PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL JAN MALÝ

Obsah 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Plochy a křivky Křivkový a plošný integrál prvého druhu Křivkový integrál druhého druhu Elementy teorie pole Plošný integrál kodimenze 1 Věta o divergenci Integrování přes variety Stokesova věta Praktické hledání parametrizace a určování orientace

1 1 3 4 5 6 7 8 9

1. Plochy a křivky Pojmy “plocha” a “křivka” se v matematice používají v mnoha různých významech. V této sekci je zavedeme tak, jak se hodí pro účely integrace. 1.1. Křivka. Křivka (přesněji C 1 -křivka) v Rd je spojitě diferencovatelné zobrazení γ intervalu ha, bi ⊂ R do Rd . Derivace γ v krajních bodech a, b chápeme jako jednostranné. Interval ha, bi nazveme referenčním intervalem křivky γ. 1.2. Plocha, zobecněná křivka. Nyní bychom chtěli definovat “něco jako křivka” ve vyšší dimenzi. Definiční obor by v tomto případě mohl být vícerozměrný interval, ale takové pojetí je přecijen někdy příliš omezující. Budeme tedy definovat n-rozměrnou plochu v Rd , n ≥ 1, jako spojitě diferencovatelné zobrazení ϕ otevřené množiny G ⊂ Rn do Rd . Množinu G nazveme referenčním oborem plochy ϕ. 1-rozměrnou plochu budeme nazývat zobecněnou křivkou. Každé křivce γ : ha, bi → Rd odpovídá zobecněná křivka γ ◦ = γb(a, b), tedy “ořízneme” hodnoty v krajních bodech referenčního intervalu. Ztráta informace je jen zdánlivá, “chybějící” krajní body křivky můžeme znovu zrekonstruovat jako limity v krajních bodech referenčního intervalu. Zobecněná křivka zobecňuje pojem křivky ve dvou směrech: • v krajních bodech nepožadujeme existenci jednostranných limit, • referenční obor nemusí být souvislý. Křivky a plochy jsou definované jako zobrazení, ale intuitivně je často vnímáme jako množiny, tj. plochu ϕ vnímáme jako množinu ϕ(G). Při takové intuitivní představě je třeba zachovávat opatrnost, například v definici plochy jsme nepožadovali prostotu, tj. plocha se může “křížit sama se sebou” nebo někde dokonce třeba “zdvojit”. Nějčastěji se však prostota objeví v dodatečných předpokladech. Zdůrazněme, že (zobecněné) křivky pokládáme za zvláštní případ ploch a zformulujeme-li tvrzení (definici, poznámku,. . .) pro plochy, máme tím na mysli i aplikaci na křivky. Pojem křivka používáme jen mluvíme-li o specifikách jednorozměrného případu. 1.3. Regularita. Řekneme, že plocha ϕ je regulární v bodě t, jestliže Jacobiho matice ϕ0 (t) má hodnost n. Regulární plocha znamená regulární v každém bodě. 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 2.1. Motivace. Naším cílem je vybudovat integrál (úhrn veličiny) přes n-rozměrné “množiny” v Rd . Nejschůdnější cestou je vhodná volba “křivočarých souřadnic”, což odpovídá tomu, že neintegrujeme přes množiny, ale přes plochy. 1

2.2. Grammův determinant. Nechť ϕ : G → Rd je n-rozměrná plocha v Rd . Máme  k ∂ϕ ∂ϕ ϕ0 (t)T ϕ0 (t) = . (t) · (t) ∂ti ∂tj i,j=1 Determinant z této matice se nazývá Grammův determinant, jeho odmocnina se používá jako “jakobián” pro plošné integrály druhého druhu a značí |Jϕ(t)|. Tedy q |Jϕ(t)| := ϕ0 (t)T ϕ0 (t). Symbol | . . . | zde je použit k zdůraznění faktu, že jde o nezápornou veličinu, na rozdíl od “obyčejného” objemového jakobiánu. Také si lze správně myslet, že samotnému výrazu Jϕ lze také přiřadit smysl, tím se však budeme zabývat později. 2.3. Plošný integrál prvého druhu. Nechť ϕ : G → Rd je n-rozměrná plocha v Rd a f je funkce na (ϕ). Definujeme Z Z Z (1) f dS = f (x) dS(x) := f (ϕ(t)) |Jϕ(t)| dt. ϕ

