PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM. Skripsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

Oleh: Maria Ansila Bouk NIM: 123114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016

i


THE ESTIMATION OF NEGATIVE BINOMIAL REGRESSION MODEL USING MAXIMUM LIKELIHOOH METHOD Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics

By: Maria Ansila Bouk Student Number: 123114019

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY 2016

ii


SKRIPSI PEI\IDUGAAF{ MODEL REGRESI BINOMIAL hTEGATIF DENGAN

METODE KEMT]NGKINAII MAKSIMTJM

Disusun

{.f\ -Y

114019

l,n (Ir. Ig. Aris Dwiatnoko, M. Sc.)

Tanggal: Agustus 2016

lu


SKRIPSI

PEI\DUGAAI{ MODEL REGRESI BINOMIAL I{EGATIF DENGAN METODE KEMUNGKINAI{ MAKSIMUM Disiapkan dan ditulis oleh:

Maria Ansila Bouk NIM:123114019 Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i Pada tanggal 24 Agustus 2016

Dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguj

i

Nama lengkap Ketua

: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan

Sekretaris

: Y. G. Hartono, Ph.

Anggota

: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc

D

Yogyakart4

ZJ A3ut{.w 2016

Fakultas Sains dan Teknologi ilversitas Sanata Dharma

Dekan

at M.Math.Sc.. Ph.D.)

IV


HALAMAN PERSEMBAHAN

Di dalam setiap kejadian dalam kehidupan , Tuhan selalu mempunyai maksud dan tujuan. Skripsi ini dipersembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai, memberkati, dan memberikan kemudahan bagi saya lewat orang-orang yang baik hati dalam setiap perjuangan saya. Kedua orang tua Bapa Agus dan Mama Siska Adik-adik tercinta Lista, Nandi, Ory dan Ikun Serta almamater yang kubanggakan

v


PERITYATAAI{ KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustak4 sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakart4 15 Agustus 2016 Penulis

hr1^A/ V

Maria Ansila Bouk

vl


ABSTRAK Model regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data count yang diasumsikan berdistribusi Poisson dengan nilai rata-rata dan variansinya sama (equidispersion). Namun, seringkali terjadi masalah nilai variansi melebihi nilai ratarata atau lebih dikenal dengan overdispersi sehingga model regresi Poisson tidak tepat digunakan. Salah satu model yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah overdispersi adalah dengan menggunakan model regresi Binomial Negatif. Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. Data yang digunakan dalam skripsi ini adalah data banyaknya kematian Ibu hamil di propinsi Jawa Timur tahun 2012. Dari perhitungan mean dan variansi diketahui bahwa terjadi overdispersi sehingga data dimodelkan menggunakan Regresi Binomial negatif. Faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya kematian Ibu adalah jumlah cakupan imunisasi tetanus Toksoid (TT2+) pada Ibu hamil , jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE1 (30 tablet) ,jumlah Ibu hamil yang mendapatkan tablet FE3 (90 tablet) ,jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT-5) pada Ibu hamil ,cakupan K1 , cakupan K4 , cakupan Ibu hamil yang ditolong nakes , dan jumlah Ibu nifas . Kata kunci: banyaknya kematian Ibu hamil, Regresi Poisson, Regresi Binomial Negatif, pendugaan kemungkinan maksimum, Newton-Raphson.

vii


ABSTRACT Poisson regression model is generally used to analyze the count data which is Poisson distributed with equal mean value and variance (equidispersion). However, the problem occurs when the variance exceeds the mean value which we called as overdispersion so that the Poisson regression model is inappropriately used. One model that can be used to solve the overdispersion problem is the negative binomial regression model. The estimation of the parameters can be obtained by the Maximum Likelihood Estimation method through Newton-Raphson iteration. The data used in this thesis is data of the number of maternal mortality of pregnant women in East Java province in 2012. Based on the calculation of mean and variance, it is known that there is an overdispersion problem so that the data is modeled using negative binomial regression. Some factors that affect the number of maternal mortality are the number of tetanus toxoid immunization coverage (TT2 +) in pregnant women , the number of pregnant women who get FE1 tablets (30 tablets) , the number of pregnant women who get Fe3 tablets (90 tablets) , the number of Tetanus toxoid immunization coverage (TT-5) in pregnant women , K1 coverage , K4 coverage , the coverage of pregnant women which is assisted by the health workers , and the number of mother postpartum . Keywords : the number of maternal mortality of pregnant, Poisson regression , negative binomial regression , maximum likelihood estimation , Newton Raphson .

