Příloha A
Elementární křivky a plochy A.1
Analytický popis geometrických objektů
Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů — bodů, přímek, rovin (resp. jejich podmnožin). V této části rozšíříme množinu studovaných objektů i na nelineární křivky a plochy.
Objekty a množiny objektů. Kromě popisu geometrických objektů pomocí souřadnic máme k dispozici ještě další možnosti. Můžeme použít systém rovnic fj (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,
kde j = 1, 2, . . . , k
nebo parametrické vyjádření dané předpisem xi = xi (t1 , t2 , . . . , tm ),
kde i = 1, 2, . . . , n.
Poznamenejme jen, že studovaný objekt je považován za souhrn dílčích objektů (nejčastěji bodů — nemusí však tomu být vždy, např. svazek nadrovin je souhrn nadrovin apod.); parametry ti ∈ R potom 1
Geometrie II
představují vnitřní souřadnice těchto dílčích objektů vztažené k lokální soustavě souřadnic celkového objektu. Např. rovina % ⊂ E3 je jednoznačně určena svými homogenními souřadnicemi e = (n0 , n1 , n2 , n3 ), n dále ji můžeme chápat jako množinu bodů, jejichž souřadnice xi vyhovují rovnici f (x) = n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0, popř. lze použít parametrické vyjádření x = x(t1 , t2 ) = a + t1 u + t2 v, kde n = u × v, přičemž (t1 , t2 ) jsou vnitřní souřadnice bodů roviny % vztažené k lokálnímu souřadnému systému ShA; ~u, ~v i. Počet navzájem nezávislých souřadnic dílčích objektů, které jsou nutné k jednoznačnému určení jistého dílčího objektu, udává dimenzi celkového objektu, který je souhrnem uvedených dílčích objektů. Přitom n+1 homogenních souřadnic udává stejnou dimenzi jako n nehomogonenních souřadnic, tj. dimenzi n. Jedna rovnice f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 s n proměnnými souřadnicemi xi dílčích objektů popisuje (n−1)-dimenzionální objekt. Každá další nezávislá rovnice snižuje dimenzi vždy o 1. Aplikujme výše uvedené poznatky na konkrétní příklady. Prostor E3 má tedy jakožto množina rovin dimenzi 3 (každá rovina má 4 homogenní souřadnice). Rovina % jakožto souhrn bodů má dimenzi 2 (každý bod roviny je jednoznačně určen 2 parametry u, v — lokální souřadnice). Lineární rovnice v proměnných x1 , x2 , x3 (souřadnice bodů v E3 ) popisuje rovinu jako dvojdimenzionální bodovou množinu; rovnice v proměnných n0 , n1 , n2 , n3 (homogenní souřadnice roviny v E3 ) popisuje dvoudimenzionální množinu rovin, která je částí prostoru E3 jakožto souhrnu všech rovin. Svazek nadrovin má dimenzi 1, neboť každá nadrovina svazku je popsána dvěma homogenními souřadnicemi t0 , t1 .
A.2
Křivky a jejich tečny
Ačkoliv je pojem křivky dosti názorný, z hlediska matematického je poměrně složitě definovatelný. Zjednodušeně řečeno, křivkou nebo její 2
A.2. Křivky a jejich tečny
částí budeme rozumět jednodimenzionální množinu bodů eukleidovského prostoru En . D EFINICE A.2.1: Křivkou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru En , jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem x = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), kde xi (t) jsou reálné funkce reálné proměnné t definované na nějakém intervalu I ⊂ R , které mají spojité derivace podle t alespoň prvního řádu. Přísluší-li několika hodnotám parametru t jediný bod, pak takovýto bod nazýváme několikanásobný. Jestliže chápeme parametr t jako čas, potom křivka k : x = x(t) představuje dráhu. Uvažujme nyní dva různé body křivky X0 : x(t0 ) a X : x(t) = x(t0 + h). Přímka spojující tyto dva body je sečnou křivky k se směrovým vektorem 1 (x(t0 + h) − x(t0 )). h Přímku, která je limitním případem sečny X0 X pro X → X0 , nazýváme tečna křivky v bodě X0 . Její směrový vektor pak nabývá tvaru x˙ 0 =
d x(t0 + h) − x(t0 ) x(t) − x(t0 ) x(t0 ) = lim = lim = t→t0 h→0 dt h t − t0 = lim t→t0
x1 (t)−x1 (t0 ) t−t0 x2 (t)−x2 (t0 ) t−t0 x3 (t)−x3 (t0 ) t−t0
=
dx1 (t0 ) dt dx2 (t0 ) dt dx3 (t0 ) dt
.