ϕ

G

Definici (a podobným definicím v dalším) rozumíme tak, že integrál vlevo má smysl, když má smysl integrál vpravo. 2.4. Definice (Nulové množiny). Řekneme, že množina N ⊂ Rd je k-nulová, jestliže pro každé ε > 0 existují koule B(xj , rj ), j ∈ N, tak, že [ X N⊂ B(xj , rj ) a rjk < ε. j

j

Jako příklady k-nulových množin slouží např. variety nižší dimenze, nebo obrazy ϕ(A), kde A je Lebesgueovsky k-nulová a ϕ je k-rozměrná plocha. Je-li N k-nulová, pak všechny její k-rozměrné projekce jsou Lebesgueovsky k-nulové. Pro k = d pojmy k-nulovosti a lebesgueovské nulovosti splývají. 2.5. Parametrizace. Nechť M ⊂ Rd a ϕ : G → Rd je n-rozměrná plocha. Řekneme, že ϕ je (n-rozměrná) lokální parametrizace M , jestliže ϕ je prostá, regulární a relativně otevřená do M (To znamená, že ϕ(G) ⊂ M a ϕ zobrazuje otevřené podmnožiny G na relativně otevřené podmnožiny M . Inverzní zobrazení je potom spojité.) Řekneme-li, že ϕ je globální parametrizace M , znamená to, že navíc ϕ(G) = M . Užitečný kompromis mezi lokální a globální parametrizací je zobecněná parametrizace, to je taková lokální parametrizace M , že M \ ϕ(G) je n-nulová množina. 2.6. Věta (nezávislost plošného integrálu na parametrizaci). Nechť M ⊂ Rd a f : M → R je funkce. Nechť ϕ : G → Rd , ψ : H → Rd jsou zobecněné parametrizace M . že ϕ(G) = ψ(H) = M . Potom buď Z Z f dS = f dS, ϕ

ψ

nebo žádný z těchto integrálů nemá smysl. 2.7. Integrál prvého druhu přes množinu. Nechť M ⊂ Rd a f : M → R je funkce. Potom definujeme (n-rozměrný) plošný integrál f přes M předpisem Z Z f dS, f dS = M

ϕ

kde ϕ je zobecněná parametrizace M . Pokud žádná zobecněná parametrizace M neexistuje nebo integrál vpravo nemá smysl, zůstává integrál vlevo nedefinovaný. Z předchozí věty plyne, že taková definice je korektní. 2.8. Křivkový integrál prvého druhu. Nechť ϕ : G → Rd je zobecněná křivka. Potom Jacobiho matice ϕ0 (t) má d řádků a jen jeden sloupec, je to tedy vlastně “jen svislý vektor”. Potom Jϕ = ϕ0 a pro křivkový integrál prvého druhu funkce f platí vzorec Z Z Z f ds = f (x) ds(x) = f (ϕ(t)) |ϕ0 (t)| dt. ϕ

ϕ

G 2

Všimněte si, že pro křivkovou integraci se zpravidla píše “diferenciál” ds místo dS. Integrál Z Z ds = |ϕ0 (t)| dt ϕ

G

má geometrický význam délky (zobecněné) křivky. (Bez ohledu na to, zda křivka je prostá či ne, může se i “protínat” či dokonce “probíhat některé úseky vícekrát”. V takovém případě se ovšem i délka příslušného úseku objeví ve výsedku vícekrát a délka křivky se může lišit od “délky” množiny ϕ(G).) 2.9. Vektorový součin. Vektorový součin vektorů u1 , . . . , ud−1 ∈ Rd je vektor u1 × · · · × ud−1 :=

d X

det(ei , u1 , . . . , ud−1 ) ei .

i=1

Vektorový součin je kolmý na své činitele. Při liché permutaci činitelů změní vektorový součin znaménko, při sudé zůstane zachován. V dimenzi tři je vektorovým součinem vektorů u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ) vektor      ! u2 , v2 u3 , v3 u1 , v1 u × v = det , det , det . u3 , v3 u1 , v1 u2 , v2 V dimenzi 2 má vektorový součin jen jednoho činitele. Roli vektorového součinu plní zde operátor otočení o pravý úhel proti směru hodinových ručiček ∗[u1 , u2 ] = [−u2 , u1 ]. Vektorový součin přiřadí vektoru −u vektor ∗u (pozor na znaménko !). 2.10. Vektorový jakobián a plošný integrál kodimenze jedna. Vektorový jakobián (d−1)-rozměrné plochy ϕ : G → Rd v bodě t ∈ G ⊂ Rd−1 definujeme předpisem ∂ϕ ∂ϕ (t) × · · · × (t). Jϕ(t) = ∂t1 ∂td−1 Podle tzv. Cauchy-Binetovy formule je |Jϕ(t)| = |Jϕ(t)|, tedy jakobián pro kalkulus plošného integrálu prvého druhu lze v kodimenzi 1 počítat alternativním způsobem Z Z Z f dS = f (x) dS(x) := f (ϕ(t)) |Jϕ(t)| dt. ϕ

