest in hoofdstuk 2, en zal uitgebreid aan de orde komen in hoofdstuk 5 en paragraaf 6.2. De momentane overschrijdingskans P(Q>q) kan worden opgevat als de fractie van de tijd dat in het whjaar niveau q wordt overschreden.6 Men kan hier ook denken aan de kans dat, bij het meten van de afvoer op een gegeven moment, de meting de waarde q overschrijdt. Deze interpretatie verklaart de benaming ‘momentane’ kans, omdat de kans op de meting betrekking heeft op één tijdstip. De grootheid P(Q>q) kan berekend worden uit de dagenlijn volgens P (Q > q ) =

D (q ) 182

(3.3)

Omdat in Hydra-B gewerkt wordt met getijperioden als tijdseenheid, zal de dagenlijn verder weinig meer worden gebruikt. De laatste is hier dus alleen gebruikt om P(Q>q) mee te bepalen. De momentane kansdichtheid wordt per definitie gegeven door g (q) = −

dP (Q > q) dq

(3.4)

Uiteraard geldt ∞

P (Q > q ) = ∫ g (k ) dk

(3.5)

q

Voor de overschrijdingsfrequentie Ψ(k) van de afvoergolf met piekwaarde k geldt dat deze gelijk is aan 1 gedeeld door de terugkeertijd van deze piekwaarde. Op een recht segment van de werklijn geldt, vergelijk (3.1) en (3.2), k (T ) = a ln(T ) + b

(3.6)

⎛b−k ⎞ Ψ (k ) = exp ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠

(3.7)

in welk geval volgt

6

In feite dient gespecificeerd te worden welke afvoer eigenlijk wordt bedoeld. Betreft het een gemiddelde dagafvoer, een 8:00 uur waarde, een dagmaximum of nog wat anders. In de afleiding van de afvoerstatistiek lopen de interpretaties van het begrip afvoer vaak door elkaar heen, zie bijvoorbeeld [Geerse, 2001]. In het kader van dit stuk is het niet relevant aan welke afvoer precies gedacht moet worden. Men kan eenvoudig denken aan de afvoer q als een representatieve waarde voor de afvoer gedurende een getijperiode. 34

De frequentiedichtheid van de afvoer wordt per definitie gegeven door

ψ (k ) = −

d Ψ (k ) dk

(3.8)

wat in het geval van (3.7) leidt tot ⎛b−k ⎞ ⎟ ⎝ a ⎠

1 a

ψ (k ) = exp ⎜

(3.9)

Uiteraard geldt ∞

Ψ (k ) = ∫ψ (q ) dq

(3.10)

k

We merken op dat ψ(k) zeer zeker geen kansdichtheid vormt. In principe kan Ψ(k) groter dan 1 worden voor lage waarden van k, namelijk wanneer afvoergolven worden beschouwd met T < 1 jaar. Omdat de grenswaarde in Hydra-B gelijk is aan de eens per jaar afvoer, komen dergelijke lage waarden van k echter (toevallig) niet voor.7 De grootheid L(q,k) geeft de overschrijdingsduur van niveau q binnen een afvoergolf met piekwaarde k. Uit figuur 3.1 kan bijvoorbeeld worden afgelezen dat niveau q = 8000 m3/s binnen de maatgevende afvoergolf met piekwaarde k = 16000 m3/s (ongeveer) 20 dagen wordt overschreden. Omdat een getijperiode 12.42 uur duurt, komt dat neer op 20*24/12.42 = 38.6 getijperioden, zodat L(8000, 16000) = 38.6 getijperioden. Omdat de verblijfsduur op de top van de golf gelijk is aan nul, geldt L(k,k) = 0. De grootheid d(q) geeft de gemiddelde overschrijdingsduur van niveau q binnen afvoergolven waarvan de piekwaarden niveau q overschrijden. Deze kan eenvoudig uit de momentane kans en de overschrijdingsfrequentie worden berekend door d (q) =

NP (Q > q ) Ψ (q)

(3.11)

Ter illustratie van deze formule het volgende voorbeeld. De piekafvoer q = 7000 m3/s heeft volgens (3.1) een frequentie Ψ(q) = 0.5 keren/whjaar, en komt dus gemiddeld eens per twee jaar voor. Dit is dus de frequentie van afvoergolven waarvan de piekwaardes de waarde 7000 m3/s overschrijden. Het afvoerniveau q = 7000 m3/s blijkt volgens de Hydra-B gegevens een momentane overschrijdingskans P(Q>q) = 0.0146 te hebben, wat inhoudt dat gedurende 1.46% van de tijd deze afvoer wordt overschreden. Dit afvoerniveau wordt dan gedurende N P(Q>q) = 352*0.0146 = 5.14 getijden/whjaar overschreden. De gemiddelde duur dat het niveau q = 7000 m3/s binnen de beschouwde afvoergolven wordt overschreden moet dan gelijk zijn aan 5.14/0.5 = 10.3 getijden. Als zo’n afvoergolf passeert, dan duurt de overschrijding van het beschouwde niveau binnen één zo’n golf dus gemiddeld deze 10.3 getijden. Tabel 3.1 geeft d(q) voor een aantal afvoerniveaus voor Lobith zowel als Lith. Zoals verwacht neemt d(q) af met toenemende afvoer. Bijvoorbeeld voor Lobith bedraagt d(q) bij de eens per jaar afvoer van ongeveer 6000 m3/s ongeveer 12 getijden, terwijl deze duur bij de maatgevende afvoer van 16000 m3/s is afgenomen tot circa 5 getijden. De werklijn voor Lobith heeft slechts een ‘officiële’ geldigheid tot 10000 jaar, ofwel tot 18750 m3/s. In Hydra-B wordt de werklijn echter doorgetrokken tot veel hogere afvoeren alhoewel die fysisch gezien (uiteraard) dubieus worden omdat bij dergelijke afvoeren bovenstrooms allang overstromingen plaatsvinden. Deze onrealistisch hoge afvoeren worden meegenomen zodat later eventueel gevoeligheidsanalyses met hogere maatgevende afvoeren kunnen worden gemaakt. De huidige berekende toetspeilen hangen echter nauwelijks af van deze zeer hoge afvoeren. Ter illustratie, het al of niet verdisconteren van afvoeren hoger dan 18000 m3/s

7

In het verleden is de overschrijdingsfrequentie Ψ(k), die volgt uit de werklijn, vaak opgevat als de kans dat het jaarmaximum van de afvoer de waarde k overschrijdt. Voor grote waarden van k is dat in benadering juist – maar niet voor lagere waarden. Deze verwarring tussen overschrijdingsfrequentie en overschrijdingskans heeft in het verleden diverse malen tot fouten geleid. 35

scheelt volgens paragraaf 6.5 hooguit 0.01 meter of heel incidenteel misschien 0.02 meter voor de uitkomsten van toetspeilen. Voor de Maas gelden soortgelijke beweringen. We merken op dat de duren d(q) voor Lobith en Lith bij eenzelfde terugkeertijden vrijwel overeenstemmen. Uit [Kalk et al, 2001] blijkt overigens dat de afvoergolven te Borgharen aanzienlijk smaller zijn dan die voor Lith.

Lobith afvoer q [m3/s] 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000

Lith duur d(q) binnen duur d(q) binnen afvoergolf afvoergolf [getijden] [dagen] 11.7 10.3 9.3 8.4 7.5 6.7 6.3 5.9 5.6 5.3 5.0 4.8 4.6 4.5 4.3 4.2

afvoer q [m3/s]

6.0 5.3 4.8 4.3 3.9 3.5 3.2 3.1 2.9 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.2

1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4250 4500 4750 5000

duur d(q) binnen duur d(q) binnen afvoergolf afvoergolf [getijden] [dagen] 11.2 9.8 8.2 7.3 6.9 6.8 6.6 6.1 5.5 5.3 5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.3

5.8 5.1 4.2 3.8 3.6 3.5 3.4 3.1 2.9 2.7 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2

Tabel 3.1 De gemiddelde duur d(q) binnen een afvoergolf van overschrijdingsniveau q voor Lobith en Lith. Tot slot geven we aan hoe de dagenlijn D(q) = N P(Q>q) berekend kan worden uit de werklijn en de golfvormen, voor q > qg. Discretiseer daartoe eerst de afvoer boven niveau q in stapjes ∆k. Dat leidt tot afvoerklassen [ki, ki+1] met grenzen k1 = q k2 = q + ∆k k3 = q + 2∆k k4 = q + 3∆k

(3.12)

... ...

Indien ∆k klein genoeg is, wat hier wordt aangenomen, geldt vanwege (3.8) in benadering dat

ψ (ki )∆k = Ψ (ki ) − Ψ (ki +1 ) = het aantal afvoergolven per whjaar met piekwaarde tussen ki en ki +1

(3.13)

Dan volgt dat in benadering

ψ (ki ) L(q, ki )∆k = het aantal getijperioden per whjaar waarin niveau q wordt overschreden binnen afvoergolven met piekwaarde tussen ki en ki +1

36

(3.14)

Door te sommeren over i = 1 tot ∞ volgt dan het aantal getijperioden per whjaar waarvoor q wordt overschreden, wat gelijk is aan D(q)*(N/182). Indien ∆k tot 0 nadert worden de benaderingen exact, met als resultaat dat D(q) kan worden berekend uit ∞

N D(q ) = NP (Q > q ) = ∫ψ (k ) L(q, k ) dk 182 q

(3.15)

We merken op dat formule (3.15) niet nieuw is en reeds voorkomt in de literatuur over Dijkring [Den Heijer, 1994], [Volker, 1987].

3.3 Wind De wind wordt in het model voor de Benedenrivieren voor de westelijke en oostelijke richtingen verschillend behandeld. De opdeling over deze zogeheten westsector en oostsector is als volgt: Oostsector Westsector

9 oostelijke richtingen: NNO, NO, ..., ZZW 7 westelijke richtingen: ZW, WZW, ..., N

(genummerd 1 t/m 9) (genummerd 10 t/m 16)

Fysisch gesproken heeft deze opdeling een eenvoudige reden. Voor de richtingen binnen de westsector kunnen door stormen op de Noordzee hoge waterstanden bij Maasmond ontstaan. Deze stormvloeden kunnen dan via de Nieuwe Waterweg het Benedenrivierengebied inlopen. Voor richtingen binnen de oostsector kunnen bij Maasmond geen hoge waterstanden ontstaan, omdat dan geen opwaaiing zal optreden. De invloed van de wind pakt voor de westelijke en oostelijke richtingen dus heel anders uit, waarbij nagenoeg overal in het gebied de westelijke winden verantwoordelijk zullen zijn voor de bedreigende situaties. Bij het beschouwen van windgolven (faalmechanismes golfoverslag en golfoploop) kunnen aan de oostzijde van het gebied, waar extreme afvoeren in essentie de hydraulische belastingniveaus bepalen, locaties voorkomen waarbij oostelijke richtingen belangrijker zijn dan westelijke. Het betreft dan uiteraard dijken die op het oosten liggen, waarvoor windgolven uit westelijke richtingen minder belangrijk zijn dan die uit oostelijke richtingen. Tevens valt niet op voorhand uit te sluiten dat op het Haringvliet en Hollandsch Diep locaties voorkomen waarbij bij beschouwen van windgolven oostelijke richtingen belangrijker zijn dan westelijke. Voor wat betreft de windgegevens baseren we ons op de statistiek van Schiphol. Die handelwijze werd in het verleden eveneens gevolgd in het programma Dijkring [Den Heijer, 1994], [Volker, 1987] en ten behoeve van toetspeilberekeningen, zie bijvoorbeeld [De Ronde, 1986], [De Deugd, 1995]. De motivatie daarvoor was dat de extreme windsnelheden voor Schiphol en die voor de Benedenrivieren nagenoeg overeenstemmen, wat gerechtvaardigd werd door de uitkomsten van het Rijkoort Weibull model van het KNMI, zie bijvoorbeeld [Rijkoort, 1983; bijlage E]. In [Geerse et al, 2002] worden hier enige kanttekeningen bij geplaatst, maar de aanname dat de statistiek van Schiphol redelijk representatief is voor de wind boven het Benedenrivierengebied valt goed te verdedigen. Verder merken we op dat het KNMI de afgelopen jaren onderzoek heeft verricht naar extreme windsnelheden op windstations verspreid over heel Nederland [Verkaik et al, 2003]; dat onderzoek heeft echter geen definitieve nieuwe windstatistieken opgeleverd. Onder een uurwaarde van de windsnelheid wordt in dit rapport altijd de potentiële windsnelheid verstaan. Dat is de uurgemiddelde windsnelheid op 10 meter hoogte boven homogeen open terrein met een ruwheidslengte van z0 = 0.03 m. De stochasten windsnelheid en windrichting worden respectievelijk aangegeven met U en R. Beide stochasten zijn gerelateerd aan een getijperiode (deze heeft een duur van 12 uur en 25 minuten, ofwel 12.42 uur). We laten nu een globale omschrijving van deze stochasten volgen, waarbij we voor meer details verwijzen naar [Geerse et al, 2002] en hoofdstuk 8 van dit rapport. Daarbij zullen we de maximale windsnelheid in een getijperiode soms aanduiden als het 12.4-uursmaximum. windsnelheid U De interpretatie van de stochast U is verschillend voor de west- en de oostsector. • Voor de westelijke richtingen geeft U voor terugkeertijden T > 10 jaar de windsnelheid op het moment van hoogwater in een getijperiode. Voor T < 1 jaar geeft U het 12.4-uursmaximum, terwijl voor 1 < T < 10 jaar geleidelijk wordt overgegaan van het 12.4-uursmaximum naar de windsnelheid op het moment van hoogwater. • Voor de oostelijke richtingen geeft U het 12.4-uursmaximum van de windsnelheid.

37

windrichting R De interpretatie van deze grootheid verschilt net als bij U voor de west en de oostsector. Een eenduidige interpretatie is niet te geven, maar globaal geldt: • Voor de westelijke richtingen geeft R de windrichting op het moment van hoogwater in een getijperiode. • Voor de oostelijke richtingen geeft R de (vectorieel) gemiddelde windrichting in een getijperiode. De keuze om in Hydra-B voor T < 1 jaar de maximale windsnelheid in een getijperiode te beschouwen wijkt af van die in het programma Dijkring, waar de windsnelheid een momentane uurwaarde betreft; deze momentane waarde is voor de westelijke richtingen dan de windnelheid tijdens hoogwater.8 Omdat het 12.4-uursmaximum van de windsnelheid altijd groter dan of gelijk is aan een momentane waarde in de getijperiode, worden dus in Hydra-B voor T < 1 jaar hogere windsnelheden gebruikt dan in Dijkring. De reden is dat door het gebruiken van een momentane waarde de windgolven op de rivieren worden onderschat, zoals nu zal worden toegelicht. De bedreigende situatie op de rivieren bestaat uit een extreme afvoer met relatief weinig wind. Die bedreigende situatie zal zich veelal op of nabij de top van de afvoergolf voordoen, waar de afvoer niet al te snel zal varieren. In Hydra-B wordt de afvoergolf gediscretiseerd in getijperioden. Op en rondom de top van de afvoergolf zal, net als de afvoer, de waterstand gedurende een getijperiode dan niet al te veel variëren. Het moment van maximale belasting in een getijperiode zal dan veelal optreden op het moment waarop de maximale windsnelheid tijdens de getijperiode optreedt. Vandaar dat in Hydra-B – voor T < 1 jaar – met de maximale windsnelheid tijdens een getijperiode wordt gewerkt. Het feit dat in Hydra-B de lagere windsnelheden anders worden behandeld dan in de statistiek van Dijkring komt effectief neer op het verhogen van de lagere windsnelheden met circa 1.5 m/s á 2 m/s, zie paragraaf 2.4.2 uit [Geerse et al, 2002]. Voor T > 10 jaar wordt in Hydra-B zoals gezegd net als in het verleden de windsnelheid tijdens hoogwater gebruikt. Het gaat dan om situaties met hoge windsnelheden in combinatie met sterk verhoogde zeewaterstanden, in welk geval in het waterstandverloop altijd nog iets van een ‘scherpe’ getijtop te zien zal zijn.9 De hoge waterstanden houden dan slechts kort aan. Zeg eens dat slechts 1 uur lang de hoogste waterstand aanhoudt; dan mag een momentane windsnelheid worden beschouwd. Immers, om de maximale belasting te vinden hoeft slechts gekeken te worden naar de uurwaarde van de windsnelheid die tijdens de waterstandstop optreedt. Indien de waterstandstop wat langer tot vrijwel dezelfde hoge waterstanden leidt, zeg eens 3 uur, dan zou eigenlijk een 3-uursmaximum genomen moeten worden; de statistiek van 3-uursmaxima wijkt echter weinig af van die van uurwaarden. Globaal gesproken kan worden gesteld dat voor T > 10 jaar het waterstandverloop zo’n scherpe piek heeft dat de momentane windsnelheid, namelijk de windsnelheid tijdens de top van het waterstandverloop, beschouwd mag worden. Voor T tussen 1 en 10 jaar wordt in Hydra-B een vloeiende overgang beschouwd tussen de statistiek voor de lage en hoge windsnelheden. Net als voor de windsnelheid kleven er ook wat haken en ogen aan de preciese interpretatie van R. Die hebben te maken met de manier waarop de correlatie tussen de wind en de zeewaterstand wordt bepaald, zie [Geerse et al, 2002] en hoofdstuk 8 van dit rapport. Omdat bij het modelleren van deze correlatie enkele benaderingen moeten worden gemaakt, is een simpele interpretatie van R voor de westelijke richtingen niet meer mogelijk. Losjes gezegd betreft het (analoog aan de interpretatie van de windsnelheid) de gemiddelde richting in een getijperiode voor de lagere windsnelheden en de windrichting tijdens hoogwater voor de hogere windsnelheden, met een geleidelijke overgang tussen de lage en hoge windsnelheden. De preciese interpretatie is voor de Hydra-B uitkomsten verder niet van belang – slechts de gebruikte kansen op de windrichtingen zijn bepalend voor de uitkomsten. De lezer kan simpelweg denken aan de windrichting als zijnde een ‘representatieve’ windrichting tijdens een getijperiode. In Hydra-B is de kansdichtheid g(u,r) van de stochasten U en R nodig. Hiermee kunnen de kansen op het gezamenlijk optreden, tijdens een getijperiode, van u en r worden bepaald. Deze kansdichtheid wordt in Hydra-B berekend met behulp van een invoerbestand waarin, bij gegeven richting r, overschrijdingskansen P(U>u|r) worden gegeven. De kansen P(U>u|r) staan vermeld in bijlage J van [Geerse et al, 2002]. Voor de kansen P(r) op de windrichtingen zijn de ‘oude’ kansen volgens [Volker, 1987] gebruikt, zie bijvoorbeeld bijlage J van [Geerse et al, 2002]. Het gebruiken van nieuw bepaalde windkansen zou zeer weinig invloed hebben op de Hydra-B resultaten, omdat de uitkomsten voor hydraulische belastingniveaus daarvoor erg

8

Eigenlijk is in [Volker, 1987] geen sprake van een eenduidig te interpreteren windsnelheid. Aan de ene kant wordt in deze referentie gesproken over de windsnelheid als ‘de windsnelheid tijdens hoogwater’, aan de andere kant wordt gesproken over de windsnelheid als het maximum van de drie uurwaarden die optreden in een periode van 3 uur rondom het tijdstip van hoogwater. 9 De getijtop waar hier sprake van is kan overigens, mede afhankelijk van de beheerssituatie van de keringen, sterk vervormd zijn nadat deze zich van de kust landinwaarts heeft verplaatst. 38

ongevoelig zijn. Mogelijk zouden de windgolven op de rivieren enkele centimeters anders uitpakken. Zonder in detail te treden merken we daarover nog het volgende op. 1.

Voor hoge windsnelheden, zeg T > 5 jaar, wordt de keuze van P(r) volledig irrelevant, omdat de windkansen dan impliciet in het Rijkoort Weibull model zijn verwerkt; effectief wordt in de Hydra-B formules dan eerst gedeeld door P(r), waarna vervolgens weer met P(r) wordt vermenigvuldigd.

2.

De in paragraaf 3.4 en hoofdstuk 8 behandelde wind-waterstandstatistiek betreft de correlatie tussen wind en zeewaterstand. Ten behoeve van Hydra-B is deze wind-waterstandstatistiek herzien, met als uitganspunt dat zoveel mogelijk elementen uit de oude statistiek gelijk moesten blijven. Het gebruik van de oude kansen maakt de vergelijkbaarheid met de oude en nieuwe wind-waterstandstatistiek eenvoudiger; gezien de complexiteit van deze statistiek is dat een voordeel.

3.

Voor alle locaties in het Benedenrivierengebied worden in Hydra-B dezelfde windkansen gebruikt. In werkelijkheid zullen deze kansen over het gebied wat verschillen. De preciese keuze van de kansen P(r) wordt daardoor enigszins academisch.

3.4 Zeewaterstand Maasmond en de wind-waterstandstatistiek In Hydra-B wordt de zeewaterstand te Maasmond als stochast gebruikt. Deze stochast wordt aangeduid met M en geeft de maximale waterstand gedurende een getijperiode, dus de waterstand tijdens hoogwater. Het tijdstip van dit hoogwater kan verschillen van het tijdstip waarop het astronomisch hoogwater valt. In Hydra-B is de kansdichtheid g(m) van de zeewaterstand M nodig. Tevens zijn de kansdichtheden van de zeewaterstand bij gegeven richting nodig. Deze conditionele kansdichtheden worden aangegeven met g(m|r). De g(m) en g(m|r) hebben betrekking op een getijperiode, voor de locatie Maasmond, voor het toestandsjaar 2006. Ze zijn afgeleid op basis van bij het RIKZ beschikbare gegevens. Een gedetailleerde beschrijving van de gevolgde werkwijze wordt gegeven in [Geerse et al, 2002] en in hoofdstuk 8 van dit rapport. Hier wordt slechts kort de gang van zaken geschetst. Het RIKZ beschikt over een frequentieverdeling van de waterstand bij Hoek van Holland in plaats van Maasmond, die geldt voor het toestandsjaar 1985 in plaats van 2006, zie [Dillingh et al, 1993]. De verdeling is gerelateerd aan een whjaar.10 Het betreft een Paretoverdeling, welke de overschrijdingsfrequentie van de hoogwaterstand geeft in keren per whjaar. Behalve deze frequentieverdeling is ook de uitsplitsing hiervan beschikbaar in termen van 10°-richtingssectoren, zie [Roskam, 2000]. De frequentieverdelingen zijn slechts beschikbaar vanaf een drempelwaarde van 1.90 m+NAP. De kansen op lagere zeewaterstanden dan deze drempelwaarde zijn echter van weinig belang voor de Hydra-B uitkomsten. Bedreigende situaties tijdens lage zeewaterstanden doen zich slechts voor in het rivierengebied, dan in combinatie met een extreme afvoer. Omdat dergelijke locaties ver van zee liggen, is de precieze waarde van de zeewaterstand dan niet zo belangrijk: een niet al te grote verandering daarvan is daar door de hoge afvoer en grote afstand tot zee van weinig invloed op de locale waterstand. Bij het bepalen van g(m) en g(m|r) zijn de frequentieverdelingen daarom op pragmatische wijze uitgebreid tot de lagere zeewaterstanden. Het deel van g(m) en g(m|r) voor m kleiner dan 1.90 m+NAP geeft daarmee geen goede weergave van de werkelijke kansverdeling van de hoogwaterstanden in een getijperiode. Zoals gezegd is dat laatste nauwelijks van invloed op de uitkomsten van Hydra-B voor waterstanden en kruinhoogten. De manier om de RIKZ-gegevens om te zetten naar de benodigde kansdichtheden voor Maasmond komt samengevat op het volgende neer, zie voor details hoofdstuk 8 en [Geerse et al, 2002]: 1.

Omrekening van frequenties van 10°-sectoren naar 22.5°-sectoren.

2.

Omzetten van frequentieverdelingen per whjaar naar kansdichtheden g(m|r) gerelateerd aan een getijperiode en het op pragmatische wijze uitbreiden van de kansdichtheden naar de lagere waterstanden.

10

In feite gebruikt het RIKZ het ‘lange stormzeizoen’ dat loopt van 1 oktober t/m 15 maart. Dit valt praktisch samen met het winterhalfjaar dat loopt van 1 oktober t/m 31 maart. 39

3.

Het transformeren van de kansdichtheden g(m|r) voor Hoek van Holland naar die voor Maasmond, door middel van een verschuiving van de kansdichtheden. Deze verschuiving bedraagt 0.02 meter, waarbij een zeewaterstand te Maasmond 0.02 meter lager ligt dan de corresponderende zeewaterstand te Hoek van Holland.

4.

Het in rekening brengen van de zeespiegelrijzing over de periode 1985-2006 door middel van een verschuiving van de kansdichtheden g(m|r). Voor de zeespiegelrijzing is 0.05 meter aangehouden.

Voor de duidelijkheid merken we op dat de verschuivingen volgens punt (3) en (4) gecombineerd kunnen worden door één verschuiving van 0.05 – 0.02 = 0.03 meter. Bijvoorbeeld 5.00 m+NAP te Hoek van Holland, toestand 1985, correspondeert dan met 5.03 m+NAP te Maasmond, toestand 2006. De zeewaterstand te Maasmond is gecorreleerd met de wind, zoals aan het eind van paragraaf 3.3 (zie punt (2)) al werd gezegd. Voor de westelijke richtingen gaan hoge windsnelheden namelijk samen met hoge zeewaterstanden. Deze correlatie wordt in Hydra-B beschreven met de kansdichtheid g(u,m,r), die betrekking heeft op een getijperiode. De g(u,m,r) wordt gewoonlijk aangeduid als de ‘wind-waterstandstatistiek’. Ten behoeve van Hydra-B is de oude wind-waterstandstatistiek, zoals opgesteld door [Volker, 1987], aangepast aan de nieuwe RIKZ gegevens. Tevens is voor de lage windsnelheden (T < 1 jaar) overgestapt van de windsnelheid tijdens hoogwater op het 12.4-uursmaximum, om redenen zoals vermeld in paragraaf 3.3. De afleiding van g(u,m,r) wordt gegeven in hoofdstuk 8 en [Geerse et al, 2002].

40

4 Waterstandsommen, faalmechanismes en isovlakken 4.1 Inleiding Dit hoofdstuk behandelt diverse zaken die relevant zijn voor Hydra-B, die niet of slechts zijdelings met de probabilistische formules te maken hebben. Paragraaf 4.2 gaat over de manier waarop de Rijn en de Maas in Hydra-B zijn verwerkt met 50%-lijnen. Er wordt nauwkeurig uitgelegd wat een 50%-lijn voorstelt en tevens wordt gemotiveerd dat een volledige (gecorreleerde) probabilistische aanpak in Hydra-B van Rijn en Maas overbodig is. Paragraaf 4.3 beschrijft hoe de in Hydra-B gebruikte Sobeksommen zijn gemaakt. De beschrijving van de benedenranden (zee), bovenranden (afvoer) en het windveld wordt gegeven. Ook wordt beschreven welke combinaties van keringsituaties, afvoeren, zeewaterstanden, windsnelheden en -richtingen zijn doorgerekend. In paragraaf 4.4 worden de locaties beschreven waaruit in Hydra-B een keuze kan worden gemaakt. Verder worden daar besproken: dwarsopwaaiing, golfvoorwaarden (bepaald met Bretschneider), definitie van hydraulische belastingen en modules voor dam, voorland en dijk. In paragraaf 4.4 wordt daarnaast uitgelegd dat in Hydra-B als versimpeling van de (gecompliceerde) werkelijkheid altijd de maximale windsnelheid gecombineerd wordt met de maximale waterstand, ook al hoeven deze in de tijd niet samen te vallen. Paragraaf 4.5 geeft in aanvulling op de in paragraaf 4.4 gegeven ‘fysische’ behandeling van de hydraulische belasting de precieze wiskundige formulering daarvan – die formulering is nodig om de latere probabilistische formules van Hydra-B netjes te kunnen opschrijven. In paragraaf 4.6 worden isolijnen (ook betrekkingslijnen of contouren genoemd) en isovlakken behandeld. Dat zijn lijnen en vlakken met eenzelfde waarde van de belasting. Daarnaast wordt ingegaan op het zogenaamde ‘repareren’ van belastingen. Met deze reparatie wordt ervoor gezorgd dat bij een toename in windsnelheid, afvoer of zeewaterstand de belasting nooit kan afnemen. Tevens wordt beargumenteerd waarom deze reparatie wordt uitgevoerd.

4.2 De 50%-lijnen voor Rijn en Maas Het is bekend dat de hydraulische belastingen van het merendeel van de locaties in het Benedenrivierengebied ofwel voornamelijk door het gedrag van de Rijn ofwel voornamelijk door het gedrag van de Maas worden bepaald. Voor locaties nabij Keizersveer zijn echter beide rivieren van invloed. In principe zouden in Hydra-B zowel de Maas als de Rijn als gecorreleerde stochasten moeten worden opgenomen. Een manier om dat te doen wordt globaal beschreven in [Geerse, 2002b], terwijl gedetailleerde formules voor een gecorreleerde aanpak van Rijn en Maas ontleend kunnen worden aan [Geerse, 2003b].11 Verderop wordt toegelicht dat het volledig probabilistisch verwerken van beide rivieren weinig meerwaarde heeft ten opzichte van een ‘semiprobabilistische aanpak’ met zogenaamde 50%-lijnen. De aanpak met 50%-lijnen is in het verleden eveneens gebruikt bij toetspeilberekeningen. Alvorens op deze aanpak in te gaan wordt eerst het begrip 50%-lijn uitgelegd. Simpel gezegd geeft de 50%-lijn van de Maas de mediane Maasafvoer die bij een beschouwde Rijnafvoer optreedt, terwijl de 50%-lijn van de Rijn de mediane Rijnafvoer geeft die bij een beschouwde Maasafvoer optreedt. We leggen nu, aan de hand van figuur 4.1, uit wat de 50%-lijn van de Maas precies voorstelt. Deze figuur geeft, op basis van fictieve data, een schematische voorstelling van het verband tussen de dagafvoeren van de Rijn en de Maas. Ieder punt (qR, qM) in de grafiek stelt een combinatie van dagwaarden van de Rijn- en de Maasafvoer voor. Hoge Rijnafvoeren zijn geneigd om samen te gaan met hoge Maasafvoeren, de beide afvoeren zijn derhalve positief gecorreleerd. Een dergelijke puntenwolk kan worden beschreven door een gezamelijke kansverdeling g(qR, qM), waarvan de marginalen dan gelijk moeten zijn aan de momentane kansdichtheden van de Rijn- en de Maasafvoer. (De kansdichtheid g(qR, qM) wordt hier gebruikt om iets uit te leggen, maar is niet expliciet bepaald.) Uit de gezamelijke kansverdeling kunnen de conditionele verdelingen g(qR|qM) en g(qM|qR) worden afgeleid. Hier stelt bijvoorbeeld g(qM|qR) de momentane conditionele verdeling van de Maasafvoer voor, gegeven de Rijnafvoer qR. In figuur 4.1 is voor enkele waarden van qR deze conditionele verdeling geschetst. Voor iedere waarde qR kan de mediaan van de verdeling g(qM|qR) bepaald worden, dat wil zeggen de Maasafvoer waarboven zich 50% van de kansmassa bevindt. De zo gevonden medianen vormen de in figuur 4.1 aangegeven lijn: de genoemde 50%-lijn van de Maas. Merk op dat deze lijn in feite een Maasafvoer geeft als functie van de Rijnafvoer.

11

In deze referentie worden formules gegeven voor de modellering van de correlatie tussen de IJssel en het IJsselmeerpeil. Deze formules kunnen linea recta worden overgenomen voor de Rijn en de Maas; daarbij wordt de correlatie voor het hele afvoerbereik (en niet alleen voor de hogere afvoeren zoals elders in de literatuur vaak het geval is) nauwkeurig gemodelleerd. 41

dagafvoer Maas

dagafvoer Rijn

Figuur 4.1 Schematische voorstelling van de gezamelijke momentane kansdichtheid van de dagafvoeren qR en qM van de Rijn en de Maas. Voor drie waarden van qR is de conditionele verdeling g(qM|qR) geschetst, met daarin aangegeven de mediaan van de verdeling. De vloeiende lijn geeft de 50%-lijn van de Maas, welke door de medianen van de drie geschetste verdelingen gaat. In [Fioole, 1999] zijn de 50%-lijnen afgeleid. Het blijkt dat ze (behalve voor de allerlaagste afvoeren) goed door rechte lijnen kunnen worden weergegeven, met vergelijkingen 50 % − lijn Maas:

qM = 0.2348 qR − 252.7 m3 /s

(4.1)

50 % − lijn Rijn:

qR = 3.792 qM + 759.7 m3 /s

(4.2)

Deze lijnen zijn weergegeven in figuur 4.2. In het geval dat de dagafvoeren van de Rijn en de Maas volledig gecorreleerd zouden zijn, zouden beide lijnen samenvallen. Deze lijn van maximale correlatie zou dan tussen beide lijnen in liggen. Merk op dat de 50%-lijn van de Maas (bij gegeven Rijnafvoer) onder de 50%-lijn van de Rijn ligt. Dat is ook logisch. In het geval dat Rijn en Maas praktisch ongecorreleerd zouden zijn, zou de 50%-lijn van de Maas nagenoeg horizontaal lopen en de 50%-lijn van de Rijn praktisch verticaal. Dat maakt duidelijk dat de 50%-lijn van de Maas verder onder die van de Rijn ligt naarmate de correlatie tussen de rivieren zwakker wordt, terwijl omgekeerd uiteraard de 50%-lijn van de Rijn dan verder boven de 50%-lijn van de Maas zou liggen. Terzijde zij opgemerkt dat in [Fioole, 1999] verschillende analyses worden gebruikt om de 50%-lijnen te bepalen, welke analyses enigszins verschillende resultaten geven. Formules (4.1) en (4.2) zijn gebaseerd op de meest plausibele van deze analyses. Uit tabel 4.3 en 4.4 in paragraaf 4.3.4 kunnen voor een aantal afvoerwaarden de numerieke uitkomsten van de 50%-lijnen worden afgelezen. We merken op dat voor de allerlaagste afvoer uit de tabellen (600 m3/s Rijn en 55 m3/s Maas alsmede 10 m3/s Maas en 600 m3/s Rijn) van (4.1) en (4.2) is afgeweken, omdat deze vergelijkingen voor de allerlaagste afvoeren het verband tussen Rijn en Maas niet meer goed beschrijven. In Hydra-B wordt aangenomen dat locaties bovenstrooms van Keizersveer (Bergsche Maas km 247) voornamelijk onder invloed van de Maas staan, terwijl de overige locaties in het gebied voornamelijk onder invloed van de Rijn staan. De eerste locaties worden aangeduid als Maasdominant en de overige als Rijndominant. Voor een Rijndominante locatie wordt de Hydra-B berekening uitgevoerd met de Rijnafvoer als stochast, terwijl bij iedere beschouwde Rijnafvoer dan de bijbehorende Maasafvoer volgt uit de 50%-lijn van de Maas. Op deze manier is, voor een Rijndominante locatie, de Maasafvoer als stochast verdwenen. Hiervoor werd deze aanpak als semi-probabilistisch getypeerd, omdat weliswaar de Maasafvoer als stochast verdwenen is, maar de afhankelijkheid tussen Rijn en Maas wel deterministisch wordt meegenomen. Voor een Maasdominante locatie worden uiteraard de rol van Rijn en Maas verwisseld. In de Hydra-B formules komt zodoende slechts één stochast afvoer voor, die voor Rijndominante locaties de Rijn voorstelt en voor Maasdominante locaties de Maas. 42

5000 50%-Rijn

4500

50%-Maas

Dagafvoer Maas [m3/s]

4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

Dagafvoer Rijn [m 3/s]

Figuur 4.2 De 50%-lijnen van Rijn en Maas volgens [Fioole, 1999]. De Hydra-B berekening met de Rijn als stochast kan uiteraard voor álle locaties in het gebied worden uitgevoerd, dus ook voor Maasdominante locaties. Een dergelijke berekening zal in dit rapport worden aangeduid als een Rijnsom. De berekening met de Maas als stochast zal worden aangeduid als een Maassom. In [Duits en Thonus, 2001] zijn voor alle locaties in het gebied waterstanden berekend voor T = 1000, 1250, 2000, 4000 en 10000 jaar, voor Rijn- zowel als Maassommen. Nabij Keizersveer resulteren dan voor T = 2000 jaar de resultaten volgens tabel 4.1. Uit de tabel blijkt dat stroomafwaarts gaande tussen km 248 en 249 het omslagpunt ligt waar de Rijnsom hoger uitkomt dan de Maassom. Strikt genomen zou de grens tussen Rijn- en Maasdominant dus bij km 248 of km 249 moeten liggen in plaats van bij km 247. De verschillen zijn echter minimaal. Terzijde zij opgemerkt dat in [Duits en Thonus, 2001] een Maassom wordt aangeduid als een Maasdominante som, dus ook voor locaties waar de Maas fysisch nauwelijks meer van invloed is. In dit rapport is er voor gekozen de term ‘Maasdominant’ slechts te hanteren voor locaties bovenstrooms van Keizersveer waar de Maas een grotere invloed heeft dan de Rijn. Een soortgelijke opmerking geldt met betrekking tot de Rijn. Waterstanden Bergsche Maas voor T = 2000 jaar km-raai

Rijnsom

Maassom

m+NAP

m+NAP

Maas - Rijn m

243

3.94

3.99

0.05

244

3.82

3.86

0.04

245

3.69

3.73

0.04

246

3.57

3.59

0.02

247

3.44

3.45

0.01

248

3.33

3.34

0.01

249

3.25

3.24

-0.01

250

3.15

3.13

-0.02

251

3.09

3.06

-0.03

Tabel 4.1 Waterstanden nabij Keizersveer (km 247) volgens Rijn- en Maassommen. De vetgedrukte getallen geven (na afronding op decimeters) de officiële toetspeilen. We gaan nu in op de rechtvaardiging van de aanpak met 50%-lijnen, waar het eigenlijk beter zou zijn de Rijn en Maas beide als gecorreleerde stochasten in het model op te nemen. In [De Deugd, 1998] wordt gedemonstreerd dat bij een aanpak waarin beide 50%-lijnen worden vervangen door één lijn die de maximale correlatie geeft 43

tussen Rijn en Maas, de waterstanden in het gebied met hooguit 0.05 m toenemen. Veelal is de toename echter nog minder dan deze 0.05 m. Het vervangen van de lijnen door de ene lijn met de maximale correlatie vormt een bovengrensbenadering, terwijl de aanpak met 50%-lijnen vermoedelijk een ondergrensbenadering vormt.12 Het ‘werkelijke’ antwoord, dat wil zeggen het antwoord dat wordt verkregen bij een volledige probabilistische aanpak van Rijn en Maas, zal ten opzichte van de aanpak met 50%-lijnen dus minder dan 0.05 m schelen. Naar schatting levert de aanpak met 50%-lijnen voor enkele locaties in het gebied een fout van hooguit 0.02 á 0.03 m, en voor het overgrote deel een volstrekt verwaarloosbare fout. Omdat het volledig probabilistisch verwerken van beide rivieren een grote inspanning vergt, met een aanzienlijk complexer model tot gevolg, is er gezien de kleine fout (net als in het verleden) gekozen voor de aanpak met 50%-lijnen. Terzijde zij nog opgemerkt dat het volledig probabilistisch verwerken tot circa een factor 5 groter aantal Sobeksommen zou leiden – gezien de huidige capaciteit van de computers is dat een onpraktisch groot aantal, waarbij de rekentijd van Hydra-B aanzienlijk zou toenemen.13 Zie wat het aantal sommen en de rekentijd betreft in het geval van extra stochasten ook de opmerkingen in bijlage 2. Tot slot volgen beknopt twee redenen die tezamen verklaren waarom de aanpak met 50%-lijnen tot praktisch dezelfde resultaten leidt als de aanpak met de lijn van maximale correlatie: 1.

De Rijn en Maasafvoeren zijn behoorlijk sterk gecorreleerd, zoals blijkt uit de in tabel 4.3 en 4.4 gegeven 50%-lijnen. Het verschil tussen de 50%-lijnen en de lijn van maximale correlatie is dus betrekkelijk gering.

2.

Op locaties waar zowel Rijn als Maas van invloed zijn is het belang van de afvoer voor de waterstanden relatief klein geworden. Deze locaties bevinden zich als het ware dicht bij de mondingen van de riviertakken, waar tijdens hoogwateromstandigheden een afvoerverandering ∆q een veel kleinere verandering van de waterstand tot gevolg heeft dan bij meer bovenstrooms gelegen locaties.

4.3 Waterstandsommen 4.3.1 Het Sobekmodel Ten behoeve van Hydra-B zijn fysische berekeningen van de waterbeweging onder diverse omstandigheden voor het Benedenrivierengebied berekend. Dat is gedaan met het model Sobek. Deze berekeningen worden in [De Deugd, 2002] gedetailleerd beschreven. In paragraaf 4.3.2 t/m 4.3.6 worden de ten behoeve van Hydra-B belangrijkste zaken uit de genoemde referentie samengevat (soms is de tekst letterlijk uit deze referentie overgenomen). De nadruk ligt daarbij op díe zaken die voor een goed begrip van de probabilistische aanpak in Hydra-B van belang zijn. Voor details zie [De Deugd, 2002]. Sobek is een ééndimensionaal waterbewegingsmodel. Het is een wiskundig computermodel waarmee waterstanden en debieten kunnen worden berekend in een ééndimensionaal geschematiseerd netwerk van open waterlopen, zie figuur 4.2. De diverse omstandigheden die de waterstanden en debieten in het gebied bepalen zijn de zeewaterstanden, de afvoerniveaus van de bovenrivieren, het locale windveld, lozingen of onttrekkingen en de beheerssituatie van de kunstwerken in het gebied. Twee belangrijke keringen in het gebied zijn de Maeslantkering in de Nieuwe Waterweg en de Hartelkering in het Hartelkanaal. De zeewaterstand, afvoer, windsnelheid, windrichting en de beheerssituatie (open dan wel gesloten) van de Maeslant- en Hartelkering worden in Hydra-B als stochasten beschouwd. Met Sobek zijn ongeveer 7000 combinaties van uitkomsten van deze stochasten doorgerekend. Iedere combinatie geeft daarbij de randvoorwaarden waarmee een Sobeksom wordt gemaakt. Elke som geeft, verspreid over het gebied, op een groot aantal rekenlocaties (de rekenlocaties van het Sobekmodel, met een ruimtestap van 1 á 2 kilometer) een tijdreeks van waterstanden. Deze tijdreeksen worden door lineaire interpolatie herleid tot tijdreeksen op de

12

Normaal gesproken wordt het aantal ‘extreme gebeurtenissen’ verkleind indien de aanwezige spreiding wordt vervangen door een gemiddelde of, wat hier het geval is, mediane waarde. 13 In de aanpak met 50%-lijnen worden (zie paragraaf 4.3 voor details) 9 Rijnafvoeren en 9 Maasafvoeren doorgerekend, ofwel een totaal van 18 afvoeren. Indien elk van de 9 Rijnafvoeren wordt gecombineerd met 9 Maasafvoeren resulteren 9*9 = 81 sommen, ofwel 81/18 = 4.5 maal zoveel sommen. 44

de knopen

Figuur 4.2 Het Benedenrivierengebied met het netwerk van takken en knopen. zogenaamde uitvoerlocaties, welke liggen op de gehele kilometerraaien van de riviertakken. Deze uitvoerlocaties vormen de locaties uit het Randvoorwaardenboek [HR 2001]. Uit de tijdreeks voor een uitvoerlocatie wordt in Hydra-B alleen de maximale waterstand gebruikt. Zoals in paragraaf 4.4.1 wordt behandeld kunnen in Hydra-B naast locaties op de riviertakken ook locaties aan de teen van de dijk worden gekozen. De laatste locaties bevatten als een soort van nabewerking ook het dwarsverhang tengevolge van wind, zie verder paragraaf 4.4.1 en 4.4.2. In Hydra-B dient voor iedere combinatie van zeewaterstand, afvoer, windsnelheid, windrichting en beheerssituatie van de keringen de maximale locale waterstand bekend te zijn. Voor een willekeurige combinatie volgt deze door lineaire interpolatie uit de circa 7000 doorgerekende combinaties.

4.3.2 De zeeranden Het Sobekmodel kent aan de westzijde drie zeeranden. Eén aan de noordrand ter plaatse van de mond van de Nieuwe Waterweg (locatie Maasmond) en verder, omdat het model in het Haringvliet nabij de sluizen is gemodelleerd met twee takken, twee aan de zuidrand aan de buitenzijde van de Haringvlietsluizen. Voor de 7 westelijke richtingen ZW, WZW,..., N worden op het getijverloop stormvloeden gesuperponeerd. Een stormvloed heeft daarbij een trapeziumvormig verloop in de tijd, zoals geïllustreerd in figuur 4.3-a. Het trapezium wordt geparametriseerd door drie parameters, te weten de maximale stormopzethoogte Hs, stormopzetduur Ts en de fase Fs tussen astronomisch hoogwater en maximale stormopzet.14 De uiteindelijke waterstandsverlopen op de zeeranden ontstaan door de stormopzet op te tellen bij de respectievelijke getijreeksen – steeds de reeks voor gemiddeld getij – van de noord- en zuidranden, zie figuur 4.3-b ter illustratie. Voor de noordrand wordt het gemiddeld getij te Maasmond gebruikt en voor beide zuidranden het gemiddeld getij bij de locatie HA10-paal. Een negatieve fase betekent dat het maximum van de stormopzet valt ná het maximum van de naburige getijtop; deze situatie wordt in figuur 4.3 afgebeeld.

14

De grootheden Hs en Ts duiden elders in dit rapport meestal de significante golfhoogte en significante golfperiode aan. 45

Hs (m)

0.10 (m)

Tijd (uren)

0.5*Ts-2 2 2 0.5*Ts-2

Figuur 4.3-a Schematisering van de stormopzet (rechte opzet).

Wate rhoogte

S to rm v lo e d

Fs

T ijd B a s is r e e ks

S to r mo p z e tv e r lo o p

S to r mv lo e d v e r lo o p

Figuur 4.3-b Schematisering stormvloedverloop. De basisreeks (het getijverloop) is afhankelijk van de beschouwde zeerand die te Maasmond of die bij locatie HA10-Paal. Voor de 9 oostelijke richtingen NNO, NO,..., WZW worden geen stormvloeden beschouwd. Voor deze richtingen wordt de zeerand gevormd door de springtijreeks. Tabel 4.2 geeft de doorgerekende combinaties. In de getijreeksen is ten opzichte van 1991 een zeespiegelrijzing van 0.05 m aangenomen, welke stijging als representatief wordt geacht voor het jaar 2006. (De middenstanden van de getijreeksen voor gemiddeld getij en springtij zijn met deze 0.05 m verhoogd.) Zie voor nader commentaar op de in Hydra-B genomen zeespiegelstijging paragraaf 8.2.4. Windsegment oostelijk westelijk westelijk westelijk westelijk westelijk westelijk

Basisreeks incl. 5 cm zeespiegelstijging springtij gemiddeld tij gemiddeld tij gemiddeld tij gemiddeld tij gemiddeld tij gemiddeld tij

Hs [m]

Ts [uur]

Fs [uur]

0,0 0,00 1,21 2,423 3,483 4,512 5,522

0 29 29 29 29 29 29

0 -41/2 -41/2 -41/2 -41/2 -41/2 -41/2

Tabel 4.2 Doorgerekende combinaties voor de zeeranden.

46

Zeestand bij Maasmond [m tov NAP] +1,30 +1,11 ca. +2,00 ca. +3,00 ca. +4,00 ca. +5,00 ca. +6,00

De keuzes Ts = 29 uur en Fs = - 4.5 uur zijn dezelfde als toegepast voor de toetspeilen uit het Randvoorwaardenboek [HR 1996]. In het licht van [Van Weerden et al, 1987] zou Ts = 33 uur een betere keuze zijn. Er zijn zelfs aanwijzingen dat Ts toeneemt met toenemende zeewaterstanden, in welk geval de keuze van 33 uur nog een onderschatting zou inhouden, zie daarvoor [De Valk en Steetzel, 1997]. Volgens [Duits en Thonus, 2002] zouden bij Ts = 33 uur en Fs = - 4.5 uur globaal 1 dm hogere toetspeilen in het Benedenrivierengebied worden berekend. Beleidsmatig is echter de keuze Ts = 29 uur gemaakt. De keuze Fs = - 4.5 uur is eventueel iets aan de veilige kant. In bijlage 2 wordt nader op de keuze van Ts en Fs ingegaan. Tevens worden daar opmerkingen gemaakt over het windveld dat in de volgende paragraaf aan de orde komt.

4.3.3 Het windveld Het windveld wordt niet op een specifieke plaats in het modelgebied opgelegd, maar geldt ‘model-wide’, hetgeen wil zeggen dat het opgelegde windveld voor alle takken bij een zekere berekening gelijk is. Wel worden hidingfactoren gebruikt voor de verschillende riviertakken waarmee per tak de windsnelheid wordt gereduceerd. In figuur 4.3 wordt het aangenomen tijdsverloop van de wind gegeven, dat door twee parameters wordt geparametriseerd. De tijdsduur Ts, zijnde de basis van het trapezium op het niveau van 10 m/s, wordt gelijk genomen aan de duur Ts van de stormopzet uit figuur 4.2; hier is dus Ts = 29 uur genomen. De hoogte van het profiel is gelijk aan de beschouwde windsnelheid u. Het midden van het tijdsverloop (de gestippelde verticale lijn in figuur 4.4) valt samen met het midden van het trapezium van de stormopzet. Bij een gegeven fase Fs en een gegeven u ligt het windverloop dus volledig vast. De modellering van het windveld is ten opzichte van de berekeningen uit [HR 1996] onveranderd gelaten. In feite lijkt de duur van het windverloop wat aan de korte kant. Maar omdat de keuze van het windveld niet zo belangrijk is voor de uitkomsten van de Sobekberekeningen, is bij de oude keuze gebleven. Bijlage 2 geeft nader commentaar.

5 u (m/s)

10 (m/s)

12

0.5*Ts

0.5*Ts

12

Tijd (uren)

Figuur 4.4 Schematisering windverloop. Voor de oostelijke richtingen worden windsnelheden u van 10, 20 en 30 m/s doorgerekend; voor de westelijke worden windsnelheden u van 10, 20, 30 en 42 m/s doorgerekend. Voor de situaties zonder wind, waarbij de richting niet van belang is, is voor de oostelijke zowel als de westelijke sector één fictieve richting doorgerekend.

4.3.4 De afvoerranden Aan de oostzijde van het model bevinden zich drie afvoerranden van de bovenrivieren. Op de Lek ter plaatse van de stuw bij Hagestein, op de Waal bij Tiel en op de Maas bij de stuw van Lith. De berekeningen zijn uitgevoerd voor diverse afvoerniveaus, waarbij enerzijds is uitgegaan van de afvoer van de Bovenrijn te Lobith met de daarbij behorende Maasafvoeren te Lith volgens de in paragraaf 4.2 genoemde 50%lijn en anderzijds is uitgegaan van de afvoer van de Maas bij Lith met de daarbij behorende 50%-lijn van de Rijn. Een afvoerniveau van de Bovenrijn te Lobith leidt tot afvoeren bij Hagestein en Tiel. Daarbij is gebruik gemaakt van de afvoerverdeling Rijntakken 1996.0, zoals die door Rijkswaterstaat Directie Oost Nederland zijn vastgesteld. Bij afvoerniveaus groter dan 15000 m3/s wordt uitgegaan van de relatieve verdeling zoals die voor het niveau 15000 m3/s geldt. Per berekening wordt gerekend met een permanent afvoerniveau van de

47

bovenrivieren. Het afvoerniveau aan een bovenrand van het Sobekmodel wordt dus als een constante waarde beschouwd, zonder dat een tijdsafhankelijke golfvorm wordt doorgerekend. Tabel 4.3 geeft de doorgerekende afvoerniveaus ten behoeve van de in paragraaf 4.2 genoemde Rijnsommen, terwijl tabel 4.4 de afvoerniveaus voor de Maassommen geeft. Merk op dat de Maassommen zó zijn gekozen dat dezelfde Rijnafvoeren resulteren als voor de Rijnsommen, met uitzondering van de Rijnafvoer 16000 m3/s, die bij een Maassom 14790 m3/s bedraagt. De reden voor deze afwijkende waarde is dat aanvankelijk werd gedacht dat de met 14790 m3/s corresponderende Maasafvoer 3700 m3/s de maatgevende afvoer te Lith zou worden; later bleek de maatgevende afvoer echter 3650 m3/s te worden.

afvoer Bovenrijn te Lobith [m3/s] 600 2000 4000 6000 8000 10000 13000 16000 18000

afvoer Lek te Hagestein [m3/s] 25 308 750 1158 1572 2077 2747 3376 3798

afvoer Waal te Tiel [m3/s] 550 1401 2697 3997 5296 6473 8285 10165 11435

afvoer Maas (50%) te Lith [m3/s] 55 217 687 1156 1626 2095 2800 3504 3974

Tabel 4.3 Doorgerekende combinaties van de Bovenrijn te Lobith, met de Lekafvoer te Hagestein, de Waalafvoer te Tiel en de 50%-afvoer te Lith. afvoer Maas te Lith [m3/s] 10 327 855 1382 1909 2437 3228 3700 4546

afvoer Lek te Hagestein [m3/s] 25 308 750 1158 1572 2077 2747 3119 3798

afvoer Waal te Tiel [m3/s] 550 1401 2697 3997 5296 6473 8285 9401 11435

afvoer Bovenrijn (50%) te Lobith [m3/s] 600 2000 4000 6000 8000 10000 13000 14790 18000

Tabel 4.4 Doorgerekende combinaties van de Maas te Lith, met de Lekafvoer te Hagestein, de Waalafvoer te Tiel en de 50%-afvoer van de Bovenrijn te Lobith. Op de Maas, Bergsche Maas en Amer vinden diverse lozingen (en ontrekkingen) plaats. De hoeveelheid van de lozingen is direct gerelateerd aan het afvoerniveau van de Maas te Lith. Voor afvoerniveaus van 3700 m3/s en hoger is een maalstop verondersteld, waarbij de lozingen via de gemalen op nul zijn gesteld. Op de Rijntakken Lek benedenstrooms van Hagestein en Waal benedenstrooms van Tiel en in het benedenstroomse deel van het Benedenrivierengebied zijn de lozingen niet significant en derhalve verwaarloosd.

4.3.5 Maeslant- en Hartelkering en overige kunstwerken In het modelgebied bevinden zich in verband met de veiligheid tegen overstroming een vijftal kunstwerken, die afhankelijk van de hydraulische omstandigheden bediend worden. Tijdens extreem hoge zeestanden wordt de Noordzee van het Noordelijk Deltabekken afgesloten door de Maeslantkering in de Nieuwe Waterweg, de Hartelkering in het Hartelkanaal en de Haringvlietsluizen in de mond van het Haringvliet. De stormstuw Hollandsche IJssel beschermt het achterliggende gebied ter weerszijden van de Hollandsche IJssel tegen overstromingen. De keersluis in het Heusdensch Kanaal beschermt het gebied rondom de Afgedamde Maas tegen overstromingen als gevolg van extreem hoge afvoeren via de Maas. Behalve de stormvloedkerende functie vormen de Haringvlietsluizen ook een belangrijke schakel in het dagelijks beheer van het Noordelijk Deltabekken.

48

In de formules van Hydra-B spelen de Maeslant- en Hartelkering een rol. Deze worden bediend op basis van voorspellingen, die worden beschreven door een bepaalde kansverdeling. Tevens hebben de keringen een bepaalde faalkans. De genoemde kansverdeling en faalkans zijn in de Hydra-B formules verwerkt. Het beheer van de overige drie kunstwerken is gemodelleerd in de Sobeksommen en komt verder niet voor in de Hydra-B formules.

4.3.6 Aantal doorgerekende combinaties In de voorgaande paragrafen is aangegeven welke waarden van de stochasten afvoer, zeewaterstand, windsnelheid en windrichting zijn doorgerekend. Tevens werd ingegaan op de keringsituatie en op de 50%-lijnen van Rijn en Maas. De hiervoor gegeven informatie wordt in tabel 4.5 samengevat.

Met Sobek doorgerekende combinaties Stochast

Variatie

Aantal

Westelijke sector windsnelheid

m/s

windrichting afvoer

m3/s

zeewaterstand

m+NAP

0, 10, 20, 30, 42

1+4

ZW, WZW, W, WNW, NW, NNW, N

7

600, 2000, 4000, 6000, 8000, 10000, 13000

9

16000 bij Rijnsom of 14790 bij Maassom, 18000 1.11, 2.00, 3.00, 4.00, 5.00, 6.00

6

keringssituatie

open, dicht

2

type som

Rijn met 50%-Maas, Maas met 50%-Rijn

2

Totaal aantal sommen westelijke sector: (1 + 4*7) * 9 * 6 * 2 * 2 =

6264

Oostelijke sector windsnelheid

m/s

0, 10, 20, 30 NNO, NO, ONO, O, OZO, ZO, ZZO, Z, ZZW

9

afvoer

m3/s

600, 2000, 4000, 6000, 8000, 10000, 13000

9

zeewaterstand

m+NAP

1.30

1

keringssituatie

open

1

type som

Rijn met 50%-Maas, Maas met 50%-Rijn

2

windrichting

1+3

16000 bij Rijnsom of 14790 bij Maassom, 18000

Totaal aantal sommen oostelijke sector: (1 + 3*9) * 9 * 1 * 1 * 2 =

504

Totaal aantal sommen westelijke + oostelijke sector =

6768

Tabel 4.5 Met Sobek doorgerekende combinaties voor de westelijke en oostelijke hoofdsectoren.

49

4.4 Hydra-B locaties en golven 4.4.1 Beschikbare locaties in Hydra-B Om een berekening te maken kan in Hydra-B uit een zeer groot aantal locaties in het Benedenrivierengebied een keuze worden gemaakt. Hydra-B bevat twee soorten databases: één met punten op de as van de rivier en één met punten die min of meer op de teen van de dijk liggen. Beide databases zijn overigens om praktische redenen opgeknipt in deeldatabases. De database met punten op de as van de rivier, gelegen om de 1000 meter, bevat de locaties uit het Randvoorwaardenboek [HR 2001]. De tweede database wordt aangeduid als de toetspuntendatabase. Deze is als volgt samengesteld. 1.

De kilometerraaien uit de beschikbare digitale rivierkaarten zijn aangevuld met van provincie ZuidHolland en het Gemeentelijk Havenbedrijf Rotterdam afkomstige kilometerraaien voor het Haringvliet, Hollandsch Diep, Wantij en Hartelkanaal.

2.

Alle kilometerraaien zijn verlengd tot op de dijkringen. Meestal is dit rechtlijnig gebeurd; in een aantal gevallen, bij kruisende raaien, moest een knik in de kilometerraai worden gelegd.

3.

De snijpunten tussen kilometerraaien en dijkringen zijn voorzien van een naam waarin het dijkringnummer, de riviernaam en het kilometerraainummer voorkomen.

4.

Tussen deze snijpunten zijn extra punten gegenereerd om de 100 á 200 meter, gemeten langs de dijk.

5.

Alle op deze wijze bepaalde punten zijn 10 meter de rivier in geschoven om een punt te verkrijgen dat representatief wordt geacht voor de teen van de dijk. Deze punten vormen de locaties uit de toetspuntendatabase.

In het vervolg zullen we de locaties uit de toetspuntendatabase simpelweg aanduiden als ‘dijkteenlocaties’, hoewel deze locaties slechts in benadering op de teen van de dijk liggen. De punten uit de twee soorten databases worden in dit rapport aangeduid als de beschikbare Hydra-B locaties. Voor de locaties uit de toetspuntendatabase, dus de dijkteenlocaties, worden in de database onder meer de volgende gegevens opgeslagen. 1.

De effectieve strijklengte F voor elk van de 16 richtingen, volgens de formule beschreven in paragraaf 4.4.2. Windrichtingen die een strijklengte korter dan 50 meter opleverden zijn verder niet verwerkt.

2.

De gemiddelde bodemhoogte hbodem in bovenwindse richting voor elk van de 16 richtingen, waarbij de eerste en laatste 25 meter van het bodemprofiel niet worden meegerekend.

3.

De locale waterstand hloc voor elk van de circa 7000 combinaties van randvoorwaarden uit paragraaf 4.3 waarvoor de Sobeksommen zijn gemaakt. Deze locale waterstand is gelijk aan de maximale waterstand uit de Sobeksom, vermeerderd met het dwarsverhang ten gevolge van wind; zie paragraaf 4.4.2 voor de berekening van het dwarsverhang.

4.4.2 Bretschneider en dwarsopwaaiing In Hydra-B kan worden gerekend met de faalmechanismes overloop, 2%-golfoploop en golfoverslag. Voor de twee laatste zijn nodig, op dijkteenlocaties, de significante golfhoogte Hs en de piekperiode Tp. Ze worden berekend met behulp van de formules van Bretschneider. Voor toepassing van Bretschneider moeten op de dijkteenlocatie bekend zijn: de effectieve waterdiepte d, de effectieve strijklengte F en de windsnelheid op 10 m hoogte boven open water. Die grootheden komen hieronder aan de orde, maar eerst wordt uitgelegd hoe het in de voorgaande paragraaf genoemde dwarsverhang en de locale waterstand hloc zijn bepaald. Daarbij baseren we ons op bijlage 3 van [De Goederen, 1999]. Een met Sobek berekende waterstand bevat slechts de globale windopzet over het gebied, maar geen dwarsopwaaiing. Om aan de locale waterstand hloc te komen wordt daarom de met Sobek berekende maximale waterstand vermeerderd met het dwarsverhang ten gevolge van wind. De berekende windopzet wordt als het ware op het in de dwarsrichting horizontale ééndimensionale rekenresultaat gesuperponeerd, waarbij voor de

50

berekening van de windopzet de formules uit de TAW-leidraad voor de benedenrivieren [Leidraad rivierdijken deel 2, 1989] worden gebruikt. Voor de hier gegeven context luiden die: als

als

d0 > 0.001: L

d0 ≤ 0.001: L

∆h =

au 2 L cos(φ ) d0

(4.1)

∆h = 2au 2 L cos(φ ) + d 0 2 − d 0

(4.2)

waarin ∆h a L u ϕ d0

windopzet constante gelijk aan 0.35*10-6 lengte dwarsraai (niet gecorrigeerd voor draagval) potentiële windsnelheid hoek tussen windrichting en dwarsraai gemiddelde waterdiepte over de dwarsraai, bij in de berekening aangenomen horizontale waterspiegel

u

m s2/m m m/s º m

rivieras

phi L

X

dijkteenlocatie

Figuur 4.5 Illustratie voor de berekening van het dwarsverhang; de dwarsraai staat (behalve in uitzonderlijke situaties) loodrecht op de as van de rivier. Figuur 4.5 maakt de betekenis duidelijk van de grootheden L en ϕ. Hier leggen we ∆h, u en d0 nader uit. De windopzet ∆h wordt berekend op het moment waarop de maximale waterstand uit Sobek (ter plaatse van het snijpunt van de dwarsraai en de rivieras) optreedt. De op dat moment optredende windsnelheid u wordt in (4.1) en (4.2) gebruikt: de grootte van u volgt door het gevonden tijdstip in te vullen in het windprofiel uit figuur 4.4. In de berekening van ∆h wordt, tenminste in dit stadium van de berekening, een horizontale waterspiegel aangehouden, met een niveau gelijk aan de maximale waterstand uit Sobek. De gemiddelde waterdiepte d0 kan worden bepaald uit deze waterstand met behulp van het grid met de bodemligging. Dit grid wordt met een stapgrootte van 1 meter bemonsterd langs de dwarsraai: elke bemonsterde waarde is een niveau ten opzichte van NAP. Ter plaatse van iedere bemonsterde waarde volgt de waterdiepte als het verschil tussen de maximale waterstand uit Sobek en het niveau van de bemonsterde waarde. Uit de niet droogstaande delen van de raai wordt nu door middeling d0 bepaald. De uit (4.1) en (4.2) berekende windopzet ∆h wordt vervolgens opgeteld bij de waterstand aan het einde van de raai ter plaatse van de dijkteenlocatie, waardoor een scheve waterspiegel

51

ontstaat. Deze scheve waterspiegel wordt nu onder gelijkblijvende helling vertikaal verplaatst zodanig dat ter plaatse van de rivieras het windverhang gelijk aan nul wordt. Hieruit volgt dan de locale waterstand hloc op de dijkteenlocatie. De hier gegeven berekeningsprocedure kan worden getypeerd door te stellen dat voor de berekening van de dwarsopwaaiing de waterspiegel wordt ‘gekanteld’ om de as van de rivier. Als gevolg daarvan is de dwarsopwaaiing op de as van de rivier altijd gelijk aan nul. Terzijde merken we op dat de berekening van ∆h ook uitsluitend met (4.2) had mogen worden uitgevoerd. Formule (4.2) gaat namelijk in benadering over in (4.1) in de situatie van grote waterdieptes, zoals eenvoudig kan worden geverifieerd met de bekende benadering 1 + x ≅ 1 + x / 2 voor kleine waarden van x. We kunnen dan schrijven, mits d0 voldoende groot is, ⎛ 2au 2 L cos(φ ) ⎞ ∆h = 2au 2 L cos(φ ) + d 0 2 − d 0 = d 0 ⎜ + 1 − 1⎟ 2 ⎜ ⎟ d0 ⎝ ⎠ ⎛ 1 2au 2 L cos(φ ) ⎞ au 2 L cos(φ ) ≅ d 0 ⎜1 + − 1⎟ = d0 d02 ⎝ 2 ⎠

(4.3)

wat inderdaad (4.1) oplevert. De effectieve waterdiepte ter plaatse van de dijkteenlocatie wordt, per beschouwde richting r, gelijk genomen aan de locale waterstand hloc minus de in de voorgaande paragraaf genoemde gemiddelde bodemhoogte hbodem, dus d = hloc − hbodem

(4.4)

De effectieve strijklengte F wordt, voor een punt uit de toetspuntendatabase, per richting r apart bepaald door een weging over de afstand van de betreffende locatie tot de tegenoverliggende bandijk uit te voeren, waarin naast de beschouwde richting r ook naburige richtingen voorkomen. De werkwijze wordt gedetailleerd beschreven in [Leidraad rivierdijken deel 1, 1985] en [Duits, 2003b]. Kort gezegd komt de berekening (tenminste voor de hier beschouwde situatie met 16 mogelijke richtingen) voor een vaste richting r op het volgende neer. Er worden richtingen tussen r - 45° en r + 45° beschouwd. Het interval [r - 45°, r + 45°] wordt gediscretiseerd in stappen met breedte ∆ϕ = 5.625°, wat leidt tot 17 richtingen ϕ1 = r - 45°, ϕ2 = r - 45° + ∆ϕ, ϕ3 = r - 45° + 2∆ϕ, ..., ϕ17 = r + 45°. Merk op dat ϕ9 = r. Geef met R(ϕ) de afstand langs de richting ϕ aan van de betreffende locatie tot de bandijk aan de overzijde. (Eventuele droogval wordt in de bepaling van R(ϕ) verwaarloosd.) Merk op dat R(ϕ)cos(ϕi-r) de projectie van deze afstand op de richting r aangeeft. Deze projecties worden gewogen met de cosinus van de hoek ϕi-r, wat leidt tot de formule 17

F=

∑ R(ϕ ) cos i

i =1

17

2

(ϕi − r )

∑ cos(ϕi − r )

(4.5)

i =1

In de Hydra-B formules wordt overal de potentiële wind gebruikt: de wind op 10 meter hoogte boven homogeen open terrein met een ruwheidslengte van 0.03 meter. Bretschneider vraagt als invoer echter om de wind op 10 meter hoogte boven open water, die hier wordt aangeduid als u10. Tabel 4.6 geeft het verband tussen beide windsnelheden. Merk op dat u10 groter is dan de potentiële wind: voor de lagere windsnelheden, zeg kleiner dan 20 m/s, waait het boven water circa 10% harder, terwijl dat percentage afneemt tot circa 5% bij een windsnelheid van 33 m/s. De grootheid u10 is berekend met de zogenaamde ‘open-water-transformatie’, zie bijlage D van [De Waal, 2003], die ook werd toegepast in het programma Hydra-M voor het IJsselmeer volgens [HR 2001]. De transformatie rekent de potentiële wind om naar u10 met behulp van een waterruwheidsformulering, waarbij wordt aangenomen dat de wind op mesoniveau (op 60 meter hoogte) boven water en boven land uniform is.15

15

Uit Figuur 4.8 van [Wieringa en Rijkoort, 1983] blijkt dat de potentiële wind forse ruimtelijke variaties vertoont, die direct verband houden met de landschapsruwheid. Dit geldt ook voor de mesowind, omdat deze direct gekoppeld is aan de potentiële wind (hun formule 4.2). Het is dus te verwachten dat boven voldoende brede wateren de mesowind sterker is dan boven land [Persoonlijke communicatie met Bottema en De Waal

52

pot. wind

10 m wind

pot. wind

10 m wind

pot. wind

m/s

m/s

m/s

m/s

m/s

10 m wind m/s

0

0

17

18.53

34

35.59

1

1.12

18

19.56

35

36.56

2

2.25

19

20.59

36

37.53

3

3.37

20

21.62

37

38.5

4

4.49

21

22.64

38

39.47

5

5.61

22

23.66

39

40.43

6

6.74

23

24.68

40

41.39

7

7.86

24

25.69

41

42.34

8

8.97

25

26.69

42

43.3

9

10.06

26

27.69

43

44.25

10

11.14

27

28.69

44

45.2

11

12.21

28

29.69

45

46.14

12

13.28

29

30.68

46

47.08

13

14.34

30

31.67

47

48.03

14

15.39

31

32.65

48

48.96

15

16.44

32

33.64

49

49.9

16

17.49

33

34.62

50

50.83

Tabel 4.6 Transformatie van de potentiële windsnelheid naar windsnelheid op 10 m hoogte boven open water. Berekend door Claessens (RIZA-WSH) op basis van [De Waal, 2003]. De golfgegevens kunnen nu worden bepaald met behulp van de formules van Bretschneider [Leidraad rivierdijken deel 2, 1989], die luiden Hs =

⎛ 0.0125 ⎛ gF ⎞0.42 ⎞ 0.283u10 2ν 1 tanh ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ν 1 ⎝ u10 2 ⎠ ⎟ g ⎝ ⎠

⎛ 0.077 ⎛ gF ⎞0.25 ⎞ 2.4π u10ν 2 Ts = tanh ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ν 2 ⎝ u10 2 ⎠ ⎟ g ⎝ ⎠

⎛

⎛ gd ⎞ 2 ⎟ ⎝ u10 ⎠

0.75

ν 1 = tanh ⎜ 0.530 ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(4.6)

0.375 ⎛ ⎞ ⎛ gd ⎞ ν 2 = tanh ⎜ 0.833 ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ u10 ⎠ ⎝ ⎠

(4.7)

waarbij verder wordt aangenomen dat Tp = 1.08Ts

(4.8)

De symbolen hebben de volgende betekenis. Hs Tp Ts F d u10 g

significante golfhoogte piekperiode significante golfperiode effectieve strijklengte uit (4.5) effectieve waterdiepte uit (4.4) windsnelheid op 10 m hoogte boven open water (geen potentiële wind) de valversnelling

m s s m m m/s m/s2

De golfrichting, in graden, zal worden aangeduid met de letter θ. Bij gebruik van Bretschneider, zoals tot dit moment in Hydra-B het geval is, wordt aangenomen: golfrichting θ = windrichting r ,

indien golfparameters uit Bretschneider volgen

(4.9)

(beiden RIZA-WSH); zie ook De Waal, 2003]. De open-water-transformatie onderschat in dat geval de windsnelheid u10. 53

Het ligt in de bedoeling in de toekomst de golfgegevens te berekenen met SWAN. De door SWAN berekende θ zal dan (in het algemeen) verschillen van r. Het computerprogramma Hydra-B is zo geïmplementeerd dat behalve met Bretschneider ook gerekend kan worden met vooraf in een database opgeslagen golfparameters. Deze golfparameters kunnen in de toekomst dan met SWAN worden berekend. Hydra-B hoeft in principe voor het gebruik van SWAN dus niet te worden aangepast. Wel moeten buiten Hydra-B om nog de nodige handelingen op databaseniveau worden verricht. Mogelijk zal in de toekomst Hydra-B toch anders worden ingericht, zodat manipulaties met databases niet meer nodig zijn maar intern in Hydra-B worden verricht.

4.4.3 Modules voor dam, voorland en dijk In Hydra-B kan ten behoeve van de faalmechanismes golfoploop en golfoverslag het hydraulisch belastingniveau worden bepaald met behulp van een dam-, een voorland- en een dijkmodule, zie figuur 4.6 ter illustratie. Het rekening houden met een dam en/of voorland wordt aan de gebruiker overgelaten. Een gebruiker kan in Hydra-B ervoor kiezen zowel met een dam als voorland rekening te houden, of alleen met een dam, of alleen met een voorland of met geen van beide. De dijkmodule – ook vaak aangeduid als oploop- en overslagmodule – waarbij in de berekening een keuze moet worden gemaakt uit 2%-golfoploop of golfoverslag bij een opgegeven debiet, wordt altijd in de berekening betrokken. De in Hydra-B gebruikte modules zijn dezelfde als die in het voor het IJsselmeer gebruikte programma Hydra-M volgens [HR 2001]. De modules worden uitgebreid beschreven en becommentarieerd in [De Waal, 1999]. De beschrijving in deze paragraaf en in de paragrafen 4.4.4. t/m 4.4.6 is grotendeels (vaak letterlijk) ontleend aan deze referentie; ook de weergegeven figuren zijn hieraan ontleend. Alleen waar in de referentie sprake is van zaken die specifiek betrekking hebben op het IJsselmeer en op HydraM, is de beschrijving aangepast om van toepassing te zijn op het Benedenrivierengebied en op Hydra-B. Voor een juiste toepassing van de modules in de praktijk wordt de lezer met nadruk aangeraden de genoemde referentie te consulteren om zich op de hoogte te stellen van de veronderstellingen en beperkingen die aan de fysische modellering van de diverse golfverschijnselen ten grondslag liggen.

Bret schn eider Hs, Tp

belast in gn iv eau

wind

NAP

h oo g v oo rlan d

bo dem

da m

dijk teen

voorla nd

dijk

Figuur 4.6 Overzicht van de modules voor dam, voorland en dijk. Figuur 4.6 geeft een schematische voorstelling van de manier waarop de modules samenhangen. In de figuur is de dijkteen aangegeven; in een Hydra-B-berekening is dat een punt uit de hiervoor genoemde toetspuntendatabase. In paragraaf 4.4.1 en 4.4.2 is uitgelegd hoe ten behoeve van Bretschneiders formules de effectieve strijklengte, bodemhoogte en waterdiepte zijn bepaald voor de dijkteen. De met Bretschneider bepaalde golfparameters Hs en Tp zijn daarom reperesentatief voor de teen van de dijk. Indien een Hydra-Bberekening wordt gemaakt met een dam (en eventueel een voorland) worden deze golfparameters zoals aangegeven in figuur 4.6 echter representatief geacht direct voor de dam. Het gevolg is dat direct voor de dam de effectieve strijklengte dan wordt overschat en de bodemhoogte (mede afhankelijk van de lengte van het voorland) te hoog uitvalt; vanwege dat laatste wordt de effectieve waterdiepte direct voor de dam onderschat. Daarom wordt in Hydra-B de mogelijkheid aan de gebruiker geboden de effectieve strijklengte en bodemhoogte ‘handmatig’ aan te passen. Indien zonder dam maar met een voorland wordt gerekend, gelden dezelfde beweringen. We zullen nu zeer beknopt de drie modules bespreken. Daarbij wordt slechts op een klein deel van de fysische en programmeertechnische zaken die in [De Waal, 1999] aan de orde komen gewezen.

54

4.4.4 Dammodule In de dammodule worden de hydraulische randvoorwaarden van buiten de dam vertaald (getransformeerd) naar nieuwe hydraulische randvoorwaarden direct binnen de dam. Deze transformatie vindt plaats door formules voor golftransmissie toe te passen. Bij golftransmissie neemt met name de golfhoogte af. De transformatie van de hydraulische condities in de dammodule is gebaseerd op de formules van [Goda, 1969] en [Seelig, 1979], zoals deze zijn bijeengebracht door de Bouwdienst van de Rijkswaterstaat. De transmissie over de dam heeft in de huidige opzet uitsluitend invloed op de significante golfhoogte. De piekperiode, golfrichting en waterstand voor en na de dam blijven bij de toegepaste formules gelijk. De dam moet met twee kenmerken worden gekarakteriseerd. Het eerste kenmerk betreft het damtype, waarbij gekozen kan worden uit een (trapeziumvormige) dam, een caisson en een verticale wand, zie figuur 4.7. Het tweede kenmerk betreft het kruinniveau in meters ten opzichte van NAP. Er worden geen eisen gesteld ten aanzien van het in te voeren kruinniveau. De significante golfhoogte direct achter de dam (landzijde) wordt verondersteld alleen te worden veroorzaakt door golftransmissie over de dam heen – er wordt geen rekening gehouden met eventuele golfdoordringing door openingen in de dam. Dat laatste is eigenlijk strijdig met de aanname van een waterstand die voor en na de dam gelijk is indien sprake is van een afgesloten basin achter een dam die geen water doorlaat (niet-poreuze dam). In feite wordt aangenomen dat de dam wat de waterstand betreft gaten bevat (of poreus is), waardoor voor en na de dam eenzelfde waterstand resulteert, terwijl wat de golven betreft de dam geen gaten bevat.

dam

caisson

wand

Figuur 4.7 Damtypes.

4.4.5 Voorlandmodule In de voorlandmodule worden de hydraulische randvoorwaarden aan het begin van het voorland, dat wil zeggen de grens tussen voorland en open water of het punt direct na een dam als deze aanwezig is, vertaald (getransformeerd) naar nieuwe hydraulische randvoorwaarden aan de teen van de dijk. Over het traject tussen het begin van het voorland en de dijkteen kunnen zich zoals geïllustreerd in figuur 4.6 bodemveranderingen voordoen (een bodem ligt beneden NAP) en er kan een hoog voorland (boven NAP) aanwezig zijn. Onder extreme condities kan ook dit hoge voorland onder water komen te staan. De transformatie van de hydraulische randvoorwaarden in de voorlandmodule gebeurt met het WL-model ENDEC. ENDEC is een acroniem voor ENergy DECay en is als stand-alone 1-dimensionaal PC-programma ontwikkeld. ENDEC berekent de verandering van de golfhoogte en de golfrichting, maar niet van de golfperiode,

als gevolg van: • • • • •

refractie shoaling energieverlies door golfbreking energieverlies door bodemwrijving energiewinst door golfgroei

Bovendien berekent ENDEC de (doorgaans geringe) verandering van de waterstand als gevolg van golf-setdown en golf-setup. Zoals vermeld kan ENDEC geen verandering van de golfperiode (afname door breking of toename door wind) berekenen. Dit is niet zo erg, zo lang de door de golven af te leggen weg op het open water tot aan het begin van het voorland maar lang is in verhouding tot de lengte van het voorland.

55

Het stand alone model is ten behoeve van Hydra-M aangepast op een zodanige manier dat het volledig automatisch werkt. Hiervoor was het nodig dat er enkele aanpassingen werden gedaan, met name in die zin dat de voorlandmodule onder (vrijwel) alle omstandigheden zou moeten werken. In het volgende wordt op enkele aspecten van de het model ENDEC en de voorlandmodule ingegaan. Het voorlandprofiel moet middels profielpunten met daartussen rechte stukken worden opgegeven. Ten aanzien van de invoer worden de volgende eisen aan het voorlandprofiel gesteld: 1. 2. 3. 4.

De absolute waarde van de bodemhelling mag ten hoogste 1:10 zijn. Het bodemniveau mag niet onder het niveau van het meest aflandige punt komen. De afstand tussen twee profielpunten moet minstens 10 m zijn. Het aantal profielpunten mag ten hoogste 25 zijn.