Bod x0 = x(t0 ) křivky k se nazývá regulární, jestliže existuje derivace d x˙ 0 = dt x(t0 ) 6= 0; v regulárním bodě x0 křivky k je možné jednoznačně sestrojit tečnu této křivky, jejíž parametrická rovnice je y(λ) = x0 + λ˙x0 . 3
Geometrie II
Body křivky, které nejsou regulární označujeme jako singulární. Křivka, která je tvořena výhradně regulárními body, se nazývá hladká. Jestliže opět interpretujeme parametr t jako čas a tím pádem x(t) jako dráhu, potom vektor x˙ (t) představuje rychlost.
Rovinné křivky. V eukleidovské rovině E2 můžeme body křivky (nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření k : x = x(t) = (x1 (t), x2 (t)),
kde t ∈ J ⊂ R,
popř. můžeme použít implicitní rovnici k : f (x1 , x2 ) = 0 nebo explicitní rovnici k : x2 = g(x1 ). Zvláštním typem rovinných křivek jsou křivky, které jsou popsány algebraickou rovnicí n-tého stupně: k:
X
aij xi1 xj2 = a00 + a10 x1 + a01 x2 + a11 x1 x2 + . . . = 0,
i,j=0
kde n = max(i + j). Tyto křivky nazýváme algebraické křivky n-tého stupně; algebraické křivky stupně n = 2, 3, 4 . . . se nazývají kuželosečky, kubiky, kvartiky. . . Není-li f polynomem, křivka k : f (x1 , x2 ) = 0 se nazývá transcendentní.
A.3
Plochy a jejich tečné roviny
Obdobně jako v případě křivky nám pro první vymezení poslouží pojem dimenze. Plochou nebo její částí budeme rozumět dvoudimenzionální množinu bodů eukleidovského prostoru En . 4
A.3. Plochy a jejich tečné roviny
D EFINICE A.3.1: Plochou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru En , jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem x = (x1 (u, v), x2 (u, v), . . . , xn (u, v)), kde xi (u, v) jsou reálné funkce dvou reálných proměnných u, v definované na dvojrozměrné oblasti B ⊂ R2 , které mají spojité parciální derivace alespoň prvního řádu. Parametry u, v představují vnitřní křivočaré souřadnice bodů plochy P— tzv. Gaussovy souřadnicemi. Jestliže v parametrickém vyjádření x = x(u, v) plochy P položíme u = u0 = konst., resp. v = v0 = konst., dostáváme jednoparametrické rovnice x = x(u0 , v), resp. x = x(u, v0 ), které v obou případech popisují křivky ležící na ploše P. Pro u = u0 = konst. dostáváme tzv. v-křivky, pro v = v0 = konst. dostáváme tzv. u-křivky plochy P (tzv. parametrické křivky). Souhrn u- a v−křivek vytváří na ploše tzv. souřadnicovou síť. Pro pevně zvolený bod X0 = x(u0 , v0 ) na ploše P představuje • xu =
∂ ∂u x(u0 , v0 )
směrový vektor tečny u-křivky v bodě X0 ;
• xu =
∂ ∂v x(u0 , v0 )
směrový vektor tečny v-křivky v bodě X0 .
Odchylka ϕ tečen parametrických křivek v bodě X udává odchylku parametrických křivek v bodě X a platí cos ϕ = Je-li ve všech bodech plochy ϕ = nální síti.