ϕ

G

Integrál Z

Z |Jϕ(t)| dt

dS = ϕ

G

má geometrický význam obsahu (area) plochy. Podobně jako u křivky, o obsahu plochy můžeme mluvit i tehdy, když plocha není prostá, pak se ale může lišit od “obsahu” množiny ϕ(G). 3. Křivkový integrál druhého druhu 3.1. Křivkový integrál druhého druhu. Nechť ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕd ) : G → Rd je zobecněná křivka a f = (f1 , . . . , fd ) : ϕ(G) → Rd je vektorové pole. Definujeme Z Z b f · ds = f (ϕ(t)) · ϕ0 (t) dt. (2) ϕ

a d

Také pro index i a skalární funkci u : ϕ(G) → R píšeme Z Z b (3) u dxi := u(ϕ(t)) · ϕ0i (t) dt. ϕ

a

Definice (2), (2) chápeme tak, že integrál vlevo má smysl, pokud má smysl integrál vpravo. Zřejmě můžeme přepsat Z Z f · ds = f1 dx1 + · · · + fd dxd . ϕ

ϕ

Křivkový integrál (2) má velký význam ve fyzice, křivkovým integrálem druhého druhu se integrují veličiny, u nichž není zajímavý úhrn celkové velikosti, ale úhrn tečné složky. Například práce je křivkový integrál druhého druhu síly po dráze. 3

3.2. Pole. Pojmy skalární pole, vektorové pole se používají jako synonyma pro skalární, resp. vektorovou funkci. Jejich používání v některých situacích je dáno zvyklostmi. 3.3. Tečné pole. Nechť ϕ : G → Rd je prostá regulární zobecněná křivka. Je-li x = ϕ(t), t ∈ G, definujeme ϕ0 (t) (4) τ (x) = . |ϕ(t)| Funkce τ : ϕ(G) → Rd se nazývá pole jednotkových tečných vektorů (zkráceně tečné pole) ke křivce ϕ. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a směru probíhání křivky. Je-li G interval a má-li ϕ prosté spojité rozšíření do G, existují jen dvě možnosti jak může vypadat tečné pole na ϕ(G), tedy každá jiná “parametrizace” ψ dá jednu z těchto možností: jestliže ψ −1 ◦ ϕ je rostoucí, pak původní τ , jinak −τ . 3.4. Věta (Vztah mezi křivkovým integrálem prvého a druhého druhu). Nechť M ⊂ Rd má n-rozměrnou zobecněnou parametrizaci ϕ : G → Rd . Nechť f : M → Rd je vektorové pole. Potom Z Z f · ds = f · τ ds, ϕ

M

má-li integrál aspoň na jedné straně smysl. 4. Elementy teorie pole 4.1. Divergence, gradient, rotace. Nechť U ⊂ Rd je otevřená množina, u : U → R je spojitě diferencovatelná funkce a f = (f1 , . . . , fd ) : U → Rd je spojitě diferencovatelné vektorové pole (vektorové pole znamená zobrazení s hodnotami v Rd ). Nechť (e1 , . . . , ed ) je kanonická báze v Rd . Definujeme ∇u = grad u :=

div f :=

d X ∂u ei , ∂x i i=1

d X ∂fi , ∂xi i=1

(gradient u),

(divergence f )

∂f2 ∂f1 curl f := − (rotace f , d = 2), ∂x1 ∂x2     ∂f  ∂f ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f1  2 3 − e1 + − e2 + − e3 curl f := ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2

(rotace f , d = 3).

4.2. Věta o potenciálu. Nechť W ⊂ Rd je otevřená množina. Nechť ψ : ha, bi → Rd je křivka, hψi ⊂ W , A = ψ(a), B = ψ(b). Nechť u : W → R je spojitě diferencovatelná funkce. Potom Z u(B) − u(A) = ∇u · ds, ψ

pokud integrál vpravo konverguje. 4.3. Definice (Hvězdovitá množina). Řekneme, že množina U ⊂ Rd je hvězdovitá, jestliže existuje a ∈ U tak, že pro každý bod x ∈ U je celá úsečka {a + t(x − a) : t ∈ h0, 1i} podmnožinou U . Každá konvexní množina je hvězdovitá. 4.4. Věta (Hlavní věta teorie pole). Nechť W ⊂ Rd je otevřená množina a f = (f1 , . . . , fd ) : W → Rd je spojité vektorové pole. Uvažujme následující podmínky: (i) (Existence potenciálu.) Existuje spojitě diferencovatelná funkce u : W → R tak, že f = ∇u. (ii) (Nezávislost integrálu na dráze.) Pro každé dva body A, B ∈ W existuje číslo c = c(A, B) tak, že a každou křivku ψ : ha, bi → W s počátečním bodem A = ψ(a) a koncovým bodem B = ψ(b) je Z f · ds = c. ψ

(iii) (Nulová rotace.) Pro každou dvojici i, j indexů z {1, . . . , d} je ∂fi ∂fj = . ∂xj ∂xi Potom platí následující vztahy: 4

(a) (i) ⇐⇒ (ii), (b) Je-li f spojitě diferencovatelná, pak (i) =⇒ (iii). (c) Je-li f spojitě diferencovatelná a W hvězdovitá, pak pak (iii) =⇒ (ii). 4.5. Poznámka. Nulovost rotace je rovnost curl f = 0 v dimenzi 2 a rovnost curl f = 0 v dimenzi 3.