De eerste eis betreft de grens van het toepassingsgebied van het golfmodel ENDEC. Steilere taluds dan 1:10 zijn met ENDEC nooit geverifieerd. De tweede eis voorkomt dat schuin invallende golven terug-refracteren in aflandige richting. De laatste twee eisen vloeien voort uit schematisatie overwegingen. Het identificeren van veel relatief kleine details in het voorland is vrijwel nooit zinvol. In de eerste plaats is de rekenmethodiek zelf betrekkelijk eenvoudig en dus grof. En in de tweede plaats dient de schematisatie representatief te zijn voor een kuststrook met een lengte (langs de oever gemeten) van globaal twee maal de afstand tussen het begin van het voorland en de teen van de dijk. Het model ENDEC is een 1-dimensionaal model. Dit betekent dat de bodemligging in langsrichting (dat wil zeggen in de richting van de dijk-as) uniform wordt verondersteld. Dit betekent bijvoorbeeld dat de dieptelijnen worden verondersteld parallel aan de kust te lopen. De figuren 4.8-a en 4.8-b geven een indruk van de consequenties die deze 1D-schematisatie kan hebben. De fout in de waterstand en de golfcondities ter plaatse van de dijkteen neemt bij toepassing van de huidige voorlandmodule dus toe naarmate: • • •

de variatie in het bodemprofiel in langsrichting toeneemt de afstand tussen het begin van het voorland en de dijkteen toeneemt de golven bij het begin van het voorland schever invallen ten opzichte van de lijn tussen het begin van het voorland en de dijkteen

Deze fouten zijn inherent aan de 1D-schematisatie en zijn in deze opzet derhalve niet op te lossen.

dijkteen

voorlandprofiel

dieptecontouren w go erke l bi ve lijk jd n ez vo e ba e g or an ol de va fri ze n ch di de tin jk g loc ati e

begin voorland

Figuur 4.8-a Voorbeeld van een 2-dimensionale situatie met de werkelijke golfrichting.

56

dijkteen

voorlandprofiel

schematisatie dieptecontouren

begin voorland Figuur 4.8-b Voorbeeld van figuur 4.8-a geschematiseerd volgens ENDEC, met als gevolg een sterkere buiging van de golven dan in werkelijkheid. In het originele ENDEC-model wordt geen opwaaiing door de wind berekend. Omdat er situaties denkbaar zijn dat de opwaaiing boven het voorland, dus op het traject van het begin van het voorland tot de dijkteen, ook een rol speelt, is deze opwaaiing in de voorlandmodule geprogrammeerd. De aanpassing die gemaakt is wordt in [Ris, 1997] onderbouwd. In de module wordt voor het bodemprofiel afzonderlijk eerst de opwaaiing berekend alvorens een ENDEC-berekening uit te voeren. Hierbij wordt voor het bodemprofiel een gemiddelde bodemdiepte uitgerekend en voor deze sterk geschematiseerde situatie met constante waterdiepte wordt op analytische wijze de opwaaiing berekend. De berekende windopzet wordt toegevoegd aan de locale waterdiepte. Zie voor de juiste formules [Ris, 1997]. Op overgangen van het ene bodemprofieldeel op het andere wordt via interpolatie de windopzet in rekening gebracht. Merk op dat het meenemen van de windopzet in de voorlandmodule in de toepassing in Hydra-B tot een soort van ‘dubbeltelling’ van de windopzet kan leiden (tenminste voor brede voorlanden). Zoals in paragraaf 4.4.3 opgemerkt gelden de in Hydra-B gebruikte effectieve strijklengte en bodemhoogte waarmee de opwaaiing wordt berekend immers voor de teen van de dijk in plaats van voor het begin van het voorland, zodat de opwaaiing over het voorland al in de door Hydra-B gegeven locale waterstand is verwerkt.16 Erg bezwaarlijk is deze dubbeltelling meestal niet, omdat het effect vaak slechts orde centimeters betreft. Alleen bij brede en zeer hoog liggende voorlanden, met geringe waterdieptes, kan de (dubbel getelde) opwaaiing tot orde decimeters zijn, en dan alleen nog in combinatie met veel wind; die situatie kan zich alleen voordoen op het Haringvliet en Hollandsch Diep. Daarnaast dient wel bedacht te worden dat de opwaaiing zowiezo op sterk vereenvoudigde wijze wordt berekend, namelijk 1-dimensionaal met een constante bodemhoogte. Om de gemiddelde bodemhoogte in bovenwindse richting te bepalen wordt zoals eerder opgemerkt het gemiddelde van het bodemprofiel bepaald, waarbij de eerste en laatste 25 meter van het bodemprofiel niet worden meegerekend. Een zeer smal voorland (minder dan 25 meter) wordt in deze middeling dus niet betrokken. Voor deze smalle voorlanden vindt dus geen dubbeltelling plaats (die dubbeltelling zou dan overigens bijzonder gering zijn). Het rekenen met een constante (gemiddelde) bodemhoogte vormt uiteraard een vereenvoudiging, die kan leiden tot een onderschatting van de opwaaiing. Denk bij dat laatste aan een zeer diepe maar niet al te brede geul; deze heeft in de berekening een grotere effectieve waterdiepte tot gevolg, met dientengevolge minder opwaaiing, terwijl in werkelijkheid deze (smalle) geul weinig effect heeft op de mate van opwaaiing. Verder is relevant te bedenken dat in de berekening van opwaaiing het verhang in de dwarsrichting wordt ‘gekanteld’ om de Sobektak. Omdat de brede wateren met twee Sobektakken worden gemodelleerd worden hier onnauwkeurigheden in de berekening van de dwarsopwaaiing geïntroduceerd. Deze problemen zijn alleen op te lossen door 2-dimensionaal te rekenen, wat onmiddelijk aanzienlijk gecompliceerdere modellen noodzakelijk maakt. Het 1-dimensionaal berekenen van opwaaiing en van het effect van golven heeft nu eenmaal onnauwkeurigheden tot gevolg. In de uiteindelijke resultaten voor de belasting op de dijk vormt de onnauwkeurigheid in de berekende opwaaiing vermoedelijk een geringe rol ten opzichte van andere factoren. 16

Het handmatig door de gebruiker in Hydra-B wijzigen van de effectieve strijklengte en bodemhoogte heeft alleen invloed op de golfrandvoorwaarden Hs en Tp maar niet op de in de toetspuntendatabase opgeslagen locale waterstand. 57

4.4.6 De dijkmodule In de dijkmodule worden de hydraulische randvoorwaarden ter plaatse van de teen van de dijk vertaald (getransformeerd) naar een belastingniveau op de dijk, zie figuur 4.9. In de huidige opzet bestaat deze alleen uit golfoploop of golfoverslag. De maat voor de belasting wordt hydraulisch belastingniveau genoemd en wordt uitgedrukt als hoogte in meters ten opzichte van NAP. Dit hydraulisch belastingniveau is vrij vertaald een maat voor het benodigde kruinniveau van de dijk bij gegeven dijkprofiel.17 De hydraulische condities aan de teen van de dijk waar in de figuur sprake van is zijn: • • • •

de (getransformeerde) locale waterstand de (getransformeerde) significante golfhoogte Hs de piekperiode Tp de (getransformeerde) golfrichting θ

Als de dam- en voorlandmodule niet worden gebruikt zijn dit dezelfde randvoorwaarden als die uit paragraaf 4.4.2. Als er wel een dam en/of een voorland wordt gemodelleerd zijn het de berekende randvoorwaarden bij de teen van de dijk. We brengen in herinnering dat bij toepassing van de dammodule (paragraaf 4.4.4) van deze vier grootheden slechts Hs een wijziging kan ondergaan, terwijl bij toepassing van de voorlandmodule (paragraaf 4.4.5) daarnaast ook de locale waterstand en de golfrichting kunnen wijzigen. In de in Hydra-B toegepaste damen voorlandmodule blijft de piekperiode dus altijd ongewijzigd.

hydra ulisc he cond itie s

dijk mod ule

hydra ulisc h be lastingnivea u

NAP

op loop niveau

SW L

op loop hoogte

buit enk ruin lijn

t een

Figuur 4.9 Illustratie van de dijkmodule. Het grootste en belangrijkste onderdeel van de dijkmodule wordt gevormd door de berekening van de golfoploop- of golfoverslaghoogte ten opzichte van de stilwaterlijn (SWL). Deze SWL wordt elders in dit rapport gewoonlijk aangeduid als de locale waterstand. De berekening van golfoploop en golfoverslag is volledig gebaseerd op het werk van Van der Meer [Van der Meer, 1997]. Dat werk is een aangepaste versie van eerdere formuleringen van golfoploop en golfoverslag uit [Van der Meer, 1993]. Het meest recente verslag is inmiddels met enkele kleine wijzigingen als een TAW-publicatie uitgebracht, zie [TAW, 2002]. In [De Waal, 1999] worden de mogelijkheden, beperkingen en wijzigingen besproken zoals deze voor de geprogrammeerde dijkmodule in Hydra-M gelden. Voorzover die opmerkingen slechts de dijkmodule betreffen – en niet gaan over de specifieke manier waarop de hydraulische randvoorwaarden voor het IJsselmeer zijn bepaald die slechts de invoer van de module betreffen – gelden deze opmerkingen ook voor Hydra-B. Hieronder wordt slechts op enkele aspecten van de dijkmodule ingegaan; voor achtergronden wordt de lezer verwezen naar [De Waal, 1999] en [TAW, 2002].

17

Factoren als zetting, klink en toeslagen voor seiches en buistoten enzovoorts blijven hier buiten beschouwing.

58

Eerst worden de preciese definities gegeven van golfoploophoogte, golfoverslag en golfoverslaghoogte; de eerste twee definities zijn overeenkomstig [TAW, 2002] en de laatste overeenkomstig [De Waal, 1999]. •

De golfoploophoogte wordt gegeven door z2%. Dat is het golfoploopniveau, verticaal gemeten ten opzichte van de stilwaterlijn, waarbij het aantal oplopen dat dit niveau overschrijdt 2% is van het aantal inkomende golven. Het aantal overschrijdingen wordt hierbij gerelateerd aan het aantal inkomende golven en dus niet aan het aantal oplopen. Het golfoploopniveau van een individuele oploop wordt bepaald door het niveau waarbij de watertong minder dan 2 cm dik wordt.

•

De golfoverslag wordt gegeven als een gemiddeld debiet per strekkende meter breedte, bijvoorbeeld in m3/m per s of in l/m per s. De golfoverslag wordt berekend ten opzichte van de hoogte van de buitenkruinlijn (zie figuur 4.9) en er wordt van uitgegaan dat deze overslag ook de achterkant van de kruin en het binnentalud bereikt.

•

De golfoverslaghoogte is de hoogte ten opzichte van de stilwaterlijn waarbij een bepaald opgegeven debiet optreedt. Iets preciezer gezegd is de golfoverslaghoogte het verschil tussen het niveau van de buitenkruinlijn en de stilwaterlijn in de situatie dat de buitenkruinlijn zó hoog ligt dat de overslag daarover precies gelijk is aan het opgegeven debiet.

In het buitenbeloop van een dijk kunnen tussen de teen en de kruin in het algemeen verschillende delen worden onderscheiden op basis van de helling en het bekledingstype. Deze delen worden hieronder de profieldelen genoemd. In de dijkmodule wordt bij de bepaling van de oploop- of overslaghoogte rekening gehouden met de volgende aspecten: • • • • •

de invloed van de helling van de verschillende profieldelen de invloed van eventuele bermen in het profiel de invloed van de ruwheidskenmerken van de verschillende profieldelen de invloed van de hoek van golfaanval het opgegeven criterium (2%-golfoploop of een overslagdebiet)

De gebruiker dient in Hydra-B ten behoeve van de dijkmodule de volgende dijkkenmerken op te geven: • • • •

de richting van de normaal van de dijk de reeks coördinaten van profielpunten het ruwheidstype van ieder profieldeel de keuze tussen 2%-golfoploop en golfoverslag; in het laatste geval dient een bepaald overslagcriterium te worden opgegeven.

Voor nadere details en restricties aan de invoer wordt de lezer verwezen naar [De Waal, 1999].

4.4.7 Combineren van maximale wind en maximale waterstand In paragraaf 4.3 is uitgelegd hoe de waterstandsommen met Sobek zijn gemaakt. Daarbij werd een waterstandverloop (afkomstig van een stormvloed) op zee gecombineerd met een windveld boven het gebied. Om de maximale belasting op een locatie in het Benedenrivierengebied te bepalen, wordt in Hydra-B de maximale windsnelheid in een storm gecombineerd met de maximale waterstand (inclusief dwarsopwaaiing voor dijkteenlocaties) op de betreffende locatie. De maximale windsnelheid betreft hier in feite de windsnelheid die optreedt tijdens het (extreme) hoogwater te Maasmond. Hier wordt dus geen rekening gehouden met het feit dat de maximale windsnelheid op de locatie op een ander moment kan optreden dan de maximale waterstand. Zo kan bijvoorbeeld voor Moerdijk, afhankelijk van de beschouwde afvoer, zeewaterstand en keringsituatie, het een aantal uren tot zelfs een getijperiode duren voor een stormvloed bij Maasmond zich door het gebied heeft verplaatst naar de betreffende locatie. Tevens verplaatst een stormveld zich met een bepaalde snelheid over het gebied, in de regel met een hogere snelheid dan de waterstand zich verplaatst. Het combineren van de maximale wind met de maximale waterstand betekent met name voor locaties ver landinwaarts een overschatting van de golfaanval, of beter gezegd van de maximale belasting (het gecombineerde effect van waterstand en golfaanval). Met name op het Haringvliet en Hollandsch Diep, waar windgolven erg belangrijk zijn, kan dat het geval zijn: terwijl de windsnelheid in de tijd afneemt, kan het voorkomen dat de waterstand nog steeds toeneemt. De werkelijk optredende maximale belasting kan dan eerder optreden dan het moment dat de maximale waterstand wordt bereikt, bij een windsnelheid die lager is dan de

59

maximale windsnelheid die een aantal uren eerder is opgetreden. Het combineren van de maximale wind en waterstand werd in het verleden eveneens in het programma Dijkring [Volker, 1989; Den Heijer, 1994] toegepast. Het lijkt voor de hand te liggen het (trapeziumvormige) windverloop dat in de Sobeksommen is gebruikt ook te gebruiken om het moment van maximale belasting te vinden gedurende de tijdsduur dat de waterstand op een locatie toeneemt en de windsnelheid afneemt. Dat is niet gedaan. In bijlage 2 wordt beargumenteerd dat het gebruikte windveld, met een basisduur van 29 uur, wel geschikt is om waterstanden te berekenen, maar niet om op betrouwbare wijze windgolven mee te bepalen. We geven hier kort wat commentaar. De met Sobek berekende waterstanden zijn betrekkelijk ongevoelig voor de precieze windmodellering. Bijvoorbeeld een 5 m/s hogere windsnelheid levert slechts orde 0.10 m hogere waterstanden. Wanneer bedacht wordt dat een 5 m/s hogere windsnelheid ongeveer een factor 20 kleinere kans van optreden heeft, blijkt dat de berekende waterstanden dus vrij ongevoelig zijn voor de kracht van de storm. Min of meer hetzelfde blijkt te gelden voor het tijdstip (ten opzichte van de stormopzet) waarop het maximum van de storm optreedt en voor de duur van de storm. Daarnaast is ook de precieze ‘vorm’ van de storm voor de berekende waterstanden relatief onbelangrijk. Bijvoorbeeld een storm met twee toppen in plaats van de ene top volgens het trapezium zal de waterstanden niet al te zeer doen veranderen. Omdat de hier genoemde punten, namelijk tijdstip stormmaximum, duur van de storm en precieze tijdsverloop relatief onbelangrijk zijn voor de berekende waterstanden, is voor het windveld dezelfde modellering als in het verleden toegepast. Indien dit windveld (trapezium met basisduur 29 uur, met tijdstip stormmaximum gelijk aan het tijdstip van het maximum van de stormopzet) voor het bepalen van windgolven zou worden toegepast, zouden de windgolven worden onderschat. Ten eerste is de basisduur van 29 uur vermoedelijk te kort, een duur van 35 uur of zelfs 40 uur lijkt een betere keuze, wat inhoudt dat de windsnelheid in een storm langzamer afneemt dan volgens het in Sobek gebruikte windveld. Ten tweede vertoont een werkelijke storm een veel grilliger verloop dan het (eentoppige) trapezium; een tweede en iets lagere top die volgt op de eerste heeft op de waterstanden dan wel niet zo veel invloed, maar kan voor aanmerkelijke windgolven zorgen nabij het tijdstip dat de maximale waterstand wordt bereikt. Ten derde heeft een depressie een bepaalde treksnelheid over het land. Een zeer langzaam van west naar oost overtrekkende depressie reist als het ware enigszins mee met de het gebied inlopende stormvloed. Een vierde punt is dat, omdat de windmodellering ten behoeve van de golven vrij nauw steekt, het in principe wenselijk is de vorm van de storm stochastisch te behandelen in plaats van op deterministische wijze met één trapezium. Dan zouden bij voorkeur zowel het tijdstip van de storm, de duur van de storm en het type van de storm (één- en tweetoppige stormen) als stochasten moeten worden meegenomen. Het aantal benodigde Sobeksommen zou dan met iets van een factor 20 (20 * 7000 = 140000 in plaats van 7000 sommen) toenemen, hetgeen op dit moment praktisch niet haalbaar is. Daarnaast dient ook uitgebreid onderzoek te worden verricht om de benodigde kansverdelingen af te leiden. Samengevat kan het volgende worden gesteld. Indien het in de Sobeksommen gebruikte windveld wordt gebruikt om het gecombineerde effect van waterstand en golven te bepalen, worden de windgolven onderschat vanwege vier redenen: 1. 2. 3. 4.

De basisduur van 29 uur van het trapezium is vermoedelijk te kort. Werkelijke stormen hebben een veel grilliger verloop dan het trapezium. Een depressie heeft een zekere treksnelheid over het gebied; de storm zal veelal ‘enigszins meereizen’ met de het gebied inlopende stormvloed. Het windveld dient stochastisch in plaats van deterministisch te worden meegenomen.

Omdat het op de juiste wijze verdisconteren van deze punten op praktische problemen stuit (met name vanwege het grote aantal vereiste Sobeksommen) en verder veel nader onderzoek vergt, is simpelweg gekozen voor de veilige benadering van het combineren van de maximale waterstand met de maximale windsnelheid. Het is moeilijk aan te geven in welke mate het hydraulisch belastingniveau door deze veilige benadering wordt overschat.18 18

Het lijkt plausibel dat het voor Haringvliet en Hollandsch Diep, afhankelijk van de beschouwde locaties en dijkkenmerken, om meerdere decimeters kan gaan. Voor deze locaties geeft de open-water-transformatie (paragraaf 4.4.2) echter een onderschatting van de wind – wat een onveilige aanpak betekent. Tevens wijzen recente golfmetingen op het IJsselmeer erop dat de met Bretschneider berekende Hs en Tp worden onderschat [Persoonlijke communicatie met Bottema] – wat eveneens een onveilige aanpak betekent. De persoonlijke indruk van schrijver dezes is dat de extra veiligheid door het combineren van maximale waterstand en maximale wind meer dan teniet wordt gedaan door de genoemde twee onveilige factoren.

60

4.5 Wiskundige formulering van de hydraulische belasting In Hydra-B kan zoals eerder al uitgebreid aan de orde is geweest gerekend worden met de faalmechanismes overloop (ten behoeve van waterstandsberekeningen), 2%-golfoploop en golfoverslag. In deze paragraaf geven we ten behoeve van de preciese formulering van de Hydra-B formules een nette wiskundige formulering van deze faalmechanismes. Daarbij maken we gebruik van de grootheid H(q,u,m,r,Ω), welke de hydraulische belasting op de beschouwde locatie voorstelt. De belasting H heeft altijd de eenheid m+NAP, en is een functie van de rivierafvoer q (Rijn te Lobith of Maas te Lith), de windsnelheid u boven het gebied, de zeewaterstand m te Maasmond, de windrichting r en de keringstoestand Ω (open of dicht). Elk van de drie faalmechanismes geeft aanleiding tot een andere hydraulische belasting H(q,u,m,r,Ω) op de beschouwde locatie. In het vervolg wordt uitgelegd hoe H voor elk van de mechanismes in Hydra-B wordt berekend. Zoals in paragraaf 4.3 en 4.4 beschreven kan voor elk van de circa 7000 combinaties (q,u,m,r,Ω) de locale waterstand op een willekeurige locatie worden berekend. Deze locale waterstand is de maximale waterstand bepaald met Sobek, eventueel vermeerderd (voor dijkteenlocaties) met het dwarsverhang tengevolge van wind. Door lineaire interpolatie en extrapolatie wordt in Hydra-B uit deze 7000 combinaties de locale waterstand voor een willekeurige combinatie (q,u,m,r,Ω) bepaald. We gebruiken als notatie hloc = hloc (q, u , m, r , Ω) = locale waterstand op de beschouwde locatie, inclusief dwarsverhang, in m + NAP,

(4.10)

als functie van de randvoorwaarden q, u, m, r , Ω

Voor het faalmechanisme overloop heeft de hydraulische belasting simpelweg de vorm H (q, u , m, r , Ω) = hloc (q, u, m, r , Ω)

(4.11)

Ten behoeve van het mechanisme 2% - golfoploop zijn de grootheden Hs, Tp en θ aan de teen van de dijk nodig, die zoals eerder beschreven volgen uit Bretschneider en eventueel de dam- en/of voorlandmodule. Deze grootheden hangen onder meer, via de effectieve bodemhoogte en strijklengte, af van de riviergeometrie. Ze hangen ook af van q,u,m,r,Ω, omdat deze grootheden de locale waterstand bepalen, welke op zijn beurt weer de in de formule van Bretschneider gebruikte waterdiepte bepaalt. Derhalve kunnen we schrijven H s = H s (q, u , m, r , Ω)

(4.12)

Tp = Tp (q, u, m, r , Ω)

(4.13)

θ = θ (q, u , m, r , Ω)

(4.14)

Met de eerder beschreven dijkmodule kan dan, nadat diverse dijkgegevens als de dijknormaal, taludruwheden en dergelijke, de 2%-golfoploop h2% worden bepaald. De belasting voor het mechanisme 2%-golfoploop wordt dan gegeven door H (q, u , m, r , Ω) = hloc (q, u, m, r , Ω) + h2% (q, u , m, r , Ω)

(4.15)

Analoog hieraan kan de belasting H voor het mechanisme golfoverslag worden geformuleerd, zie formule (4.19). We zullen echter een andere weg volgen om aan deze formule te komen, die voor sommige lezers wellicht verhelderend werkt. Beschouw een gegeven dijkprofiel met dijkhoogte h. Indien Hs, Tp en θ aan de teen van de dijk bekend zijn, evenals de overige dijkgegevens, kan met de dijkmodule het overslagdebiet qov bepaald worden, in liters per seconde per strekkende meter. Het overslagdebiet is (onder andere) een functie van h, hloc, Hs, Tp en θ zodat we kunnen schrijven qov = qov(h,hloc,Hs,Tp,θ). Bij een toenemende dijkhoogte h zal qov afnemen.19 Bij een beschouwd kritiek overslagdebiet qkrit zal er precies één dijkhoogte h = hkrit zijn waarvoor geldt qov (hkrit , hloc , H s , Tp , θ ) = qkrit

(4.16)

19

Bedenk dat voor een dijkhoogte h2 > h1 ook het deel van het profiel tussen h1 en h2 bekend moet zijn; bij een toenemende dijkhoogte dient dus een steeds hoger wordend dijkprofiel gegeven zijn. 61

De dijkhoogte hkrit is dan een functie van qkrit, hloc, Hs, Tp en θ. Omdat de laatste vier grootheden functies zijn van q,u,m,r,Ω, kunnen we dan schrijven hkrit = hkrit (qkrit , q, u, m, r , Ω) = de dijkhoogte in m + NAP waarvoor bij gegeven q, u, m, r , Ω het opgegeven overslagdebiet qkrit optreedt

(4.17)

De belasting H wordt dan gegeven, in m+NAP, door H (q, u , m, r , Ω) = hkrit (qkrit , q, u , m, r , Ω)

(4.18)

waar we de afhankelijkheid van qkrit niet expliciet in de notatie in het linkerlid hebben aangegeven. Deze belasting kan worden gesplitst in de locale waterstand en de in paragraaf 4.4.6 gedefinieerde golfoverslaghoogte hoverslag, zodat volgt H (q, u , m, r , Ω) = hloc (q, u, m, r , Ω) + hoverslag (qkrit , q, u, m, r , Ω)

(4.19)

4.6 Isovlakken, isolijnen en gerepareerde belastingen 4.6.1 Isovlakken en isolijnen In de Hydra-B berekeningen wordt gebruik gemaakt van isovlakken van de belasting H. Voor een gegeven richting r en keringsituatie Ω zijn dat (gekromde) vlakken in de driedimensionale (q,u,m)-ruimte waarop de belasting eenzelfde waarde heeft. Het isovlak voor niveau h, bij richting r en keringsituatie Ω, bestaat dus uit de punten (q,u,m) waarvoor geldt H (q, u , m, r , Ω) = h

(4.20)

Naast isovlakken wordt in Hydra-B gebruik gemaakt van isolijnen, die beschouwd kunnen worden als zekere doorsnijdingen van een (lineair) vlak met een isovlak. Deze isolijnen worden ook wel aangeduid als contouren of als betrekkingslijnen. Bijvoorbeeld, een isolijn van niveau h in het (q,m)-vlak bestaat, voor een gegeven windsnelheid u0, richting r en keringsituatie Ω, uit de punten (q,m) waarop de belasting de waarde h heeft: dus de punten (q,m) voldoen aan H (q, u0 , m, r , Ω) = h

(4.21)

Deze isolijn is de doorsnijding van het isovlak van niveau h uit (4.20) met het vlak u = u0. Met Hydra-B kunnen isolijnen grafisch worden weergegeven. Voor Rotterdam en Dordrecht worden voor waterstanden in figuur 4.10 en 4.11 een aantal isolijnen weergegeven voor richting WNW en u0 = 22.5 m/s; de bovenste figuren betreffen open keringen en de onderste dichte keringen. Merk op dat de isolijnen voor Rotterdam tamelijk steil lopen, omdat voor deze locatie de afvoer relatief van weinig belang is voor de waterstand. Bij Maasmond, waar de invloed van de afvoer volledig verdwenen is, lopen de isolijnen verticaal, terwijl bijvoorbeeld bij Tiel, waar de invloed van de zeewaterstand nagenoeg volledig verdwenen is, de isolijnen bijna horizontaal lopen. Wanneer het isovlak uit (4.20) wordt doorsneden met het vlak q = q0, resulteert een isolijn in het (u,m)-vlak, terwijl bij doorsnijding van het isovlak met het vlak m = m0 een isolijn in het (q,u)-vlak resulteert. Ook dergelijke isolijnen kunnen met Hydra-B grafisch worden weergegeven.

62

Figuur 4.10 Waterstand-isolijnen (Rijnsommen) te Rotterdam voor niveaus h = 2.0, 2.5, , 3.0, ..., 6.0 m+NAP in het vlak van afvoer en zeewaterstand bij een windsnelheid van 22.5 m/s en richting WNW. Boven: open keringen; onder: dichte keringen.

63

Figuur 4.11 Waterstand-isolijnen (Rijnsommen) te Dordrecht voor niveaus h = 2.0, 2.5, , 3.0, ..., 6.0 m+NAP in het vlak van afvoer en zeewaterstand bij een windsnelheid van 22.5 m/s en richting WNW. Boven: open keringen; onder: dichte keringen.

64

4.6.2 Gerepareerde belastingen De belasting H op een locatie is onder meer een functie van de afvoer q, windsnelheid u en zeewaterstand m. Het lijkt logisch dat een toename in q, u of m altijd een toename van H tot gevolg heeft. Dat blijkt echter niet het geval te zijn, in ieder geval niet wanneer waterstanden worden beschouwd. Figuur 4.12, die is overgenomen uit [De Deugd, 2002], laat ter illustratie resultaten voor waterstandsberekeningen zien voor Rotterdam, voor de windsnelheden 0, 10, 20, 30 en 42 m/s en afvoeren 4000, 6000, 8000 en 10000 m3/s. Dit zijn de windsnelheden en een deel van de afvoeren waarvoor de Sobeksommen zijn gemaakt (vergelijk tabel 4.5). Het betreft een som voor dichte keringen, bij richting WNW en zeewaterstand 3.05 m+NAP. Naief gedacht zou bij toenemende windsnelheid voor elke beschouwde afvoer een toename van de waterstand verwacht moeten worden, waarbij een lijn die hoort bij een hogere afvoer altijd zou moeten liggen boven een lijn die hoort bij een lagere afvoer. Dat blijkt niet zo te zijn. Voor de drie laagste afvoeren blijken de lijnen een dalend stuk te hebben, terwijl de lijn voor afvoer 4000 m3/s de lijnen voor 6000 m3/s en 8000 m3/s snijdt; daarnaast is bij windsnelheid 20 m/s de waterstand voor 8000 m3/s lager dan die bij 10000 m3/s.

H oogw aterstanden R otterdam W i nd r ichting :

292.5 gr ade n

Ze e w ate r s tand : 3.05 m +NAP To e s tand k e r in ge n: M ae s lant- e n Har te lk e r in g ge s lote n

Hoogw a te rsta nde n [m + NAP ]

3.50

Qbr= 4000 m 3/s Qbr= 8000 m 3/s

Qbr= 6000 m 3/s Qbr= 10000 m 3/s

3.00

2.50

2.00 0

10

20

30

40

50

W indsne lhe id [m /s]

Figuur 4.12 Waterstanden volgens Sobek te Rotterdam bij verschillende windsnelheden en afvoeren.

In [De Deugd, 2002] wordt aan de hand van diverse plaatjes uitgelegd dat deze verschijnselen (hoofdzakelijk) te maken hebben met de besturing van de Maeslantkering en in mindere mate met die van de Hartelkering. Kort gezegd zijn twee redenen aan te wijzen: 1.

Tijdens een stormvloed leveren twee opeenvolgende getijtoppen verhoogde zeewaterstanden aan de buitenzijde van een kering (Maeslant- dan wel Hartelkering). In veel situaties zal de kering na sluiting om de eerste getijtop buiten te houden daarna weer openen (spuitoestand); indien nodig zal een tweede sluiting plaatsvinden om de tweede getijtop buiten te houden. Soms zal de kering tijdens beide getijtoppen en de tijd daartussenin gesloten blijven; de kering sluit dan aan het begin van de eerste getijtop en opent pas nadat de tweede voorbij is. Het moment en de duur van de sluiting hangt af van de grootte van de afvoer en van de optredende windsnelheid. Bij een hogere windsnelheid kan het zijn dat de kering langer gesloten blijft, met als resultaat lagere waterstanden achter de keringen (aan de landzijde) dan bij een lagere windsnelheid het geval zou zijn.

65

2.

Bij (Rijn)afvoeren lager dan 6000 m3/s vindt een peilsluiting plaats; de sluitingsoperatie van de kering (Maeslant- dan wel Hartelkering) zal dan starten bij overschrijding van het waterniveau NAP +2,00 m ter plaatse van de kering. Voor de hogere afvoerniveaus ( ≥ 6000 m3/s) start de sluitingsoperatie bij de stroomkentering van eb naar vloed ter plaatse van de kering; dit is het moment waarop het zeewater het Noordelijk Deltabekken gaat binnenstromen. Afhankelijk van de beschouwde windsnelheid kan het voorkomen dat voor een afvoer groter dan 6000 m3/s de waterstanden ten gevolge van de kenteringssluiting lager uitvallen dan die voor de peilsluiting bij een afvoer lager dan 6000 m3/s.

Het is bijzonder illustratief een deel van de uitleg uit [De Deugd, 2002] hier weer te geven. Als toelichting op punt (1) worden daarom de figuren 4.13 t/m 4.15 gegeven, die zijn overgenomen uit de genoemde referentie. De figuren betreffen het sluitingsproces van de Maeslantkering voor een afvoer van 4000 m3/s (derhalve sprake van een peilsluiting) en windsnelheden van respectievelijk 10, 20 en 30 m/s; de windrichting en zeewaterstand zijn als in figuur 4.12. In figuur 4.13 bij windsnelheid 10 m/s is te zien dat de Maeslantkering na de eerste getijtop, die plaatsvindt rond 11:00 uur, het openmoment, namelijk binnenwaterstand groter dan buitenwaterstand, rond 20:00 uur bereikt wordt en het sluitcriterium voor Rotterdam bij de tweede top niet meer gehaald wordt. De maximale waterstand te Rotterdam is in figuur 4.13 bij de tweede getijtop immers gelijk aan circa 2.60 m+NAP, wat lager is dan het voor Rotterdam geldende sluitcriterium van 3.00 m+NAP. Tijdens de tweede getijtop, die optreedt rond 01:00 uur, blijft de kering dus geopend. Bij toenemende wind gaat door afwaaiing de waterstand aan de binnenzijde van de kering omlaag (vergelijk de blauwe lijnen in de figuren 4.13 t/m 4.15); tevens gaat de waterstand aan de buitenzijde door opwaaiing iets omhoog. Hierdoor komt het openmoment voor 20 m/s en hoger pas na de tweede getijtop te liggen. In figuur 4.14 blijkt het openmoment rond 20:00 uur nagenoeg gehaald te worden, omdat de binnenwaterstand bijna groter wordt dan de buitenwaterstand, maar de kering opent net niet; in figuur 4.15 is de binnenwaterstand rond 20:00 uur duidelijk lager dan de buitenwaterstand, zodat overduidelijk de kering gesloten blijft tijdens de tweede getijtop. Tot zover de illusttratie van punt (1).

3

Q=4000m /s W =10m/s

4.00

S V K W -binnenz ijde S V K W -buitenzijde Rotterdam

3.50

Wate r s tand [m NAP]

3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 -0.50 -1.00 0:00

4:00

8:00

12:00

16:00

20:00

0:00

4:00

8:00

Tijd

Figuur 4.13 Waterstanden Maeslantkering en Rotterdam bij windsnelheid 10 m/s en afvoer 4000 m3/s.

66

3

Q=4000m /s W =20m/s

4.00

S V K W -binnenzijde S V K W -buitenz ijde Rotterdam

3.50

Wate r s tan d [m NAP]

3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 -0.50 -1.00 0:00

4:00

8:00

12:00

16:00

20:00

0:00

4:00

8:00

Tijd

Figuur 4.14 Waterstanden Maeslantkering en Rotterdam bij windsnelheid 20 m/s en afvoer 4000 m3/s.

3

Q=4000m /s W =30m/s

4.00

S V K W -binnenz ijde S V K W -buitenzijde Rotterdam

3.50

Wate r s tan d [m NAP]

3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 -0.50 -1.00 0:00

4:00

8:00

12:00

16:00

20:00

0:00

4:00

8:00

Tijd

Figuur 4.15 Waterstanden Maeslantkering en Rotterdam bij windsnelheid 30 m/s en afvoer 4000 m3/s.

Tengevolge van punt (1) en (2) kunnen uiterst vreemde en onregelmatig gevormde isovlakken en isolijnen ontstaan, met bijvoorbeeld boven deze vlakken en lijnen gelegen ‘eilandjes’ van punten met een lagere belasting dan voor de omringende punten. Om robuuste programmatuur te verkrijgen zijn de belastingen in Hydra-B daarom gerepareerd, wat inhoudt dat met een zeker algoritme, zie bijlage 1, er voor gezorgd wordt dat bij een toename van q, u of m de belasting H nooit kan afnemen. De reparatie wordt eerst toegepast op de met Sobek berekende waterstanden en vervolgens, voor de faalmechanismes golfoploop en golfoverslag, ook nog eens op de belasting H uit (4.15) en (4.19). Na deze reparatieslag resulteren betrekkelijk nette isolijnen en isovlakken, zonder eilandjes daarboven. Bijlage 1 geeft ter illustratie voor Rotterdam isolijnen voor en na reparatie.

67

De genoemde reparatie betekent een veilige benadering, omdat belastingen immers soms iets worden verhoogd. Het blijkt dat de uitkomsten (in ieder geval voor waterstanden) niet erg afhangen van deze reparaties. Met het programma PC-Ring [persoonlijke communicatie met Henri Steenbergen] zijn met en zonder reparatie waterstanden berekend voor een terugkeertijd T = 10000 jaar, voor 55 locaties verspreid over het Benedenrivierengebied. Voor driekwart van deze locaties blijkt de reparatie een effect te hebben van niet meer dan 0.01 m; voor de overige locaties is het effect maximaal 0.03 m. Hierbij dient wel opgemerkt dat de berekeningen zijn uitgevoerd met FORM, wat een benaderingsmethode betreft.20 Het feit dat voor geen enkele locatie een groot effect wordt gevonden vormt echter een indicatie dat de reparatie geen groot effect zal hebben. Vermoedelijk komt dat omdat de ‘substantiële’ reparaties vooral plaatsvinden in situaties met relatief kleine kansbijdragen. Voor Rotterdam bijvoorbeeld vinden substantiële reparaties plaats voor de dichte keringen, terwijl het toetspeil van deze locatie juist voornamelijk wordt bepaald door de open situatie (zie paragraaf 2.7 en paragraaf 9.2). Nabij bijvoorbeeld Dordrecht is de dichte situatie eveneens van belang, maar dan scheelt het al of niet repareren niet zoveel. Zie ter illustratie de figuren in bijlage 1. Zojuist werd gesteld dat het repareren van de belastingen een veilige benadering inhoudt. Het is echter relevant te bedenken dat slechts een beperkt aantal combinaties (circa 7000 stuks) van randvoorwaarden met Sobek is doorgerekend. Tussen de uitkomsten van deze sommen wordt in Hydra-B lineair geïnterpoleerd om isolijnen en isovlakken te vormen, wat te zien is in figuur 4.10 en 4.11 aan het hoekige verloop van de isolijnen. Deze interpolatie brengt onnauwkeurigheden met zich mee, wat inhoudt dat de met Hydra-B berekende hydraulische belastingen iets te hoog of te laag zouden kunnen uitvallen. De grootte van deze fout is moeilijk in te schatten, want alleen te bepalen door een groot aantal extra Sobeksommen te maken, wat een zeer grote inspanning vormt. Naar de persoonlijke inschatting van schrijver dezes zullen de onnauwkeurigheden zeker orde centimeters bedragen.

werk elijke waters tand

2.80

interpolatie ex clus ief reparatie

Ho o g wate rstan d e n [m+NAP]

reparatie Hydra_b 2.70

2.60

2.50

2.40

2.30 0

10

20

30

40

50

Win d sn e lh e id [m/s]

Figuur 4.16 Illustratie van het effect van wel en niet rapareren. De lijn ‘interpolatie exclusief reparatie’ stemt overeen met die voor afvoer 4000 m3/s in figuur 4.12.

20

In de FORM berekening worden isovlakken gelineairiseerd in het ontwerppunt. Daarbij wordt in feite aan allerlei details van de isolijn voorbijgegaan. Ook worden eilandjes in de berekening niet betrokken. 68

Hiervoor is toegelicht dat ten eerste de in Hydra-B gebruikte reparatie een veilige benadering inhoudt en ten tweede dat de vanwege het beperkte aantal Sobeksommen noodzakelijke interpolatie tot onnauwkeurigheden kan leiden. Nu wordt toegelicht dat indien níet zou zijn gerepareerd in Hydra-B de interpolatie zó kan uitpakken dat het effect van de wind op de waterstand wordt onderschat. De Sobeksommen worden gemaakt voor u = 0, 10, 20, 30 en 42 m/s. Uit de hiervoor gegeven toelichting op de figuren 4.12 t/m 4.15 blijkt dat het al of niet sluiten voor een tweede getijtop, zie punt (1) hierboven, als het ware vrij abrupt plaatsvindt, in de zin dat bij de lagere snelheden de kering niet sluit bij de tweede getijtop en vanaf een zekere snelheid, zeg u0, opeens wel. In de figuren 4.13 t/m 4.15 zal deze snelheid net iets onder de 20 m/s liggen. Immers, zoals eerder opgemerkt wordt voor 20 m/s het openmoment net niet gehaald; voor een heel iets lagere snelheid zal dat dus wel het geval. Laten we om het concreet te houden stellen dat u0 = 19 m/s. (In principe zou u0 door extra Sobeksommen bepaald kunnen worden, maar de precieze waarde van u0 voegt weinig toe aan de discussie.) In figuur 4.16 geeft de paarse lijn de lijn voor afvoer 4000 m3/s uit figuur 4.12 aan; deze geeft de niet gerepareerde Sobekuitkomsten. Het werkelijke waterstandverloop zal er als functie van de (continue) windsnelheid ongeveer uitzien als de blauwe lijn in figuur 4.16. Dat verloop vertoont een abrupte daling bij 19 m/s van ruim 2 decimeter. Indien in Hydra-B niet zou worden gerepareerd zou de interpolatie volgens de paarse lijn plaatsvinden, waardoor van 10 tot 19 m/s de waterstand zou worden onderschat. Na de in Hydra-B gebruikte reparatie (oranje lijn) wordt de waterstand voor snelheden 10 tot 19 m/s nog steeds onderschat, maar wordt de waterstand overschat voor de snelheden hoger dan 19 m/s. Het plaatje hoort bij richting WNW en een zeewaterstand van 3.05 m+NAP, in welke situatie door de positieve correlatie tussen wind en zeewaterstand met name windsnelheden tussen de 15 en 25 m/s zullen optreden, zie [Geerse, 2002c]. Op dit bereik van windsnelheden zullen de over- en onderschatting elkaar gedeeltelijk opheffen, maar zal ‘netto’ sprake zijn van enige overschatting. De conclusie voor de in figuur 4.16 gegeven situatie is dat ten gevolge van het beperkte aantal Sobeksommen het niet repareren tot een duidelijke onderschatting van het effect van de wind zou leiden, terwijl de gerepareerde situatie tot enige overschatting leidt. Met Sobek zijn 9 afvoeren doorgerekend, onder andere de afvoeren 4000 en 6000 m3/s. Voor 4000 m3/s vindt een peilsluiting plaats en voor 6000 m3/s wordt op kentering van het getij gesloten. De bespreking van figuur 4.12 in [De Deugd, 2002] laat zien dat het kruisen van de verlooplijnen voor deze afvoeren tussen 20 en 30 m/s het gevolg is van het feit dat bij een sluiting op kentering de kering langer gesloten is dan bij een peilsluiting, met als gevolg voor 30 m/s en hoger lagere waterstanden bij Rotterdam voor afvoer 6000 m3/s dan voor 4000 m3/s. Bij de kenteringsluiting wordt de kering namelijk bij lagere waterstanden (ter plaatse van de kering) reeds gesloten dan bij de 2.00 m+NAP die hoort bij de peilsluiting. De peilsluiting wordt zoals gezegd voor afvoeren lager dan 6000 m3/s toegepast en de kenteringsluiting bij afvoeren hoger dan of gelijk aan 6000 m3/s. Hier volgt uit dat indien een Sobeksom zou worden gemaakt voor een afvoer net onder de 6000 m3/s, zeg voor 5999 m3/s, deze som tot hogere waterstanden zou leiden dan die voor 6000 m3/s. Wanneer de verlooplijn voor 5999 m3/s in figuur 4.12 zou worden toegevoegd zou deze dus boven die van de 4000 en 6000 m3/s komen te liggen! Wanneer in Hydra-B niet gerepareerd zou worden, zou het toevoegen van een extra Sobeksom21 voor 5999 m3/s dus tot hogere uitkomsten voor de hydraulische belastingen leiden, omdat het proces van interpoleren dan anders zou uitpakken. In het geval wél gerepareerd wordt zal hetzelfde gelden, zij het dat het effect van het toevoegen van de extra Sobeksom dan minder groot zal zijn. Verwacht moet worden dat wanneer in Hydra-B (inclusief reparatie) een extra som voor 5999 m3/s zou worden toegevoegd de uitkomsten niet veel (hooguit centimeters) zullen veranderen. De situatie van dichte keringen in combinatie met afvoeren lager dan 6000 m3/s heeft namelijk weinig kansbijdrage. Dat blijkt uit de in hoofdstuk 9 besproken figuren 9.2, 9.3, 9.9 en 9.13. Het voorgaande kan als volgt worden samengevat: 1.

De in Hydra-B gebruikte reparatie van belastingen vormt een veilige aanpak ten opzichte van de niet gerepareerde belastingen. De reden voor de reparatie is de wens om een robuust computerprogramma te verkrijgen.

2.

Het effect van de reparatie lijkt erg beperkt te zijn, vermoedelijk maximaal enkele centimeters, welke schatting gebaseerd is op berekeningen voor wel en niet gerepareerde belastingen met het programma PC-Ring (FORM berekening). De situaties waarin de reparaties een substantieel effect op de waterstanden hebben lijken namelijk een kleine kansbijdrage te hebben.

21

Eigenlijk gaat het om meer dan één extra som, omdat de afvoer 5999 m3/s gecombineerd moet worden met al de beschouwde zeewaterstanden, windrichtingen en windsnelheden. 69

70

3.

Het feit dat in Hydra-B een beperkt aantal Sobeksommen (circa 7000 stuks) wordt gebruikt, waartussen lineair geïnterpoleerd wordt, heeft onnauwkeurigheden tot gevolg. De grootte hiervan is moeilijk in te schatten, maar kan vermoedelijk orde centimeters bedragen.

4.

Het feit dat in Hydra-B voor afvoeren tussen 4000 en 6000 m3/s geïnterpoleerd wordt tussen de Sobeksommen voor 4000 m3/s (peilsluiting) en 6000 m3/s (kenteringsluiting) houdt in principe een onveilige aanpak in, omdat voor deze afvoeren in werkelijkheid een peilsluiting wordt gehanteerd terwijl in de interpolatie mede de kenteringsluiting (met lagere waterstanden) wordt gebruikt. De ‘fout’ die hier gemaakt wordt zal klein zijn, maximaal orde centimers en vermoedelijk minder.

5 Probabilistisch model voor het Benedenrivierengebied 5.1 Inleiding Dit hoofdstuk geeft de probabilistische formules die het eigenlijke Hydra-B model vormen. Paragraaf 5.2 geeft wat terminologie in verband met de overschrijdingsfrequentie van het hydraulisch belastingniveau. Ook wordt ingegaan op de zogenaamde ‘hulpdijkhoogtes’ die in het (computerprogramma) Hydra-B worden gebruikt om bij gegeven terugkeertijd het bijbehorende belastingniveau te vinden. In paragraaf 5.3 wordt de zogenaamde ‘getijkans’ beschouwd, die de kans op overschrijden van een belastingniveau geeft voor een getijperiode; deze kans vormt als het ware de bouwsteen van de probabilistische formules die de frequentie voor een heel winterhalfjaar geven. De getijkans wordt geïllustreerd door voor toetspeilberekeningen getallen te geven voor Roterdam, Dordrecht en Gorinchem. In paragraaf 5.4 worden de in Hydra-B gebruikte berekeningswijzen voor de lage en hoge afvoeren behandeld. Als voorbereiding daarop volgt eerst een kwalitatieve beschouwing over de invloed van getij en afvoer voor locaties dicht bij zee, locaties meer landinwaarts en locaties aan de oostzijde van het gebied – ook wordt daarbij de duur van overschrijdingen betrokken en de mate waarin de afvoer varieert tijdens deze overschrijdingen. Omdat de in Hydra-B gebruikte berekeningswijze voor de lage afvoeren een variant vormt van de in de vijftiger en zestiger jaren van de vorige eeuw door de Deltacommissie gebruikte methode, wordt voorafgaand aan de uitleg van de berekeningswijze voor de lage afvoeren de methode van de Deltacommissie behandeld. Paragraaf 5.5 geeft de gedetailleerde wiskundige formules waaruit Hydra-B bestaat.

5.2 Overschrijdingsfrequentie en hulpdijkhoogtes Het doel van Hydra-B is om voor gegeven terugkeertijd T het hydraulisch belastingniveau h (in m+NAP) te berekenen, voor één van de faalmechanismes overloop, 2%-golfoploop of golfoverslag. Het hydraulisch belastingniveau h zal veelal korter worden aangeduid als ‘het belastingniveau h’ of nog korter als ‘het niveau h’. De berekening wordt uitgevoerd voor één beschouwde locatie. In het geval van overloop stelt h de waterstand op de betreffende locatie voor. In paragraaf 4.6 werd uitgelegd dat elk niveau h voor iedere richting r en keringstoestand Ω correspondeert met een isovlak bestaande uit alle punten (q,u,m) waarvoor de hydraulische belasting gelijk is aan h, dus waarvoor geldt H(q,u,m,r,Ω) = h. De overschrijdingsfrequentie van niveau h zal worden aangegeven met ΨH(h) en de terugkeertijd van niveau h met T(h) = 1/ΨH(h):22 ΨH(h)

T(h)

Gemiddeld aantal overschrijdingen per whjaar dat het hydraulisch belastingniveau h overschrijdt. Terugkeertijd in jaren van het hydraulisch belastingniveau h.

1/whjaar jaar

Om bij een gegeven terugkeertijd T het bijbehorende niveau h te bepalen, wordt in Hydra-B voor een groot aantal niveaus steeds T(h) bepaald. Deze niveaus worden hulpdijkhoogtes genoemd. De stappen in Hydra-B tussen deze hulpdijkhoogtes bedragen (in de defaultinstelling) 0.10 meter. Door logaritmische interpolatie wordt dan bij de gegeven T het gezochte niveau h bepaald. Daartoe worden eerst de ‘dichtstbijzijnde’ hulpdijkhoogtes h1 en h2 opgezocht waarvoor T(h1) juist kleiner is dan T en T(h2) juist groter is dan T. Het gewenste niveau volgt dan uit de formule h = h1 +

ln (T ) − ln (T (h1 ) )

ln (T (h2 ) ) − ln (T (h1 ) )

( h2 − h1 )

(5.1)

Terzijde: indien in deze formule de natuurlijke logaritme ‘ln’ wordt vervangen door de logaritme met grondtal 10 (de ‘log’) volgen dezelfde resultaten, vanwege de relatie log(x) = ln(x)/ln(10).

22

In principe zou voor T(h) de eenheid whjaar in plaats van jaar worden verwacht. Omdat overschrijdingen in de zomer geacht worden niet voor te komen mag T echter ook de eenheid jaar worden gegeven. Bijvoorbeeld ΨH(h) = 1/5 per whjaar houdt in dat h gemiddeld om de 5 volledige jaren wordt overschreden. Analoog zou overigens ook ΨH(h) de eenheid 1/jaar kunnen worden gegeven, maar om de lezer er aan te herinneren dat de gebruikte statistieken gelden voor alleen de winter wordt de eenheid 1/whjaar gebruikt. 71

Formule (5.1) kan ook worden gebruikt om te extrapoleren. De ervaring heeft echter geleerd dat deze extrapolatie op sommige locaties tot grote fouten (meerdere decimeters) in de gezochte h kan leiden. Er dient dus voor te worden gezorgd dat het aantal hulpdijkhoogtes voor de beschouwde locatie zo groot is dat het belastingniveau van iedere gewenste terugkeertijd in het bereik van de gebruikte hulpdijkhoogtes ligt. Indien dat het geval is, heeft de toevoeging van extra lagere en/of hogere hulpdijkhoogtes geen invloed op de uitkomsten van de berekening, maar wel op de rekentijd van Hydra-B. Die rekentijd neemt namelijk toe met het aantal hulpdijkhoogtes. Het bereik van de hulpdijkhoogtes in Hydra-B is zo gekozen dat de opgegeven terugkeertijden mogen liggen tussen 10 jaar en 20000 jaar. We besluiten deze paragraaf met het zorgvuldig omschrijven van enkele begrippen. Gemakshalve zullen we de frase ‘overschrijden van niveau h’ in het vervolg vaak aanduiden als falen, omdat laatstgenoemd begrip in de uitleg aanzienlijk handiger is dan het iedere keer volledig uitschrijven van de genoemde frase. Wanneer het relevant is het niveau h expliciet te noemen zal worden gesproken over ‘falen voor niveau h’. Verder zal een ‘overschrijding’ soms worden aangeduid als een faalgebeurtenis. Wanneer tijdens een en dezelfde afvoergolf gedurende meerdere getijperioden overschrijdingen van niveau h optreden, zullen deze overschrijdingen tezamen als één faalgebeurtenis worden beschouwd. De overschrijdingen waar hier sprake van is, kunnen al of niet aaneensluitend in de tijd voorkomen. Indien bij Tiel bijvoorbeeld de maatgevende afvoer (16000 m3/s) wordt overschreden, zal deze overschrijding (veelal) bestaan uit een aaneengesloten duur waarin het toetspeil wordt overschreden: volgens tabel 3.1 zal deze overschrijding in de orde van 5 getijperioden duren. Deze langdurige overschrijding wordt als één faalgebeurtenis beschouwd. Bij bijvoorbeeld Sliedrecht zal een overschrijding van het toetspeil veelal het gevolg zijn van een zeer hoge afvoergolf in combinatie met een relatief geringe ‘extra’ verhoging van de waterstand tengevolge van een of meer stormvloeden (met daarnaast enige globale opwaaiing tengevolge van wind). De kans is dan betrekkelijk groot dat gedurende deze afvoergolf in meer dan één getijperiode zo’n stormvloed optreedt. Die stormvloeden hoeven, omdat gedurende vrij lange tijd sprake is van hoge afvoeren, niet aaneensluitend in de tijd voor te komen. Deze meerdere overschrijdingen worden weer als één faalgebeurtenis beschouwd.

5.3 Kansdichtheid getijperiode en de getijkans In Hydra-B wordt aangenomen dat met betrekking tot de stochasten U, M, R en Ω opeenvolgende getijperioden statistisch onafhankelijk zijn. Er wordt dus aangenomen dat in iedere getijperiode een nieuwe windsnelheid, zeewaterstand en windrichting optreedt, onafhankelijk van de waarden van deze grootheden in de voorgaande getijperiode. Bedenk wel dat in de met Sobek gemaakte waterstandsommen de verhoging van de waterstand (tijdens een stormvloed) zich over meerdere getijperioden kan uitstrekken, evenals het sluitproces van de keringen. In Hydra-B wordt echter alleen gebruik gemaakt van de maximale waterstand tijdens deze verhoging. De periode dat de waterstanden zich dicht in de buurt van deze maximale waterstand bevinden duurt niet langer dan één getijperiode. We merken op dat de aanname van onafhankelijke getijden ook in de vroeger gebruikte methode van Van der Made werd gebruikt en eveneens (impliciet) in het programma Dijkring. Vanwege de zojuist genoemde aanname vormt een getijperiode als het ware de ‘natuurlijke tijdsbasis’ in HydraB. In de formules is dan ook de kansdichtheid voor een getijperiode nodig, die wordt aangegeven met g (q, u , m, r ) = kansdichtheid voor een getijperiode van de stochasten Q, U , M , R

(5.2)

In Hydra-B wordt de eventuele correlatie tussen Q en de overige stochasten verwaarloosd: Q wordt dus statistisch onafhankelijk verondersteld met U, M en R. Voor de kansdichtheid geldt dan g (q, u , m, r ) = g (q ) g (u , m, r )

(5.3)

Hierin geeft g(q) de in hoofdstuk 3 behandelde momentane kansdichtheid van de afvoer. De kansdichtheid g(u,m,r) betreft (losjes gezegd) de wind-waterstandstatistiek te Maasmond; die wordt behandeld in hoofdstuk 8. Een belangrijke grootheid in de Hydra-B formules is de zogenaamde getijkans, die als de bouwsteen van de Hydra-B formules kan worden gezien. Deze getijkans is een functie van de afvoer en geeft, bij een gegeven vaste afvoer in een getijperiode, de kans dat tijdens deze periode falen optreedt. Iets preciezer gesteld geeft deze getijkans de kans dat een zeewaterstand, windsnelheid en windrichting optreden die in combinatie met de beschouwde afvoer tot falen van niveau h leiden in de betreffende getijperiode. Het verloop van de getijkans met

72

de afvoer wordt in figuur 5.1, 5.2 en 5.3 geïllustreerd voor de MSW-stations Rotterdam en Dordrecht en voor de locatie Gorinchem (Boven Merwede, km 955). Het betreft hier toetspeilberekeningen. De toetspeilen en terugkeertijden zijn vermeld in de onderschriften van de figuren; de eveneens in de figuren gegeven grootheid P(F|k) wordt in paragraaf 5.4.4 behandeld. 3.0E -04

2.5E -04

ka nse n

2.0E -04 P (F|k )

1.5E -04

getijk ans

1.0E -04

5.0E -05

0.0E + 00 0

2000

4000

6000

8000

10000 12000 14000 16000 18000

a fvoe r [m 3/s]

Figuur 5.1 De getijkans en de kans P(F|k) als functie van de afvoer voor Rotterdam (MSW). Het toetspeil bedraagt h = 3.43 m+NAP, voor T = 10000 jaar. 0.07 0.06

ka nse n [-]

0.05 0.04

P (F|k ) getijk ans

0.03 0.02 0.01 0.00 0

5000

10000

15000

20000

a fvoe r [m 3/s]

Figuur 5.2 De getijkans en de kans P(F|k) als functie van de afvoer voor Dordrecht (MSW). Het toetspeil bedraagt h = 3.01 m+NAP, voor T = 2000 jaar.

73

1.2 1.0

kans [-]

0.8 P(F|k)

0.6

getijkans

0.4 0.2 0.0 14000

14500

15000

15500

16000

16500

17000

17500

afvoer [m3/s]

Figuur 5.3 De getijkans en de kans P(F|k) als functie van de afvoer voor Gorinchem. Het toetspeil bedraagt h = 5.92 m+NAP, voor T = 2000 jaar.

Het is duidelijk dat de getijkans toeneemt met toenemende afvoer, zoals ook verwacht moet worden: bij een hogere afvoer is de kans op falen immers groter dan bij een lagere afvoer. Voor Rotterdam en Dordrecht blijft de getijkans voor iedere afvoer, hoe hoog ook, aanzienlijk kleiner dan 1. Voor Rotterdam is de afvoer minder belangrijk voor falen dan voor Dordrecht, hetgeen zich voor niet te lage afvoeren vertaalt in kleinere getijkansen voor Rotterdam dan voor Dordrecht. Bij Rotterdam is immers, bij een en dezelfde niet te lage afvoer, een extremere stormvloed nodig voor falen dan bij Dordrecht, waar de beschouwde afvoer ook zonder stormvloed al een significante verhoging van de waterstand tot gevolg heeft. De minder extreme stormvloed die in combinatie met de beschouwde afvoer bij Dordrecht tot falen leidt, heeft een hogere kans van optreden dan de extremere stormvloed die bij Rotterdam tot falen leidt – vandaar dat de getijkans voor Rotterdam kleiner is dan die bij Dordrecht. Verder is het zo dat de getijkans bij Dordrecht pas substantieel van nul begint te verschillen bij de hogere afvoeren, terwijl de getijkans bij Rotterdam ook bij lagere afvoeren ‘redelijk’ van nul verschilt. Dat laatste is in de figuur overigens niet goed te zien, maar het blijkt zo te zijn dat bijvoorbeeld de verhouding van de getijkansen voor 16000 m3/s en 2000 m3/s voor Dordrecht aanzienlijk groter is dan die voor Rotterdam. Dat laatste is goed te begrijpen indien men voor ogen houdt dat bij Rotterdam de afvoer van weinig invloed is op de waterstand: indien de afvoer geen enkele invloed daarop zou hebben, zou de getijkans in het geheel niet meer van de afvoer afhangen. In het algemeen geldt: voor locaties dicht bij zee varieert de getijkans relatief weinig met de afvoer, terwijl verder landinwaarts deze getijkans steeds sterker met de afvoer varieert. Dat laatste is goed te zien aan figuur 5.3 voor Gorinchem. De getijkans loopt daar vrij abrupt van praktisch 0 naar de waarde 1 nabij de afvoer 16600 m3/s, welke volgens de werklijn correspondeert met T = 2000 jaar. Eenzelfde plaatje voor een bijna uitsluitend door de afvoer gedomineerde locatie als Tiel (toetspeil bij T = 1250 jaar) zou laten zien dat de getijkans bijna discontinu springt van de waarde 0 naar 1 bij de maatgevende afvoer van 16000 m3/s. We benadrukken dat de getijkans slechts een hulpmiddel vormt om de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) te bepalen. Naast de getijkans spelen ook de kansen waarmee de beschouwde afvoeren optreden een rol: heel ruwweg gesteld gaat het in de berekening van ΨH(h) om het produkt van de getijkans met de kans op een afvoer. De preciese manier waarop de getijkans moet worden gecombineerd met de afvoerstatistiek wordt gegeven door de Hydra-B formules, die verderop in dit hoofdstuk aan de orde komen. Vanwege het grote belang van de getijkans in de formules is het handig een preciese notatie daarvoor te gebruiken. Daartoe is de stochast Hq ingevoerd, gerelateerd aan een getijperiode. Deze geeft de hydraulische belasting bij een gegeven vaste afvoer q gedurende een getijperiode. De uitkomsten van deze stochast zijn afhankelijk van de optredende u, m, r en Ω gedurende deze getijperiode. Wiskundig gezien is Hq dus een functie van u, m, r en Ω zodat geldt Hq = Hq(u,m,r,Ω). De getijkans wordt dan aangegeven als

74

P ( H q > h) = kans dat in een getijperiode, bij gegeven afvoer q, belastingsniveau h wordt overschreden = kans dat in een getijperiode, bij gegeven afvoer q, een combinatie van u, m, r, Ω optreedt (5.4) waarvoor belastingsniveau h wordt overschreden

Bijvoorbeeld voor Rotterdam, met als toetspeil 3.43 m+NAP, blijkt dat de getijkans voor q = 8000 m3/s gelijk is aan 5*10-6; dan schrijven we dus P(H8000 > 3.43) = 5*10-6. In de berekening van de getijkans wordt van de eerder genoemde kansdichtheid g(u,m,r) gebruik gemaakt. Verder spelen de kansen op geopende en gesloten keringen een rol. Die laatste kansen worden in hoofdstuk 7 behandeld. De preciese formule om P(Hq > h) te berekenen is wat ingewikkeld en wordt gegeven in paragraaf 5.5. Het is misschien nuttig te wijzen op het verband tussen Hq = Hq(u,m,r,Ω) en de eerder in hoofdstuk 4 beschouwde stochast H = H(q,u,m,r,Ω) die de hydraulische belasting voorstelt. Dat verband wordt simpelweg gegeven door H q (u , m, r , Ω) = H (q, u , m, r , Ω)

(5.5)

De grootheid P(Hq > h) hadden we ook kunnen schrijven als de conditionele kans P(H > h| Q = q). De laatste grootheid geeft dan de kans dat H wordt overschreden, gegeven dat de afvoer in de getijperiode gelijk is aan de waarde q. Vanwege de speciale rol die de afvoer speelt in de Hydra-B formules, is de compacte notatie volgens (5.4) echter wel zo handig.

5.4 De Deltamethode en de berekening in Hydra-B voor de lage en hoge afvoeren 5.4.1 Splitsing in lage en hoge afvoeren en overschrijdingsduren tijdens falen In Hydra-B worden voor de lage en hoge afvoeren verschillende berekeningswijzen gebruikt. Deze worden in detail behandeld in paragraaf 5.4.3 en 5.4.4. De berekeningswijze voor de lage afvoeren vormt een uitbreiding van de methode die indertijd reeds door de Deltacommissie werd toegepast. De methode van de Deltacommissie wordt daarom eerst, in paragraaf 5.4.2, behandeld. Hieronder wordt alvast wat globale informatie gegeven van het idee achter de splitsing tussen lage en hoge afvoeren. Tevens worden enkele opmerkingen gemaakt over overschrijdingsduren tijdens falen en over de variatie in de afvoeren die tijdens falen voorkomen. De lage en hoge afvoeren worden in Hydra-B gescheiden door de zogeheten grenswaarde qg. Het bereik van afvoerwaarden wordt dus gesplitst in twee deelbereiken, die respectievelijk bestaan uit afvoeren Q < qg en Q > qg. De overschrijdingsfrequentie bestaat dan uit de som van de bijdragen voor deze deelbereiken. In formule kan worden geschreven Ψ H (h) = Ψ H (h, Q laag ) + Ψ H (h, Q hoog )

(5.6)

In Hydra-B is de grenswaarde gelijk aan ongeveer de eens per jaar afvoer. Voor Rijndominante locaties wordt qg = 6000 m3/s genomen en voor Maasdominante locaties wordt qg = 1315 m3/s genomen. We merken op dat de preciese keuze van de grenswaarde, tenzij deze zeer hoog wordt gekozen, vrijwel irrelevant is; zie paragraaf 6.2.1 voor nadere informatie. Verder merken we op dat in het programma Dijkring zowel als in de methode Van der Made een soortgelijke splitsing in afvoeren wordt gemaakt; in paragraaf 6.4 wordt daar nader op ingegaan. Om het idee achter (5.6) uit te leggen zullen we toetspeilen beschouwen, voor Rijndominante locaties. Het betreft een globale uitleg, waarbij gemakshalve de windsnelheid en windrichting worden weggelaten. Figuur 5.4.a geeft een mogelijk tijdsverloop van de Rijnafvoer en van de zeewaterstand te Maasmond. De snelle variatie in de zeewaterstand stelt het getij voor, dat enigszins onregelmatig is door de invloed van de wind op zee die altijd voor een bepaalde mate van op- of afwaaiing zorgt; verder laat de figuur twee stormvloeden zien, een zeer extreme aan het begin en een middelextreme halverwege de periode. Halverwege de periode is een middelextreme afvoergolf te zien, en aan het eind van de periode een (zeer) extreme afvoergolf. Door een stippellijn is de grenswaarde 6000 m3/s aangegeven. Terzijde merken we op dat de figuur slechts dient als hulpmiddel voor de uitleg. Een (korte) periode waarin dergelijke extreme stormvloeden en afvoergolven tezamen optreden zou in werkelijkheid optreden met een kans die nog vele malen kleiner is dan 1 miljoenste per jaar. Daarnaast is het zo dat werkelijke afvoergolven (in ieder geval op de flanken) in de regel veel breder zullen zijn dan hier weergegeven.

75

afvoer en zeewaterstand

zeewaterstand afvoer

tijd

Figuur 5.4.a Voorbeeld van het verloop van de Rijnafvoer en de zeewaterstand te Maasmond als functie van de tijd. De grenswaarde is aangegeven met een stippellijn.

Rotterdam

waterstand

toetspeil

tijd

Figuur 5.4.b Het (schetsmatige) waterstandverloop voor Rotterdam. De horizontale lijn geeft het toetspeil aan.

76

Dordrecht

waterstand

toetspeil

tijd

Figuur 5.4.c Het (schetsmatige) waterstandverloop voor Dordrecht. De horizontale lijn geeft het toetspeil aan.

Gorinchem

waterstand

toetspeil

tijd

Figuur 5.4.d Het (schetsmatige) waterstandverloop voor Gorinchem. De horizontale lijn geeft het toetspeil aan.

77

Hoe zou een tijdsverloop als in figuur 5.4.a zich vertalen als locale waterstand voor locaties (1) dicht bij de kust, (2) nabij Dordrecht en (3) ver landinwaarts? De figuren 5.4.b, 5.4.c en 5.4.d geven een impressie daarvan. Om het concreet te houden hangen we aan de figuren respectievelijk de namen Rotterdam, Dordrecht en Gorinchem. In figuur 5.4.b wordt als functie van de tijd de waterstand voor Rotterdam geschetst, waarbij de rode lijn hier het toetspeil te Rotterdam aangeeft.23 De eerste (extreme) stormvloed leidt hier tot een overschrijding van het toetspeil. Dat gebeurt (tenminste in dit voorbeeld) bij een afvoer die lager is dan de grenswaarde. Deze faalgebeurtenis maakt dan deel uit van ΨH(h, Q laag). Anders gezegd: deze faalgebeurtenis komt in de berekeningen terecht bij de bijdragen voor de lage afvoer. Merk op dat de getijamplitude bij Rotterdam duidelijk te zien valt in het verloop van de waterstand, in tegenstelling tot het verloop van de afvoer. Figuur 5.4.c geeft een plaatje voor Dordrecht. De getijamplitude is daar, omdat Dordrecht verder landinwaarts ligt, kleiner dan bij Rotterdam, terwijl het verloop van de afvoer veel duidelijker zichtbaar is. In het voorbeeld vallen halverwege de periode de middelextreme stormvloed en afvoergolf samen, met als gevolg een overschrijding van het toetspeil. De faalgebeurtenis vindt plaats bij een afvoer die hoger is dan de grenswaarde en maakt daarom deel uit van ΨH(h, Q hoog). De extreme afvoergolf aan het eind van de periode leidt wel tot sterk verhoogde waterstanden, maar leidt in dit voorbeeld niet tot een overschrijding van het toetspeil. Figuur 5.4.d geeft een plaatje voor Gorinchem. De getijamplitude is daar erg klein geworden, zodat het verloop van de afvoer voornamelijk de waterstand bepaalt. De extreme afvoergolf aan het eind van de periode leidt in dit voorbeeld tot een overschrijding van het toetspeil. De faalgebeurtenis vindt plaats tijdens afvoeren die hoger zijn dan de grenswaarde en maakt daarom deel uit van ΨH(h, Q hoog). Deze voorbeelden maken duidelijk dat elke faalgebeurtenis kan worden toegeschreven aan afvoeren die ofwel lager ofwel hoger zijn dan de grenswaarde: vandaar dat een faalgebeurtenis ofwel tot ΨH(h, Q laag) ofwel tot ΨH(h, Q hoog) behoort. Voor de duidelijkheid wijzen we erop dat bij een locatie zowel ΨH(h, Q laag) als ΨH(h, Q hoog) een bijdrage kunnen leveren. Voor bijvoorbeeld de toetspeilberekening te Rotterdam, met h = 3.43 m+NAP en T = 10000 jaar, geldt ΨH(h, Q laag) = 0.85*10-4 en ΨH(h, Q hoog) = 0.15*10-4. (Het betreft hier de ‘volledige’ Hydra-B berekening, dus inclusief windsnelheid en windrichting.) Indien bij Rotterdam het toetspeil wordt overschreden is er dus 85% kans dat dat bij een afvoer lager dan qg = 6000 m3/s gebeurt en een kans van 15% dat dat bij een hogere afvoer gebeurt. Voor Dordrecht blijken (voor de toetspeilberekening) de lage afvoeren nog geen 1% aan de totale overschrijdingsfrequentie bij te dragen, terwijl de bijdragen van de lage afvoeren voor Gorinchem (uiteraard) gelijk aan nul zijn geworden. We gaan nu wat specifieker in op de afvoeren die tijdens een faalgebeurtenis kunnen optreden. Daarbij zijn de overschrijdingsduren van niveau h van belang. We vatten een en ander samen in de volgende drie punten, die hieronder nader becommentarieerd zullen worden. De punten gelden zowel voor waterstanden als voor de faalmechanismes golfoverslag en 2%-oploop. 1.

Als een faalgebeurtenis bestaat uit een extreme afvoergolf in combinatie met een relatief lage stormvloed (of geen stormvloed) en met relatief weinig wind, kunnen meerdere getijperioden bij het falen betrokken zijn. Deze getijperioden kunnen al of niet aansluitend in de tijd voorkomen. Tijdens het falen kunnen (aanzienlijk) verschillende afvoerwaarden voorkomen.

2.

Als een faalgebeurtenis bestaat uit een middelextreme of extreme stormvloed in combinatie met al of niet verhoogde afvoeren, speelt het falen zich af binnen één getijperiode. In essentie treft de stormvloed dan één afvoerwaarde.

3.

Als een faalgebeurtenis bestaat uit een middelextreme of extreme storm (dat wil zeggen sterk verhoogde windsnelheden) in combinatie met al of niet verhoogde afvoeren, speelt het falen zich af binnen één getijperiode. In essentie treft de storm dan één afvoerwaarde.

We merken op dat in situatie (2) de stormvloed vaak samen zal gaan met een storm, vanwege de positieve correlatie tussen wind en stormvloeden; strikt noodzakelijk is dat echter niet. Voor situatie (3) geldt min of meer hetzelfde. Het is echter niet geheel uit te sluiten dat stormen uit oostelijke richtingen een substantiële bijdrage aan de overschrijdingsfrequentie van niveau h leveren, in welk geval geen stormvloed zal optreden. Merk op dat een faalgebeurtenis zowel tot ‘categorie’ (2) als (3) kan behoren, maar dat dat niet noodzakelijk is.

23

Het getoonde waterstandverloop hangt tevens af van de keringssituatie tijdens een stormvloed. In dit voorbeeld zijn de keringen niet gesloten.

78

In het oostelijk deel van het Benedenrivierengebied zijn met name de faalgebeurtenissen volgens categorie (1) van belang (waarbij we hier de preciese ligging van het oostelijk deel niet nader kunnen specificeren). We geven een toelichting aan de hand van toetspeilen. Neem eerst Tiel als voorbeeld. Falen treedt dan op als de top van de afvoergolf boven de 16000 m3/s komt. Gedurende enige tijd wordt dan het niveau 16000 m3/s overschreden. Volgens tabel 3.1 duurt zo’n overschrijding gemiddeld 5 getijperioden. Uit de werklijn kan worden afgeleid dat de piekwaarde van de beschouwde afvoergolf gemakkelijk 17000 á 18000 m3/s kan bedragen (zie tabel 9.1 uit hoofdstuk 9). Dus voor Tiel, en eveneens voor andere sterk afvoergedomineerde locaties, kan aan de faalgebeurtenis geen unieke afvoerwaarde worden toegekend, terwijl de variatie van de afvoer tijdens falen zo groot is dat ook niet in benadering sprake zal zijn van één afvoerwaarde. Iets verder benedenstrooms, denk aan Sliedrecht, kan falen (onder meer) optreden tijdens een extreme afvoergolf, in combinatie met één of meer niet al te hoge stormvloeden. De faalgebeurtenis kan hier bestaan uit meerdere getijperioden waarbij het toetspeil wordt overschreden, die niet aaneensluitend in de tijd hoeven voor te komen. Zeker indien de betreffende getijperioden niet aaneensluitend voorkomen, kunnen de afvoeren tijdens deze perioden flink van elkaar verschillen. In het westelijk deel van het Benedenrivierengebied zijn met name de faalgebeurtenissen volgens categorie (2) van belang (waarbij we de preciese ligging van het westelijk deel niet nader kunnen specificeren). We lichten punt (2) nader toe. Stel dat ten gevolge van een niet al te lage stormvloed falen optreedt tijdens de voor of achterflank van een afvoergolf. Omdat stormvloeden slechts gedurende één getijperiode tot zeer hoge waterstanden leiden, zal de faalgebeurtenis zich dan binnen één getijperiode afspelen. Gedurende de circa 12 uur dat de getijperiode duurt, kan de Rijnafvoer dan tot circa 500 m3/s variëren.24 De faalgebeurtenis gaat strikt genomen niet samen met één specifieke afvoer, maar de variatie van de afvoer is niet bijzonder groot. Indien de stormvloed tijdens de top van de afvoergolf optreedt zal de afvoer tijdens falen overigens aanzienlijk minder variëren dan de genoemde 500 m3/s. Omdat de tijdsduur dat falen optreedt in deze situatie zo kort is, kan hier zinnig worden gesproken over een unieke afvoer tijdens het falen. Deze situatie zal vaak kort worden getypeerd door te stellen dat ‘de stormvloed één afvoerwaarde treft’. Indien tijdens een faalgebeurtenis ergens in het Benedenrivierengebied het toetspeil wordt overschreden, zal dat altijd een faalgebeurtenis van categorie (1) of (2) betreffen. Halverwege het gebied, bijvoorbeeld nabij Sliedrecht en nabij Nieuwe Merwede km 975, zijn faalgebeurtenissen van beide categoriën verantwoordelijk voor toetspeiloverschrijdingen. Een faalgebeurtenis die tot categorie (3), maar niet tot (1) of (2) behoort, is een storm zonder dat een stormvloed of extreme afvoer optreedt. Indien golven worden beschouwd (faalmechanisme overslag of 2%-oploop), zou deze situatie op het Haringvliet en Hollandsch Diep van belang kunnen zijn.

5.4.2 De Deltamethode voor de combinatie van zeewaterstanden en afvoeren De berekeningswijze in Hydra-B voor de lage afvoeren vormt een uitbreiding van de methode die in de zestiger jaren van de vorige eeuw reeds door de Deltacommissie werd toegepast voor waterstandsberekeningen [Deltacommissie, deel 5]. Deze methode is, na een uitbreiding daarvan om het effect van de Maeslant- en Hartelkering te kunnen bepalen, ook voor het westelijk deel van het Benedenrivierengebied toegepast voor het bepalen van de toetspeilen uit [HR 1996]25, zie [De Deugd, 1995] voor een rapportage van de methode; zie ook [nota 61.002.17]. Tevens vormt de methode (toegepast voor lage afvoeren) onderdeel van het programma Dijkring [Volker, 1989], [Den Heijer, 1994]. De methode van de Deltacommissie zal hier worden aangeduid als de Deltamethode. De genoemde uitbreiding van de Deltamethode bestaat eruit dat in Hydra-B ook de windsnelheid, windrichting en keringsituatie als stochast worden beschouwd, terwijl de Deltacommissie slechts afvoeren en zeewaterstanden heeft beschouwd. Slechts de laatste twee stochasten worden in deze paragraaf beschouwd.

24

Deze waarde is afgeleid van de steilheid van de standaardgolfvorm van de afvoer. Volgens persoonlijke communicatie met Hartman (RIZA-WSH) is ten behoeve van [HR 1996] voor het westelijk deel van het gebied de Deltamethode gebruikt en voor het oostelijk deel methode Van der Made (het onderdeel daaruit waarin de werklijn van de afvoer wordt gecombineerd met de overschrijdingsduren d(q) binnen afvoergolven). De overgang is daar gelegd waar beide methoden hetzelfde toetspeil opleveren; meer landinwaarts komt de Deltamethode altijd hoger uit dan Van der Made, terwijl meer zeewaarts van de overgang beide methoden (afgezien van numerieke onnauwkeurigheden) gelijk uitkomen. Te dicht bij zee kan Van der Made niet meer berekend worden, omdat voor de dan relevante lagere afvoeren de werklijn en de duren d(q) niet meer beschikbaar zijn.

25

79

De overschrijdingsfrequentie van de waterstand h, in keren per whjaar, zal worden aangegeven met ΨH, Delta(h). In de terminologie van schrijver dezes zijn ten behoeve van de berekening hiervan de volgende gegevens nodig. 1. 2. 3.

De eerder genoemde momentane kansdichtheid g(q) van de rivierafvoer, welke op eenvoudige wijze uit de dagenlijn van de afvoer kan worden afgeleid (zie hoofdstuk 3). De overschrijdingsfrequentie van de zeewaterstand te Maasmond, in keren per whjaar. Isolijnen in het (q,m)-vlak van de afvoer en de zeewaterstand.

De Deltamethode geeft slechts goede uitkomsten indien aan de volgende voorwaarde is voldaan. Voorwaarde toepassing Deltamethode Falen voor niveau h kan slechts voorkomen indien daarvoor minimaal een middelextreme stormvloed is vereist.

(5.7)

Hieruit volgt meteen dat de Deltamethode ver landinwaarts niet mag worden toegepast. Bijvoorbeeld bij Tiel zal falen het gevolg zijn van een extreme afvoer, zonder dat een stormvloed hoeft op te treden. Iets verder benedenstrooms, nabij Sliedrecht, kan falen (ook) het gevolg zijn van een extreme afvoer in combinatie met één of meer lage, dat wil zeggen niet erg extreme, stormvloeden. Deze beweringen werden ook al gemaakt aan het eind van de voorgaande paragraaf. Tevens werd daar uitgelegd dat indien aan (5.7) is voldaan het volgende geldt: 1. 2.

De sterk verhoogde waterstanden tijdens welke falen optreedt duren niet langer dan één getijperiode. Tijdens de kortdurende stormvloed is redelijkerwijs sprake van slechts één afvoerwaarde gedurende de getijperiode waarbinnen falen optreedt.

(5.8) (5.9)

Voor de duidelijkheid wordt hier opgemerkt dat de punten (5.7) t/m (5.9) gebaseerd zijn op de persoonlijke inzichten van schrijver dezes. Dat ver landinwaarts de Deltamethode niet mag worden toegepast is overigens genoegzaam bekend. Op basis van (5.8) en (5.9) zal nu de formule voor de Deltamethode worden afgeleid. Als eerste dient de overschrijdingsfrequentie van de zeewaterstand te worden omgezet in de overschrijdingskans P(M>m) voor een getijperiode. Deze kans volgt simpelweg door de overschrijdingsfrequentie te delen door het aantal getijperioden N = 352 in een whjaar, zoals nader becommentarieerd in hoofdstuk 8. Dus P ( M > m) =

Ψ M ( m) N

(5.10)

De kansdichtheid g(m) volgt hieruit als minus de afgeleide naar m, dus g(m) = - dΨM(m)/dm. De berekening van ΨH, Delta(h) verloopt als volgt. Eerst wordt de afvoer gediscretiseerd in stapjes met breedte ∆q. Dat leidt tot afvoerklassen [qi, qi+1] met grenzen q1 = 0 q2 = ∆q q3 = 2∆q ... ...