|xu · xv | . |xu | · |xv | π 2,
potom hovoříme o tzv. ortogo-
Jestliže pro bod X = x(u0 , v0 ) ∈ P platí n(u0 , v0 ) = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 ) 6= o, nazýváme jej regulární bod plochy P s parametrizací x = x(u, v). V opačném případě hovoříme o singulárním bodu. 5
Geometrie II
Rovnice u = ϕ(t),
(t ∈ I)
v = ψ(t)
definují parametricky na ploše P křivku k : x = (x1 [ϕ(t), ψ(t)], x2 [ϕ(t), ψ(t)], . . . , xn [ϕ(t), ψ(t)]) za předpokladu, že funkce ϕ(t), ψ(t) mají na intervalu I spojité derivace alespoň prvního řádu a ∀t ∈ I leží (ϕ(t), ψ(t)) v množině B. Každá křivka k ⊂ P se nazývá křivka plochy, každá tečna každé křivky plochy P se nazývá tečna plochy P. Rovina τ se nazývá tečná rovina plochy P v bodě X0 , jestliže každá přímka roviny τ procházející bodem X0 je tečnou plochy P. Bod X0 se nazývá bod dotyku. Kolmice v bodě dotyku k tečné rovině plochy P se nazývá normála plochy v bodě X0 . Směrový vektor normály plochy P v bodě X = x0 = x(u0 , v0 ) je n = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 ) a parametrická rovnice této normály má tvar y(λ) = x0 + λn.
Plochy v prostoru. V eukleidovském prostoru E3 můžeme body plochy (nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření P : x = x(u, v) = (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)),
kde (u, v) ∈ B ⊂ R2 ,
popř. můžeme použít implicitní rovnici P : f (x1 , x2 , x3 ) = 0 nebo explicitní rovnici P : x3 = g(x1 , x2 ). Je-li plocha P popsána explicitní rovnicí x3 = g(x1 , x2 )
kde (x1 , x2 ) ∈ B ⊂ R2 ,
potom snadno určíme parametrické vyjádření této plochy ve tvaru P : x = x(u, v) = (u, v, g(u, v)), 6
kde (u, v) ∈ B ⊂ R2 .
A.4. Válcová a kuželová plocha
V tomto případě hovoříme o tzv. Eulerově parametrizaci. Zvláštním typem ploch v prostoru E3 jsou plochy, které jsou popsány algebraickou rovnicí n-tého stupně: X aijk xi1 xj2 xk3 = 0, P: i,j,k=0
kde n = max(i + j + k). Tyto plochy nazýváme algebraické plochy n-tého stupně; algebraické plochy stupně n = 2 se nazývají kvadriky. Není-li f polynomem, plocha P : f (x1 , x2 , x3 ) = 0 se nazývá transcendentní. Poznamenejme ještě, že v eukleidovském prostoru E3 lze tečnou rovinu plochy P v bodě x0 = x(u0 , v0 ) popsat pomocí obecné rovnice n(x − x0 ) = 0, kde n = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 ) je normálový vektor v bodě x0 .
Křivky v prostoru. V eukleidovském prostoru E3 můžeme body křivky samozřejmě popsat parametricky (viz předcházející kapitolu). Další možností je určit křivku prostřednictvím dvou nezávislých rovnic k : f1 (x1 , x2 , x3 ) = 0, f2 (x1 , x2 , x3 ) = 0. Obě rovnice f1 = 0, f2 = 0 popisují dvě plochy P1 , P2 a tudíž je křivka k = P1 ∩ P2 jejich průsečnou křivkou. Algebraická plocha n-tého stupně je proťata rovinou, která není její součástí v algebraické křivce n-tého stupně.
A.4
Válcová a kuželová plocha
Válcová a hranolová plocha. Nechť je dána křivka k : y = y(u), u ∈ I a přímka s se směrovým vektorem ~s. Válcovou plochou rozumíme množinu všech přímek daného směru ~s (tzv. povrchových přímek, popř. površek), které protínají danou křivku k (tzv. řídicí křivku). Parametrické vyjádření válcové plochy má tvar (u, v) ∈ I × R.
x = y(u) + vs, 7
Geometrie II
Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme o hranolové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu hranolové plochy.
Kuželová a jehlanová plocha. Nechť je dána křivka k : y = y(u), u ∈ I, která se nazývá řídicí křivka a bod S 6∈ k, jenž nazýváme vrchol. Kuželovou plochou rozumíme množinu všech přímek procházejících bodem S (tzv. povrchových přímek, popř. površek), které protínají řídicí křivku k. Parametrické vyjádření kuželové plochy je x(u, v) = s + v(y(u) − s),
(u, v) ∈ I × R.
Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme o jehlanové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu jehlanové plochy.