5. Plošný integrál kodimenze 1 5.1. Plošný integrál druhého druhu. Nechť ϕ : G → Rd je (n−1)-rozměrná plocha v Rn . Nechť f = (f1 , . . . , fn ) : ϕ(G) → Rn je vektorové pole. Potom definujeme Z Z (5) f · dS := f (ϕ(t)) · Jϕ(t) dt. ϕ

G

Integrály typu (5) se hojně vyskytují ve fyzice, mají např. význam toku plochou. 5.2. Zápis pomocí diferenciálů. Jestliže n = 2, je ϕ zobecněná křivka a integrál uvedený výše lze přepsat ve tvaru Z Z f · dS = f1 dx2 − f2 dx1 . ϕ

ϕ

Zde R velikost symbolu S v diferenciálu hraje významnou roli. Musíme striktně rozlišovat mezi integrálem f · dS a integrálem ϕ Z Z f · ds = f1 dx1 + f2 dx2 . ϕ

ϕ

V dimenzi tři, pro dvourozměrnou plochu ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) : G → R3 , skalární pole u a dvojici indexů (i, j) ∈ {1, 2, 3}2 definujeme Z Z ∂(ϕi , ϕj ) dt. u dxi dxj = u(ϕ(t)) ∂(t1 , t2 ) ϕ G Všimněne si, že takový integrál závisí znaménkem na pořadí diferenciálů a pro i = j je nulový! Pak lze psát Z Z f · dS = f1 dx2 dx3 − f2 dx1 dx3 + f3 dx1 dx2 . ϕ

ϕ

Podobně lze zapisovat různé integrály ve vyšších dimenzích, a nejen pro plochy dimenze či kodimenze jedna, podrobněji se však tomuto tématu budeme věnovat později. 5.3. Normálové pole. Nechť ϕ : G → Rn je prostá regulární (n−1)-rozměrná plocha. Je-li x = ϕ(t), t ∈ G, definujeme (6)

ν(x) =

Jϕ(t) . |Jϕ(t)|

Funkce ν : ϕ(G) → Rn se nazývá pole jednotkových normálových vektorů (zkráceně normálové pole) k ploše ϕ. Zahrnuje v sobě informaci o tečném prostoru v každém bodě a orientaci ve smyslu “rub nebo líc”. Je-li G souvislá otevřená množina a má-li ϕ prosté spojité rozšíření do G, existují jen dvě možnosti jak může vypadat normálové pole na ϕ(G), tedy každá jiná “parametrizace” ψ dá jednu z těchto možností: původní ν nebo −ν. 5.4. Věta (Vztah mezi integrálem prvého a druhého druhu). Nechť M ⊂ Rn má zobecněnou (n−1)rozměrnou parametrizaci ϕ : G → Rn . Nechť f : M → Rn je vektorové pole. Potom Z Z f · dS = f · ν dS, ϕ

M

pokud aspoň jeden z integrálů má smysl. 5

6. Věta o divergenci 6.1. Ohraničení otevřené množiny. Buď n > 1. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina a ϕ : G → Rn je prostá regulární (n−1)-rozměrná plocha v Rn . Řekneme, že ϕ ohraničuje Ω v bodě z = ϕ(t) ∈ ∂Ω, jestliže existuje okolí U bodu z a spojitě diferencovatelná rozhraničující funkce h : U → R tak, že ∇h(z) 6= 0, Jϕ(t) je kladným násobkem ∇h(z) (test orientace) a " # x ∈ Ω ⇐⇒ h(x) < 0, x ∈ U =⇒ . x ∈ ϕ(G) ⇐⇒ h(x) = 0 Při našem způsobu orientace směřuje normála ν ke ϕ vždy “ven z Ω”. Proto se jí říká vnější normála. Řekneme, že ϕ ohraničuje Ω až na (n−1)-nulovou množinu, jestliže ϕ je zobecněná parametrizace ∂Ω a ohraničuje Ω v každém bodě ϕ(G). 6.2. Věta o divergenci. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina a ϕ : G → Rn je (n−1)-rozměrná plocha ohraničující Ω až na (n−1)-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na Ω ∪ ϕ(G). Potom Z Z (7) f · dS = div f (x) dx, ϕ

Ω

pokud integrály na obou stranách konvergují. 6.3. Poznámky. Věta o divergenci se také nazývá Gaussova, Gauss-Greenova nebo Ostrogradského. Často se zapisuje ve tvaru Z Z f · ν dS = div f (x) dx. ∂Ω