viii


LEMBAR PER}TYATAAFT PERSETUJUAIY PI]BLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa universitas sanata Dharma:

Nama Nomer Mahasiswa

: Maria Ansila Bouk

:123114019 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN

METODE KEMUNGKINAIY MAKSIMUM

Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya mernberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan

dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data,

mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan

royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulisDemikian pemyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal: 15 Agustus 2016 Yang menyatakan

(Maria Ansila Bouk)

lx


KATA PENGANTAR Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik. Skripsi yang berjudul “Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode Kemungkinan Maksimum” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko., M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada penulis. 2. Bapak Hartono, Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan. 3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma. 4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini. 5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran, serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.

x


6.

Bapa Agus dan Mama Siska yang penulis cintai dan banggakan, ade List4

Nandi, Ory dan Ikun yang telah banyak memberikan dukungan

dan

pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik. 7.

Teman-teman angkatan 2012 Program studi Matematika yaitu putri, Risma,

Happy, Bobi, Tika" Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum,

llg4 Lia, Noni, Dewi,

Manda , Anggun, Budi, Rian, Eg4 yang telah memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.

Teman-Teman kos Cintia: Archa,

Lis4 Nov4 Tia, Mb. Ela Mb. Ria Mb

Ketrin, Mb. Intan, Awang, Her4 Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini. 9.

semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persaru yang telah banyak memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi

ini

dapat

terselesaikan.

ini

masih jauh dari kesempurnaan, maka

kritik yang konstruktii dari

semua pihak sangat diharapkan demi

Penulis menyadari bahwa skripsi saran dan

penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

Yogyakarta 15 Agustus 2016 Penulis

(Maria Ansila Bouk)

xl


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...................................................................................................... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................................. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. vi HALAMAN ABSTRAK ............................................................................................. vii HALAMAN ABSTRACT ......................................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI....................................... ix KATA PENGANTAR .................................................................................................. x DAFTAR ISI ................................................................................................................ xi DAFTAR TABEL ........................................................................................................... BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1 A. B. C. D. E. F. G.

Latar Belakang..................................................................................................... 1 Rumusan Masalah ............................................................................................... 3 Batasan Masalah ................................................................................................. 4 Tujuan Penulisan ................................................................................................. 4 Manfaat Penulisan ............................................................................................... 5 Metode Penulisan ................................................................................................ 5 Sistematika Penulisan .......................................................................................... 6

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 8 A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 8 1. Variabel Random .............................................................................................. 8 2. Fungsi Probabilitas ............................................................................................ 8 a. Distribusi Probabilitas Diskrit ....................................................................... 8 b. Distribusi Probabilitas Kontinu ..................................................................... 9 3. Karakteristik Distribusi Probabilitas ................................................................. 9 a. Mean ............................................................................................................ 9 b. Variansi ..................................................................................................... 10 c. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen .................................................. 10

