Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A: 𝐴 = 𝑎 ±∝ nebo 𝐴 ∈ 𝑎 − ∝, 𝑎 + ∝ nebo 𝑎− ∝ ≤ 𝐴 ≤ 𝑎+ ∝ Aproximace čísla B: 𝐵 = 𝑏 ± 𝛽 nebo 𝐵 ∈ 𝑏 − 𝛽, 𝑏 + 𝛽 nebo 𝑏 − 𝛽 ≤ 𝐵 ≤ 𝑏 + 𝛽 Součet neúplných čísel – odvození: 𝑎− ∝ + 𝑏 − 𝛽 ≤ 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑎+ ∝ + (𝑏 + 𝛽)
Pravidlo: 𝑎 + 𝑏 − (∝ +𝛽) ≤ 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑎 + 𝑏 + (∝ + 𝛽) Při sčítání dvou neúplných čísel se sčítají jejich absolutní chyby. 𝛼+𝛽 relativní chyba součtu dvou veličin 𝛿 (𝐴 + 𝐵) = 𝑎+𝑏 Rozdíl neúplných čísel
?? ≤ 𝐴 − 𝐵 ≤ ??
Počítání s neúplnými čísly 2 Rozdíl neúplných čísel - odvození 𝑎− ∝ − 𝑏 + 𝛽 ≤ 𝐴 − 𝐵 ≤ 𝑎+ ∝ − (𝑏 − 𝛽)
Pravidlo 𝑎 − 𝑏 − ∝ +𝛽 ≤ 𝐴 − B ≤ 𝑎 − 𝑏 + (∝ + 𝛽) Při odečítání dvou neúplných čísel se sčítají jejich absolutní chyby. Důsledek!!: Při nepřímém měření veličiny, která je dána rozdílem dvou veličin, se absolutní chyby sčítají a rozdíl veličin tak může být zatížen velkou relativní chybou. relativní chyba rozdílu 𝛼+𝛽 𝛿 (𝐴 − 𝐵) = 𝑎−𝑏
Počítání s neúplnými čísly 3 Úloha Určete absolutní a relativní chyby součtu a rozdílu veličin: 𝐴 = (8,0 ± 0,2) cm, 𝐵 = (6,0 ± 0,3) cm
Počítání s neúplnými čísly 4 Úloha - řešení 𝐴 + 𝐵 = (14,0 ± 0,5) cm, δ A + B = 3,57 % 𝐴 − 𝐵 = (2,0 ± 0,5) cm, δ A − B = 25,00 %
Počítání s neúplnými čísly 5 Součin dvou neúplných čísel - odvození: 𝑎− ∝ . 𝑏 − 𝛽 ≤ 𝐴 . 𝐵 ≤ 𝑎+ ∝ . (𝑏 + 𝛽) ….
Počítání s neúplnými čísly 6 Součin dvou neúplných čísel
Pravidlo: 𝐴. 𝐵 = 𝑎 . 𝑏 ± (𝑎 𝛽 + b ∝) Při násobení dvou neúplných čísel se sčítají jejich relativní chyby. relativní chyba součinu dvou veličin 𝛅 (𝐀. 𝐁) = 𝛅 (𝐀) + 𝛅 (𝑩)
Počítání s neúplnými čísly 7 Podíl dvou neúplných čísel - odvození 𝑎 −∝ 𝐴 𝑎 +∝ ≤ ≤ 𝑏+𝛽 𝐵 𝑏−𝛽 𝑎−∝ 𝑏−𝛽 . 𝑏+𝛽 𝑏−𝛽
𝐴
≤𝐵≤
Levá strana:
𝑎+∝ 𝑏−𝛽
𝑏+𝛽
. 𝑏+𝛽
𝑎𝑏−𝑏𝛼 −𝑎𝛽+𝛼𝛽 𝑏2 −𝛽2
→ zanedbáme členy 𝛼𝛽 a 𝛽2
𝑎 𝑏
𝑎𝛽+ 𝑏𝛼 . 𝑏2
𝑎
𝑎𝛽+ 𝑏𝛼 𝑏2
Po úpravě je levá strana − pravá strana analogicky 𝑏 +
Relativní chyba
𝑎𝛽+ 𝑏𝛼 𝑏2
𝑎
𝛼
𝛽
:𝑏=…=𝑎+𝑏
Pravidlo: 𝐴 𝑎 𝑎𝛽 + 𝑏 ∝ = ± 𝐵 𝑏 𝑏2 Při dělení dvou neúplných čísel se sčítají jejich relativní chyby. relativní chyba podílu dvou veličin 𝛅 (𝐀/𝐁) = 𝛅 (𝐀) + 𝛅 (𝑩)
Počítání s neúplnými čísly 8 Úloha Určete absolutní a relativní chyby součinu a podílu veličin: 𝐴 = (8,0 ± 0,2) cm, 𝐵 = (6,0 ± 0,3) cm
Počítání s neúplnými čísly 9 Úloha Určete absolutní a relativní chybu hustoty kužele: 𝑚 = (153 ± 4) g, 𝑟 = 1,60 ± 0,08 cm, 𝑣 = (6,39 ± 0,45) cm Navrhněte způsoby, jakými lze zmenšit chybu měření.