Ω

6.4. Test orientace pro Greenovu větu. Následující varianta je důsledek věty o divergenci. Jedná se o to, že v dimenzi 2 je mno6ina Ω ohraničena zobecněnou křivkou, takže integrál přes kraj můžeme vnímat i jako křivkový integrál. V tom případě je přirozenější integrovat s tečným polem než s normálovým, ale tomu se musí uzpůsobit diferenciální operátor na druhé straně rovnosti. Test orientace v tomto případě v bodě a = ϕ(t) je det(∇h(a), ϕ0 (t)) > 0. kde h je rozhraničující funkce v a. 6.5. Greenova věta. Nechť Ω ⊂ R2 je omezená otevřená množina ohraničená zobecněnou křivkou ϕ : G → R2 až na 1-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na Ω ∪ ϕ(G). Potom Z Z f · ds = curl f (x) dx ϕ

Ω

pokud integrály na obou stranách konvergují. 6.6. Příklad (Koule). Buď Ω = {x ∈ R3 : |x| < 1}. K ohraničení použijeme sférické souřadnice: ϕ1 = cos γ cos α, ϕ2 = cos γ sin α,

(α, γ) ∈ (−π, π) × (−π/2, π/2)

ϕ3 = sin γ, 2-nulová množina {x ∈ ∂Ω : x2 = 0, x1 ≤ 0} je nepokryta. Vektorový jakobián v bodě (α, γ) je       ∂ϕ1   ∂ϕ1   − sin γ cos α cos γ cos α − cos γ sin α ∂γ ∂α   ∂ϕ  ∂ϕ2  ×  2  =  cos γ cos α  ×  − sin γ sin α  = cos γ  cos γ sin α  . ∂γ ∂α ∂ϕ3 ∂ϕ3 sin γ cos γ 0 ∂α ∂γ

Rozhraničující funkce v bodě x = ϕ(α, γ) je h(x) = |x|2 − 1 = x21 + x22 + x23 − 1, tedy ∇h(x) = 2x. Přesvědčili jsme se, že jakobián je kladný násobek normály, test orientace prošel. 6.7. Příklad (Čtverec). Buď Ω = (0, 1)2 čtverec v R2 . Nechť zobecněná křivka ϕ je definována na (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) předpisem  [t, 0], t ∈ (0, 1),    [0, t − 1], t ∈ (1, 2), ϕ(t) =  [3 − t, 0], t ∈ (2, 3),    [0, 4 − t], t ∈ (3, 4). 6

Potom ϕ ohraničuje Ω. Vrcholy čtverce Ω zůstávají nepokryty, ale ty tvoří 1-nulovou množinu. Podmínky definice ověříme třeba na straně {1} × (0, 1), pokryté úsekem na (1, 2). Rozhraničující funkce na (0, 2) × (0, 1) je h(x) = x1 − 1. Normála v bodě [1, x2 ] je e1 = [1, 0]. Test orientace v bodě x = ϕ(t) = [0, t − 1] je  ∂h    ? (0, t−1), ϕ01 (t) 1, 0 ∂x 1 0 < det(∇h(x), ϕ(t)) = det ∂h = det =1 0, 1 ϕ02 (t) ∂x2 (0, t−1), 6.8. Příklad (Krychle). Abychom ohraničili krychli Ω = (0, 1)3 , potřebujeme plochu, která by nám nakryla všechny stěny. Za tímto účelem zvolíme G jako sjednocení šesti disjunktních čtverců, např. (k − 1, k) × (0, 1), k = 1, . . . , 6, a každý z nich přiřadíme jedné stěně krychle. Například, stěnu (0, 1) × {0} × (0, 1) můžeme nakrýt zobrazením (t1 , t2 ) 7→ [t1 , 0, t2 ], t ∈ (4, 5) × (0, 1). Rozhraničující funkce je h(x) = −x2 , x ∈ (0, 1) × (−1, 1) × (0, 1). Vektorový jakobián ϕ v bodě t je       1 0 0 0 × 0 = −1 , 0 1 0 což by měl být v případě správné orientace kladný násobek ∇h(t1 −4, t2 ). Snadno se přesvědčíme, že výsledek testu orientace je kladný. 7. Integrování přes variety d

7.1. Mapa. Nechť M ⊂ R . Inverzní zobrazení k lokální parametrizaci množiny M se nazývá (nrozměrná) mapa na M . Definiční obor mapy µ budeme značit Dµ . 7.2. Atlas. Nechť Γ ⊂ Rd a A je množina map na Γ. Řekneme, že A je atlas (přesněji C 1 -atlas) na Γ, jestliže [ Γ= Dµ . µ∈A