(5.11)

qi = (i − 1)∆q ... ...

Beschouw nu belastingniveau h en geef de zeewaterstand waarvoor bij afvoer q falen optreedt aan met m(q). Indien ∆q voldoende klein is, wat hier wordt aangenomen, geldt in goede benadering P (qi < Q < qi +1 ) = g (qi )∆q

(5.12)

Vanwege (5.9) komt iedere stormvloed die tot falen leidt voor in combinatie met één afvoerwaarde gedurende de getijperiode waarbinnen falen optreedt. Omdat de afvoer en de zeewaterstand onafhankelijk worden

80

verondersteld, wordt de kans dat in een getijperiode een afvoer q in het interval [qi, qi+1] optreedt, tezamen met een stormvloed waarvoor niveau m(qi) wordt overschreden, dan gegeven door P (qi < Q < qi +1 ) P( M > m(qi )) = g (qi )∆q P ( M > m(qi ))

(5.13)

Merk op dat indien de afvoer varieert gedurende de betreffende getijperiode, niet gesproken kan worden van de ‘ene’ afvoerwaarde q gedurende de periode, vandaar dat (5.9) vervuld dient te zijn voor de geldigheid van (5.13). In figuur 5.5 worden met de gearceerde ‘verticale rechthoek’ de punten (q, m) aangegeven waarvoor q in [qi, qi+1] ligt en waarvoor m > m(qi). De kans in (5.13) is gelijk aan de kans waarmee de punten in de rechthoek voorkomen met betrekking tot de kansdichtheid g(q,m) = g(q)g(m).26 Door (5.13) te sommeren over alle intervallen, volgt de kans dat in een getijperiode niveau h wordt overschreden. Dus kans dat in getijperiode niveau h wordt overschreden = ∑ g ( qi ) ∆q P( M > m(qi ))

(5.14)

i

M

m(q_i)

q_i+1

q_i

Q

Figuur 5.5 De isolijn van niveau h ter illustratie van de Deltamethode.

De kans voor een getijperiode kan simpel worden omgerekend naar de overschrijdingsfrequentie per whjaar. Vanwege (5.7) en (5.8) komen de sterk verhoogde waterstanden in geïsoleerde getijperioden voor, terwijl de kans op twee opeenvolgende stormvloeden verwaarloosbaar klein is. Als toelichting op dat laatste: het betreft hier middelextreme stormvloeden – die hebben zo’n kleine kans van voorkomen dat het zeer onwaarschijnlijk is dat twee van die stormvloeden direct na elkaar optreden. Een faalgebeurtenis duurt dus slechts één getijperiode. De overschrijdingsfrequentie per whjaar volgt dan door (5.14) te vermenigvuldigen met het aantal getijperioden in een whjaar: Ψ H , Delta (h) = N ∑ g (qi )∆q P ( M > m(qi ))

(5.15)

i

De meest nauwkeurige berekening volgt door ∆q tot nul te laten naderen, in welk geval de sommatie overgaat in de integraal ∞

Ψ H , Delta (h) = N ∫ g (q ) P ( M > m(q )) dq

(5.16)

0

Dit is de formule die door ons zal worden aangeduid als de ‘Deltamethode’. Overigens zal het verderop behandelde analogon hiervan waarbij ook de wind probabilistisch wordt behandeld eveneens worden aangeduid als de Deltamethode. 26

De genoemde kans kan ook worden bepaald door de rechthoek eerst ‘op te knippen’ in vierkanten en dan vervolgens de kansen voor deze vierkanten bij elkaar op te tellen. 81

Hiermee is op basis van (5.8) en (5.9) op een ‘correcte manier’ de formule voor de Deltamethode afgeleid. Er is niet gezegd dat (5.16) direct tot volledig onjuiste uitkomsten zal leiden indien aan de genoemde voorwaarden niet is voldaan. Zoals in paragraaf 6.6.2 zal worden toegelicht is (5.8), ofwel een faalduur van maximaal één getij, cruciaal voor de geldigheid van (5.16). Aan voorwaarde (5.9) van één afvoerwaarde tijdens falen hoeft daarentegen niet op al te strikte wijze te worden voldaan. Het mag immers niet veel voor de berekeningen uitmaken indien de ‘continu in de tijd’ verlopende afvoer in elke getijperiode wordt vervangen door de gemiddelde afvoer gedurende deze perioden; deze gemiddelde afvoeren leiden uiteraard tot slechts één afvoerwaarde gedurende een getijperiode waarin falen optreedt, zodat in deze situatie aan (5.9) is voldaan. Voor de geïnteresseerde lezer volgen tot slot van deze paragraaf nog een paar opmerkingen. Vanwege (5.10) kan (5.16) ook geschreven worden als ∞

Ψ H , Delta (h) = ∫ g (q ) Ψ M (m(q )) dq

(5.17)

0

In de afleiding van (5.17) is eerst de overschrijdingsfrequentie van de zeewaterstand omgerekend naar een getijperiode met behulp van (5.10). Daarna is weer van een getijperiode omgerekend naar de overschrijdingsfrequentie met behulp van dezelfde formule. In feite is deze omrekening overbodig. Formule (5.17) geldt namelijk veel algemener dan in de hier beschouwde situatie. In de appendix van [Geerse, 2003a] is afgeleid dat deze formule altijd geldt indien een zeer snel variërende stochast wordt gecombineerd met een langzaam variërende stochast. De overschrijdingsfrequentie van de beschouwde belasting volgt in dat geval door de overschrijdingsfrequentie van de snelle stochast te combineren met de momentane kans van de langzame stochast. Formule (5.17) blijkt exact te gelden in de limiet dat de ene stochast ‘oneindig traag’ verloopt ten opzichte van de andere. De omrekening volgens (5.10), die in feite een benadering betreft, is dus overbodig voor de geldigheid van (5.17). Het exacte bewijs van (5.17) heeft schrijver dezes het inzicht verschaft dat (5.9) strikt genomen een nodige voorwaarde vormt voor een correcte afleiding van (5.16); het in het bewijs gebruikte oneindig trage verloop van de afvoer houdt immers in dat gedurende de getijperiode waarbinnen falen optreedt sprake is van precies één afvoerwaarde. Wellicht is de lezer bekend met de zogenaamde ‘Turkstra-regel’. Die betreft een pragmatisch recept om de overschrijdingsfrequentie van een belasting te bepalen. Het advies, voor twee willekeurige onafhankelijke stochasten X en Y, bestaat uit het maken van twee berekeningen: een waarbij de overschrijdingsfrequentie van X wordt gecombineerd met de momentane kans van Y, en een waarbij de overschrijdingsfrequentie van Y wordt gecombineerd met de momentane kans van X. Het advies is dan de hoogste uitkomst van de twee berekeningen als het beste antwoord te beschouwen. Formule (5.17) vormt dan één van de twee berekeningen. Merk op dat formule (5.17) niet kan worden aangeduid als een toepassing van de Turkstra-regel, omdat deze formule zonder meer het juiste antwoord geeft indien bekend is dat de stochast waarvan de momentane kans wordt gebruikt zeer traag verloopt ten opzichte van de andere. De tweede berekening uit de Turkstra-regel is daarbij overbodig.

5.4.3 De berekeningswijze in Hydra-B voor de lage afvoeren In deze paragraaf wordt de berekeningswijze behandeld die in Hydra-B wordt toegepast voor de lage afvoeren. Deze berekeningwijze is sterk geënt op de hiervoor behandelde Deltamethode, vandaar dat deze berekeningswijze hier wordt aangeduid als de Deltamethode voor de lage afvoeren. Als afkorting wordt de term DML-methode gebruikt, van DeltaMethode voor de Lage afvoeren. Voor de DML-methode, dat wil zeggen voor de berekening van ΨH(h, Q laag), zijn de volgende gegevens nodig, waarbij we in herinnering brengen dat de grenswaarde wordt aangeduid met qg: 1. 2. 3.

De momentane kansdichtheid g(q) van de rivierafvoer, voor q < qg. De getijkans P(Hq>h), voor q < qg. Voor elke richting in de hoofdsector Oost, dat wil zeggen voor elke richting NNO, NO,..., ZZW, dienen de isolijnen in het (q,u)-vlak beschikbaar te zijn. Voor elke richting en keringsituatie in de hoofdsector West, dat wil zeggen voor elke richting ZZW, ZW,..., N dienen de isovlakken in het (q,u,m)-vlak beschikbaar te zijn.

De formule voor de DML-methode lijkt sterk op formule (5.16) voor de Deltamethode. Het enige verschil is dat de integratie niet over alle afvoeren van 0 tot ∞ wordt uitgevoerd, maar van 0 tot qg. Daarnaast dient de kans P(M>m(q)) in (5.16) te worden vervangen door P(Hq>h), ofwel: de kans dat een stormvloed optreedt die tot falen leidt bij afvoer q dient te worden vervangen door de kans dat een combinatie van (u,m,r,Ω) optreedt die bij afvoer q tot falen leidt. De formule voor de DML-methode krijgt dan de vorm

82

qg

∫ g (q) P( H

Ψ H (h, Q laag ) = N

q

> h) dq

(5.18)

0

We zullen deze formule nu motiveren. Allereerst dient bedacht te worden dat indien tijdens een getijperiode falen optreedt bij afvoeren lager dan de grenswaarde, daar altijd een redelijk extreme stormvloed en/of een redelijk extreme storm voor nodig is. De grenswaarde is namelijk zo laag gekozen dat lagere afvoeren dan qg niet tot falen kunnen leiden tenzij een andere grootheid tot een flinke extra verhoging van de belasting leidt. Vanwege de korte duur van een stormvloed en/of een storm speelt de faalgebeurtenis zich dan af binnen een getijperiode, zoals aan het eind van paragraaf 5.4.1 uitgebreid werd toegelicht. Tevens werd daar toegelicht dat de afvoer gedurende de faalgebeurtenis dan nauwelijks varieert. Dat houdt in dat het volgende geldt: 1. 2.

De faalgebeurtenis duurt niet langer dan één getijperiode. Tijdens de faalgebeurtenis is redelijkerwijs sprake van slechts één afvoerwaarde gedurende de getijperiode waarbinnen falen optreedt.

(5.19) (5.20)

Deze punten zijn analoog aan de punten (5.8) en (5.9) op basis waarvan formule (5.16) voor de Deltamethode kon worden afgeleid. De afleiding van (5.18) kan dan op dezelfde manier geschieden als die van (5.16), uiteraard dan met P(Hq>h) in plaats van P(M>m(q)). De beperking in (5.18) tot afvoeren lager dan qg, betekent dat uitsluitend faalgebeurtenissen worden beschouwd die plaatsvinden bij een afvoer lager dan qg, zodat het rechterlid van (5.18) inderdaad gelijk is aan ΨH(h, Q laag). Formule (5.18) wordt in Hydra-B berekend met numerieke integratie. Daartoe wordt de afvoer gediscretiseerd in stapjes met breedte ∆q. Dat leidt tot afvoerklassen [qi, qi+1] met grenzen27 q1 = 0 q2 = ∆q q3 = 2∆q

(5.21)

... ... qn −1 = (n − 2)∆q qn = q g

waarbij het hoogste interval de grenswaarde als rechter klassegrens heeft. Indien ∆q zo klein is dat de integrand in (5.18) niet al te zeer varieert over het interval [qi, qi+1], kan de integraal vervangen worden door een sommatie van de vorm n

Ψ H (h, Q laag ) = N ∑ g (qi )∆q P ( H q > h)

(5.22)

i =1

De stapgrootte wordt klein genomen voor locaties waar de afvoer belangrijk is en groter waar dat minder het geval is. Bijvoorbeeld voor Tiel28 wordt ∆q = 50 m3/s genomen, voor Dordrecht ∆q = 200 m3/s en voor Rotterdam ∆q = 250 m3/s. Tabel 5.1 geeft een voorbeeld van (5.22) voor een waterstandsberekening voor de hulpdijkhoogte h = 3.20 m+NAP aan de Nieuwe Maas. Overigens is de in dit voorbeeld gebruikte stapgrootte groter dan die welke voor officiële berekeningen is gebruikt.

27

Het kan zijn dat het afvoerbereik van 6000 m3/s geen veelvoud is van ∆q. Aan dergelijke implementatietechnische zaken wordt hier, en verderop in dit rapport, voorbijgegaan. 28 In feite zou de stapgrootte voor Tiel bij de berekening voor de lage afvoeren veel groter kunnen worden genomen, omdat deze afvoeren voor geen van de faalmechanismes een bijdrage aan ΨH(h, Q laag) leveren.

83

afvoer q

g(q)

P(H_q>h)

Ng(q)P(H_q>h)∆q

0

0.00E+00

0.00E+00

0.00E+00

500

1.82E-05

4.06E-07

1.30E-06

1000

3.41E-04

1.32E-07

7.95E-06

1500

4.56E-04

2.18E-07

1.75E-05

2000

3.60E-04

3.46E-07

2.20E-05

2500

2.62E-04

4.57E-07

2.11E-05

3000

1.70E-04

6.02E-07

1.80E-05

3500

1.10E-04

7.81E-07

1.51E-05

4000

7.90E-05

9.92E-07

1.38E-05

4500

5.65E-05

1.48E-06

1.47E-05

5000

4.04E-05

2.26E-06

1.61E-05

5500

3.24E-05

3.15E-06

1.80E-05

6000

2.30E-05

2.82E-06

1.14E-05

Bijdrage lage afvoeren [1/whjaar] =

1.77E-04

Tabel 5.1 Voorbeeld voor de waterstandsberekening voor de hulpdijkhoogte h = 3.20 m+NAP aan de Nieuwe Maas km 995.De kolommen geven respectievelijk de Rijnafvoer, momentane kansdichtheid g(q), getijkans P(Hq>h) en het produkt g(q)P(Hq>h)N∆q, waarbij N = 352 en ∆q = 500 m3/s. De sommatie levert ΨH(h; Q laag) = 1.77*10-4 per whjaar.

5.4.4 De berekeningswijze in Hydra-B voor de hoge afvoeren In deze paragraaf wordt de berekeningswijze behandeld die in Hydra-B wordt toegepast voor de hoge afvoeren. In deze berekeningswijze wordt ruwweg voor iedere standaardafvoergolf eerst de kans bepaald dat tijdens de passage van de golf falen optreedt. Vervolgens wordt deze kans gewogen met de frequentie waarmee de betreffende golf voorkomt. Deze methode is reeds eerder gebruikt, zie bijvoorbeeld [Duits et al, 1998]. Omdat individuele afvoergolven worden beschouwd, wordt de methode hier, net als in [Geerse, 2002b], aangeduid als de IAG-methode, wat staat voor Individuele Afvoergolven Methode. Voor de IAG-methode, dat wil zeggen voor de berekening van ΨH(h, Q hoog), zijn de volgende gegevens nodig: 1. 2. 3. 4.

De standaardafvoergolven die het verloop van de afvoer geven als functie van de tijd, voor afvoeren groter dan de grenswaarde qg. De frequentiedichtheid ψ(k) van de piekafvoer, voor k > qg. De getijkans P(Hq>h), voor q > qg. Voor elke richting in de hoofdsector Oost, dat wil zeggen voor elke richting NNO, NO,..., ZZW, dienen de isolijnen in het (q,u)-vlak beschikbaar te zijn. Voor elke richting en keringsituatie in de hoofdsector West, dat wil zeggen voor elke richting ZZW, ZW,..., N dienen de isovlakken in het (q,u,m)-vlak beschikbaar te zijn.

Merk op dat in tegenstelling tot de DML-methode nu de afvoergolven en de frequentiedichtheid van de afvoer nodig zijn in plaats van de momentane kans. De faalkans tijdens de passage van de afvoergolf wordt aangeduid als P ( F | k ) = kans dat tijdens de passage van de afvoergolf met piekwaarde k falen optreedt voor niveau h gedurende de tijd dat de golf zich boven niveau qg bevindt.

(5.23)

Hierbij is de letter F de eerste letter van het woord falen. Merk op dat P(F|k) van qg en het beschouwde niveau h afhangt, hoewel dat niet in de notatie tot uitdrukking komt.

84

afvoer q [m3/s] 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

tijd t [getijden]

Figuur 5.6 Opdeling van de afvoergolf in n getijperioden ten behoeve van de IAG-methode. De afvoergolf begint en eindigt op het niveau qg , met in dit voorbeeld n = 16.

De berekening van P(F|k) wordt als volgt uitgevoerd. Eerst wordt het tijdsverloop van de afvoergolf (boven de grenswaarde) gediscretiseerd in getijperioden, zie figuur 5.6 ter illustratie. Dat levert een aantal van n blokken. In Hydra-B is de hoogte van elk afvoerblok gelijk aan de gemiddelde afvoer in de beschouwde getijperiode, met uitzondering van het hoogste blok, waarvoor de piekafvoer van de afvoergolf wordt aangenomen. De afvoer behorende bij het j-de afvoerblok wordt aangegeven met q(j). Bij aanname worden met betrekking tot de wind en de zeewaterstand de blokken statistisch onafhankelijk verondersteld. Uiteraard geldt deze statistische onafhankelijkheid niet voor de afvoer: het verloop van de afvoer is immers middels de standaardafvoergolf ‘volledig’ gecorreleerd. Bedenk dat 1 – P(Hq(j) > h) de kans geeft dat tijdens het j-de blok geen falen optreedt. Vanwege de statistische onafhankelijkheid met betrekking tot de wind en de zeewaterstand volgt dan 1- P ( F | k ) = kans dat tijdens de golf geen falen optreedt = (1-P(H q(1) >h) )(1-P(H q(2) >h) ) ... (1-P(H q(n) >h) )

(5.24)

n

= ∏ (1-P(H q(j) >h) ) j=1

zodat n

P ( F | k ) = 1 − ∏ (1-P(H q(j) >h) )

(5.25)

j=1

Voor het toetspeil te Rotterdam, Dordrecht en Gorinchem worden in figuur 5.1 t/m 5.3, naast de eerder besproken getijkansen, de kansen P(F|k) gegeven als functie van de piekafvoer. Merk op dat de afvoer in de figuren zowel een piekafvoer als een ‘afvoerniveau’ kan betreffen. Wat opvalt is dat, bij dezelfde afvoer beschouwd, de kansen P(F|k) en de getijkansen voor Gorinchem niet al te zeer verschillen, terwijl ze voor Dordecht en met name voor Rotterdam veel verschillen. Dat is logisch. Bijvoorbeeld de afvoergolf met piekwaarde 17000 m3/s bevat voor Gorinchem alleen rond de top zulke hoge afvoeren dat het toetspeil kan worden overschreden; het overgrote deel van de golf bestaat uit zulke lage afvoeren q(j) dat deze in (5.25) een term (1 – P(Hq(j)) van nagenoeg 1.0 opleveren. Voor Rotterdam, en in mindere mate voor Dordrecht, leveren ook de lagere afvoeren q(j) uit de golf een bijdrage aan P(F|k), omdat dan (1 – P(Hq(j)) kleiner is dan 1.0. Om aan ΨH(h, Q hoog) te komen dienen de frequenties van de afvoergolven op de juiste wijze te worden verwerkt. Daartoe wordt de piekafvoer gediscretiseerd in stapjes met breedte ∆k. Dat leidt tot afvoerklassen [ki, ki+1] met grenzen

85

k1 = qg k 2 = q g + ∆k k 3 = q g + 2 ∆k k4 = qg + 3∆k

(5.26)

... ...

Indien ∆k klein genoeg is, wat hier wordt aangenomen, geldt vanwege (3.8) in benadering dat (zie eventueel paragraaf 3.2)

ψ (ki )∆k = Ψ (ki ) − Ψ (ki +1 ) = het aantal afvoergolven per whjaar met piekwaarde tussen ki en ki +1

(5.27)

Van de hier beschouwde afvoergolf leidt een fractie P(F|ki) tot falen. Dus geldt in benadering

ψ (ki ) P( F | ki )∆k = het aantal faalgebeurtenissen per whjaar tijdens afvoergolven met piekwaarde tussen ki en ki +1

(5.28)

Door te sommeren over i = 1 tot ∞ volgt dan het aantal faalgebeurtenissen per whjaar waarvoor niveau h wordt overschreden. Dus ∞

Ψ H (h, Q hoog ) = ∑ψ (ki ) P( F | ki ) ∆k

(5.29)

i =1

afvoer k

ψ(k)

P(F|k)

ψ(k)P(F|k)∆k

6000

5.78E-04

1.78E-06

1.03E-06

7000

3.12E-04

8.71E-05

2.72E-05

8000

1.72E-04

4.00E-04

6.89E-05

9000

8.92E-05

8.57E-04

7.64E-05

10000

4.61E-05

1.41E-03

6.52E-05

11000

2.71E-05

1.82E-03

4.94E-05

12000

1.27E-05

2.66E-03

3.37E-05

13000

5.93E-06

3.25E-03

1.93E-05

14000

2.78E-06

3.84E-03

1.07E-05

15000

1.30E-06

4.41E-03

5.73E-06

16000

6.08E-07

4.99E-03

3.03E-06

17000

2.84E-07

5.71E-03

1.62E-06

18000

1.33E-07

6.91E-03

9.20E-07

19000

6.22E-08

8.69E-03

5.41E-07

20000

2.91E-08

9.29E-03

2.70E-07

21000

1.36E-08

7.94E-03

1.08E-07

22000

6.37E-09

1.70E-02

1.08E-07

23000

2.98E-09

1.81E-02

5.41E-08

24000

1.39E-09

0.00E+00

0.00E+00

Bijdrage hoge afvoeren [1/whjaar] =

3.64E-04

Tabel 5.2 (vervolg op tabel 5.1) Voorbeeld voor de waterstandsberekening voor de hulpdijkhoogte h = 3.20 m+NAP aan de Nieuwe Maas km 995. De kolommen geven respectievelijk de Rijnafvoer, frequentiedichtheid ψ(k), faalkans tijdens passage afvoergolf P(F|k) en het produkt van ψ(k) en P(F|k) met ∆k, waarbij ∆k = 1000 m3/s. De sommatie levert ΨH(h; Q hoog) = 3.64*10-4 per whjaar.

86

Indien ∆k tot 0 nadert worden de benaderingen exact, waardoor de sommatie overgaat in een integraal, met als resultaat ∞

Ψ H (h, Q hoog ) = ∫ ψ (k ) P ( F | k ) dk

(5.30)

qg

Dit is de Hydra-B formule voor de IAG-methode. Voor de numerieke berekening wordt de gediscretiseerde versie (5.29) gebruikt. De stapgrootte ∆k wordt klein genomen voor locaties waar de afvoer belangrijk is en groter waar dat minder het geval is. Bijvoorbeeld voor Tiel wordt ∆q = 50 m3/s genomen, voor Dordrecht ∆q = 200 m3/s en voor Rotterdam ∆q = 500 m3/s. Tabel 5.2 geeft een voorbeeld van (5.29) voor de al eerder beschouwde waterstandsberekening aan de Nieuwe Maas (zie tabel 5.1), voor hulpdijkhoogte h = 3.20 m+NAP, met als resultaat ΨH(h; Q hoog) = 3.64*10-4 per whjaar. Volgens tabel 5.1 hebben de lage afvoeren bijdrage 1.77*10-4 per whjaar, zodat ΨH(h) = 1.77*10-4 + 3.64*10-4 = 5.41*10-4 = 1/1850 per whjaar, wat neerkomt op een terugkeertijd van het niveau h = 3.20 m+NAP van T = 1850 jaar. Overigens is de in dit voorbeeld gebruikte stapgrootte groter dan die welke voor officiële berekeningen is gebruikt.

5.5 Gedetailleerde formules Hydra-B In paragraaf 5.4 zijn de formules voor de berekeningswijzen voor de lage afvoer (DML-methode) en de hoge afvoer (IAG-methode) gegeven. Daar werd kwalitatief omschreven hoe de getijkans P(Hq>h) kan worden berekend. Hieronder wordt de preciese wiskundige formule voor de laatste grootheid gegeven, zonder verdere uitleg, omdat voor lezers die geïnteresseerd zijn in dergelijke wiskundige details de formules tamelijk voor zich spreken. De formule voor de getijkans bevat de kansen op geopende en gesloten keringen. Die worden in HydraB berekend onder de aanname dat de keringen afhankelijk van elkaar falen, wat wil zeggen dat falen van de ene altijd samengaat met falen van de andere: dus óf beiden falen, óf beiden functioneren op de juiste wijze. De toetspeilen uit [HR 2001] zijn met deze aanname berekend. De aanname van afhankelijk falen wordt gedetailleerd behandeld in hoofdstuk 7, waar ook de aanname van onafhankelijk falen wordt besproken. Bij die laatste is falen van de ene kering volledig onafhankelijk verondersteld van het al of niet falen van de andere. Omwille van het overzicht worden in paragraaf 5.5.1 eerst de belangrijkste formules uit paragraaf 5.4 herhaald. Paragraaf 5.5.2 geeft de formule voor de getijkans voor afhankelijk falen. In paragraaf 5.5.3 volgt ter vergelijking de formule voor onafhankelijk falen. Als toegift volgt in paragraaf 5.5.4, eveneens ter vergelijking, de formule voor een situatie zonder keringen.

5.5.1 Algemene Hydra-B formules In hoofdstuk 4 werden de termen Rijnsom en Maassom uitgelegd. We brengen in herinnering dat voor een Rijnsom de afvoerstatistiek van de Rijn wordt gebruikt, in combinatie met de 50%-lijn van de Maas (mediane Maasafvoer bij gegeven Rijnafvoer), terwijl voor een Maassom de afvoerstatistiek van de Maas wordt gebruikt, in combinatie met de 50%-lijn van de Rijn. Voor een Rijnsom betreft de afvoer q in de formules hieronder dus een Rijnafvoer, terwijl q voor een Maassom een Maasafvoer betreft. Nu worden de Hydra-B formules uit paragraaf 5.4 herhaald; zie de genoemde paragraaf of de symbolenlijst voor de gebruikte gegevens. De overschrijdingsfrequentie van niveau h wordt gegeven door de som van de frequenties voor lage en hoge afvoeren Ψ H (h) = Ψ H (h, Q laag ) + Ψ H (h, Q hoog )

(5.31)

De bijdrage voor de lage afvoeren wordt gegeven door qg

Ψ H (h, Q laag ) = N

∫ g (q) P( H

q

> h) dq

(5.32)

0

87

De bijdrage voor de hoge afvoeren wordt gegeven door ∞

Ψ H (h, Q hoog ) = ∫ ψ (k ) P ( F | k ) dk

(5.33)

qg

Hierin is, met n het aantal getijperioden dat de afvoer binnen de golf met piekwaarde k zich boven niveau qg bevindt en met q(j) de gemiddelde afvoer tijdens getijperiode j, n

P ( F | k ) = 1 − ∏ ⎡⎣1 − P ( H q ( j ) > h) ⎤⎦

(5.34)

j =1

We brengen in herinnering dat bij uitzondering in de getijperiode waarin de piekwaarde valt niet de gemiddelde afvoer wordt aangehouden maar de piekwaarde. Voor de volgende paragrafen dienen een aantal grootheden te worden omschreven, die nu volgen. H(q,u,m,r,O) of H(q,u,m,r,OO) H(q,u,m,r,D) of H(q,u,m,r,DD) H(q,u,m,r,OD) H(q,u,m,r,DO) m0 p(O|q,u,m,r) of p(OO|q,u,m,r) p(D|q,u,m,r) of p(DD|q,u,m,r) p(OD|q,u,m,r) p(DO|q,u,m,r)

De belasting als functie van de afvoer q, windsnelheid u, zeewaterstand m en windrichting r, voor de situatie dat beide keringen geopend zijn. Als H(q,u,m,r,O) en H(q,u,m,r,OO), maar dan voor gesloten keringen.

m+NAP

De belasting als functie van q, u, m en r, voor de situatie dat de Maeslantkering geopend is en de Hartelkering gesloten. Deze functie is alleen van belang in de situatie van onafhankelijk falen. De belasting als functie van q, u, m en r, voor de situatie dat de Maeslantkering gesloten is en de Hartelkering geopend. Deze functie is alleen van belang in de situatie van onafhankelijk falen. De maximale waterstand tijdens springtij. De m0 komt alleen voor in de formules voor de oostelijke richtingen, en is voor al die richtingen gelijk aan 1.30 m+NAP. De kans dat in een getijperiode beide keringen geopend zijn, bij gegeven q, u, m en r. Als p(O|q,u,m,r) en p(OO|q,u,m,r), maar dan voor gesloten keringen.

m+NAP

De kans dat in een getijperiode de kering in de Nieuwe Waterweg geopend is terwijl de Hartelkering gesloten is, bij gegeven q, u, m en r. Deze kans is alleen van belang in de situatie van onafhankelijk falen. De kans dat in een getijperiode de kering in de Nieuwe Waterweg gesloten is terwijl de Hartelkering geopend is, bij gegeven q, u, m en r. Deze kans is alleen van belang in de situatie van onafhankelijk falen.

[-]

m+NAP

m+NAP m+NAP [-] [-]

[-]

Terzijde merken we nog op dat in de conceptversie [Geerse, 2000] van het huidige rapport de grootheden H(q,u,m,r,O) en H(q,u,m,r,D) werden aangeduid door γO(q,u,m,r) en γD(q,u,m,r). Dat werd gedaan om te benadrukken dat in de hier beschouwde context deze grootheden deterministische functies betreffen in plaats van stochastische grootheden. Hier is er toch voor gekozen het symbool H te gebruiken in plaats van de in principe overbodige γ.

5.5.2 Getijkans voor afhankelijk falen De getijkans voor afhankelijk falen, bij gegeven afvoer q in de getijperiode, wordt gegeven door 9

P ( H q > h) = ∑

∫

g (u, r ) du +

r =1 u: H ( q ,u , m0 , r , O ) > h

(5.35) 16

∞

r =10

0

∑∫

88

⎡ g (u, m, r ) p (O | q, u , m, r ) du + g (u, m, r ) p ( D | q, u, m, r ) du ⎢ ∫ ∫ ⎢⎣ u:H ( q ,u , m , r ,O ) > h u :H ( q , u , m , r , D ) > h

⎤ ⎥ dm ⎥⎦

waarbij de kansen p(O|q,u,m,r) en p(D| q,u,m,r) op open en dichte keringen worden gegeven door (7.8) en (7.9) uit hoofdstuk 7. Een voorwaarde onder een integraal over u van bijvoorbeeld de vorm u: H(q,u,m,r,D) > h houdt in dat geïntegreerd moet worden over díe windsnelheden waarvoor voldaan is aan deze voorwaarde. In Hydra-B zal – behalve misschien in uitzonderlijke gevallen – sprake zijn van één specifieke waarde, zeg u1, waarvoor H(q,u1,m,r,D) = h, waarbij het integratie-interval dan bestaat uit [u1, ∞). Dat dat laatste (in de regel) het geval is komt mede door het gebruik van gerepareerde in plaats van ongerepareerde belastingen, zie paragraaf 4.6.2. De formules (5.31) t/m (5.35) vormen tezamen het ‘officiële’ Hydra-B model.

5.5.3 Getijkans voor onafhankelijk falen De getijkans voor onafhankelijk falen, bij gegeven afvoer q in de getijperiode, wordt gegeven door 9

P ( H q > h) = ∑

∫

g (u, r ) du +

r =1 u: H ( q ,u , m0 , r , O ) > h

16

∞

r =10

0

⎧⎪

∑ ∫⎨ ⎪

∫

⎩ u:H ( q ,u , m , r ,OO ) > h +

∫

g (u , m, r ) p(OO | q, u, m, r ) du +

(5.36)

g (u , m, r ) p (OD | q, u, m, r ) du

u : H ( q , u , m , r , OD ) > h

∫

g (u , m, r ) p ( DO | q, u , m, r ) du +

u :H ( q , u , m , r , DO ) > h

⎫⎪ g (u , m, r ) p( DD | q, u, m, r ) ⎬ dm ⎪⎭ u: H ( q , u , m , r , DD ) > h

∫

waarbij de kansen p(OO|q,u,m,r), p(OD|q,u,m,r), p(DO|q,u,m,r) en p(DD| q,u,m,r) worden gegeven door (7.10) uit hoofdstuk 7.

5.5.3 Getijkans exclusief keringen Indien men een situatie zonder keringen wenst te beschouwen, kan in (5.35) simpelweg worden genomen p(O|q,u,m,r) = 1 en p(D| q,u,m,r) = 0. Formule (5.35) levert dan voor de getijkans exclusief keringen, bij gegeven afvoer q in de getijperiode,

9

P ( H q > h) = ∑

∫

r =1 u :H ( q , u , m0 , r ,O ) > h

16

∞

r =10

0

g (u , r ) du + ∑

∫

⎡ ⎤ g (u , m, r ) du ⎥ dm ⎢ ∫ ⎢⎣ u:H ( q ,u , m , r ,O ) > h ⎥⎦

(5.37)

89

90

6 Nadere beschouwingen over Hydra-B 6.1 Inleiding Dit hoofdstuk geeft wat nadere beschouwingen over Hydra-B. In paragraaf 6.2 wordt uitgelegd dat de keuze van de grenswaarde in Hydra-B, die de berekeningswijze voor de lage en hoge afvoeren scheidt, van weinig invloed is op de resultaten, mits deze tenminste niet al te hoog wordt gekozen. Ook wordt in deze paragraaf de Deltamethode vergeleken met Hydra-B. Paragraaf 6.3 geeft aan voor welke (lage) terugkeertijden Hydra-B nog mag worden toegepast. In paragraaf 6.4 wordt Hydra-B vergeleken met de in het verleden toegepaste Methode Van der Made en de in het programma Dijkring gebruikte probabilistische formules. In paragraaf 6.5 wordt de invloed van een fysisch maximum van 18000 m3/s voor de Rijn op het toetspeil onderzocht. Paragraaf 6.6 gaat in op het effect dat het meenemen van de breedte van de afvoergolf als stochast in Hydra-B zou hebben. Dit hoofdstuk is vooral bedoeld voor de meer geïnteresseerde lezer die Hydra-B in een wat bredere context wil zien. De paragrafen 6.2.2 t/m 6.4 en 6.6 zijn mogelijk niet voor iedereen even goed leesbaar. Paragraaf 6.2.1, zie vooral tabel 6.2 met concrete uitkomsten voor verschillende grenswaarden, en paragraaf 6.5 zijn echter zonder al te veel inspanning goed te begrijpen.

6.2 Invloed grenswaarde en vergelijking tussen Hydra-B en de Deltamethode 6.2.1 Invloed van de grenswaarde in Hydra-B In het voorgaande hoofdstuk werd duidelijk dat de respectievelijk voor de lage en hoge afvoeren gebruikte DML- en IAG-methode beiden goed te motiveren zijn, mits met betrekking tot de DML-methode, zie de toelichting voorafgaand aan (5.19), de grenswaarde niet te hoog wordt gekozen. Beide methoden berusten, zoals eerder toegelicht, op bekende berekeningswijzen. Het ligt dan voor de hand dat de keuze van een andere grenswaarde, tenzij deze te hoog wordt gekozen, weinig invloed op de resultaten zal hebben. In [Geerse, 2002a] is deze invloed gedetailleerd onderzocht. In het vervolg vatten we de bevindingen van dat rapport uitgebreid samen; een deel van het onderstaande werd ook reeds in [Geerse, 2002b] samengevat. In het vervolg van het betoog wordt gebruik gemaakt van de zogeheten decimeringswaarde om eenvoudig te kunnen schatten hoe een verandering in terugkeertijd samenhangt met een verandering in belastingniveau. Het begrip decimeringswaarde is van toepassing op iedere grootheid die in redelijke benadering logaritmisch afhangt van de terugkeertijd, wat voor waterstanden en hydraulische belastingen veelal het geval is. Het begrip zal nu worden uitgelegd aan de hand van waterstanden. De decimeringswaarde voor de waterstand is per definitie het bedrag waarmee de waterstand verandert wanneer de beschouwde terugkeertijd met een factor 10 verandert. Tabel 6.1 geeft voor enkele locaties de decimeringswaarden. Merk op dat de decimeringswaarden het grootst zijn op de rivieren, terwijl deze dichter naar de kust afnemen. Dat laatste is het gevolg van de keringen, die als het ware ‘verhinderen’ dat de waterstanden sterk kunnen toenemen met de terugkeertijd. Neem Dordrecht, met decimeringswaarde 0.30 m als voorbeeld. Het toetspeil, bij T = 2000 jaar, bedraagt (afgerond op centimeters) 3.01 m+NAP. Dan zal T = 200 jaar een waterstand te zien geven van ongeveer 3.01 – 0.30 = 2.71 m+NAP. We benadrukken dat het begrip decimeringswaarde slechts exact gedefinieerd is ingeval de waterstand h exact logaritmisch samenhangt met T, dus indien h = a log T + b. De constante a is dan gelijk aan de decimeringswaarde. In het voorbeeld voor Dordrecht geldt h = 0.30 log T + 2.016 als benadering voor het werkelijke (niet exact logaritmische) verband tussen de waterstand en de terugkeertijd. Merk op dat indien voor twee terugkeertijden T1 en T2 de respectievelijke waterstanden h1 en h2 bekend zijn, de decimeringswaarde a en de constante b uit de relatie h = a log T + b bepaald kunnen worden door a=

h2 − h1 ⎛T ⎞ log ⎜ 2 ⎟ ⎝ T1 ⎠

(6.1)

91

b=

h1 log T2 − h2 log T1 ⎛T ⎞ log ⎜ 2 ⎟ ⎝ T1 ⎠

(6.2)

Omdat in de hier beschouwde toepassingen het logaritmische verband niet exact geldt, is de berekende decimeringswaarde (enigszins) afhankelijk van de keuze van T1 en T2. De decimeringswaarden in tabel 6.1 zijn bepaald uit de gegevens in de hieronder besproken tabel 6.2 met de keuzes T1 = 2000 en T2 = 10000 jaar. (De afwijking van het logaritmische verband is het grootst dicht bij de kust, vanwege de invloed van de keringen.)

locatie

km-raai

decim.waarde

T

MHW

[m]

[jaar]

[m + NAP]

Rotterdam

999

0.14

10000

3.434

Dordrecht

976

0.30

2000

3.006

Sliedrecht

968

0.38

2000

3.481

Gorkum

955

0.90

2000

5.923

Tiel

915

0.93

1250

11.390

Tabel 6.1 Decimeringswaarden van de waterstanden voor enkele locaties.

Uit [Geerse, 2002a] worden de volgende conclusies overgenomen, waarbij de eerste drie punten van toepassing zijn op de faalmechanismes overloop, golfoverslag en 2%-oploop, terwijl het vierde punt alleen van toepassing is op waterstanden (faalmechanisme overloop).29 1.

Een hogere grenswaarde leidt in Hydra-B (afgezien van numerieke onnauwkeurigheden) altijd tot een hogere of minstens even hoge overschrijdingsfrequentie ΨH(h) van niveau h.

2.

Voor lagere niveaus h heeft een verandering van de grenswaarde in Hydra-B meer invloed op de met Hydra-B berekende uitkomst van ΨH(h) dan voor hogere niveaus. Omdat lage waarden van h corresponderen met lage waarden van T geldt dus tevens dat voor lagere terugkeertijden een verandering van de grenswaarde in Hydra-B meer invloed heeft op ΨH(h) heeft dan voor hogere terugkeertijden.

3.

Beschouw locaties in het Benedenrivierengebied met een decimeringswaarde kleiner dan 1.0 meter. Het verhogen van de grenswaarde in Hydra-B van 6000 m3/s (defaultwaarde) naar 9000 m3/s levert dan, ingeval terugkeertijden T ≥ 1250 jaar worden beschouwd, verschillen in hydraulische belastingen van in ieder geval minder dan 0.02 meter. Voor een locatie met een grotere of kleinere decimeringswaarde dan 1.0 meter resulteert een evenredig groter of kleiner verschil dan 0.02 meter. Bijvoorbeeld voor een locatie met een decimeringswaarde van 0.5 meter resulteert een maximaal verschil van 0.01 meter. Voor de meeste, zo niet alle locaties zullen de verschillen vermoedelijk aanmerkelijk kleiner zijn dan de genoemde 0.02 meter.

4.

Indien T ≥ 1250 jaar en indien voor de grenswaarde qg in Hydra-B geldt 6000 m3/s ≤ qg ≤ 12000 m3/s, zullen de uitkomsten voor de berekende waterstanden niet meer dan orde millimeters hoger uitvallen dan berekend met de standaard in Hydra-B gebruikte ‘defaultwaarde’ qg = 6000 m3/s. Voor de meeste locaties zullen de verschillen overigens nog kleiner zijn.

Deze punten worden uitgebreid toegelicht in [Geerse, 2002a], deels door toetspeilberekeningen met Hydra-B en deels door het beschouwen van een wiskundige afschatting. Die afschatting is vooral belangrijk omdat hij inzicht geeft in de factoren die van invloed zijn op de mate waarin uitkomsten veranderen bij andere keuzes van de grenswaarde. We merken verder op dat ook in UBW-kader naar de invloed van de grenswaarde is gekeken [Vrouwenvelder et al, 2002]. Ook daar is de conclusie (naast andere conclusies) dat de keuze van de grenswaarde nauwelijks relevant is tenzij deze te hoog wordt gekozen. Uit de wiskundige afschatting blijkt dat de belangrijkste grootheid die bepaalt of de grenswaarde van invloed is op de uitkomsten de in paragraaf 5.3 ingevoerde getijkans is. We brengen het volgende in herinnering. De getijkans P(Hq>h) geeft de kans dat in een willekeurige beschouwde getijperiode, bij een gegeven afvoer q, falen 29

In het bewijs van punt (1) is gebruikt gemaakt van het feit dat in Hydra-B bij de discretisatie van de afvoergolf in getijperioden, de piekwaarde van de golf gedurende een gehele getijperiode is aangehouden, zie figuur 5.6.

92

optreedt. Deze hangt af, bij een vaste beschouwde hulpdijkhoogte h, van de afvoer q. De getijkans neemt toe met q, omdat hogere afvoeren eerder tot falen leiden dan lagere. Dichtbij de kust is P(Hq>h) voor het gehele afvoerbereik klein, terwijl verder landinwaarts P(Hq>h) voor de hogere afvoeren groter wordt. Voor sterk door de afvoer gedomineerde locaties, zoals in goede benadering bijvoorbeeld voor Tiel het geval is, zal deze kans vanaf een zekere afvoer gelijk aan 1 worden. Indien bijvoorbeeld, bij beschouwen van waterstanden, de hulpdijkhoogte h gelijk is aan het toetspeil te Tiel gebeurt dat bij de maatgevende afvoer 16000 m3/s, omdat bij deze afvoer de waterstand niveau h overschrijdt. In aanvulling op de zojuist gegeven informatie uit paragraaf 5.3 delen we het volgende mee. Voor afvoeren tot 18000 m3/s, dus tot zeer hoge afvoeren, geldt van de kust tot Dordrecht dat voor toetspeilberekeningen P(Hq>h) kleiner is dan circa 0.01. De getijkans voor 18000 m3/s op het genoemde traject is het grootst bij Dordrecht, waarvoor P(H18000>h) ≈ 0.01. Dat deze kans van de kust tot Dordrecht zo klein is houdt in dat bij iedere afvoer áltijd een redelijk extreme stormvloed nodig zal zijn wil sprake zijn van een overschrijding van het toetspeil: een extreme afvoer zonder stormvloed zal bij Dordecht dus nooit tot falen leiden. Van Dordrecht (km 976) stroomopwaarts gaande loopt de getijkans snel op. Bij Sliedrecht (km 968), nog geen 10 km verder, geldt P(H18000>h) ≈ 0.35. Deze snelle verandering in de kans P(Hq>h) betekent dat op het traject van Dordrecht tot Sliedrecht de afvoer ten behoeve van toetspeilberekeningen snel aan betekenis wint, terwijl de zee-invloed snel afneemt. De hiervoor genoemde wiskundige afschatting laat zien dat indien de getijkans P(Hq>h) maar ‘klein genoeg is’ voor de beschouwde grenswaarde, dus indien P(Hq>h) << 1 voor q = qg, lagere grenswaarden dan qg tot vrijwel dezelfde uitkomsten van de berekende waterstanden en kruinhoogten zullen leiden. We laten hier in het midden wat de frase ‘klein genoeg’ voor praktische toepassingen inhoudt, zie [Geerse, 2002a] voor nadere uitleg. Terzijde merken we op dat de grenswaarde zelfs gelijk aan nul genomen zou kunnen worden, indien de werklijn en standaardgolfvormen tot aan de allerlaagste afvoeren beschikbaar zouden zijn – in dat geval is de grenswaarde dus helemaal uit het model verdwenen. De lage golfvormen en het lage deel van de werklijn moeten dan als ‘kunstmatige’ onderdelen van de afvoerstatistiek worden beschouwd die tezamen de wel reële momentane kans dienen te representeren. In [Geerse, 2002b] en [Vrouwenvelder et al, 2002] wordt een dergelijke situatie beschouwd. De eerste referentie legt uit wat het voordeel is van een model zonder grenswaarde: correlaties tussen stochasten kunnen dan op een goede en overzichtelijke manier in het model worden opgenomen. Zo zou dan de correlatie tussen Rijn en Maas op een goede manier kunnen worden gemodelleerd (zonder de pragmatische aanpak met 50%-lijnen). In [Geerse, 2003b] wordt voor de IJssel- en Vechtdelta een model beschreven, waar de correlatie tussen afvoer en IJsselmeerpeil op een nette manier wordt gemodelleerd. De hier genoemde correlaties zijn niet goed te modelleren indien in het model een grenswaarde voorkomt. Na dit uitstapje over modellen zonder grenswaarde keren we terug naar Hydra-B. Om de invloed van de grenswaarde op de Hydra-B uitkomsten voor waterstanden numeriek te illustreren zijn in tabel 6.2 voor de locaties Rotterdam, Dordrecht, Sliedrecht, Gorinchem en Tiel berekeningen gegeven voor verschillende grenswaarden en terugkeertijden. Beschouwd zijn de grenswaarden 6000, 8000, 12000, 16000, 18000 m3/s en terugkeertijden T = 5, 10, 100, 1250, 2000 en 10000 jaar. Daarnaast zijn de resultaten weergegeven voor de Deltamethode (qg = ∞), welke in de volgende paragraaf worden besproken. Waar in het vervolg zonder verdere toevoeging over een berekening met ‘Hydra-B’ zal worden gesproken zal altijd bedoeld zijn een berekening met de defaultwaarde qg = 6000 m3/s; wanneer in Hydra-B een andere grenswaarde is gebruikt zal dat apart worden vermeld. De getallen in tabel 6.2 zijn in millimeters gegeven, wat een schijnnauwkeurigheid inhoudt. Alleen iets andere discretisaties in de numerieke berekeningen kunnen al tot ongeveer 1 á 2 centimeter verschil leiden in de uitkomsten. Verder bestaan allerlei onzekerheden in bijvoorbeeld de maatgevende afvoer, de duur van de opzet in de gebruikte Sobeksommen, de faalkans van de keringen etcetera: andere uitgangspunten voor deze grootheden kunnen zelfs verschillen van decimeters geven in de uitkomsten. Dat de getallen in millimeters worden gegeven is gedaan om zo zuiver mogelijk uitkomsten met elkaar te kunnen vergelijken.30 Beschouw als uitleg van tabel 6.2 locatie Sliedrecht. Deze locatie heeft een toetspeil van h = 3.481 m+NAP (T = 2000 jaar), zoals berekend met Hydra-B met qg = 6000 m3/s. Het verhogen van de grenswaarde tot 12000 m3/s levert een 0.001 m hogere uitkomst. Een forse verhoging van de grenswaarde (ter informatie: 6000 m3/s heeft T = 1 jaar en 12000 m3/s heeft T = 60 jaar) levert dus niet meer dan een millimeter verschil in de uitkomst van de Hydra-B berekeningen. Pas bij een zeer forse verhoging van de grenswaarde ontstaan verschillen voor deze locatie: zo levert qg = 18000 m3/s een verhoging van het toetspeil met 0.035 m. Voor lagere terugkeertijden heeft een verandering van de grenswaarde meer invloed. Bijvoorbeeld voor T = 5 jaar en qg = 12000 m3/s resulteert een 0.113 m hogere uitkomst. Voor Sliedrecht geeft de grenswaarde 12000 m3/s bij de beschouwde lage 30

Wanneer de invloed van de grenswaarde wordt onderzocht dient de discretisatie-stapgrootte in de lage en de hoge afvoer in Hydra-B gelijk aan elkaar te worden genomen. 93

terugkeertijden dus geen goede resultaten voor waterstandsberekeningen, omdat de fout nu ongeveer één decimeter bedraagt. De iets lagere grenswaarde 8000 m3/s levert bij deze lage terugkeertijden weer een veel kleiner verschil van ongeveer één centimeter. De grenswaarde 8000 m3/s geeft dus voor Sliedrecht nagenoeg dezelfde resultaten als de defaultwaarde in Hydra-B. De tabel laat zien dat voor T ≥ 5 jaar voor alle vijf locaties een grenswaarde qg = 8000 m3/s praktisch dezelfde uitkomsten geeft als de defaultwaarde. Het maximale verschil bij deze locaties treedt op bij Gorinchem en bedraagt 0.027 m. Hydra_b berekeningen van waterstanden voor verschillende grenswaarden. Aangegeven zijn de verschillen met Hydra_b t.o.v. defaultgrenswaarde 6000 m3/s in Hydra_b. Positief verschil houdt in dat de berekening hoger uitvalt dan die met 6000 m3/s. Voor 6000 m3/s waterstand in m + NAP. Overige getallen in m. T [jaar]

5

Rotterdam

km 999

6000

2.741

10

100

1250

2000

10000

2.854

3.120

3.306

3.334

3.434

maximum

8000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

12000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

16000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

18000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

Deltameth.

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

Dordrecht

km 976

6000

2.194

2.302

2.629

2.950

3.006

3.215

maximum

8000

0.005

0.004

0.001

0.000

0.000

0.001

0.005

12000

0.017

0.012

0.004

0.001

0.001

0.001

0.017

16000

0.026

0.017

0.006

0.001

0.001

0.002

0.026

18000

0.028

0.020

0.007

0.001

0.001

0.002

0.028

Deltameth.

0.028

0.020

0.007

0.002

0.001

0.002

0.028

Sliedrecht

km 968

6000

2.326

2.468

2.924

3.400

3.481

3.745

maximum

8000

0.012

0.007

0.000

0.000

0.000

0.000

0.012

12000

0.113

0.071

0.010

0.000

0.001

0.000

0.113

16000

0.182

0.172

0.106

0.012

0.007

0.001

0.182

18000

0.185

0.177

0.151

0.057

0.035

0.005

0.185

Deltameth.

0.186

0.177

0.163

0.155

0.156

0.169

0.186

Gorkum

km 955

6000

3.419

3.781

4.756

5.743

5.923

8000

0.027

0.001

0.000

0.000

0.000

0.000

0.027

12000

0.736

0.535

0.004

0.000

0.000

0.000

0.736

16000

0.872

0.755

0.530

0.038

0.002

0.000

0.872

18000

0.877

0.765

0.612

0.367

0.278

0.000

0.877

Deltameth.

0.878

0.768

0.635

0.588

0.581

0.571

0.878

Tiel

km 915

6000

8.882

9.284

10.409

11.390

11.579

12.226

maximum 6.550

maximum

8000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

12000

0.871

0.645

0.000

0.000

0.000

0.000

0.871

16000

1.017

0.902

0.557

0.012

0.000

0.000

1.017

18000

1.023

0.914

0.636

0.391

0.289

0.000

1.023

Deltameth.

1.024

0.916

0.658

0.614

0.607

0.576

1.024

Tabel 6.2 Waterstandsberekeningen met Hydra-B voor verschillende grenswaarden.31 31

De getallen zijn berekend met rekenmodule versie 1.4, met de sluitfunctie van eind december 2001 (Rijnsom) en de uitgebreide dagenlijn uit bijlage D.2 van [Kalk, 2001]. De discretisaties zijn hetzelfde als in [Duits en Thonus, 2001]; alleen voor Rotterdam is de maximale afvoer 25000 i.p.v. 20000 m3/s genomen, met stapgrootte

94

Voor toetspeilberekeningen worden altijd terugkeertijden T ≥ 1250 jaar beschouwd. Laten we deze terugkeertijden eens in combinatie met de grenswaarde 12000 m3/s beschouwen. In dat geval treedt het maximale verschil voor de vijf locaties op bij Dordrecht en Sliedrecht, welk verschil dan slechts één millimeter bedraagt. Er is niet verder onderzocht bij welke km-raai op de rivier nu precies het maximale verschil optreedt. Ook zijn andere riviertakken niet onderzocht. Omdat de vijf beschouwde locaties verschillend van karakter zijn − Rotterdam wordt gedomineerd door de zeewaterstand, Tiel door de afvoer en de overige locaties door combinaties van zeewaterstand en afvoer − zullen elders in het Benedenrivierengebied niet veel grotere verschillen ontstaan. 1.8

14.0 Sobek 16000 m3/s

1.6

Hydra_b T = 1250 jaar

12.0

Hydra_b - Sobek

1.4 1.2

8.0

1.0

6.0

0.8

verschil [m]

waterstand [m + NAP]

10.0

0.6 4.0 0.4 2.0

0.2

0.0

0.0 910

920

930

940

950

960

970

980

990

1000 1010 1020

km raai, Waal - Noord - Maasmond

Figuur 6.1 Waterstanden volgens Sobek (16000 m3/s) en Hydra-B voor T = 1250 jaar.

In bovenstaande is meerdere malen onderscheid gemaakt tussen locaties waar de afvoer bepalend is voor de berekende waterstanden en waar dat niet zo zeer het geval is. Het is dan illustratief de Sobeksom voor de maatgevende afvoer te vergelijken met de Hydra-B som voor T = 1250 jaar. In figuur 6.1 zijn voor het traject Waal – Boven Merwede – Beneden Merwede – Noord – Nieuwe Maas deze waterstanden uitgezet tegen de kilometerraai. De Sobeksom betreft een Rijnsom (Maas volgens 50%-lijn) en is gemaakt bij windsnelheid nul, opzetduur 29 uur bij Maasmond, open keringen en gemiddeld getij. De Hydra-B som bevat de globale windopzet over het gebied (dus exclusief dwarsverhang), open zowel als dichte keringsituaties en alle mogelijke zeewaterstanden. Figuur 6.1 laat zien dat bij Tiel (km-raai 915) de afvoer vrijwel de enige bepalende factor is. Het verschil tussen Hydra-B en Sobek is dan slechts 1 centimeter, wat inhoudt dat de zee-invloed en windopzet over het gebied praktisch verwaarloosbaar zijn. Het verschil loopt stroomafwaarts langzaam op. Bij km-raai 950 is het verschil tot 5 cm opgelopen; bij Gorinchem (km-raai 955) bedraagt het 8 cm. Daarna begint het verschil sneller op te lopen, tot ongeveer 40 cm bij Sliedrecht (km-raai 968) en ongeveer 80 cm bij Dordrecht (km-raai 976) waarna het vanaf ongeveer Rotterdam (km-raai 999) stabiliseert op circa 1.5 meter. Het is duidelijk dat ter plaatse van Dordrecht de invloed van de zee aanmerkelijk is geworden. We merken nog op dat in [Berger et al, 2002] voor T = 1250 jaar voor de bovenstroomse delen van de Waal, Lek en Maas die tot het Benedenrivierengebied behoren eveneens het verschil tussen de Sobeksom en Hydra-B wordt gegeven. Daarnaast wordt het verschil tussen de Sobek- en Waquasom gegeven. Het gaat om de trajecten Waal (km 914 – km 948), Lek (km 947 – km 975) en Maas (km 201 – km 235). Op de Waal stemt het verschil tussen Sobek en Hydra-B uiteraard samen met het resultaat uit figuur 6.1. 250 m3/s in lage zowel als hoge afvoer. Tevens zijn extra hulpdijkhoogtes toegevoegd, zodat nergens geïnterpoleerd hoefde te worden. Voor de Deltamethode is de grenswaarde op 25000 m3/s gezet. 95

6.2.2 De Deltamethode vergeleken met Hydra-B Een speciale keuze van de grenswaarde bestaat uit het oneindig nemen daarvan, waaarbij de bijdrage voor de hoge afvoeren gelijk aan nul wordt. In feite resulteert dan de formule voor de Deltamethode uit paragraaf 5.4.2, maar dan inclusief de stochasten windsnelheid en windrichting. Net als in die paragraaf zal deze formule hier worden aangeduid als de Deltamethode, ondanks dat in de ‘oude’ Deltamethode naast de afvoer alleen zeewaterstanden werden beschouwd en geen windsnelheden en windrichtingen. Voor qg = ∞ resulteert dan, zie (5.18), de formule ∞

Ψ H , Delta (h) = N ∫ g (q ) P ( H q > h) dq

(6.3)

0

Hieronder wordt de Deltamethode vergeleken met Hydra-B. Tevens wordt gedemonstreerd dat ΨH, Delta(h) kan worden geïnterpreteerd als het gemiddeld aantal getijperioden per whjaar waarin niveau h wordt overschreden. Deze interpretatie leidt – zij het met de nodige subtiliteiten – tot een formule voor de gemiddelde duur van een faalgebeurtenis waarbij niveau h wordt overschreden. Daarnaast wordt ingegaan op de vraag onder welke omstandigheden de Deltamethode goede resultaten zal geven en onder welke omstandigheden niet meer. Een aantal van de hieronder gedane beweringen is al wel bekend, zie bijvoorbeeld [Nota 61.002.17; Van Zetten, 1987], maar vermoedelijk voegt de hier gegeven beschouwing wel iets toe aan het juiste begrip van de Deltamethode. De numerieke voorbeelden in deze paragraaf hebben betrekking op toetspeilen, maar de gegeven formules zijn ook van toepassing voor golfoverslag en golfoploop. Onder meer worden voor de vijf locaties uit tabel 6.2 de met Hydra-B en de Deltamethode berekende toetspeilen vergeleken. Uit Hydra-B sommen blijkt dat van de kust tot Dordrecht de Deltamethode vrijwel exact hetzelfde toetspeil oplevert als de berekening met de ‘defaultwaarde’ in Hydra-B van qg = 6000 m3/s. Meer stroomopwaarts kan de Deltamethode tot vele decimeters hoger uitkomen dan Hydra-B met de defaultwaarde. Deze zaken worden geïllustreerd in tabel 6.3 voor toetspeilberekeningen voor de al eerder in tabel 6.2 beschouwde vijf locaties, uit welke tabel de hier gegeven getallen afkomstig zijn. Vanaf ongeveer Sliedrecht geeft de Deltamethode een fout van meer dan één decimeter, die vanaf Gorinchem tot ongeveer 6 decimeters is opgelopen. De grens tot waar de Deltamethode goede resultaten geeft hangt niet alleen af van de ligging van de locatie, maar ook van de beschouwde terugkeertijd, zoals blijkt uit tabel 6.2. Die tabel maakt wel duidelijk dat met name de ligging van de locatie van belang is, omdat voor Dordrecht voor álle beschouwde terugkeertijden de Deltamethode slechts een fout van een paar centimeter geeft, terwijl stroomopwaarts van Sliedrecht voor álle terugkeertijden een flinke fout resulteert. Terzijde merken we op dat op de tak Waal – Nieuwe Merwede – Haringvlietsluizen de Deltamethode voor toetspeilberekeningen goede resultaten blijkt te geven benedenstrooms van Hollandsch Diep km 980; andere riviertakken (zoals Lek en Maas) zijn niet onderzocht. Naast de ligging van de locatie en de beschouwde terugkeertijd spelen ook de ‘eigenschappen’ (faalkans en voorspelnauwkeurigheid) van de Maeslant- en de Hartelkering een rol. Bijvoorbeeld een grotere faalkans van de keringen betekent dat de invloed van de zee verder landinwaarts reikt, in welk geval de Deltamethode tot verder landinwaarts goede resultaten zal geven voor toetspeilberekeningen. Tot hoever de Deltamethode dan gebruikt mag worden is hier niet verder onderzocht.

locatie

km-raai

decim.waarde

T

MHW

Deltameth.

Delta - MHW

[m]

[jaar]

[m + NAP]

[m + NAP]

[m]

Rotterdam

999

0.14

10000

3.434

3.434

0.000

Dordrecht

976

0.30

2000

3.006

3.007

0.001

Sliedrecht

968

0.38

2000

3.481

3.637

0.156

Gorkum

955

0.90

2000

5.923

6.504

0.581

Tiel

915

0.93

1250

11.390

12.004

0.614

Tabel 6.3 Resultaten volgens Hydra-B en volgens de Deltamethode voor toetspeilen voor enkele locaties.

Tabel 6.3 suggereert dat de Deltamethode altijd tot hogere resultaten leidt dan Hydra-B. Dat blijkt inderdaad (zoals bij experts veelal bekend) het geval te zijn. In [Geerse, 2002a] is dat netjes wiskundig bewezen; merk op dat de bewering een speciaal geval vormt van punt (1), gegeven direct onder tabel 6.1. In het vervolg van deze paragraaf zal de juistheid van de bewering eveneens duidelijk worden.

96

We zullen nu een interpretatie van ΨH, Delta(h) geven die voor iedere locatie geldig is, dus zowel dicht bij zee als ver landinwaarts. De enige aanname die gemaakt wordt, is dat de afvoer gedurende een getijperiode niet al te veel varieert, zodat met enige goede wil kan worden gesproken over de (ene) afvoerwaarde tijdens een getijperiode. In de hier beschouwde context mag (naar de mening van schrijver dezes) deze benadering zeker worden gemaakt. Analoog aan de afleiding van (5.14) volgt dan, indien de afvoer wordt gediscretiseerd in intervallen [qi, qi+1] met breedte ∆q, kans dat in getijperiode niveau h wordt overschreden = ∑ g (qi )∆q P( H q > h)

(6.4)

i

Door ∆q tot nul te laten naderen volgt dan met behulp van (6.3) kans dat in getijperiode niveau h wordt overschreden ∞

= ∫ g (q ) P ( H q > h) dq = 0

Ψ H , Delta (h)

(6.5)

N

Het vermenigvuldigen van deze kans met het aantal van N getijperioden per whjaar, levert het gemiddeld aantal getijperioden per whjaar waarin niveau h wordt overschreden. Dus volgt Ψ H , Delta (h) = het gemiddeld aantal getijperioden per whjaar waarin het belastingsniveau h wordt overschreden

(6.6)

De grootheid ΨH(h) geeft zoals bekend het gemiddeld aantal faalgebeurtenissen per whjaar waarin niveau h wordt overschreden. Geef het quotiënt tussen (6.6) en deze grootheid aan met de dimensieloze grootheid dH(h). Dan geldt d H (h) = gemiddeld aantal getijperioden waarin niveau h wordt overschreden in faalgebeurtenissen waarvoor niveau h wordt overschreden =

Ψ H , Delta (h) Ψ H ( h)

(6.7)

≥1

Het is verleidelijk om deze grootheid simpelweg te interpreteren als ‘de gemiddelde duur in getijden van een faalgebeurtenis voor niveau h’. Dat zou onjuist zijn. Wanneer gesteld wordt dat in een getijperiode niveau h wordt overschreden, wordt feitelijk bedoeld dat de maximale belasting in de getijperiode niveau h overschrijdt. Deze overschrijding hoeft niet de volle duur van 12 uur en 25 minuten van de getijperiode te duren. Bijvoorbeeld bij beschouwen van waterstanden zal dicht bij de kust in het tijdsverloop van de belasting veelal nog een ‘vrij scherpe’ getijtop te herkennen zijn, met een kortere overschrijdingsduur dan een getijperiode. Overigens kan een getijtop sterk vervormd zijn nadat deze zich van de kust landinwaarts heeft verplaatst, waarbij het tijdsverloop ook afhangt van het sluitingsproces van de keringen.32 Neem om het iets concreter toe te lichten eens aan dat dH(h) = 2; figuur 6.2 illustreert dan dat het niveau h, ook al wordt het in twee getijperioden overschreden, toch minder dan gedurende 2 keer 12 uur en 25 minuten overschreden kan worden. Indien golven worden beschouwd zal de overschrijding van niveau h ook veelal korter duren dan een getijperiode, omdat zeer extreme windsnelheden geen 12 uur zullen aanhouden. (Overigens kan de golfaanval niet apart van de waterstand worden beschouwd; de maximale belasting bestaat immers uit het gecombineerde effect van waterstand en golfaanval.) Ver landinwaarts kan het zeker voorkomen dat in een getijperiode waarin niveau h wordt overschreden deze overschrijding de volle duur van een getijperiode aanhoudt en zelfs langer. Dat is bijvoorbeeld bij Tiel het geval indien het toetspeil wordt overschreden.

32

Het kan in principe voorkomen dat een overschrijding gerelateerd aan een getijperiode zelfs langer duurt dan 12 uur en 25 minuten. Uit de Sobeksommen blijkt dat soms de tijdsduur tussen twee getijtoppen min of meer wordt ‘opgevuld’ door de stormopzet. Indien beide toppen praktisch even hoog zijn kan een overschrijdingsduur resulteren van (iets) meer dan 12 uur en 25 minuten. Deze situatie, waarin beide toppen even hoog zijn en het tussenliggende verloop praktisch dezelfde hoogte heeft, lijkt niet vaak voor te komen. 97

H

0:00

24:50

12:25

tijd [uur:min]

Figuur 6.2 Illustratie van de overschrijdingsduur van niveau h: gedurende twee getijperioden wordt h overschreden, maar niet de hele tijd.

Omdat dH(h) ≥ 1, volgt uit (6.7) dat de Deltamethode altijd tot een hogere, of minstens even hoge, overschrijdingsfrequentie leidt als Hydra-B, zoals hiervoor reeds werd opgemerkt. De situatie dat Hydra-B en de Deltamethode hetzelfde resultaat geven, correspondeert met dH(h) = 1. Deze situatie doet zich voor, zoals de lezer inmiddels duidelijk zal zijn, indien voor falen minimaal een middelextreme stormvloed en/of storm is vereist, wat het geval zal zijn in het westelijk deel van het Benedenrivierengebied. We zullen formule (6.7) nu illustreren voor toetspeilen, voor uitsluitend door de afvoer gedomineerde locaties. Wanneer het toetspeil uitsluitend door de afvoer wordt bepaald wil dat zeggen dat wind en zeewaterstand fysisch niet van invloed zijn op de waterstand, wat in goede benadering geldt voor locaties op de grens tussen Boven- en Benedenrivierengebied. Voor een toetspeil van h meters + NAP bestaat er dan precies één afvoerwaarde qh waarvoor deze waterstand h wordt bereikt. Voor een locatie met terugkeertijd T = 1250 jaar is qh gelijk aan de maatgevende afvoer qh = 16000 m3/s, omdat deze (Rijn)afvoer de beschouwde terugkeertijd heeft. Neem Tiel als voorbeeld. Hydra-B geeft voor deze locatie een toetspeil van h = 11.39 m+NAP. De Sobeksom voor de maatgevende afvoer, zie figuur 5.9, blijkt voor Tiel een waterstand van 11.38 m+NAP op te leveren. Het feit dat Hydra-B 0.01 m hoger uitkomt heeft als oorzaak dat toch een geringe zee-invloed en globale opwaaiing (windopzet) over het Benedenrivierengebied bestaat, die niet in de Sobeksom wordt meegenomen, maar wel in rekening wordt gebracht in Hydra-B. De locatie Tiel wordt dus niet volledig door de afvoer gedomineerd, maar wel in zeer goede benadering. Voor uitsluitend door de afvoer gedomineerde locaties bestaat er, zoals zojuist uitgelegd voor toetspeilen, bij iedere waterstand h precies één afvoerwaarde qh waarvoor deze waterstand optreedt, ongeacht de daarbij optredende wind en zeewaterstand. Voor lagere afvoeren dan qh kan geen falen optreden, terwijl voor hogere afvoeren altijd falen optreedt. De getijkans P(Hq>h) springt daarom ter plaatse van q = qh abrupt van de waarde 0 naar de waarde 1. Dan kan eenvoudig geverifieerd worden dat de overschrijdingsfrequentie volgens Hydra-B gelijk wordt aan de overschrijdingsfrequentie van qh volgens de werklijn. Dus Ψ H (h) = Ψ (qh )

(6.8)

wat uiteraard het juiste antwoord moet zijn in deze situatie. Uit (6.3) volgt nu Ψ H , Delta (h) = NP(Q > qh )

(6.9)

zodat uit (6.7), (6.8) en (3.11) volgt d H ( h) =

NP(Q > qh ) = d (qh ) Ψ H ( h)

(6.10)

met d(q) gegeven door tabel 3.1. Het gemiddeld aantal getijden binnen een faalgebeurtenis is dus gelijk aan de gemiddelde overschrijdingsduur van niveau qh binnen afvoergolven die niveau qh overschrijden. Dat resultaat is 98

weinig verassend, omdat het tijdsverloop van de waterstand direct weerspiegeld wordt door het tijdsverloop van de afvoer. Voor het toetspeil te Tiel geldt h = 11.39 m+NAP en qh = 16000 m3/s, bij een terugkeertijd T = 1250 jaar. Uit tabel 3.1 volgt dan d(qh) = 5.0. De Deltamethode komt voor Tiel dus een factor 5.0 hoger uit dan de (juiste) berekening met Hydra-B. De laatste berekening geeft T = 1250 jaar, terwijl de Deltamethode hier uitkomt op T = 1250/5.0 = 250 jaar. Omdat de decimeringshoogte voor Tiel ongeveer 0.9 m bedraagt, levert de Deltamethode hier een toetspeil dat circa 0.9*log(5.0) = 0.63 m hoger uitkomt dan de Hydra-B berekening die een toetspeil van h = 11.39 m+NAP oplevert. Uit tabel 6.3 blijkt dat het verschil tussen Hydra-B en de Deltamethode gelijk is aan 0.614 m, in goede overeenstemming met het zojuist genoemde bedrag. De Deltamethode levert voor sterk afvoergedomineerde locaties dus een aanzienlijke fout op in de toetspeilberekening van orde meerdere decimeters. Merk op dat indien deze locaties dezelfde decimeringswaarde als Tiel hebben, de fout steeds (ongeveer) de genoemde 0.63 m zal zijn.

6.3 Voor welke terugkeertijden mogen de Hydra-B formules worden toegepast? Hydra-B is bedoeld om belastingniveaus te berekenen voor terugkeertijden T tussen 10 en 20000 jaar. Het bereik van de hulpdijkhoogtes, zie paragraaf 5.2, is zo gekozen dat voor dergelijke terugkeertijden de juiste antwoorden resulteren. In principe zouden lagere hulpdijkhoogtes kunnen worden toegevoegd, zodat voor lagere terugkeertijden belastingniveaus kunnen worden berekend. Een interessante vraag is tot welke lage terugkeertijden Hydra-B, indien deze lagere hulpdijkhoogtes worden toegevoegd, nog betrouwbare belastingniveaus zal berekenen. Beschouw eerst waterstanden. Dan zal Hydra-B tot ongeveer T = 5 jaar betrouwbare uitkomsten geven. Voor lagere terugkeertijden kunnen in ieder geval voor sterk door de afvoer bepaalde locaties onjuiste uitkomsten resulteren. Een waterstandsberekening voor T = 1 jaar zal voor bijvoorbeeld Tiel en Gorinchem onbetrouwbare uitkomsten geven. De reden is dat de default-grenswaarde 6000 m3/s dezelfde terugkeertijd heeft (6000 m3/s heeft volgens de werklijn T = 1 jaar) als die waarvoor de waterstandsberekening wordt uitgevoerd. Omdat voor de uitkomsten dan met name afvoergolven met piekwaarden ≈ 6000 m3/s relevant zijn (die leveren de grootste kansbijdrage aan de overschrijdingsfrequentie), zal het zo zijn dat voor ieder van deze afvoergolven een groot deel, of zelfs de gehele afvoergolf, met de DML-methode wordt doorgerekend in plaats van met de IAGmethode. In de voorgaande paragraaf bleek dat dan een overschatting van de berekende waterstand resulteert. Dat voor T ≥ 5 jaar Hydra-B wél juiste uitkomsten zal geven, komt omdat de afvoerwaarde met T = 5 jaar ruim boven de 6000 m3/s ligt; die afvoer bedraagt namelijk circa 8500 m3/s. Voor een Hydra-B berekening voor T = 5 jaar zullen de meest relevante afvoergolven piekwaarden ≈ 8500 m3/s hebben. Het deel van de afvoergolven boven de 6000 m3/s wordt in Hydra-B met de IAG-methode doorgerekend, welke methode hier de juiste resultaten levert. Verwacht moet worden dat Hydra-B (voor waterstanden) voor T ≥ 1 jaar voor Dordrecht tot aan zee wel ‘redelijk’ goede uitkomsten zal leveren, omdat de zeewaterstand daar reeds een grote rol speelt en falen slechts kan optreden in combinatie met een kortdurende stormvloed en/of storm. Voor dergelijke situaties kan zoals in de voorgaande paragraaf bleek zowel met Hydra-B als met de Deltamethode worden gerekend. Hier treedt dus niet het probleem op dat de DML-methode verkeerde uitkomsten zou kunnen leveren. Er is echter niet onderzocht hoe nauwkeurig de Hydra-B uitkomsten voor T = 1 jaar dan zullen zijn. Wil men betrouwbare uitkomsten voor T = 1 jaar verkrijgen voor alle typen locaties, dan zal de grenswaarde in Hydra-B moeten worden verlaagd tot zeg 4000 m3/s, in welk geval wel eerst de werklijn en afvoergolven voor deze lage afvoerwaarden dienen te worden bepaald. Voor afvoeren lager dan 4000 m3/s is nauwelijks nog zinnig te spreken over afvoergolven: het afvoerverloop wordt dan een wat grillig in de tijd verlopende grootheid waarbij geen duidelijke golven meer kunnen worden onderscheiden. Het werken met standaardafvoergolven en een werklijn om de werkelijkheid te beschrijven wordt dan wat problematisch. Tevens moet men zich dan bezinnen op de vraag of niet een zichtduur moet worden gehanteerd wat betreft het tellen van overschrijdingstoppen van de waterstand. Relevant is verder dat de kansverdeling voor de zeewaterstand voor T < 1 jaar onbetrouwbaar wordt, omdat de in Hydra-B gebruikte marginale verdeling van de zeewaterstand voor de zeer frequente zeewaterstanden onbetrouwbaar wordt; zie hoofdstuk 8 voor een nadere toelichting.

99

Beschouw nu de faalmechanismes golfoverslag en 2%-oploop, zodat naast waterstanden ook golven van belang zijn. De voorgaande redeneringen blijven dan in essentie gelden. In feite is de situatie voor deze faalmechanismes wat ‘gunstiger’, omdat de faalgebeurtenissen veelal een kortere duur zullen krijgen dan bij het beschouwen van waterstanden. De bewering dat vanaf ongeveer T = 5 jaar Hydra-B goede uitkomsten zal geven blijft dus gelden. Tevens zal Hydra-B benedenstrooms van Dordrecht voor T > 1 jaar redelijk goede uitkomsten geven. Concluderend kan gesteld worden dat Hydra-B in zijn huidige vorm, mits uitgebreid met lagere hulpdijkhoogtes, voor T ≥ 5 jaar goede uitkomsten zal leveren, maar dat voor T < 5 jaar onbetrouwbare uitkomsten kunnen resulteren.

6.4 Opmerkingen over het model Dijkring en over Methode Van der Made 6.4.1 Opmerkingen over het model Dijkring Het model Hydra-B is qua opzet sterk verwant aan het model Dijkring [Volker, 1989, Den Heijer, 1994]. Het laatste is, zoals de naam al aangeeft, primair bedoeld om berekeningen voor volledige dijkringen te maken, maar kan ook op dijkvakken worden toegepast. Het is in die zin algemener van toepassing dan Hydra-B. De Hydra-B formules zijn echter vrij eenvoudig aan te passen om ook dijkringen mee door te rekenen. Bijlage 4 geeft die formules. De implementatie daarvan vindt op dit moment plaats, maar resultaten voor dijkringen zijn nog niet beschikbaar. Mits toegespitst op dijkvakken kan Dijkring met het huidige Hydra-B worden vergeleken. Het volgende beschrijft kort de belangrijkste verschillen en overeenkomsten betreffende de berekening van de overschrijdingsfrequentie ΨH(h). De vergelijking tussen beide modellen wordt dus toegespitst op de gebruikte (wiskundige) formule voor ΨH(h) en op de manier waarop gebruikt wordt gemaakt van waterstandsommen. We gaan dus niet in op het feit dat de statistische verdelingen voor de afvoer, zeewaterstand en wind in beide modellen verschillen. Tevens gaan we niet in op de verschillen in uitkomsten tussen de ten behoeve van Dijkring gebruikte Zwendlsommen en de ten behoeve van Hydra-B gebruikte Sobeksommen. De statistische verwerking van de wind is in Hydra-B verschillend van die in Dijkring. In Dijkring worden, net als in Hydra-B, windgolven volledig probabilistisch behandeld, in de zin dat zowel de windsnelheid als de windrichting probabilistisch worden meegenomen. Ten behoeve van de waterstandsommen wordt in Dijkring de relatie tussen de wind en de zeewaterstand echter, in tegensteling tot in Hydra-B, deterministisch behandeld. Steeds wordt gerekend met de richting WNW, terwijl de windsnelheid afhankelijk wordt gekozen van de hoogte van de zeewaterstand bij Maasmond, in de zin dat met iedere waarde van de zeewaterstand precies één windsnelheid wordt geassociëerd.33 Voor toetspeilberekeningen kan op basis van [Duits, 2002abcd] worden aangegeven wat het verschil in behandeling van de wind voor consequenties heeft. Naast Hydra-B is namelijk ook een ‘uitgeklede’ versie van Hydra-B geïmplementeerd, Special Hydra-B genaamd, waarin de wind net als in Dijkring deterministisch wordt behandeld. De verschillen tussen Hydra-B en Special Hydra-B blijken veelal slechts enkele centimeters te bedragen, tot incidenteel 6 cm, waarbij meestal Special Hydra-B het hoogste uitvalt. De richting WNW blijkt voor veel locaties de meest belastende windrichting te zijn, maar ook NW en in mindere mate andere richtingen kunnen als meest belastende richting voorkomen. Net als in Hydra-B wordt in Dijkring de afvoer gesplitst in lage afvoeren beneden een grenswaarde qg en in hoge afvoeren boven deze grenswaarde, waarbij voor de lage en hoge afvoeren verschillende berekeningswijzen worden gehanteerd. De formule voor de lage afvoeren is in Dijkring gelijk aan de in Hydra-B gebruikte formule (DML-methode), afgezien van het feit dat in Dijkring ten behoeve van de waterstandsommen de wind niet probabilistisch wordt meegenomen. In Dijkring wordt een lagere grenswaarde gehanteerd dan in Hydra-B, namelijk qg = 4000 m3/s. Zoals in paragraaf 5.6 besproken leidt dat tot praktisch verwaarloosbare verschillen (hooguit millimeters) in uitkomsten. Voor de hoge afvoeren wordt in beide modellen gewerkt met standaardafvoergolven. De faalkans P(F|k) wordt in de twee modellen echter iets anders uitgerekend, wat tot iets verschillende uitkomsten zal leiden. In [Geerse, 33

De reden van de vereenvoudigde aanpak op dit punt in Dijkring is uitsluitend dat de rekenkracht en hoeveelheid geheugen van de toenmalige computers veel beperkter waren. De Dijkringformule is eveneens toepasbaar voor waterstandsommen met meerdere richtingen en windsnelheden. De computercode zou dan wel moeten worden aangepast.

100

2003a] worden de verschillende berekeningsmanieren vergeleken. Daar wordt toegelicht dat de berekening van P(F|k) volgens de methode Dijkring tot een iets hogere faalfrequentie kan leiden, zij het dat de verschillen vermoedelijk klein zullen zijn (naar schatting enkele centimers en veelal minder). Tevens wordt in [Geerse, 2003a] beschreven dat de nieuwe berekeningswijze volgens dit rapport beter gemotiveerd kan worden − en daarnaast eenvoudiger is − dan die volgens Dijkring. In feite is de afleiding van Dijkring-formule gebaseerd op niet geheel juiste aannames. De kans P(F|k) uit Dijkring kan daardoor leiden tot een kans kleiner dan 1 in situaties dat die kans exaxt gelijk aan 1 zou moeten zijn. Die fout is daarna in de Dijkring-formule met een correctieterm gecorrigeerd.34 De formule inclusief correctieterm – dat is de ‘officiële’ Dijkring-formule – geeft dan resultaten die in redelijke benadering juist zullen zijn. In Hydra-B wordt de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) berekend per winterhalfjaar. In Dijkring wordt deze frequentie eerst per wintermaand bepaald, waarna met 6 vermenigvuldigd wordt om aan de frequentie per winterhalfjaar te komen. Wanneer in Hydra-B dezelfde procedure als in Dijkring zou worden gevolgd, zouden exact dezelfde uitkomsten resulteren. Het aantal N in (5.18) zou eerst gedeeld worden door 6 om de frequentie per maand te krijgen en daarna weer worden vermenigvuldigd met 6; in (5.30) zou ψ(k) analoog hieraan eerst worden gedeeld door 6 en daarna weer worden vermenigvuldigd met 6. We vatten de verschillen tussen Hydra-B en Dijkring (toegepast voor dijkvakken) nu samen. Deze verschillen hebben betrekking op de (wiskundige) manier waarop de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) van hydraulische belastingniveaus wordt berekend, en niet op de verschillen in invoergegevens (Zwendl versus Sobek en andere statistische gegevens in Hydra-B dan in Dijkring). 1.