Počet platných číslic (míst) 1 Pravidla 1. První nenulová číslice (zleva) v zápisu daného čísla zaujímá nejvyšší platné místo. Příklad V následujících číslech je číslice zaujímající nejvyšší platné místo podtržena: 130,05; 0920; 0,0086. 2. U čísel s desetinnou čárkou zaujímá poslední udaná číslice (včetně nuly!) nejnižší platné místo. Příklad 123,05; 0,0035;123,00
Počet platných číslic (míst) 2 Pravidla 3. U čísel bez desetinné čárky zaujímá nejnižší platné místo poslední nenulová číslice. Příklad 0120; 13; 13 000 4. Počet platných míst nějakého čísla je počet číslic mezi nejvyšším a nejnižším platným místem včetně. Příklad Následující čísla mají čtyři platná místa: 1 234; 123 400; 123,4; 1,001; 1,000; 10,10; 0,000 1010; 100,0.
Úlohy – platná místa 1. Určete nejvyšší a nejnižší platné místo čísel. 0,013 1,00 0,07600 120 6 015 60 000 2. Kolik platných míst mají následující čísla? 10 234 20,01 13,00 2 012,0 100,100 0,000 50
Zaokrouhlování 1 Pravidla 1. Chybu výsledku zaokrouhlujeme na jedno, nejvýše na dvě platná místa. Zaokrouhlujeme ji obvykle směrem nahoru (zaokrouhlováním bychom ji neměli zmenšovat). Pokud výsledek nepoužíváme k dalším výpočtům, stačí se omezit na jedno platné místo. Pokud s výsledkem provádíme další výpočty, je lepší uvést dvě platná místa, abychom snížili chyby ze zaokrouhlování. 2. Aritmetický průměr zaokrouhlíme na číslici téhož řádu, jako je nejnižší platné místo chyby.
Příklad Správně zapsané výsledky měření: a = (23,5 0,6) mm nebo a = (2,35 0,06).10-2 m P = (9 600 100) W nebo P = (9,6 0,1) kW a = (23,49 0,56) mm P = (9 630 120) W
Úloha - zaokrouhlování Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření (měření v cm): r = 0,587234810 0,009932871
Úloha – zaokrouhlování (řešení) Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření: r = 0,587234810 0,009932871 Oprava: není zaokrouhlena chyba není zaokrouhlen aritmetický průměr není uvedena jednotka není vyznačena závorka, označující, že se jednotka vztahuje i k aritmetickému průměru. Správně má být: r ≐ (0,59 0,01) cm nebo r ≐ (5,9 0,1) mm nebo r ≐ (5,9 0,1).10-3 m.
Zaokrouhlování 2 Pravidla 1. Při sčítání a odečítání čísel se výsledek zaokrouhluje a poslední platné místo toho řádu, který je u všech sčítanců platný. Příklad 15,6 + 2,35 + 0,3 = 18,25 ≐ 18,3 2. Při násobení a dělení čísel je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cifer, kolik jich má číslo s nejmenším počtem platných cifer. Příklad 24,152 . 3,46 = 83,565 92 ≐ 83,6
Cvičení 1 Svinovacím metrem měříme šířku knihy a šířku stolu. Které měření má větší absolutní a které větší relativní chybu (nejistotu)?
Cvičení 2 Naměřený proud 425mA byl změřen s relativní chybou (nejistotou) 2·10-3. Jaká byla absolutní chyba ( nejistota)?
Cvičení 3 Opravte nesprávně zapsaný výsledek měření: J = 32893,4 275 kg.m2
Cvičení 4 Zaokrouhlete výsledky na správný počet platných míst. 3,06 + 2,30 + 7,34 ≐ 10,23 – 8,2 ≐ 10,28 . 5,0 ≐ 12 000 : 5,21 ≐
