Plochy zadané okrajovými křivkami

Plochy zadané okrajovými křivkami 

Lineární plát 

plocha je určena dvěma okrajovými křivkami a0 ( v ), a1 (v ), v  I 



pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci parametru jedné z křivek tak, aby obě křivky měly parametr ze stejného intervalu

plát zkonstruujeme tak, že úsečkou spojíme body a0 ( vk ) a a1 ( vk ) 

kde vk je konstanta volená z intervalu

I

a0 (v ) 

rovnice plátu

a1 (v )

P(u, v )  a0 (v )(1  u)  a1 (v )u, v  I , u  0,1 Počítačová geometrie

Petra Surynková



pokud je pro plochu zadán systém křivek ai ( v ) , můžeme interpolovat po částech 

  



tj. pro systém křivek můžeme výslednou plochu sestavit pomocí jednotlivých plátů

kvalita výsledné plochy je velmi nízká není zajištěno hladké napojení sousedních plátů v technické praxi se však s touto plochou setkáváme často – např. při interpolaci plochy dané velkým počtem křivek výhodou je, že parametrické křivky pro v = konst. jsou úsečky

Počítačová geometrie

Petra Surynková



příklady

P(u, v )  v, u, 2v  v 2 (1  u )  , u  0,1 , v  0,2   přímý kruhový konoid


Petra Surynková



příklady

P(u, v )  u cos(v ), u sin( v ), v0v  u  0,1 , v  0,2 přímý šroubový konoid


Petra Surynková


Bilineární Coonsův plát  

plocha je určena dvěma systémy křivek plochy, tj. parametrickými křivky jedné a druhé soustavy uvažujme jeden plát, pro jednoduchost předpokládejme, že tento plát bude mít parametry u  0,1 , v  0,1 

obecný případ převedeme na tento tvar vhodnými transformacemi parametru



uvažujme tedy plát plochy určený okrajem (čtyřmi oblouky křivek) pro parametry z jednotkového čtverce



protějšími stranami okraje plátu jsou křivky

a0 (v ), a1 (v ) Počítačová geometrie

a

b0 (u ), b1 (u ) Petra Surynková


Bilineární Coonsův plát 

mapovací matici plátu nazveme matici

a0 (v ) P01   P00 M   b0 (u ) P(u, v ) b1 (u )  , kde    P  a ( v ) P 1 11   10  



P(u, v ) - je polohový vektor bodu plochy ozn. P(0,0)  P00 ,... rovnice Coonsova bilineárního plátu je tvaru


1  v  (1  u, 1, u ) M  1   0    v   

u  0,1 , v  0,1 Petra Surynková



lze dokázat jsou-li protější dvě strany okraje bilineárního plátu úsečkami, je výsledná plocha přímkovou plochou (tedy spec. příklad lineárního plátu) Důkaz: je-li např. 

b0 (u )  (1  u ) P00  uP10 b1 (u )  (1  u ) P01  uP11





potom parametrické křivky plátu pro v = konst. jsou rovněž úsečkami rovnice plátu je v tomto případě tvaru

P(u, v )  a0 (v )(1  u)  a1 (v)u, u  0,1 , v  0,1 Počítačová geometrie

Petra Surynková



příklady

P ( u , v )  u , v , u  u 2  v  v 2    u  0,1 , v  0,1


Petra Surynková


Bikubický Coonsův plát



určen stejně jako bilineární Coonsův plát svým okrajem jde o obecnější plochu rovnice Coonsova bikubického plátu je tvaru



 F1 ( v )  ( F1 (u ), 1, F2 (u )) M  1   0 u  0,1 , v  0,1    F (v )   2  funkce F1 (t ), F2 (t ) byly použity v souvislosti s Fergusonovými

 

křivkami

F1 (t )  2t 3  3t 2  1 F2 (t )  2t 3  3t 2 Počítačová geometrie

Petra Surynková


Bikubický Coonsův plát 

plocha obsahuje daný okraj, např. u = 0

a0 (v ) P01  F1 (v )   P00 (1  1,0)  b0 (0) P(0, v ) b1 (0)  1   0     P   a ( v ) P F ( v ) 1 11  2  10 

P(0, v )  a0 (v ) 

analogicky ostatní dané křivky leží na plátu


Petra Surynková


Bikubický Coonsův plát  

vektory příčných derivací podél okrajových křivek jsou lineární kombinací tečných vektorů okrajových křivek v rozích plátu např.