V tom případě se dvojice (Γ, A) nazývá n-rozměrná varieta v Rd (přesněji varieta třídy C 1 ). Struktura variety se dá budovat i na vhodné množině Γ která není dána jako část Rd , pak je nutno definici uzpůsobit. I nadále, pokud budeme mluvit o mapě na varietě, nemusí být nutně prvkem daného atlasu. 7.3. Orientovaná varieta. Nechť (Γ, A) je varieta. Řekneme, že lokální parametrizace ϕ : G → Γ je kladná. jestliže µ ◦ ϕ má kladný jakobián pro každou mapu µ ∈ A. (Jako definiční obor µ ◦ ϕ bereme přirozeně {t ∈ G : ϕ(t) ∈ Dµ }.) Inverzní zobrazení ke kladné lokální parametrizaci se nazývá kladná mapa. V obecném případě kladné mapy nemusí existovat. Řekneme, že (Γ, A) je orientovaná varieta, jestliže každá mapa z A je kladná. 7.4. Příklady. (a) Nechť ϕ : G → Rd je prostá regulární n-rozměrná plocha v Rd a Γ = ϕ(G). Předpokládejme, že ϕ−1 je spojité zobrazení. Potom (Γ, {ϕ−1 }) je n-rozměrná orientovaná varieta v Rd , tzv. parametrická varieta. (b) Nechť ϕ je speciálního tvaru ϕ : t 7→ (t, ψ(t)) ∈ Rd , n

kde H ⊂ R je otevřená množina a ψ : H → R

d−n

t ∈ H,

1

je C zobrazení. Buď Γ graf ψ, tedy

d

Γ = {x ∈ R : xi = ψi−n (x1 , . . . , xn ), −1

i = n + 1, . . . , d}.

d

Potom (Γ, {ϕ }) je n-rozměrná orientovaná varieta v R , tzv. explicitní varieta. (c) Nechť W ⊂ Rd je otevřená množina a g : W → Rd−n je C 1 zobrazení. Předpokládejme, že g 0 má v celém W hodnost d−n. Buď Γ = {x ∈ W : g(x) = 0}. Řekneme, že n-rozměrná prostá regulární plocha ϕ : G → Rd je kladná lokální parametrizace Γ vzhledem k implicitní funkci g, jestliže pro každý bod x = ϕ(t) ∈ ϕ(G) je  ∂ϕ(t)  ∂ϕ(t) (t), . . . , (t) > 0. det ∇g1 (x), . . . ∇gd−n (x), ∂t1 ∂tn Nechť A = {ϕ−1 : ϕ je kladná lokální parametrizace Γ.} Potom (Γ, A) je n-rozměrná orientovaná varieta v Rd , tzv. implicitní varieta. 7.5. Poznámka. Implicitní popis variet vypadá dost složitě, přesto má nesporné výhody: 7

• Může být pro danou množinu přirozený, např. pro sféru v Rn je přirozený popis pomocí implicitní rovnice |x|2 = 1, naopak parametrické popisy, např. pomocí polárních či (zobecněných) sférických souřadnic, jsou umělé. • Sféra Rn nemá globální parametrizaci, dá se parametrizovat pouze “po kouskách” lokálně. I sférické souřadnice ponechávají nepokrytý “poledník”. • Implicitní popis je výhodný v kodimenzi 1, protože pak soustava rovnic g(x) = 0 se redukuje na jednu (skalární) rovnici. 7.6. Věta (o zobecněné parametrizaci). Nechť (Γ, A) je n-rozměrná varieta v Rd . Pak Γ má zobecněnou parametrizaci. Jestliže Γ je orientovaná, existuje kladná zobecněná parametrizace Γ. 7.7. Příklad. Sférické souřadnice x1 = cos γ cos α x2 = cos γ sin α , x3 = sin γ

(α, γ) ∈ (−π, π) × (−π/2, π/2)

tvoří zobecněnou parametrizace sféry S = {x ∈ R3 : |x| = 1}. 2-nulová množina {x ∈ S : x2 = 0, x1 ≤ 0} je nepokryta. Tento příklad je typický. 7.8. Integrál druhého druhu. Nechť ϕ : G → Rd je n-rozměrná plocha, u je funkce na ϕ(G) a α = (α1 , . . . , αn ) ∈ {1, . . . , d}n je uspořádaná n-tice indexů (tzv. multiindex). Potom definujeme Z Z ∂(ϕα1 , . . . , ϕαn ) (t) dt. u dxα1 . . . dxαk = u(ϕ(t)) ∂(t1 , . . . , tn ) ϕ G Je-li (Γ, A) orientovaná n-rozměrná varieta v Rd , u je funkce na ϕ(G) a α = (α1 , . . . , αn ) je multiindex, definujeme Z Z u dxα1 . . . dxαk = u dxα1 . . . dxαk , Γ