De relatie tussen de wind en de zeewaterstand wordt in Dijkring, in tegensteling tot in Hydra-B, deterministisch behandeld. Steeds wordt gerekend met de windrichting WNW, terwijl de windsnelheid afhankelijk wordt gekozen van de hoogte van de zeewaterstand bij Maasmond. Hierdoor kan Dijkring soms tot een paar centimeters andere (meestal hogere) toetspeilen leiden, met in een heel enkel geval tot een 6 centimeter hoger toetspeil.

2.

De faalkans P(F|k), zijnde de kans op falen tijdens de passage van een afvoergolf, wordt in Dijkring iets anders uitgerekend dan in Hydra-B. Hierdoor kan Dijkring tot iets hogere belastingniveaus leiden, waarbij de verschillen naar verwachting hooguit enkele centimeters zullen bedragen, hoewel de preciese verschillen op dit moment niet zijn aan te geven. De berekeningswijze volgens Hydra-B is beter te motiveren dan die volgens Dijkring.

3.

In Hydra-B wordt de overschrijdingsfrequentie berekend per winterhalfjaar. In Dijkring wordt deze frequentie eerst per wintermaand bepaald, waarna met 6 vermenigvuldigd wordt om aan de frequentie per winterhalfjaar te komen. Deze berekeningswijzen geven exact hetzelfde antwoord.

6.4.2 Opmerkingen over Methode Van der Made In [Van der Made, 1969] wordt de zogenaamde Methode Van der Made uiteengezet. Net als in Hydra-B en in Dijkring wordt in Methode Van der Made een grenswaarde gebruikt, met voor afvoeren lager en hoger dan deze grenswaarde verschillende berekeningswijzen. (Soms wordt de berekeningswijze voor alleen de hogere afvoeren ook simpelweg aangeduid als Methode Van der Made.) In het verleden werd voor het westelijk deel - zie ook de opmerkingen aan het begin van paragraaf 5.4.2 - van het Benedenrivierengebied voor toetspeilberekeningen de Methode Van der Made toegepast, zie bijvoorbeeld [Nota 61.002.17], [Zetten, 1987], [De Deugd, 1995]. De methode is ook recent gebruikt voor het bepalen van de hydraulische randvoorwaarden voor het IJsselmeer en Markermeer, zie [HR 2001], [Blaakman, 1999], met dien verstande dat voor het IJsselmeer en Markermeer de rol van de afvoer dan wordt vervuld door het meerpeil. De berekening voor de lage afvoeren in de Methode Van der Made stemt overeen met wat in dit rapport de DML-methode wordt genoemd. Het aantal naast de afvoer gebruikte stochasten in de methode kan variëren, bijvoorbeeld alleen de zeewaterstand versus de zeewaterstand, windsnelheid en windrichting, maar in essentie betreft het steeds eenzelfde type berekening. De berekening voor de hoge afvoeren in Methode Van der Made kan gezien worden als een alternatieve berekening van ΨH(h, Q hoog). Naast de in Hydra-B gebruikte IAG-methode en de berekeningswijze volgens de methode uit Dijkring, geeft Methode Van der Made dus een derde berekeningswijze om ΨH(h, Q hoog) te 34

Tenminste, de interpretatie van schrijver dezes is dat in Dijkring een correctieterm is gebruikt. De beschrijving in de literatuur over Dijkring is echter nogal onduidelijk op dit punt. 101

berekenen. De laatste methode maakt wat de afvoerstatistiek betreft gebruik van de werklijn en van de in hoofdstuk 3 beschreven overschrijdingsduren d(q). We brengen in herinnering dat d(q) de gemiddelde overschrijdingsduur van niveau q geeft binnen afvoergolven waarvan de piekwaarde q overschrijdt, zie tabel 3.1. Waar in Hydra-B en Dijkring standaardafvoergolven worden gebruikt, wordt in Methode Van der Made alleen van deze overschrijdingsduren gebruik gemaakt. Omdat het tijdsverloop van de afvoer in de laatste methode niet wordt gebruikt, moet de methode worden opgevat als een simpele methode die slechts in benadering het juiste antwoord geeft.

a fvoe r q [m 3/s]

Voor de geïnteresseerde lezer lichten we nu aan de hand van een kunstmatig voorbeeld toe dat Methode Van der Made (voor de hogere afvoeren) beslist tot andere antwoorden zal leiden dan de IAG-methode. We beschouwen daartoe afvoergolven als in figuur 6.3. De afvoergolven zijn driehoeken, die alle eenzelfde steilheid van de voorflank hebben; de achterflanken hebben eveneens eenzelfde steilheid, die, op een minteken na, weer even steil zijn als de voorflanken. In het geval van een exponentiële werklijn kan simpel worden aangetoond dat d(q) dan gelijk is aan een constante C, die afhangt van de steilheid van de golf en van de parameters van de werklijn, zie desgewenst paragraaf 2.3 uit [Geerse, 2001]. Dus geldt, misschien enigszins verrassend, d(q) = C. Merk terzijde op dat hieruit blijkt dat de informatie over d(q) weinig zegt over de vorm van de afvoergolven.

tijd t [da ge n]

a fvoe r q [m 3/s]

Figuur 6.3 Driehoekige afvoergolven met, ingeval van een exponentiële werklijn, d(q) = C.

tijd t [da ge n]

Figuur 6.4 Rechthoekige afvoergolven met d(q) = C.

102

We kunnen ook ‘rechthoekige’ afvoergolven beschouwen als in figuur 6.4, met een breedte eveneens gelijk aan C. De Methode Van der Made zal voor beide soorten afvoergolven dezelfde uitkomsten leveren, omdat in beide situaties d(q) gelijk is. Zoals kan worden aangetoond, geeft de IAG-methode voor beide soorten afvoergolven wél verschillende uitkomsten, zoals overigens nogal voor de hand ligt. Het specifieke tijdsverloop van de afvoergolven is dus mede bepalend (naast de getijkans en de werklijn) voor de uitkomst van ΨH(h, Q hoog). De in de Methode Van der Made gebruikte grootheid d(q) geeft als het ware te weinig specifieke informatie over de afvoergolven om ΨH(h, Q hoog) echt goed te kunnen berekenen. Voor de duidelijkheid merken we op dat ook de IAG-methode niet het ‘werkelijke’ antwoord zal geven; de aanname van onafhankelijke getijperioden berust immers ook op een benadering. Deze aanname wordt echter zowel ten behoeve van de IAG-methode als ten behoeve van de Methode Van der Made gebruikt. De conclusie is hoe dan ook dat Methode Van der Made een minder goed antwoord oplevert dan de IAG-methode.

6.5 Invloed van aftoppen bij 18000 m3/s op toetspeilen In deze paragraaf stellen we ons de vraag in welke mate toetspeilen in het Benedenrivierengebied veranderen indien voor de Rijnafvoer een fysisch maximum van 18000 m3/s wordt aangehouden, vanuit bijvoorbeeld de gedachte dat in Duitsland bij dit afvoerniveau de dijken overstromen. Daartoe kan in het programma Hydra-B de optie aftopping van afvoergolven worden gebruikt. Stel dat de afvoergolven worden afgetopt op het niveau 18000 m3/s. Dan wordt van iedere afvoergolf met een piekwaarde hoger dan dit niveau als het ware de top afgeknipt ter hoogte van 18000 m3/s. Het resultaat is dan een golf met een horizontaal niveau ter hoogte van 18000 m3/s die beneden de 18000 m3/s ongewijzigd is gebleven. (De aftopping levert dus geen bredere top tengevolge van nalevering, d.w.z. water dat na in eerste instantie over de dijk te zijn gelopen nadien weer terug in de rivier stroomt.). Deze aftopping is in Hydra-B ingebouwd om een simpel gevoeligheidsmodelletje te hebben om retentie door te rekenen.

Waterstanden T = 2000 jaar. MHW-verlaging door aftopping bij 18000 m3/s Beneden Merwede

Nieuwe Merwede

Lek

km-raai

verlaging

km-raai

verlaging

km-raai

verlaging

km

m

km

m

km

m

965

0.000

970

0.000

975

0.000

966

971

967

976

972

0.007

977

968

0.004

973

0.010

978

969

0.007

974

0.011

979

970

0.008

975

0.011

980

0.004

971

0.006

976

0.007

981

0.005

972

0.005

977

0.005

982

0.007

973

978

974

979 980

975 976

0.001

983

0.006

0.003

984

0.004

0.002

985 986 987 988 989

0.000

Tabel 6.4 Toetspeilverlagingen bij aftoppen van afvoergolven bij 18000 m3/s. (Lege posities zijn niet berekend.)

Het aftoppen van de afvoergolven kan uiteraard tot een verlaging van het toetspeil leiden. Voor de drie ‘grote’ riviertakken ‘Beneden Merwede’, ‘Nieuwe Merwede’ en de ‘Lek’ is onderzocht wat het preciese effect is van het aftoppen. De grootste verlagingen blijken zich voor te doen bij locaties met terugkeertijden T = 2000 jaar. Het gaat dan om locaties waar primair de afvoer van belang is, maar ook de zee enige invloed heeft. Bij locaties waar vrijwel uitsluitend de afvoer van belang is, levert het aftoppen bij 18000 m3/s geen verlaging van het toetspeil, omdat iedere golf die (enigszins ruim) het niveau 16000 m3/s overschrijdt zowiezo tot falen leidt, ongeacht of deze is afgetopt of niet. Voor locaties waar de zee een substantiële invloed heeft, heeft het aftoppen geen effect op het toetspeil: voor dergelijke locaties zijn afvoeren van 18000 m3/s en hoger namelijk niet meer relevant,

103

zodat het al of niet aftoppen geen verschil maakt (zie ook de uitsplitsingen in hoofdstuk 9). Tabel 6.4 geeft de resultaten voor de drie takken. Het maximale effect van het aftoppen is te zien op de Nieuwe Merwede, bij km 974 en km 975, en bedraagt 1.1 centimeter. De aftopping heeft dus een zeer gering effect van zeg maximaal 1 centimeter. Merk op dat op iedere tak slechts een traject van circa 10 kilometer lengte voorkomt met verlagingen van meer dan 0.2 centimeter.35 Er zijn nog wat kleinere takken te onderscheiden, namelijk het ‘Wantij’, en het ‘Steurgat’, dat zich splitst in de ‘Ruigt’ en het ‘Gat van het Zand’. Berekeningen hiervoor zijn niet gemaakt, maar verlagingen van meer dan 2 centimeter moeten zeker niet worden verwacht. De conclusie is dat voor de drie takken ‘Beneden Merwede’, ‘Nieuwe Merwede’ en de ‘Lek’ het aftoppen van afvoergolven bij 18000 m3/s een toetspeilverlaging oplevert van hooguit 1.1 centimeter. Voor de overige (kleine) waterlopen ‘Wantij’, ‘Steurgat’, ‘Ruigt’ en ‘Gat van het Zand’ moeten verlagingen worden verwacht van hooguit 2 centimeter.

Sliedrecht

Nw.Merwede

Dordrecht

Tiel

km 968

km 975

km 976

km 915

aftopping

wat.stand

perc.dicht

wat.stand

perc.dicht

wat.stand

perc.dicht

wat.stand

perc.dicht

m3/s

m+NAP

%

m+NAP

%

m+NAP

%

m+NAP

%

geen

3.400

22.2

2.869

58.0

2.950

63.2

11.390

1.6

18000

3.396

14.9

2.858

72.2

2.949

63.1

11.390

1.4

16000

3.363

35.3

2.847

80.4

2.947

62.9

11.381

1.3

14500

3.308

47.8

2.827

86.7

2.945

63.1

10.986

5.0

10000

3.144

69.9

2.765

93.6

2.916

65.5

9.615

12.5

Tabel 6.5 Waterstanden voor T = 1250 jaar voor enkele locaties voor afgetopte afvoergolven.36 (Tevens is het percentage dichte keringen aangegeven, zie paragraaf 9.2 voor uitleg daarvan.)

Ter illustratie geven we in tabel 6.5 voor nog vier locaties de invloed van het aftoppen bij een aantal lagere afvoerwaarden, nu voor een terugkeertijd T = 1250 jaar. De waterstanden op de rij ‘geen aftopping’ stemmen (uiteraard) overeen met de ‘op de reguliere wijze’ door Hydra-B berekende waterstanden. Voor Tiel blijkt een aftopping bij 18000 m3/s geen effect te hebben. Dat is logisch omdat iedere afvoergolf die hoger is dan 16000 m3/s tot falen leidt, of deze nu wel of niet is afgetopt. Bij Sliedrecht en Nieuwe Merwede km 975 heeft de aftopping bij 18000 m3/s zoals hiervoor opgemerkt vrijwel geen effect. De aftopping bij 16000 m3/s laat enig effect zien, bij Sliedrecht ongeveer 0.04 m en bij Nieuwe Merwede km 975 ongeveer 0.02 m. Voor Dordrecht heeft de aftopping veel minder effect dan bij Sliedrecht en Nieuwe Merwede km 975. Interessant is dat voor Dordrecht zelfs het aftoppen bij veel lagere niveaus als 14500 en 10000 m3/s tot hooguit 0.03 á 0.04 m lagere waterstanden leidt.37 Bij de overige twee locaties treden dan grotere verschillen op, in de orde van 1 á 2 decimeter. Omdat benedenstrooms van Dordrecht de afvoer alleen maar minder van belang wordt, kan men (voorzichtig) concluderen dat afvoeren hoger dan 14500 m3/s benedenstrooms van Dordrecht nauwelijks van belang zijn voor de waterstanden. Een verandering van de maatgevende afvoer bijvoorbeeld, zal benedenstrooms van Dordrecht nauwelijks invloed hebben op de waterstanden.

6.6 Invloed breedte afvoergolf als stochast In Hydra-B wordt de breedte van de afvoergolven niet als stochast meegenomen, maar wordt slechts met de gemiddelde golfvorm gewerkt. In werkelijkheid kunnen uiteraard smallere en bredere afvoergolven voorkomen met zekere kansen daarop. De reden om de breedte van de golven niet als stochast mee te nemen is dat het idee 35

Bij de berekeningen van waterstanden bij aftopping zijn hulpdijkhoogtes gebruikt met stappen van 1 centimeter in plaats van 1 decimeter. Door het discontinue effect van aftopping zijn voor sterk afvoergedomineerde locaties namelijk dicht bij elkaar liggende hulpdijkhoogtes nodig om nauwkeurige resultaten te verkrijgen. Berekeningen voor aftopping zijn gedaan met Hydra-B rekenhart versie 1.7.2. 36 Berekeningen met rekenhart versie 1.6, alleen voor Tiel is rekenhart versie 1.7.2 gebruikt. 37 Ter informatie: een waterstandsverandering van 0.03 m betekent bij Dordrecht een factor 1.3 verandering in terugkeertijd; een betrekkelijk geringe verandering in waterstand werkt dus redelijk sterk door op de terugkeertijd.

104

bestond dat het wel als stochast van de breedte meenemen van weinig invloed op de uitkomsten zou zijn. Immers, smalle golven leiden tot een kleinere kans op falen tijdens de passage van een afvoergolf en bredere op een grotere. Verwacht moet worden dat de effecten van deze smallere en bredere golven als het ware goeddeels ‘uitmiddelen’. Indien deze breedte in Hydra-B wel als stochast meegenomen zou zijn, zou de rekentijd van Hydra-B met ongeveer een factor 5 groter zijn, hetgeen erg onwenselijk werd geacht. In [Duits et al, 1998] en [Stijnen et al, 2002] wordt de breedte van de golfvorm wel als stochast beschouwd. Op basis van de tweede referentie kan nu een schatting worden gegeven van het effect van het stochastisch meenemen van de breedte van de afvoergolf. Hieronder wordt uitgelegd dat dat niet meer dan een paar centimeter zal zijn. De reden dat de eerste referentie hier niet bruikbaar is zal hieronder nog worden toegelicht. De formules voor het stochastisch meenemen van de breedte van de golven zijn voor de hand liggend. Beschouw B verschillende breedtes van afvoergolven; in [Stijnen et al, 2002] worden B = 11 golfvormen voor de Rijn beschouwd, die zijn bepaald met de golfvormgenerator uit [Klopstra en Duits, 1999]. We gebruiken de volgende notatie. b p(b) Lb(q,k) Pb(F|k)

Rangnummer van de breedte, b = 1, 2, ..., B. Kans op golfvorm met breedte b. De tijdsduur dat binnen de golf met breedte b en piekwaarde k het niveau q wordt overschreden. Faalkans tijden de passage van de afvoergolf met breedte b en piekwaarde k.

[-] [-] getijden [-]

De golfvormen en de bijbehorende kansen dienen zo gekozen te zijn dat ze tezamen de (vooraf gegeven) momentane kans P(Q>q) opleveren. Omdat, vergelijk (3.13), p(b)ψ (k )dk = het aantal afvoergolven per whjaar met breedte b en piekwaarde tussen k en k + dk (6.11)

moet dan gelden, vergelijk (3.14) en (3.15), P (Q > q ) =

1 N

∞ ⎡ ⎤ ( ) p b ψ (k ) Lb (q, k ) dk ⎥ ⎢ ∑ ∫ b =1 ⎣ ⎢ q ⎦⎥ B

(6.12)

Indien de golfvormen Lb(q,k) met de golfvormgenerator worden bepaald, zal hier in ieder geval in goede benadering aan voldaan zijn, omdat de standaardgolfvorm voor ieder afvoerniveau q gelijk is aan het gemiddelde van de golven Lb(q,k) voor de situatie dat b een continue variabele vormt (oneindig veel golven); de breedte van de golven wordt in [Klopstra en Duits, 1999] namelijk als continue grootheid gefit met een lognormale verdeling, waarvan de in Hydra-B gebruikte standaardafvoergolf het gemiddelde vormt.38 De formule voor de overschrijdingsfrequentie van niveau h voor de hoge afvoeren is eenvoudig te beredeneren. Er volgt, vergelijk (5.28) t/m (5.30), Bijdrage van afvoergolven met breedte b aan Ψ H (h, Q hoog ) ∞

=

(6.13)

∫ p(b)ψ (k ) P ( F | k ) dk b

qg

Door sommatie over b volgt dan ∞

B

qg

b =1

Ψ H (h, Q hoog ) = ∫ ψ (k )∑ ( p (b) Pb ( F | k ) ) dk

(6.14)

De formule voor de lage afvoeren blijft uiteraard onveranderd.

38

In [Stijnen et al, 2002] worden de uitkomsten voor de breedte als stochast vergeleken met de resultaten voor de 50%-golfvorm. Naar de mening van schrijver dezes had de vergelijking beter met de gemiddelde golfvorm (de standaardgolfvorm) uitgevoerd kunnen worden; de 50%-golfvorm levert namelijk niet precies de momentane kans op zoals die zou volgen uit het rechterlid van (6.12). Omdat de 50%-golfvorm en de gemiddelde golfvorm weinig verschillen, maakt het gelukkig nauwelijks uit waarmee de vergelijking wordt uitgevoerd. 105

In [Stijnen et al, 2002] worden voor 5 locaties op de bovenrivieren de effecten van golfaanval (faalmechanisme golfoverslag) berekend zowel met als zonder het meenemen van de breedte als stochast. Deze locaties zijn Lobith (Bovenrijn), Millingen (Waal bij splitsingspunt Pannerdensche Kop), Tiel (Waal), Amerongen (Nederrijn) en Duursche Waarden (IJssel). Het meenemen van de breedte als stochast blijkt niet meer dan 2 centimeter uit te maken. Het hydraulisch belastingniveau inclusief golven ligt voor deze locaties 4 tot 5 decimeter hoger dan het toetspeil. Opgemerkt moet worden dat in de berekeningen ook onzekerheden in de waterstanden zijn verwerkt (vanwege de onnauwkeurigheid van het gebruikte Waquamodel). Zonder die onzekerheden zouden de hydraulische belastingniveaus iets lager uitkomen, maar de verschillen tussen het al of niet meenemen van de breedte als stochast zouden klein blijven. Hieronder zal namelijk uitgelegd worden dat de precieze factoren die de belasting op de dijk leveren nauwelijks relevant zijn in de vergelijking. De verschillen van maximaal 2 centimeter volgens [Stijnen et al, 2002] zijn gebaseerd op slechts 5 locaties, waarbij dan (naast onzekerheden in de waterstand) alleen windgolven zijn beschouwd maar geen stormvloeden. De vraag rijst of het kleine effect van het meenemen van de breedte als stochast geldt voor het hele Benedenrivierengebied. Om deze vraag nader te bezien beschouwen we eerst alleen toetspeilen. Dan kunnen de volgende zaken worden opgemerkt: 1.

Aan de oostzijde van het gebied – denk aan locaties nabij Tiel, Lith en Hagestein – zal het meenemen van de breedte als stochast vrijwel verwaarloosbaar zijn. Deze locaties zijn dermate afvoergedomineerd dat de kans Pb(F|k) alleen van de piekwaarde k afhangt maar niet van de breedte van de golf. Immers, smalle zowel als brede golven met eenzelfde piekwaarde overschrijden óf wel óf niet een gegeven niveau h.

2.

Voor locaties die naast Hydra-B ook met de Deltamethode kunnen worden doorgerekend zal het meenemen van de breedte als stochast eveneens vrijwel verwaarloosbaar zijn – denk aan locaties benedenstrooms van Dordrecht en Hollandsch Diep km 980. In de Deltamethode wordt namelijk alleen gebruik gemaakt van de momentane kans en niet van afvoergolven. De precieze vorm van de afvoergolven is hier volstrekt irrelevant. Het effect van de breedte als stochast zal benedenstrooms van Dordrecht en Hollandsch Diep km 980 zeker niet meer dan enkele millimeters verschil maken.

Voor toetspeilen kan de breedte van de afvoergolf dus alleen een rol spelen voor overgangslocaties – denk aan locaties nabij Sliedrecht en Nieuwe Merwede km 975 en iets bovenstrooms daarvan – waar vooral hoge afvoeren bedreigend zijn in combinatie met ook enige invloed van stormvloeden. Het is nu relevant te bedenken dat Pb(F|k) wordt berekend als 1 minus een produkt over getijkansen P(Hq>h), zie (5.25). Ruwweg kan gesteld worden dat voor het hier beschouwde probleem de precieze factoren die in de berekening van P(Hq>h) een rol spelen niet belangrijk zijn, maar dat slechts de numerieke uitkomst van de getijkans van belang is. Het maakt immers niet veel uit of een getijkans van bijvoorbeeld 0.60 nu het gevolg is van windgolven of van een stormvloed. Helemaal juist is dat niet, omdat het verloop van P(Hq>h) met q wel bepaald wordt door de (kansverdelingen van de) onderliggende factoren. Toch lijkt het zeer plausibel dat indien voor windgolven het meenemen van de breedte van de afvoergolf als stochast niet belangrijk is, hetzelfde geldt voor stormvloeden. De twee punten en de voorgaande alinea betreffen toetspeilen. Voor hydraulische belastingen inclusief golven zal punt (2) blijven gelden. Het is dan alleen niet mogelijk precies aan te geven tot hoever landinwaarts met de Deltamethode kan worden gerekend. (Vermoedelijk nog iets verder landinwaarts, zoals op grond van paragraaf 6.2 verwacht moet worden, omdat de duur van de belasting inclusief golven korter wordt.) Aldus luidt de conclusie dat het meenemen van de breedte van de afvoergolf als stochast in Hydra-B naar verwachting niet meer dan hooguit enkele centimeters verschil zou maken. In de genoemde schatting is dus aangenomen dat de in [Stijnen et al, 2002] gevonden effecten, die daar alleen golven (en enige onzekerheid in de waterstand) betreffen, ook gehanteerd mogen worden voor de in Hydra-B beschouwde hydraulische belastingen. Tot slot merken we nog op dat in [Duits et al, 1998] ook de vergelijking tussen het wel en niet meenemen van de breedte als stochast wordt gemaakt, dan alleen voor locatie Duursche Waarden. De resultaten van die vergelijking zijn echter niet bruikbaar, omdat daar als versimpeling slechts golven uit de richtingsector 285º-315º worden meegenomen, met als gevolg dat het hydraulisch niveau inclusief golven slechts 7 centimeter hoger ligt dan het toetspeil. Daarmee wordt de locatie dermate afvoergedomineerd dat geen zinnige vergelijking meer mogelijk is. Bij een perfect afvoergedomineerde locatie maakt het immers zoals hiervoor opgemerkt geen enkel verschil of de breedte wel of niet als stochast wordt meegenomen, zodat voor een zeer sterk afvoergedomineerde situatie als hier beschouwd nagenoeg hetzelfde zal gelden.

106

7 De stormvloedkeringen in de Nieuwe Waterweg en het Hartelkanaal 7.1 Inleiding Dit hoofdstuk behandelt de problematiek van de stormvloedkeringen in de Nieuwe Waterweg en in het Hartelkanaal. De beschrijving en formules zijn voor een deel ontleend aan [Den Heijer, 1994] en [Helsloot, 1991]. De behandeling van de keringsproblematiek staat min of meer los van de rest van het model voor de Benedenrivieren. In Hydra-B wordt uit dit hoofdstuk slechts gebruik gemaakt van de formules (7.8) en (7.9) voor geopende en gesloten keringen en van formule (7.11) voor de sluitfrequentie van de keringen. Paragraaf 7.2 gaat over de door de stormvloedwaarschuwingsdienst (SVSD) gemaakte voorspellingen van de waterstand bij Hoek van Holland. Onder meer wordt de kansverdeling voor deze voorspellingen beschreven. In paragraaf 7.3 worden de kansen op geopende en gesloten keringen in een getijperiode behandeld. Ook wordt de veronderstelling van afhankelijk en die van onafhankelijk falen behandeld. Paragraaf 7.4 geeft de formule voor de sluitfrequentie van een kering. Paragraaf 7.5 geeft enkele gevoeligheidsanalyses waaruit blijkt hoe de faalkans en de voorspelnauwkeurigheid van invloed is op berekende toetspeilen.

7.2 Sluitcriteria en de voorspelling voor Hoek van Holland 7.2.1 De sluitfunctie gebaseerd op Rotterdam en Dordrecht De Maeslantkering in de Nieuwe waterweg en de Hartelkering in het Hartelkanaal zullen hieronder vaak respectievelijk worden aangeduid met SVKW en SVKH (afkomstig van StormVloedKering Waterweg en Hartelkanaal). Tijdens hoge stormvloeden worden deze keringen gesloten, om de hoge waterstanden in het Benedenrivierengebied te beperken. Het commando tot sluiten van deze keringen wordt onder meer gegeven op basis van waterstandvoorspellingen voor de zeewaterstand te Hoek van Holland. Omdat het sluiten van de keringen enkele uren vergt, is het niet mogelijk het al of niet sluiten te baseren op actuele waterstanden, vandaar dat met voorspellingen wordt gewerkt. In het verleden werd de SVKH al bij minder hoge stormvloeden gesloten dan de SVKW, zodat de sluitfrequentie van de SVKH hoger lag dan die van de SVKW. Enkele jaren geleden is de sluitstrategie van de keringen veranderd: met ingang van het stormseizoen 1998 wordt een gezamelijk sluitcommando voor de keringen gegeven. De waterstandvoorspellingen voor Hoek van Holland worden gegeven door de SVSD. Het (gezamelijke) sluitcommando voor de keringen wordt gegeven zodra de verwachte waterstanden te Rotterdam en Dordrecht zogeheten sluitcriteria dreigen te overschrijden. Het sluitcriterium voor Rotterdam is vastgesteld op 3.00 m+NAP en dat voor Dordrecht op 2.90 m+NAP. Deze twee plaatsen worden dus representatief geacht voor het gehele gebied achter de keringen. Zie voor details over de manier waarop de keringen gesloten worden [De Deugd, 2002]. Om te bepalen of de sluitcriteria voor Rotterdam en Dordrecht gehaald zullen worden, wordt gebruik gemaakt van het zogenaamde Beslis- en Ondersteunend Systeem (BOS). Als invoer voor dit model dienen naast de voorspelde zeewaterstand te Hoek van Holland ook andere grootheden als Rijnafvoer, Maasafvoer, windsnelheid en windrichting. Met behulp van een hydraulisch model worden dan de verwachte waterstanden voor Rotterdam en Dordrecht uitgerekend. In het in dit rapport behandelde model voor de Benedenrivieren wordt de invloed van de Rijn en de Maas verwerkt middels 50%-lijnen. Zoals werd uitgelegd in paragraaf 4.2 dient in het model zowel een berekening te worden gemaakt met de Rijnafvoer als stochast, in combinatie met de mediane Maasafvoer, als een berekening met de Maasafvoer als stochast, in combinatie met de mediane Rijnafvoer. De eerste berekening wordt daarbij aangeduid als een Rijnsom en de tweede als een Maassom. In het model Hydra-B worden zoals bekend als stochasten gebruikt de zeewaterstand M te Maasmond, de windsnelheid U, de windrichting R en, afhankelijk van het type berekening de Rijnafvoer QR of de Maasafvoer QM. De waterstanden te Rotterdam en Dordrecht komen in het model dus niet (expliciet) voor. Om in het model de keringen te verwerken dienen de bovengenoemde sluitcriteria − dat zijn waterstanden − voor deze twee plaatsen dus te worden omgerekend naar (uitkomsten) van de modelstochasten M, U, R en QR of QM. We zullen dat nu nader precizeren voor een Rijnsom.

107

Neem een Rijnafvoer qR aan, een windsnelheid u en een windrichting r. Bij deze uitkomsten van de modelstochasten hoort precies één zeewaterstand te Maasmond waarbij ofwel in Rotterdam juist de 3.00 m+NAP wordt bereikt, ofwel in Dordrecht juist de 2.90 m+NAP. We geven deze waarde – die dus een zeewaterstand te Maasmond aangeeft in m+NAP – aan met vRijn(qR,u,r). De hier beschouwde functie zullen we in dit rapport aanduiden als de sluitfunctie. Wanneer, onder de omstandigheden dat qR, u en r optreden, de voorspelde waterstand te Hoek van Holland na omrekening naar Maasmond deze waarde overschrijdt, wordt het sluitcommando voor de keringen gegeven. Voor een Maassom resulteert analoog de sluitfunctie vMaas(qM,u,r). Het blijkt dat voor lage afvoeren de sluitfuncties door de isolijnen te Rotterdam bepaald worden en voor hoge door de isolijnen te Dordrecht. We merken op dat deze sluitfuncties slechts gebruikt worden in het hier beschouwde probabilistische model. Ze spelen dus geen rol in het hierboven genoemde BOS. In dat systeem worden immers op grond van actuele gegevens waterstanden berekend voor Rotterdam en Dordrecht, waarbij als invoerparameters onder meer de Rijn- en de Maasafvoeren dienen. Verder merken we nog op dat in het verleden in het model Dijkring de sluitfunctie slechts afhing van de afvoer en niet van de windsnelheid en de windrichting. In Dijkring werd namelijk slechts één vaste windrichting, namelijk WNW, beschouwd, terwijl de windsnelheid deterministisch afhing van de zeewaterstand. Terzijde vermelden we dat in de invoer van Hydra-B een klein foutje is geslopen: de sluitfuncties vRijn(qR,u,r) en vMaas(qM,u,r) zijn abusievelijk voor Hoek van Holland in plaats van voor Maasmond berekend. De toetspeilen uit [HR 2001] zijn dus met niet geheel juiste sluitfuncties berekend. Bij gebruik van de juiste sluitfuncties zouden, zoals kan worden afgeleid uit paragraaf 8.2.5, iets lagere waarden voor vRijn(qR,u,r) en vMaas(qM,u,r) volgen. De consequentie daarvan zou zijn dat in de juiste Hydra-B berekening de keringen iets vaker zullen sluiten, met iets lagere toetspeilen tot gevolg. Het gebruik van de onjuiste sluitfuncties betekent dus een veilige benadering. De persoonlijke inschatting van schrijver dezes is dat voor locaties in het zee- en overgangsgebied de overschatting in de toetspeilen hooguit enkele centimeters kan bedragen. Meer bovenstrooms zal de fout praktisch nul zijn geworden. Voor de randvoorwaarden van HR 2006 zullen de juiste sluitfuncties worden gebruikt.

7.2.2 De kansverdeling van de voorspelde zeewaterstand Zoals gezegd levert de SVSD voorspellingen van de zeewaterstand te Hoek van Holland. Die voorspelling bevat uit de aard der zaak een voorspelfout: de werkelijk optredende zeewaterstand zal afwijken van de voorspelde waterstand. In feite zijn de voorspellingen en de werkelijk bij Hoek van Holland optredende waterstanden beiden stochasten. Voor deze (aan één getijperiode gerelateerde) stochasten gebruiken we de volgende notatie: V W

Voorspelling van de zeewaterstand Hoek van Holland tijdens hoogwater, zoals die 6 uur voorafgaand aan het tijdstip van astronomisch hoogwater wordt opgesteld. Werkelijk optredende zeewaterstand Hoek van Holland tijdens hoogwater.

m+NAP m+NAP

Figuur 7.1 geeft voor de periode 1954 tot 1999 uitkomsten voor deze stochasten. Ieder punt (w,v) geeft de combinatie van een werkelijk opgetreden hoogwaterstand tezamen met de voorspelde hoogwaterstand. Bij perfecte voorspellingen zouden de punten op de lijn v = w liggen, welke lijn eveneens in de figuur is aangegeven. De stochasten V en W worden in Hydra-B beschreven door een gezamelijke kansdichtheid ϕ(v,w). We zullen aannemen dat de conditionele verdeling ϕ(v|w) van de voorspelling, gegeven de werkelijk optredende waterstand w, een normale verdeling heeft met een standaarddeviatie σ die voor alle w dezelfde is, zie figuur 7.2 ter illustratie. Tevens wordt aangenomen dat het gemiddelde van deze verdeling, bij gegeven waterstand w, gelijk is aan deze waterstand w plus een vaste gemiddelde voorspelfout µf die niet van w afhangt. Dus geldt ⎡ 1 ⎛ (v − w − µ f ⎞ 2 ⎤ exp ⎢ − ⎜ ϕ (v | w) = ⎟ ⎥ σ σ 2π ⎢⎣ 2 ⎝ ⎠ ⎥⎦ 1

108

(7.1)

3,25

voorspelling HW [m+NAP]

3,00

2,75

2,50

2,25

2,00

1,75 1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

werkelijk opgetreden HW [m+NAP] Figuur 7.1 De voorspelde en de werkelijk opgetreden hoogwaterstand te Hoek van Holland, op basis van gegevens uit [Kroos, 1999a]. Periode 1954-1999.

Voor de waarde µf = 0 zullen de voorspellingen (bij conditionering op de optredende waterstand) gemiddeld gezien gelijk zijn aan de optredende waterstanden. Daarentegen betekent een positieve µf van bijvoorbeeld 0.09 m dat de voorspellingen systematisch gemiddeld 0.09 m te hoog uitvallen, terwijl een negatieve µf betekent dat de voorspellingen systematisch gemiddeld te laag uitvallen. Terzijde: dat µf niet van w afhangt betekent dat een eventuele systematische fout in de voorspellingen voor alle waterstanden w hetzelfde wordt aangenomen. Op basis van RIKZ-gegevens wordt in Hydra-B genomen µf = - 0.09 m en σ = 0.18 m [Kroos, 1999b]. Dat komt gemiddeld neer op systematisch 9 cm te lage voorspellingen. Merk op dat gemiddeld gezien in figuur 7.1 de voorspellingen inderdaad een aantal centimeters onder de lijn v = w liggen. De nauwkeurigheid waarmee de zeewaterstand kan worden voorspeld is in de loop der jaren overigens toegenomen, zie bijvoorbeeld [Kroos, 1999b] en [Paape 1998]. In de laatste referentie wordt onder meer onderzocht hoe de voorspelnauwkeurigheid zich verhoudt tot de zeespiegelrijzing over de afgelopen vijftig jaar; deze referentie stelt de keuzes σ = 0.25 m en µf = - 0.05 m voor. Uit paragraaf 7.5 kan worden opgemaakt dat deze keuzes, in vergelijking met Hydra-B, nabij Dordrecht tot praktisch dezelfde toetspeilen leiden en dat deze keuzes voor Rotterdam tot een 0.08 m hoger toetspeil leiden. Het is wellicht relevant op te merken dat betrekkelijk recent, namelijk op 27 oktober 2002, een storm is voorgekomen waarbij de voorspelling circa 65 cm hoger was dan de werkelijk opgetreden hoogwaterstand [persoonlijke communicatie met De Deugd]. Dat is een merkwaardig groot verschil, dat op basis van σ = 0.18 m en µ = -0.09 m zowel als voor de keuzes van µ en σ uit [Paape, 1999] volledig uit de toon valt.39 Deze stormvoorspelling valt dus niet te rijmen met de gebruikte (parameters van de) normale verdeling. In de opgetreden situatie was de voorspelling veel groter dan de werkelijk opgetreden waarde; de kering zou dus onnodig (bijna) gesloten zijn. Daarmee lag de fout in de voorspelling hier als het ware aan de veilige kant.

39

Ter illustratie melden we het volgende. De (tweezijdige) kans op een verschil groter dan 65 cm is voor de normale verdeling met σ = 0.18 m en µ = -0.09 m gelijk aan 0.00004. Een verschil van 65 cm zou daardoor slechts met een kans van 0.00004 = 1/25000 aan het toeval te wijten zijn. Voor de keuzes van µ en σ uit [Paape, 1999] is die kans gelijk aan ongeveer 0.005 = 1/200. 109

2.5

kansdichtheid

2 1.5 1 0.5 0 2.25

2.5

2.75

3

3.25

3.5

3.75

voorspelling v [m + NAP]

Figuur 7.2 De kansverdeling ϕ(v|w), welke een normale verdeling heeft met gemiddelde µ = w + µf en standaarddeviatie σ. In de figuur is w = 3.0 m+NAP, µf = -0.09 m en σ = 0.18 m.

De hier beschouwde normale verdeling geldt voor Hoek van Holland. Echter in Hydra-B is zo’n verdeling nodig voor Maasmond. Paragraaf 7.3.3 legt uit dat we ook voor Maasmond mogen uitgaan van een normale verdeling met de genoemde µ en σ. Het beschouwen van de nauwkeurigheid van voorspellingen te Maasmond (of te Hoek van Holland) heeft feitelijk iets merkwaardigs, omdat de criteria voor het al of niet sluiten van de keringen betrekking hebben op de veel verder landinwaarts gelegen locaties Rotterdam en Dordrecht. Met de in paragraaf 7.2.1 beschreven sluitfunctie worden de criteria voor deze locaties ‘vertaald’ naar Maasmond. Impliciet wordt in deze vertaling aangenomen dat de windsnelheid en windrichting precies bekend zijn, dus geen voorspelonnauwkeurigheden bevatten. Uiteraard zijn deze grootheden wel degelijk behept met onnauwkeurigheden, wat betekent dat in de berekening van het windverhang tussen Maasmond naar Rotterdam en Dordrecht enige onzekerheid zou moeten worden meegenomen. Die onzekerheid zou kunnen worden meegenomen door op de gebruikte waarde σ = 0.18 m een toeslag aan te nemen, welke toeslag dan locatieafhankelijk zou moeten zijn. Voor locaties dicht bij Maasmond zou deze toeslag kleiner zijn dan voor locaties verder landinwaarts, omdat de fout in het windverhang toeneemt met de afstand tot Maasmond (ter plaatse van Maasmond is deze fout altijd gelijk aan nul). Deze toeslag is echter verwaarloosd in Hydra-B, evenals dat in Dijkring en ten behoeve van de randvoorwaarden uit 1996 het geval was. De invloed van de wind op de waterstanden is namelijk niet erg groot, bijvoorbeeld een verhoging van de windsnelheid met 1 m/s levert slechts circa 0.02 m hogere waterstanden. Bovendien blijkt uit de gevoeligheidsberekeningen in paragraaf 7.5 dat de keuze voor σ niet erg nauw steekt voor locaties ver landinwaarts (zie tabel 7.1 voor Dordrecht). Dus voor locaties waar deze toeslag ‘substantieel’ zou zijn, zeg een paar centimeter, is de preciese waarde van σ nauwelijks van belang. Voor locaties dichter bij Maasmond (zie tabel 7.1 voor Rotterdam) is de precieze keuze voor σ wel belangrijk, maar voor dergelijke locaties zou de toeslag veel kleiner zijn.40 Alternatieve keuze voor ϕ(v|w) Naast de normale verdeling voor ϕ(v|w) is in Hydra-B ook nog een andere vorm van deze verdeling geïmplementeerd. Dat is de cosinus-kwadraat vorm die ook in het programma Dijkring wordt beschouwd. Het aardige van deze verdeling is dat een integraal daarover analytisch uit te werken valt. Met de huidige rekenkracht van computers heeft dat echter geen werkelijke voordelen meer. De formule voor de kansdichtheid van deze verdeling wordt gegeven door 1 s

⎡π v − w − µ f s ⎣2

ϕ (v | w) = cos 2 ⎢

⎤ ⎥, ⎦

s = πσ

40

voor w + µ f − s ≤ v ≤ w + µ f + s

3

π2 −6

(7.2)

(7.3)

In feite worden nog meer onzekerheden verwaarloosd. Het als onderdeel van het BOS gebruikte hydraulische model heeft, tezamen met de diverse invoergegevens, ook een beperkte nauwkeurigheid.

110

De kansdichtheid ϕ(v|w) is gelijk aan 0 voor v ≤ w + µf - s en voor v ≥ w + µf + s. Het gemiddelde van de verdeling is w + µf en de standaarddeviatie is gelijk aan σ. De cosinus-kwadraat verdeling – die slechts ‘voor de aardigheid’ in Hydra-B is geïmplementeerd – geeft ongeveer dezelfde resultaten als de normale verdeling, maar wordt in officiële berekeningen nergens gebruikt.

7.3 De kansen op gesloten en open keringen 7.3.1 Inleiding In deze paragraaf zal de kans worden bepaald dat, bij gegeven optredende zeewaterstand te Maasmond en gegeven Rijn- of Maasafvoer, een kering geopend dan wel gesloten zal zijn. Dergelijke kansen zijn nodig om het effect van de keringen in het model voor de Benedenrivieren te verwerken. In paragraaf 7.3.2 wordt ingegaan op de sluitstrategie van de keringen en op de aannames van afhankelijk en onafhankelijk falen. In paragraaf 7.3.3 worden de formules voor de zojuist genoemde kansen op geopende en gesloten keringen afgeleid voor afhankelijk falen terwijl dat in paragraaf 7.3.4 gebeurt voor onafhankelijk falen.

7.3.2 Sluitstrategie en afhankelijk en onafhankelijk falen Wanneer het commando tot sluiten van de keringen wordt gegeven, bestaat de mogelijkheid dat één van de keringen, of beiden tegelijk, niet daadwerkelijk sluiten, bijvoorbeeld door een fout in het beslissingssysteem dat de keringen aanstuurt, of door een fout in de machinerie welke een kering moet sluiten. Tevens bestaat de kans dat een eenmaal gesloten kering bezwijkt. In al de situaties waarin een kering niet aan de gestelde eisen voldoet spreken we van falen van de kering. Het kan voorkomen, nadat een sluitcommando is gegeven, dat beide keringen gezámelijk falen. Dat kan bijvoorbeeld komen door een fout in het gemeenscháppelijke beslissingssysteem van de keringen. Het kan ook voorkomen, nadat een sluitcommando is gegeven, dat één van de keringen faalt, terwijl de andere op de juiste wijze functioneert. In werkelijkheid kunnen beide situaties, van gezamelijk falen enerzijds of ieder apart falen anderzijds, optreden. In het model zal worden aangenomen dat de keringen ófwel tegelijk falen ófwel tegelijk op de goede manier functioneren. Deze aanname wordt afhankelijk falen genoemd. In eerdere berekeningen [Den Heijer, 1994; Helsloot, 1991] werd ook de situatie van onafhankelijk falen beschouwd, waarin werd aangenomen dat de keringen geheel onafhankelijk van elkaar falen, als in feite ‘losstaande’ systemen. De beide aannames van onafhankelijk en afhankelijk falen vormen als het ware twee uitersten waartussen de werkelijkheid zich bevindt. De aanname van afhankelijk falen leidt tot iets hogere overschrijdingsfrequenties van waterstanden (en belastingniveaus) in het gebied dan die van onafhankelijk falen en vormt derhalve een veilige benadering. Uit de bijlage van [Helsloot, 1991] kan worden opgemaakt dat het verschil in toetspeil tussen afhankelijk en onafhankelijk falen tot circa 5 á 10 cm kan bedragen (of minder voor locaties meer landinwaarts). In de genoemde referentie worden overigens verschillende sluitscenario’s van de keringen beschouwd, met tevens verschillende faalkansen. De resultaten voor die scenario’s kunnen eigenlijk niet zonder meer worden overgenomen voor de in Hydra-B beschouwde sluitcriteria en faalkansen van de keringen. De verwachting van schrijver dezes is echter dat de genoemde verschillen ook voor Hydra-B min of meer zullen gelden. Omdat afhankelijk en onafhankelijk falen een boven- en ondergrens vormen, met het ‘goede’ antwoord daartussenin, lijkt de conclusie te zijn dat de ‘werkelijke’ toetspeilen niet meer dan circa 5 cm lager zullen zijn dan de toetspeilen berekend onder de aanname van afhankelijk falen. De geringe gevoeligheid in de uitkomsten voor de aannames van afhankelijk dan wel onafhankelijk falen heeft overigens te maken met het feit dat de Hartelkering van veel minder belang is dan de Maeslantkering: bij een falende Hartelkering kunnen relatief slechts lage debieten ontstaan, waardoor deze kering relatief weinig invloed heeft op de waterstanden. Maar stel eens dat men het verschil tussen afhankelijk en onafhankelijk falen precies wil bepalen. In Hydra-B kan deze berekening worden gemaakt, maar dan dienen wel eerst 7000 Sobeksommen extra te worden gemaakt: naast de reeds beschouwde combinaties van beide keringen open en beide keringen dicht ook de combinaties SVKW-open/SVKH-dicht en SVKW-dicht/SVKH-open. Deze inspanning lijkt nogal fors en geeft geen antwoord op de vraag wat de ‘werkelijke’ toetspeilen zijn. We weten immers niet hoe de uitkomsten voor onafhankelijk en afhankelijk falen gecombineerd moeten worden, omdat niet bekend is hoe de keringen in werkelijkheid zullen falen.

111

Er zijn in dit verband nog meer zaken te noemen. Zo is de hele manier waarop het beheer van de keringen in de Sobeksommen is opgenomen ook een benadering van de werkelijke situatie. Bijvoorbeeld wanneer één van de keringen faalt, of beiden falen, kan dat in werkelijkheid op geheel verschillende manieren gebeuren – toch wordt slechts één manier van falen in de Sobeksommen beschouwd, namelijk die waarbij de waterstanden corresponderen met de open situatie. Een faalwijze die in werkelijkheid kan optreden is bijvoorbeeld die waarbij de kering niet op tijd weer opengaat wanneer dat wel weer zou moeten. Dan kunnen verhoogde waterstanden (ten opzichte van de dichte situatie) ontstaan, omdat met name bij een hoge afvoer het gebied aan de landzijde van de kering steeds meer volloopt. Een andere faalwijze is die waarbij de kering na gesloten te zijn plotseling bezwijkt, waardoor een soort ‘vloedgolf’ het gebied binnenloopt. Verder is ten behoeve van het sluitproces van de keringen in de Sobeksommen (zie hoofdstuk 4) een standaard waterstandverloop bij Maasmond aangenomen, een standaard windverloop en wordt geen winddraaiing beschouwd maar een constante windrichting tijdens de storm. Dit zijn uiteraard allemaal benaderingen van de in werkelijkheid veel complexere situatie. Relevant is ook (zie paragraaf 7.5) dat een iets grotere faalkans van de keringen, of het beschouwen van onzekerheden in deze faalkans, nabij Rotterdam meteen tot aanzienlijk hogere toetspeilen leidt. De hier genoemde zaken pleiten naar de mening van schrijver dezes sterk voor de iets veiliger aanpak van afhankelijk falen. De ‘officiële’ waterstanden en belastingen zullen in Hydra-B daarom altijd met deze aanname worden berekend. In het vervolg van dit hoofdstuk worden echter ook de formules voor onafhankelijk falen gegeven. De aanname van afhankelijk falen, in combinatie met een gemeenschappelijk sluitcriterium, leidt ertoe dat modelmatig gezien de keringen als één geheel kunnen worden beschouwd. De combinatie van keringen reageert immers op één sluitcommando en functioneert dan op de goede wijze (beide keringen sluiten daadwerkelijk) of op de slechte wijze (beide keringen falen). In het model Hydra-B wordt het daarom iets eenvoudiger het effect van de keringen in de formules te verwerken, dan dat in voorgaande modellen het geval was, toen de sluitfrequenties van de Hartel- en Maeslantkering nog van elkaar verschilden.

7.3.3 De kansen op open en dichte keringen voor afhankelijk falen Om de keringen in het model te kunnen verwerken dienen te worden bepaald: De kansen op de keringstoestanden, conditioneel op de zeewaterstand te Maasmond, de windsnelheid, de windrichting en de rivierafvoer. Bij afhankelijk falen is er sprake van twee combinaties, namelijk OO en DD (zie hieronder voor de notatie) en bij onafhankelijk falen van de vier combinaties OO, OD, DO en DD. Ten behoeve van een Rijnsom dienen deze kansen bij een gegeven Rijnafvoer te worden bepaald en voor een Maassom bij gegeven Maasafvoer. In het vervolg wordt de situatie van afhankelijk falen beschouwd, terwijl in de volgende paragraaf de situatie van onafhankelijk falen wordt behandeld. In paragraaf 7.2.2 is de kansverdeling van de voorspelde zeewaterstand behandeld. Die kansverdeling heeft echter betrekking op Hoek van Holland, terwijl deze kansverdeling (inclusief voorspellingen van de waterstand) eigenlijk nodig is voor Maasmond. Dat vormt echter geen probleem. De kansverdeling ϕ(v|w) hangt namelijk van v en w af middels het verschil v-w. Het verschil tussen een voorspelling en de 6 uur later optredende werkelijke waterstand zal voor Hoek van Holland en Maasmond praktisch hetzelfde zijn, terwijl dat voor de voorspelling en werkelijke waterstand afzonderlijk groter kan zijn. Omdat het in het model gaat om een juiste beschrijving van dit verschil, mogen formules (7.1) en (7.2) voor ϕ(v|w) ook voor Maasmond worden gehanteerd. We geven nu wat notatie. Alleen de aan de Rijn gerelateerde grootheden worden gegeven; de aan de Maas gerelateerde grootheden hebben analoge betekenissen. α

D O DD of D OO of O OD

112

Faalkans van de keringen: de kans dat de keringen niet op de juiste wijze functioneren nadat een sluitcommando is gegeven. Sluitcommando voor de keringen, dat wordt gegeven op basis van (onder meer) de voorspelde zeewaterstand. Commando voor het open laten van de keringen. (In werkelijkheid zal dit commando niet gegeven worden, maar modelmatig gezien is het handig het niet geven van de sluitopdracht te zien als een openingscommando.) Staat voor de situatie van gesloten keringen. Staat voor de situatie van geopende keringen. (Hieronder wordt ook de situatie begrepen van keringen die niet op de juiste wijze functioneren.) Staat voor Waterweg open en Hartel dicht.

per vraag [-] [-] [-] [-] [-]

DO vRijn(qR,u,r)

Staat voor Waterweg dicht en Hartel open. De sluitfunctie bij gegeven Rijnafvoer qR, windsnelheid u en windrichting r. Wanneer de voorspelde zeewaterstand omgerekend naar Maasmond dit peil overschrijdt, wordt het sluitcommando voor de keringen gegeven. pRijn(D|qR,u,m,r) De kans dat in een getijperiode de keringen gesloten zijn, bij gegeven Rijnafvoer qR, windsnelheid u, zeewaterstand m en windrichting r. pRijn(O|qR,u,m,r) Analoog aan pRijn(D|qR,u,m,r), maar dan voor de open keringen.

[-] m+NAP [-] [-]

Voor toepassing in het model voor de Benedenrivieren dienen de kansen pRijn(O|qR,,u,m,r) en pRijn(D|qR,u,m,r) te worden bepaald, evenals de overeenkomstige kansen voor de Maas. Omdat formule-technisch de berekeningen voor de Rijn en de Maas precies hetzelfde verlopen, zullen we ons in het vervolg beperken tot de beschrijving van de formules in termen van de Rijnafvoer. De faalkans α van de keringen wordt in Hydra-B op basis van de officiële gegevens gelijk genomen aan α = 0.001.

gegeven: qR,u,m,r

p(D|qR,u,m,r)

p(O|qR,u,m,r)

D

1 - alpha

D

O

alpha

0

O

D

1

O

Figuur 7.3 Boomdiagram als hulpmiddel in de bepaling van de kansen op open en dichte keringens (afhankelijk falen).

Als hulp bij de berekening van deze kansen kan het boomdiagram in figuur 7.3 dienen. Dit diagram gaat uit van een gegeven afvoer qR, een gegeven werkelijk opgetreden zeewaterstand m, gegeven windsnelheid u en gegeven windrichting r. Er zijn dan twee mogelijkheden. Als de vooraf voorspelde waterstand groter was dan het sluitcriterium vRijn(qR,u,r) is het sluitcommando D gegeven, als deze voorspelde waterstand kleiner was dan dit peil is het commando O gegeven. De som van deze kansen is 1, zodat moet gelden pRijn ( D | qR , u, m, r ) + pRijn (O | qR , u , m, r ) = 1

(7.4)

De kans dat de voorspelling hoger is uitgevallen dan het sluitcriterium kan worden berekend met behulp van de in (7.1) gegeven kansdichtheid ϕ(v|m), en is gelijk aan ∞

pRijn ( D | qR , u, m, r ) =

∫

dv ϕ (v | m)

(7.5)

vRijn ( qR , u , r )

Nadat het commando D is gegeven zijn er weer twee mogelijkheden: de keringen functioneren goed en sluiten inderdaad (geval D), of de keringen falen en blijven open (geval O). De kansen hierop zijn respectievelijk 1 - α en α. Nadat het commando O is gegeven zijn er in principe dezelfde twee mogelijkheden van sluiten en openblijven. We veronderstellen echter (uit de aard der zaak) dat de keringen nooit spontaan zullen sluiten, zodat de kans op sluiten in deze situatie gelijk is aan 0. Uit het boomdiagram volgt nu dat de kansen op de gebeurtenissen D en O worden gegeven door pRijn ( D | qR , u, m, r ) = (1 − α ) pRijn ( D | qR , u , m, r )

(7.6)

pRijn (O | qR , u , m, r ) = pRijn (O | qR , u , m, r ) + α pRijn ( D | qR , u, m, r )

(7.7)

113

Met behulp van (7.5) kan eenvoudig worden geverifiëerd dat de kansen in (7.6) en (7.7) optellen tot 1. Uit (7.5) en (7.6) volgt dan pRijn ( D | qR , u, m, r ) = (1 − α )

∞

∫

dv ϕ (v | m)

(7.8)

vRijn ( qR , u , r )

pRijn (O | qR , u , m, r ) = 1 − pRijn ( D | qR , u, m, r )

(7.9)

De twee kansen in (7.8) en (7.9), of de analogons daarvan voor een Maassom, zijn de kansen die nodig zijn in het model voor de Benedenrivieren, zie formule (5.35).

7.3.4 De kansen op open en dichte keringen voor onafhankelijk falen Voor onafhankelijk falen mogen de faalkansen van de SVKW en SVKH verschillend zijn; die faalkansen geven we respectievelijk aan met αW en αH. Omdat ook bij onafhankelijk falen een gemeenschappelijk sluitcriterium wordt afgegeven, blijven formules (7.4) en (7.5) gelden. Het is dan betrekkelijk eenvoudig te verifiëren dat, voor een Rijnsom, pRijn ( DD | qR , u, m, r ) = (1 − αW )(1 − α H ) pRijn ( D | qR , u, m, r ) pRijn ( DO | qR , u, m, r ) = (1 − αW )α H pRijn ( D | qR , u, m, r ) pRijn (OD | qR , u , m, r ) = αW (1 − α H ) pRijn ( D | qR , u , m, r )

(7.10)

pRijn (OO | qR , u , m, r ) = αW α H pRijn ( D | qR , u, m, r )

Merk op dat deze kansen optellen tot 1. De kansen uit (7.10), of de analogons daarvan voor een Maassom, zijn nodig in (5.36).

7.4 De sluitfrequentie van de keringen In deze paragraaf geven we de formule voor de sluitfrequentie van de keringen, waarmee hier met de sluitfrequentie in feite de door het BOS gegeven frequentie van het sluitcommando wordt bedoeld. Wanneer bijvoorbeeld het sluitcommando wordt afgegeven en beide keringen falen, in de zin dat ze open blijven staan, wordt deze situatie toch meegeteld in het bepalen van de sluitfrequentie. De reden om te kijken naar het sluitcommando, los van de vraag of de keringen daadwerkelijk sluiten, is dat voor het al of niet stremmen van het scheepvaartverkeer slechts het al of niet afgeven van het sluitcommando van belang is. Merk op dat de frequentie van het sluitcommando los staat van de aanname van afhankelijk dan wel onafhankelijk falen. In de formule voor de sluitfrequentie hoeft dus geen onderscheid te worden gemaakt naar die laatste twee situaties. Net als in paragraaf 7.3 dienen weer de twee gevallen beschouwd van een Rijn- en een Maassom te worden beschouwd. Beide gevallen leiden tot een formule voor de sluitfrequentie van de keringen. Deze formules zullen (vrijwel zeker) tot iets verschillende antwoorden leiden. Het zal duidelijk zijn dat in werkelijkheid er maar één sluitfrequentie is. De reden dat twee verschillende sluitfrequenties resulteren is (vanzelfsprekend) gelegen in het feit dat twee verschillende modelaannames worden gemaakt. De ene aanname (statistiek van de Rijn) leidt tot goede uitkomsten voor kruinhoogtes in het deel van de Benedenrivieren dat voornamelijk onder invloed staat van de Rijn, de andere aanname (statistiek van de Maas) leidt tot goede uitkomsten voor het deel dat voornamelijk onder invloed staat van de Maas. De keringen worden bediend op basis van waterstandvoorspellingen voor Rotterdam en Dordrecht, welke locaties gedomineerd worden door de Rijn. Vandaar dat voor toekomstige berekeningen voor het bepalen van de sluitfrequentie altijd zal worden uitgegaan van de statistiek van de Rijn. Overigens is in Hydra-B ook de berekening op basis van de Maasstatistiek geïmplementeerd. We zullen alleen de formules voor de Rijnberekening geven; die voor de Maasberekening zijn volstrekt analoog. In de formules komen de oostelijke richtingen niet voor. De kans dat de kering voor deze richtingen gesloten zal worden is verwaarloosbaar klein. De gedachtengang die tot de formules voor de sluitfrequentie leidt is analoog aan die achter de formules in hoofdstuk 5 (zie paragraaf 5.4.2 t/m 5.4.4) – er wordt hier dan ook geen verdere motivatie gegeven.

114

De formule voor de sluitfrequentie voor de Rijnberekening luidt (zie ook hoofdstuk 5 of de symbolenlijst voor de notatie): qg

Ψ S,Rijn =N

∫ dq

∞ R

g Q (qR ) pRijn ( D | qR ) +

0

∫ dk ψ

K

(7.11)

(k ) PRijn ( D | k )

qg

Hierin is pRijn ( D | qR ) =

16

∑ ∫ du dm g (u, m, r ) p

r =10

Rijn

(7.12)

( D | qR , u, m, r )

n

PRijn ( D | k ) = 1 − ∏ ⎡⎣1 − pRijn ( D | qR ( j )) ⎤⎦

(7.13)

j =1

met: ΨS,Rijn

pRijn(D|qR) PRijn(D|k)

Het gemiddelde aantal keren per winterhalfjaar dat het sluitcommando wordt afgegeven. Hierbij wordt het eventuele meerdere keren afgeven van het commando tijdens een en dezelfde afvoergolf (beschouwd boven de grenswaarde) als één keer geteld. De kans dat in een getijperiode het sluitcommando is afgegeven, bij gegeven Rijnafvoer qR. De kans dat tijdens de passage van een Rijn-afvoergolf met piekwaarde k het sluitcommando één of meer keren wordt afgegeven binnen de tijdsduur dat de afvoer groter is dan de grenswaarde qg.

1/whjaar

[-] [-]

7.5 Gevoeligheidsanalyse voor de faalkans en voorspelnauwkeurigheid Deze paragraaf geeft voor Rotterdam en Dordrecht voor de geïnteresseerde lezer wat resultaten voor toetspeilberekeningen voor verschillende waarden van α, σ en µ. Slechts de situatie van afhankelijk falen wordt beschouwd. Tabel 7.1 geeft de resultaten. Het is duidelijk dat voor Dordrecht de keuze van α, σ en µ niet erg nauw steekt. Slechts voor een 100 maal grotere faalkans, namelijk α = 0.1, wordt het toetspeil substantieel anders, en wel 0.08 m hoger. De overige keuzes voor de genoemde parameters leveren maximaal een verschil van 0.03 m. Merk op dat de in [Paape et al, 1998] voorgestelde keuzes voor µ = - 0.05 m en σ = 0.25 m voor Dordrecht tot hetzelfde toetspeil leiden als de in Hydra-B gehanteerde defaultwaarden µ = - 0.09 m en σ = 0.18 m. Zonder keringen resulteert voor Dordrecht een toetspeil dat 0.42 m hoger ligt dan de defaultsituatie. Voor Rotterdam kunnen andere waardes voor de parameters tot flinke verschillen leiden. Zo levert een 10 maal grotere faalkans een verhoging van 0.20 m in het toetspeil. De waarden van µ en σ steken ook erg nauw: een verandering van 0.09 m in µ levert een verandering in toetspeil van 0.06 m, terwijl een 0.09 m hogere σ ten opzichte van de defaultsituatie een 0.13 m hoger toetspeil oplevert.41 De bespreking in paragraaf 7.2.2 maakte duidelijk dat er met betrekking tot de waarde van σ wel enige onzekerheden bestaan. Mogelijk moet σ toch groter worden gekozen, met dan een hoger toetspeil tot gevolg. Tot slot merken we op dat de keuze van µ en σ volgens [Paape et al, 1998] een 0.08 m hoger toetspeil oplevert dan de keuzes uit Hydra-B en dat zonder keringen een 1.45 m hoger toetspeil zou resulteren.

41

Het is natuurlijk ook denkbaar dat in incidentele gevallen, door wat voor redenen dan ook, de hele modellering van de voorspelnauwkeurigheid met een normale verdeling niet meer op gaat. Men zou dan kunnen spreken van ‘modelonzekerheden’. Dergelijke onzekerheden zijn nergens in de berekeningen betrokken. 115

mu

sigma

faalkans

Rotterdam

Rott versch. Dordrecht tov default [m]

[m+NAP]

Dord versch.

sluitfreq.

tov default

keringen

[m]

[per whjaar]

[m]

[m]

[per vraag]

[m+NAP]

-0.09

0.18

0.001

3.43

0

3.01

0

1/12

0

0.18

0.001

3.37

-0.06

2.99

-0.02

1/9

0.09

0.18

0.001

3.32

-0.12

2.97

-0.03

1/6

-0.09

0.09

0.001

3.29

-0.15

2.99

-0.02

1/14

-0.09

0.27

0.001

3.56

0.13

3.02

0.02

1/9

-0.09

0.18

0.0001

3.42

-0.01

3.01

0.00

1/12

-0.09

0.18

0.01

3.64

0.20

3.01

0.01

1/12

-0.09

0.18

0.1

4.26

0.83

3.09

0.08

1/12

-0.05

0.25

0.001

3.51

0.08

3.01

0.00

1/8

4.89

1.45

3.43

0.42

******

geen keringen

Tabel 7.1 Toetspeilberekeningen voor Rotterdam MSW (T = 10000 jaar) en Dordrecht MSW (T = 2000 jaar) voor verschillende waarden van α, σ en µ. De in Hydra-B gebruikte ‘defaultsituatie’ is op de eerste regel van het gegevensblok vetgedrukt weergegeven; de vetgedrukte getallen op de verdere regels geven variaties op de defaultsituatie.

Tabel 7.1 geeft ook informatie over de sluitfrequentie van de keringen. Voor de defaultsituatie blijken de keringen gemiddeld eens in de 12 jaar te sluiten. De waarde van de faalkans is uiteraard niet van invloed op de sluitfrequentie, omdat de sluitfrequentie zoals eerder opgemerkt betrekking heeft op het afgegeven sluitcommando en niet op het daadwerkelijke sluiten van de keringen. Een hogere waarde van σ betekent, naast hogere toetspeilen, dat de sluitfrequentie toeneemt, omdat de kans op een onterecht afgegeven sluitcommando dan toeneemt. Een negatieve µ levert een kleinere sluitfrequentie dan een positieve µ. Immers, een negatieve waarde van µ correspondeert met systematisch te lage voorspellingen, waardoor de keringen minder snel gesloten zullen worden. Vanwege de lagere sluitfrequentie resulteren dan hogere waterstanden in het gebied, met corresponderende hogere toetspeilen. Merk wellicht ten overvloede op dat deze hogere toetspeilen slechts resulteren omdat in Hydra-B gebruik wordt gemaakt van de wetenschap dat de voorspellingen systematisch te laag uitvallen. Indien de voorspellingen in werkelijkheid systematisch te laag uitvallen zonder dat dat bekend is, zou µ = 0 m zijn genomen in Hydra-B, met dan te laag berekende toetspeilen tot gevolg. scenario 1

scenario 2

scenario 3

scenario 4

scenario 5

faalkans

T

ov.freq

kansen %

kansen %

kansen %

kansen %

kansen %

[per vraag]

[whjaar]

[per whjaar]

[-]

[-]

[-]

[-]

[-]

1

48

2.1E-02

0

0

0

0

5

0.1

480

2.1E-03

0

20

25

33.3

15

0.01

3400

2.9E-04

33.3

20

25

33.3

50

0.001

10000

1.0E-04

33.3

20

25

33.3

30

0.0001

12970

7.7E-05

33.3

20

25

0

0

0.00001

13400

7.5E-05

0

20

0

0

0

1.6E-04

5.4E-04

6.5E-04

8.4E-04

1.5E-03

6368

1862

1532

1184

657

Overschrijdingsfrequentie per scenario [1/whj] Terugkeertijd per scenario [whj]

Tabel 7.2 Gevoeligheidsonderzoek voor de onzekerheid in de faalkans van de keringen voor Rotterdam MSW. Alle berekeningen voor een vast niveau 3.43 m+NAP.

De faalkans α van de keringen, die net als het gehele beheersproces van de keringen permanent onder studie is, vormt een grootheid die met veel onzekerheden is omgeven. Omdat een andere waarde van de faalkans grote invloed heeft op het toetspeil, is het interessant de onzekerheden in α nader te bekijken. Daarom is – met de Bayesiaanse aanpak – een klein ‘onzekerheidsonderzoekje’ verricht voor het toetspeil te Rotterdam. De resultaten staan in tabel 7.2. Deze tabel bevat 5 scenario’s, die slechts dienen als illustratie van de problematiek. (Schrijver dezes is niet bekend met realistische getallen.) De linkerkolom bevat verschillende waarden van α. De twee kolommen daarnaast geven de terugkeertijd en de overschrijdingsfrequentie voor het huidige toetspeil te Rotterdam, dat gelijk is aan 3.43 m+NAP. De defaultwaarde α = 0.001, die voor het toetspeil T = 10000 jaar oplevert, is vetgedrukt.

116

Neem als illustratie van de berekening voor een scenario het eerste als voorbeeld. Daarin wordt de onzekerheid van de faalkans ‘gemodelleerd’ door aan te nemen dat slechts de waarden α = 0.01, 0.001 en 0.0001 kunnen voorkomen, elk met een kans van 1/3. Merk op dat de (logaritmisch) gemiddelde faalkans in dit scenario gelijk is aan de defaultwaarde 0.001. De overschrijdingsfrequentie, inclusief onzekerheid van de faalkans, volgt dan door de frequentie die hoort bij α te wegen met de aan α toegekende kans: Overschrijdingsfrequentie scenario 1 = 0.33* 2.9 *10−4 + 0.33*1.0 *10−4 + 0.33* 7.7 *10−5 = 1.6 *10−4

(7.14)

= 1/ 6368 per whjaar

Het meenemen van de onzekerheid in α levert hier dus een factor 1.6 hogere overschrijdingsfrequentie van het toetspeil. Hoewel de faalkans in dit scenario gemiddeld gelijk is aan de defaultwaarde, resulteert dus toch een fors hogere frequentie! Belangrijk hier is dat een kleinere waarde van α veel sterker van invloed is dan een grotere: een 10 maal grotere α levert een 2.9 maal hogere overschrijdingsfrequentie, terwijl een 10 maal kleinere α slechts een 1.0/0.77 = 1.3 maal kleinere overschrijdingsfrequentie levert. Het effect van α op de overschrijdingsfrequentie van het toetspeil is dus sterk asymmetrisch. Dat werkt sterk door in overschrijdingsfrequentie inclusief onzekerheid. Scenario 1 lijkt optimistisch, omdat slechts weinig onzekerheid in α wordt aangenomen. In een wat pessimistischer scenario als 2, waarin de onzekerheid zich uitstrekt van α = 0.1 tot α = 0.00001, resulteert circa een factor 5 hogere overschrijdingsfrequentie. De scenario’s 3 t/m 5 veronderstellen dat een faalkans kleiner dan of gelijk aan 0.0001 onrealistisch is. Afhankelijk van het gewicht dat aan de diverse α’s wordt toegekend, resulteren hogere en lagere overschrijdingsfrequenties. Zoals gezegd is schrijver dezes niet bekend met realistische getallen voor een onzekerheidsscenario. Duidelijk is wel dat het rekening houden met onzekerheden in α grote invloed heeft op de overschrijdingsfrequentie van het toetspeil te Rotterdam. Afhankelijk van de kansen die aan de respectievelijke α’s worden toegekend, kan deze overschrijdingsfrequentie wel tot een factor 10 hoger uitvallen.

117

118

8 Wind-waterstandstatistiek Maasmond 8.1 Inleiding In de Hydra-B formules wordt gebruik gemaakt van de wind-waterstandstatistiek te Maasmond. Die windwaterstandstatistiek bestaat uit niets anders dan de kansverdeling g(u,m,r), welke in dit rapport al vaker aan de orde kwam. Deze verdeling dient de situatie van het jaar 2006 te beschrijven. In 1987 heeft Volker al eens de wind-waterstandstatistiek afgeleid voor Hoek van Holland in plaats van voor Maasmond [Volker, 1987]. Door een betrekkelijk simpele transformatie zou deze statistiek voor Maasmond geschikt gemaakt kunnen worden, waarbij ook de zeespiegelrijzing sinds 1987 verdisconteerd kan worden. Echter, Volkers statistiek is niet meer bruikbaar omdat sinds 1987 de kansverdelingen voor de zeewaterstand veranderd zijn. In [Geerse et al, 2002] wordt, voor Hoek van Holland, beschreven hoe Volkers statistiek kan worden aangepast op zo’n manier dat deze in overeenstemming wordt met de meest recente RIKZ-gegevens. Tevens wordt in de genoemde referentie grafisch weergegeven hoe de kansverdelingen g(u|m,r) voor de verschillende richtingen er uitzien en hoe deze zich verhouden tot de door Volker gebruikte data. Een punt dat genoemd moet worden is dat in de nieuwe wind-waterstandstatistiek de lagere windsnelheden, met terugkeertijden T < 1 jaar, anders behandeld worden dan in de oude van Volker. In de oude statistiek stelt u de windsnelheid tijdens hoogwater voor, terwijl u voor T < 1 jaar in de nieuwe statistiek de maximale windsnelheid in een getijperiode voorstelt. Volker gebruikt dus een momentane waarde van de windsnelheid terwijl in HydraB, tenminste voor de relatief lage windsnelheden, de maximum windsnelheid in een getijperiode wordt gebruikt. Zoals in paragraaf 3.3 werd uitgelegd heeft de overgang van een momentane waarde naar het maximum over een getijperiode als reden dat de windgolven op de rivieren anders onderschat zouden worden. In de aanpassing van Volkers statistiek aan de nieuwe RIKZ-gegevens is, behalve dat de windsnelheid een iets andere interpretatie krijgt, ook het verloop over de windrichtingen van de correlatie tussen windsnelheid en zeewaterstand iets aangepast. Het ‘logische correlatiepatroon’ over de richtingen is dat NW en NNW de sterkste correlaties vertonen tussen windsnelheid en zeewaterstand, met een zwakkere correlatie voor N en een steeds zwakker wordende correlatie voor de respectievelijke richtingen WNW, W, WZW en ZW. Echter in Volkers statistiek blijkt de correlatie voor richting WZW zwakker te zijn dan die voor ZW, hetgeen afwijkt van het logische correlatiepatroon. In de nieuwe statistiek is dit correlatiepatroon logischer gekozen dan in de oude statistiek, zie voor details [Geerse et al, 2002]. Er is ten behoeve van Hydra-B bewust gekozen voor een relatief eenvoudige aanpassing van de oude windwaterstandstatistiek. Op het moment dat met de implementatie van Hydra-B werd begonnen, en ook nog op het moment dat de toetspeilen voor [HR 2001] werden berekend, was de verwachting dat het KNMI de komende jaren met een nieuwe statistiek voor de extreme windsnelheden zou komen. Deze statistiek – in feite een aparte statistiek voor elke willekeurige locatie in Nederland – zou worden afgeleid in het kader van het zogenaamde Hydra project [Verkaik et al, 2003]. Het leek logisch de wind-waterstandstatistiek eerst fundamenteel te herzien op het moment dat de nieuwe statistieken, dan ook voor locaties in het Benedenrivierengebied, voor de extreme windsnelheden gereed zouden zijn. In de laatste fase van het Hydra project zijn echter zoveel problemen naar voeren gekomen dat binnen enkele jaren geen nieuwe statistieken verwacht moeten worden. Mogelijk zal ten behoeve van de hydraulische randvoorwaarden 2006 de wind-waterstandstatistiek toch worden herzien. Voor schrijver dezes heeft deze herziening echter geen prioriteit – de verwachting is dat een nieuwe windwaterstandstatistiek veel minder effect heeft op de hydraulische belastingniveaus dan andere zaken. Met name de behandeling van de wind, denk aan overgangen tussen land en water, en de berekening van golfparameters, denk aan aanpassingen in SWAN, verdienen aandacht. Ook het in paragraaf 4.4.7 genoemde samengaan van maximale wind en maximale waterstand zou opnieuw kunnen worden bekeken. In paragraaf 8.2 worden de kansverdelingen volgens de meest recente RIKZ-gegevens voor de zeewaterstand te Hoek van Holland behandeld. De verdelingen van het RIKZ, die in feite frequentieverdelingen betreffen, worden daarbij omgezet naar een kansdichtheid per getij. Verder worden de zeepiegelrijzing en de transformatie van Hoek van Holland naar Maasmond behandeld. In paragraaf 8.3 wordt de wind-waterstandstatistiek voor Hoek van Holland behandeld, zoals die in 1987 is opgesteld door Volker. Volkers formules worden beschreven en becommentarieerd. In het bijzonder wordt ingegaan op zijn aannames betreffende de marginale verdelingen van de windsnelheid. Tevens wordt ingegaan op problemen in verband met de omrekening van stormfrequenties van 30°-sectoren naar 22.5°-sectoren, waarbij de interpretatie van het Rijkoort-Weibull model een rol speelt. In paragraaf 8.4 worden enkele parameters van de nieuwe wind-waterstandstatistiek gegeven.

119

8.2 Marginale verdeling zeewaterstand Hoek van Holland en Maasmond 8.2.1 Inleiding In deze paragraaf worden de kansverdelingen voor Hoek van Holland en Maasmond behandeld. Het is de bedoeling een kansverdeling voor de zeewaterstand af te leiden die gerelateerd is aan een getijperiode. Als uitgangspunt daarvoor dient de Paretoverdeling voor Hoek van Holland, alsmede de uitsplitsing daarvan naar de windrichtingen, op basis van gegevens van het RIKZ. In paragraaf 8.2.2 worden frequenties van zeewaterstanden te Hoek van Holland, die in 10°-sectoren zijn gegeven, omgerekend naar sectoren van 22.5°. In paragraaf 8.2.3 worden de frequenties per whjaar, voor 22.5°sectoren, omgerekend naar kansverdelingen gerelateerd aan een getijperiode, voor de locatie Hoek van Holland. In paragraaf 8.2.4 wordt de zeespiegelstijging behandeld en in paragraaf 8.2.5 de transformatie van de kansverdeling van Hoek van Holland naar Maasmond.

8.2.2 Omrekening van frequenties van 10°-sectoren naar 22.5°-sectoren voor Hoek van Holland In de omrekening van de overschrijdingsfrequenties van de zeewaterstand van 10°-sectoren naar 22.5°-sectoren is wat notatie nodig. r s

M Ψ(m) Ψ(m,r) Ψ(m,s) P(r) of g(r)

Staat voor een richtingssector van 22.5°; r = 1 t/m 16 staat voor NNO, NO, ..., N. Staat voor een richtingssector van 10°, als mede voor de landwindsector. De waarde s = 1 staat voor 15°-215°; de waarden s = 2 t/m 17 staan voor 220°, 230°, ..., 370°. De stochast welke de maximale zeewaterstand, ofwel de hoogwaterstand geeft, gedurende één getijperiode. Afhankelijk van de context betreft deze in dit hoofdstuk Hoek van Holland dan wel Maasmond. Overschrijdingsfrequentie van de zeewaterstand, namelijk het gemiddeld aantal hoogwaters per whjaar dat het niveau m overschrijdt. Gemiddeld aantal hoogwaters per whjaar met windrichting r dat het niveau m overschrijdt. (Op het tijdstip van hoogwater bevindt de windrichting zich binnen richtingssector r.) Heeft een betekenis analoog aan Ψ(m,r). Kans op richtingssector r.