xii


B. Distribusi Poisson .............................................................................................. 13 C. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya ................................................................ 15 D. Distribusi Binomial Negatif .............................................................................. 18 E. Distribusi Binomial Negatif sebagai Campuran Distribusi Poisson-Gamma.... 22 F. Metode Maksimum Likelihood ......................................................................... 25 G. Metode Numerik Newton-Raphson ................................................................... 28 H. Keluarga Eksponensial ...................................................................................... 32 1. Distribusi Poisson merupakan keluarga eksponensial .................................... 33 2. Distribusi Binomial merupakan keluarga eksponensial .................................. 34 I. Model Regresi Linear Berganda ........................................................................ 36 J. Jenis Data Penelitian.......................................................................................... 37 1. Data berdasarkan sumbernya .......................................................................... 37 2. Data berdasarkan bentuk dan sifatnya............................................................. 38 K. Model Count Respon ......................................................................................... 41 1. Model Regresi logistik dan Regresi Probit ..................................................... 42 2. Model Regresi Poisson dan Regresi Binomial Negatif ................................... 43 L. Uji Kolmogorov-Smirnov ................................................................................. 45 BAB III PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF...................... 50 A. Model Regresi Poisson Berganda ...................................................................... 50 B. Overdispersi dan Regresi Binomial Negatif ...................................................... 54 C. Binomial Negatif sebagai Keluarga Eksponensial ............................................ 56 D. Model Regresi Binomial Negatif....................................................................... 61 E. Pendugaan Parameter untuk Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode Maksimum likelihood ........................................................................................ 62 F. Uji Kebaikan Model .......................................................................................... 76

xiii


BAB IV PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA DATA BANYAKNYA KEMATIAN IBU DI PROPINSI JAWA TIMUR ........................... 88 A. Deskripsi Data ................................................................................................... 91 B. Pengolahan Data ................................................................................................ 91 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Uji Kolmogorov-Smirnov ............................................................................... 92 Pendugaan Model regresi Poisson .................................................................. 93 Uji Signifikansi Parameter .............................................................................. 94 Uji Overdispersi pada Model Regresi Poisson ............................................... 96 Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif .................................................. 97 Uji Signifikansi Model regresi Binomial Negatif ........................................... 97

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 100 A. Kesimpulan ...................................................................................................... 100 B. Saran ............................................................................................................... 101 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 102 LAMPIRAN .............................................................................................................. 106

xiv


DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Data suatu sampel acak untuk contoh 2.4 .................................................. 47 Tabel 2.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov ...................................................... 48 Tabel 3.1 Data banyaknya kasus campak pada

kecamatan di kota Semarang ...... 81

Tabel 3.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov ..................................................... 83 Tabel 3.3 Parameter

,

,

,

,

untuk Regresi poisson .................................. 84

Tabel 3.4 Parameter

,

,

,

,

untuk Regresi Binomial Negatif ................... 86

Tabel 4.1 Deskripsi Data ............................................................................................ 91 Tabel 4.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov .......................................................... 93 Tabel 4.3 Parameter

,

,

,

,

,

,

,

,

untuk Regresi poisson .......... 93

Tabel 4.4 Parameter , , , , , , , , untuk Regresi Binomial Negatif ..................................................................................................................................... 97

xv


BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Regresi adalah suatu metode yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen. Pada umumnya, analisis regresi digunakan untuk menganalisis data variabel dependen yang berupa data kontinu. Namun dalam beberapa aplikasinya, data variabel dependen yang akan dianalisis dapat berupa data diskrit. Variabel dependen diskrit dapat berupa data count yaitu data yang nilainya nonnegatif dan menyatakan banyaknya kejadian dalam interval waktu, ruang, atau volume tertentu. Ketika variabel dependen berupa data count, analisis regresi yang biasa digunakan adalah analisis regresi Poisson. Pada regresi ini variabel dependen diasumsikan berdistribusi Poisson, dengan fungsi probabilitasnya adalah 𝑝(𝑦) =

𝜆𝑦 −𝜆 𝑒 , 𝑦!