ϕ

kde ϕ je kladná parametrizace Γ. Podle věty 7.6 definice nezávisí na volbě ϕ. 8. Stokesova věta 8.1. Ohraničení variety. Buď n > 1. Uvažujme n-rozměrnou varietu G v Rd a její podvarietu (tj. relativně otevřenou podmnožinu) Ω. Nechť ϕ : G → Rd je prostá regulární (n−1)-rozměrná plocha v Rd . Řekneme, že ϕ ohraničuje Ω v bodě z = ϕ(t) ∈ G, jestliže existuje kladná mapa µ k G tak, že z ∈ Dµ a µ ◦ ϕ ohraničuje µ(Dµ ∩ Ω) v µ(z). Řekneme, že ϕ ohraničuje Ω až na (n−1)-nulovou množinu, jestliže ϕ je zobecněná parametrizace množiny Ω \ Ω a ohraničuje Ω v každém bodě ϕ(G). Množina Ω \ Ω hraje roli “hranice”. Zde zdůrazněme, že Ω je absolutní uzávěr (vzhledem k Rd ), může “přesáhnout” ven z G. Z předpokladu však plyne, že její “přesah” přes G musí být (n−1)-nulový. 8.2. Stokesova věta. Nechť G ⊂ Rd je n-rozměrná orientovaná varieta a Ω ⊂ G je její omezená relativně otevřená podmnožina. Nechť ϕ : G → Rd je (n−1)-rozměrná plocha ohraničující Ω až na (n−1)-nulovou množinu. Nechť u spojitě diferencovatelná funkce na okolí G a (α1 , . . . , αn−1 ) je uspořádaná (n−1)-ice indexů z {1, . . . , d}. Potom Z Z X d ∂u u dxα1 . . . dxαn−1 = dxi dxα1 . . . dxαn−1 , ∂x i Γ G i=1 pokud integrály na obou stranách konvergují. 8.3. Test orientace pro speciální Stokesovu větu. Nejdůležitější případ Stokesovy věty je d = 3 a n = 2. Pak bývá zpravidla G zadaná jako implicitní varieta rovnicí g = 0 a orientovaná normálovým polem ∇g(x) ν(x) = |∇g(x)| Její podvarieta Ω je ohraničená zobecněnou křivkou ϕ : G → R3 a ke každému bodu z ∈ ϕ(G) najdeme jeho okolí U v R3 a na něm spojitě diferencovatelnou rozhraničující funkci h tak, že ∇g(z) × ∇h(z) 6= 0 a " # x ∈ Ω ⇐⇒ h(x) < 0, x ∈ U ∩ G =⇒ . x ∈ ϕ(G) ⇐⇒ h(x) = 0. 8

Test orientace v takovém bodě se dá vyjádřit tak, že je ψ 0 (t) je kladným násobkem ∇g(x) × ∇h(x), nebo že det(∇g(x), ∇h(x), ϕ0 (t)) > 0. 8.4. Speciální Stokesova věta. Nechť G ⊂ R3 je omezená 2-rozměrná orientovaná varieta a Ω je její podvarieta, ohraničená zobecněnou křivkou ψ až na 1-nulovou množinu. Nechť f je spojitě diferencovatelné vektorové pole na okolí G. Potom Z Z f · ds = curl f · dS, ψ

Ω

pokud integrály na obou stranách konvergují. 9. Praktické hledání parametrizace a určování orientace 9.1. Poznámka. Sehranost orientací pro Greenovu a Stokesovu větu se heuristicky kontroluje pomocí názorných pomůcek. Kladná parametrizace kraje otevřené množiny Ω ⊂ R2 je “křivka”, která obíhá G proti směru hodinových ručiček. Kladná parametrizace kraje 2-rozměrné variety G ⊂ R2 orientované pomocí normály se pozná podle pravidla pravé ruky: směřuje-li palec ve směru normály příslušné G, pak zakřivené prsty ukazují směr obíhání “křivky”, která parametrizuje kraj. Zde používáme konvenci, že osa x směřuje doprava, osa y dozadu a osa z nahoru. Tyto pomůcky nemůžou nahradit výpočet, ale mohou nám naznačit, zda jsme při výpočtu neudělali numerickou chybu. 9.2. Poznámka. Je-li ϕ : G → Rd plocha, o níž chceme rozhodnout, zda ohraničuje množinu nebo zda je kladnou lokální parametrizací variety, pak platí, že pokud G je souvislá (např. interval), stačí provést test orientace v jednom bodě. V některých následujících cvičeních budeme ze cvičných důvodů ověřovat znaménko ve všech bodech. Samostatně zkontrolujte, zda nalezené parametrizace jsou prostá regulární zobrazení do dané množiny a nepokrytá čast je nulová. 9.3. Poznámka. Pokud nám test orientace dá, že nalezená parametrizace je záporná, nezoufejme. Kladnou parametrizaci lze vyrobit prohozením pořadí proměnných (u plochy) nebo záměnou proměnných s = −t (u křivky). p 9.4. Cvičení. Nechť 0 < r < R a M = {( x2 + y 2 − R)2 + z 2 = r2 }. Najděte zobecněnou parametrizaci a rozhodněte o znaménku, víte-li, že kladná jednotková normála v bodě [R + r, 0, 0] je [1, 0, 0]. Řešení. Použijeme-li válcové souřadnice Φ: x = ρ¯ cos α ¯, y = ρ¯ sin α ¯, z = z¯,

