Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang
• Peubah Acak (Random Variable): Sebuah keluaran numerik yang merupakan hasil dari percobaan (eksperimen) • Untuk setiap anggota dari ruang sampel percobaan, peubah acak bisa mengambil tepat satu nilai
Peubah Acak
Peubah Acak
• Peubah Acak Diskrit : Sebuah Peubah Acak yang hanya bisa bernilai terbatas atau terhitung
• Peubah Acak dituliskan sebagai huruf kapital (X, Y, Z)
• Peubah Acak Kontinu: Sebuah Peubah Acak yang bisa bernilai pada sebarang nilai dalam sebuah selang
• Nilai-nilai tertentu yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z)
Distribusi Peluang
Distribusi Peluang • Distribusi Peluang Diskrit:
• Distribusi Peluang adalah tabel, gambar, atau persamaan yang menggambarkan atau mendeskripsikan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak dan peluang yang bersesuaiannya (Peubah Acak Diskrit) atau kepadatan (Peubah Acak Kontinu)
Distribusi Peluang • • • •
Peluang Diskrit dituliskan sebagai: p(y) = P(Y=y) Kepadatan Kontinu dituliskan sebagai: f(y) Fungsi Distribusi Kumulatif: F(y) = P(Y≤y) Cumulative Distribution Function (cdf)
– Memberikan peluang kepada tiap keluaran percobaan – Merupakan probability mass functions (pmf)
• Distribusi Peluang Kontinu: – Memberikan kepadatan (frekuensi) pada tiap titik, peluang pada selang bisa didapatkan dengan mengintegralkan fungsi (probability density function/pdf)
Discrete Probability Distributions
Probability (Mass ) Function: p( y )=P(Y=y ) p( y )≥0 ∀ y ∑ p( y)=1 all y
Discrete Probability Distributions
Cumulative Distribution Function (CDF): F ( y )=P(Y ≤ y ) b
F (b )=P(Y ≤b )=
∑
p( y )
y=−∞
F (−∞)=0 F (∞ )=1 F ( y ) is monotonically increasing in y
Melempar 2 Dadu – Probability Mass Function (pmf) & CDF y
p(y)
F(y)
2
1/36
1/36
3
2/36
3/36
4
3/36
6/36
5
4/36
10/36
6
5/36
15/36
7
6/36
21/36
8
5/36
26/36
p( y )=
Contoh – Melempar 2 dadu (Merah/Hijau) Y = Jumlah muka dadu yang nampak. Tabel dibawah memberikan semua nilai yang mungkin dalam himpunan S
Merah\Hijau
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Melempar 2 Dadu – Probability Mass Function (pmf)
# banyak cara 2 dadu dijumlahkan sbg y # cara 2 dadu dijumlahkan
Dice Rolling Probability Function sub-title
y
0.18
F ( y )=∑ p(t )
0.16 0.14
t=2
0.12
p(y)
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
9
4/36
30/36
10
3/36
33/36
11
2/36
35/36
2
3
4
5
6
7 y
8
9
10
11
12
Melempar 2 Dadu – Cumulative Distribution Function (cdf)
• Mean (alias Nilai Harapan) – Rata-rata dari peubah acak yang diharapkan muncul dalam percobaan yang berulang-ulang. • Varians – Rata-rata beda kuadrat antara nilai nyata dari peubah acak dan meannya • Standard Deviasi – Akar positif dari varians (unitnya sama dengan datanya) • Notasi:
Dice Rolling Probability Function sub-title 0.18 0.16 0.14 0.12