[-] [-]

m+NAP 1/whjaar 1/whjaar 1/whjaar [-]

De frequentieverdeling voor de waterstand bij Hoek van Holland wordt gegeven door een Paretoverdeling [Phillippart, 1995]. Deze geeft de overschrijdingsfrequentie Ψ(m) in keren per whjaar: m−µ ⎞ ⎛ Ψ (m) = 0.5 ⎜1 + γ σ ⎟⎠ ⎝

vormparameter drempelwaarde schaalparameter

−1/ γ

,

m≥µ

(8.1)

γ = 0.03641 [-] µ = 2.53 m+NAP σ = 0.2474 m

Tevens is de uitsplitsing van deze verdeling naar windrichtingen beschikbaar [Roskam, 2000]. Deze wordt voor de westelijke richtingen gegeven in termen van zeventien 10°-sectoren, lopend van 220°, 230°, ...,370°, en voor de resterende oostelijke richtingen door één landwindsector 15°-215°. De sectoren worden genummerd met s = 1 t/m 17. Daarbij heeft de landwindsector, ofwel de sector oost, nummer s = 1, terwijl de sectoren 220°, 230°, ...,370° worden genummerd met s = 2 t/m 17. Voor elk van deze sectoren wordt de overschrijdingsfrequentie gegeven door een Weibullverdeling van de vorm

120

⎡ ⎛ m ⎞α (s) ⎛ m ⎞α (s) ⎤ d Ψ (m, s ) = pc (s) exp ⎢ - ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ σ σ (s) (s) ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝

m ≥ md

(8.2)

De waarden voor de Weibull parameters zijn gegeven in tabel 8.1. Merk op dat alle drempelwaarden gelijk zijn aan md = 1.90 m+NAP. Bijvoorbeeld voor s = 10, ofwel sector 300°, volgt voor de overschrijdingsfrequentie van m = 3 m+NAP de waarde Ψ(3,10) = 0.010. Dit houdt in dat gemiddeld eens in de 100 jaar een hoogwaterstand m ≥ 3 m+NAP optreedt, waarbij ten tijde van dit hoogwater de wind waait uit de richting van 295° tot 305°. De Paretoverdeling uit (8.1) kan goed worden benaderd door een Weibullverdeling; de parameters van deze verdeling staan vermeld in tabel 8.1. Zodoende wordt Ψ(m) naast formule (8.1) dus ook in goede benadering gegeven door ⎡ ⎛ m ⎞ Ψ (m) = 7.237 exp ⎢ - ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ 0.016 ⎠

0.57

⎛ 1.90 ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ 0.016 ⎠

0.57

⎤ ⎥ ⎥⎦

m ≥ 1.90

(8.3)

Eindtabel Hoek van Holland (wind LEG) richting sector omnibasisp. 15-215 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

Weibull-parameters

Overschrijdingsfrequentie van de HW - stand, m + NAP

Kwantiel HW-standen, m+NAP

m_d 1.90

p_c 7.237

alpha 0.57

sigma 0.016

2 4.6067212

3 0.0782112

4 0.0023159

5 0.0000986

6 0.0000055

0.1 2.93

0.01 3.57

0.001 4.26

0.0001 5.00

1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90 1.90

0.120 0.045 0.130 0.211 0.327 0.589 0.889 1.062 0.907 0.749 0.557 0.520 0.435 0.343 0.229 0.088 0.036

1.03 1.01 1.00 0.96 0.93 0.91 0.86 0.83 0.81 0.79 0.76 0.75 0.77 0.78 0.83 0.88 0.94

0.103 0.124 0.117 0.120 0.121 0.124 0.120 0.112 0.107 0.104 0.103 0.103 0.104 0.102 0.119 0.131 0.146

0.0402561 0.0194801 0.0553034 0.1031597 0.1736890 0.3321955 0.5473159 0.6731344 0.5864223 0.4968432 0.3869370 0.3667708 0.2982856 0.2300189 0.1484330 0.0541363 0.0207472

0.0000007 0.0000044 0.0000107 0.0000862 0.0003452 0.0012235 0.0050288 0.0084579 0.0090961 0.0100314 0.0124201 0.0136978 0.0083977 0.0051980 0.0023119 0.0004827 0.0000908

0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000008 0.0000053 0.0000575 0.0001359 0.0001832 0.0002651 0.0005222 0.0006691 0.0003094 0.0001544 0.0000455 0.0000052 0.0000004

0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000008 0.0000026 0.0000044 0.0000085 0.0000265 0.0000393 0.0000137 0.0000055 0.0000011 0.0000001 0.0000000

0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000001 0.0000003 0.0000015 0.0000027 0.0000007 0.0000002 0.0000000 0.0000000 0.0000000

1.92 1.80 1.93 2.00 2.09 2.21 2.36 2.43 2.42 2.40 2.38 2.38 2.30 2.21 2.09 1.87 1.72

2.13 2.08 2.20 2.33 2.46 2.62 2.85 2.96 2.98 3.00 3.07 3.10 2.95 2.82 2.64 2.35 2.13

2.34 2.35 2.47 2.65 2.83 3.04 3.36 3.51 3.56 3.63 3.79 3.86 3.64 3.46 3.21 2.84 2.56

2.55 2.63 2.74 2.98 3.20 3.46 3.87 4.08 4.16 4.28 4.55 4.66 4.36 4.13 3.80 3.34 2.98

Tabel 8.1 Eindtabel van Hoek van Holland, wind van Lichteiland Goeree. Overgenomen uit [Roskam, 2000]. Betreft de overschrijdingsfrequentie van de HW-stand, uitgesplitst naar windrichting.

De uitsplitsing over de windrichting is zo uitgevoerd dat na sommatie over alle sectoren s de omnidirectionele Paretoverdeling (8.1) resulteert. Tenminste, dat is in goede benadering het geval; de sommatie over een aantal Weibullverdelingen zal namelijk nooit exact een Paretoverdeling opleveren. Zodoende geldt dus in goede benadering 17

Ψ (m) = ∑ Ψ (m, s )

(8.4)

s =1

met het linkerlid naar keuze gegeven door de Paretoverdeling uit (8.1) of de omnidirectionele Weibullverdeling uit (8.3). Het loont de moeite wat nader op formule (8.4) in te gaan. De Paretoverdeling heeft betrekking op toppen van waterstanden. Een dergelijke top duurt in de regel circa 3 getijden, ofwel ruim 36 uur. Gedurende deze 36 uur neemt de waterstand toe, totdat het maximum bereikt is, om dan weer af te nemen, zie [Dillingh, 1993, Deel 2: bijlage 8]. De eigenschap dat de sommatie over de Ψ(m,s) de Paretoverdeling oplevert, houdt in dat aan iedere top precies één richting s wordt toegekend. Dat is de tijdens het maximum optredende windrichting. In de praktijk zullen tijdens zo'n volledige top echter meerdere richtingen kunnen voorkomen. Voor de praktijk − onder meer voor de berekening van kruinhoogtes − is de windrichting rondom het maximum

121

van de top echter het meest relevant. Daarom zal voor de meeste toepassingen het toekennen van precies één windrichting aan elke top uit de Paretoverdeling gerechtvaardigd zijn. Voor het in dit rapport beschouwde model voor de Benedenrivieren is de uitsplitsing naar richtingssectoren van 22.5° nodig. Het recept om van 10°-sectoren over te gaan op bredere sectoren wordt in [Roskam et al, 2000] gegeven. De bredere sector wordt simpelweg ‘naar evenredigheid’ opgebouwd uit de bijdragen van de 10°sectoren. Als voorbeeld beschouwen we het samenstellen van de 22.5°-sector r = 12, welke loopt van 258.75° tot 281.25°, in termen van de smallere sectoren s = 6, 7, 8; zie tabel 8.2. Opbouw 270°-sector r = 12 uit 10°-sectoren 10°-sector

s

aandeel

260 270 280

6 7 8

5/8 1 5/8

(258.75 tot 265) (265 tot 275) (275 tot 281.25)

Tabel 8.2 Uitsplitsing van de 22.5°-sector r = 12 in 10°-sectoren. richting

sector r ZW

WZW

W

WNW

NW

NNW

N

sector s

weging

1

oost

(1/8)*(1/20)

10

2

220°

1

225°

3

230°

1

4

240°

1/8

4

240°

7/8

11

5

250°

1

247.5°

6

260°

3/8

6

260°

5/8

12

7

270°

1

270°

8

280°

5/8

8

280°

3/8

13

9

290°

1

292.5°

10

300°

7/8

10

300°

1/8

14

11

310°

1

315°

12

320°

1

13

330°

1/8

13

330°

7/8

15

14

340°

1

337.5°

15

350°

3/8

15

350°

5/8

16

16

360°

1

0°

17

370°

5/8

Oostelijk

elk van de

17

370°

(1/9)*(3/8)

(Landwind)

r = 1 t/m 9

1

oost

(1/9)*(159/160)

Tabel 8.3 De wegingsfactoren waarmee de r-sectoren uit de 10°-sectoren kunnen worden bepaald.

De overschrijdingfrequentie voor de sector r = 12 volgt dan uit de formule 5 5 Ψ (m, r = 12) = Ψ (m, s = 6) + Ψ (m, s = 7) + Ψ (m, s = 8) 8 8

122

(8.5)

Zo kan elke Ψ(m,r) uit de Ψ(m,s) worden gevonden door met de juiste wegingsfactoren te werken. Tabel 8.3 geeft deze wegingsfactoren. De som over de r-sectoren zowel als over de s-sectoren levert de omnidirectionele verdeling, zodat geldt 16

17

r =1

s =1

Ψ (m) = ∑ Ψ (m, r ) =∑ Ψ (m, s )

(8.6)

8.2.3 Omrekening van frequentie per whjaar naar getijperiode voor Hoek van Holland In deze paragraaf zullen de overschrijdingsfrequenties voor de r-sectoren worden omgerekend naar de kansdichtheid g(m,r) die geldt voor een willekeurige gegeven getijperiode. De 10°-sectoren zullen niet meer worden gebruikt; we beperken ons verder tot 22.5°-sectoren. We brengen in herinnering dat de stochast M de maximale waterstand in een getijperiode aangeeft, ofwel de hoogwaterstand in de betreffende getijperiode. De stochast R geeft de windrichting in de betreffende getijperiode, welke optreedt tijdens hoogwater. De grootheid P(M>m|R=r), of korter geschreven P(M>m|r), geeft de conditionele kans op een overschrijding van de hoogwaterstand m, gegeven de richting r. De kans dat in een getijperiode de hoogwaterstand m wordt overschreden en dat tegelijkertijd de windrichting ten tijde van hoogwater gelijk is aan r, wordt dan gegeven door P(M>m,r) = P(r) P(M>m|r). Het aantal getijperioden in een whjaar is gelijk aan N = 352. Het gemiddeld aantal getijperioden in een whjaar met een hoogwater waarvoor tegelijkertijd geldt M > m en R = r is dan gelijk aan N P(M>m,r). In het geval een top uit de Paretoverdeling, beschouwd boven het niveau m, nooit langer zou duren dan één getijperiode, zou dat aantal gelijk zijn aan Ψ(m,r). De top kan, boven niveau m, echter langer duren dan één getijperiode. Als gevolg daarvan geldt N P(M>m,r) ≥ Ψ(m,r). Voor waterstanden m hoger dan md = 1.90 m+NAP zal het overgrote deel van de toppen, beschouwd boven het niveau m, echter niet langer duren dan één getijperiode. Alleen de zeer extreme toppen die m overschrijden zullen mogelijk langer duren dan één getijperiode. Die zeer extreme toppen betreffen relatief gezien slechts een gering deel van alle toppen die niveau m overschrijden. We mogen dan dus in benadering aannemen dat iedere top uit Ψ(m,r) slechts één getijperiode duurt, in welk geval geldt N P(M>m,r) = Ψ(m,r). Overigens werd deze aanpak ook gevolgd in het programma Dijkring, zie paragraaf 3.3 uit [Den Heijer, 1994]. Voor de hier beschouwde waterstanden kan P(M>m,r) dus worden berekend uit Ψ(m,r). Voor de lagere waterstanden is dat niet mogelijk. Deze zijn echter niet relevant voor de berekening van kruinhoogtes. Om ook voor deze lagere waterstanden toch een nette kansverdeling te verkrijgen, definiëren we simpelweg ⎧ Ψ (m, r ) ⎪ P ( M > m | r ) = ⎨ NP(r ) ⎪1 ⎩

, m ≥ m0 (r )

(8.7)

, m < m0 (r )

met m0(r) zo gekozen dat geldt Ψ (m0 (r ), r ) = NP(r )

(8.8)

Voor de westelijke richtingen varieert m0(r) van circa 1.0 tot 1.4 m+NAP. Als gevolg van deze definitie is de kans op een waterstand lager dan m0(r) gelijk aan 0 geworden. De conditionele kansdichtheid g(m|r) volgt dan door differentiatie van (8.7) naar m: g (m | r ) = −

d [ P(M > m | r )] dm

(8.9)

Wanneer we schrijven g(r) = P(r), volgt g (m, r ) = g (r ) g (m | r )

(8.10)

Vanwege het belang van deze g(m,r) vatten we een en ander nog eens samen. De g(m,r) geeft de kansdichtheid die geldt voor een willekeurige gegeven getijperiode; daarbij stelt m de hoogwaterstand in de betreffende getijperiode voor, terwijl r de daarbij optredende 22.5°-sector voorstelt. De g(m,r) geeft slechts een juiste beschrijving voor de relevante hoge waterstanden m ≥ md = 1.90 m+NAP.

123

Nog wat slotopmerkingen. Met behulp van (8.6) en (8.7) volgt voor de omnidirectionele overschrijdingskans, voor m groter dan het maximum van de m0(r), r = 1 t/m 16, P ( M > m) = ∑ P ( r ) P ( M > m | r ) = r

∑ Ψ (m, r ) r

N

=

Ψ ( m) N

(8.11)

De kans P(M>m) kan voor niet al te lage m dus direct uit Ψ(m) worden berekend, zonder gebruik te maken van P(r) en P(M>m|r). We merken verder op dat g(m,r), zoals volgt uit (8.7), (8.9) en (8.10), ook kan worden geschreven als ⎧ 1 d Ψ (m, r ) ⎪− g (m, r ) = ⎨ N dm ⎪⎩ 0

, m ≥ m0 (r )

(8.12)

, m < m0 (r )

Hieruit blijkt dat g(m,r) niet afhangt van de kans P(r), behalve dan via het getal m0(r), dat volgens (8.8) wel van P(r) afhangt. Voor de relevante hoge waterstanden wordt g(m,r) dus uitsluitend bepaald door Ψ(m,r) en niet door P(r).

8.2.4 Zeespiegelstijging Gedurende de afgelopen eeuw is de zeespiegel langzaam hoger geworden. Deze stijging zal deze eeuw, wellicht in versnelde mate, doorzetten. De in het basispeilen-onderzoek afgeleide Paretoverdeling (8.1) heeft betrekking op waterstanden die zijn omgerekend naar het jaar 1985. Het in dit rapport beschreven model voor de Benedenrivieren dient representatief te zijn voor het jaar 2006; voor de periode 1985-2006 van ruim 20 jaar is een zeespiegelrijzing aangenomen van 0.05 m. De manier waarop deze stijging in de kansverdeling zal worden verwerkt, is door middel van een simpele verschuiving. In de volgende paragraaf wordt een expliciete formule gegeven. In feite, zo is inmiddels gebleken, is de keuze van 0.05 m niet helemaal correct. Strikt genomen had dat 0.07 m moeten zijn. Het effect van die andere keuze op de toetspeilen uit [HR 2001] en de hydraulische belastingniveaus zou uiteraard gering zijn: die zouden hooguit 1.5 centimeter hoger worden. Nu volgt wat commentaar op de zeespiegelstijging, gebaseerd op [Dillingh en Heinen, 1994] en [De Deugd, 2002]. De eerste referentie laat over de periode 1975-1990 een (relatieve) zeespiegelrijzing zien te Hoek van Holland van 0.04 m voor de gemiddelde hoogwaterstand en 0.063 m voor de gemiddelde zeestand. In [De Deugd, 2002] wordt daarom afgerond een zeespiegelstijging van 0.05 m aangehouden voor een periode van 15 jaar. Daarbij wordt geen onderscheid gemaakt tussen hoogwaterstand en middenstand: het gehele getijverloop wordt met eenzelfde bedrag opgeschoven. Voor de 21 jaren uit de periode 1985-2006 zou dan moeten worden uitgegaan, in tegenstelling tot de keuze in Hydra-B, van (21/15)*0.05 = 0.07 m. Terzijde nog het volgende. In [De Deugd, 2002] wordt op het gemiddeld getijverloop van 1991, waarvan gegevens bekend zijn, een correctie van 0.05 m toegepast om op het (onbekende) gemiddeld getijverloop van 2006 uit te komen. Dit gemiddeld getij heeft echter alleen met de modellering van het waterstandsverloop te Maasmond te maken, dat nodig is in de Sobeksommen, en slechts indirect met de zeespiegelrijzing over de periode 1985-2006. Indien bijvoorbeeld het gemiddeld getijverloop van 2000 bekend zou zijn geweest in plaats van dat voor 1991, zou de correctie om aan het getijverloop voor 2006 te komen gelijk zijn genomen aan (6/15)*0.05 = 0.02 m.

8.2.5 Verschuiving Hoek van Holland naar Maasmond De in paragraaf 8.2.3 afgeleide g(m,r) heeft betrekking op Hoek van Holland. In het model voor de Benedenrivieren is deze kansdichtheid nodig ter plaatse van Maasmond, welke locatie enkele kilometers ten westen van Hoek van Holland ligt. In deze paragraaf willen we de afhankelijkheid van de locaties expliciet tot uitdrukking brengen. Daarom geven we de kansdichtheden voor deze locaties respectievelijk aan met gHvH(m,r) en gMM(m,r). In principe is gMM(m,r) onbekend. Deze kansdichtheid scheelt echter niet veel van die voor Hoek van Holland, omdat de genoemde locaties dicht bij elkaar liggen. Bij Hoek van Holland heeft de afvoer nog enige invloed op de hoogwaterstanden, terwijl die invloed voor Maasmond verwaarloosd mag worden. (Tenminste, die verwaarlozing is gerechtvaardigd voor de hoge, en dus meest relevante, hoogwaterstanden.) Dit houdt in dat de afvoer en de zeewaterstand bij Maasmond statistisch ongecorreleerd zijn, terwijl bij Hoek van

124

Holland wel enige correlatie aanwezig is. De afwezigheid van correlatie bij Maasmond vormt de reden om de zeewaterstand van déze locatie in het model voor Benedenrivieren op te nemen. Indien Hoek van Holland zou zijn genomen, zou de correlatie tussen afvoer en zeewaterstand in de kansdichtheid g(m,q) moeten worden beschreven. Voor Maasmond is dat niet nodig en geldt eenvoudig g(m,q) = g(m) g(q). Bij een gegeven afvoer is de waterstand bij Maasmond een aantal centimeters lager dan de waterstand bij Hoek van Holland. Deze verlaging hangt, zoals hiervoor al opgemerkt, af van de grootte van de afvoer. Ter illustratie: voor lage zeewaterstanden (gemiddeld getij) en richting WNW bedraagt deze bij een gemiddelde afvoer 5 centimeter, bij 10000 m3/s 7 centimeter en bij 16000 m3/s 11 centimeter.42 In het verleden heeft men, onafhankelijk van de afvoer, voor het verschil tussen de kansverdelingen van Maasmond en Hoek van Holland een vast bedrag van 5 centimeter aangenomen [De Deugd, 1995]. De keuze van 5 cm is nog eens tegen het licht gehouden. In Hydra-B zal een verschuiving van 2 cm worden gehanteerd, dus een 3 cm kleinere verschuiving dan in het verleden, hetgeen een licht verhogend effect heeft op de toetspeilen (nabij Rotterdam circa 1 cm en nabij Dordrecht circa 2 cm). We geven nu enig commentaar op deze nieuwe keuze. Om de juiste kansverdeling te Maasmond te bepalen zou men in principe een extreme waarden analyse moeten verrichten voor waarnemingen te Maasmond. Er zijn echter geen (of slechts weinig) waarnemingen beschikbaar voor Maasmond. Wel zijn voor meer dan 100 jaar waarnemingen beschikbaar voor Hoek van Holland, namelijk degenen waarop de Paretoverdeling uit (8.1) is gebaseerd. Met bijvoorbeeld een Waquamodel zou elke waarneming te Hoek van Holland, uitgaande van de in het verleden op dat moment opgetreden afvoer, windsnelheid en windrichting, kunnen worden omgezet in een corresponderende waarneming te Maasmond (zeg gehomogeniseerd naar 1985). De reeks voor Hoek van Holland levert dan in principe, mits alle benodigde gegevens beschikbaar zijn, een reeks voor Maasmond waarop extreme waarden analyse kan worden verricht. Het volledig uitvoeren van dit programma zou zeer veel werk kosten – en bovendien tamelijk onzinnig zijn. De ervaring leert namelijk dat de uitkomst van een extreme waarden analyse sterk afhangt van de gekozen analyse. Een analyse op POT- reeksen levert bijvoorbeeld een 10000 jaar kwantiel van 5.5 m+NAP en een analyse op jaarmaxima levert 4.7 m+NAP, terwijl een Bayesiaanse analyse tot weer een ander getal leidt (de genoemde getallen zijn louter fictief). Uit al de mogelijke analyses moet dan een keuze worden gemaakt voor één specifieke analyse, of voor één specifieke waarde van het 10000 jaar kwantiel. Deze keuze heeft een sterk willekeurig karakter. Men zal in dit stadium van de analyse (of eerder) zich echter realiseren dat het verstandiger is de uitkomsten voor Maasmond te relateren aan de reeds bekende gegevens voor de kansverdeling van Hoek van Holland.43 In het verleden heeft men deze aanpak gevolgd en in Hydra-B zal opnieuw deze aanpak worden gevolgd, waarbij het verband tussen de beide locaties dus bestaat uit een vaste verschuiving, die onafhankelijk is van de afvoer, windsnelheid en windrichting. In Hydra-B worden meerdere richtingen beschouwd en niet alleen WNW zoals in het verleden. In principe zou dus een verschuiving per richting moeten worden bepaald. De verschillen tussen de richtingen ZW t/m N blijken echter zo gering te zijn, en zeker die tussen de belangrijkste richtingen W, WNW en NW, dat gemakshalve van een gemeenschappelijke waarde van de verschuiving wordt uitgegaan. De keuze van 5 cm uit het verleden was gebaseerd op berekeningen voor een gemiddeld getij. Voor Hydra-B-berekeningen zijn deze lage zeewaterstanden echter nauwelijks relevant. Veel belangrijker zijn de zeewaterstanden hoger dan 2 m+NAP en met name (voor T ≥ 1250 jaar) waterstanden van 3 á 4 m+NAP.

42

Deze getallen gelden voor u = 0 m/s tot ongeveer u = 20 m/s; voor hogere windsnelheden worden de verschillen iets groter. 43 Indien men in de toekomst de Paretoverdeling voor Hoek van Holland wenst te herzien, zou men de analyse eventueel wel op de reeks voor Maasmond kunnen verrichten, omdat de reeks voor Maasmond in principe ‘zuiverder’ is dan die te Hoek van Holland (omdat het effect van de afvoer dan is geëlimineerd) en omdat in de huidige toepassingen veelal de kansverdeling voor Maasmond beschikbaar moet zijn. 125

Terugkeer-

RIKZ-Weibull

Hydra_b

Hydra_b

Hydra_b

tijd T

HvH

HvH

Maasmond

HvH - MM

[jaar]

[m+NAP]

[m+NAP]

[m+NAP]

[m]

2

2.57

2.57

2.55

0.02

5

2.80

2.80

2.78

0.01

10

2.99

2.97

2.96

0.01

100

3.62

3.63

3.60

0.02

1000

4.31

4.33

4.30

0.03

10000

5.05

5.07

5.04

0.03

Tabel 8.4 Waterstanden voor Maasmond (MSW) en Hoek van Holland (MSW).

Om een goede keuze voor de verschuiving te kunnen maken zijn met Hydra-B een aantal kwantielen voor Maasmond en Hoek van Holland berekend, zie tabel 8.4. Deze berekeningen zijn gemaakt voor open keringen44, met een zeespiegelrijzing van 5 cm en een verschuiving tussen Hoek van Holland en Maasmond van 2 cm. Wanneer een andere verschuiving gehanteerd zou zijn, zouden de berekeningen voor Hoek van Holland en Maasmond anders uitpakken, maar hun verschillen zouden, zoals de lezer voor zichzelf kan beredeneren, vrijwel hetzelfde blijven. Deze verschillen liggen tussen de 1 en 3 cm. Nabij Dordrecht en eveneens op het Haringvliet en Hollandsch Diep zijn met name zeewaterstanden van 3 á 4 m+NAP relevant voor de berekeningen van toetspeilen en hydraulische belastingen. Dan is de keuze van 2 cm voor de verschuiving het meest logisch. Merk wel op dat de preciese keuze van de verschuiving een enigszins academisch karakter heeft. De rekennauwkeurigheid van Hydra-B heeft zijn beperkingen; fouten van 1 á 2 cm kunnen al snel (mede afhankelijk van discretisatiekeuzes) worden gemaakt. Een andere manier om de keuze van de verschuiving te maken is te bezien in hoeverre de met Hydra-B berekende waterstanden te Hoek van Holland overeenstemmen met de gegevens van het RIKZ. De tweede kolom in tabel 8.4 geeft de RIKZ-gegevens (omni-directionele Weibull uit (8.3)) inclusief 5 cm zeespiegelrijzing. Voor T is 2 en 5 jaar blijkt Hydra-B, met de gehanteerde verschuiving van 2 cm, precies op de RIKZ-gegevens uit te komen; voor T = 10 jaar ligt Hydra-B 2 cm te laag en voor grotere T ligt Hydra-B tot 2 cm te hoog. Dit wat onregelmatige patroon ligt enerzijds aan de genoemde beperkte numerieke nauwkeurigheid van Hydra-B, maar tevens aan het feit dat de in Hydra-B gebruikte – door het RIKZ geleverde – Weibullverdelingen voor de richtingen nu eenmaal niet exact sommeren tot de omni-directionele Weibull uit (8.3). Met de zojuist gegeven beschouwingen is de keuze van de verschuiving in Hydra-B voldoende gemotiveerd. We geven tot slot de expliciete formule die het verband geeft tussen Maasmond en Hoek van Holland, waarin naast de verschuiving ook de zeespiegelrijzing voorkomt. Die formule is g MM (m | r ) = g HvH ,85 (m + cHvH − MM − czee | r ) czee = 0.05 m

(8.13)

cHvH − MM = 0.02 m

De index '85' slaat vanzelfsprekend op het jaar 1985. Merk op dat bijvoorbeeld 5.00 m+NAP te Hoek van Holland, toestand 1985, correspondeert met 5.03 m+NAP te Maasmond, toestand 2006. Voor de duidelijkheid melden we nog dat ten behoeve van de Sobeksommen, zie Kader 3.1 uit [De Deugd, 2002], ook een verschuiving tussen Hoek van Holland en Maasmond is toegepast. Die verschuiving, waarbij Maasmond 0.05 m lager is genomen dan Hoek van Holland, heeft slechts betrekking op het gemiddeld getijverloop en niet op het verschil tussen de kansverdelingen van Maasmond en Hoek van Holland. Voor het gemiddeld getijverloop – waarbij dagelijkse zeewaterstanden en afvoeren voorkomen – is deze 0.05 m een juiste keuze.

44

Hydra-B berekening exclusief keringen, rekenhart versie 1.7.2.

126

8.3 Wind-waterstandstatistiek Volker 8.3.1 Inleiding In het vervolg wordt de wind-waterstandstatistiek voor Hoek van Holland behandeld, zoals die in 1987 door Volker is opgesteld [Volker, 1987]. In paragraaf 8.3.2 worden Volkers formules beschreven en in paragraaf 8.3.3 zijn marginale windsnelheidsverdeling. De keuzes van Volker met betrekking tot deze marginale verdeling worden beschreven en becommentarieerd. In paragraaf 8.3.4 volgt een nadere beschouwing van Volkers marginale windsnelheidsverdeling. Daar wordt ingegaan op de omrekening van stormfrequenties van 30°sectoren zoals die volgen uit het Rijkoort-Weibull model, naar 22.5°-sectoren zoals die worden gebruikt in het model voor de Benedenrivieren. Tevens wordt beschreven hoe in het Rijkoort-Weibull model de omnidirectionele verdeling samenhangt met de verdelingen per windrichting.

8.3.2 Volkers formules uit 1987 Volkers wind-waterstandstatistiek geldt voor Hoek van Holland. Deze statistiek bestaat uit de kansdichtheid g(u,m,r), die van toepassing is op een getijperiode. In deze paragraaf zullen we een samenvatting geven van de formules waarmee g(u,m,r) gegeven wordt. We baseren ons daarbij op [Volker, 1987; Den Heijer, 1994] en deels op persoonlijke communicatie met de hier genoemde auteurs. Voor de genoemde kansdichtheid geldt g (u, m, r ) = g (r ) g (m | r ) g (u | m, r )

(8.14)

De kans g(r) = P(r) op windsector r is bekend. Om g(u,m,r) te bepalen dienen dus g(m|r) en g(u|m,r) bekend te zijn. Allereerst wordt ingegaan op g(m|r). In paragraaf 8.2.3 is aangegeven hoe op basis van recente gegevens de g(m|r) bepaald kan worden. Volker heeft (in 1987) aangenomen dat de g(m|r) worden gegeven door exponentiële verdelingen van de vorm ⎡ − m + Ar ⎤ P ( M < m | r ) = F (m | r ) = 1 − exp ⎢ ⎥ ⎣ Br ⎦

(8.15)

De waarden Ar en Br zijn weergegeven in tabel 8.4. Door differentiatie van (8.15) naar m volgt hieruit g (m | r ) =

richting r 10 ZW 11 WZW 12 W 13 WNW 14 NW 15 NNW 16 N jaarmaximum alle r

kans P(r) [-] 0.0961 0.0910 0.0760 0.0576 0.0509 0.0496 0.0472

d F (m | r ) dm

Parameters gegeven r, per getij Ar Br [m] [m] 1.32 0.109 1.38 0.119 1.17 0.250 1.08 0.304 1.05 0.326 1.05 0.261 1.08 0.185 2.20 0.33

ar [-] -1.72 -1.46 -1.03 -1.13 -1.16 -1.50 -1.00

(8.16)

br [s/m] 0.39 0.33 0.24 0.30 0.31 0.40 0.30

ρr [-] 0.67 0.56 0.50 0.67 0.68 0.78 0.36

Mr [-] 1.00 1.00 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67

Tabel 8.4 Gegevens Volkers wind-waterstandstatistiek, als mede de lineariseringsparameters ar en br ten behoeve van de functie Kr(u). Overgenomen uit [Volker, 1987] en [Vrouwenvelder et al, 1999].

Om een geschikte vorm voor de g(u|m,r) te vinden, heeft Volker aangenomen dat de correlatie tussen windsnelheid en waterstand in twee delen kan worden gesplitst. Eén deel is volkomen afhankelijk van de waterstand en één deel is onafhankelijk van de waterstand. In de schetsmatige weergave van figuur 8.1 is het afhankelijke deel weergegeven door een rechte lijn. Voor het onafhankelijke deel heeft Volker een afgeknotte Gumbelverdeling aangenomen. De afknotting houdt in dat de staart van de verdeling bij de hoogste 2% van de waarnemingen wordt afgekapt, waarna de verdeling opnieuw genormeerd wordt. Bij een gegeven richting zijn

127

deze (afgeknotte) Gumbelverdelingen op een verschuiving na aan elkaar gelijk. Indien de windsnelheid waarbij de afknotting plaatsvindt wordt aangegeven met ud(m,r), worden de verdelingen gegeven door de formule ⎧ 1 ⎡ ⎛ − K r (u ) + ρ r [m − Ar ] / Br ⎞ ⎤ exp ⎢ − exp ⎜ ⎪ ⎟⎥ 1 d Mr − ⎪ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ Fd (u | m, r ) = ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎩

, u ≤ ud (m, r )

(8.17) , u > ud ( m, r )

waarbij d het afknottingspercentage aangeeft (altijd gelijk aan 2%). De ρr en Mr staan in tabel 8.4. Bij vaste r is de Kr(u) een toenemende functie van de windsnelheid u. In [Volker, 1987] staat per windrichting een grafiek van Kr(u). Omdat deze grafieken een min of meer lineair verband tonen, zijn de Kr(u) in het verleden, zie [Vrouwenvelder et al, 1994], benaderd door rechte lijnen van de vorm K r (u ) = ar + br u

(8.18)

De coëfficiënten staan in tabel 8.4. Bij deze keuze van de Kr(u) wordt het hierboven genoemde met de windsnelheid afhankelijke deel eveneens beschreven door een rechte lijn. De laatste situatie is weergegeven in figuur 8.1. In [Geerse et al, 2002] worden de grafieken voor Kr(u) eveneens gegeven; tevens wordt in de appendix van die referentie uitgebreid ingegaan op de interpretatie van de functie Kr(u). Het blijkt dat deze functie kan worden opgevat als een zekere transformatie van de kansverdeling van de windsnelheid, gegeven r, naar de verdeling van een stochast Y die een asymptotisch exponentiële verdeling heeft; iets preciezer gezegd blijkt te gelden dat FY(Kr(u)|r) = F(u|r), waarbij FY(y|r) de cumulatieve verdelingsfunctie geeft van Y. In [Geerse, 2002c] wordt gedemonstreerd dat Volkers correlatiemodel een speciaal geval vormt van een hele klasse van correlatiemodellen. Tevens blijkt dan dat Volkers model sterk verwant is met een ander correlatiemodel dat bij TNO en Rijkswaterstaat veel gebruikt wordt, dat eveneens tot deze klasse behoort. In dat laatste model worden U en M getransformeerd naar standaardexponentiële verdelingen waarbij na transformatie als conditionele verdeling geen afgeknotte Gumbel maar een normale verdeling wordt gebruikt, zie onder andere [Vrouwenvelder et al, 1999] voor een beschrijving van dit correlatiemodel.

40

35 30

u, m /s

25

20 15

10 5

0

0

1

2

3 m , m + NA P

4

5

6

Figuur 8.1 Schetsmatige weergave van g(u|m,r). De conditionele Gumbelverdelingen hebben op een verschuiving na dezelfde vorm. De weergegeven rechte is alleen perfect lineair als de in tekst genoemde Kr(u) lineair is, in welk geval de tangens van de rechte lijn blijkt te worden gegeven door tg(α) = ρr /(brBr).

We merken nog op dat indien Kr(u) wordt gegeven door (8.18) de windsnelheid waarbij de afknotting plaatsvindt wordt gegeven door ud (m, r ) =

128

ρ r [m − Ar ] / Br − M r ln[− ln(1 − d )] − ar br

(8.19)

Door differentiatie van (8.17) volgt g (u | m, r ) =

d Fd (u | m, r ) du

(8.20)

De gewenste g(u,m,r) kan nu worden bepaald met (8.14) uit (8.16) en (8.20).

8.3.3 Volkers marginale windsnelheidsverdeling Volker heeft de parameters Ar, Br, ar, br, ρr, Mr bepaald met de maximum likelihood methode; voor de details van de berekening verwijzen we naar [Volker, 1987] en [Den Heijer, 1994]. Hier vermelden we slechts dat voor het toepassen van de maximum likelihood methode de marginale verdeling g(u,r) bekend moet zijn, welke samenhangt met g(u,m,r) door ∞

g (u, r ) = ∫ dm g (u , m, r )

(8.21)

0

We brengen in herinnering dat u hier de windsnelheid tijdens hoogwater voorstelt. De verdeling g(u,r) is niet bekend. Om aan deze verdeling te komen heeft Volker bepaalde aannames gedaan. In deze paragraaf worden die aannames toegelicht.Terzijde merken we op dat het voor de uitleg niet veel uitmaakt of we g(u,r) of g(u|r) beschouwen, omdat beiden simpel samenhangen volgens g(u,r) = g(r) g(u|r). Het KNMI beschikt over momentane kansverdelingen voor de windsnelheid. Dit zijn Weibullverdelingen die, gegeven de windrichting, momentane overschrijdingskansen van (uurlijkse) windsnelheden geven. Die verdelingen maken onderdeel uit van het Rijkoort Weibull model (RW-model), zie [Rijkoort, 1983] en [Geerse, 1999b]. Het lijkt aannemelijk dat de door ons beschouwde g(u|r) gelijk zou moeten zijn aan zo'n Weibullverdeling. Dat is echter niet juist. De momentane verdelingen uit het RW-model hebben namelijk betrekking op een vast tijdstip, terwijl het tijdstip waarop het hoogwater valt in een beschouwde getijperiode varieert. Het laatstgenoemde tijdstip zal worden beïnvloed door de optredende windsnelheid. Deze beïnvloeding zal het grootst zijn voor de hogere windsnelheden. Voor de lagere windsnelheden zal deze beïnvloeding verwaarloosbaar zijn, en valt het tijdstip van hoogwater samen met het tijdstip van astronomisch hoogwater. Voor de lagere windsnelheden kunnen dus momentane Weibullverdelingen worden gebruikt. Voor de hogere windsnelheden dient ten gevolge van de genoemde beïnvloeding een andere aanpak te worden gekozen. Overigens is er nog een tweede reden om voor deze windsnelheden geen Weibullverdelingen te gebruiken. Voor deze snelheden geven de Weibullverdelingen namelijk te lage overschrijdingskansen. Anders gezegd, de Weibullverdelingen hebben te snel afnemende staarten, zoals werd toegelicht in paragraaf 4.3 in [Geerse, 1999b]. Bijvoorbeeld voor r = 270°, in het seizoen januari-februari, kan berekend worden dat de momentane overschrijdingskans P(U > 30 m/s) volgens de Weibullverdeling circa een factor 5 te laag uitvalt, terwijl P(U > 36 m/s) circa een factor 40 te laag uitvalt.45 In het volgende worden Volkers keuzes beschreven. Daartoe introduceren we eerst de volgende notatie: uT=10, r

De windsnelheid die in combinatie met windrichting r een terugkeertijd heeft van T = 10 jaar.

m/s

Deze windsnelheden volgen (evenals de momentane verdelingen) uit het RW-model. Voor de westelijke richtingen liggen ze tussen de 20 en 24 m/s, behalve voor richting N, waarvoor een lagere windsnelheid geldt.

45

De "juiste" momentane overschrijdingskansen zijn door schrijver dezes uitgerekend met behulp van een aangenomen stormduur van 1 uur en de door het RW-model gegeven overschrijdingsfrequentie, volgens formule (A1.3) uit [Geerse, 1999b]. Bij een langere dan de aangenomen stormduur zou de onderschatting door de Weibullverdelingen nog groter zijn. 129

Volkers keuze voor de lagere windsnelheden Voor de lagere windsnelheden zijn Weibullverdelingen gebruikt van de vorm46 ⎡ ⎛ u ⎞ kr ⎤ P (U > u | r ) = exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ar ⎠ ⎥⎦

, u < uT =10, r

(8.22)

De ar en kr worden gegeven in tabel 8.5. De g(u|r) volgt hieruit door differentiatie naar u. Richting ar kr

ZW 7.37 1.91

WZW 7.74 1.86

W 7.33 1.92

WNW 7.03 1.88

NW 6.55 1.88

NNW 6.02 1.92

N 5.27 1.95

Tabel 8.5 De parameters ar en kr van de Weibullverdelingen voor de lagere windsnelheden. Overgenomen uit [Den Heijer, 1994]. Volkers keuze voor de hogere windsnelheden Voor de hogere u heeft Volker de g(u|r) bepaald door een verband te leggen met de overschrijdingsfrequenties van stormen, waarbij het hier ‘willekeurige’ stormen betreft, dus ook die waarbij geen hoge zeewaterstanden optreden. Deze frequenties volgen uit het RW-model, maar dan voor 30°-sectoren in plaats van voor 22.5°sectoren. Volker heeft de frequenties voor de 22.5°-sectoren afgeleid uit die van 30° door de laatsten naar evenredigheid toe te delen aan de 22.5°-sectoren, dus op een manier die analoog is aan die in tabel 8.2. Bijvoorbeeld voor de sector 270°, ofwel richting W, heeft Volker genomen: Ψ 22.5 (u , r = 270) =

3 Ψ 30 (u , r = 270) 4

(8.23)

Hierin duiden de indices op de gebruikte richtingssectoren. De Ψ30(u,r) worden zoals gezegd gegeven door het RW-model. Er geldt bijvoorbeeld Ψ30(u = 28, r = 270) = 0.0094 ≅ 0.01. Dit houdt in dat gemiddeld eens in de 100 jaar een storm optreedt waarin tijdens windrichting 270° de windsnelheid 28 m/s wordt overschreden. (Deze storm bevat dus minimaal 1 uur waarvoor de windsnelheid de 28 m/s overschrijdt en tevens de windrichting 270° is.) We nemen vooreerst aan dat de Ψ22.5(u,r) op dezelfde wijze geïnterpreteerd kunnen worden. Er bestaan echter complicaties met betrekking tot dit punt, waarop in paragraaf 8.3.4 zal worden ingegaan. Voor de hogere windsnelheden heeft Volker aangenomen dat P (U > u | r ) =

1 Ψ 22.5 (u,r) 2 NP(r)

, u > uT =10, r

(8.24)

We lichten nu Volkers redenering toe die geleid heeft tot deze formule. Allereerst kunnen we stellen dat: NP(r ) P (U > u | r ) = gemiddeld aantal hoogwaters per jaar waarvoor U>u en R=r

(8.25)

Deze grootheid geeft dus het gemiddeld aantal hoogwaters per whjaar waarvoor op het tijdstip van hoogwater voor de wind geldt U > u en R = r. Volker neemt nu aan dat het aantal stormen per whjaar tijdens welke, op een willekeurig moment, de windsnelheid u wordt overschreden in combinatie met de windrichting r een factor 2 groter is dan de grootheid in (8.25). Deze aanname is dan (8.24). Volker komt tot zijn factor 2 op grond van drie overwegingen. 1. Alleen stormen die optreden rond het tijdstip van astronomisch hoogwater leveren extreme waterstanden, terwijl de stormen rond het tijdstip van astronomisch laagwater geen extreme waterstanden opleveren. Het tijdstip waarop de storm optreedt is statistisch onafhankelijk van het tijdstip van astronomisch hoogwater. 2. Voor de stormduur kan circa 3 à 4 uur worden aangehouden. Ofwel, de hoogste windsnelheden in een storm houden circa 3 à 4 uur aan. 46

In feite geven [Volker, 1987] en [Den Heijer, 1994] geen preciese informatie over de grens tussen de lagere en hogere windsnelheden. Vermoedelijk is de grens bij wat lagere windsnelheden gelegd dan bij T = 10 jaar; omdat het hier slechts gaat om uitleg en niet om zaken die in Hydra-B berekeningen worden gebruikt, is de preciese grens niet relevant. 130

3. Voor de duur van de top van het astronomisch hoogwater kan circa 3 uur worden aangehouden. Ofwel, de maximum waterstand tijdens een getijperiode houdt ongeveer 3 uur aan. Op basis van deze aannames is simpel uit te rekenen dat de kans dat een getijtop en een storm gedurende een getijperiode samenvallen circa 50% bedraagt. Hier dient samenvallen te worden geïnterpreteerd in de zin van het overlappen van de getijtop en de storm. Deze 50% levert dan de factor 2 waar hierboven sprake van was. In [Geerse et al, 2002] wordt deze factor aangeduid als de ‘Volkerfactor’. De door Volker gegeven motivatie van de factor 2 oogt plausibel. Toch bevat die motivatie, naar de mening van schrijver dezes, enkele discutabele punten. Zowiezo leveren iets andere uitgangspunten in punt 2 en 3 een andere factor dan de genoemde factor 2. Daarnaast is het wat merkwaardig om bij het bepalen van een kansverdeling die betrekking heeft op precies één tijdstip, namelijk het hoogwatertijdstip, daarbij de duur van een getijtop te betrekken. Volgens persoonlijke communicatie met Volker heeft dat mede te maken met het feit dat gevaarlijke situaties niet alleen exact op het tijdstip van hoogwater optreden, maar ook in een korte periode daarvoor en daarna, alsmede met het feit dat het tijdstip van hoogwater niet precies hoeft samen te vallen met het tijdstip van astronomisch hoogwater. We zullen nu formule (8.24) interpreteren op een iets andere wijze dan zojuist uitgelegd. Daartoe geven we met de stochast Vtij het maximum van de windsnelheid aan gedurende een getijperiode. Voor hoge windsnelheden kunnen overschrijdingskansen P(Vtij > u|r) van deze stochast in verband worden gebracht, althans in benadering, met de overschrijdingsfrequentie Ψ22.5(u,r). Wanneer getijperioden onafhankelijk kunnen worden verondersteld geldt dan namelijk P (Vtij > u | r ) ≅

Ψ 22.5 (u,r) NP(r)

, u > uT =10, r

(8.26)

Dit kan worden afgeleid met methoden die min of meer standaard zijn, zie bijvoorbeeld paragraaf 4.2 en paragraaf 5.2 uit [Geerse, 1999b] voor meer details. In het licht van (8.24) houdt dit in dat de overschrijdingskansen met betrekking tot U een factor 2 kleiner zijn dan de overschrijdingskansen met betrekking tot Vtij. Omdat voor de hier beschouwde hoge snelheden een factor 2 in overschrijdingskans een verschil in windsnelheid inhoudt van circa 1.3 m/s, volgt dan P (U > u | r ) ≅

1 P (Vtij > u | r ) ≅ P (Vtij > u + 1.3 | r ) 2

, u > uT =10, r

(8.27)

Overigens is de 1.3 m/s in feite afhankelijk van de beschouwde richting r en de beschouwde snelheid u. Uit (8.27) kan het volgende worden geconcludeerd voor de hoge windsnelheden. De marginale verdeling voor de windsnelheid, beschouwd tijdens het hoogwatertijdstip, ligt circa 1.3 m/s verschoven ten opzichte van de marginale verdeling van de maximale windsnelheid in de gehele getijperiode. Wanneer in het model voor de Benedenrivieren zou worden gewerkt met de maximum windsnelheid in een getijperiode, dan zouden de windsnelheden circa 1.3 m/s hoger uitvallen dan wanneer zoals nu wordt gewerkt met de windsnelheid tijdens hoogwater. De ietwat onduidelijke aanname (8.24) van Volker heeft daarmee een concretere betekenis gekregen.47

8.3.4 Volkers marginale windsnelheidsverdeling en het Rijkoort-Weibull model Hierboven werd gesteld, zie de bespreking na (8.23), dat er met betrekking tot de interpretatie van Ψ22.5(u,r) een probleem bestaat. Het hier gesignaleerde probleem is nogal subtiel. De lezer die houdt van ‘de grote lijn in een betoog’ staat het vrij de rest van deze paragraaf over te slaan. De subtiliteit heeft te maken met de manier waarop in het RW-model de overschrijdingsfrequentie wordt uitgesplitst naar de windrichtingen. Dit kan het beste worden toegelicht door deze uitsplitsing te vergelijken met de manier waarop de omnidirectionele Paretoverdeling is uitgesplitst naar de windrichtingen, zie (8.6). Zoals in paragraaf 8.2.2 werd uitgelegd, wordt iedere top die in de Paretoverdeling voorkomt toegekend aan precies één windrichting, zijnde de richting tijdens het maximum van de top, ondanks het feit dat tijdens de volledige top meerdere windrichtingen kunnen voorkomen. Op deze manier levert de sommatie over de windrichtingen precies de Paretoverdeling, zie (8.6). In het RW-model zijn de bijdragen per windrichting anders aangepakt, wat nu zal worden uitgelegd, zie [Rijkoort, 1983; Geerse, 1999]. In het vervolg wordt vooreerst uitgegaan van 30°-sectoren. Het komt er op neer dat bij het 47

Eigenlijk is niet geheel duidelijk wat de kwaliteit is van de benaderingen in (8.26) en (8.27). Op een andere wijze, waar hier niet verder op in wordt gegaan, kan de genoemde conclusie nader worden onderbouwd. 131

beschouwen van een storm boven snelheidsniveau u alle tijdens die storm voorkomende richtingen worden beschouwd. Beschouw als voorbeeld het niveau u = 20 m/s. Neem aan dat dit niveau gedurende 4 uren wordt overschreden, de eerste 2 uren voor r = 240° en de laatste 2 uren voor r = 270°. Deze storm wordt dan zowel voor 240° als voor 270° meegeteld. Het zal duidelijk zijn dat op deze manier de sommatie over de windrichtingen hoger zal uitvallen dan de omnidirectionele verdeling, zodat geldt 12

Ψ (u ) ≤ ∑ Ψ 30 (u , r )

(8.28)

r =1

Om toch een verband te kunnen leggen tussen de Ψ(u) en de Ψ30(u,r) heeft Rijkoort een persistentiecorrectiefactor tussen windrichtingen ingevoerd, welke de waarde 2 heeft. Daarnaast heeft Rijkoort een persistentiefactor tussen seizoenen ingevoerd, welke gelijk is aan 1.2. Voor de extreme windsnelheden is de uitwerking van deze factoren dat het rechterlid van (8.28) een factor 2/1.2 = 1.67 maal zo groot wordt als het linkerlid. Voor u > 24 m/s blijkt in zeer goede benadering te gelden 12

1.67 Ψ (u ) = ∑ Ψ 30 (u, r )

(8.29)

r =1

Het RW-model stelt in feite dat tijdens extreme windsnelheden meerdere richtingen in een storm voorkomen, en wel gemiddeld een aantal van 1.67 richtingssectoren. Formule (8.29) werpt een wat ander licht op de interpretatie van de Ψ22.5(u,r). Volgens (8.23) is de bijdrage voor Ψ22.5(u,r) gelijk aan 3/4 deel van Ψ30(u,r). Echter, wanneer de analyses van het RW-model worden herhaald voor richtingssectoren van 22.5°, zal in plaats van de factor 3/4 een factor resulteren die dichter in de buurt van 1 ligt. Immers, omdat volgens bovenstaande uitleg binnen een storm een vrij uitgebreid scala aan windrichtingen voorkomt, zal een storm die binnen een 30°-sector wordt geregistreerd nagenoeg altijd ook in de corresponderende 22.5°-sector worden geregistreerd. Beschouw als toelichting het volgende voorbeeld. Neem aan dat een storm wordt geregistreerd binnen de sector 270° = [255°, 285°]. De corresponderende 22.5°-sector wordt gevormd door het interval [258.75°, 281.25°]. Stel nu als voorbeeld dat binnen de geregistreerde storm een uurwaarde met de richting 284° voorkomt. Omdat een scala van richtingen voorkomt binnen een storm, zal dan mogelijk ook een uurwaarde met richting tussen 258.75° en 281.25° voorkomen. Er is dus een redelijke kans dat de hier beschouwde storm dus eveneens geregistreerd wordt binnen de 22.5°-sector. In plaats van (8.23) zal dus gelden Ψ 22.5 (u , r = 270) = a Ψ 30 (u, r = 270)

(8.30)

voor een factor a die ligt tussen 3/4 en 1. Voor de overige sectoren zal iets analoogs gelden, zij het dat dan een 22.5°-sector kan bestaan uit twee delen van een 30°-sector, zodat de formulering voor andere sectoren dan 270° iets anders uitpakt dan (8.30). Het is hier relevant op te merken, zie bijvoorbeeld [Verkaik et al, 2003], dat de persistentie-aannames uit het RW-model die leidden tot (8.29) inmiddels onjuist zijn gebleken. Hoe hoger de beschouwde windsnelheid, hoe kleiner het aantal verschillende richtingen per storm blijkt te zijn. De factor 1.67 uit (8.29) blijkt dus af te nemen met toenemende windsnelheid. Voor windsnelheden in de buurt van de 30 m/s zou volgens [Verkaik et al, 2003] de factor 1.67 slechts ongeveer 1.20 moeten bedragen. Voor deze zeer hoge snelheden zal dus veelal in een storm nog slechts sprake zijn van één richting. Voor deze snelheden volgt dan dat de factor a uit (8.30) toch vrij dicht bij 3/4 zal liggen. Samenvattend, op basis van [Verkaik et al, 2003] kan in ieder geval voor de zeer hoge snelheden Volkers aanpak om de gegevens voor 30°-sectoren om te zetten naar die voor 22.5°-sectoren goed gemotiveerd worden. Bovenstaande uitleg maakt duidelijk dat, behalve voor de allerhoogste windsnelheden, Volkers interpretatie van Ψ22.5(u,r), alsmede de omrekening van 30°-sectoren naar 22.5°-sectoren middels een factor 3/4 niet geheel juist is. Dat doet de vraag rijzen of aanname (8.24) wel steekhoudend is. Gelukkig blijkt dat voor deze aanname de omrekeningsproblematiek van 22.5°-sectoren naar 30°-sectoren nauwelijks relevant is, zoals we nu toelichten. Volker heeft volgens (8.23) en (8.24) aangenomen, even afgezien van het feit dat een 22.5°-sector soms uit meerdere 30°-sectoren bestaat, P (U > u | r22.5 ) =

132

1 3 / 4 Ψ 30 (u,r30 ) 2 NP(r22.5 )

(8.31)

Hier is expliciet aangegeven op welke sectorbreedte de beschouwde r betrekking heeft. Nu zal in goede benadering gelden P(r22.5) = 3/4 P(r30). Dan volgt dus 1 Ψ 30 (u,r30 ) 2 NP(r30 )

P (U > u | r22.5 ) ≅

(8.32)

Verder zal gelden, omdat conditionering op r22.5 en conditionering op r30 nagenoeg op hetzelfde neerkomt, dat P(U>u|r22.5) ≅ P(U>u|r30). Formule (8.32) levert dan P (U > u | r30 ) ≅

1 Ψ 30 (u,r30 ) 2 NP(r30 )

(8.33)

Resumerend kan het volgende worden gesteld. Voor de 30°-sectoren heeft Ψ30(u,r30) een eenduidige interpretatie, zoals gegeven door het RW-model. Volkers uitgangspunten, namelijk de drie overwegingen genoemd na (8.25), leveren dan voor dit type sectoren (8.33), welke relatie in benadering gelijk blijkt te zijn aan (8.31), die weer in benadering gelijk blijkt te zijn aan de ten behoeve van de wind-waterstandstatistiek gebruikte aanname (8.24).48

8.4 Bepalen van de nieuwe wind-waterstandstatistiek voor Maasmond In paragraaf 8.2 is uitgelegd hoe de kansdichtheden g(m,r) van de zeewaterstand op basis van RIKZ-gegevens kunnen worden bepaald, terwijl in de voorgaande paragraaf de oude formules uit Volkers windwaterstandstatistiek zijn beschreven. In [Geerse et al, 2002] wordt beschreven hoe Volkers formules kunnen worden aangepast om tot een nieuwe wind-waterstandstatistiek te komen voor Hoek van Holland voor toestandsjaar 1985, waaruit dan door verschuiving van Hoek van Holland naar Maasmond en door medenemen van de zeespiegelrijzing de statistiek ten behoeve van Hydra-B volgt. In de nieuwe situatie zijn de g(m|r) niet langer exponentiële verdelingen zoals bij Volker; de conditionele verdelingen Fd(u|m,r) uit (8.17) houden echter dezelfde vorm als bij Volker, maar dan met andere waarden voor Ar, Br en ρr, zie tabel 8.6. richting r 10 11 12 13 14 15 16

ZW WZW W WNW NW NNW N

kans P(r) [-] 0.095975 0.090882 0.075901 0.057525 0.050834 0.049536 0.047139

Parameters gegeven r, per getij Ar Br [m] [m] 1.227 0.122 1.230 0.169 1.224 0.228 1.195 0.262 0.887 0.326 0.904 0.292 0.873 0.236

ρr [-] 0.506 0.605 0.477 0.613 0.768 0.677 0.356

Mr [-] 1.00 1.00 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67

Tabel 8.6 Aangepaste parameters voor de wind-waterstandstatistiek. (Windkansen ten opzichte van tabel 8.4 heel iets gewijzigd ten gevolge van preciesere normering op 1.00000 van alle windkansen tezamen.)

Uit de kansverdeling voor Hoek van Holland, toestandsjaar 1985, volgt die te Maasmond voor 2006 door g MM ,06 (u,m,r) = g HvH,85 (u , m + cHvH − MM − czee , r) czee = 0.05 m

(8.34)

cHvH − MM = 0.02 m

48

Eigenlijk is het vrij merkwaardig dat de omrekeningsproblematiek van de brede naar de smalle sectoren niet van invloed is op de geldigheid van de aanname (8.24). In feite komt het er op neer dat de redenering die tot deze aanname leidt dermate pragmatisch is dat de preciese details van het probleem niet goed kunnen worden geduid. 133

134

9 Additionele informatie bij de Hydra-B berekening 9.1 Inleiding Dit hoofdstuk behandelt twee soorten gegevens die als aanvulling op het door Hydra-B berekende hydraulische belastingniveau dienen. Het gaat om de zogenaamde uitsplitsingen en om de zogenaamde illustratiepunten. Beide gegevens bieden inzicht in de afvoeren, windrichtingen en de keringsituaties die tijdens een overschrijding van het beschouwde hydraulische belastingniveau optreden. Paragraaf 9.2 handelt over de uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) van niveau h. Losjes gezegd geeft deze uitsplitsing de kansen waarmee tijdens een faalgebeurtenis voor niveau h afvoeren, windrichtingen en de open en dichte keringsituatie optreden. Paragraaf 9.2.1 geeft de precieze definities van de diverse uitsplitsingen en wat globaal commentaar op de berekeningswijze. (Gedetailleerde formules worden in Bijlage 3 gegeven.) Paragraaf 9.2.2 geeft concrete resultaten voor twee riviertakken, namelijk ‘Waal – Noord – Maasmond’ en ‘Waal – Nieuwe Merwede – Haringvliet’. Het betreft dan waterstanden, voor terugkeertijd T = 1250 jaar. Paragraaf 9.3 gaat over de illustratiepunten, ook wel ontwerppunten genoemd. (Deze begrippen worden als synoniemen gebruikt.) Voor iedere richting en keringsituatie is sprake van één illustratiepunt, bestaande uit een combinatie van afvoer, zeewaterstand en windsnelheid, dat ligt op het bij deze richting en keringsituatie behorende isovlak. Losjes gezegd kan dat punt geïnterpreteerd worden als het punt met de maximale kans van voorkomen op dit vlak. Er kleven echter veel haken en ogen aan de definitie van het illustratiepunt – ze komen uitgebreid aan de orde in paragraaf 9.3.1 t/m 9.3.4. Paragraaf 9.3.1 geeft wat voorlopige opmerkingen over de illustratiepunten, terwijl in paragraaf 9.3.2 de precieze berekeningsmethode volgt. Paragraaf 9.3.3 geeft concrete resultaten voor de twee riviertakken ‘Waal – Noord – Maasmond’ en ‘Waal – Nieuwe Merwede – Haringvliet’ waarvoor in paragraaf 9.2.2 reeds de uitsplitsingen werden berekend. Aldus kunnen de illustratiepunten worden vergeleken met de uitsplitsingen. Paragraaf 9.3.4 gaat in op het nut van de uitsplitsingen en illustratiepunten. Daar worden ook nog eens de vele haken en ogen die aan het laatste begrip kleven opgesomd.

9.2 Uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie 9.2.1 Uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie naar afvoerniveau, windrichting en keringsituatie Met Hydra-B kan de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) van het hydraulisch belastingniveau h worden berekend. Vaak bestaat de behoefte aan extra informatie over de afvoeren, windrichtingen en de keringsituatie die tijdens een eventuele overschrijding van niveau h van belang zijn.49 Bijvoorbeeld tijdens toetspeiloverschrijdingen wil men graag weten welke afvoeren met een redelijke kans zullen optreden. Bij een locatie als Tiel is duidelijk dat dan de maatgevende en iets hogere afvoeren van belang zijn, maar bij bijvoorbeeld Sliedrecht en Dordrecht is veel minder duidelijk in hoeverre zulke hoge afvoeren van belang zijn. Daarom bestaat de mogelijkheid in Hydra-B om de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) uit te splitsen naar de afvoer q, windrichting r en keringsituatie Ω. Deze uitsplitsing geeft informatie over de kansen waarmee tijdens een faalgebeurtenis voor niveau h de grootheden q, r en Ω voorkomen. Dan kan bijvoorbeeld voor Dordrecht, zo blijkt uit de Hydra-B-berekening, de uitspraak worden gedaan dat tijdens een overschrijding van het toetspeil de afvoer met een kans van 90% ligt tussen 7500 m3/s en 15500 m3/s. Alvorens deze uitsplitsing nader te omschrijven dient eerst te worden gewezen op het feit dat strikt genomen tijdens een faalgebeurtenis niet kan worden gesproken over dé afvoer, dé windrichting en dé keringsituatie die dan optreedt. We leggen dat nader uit voor de afvoer.

49

Ook informatie over zeewaterstanden en windsnelheden is relevant. Op dit moment bestaan nog geen plannen om de uitsplitsingen naar deze grootheden te implementeren in Hydra-B. De benodigde formules zijn inmiddels wel voorhanden, maar worden in dit rapport niet beschreven. 135

Meestal is het niet mogelijk om tijdens een faalgebeurtenis voor niveau h te spreken over de (ene) afvoer die dan optreedt, om twee redenen: 1. 2.

Tijdens falen varieert de afvoer, zodat geen unieke afvoer aan het proces van falen kan worden toegekend. Uitsluitend in de situatie dat een redelijk extreme stormvloed nodig is voor falen kan redelijkerwijs worden gesproken over één specifieke afvoer tijdens falen. Indien meerdere overschrijdingen van niveau h plaatsvinden tijdens één en dezelfde afvoergolf worden deze overschrijdingen gezamenlijk toch gezien als niet meer dan één maal falen. Tijdens deze verschillende overschrijdingen kunnen (behoorlijk) verschillende afvoeren optreden.

Als toelichting op punt (1) het volgende. Stel dat ten gevolge van een stormvloed een overschrijding optreedt tijdens de voor of achterflank van een afvoergolf. Deze stormvloed leidt in de orde van 12 uur tot de zeer hoge waterstanden waarbij niveau h wordt overschreden. In deze periode van 12 uur kan de Rijnafvoer dan gemakkelijk tot orde 500 m3/s variëren. De faalgebeurtenis kan dus strikt genomen niet aan één specifieke afvoer worden toegekend. Indien de stormvloed tijdens de top van de afvoergolf optreedt zal de afvoer tijdens de overschrijding overigens minder variëren dan de genoemde 500 m3/s. Merk wel op dat hoewel de afvoer tijdens de stormvloed varieert die variatie toch niet bijzonder groot is. Met enige goede wil kan hier zinnig worden gesproken over ‘de afvoer tijdens het falen’. Dus hoewel strikt genomen geen sprake is van een unieke afvoerwaarde zullen we in het vervolg de hier geschetste situatie toch karakteriseren als ‘een stormvloed in combinatie met één afvoerwaarde’. Voor afvoergedomineerde locaties, zoals bijvoorbeeld Tiel, treedt falen op als de top van de afvoergolf boven de 16000 m3/s komt. Gedurende enige tijd wordt dan het niveau 16000 m3/s overschreden. Volgens berekeningen (zie tabel 9.1) kan dat al snel met een bedrag van 1000 á 2000 m3/s zijn. Dus voor afvoergedomineerde locaties kan aan de faalgebeurtenis geen unieke afvoerwaarde worden toegekend, terwijl de variatie van de afvoer tijdens falen zo groot is dat ook niet in benadering sprake zal zijn van één afvoerwaarde. Punt (2) betreft een nog iets fundamenteler probleem dan (1). Wanneer tijdens een afvoergolf meerdere overschrijdingen plaatsvinden kunnen die bij aanzienlijk verschillende afvoeren optreden. Bijvoorbeeld tijdens een afvoergolf met piekwaarde 14000 m3/s treedt een stormvloed op tijdens de top van de golf, terwijl tevens een dag of drie later een stormvloed optreedt op de (neerwaartse) flank van de golf bij een afvoer van 10000 m3/s. Deze overschrijdingen worden als één maal falen gezien, terwijl ze bij duidelijk verschillende afvoeren plaatsvinden. Voor de windrichting geldt hetzelfde als voor de afvoer: bijvoorbeeld nabij Sliedrecht en bovenstrooms daarvan kan het met een redelijke kans voorkomen dat een faalgebeurtenis uit meerdere getijperioden bestaat, met in die perioden verschillende richtingen. Voor de keringsituatie geldt in principe hetzelfde, hoewel de kans dat gedurende meerdere (onafhankelijke) getijperioden achter elkaar de keringen gesloten zullen zijn voor alle locaties in het gebied verwaarloosbaar klein lijkt.50 In de situatie dat minimaal een redelijk extreme stormvloed (of ‘gewone’ storm) vereist is voor falen – waarbij de faalgebeurtenis zich dan binnen één getijperiode afspeelt – kan aan een faalgebeurtenis echter wel één afvoerwaarde, één windrichting en één keringsituatie worden toegekend. De hoofdstukken 5 en 6 maken duidelijk dat deze situatie zich voordoet voor het westelijk deel van het Benedenrivierengebied, namelijk daar waar de Deltamethode praktisch hetzelfde resultaat geeft als Hydra-B. Ter informatie melden we dat voor toetspeilberekeningen in ieder geval benedenstrooms van Dordrecht en benedenstrooms van Hollandsch Diep km 980 op enkele millimeters na de Deltamethode en Hydra-B hetzelfde resultaat geven (overige riviertakken zijn niet onderzocht). Hoewel een faalgebeurtenis voor veel locaties dus samen kan gaan met verschillende q, r en Ω, is er in Hydra-B toch, volgens een zeker ‘berekeningsrecept’, een manier bedacht om iedere faalgebeurtenis voor niveau h te associëren met precies één waarde van q, van r en van Ω. We spreken daarbij van de uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) naar q, r en Ω. Voor de uitsplitsing naar richting geldt dan 16

Ψ H ( h) = ∑ B ( r )

(9.1)

r =1

waarbij B(r) de bijdrage aan ΨH(h) geeft voor richting r. Als bijvoorbeeld B(r) voor r = WNW een bijdrage van 30% aan ΨH(h) levert, kunnen we dat pragmatisch interpreteren door te stellen dat tijdens falen voor niveau h er 50

Tijdens één stormvloed kunnen (in de Sobeksom) de keringen gedurende de complete sluitprocedure eventueel wel twee keer sluiten. De situatie Ω = D voor een getijperiode staat voor de gehele sluitprocedure. De kans die verwaarloosbaar wordt geacht is de kans dat in twee (onafhankelijke) getijperioden in beide gevallen sprake is van een sluitprocedure. 136

30% kans bestaat dat de dan heersende richting WNW zal zijn – het pragmatische zit hier in het feit dat zoals gezegd geen sprake is van een unieke richting tijdens falen. Voor de keringstoestand geldt analoog Ψ H ( h) =

∑

B (Ω )

(9.2)

Ω= O , D

Ook voor de combinatie van richting r en keringstoestand Ω is het mogelijk om te spreken over de bijdrage B(r,Ω): indien bijvoorbeeld B(r = WNW, Ω = D) gelijk is aan 10% van ΨH(h), kan men (pragmatisch) stellen dat tijdens falen voor niveau h er 10% kans bestaat dat dat gebeurt bij dichte keringen met tegelijkertijd richting WNW. Uiteraard geldt dan Ψ H ( h) = ∑ B ( r , Ω)

(9.3)

r ,Ω

Tevens geldt 16

B (Ω ) = ∑ B ( r , Ω )

(9.4)

∑

(9.5)

r =1

B(r ) =

B ( r , Ω)

Ω= O , D

De uitsplitsing naar afvoeren gebeurt niet naar een enkele afvoerwaarde maar naar een interval [q1, q2] van afvoeren. Voor deze uitsplitsing geldt, met B([q1, q2]) de bijdrage aan ΨH(h) geleverd door het interval [q1, q2], Ψ H ( h) =

∑

B ([q1 , q2 ])

(9.6)

alle intervallen

Indien bijvoorbeeld B([q1 = 6000 m3/s, q2 = 7000 m3/s]) gelijk is aan 15% van ΨH(h), kan men (pragmatisch) stellen dat tijdens falen voor niveau h er 15% kans bestaat dat de afvoer dan ligt tussen 6000 en 7000 m3/s. Naast de hiervoor genoemde uitsplitsingen is ook de uitsplitsing naar afvoeren in combinatie met keringsituatie in Hydra-B geïmplementeerd, wat leidt tot bijdragen van de vorm B(([q1, q2], Ω). De sommatie over Ω levert uiteraard B([q1, q2]), terwijl de bijdragen van alle afvoeren bij elkaar opgeteld gelijk zijn aan B(Ω). Het wat ingewikkelde uitsplitsingsrecept waarmee de diverse bijdragen in het huidige Hydra-B (in ieder geval tot en met rekenhart versie 1.8.2) worden berekend wordt beschreven in [Duits et al, 2001] en in hoofdstuk 3 van bijlage 3 uit dit rapport. Hier geven we een globale uitleg. In het recept wordt de bijdrage van een combinatie (q,r,Ω) gewogen met de kans waarmee deze combinatie in een getijperiode optreedt. In het recept staat dus de kansdichtheid die hoort bij een getijperiode centraal. Als bijvoorbeeld de combinaties (q0,r0,Ω0) en (q1,r1,Ω1) beiden tot een overschrijding van niveau h leiden en de in een getijperiode beschouwde kans op (q0,r0,Ω0) is twee keer zo groot als de kans op (q1,r1,Ω1), dan is de bijdrage van de eerste combinatie volgens het recept ook twee maal zo groot als die van de tweede. Merk op dat in het recept geen rekening wordt gehouden met de tijdsduren waarmee de afvoeren q0 en q1 optreden; beide afvoeren worden immers beschouwd gedurende een getijperiode. Wellicht ten overvloede benadrukken we nog eens dat het een pragmatisch recept betreft – principieel gezien is het immers onmogelijk, zoals hiervoor uitgebreid toegelicht, om iedere faalgebeurtenis eenduidig te koppelen aan een combinatie (q,r,Ω). Inmiddels is gebleken dat dit recept voor een relatief klein deel van de locaties in het Benedenrivierengebied onlogische resultaten geeft. Dat is het geval voor locaties waar de afvoer de belangrijkste stochast is, maar waar tevens ook enige invloed van zee merkbaar is; dat is voor toetspeilberekeningen onder meer nabij Sliedrecht en nabij Nieuwe Merwede km 975 het geval. Op dit moment zijn formules voor een beter uitsplitsingsrecept beschikbaar, die worden gegeven in hoofdstuk 7 van bijlage 3. Dat nieuwe recept is nog steeds pragmatisch, omdat zoals gezegd het pricipieel onmogelijk is een ‘juist’ recept te geven, maar het nieuwe recept is aanzienlijk beter doordacht dan het oude. De formules voor het nieuwe recept zullen op termijn in Hydra-B worden geïmplementeerd. In het kort komt dit recept op het volgende neer, waarbij we gemakshalve alleen de afvoer in de uitleg betrekken. Eerst wordt voor een individuele afvoergolf51 met piekwaarde k een uitsplitsing gemaakt van P(F|k) naar de afvoeren q die tijdens de afvoergolf 51

Voor afvoeren lager dan de grenswaarde qg, waarvoor geen afvoergolven beschikbaar zijn, wordt het eerdere recept gebruikt, dat voor deze lage afvoeren altijd goede resultaten geeft. 137

kunnen voorkomen. De bijdrage aan P(F|k) van een interval [q, q+∆q] wordt daarbij ten eerste evenredig genomen aan de getijkans P(Hq>h) en ten tweede aan de tijdsduur waarmee de afvoeren in het interval tijdens de golf voorkomen; deze duur is gelijk aan t1 + t2 in figuur 9.1. Door nu te wegen met de frequentiedichtheid ψ(k) over alle mogelijke afvoergolven wordt de bijdrage van [q, q+∆q] aan ΨH(h) bepaald. In het nieuwe recept worden dus ten eerste individuele afvoergolven in de uitsplitsing betrokken en worden ten tweede de duren waarmee niveaus binnen een golf voorkomen betrokken. In hoofdstuk 7 en 8 van bijlage 3 worden de precieze formules voor het nieuwe recept gegeven, met daarnaast een uitgebreide motivatie.

q+∆q q t1

t2

t

Figuur 9.1 Illustratie van de duur dat afvoeren in het interval [q, q+∆q] voorkomen in de golf met piekwaarde k.

We merken nog op dat het in Hydra-B ook mogelijk is uit te splitsen naar piekafvoeren. Die uitsplitsing wordt beschreven in [Duits et al, 2001] en in hoofdstuk 4 van bijlage 3 uit dit rapport. De essentie van deze uitsplitsing is dat een faalgebeurtenis in feite wordt toegekend aan de ‘gehele’ afvoergolf tijdens welke het falen plaatsvindt. (Wiskundig wordt het falen toegekend aan een piekwaarde, maar deze piekwaarde representeert een gehele golf.) Voor praktijkberekeningen is de uitsplitsing naar piekafvoeren minder relevant dan die naar de zojuist besproken afvoerniveaus. We merken nog op dat het in [Duits et al, 2001] gegeven recept om de bijdragen per piekafvoer verder uit te splitsen naar de keringsituatie soms tot onjuiste resultaten leidt. In hoofdstuk 7 van bijlage 3 wordt een goed doordacht recept gegeven, dat (in ieder geval tot en met rekenhart versie 1.8.2) echter nog niet in Hydra-B is geïmplementeerd.

9.2.2 Voorlopige resultaten voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus Deze paragraaf geeft wat voorlopige resultaten voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus. De resultaten zijn voorlopig, omdat ze met het oude recept (gegeven in hoofdstuk 3 van bijlage 3) zijn berekend, waarvan zojuist al werd opgemerkt dat het voor een deel van de locaties in het Benedenrivierengebied onlogische resultaten geeft. Een aantal locaties op twee riviertakken worden beschouwd, namelijk de takken ‘Waal – Noord – Maasmond’ en ‘Waal – Nieuwe Merwede – Haringvliet’. Ze beginnen beiden bij Tiel; de eerste tak eindigt bij Maasmond en de tweede bij de Haringvlietsluizen. Uitsluitend waterstanden zijn berekend voor Rijndominante locaties, voor een terugkeertijd van T = 1250 jaar. Ondanks dat het voorlopige resultaten betreft, geven ze toch al een goede indruk van het nut van de uitsplitsingen. Deels is al bekend op welke manier de resultaten volgens het nieuwe recept zullen afwijken van de hier gepresenteerde resultaten. De tekst geeft daarover soms commentaar. Figuur 9.2 geeft informatie over de uitsplitsing naar afvoerniveaus tijdens overschrijden van niveau h (zonder uitsplitsing naar keringsituatie, dus open en dicht tezamen). Zo zijn het 5%-percentiel en het 95%-percentiel van de afvoer aangegeven. De knikken in de lijnen corresponderen met de locaties waarvoor de berekeningen zijn gemaakt (zie voor de locaties tabel 9.3). Enigszins pragmatisch mogen die getallen, zoals werd uitgelegd in paragraaf 9.2.1, als volgt worden geïnterpreteerd: indien niveau h wordt overschreden is er 90% kans dat dat gebeurt bij een afvoer die ligt tussen deze beide percentielen. Voor Dordrecht (km 976) is er dus bij overschrijden van niveau h = 2.950 m+NAP een kans van 90% dat dat gebeurt bij een afvoer tussen circa 7500 en 15500 m3/s. Wat in de figuur opvalt is dat de 95%-percentiellijn bij afvoergedomineerde locaties in de buurt van Tiel (km 915) zeer ruim boven de maatgevende afvoer van 16000 m3/s ligt. Verder valt op dat nabij Sliedrecht (km 968) de 95%-lijn een rare piek vertoont met uitzonderlijk hoge afvoeren. Het is inmiddels bekend, zie hoofdstuk 4 en paragraaf 8.1 uit bijlage 3, dat het eerder genoemde nieuwe uitsplitsingsrecept deze piek niet meer vertoont: op basis van de huidige gegevens kan gezegd worden dat het 95%-percentiel volgens het nieuwe recept altijd lager zal zijn dan 20000 m3/s. Ook is bekend dat de percentielen volgens het nieuwe recept bij Tiel dan lager worden: dan daalt het 95%-percentiel met ongeveer 1500 m3/s. Verder wordt in paragraaf 8.4 uit bijlage 3 aangetoond dat het nieuwe recept dezelfde resultaten geeft als het oude voor locaties waar de

138

Deltamethode hetzelfde resultaat geeft als Hydra-B, wat op deze tak in ieder geval benedenstrooms van Dordrecht (tenminste voor T ≥ 1250 jaar) het geval is.

O+D: Rijn, bijdr 95% -perc . O+D: Rijn, bijdr 5% -perc .

100

perc . dic hte keringen

2 000 0

80

1 500 0

60

1 000 0

40

500 0

20

0

pe r ce n tage dich te k e r inge n [%]

afvo e r [m 3/s ]

2 500 0

0 9 10

92 0

9 30

94 0

950

9 60

97 0

98 0

9 90 1 000 10 10 1 02 0 1 030 10 40

k m -r aai Waal - No or d - M aas m ond

Figuur 9.2 Uitsplitsing naar afvoerniveaus voor de tak ‘Waal – Noord – Maasmond’ (open en dichte keringen tezamen). Ook is het percentage dichte keringen aangegen

Is de merkwaardige piek in de 95%-lijn te verklaren? Inderdaad – de reden is dat in het oude uitsplitsingsrecept de kansdichtheid voor een getijperiode wordt gebruikt, zonder rekening te houden met de in werkelijkheid veel langere duur dat hoge afvoeren aanhouden. Zonder dat in detail uit te leggen, lichten we dat globaal toe voor Sliedrecht, waar het 95%-percentiel circa q = 17000 m3/s bedraagt, bij een waterstand h = 3.40 m+NAP. Voor de uitleg is wat informatie over de in paragraaf 5.3 besproken getijkans P(Hq>h) nodig. Voor 17000 m3/s blijkt deze gelijk te zijn aan P(Hq>h) = 0.19. Tijdens een getijperiode is de kans op falen te Sliedrecht, wanneer daar 17000 m3/s optreedt, dus 19%. Voor een lagere afvoer van 16000 m3/s is P(Hq>h) = 0.05 en voor een hogere afvoer van 17500 m3/s is P(Hq>h) = 0.34. De genoemde kansen hebben betrekking op een getijperiode, terwijl dergelijke hoge afvoeren in werkelijkheid altijd deel uitmaken van een complete afvoergolf. Stel eens dat het niveau 16000 m3/s door een afvoergolf wordt overschreden. Het maximum van zo’n afvoergolf zal dan gemiddeld zo’n 1300 m3/s hoger komen dan 16000 m3/s (zie de bespreking van tabel 9.1 hieronder). De duur van zo’n overschrijding duurt volgens tabel 3.1 dan 5 getijperioden. Laten we op basis van deze getallen (wat versimpeld) aannemen dat gedurende 5 getijperioden de getijkans 20% bedraagt. De faalkans P(F|k) tijdens de gehele overschrijding is volgens formule (5.25) dan gelijk aan 1-(1-0.20)5 = 67%. Hoewel de getijkans dus vrij klein is, is de kans P(F|k) toch vrij groot. Deze getallen kunnen aldus worden geïnterpreteerd: een afvoerniveau kan in een getijperiode een vrij lage faalkans opleveren, terwijl dit niveau als onderdeel van een complete afvoergolf toch een hoge faalkans oplevert. Beschouwd als onderdeel van een afvoergolf – de werkelijk optredende situatie – is de afvoer 16000 m3/s dus ‘veel bedreigender’ dan als onderdeel van een getijperiode. Het nieuwe recept gaat uit van afvoergolven in plaats van getijperioden. Dat nieuwe recept kent de bedreigende situaties dus toe aan lagere afvoeren dan het oude, zodat het nieuwe recept tot een lager 95%-percentiel leidt. Terzijde: dichter naar zee toe treedt falen op door een stormvloed, die optreedt binnen een ‘geïsoleerde’ getijperiode; in dat geval blijkt het zoals hiervoor gezegd niet uit te maken of de uitsplitsing met het oude of nieuwe recept wordt berekend. Samenvattend: de percentiellijnen benedenstrooms van Dordrecht zullen volgens het nieuwe recept dezelfde resultaten geven als figuur 9.2, terwijl de percentiellijnen bovenstrooms vanaf ongeveer Sliedrecht lager zullen komen te liggen; de 95%-percentielen zullen zeker altijd lager liggen dan 20000 m3/s.

139

In figuur 9.2 is ook de in paragraaf 9.2.1 besproken bijdrage B(Ω = D) van de dichte keringen aangegeven. Ruwweg in de buurt van Dordrecht is de dichte keringsituatie het meest waarschijnlijk tijdens overschrijden van niveau h, terwijl meer naar het oosten en westen de open situatie van belang is. De abrupte overgang bij km 1026 komt door de Maeslantkering.

O+D: Rijn, bijdr 95% -perc . O+D: Rijn, bijdr 5% -perc .

10 0

perc . dic hte keringen

20 00 0

80

15 00 0

60

10 00 0

40

5 00 0

20

0

pe r ce ntag e dichte k e r in ge n [%]

afvoe r [m 3/s ]

25 00 0

0 91 0

9 20

930

94 0

9 50

960

9 70

980

99 0 1 00 0 10 10 1 02 0 1 03 0 10 40

k m -r aai Waal - Nw .M e r w e d e - Har in gvlie t

Figuur 9.3 Uitsplitsing naar afvoerniveaus voor de tak ‘Waal – Nieuwe Merwede – Haringvlietsluizen’ (open en dichte keringen tezamen). Ook is het percentage dichte keringen aangegeven.

Figuur 9.3 geeft de overeenkomstige resultaten voor de riviertak die loopt van de Waal via de Boven Merwede, Nieuwe Merwede, Hollandsch Diep en het Haringvliet tot aan de Haringvlietsluizen (zie tabel 9.4 voor de doorgerekende locaties). Hierover zijn globaal dezelfde opmerkingen te maken als over de eerste tak. De ‘merkwaardige piek’ in de 95%-lijn ligt bij Nieuwe Merwede km 975. Volgens het nieuwe recept zal deze verdwijnen. In ieder geval benedenstrooms van Hollandsch Diep km 980 (tenminste voor T ≥ 1250 jaar) zullen de percentiellijnen volgens het nieuwe recept dezelfde resultaten geven als in figuur 9.3. Een duidelijk verschil met de eerste tak is dat het percentage voor de dichte keringen naarmate men dichter bij het Haringvliet komt naar de buurt van 100% gaat. Vanaf km 980 tot de Haringvlietsluizen ligt dat tussen de 95% en de 97%. Het Hollandsch Diep en Haringvliet gedragen zich enigszins als Dordrecht, waarvoor het percentage dichte keringen ook vrij hoog ligt, namelijk 63%. Merk verder op dat het percentage dichte keringen op de Nieuwe Merwede van ongeveer 20% naar 95% gaat over een traject van slechts 10 km, namelijk van km 970 tot km 980.