P(0, v )  1b0 (0)  2b1(0) u 

analogicky pro další okrajové křivky


Petra Surynková



Plátování  

uvažujme dva bikubické Coonsovy pláty plát 1 P(u, v ) s okrajovými křivkami

a0 (v ), a1 (v ), b0 (u ), b1 (u ), u  0,1 , v  0,1 

2

plát P( w, v ) s okrajovými křivkami

a1 (v ), a2 (v ), b2 ( w), b3 ( w), v  0,1 , w  0,1 

okrajové křivky složené plochy jsou třídy C

1

b0 (1)  b2 (0) b1(1)  b3 (0) Počítačová geometrie

Petra Surynková



Plátování 



z předchozího je zřejmé, že navíc každá parametrická křivka v = konst. je třídy C1

Bikubické Coonsovy pláty zajišťují plátování


Petra Surynková



příklady

P(u, v )  u, v, u  u 2  2v 3  3v 2  1    u  0,1 , v  0,1


Petra Surynková



příklady - napojení


Petra Surynková


12-vektorový plát  

Fergusonův plát ozn. P(0,0)

u 

 P00u ,...

Fergusonův plát je určen  polohovými vektory P , P , P , P rohových bodů plátu 00 10 01 11 u u u u  tečnými vektory P00 , P10 , P01 , P11 okrajových v-křivek v v v v  tečnými vektory P , P , P , P okrajových u-křivek 00 10 01 11


Petra Surynková


12-vektorový plát 

rovnice 12-vektorového plátu je tvaru

 F3 ( v )   F (v )  P(u, v )  ( F3 (u ), F1 (u ), F2 (u ), F4 (u )) M  1  u  0,1 , v  0,1  F2 ( v )   F (v )   4   0 P00u P01u 0  3 2 F ( t )  2 t  3 t 1  v  v 1 P P P P 00 01 01  3 2 M   00v F ( t )   2 t  3 t v 2  P10 P10 P11 P11  3 2   u u F ( t )  t  2 t t 3 0 P P 0 10 11   F4 (t )  t 3  t 2 Počítačová geometrie

Petra Surynková


12-vektorový plát 

platí 



okrajovými křivkami Fergusonova plátu jsou Fergusonovy kubiky

např. u = 0

 F3 ( v )   F (v )  P(0, v )  (0,1,0,0) M  1   F2 ( v )   F (v )   4  P(0, v)  P00 F1 (v )  P01F2 (v )  P00v F3 (v )  P01v F4 (v ) 

podobně i pro další tři okrajové křivky


Petra Surynková


12-vektorový plát platí  12-vektorový plát splývá s Coonsovým bikubickým plátem, jehož okrajovými křivkami jsou Fergusonovy kubiky dané zadanými body a tečnými vektory 12-vektorového plátu Důkaz Do rovnice bikubického Coonsova plátu dosadíme za okrajové křivky příslušné rovnice Fergusonových kubik a po jistých algebraických úpravách obdržíme rovnici 12-vektorového plátu 


Petra Surynková


16-vektorový plát  

zadání stejné jako u 12-vektorového plátu liší se v matici M

 P00uv  v P00  M  P10v  uv  P10


P00u

P01u

P00

P01

P10

P11

P10u

P11u

P01uv   P01v  P11v   P11uv 

P00uv 

P(0,0) ,... uv

tzv. zkrutové vektory

Petra Surynková

Plochy vzniklé vytažením 

extrude 

profil – křivka, kterou budeme vytahovat (např. ve směru nějaké z osy) 

rovinná

k (u)  [ x(u), y(u),0]

P(u, v )  [ x(u), y(u), v]

y x



prostorová k (u )  [ x(u ), y(u ), z(u )] + vektor vytažení a

u  I ,v  J

P(u, v )  k (u)  va Počítačová geometrie

Petra Surynková

Plochy vzniklé vytažením 

vytažení se změnou velikosti profilu  profil k (u )  [ x(u ), y(u ),0]

P(u, v)  [ mv  x(u), mv  y(u), v] 



u  I ,v  J

vytažení ve směru osy z se současným zvětšováním nebo zmenšováním profilu zvětšení nebo zmenšení je přímo úměrné vytažení s koeficientem úměrnosti m