Tečná rovina válcové a kuželové plochy. Uvažujme na válcové, popř. kuželové ploše bod A = x(u0 , v0 ) jakožto průsečík površky s a tvořicí křivky k : y = y(u) — evidentně je v případě válcové plochy v0 = 0 a v případě kuželové plochy v0 = 1. Normálový vektor plochy v bodě A můžeme vypočítat y˙ × s (válcová plocha) n = xu (u0 , v0 ) × xv (u0 , v0 ) = y˙ × (y − s) (kuželová plocha), kde y˙ je směrový vektor tečny tvořicí křivky v bodě A a s, resp. (y−s) je směrový vektor površky válcové, resp. kuželové plochy. Odtud je vidět, že tečnou rovinu τA v bodě A = k ∩s lze určit pomocí površky s a tečny tk řídicí křivky k v bodě A. Nechť B = x(u0 , v1 ), v1 = 6 v0 , je libovolný bod na površce s různý od bodu A = x(u0 , v0 ) = s ∩ k.1 Vypočteme normálový vektor plochy v bodě B y˙ × s (válcová plocha) n1 = xu (u0 , v1 ) × xv (u0 , v1 ) = v1 y˙ × (y − s) (kuželová plocha). 1V
případě kuželové plochy uvažujeme rovněž B 6= S.
8
A.5. Plochy vznikající pohybem křivek
Je vidět, že n k n1 , a proto tečná rovina v bodě B je totožná s tečnou rovinou τA .
A.5
Plochy vznikající pohybem křivek
Parametrické vyjádření plochy často získáme ze znalosti principu, jakým byla tato plocha vytvořena. Příkladem mohou být plochy vznikající pohybem křivek, které nejsou dráhou pohybu (plochy v tomto případě chápeme jako jednoparametrické soustavy křivek ). Tvořicí křivku k : y = y(u), u ∈ I ⊂ R podrobíme jistému pohybu popsanému rovnicí x = Ay + b, AT A = E. Skutečnost, že pohyb závisí na parametru v, vyjádříme zápisem b = b(v), A = A(v), A(v)T A(v) = E,
∀v ∈ J ⊂ R.
Každý bod tvořící křivky k opisuje tedy určitou trajektorii (podle předpokladu různou od křivky k), jejichž souhrnem je plocha s parametrickým vyjádřením x(u, v) = A(v)y(u) + b(v),
(u, v) ∈ I × J ⊂ R2
(A.1)
Podle druhu pohybu rozeznáváme např. plochy translační (posunutí), rotační (otočení) nebo šroubové (šroubový pohyb). Plochy je možné třídit rovněž i podle tvořící křivky — např. přímkové plochy.
Rotační plochy. Rotační plocha vzniká rotací tvořicí křivky k kolem přímky o, kterou nazýváme osa rotační plochy. Je-li speciálně o = x3 , potom má rotace vyjádření cos v − sin v 0 cos v 0 y, kde v ∈ J = h0, 2π). x = sin v (A.2) 0 0 1 T Z rovnice (A.1) dostáváme pro k : y = y(u) = y1 (u), y2 (u), y3 (u) , u ∈ I parametrické vyjádření rotační plochy cos v − sin v 0 T cos v 0 y1 (u), y2 (u), y3 (u) = x(u, v) = sin v 0 0 1 9
Geometrie II
y1 (u) cos v − y2 (u) sin v = y1 (u) sin v + y2 (u) cos v , y3 (u)
(u, v) ∈ I × J.
(A.3)
Rotací libovolného bodu A tvořicí křivky k kolem osy o vzniká tzv. rovnoběžková kružnice (rovnoběžka) se středem [0, 0, y3 (ui )] a pop loměrem r(ui ) = y12 (ui ) + y22 (ui ). Řez rotační plochy rovinou, která prochází osou rotační plochy, se nazývá meridián. Rotační plocha se při otočení kolem své osy reprodukuje (zobrazuje sama na sebe), a proto můžeme každý meridián chápat rovněž jako tvořicí křivku. Je-li jakožto tvořicí křivka dán např. meridián ležící v souřadné rovině x2 = 0 s vyjádřením T m = m(u) = m1 (u), 0, m3 (u) ,
u ∈ I,
potom z (A.3) dostáváme parametrické vyjádření m1 (u) cos v x(u, v) = m1 (u) sin v , (u, v) ∈ I × J. m3 (u)
(A.4)
Snadno se přesvědčíme, že v tomto případě je parametrická síť ortogonální (pro všechny body plochy platí x˙ u · x˙ v = 0).
10