140

afvoerinterval

percentage in

percentages

linkergrens

rechtergrens

klasse

cumulatief

m3/s

m3/s

%

%

16000

17000

53.2

53.2

17000

18000

24.9

78.1

18000

19000

11.7

89.8

19000

20000

5.4

95.2

20000

21000

2.6

97.8

2.2

100.0

>21000

Tabel 9.1 Bijdragen boven 16000 m3/s per interval volgens de werklijn, gegeven dat het niveau 16000 m3/s wordt overschreden.

Voor de geïnteresseerde lezer volgt nog, enigszins losstaand van wat hiervoor werd besproken, wat informatie over de grootte van de piekafvoeren die kunnen optreden in de situatie dat de maatgevende afvoer wordt overschreden. Wellicht denkt de lezer dat indien de waarde 16000 m3/s overschreden wordt, dat in de regel met slechts een klein bedrag zal zijn, bijvoorbeeld iets in de orde van een paar honderd m3/s. Tabel 9.1 laat zien dat het om forse overschrijdingen kan gaan. Uit de tabel blijkt bijvoorbeeld dat indien 16000 m3/s overschreden wordt, 53.2% van de piekafvoeren ligt tussen 16000 en 17000 m3/s. Tevens blijkt de waarde 21000 m3/s door 2.2% van de piekafvoeren te worden overschreden (in de situatie van een fysisch maximum hoeft dat uiteraard niet meer het geval te zijn). Het is betrekkelijk eenvoudig uit te rekenen dat, gegeven dat een afvoer groter dan 16000 m3/s optreedt, de gemiddelde afvoer dan gelijk is aan 16000 + a = 17316 m3/s, waarbij a de coëfficiënt van ln(T) uit de werklijn is die volgt uit (3.1). Wat tabel 9.1 ons leert is dat indien in de toekomst eens de maatgevende afvoer wordt overschreden, dat – afgezien van eventuele fysische maxima – bij fors hogere afvoeren kan gebeuren dan 16000 m3/s.

9.3 Illustratiepunten 9.3.1 Illustratiepunten ofwel ontwerppunten Het resultaat van een Hydra-B berekening, bij opgegeven terugkeertijd T, is een belastingniveau h. Dit niveau kan door verschillende combinaties (q,u,m,r,Ω) bereikt worden. Anders gezegd, op het moment dat juist falen optreedt kan dat gebeuren bij verschillende waarden van q, u, m, r en Ω. Bij een vaste beschouwde combinatie (r,Ω) worden de combinaties (q,u,m) die belastingniveau h opleveren aangeduid als het isovlak van niveau h, zoals werd uitgelegd in paragraaf 4.6. Dit is een (gekromd) oppervlak in een 3-dimensionale ruimte opgespannen door de afvoer, windsnelheid en zeewaterstand. Voor iedere (r,Ω) is sprake van zo’n vlak. Het ontwerppunt (OP), voor de combinatie (r,Ω), wordt gedefinieerd als dát punt op het isovlak waarvoor de kansdichtheid maximaal is. Losjes gezegd: het OP voor de combinatie (r,Ω) is temidden van alle punten (q,u,m) waarvoor juist falen optreedt het punt met de grootste kans van voorkomen. De hier gegeven, en bij veel lezers bekende, definitie van het OP oogt plausibel. Een strikte toepassing van deze definitie op de Hydra-B formules is echter niet mogelijk – de zojuist genoemde kansdichtheid, waarvan het maximum moet worden opgezocht, is namelijk niet voorhanden in Hydra-B! Om aan ΨH(h) te komen wordt in Hydra-B niet simpelweg een kansdichtheid, zeg f(q,u,m), geïntegreerd over het faalgebied. Immers, voor de lage afvoeren wordt de kansdichtheid g(q) van de afvoer gebruikt, met daarnaast in de integrand ook nog eens de getijkans P(Hq > h), terwijl voor de hoge afvoeren een frequentiedichtheid ψ(k) in combinatie met P(F|k) wordt gebruikt (zie desgewenst paragraaf 5.4 voor de formules). De Hydra-B formules zijn niet te herschrijven tot een integratie over een kansdichtheid f(q,u,m) – daarom is het OP in Hydra-B volgens de gebruikelijke definitie niet te bepalen. In paragraaf 9.3.2 wordt toch een manier beschreven waarmee op pragmatische wijze een punt (q,u,m) op het isovlak kan worden gevonden dat als een belangrijke combinatie kan worden aangemerkt op het moment dat juist falen optreedt. In feite worden zelfs twee manieren gegeven. De eerste gaat uit van de kansdichtheid die hoort bij een getijperiode, de tweede gaat uit van dezelfde kansdichtheid, maar dan wel nadat deze op een bepaalde manier is getransformeerd naar een normale verdeling (Rosenblatt-transformatie). Paragraaf 9.3.2 geeft de details.

141

Voor de duidelijkheid merken we op dat iedere Hydra-B berekening ‘zijn eigen’ OP’s heeft voor de respectievelijke combinaties (r,Ω). Wanneer bijvoorbeeld voor een en dezelfde locatie voor het faalmechanisme golfoverslag twee taluds worden doorgerekend, zeg 1 op 3 en 1 op 6, dan heeft elk talud zijn eigen OP’s. Het OP dient in feite, bij gegeven (r,Ω), als hulpmiddel om te bepalen welke combinaties (q,u,m) in de probabilistische berekening het meest relevant zijn, en aan welke combinaties men in de praktijk bij voorkeur moet denken ingeval in de toekomst eens daadwerkelijk falen optreedt. Het OP geeft overigens geen garantie dat indien falen optreedt dat ook inderdaad (nabij) de combinatie gegeven door het OP zal zijn. Er zijn immers oneindig veel combinaties van (q,u,m) die tot falen aanleiding kunnen geven, namelijk alle (q,u,m) op het isovlak van niveau h voor de beschouwde (r,Ω). Voor locaties waarbij een groot deel van de punten op het isovlak een grote kans van voorkomen hebben zal het OP weinig illustratief, of zelfs misleidend zijn. Het hanteren van een OP wekt namelijk de indruk dat slechts met één situatie rekening gehouden dient te worden, terwijl mogelijk combinaties die sterk van het OP afwijken eveneens met een aanzienlijke kans van voorkomen de oorzaak van falen kunnen zijn. De figuren uit paragraaf 9.3.3 zullen de hier genoemde zaken wat concreter maken. Verderop in dit rapport, en ook in sommige andere rapporten over Hydra-B, wordt het OP aangeduid als illustratiepunt (IP). De termen ontwerppunt en illustratiepunt52 worden in de Hydra-B rapporten als synoniemen gebruikt. De bedoeling is eigenlijk dat op termijn de term ontwerppunt zal verdwijnen uit de Hydra-B rapportage, omdat veel lezers gewoon zijn het ontwerppunt slechts te zien als een combinatie van (q,u,m) waarmee op niet-probabilistische wijze diverse dijkberekeningen mogen worden gemaakt, terwijl zo’n gebruik van het door Hydra-B geleverde IP (ofwel OP) niet de bedoeling is. Dat sluit overigens niet uit dat voor bepaalde problemen deze versimpelde aanpak toch voldoende nauwkeurige resultaten oplevert, maar een verdere rechtvaardiging van zo’n versimpelde aanpak is dan geboden.

9.3.2 Methode voor het bepalen van illustratiepunten In Hydra-B worden zoals gezegd niet een maar twee versies van het IP bepaald. We beschrijven nu de eerste versie. Zoals uitgelegd bevatten de Hydra-B formules geen kansdichtheid f(q,u,m) die over een faalgebied geïntegreerd wordt om zo de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) te bepalen, wat betekent dat de gebruikelijke definitie van een IP dan wel OP – zijnde het punt op het isovlak met de maximale kans – niet kan worden toegepast. Het is echter wel zo dat de kansdichtheid g(q,u,m,r,Ω), gerelateerd aan een getijperiode, een prominente rol vervult in de Hydra-B formules. Het is dan plausibel om voor het bepalen van het IP deze kansdichtheid te nemen.53 De procedure om het IP te bepalen voor gegeven richting r en keringsituatie Ω, dat behoort bij terugkeertijd T, is dan als volgt: 1. 2.

Bepaal het hydraulisch belastingniveau h waarvoor ΨH(h) = 1/T. Beschouw voor de combinatie (r,Ω) het isovlak van niveau h, bestaande uit de punten (q,u,m) waarvoor H(q,u,m,r,Ω) = h. Als IP wordt dan het punt (q,u,m) op dit isovlak genomen waarvoor g(q,u,m|r,Ω) maximaal is.

Merk op dat per definitie het IP een punt op het isovlak van niveau h is, omdat de maximalisatieprocedure wordt uitgevoerd over (alleen) het isovlak. Zo kunnen voor alle combinaties (r,Ω) de IP’s worden bepaald. Uit deze IP’s kunnen nog andere relevante grootheden worden afgeleid. Tabel 9.2 geeft een voorbeeld (fictieve getallen) van de uitkomsten die met Hydra-B kunnen worden bepaald. Daarover nu wat opmerkingen. De waterstand is de locale waterstand inclusief dwarsverhang op de betreffende locatie. De Hs, Tp en θ geven de getransformeerde significante golfhoogte, piekperiode en golfrichting aan de teen van de dijk (zie paragraaf 4.4). Indien geen dam en voorland aanwezig zijn, zijn deze respectievelijk gelijk aan de ongetransformeerde Hs en Tp zoals die volgen uit de formules van Bretschneider en aan de beschouwde richting r.54 De laatste twee kolommen geven, absoluut zowel als relatief, de bijdragen aan ΨH(h) van de combinaties (r,Ω); deze bijdragen zijn berekend zoals uiteengezet in paragraaf 9.2. Indien de berekening een Rijnsom betreft (zie paragraaf 4.2), volgt de Maasafvoer uit de 50%-lijn van de Maas, door in deze relatie de Rijnafvoer uit het IP in te vullen. Voor een Maassom volgt uiteraard de Rijnafvoer uit de 50%-lijn van de Maas. 52

In de allereerste (test)rapporten over Hydra-B werd de term illustratiepunt op een andere manier gebruikt dan hier het geval is, namelijk als een combinatie die voor zo’n golfoverslaghoogte zorgt dat deze tezamen met de (apart bij een normterugkeertijd bepaalde) waterstand tot het door Hydra-B berekende belastingniveau leidt. De oude term illustratiepunt is op dit moment vervangen door de term karakteristieke windgolftoeslag. 53 De keuze voor de kansdichtheid g(q,u,m,r,Ω) is bediscussieerd, naast andere zaken, in een drietal brainstormsessies waarvan [Vreugdenhil et al, 2001] verslag doet. Andere keuzes leken niet in aanmerking te komen. De in deze paragraaf beschouwde conditionering op r en Ω kwam in de sessies niet aan de orde. 54 Indien in de toekomst Hs en Tp met SWAN worden berekend in plaats van met Bretschneider, kan de betreffende golfrichting verschillen van r. 142

Naast de IP’s voor de combinaties (r,Ω) spreken we van de twee hoofdillustratiepunten voor de open en dichte situatie. Het hoofdillustratiepunt voor de open situatie is per definitie gelijk aan het IP voor de richting die binnen de combinaties (r,Ω = O) de grootste bijdrage heeft; het hoofdillustratiepunt voor de dichte situatie is analoog gedefinieerd. Deze hoofdillustratiepunten zijn eveneens aangegeven in tabel 9.2. Open keringen r

m

q Rijn

q Maas

u

waterstand

H_s

T_p

golfricht. θ

ov.freq

ov.freq

m + NAP

m3/s

m3/s

m/s

m + NAP

m

s

graden

*0.001/whj

%

NNO

…

…

…

…

…

…

…

…

0

0

NO

…

…

…

…

…

…

…

…

0

0

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

0

0

ZW

3.0

13000

2800

30

3.3

0.85

4.1

233

0.005

1

WZW

3.5

6000

1160

29

3.4

0.80

4.0

253

0.015

3

W

4.0

3200

500

28

3.5

0.74

3.9

270

0.100

20

WNW

3.9

3100

475

28

3.6

0.72

3.8

289

0.040

8

NW

3.8

2600

360

29

3.5

0.76

3.9

309

0.015

3

NNW

…

…

…

…

…

…

…

…

0

0

N

…

…

…

…

…

…

…

…

0

0

som:

0.175

35

Dichte keringen r

m

q Rijn

q Maas

u

waterstand

H_s

T_p

golfricht. θ

ov.freq

ov.freq

m + NAP

m3/s

m3/s

m/s

m + NAP

m

s

graden

*0.001/whj

%

NNO

…

…

…

…

…

…

…

0

0

NO

…

…

…

…

…

…

…

0

0

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

ZW

2.5

15000

3270

18

4.1

0.45

3.0

230

0

0

0.015

3

WZW

2.7

14000

3035

22

3.8

0.60

3.5

W

2.8

12000

2565

21

3.8

0.58

3.4

251

0.050

10

270

0.080

WNW

3.0

10000

2095

21

3.9

0.57

16

3.4

291

0.150

30

312

NW

2.9

11000

2330

20

4.0

0.55

3.3

0.025

5

NNW

…

…

…

…

…

…

…

0.005

1

N

…

…

…

…

…

…

…

0

0

0.325

65

som:

Hoofdillustratiepunt open keringen (bijdrage aan ov.freq. 35 %) windrichting r = W (bijdrage aan ov.freq 20 %) zeewaterstand Maasmond m = 4.0 m+NAP Rijnafvoer q = 3200 m3/s Maasafvoer q = 500 m3/s windsnelheid u = 28 m/s locale waterstand hloc = 3.5 m+NAP significante golfhoogte Hs = 0.74 m (teen van de dijk) piekperiode Tp = 3.9 s (teen van de dijk) golfrichting θ = 270 graden (teen van de dijk) Hoofdillustratiepunt dichte keringen (bijdrage aan ov.freq. 65 %) windrichting r = WNW (bijdrage aan ov.freq 30 %) zeewaterstand Maasmond m = 3.0 m+NAP Rijnafvoer q = 10000 m3/s Maasafvoer q = 2095 m3/s windsnelheid u = 21 m/s locale waterstand hloc = 3.9 m+NAP (teen van de dijk) significante golfhoogte Hs = 0.57 m piekperiode Tp = 3.4 s (teen van de dijk) golfrichting θ = 291 graden (teen van de dijk) Tabel 9.2 Illustratiepunten per richting en keringsituatie, met daarnaast aangegeven de hoofdillustratiepunten (fictieve getallen).

143

De tweede in Hydra-B geïmplementeerde versie van een IP bestaat er uit dat niet het maximum wordt gezocht van de kansdichtheid g(q,u,m|r,Ω), maar van de kansdichtheid die hieruit ontstaat nadat deze is getransformeerd met de zogenaamde Rosenblatt-transformatie. Voor een uitgebreide uitleg van deze transformatie en voor een motivatie van het toepassen daarvan verwijzen we naar [Geerse, 1999]; hier geven we kort de belangrijkste zaken weer. In de Rosenblatt-transformatie worden de variabelen q, u en m getransformeerd naar onafhankelijke, standaardnormale verdelingen. Een voordeel van het dan gevonden IP ingeval de kansdichtheid g(q,u,m|r,Ω) onregelmatigheden of knikken vertoont, is dat het veel robuuster is dan het IP exclusief transformatie. Zulke onregelmatigheden kunnen het gevolg zijn van op niet geheel nette wijze afgeleide kansverdelingen.55 Daarnaast geeft het IP inclusief transformatie een meer natuurlijk zwaartepunt van de kansverdeling op het isovlak. Deze twee punten lichten we toe voor een sterk versimpelde situatie, namelijk voor een kansdichtheid van slechts één variabele, zonder daarbij isovlakken te betrekken. In figuur 9.4 is een kansdichtheid gegeven met een scherpe piek. Omdat ter plaatse van deze piek het maximum optreedt wordt het IP exclusief transformatie dan gegeven door het punt X. Na transformatie naar een standaardnormale verdeling komt het maximum van de getransformeerde kansdichtheid bij de waarde 0 te liggen, die na terugtransformeren bij de mediaan van de oorspronkelijke kansdichtheid komt te liggen. Bij het toepassen van de normale transformatie komt in dit voorbeeld het IP dus bij de mediaan te liggen in plaats van bij X, wat (naar de mening van schrijver dezes) een meer natuurlijke waarde vormt dan de piek die ondanks zijn hoogte weinig kansinhoud heeft. Het voorbeeld is nogal simpel, omdat naast het beschouwen van maar één variabele ook geen isovlak wordt beschouwd, maar het idee bij het beschouwen van de getransformeerde g(q,u,m|r,Ω) op een isovlak blijft hetzelfde.

mediaan

X

Figuur 9.4 Toelichting van het nut van de normale transformatie om het IP te bepalen.

De procedure om het IP inclusief transformatie te bepalen voor richting r en keringsituatie Ω, dat behoort bij terugkeertijd T, is in principe als volgt. 1. 2.

3. 4.

Bepaal het hydraulisch belastingniveau h waarvoor ΨH(h) = 1/T. Transformeer de variabelen q, m en u naar onafhankelijke standaardnormale variabelen x, y en z volgens de Rosenblatt-transformatie, uitgaande van de kansdichtheid g(q,u,m|r,Ω), waarbij eerst q wordt getransformeerd, dan m en dan u. Onder deze transformatie gaat het isovlak van niveau h in de (q,u,m)-ruimte over in een getransformeerd isovlak in de (x,y,z)-ruimte. De precieze transformatie wordt gegeven door (9.9). Zoek op het getransformeerde isovlak het punt (x0, y0, z0) met de kleinste afstand tot de oorsprong; dat is namelijk het punt waarvoor de getransformeerde kansdichtheid zijn maximum aanneemt. Transformeer het punt (x0, y0, z0) met de inverse Rosenblatt-transformatie terug naar het punt (q0, u0, m0) dat ligt op het oorspronkelijke isovlak, welk punt dan het gezochte IP vormt voor de beschouwde (r,Ω).

De implementatie van deze procedure is in Hydra-B zodanig uitgevoerd dat de inverse transformatie uit punt (4) overbodig is. We geven een korte beschrijving van het in Hydra-B toegepaste algoritme voor alleen de variabelen m en u, in welk geval sprake is van een isolijn in plaats van een isovlak. De isolijn is dan van de vorm H (u, m, r , Ω) = h 55

(9.7)

Zo vertoont de in het programma Hydra-M gebruikte momentane kansdichtheid voor het IJsselmeerpeil een merkwaardige (en niet realistische) piek bij circa 0.25 m+NAP, die het gevolg is van het op elkaar aansluiten van twee verschillende fits aan de data. 144

De Rosenblatt-transformatie heeft de vorm x = x(m, r , Ω) = Φ −1 ( F (m | r , Ω) ) y = y (u , m, r , Ω) = Φ −1 ( F (u | m, r , Ω) )

(9.8)

Hierin stelt Φ-1 de inverse van de cumulatieve standaardnormale verdelingsfunctie Φ voor. Verder geeft F(m|r,Ω) de cumulatieve verdelingsfunctie van M aan, gegeven r en Ω, terwijl F(u|m,r,Ω) de conditionele cumulatieve verdelingsfunctie van U aangeeft, gegeven m, r en Ω. Kies nu een aantal van I punten op de isolijn (9.7), waarbij I zo groot is dat de isolijn voldoende nauwkeurig wordt gediscretiseerd. Deze punten zijn van de vorm (ui, mi), i = 1, 2,..., I., zie figuur 9.5-a ter illustratie. Elk van deze punten gaat volgens de transformatie (9.8) over in een punt (xi, yi), i = 1, 2,..., I, in het getransformeerde vlak, zie figuur 9.5-b. Wanneer we nu i laten lopen van 1 t/m I, wandelen we bij wijze van spreken in het (u,m)vlak over de (originele) isolijn, terwijl we in het (x,y)-vlak over de getransformeerde isolijn wandelen. Het punt in het (x,y)-vlak met de hoogste kans is het punt met de kleinste afstand tot de oorsprong, dus het punt (xi, yi) waarvoor xi2 + yi2 minimaal is. Zeg dat dat voor i = i0 het geval is. Dan wordt het gevraagde IP gegeven door (ui0, mi0).

4.5 zeewaterstand m [m + NAP]

4 3.5 3 2.5 (u_i, m_i)

2 1.5 1 0.5 0 0

10

20

30

40

w indsnelheid u [m /s]

Figuur 9.5-a De isolijn met de punten (ui, mi). 4 3

variabele y

2

(x_i, y_i)

1 0 -10

-5

-1

0

5

10

15

20

-2 -3 -4 variabele x

Figuur 9.5-b De getransformeerde isolijn met de punten (xi, yi).

145

De volgorde waarin de Rosenblatt-transformatie wordt uitgevoerd is van belang. In Hydra-B is deze als volgt genomen: x = x ( q , r , Ω ) = Φ −1 ( F ( q | r , Ω ) ) y = y (m, q, r , Ω) = Φ −1 ( F (m | q, r , Ω) ) z = z (u, m, q, r , Ω) = Φ

−1

(9.9)

( F (u | m, q, r , Ω) )

In principe mag de conditionering op q in de laatste twee formules achterwege worden gelaten, omdat de afvoer in Hydra-B onafhankelijk is met de zeewaterstand, windsnelheid en windrichting. In feite geldt dus y = y(m,r,Ω) en z = z(u,m,r,Ω). De implementatie van de Rosenblatt-transformatie is in Hydra-B echter zo uitgevoerd dat deze – dat wil zeggen de module waarin de transformatie wordt uitgevoerd – bij gegeven richting ook van toepassing is op gecorreleerde stochasten Q, M en U. We merken op dat tot en met Hydra-B rekenhart versie 1.7.4 beide soorten IP’s werden bepaald uitgaande van g(q,u,m|r) in plaats van g(q,u,m|r,Ω). In eerste instantie werd bij het bepalen van een IP dus alleen op de richting geconditioneerd en niet op de combinatie van richting en keringsituatie. Omdat een IP steeds voor een gegeven combinatie van richting en keringsituatie wordt bepaald, is de nieuwe aanpak uiteraard veel plausibeler. De nieuwe aanpak blijkt ook overtuigender resultaten te geven dan de oude, hoewel dat hier niet nader geïllustreerd zal worden. Het is niet zo dat de ene aanpak zonder meer ‘fout’ is en de andere ‘goed’. De manier waarop een IP wordt bepaald is zowiezo pragmatisch, wat ook wel duidelijk wordt uit het feit dat een IP zowel met als zonder Rosenblatt-transformatie kan worden bepaald. Naast de Rosenblatt-transformatie zouden ook andere transformaties gebruikt kunnen worden, met weer andere IP’s tot gevolg. Het eigenlijke probleem is dat een combinatie die gevonden wordt door het maximum van een al dan niet getransformeerde kansdichtheid weinig realiteitswaarde heeft – dat maximum is immers afhankelijk van de gebruikte transformatie – en dus ook geen ‘robuuste’ grootheid vormt. Wel is het zo dat de ene definitie plausibeler is dan de andere, maar de keuze voor een definitie is een subjectieve kwestie. Naar de mening van schrijver dezes is het conditioneren op de combinatie (r,Ω) zeker te verkiezen boven het conditioneren op alleen r en geven de IP’s inclusief Rosenblatttransformatie plausibeler resultaten dan de IP’s exclusief transformatie.

9.3.3 Voorlopige resultaten voor illustratiepunten In deze paragraaf worden voor de twee al eerder aan de orde gekomen riviertakken resultaten voor de hoofdillustratiepunten gegeven. Het betreft dus IP’s voor de open en dichte keringsituatie voor de richtingen die het meeste bijdragen. De resultaten zijn voorlopig om twee redenen: 1. 2.

Ze zijn berekend met het oude uitsplitsingsrecept dat op termijn vervangen zal worden door het nieuwe recept. Bij gegeven keringstoestand zou volgens het nieuwe recept een andere richting het meest kunnen gaan bijdragen, waardoor het hoofdillustratiepunt bij een andere richting komt te liggen. Het aan het eind van paragraaf 9.2.2 genoemde gebruik van g(q,u,m|r,Ω) in plaats van g(q,u,m|r) in de Hydra-B berekening van het IP is vrij recent doorgevoerd. De nieuwe code is nog niet helemaal uitgetest.

De indruk is dat de definitieve resultaten voor wat betreft punt (1) niet veel anders zullen zijn. Wat punt (2) betreft is niet helemaal uitgesloten dat met name in de situatie dat een combinatie (r,Ω) een zeer kleine bijdrage heeft aan de overschrijdingsfrequentie, de resultaten in de toekomst (wanneer alle nieuwe code is geïmplementeerd en getest) wat anders zullen zijn. Het vermoeden van schrijver dezes is dat de nu volgende resultaten grotendeels hetzelfde zullen zijn. De resultaten hebben betrekking op de in paragraaf 9.2.2 genoemde riviertakken. Het betreft net als voor de hiervoor gegeven uitsplitsingen steeds waterstanden, voor Rijndominante locaties, voor een terugkeertijd van T = 1250 jaar. We bespreken eerst de tak ‘Waal – Noord – Maasmond’, die verder zal worden aangeduid als ‘tak 1’. De resultaten voor de hoofdillustratiepunten, verder meestal kortweg aangeduid als illustratiepunten of IP’s, staan in tabel 9.3 (alleen de IP’s inclusief transformatie zijn gegeven). De tabel laat zien welke locaties op de riviertak zijn doorgerekend.

146

ILLUSTRATIEPUNTEN INCLUSIEF ROSENBLATT TRANSFORMATIE T = 1250 jaar nr

rivier

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

wat.stand percentage m+NAP %

richting r

Waterstanden v1.4.1 (RVW-boek) IP's en perc. O/D v1.7.5 Percentielen 5% en 95% v1.6 bijdrage r Maasmond Rijnafvoer % m+NAP m3/s

km-raai km

plaats

windsn. m/s

IP OPEN Waal Bov.Merwede Nw.Merwede Ben.Merwede Ben.Merwede Ben.Merwede, MSW Noord Nw.Maas Nw.Maas, MSW Nw.Maas Nw.Waterweg Nw.Waterweg Nw.Waterweg Nw.Waterweg, MSW Maasmond, MSW

915 955 961 962 968 976 982 994 999 1011 1019 1026 1027 1030 1035

Tiel Gorinchem Splitsing Merwedes Boven Hardinckxveld Sliedrecht Dordrecht Alblasserdam Krimpen ad IJssel Rotterdam Vlaardingen Maassluis SVK binnen SVK buiten Hoek van Holland Maasmond

11.390 5.743 4.464 4.320 3.400 2.950 3.010 3.151 3.306 3.137 3.104 3.175 4.467 4.432 4.357

98.4 98.1 97.4 97.0 85.0 36.8 60.5 89.9 98.0 96.4 99.1 99.7 0.0 0.1 0.1

ZZW ZW WZW WZW W WNW WNW WNW NW NW NW NW NW NW NW

10.0 10.5 11.0 11.3 13.1 11.6 19.4 29.3 31.8 39.8 40.9 41.9 0.0 0.1 0.1

1.47 1.52 1.51 1.54 1.76 2.72 2.69 2.89 3.28 3.29 3.29 3.29 4.47 4.37 4.37

15985 15928 15938 15933 15907 10000 9800 7876 2250 1860 1720 1580 14500 14500 14500

10.0 11.0 11.0 11.0 12.0 18.0 18.0 19.0 22.0 21.0 21.0 21.0 29.0 28.0 28.0

IP DICHT Waal Bov.Merwede Nw.Merwede Ben.Merwede Ben.Merwede Ben.Merwede, MSW Noord Nw.Maas Nw.Maas, MSW Nw.Maas Nw.Waterweg Nw.Waterweg Nw.Waterweg Nw.Waterweg, MSW Maasmond, MSW

915 955 961 962 968 976 982 994 999 1011 1019 1026 1027 1030 1035

Tiel Gorinchem Splitsing Merwedes Boven Hardinckxveld Sliedrecht Dordrecht Alblasserdam Krimpen ad IJssel Rotterdam Vlaardingen Maassluis SVK binnen SVK buiten Hoek van Holland Maasmond

11.390 5.743 4.464 4.320 3.400 2.950 3.010 3.151 3.306 3.137 3.104 3.175 4.467 4.432 4.357

1.6 1.9 2.6 3.0 15.0 63.2 39.5 10.1 2.0 3.6 0.9 0.3 100.0 99.9 99.9

W W W WNW WNW NW NW NW NW NW NW NW NW NW NW

0.5 0.6 0.8 0.9 4.7 21.6 14.1 4.4 2.0 1.8 0.5 0.2 57.6 57.8 58.4

2.30 2.39 2.40 2.50 3.31 3.35 3.45 3.76 4.00 3.99 4.18 4.35 4.40 4.37 4.37

15829 15200 14703 14549 9400 8000 8000 8000 9102 8000 9500 10000 2200 2200 2200

16.0 17.0 17.0 17.0 23.7 22.0 22.0 24.0 26.0 26.0 27.0 28.0 28.0 28.0 28.0

Tabel 9.3 Resultaten voor het illustratiepunt inclusief transformatie voor T = 1250 jaar voor tak 1. (N.B. De waterstand is overgenomen uit [Duits et al, 2001]; Hydra-B versie 1.6 geeft soms 0.001 m verschil met deze uitkomsten.)

Neem als uitleg van de tabel Dordrecht als voorbeeld. Met Hydra-B wordt voor T = 1250 jaar een waterstand berekend van h = 2.950 m+NAP. Tijdens een overschrijding van niveau h is er een kans van 36.8 % dat dat gebeurt in een situatie waar de keringen (in Nieuwe Waterweg en Hartelkanaal) open staan en een kans van 63.2 % dat de keringen gesloten zijn. Indien de overschrijding van niveau h plaats vindt bij open keringen, is de kans het grootst dat de dan heersende windrichting WNW is. De kans tijdens een overschrijding op de combinatie van open keringen en WNW blijkt gelijk te zijn aan 11.6 %. Het IP voor de open keringsituatie (bijdrage 36.8 %) is gelijk aan: Rijnafvoer Lobith Zeewaterstand Maasmond Windrichting (bijdrage 11.6 %) Windsnelheid

q = 10000 m = 2.72 r = WNW u = 18.0

m3/s m+NAP m/s

Op dezelfde wijze kan worden afgelezen dat voor de dichte keringsituatie (bijdrage 63.2 %) het IP gelijk is aan: Rijnafvoer Lobith Zeewaterstand Maasmond Windrichting (bijdrage 21.6 %) Windsnelheid

q = 8000 m = 3.35 r = NW u = 22.0

m3/s m+NAP m/s

Beide IP’s leiden tot een waterstand van h = 2.950 m+NAP – de IP’s liggen immers per definitie op de respectievelijke isolijnen voor dit niveau voor de open en dichte situatie. We merken op dat de gegevens in onderstaande tabellen en figuren zijn berekend met zekere keuzes voor de discretisaties (stapgroottes) van de betreffende stochasten. Sommige uitkomsten zijn daardoor niet altijd even nauwkeurig – dat verklaart ook waarom de afvoeren en windsnelheden hier afgeronde getallen zijn (geen

147

decimalen en in dit geval afvoeren die veelvouden van 1000 zijn).56 Deze onnauwkeurigheden zijn het grootst in de grootheden die ‘het minst relevant zijn’ voor de berekende waterstand. Zo is bijvoorbeeld voor Tiel de nauwkeurigheid voor de zeewaterstand en de windsnelheid beperkt. Vanwege deze numerieke onnauwkeurigheden ligt een IP niet altijd helemaal exact op de isolijn, hoewel dat (per definitie) wel zou moeten. Verder melden we dat de afvoer, zeewaterstand en windsnelheid uit een IP om implementatietechnische redenen nooit groter kunnen zijn dan de grootst doorgerekende waarden uit de Sobeksommen. Volgens tabel 4.5 zijn deze grootheden dan respectievelijk nooit groter dan 18000 m3/s, 6.0 m+NAP en 42 m/s. Relevant is ook dat slechts een eindig aantal Sobeksommen is doorgerekend. De lineaire interpolaties daartussen geven ‘knikken’ op de isolijnen en -vlakken, die ook onnauwkeurigheden in de IP’s kunnen geven. Nu zullen de figuren 9.6 t/m 9.9 worden besproken. Figuur 9.6 geeft het verloop van de afvoer en de zeewaterstand gaande van oost (Tiel) naar west (Maasmond), voor het IP in de open situatie. Zowel het IP met als zonder transformatie is aangegeven. Van Tiel (km 915) tot Boven Hardinxveld (km 962) geven beide IP’s een afvoer van ruwweg 16000 m3/s. Te Sliedrecht (km 968) geeft het IP exclusief transformatie een afvoer van circa 17000 m3/s – in feite vertoont dit IP een onverwacht ‘hobbeltje’. Dat doet sterk denken aan de merkwaardige piek in de 95%-percentiellijn (zie figuur 9.2) die daar ter plaatse in de uitsplitsingen werd aangetroffen. Figuur 9.8 laat de IP-afvoer exclusief transformatie met deze percentiellijn zien: de piek en het hobbeltje treden duidelijk tezamen op. In paragraaf 9.2.2 werd uitgelegd dat de piek in de 95%-lijn geen reële betekenis heeft, maar het gevolg is van het (pragmatisch) gebruik van de bij een getijperiode horende kansdichtheid g(q,u,m,r,Ω) in de berekening van de uitsplitsingen. In het veel betere nieuwe uitsplitsingsrecept wordt de uitsplitsing gebaseerd op de in werkelijkheid optredende afvoergolven, die langer duren dan een getijperiode. Waar het gebruik van een getijperiode voor de uitsplitsing voor sommige locaties onlogische resultaten geeft, mag ook verwacht worden dat het gebruik van deze periode in het bepalen van het IP voor sommige locaties onlogische resultaten kan geven. Naar de mening van schrijver dezes moet aan het hobbeltje in het IP exclusief transformatie geen betekenis worden toegekend – het is slechts het gevolg van de pragmatische keuze de berekening van het IP te baseren op de kansdichtheid die hoort bij een getijperiode. Merk verder op dat het IP inclusief transformatie een logischer, en regelmatiger, verloop laat zien dan het IP exclusief transformatie, ondanks dat ook het eerste IP gebaseerd is op de kansdichtheid die hoort bij een getijperiode. Tussen Sliedrecht en Dordrecht (km 976) daalt de afvoer voor beide IP’s vrij abrupt tot circa 10000 m3/s, om daarna verder te dalen tot om en nabij de gemiddelde afvoer ter plaatse van Rotterdam (km 999). Tussen Rotterdam en de Maeslantkering (km 1027) wordt ongeveer de gemiddelde afvoer gevonden. Verassend is dat voorbij de kering voor het IP inclusief transformatie een afvoer van bijna 15000 m3/s wordt aangetroffen, waar (ongeveer) de gemiddelde afvoer moet worden verwacht. De situatie van open keringen is hier echter praktisch irrelevant. De kans op open keringen benedenstrooms van de Maeslantkering is volgens de tabel namelijk gelijk aan slechts 0.1%. Voor de hier beschouwde terugkeertijd T = 1250 jaar komt bij falen de open situatie dus slechts eens in de 1250000 jaar voor. Vermoedelijk heeft de hoge afvoer uit het IP inclusief transformatie te maken met numerieke onnauwkeurigheden in de IP-berekening, die mogelijk het gevolg zijn van de zeer kleine kans waarmee de open situatie optreedt. De Hydra-B code zal in de toekomst op dit punt nader worden onderzocht. Het verloop van de zeewaterstand in figuur 9.6 is ‘tegengesteld’ aan het verloop van de afvoer. Dat wordt ook verwacht. Immers, ver van de kust zijn hoge afvoeren in combinatie met lage zeewaterstanden bedreigend, terwijl dicht bij de kust juist hoge zeewaterstanden in combinatie met lage afvoeren bedreigend zijn. Figuur 9.7 geeft dezelfde informatie als figuur 9.6, maar dan voor de dichte situatie. Bovenstrooms van Sliedrecht vertoont de afvoer globaal hetzelfde beeld als voor de open situatie. Echter, de abrupte daling van de afvoer vindt nu ruim 5 kilometer oostelijker plaats. Na de daling blijft de afvoer tot de Maeslantkering ‘hangen’ op ongeveer 8000 m3/s á 10000 m3/s. Vanaf de kering wordt ongeveer de gemiddelde afvoer gevonden. De zeewaterstand verloopt weer tegengesteld aan het afvoerverloop, met dien verstande dat ver landinwaarts een hogere zeestand wordt gevonden dan bij de open situatie, namelijk 2.3 m+NAP versus 1.4 m+NAP. Een waarde van ongeveer 2.3 m+NAP moet ook worden verwacht. Bij de afvoeren van 15000 m3/s á 16000 m3/s waar het hier om gaat sluit de Maeslantkering namelijk bij deze zeewaterstand. Omdat de gegevens uit figuur 9.7 conditioneel op de dichte situatie gelden, moet de zeewaterstand dan ongeveer gelijk zijn aan de genoemde 2.3 m+NAP. (Deze waarde hoeft niet exact te worden gevonden, omdat de voorspellingen waarop de keringen worden gesloten ook enige invloed hebben op de uitkomst van het IP.)

56

Relevant ook dat slechts een eindig aantal Sobeksommen is doorgerekend. De lineaire interpolaties daartussen geven ‘knikken’ op de isolijnen en -vlakken, die onnauwkeurigheden in de IP’s kunnen geven. 148

Open: IP Rijn, ex Rosenbl. Open: IP Rijn, incl Rosenbl. Open: IP Maasmond, ex Rosenbl.

25000

5

20000

4

15000

3

10000

2

5000

1

0

zeewaterstand [m+NAP]

afvoer [m3/s]

Open: IP Maasmond, incl Rosenbl.

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990 1000 1010 1020 1030 1040

km -raai Waal - Noord - Maasm ond

Figuur 9.6 Illustratiepunten inclusief en exclusief transformatie voor riviertak 1, situatie van open keringen.

Dicht: IP Rijn, ex Rosenbl. Dicht: IP Rijn, incl Rosenbl. Dicht: IP Maasmond, ex Rosenbl.

25000

5

20000

4

15000

3

10000

2

5000

1

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990

zeewaterstand [m+NAP]

afvoer [m3/s]

Dicht: IP Maasmond, incl Rosenbl.

0 1000 1010 1020 1030 1040

km -raai Waal - Noord - Maasm ond

Figuur 9.7 Illustratiepunten inclusief en exclusief transformatie voor riviertak 1, situatie van dichte keringen.

149

Open: IP Rijn, ex Rosenbl.

25000

Open: IP Rijn, incl Rosenbl. Open: Rijn, bijdr 95%-perc.

20000

afvoer [m3/s]

Open: Rijn, bijdr 5%-perc.

15000

10000

5000

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990 1000 1010 1020 1030 1040

km -raai Waal - Noord - Maasm ond

Figuur 9.8 Afvoergegevens tak 1 voor de situatie van de open keringen.

Dicht: IP Rijn, ex Rosenbl. 25000

Dicht: IP Rijn, incl Rosenbl. Dicht: Rijn, bijdr 95%-perc.

20000

afvoer [m3/s]

Dicht: Rijn, bijdr 5%-perc.

15000

10000

5000

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990

1000

km -raai Waal - Noord - Maasm ond

Figuur 9.9 Afvoergegevens tak 1 voor de situatie van de dichte keringen.

150

1010

1020

1030

1040

In figuur 9.2 werden voor tak 1 de 5%- en 95%-percentiellijnen gegeven voor de open en dichte situatie tezamen, zoals die volgden door de overschrijdingsfrequentie uit te splitsen naar afvoerniveaus. Deze lijnen kunnen ook voor de open en dichte situatie apart berekend worden. Die lijnen zijn weergegeven in de figuren 9.8 en 9.9, samen met de IP’s inclusief transformatie die hier ter vergelijking eveneens zijn weergegeven. Als voorbeeld voor de interpretatie van de percentiellijnen nemen we Sliedrecht (km 968) voor de open situatie. De percentielen bedragen dan 14000 m3/s en 21000 m3/s.57 Pragmatisch mogen deze getallen worden geïnterpreteerd door te stellen: in die gevallen dat tijdens falen sprake is van de open keringsituatie, zal de afvoer tijdens falen met 90% kans liggen tussen 14000 m3/s en 21000 m3/s. Afgezien van de hoge afvoeren benedenstrooms van de Maeslantkering, die zoals hiervoor opgemerkt waarschijnlijk onjuist berekend zijn, liggen de afvoeren uit het IP grotendeels tussen de percentiellijnen. Het is niet gezegd dat de afvoer uit het IP min of meer ‘halverwege’ de percentiellijnen zou moeten liggen! We noemen, zonder in detail te treden, twee redenen: 1. 2.

Een IP correspondeert met een gebeurtenis waarbij juist falen optreedt – een afvoer uit de uitsplitsing betreft falen in het algemeen. De tweede manier van falen geldt dus díe situaties waarbij het beschouwde faalniveau daadwerkelijk overschreden wordt. Bij het bepalen van het IP worden de kansen op individuele combinaties (q,u,m) vergeleken. Bij het bepalen van een afvoerpercentiel q worden oneindig veel waarden van u en m in de berekening betrokken, namelijk ál die waarden van u en m die voor de beschouwde q tot falen leiden.

In feite hangen deze punten nauw met elkaar samen. Het eerste punt maakt echter plausibel dat de afvoer uit het IP vaak ‘aan de onderkant’ van de percentiellijnen ligt, of zelfs daaronder.

ILLUSTRATIEPUNTEN INCLUSIEF ROSENBLATT TRANSFORMATIE T = 1250 jaar nr

rivier

km-raai km

plaats

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

IP OPEN Waal Bov.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Holl.Diep Holl.Diep Haringvliet Haringvliet Haringvliet

915 955 961 969 971 973 975 980 990 1003 1019 1029

Tiel Gorinchem Splitsing Merwedes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

IP DICHT Waal Bov.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Nw.Merwede Holl.Diep Holl.Diep Haringvliet Haringvliet Haringvliet

915 955 961 969 971 973 975 980 990 1003 1019 1029

Haringvlietsluizen

Tiel Gorinchem Splitsing Merwedes

Haringvlietsluizen

wat.stand percentage m+NAP %

richting r

Waterstanden v1.4.1 (RVW-boek) IP's en perc. O/D v1.7.5 Percentielen 5% en 95% v1.6 bijdrage r Maasmond Rijnafvoer % m+NAP m3/s

windsn. m/s

11.390 5.743 4.464 3.458 3.171 2.999 2.869 2.672 2.598 2.492 2.401 2.362

98.4 98.1 97.4 92.2 82.5 66.6 43.5 5.9 4.4 3.7 3.6 4.4

ZZW ZW WZW WZW W W W WNW WNW NW NW NW

10.0 10.5 11.0 11.4 12.3 11.3 8.3 2.0 1.5 1.3 1.4 1.7

1.47 1.52 1.51 1.55 1.77 1.85 2.00 3.03 3.03 3.18 3.25 2.95

15985 15928 15938 16219 15917 15932 15647 7200 7200 6800 6000 10000

10.0 11.0 11.0 11.0 12.0 13.0 14.0 25.8 25.6 23.2 23.0 18.4

11.390 5.743 4.464 3.458 3.171 2.999 2.869 2.672 2.598 2.492 2.401 2.362

1.6 1.9 2.6 7.8 17.5 33.4 56.5 94.1 95.6 96.3 96.4 95.6

ZW ZW ZW W WNW WNW NW NW NW NW NW NW

4.7 4.0 3.5 3.7 6.4 11.3 18.3 33.4 35.2 36.5 37.2 37.0

2.30 2.39 2.40 3.31 3.32 3.30 3.41 3.38 3.34 3.39 3.41 3.41

15829 15200 14703 10000 9000 8400 8000 7600 7600 7400 7400 7600

16.0 17.0 17.0 24.8 23.8 23.7 22.0 22.0 22.0 22.0 22.0 22.0

Tabel 9.4 Resultaten voor het illustratiepunt inclusief transformatie voor T = 1250 jaar voor tak 2. (N.B. De waterstand is overgenomen uit [Duits et al, 2001]; Hydra-B versie 1.6 geeft soms 0.001 m verschil met deze uitkomsten.)

We beschouwen nu de tweede riviertak, aangeduid als tak 2, die loopt van de Waal via de Boven Merwede, Nieuwe Merwede, Hollandsch Diep en het Haringvliet tot aan de Haringvlietsluizen (locaties Haringvliet liggen op de zuidelijke tak). Analoog aan tabel 9.3 en de figuren 9.6 tot en met 9.9 worden de gegevens voor deze tak weergegeven in tabel 9.4 en de figuren 9.10 tot en met 9.13.

57

Bedenk wel dat deze percentielen zoals eerder toegelicht volgens het nieuwe uitsplitsingsrecept lager zullen worden. 151

Open: OP Rijn, ex Rosenbl. Open: OP Rijn, incl Rosenbl.

25000

5

Open: OP Maasmond, ex Rosenbl.

20000

4

15000

3

10000

2

5000

1

0

0 910

920

930

940

950

960

970

980

zeewaterstand [m+NAP]

afvoer [m3/s]

Open: OP Maasmond, incl Rosenbl.

990 1000 1010 1020 1030 1040

km -raai Waal - Nw .Merw ede - Haringvliet

Figuur 9.10 Illustratiepunten inclusief en exclusief transformatie voor riviertak 2, situatie van open keringen.

Dicht: OP Rijn, ex Rosenbl. Dicht: OP Rijn, incl Rosenbl. 25000

5

Dicht: OP Maasmond, ex Rosenbl.

20000

4

15000

3

10000

2

5000

1

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990

zeewaterstand [m+NAP]

afvoer [m3/s]

Dicht: OP Maasmond, incl Rosenbl.

0 1000 1010 1020 1030 1040

km -raai Waal - Nw .Merw ede - Haringvliet

Figuur 9.11 Illustratiepunten inclusief en exclusief transformatie voor riviertak 2, situatie van dichte keringen.

152

Open: OP Rijn, ex Rosenbl. Open: OP Rijn, incl Rosenbl.

25000

Open: Rijn, bijdr 95%-perc. Open: Rijn, bijdr 5%-perc.

afvoer [m3/s]

20000

15000

10000

5000

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990 1000 1010 1020 1030 1040

km -raai Waal - Nw .Merw ede - Haringvliet

Figuur 9.12 Afvoergegevens tak 2 voor de situatie van de open keringen.

Dic ht: OP Rijn, ex Ros enbl. Dic ht: OP Rijn, inc l Ros enbl. 25000

Dic ht: Rijn, bijdr 95% -perc . Dic ht: Rijn, bijdr 5% -perc .

afvo e r [m 3/s ]

20000

15000

10000

5000

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990

1000

1010

1020

1030

1040

k m -r aai Waal - Nw .M e r w e d e - Har in gvlie t

Figuur 9.13 Afvoergegevens tak 2 voor de situatie van de dichte keringen.

153

Over tak 2 zijn globaal dezelfde opmerkingen te maken als over de eerste. Een duidelijk verschil tussen de takken is daarentegen dat op tak 2 het percentage voor de dichte keringen naarmate men dichter bij het Haringvliet komt naar de buurt van 100% gaat, waar dat op tak 1 dichter bij de kust juist richting 0% gaat. Vanaf km 980 tot de Haringvlietsluizen ligt dat percentage tussen de 95% en de 97%. Het Hollandsch Diep en Haringvliet gedragen zich enigszins als Dordrecht waarvoor het percentage dichte keringen ook vrij hoog ligt, namelijk 63%. Merk verder op dat het percentage dichte keringen op de Nieuwe Merwede van ongeveer 20% naar 95% gaat over een traject van slechts 10 km, namelijk van km 970 tot km 980. Figuur 9.12 voor de open situatie laat uitzonderlijk hoge 95%-percentielen zien op de Nieuwe Merwede, Hollandsch Diep en het Haringvliet. De hoge afvoeren op het Hollandsch Diep en het Haringvliet gelden echter conditioneel op de bijdrage van de open keringsituatie, die zoals opgemerkt erg laag is. Merk op dat figuur 9.3, die betrekking heeft op open en dicht tezamen, vanaf km 980 geen extreem hoge 95%-percentielen laat zien. Zoals eerder opgemerkt zullen bij de toepassing van het nieuwe uitsplitsingsrecept de hoge 95%-percentielen tussen km 960 en km 980 lager worden.

isolijn loc 2

IP loc 2

IP loc 1

isolijn loc 1

Figuur 9.14 Isolijnen in het (q,m)-vlak van locatie 1 en 2 met hun IP’s.

Tak 1 gaf een vrij abrupte daling voor de afvoer uit het IP te zien nabij Sliedrecht, zowel voor de open als dichte situatie (zie figuur 9.8 en 9.9). Die daling bedraagt circa 6000 m3/s. Voor de open situatie laat tak 2 een nog veel sterkere daling zien: over een traject van slechts 5 kilometer, van km 975 tot km 980, daalt de afvoer met ongeveer 10000 m3/s. Aanvullende berekeningen laten zien dat deze daling zelfs binnen een kilometer optreedt, namelijk van km 979 naar km 980. Dat is precies de plaats waar de Nieuwe Merwede uitmondt in het Hollandsch Diep. Op zich is het dus niet zo vreemd dat km 979 en km 980 een (sterk) verschillend IP hebben – maar waar de sprong van 10000 m3/s in het IP bijzonder groot is, is in het verloop van de waterstanden niets van een sprong te bekennen: op de Nieuwe Merwede, op het traject van km 976 t/m km 980, neemt per kilometer stroomafwaarts gaande de bij T = 1250 jaar berekende waterstand steeds af met 3 á 4 centimeter. Merkwaardig op tak 2 is verder dat voor de open situatie de afvoer uit het IP (zowel inclusief als exclusief transformatie) op het traject km 1019 tot km 1029 (Haringvlietsluizen) een sprong maakt van 6000 m3/s naar 10000 m3/s. Aanvullende berekeningen laten zien dat de afvoeren voor het IP exclusief transformatie voor km 1019 t/m km 1024 allen gelijk zijn aan 6000 m3/s en die voor km 1025 t/m km 1029 allen gelijk zijn aan 10000 m3/s. Van km 1024 naar km 1025 maakt de IP-afvoer dus een abrupte sprong van 4000 m3/s. Voor het IP inclusief transformatie is de IP-afvoer gelijk aan 6000 m3/s voor km 1019 t/m km 1024 en tevens voor km 1026

154

en km 1028, terwijl het gelijk is aan 10000 m3/s voor km 1025, km 1027 en km 1029. Hier vertoont het IP inclusief de Rosenblatt-transformatie dus een ‘meer springerig’ verloop dan dat zonder deze transformatie. De sprongen treden niet op in de berekende waterstanden: per kilometer stroomafwaarts gaande neemt de berekende waterstand steeds af met slechts circa 0.5 centimeter. De conclusie uit bovenstaande is dat binnen één kilometer de IP-afvoer een aanzienlijke sprong kan maken van meerdere duizenden kuubs per seconde, terwijl de betreffende waterstanden nauwelijks van elkaar verschillen. Het is interessant wat meer licht te werpen op deze sprongen. Neem aan dat we alleen te maken hebben met de grootheden q en m, voor het IP inclusief transformatie. In figuur 9.14 zijn de isolijnen van twee (fictieve) naburige locaties, zeg locatie 1 en locatie 2, aangegeven. Omdat de locaties dicht bij elkaar liggen verschillen hun isolijnen niet al te zeer. De cirkels in de figuur geven de lijnen van gelijke kansdichtheid: na de Rosenblatttransformatie resulteert immers een bivariate onafhankelijke standaardnormale verdeling, waarvoor geldt dat de kansdichtheid op een cirkel rond de oorsprong eenzelfde waarde heeft. Omdat een cirkel met een kleinere straal een hogere waarde van de kansdichtheid levert, is het IP dát punt op de isolijn dat de kleinste afstand tot de oorsprong heeft. De IP’s van beide isolijnen zijn in de figuur aangegeven. In de figuur is verder te zien dat de isolijnen voor beide locaties vrij dicht langs de cirkel lopen waarop hun IP ligt. Blijkbaar zijn er zeer veel combinaties (q,m) op de isolijn met een min of meer vergelijkbare kans van voorkomen. Het is in deze situatie duidelijk dat een kleine verandering van de isolijn er voor kan zorgen dat het IP op een heel andere plaats komt te liggen. Die kleine verandering kan zich voordoen door slechts 1 kilometer verder stroomafwaarts te gaan, zoals bleek ter plaatse van km 979 en op het traject km 1024 t/m km 1029. Verwacht moet worden dat grote sprongen in het IP met name daar kunnen optreden waar een groot bereik van afvoeren (en zeewaterstanden) relevant is tijdens falen, dus daar waar een groot verschil bestaat tussen de 5%- en de 95%-percentielen. Figuur 9.12 laat zien dat dat voor km 979 en op het traject km 1024 t/m km 1029 inderdaad het geval is.

9.3.4 Het nut van uitsplitsingen en illustratiepunten Deze paragraaf geeft wat afsluitende opmerkingen over de hiervoor behandelde uitsplitsingen en illustratiepunten. De volgende paragraaf gaat over de uitsplitsingen; daarna komen de illustratiepunten aan de orde. In de visie van schrijver dezes hebben de uitsplitsingen vooral een ‘didactisch doel’: de uitsplitsingen geven in zekere zin aan hoe locaties ‘probabilistisch met elkaar samen hangen’. Zo blijkt voor beide takken uit figuur 9.2 en 9.3, zoals eerder al besproken, dat locaties bovenstrooms van Gorinchem een vrij uniform gedrag vertonen: alle locaties staan sterk onder invloed van de afvoer. Vanaf circa km 960 naar zee gaande wordt de afvoer minder belangrijk, waarbij de vrij scherpe overgang nabij km 965 opvalt over een traject van hooguit 10 kilometer. Op riviertak 1 neemt het belang van de afvoer vanaf km 970 vrij geleidelijk steeds meer af; vanaf ongeveer Rotterdam zijn nog slechts betrekkelijk lage afvoeren tot maximaal circa 8000 m3/s van belang bij falen. Op tak 2 blijft de afvoer tot aan de Haringvlietsluizen van belang. Uit figuur 9.3 blijkt dat alle locaties op het Hollandsch Diep en het Haringvliet een tamelijk uniform gedrag vertonen, waarbij afvoeren tussen 7000 m3/s en 13000 á 15000 m3/s van belang zijn. Op het genoemde traject kan falen blijkbaar optreden – wat in ieder geval bij schrijver dezes op voorhand niet werd verwacht – bij zeer verschillende afvoerwaarden. De figuren suggereren ook voor welke locaties (veranderingen in) de maatgevende afvoer van belang zijn: indien het 95%percentiel onder de maatgevende afvoer ligt, is het erg plausibel dat een verandering van de maatgevende afvoer voor toetspeilberekeningen niet erg relevant is. Volgens de figuren zal dat laatste benedenstrooms van Dordrecht en Nieuwe Merwede km 980 het geval zijn. (We brengen in herinnering dat paragraaf 6.5, die gaat over het aftoppen van afvoergolven, hier aanvullende informatie over geeft.) Over de aard en interpretatie van de illustratiepunten is in paragraaf 9.3.1 tot en met 9.3.3 al veel gezegd. Aan het begrip illustratiepunt blijken nogal wat ‘subjectieve’ haken en ogen te kleven. De visie van schrijver dezes is simpelweg dat een IP, al of niet inclusief transformatie, een punt (q,u,m) op een isovlak geeft dat voor de betreffende berekening een ‘relevante kansbijdrage’ oplevert – een IP heeft echter geen absolute betekenis. De resultaten maken ook duidelijk dat tijdens falen een zeer groot bereik van afvoeren, zeewaterstanden en windsnelheden kan optreden. Dat laatste relativeert sterk het nut van IP’s. In de situatie dat zeer veel combinaties een aanzienlijke kans van voorkomen hebben, wordt het wat willekeurig precies die éne combinatie er uit te pikken om deze tot IP te ‘promoveren’ en deze aldus – wat nogal eens gebeurt – een aparte status voor vervolgberekeningen te verlenen.

155

De belangrijkste punten voor de IP’s worden nu samengevat:

156

1.

Een IP wordt berekend door op een isovlak dát punt op te zoeken waarvoor de kansdichtheid maximaal is. Deze kansdichtheid is echter niet zonder meer voorhanden, omdat in een Hydra-B berekening niet simpelweg een kansdichtheid wordt geïntegreerd over een faalgebied. De keuze om in Hydra-B het IP te baseren op de kansdichtheid die hoort bij een getijperiode is puur pragmatisch.

2.

Een IP, gekarakteriseerd als een punt waar de kansdichtheid maximaal is, vormt geen robuuste grootheid. Zo komt het IP bij een ander punt te liggen indien de kansdichtheid eerst wordt onderworpen aan een transformatie. Hydra-B bevat naast de ongetransformeerde versie van het IP ook een versie waarbij eerst met de Rosenblatt-transformatie is getransformeerd. In principe zijn nog meer transformaties mogelijk die weer andere IP’s op zullen leveren.

3.

Met name in het overgangsgebied, waartoe ook het Haringvliet en Hollandsch Diep behoren, kan falen optreden bij zeer verschillende combinaties van afvoeren, zeewaterstanden en windsnelheden. Een faalgebeurtenis kan dan zeker niet gekarakteriseerd worden door één combinatie (q,u,m). Falen kan hier dus niet adequaat gekarakteriseerd worden door een IP.

4.

Over een afstand van niet meer dan een kilometer kan het IP een abrupte sprong vertonen. Zo kan de afvoer met meerdere duizenden kuubs per seconde veranderen, terwijl de waterstand over die ene kilometer maar enkele centimeters verandert. Dit gebrek aan robuustheid van het IP, gaande langs een riviertak, lijkt zich met name voor te doen indien falen optreedt bij zeer veel verschillende combinaties van afvoeren, zeewaterstanden en windsnelheden.

Bijlagen

157

158

Bijlage 1 – Reparatie van belastingen Deze bijlage geeft zeer beknopt wat informatie over ongerepareerde en gerepareerde belastingen. De tekst zowel als de figuren zijn door Matthijs Duits aangeleverd aan RIZA/WSH en RIZA/WST. De bijlage bestaat uit vier onderdelen: 1.

Algoritme met recept voor de reparatie van belastingen en waterstanden.

2.

Plaatjes voor Rotterdam voor richting 292.5 graden voor gesloten keringen. - Belastingen voor reparatie - Belastingen na reparatie - Contouren (isolijnen) voor reparatie, voor niveaus 3.0 t/m 3.6 m+NAP - Contouren (isolijnen) na reparatie, voor niveaus 3.0 t/m 3.6 m+NAP - Contouren (isolijnen) voor reparatie, voor niveaus 2.4, 2.5 en 2.6 m+NAP - Contouren (isolijnen) na reparatie, voor niveaus 2.4, 2.5 en 2.6 m+NAP

3.

Plaatjes voor Rotterdam met belastingen voor richting 315 graden voor gesloten keringen, bij windsnelheden 0, 10, 20 en 30 m/s, exclusief reparatie.

4.

Plaatjes voor Dordrecht met belastingen voor richting 315 graden voor gesloten keringen, bij windsnelheden 0, 10, 20 en 30 m/s, exclusief reparatie.

Uit de plaatjes kan worden opgemaakt dat de reparaties voor Rotterdam voor gesloten keringen een veel groter effect hebben dan voor Dordrecht. Zoals in paragraaf 2.7 en 9.2 van de hoofdtekst besproken is de gesloten situatie onder maatgevende omstandigheden voor Rotterdam echter nauwelijks relevant.

1 Recept voor reparatie belastingen en waterstanden Voor een locatie is per windrichting en per toestand van de keringen de waterstand met of zonder windbelasting stijgend gemaakt in afvoer, zeewaterstand en windsnelheid. Voor de laagste afvoer, de laagste zeewaterstand en de kleinste windsnelheid (u=0) worden er geen restricties opgelegd aan de waterstand op de locatie. Met het toenemen van afvoer, zeewaterstand en/of windsnelheid moet de waterstand op de locatie toenemen. Als dit niet zo is, dan wordt de waterstand op de locatie vergroot tot de waterstand die verantwoordelijk is dat de waterstand niet toeneemt bij toenemende afvoer, zeewaterstand en/of windsnelheid. Als h(qI,mj,uk,r,Ω) de waterstand is bij afvoer qI, zeewaterstand mj, windsnelheid uk, windrichting r, toestand van de keringen Ω dan moet gelden: h(qI,mj,uk,r,Ω) ≥ max{h(qI-1,mj,uk,r,Ω), h(qI,mj-1,uk,r,Ω), h(qI,mj,uk-1,r,Ω)}

(1)

Wanneer deze voorwaarde niet geldt, dan vindt reparatie plaats door: h(qI,mj,uk,r,Ω) = max{h(qI-1,mj,uk,r,Ω), h(qI,mj-1,uk,r,Ω), h(qI,mj,uk-1,r,Ω)} Als h(qI-1,mj,uk,r,Ω), h(qI,mj-1,uk,r,Ω) en h(qI,mj,uk-1,r,Ω) aan voorwaarde (1) voldoen, dan doet de volgorde waarin de reparaties plaats vinden niet terzake. Voor q1, m1 en/of u1 valt uit voorwaarde (1) één of meer termen weg, maar het principe blijft hetzelfde.

159

2 Plaatjes voor Rotterdam voor richting 292.5 graden Belastingen voor reparatie:

Belastingen na reparatie (Vergelijk de groene lijn (8000) met de groene lijn van de belastingen voor reparatie; de verandering is een gevolg van de derde (niet zichtbare) as, de windsnelheid!):

160

Voor reparatie, windsnelheid 30 m/s, niveaus 3.0 t/m 3.6 m+NAP:

na reparatie, windsnelheid 30 m/s, niveaus 3.0 t/m 3.6 m+NAP:

161

Voor reparatie, windsnelheid 30 m/s, niveaus 2.4, 2.5 en 2.6 m+NAP:

Na reparatie, windsnelheid 30 m/s, niveaus 2.4, 2.5 en 2.6 m+NAP:

162

3 Plaatjes voor Rotterdam met belastingen voor richting 315 graden, bij windsnelheden 0, 10, 20 en 30 m/s, exclusief reparatie Rotterdam Rijn dominant 315 graden 0 m/s

Rotterdam Rijn dominant 315 graden 10 m/s

163

Rotterdam Rijn dominant 315 graden 20 m/s

Rotterdam Rijn dominant 315 graden 30 m/s

164

4 Plaatjes voor Dordrecht met belastingen voor richting 315 graden, bij windsnelheden 0, 10, 20 en 30 m/s, exclusief reparatie

Dordrecht Rijn dominant 315 graden 0 m/s

Dordrecht Rijn dominant 315 graden 10 m/s

165

Dordrecht Rijn dominant 315 graden 20 m/s

Dordrecht Rijn dominant 315 graden 30 m/s

166

Bijlage 2 – Aantal stochasten in Hydra-B en de problematiek van stormopzet en windverloop 1 Inleiding Zoals in het voorwoord van dit rapport vermeld, is in het jaar 2000 reeds een conceptrapport [Geerse, 2000] verschenen dat in juli 2000 in een TAW Rand vergadering is besproken. In die vergadering is het nodige commentaar geleverd en zijn de nodige vragen gesteld door de TAW, en met name ook door de heer Westerhoven van provincie Zuid Holland, over de in Hydra-B gemaakte keuzes. Veel van de vragen en het commentaar, die hierna worden aangeduid als de ‘TAW-vragen’, hadden betrekking op de in Hydra-B opgenomen stochasten, of beter gezegd op de niet in Hydra-B opgenomen stochasten. Een belangrijke vraag was waarom in Hydra-B de zeewaterstand te Maasmond als stochast is beschouwd in plaats van de twee stochasten opzet en faseverschuiving ten opzichte van astronomisch hoogwater. Op deze en verwante vragen wordt hieronder ingegaan. Een flink deel van de TAW-vragen is overigens in de hoofdtekst al aan de orde geweest, zoals de motivatie van het verwerken van de Rijn en de Maas met 50%-lijnen in plaats van als gecorreleerde stochasten, het niet-probabilistisch meenemen van de breedte van de golfvorm en het verband tussen Dijkring en Hydra-B. Hoofdstuk 2 uit deze bijlage gaat in zijn algemeenheid in op de problematiek van het meenemen van meerdere stochasten. Hoofdstuk 3 gaat in op de problematiek van de opzet en van de keuze van het windverloop.

2 Opmerkingen ten behoeve van het opnemen van extra stochasten in het model In de TAW-vragen worden, naast de beheerssituatie van de keringen, windsnelheid en windrichting, de volgende stochasten voorgesteld: 1. 2. 3. 4. 5.

Opzet (waarbij in het midden wordt gelaten of het de rechte of scheve opzet betreft). Fase ten opzichte van atronomisch hoogwater. Getij (namelijk doodtij, springtij en gemiddelde). Breedte van de golfvorm van de afvoer. Rijn- en Maasafvoer als gecorreleerde stochasten in plaats van met 50%-lijnen.

Hier kunnen nog veel meer stochasten aan worden toegevoegd (waarbij de lezer wordt uitgenodigd het lijstje verder uit te breiden): 1. 2. 3.

Duur van de opzet (vaak ook stormopzetduur genoemd). Duur van het stormverloop van de wind. Tijdstip van het maximum van het stormverloop van de wind ten opzichte van het hoogwater (of ten opzichte van het maximum van de opzet). 4. Vorm van het stormverloop van de wind (bijvoorbeeld twee toppen in plaats van een). 5. Mate waarin de windrichting draait tijdens een stormvloed. 6. Treksnelheid van de depressie over het land. 7. Correlatie tussen windsnelheid en –richting ter plaatse van Maasmond en locaties elders in het gebied. 8. Faalkans α van de kering als stochast beschouwen in plaats van als vast getal. 9. Onzekerheid van de afvoerverdeling op de splitsingspunten Pannerdensche Kop en IJsselkop. 10. Onzekerheid in de met Sobek berekende waterstand. 11. Diverse stochasten in verband met de sterkte. In zijn algemeenheid lijkt het voor de hand te liggen om zo veel mogelijk effecten probabilistisch in plaats van deterministisch mee te nemen, vanuit de gedachte dat op die manier de nauwkeurigste berekeningen kunnen worden gemaakt. Dus: hoe meer stochasten in het model, hoe beter. In principe is deze bewering juist, maar in de praktijk stuit ze op praktische bezwaren, waarvan hieronder een aantal wordt genoemd. Wat de terminologie betreft, in het vervolg wordt in plaats van over Sobeksommen gesproken over ‘productiesommen’. De waterstandsommen zouden in de toekomst bijvoorbeeld met Waqua in plaats van met Sobek kunnen worden berekend; het is daarom prettiger de algemene term ‘productiesommen’ te hanteren. Deze term kan ook worden gebruikt indien bijvoorbeeld (in de toekomst) met SWAN een groot aantal sommen moet worden berekend om

167

aan golfgegevens te komen (met het nu in Hydra-B gebruikte Bretschneider hoeven geen resultaten in een database te worden opgeslagen).

1 Omvang database en rekentijd Als een grootheid als extra stochast wordt opgenomen, zullen vaak extra productiesommen moeten worden gemaakt. Wanneer bijvoorbeeld de getij-fase middels vijf tijdstippen als stochast wordt meegenomen, dienen vijf maal zo veel productiesommen te worden gemaakt. Echter niet voor iedere grootheid die als stochast wordt meegenomen dienen extra sommen te worden gemaakt. Bijvoorbeeld de golfvorm van de afvoer (zie paragraaf 6.6 van de hoofdtekst) kan als stochast worden meegenomen zonder extra sommen te maken. Men kan in dat geval volstaan met het opnemen van een kansdichtheid voor de duur van afvoergolven. Voorbeeld De huidige database voor Hydra-B bevat circa 7000 sommen. Met het getij als extra stochast zullen dan 35000 sommen nodig zijn. Naar schatting is voor het opnemen van de hiervoor genoemde door de TAWvragen gesuggereerde stochasten (het lijstje met 5 punten inclusief de beheerssituatie en de wind als stochasten) een aantal van circa 330 duizend sommen nodig.58 Het zal duidelijk zijn dat dit voor de praktijk een onprettig groot aantal is. Hier moet bedacht worden dat (op dit moment) elke produktiesom op een standaard PC een rekentijd vergt van circa een half uur, zodat de berekeningen voor al deze sommen op één standaard PC ongeveer 15 jaren zullen duren. De totale Hydra-B database heeft op dit moment een omvang van ongeveer 10 Gigabyte. Voor 330 duizend sommen wordt dat bijna 500 Gigabyte (ongeveer 700 CD-Roms).

In principe is nog denkbaar dat de opslag van gegevens door technische verbeteringen van computers (de ontwikkelingen op computergebied gaan immers snel) in de nabije toekomst aanzienlijk wordt verbeterd. De controle op de juiste uitkomsten van zo’n enorm groot aantal productiesommen zal echter vrijwel onmogelijk zijn. Stel dat een of enkele van de belangrijkste stochasten aan de in Hydra-B gebruikte stochasten wordt toegevoegd, zodat een veel grotere database resulteert dan nu het geval is (zij het kleiner dan 330 duizend sommen). Het computerprogramma zal dan voortdurend informatie moeten lezen uit deze database en tussentijdse resultaten moeten wegschrijven. Daardoor zal bij meerdere stochasten de rekentijd van het programma aanzienlijk toenemen. Het betreft hier dus een toename van de rekentijd louter door leesacties uit de database en schrijfacties naar bestanden.

2 FORM en / of Monte Carlo nodig Wanneer extra stochasten in Hydra-B worden opgenomen, zal in plaats van de nu gebruikte numerieke integratie moeten worden overgestapt op FORM of Monte Carlo. De rekentechniek numerieke integratie vergt dan veel te veel rekentijd. Het nadeel van FORM is dat deze rekentechniek slechts een benadering als antwoord oplevert in plaats van een exacte uitkomst. Hoe goed deze benadering is zal niet altijd duidelijk zijn. Om met zekerheid een goede uitkomst te krijgen, en de rekentijd aanvaardbaar te houden, zal dan gebruik moeten worden gemaakt van de rekentechniek Monte Carlo. De ‘gebruikelijke’ Monte Carlo, soms aangeduid als crude Monte Carlo, zal nog steeds te lange rekentijden geven. In plaats daarvan zal gebruik moeten worden gemaakt van bijvoorbeeld directional sampling, wat een speciale vorm is van Monte Carlo. Om directional sampling te kunnen toepassen zullen diverse transformaties van grootheden nodig zijn. Deze transformaties zullen weer rekentijd vergen. De verwachting is echter dat met Monte Carlo technieken een model met circa 10 stochasten wat rekentijd betreft goed valt te behappen. De in punt (1) genoemde leesacties uit de database zullen naar verwachting nog steeds zeer tijdsintensief zijn. Terzijde kan nog worden opgemerkt dat de rekentijd soms versneld kan worden door het model te vereenvoudigen, bijvoorbeeld door in plaats van ‘nette’ afvoergolven over te gaan op afvoerblokken (FBCmodellen) zoals in onder andere [Vrouwenvelder et al, 2002] beschreven. In die referentie worden in het kader van UBW-onderzoek FBC-modellen vergeleken met Hydra-B voor waterstanden en golfoverslag. Een standaard FBC-berekening is met numerieke integratie bijna 40 keer sneller dan Hydra-B (Hydra-B in de PC-Ring versie). De conclusie in deze referentie is dat voor nauwkeurige berekeningen Hydra-B de voorkeur verdient boven een 58

Ga bijvoorbeeld uit van 7 richtingen, 4 windsnelheden, 2 keringssituaties (open en dicht), 9 Rijnafvoeren, 9 Maasafvoeren, 6 hoogtes voor de opzet, 4 getijfases, 3 getijtypes. Dat levert 7*4*2*9*9*6*4*3 = 330000 sommen. 168

FBC-model. Afhankelijk van de beschouwde terugkeertijd en het beschouwde overslagdebiet kunnen incidenteel verschillen van 1 of zelfs 2 decimeter worden gevonden tussen FBC (variabele blokgrootte) en Hydra-B. Alleen bij een juist gekozen blokgrootte – die helaas niet op voorhand bekend is – blijven de verschillen tussen het FBC-model en Hydra-B beperkt tot 1 decimeter (in ieder geval voor de 9 locaties die in de genoemde referentie zijn onderzocht).

3 Gecompliceerder model door extra stochasten Het zal duidelijk zijn dat het opnemen van extra stochasten in de regel zal leiden tot een gecompliceerder model. Overigens leidt niet iedere stochast tot een ingewikkelder model. Voor bijvoorbeeld de breedte van de afvoergolf, wanneer deze wordt meegenomen middels bijvoorbeeld 6 breedtes, zal het model niet wezenlijk ingewikkelder worden. In feite dient voor elk van de breedtes Hydra-B gedraaid te worden, waarna de 6 resulterende uitkomsten dienen te worden gewogen op de juiste manier (zie paragraaf 6.6 van de hoofdtekst). Wanneer de wegingspercentages eenmaal zijn afgeleid kan men voor het meenemen van de breedte van de afvoergolf dus nauwelijks spreken van een gecompliceerder model, omdat het 6 maal dezelfde berekening uitvoeren gevolgd door het wegen van de uitkomsten geen gecompliceerd geheel vormt. In feite dient onderscheid te worden gemaakt naar de aard van de complexiteit. Theoretisch vormt het zojuist gegeven voorbeeld geen complex geheel. Het implementeren van de breedte als stochast vergroot echter de hoeveelheid computercode. De ervaring leert dat ogenschijnlijk simpel lijkende modeluitbreidingen implementatietechnisch vaak ingewikkelder blijken te zijn dan aanvankelijk werd gedacht. Ook het testen van de programmatuur kost vaak veel tijd. Een voorbeeld waarbij het opnemen van een extra stochast wel leidt tot een theoretisch gecompliceerder model, zij het zeker niet onoverkomelijk (zie de opmerkingen in paragraaf 4.2 van de hoofdtekst), is dat waarbij de Rijn en Maas beiden als stochast worden opgenomen. Toch kan naar de mening van schrijvers dezes gesteld worden dat de complexiteit van verreweg de meeste stochasten zich niet zozeer op het theoretische maar op het implementatietechnische vlak bevindt. Hier is ook relevant te bedenken wat qua nauwkeurigheid de meerwaarde is van het stochastisch in plaats van deterministisch meenemen van een grootheid. Voor veel stochasten is die meerwaarde gering. Dat geldt bijvoorbeeld voor de breedte van de afvoergolf (volgens paragraaf 6.6 van de hoofdtekst hooguit enkele centimeters) maar ook voor de correlatie tussen Rijn en Maas (correlatie meenemen in plaats van 50%-lijnen levert op dijkvakniveau hooguit enkele centimeters verbetering). Voor veel andere stochasten moet hetzelfde worden verwacht, bijvoorbeeld voor de onzekerheid van de afvoerverdeling op het splitsingspunt59, de stormopzetduur als stochast, de treksnelheid van een depressie over het land en wat dies meer zij. Misschien is het beter met minder stochasten te rekenen maar met nauwkeuriger fysische modellen te werken, bijvoorbeeld met Waqua in plaats van Sobek of met SWAN in plaats van Bretschneider.

4 Voor extra stochasten is ook extra statistische informatie nodig Wanneer een grootheid als extra stochast wordt opgenomen, zal in de regel ook extra statistische informatie nodig zijn. Meestentijds zal dan een nieuwe kansverdeling moeten worden afgeleid. Dat kan bijzonder veel onderzoek vergen, soms door gebrek aan data. Wanneer bijvoorbeeld de opzet en de getijfase als stochast worden opgenomen, dienen de relevante kansverdelingen te worden bepaald. Wanneer bedacht wordt dat het onderzoek naar de basispeilen [Dillingh et al, 1993] jaren heeft geduurd, is duidelijk dat de kansverdelingen voor de opzet en de getijfase niet vlotjes kunnen worden bepaald (tenzij men kiest voor een oppervlakkig onderzoekje dat later meer vragen oproept dan het beantwoordt). Het op een betere manier verwerken van het windverloop, om de in paragraaf 4.4.7 van de hoofdtekst beschreven overschatting van de golfaanval vanwege het combineren van maximale wind met maximale waterstand te voorkomen, zal vermoedelijk zeer veel onderzoek vergen.

59

Voor dijkring 47 die grenst aan de IJssel en de Nederrijn ligt dat wat anders. Voor deze dijkring vindt als het ware geen ‘uitmiddelingsproces’ plaats in de zin dat een afwijking van de verdeling op het splitsingspunt zowel naar boven als naar beneden kan plaatsvinden. Indien meer water dan verwacht naar de IJssel gaat vormt dat een bedreiging voor de IJsseldijken; indien meer water dan verwacht naar de Nederrijn gaat vormt dat een bedreiging voor de dijken langs de Nederrijn. 169

Conclusie uit de punten 1 t/m 4 ten behoeve van het opnemen van extra stochasten Wanneer men een grootheid als extra stochast wil opnemen, dienen de voor- en nadelen daarvan te worden afgewogen. Het voordeel van het opnemen van een grootheid als stochast is duidelijk, namelijk dat op die manier als regel een nauwkeuriger antwoord wordt verkregen. Wat de nadelen betreft dient men te denken aan de volgende punten: • Leidt het opnemen van de grootheid als stochast tot een duidelijk beter antwoord dan een nietprobabilistische aanpak? • Dienen er ten behoeve van de beschouwde stochast extra productiesommen te worden gemaakt en wat zijn de eventuele consequenties voor de rekentijd? • In welke mate leidt de beschouwde stochast tot een theoretisch of implementatietechnisch veel gecompliceerder model? • Zijn er voldoende data en inzichten beschikbaar om de benodigde kansverdeling(en) af te leiden? • Hoe complexer de programmatuur en de berekeningswijze worden door het opnemen van extra stochasten, hoe groter de kans op programmeerfouten en op fouten in de berekening.

3 De problematiek van de opzet als stochast, in samenhang met het windverloop In de hiervoor genoemde TAW-vragen was een van de belangrijkste vragen waarom in Hydra-B de zeewaterstand te Maasmond als stochast is beschouwd in plaats van de twee stochasten opzet en faseverschuiving ten opzichte van astronomisch hoogwater. Op die vraag wordt in paragraaf 3.1 ingegaan. Kern van het betoog is dat de problematiek van opzet en faseverschuiving dermate gecompliceerd is dat zoveel extra onderzoek nodig is dat op dit moment beter kan worden teruggevallen op de oude in paragraaf 4.3.2 van de hoofdtekst beschreven aanpak. Geheel los van de vraag van de TAW heeft de beschrijving in paragraaf 3.1 zijn waarde; indien eventueel in de toekomst onderzoek wordt verricht naar de de problematiek van opzet en getij kan deze paragraaf aanzetten geven voor zinvolle onderzoeksvragen. In paragraaf 3.2 wordt ingegaan op het in Hydra-B aangenomen trapeziumvormige windverloop, dat werd beschreven in paragraaf 4.3.3 van de hoofdtekst. Op dit moment zijn met Hydra-B toetspeilen berekend voor opzetduren van 29 uur en 33 uur [Duits en Thonus, 2001], [Duits en Thonus, 2002]. De officiële toetspeilen uit [HR 2001] zijn gebaseerd op 29 uur. Zoals in paragraaf 4.3.2 van de hoofdtekst al werd opgemerkt zou volgens [Van Weerden et al, 1987] een duur van 33 uur beter zijn, of zelfs volgens [De Valk en Steetzel, 1997] een nog langere duur. Omdat nader onderzoek gewenst was, is beleidsmatig bij de voorheen gebruikte 29 uur gebleven. De eerste versie van dit hoofdstuk is reeds in het jaar 2000 geschreven, op een moment dat nog van 33 uur werd uitgegaan. De figuren zijn niet aangepast en geven dus de situatie van 33 uur.