[¯ ρ, α ¯ , z¯] ∈ (0, ∞) × (−π, π) × R,

rovnice se nám převede na (¯ ρ − R)2 + z¯2 = r2 . Tuto varietu můžeme parametrizovat posunutými polárními souřadnicemi ψ: ρ¯ = R + r cos β, [α, β] ∈ (−π, π)2 ,

z¯ = r sin β, α ¯ = α, takže složením parametrizací Φ ◦ ψ dostáváme ϕ: x = (R + r cos β) cos α, y = (R + r cos β) sin α,

[α, β] ∈ (−π, π)2 .

z = r sin β, Znaménko parametrizace určíme z pravidla, že vektorový jakobián kladné parametrizace v [α, β] je kladným násobkem jednotkové normály v ϕ(α, β). Stačí tedy kontrolovat x-ovou souřadnici Jϕ(α, β), a to je   ∂(y, z) (R + r cos β) cos α, −r sin β sin α (α, β) = det . 0, r cos β ∂(α, β) Jelikož náš bod [R + r, 0, 0] je ϕ(0, 0), počítáme   ∂(y, z) R + r, 0 (0, 0) = det = r(R + r) > 0. 0, r ∂(α, β) 9

Tedy nalezená parametrizace je kladná.



9.5. Cvičení. Nechť g = xR2 + y 2 + z 2 − 1 a M = {g = 0} je orientovaná implicitní funkcí g ve smyslu příkladu 7.4 (c). Spočtěte M x dy dz. Řešení. Použijeme-li sférické souřadnice x = r¯ cos γ¯ cos α ¯, π π [¯ r, α ¯ , γ¯ ] ∈ (0, ∞) × (−π, π) × (− , ), 2 2

y = r¯ cos γ¯ sin α ¯, z = r¯ sin γ¯ ,

dostaneme z rovnice g = 0 podmínku r¯ = 1. Tedy zvolíme zobecněnou parametrizaci ϕ, x = cos γ cos α, y = cos γ sin α, z = sin γ,

π π [α, γ] ∈ G := (−π, π) × (− , ). 2 2

Potom M \ ϕ(G) = M ∩ {x < 0} ∩ {y = 0}, což je 2-nulová množina. Pro [x, y, z] = ϕ(α, γ) máme ∇g(x, y, z) = [2x, 2y, 2z] = [2 cos γ cos α, 2 cos γ sin α, 2 sin γ] takže 

∂ϕ ∂ϕ det ∇g, , ∂α ∂γ





− cos γ sin α, cos γ cos α, 0,

2 cos γ cos α, = det  2 cos γ sin α, 2 sin γ,

 − sin γ cos α − sin γ sin α  = 2 cos γ.

Tedy parametrizace je kladná a Z Z ∂(cos γ sin α, sin γ) x dy dz = cos γ cos α dα dγ ∂(α, γ) M G Z π/2 Z π  4 = cos3 γ cos2 α dα dγ = π . 3 −π/2 −π  √ 3 2 −x.

9.6. Cvičení. Nechť g = x2 +y 2 +z 2 −1, h = Nechť G = {[x, y, z] ∈ R3 : g(x, y, z) = 0}, orientace implicitní funkcí g (tedy normálové pole je identita na sféře). Nechť Ω = {[x, y, z] ∈ G : h(x) < 0}. Najděte křivku, která ohraničuje Ω. Řešení. Varieta G je daná implicitně rovnicí g = 0, rozhraničující funkce je h. Hledaná křivka má parametrizovat varietu g = h = 0. Použijeme-li válcové souřadnice x=x ¯, y = ρ¯ cos α ¯,

[¯ ρ, α ¯, x ¯] ∈ (0, ∞) × (−π, π) × R,

z = ρ¯ sin α ¯, vyjádříme danou soustavu rovnic jako x ¯2 + ρ¯2 = 1, √ x ¯=

3 . 2

Odtud dostaneme zobecněnou parametrizaci ϕ: x= y= z=

√ 3 2 , 1 2 cos α, 1 2 sin α,

α ∈ (−π, π). √

Zobecněná křivka ϕ pokrývá {g = h = 0} až na bod [ 23 , − 12 , 0]. Máme √ 1 1 ∇g = [2x, 2y, 2z] = [ 3, cos α, sin α], ∇h = [−1, 0, 0], ϕ0 = [0, − sin α, cos α]. 2 2 10

Test orientace je kladnost determinantu

 √

 3, −1, 0, det (∇g, ∇h, ϕ0 ) = det cos α, 0 − 12 sin α 1 sin α, 0, 2 cos α   1 1 cos α, − sin α = det = , sin α, cos α 2 2 takže nalezená parametrizace je kladná.



11