Petra Surynková

Šablonování křivky po trase 

sweep  

profil – křivka, která se pohybuje k1 (u )  [ x(u ), y(u ), z(u )] trasa – křivka, po které se pohybuje profil k2 (v )  [ x(v ), y(v ), z(v )]

P(u, v )  k1 (u)  k1 (v )

u  I ,v  J  

= translační plocha můžeme zaměnit roli křivek


Petra Surynková

Plochy vzniklé potažením 

loft 

dána soustava křivek – hledáme takovou plochu, která interpoluje dané křivky

a0 (v ) 

a1 (v )

a2 (v )

př. lineární plát, hermitovský plát


Petra Surynková

Šablonování křivky po dvou trasách 

sweep 2 rails

b0 (u ) a0 (v ) 

dány tři okraje

b0 (u), b1 (u) a0 (v )



trasy profil



(není translační plocha, profil se mění)





b1 (u )

př. bilineární Coonsův plát


Petra Surynková

Bézierovy plochy 

Bézierova plocha stupně m  n  je určena ( m  1)  ( n  1) řídícími body a vztahem n

m

Q (u, v )   Pij Bin (u )B mj (v ), u  0,1 , v  0,1

, kde

i 0 j 0



bázové funkce Bi (t ), k  n, m jsou Bernsteinovy polynomy k-tého stupně k



Bik (t )  k t i (1  t )k i i t  0,1 , i  0,1,..., k Počítačová geometrie

Petra Surynková


Bézierova plocha stupně m  n 

platí  Bézierova plocha prochází rohovými body sítě a okrajové křivky plochy jsou Bézierovými křivkami pro okraje sítě  tečná rovina v bodě P je určena body P , P , P 00 00 10 01  podobně pro další rohové body

Q (0,0)  P00 Q (0,1)  P0 m Q (1,0)  Pn 0

okrajová křivka např.: m

Q (0, v )   P0 j B mj (v ) j 0

Q (1,1)  Pnm Počítačová geometrie

Petra Surynková


Příklad

Bézierova plocha se sítí řídících bodů


Petra Surynková


Napojování   

mějme dva Bézierovy pláty Q , R první z nich je určen sítí řídících bodů Qij , i  0,..., s; j  0,..., m druhý je určen sítí řídících bodů Rij , i  0,..., t; j  0,..., m 

počet bodů ve směru v je stejný pro oba pláty a je roven m



pláty navazujeme ve směru u a požadujeme, aby jejich stupeň v tomto směru byl alespoň tři, tj. s  3, t  3



napojení C 

0

pláty mají společnou stranu, tj. Q(u,1)  R(0, v ) , toho docílíme ztotožněním řídících bodů, které určují příslušnou stranu

Qsj  R0 j , j  0,..., m Počítačová geometrie

Petra Surynková


Napojování 0  napojení C


Petra Surynková


Napojování 1  napojení C 



1

pokud společná strana plátů je C spojitá a jsou-li identické příčné tečné vektory ve směru u podél této strany tj. shoda C 1 spojité strany a splnění následující vztahu pro body řídících polygonů obou plátů

Qsj  Qs 1 j  R1 j  R0 j , j  0,..., m 

křivka spojující řídící body společné strany leží ve středu úseček, které spojují vždy předposlední bod řídícího polygonu plátu Q ve směru u s druhým bodem plátu R ve stejném směru


Petra Surynková


Napojování 1  napojení C


Petra Surynková


Bézierova bikubická plocha m  3, n  3 3

3

Q (u, v )   Pij Bi3 (u )B 3j (v ), u  0,1 , v  0,1 i 0 j 0

B03 (t )  (1  t )3 B13 (t )  3t (1  t )2 B23 (t )  3t 2 (1  t ) B33 (t )  t 3

 1 3 3  3 6 3 MB    3 3 0 1 0 0 

Q (u, v )  UM B PM BTV T   u 3 u 2 Počítačová geometrie

1  P00 P01 P P11 0 10  P 0  P20 P21 P 0   30 P31  v3   2 T v  u 1 M B PM B v   1

P02 P12 P22 P32

P03  P13   P23  P33 

Petra Surynková

Plochy zadané okrajovými křivkami

Recommend Documents