3.1 De problematiek van de opzet als stochast In de TAW-vragen wordt gesteld dat het ‘zuiverder’ is om de opzet en de faseverschuiving (ten opzichte van astronomisch getij) als stochasten te nemen in plaats van de zeewaterstand te Maasmond. Naar de mening van schrijver dezes is het niet evident dat de opzet en de fase als stochasten de voorkeur verdienen boven de zeewaterstand als stochast, tenminste niet bezien in het licht van de huidige kennis. In het vervolg zal de problematiek van de opzet en het getij worden geschetst. De in paragraaf 2.1 gedane beweringen resulteren ondermeer uit persoonlijke communicatie met De Ronde van het RIKZ. De volgende notatie zal worden gebruikt. h

HW-opzet ϕ

170

De maximale opzet, ofwel de rechte opzet, zijnde het maximale verschil m+NAP tussen gemeten waterstand en astronomisch waterstandverloop. Het volledige opzetverloop in de tijd is hierbij gemodelleerd door middel van een trapezium als beschreven in paragraaf 4.3.2 van de hoofdtekst. De scheve opzet, ofwel het verschil tussen het gemeten hoogwater en het m astronomisch hoogwater. Beide genoemde hoogwaters zullen in de regel op verschillende tijdstippen vallen. De fase van het getij, ofwel de tijdsduur tussen de momenten van maximale uur opzet en het astronomisch hoogwater. Een negatieve fase betekent dat de maximale opzet na astronomisch hoogwater valt.

Ts

De duur van de opzet, zijnde de duur van de basis van het trapezium waarmee de opzet gemodelleerd is. De duur van de wind, zijnde de trapeziumduur op het niveau 10 m/s.

Tw

uur uur

In de rest van dit stuk worden nogal eens schattingen gegeven voor het aantal centimeters waarmee het toetspeil zou veranderen bij andere dan de standaard gehanteerde uitgangspunten. Deze schattingen zijn ontleend aan een aantal door Henk de Deugd van RIZA-WST gemaakte Zwendlsommen, waarvan de resultaten vermeld zijn in de aan het eind van deze bijlage gegeven tabellen 3.3 en 3.4. Voor het model Hydra-B gaat het in verband met de opzet-problematiek om de volgende centrale vraag. Welke waterstandverlopen kunnen bij Maasmond voorkomen en met welke kansen treden deze op?

In de praktijk kan een waterstandverloop natuurlijk tamelijk grillig zijn, ook bij eenzelfde optredende hoogwaterstand. Bijvoorbeeld een hoogwater van 3 m+NAP kan het gevolg zijn van een zeer kortdurende verhoging van de waterstand, maar ook van een zeer langdurige en grillig verlopende waterstand. Om berekeningen te kunnen maken dient het waterstandverloop eerst gemodelleerd te worden op de een of andere wijze, waarbij het grillige verloop geschematiseerd wordt door bijvoorbeeld een trapeziumvormig verloop. Tevens dient aan elk gemodelleerd verloop een kans (dan wel frequentie) te worden toegekend. Ten behoeve van Hydra-B is het waterstandverloop zoals beschreven in paragraaf 4.3.2 van de hoofdtekst verkregen door de opzet te modelleren door middel van een trapezium en daarbij het gemiddeld getij op te tellen, met een faseverschuiving ϕ. In Hydra-B is ϕ = - 4.5 uur worden gekozen. Het tijdstip van maximale opzet valt dan 4.5 uur na astronomisch hoogwater. Zie figuur 3.1 ter illustratie. In de rest van dit stuk wordt uitgegaan van ϕ = - 4.5 uur en Ts = 33 uur, hoewel zoals hiervoor uitgelegd ten behoeve van [HR 2001] Ts = 29 uur is genomen. Door de opzetten in hoogte (maar niet in fase) te variëren kan elke hoogwaterstand te Maasmond worden verkregen. Iedere hoogwaterstand correspondeert dan met precies één waterstandverloop. De kans op een hoogwaterstand, alsmede op het corresponderende waterstandverloop, volgt uit de Paretoverdeling. (De Paretoverdeling geeft de overschrijdingsfrequentie per jaar van de hoogwaterstand; deze frequentie per jaar kan worden omgerekend tot een overschrijdingskans welke is gerelateerd aan een getijperiode.) De kansdichtheden van de opzet en van de fase zijn voor Hydra-B dus niet relevant. Ter vergelijking met ϕ = - 4.5 uur is ook de situatie met een samenvallende opzet en getijtop gegeven in figuur 3.2, waarvoor dus ϕ = 0 uur. Evenals in figuur 3.1 resulteert een hoogwaterstand van 4.5 m+NAP. Bij een keuze van ϕ = 0 uur zou het waterstandverloop van figuur 3.2 dezelfde kans hebben als het waterstandverloop in figuur 3.1. De keuze van ϕ is erg belangrijk. Indien in Hydra-B de keuze ϕ = 0 was genomen in plaats van ϕ = - 4.5 uur, zou voor opzetduren van zowel 29 als 33 uur bijvoorbeeld voor Dordrecht een circa 30 centimeter lagere kruinhoogte resulteren (gebaseerd op oriënterende berekeningen). Dat komt omdat voor ϕ = 0 een veel smaller waterstandverloop te Maasmond het geval is, wat resulteert in een lagere opzet verder landinwaarts. getij zeerand Maasmond, fase -4.5 uur 6

5

4

3

2

1 waterhoogte [m + NAP] 0

-1

-2 25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

tijd [uren]

Figuur 3.1 Waterstandverloop te Maasmond als de som van opzet en gemiddeld getij. Opzetduur Ts = 33 uur, ϕ = - 4.5 uur en opzet h = 4 m.

171

6

5 4

3

2 1

0 -1

-2 25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

Figuur 3.2 Waterstandverloop te Maasmond als de som van opzet en gemiddeld getij. Opzetduur Ts = 33 uur, ϕ = 0 uur en opzet h = 3.4 m.

De keuze voor Ts = 33 uur wordt gemotiveerd door [Van Weerden et al, 1987]. In deze referentie zijn voor Hoek van Holland opzetten geselecteerd die minstens de 1.50 m+NAP overschreden. De resulterende opzetten zijn geschematiseerd door een trapeziumvorm als in figuur 3.1. (Terzijde zij vermeld dat ook de cosinus-kwadraat vorm werd beschouwd.) De gemiddelde duur van deze opzetten op het nul-niveau (ofwel de duur van de basis van het trapezium) bedroeg 33 uur. Vandaar dat in het jaar 2000 werd uitgegaan van Ts = 33 uur. De aanname die in [Van Weerden et al, 1987] werd gemaakt is dat de duur en de hoogte van de opzet statistisch onafhankelijk van elkaar zijn. In [De Valk et al, 1997] wordt echter beargumenteerd dat duur en hoogte van de opzet positief gecorreleerd zijn. Hogere opzetten duren gemiddeld dus langer dan lagere. Voor maatgevende omstandigheden, welke uit de aard der zaak het meest relevant zijn, is de waarde Ts = 33 uur dus vermoedelijk aan de korte kant. Wellicht zal een meer representatieve keuze voor de opzetduur in de buurt van de 40 uur liggen, maar waarschijnlijk is het beter om (in de toekomst) niet een vaste waarde voor Ts te hanteren maar een waarde die toeneemt met de grootte van de opzet. Nog beter zou misschien zijn om Ts niet deterministisch met de opzet te laten samenhangen, maar als stochast te beschouwen. Vermoedelijk (persoonlijke inschatting!) voegt het weinig aan de kwaliteit van de uitkomsten toe om Ts als stochast mee te nemen en kan worden volstaan met een deterministische toename van Ts met de grootte van de opzet.60 Ter illustratie: volgens oriënterende berekeningen zal bijvoorbeeld Dordrecht bij een vaste keuze van Ts = 40 uur uitkomen op een circa 0.10 m hoger toetspeil dan voor 33 uur en op een circa 0.20 m hoger toetspeil dan voor 29 uur. De keuze voor ϕ = - 4.5 uur wordt gemotiveerd door [Nota 61.002.17]. In deze referentie is het verband onderzocht tussen het tijdstip van de maximale opzet ten opzichte van atronomisch hoogwater voor opgetreden stormen van 1894 tot en met 1983. Dat resulteert in 27 stormen. In figuur 3.3 wordt een histogram gegeven met de resultaten. Duidelijk is te zien dat met name fases rond de - 4.5 uur en rond de 3.0 uur voorkomen. In [De Ronde, 1985] is, ondermeer voor Hoek van Holland, het verband tussen opzet en het getij bestudeerd voor de periode 1971 tot en met 1982. Bijlage 12 uit deze referentie geeft soortgelijke resultaten als figuur 3.3. Er komen dus geen fases in de buurt van 0 uur voor; ofwel situaties waarin het getij samenvalt met de maximum opzet komen niet voor. Zowel in de situatie van - 4.5 uur als 3.0 uur heeft men te maken met een breed’ waterstandverloop zoals in figuur 3.1 in tegenstelling tot het smallere waterstandverloop uit figuur 3.2. Op grond van het histogram lijkt het weinig zinvol de fase als stochast mee te nemen, omdat de kansverdeling daarvoor sterk gepiekt zou zijn voor de waarden - 4.5 en 3.0, in welk geval min of meer eenzelfde breed waterstandverloop zou resulteren. Evengoed is het denkbaar dat de keuze ϕ = - 4.5 uur een wat te veilige benadering inhoud, omdat aldus een nogal breed waterstandverloop wordt aangenomen. Immers, enige spreiding van ϕ rond de waarden -4.5 en 3 uur zou toch wat smallere waterstandverlopen opleveren en dienovereenkomstig lagere opzetten landinwaarts leveren. 60

Indien in de toekomst wordt overgestapt van de modellering van rechte opzet in combinatie met astronomisch getij naar een modellering met (scheve) opzet, getijfase en astronomisch getij vervalt de grootheid Ts en dienen zowiezo nieuwe getallen te worden afgeleid. Voordat nader onderzoek naar deze problematiek wordt uitgevoerd verdient het misschien ook aanbeveling na te gaan hoe te zijner tijd beleidsmatig over een en ander wordt gedacht. 172

10 8 4 6 aantal stormen 2 0 6

5

5.5

4

4.5

3

3.5

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-2

-1.5

-3

-2.5

-4

-3.5

-5

-4.5

-6

-5.5

fase getij [uur]

Figuur 3.3 Histogram van aantal stormen met een gegeven fase. Indeling van de fase in klassen van een half uur. Overgenomen uit [Nota nr. 61.002.17, bijlage 2]

De keuze van ϕ, of het vaststellen van een kansdichtheid daarvoor, kan echter niet los worden gezien van de modellering van de opzet. Het zou bijvoorbeeld kunnen zijn – om maar wat te noemen – dat het trapeziumvormige verloop precies op het moment van astronomisch hoogwater geen adequate beschrijving geeft van de opzet, waardoor de keuze van de fase, die immers mede afhangt van het moment van astronomisch hoogwater, eigenlijk niet eenduidig te maken valt. Een nadere studie van de fase ϕ zal dus in samenhang moeten worden bezien met een kritische beschouwing van de modellering van de opzet en daarmee met de opzetduur Ts. Tevens zal in een (eventuele) nadere studie dan de vraag moeten worden gesteld of niet moet worden overgestapt op de door de TAW voorgestelde grootheden opzet, getijfase en astronomisch getij in plaats van de in Hydra-B gebruikte modellering van rechte opzet in combinatie met astronomisch getij. In de TAW-vragen wordt overigens niet nader gespecificeerd welke opzet – de rechte of de scheve opzet (HW-opzet) – moet worden gebruikt. Indien nader onderzoek wordt uitgevoerd naar deze problematiek zal dat naar de mening van schrijver dezes tamelijk fundamenteel van aard moeten zijn; daarbij zal kennis van Waqua, van getijwerking en statistische kennis (bij voorkeur op het gebied van extreme windsnelheden en stormvloeden) vereist zijn. Indien dergelijk onderzoek wordt gestart zullen de resultaten vermoedelijk enkele jaren op zich laten wachten. Daarom is in Hydra-B aangesloten bij de in het verleden gehanteerde modellering. Er is dus nadrukkelijk niet geprobeerd op basis van kortdurend (weinig diepgaand) onderzoek de modellering aan te passen. Indien nader onderzoek wordt uitgevoerd naar de problematiek van opzet en getij – dat antwoord moet geven op de hiervoor gestelde vraag “Welke waterstandverlopen kunnen bij Maasmond voorkomen en met welke kansen treden deze op?” – is zoals hiervoor gezegd de vraag welke stochasten het best kunnen worden gebruikt om een juiste beschrijving van het waterstandverloop te verkrijgen. Uiteraard kan deze vraag niet worden beantwoord voordat dergelijk onderzoek is uitgevoerd, maar hier kan al wel kort worden ingegaan op enkele bevindingen in de rapporten over de basispeilen. In één van de rapporten over de basispeilen, zie [Dillingh et al, 1993], wordt beargumenteerd dat de opzet (ofwel de rechte opzet) geen praktisch bruikbare stochast vormt. De reden is dat de opzet sterk samenhangt met het astronomisch waterstandverloop. De kansverdeling voor deze opzet zal dus sterk (negatief) gecorreleerd zijn met astronomisch hoogwater, wat voor praktische toepassingen erg onhandig is. In [Dillingh et al, 1993] wordt toegelicht dat de scheve opzet, ofwel HW-opzet, wel een praktisch bruikbare stochast vormt. Deze blijkt namelijk geen correlatie te vertonen met astronomisch hoogwater, in de zin dat de grootte van de HW-opzet (in meters) geen correlatie vertoont met de grootte van het astronomisch hoogwater (in m+NAP). De kansverdeling van de HW-opzet is op dit moment niet beschikbaar. In het onderzoek naar de basispeilen is namelijk alleen de kansverdeling (of beter gezegd frequentieverdeling) van de hoogwaterstanden afgeleid. We brengen in herinnering dat ten behoeve van Hydra-B niet alleen de kansen van hoogwaters nodig zijn maar ook de complete

173

waterstandverlopen zelf. De kansverdeling van HW-opzet zou in principe kunnen worden afgeleid, maar dat is ten behoeve van Hydra-B dus niet voldoende, omdat dan nog steeds de waterstandverlopen niet beschikbaar zijn.

Indien men de beschikking zou hebben over de kansverdeling van HW-opzet, is dus de vraag hoe aan het waterstandverloop te komen. Volgens persoonlijke communicatie met De Ronde is het in dit verband problematisch dat de opzet zeer sterk wordt beïnvloed door het astronomisch getij. Dus ondanks het feit dat HWopzet ongecorreleerd is met astronomisch hoogwater, is er toch een sterk verband tussen het gehele tijdsverloop van de opzet en het astronomisch tijdsverloop. In feite is het zo dat voor extreme omstandigheden de hele splitsing van werkelijke waterstanden in opzet en astronomisch getij niet erg zinvol meer is. Wil men de hiervoor geschetste aanpak in Hydra-B verbeteren, dan kan dat naar de mening van schrijver dezes dus alleen door gedegen studie te verrichten naar het complete waterstandverloop rond hoogwater in extreme omstandigheden.

3.2 Het windverloop In Hydra-B wordt in Sobek gebruik gemaakt van het in paragraaf 4.3.3 van de hoofdtekst beschreven windverloop, dat opnieuw in figuur 3.4 is weergegeven. Het heeft een constant niveau op de top van 5 uur lang. De eerste zowel als de laatste flank, waarin de opbouw respectievelijk afbouw tot de waarde 10 m/s plaatsvindt heeft een duur van 12 uur. Het tussendeel van het trapezium op het niveau 10 m/s heeft een duur Tw die steeds gelijk is genomen – zowel voor de sommen met 29 uur als 33 uur – aan de duur Ts van de opzet. Merk op dat het maximum van de opzet en het maximum van de wind op hetzelfde tijdstip vallen. In het verleden, zie bijvoorbeeld [De Deugd, 1995], werd bij iedere opzet precies één windsnelheid beschouwd, zoals aangegeven in tabel 3.1. De beschouwde windrichting was WNW. In Hydra-B wordt zoals bekend de wind volledig probabilistisch meegenomen. Dat houdt dus in dat bij een gegeven waterstand (dan wel opzet) meerdere windsnelheden en windrichtingen worden beschouwd. In figuur 3.4 worden twee mogelijke windverlopen getoond, één met maximale windsnelheid 30 m/s en één met maximale windsnelheid 18 m/s. opzet Maasmond, m 0 0.5 1.35 2.60 3.60 4.60 5.85 7.10

windsnelheid u, m/s 3 10 15 21 25 32 37 42

Tabel 3.1 Relatie tussen windsnelheid en opzet Maasmond. Windrichting WNW.

In het verleden werd voor de duur van de opzet zowel als de duur van de wind 29 uur gehanteerd, net zoals in de officiële met Hydra-B berekende toetspeilen. Zoals eerder aangegeven lijkt voor de duur van de opzet 33 uur een betere keuze. De vraag is of het gerechtvaardigd is naast een langere stormopzetduur Ts ook een langere windduur Tw te nemen. Dat is zeker het geval. Zoals hieronder zal blijken is een duur van 29 uur, en zelfs een duur van 33 uur, aan de korte kant, maar relevant in dit verband is bovenal dat de waterstanden in het gebied tamelijk ongevoelig zijn voor de duur van de wind. Zo levert een verlenging van de windduur van 33 naar 40 uur slechts een maximaal 0.02 m hogere opzet landinwaarts. De keuze van 33 uur in plaats van 29 uur, of zelfs een langere duur, voor de windduur is dus volledig gerechtvaardigd, zij het tevens betrekkelijk irrelevant.

174

6

5 4

3

2 1

0 -1

-2

20

30

40

50

60

70

80

90

20

30

40

50

60

70

80

90

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Figuur 3.4 Waterstandverloop te Maasmond als de som van opzet en gemiddeld getij, met daar onder het gemodelleerde windverloop; een windverloop met 30 m/s en één met 18 m/s als maximum zijn aangegeven . Het maximum van de wind en de opzet vallen op hetzelfde tijdstip. Opzetduur Ts = 33 uur, ϕ = - 4.5 uur, opzet h = 4 m en Tw = 33 uur.

In het vervolg wordt nader op een aantal aspecten van het windverloop ingegaan. Vooraf worden de volgende getallen gegeven in verband met gevoeligheden. Ten eerste is de hoogte van het windverloop zoals hiervoor al opgemerkt niet van al te grote invloed op de opzetten landinwaarts. Zo levert een 5 m/s hoger windverloop slechts circa 0.10 tot 0.15 m hogere opzetten landinwaarts. Een zeer forse verandering in windsnelheid levert dus een bescheiden verhoging in de opzet. Ten tweede is het tijdstip van het windverloop in relatie tot het hoogwatertijdstip van belang. Wanneer het windverloop uit figuur 3.4 vier uur eerder komt, ondergaan de opzetten landinwaarts volgens oriënterende berekeningen een verlaging van maximaal circa 0.10 m of een verhoging van maximaal 0.05 m (veel locaties zullen een geringere verandering ondergaan). Blijkbaar is het precieze tijdstip (valt de top van de storm al of niet samen met de getijtop die het gebied in loopt) van het windverloop niet geheel irrelevant. Er wordt nu nader ingegaan op een aantal aspecten van het windverloop, aan de hand van [De Ronde, 1986]. In deze referentie is voor Hoek van Holland nagegaan hoe de gemiddelde windsnelheden ten tijde van het hoogwater zich verhouden tot die enige uren voor respectievelijk enige uren na het hoogwater. Beschouwd zijn 6 uur voor en 6, 12 en 15 uur na hoogwater. De beschouwde hoogwaters bestonden uit de jaarextremen, welke beschouwd werden voor elk van de richtingen ZW, WZW, ..., N. De verschillen tussen deze windrichtingen waren niet al te groot, vooral tussen de richtingen WZW t/m NNW, zodat het zinvol is het totaal van de 175

gegevens voor deze richtingen te beschouwen. Wanneer niet alle stormen worden bekeken maar slechts de zwaardere die tijdens hoogwater de 19 m/s overschreden, resulteren de gegevens uit tabel 3.2, zie de rij getiteld 'metingen, ≥ 19 m/s'.61 Uit bijlage 11 van [De Ronde, 1986] kan worden afgelezen hoe door middel van een bepaalde wijze van extrapoleren het windverloop voor hogere dan waargenomen windsnelheden kan worden bepaald. Voor een windsnelheid van 30 m/s tijdens hoogwater, dus op tijdstip T, resulteert dan het windverloop uit tabel 3.2, op de rij getiteld 'extrapolatie, u max = 30 m/s'. (Hoogwater staat hier voor maximale waterstand en niet voor astronomisch hoogwater.) Zoals gezegd zijn deze getallen het resultaat van een bepaalde wijze van extrapoleren; een andere wijze van extrapolatie zou leiden tot andere getallen. WZW t/m NNW T-6 20.5 metingen, ≥ 19 m/s extrapolatie, u max = 30 m/s 30

T 20.5 30

T+6 17.5 26

T + 12 14.0 21

T + 15 12.0 17

Tabel 3.2 Gemiddelde windsnelheid in m/s per tijdstip ten opzichte van hoogwater. Overgenomen uit [De Ronde, 1986]; de rij 'metingen, ≥ 19 m/s' is overgenomen uit tabel 4 en de rij 'extrapolatie, u max = 30 m/s' uit bijlage 11.

Een blik op de getallen in tabel 3.2 leert dat een stormduur Tw = 29 uur zowel als een stormduur Tw = 33 uur te kort is. Uit de rij met metingen volgt een stormduur in de orde van 40 uur, volgens de volgende redenering. Uit de tabel blijkt dat de maximale windsnelheid zo'n 3 uur voor hoogwater valt, namelijk op tijdstip T - 3. Daarnaast wordt het niveau 10 m/s pas bereikt op tijdstip T + 18 (of nog later). De rechterflank van de storm komt aldus op een duur van circa 21 uur. Uitgaande van de veronderstelling dat de linkerflank van de storm even lang duurt, komt men dus op een totale stormduur van circa 40 uur. Op basis van de extrapolaties zou een nog langere stormduur resulteren. Of de extrapolaties uit [De Ronde, 1986] gerechtvaardigd zijn is echter niet helemaal duidelijk. Dat op basis van deze gegevens een stormduur van 33 uur te kort is, is daarentegen evident. Zoals hiervoor werd gesteld, is de duur van de wind echter nauwelijks van invloed op de hoogte van de opzetten landinwaarts, zodat de keuze van 33 uur voor de wind ten behoeve van waterstandsommen gerechtvaardigd is. Merk wel op dat ingeval golven worden beschouwd een langere stormduur wel degelijk relevant is. Indien in de toekomst (zie paragraaf 4.4.7 van de hoofdtekst) niet langer de maximale wind met maximale waterstand wordt gecombineerd ontstaat een onveilige aanpak bij een te smalle stormduur. Relevant is hier misschien dat op dit moment door RIZA-WSH onderzoek wordt verricht naar modelleringen van het windverloop voor stormen te Schiphol, dan zonder naar stormvloeden te kijken. Dat onderzoek is nog niet gerapporteerd. Uit dit onderzoek blijkt (na analyse met de zogenaamde opschalingsmethode62) dat de 20 hoogste stormen te Schiphol (periode 1950 – 2000) op het niveau van 10 m/s een duur van circa 30 uur blijken te hebben. Die duur stemt dus goed overeen met de tot nu toe in Hydra-B gebruikte duren van 29 en 33 uur. Dat de resultaten van tabel 3.2 een breder windverloop te zien geven kan verschillende oorzaken hebben, die op dit moment niet verder zijn onderzocht. We noemen als mogelijke oorzaken: 1. 2. 3. 4.

De stormen die verantwoordelijk zijn voor stormvloeden duren mogelijk langer dan stormen die geen hoge stormvloeden veroorzaken. De storm uit 1953 was uitzonderlijk breed; deze domineert misschien enigszinds de resultaten uit tabel 3.2. De in de analyse voor Schiphol gebruikte stormen komen uit een andere periode, met misschien toevallig wat smallere stormen (eventueel is in de laatste decennia het stormklimaat ook wat veranderd). Stormen voor Hoek van Holland zijn mogelijk wat breder dan die te Schiphol.

Uit tabel 3.2 kan worden afgeleid dat het Sobek-windverloop, dus het in Hydra-B gekozen windverloop, iets te laat valt. Uit de figuren 3.1 en 3.4 blijkt namelijk dat het midden van het Sobek-verloop zo'n 3 uur ná hoogwater valt, terwijl uit tabel 3.2 volgt dat het midden van de werkelijke storm (gemiddeld) zo'n 3 uur vóór hoogwater valt. Het Sobek-verloop lijkt dus zo'n 6 uur te laat te komen. Hier dient wel een kanttekening te worden gemaakt. De gegevens uit [De Ronde, 1986] hebben namelijk betrekking op Hoek van Holland, terwijl het Sobek-verloop representatief dient te zijn voor het gehéle Benedenrivierengebied. De wind boven het gehele gebied zal iets later vallen dan die ter plaatse van Hoek van Holland. Een punt van overweging is hier dat juist de depressies die verantwoordelijk zijn voor extreme zeewaterstanden wellicht een lage treksnelheid over land hebben. De genoemde verlating van 6 uur zal dus minder zijn, zeg zo'n 4 uur. Wanneer het Sobek-verloop in Hydra-B 4 uur 61

De windsnelheid 20.5 m/s in de kolom 'T - 6' wordt niet expliciet genoemd in [De Ronde, 1986]. Er wordt slechts gesteld dat de windsnelheden op de tijdstippen T en T - 6 (nagenoeg) aan elkaar gelijk zijn. 62 Indien in plaats van de opschalingsmethode de analyse wordt uitgevoerd door, net als De Ronde doet, per tijdstip een gemiddelde windsnelheid te bepalen, resulteren wat smallere stormen. 176

naar voren zou worden opgeschoven kan een verlaging van maximaal circa 0.10 m of een verhoging van maximaal 0.05 m van de opzetten het geval zijn (veel locaties zullen een geringere verandering ondergaan). Blijkbaar is het precieze tijdstip van het windverloop niet geheel irrelevant en eigenlijk van grotere invloed op de waterstanden dan de duur Tw. Tevens is het per locatie verschillend hoe een vervroeging of verlating van de storm doorwerkt (valt de top van de storm al of niet samen met de getijtop die het gebied in loopt). We merken nog op dat tabel 3.2 aangeeft dat 3 uur voor hoogwater de windsnelheid nog iets hoger zal zijn dan die tijdens hoogwater en dan die welke 6 uur eerder wordt bereikt. Een iets hoger Sobek-verloop zou heel iets hogere opzetten landinwaarts leveren, maar vermoedelijk niet meer dan een enkele centimeter. Conclusies met betrekking tot Sobek-windverloop in Hydra-B Op grond van het voorgaande beschouwingen, hoofdzakelijk gebaseerd op [De Ronde, 1986], kan het volgende worden gesteld.

1. Een stormduur Tw van 29 uur of 33 uur lijkt te kort. Een duur in de orde van 40 uur lijkt beter. Deze langere duur zou leiden tot circa 0.02 m hogere opzetten landinwaarts. Voor waterstanden is de precieze keuze van de stormduur dus niet zo relevant. Indien golven worden beschouwd is de juiste keuze echter van groot belang indien – wat in de toekomst mischien gebeurt – wordt afgezien van het combineren van maximale wind met maximale waterstand. 2. Het Sobek-windverloop valt naar schatting ongeveer 4 uur te laat. Wanneer het windverloop vier uur eerder komt, ondergaan de opzetten landinwaarts volgens schattingen een verlaging van maximaal circa 0.10 m of een verhoging van maximaal 0.05 m (veel locaties zullen een geringere verandering ondergaan). Blijkbaar is het precieze tijdstip van het windverloop niet geheel irrelevant. 3. Drie uur voor hoogwater zal de windsnelheid nog iets hoger zal zijn dan die tijdens hoogwater en dan die welke 6 uur eerder wordt bereikt. Een Sobek-windverloop met een iets hogere top zou heel iets hogere opzetten landinwaarts leveren, maar vermoedelijk niet meer dan een enkele centimeter. Globaal kan gesteld worden dat de punten (1) en (3) tot een onderschatting van toetspeilen van enkele centimeters leiden. Bij een juister tijdstip van de storm zou volgens punt (2) in incidentele gevallen deze onderschatting kunnen oplopen tot ruim 5 centimeter, maar vaker zal de onderschatting ruimschoots gecompenseerd worden. In feite kan gesteld worden dat in Hydra-B beter voor een iets breder windverloop had kunnen worden gekozen dat enige uren eerder zou optreden. Aan de andere kant berusten deze conclusies niet op gedegen onderzoek. Naar de mening van schrijver dezes zijn de (eventuele) fouten die worden gemaakt door een niet geheel juist windverloop zo klein dat om redenen van vergelijkbaarheid met het verleden het beter is om bij de oude keuze te blijven. Tot slot worden, voor de geïnteresseerde lezer, de tabellen 3.3 en 3.4 gegeven. Daarin worden voor een aantal locaties, respectievelijk voor open en dichte keringen, resultaten voor Zwendlsommen gegeven. Die locaties zijn: • • • • • • • • • • •

Hoek van Holland Rotterdam Maassluis Dordrecht Spijkenisse Schoonhoven Krimpen aan de Lek Werkendam Alblasserdam Moerdijk Hellevoetsluis

In deze sommen zijn diverse grootheden als windrichting, tijdstip storm, stormduur etcetera gevarieerd, zoals is aangegeven in de tabellen. De combinaties van afvoeren, windsnelheden en zeewaterstanden zijn zo gekozen dat ze relevant worden geacht voor waterstandsberekeningen en in het bijzonder voor toetspeilen. Voor probabilistische berekeningen zijn weliswaar meer combinaties relevant dan hier beschouwd, maar de gedachte is dat de beschouwde combinaties een indruk geven van het effect op de berekeningen. Met Sobek zouden de resultaten iets anders uitvallen dan met Zwendl, maar de trends zouden uiteraard hetzelfde blijven.

177

De gegevens zijn afgelezen (uit de getallen in de figuren) uit de uitdraaiien van Henk de Deugd. Het betreft steeds het maximum van de waterstand.

Keringen open Sommen gemaakt door Henk de Deugd. Ontvangen op 30 juni 1999. omschrijv.

waterst

afvoer

wind

duur

duur

tijdstip

fase

Maasmond

Lobith

snelheid

opzet

wind

top wind

getij

open/dicht

wind richting

m + NAP

m3/s

m/s

uur

uur

uur

uur

-

som

H

Q

u

T_s

T_w

t_w

F_s

kering

1

1

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

WNW

Standaardsituatie

2

2.a

4

2000

25

29

29

0

-4.5

O

WNW

Opzet en wind 4 uur korter

3

2.b

4

2000

25

40

40

0

-4.5

O

WNW

Opzet en wind 7 uur langer

4

3.a

4

2000

25

33

29

0

-4.5

O

WNW

Wind 4 uur korter

5

3.b

4

2000

25

33

40

0

-4.5

O

WNW

Wind 7 uur langer

6

4.a

4

2000

25

33

33

-5

-4.5

O

WNW

Wind 5 uur eerder

7

4.b

4

2000

25

33

33

5

-4.5

O

WNW

Wind 5 uur later

8

5

4

2000

25

33

33

0

0

O

WNW

Getij samen met opzet

9

6.a

4

2000

20

33

33

0

-4.5

O

WNW

Wind 5 m/s minder

10

6.b

4

2000

30

33

33

0

-4.5

O

WNW

11

7.a

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

N

12

7.b

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

NNW

13

7.c

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

NW

copy standaardsituatie

R

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

WNW

14

7.d

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

W

15

7.e

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

WZW

16

7.f

4

2000

25

33

33

0

-4.5

O

ZW

Wind 5 m/s meer N NNW NW WNW W WZW ZW

Waterstanden per locatie, m + NAP

HvH

Rott

Msluis

Dord

Spijk

Schoon

Kr a Lek

Werkend

Alblas

Moerd

Hellev

Standaardsituatie

4.04

4.02

3.81

3.10

3.68

3.83

3.65

3.24

3.35

2.89

2.78

Opzet en wind 4 uur korter

4.04

3.99

3.78

2.95

3.65

3.77

3.59

3.07

3.28

2.75

2.65

Opzet en wind 7 uur langer

4.04

4.04

3.84

3.28

3.72

3.90

3.70

3.43

3.43

3.06

2.90

Wind 4 uur korter

4.04

4.01

3.81

3.08

3.68

3.82

3.63

3.19

3.34

2.87

2.79

Wind 7 uur langer

4.04

4.02

3.82

3.14

3.69

3.85

3.65

3.30

3.37

2.92

2.76

Wind 5 uur eerder

4.04

4.04

3.84

3.05

3.71

3.88

3.69

3.12

3.41

2.89

2.84

Wind 5 uur later

4.02

3.91

3.77

3.13

3.62

3.68

3.52

3.33

3.29

2.85

2.62

Getij samen met opzet

4.04

3.98

3.71

2.96

3.63

3.84

3.65

3.01

3.38

2.41

2.19

Wind 5 m/s minder

4.02

3.93

3.78

3.00

3.64

3.69

3.53

3.10

3.24

2.81

2.71

Wind 5 m/s meer

4.06

4.12

3.84

3.22

3.74

4.00

3.77

3.39

3.48

2.99

2.85

N

4.02

3.77

3.79

2.89

3.65

3.39

3.33

2.89

3.03

2.85

2.83

NNW

4.03

3.88

3.81

3.00

3.68

3.57

3.47

3.06

3.17

2.90

2.84

NW

4.04

3.97

3.82

3.08

3.69

3.73

3.58

3.18

3.28

2.92

2.82

WNW

4.04

4.02

3.81

3.10

3.68

3.83

3.65

3.24

3.35

2.89

2.78

W

4.03

4.03

3.79

3.08

3.65

3.87

3.66

3.22

3.37

2.83

2.71

WZW

4.02

4.00

3.76

3.01

3.60

3.85

3.63

3.14

3.33

2.71

2.62

ZW

4.00

3.93

3.73

2.89

3.54

3.75

3.54

2.98

3.24

2.56

2.52

HvH

Rott

Msluis

Dord

Spijk

Schoon

Kr a Lek

Werkend

Alblas

Moerd

Hellev

Standaardsituatie

4.04

4.02

3.81

3.10

3.68

3.83

3.65

3.24

3.35

2.89

2.78

Opzet en wind 4 uur korter

0.00

-0.03

-0.03

-0.15

-0.03

-0.06

-0.06

-0.17

-0.07

-0.14

-0.13

Opzet en wind 7 uur langer

0.00

0.02

0.03

0.18

0.04

0.07

0.05

0.19

0.08

0.17

0.12

Wind 4 uur korter

0.00

-0.01

0.00

-0.02

0.00

-0.01

-0.02

-0.05

-0.01

-0.02

0.01

Wind 7 uur langer

0.00

0.00

0.01

0.04

0.01

0.02

0.00

0.06

0.02

0.03

-0.02

Wind 5 uur eerder

0.00

0.02

0.03

-0.05

0.03

0.05

0.04

-0.12

0.06

0.00

0.06

Wind 5 uur later

-0.02

-0.11

-0.04

0.03

-0.06

-0.15

-0.13

0.09

-0.06

-0.04

-0.16

Getij samen met opzet

0.00

-0.04

-0.10

-0.14

-0.05

0.01

0.00

-0.23

0.03

-0.48

-0.59

Wind 5 m/s minder

-0.02

-0.09

-0.03

-0.10

-0.04

-0.14

-0.12

-0.14

-0.11

-0.08

-0.07

Wind 5 m/s meer

0.02

0.10

0.03

0.12

0.06

0.17

0.12

0.15

0.13

0.10

0.07

N

-0.02

-0.25

-0.02

-0.21

-0.03

-0.44

-0.32

-0.35

-0.32

-0.04

0.05

NNW

-0.01

-0.14

0.00

-0.10

0.00

-0.26

-0.18

-0.18

-0.18

0.01

0.06

NW

0.00

-0.05

0.01

-0.02

0.01

-0.10

-0.07

-0.06

-0.07

0.03

0.04

WNW

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

W

-0.01

0.01

-0.02

-0.02

-0.03

0.04

0.01

-0.02

0.02

-0.06

-0.07

WZW

-0.02

-0.02

-0.05

-0.09

-0.08

0.02

-0.02

-0.10

-0.02

-0.18

-0.16

ZW

-0.04

-0.09

-0.08

-0.21

-0.14

-0.08

-0.11

-0.26

-0.11

-0.33

-0.26

Tabel 3.3 Zwendlsommen voor open keringen.

178

De gegevens zijn afgelezen (uit de getallen in de figuren) uit de uitdraaiien van Henk de Deugd. Het betreft steeds het maximum van de waterstand.

Keringen dicht Sommen gemaakt door Henk de Deugd. Ontvangen op 30 juni 1999. omschrijv.

som

waterst

afvoer

wind

duur

duur

tijdstip

fase

Maasmond

Lobith

snelheid

opzet

wind

top wind

getij

open/dicht

m + NAP

m3/s

m/s

uur

uur

uur

uur

-

H

Q

u

T_s

T_w

t_w

F_s

kering

wind richting R

1

1

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

WNW

Standaardsituatie

2

2.a

3

10000

20

29

29

0

-4.5

D

WNW

Opzet en wind 4 uur korter

3

2.b

3

10000

20

40

40

0

-4.5

D

WNW

Opzet en wind 7 uur langer

4

3.a

3

10000

20

33

29

0

-4.5

D

WNW

Wind 4 uur korter

5

3.b

3

10000

20

33

40

0

-4.5

D

WNW

Wind 7 uur langer

6

4.a

3

10000

20

33

33

-5

-4.5

D

WNW

Wind 5 uur eerder

7

4.b

3

10000

20

33

33

5

-4.5

D

WNW

Wind 5 uur later

8

5

3

10000

20

33

33

0

0

D

WNW

Getij samen met opzet

9

6.a

3

10000

15

33

33

0

-4.5

D

WNW

Wind 5 m/s minder

10

6.b

3

10000

25

33

33

0

-4.5

D

WNW

11

7.a

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

N

12

7.b

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

NNW

13

7.c

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

NW

copy standaardsituatie

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

WNW

14

7.d

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

W

15

7.e

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

WZW

16

7.f

3

10000

20

33

33

0

-4.5

D

ZW

Wind 5 m/s meer N NNW NW WNW W WZW ZW

Waterstanden per locatie, m + NAP

HvH

Rott

Msluis

Dord

Spijk

Schoon

Kr a Lek

Werkend

Alblas

Moerd

Hellev

Standaardsituatie

3.10

2.94

2.64

3.07

2.76

3.74

3.11

3.78

3.08

2.78

2.33

Opzet en wind 4 uur korter

3.09

2.85

2.54

2.99

2.67

3.67

3.01

3.73

2.99

2.72

2.31

Opzet en wind 7 uur langer

3.08

3.03

2.69

3.14

2.82

3.81

3.21

3.83

3.17

2.83

2.38

Wind 4 uur korter

3.10

2.93

2.63

3.05

2.76

3.73

3.10

3.76

3.07

2.77

2.34

Wind 7 uur langer

3.10

2.95

2.64

3.09

2.76

3.76

3.13

3.80

3.10

2.80

2.34

Wind 5 uur eerder

3.10

2.89

2.60

2.96

2.72

3.67

3.03

3.67

2.99

2.66

2.29

Wind 5 uur later

3.08

3.00

2.65

3.16

2.78

3.82

3.21

3.86

3.18

2.84

2.32

Getij samen met opzet

3.11

2.42

2.10

2.73

2.26

3.47

2.61

3.66

2.67

2.56

2.07

Wind 5 m/s minder

3.08

2.88

2.58

2.95

2.70

3.66

3.03

3.65

2.99

2.64

2.25

Wind 5 m/s meer

3.11

3.03

2.69

3.22

2.84

3.85

3.22

3.94

3.21

2.96

2.44

N

3.08

2.80

2.56

2.84

2.64

3.52

2.92

3.51

2.86

2.63

2.29

NNW

3.09

2.86

2.59

2.95

2.69

3.62

3.01

3.63

2.97

2.72

2.33

NW

3.09

2.91

2.63

3.04

2.75

3.70

3.08

3.73

3.05

2.78

2.35

WNW

3.10

2.94

2.64

3.07

2.76

3.74

3.11

3.78

3.08

2.78

2.33

W

3.09

2.94

2.63

3.05

2.74

3.75

3.10

3.78

3.07

2.72

2.30

WZW

3.07

2.92

2.60

2.99

2.72

3.73

3.07

3.72

3.03

2.62

2.25

ZW

3.05

2.87

2.57

2.88

2.67

3.67

2.99

3.63

2.94

2.48

2.16

HvH

Rott

Msluis

Dord

Spijk

Schoon

Kr a Lek

Werkend

Alblas

Moerd

Hellev

Standaardsituatie

3.10

2.94

2.64

3.07

2.76

3.74

3.11

3.78

3.08

2.78

2.33

Opzet en wind 4 uur korter

-0.01

-0.09

-0.10

-0.08

-0.09

-0.07

-0.10

-0.05

-0.09

-0.06

-0.02

Opzet en wind 7 uur langer

-0.02

0.09

0.05

0.07

0.06

0.07

0.10

0.05

0.09

0.05

0.05

Wind 4 uur korter

0.00

-0.01

-0.01

-0.02

0.00

-0.01

-0.01

-0.02

-0.01

-0.01

0.01

Wind 7 uur langer

0.00

0.01

0.00

0.02

0.00

0.02

0.02

0.02

0.02

0.02

0.01

Wind 5 uur eerder

0.00

-0.05

-0.04

-0.11

-0.04

-0.07

-0.08

-0.11

-0.09

-0.12

-0.04

Wind 5 uur later

-0.02

0.06

0.01

0.09

0.02

0.08

0.10

0.08

0.10

0.06

-0.01

Getij samen met opzet

0.01

-0.52

-0.54

-0.34

-0.50

-0.27

-0.50

-0.12

-0.41

-0.22

-0.26

Wind 5 m/s minder

-0.02

-0.06

-0.06

-0.12

-0.06

-0.08

-0.08

-0.13

-0.09

-0.14

-0.08

Wind 5 m/s meer

0.01

0.09

0.05

0.15

0.08

0.11

0.11

0.16

0.13

0.18

0.11

N

-0.02

-0.14

-0.08

-0.23

-0.12

-0.22

-0.19

-0.27

-0.22

-0.15

-0.04

NNW

-0.01

-0.08

-0.05

-0.12

-0.07

-0.12

-0.10

-0.15

-0.11

-0.06

0.00

NW

-0.01

-0.03

-0.01

-0.03

-0.01

-0.04

-0.03

-0.05

-0.03

0.00

0.02

WNW

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

W

-0.01

0.00

-0.01

-0.02

-0.02

0.01

-0.01

0.00

-0.01

-0.06

-0.03

WZW

-0.03

-0.02

-0.04

-0.08

-0.04

-0.01

-0.04

-0.06

-0.05

-0.16

-0.08

ZW

-0.05

-0.07

-0.07

-0.19

-0.09

-0.07

-0.12

-0.15

-0.14

-0.30

-0.17

Tabel 3.4 Zwendlsommen voor dichte keringen.

179

180

Bijlage 3 – Extra formules en motivatie ten behoeve van Hydra-B 1 Inleiding Deze bijlage geeft gedetailleerde formules die in het kader van Hydra-B van belang zijn en is bedoeld voor de geïnteresseerde lezer die goed bekend is met de Hydra-B-formules en die bij voorkeur over een goede wiskundige achtergrond beschikt. Waar in deze bijlage over de hoofdtekst wordt gesproken is het rapport exclusief bijlagen bedoeld, bestaande uit de hoofdstukken 1 t/m 9. Verwijzingen naar paragrafen, hoofdstukken, figuren en dergelijke zonder dat de hoofdtekst wordt genoemd, betreffen verwijzingen binnen deze bijlage. In deze bijlage beperken we ons tot de situatie van afhankelijk falen. Hoofdstuk 2 geeft een deel van de uit de hoofdtekst bekende Hydra-B formules, met een iets gewijzigde notatie. Hoofdstuk 3 geeft een opsomming van de formules voor de uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie naar afvoerniveaus zoals die op dit moment (t/m rekenhart versie 1.8.2) in Hydra-B zijn geïmplementeerd. Deze formules worden in deze bijlage aangeduid als het ‘oude recept’ voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus; dit oude recept werd in paragraaf 9.2 van de hoofdtekst al kort besproken. Onder andere wordt gedemonstreerd dat dit recept voor volledig door de afvoer gedomineerde locaties bijdragen geeft die in benadering direct uit de werklijn volgen. Hoofdstuk 4 geeft de formule voor de uitsplitsing naar piekafvoeren zoals die op dit moment (t/m rekenhart versie 1.8.2) in Hydra-B is geïmplementeerd. De figuren 4.1 en 4.2 uit dit hoofdstuk kunnen worden gebruikt om te laten zien dat het nieuwe uitsplitsingsrecept uit hoofdstuk 7 niet meer de in paragraaf 9.2 van de hoofdtekst besproken ‘rare piek’ vertoont. Hoofdstuk 5 geeft een ‘continue’ versie van de Hydra-B formules. Hiermee kan het nieuwe recept voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus beter geformuleerd worden dan met de discrete versie. Terzijde merken we op dat in [Geerse, 2003a] op basis van de continue versie van de Hydra-B formules ook het verband met de in het programma Dijkring gebruikte berekening van de overschrijdingsfrequentie kon worden gelegd. Hoofdstuk 6 geeft een alternatieve formule voor de Deltamethode, die het verband tussen deze methode en de continue versie van de Hydra-B formule duidelijk maakt. Dat verband wordt in paragraaf 8.4 gebruikt. In hoofdstuk 7 wordt het nieuwe recept behandeld voor de uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie naar afvoerniveaus. Dit is een verbeterd recept dat de formules zoals gegeven in hoofdstuk 3 moet vervangen. Tevens worden formules gegeven waarmee de uitsplitsing naar keringssituatie bepaald kan worden indien de overschrijdingsfrequentie wordt uitgesplitst naar piekafvoeren. In hoofdstuk 8 worden een nadere motivatie en meer achtergronden gegeven van het nieuwe recept om uit te splitsen naar afvoerniveaus. In paragraaf 8.1 worden de percentielen volgens het nieuwe recept vergeleken met de uitsplitsing naar piekwaarden; dan blijkt dat deze percentielen onder die van die voor de piekwaarden liggen. Paragraaf 8.2 behandelt de uitkomsten volgens het nieuwe recept voor volledig afvoergedomineerde locaties. Paragraaf 8.3 geeft een alternatieve fomule voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus, waaraan te zien valt de som van de bijdragen van twee intervallen gelijk is aan de bijdrage van de vereniging van die intervallen; dat laatste dient logischerwijs het geval te zijn voor een deugdelijk uitsplitsingsrecept. Paragraaf 8.4 laat zien dat voor locaties waar de Deltamethode hetzelfde antwoord geeft als Hydra-B het nieuwe uitsplitsingsrecept het enig juiste antwoord geeft; deze uitsplitsing blijkt voor deze locaties overeen te komen met die volgens het oude recept.

181

2 Hydra-B formules Naast de definities uit de hoofdtekst worden die uit [Geerse, 2002a] en [Duits, 2001a] hier bekend verondersteld. We geven nu enkele aanvullende definities. De grenswaarde qg zal voortaan worden aangeduid als β. Voor de bijdrage van de lage en hoge afvoer zullen we de volgende kortere notatie gebruiken: Ψ H ,lg (h) = Ψ H (h, Q laag)

(2.1)

Ψ H , hg (h) = Ψ H (h, Q hoog)

(2.2)

We schrijven f (q, r , Ω) = P (r ) P ( H q > h, Ω | q, r ) ∞ ⎛ ⎞ = P(r ) ∫ ⎜ g (u , m | r ) p(Ω | q, u , m, r )du ⎟ dm ∫ ⎜ ⎟ 0 ⎝ u:H ( q , u , m , r , Ω ) > h ⎠ = kans dat bij gegeven afvoer q in een getijperiode niveau h wordt overschreden in combinatie met richting r en keringtoestand Ω

(2.3)

Verder definiëren we f ( q, r ) =

∑

f ( q, r , Ω)

(2.4)

Ω= O , D

16

f ( q , Ω) = ∑ f ( q , r , Ω)

(2.5)

f ( q ) = ∑ f ( q, r , Ω)

(2.6)

r =1

Ω,r

waarbij f(q) de getijkans P(Hq > h) voorstelt. De Hydra-B formules luiden in deze notatie als volgt. Ψ H (h) = Ψ H ,lg (h) + Ψ H , hg (h)

(2.7)

met β

Ψ H ,lg (h) = N ∫ g (q ) f (q)dq

(2.8)

0

∞

Ψ H , hg (h) = ∫ψ (k ) P ( F | k )dk

(2.9)

β

n

P ( F | k ) = 1 − ∏ (1 − f (q( j )) )

(2.10)

j =1

De Deltamethode komt overeen met de berekeningswijze voor de lage afvoeren, maar dan toegepast voor het hele bereik van de afvoeren. Dus ∞

Ψ H ,Delta (h) = N ∫ g (q ) f (q)dq 0

182

(2.11)

3 Uitsplitsing naar afvoerniveaus De overschrijdingsfrequentie ΨH(h) wordt in de huidige versie van Hydra-B (tot en met versie 1.8.2 van het rekenhart) uitgesplitst naar afvoerniveaus zoals hieronder beschreven. De formules daarvoor zijn, met kleine wijzigingen in de notatie, overgenomen uit [Duits, 2001b]. Voor de lage afvoeren is het uitsplitsingsrecept betrekkelijk voor de hand liggend; voor de hogere afvoeren is dat niet het geval. Het recept voor de hogere afvoeren werd reeds kort uitgelegd in paragraaf 9.2.1 uit de hoofdtekst.

3.1 Uitsplitsing naar afvoerniveaus voor de lage afvoeren De uitsplitsing van ΨH,lg(h) naar de combinatie van richting r en keringssituatie Ω wordt gedefinieerd als β

Ψ H ,lg (h, r , Ω) = N ∫ g (q ) f (q, r , Ω)dq

(3.1)

0

verder definiëren we β

Ψ H ,lg (h, r ) = ∑ ∫ g (q) f (q, r , Ω)dq

(3.2)

Ω 0

β

Ψ H ,lg (h, Ω) = ∑ ∫ g (q) f (q, r , Ω)dq r

(3.3)

0

Uit (3.1) volgt met behulp van (2.6) en (2.8) Ψ H ,lg (h) = ∑ Ψ H ,lg (h, r , Ω)

(3.4)

r ,Ω

Tabel 3.1 geeft een overzicht van de geldende relaties R 1 2 3 … … 16 omnidirectioneel

O ΨH,lg(h,1,O) ΨH,lg(h,2,O) … … … ΨH,lg(h,16,O) ΨH,lg(h,O)

D ΨH,lg(h,1,D) ΨH,lg(h,2,D) … … … ΨH,lg(h,16,D) ΨH,lg(h,D)

O+D ΨH,lg(h,1) ΨH,lg(h,2) … … … ΨH,lg(h,16) ΨH,lg(h)

Tabel 3.1 Overzicht uitsplitsingen lage afvoer

We merken op dat de kans op de dichte keringssituatie nul is voor oostelijke richtingen, zodat ΨH,lg(h,r,D) = 0 voor r = 1 t/m 9 (NNO t/m WZW). De uitsplitsing van ΨH,lg(h,r,Ω) naar een interval [q1,q2] van afvoeren wordt gegeven door q2

Ψ H ,lg (h,[q1 , q2 ], r , Ω) = N ∫ g (q) f (q, r , Ω)dq

(3.5)

q1

Deze uitsplitsing is overigens niet geïmplementeerd in Hydra-B. Wel geïmplementeerd zijn de uitsplitsingen q2

Ψ H ,lg (h,[q1 , q2 ], Ω) = N ∑ ∫ g (q ) f (q, r , Ω)dq r

(3.6)

q1

q2

Ψ H ,lg (h,[q1 , q2 ]) = N ∑ ∫ g (q ) f (q, r , Ω)dq

(3.7)

r , Ω q1

183

3.2 Uitsplitsing naar afvoerniveaus voor de hoge afvoeren Om het uitsplitsingsrecept voor de hoge afvoeren te beschrijven definiëren we eerst, gerelateerd aan een getijperiode, de hulpgrootheden ∞

 Ψ H , hg ( h, r , Ω) = N ∫ g ( q ) f ( q, r , Ω) dq

(3.8)

  Ψ H , hg ( h, r ) = ∑ Ψ H , hg ( h, r , Ω)

(3.9)

  Ψ H , hg ( h, Ω) = ∑ Ψ H , hg ( h, r , Ω)

(3.10)

  Ψ H , hg ( h) = ∑ Ψ H , hg ( h, r , Ω)

(3.11)

β

Ω

r

r ,Ω

De uitsplitsing van ΨH,hg(h) naar de combinatie van richting r en keringssituatie Ω wordt nu gedefinieerd als Ψ H , hg (h, r , Ω) =

 Ψ H , hg ( h, r , Ω) Ψ H , hg (h)  Ψ ( h)

(3.12)

H , hg

Merk op dat vanwege (3.11) de sommatie van (3.12) over r en Ω inderdaad ΨH,hg(h) oplevert, dus dat Ψ H , hg (h) = ∑ Ψ H , hg (h, r , Ω)

(3.13)

r ,Ω

We definiëren (uiteraard) ΨH,hg(h,r) als de sommatie van (3.12) over Ω en ΨH,hg(h,Ω) als de sommatie van (3.12) over r. Dan volgt uit (3.9) en (3.10)  Ψ H , hg ( h, r ) Ψ H , hg (h)  Ψ ( h)

Ψ H , hg (h, r ) = ∑ Ψ H , hg (h, r , Ω) = Ω

(3.14)

H , hg

Ψ H , hg (h, Ω) = ∑ Ψ H , hg (h, r , Ω) = r

 Ψ H , hg ( h, Ω) Ψ H , hg (h)  Ψ (h)

(3.15)

H , hg

Merk op dat van deze uitsplitsingen een tabel met dezelfde structuur als tabel 3.1 zou kunnen worden gemaakt. Om de uitsplitsing naar een interval [q1,q2] van afvoeren te geven definiëren we eerst analoog aan (3.5) q2

 Ψ H , hg ( h,[ q1 , q2 ], r , Ω) = N ∫ g ( q ) f ( q, r , Ω) dq

(3.16)

q1

De eigenlijke uitsplitsing wordt dan gedefinieerd als Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ], r , Ω) =

 Ψ H , hg ( h,[ q1 , q2 ], r , Ω) Ψ H , hg (h)  Ψ ( h)

(3.17)

H , hg

Deze uitsplitsing is overigens niet geïmplementeerd in Hydra-B. Wel geïmplementeerd zijn (in ieder geval t/m rekenhart 1.8.2) Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ], Ω) = ∑ Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ], r , Ω) r

en

184

(3.18)

Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ]) = ∑ Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ], r , Ω)

(3.19)

r ,Ω

Voor [q1,q2] = [β,∞) wordt (3.16) gelijk aan (3.8). Tevens worden (3.17), (3.18) en (3.19) dan gelijk aan respectievelijk (3.12), (3.15) en (3.13).

3.3 Het uitsplitsingsrecept voor volledig afvoergedomineerde locaties Een locatie wordt volledig door de afvoer gedomineerd indien de afvoer de enige grootheid is die fysisch van invloed is op de beschouwde belasting. Indien bijvoorbeeld waterstanden worden beschouwd wordt aangenomen dat de zeewaterstand, windsnelheid en windrichting geen invloed hebben op de waterstand, zoals bijvoorbeeld voor locaties nabij Tiel in goede benadering het geval is. Voor dergelijke locaties zullen we laten zien dat het uitsplitsingsrecept in benadering direct volgt uit de werklijn van de afvoer. Voor het beschouwde belastingniveau h is er voor deze locaties een afvoer qh waarvoor de getijkans f(q) abrupt van 0 naar de waarde 1 springt. Dus ⎧1 , als q ≥ qh f (q) = ⎨ ⎩0 , als q < qh

(3.20)

Uit (3.11), (3.8) en (2.6) volgt dan  Ψ H , hg ( h) = NP (Q > qh )

(3.21)

Uit (3.20) en (2.10) volgt dat voor k > qh geldt P(F | k) = 1 en voor k < qh geldt P(F | k) = 0, zodat (2.9) impliceert Ψ H , hg (h) = Ψ (qh )

(3.22)

Definieer d(q) als de gemiddelde overschrijdingsduur van niveau q binnen afvoergolven waarvan de piekwaarde q overschrijdt, ofwel d (q) =

NP (Q > q ) Ψ (q)

(3.23)

Dan volgt uit (3.19), (3.17), (3.16), (2.6) ,(3.20), (3.21) en (3.22) voor qh < q1 < q2, Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ]) = NP (q1 < Q < q2 ) =

N ( P (Q > q1 )) − P (Q > q2 ) )

Ψ ( qh ) NP (Q > qh )

(3.24)

d (qh )

waarbij de laatste gelijkheid volgt uit (3.23). Voor q1 < q2 < qh volgt eenvoudig dat ΨH,hg(h, [q1,q2]) = 0, zoals voor een uitsluitend door de afvoer bepaalde locatie ook het geval moet zijn. Indien q1 en q2 niet te veel verschillen geldt d (q1 )  d (q2 ), in welk geval (3.24) vanwege (3.23) overgaat in Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ]) 

d (q1 ) ( Ψ (q1 ) − Ψ (q2 ) ) d ( qh )

(3.25)

Indien qh de maatgevende afvoer is, of een nog hogere afvoer, geldt in (ruwe) benadering d (qh ) ≈ d (q1 ), zodat uit (3.25) dan volgt Ψ H , hg (h,[q1 , q2 ]) ≈ Ψ (q1 ) − Ψ (q2 )

(3.26)

De bijdrage aan [q1,q2] volgt voor een uitsluitend door de afvoer bepaalde locatie dus direct, zij het in benadering, uit de werklijn van de afvoer.

185

4 Uitsplitsing naar piekafvoeren De in dit hoofdstuk behandelde uitsplitsing naar piekafvoeren, die in Hydra-B is geïmplementeerd, heeft slechts betrekking op de hoge afvoeren (IAG-methode). Falen wordt daarbij in essentie toegekend aan een gehele afvoergolf in plaats van aan één niveau. Wiskundig wordt het falen weliswaar aan de piekwaarde van de golf toegekend, dus aan één afvoerwaarde, maar de juiste interpretatie is dat het falen wordt toegekend aan de gehele golf in plaats van aan het ene getal dat de piekwaarde geeft. De manier van uitsplitsen naar het interval van (piek)afvoeren [q1,q2] wordt direct gesuggereerd door (2.9) en luidt,voor β < q1 < q2, q2

Ψ H , hg , golf (h,[q1 , q2 ]) = ∫ ψ (k ) P ( F | k )dk

(4.1)

q1

Merk op dat, zoals het geval moet zijn Ψ H , hg (h,[ β , ∞)) = Ψ H , hg (h)

(4.2)

In [Duits, 2001a] wordt een pragmatisch recept voor de verdere uitsplitsing van (4.1) naar de keringssituatie behandeld. Dat blijkt echter niet voor alle locaties in het Benedenrivierengebied te voldoen. Hoofdstuk 7 geeft een verbeterd recept voor deze uitsplitsing, zie (7.27), dat (op dit moment) echter niet in Hydra-B is geïmplementeerd. Voor de twee in hoofdstuk 9 van de hoofdtekst behandelde riviertakken zijn de 5%- en 95%-percentielen van de uitsplitsing naar piekafvoeren bepaald met Hydra-B, zie figuur 4.1 en 4.2. Ook zijn ter vergelijking de uitsplitsingen naar afvoerniveaus weergegeven, die al eerder werden besproken in paragraaf 9.2 van de hoofdtekst, en de lijn van de maximale bijdrage. Daarbij is de afvoer met de maximale bijdrage op een locatie gedefinieerd als het midden van het interval [q1, q2] dat de grootste bijdrage levert aan de uitsplitsing (3.19) naar afvoerniveaus. De berekende afvoer met de maximale bijdrage is erg gevoelig voor de gebruikte discretisaties, vandaar dat deze lijn een nogal springerig verloop vertoont. Daarnaast speelt vermoedelijk ook een rol in het springerige karakter dat slechts een beperkt aantal afvoeren (namelijk 9 stuks) in de waterstandssommen zijn doorgerekend; bij een ander aantal zou waarschijnlijk een wat andere lijn resulteren. In hoofdstuk 9 van de hoofdtekst werd gewezen op de ‘rare piek’ met zeer hoge afvoeren in de percentiellijnen voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus nabij Sliedrecht en Nieuwe Merwede km 975. In paragraaf 8.1 zal blijken dat het nieuwe recept voor de uitsplitsing (zie hoofdstuk 7) naar afvoerniveaus leidt tot percentiellijnen die onder die van de piekwaarden liggen. Omdat volgens figuur 4.1 en 4.2 de uitsplitsing naar piekwaarden geen rare piek vertoont, is dus zeker dat het nieuwe recept geen rare piek meer vertoont.

186

O+D: Rijn, bijdr 95% -perc . O+D: Rijn, max . bijdrage O+D: Rijn, bijdr 5% -perc .

25000

O+D: Rijn, bijdr 95% -perc .(af v oergolf ) O+D: Rijn, max .bijdrage (af v oergolf ) O+D: Rijn, bijdr 5% -perc .(af v oergolf )

afvo e r [m 3/s ]

20000

15000

10000

5000

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990

1000 1010 1020 1030 1040

k m -r aai Waal - Noor d - M aas m on d

Figuur 4.1 Uitsplitsing naar piekafvoer voor tak 1 (open en dicht tezamen); tevens zijn de uitsplitsingen naar afvoerniveaus en de lijn van de maximale bijdrage aangegeven.

O+D: Rijn, bijdr 95% -perc . O+D: Rijn, max . bijdrage O+D: Rijn, bijdr 5% -perc . O+D: Rijn, bijdr 95% -perc .(af v oergolf )

25000

O+D: Rijn, max .bijdrage (af v oergolf ) O+D: Rijn, bijdr 5% -perc .(af v oergolf )

afvoe r [m 3/s ]

20000

15000

10000

5000

0 910

920

930

940

950

960

970

980

990 1000 1010 1020 1030 1040

k m -r aai Waal - Nw .M e r w e d e - Har in gvlie t

Figuur 4.2 Uitsplitsing naar piekafvoer voor tak 2 (open en dicht tezamen); tevens zijn de uitsplitsingen naar afvoerniveaus en de lijn van de maximale bijdrage aangegeven.

187

5 Continue versie voor de Hydra-B formules In [Geerse, 2002a], zie ook [Geerse, 2003a], wordt een ‘continue’ versie van de Hydra-B formules beschouwd. De formules daarvoor worden hier herhaald. Met de continue versie kan een verband met de Deltamethode worden gelegd (zie hoofdstuk 6) en kan het nieuwe recept uit hoofdstuk 7 voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus beter geformuleerd worden dan met de discrete versie. Terzijde merken we op dat in [Geerse, 2003a] op basis van de continue versie van de Hydra-B formules ook het verband met de in het programma Dijkring gebruikte berekening van de overschrijdingsfrequentie kon worden gelegd. De faalkans P(F | k) zullen we in het vervolg schrijven als P(F | β, k), zodat in de notatie zichtbaar wordt dat de kans van de grenswaarde β afhangt. In P(F | β, k) komt een discreet produkt van kansen gerelateerd aan getijperioden voor. In de genoemde referenties wordt uitgelegd dat P(F | β, k) benaderd kan worden door een integraal. Deze continue versie wordt dan aangeduid met G(β, k); indien met α(t,k), zie ook figuur 5.1, het tijdsverloop van de afvoergolf met piekwaarde k wordt aangegeven, luidt de formule hiervoor β ,k ) ⎧t(neer ⎫ ⎪ ⎪ G ( β , k ) = 1 − exp ⎨ ∫ ln (1 − f (α (t , k )) ) dt ⎬ ⎪⎩t(opβ ,k ) ⎭⎪

(5.1)

P( F | β , k ) ≅ G ( β , k )

(5.2)

zodat dus

Dit is een vrij goede benadering: indien de tijd in de integraal in (5.1) wordt gediscretiseerd in getijperioden levert de numerieke berekening van G(β,k), zoals geverifieerd kan worden, namelijk precies P(F|β,k). Omdat bij een discretisatie in getijperioden redelijk nauwkeurig het verloop van de afvoer in de tijd kan worden gevolgd (omdat de afvoer gedurende een getijperiode niet al te zeer varieert) moet de benadering in (5.2) dus redelijk nauwkeurig zijn.

k

q

t2

t1 op

t neer

Figuur 5.1 Definities voor de afvoergolf α(t,k). Hier geldt t1 = t (q,k) en t2 = t

(q,k).

De afvoergolf heeft een voor- en achterflank. Voor k > q zullen we het tijdstip waarop tijdens de voorflank het niveau q wordt doorschreden aangeven met top(q,k). Zie figuur 5.1 ter illustratie. Analoog geven we het tijdstip op de achterflank aan met tneer(q,k). Voor q = k is de volgende conventie handig, namelijk dat top(q,k) dan gelijk wordt genomen aan het tijdstip waarop de voorflank van de golf de waarde k bereikt, terwijl tneer(q,k) dan gelijk wordt genomen aan het tijdstip waarop de achterflank lager gaat worden dan k. In figuur 5.1 zijn beide tijdstippen gelijk aan elkaar. Indien echter de top een horizontaal niveau heeft van duur b(k) zal dat niet het geval zijn. Dan geldt b(k ) = t neer (k , k ) − t op (k , k )

(5.3)

In [Geerse, 2002a] en [Geerse, 2003a] wordt aangetoond dat G(β,k) ook als integraal over de afvoer kan worden geschreven in plaats van als integraal over de tijd; in feite betreft de herschrijving niets anders dan het op een standaardmanier overgaan op een andere integratievariabele, waarbij dat in dit geval met enige zorg dient te

188

gebeuren omdat een afvoerniveau q voor twee tijdstippen wordt aangenomen (betreft geen 1 op 1 transformatie). Naast (5.1) wordt G(β,k) dan ook gegeven door G ( β , k ) = 1 − (1 − f (k ) )

b(k )

⎧⎪ k ∂L(q, k ) ⎫⎪ exp ⎨ ∫ ln (1 − f (q ) ) dq ⎬ ∂q ⎩⎪ β ⎭⎪

(5.4)

Hierin geeft L(q,k) de duur in getijperioden dat niveau q wordt overschreden binnen de golf met piekwaarde k. De continue versie van de Hydra-B formules, zie (2.8), (2.9) en (2.10), luidt dan β

Ψ H ,lg (h) = N ∫ g (q ) f (q)dq

(5.5)

0

∞

Ψ H , hg (h) = ∫ψ (k )G ( β , k )dk

(5.6)

β

waarbij we omwille van het overzicht ook de formule voor de lage afvoeren hebben weergegeven.

6 Alternatieve formule voor de Deltamethode In dit hoofdstuk wordt een alternatieve formule voor de Deltamethode gegeven, waarmee het verband tussen deze methode en de continue versie van de Hydra-B formule duidelijk wordt. Tevens kan later voor locaties uit het westelijk deel van het Benedenrivierengebied – zie paragraaf 8.4 – op basis van de hier gegeven beschouwingen gedemonstreerd worden dat het nieuwe uitsplitsingsrecept voor afvoerniveaus uit hoofdstuk 7 hetzelfde resultaat geeft als de uitsplitsing volgens de Deltamethode. In hoofdstuk 2 werd de formule voor de Deltamethode gegeven, die volgens (2.11) luidde, ∞

Ψ H ,Delta (h) = N ∫ g (q ) f (q)dq

(6.1)

0

De alternatieve formule voor de Deltamethode luidt, voor iedere β1 > β, β1

∞

0

β1

Ψ H ,Delta (h) = N ∫ g (q) f (q )dq + ∫ ψ (k )G ( β1 , k )dk

(6.2)

met G ( β1 , k ) gedefinieerd door G ( β1 , k ) =

t(neer β1 ,k )

∫

f (α (t , k ))dt

(6.3)

t(opβ

1 ,k )

Het bewijs van (6.2) gaat als volgt. We brengen eerst in herinnering, zie hoofdstuk 3 uit de hoofdtekst, dat geldt, voor de hier gebruikte consistentie afvoerstatistiek, voor q > β, ∞

∞

q

q

NP(Q > q ) = ∫ψ (k ) L(q, k )dk = N ∫ g (k )dk

(6.4)

De ‘Regel van Leibniz’, zie [Geerse, 2002a] voor de wiskundig-technische details, geeft dan door differentiatie naar q dat, voor q > β, ∞

Ng (q) = ∫ψ (k ) q

∂L(q, k ) dk + b(q )ψ (q) ∂q

(6.5)

189

Allereerst herschrijven we, analoog aan (5.1) en (5.4), de integraal (6.3) als een integratie over afvoeren, met als resultaat G ( β1 , k ) =

k

∫ f (q ) β 1

∂L(q, k ) dq + b(k ) f (k ) ∂q

(6.6)

Hieruit volgt ∂G ( β1 , k ) ∂L( β1 , k ) = − f ( β1 ) ∂β1 ∂β1

(6.7)

G ( β1 , β1 ) = b( β1 ) f ( β1 )

(6.8)

Volgens (6.3) geldt

Differentiatie naar β1 van (6.2) levert, door gebruik te maken van de Regel van Leibniz, d Ψ H , Delta (h) d β1

∞ ∂G ( β1 , k ) = Ng ( β1 ) f ( β1 ) −ψ ( β1 )G ( β1 , β1 ) + ∫ ψ (k ) dk ∂β1 β1

(6.9)

Uit (6.5), (6.7) en (6.8) volgt dan, voor β1 > β, d Ψ H , Delta (h) d β1

=0

(6.10)

Dus ΨH,Delta(h) gegeven door (6.2) hangt niet van β1 af. Door de limiet β1 → ∞ te beschouwen volgt dan dat (6.2) gelijk moet zijn aan de formule in (6.1), hetgeen te bewijzen viel. We merken op dat het hier gegeven bewijs in essentie ook al te vinden is in [Volker, 1989], dan afgezien van de term b(k) in bovenstaande. In hoofdstuk 5 werd toegelicht dat G(β,k) bij een discretisatie van de tijd in getijperioden overgaat in P(F|β,k), die volgens (2.10) wordt gegeven door n

P ( F | β , k ) = 1 − ∏ (1 − f (q( j )) )  G ( β , k )

(6.11)

j =1

Het is eenvoudig aan te tonen dat analoog hieraan geldt n

P ( F | β , k ) = ∑ f (q ( j ))  G ( β , k )

(6.12)

j =1

waarbij de sommatie in het middelste lid de definitie van het linkerlid vormt. Het quotiënt tussen de rechterleden van (6.11) en (6.12) schrijven we als J (β , k ) =

G(β , k ) G ( β , k )

(6.13)

P( F | β , k ) i (F | β , k ) P

(6.14)

en de discrete versie daarvan als J discr ( β , k ) =

Uiteraard geldt dan, hoewel de kwaliteit van de benadering niet verder is onderzocht63, op grond van (6.11) en (6.12)

63

De fout in een quotiënt kan groot zijn indien de noemer dicht bij nul ligt; in het laatste geval dient de relatieve fout met name in de noemer klein te zijn wil sprake zijn van een goede benadering. 190

J discr ( β , k ) ≅ J ( β , k )

(6.15)

Door in (6.2) β1 = β te kiezen volgt β

∞

0

β

Ψ H ,Delta (h) = N ∫ g (q ) f (q)dq + ∫ψ (k )G ( β , k )dk

(6.16)

terwijl de Hydra-B formule vanwege (6.13) luidt β

∞

0

β

i ( β , k )dk Ψ H (h) = N ∫ g (q ) f (q)dq + ∫ψ (k ) J ( β , k )G

(6.17)

Blijkbaar wordt de Hydra-B formule gelijk aan die voor de Deltamethode indien J(β,k) ≅ 1. Op grond van wat bekend is over de Deltamethode zou dat, zie hoofdstuk 5 en 6 uit de hoofdtekst, het geval moeten zijn in het westelijk deel van het Benedenrivierengebied. We weten dat voor dit gebied de getijkans f(q) = P(Hq>h) klein is, omdat bij een gegeven afvoer q altijd een redelijk extreme stormvloed (of ‘gewone’ storm) vereist is om niveau h te overschrijden. Dat J(β,k) inderdaad klein wordt in het westelijk deel van het gebied kan vrij eenvoudig worden ingezien voor de discrete versie van J(β,k). Indien namelijk het produkt in het middelste lid van (6.11) wordt uitgeschreven en de 2-de en hogere orde termen worden weggelaten, resulteert het middelste lid van (6.12), waaruit blijkt dat n

J discr ( β , k ) =

1 − ∏ (1 − f (q( j )) ) j =1 n

∑

≅1

indien f (q( j )) ≅ 0 voor alle j

(6.18)

f (q ( j ))

j =1

Vanwege (6.15) volgt dus dat in het westelijk deel van het gebied inderdaad geldt J(β,k) ≅ 1, zodat in dat deel van het gebied de Hydra-B formule hetzelfde resultaat geeft als de Deltamethode. Overigens dient wel te worden vermeld dat de hele beschouwing iets kwalitatiefs heeft, omdat de kwaliteit van de benaderingen niet geheel duidelijk is; onder meer is niet aangegeven onder welke omstandigheden (dus bij welke locaties) de benaderingen niet meer gelden. Verder is het zo dat voor zeer grote k, bijvoorbeeld voor volstrekt absurd hoge waarden als zeg 1000000 m3/s, ook nabij de kust J(β,k) niet klein meer zal zijn. In dat geval zal ψ(k) echter zo klein zijn dat het produkt ψ(k)J(β,k) zo klein zal zijn dat deze zeer hoge waarden van k geen bijdrage aan de integrand in het laatste lid van (6.17) geven.

7 Nieuw recept voor het uitsplitsen van de overschrijdingsfrequentie In hoofdstuk 3 zijn formules gegeven voor de uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie ΨH(h) naar afvoerniveaus. Er is gebleken (zie ook hoofdstuk 9 van de hoofdtekst) dat deze formules voor een deel van de locaties in het overgangsgebied onjuiste resultaten geven. Dat is onder andere het geval in de buurt van Sliedrecht en om en nabij de Nieuwe Merwede km 975. In dit hoofdstuk wordt een verbeterd recept gegeven om ΨH(h) uit te splitsen naar afvoerniveaus. Het nieuwe recept betreft de uitsplitsing naar afvoerniveaus, windrichtingen en keringssituatie. Een zeer beknopte uitleg van het recept werd reeds in paragraaf 9.2 van de hoofdtekst gegeven; in paragraaf 7.1 hieronder wordt een wat uitgebreidere globale uitleg daarvan gegeven, terwijl paragraaf 7.2 de gedetailleerde formules geeft. Het nieuwe recept betreft slechts de uitsplitsing van ΨH,hg(h); de uitsplitsing van ΨH,lg(h) gegeven in paragraaf 3.1 behoeft niet te worden aangepast. We zullen steeds uitgaan van de continue versie van de Hydra-B formules. Ten behoeve van de implementatie kunnen deze formules eenvoudig worden omgezet in de discrete versie, door de integratie over de tijd die in de formules voorkomt te vervangen door een sommatie, met de tijd gediscretiseerd in getijperioden. In paragraaf 7.2 wordt tevens een recept gegeven om de in hoofdstuk 4 gegeven uitsplitsing naar piekafvoeren verder op te splitsen naar keringssituatie.

191

7.1 Globale uitleg van het nieuwe recept Om het idee achter het uitsplitsingsrecept uit te leggen beschouwen we slechts afvoeren en geen windrichtingen en keringssituaties.

q+∆q q t2

t1

t

Figuur 7.1 Definitie van t1 en t2 binnen de golf met piekwaarde k.

Beschouw een afvoergolf met piekwaarde k. De kans dat gedurende de passage van deze golf falen optreedt wordt gegeven door G(β,k). Het nieuwe recept bestaat er uit dat een faalgebeurtenis die tijdens deze golf optreedt ‘naar evenredigheid’ wordt verdeeld over de afvoeren die binnen de golf voorkomen. De bijdrage aan een afvoerniveau q wordt losjes gezegd daarbij evenredig genomen aan de kans f(q) en aan de duur dat het niveau q binnen de golf aanhoudt. Om dit preciezer te omschrijven beschouwen we een interval [q, q + ∆q] met ∆q niet al te groot, zodat f(q) ≅ f(q + ∆q). De tijdsduur dat afvoeren in [q, q + ∆q] optreden tijdens de golf met piekwaarde k is gelijk aan ∆t(q,k) = t1 + t2, waarbij t1 en t2, zie figuur 7.1, de duren in de opgaande en dalende tak vormen gedurende welke de afvoer zich in het beschouwde interval bevindt. We stellen nu dat de bijdrage aan [q, q + ∆q] die geleverd wordt door de golf met piekwaarde k gelijk moet zijn aan B ([q, q + ∆q ] | k ) = J ( β , k ) f (q ) ∆t (q, k )

(7.1)

met J(β,k) een evenredigheidsconstante die zo bepaald moet worden dat alle bijdragen tezamen de faalkans G(β,k) opleveren (hieronder zal blijken dat J(β,k) gelijk is aan het eerder gedefinieerde quotiënt uit (6.13)). Stel dat q1 = β q2 = β + ∆q q3 = β + 2∆q qn −1

... = k − ∆q

(7.2)

qn = k

Dan moet voor de bijdrage uit (7.1) gelden n −1

G ( β , k ) = J ( β , k )∑ f (qi )∆t (qi , k )

(7.3)

i =1

De sommatie over afvoeren in het rechterlid kan worden vervangen door een sommatie over de tijd. In plaats van de afvoer te discretiseren met stapjes ∆q kan men dus evengoed de tijd discretiseren met stapjes ∆t, mits tenminste ∆q en ∆t klein genoeg zijn. De lezer kan dan voor zichzelf verifiëren dat in benadering geldt, met α(t,k) de afvoer als functie van de tijd, n −1

∑ i =1

waarin 192

m −1

f (qi )∆t (qi , k ) = ∑ f (α (t j , k ))∆t j =1

(7.4)

t1 = t op ( β , k ) t2 = t1 + ∆t t3 = t1 + 2∆t tm −1

(7.5)

... = tm − ∆t

tm = t neer ( β , k )

Het rechterlid van (7.4) kan worden vervangen (in benadering) door een integraal, die volgens (6.3) wordt i ( β , k ) . Dus aangeduid als G i (β , k ) = G

t(neer β ,k )

∫

t(opβ ,k )

n −1

f (α (t , k )) dt ≅ ∑ f (qi )∆t (qi , k )

(7.6)

i =1

Volgens (7.3) geldt dan voor de evenredigheidsconstante ⎧ G(β , k ) ⎪ J ( β , k ) = ⎨ G ( β , k ) ⎪0 ⎩

, voor k > β

(7.7)

, voor k ≤ β

waarbij het om wiskundig-technische redenen handig is om J(β,k) gelijk aan nul te nemen voor k ≤ β. Voor de bijdrage uit (7.1) volgt dan, voor k > β, B ([q, q + ∆q ] | k ) = J ( β , k ) f (q ) ∆t (q, k ) =

G(β , k ) f ( q ) ∆t ( q , k ) G ( β , k )

(7.8)

Hiermee is de bijdrage aan het interval [q, q + ∆q], die geleverd wordt door de golf met piekwaarde k, gedefinieerd. In (7.9) wordt eveneens een formule voor deze bijdrage gegeven. Die oogt wat anders, omdat die ook van toepassing is op de algemenere situatie waarin ∆q niet klein hoeft te zijn. In (7.9) wordt eveneens rekening gehouden met het ‘wiskundig-technische’ geval dat de piekwaarde k van de golf niet altijd groter hoeft te zijn dan q + ∆q (of kleiner dan q), maar deel kan uitmaken van het interval [q, q + ∆q]. Indien k > q + ∆q en ∆q voldoende klein is, resulteert uit (7.9) formule (7.8), zoals de lezer voor zichzelf verifiëren kan.