p(y)
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit
12
y
– Mean: E(Y) = – Varians: V(Y) = 2 – Standard Deviasi:
Nilai Harapan
Varians dan Standard Deviasi Varians: V (Y )=σ 2 =E [ (Y − E(Y ))2 ] =E [ (Y −μ)2 ] = = ∑ ( y−μ )2 p( y )= ∑ ( y 2 −2yμ+μ 2 ) p ( y )=
Mean: E(Y )=μ= ∑ yp ( y )
all y
all y
Mean of a function g(Y ): E [ g (Y ) ] = ∑ g( y ) p ( y ) all y
all y
= ∑ y 2 p ( y )−2μ ∑ yp ( y )+μ2 ∑ p( y )= all y
all y 2
all y 2
=E [Y 2 ]−2μ( μ )+μ (1 )=E [ Y 2 ] −μ Standard Deviasi: σ =+ √ σ 2
Nilai Harapan dari Fungsi Linear Peubah Acak
Varians dan Standard Deviasi Varians: V (Y )=σ 2 =E [ (Y − E(Y ))2 ] =E [ (Y −μ)2 ] = = ∑ ( y−μ )2 p( y )= ∑ ( y 2−2yμ+μ 2 ) p ( y )= all y
Fungsi Linear: g (Y )=aY+b (a,b≡ konstan ) E [ aY+b ]= ∑ (ay+b ) p ( y )=
all y
2
= ∑ y p ( y )−2μ ∑ yp ( y )+μ2 ∑ p( y )= all y
all y 2
all y
all y 2
=a ∑ yp ( y )+b ∑ p( y )=aμ+b
=E [Y ]−2μ( μ )+μ (1 )=E [ Y ] −μ 2
2
all y
all y
Standard Deviasi: σ =+ √ σ 2
Contoh – Melempar 2 Dadu
Varians dan Standard Deviasi dari Fungsi Linear Peubah Acak Fungsi Linear : g (Y )=aY+b (a,b≡ konstan ) 2
V [ aY+b ]= ∑ ( ( ay+b)−( aμ+b)) p ( y)= all y 2
∑ ( ay−aμ ) p( y )= ∑ [ a2 ( y−μ )2] p( y )=
all y 2
=a
all y
∑ ( y−μ )2 p( y)=a2 σ 2
all y
σ aY+b=∣a∣σ
y
p(y)
yp(y)
y2p(y)
2
1/36
2/36
4/36
3
2/36
6/36
18/36
4
3/36
12/36
48/36
5
4/36
20/36
100/36
6
5/36
30/36
180/36
7
6/36
42/36
294/36
8
5/36
40/36
320/36
9
4/36
36/36
324/36
10
3/36
30/36
300/36
11
2/36
22/36
242/36
12
1/36
12/36
144/36
Sum 36/36= 252/36= 1974/36=54.83 1.00 7.00 3
12
μ=E(Y )= ∑ yp ( y )=7 . 0 y=2
12
σ =E [ Y ] −μ = ∑ y 2 p( y )−μ 2 2
2
2
y=2
=54 . 8333−(7 . 0 )2 =5 . 8333 σ= √5 . 8333=2 . 4152
Proof of Tchebysheff’s Theorem
Teorema Tchebysheff/Aturan Empirik • Tchebysheff: Misalkan Y adl sebuah peubah acak dengan mean dan standard deviasi . Maka: P(-k≤ Y ≤ +k) ≥ 1-(1/k2) for k ≥ 1 – k=1: P(-1≤ Y ≤ +1) ≥ 1-(1/12) = 0 – k=2: P(-2≤ Y ≤ +2) ≥ 1-(1/22) = ¾ – k=3: P(-3≤ Y ≤ +3) ≥ 1-(1/32) = 8/9
• Batasan ini merupakan batasan konservatif namun bisa berlaku untuk semua distribusi • Aturan Empirik (Distribusi berbentuk gundukan/ bukit) – k=1: P(-1≤ Y ≤ +1) 0.68 – k=2: P(-2≤ Y ≤ +2) 0.95 – k=3: P(-3≤ Y ≤ +3) 1
In Region i) : y −μ≤−kσ ⇒( y −μ )2 k 2 σ 2 In Region iii) : y −μ≥kσ ⇒( y −μ )2 k 2 σ 2 2 2
2
2 2
2
⇒ σ k σ P (Y<μ−kσ )+
( μ+kσ )
∑
( μ-kσ ) 2 2
( y− μ)2 p ( y )+k 2 σ 2 P(Y>μ+kσ )
⇒ σ k σ P (Y<μ−kσ )+k σ P(Y>μ+kσ )= =k 2 σ 2 [ 1−P( μ−kσ ≤Y ≤μ+kσ ) ] σ2 1 1 ⇒ 2 2 = 2 [ 1−P( μ−kσ ≤Y ≤μ+kσ ) ] ⇒ P (μ−kσ ≤Y ≤μ+kσ )≥1− 2 k σ k k
Breaking real line into 3 parts: i ) (−∞ ,( μ-kσ )− ] ii ) [( μ-kσ ),( μ+kσ )] iii ) [( μ+kσ )+ ,∞ ) Making use of the definition of Variance: ∞
V ( Y )=σ 2=∑ ( y −μ )2 p( y )= −
−∞
( μ-kσ )
∑ −∞
( μ+kσ )
( y−μ )2 p( y )+
∑
( μ-kσ )
( y−μ )2 p( y )+
∞
∑
( y− μ) 2 p ( y ) +
( μ+kσ )