7.2 De formules voor het nieuwe recept Om de gedetailleerde formules voor het nieuwe recept te geven beschouwen we eerst de uitsplitsing naar de afvoer, dus zonder richtingen en keringstoestanden; deze situatie werd ook in paragraaf 7.1 behandeld. Beschouw β < q1 < q2 en k > β. Dan definiëren we B ([q1 , q2 ] | k ) = bijdrage aan [q1 , q2 ] door de golf met piekwaarde k t(neer q1 , k ) ⎧t( q2 ,k ) ⎫ ⎪ ⎪ = X [ q2 ,∞ ) (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ))dt + ∫ f (α (t , k ))dt ⎬ ⎪⎩ t(opq1 ,k ) ⎪⎭ t(neer q2 ,k ) op

+ X [ q1 , q2 ] (k ) J ( β , k )

t(neer q1 ,k )

∫

(7.9)

f (α (t , k ))dt

t(opq ,k ) 1

Hierin duidt X[q1,q2](k) de karakteristieke functie aan van het interval [q1,q2], gedefinieerd door ⎧1 X [ q1 , q2 ] (k ) = ⎨ ⎩0

als k ∈ [q1 , q2 ] anders

(7.10)

193

Vanwege de karakteristieke functies in het laatste lid van (7.9) volgt dat B([q1,q2]| k) = 0 voor k < q1. Afvoergolven met piekwaarden kleiner dan q1 leveren dus geen bijdrage aan [q1,q2], zoals ook het geval moet zijn. In het laatste lid van (7.9) wordt onderscheid gemaakt tussen k > q2 en q1 < k < q2, welke situaties worden geïllustreerd in figuur 7.2 en 7.3. De twee integratie-intervallen in figuur 7.2 stemmen overeen met de twee integralen in de eerste term van het laatste lid van (7.9). Het integratie-interval in figuur 7.3 stemt overeen met de integraal in de tweede term van het laatste lid van (7.9). Formule (7.9) is geldig voor willekeurige topduren b(k) > 0. Met behulp van (6.3) en (7.7) is eenvoudig te verifiëren dat B ([ β , ∞) | k ) = G ( β , k )

(7.11)

Het totaal van de bijdragen geleverd door de golf met piekwaarde k is dus gelijk aan de faalkans tijdens de passage van de golf, zoals het geval moet zijn.

q2 q1

t

Figuur 7.2 De piekwaarde van de afvoergolf is groter dan q2. Er is sprake van twee integratie-intervallen.

q2

q1

t

Figuur 7.3 De piekwaarde van de afvoergolf ligt tussen q1 en q2. Er is sprake van één integratie-interval.

Formule (7.9) geeft de bijdrage aan het interval [q1,q2] door de afvoergolf met piekwaarde k. De bijdrage van alle afvoergolven volgt dan door de verschillende bijdragen te wegen met de frequenties van de afvoergolven. De formule daarvoor luidt, voor β < q1 < q2, B ([q1 , q2 ]) = bijdrage aan [q1 , q2 ] door alle afvoergolven ∞

= ∫ψ (k ) B ([q1 , q2 ] | k ) dk β

194

(7.12)

Met behulp van (7.9) kan dit worden geschreven als q ,k ) ⎧t(neer ⎫ ⎪ 1 ⎪ B ([q1 , q2 ]) = ∫ ψ (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ))dt ⎬ dk q1 ⎪⎩t(opq1 ,k ) ⎪⎭

q2

t(neer q1 ,k ) ⎧t( q2 ,k ) ⎫ ⎪ ⎪ + ∫ ψ (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ))dt + ∫ f (α (t , k ))dt ⎬ dk q2 ⎪⎩ t(opq1 ,k ) ⎪⎭ t(neer q2 ,k ) op

∞

(7.13)

Met behulp van (7.11), (7.12) en (5.6) volgt dat B ([ β , ∞)) = Ψ H , hg (h)

(7.14)

Het totaal van de bijdragen van de afvoeren groter dan de grenswaarde β is dus gelijk aan het deel van de overschrijdingsfrequentie volgens de IAG-methode, zoals het geval moet zijn. We merken op dat in paragraaf 8.3, zie (8.22) en (8.23), een alternatieve formule voor B([q1,q2]) wordt gegeven, waarin een integratie over de afvoer voorkomt in plaats van een integratie over de tijd zoals in (7.13). Hiervoor zijn de formules B([q1,q2]| k) en B([q1,q2]) gegeven. Deze formules zijn lineair in de getijkans f(q). Het ligt dan voor de hand hoe de formules gegeneraliseerd kunnen worden ten behoeve van de verdere uitsplitsing naar richting r en keringssituatie Ω. Daartoe hoeft slechts de getijkans f(α(t,k)) in de formules te worden vervangen door f(α(t,k),r,Ω); zie voor de definities van deze en verwante kansen (2.3) t/m (2.6). Voor de duidelijkheid schrijven we de genoemde uitsplitsing expliciet uit. B ([q1 , q2 ], r , Ω | k ) = bijdrage aan [q1 , q2 ] door de golf met piekwaarde k, in combinatie met richting r en keringssituatie Ω t(neer q1 ,k ) ⎧t( q2 ,k ) ⎫ ⎪ ⎪ =X [ q2 ,∞ ) (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ), r , Ω)dt + ∫ f (α (t , k ), r , Ω)dt ⎬ ⎪⎩ t(opq1 ,k ) ⎪⎭ t(neer q2 ,k ) op

+ X [ q1 , q2 ] (k ) J ( β , k )

t(neer q1 , k )

∫

(7.15)

f (α (t , k ), r , Ω)dt

t(opq ,k ) 1

Deze formule geeft de meest ‘gedetailleerde’ uitsplitsing die mogelijk is, namelijk naar afvoer, richting, keringssituatie en piekafvoer. Daarbij moet bij de uitsplitsing naar piekafvoer steeds gedacht worden aan de complete afvoergolf die door deze piekwaarde wordt gerepresenteerd. Minder gedetailleerde uitsplitsingen, ofwel uitsplitsingen op een hoger aggregatieniveau, kunnen als volgt worden verkregen. Indien we niet willen uitsplitsen naar piekafvoeren, dan moeten we deze, analoog aan (7.12), uitintegreren volgens ∞

B ([q1 , q2 ], r , Ω ) = ∫ψ (k ) B ([q1 , q2 ], r , Ω | k ) dk

(7.16)

β

Net als (7.12) kan worden herschreven in (7.13), kan met behulp van (7.15) formule (7.16) worden herschreven. Formule (7.16) krijgt dan dezelfde vorm als (7.13), echter dan met f(α(t,k)) vervangen door f(α(t,k),r,Ω). Een alternatieve formule voor (7.16) wordt gegeven in paragraaf 8.3, zie (8.30) en (8.31). Indien we niet willen uitsplitsen naar de afvoer, dan moeten we [q1,q2] in (7.15) vervangen door [β,∞). We definiëren, om de notatie wat te bekorten B ( r , Ω | k ) = B ([ β , ∞), r , Ω | k )

(7.17)

Uit (7.15) volgt dan

195

t(neer β ,k )

B(r , Ω | k ) = J ( β , k )

∫

f (α (t , k ), r , Ω)dt

(7.18)

t(opβ ,k )

Indien we niet willen uitsplitsen naar richingen, dient daarover in (7.15) te worden gesommeerd. Hetzelfde geldt voor de keringssituaties. We definiëren dus B ([q1 , q2 ], Ω | k ) = ∑ B ([q1 , q2 ], r , Ω | k )

(7.19)

B ([q1 , q2 ], r | k ) = ∑ B ([q1 , q2 ], r , Ω | k )

(7.20)

r

Ω

Vanwege (2.5) kan (7.19) ook worden geschreven als (7.15), maar dan met f(α(t,k), r, Ω) vervangen door f(α(t,k), Ω). Op grond van (2.4) geldt een analoog resultaat voor (7.20), dan met f(α(t,k), r, Ω) vervangen door f(α(t,k), r). Naast (7.16) t/m (7.20) zijn nog meer uitsplitsingen mogelijk, die kunnen worden bepaald door de zojuist beschouwde aggregaties te combineren. De mogelijke aggregaties worden nog eens samengevat in tabel 7.1. aggregeren van:

berekening uit B([q1,q2], r, Ω| k) door:

1. piekafvoer 2. afvoerniveaus 3. windrichtingen 4. keringssituaties

integreer m.b.t. ψ(k) over k vervang [q1,q2] door [β,∞) sommeer over r = 1, 2, …, 16 sommeer over Ω = O, D

Tabel 7.1 Samenvatting van aggregatiehandelingen

We merken op, zoals ook het geval moet zijn, dat de vier aggregaties uit tabel 7.1 tezamen de bijdrage aan de overschrijdingsfrequentie volgens de IAG-methode oplevert. Dus geldt, zoals met het voorgaande te verifiëren valt, ∞

Ψ H , hg (h) = ∑ ∫ψ (k ) B ([ β , ∞], r , Ω | k ) dk

(7.21)

r ,Ω β

We geven enkele van de belangrijkste uitsplitsingen expliciet aan; de eenvoudige verificatie van de formules wordt aan de lezer overgelaten. B (r ) = bijdrage aan Ψ H,hg (h) door richting r β ,k ) ⎧t(neer ⎫ ⎪ ⎪ = ∫ψ (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ), r )dt ⎬ dk β ⎪⎩t(opβ ,k ) ⎪⎭

∞

(7.22)

B (Ω) = bijdrage aan Ψ H,hg (h) door keringssituatie Ω β ,k ) ∞ ⎧t(neer ⎫ ⎪ ⎪ = ∫ψ (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ), Ω)dt ⎬ dk β ⎪⎩t(opβ ,k ) ⎪⎭

(7.23)

B (Ω | k ) = bijdrage van keringssituatie Ω aan de afvoergolf met piekwaarde k t(neer β ,k )

=J ( β , k )

∫

f (α (t , k ), Ω)dt

(7.24)

t(opβ ,k )

De formules in dit hoofdstuk vormen een verbeterd alternatief voor de in hoofdstuk 3 behandelde uitsplitsing naar afvoerniveaus. De in hoofdstuk 4 behandelde uitsplitsing naar piekafvoeren, zie (4.1), is eenduidig te

196

interpreteren en hoeft (afgezien van de in [Duits, 2001b] genoemde uitsplitsing naar keringssituatie) niet verbeterd te worden. We geven nu enkele nadere beschouwingen over de uitsplitsing naar piekafvoeren. De uitsplitsing naar piekafvoeren, die gegeven werd in (4.1), kan in termen van de continue formulering van de Hydra-B formules, vanwege (5.2), geschreven worden als, voor β < k1 < k2, k2

Ψ H , hg , golf (h,[k1 , k2 ]) = ∫ ψ (k )G ( β , k ) dk

(7.25)

k1

Omdat hier wordt uitgesplitst naar een interval van piekafvoeren in plaats van naar de hiervoor beschouwde afvoerniveaus, kan (7.25) niet worden geschreven als één van de tot nu toe beschouwde uitsplitsingen. De voorgaande formules kunnen echter wel worden gebruikt om (7.25) verder uit te splitsen naar richtingen en keringssituaties. We zullen hier alleen de uitsplitsing naar keringssituatie beschouwen. De formules voor de richtingen en combinaties van richtingen en keringssituatie zijn analoog en worden aan de lezer overgelaten. We definiëren, analoog aan eerdere formules uit dit hoofdstuk B(k) als de som over keringssituaties Ω van B(Ω | k), met de laatste grootheid gegven door (7.24). Het is eenvoudig te verifiëren dat deze som gelijk is aan G(β,k), dus B(k ) = ∑ B ( Ω | k ) = G ( β , k )

(7.26)

Ω

De uitsplitsing van (7.25) naar keringssituaties kan dan worden gedefinieerd als, voor β < k1 < k2, k2

Ψ H , hg , golf (h,[k1 , k2 ], Ω) = ∫ ψ (k ) B ( Ω | k ) dk

(7.27)

k1

Vanwege (7.26) volgt dat de sommatie hiervan over Ω (7.25) oplevert, zoals het geval moet zijn. We merken nog op dat in [Duits, 2001] een alternatief recept voor de uitsplitsing van (7.25) naar keringssituatie werd gegeven. Dat recept blijkt echter niet altijd te voldoen, omdat soms termen in de uitsplitsing negatief kunnen worden, terwijl deze (uiteraard) altijd groter dan of gelijk aan nul dienen te zijn.

8 Nadere beschouwingen over het nieuwe recept In dit hoofdstuk worden een nadere motivatie en meer achtergronden gegeven van het in hoofdstuk 7 behandelde nieuwe recept om de overschrijdingsfrequentie uit te splitsen naar afvoerniveaus. In paragraaf 8.1 worden de percentielen volgens het nieuwe recept vergeleken met de uitsplitsing naar piekwaarden; dan blijkt dat deze percentielen onder die van die voor de piekwaarden liggen. Paragraaf 8.2 behandelt de uitkomsten volgens het nieuwe recept voor volledig afvoergedomineerde locaties. Paragraaf 8.3 geeft een alternatieve fomule voor de uitsplitsing naar afvoerniveaus, waaraan te zien valt de som van de bijdragen van twee intervallen gelijk is aan de bijdrage van de vereniging van die intervallen; dat laatste dient logischerwijs het geval te zijn voor een deugdelijk uitsplitsingsrecept. Paragraaf 8.4 laat zien dat voor locaties waar de Deltamethode hetzelfde antwoord geeft als Hydra-B het nieuwe uitsplitsingsrecept het enig juiste antwoord geeft.

8.1 Percentielen volgens het nieuwe recept vergeleken met de uitsplitsing naar piekwaarden In de uitsplitsing naar piekafvoeren wordt een faalgebeurtenis tijdens een afvoergolf toegekend aan de piekwaarde van de golf. Het nieuwe recept voor afvoerniveaus uit hoofdstuk 7 is in essentie een manier om het falen op een logische manier te verdelen over alle afvoerniveaus binnen de golf. Omdat deze niveaus (uiteraard) lager zijn dan de piekwaarde, wordt een faalgebeurtenis volgens het nieuwe recept toegekend aan lagere afvoeren dan het geval is volgens de uitsplitsing naar piekafvoeren. In deze paragraaf zullen percentielen volgens het nieuwe recept en volgens de uitsplitsing naar piekafvoeren worden beschouwd. Dan zal inderdaad blijken dat het nieuwe recept lagere percentielen geeft dan die volgens de piekwaarden. We beperken ons hier gemakshalve tot de situatie waarin niet wordt uitgesplitst naar richtingen en keringssituaties.

197

We geven de volgende definities. Voor het nieuwe recept definiëren we, voor 0 < p < 1, het p-de percentiel q(p) als q( p ) = afvoer waarboven zich volgens het nieuwe recept (1-p)*100% van alle afvoerbijdragen aan de totale overschrijdingsfrequentie Ψ H (h) bevindt.

(8.1)

Met behulp van (7.12) volgt dat q(p) dan kan worden bepaald door het oplossen van de vergelijking B ([q ( p), ∞)) = 1− p Ψ H ( h)

(8.2)

Hier doet zich een probleem voor, namelijk dat de grootheid B([q1,q2]) uit (7.12) slechts is gedefinieerd voor q1 > β. Voor kleine p zal (8.2) dan geen oplossing hebben, namelijk voor p < ΨH,lg(h) / ΨH(h), omdat, zie (7.13), B([q(p), ∞)) nooit groter kan zijn dan ΨH,hg(h). Voor lagere afvoeren dan β is echter de in paragraaf 3.1 besproken uitsplitsing beschikbaar. We breiden daarom de definitie van B([q1,q2]) uit volgens64 ⎧⎪ definitie (7.12) , als β ≤ q1
(8.3)

waarbij de onderste grootheid in het rechterlid wordt gegeven door (3.7). Indien β1 tussen q1 en q2 in ligt, dient [q1,q2] eerst te worden gesplitst in [q1,β] en [β,q2]. De bijdrage van deze intervallen volgen uit (8.3); de bijdrage van [q1,q2] volgt dan als de som van de bijdragen van beide intervallen. Met deze definitie van B([q1,q2]) heeft (8.2) altijd een oplossing65. Het is handig om ook voor de uitsplitsing naar piekwaarden bijdragen aan een willekeurig interval [q1, q2] te definiëren, waarbij dus niet alleen meer afvoeren hoger dan de grenswaarde worden beschouwd, maar ook lagere afvoeren. We kiezen er voor de bijdragen voor de lagere afvoeren q < β simpelweg gelijk te nemen aan de bijdragen volgens (8.3). Merk wel op dat deze lage afvoeren niets meer te maken hebben met afvoergolven, omdat die golven voor dergelijke lage afvoeren niet zijn gedefinieerd. We definiëren dan ⎧⎪Ψ H , hg ,golf (h,[q1 , q2 ]) , als β ≤ q1
(8.4)

met de grootheden in het rechterlid gegeven door (7.25) en (3.7). De index ‘golf/tij’ in het linkerlid geeft expliciet aan dat een deel van de bijdragen is berekend door uit te gaan van getijkansen, zonder dat afvoergolven worden beschouwd. Indien β tussen q1 en q2 in ligt dient het interval te worden gesplitst in [q1,β] en [β,q2], waarna analoog aan de situatie beschreven na (8.3) de bijdrage van [q1,q2] volgt als de som van de bijdragen van beide intervallen. We definiëren verder qgolf/tij ( p ) = afvoer waarboven zich volgens de bijdragen in (8.4) het deel (1-p)*100% van de bijdragen aan de totale overschrijdingsfrequentie Ψ H (h) bevindt.

(8.5)

Deze grootheid voldoet aan Bgolf/tij ([qgolf/tij ( p), ∞)) Ψ H ( h)

= 1− p

(8.6)

Omdat voor lage afvoeren (8.3) en (8.4) overeenstemmen, kan eenvoudig worden geverifieerd dat

64

Het is zeer aannemelijk te maken dat de bijdragen voor de lage en de hoge afvoeren als het ware ‘vloeiend in elkaar over gaan’. Voor een interval [q1,q2] waarbij q1 en q2 beiden dicht bij β liggen maakt het voor de grootte van de bijdragen dus niet zo veel uit of definitie (7.12) wordt genomen of ΨH, lg(h, [q1,q2]). De enigszins lastig te geven motivatie hiervoor wordt in dit stuk echter niet gegeven. 65 Terzijde een wiskundig technisch detail. Voor p = 0 dient de ‘minimale’ afvoer te worden genomen, ofwel de hoogste afvoer q(p) waarvoor B([q(p), ∞)) = ΨH(h). 198

q( p ) = qgolf/tij ( p)

, voor p ≤

Ψ H ,lg (h) Ψ H ( h)

(8.7)

Indien p gelijk is aan de laatste uitdrukking in het rechterlid volgt (uiteraard) dat de percentielen gelijk zijn aan β. Beschouw nu q1 > β. Uit (7.7), (7.9) en (6.3) volgt dan B ([q1 , ∞) | k ) ≤ G ( β , k )

(8.8)

Uit (7.12) volgt dan, omdat B([q1,∞)|k) = 0 voor k < q1, ∞

B ([q1 , ∞)) = ∫ ψ (k ) B ([q1 , ∞) | k )dk q1 ∞

≤ ∫ ψ (k )G ( β , k )dk

(8.9)

q1

= Bgolf/tij ([q1 , ∞))

waarbij de laatste stap volgt uit (8.4) en (7.25). Met behulp van (8.2), (8.6) en (8.9) kan dan worden geverifieerd dat q( p ) ≤ qgolf/tij ( p)

, voor p ≥

Ψ H ,lg (h) Ψ H ( h)

(8.10)

Zoals aan het begin van deze paragraaf uitgelegd, leidt het nieuwe recept dus inderdaad tot lagere percentielen dan dat volgens de uitsplitsing naar piekwaarden.

8.2 Het nieuwe recept voor volledig afvoergedomineerde locaties en vergelijking met het oude recept We beschouwen nu als in paragraaf 3.3 het uitsplitsingsrecept voor een volledig afvoergedomineerde locatie. We zullen nagaan tot welke percentielen het nieuwe recept leidt. Voor het beschouwde belastingniveau h is er voor deze locaties een afvoer qh waarvoor de getijkans f(q) uit (2.6) abrupt van 0 naar de waarde 1 springt. Dus ⎧1 , voor q ≥ qh f (q) = ⎨ ⎩0 , voor q < qh

(8.11)

i ( β , k ) = L(q , k ) G h

(8.12)

G(β , k ) = 1

(8.13)

Uit (6.3) volgt dan, voor k > qh,

en uit (5.1) dat

Uit (7.7) en (7.9) volgt dan, voor qh < q1 < k, B ([q1 , ∞) | k ) =

L(q1 , k ) ≤1 L(qh , k )

(8.14)

terwijl deze grootheid nul is voor k < q1. Uit (7.12) volgt dan, voor q1 > qh, ∞

B ([q1 , ∞)) = ∫ ψ (k ) q1

L(q1 , k ) dk L ( qh , k )

(8.15)

199

Bedenk dat (8.14), binnen de golf met piekafvoer k, de verhouding aangeeft van de overschrijdingsduur van niveau q1 tot de overschrijdingsduur van niveau qh. Formule (8.15) is een soort weging van de verhoudingen met betrekking tot de afvoergolven die niveau q1 overschrijden, hetgeen een plausibel resultaat vormt. Uit (8.4), (7.25) en (8.13) volgt verder, voor q1 > qh, ∞

Bgolf/tij ([q1 , ∞)) = ∫ ψ (k )dk = Ψ (q1 )

(8.16)

q1

waarbij het laatste lid de overschrijdingsfrequentie van de afvoer (werklijn) geeft, van piekafvoer q1. Uit (8.14) t/m (8.16) volgt B ([q1 , ∞)) ≤ Bgolf/tij ([q1 , ∞))

(8.17)

in overeenstemming met het algemene resultaat (8.9). Het is interessant (8.15) te vergelijken met het oude recept. Geef daartoe de met (8.15) corresponderende grootheid voor het oude recept aan met Boud([q1,∞)). Volgens (3.26) geldt dan (in benadering), door daarin q2 = ∞ te nemen, Boud ([q1 , ∞)) = Ψ (q1 )

(8.18)

De verhouding L(q1,k) / L(qh,k) in de integrand in (8.15) is kleiner dan 1, zodat B ([q1 , ∞)) ≤ Boud ([q1 , ∞))

(8.19)

Dit houdt in dat de percentielen volgens het nieuwe recept lager of gelijk aan de oude zijn. Het is echter niet duidelijk hoeveel de nieuwe percentielen onder de oude liggen, zeker wanneer bedacht wordt dat (8.18) ook nog eens slechts in benadering geldt (de nieuwe percentielen zouden dan eventueel nog iets boven de oude kunnen liggen). In principe kan (8.15) numeriek worden uitgerekend; de grootheden L(q,k) zijn immers in tabelvorm bekend. Deze berekening kan benaderenderwijs echter ook ‘semi-analytisch’ worden uitgevoerd. Uit [Geerse, 2002b] is namelijk bekend dat L(q,k) goed benaderd kan worden, behalve voor de zeer lage maar irrelevante niveaus q, door een trapezium met basis B en topduur b0: ⎛ q⎞ L(q, k ) = ( B − b0 ) ⎜ 1 − ⎟ + b0 ⎝ k⎠ B = 58 getijperioden (= 30 dagen)

(8.20)

b0 = 1 getijperiode

De verhouding L(q1,k) / L(qh,k) kan dan eenvoudig worden uitgerekend als functie van k; het resultaat voor q1 = 17000 m3/s en qh = 16000 m3/s staat ter illustratie in figuur 8.1. Het is duidelijk dat deze verhouding (behalve voor de zeer extreme afvoeren groter dan 20000 m3/s waarvoor ψ(k) zeer klein wordt) duidelijk kleiner is dan 1, zodat uit (8.15) volgt dat B([q1,∞)) duidelijk kleiner is dan Ψ(q1). Met (8.15), (8.18) en (8.20) zijn voor enkele waarden van q1 berekeningen gemaakt, zie tabel 8.1. Het 95%-percentiel (waarboven 5% van de bijdragen ligt) blijkt volgens het oude recept ongeveer 20000 m3/s te zijn, omdat Boud([q1 = 20000 ,∞)) = 4.8%, wat nagenoeg gelijk is aan 5%. Het 95%-percentiel volgens het nieuwe recept blijkt ongeveer 18500 m3/s te zijn, wat dus aanmerkelijk lager uitkomt dan het oude recept. Merk op dat de 50%-percentielen voor het oude en nieuwe recept dichter bij elkaar liggen; deze bedragen respectievelijk ongeveer 17000 m3/s en 16500 m3/s, terwijl uiteraard de 5%-percentielen nagenoeg aan elkaar gelijk zijn, namelijk vrijwel 16000 m3/s.

200

1.0

L(17000, k) / L(16000, k) [-]

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 17000

18000

19000

20000

21000

22000

pie ka fvoe r k [m 3/s]

Figuur 8.1 De verhouding L(q1,k) / L(qh,k) voor q1 = 17000 m3/s en qh = 16000 m3/s.

q1

B([q1,∞))

m3/s

%

Boud([q1,∞)) %

16000

100.0

100.0

16500

44.9

68.4

17000

24.1

46.8

17500

13.8

32.0

18000

8.2

21.9

18500

4.9

15.0

19000

3.0

10.2

19500

1.9

7.0

20000

1.2

4.8

20500

0.8

3.3

Tabel 8.1 Informatie over bijdragen volgens het oude en nieuwe uitsplitsingsrecept voor volledig afvoergedomineerde locaties.

8.3 Alternatieve formule voor het nieuwe recept en additiviteit van de uitsplitsingen Het nieuwe recept geeft een manier om uit te splitsen naar afvoerniveaus. Wil dit een zinnig recept zijn, dan dient deze uitsplitsing ‘additief’ te zijn, in de zin dat wanneer een interval in tweeën wordt ingedeeld, de som van de afzonderlijke bijdragen gelijk is aan de bijdrage van het hele interval. Meer expliciet, er moet gelden, voor β < q1 < q2
(8.21)

De manier waarop het nieuwe recept is opgesteld, vergelijk de globale uitleg in paragraaf 7.1, suggereert dat deze bewering zal gelden. De bewering blijkt inderdaad te kunnen worden aangetoond. We zullen namelijk bewijzen dat geldt q2

B ([q1 , q2 ]) = ∫ w(q ) dq

(8.22)

q1

201

waarin het linkerlid gegeven wordt door (7.13) en met w(q) ≥ 0 gegeven door ∞

w(q) = f (q ) ∫ψ (k ) J ( β , k ) q

∂L(q, k ) dk + b(q ) f (q)ψ (q) J ( β , q ) ∂q

(8.23)

waaruit (8.21) onmiddelijk duidelijk is. Verderop zal het bewijs worden gegeven. Eerst geven we wat commentaar op de laatste twee formules, die een alternatieve formule geven voor het nieuwe uitsplitsingsrecept. In eerste instantie lijkt het alternatieve recept numeriek eenvoudiger te implementeren dan formule (7.12) of (7.13). Voor praktische toepassingen kan het echter bezwaarlijk dat de grootheid ∂L(q,k)/∂q in de integrand voorkomt; voor een nette, d.w.z. differentiërbare, afvoergolf α(t,k) wordt die grootheid namelijk oneindig voor q = k, wat numeriek erg lastig is in het berekenen van de (wel degelijk eindige) integraal in (8.23). Met behulp vant de Regel van Leibniz, zie [Geerse, 2002a] voor de nogal lastige wiskundig-technische details, volgt echter, omdat ∂L(q,k)/∂q < 0, w(q) = − f (q)

∞ ⎞ d ⎛ ⎜ ∫ψ (k ) J ( β , k )L(q, k ) dk ⎟ ⎜ ⎟ dq ⎝ q ⎠

(8.24)

Formule (8.24) is numeriek goed uit te rekenen. We geven nu het bewijs van (8.22). Schrijf als afkorting I (q, k ) = f (q)ψ (k ) J ( β , k )

∂L(q, k ) ∂q

(8.25)

Beschouw nu, voor β ≤ q1
q2

q1

q1

∫ w(q)dq =

∫

⎛∞ ⎞ ⎜ ∫ I (q, k ) dk + b(q ) f (q )ψ (q ) J ( β , q) ⎟ dq ⎜ ⎟ ⎝q ⎠

(8.26)

Dan kan voor het eerste deel in het rechterlid worden geschreven q2

∫

q1

q2 ⎛∞ ⎞ ⎜ ∫ I (q, k ) dk ⎟ dq = ∫ ⎜ ⎟ q1 ⎝q ⎠

=

q2

∫

q1

∞ ⎛ q2 ⎞ ⎜ ∫ I (q, k ) dk + ∫ I (q, k ) dk ⎟ dq ⎜q ⎟ q2 ⎝ ⎠ q2 ∞ k ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ∫ I (q, k ) dq ⎟ dk + ∫ ⎜ ∫ I (q, k ) dq ⎟ dk ⎜q ⎟ ⎜ ⎟ q2 ⎝ q1 ⎝1 ⎠ ⎠

(8.27)

De twee integraties over q in het laatste lid kunnen als eerder aan de orde geweest worden herschreven als integraties over de tijd, met als resultaat q2

∫

q1

t(neer q2 q1 , k ) ⎧ t(opk ,k ) ⎫ ⎛∞ ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ∫ I (q, k ) dk ⎟ dq = ∫ ψ (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ))dt + ∫ f (α (t , k ))dt ⎬ dk ⎜ ⎟ q1 ⎪⎩t(opq1 ,k ) t(neer ⎝q ⎠ k ,k ) ⎭⎪ t(neer q1 ,k ) ⎫ ⎧t( q2 ,k ) ⎪ ⎪ + ∫ ψ (k ) J ( β , k ) ⎨ ∫ f (α (t , k ))dt + ∫ f (α (t , k ))dt ⎬ dk op q2 t(neer q2 ,k ) ⎩⎪ t( q1 ,k ) ⎭⎪ op

∞

(8.28)

Voor het tweede deel van het rechterlid van (8.26) kan worden geschreven, door de dummyvariabele q te vervangen door k en door te bedenken dat op het horizontale topniveau van duur b(k) geldt f(α(t,k)) = f(k), k ,k ) ⎧t(neer ⎫ ⎪ ⎪ = b ( q ) f ( q ) ψ ( q ) J ( β , q ) dq ψ ( k ) J ( β , k ) f ( α ( t , k )) dt dk ⎨ ⎬ ∫ ∫ ∫ op q1 q1 ⎩⎪t( k ,k ) ⎭⎪

q2

q2

De som van (8.28) en (8.29) levert dan B([q1, q2]) volgens (7.13), waarmee (8.22) bewezen is.

202

(8.29)

In de voorgaande formules komen geen richtingen en keringssituaties voor. Op dezelfde manier als hiervoor kan echter bewezen worden dat geldt q2

B ([q1 , q2 ], r , Ω ) = ∫ w(q, r , Ω) dq

(8.30)

q1

met w(q, r , Ω) = − f (q, r , Ω)

∞ ⎞ d ⎛ ⎜ ∫ψ (k ) J ( β , k )L(q, k ) dk ⎟ ⎜ ⎟ dq ⎝ q ⎠

(8.31)

Merk op dat de sommatie van w(q,r,Ω) over r en Ω de functie w(q) oplevert. Op analoge wijze kunnen andere functies gedefinieerd worden, zoals bijvoorbeeld w(q,r) en w(q,Ω), die respectievelijk dan samenhangen met B([q1,q2],r) en B([q1,q2],Ω).

8.4 Het nieuwe recept en de uitsplitsing volgens de Deltamethode We beschouwen in deze paragraaf slechts locaties waarvoor de Deltamethode, zie (6.1), in goede benadering hetzelfde resultaat oplevert als de Hydra-B berekening; deze locaties liggen in het westelijk deel van het Benedenrivierengebied. Zoals onder meer in hoofdstuk 5 en 9 van de hoofdtekst werd besproken, geldt voor dergelijke locaties dat er sprake is van een goed gedefinieerde afvoerwaarde tijdens falen. Deze situatie werd wel aangeduid door te stellen dat de stormvloed (of gewone storm) één afvoer treft. Ook al is in het algemeen het uitsplitsingsrecept naar afvoerniveaus noodzakelijkerwijs pragmatisch, omdat tijdens falen in het algemeen gesproken de afvoer varieert, voor de hier beschouwde locaties is dat dus niet het geval! Anders gezegd, voor de hier beschouwde locaties is er slechts één juiste manier op de overschrijdingsfrequentie uit te splitsen naar afvoerniveaus. Op basis van de beschouwingen uit paragraaf 5.4 van de hoofdtekst kan direct worden geverifieerd dat voor deze locaties geldt kans dat in een getijperiode tijdens een faalgebeurtenis voor niveau h de optredende afvoerwaarde zich bevindt in [q1 , q2 ] =

(8.32)

q2

∫ g (q) f (q)dq

q1

Omdat de beschouwde locaties zodanig zijn dat ΨH(h) ≅ ΨDelta(h), speelt het falen zich af in geïsoleerde getijperioden. Door (8.32) met het aantal getijperioden per whjaar te vermenigvuldigen volgt dan BDelta ([q1 , q2 ]) = bijdage aan de overschrijdingsfrequentie van faalgebeurtenissen voor niveau h waarvoor de afvoer zich bevindt in [q1 , q2 ]

(8.33)

q2

= N ∫ g (q ) f (q)dq q1

Merk op dat voor q1 = 0 en q2 = ∞ de gebruikelijke formule (6.1) voor de Deltamethode resulteert. De uitsplitsing (8.33) vormt zoals gezegd voor de hier beschouwde locaties de enige juiste manier om uit te splitsen. Wil het nieuwe recept uit het voorgaande correct zijn, dan zal dat dus voor deze locaties hetzelfde resultaat op moeten leveren als (8.33). Dat is gelukkig eenvoudig te verifiëren. Uit hoofdstuk 6 blijkt dat voor deze locaties geldt J(β,k) ≅ 1. Uit (8.24) en de consistentie van de afvoerstatistiek volgt dan (in benadering) w(q) = − f (q)

∞ ⎞ d ⎛ d ⎜ ∫ψ (k )L(q, k ) dk ⎟ = − f (q ) ( NP (Q > q ) ) = Nf (q ) g (q) ⎜ ⎟ dq ⎝ q dq ⎠

(8.34)

zodat volgens (8.22) volgt dat inderdaad geldt B([q1,q2]) = BDelta[q1,q2]).

203

Voor het ‘oude’ recept uit hoofdstuk 3 kan hetzelfde worden aangetoond: wanneer we de bijdrage daarvoor aangeven met Boud([q1,q2]) geldt dus voor de hier beschouwde locaties dat Boud([q1,q2]) = BDelta[q1,q2]); het bewijs daarvan kan gemakkelijk worden geleverd op basis van de formules uit hoofdstuk 3 en wordt aan de lezer overgelaten. Erg verassend is het genoemde resultaat niet; het oude recept is namelijk gebaseerd op de kansen voor een getijperiode terwijl voor de hier beschouwde locaties falen zich geheel afspeelt binnen één getijperiode.

204

Bijlage 4 – Methodiek voor de dijkringberekening 1 Inleiding In Hydra-B wordt een berekening gemaakt voor individuele dijkvakken. Op dit moment wordt het computerprogramma uitgebreid met de dijkringbenadering, waarmee straks dan dijkringen getoetst kunnen worden. De berekening voor de ring moet als volgt kunnen gebeuren. Beschouw een dijkring R met i = 1, 2,..., n dijkvakken met respectievelijke kruinhoogtes h1, h2,..., hn. Van deze ring moet dan de overschrijdingsfrequentie kunnen worden berekend, in keren per whjaar, voor één van de faalmechanismes overloop, golfoploop of golfoverslag. (Er worden geen onzekerheden en ‘lengtecorrelaties’ tussen dijkvakken beschouwd.) Merk op dat in tegenstelling tot een gebruikelijke dijkvakberekening in Hydra-B, zie paragraaf 5.2 van de hoofdtekst, hier de kruinhoogtes vooraf bekend zijn, in plaats van dat vooraf wordt uitgegaan van een gegeven terugkeertijd T waarbij het hydraulisch belastingniveau moet worden uitgerekend. Een vraag is of ten behoeve van dijkringberekeningen Hydra-B ingrijpend of minder ingrijpend aangepast moet worden. De uitbreiding van Hydra-B van dijkvakken naar dijkringen blijkt zeer wel mogelijk te zijn. Het betreft slechts aanpassingen van in- en uitvoerprocedures en lees- en schrijfacties op de database van Hydra-B, terwijl het rekenhart van Hydra-B volledig ongewijzigd kan worden gelaten. Uitgangspunt is (uiteraard) wel dat voor de dijkvakken in een dijkring slechts de op dit moment in Hydra-B gebruikte faalmechanismes overloop, golfoploop en golfoverslag worden gebruikt. Hoofdstuk 2 geeft de methodiek om met dijkringen te rekenen. Tevens wordt ingegaan op de relatie met het programma Dijkring en hoe om te gaan met dijkringen die zowel langs de Rijn als de Maas liggen.

2 Methodiek 2.1 Berekeningsmethode Op dit moment kan met Hydra-B voor een opgegeven dijkvak de hydraulische belasting worden berekend bij een opgegeven terugkeertijd T. In een tussenbestand van Hydra-B kan bovendien bij een opgegeven kruinhoogte h de overschrijdingsfrequentie ΨH(h), in keren per winterhafjaar, worden afgelezen. (Elders in dit rapport wordt gewoonlijk van hulpdijkhoogtes in plaats van kruinhoogtes gesproken.) Hierbij stelt H de hydraulische belasting voor, voor één van de drie door de gebruiker opgegeven faalmechanismes 1. 2. 3.

overloop (waterstanden) golfoploop golfoverslag

In feite is H = H(q, m, u, r, Ω) een stochastische variabele die afhangt van de stochastische grootheden 1. 2. 3. 4. 5.

Rivierafvoer q (Rijnafvoer te Lobith in Rijnsom of Maasafvoer te Lith voor Maassom) Zeewaterstand m te Maasmond Windsnelheid u Windrichting r Keringsituatie Ω

De berekeningsmethode om voor een dijkring in plaats van voor een dijkvak de overschrijdingsfrequentie te bepalen is bijzonder eenvoudig. Beschouw een dijkring R met i = 1, 2,..., n dijkvakken met respectievelijke kruinhoogtes h1, h2,..., hn. Geef de overschrijdingsfrequentie van de ring aan met Ψ R = Ψ R (h1 , h2 ,..., hn ) = overschrijdingsfrequentie dijkring (1/whjaar)

(2.1)

Geef de hydraulische belasting voor dijkvak i aan met H i = H i (q, m, u , r , Ω) = hydraulische belasting dijkvak i (m+NAP)

(2.2)

205

Voor de ring R definiëren we een ‘effectieve’ hydraulische belasting H als het maximum over de dijkvakken van het verschil tussen de hydraulische belastingen en de kruinhoogtes: H = H (q, m, u, r , Ω) = max ( H i (q, m, u , r , Ω) − hi ) i =1,2,..., n

= effectieve hydraulische belasting dijkring (meters)

(2.3)

De dijkring faalt voor een combinatie (q,m,u,r,Ω) dan en slechts dan indien H(q,m,u,r,Ω) > 0. We zullen dat toelichten. Neem aan dat H(q,m,u,r,Ω) > 0. Dan moet voor tenminste één dijkvak i gelden dat Hi(q,m,u,r,Ω) – hi > 0, ofwel dat Hi(q,m,u,r,Ω) > hi,. Dat houdt in dat dijkvak i faalt en eveneens dat de ring als geheel faalt. Dus H > 0 impliceert dat de dijkring faalt. Omgekeerd is ook eenvoudig in te zien dat het falen van de ring inhoudt dat H > 0. De overschrijdingsfrequentie ΨR van de dijkring kan met Hydra-B nu zeer eenvoudig worden bepaald. De belasting H voor de ring kan namelijk berekeningstechnisch behandeld worden als een belasting voor een dijkvak, indien als kruinhoogte (ofwel hulpdijkhoogte) de waarde h = 0 wordt genomen. In formule kan men schrijven Ψ R = Ψ R (h1 , h2 ,..., hn ) = Ψ H (h = 0)

(2.4)

waarbij het rechterlid wordt berekend met de gebruikelijke Hydra-B formules. De berekening van H dient te worden uitgevoerd door voor elk van de circa 3500 combinaties (per rivier) die in de database staan formule (2.3) te berekenen. Voor golfoploop en golfoverslag dienen tevens de dijkmodule en eventueel de dam/voorlandmodule in de berekening te worden gebruikt, met daarnaast geometriegegevens, strijklengtes etcetera. Samenvattend kan gesteld worden dat voor de berekening van ΨR slechts de belasting H volgens (2.3) dient te worden bepaald, waarna de overschrijdingsfrequentie van deze belasting als een ‘gewone’ locatie met Hydra-B kan worden berekend. Merk op dat de berekening van H niets te maken heeft met de frequentie- en kansverdelingen voor q, m, u, r en Ω. Het betreft slechts leesacties op de database en (eventueel) het aanroepen van de dijkmodule en de dam/voorlandmodule. Voor het bepalen van ΨR hoeft het rekenhart van Hydra-B in het geheel niet te worden aangepast. Merk verder op dat indien de ring bestaat uit slechts één dijkvak met belasting H1 en kruinhoogte h1, ΨR gelijk wordt aan ΨH1(h1), omdat H = H1 – h1 > 0 equivalent is met H1 > h1. In dit geval is de ringberekening dus identiek aan de gebruikelijke Hydra-B berekening met kruinhoogte h1 voor één locatie. In Hydra-B komen diverse uitsplitsingen voor van de overschrijdingsfrequentie voor een dijkvak, onder andere naar windrichting, keringsituatie en afvoerniveau. Bij de berekening van de overschrijdingsfrequentie ΨR zijn deze uitsplitsingen (voor de geavanceerde gebruiker) ook beschikbaar, waarbij ze dan op een gehele dijkring betrekking hebben. Ook zijn dan andere uitvoerresultaten voor de ring beschikbaar zoals isolijnen (contouren), de belasting als functie van de afvoer, windsnelheid en zeewaterstand, diverse faalkansen etcetra.

2.2 Verband met het programma Dijkring Met het programma Dijkring kunnen, zoals de naam al zegt, naast dijkvakken ook dijkringen worden doorgerekend. In Dijkring wordt als onderdeel van de berekening voor de overschrijdingsfrequentie van een dijkring bij een gegeven combinatie (q, m, r, Ω) de laagste windsnelheid uR(q,m,r,Ω) langs de ring opgezocht waarvoor minstens één dijkvak faalt. Voor alle windsnelheden u > uR(q,m,r,Ω) zal de ring dan falen terwijl de ring niet faalt voor u < uR(q,m,r,Ω). De grootheid uR(q,m,r,Ω) kan opgevat worden als díe windsnelheid waarbij juist falen van de ring optreedt. In Dijkring wordt een ‘hulpbestand’ gebruikt met voor ieder dijkvak bij een aantal locale waterstanden de windsnelheid waarvoor juist falen optreedt voor het beschouwde dijkvak. Theoretisch gezien komt de in paragraaf 2.1 beschreven berekening op hetzelfde neer als de berekeningswijze volgens het programma Dijkring (afgezien dan van het feit dat Dijkring en Hydra-B op een aantal punten altijd verschillen). De Hydra-B formules voor de berekening in paragraaf 2.1 kunnen namelijk eenvoudig herschreven worden tot de berekeningswijze volgens Dijkring. Implementatietechnisch zijn er wel verschillen. Indien in Hydra-B de berekeningswijze volgens Dijkring zou moeten worden geïmplementeerd, zou het rekenhart van

206

Hydra-B (meer of minder) moeten worden aangepast. Dat laatste is zoals eerder vermeld overbodig indien de berekeningswijze volgens paragraaf 2.1 wordt gebruikt. Uiteraard dient er daarom bij (een eventuele) implementatie van de ringberekening te worden gekozen voor de laatste berekeningswijze.

2.3 Behandeling Rijn en Maas In Hydra-B zowel als in Dijkring wordt elk dijkvak geacht ofwel hoofdzakelijk onder invloed van de Rijn te staan (Rijndominant) ofwel hoofdzakelijk onder invloed van de Maas te staan (Maasdominant). Voor Rijndominante locaties (benedenstrooms van Keizersveer) wordt in Hydra-B een zogenaamde Rijnsom gemaakt, wat wil zeggen dat de statistiek van de Rijn wordt gebruikt met de 50%-afvoer (mediane afvoer) van de Maas deterministisch gekoppeld aan iedere beschouwde Rijnafvoer. Voor Maasdominante locaties wordt een Maassom gemaakt, dan met de statistiek van de Maas met de 50%-afvoer van de Rijn. Voor dijkvakken valt deze handelwijze goed te beargumenteren, onder andere omdat een enkel dijkvak hoofdzakelijk onder invloed van één van beide rivieren staat. Voor een dijkring met dijkvakken die zowel aan de Maas als aan de Rijn grenzen (wat het geval is indien zowel Rijn- als Maasdominante dijkvakken tot de ring behoren) is er dan een probleem. Men kan immers niet meer de statistiek van één rivier centraal stellen. In de gebruikershandleiding van het programma Dijkring worden twee manieren aangegeven hoe (enigszins pragmatisch) kan worden omgegaan met deze problematiek: 1.

Maak een Rijnsom zowel als een Maassom voor de ring R. Dat levert twee overschrijdingsfrequenties. Neem de overschrijdingsfrequentie ΨR van de dijkring gelijk aan het grootste van de twee antwoorden. Dit vormt (zeer waarschijnlijk) een ondergrensbenadering voor het werkelijke antwoord.

2.

Splits de ring R in een deel R1 langs de Rijn en een deel R2 langs de Maas. Dat levert twee overschrijdingsfrequenties ΨR,1 en ΨR,2. Neem de overschrijdingsfrequentie ΨR van de gehele dijkring gelijk aan de som van de twee antwoorden, dus ΨR = ΨR,1 + ΨR,2. Dit vormt (zeer waarschijnlijk) een bovengrensbenadering voor het werkelijke antwoord.66

In de Hydra-B versie voor de normale gebruikers wordt de tweede manier gehanteerd. De gebruiker dient zelf eerst met Hydra-B ΨR,1 en ΨR,2 te berekenen (twee berekeningen), om de antwoorden daarna zelf op te tellen om aan ΨR te komen. De gebruiker dient zelf R1 en R2 in samen te stellen; Hydra-B koppelt wel automatisch de juiste statistiek aan beide deelringen. De geavanceerde gebruiker kan ook de berekening op de eerste manier maken. De verwachting is dat de antwoorden volgens manier 1 en 2 niet al te veel zullen verschillen. De correcte manier om met ringen om te gaan die grenzen aan Rijn zowel als Maas, is beide rivieren als gecorreleerde stochasten in het probabilistisch model op te nemen. De kennis om dat te doen is inmiddels beschikbaar, zie bijvoorbeeld [Geerse, 2002ab]. Dat betekent wel dat Hydra-B zeer ingrijpend zou moeten worden aangepast. Tevens zouden in plaats van circa 7000 Sobeksommen dan circa 32000 Sobeksommen moeten worden gemaakt. (In plaats van 9 Rijnafvoeren * 2 vanwege 50%-aanpak dan 9 Rijnafvoeren * 9 Maasafvoeren; ofwel 9*9/(9*2) * 7000 = 4.5*7000 =32000 sommen.) Deze ingrijpende aanpak zal zeker de eerste jaren niet te realiseren zijn.

2.4 Buiten de keringen en deining en seiches In 2001 zijn met Hydra-B toetspeilen berekend voor het Benedenrivierengebied, zie [Duits en Thonus, 2001] en [HR 2001]. Een deel van de locaties bevindt zich buiten de keringen. Voor die locaties is aangenomen dat de keringen onder toetspeilomstandigheden altijd gesloten zijn. In de uitbreiding van Hydra-B met de dijkringberekening dienen voor deze locaties – tenminste in de Hydra-B versie voor de normale gebruikers – uitsluitend Sobeksommen met dichte keringen te worden gebruikt. Dat is simpel te realiseren door voor deze locaties bij het inlezen van de databasegegevens voor de open keringen toch de gegevens voor de dichte keringen te nemen.

66

Voor een model waarin de Rijn en Maas beiden als gecorreleerde stochasten zijn opgenomen is eenvoudig in te zien dat hier sprake is van een bovengrensbenadering; situaties waarin tijdens één faalgebeurtenis van de ring zowel Rijn- als Maasdijkvakken falen worden in de som namelijk dubbel geteld. In Hydra-B, met de aanpak middels 50%-lijnen, kan deze conclusie niet zonder meer worden getrokken. 207

Zoals in paragraaf 2.8 van de hoofdtekst behandeld worden in Hydra-B geen deining en seiches meegenomen. Uiteraard geldt dat eveneens voor de uitbreiding van Hydra-B met dijkringen.

2.5 Schatting van de rekentijd voor een ringberekening Een schatting van de rekentijd voor een ringberekening, indien de implementatie als hiervoor is uitgevoerd, is als volgt. Op dit moment (medio 2003) kost het inlezen van de gegevens uit de Hydra-B database circa 5 minuten per locatie; Het betreft hier een eenvoudige standaard PC met processor 500 MHz (de rekentijd voor dam/voorland en dijkmodule is secondenwerk). Stel dat een dijkring bestaat uit 100 locaties. Het berekenen van de effectieve ringbelasting H zal dan circa 100*5 = 500 minuten duren, ofwel 8.5 uur. De rekentijd voor de op H uit te voeren Hydra-B som bedraagt hooguit 1.5 uur. Het betreft dan slechts twee hulpdijkhoogtes, namelijk h = 0 en een willekeurige andere, maar wel fijnere discretisaties dan voor individuele dijkvakken. De volledige ringberekening vergt dan circa 10 uur op een huidige standaard PC. Op snellere PC’s zal de berekening uiteraard sneller gaan. Terzijde: Matthijs Duits van HKV heeft in een memo al eens aangegeven dat met andere dan de nu gebruikte Fortranprogrammatuur de leesacties veel sneller kunnen worden uitgevoerd, in welk geval de 10 uur substantieel kleiner wordt.

208

Begrippenlijst Deze lijst beschrijft een aantal belangrijke begrippen uit Hydra-B. Waar nodig wordt een referentie gegeven; ook zijn de paragrafen uit dit rapport met aanvullende uitleg vermeld. Golfoploophoogte De golfoploophoogte wordt gegeven door z2%. Dat is het golfoploopniveau, verticaal gemeten ten opzichte van de stilwaterlijn (oftewel de locale waterstand), waarbij het aantal oplopen dat dit niveau overschrijdt 2% is van het aantal inkomende golven. Het aantal overschrijdingen wordt hierbij gerelateerd aan het aantal inkomende golven en dus niet aan het aantal oplopen. Het golfoploopniveau van een individuele oploop wordt bepaald door het niveau waarbij de watertong minder dan 2 cm dik wordt. [TAW, 2002], zie ook paragraaf 4.4.6. Golfoverslag De golfoverslag wordt gegeven als een gemiddeld debiet per strekkende meter breedte, bijvoorbeeld in m3/m per s of in l/m per s. De golfoverslag wordt berekend ten opzichte van de hoogte van de buitenkruinlijn en er wordt van uitgegaan dat deze overslag ook de achterkant van de kruin en het binnentalud bereikt. [TAW, 2002], zie ook paragraaf 4.4.6. Golfoverslaghoogte De golfoverslaghoogte is de hoogte ten opzichte van de stilwaterlijn (oftewel de locale waterstand) waarbij een bepaald opgegeven debiet optreedt. Iets preciezer gezegd is de golfoverslaghoogte het verschil tussen het niveau van de buitenkruinlijn en de stilwaterlijn in de situatie dat de buitenkruinlijn zó hoog ligt dat de overslag daarover precies gelijk is aan het opgegeven debiet. [De Waal, 1999], zie ook paragraaf 4.4.6. Faalmechanisme waterstandoverloop Voor het faalmechanisme waterstandoverloop – of kortweg overloop – is het hydraulisch belastingniveau, bij gegeven deterministische omstandigheden (zoals rivierafvoer, zeewaterstand, windsnelheid etcetera) het niveau op de dijk, in meters + NAP, dat gelijk is aan de locale waterstand. Korter gezegd: de hydraulische belasting is hier simpelweg gelijk aan de locale waterstand. (Zie paragraaf 1.2 en 4.5.) Faalmechanisme golfoploop Voor het faalmechanisme golfoploop is het hydraulisch belastingniveau, bij gegeven deterministische omstandigheden (zoals rivierafvoer, zeewaterstand, windsnelheid etcetera) het niveau op de dijk, in meters + NAP, dat gelijk is aan de som van de locale waterstand en de golfoploophoogte. (Zie paragraaf 1.2 en 4.5.) Faalmechanisme golfoverslag Voor het faalmechanisme golfoverslag is het hydraulisch belastingniveau, beschouwd bij een opgegeven overslagdebiet en bij gegeven deterministische omstandigheden (zoals rivierafvoer, zeewaterstand, windsnelheid etcetera) het niveau op de dijk, in meters + NAP, waarvoor het gegeven debiet optreedt. Anders gezegd: het hydraulisch belastingniveau is hier het niveau op de dijk dat bij de gegeven omstandigheden gelijk is aan de som van de locale waterstand en de golfoverslaghoogte. (Zie paragraaf 1.2 en 4.5.) Hydraulisch belastingniveau bij gegeven overschrijdingsfrequentie Het hydraulisch belastingniveau (voor overloop, golfoploop of golfoverslag) voor een opgegeven overschrijdingsfrequentie is dát niveau op de dijk, in meters + NAP, waarvoor de hydraulische belasting de opgegeven overschrijdingsfrequentie heeft. (Zie paragraaf 5.2) Toetspeil Het toetspeil voor een gegeven normoverschrijdingsfrequentie is dát niveau op de dijk, in meters + NAP, waarvoor de locale waterstand de gegeven normoverschrijdingsfrequentie heeft. [HR 2001]

209

Falen voor niveau h In Hydra-B wordt gesproken van falen voor een gegeven niveau h op de dijk, in meters + NAP, indien bij gegeven deterministische omstandigheden (zoals rivierafvoer, zeewaterstand, windsnelheid etcetera) de hydraulische belasting het niveau h overschrijdt. Waarschuwing: elders in de literatuur komen diverse andere definities van falen voor. (Zie paragraaf 5.2) Illustratiepunt Een illustratiepunt in Hydra-B, behorend bij een beschouwde hydraulische belasting, een niveau h in meters + NAP, een keringstoestand (open of dicht) en een windrichting, bestaat uit een combinatie van rivierafvoer, windsnelheid en zeewaterstand; de keringstoestanden zijn open (Hartel- en Maeslantkering beide open) en dicht (Hartel- en Maeslantkering beide dicht), de rivierafvoer betreft de afvoer te Lobith dan wel te Lith (namelijk de voor de beschouwde locatie dominante rivierafvoer) en de zeewaterstand is die te Maasmond. De combinatie is ten eerste zodanig dat juist falen optreedt, in de zin dat de hydraulische belasting voor deze combinatie precies gelijk is aan het beschouwde niveau h en ten tweede zodanig dat deze combinatie - volgens een zeker criterium - de grootste kans van voorkomen heeft temidden van alle overige combinaties waarvoor juist falen optreedt. (Waarschuwing: de keuze van het criterium bevat altijd een zekere willekeur; volgens andere - eveneens plausibele - criteria zou een andere combinatie als illustratiepunt worden aangemerkt temidden van alle combinaties waarvoor juist falen optreedt.) Stilzwijgend worden de met behulp van het illustratiepunt berekende grootheden Hs (significante golfhoogte aan de teen van de dijk), Tp (piekperiode aan de teen van de dijk), golfrichting (teen van de dijk), de locale waterstand en de niet-dominante rivierafvoer eveneens tot het illustratiepunt gerekend. (Zie paragraaf 9.3)

210

Symbolenlijst Hieronder worden de meest voorkomende symbolen beschreven. Symbolen die slechts in één of enkele paragrafen voorkomen en alsmede die uit de bijlagen ontbreken. Stochasten zullen gewoonlijk (maar niet altijd) worden aangeduid met hoofdletters en uitkomsten daarvan met de overeenkomstige kleine letters. Bijvoorbeeld U is de stochast windsnelheid; een uitkomst van bijvoorbeeld 15 m/s wordt dan aangeduid met de kleine letter u. Het winterhalfjaar, bestaande uit 182 dagen of 352 getijperioden, wordt aangeduid als whjaar. De in de lijst gegeven symbolen die met de keringen te maken hebben betreffen alleen de meest relevante situatie van afhankelijk falen. Sommige van deze symbolen zijn voorzien van de index “Rijn”, om aan te geven dat deze horen bij een zogenaamde Rijnsom. Overeenkomstige symbolen die horen bij een Maassom worden in de lijst niet genoemd.

Stochasten H of H(q,u,m,r,Ω)

Hq of H(q,u,m,r,Ω) Q U R M Ω

Hydraulische belasting, namelijk een waterstand of hydraulisch belastingniveau voor een van de faalmechanismes 2%-golfoploop of golfoverslag bij opgegeven debiet. Hydraulische belasting bij gegeven afvoer q. Zelfde als H, maar met de beschouwde (vaste) afvoer q expliciet aangegeven. Afhankelijk van de context de Rijn- of de Maasafvoer. Representatieve windsnelheid in een getijperiode. Representatieve windrichting in een getijperiode (NNO, NO,..., N). Zeewaterstand te Maasmond (hoogwaterstand). Keringstoestand (open of gesloten) van Maeslant- en Hartelkering in de situatie van afhankelijk falen.

Overige symbolen d Effectieve waterdiepte D Sluitcommando voor de keringen, dat wordt gegeven op basis van (onder meer) de voorspelde zeewaterstand. D Staat voor de situatie van gesloten keringen. d(q) Gemiddelde overschrijdingsduur van niveau q binnen afvoergolven waarvan de piekwaarden niveau q overschrijden; slechts gedefinieerd voor q > qg. D(q) Dagenlijn. Deze geeft het gemiddelde aantal overschrijdingsdagen per winterhalfjaar van niveau q; gedefinieerd voor het hele afvoerbereik. F Effectieve strijklengte g(q) De kansdichtheid van de afvoer Q voor een getijperiode; gedefinieerd voor het hele afvoerbereik. g(u) De kansdichtheid van de windsnelheid U voor een getijperiode. g(m) De kansdichtheid van de zeewaterstand M voor een getijperiode. g(r) De kans op richting r voor een getijperiode. Ook aangegeven als P(r) g(u,m,r) De gezamelijke kansdichtheid voor U, M en R voor een getijperiode. h Hydraulisch belastingniveau, waarvan een hulpdijkhoogte een speciaal geval is. hloc Locale waterstand aan de teen van de dijk die tevens dwarsopwaaiing bevat. Significante golfhoogte. Hs (In paragraaf 4.3 en bijlage 2 duidt Hs de rechte opzet aan, in meters.) L(q,k) De tijdsduur dat binnen een afvoergolf met piekwaarde k het niveau q wordt overschreden. Deze grootheid is slechts gedefinieerd voor q en k groter dan qg. N Aantal getijperioden per winterhalfjaar. N = 352 in Hydra-B. O Commando voor het open laten van de keringen. (In werkelijkheid zal dit commando niet gegeven worden, maar modelmatig gezien is het handig het niet geven van de sluitopdracht te zien als een openingscommando.) O Staat voor de situatie van open keringen.

m+NAP m+NAP m3/s m/s [-] m+NAP [-]

m [-] [-] getijperioden dagen/whjaar m s/m3 s/m 1/m [-] s/m2 m+NAP m+NAP m getijperioden getijden/whjaar [-] [-]

211

P(F|k)

P(Hq > h) P(r) P(Q>q) pRijn(D|q,u,m,r) pRijn(O|q,u,m,r) qg T Tp Ts α ϕ(v|m) µf Ψ(k)

Ψ(m) ΨH(h) ΨH(h; Q laag) ΨH(h; Q hoog) ΨH,Delta(h) ψ(k) σ

θ

212

Kans dat gedurende de passage van de afvoergolf met piekwaarde k falen optreedt. Falen, aangeduid als F, staat hier voor één of meer keer overschrijden van belastingsniveau h tijdens de passage, gedurende de tijdsduur dat de golf zich boven niveau qg bevindt. Getijkans: kans dat gedurende één getijperiode, bij gegeven vaste afvoer q, het hydraulisch belastingsniveau h wordt overschreden. De kans op richting r voor een getijperiode. Ook aangegeven als g(r) Momentane overschrijdingskans van de afvoer in het whjaar; gedefinieerd voor het hele afvoerbereik. De kans dat in een getijperiode de keringen gesloten zijn, bij gegeven Rijnafvoer q, windsnelheid u, zeewaterstand m en windrichting r. Analoog aan pRijn(D|q,u,m,r), maar dan voor de open keringen. Grenswaarde van de afvoer. Beneden en boven deze grenswaarde worden in Hydra-B verschillende berekeningswijzen gevolgd voor het hydraulisch belastingniveau. Terugkeertijd van een beschouwde gebeurtenis. Piekperiode. Significante golfperiode. (In paragraaf 4.3 en bijlage 2 duidt Ts de stormduur van de opzet aan, in uren.) Faalkans van de keringen: de kans dat de keringen niet op de juiste wijze functioneren. De conditionele verdeling ϕ(v|m) van de voorspelling v voor Hoek van Holland, gegeven de werkelijk optredende zeewaterstand m te Hoek van Holland. De kansdichtheid kan ook betrekking hebben op Maasmond. Gemiddelde waarde van de voorspelfout, namelijk van de voorspelling minus de werkelijke opgetreden zeewaterstand, bij conditionering op de werkelijk opgetreden zeewaterstand. Overschrijdingsfrequentie van de afvoergolven (gerelateerd aan de werklijn). Dit is het gemiddeld aantal keren per winterhalfjaar dat de piekwaarde van een afvoergolf de waarde k overschrijdt. Deze grootheid is slechts gedefinieerd voor piekwaarden hoger dan qg. Overschrijdingsfrequentie van de zeewaterstand. Gemiddeld aantal overschrijdingen per whjaar dat het hydraulisch belastingniveau h overschrijdt. Gemiddeld aantal overschrijdingen per whjaar dat het hydraulisch belastingniveau h overschrijdt tijdens afvoeren lager dan qg. Gemiddeld aantal overschrijdingen per whjaar dat het hydraulisch belastingniveau h overschrijdt tijdens afvoeren hoger dan qg. Gemiddeld aantal overschrijdingen per whjaar dat het hydraulisch belastingniveau h overschrijdt zoals berekend met de Deltamethode. Frequentiedichtheid van de afvoergolven. (De integraal over ψ(k) is niet genormeerd op 1.) De standaarddeviatie van de voorspelfout, namelijk van de voorspelling minus de werkelijke opgetreden zeewaterstand, bij conditionering op de werkelijk opgetreden zeewaterstand. Golfrichting

[-]

[-] [-] [-] [-] [-] m3/s jaar s s [-] 1/m m 1/whjaar

1/whjaar 1/whjaar 1/whjaar 1/whjaar 1/whjaar s/(whjaar*m3) m graden

Referenties [Nota 61.002.17] Waterstandfrekwenties op de Beneden Merwede en de Boven Merwede. Notanummer 61.002.17. Direktie Waterhuishouding en Waterbeweging, Distrikt Zuidwest, Dordrecht, september 1984. [Berger et al, 2002] Memo: omgaan met het tussengebied voor vergunningen en planstudies. Interne notitie van onder andere H.E.J. Berger. RIZA Lelystad, 29 maart 2002. [Berger, 2002] Achtergronddocumentatie Hydraulische Randvoorwaarden 2001 voor de Zoete Wateren. Werkdocument 2002.187X. H.E.J. Berger. RIZA Lelystad, november 2002. [Blaakman, 1999] Achtergronden Hydraulische Belastingen Dijken IJsselmeergebied. Deelrapport 4: Probabilistische rekenmethode. E.J. Blaakman. RIZA rapport 99.041. RIZA Lelystad, 25 maart 1999. [Deltacommissie, deel 5] Rapport Deltacommissie - Onderzoekingen betreffende de opzet van het Deltaplan en de gevolgen van de werken, Deel 5. Staatsdrukkerij- en uitgeverijbedrijf, 's Gravenhage, 1960. [De Deugd, 1995] Het optreden van hoogwaterstanden in het noordelijk deltagebied in de situatie met toekomstige infrastructurele aanpassingen. H. de Deugd. Werkdocument 94.014X. RIZA Dordrecht, maart 1995. [De Deugd, 1998] Samenhang afvoer Bovenrijn en Maas. H. de Deugd. Memo WST-98.142. RIZA Dordrecht, 12 oktober 1998. [De Deugd, 2002] Waterloopkundige berekeningen in het Benedenrivierengebied voor het Randvoorwaardenboek 2001. H. de Deugd. Werkdocument 2002.203X. RIZA Dordrecht. [Dillingh et al, 1993] De basispeilen langs de Nederlandse kust. Statistisch onderzoek. Deel 1 - Tekst en Deel 2 - Bijlagen. D. Dillingh, L. de Haan, R. Helmers, G.P. Können, J. van Malde. Rapport DGW - 93.023, 's Gravenhage, april 1993. [Duits, 2002a] Memorandum Special Hydra-B. Behorend bij project: Rivierkundige analyses voor het noordelijk Deltabekken ten behoeve van de Spankrachtstudie. Relatie wind-zeewaterstand (II). PR471.20, HKV Lijn in water, februari 2002. [Duits, 2002b] Memorandum Special Hydra-B. Behorend bij project: Rivierkundige analyses voor het noordelijk Deltabekken ten behoeve van de Spankrachtstudie. Resultaten test 1 (verwijderen stochast windrichting) versie II. PR471.20, HKV Lijn in water, februari 2002. [Duits, 2002c] Memorandum Special Hydra-B. Behorend bij project: Rivierkundige analyses voor het noordelijk Deltabekken ten behoeve van de Spankrachtstudie. Resultaten test 2 (koppeling zeewaterstand en windsnelheid). PR471.20, HKV Lijn in water, februari 2002. [Duits, 2002d] Memorandum Special Hydra-B. Behorend bij project: Rivierkundige analyses voor het noordelijk Deltabekken ten behoeve van de Spankrachtstudie. Special Hydra-B (II). PR471.20, HKV Lijn in water, februari 2002. [Duits, 2002e] Special Hydra-B. Stochastische naverwerkingsroutine toetspeil-processor – Systeemdocumentatie, versie 1.0. M.T. Duits. HKV Lijn in Water, maart 2002.

213

[Duits, 2003a] Rekenmodule Benedenrivieren – Systeemdocumentatie, versie 1.7. M.T. Duits. HKV Lijn in Water, januari 2003. [Duits, 2003b] Rekenmodule Benedenrivieren – Technische documentatie, versie 1.7. M.T. Duits. HKV Lijn in Water, januari 2003. [Duits, 2003c] Handleiding Hydra-B – Geavanceerde gebruikers, versie 2.0. M.T. Duits. HKV Lijn in Water, december 2003. [Duits, 2003d] Gebruikershandleiding Hydra-B, versie 2.0. M.T. Duits. HKV Lijn in Water, december 2003. [Duits et al, 1998] Gevoeligheidsanalyse Probabilistische Belastingsmodellen en Rekentechnieken. Deelrapport 3: locatie Duursche Waarden, faalmechanisme overloop en golfoverslag. M.T. Duits, A.C.W.M. Vrouwenvelder, C.F. de Valk, J.M. van Noortwijk, M. Kok. TNO, Argoss, HKV, 1998. (Opdrachtgever Rijkswaterstaat: RIZA, RIKZ, DWW.) [Duits et al, 2001] Rekenmodule Benedenrivieren, Versie 1.4 - Handleiding. M.T. Duits, J.M. van Noortwijk, J. Ansink. HKV Lijn in Water, juli 2001. [Duits en Kolen, 2001] Rekenmodule Benedenrivieren, Versie 1.1 – Testrapport. M.T. Duits, B. Kolen. HKV Lijn in Water, maart 2001. [Duits en Thonus, 2001] Hydraulische Randvoorwaarden 2001 – Benedenrivierengebied – Hydra-B. M.T. Duits en B.I. Thonus. HKV Lijn in Water, 31 december 2001. [Duits en Thonus, 2002] Hydra – Benedenrivieren resultaten 2001, 33uurs sommen. M.T. Duits en B.I. Thonus. HKV Lijn in Water, september 2002. [Fioole, 1999] De 50%-lijnen van Bovenrijn en Maas. A.Fioole. RIZA memo WST 98.113. RIZA Dordrecht, juli 1998. [Geerse, 1999a] Mogelijk definities van ontwerppunten. Concept. C.P.M. Geerse. RIZA Lelystad, 16 juni 1999. [Geerse, 1999b] De interpretatie van het Rijkoort Weibull model. C.P.M. Geerse. RIZA rapport 99.048. RIZA Lelystad, 20 juli 1999. [Geerse, 2000] Probabilistisch model voor het Benedenrivierengebied. Concept. C.P.M. Geerse. RIZA Lelystad, 28 juni 2000. [Geerse, 2001] De standaardgolfvorm voor Rijn en Maas in samenhang met de consistentieproblematiek. C.P.M. Geerse. RIZA-Werkdocument 2001.121.x. RIZA, Lelystad, 30 juli 2001. [Geerse, 2002a] Invloed van de grenswaarde in het model Hydra-B voor het Benedenrivierengebied. C.P.M. Geerse. RIZAWerkdocument 2002.054x. RIZA, Lelystad [Geerse, 2002b] De grenswaarde in Hydra-B in relatie tot FBC-modellen. RIZA-Werkdocument 2002.053x. RIZA, Lelystad, 20 februari 2002. [Geerse, 2002c] Bivariate correlatiemodellen met exponentiële en asymptotisch exponentiële marginale verdelingen. Concept. C.P.M. Geerse. RIZA – werkdocument 2002.104x. RIZA Lelystad, augustus 2002.

214

[Geerse, 2003a] Probabilistisch model voor de IJsseldelta. C.P.M.Geerse. RIZA – werkdocument 2003.091x. RIZA Lelystad, mei 2003. (Het betreft een nauwelijks gewijzigde definitieve versie van het gelijknamige concept van 27 juni 2000.) [Geerse, 2003b] Probabilistisch model hydraulische randvoorwaarden IJssel- en Vechtdelta. C.P.M.Geerse. RIZA – werkdocument 2003.129X. RIZA Lelystad, september 2003. [Geerse et al, 2002] Wind-waterstandstatistiek Hoek van Holland. , C.P.M. Geerse (RIZA), M.T. Duits (HKV), H.J. Kalk (HKV), I.B.M. Lammers, (HKV). RIZA/HKV rapport, Lelystad, juli 2002. [Goda, 1969] Reanalysis of laboratory data on wave transmission over breakwaters. Y. Goda. Report of the Port and Harbour Research Institute, Vol. 18, No 3, September 1969. [De Goederen, 1999] Gebruikershandleiding PRIS & TOF. Werkdocument 99.153X. RIZA Dordrecht, november 1999. [De Goederen, 2003] Werkwijze waterloopkundige berekeningen in het Benedenrivierengebied voor het Randvoorwaardenboek 2001. Werkdocument 2002.204X. RIZA Dordrecht, december 2002. [Den Heijer, 1994] Beheerdershandleiding van DIJKRING 4.0 (concept). F. den Heijer. DWW, 23 september 1994. [Helsloot, 1991] Beheersstrategie stormvloedkering Hartelkanaal; sluitfrequentie en faalkans. I.C.M Helsloot. RIZA werkdocument 91.067X. RIZA Dordrecht, april 1991. [HR 1996] Hydraulische Randvoorwaarden voor primaire waterkeringen. Ministerie van Verkeer en Waterstaat, Delft, september 1996. [HR 2001] Hydraulische Randvoorwaarden 2001 voor het toetsen van primaire waterkeringen. Ministerie van Verkeer en Waterstaat. Delft, december 2001. [Kalk et al, 2001] Uitbreiding afvoerstatistiek − Borgharen, Lith, Lobith, Olst. H.J. Kalk, I.B.M. Lammers, C.P.M. Geerse. HKV Lijn in Water, Lelystad, december 2001. [Klopstra, 1999] Applicatie standaard afvoergolven Maas en Rijn. D. Klopstra. HKV Lijn in water, september 1999. [Klopstra en Duits, 1999] Methodiek voor vaststelling van de vorm van de maatgevende afvoergolf van de Rijn bij Lobith. D. Klopstra, M.T. Duits. HKV Lijn in water, december 1999. [Klopstra en Vrisou van Eck, 1999] Methodiek voor vaststelling van de vorm van de maatgevende afvoergolf van de Maas bij Borgharen. D. Klopstra, N. Vrisou van Eck. HKV Lijn in water, maart 1999. [Kroos, 1999a] Werkdocument RIKZ/OS-97.147X. J. Kroos, 16 september 1999. [Kroos, 1999b] Nauwkeurigheid waterstandsverwachtingen SVSD voor Hoek van Holland. Memo door J. Kroos, gedateerd 16 september 1999, van RIKZ aan Rijkswaterstaat, directie Zuid-Holland t.a.v. dhr. ir. A. van der Wekken. [Lammers en Duits, 2002] Testrapport Hydra-B 1.0.0. I.B.M. Lammers, M.T. Duits. HKV Lijn in Water, november 2002.

215

[Van de Langemheen en Berger, 2002] Hydraulische randvoorwaarden 2001: maatgevende afvoeren Rijn en Maas. W. van de Langemheen, H.E.J. Berger. RIZA-Rapport 2002.014. [Van der Lee et al, 2001] WAQUA berekeningen ten behoeve van afvoerstatistiek. W.T.B. van der Lee, M. Visser, K. Wouters. HKV Lijn in water, november 2001. [Leidraad rivierdijken deel 2, 1989] Leidraad voor het ontwerpen van rivierdijken. Deel 2 – Benedenrivierengebied. Technische Adviescommissie voor de Waterkeringen. Staatsuitgeverij ’s Gravenhage, 1989. [Leidraad rivierdijken deel 1, 1985] Leidraad voor het ontwerpen van rivierdijken. Deel 1 – Bovenrivierengebied. Technische Adviescommissie voor de Waterkeringen. Staatsuitgeverij ’s Gravenhage, september 1985. [Lodder, 2003] Grenzen in het Benedenrivierengebied van het zeegebied, het overgangsgebied en het rivierengebied. Q. Lodder. RIZA Lelystad, 6 mei 2003. [Van der Made, 1969] Design levels in the transition zone between the tidal reach and the river regime reach. J.W. van der Made, Rijkswaterstaat, Netherlands. In: Association Internationale d’Hydrologique Scientifique. Actes de Colloque de Bucarest – mai 1969 – Hydrologique des Deltas. [Van der Meer, 1993] Golfoploop en golfoverslag bij dijken. Samenvatting. J.W. van der Meer. Waterloopkundig Laboratorium, verslag H 638. [Van der Meer, 1997]. Golfoploop en golfoverslag bij dijken. J.W. van der Meer. Waterloopkundig Laboratorium, verslag H 2458 / H 3051. [Paape et al, 1998] Het Beslis- en Ondersteunend Systeem van de Stormvloedkeringen in de Nieuwe Waterweg en het Hartelkanaal. Ir. A. Paape, Ir. W.F. Volker en Prof. Drs Ir. J.K. Vrijling. Verslag van de audit commissie, maart 1998. [Philippart en Dillingh, 1995] De basispeilen langs de Nederlandse kust; de ruimtelijke verdeling en overschrijdingskansen. Philippart M.E., D. Dillingh, S.T. Pwa. RIKZ-95.008. Rijkswaterstaat, mei 1995. [Rijkoort, 1983] A compound Weibull model for the description of surface wind velocity distribution. Rijkoort P.J. Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut (KNMI). De Bilt, 1983. [Ris, 1997] Implementatie windopzet ENDEC. R.C. Ris. Notitie. [De Ronde, 1985] Wisselwerking tussen opzet en verticaal getij. J.G. De Ronde. Nota GWIO-85.003. Rijkswaterstaat, dienst getijdewateren, oktober 1985. [De Ronde, 1986] Windrichting afhankelijke waterstand- en windsnelheidstatistiek Hoek van Holland. J.G. de Ronde. Nota GWAO-86.005. RIKZ Den Haag, augustus 1986 (voorheen: Rijkswaterstaat dienst getijdewateren). [Roskam et al, 2000] Richtingsafhankelijke extreme-waarden voor HW-standen, golfhoogten en golfperioden. A.P. Roskam, J. Hoekema en J.J. Seiffert. Rapport RIKZ/2000.040. RIKZ Den Haag, december 2000.

216

[Seelig, 1979] Effect of breakwaters on waves: laboratory tests of wave transmission by overtopping. W.N. Seelig. Proc. Coastal Structures 1979, p. 941 – 961. [Snippe en Blom, 1998] Hydraulische verkenning IVB. Resultaten 2000-2050, autonome variant. E. Snippe, G. Blom. UVB 98.130X, april 1999. RIZA Dordrecht. [Stijnen et al, 2002] Onzekerheidsanalyse Hoogwaterbescherming Rijntakken – Onzekerheidsbronnen en gevolgen van maatregelen. J.W. Stijnen, M. Kok, M.T. Duits. HKV Lijn in Water, Lelystad, november 2002. [TAW, 2002] Technisch Rapport Golfoploop en Golfoverslag bij Dijken. Technische Adviescommissie voor de Waterkeringen. Delft, mei 2002. [Technische Commissie Randvoorwaarden, 1996] Hydraulische randvoorwaarden voor primaire waterkeringen. Rijkswaterstaat, 1996. [Thonus en Duits, 2001] Rekenmodule Benedenrivieren, Versie 1.1 – Testrapport Hollandsch Diep en Haringvliet. B.I. Thonus en M.T. Duits. HKV Lijn in Water, maart 2001. [Van Urk, 1991] Uitgangspunten voor de beheersstrategie van de stormvloedkering in de Nieuwe Waterweg voor de berekening van de maatgevende hoogwaterstanden. A. van Urk. RIZA werkdocument 91.149X. RIZA Dordrecht, maart 1991. [De Valk en Steetzel, 1997] Modelling statistics of storm duration to asses the reliability of dunes as flood protection – preliminary investigation. C.F. De Valk (ARGOSS), H.J. Steetzel (Alkyon). Report A69, ARGOSS, december 1997. [Verkaik et al, 2003] Wind Climate Assessment of the Netherlands 2003: Extreme value analysis and spatial interpolation methods for the determination of extreme return levels of wind speed. J.W. Verkaik, A. Smits, J. Ettema. KNMI De Bilt, the Netherlands, april 24, 2003. [Volker, 1987] Statistiek van wind en waterstanden in Hoek van Holland; tweede concept. W.F. Volker. 20 mei 1987. [Volker, 1989] Overbelasting van dijken tijdens hoge rivierafvoer. W.F. Volker. WBVO-N-89015. DWW, februari 1989. [Vreugdenhil et al, 2001] Probabilistische rekenmethode voor het bepalen van ontwerppunten. B.J. Vreugdenhil, J.M. van Noortwijk, M.T. Duits. HKV Lijn in Water, januari 2001. [Vrouwenvelder et al, 1994] Case Study Noord-Schuddeland. A.C.W.M. Vrouwenvelder et al. Delft TNO 94-CON-R0122, 1994. [Vrouwenvelder et al, 1997] Gevoeligheidsanalyse Probabilistische Belastingmodellen en Rekentechnieken. Deelrapport 1: locatie Rotterdamsche Hoek, faalmechanisme overloop en golfoverslag. PRO89, A.C.W.M. Vrouwenvelder, J.M. van Noortwijk, C.F. de Valk, M.T. Duits, M. Kok. TNO Bouw, ARGOSS, HKV, 1997. [Vrouwenvelder et al, 1999] Theoriehandleiding PC-Ring; deel B: Statistische modellen, 3e concept. A.C.W.M. Vrouwenvelder, H.M.G.M. Steenbergen, K.Slijkhuis. TNO-rapport 98-CON-R1431. TNO-Bouw, 31 januari 1999.

217

[Vrouwenvelder et al, 2002] Belastingmodellen Benedenrivierengebied - fase 2/Concept met aanvullende berekeningen. A.C.W.M. Vrouwenvelder, H.M.G.M. Steenbergen, F.L.M. Diermanse. TNO-rapport 2001-CON-DYN-R8014. TNOBouw, september 2002. [Vuren, van, 2001] Het samenvallen van hoogwaters op de Rijn en Maas in het benedenrivierengebied – een analyse van historische hoogwaters. W. van Vuren. Memo RIZA-WSR 2001-018. [De Waal, 1999] Achtergronden Hydraulische Belastingen Dijken IJsselmeergebied. Deelrapport 9: Modellering dammen, voorlanden en golfoploop. J.P. de Waal. RIZA rapport 99.046. RIZA Lelystad, 25 maart 1999. [De Waal, 2003] Windmodellering voor bepaling waterstanden en golven – Een analyse van de bouwstenen. J.P. de Waal. RIZAwerkdocument 2003.118x. RIZA Lelystad, juli 2003. [Van Weerden et al, 1987] Effekt variatie opzetduren op de hoogwaterstanden in het Noordelijk Deltabekken. J.J. Van Weerden, J.P.F.M. Janssen, J.K. Vrijling. DBW/RIZA nota 87.054. Dordrecht, november 1987. [Wieringa en Rijkoort, 1983] Windklimaat van Nederland. Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut (KNMI), De Bilt. Staatsuitgeverij Den Haag, 1983. [Van Zetten, 1987] Het optreden van hoogwaterstanden in het noordelijk deltagebied. J.W. van Zetten. Nota 87.018. Dienst Binnenwateren/RIZA, 1987.

218