𝑦 = 0,1,2, … dengan 𝜆 > 0

Analisis Regresi Poisson adalah suatu model yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel dependen yang berdistribusi Poisson dengan beberapa variabel independen. Pada model Regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi yaitu nilai variansi dari data yang diperoleh harus sama dengan nilai meannya atau disebut ekuidispersi (equidispersion). 𝐸(𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜇

1


2

Pada kenyataannya asumsi ini sangat jarang terjadi karena biasanya data count memiliki variansi yang lebih besar dari mean atau disebut kondisi overdispersi (𝑉𝑎𝑟(𝑌) > 𝐸(𝑌)) atau sebaliknya mean lebih besar dari pada variansi atau disebut underdispersi (𝑉𝑎𝑟(𝑌) < 𝐸(𝑌)). Jika pada data diskrit terjadi overdispersi namun tetap digunakan model regresi Poisson maka estimasi parameter koefisien regresinya tetap konsisten tetapi tidak efisien karena berpengaruh

pada

nilai

standar

galat

(underestimate).

Hal

itu

dapat

mengakibatkan kesimpulan yang akan dihasilkan menjadi tidak tepat atau tidak sesuai dengan data. Alternatif model regresi yang lebih sesuai untuk data overdispersi adalah model regresi Binomial Negatif. Pada regresi ini variabel dependen

diasumsikan

berdistribusi

Binomial

Negatif,

dengan

fungsi

probabilitasnya dihasilkan dari distribusi campuran Poisson-Gamma yaitu 1 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 𝑓(𝑦) = ( ) ( ) 1 1 + 𝑘𝜇 Γ ( ) 𝑦! 1 + 𝑘𝜇 𝑘 dengan y = 0,1,2,… Model regresi Binomial Negatif memiliki kegunaan yang sama dengan model regresi Poisson yaitu untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen. Namun model regresi

Binomial Negatif lebih fleksibel dibandingkan dengan model Poisson karena asumsi mean dan variansi dari model Binomial Negatif tidak harus sama. Model ini juga memiliki parameter dispersi yang berguna menggambarkan variasi dari data yang biasa dinotasikan dengan k. Model Binomial Negatif yang akan digunakan adalah Model Binomial Negatif yang merupakan model campuran


3

antara distribusi Poisson dan Gamma. Distribusi Gamma digunakan untuk menyesuaikan kehadiran overdispersi dalam model Poisson. Dari dua buah model regresi yang digunakan untuk data count, yaitu Poisson dan Binomial Negatif, model Binomial Negatif memiliki bentuk yang lebih umum karena model Poisson dapat dinyatakan dalam model Binomial Negatif ketika parameter dispersinya mendekati nol (k  0) atau dapat dikatakan data dalam keadaan ekuidispersi. Jadi, model Binomial Negatif pada dasarnya dapat digunakan untuk berbagai kasus data count. Dalam penulisan ini akan lebih dikhususkan untuk masalah pendugaan model regresi Binomial Negatif pada kasus overdispersi. Pendugaan parameter dapat diperoleh dengan menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. Adapun beberapa aplikasi dari model Binomial Negatif diantaranya adalah memodelkan kasus terjadinya penyakit demam berdarah dengue (DBD) dan untuk mengetahui besarnya pengaruh variabel-variabel yang mempengaruhi terjadinya penyakit DBD, pemodelan banyaknya kematian Ibu di suatu daerah, model prediksi kecelakaan lalulintas jalan tol, penggolongan resiko jumlah klaim asuransi kendaraan dan lain-lainnya.

B. Rumusan Masalah Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah: 1. Bagaimana landasan matematis pendugaan model regresi Binomial Negatif dengan metode kemungkinan maksimum?


4

2. Bagaimana menduga parameter-parameter pada model regresi Binomial Negatif dengan menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson? 3. Bagaimana menerapkan model regresi Binomial Negatif pada Poisson yang mengalami Overdispersi dengan metode Newton-Raphson dalam masalah nyata?

C. Batasan Masalah Agar dalam pembahasan tidak terlalu luas dan hasilnya mendekati pokok permasalahan, maka dalam penulisan skripsi ini hanya akan membahas: 1. Model Regresi Binomial Negatif yang merupakan model campuran Distribusi Poisson-Gamma untuk kasus Poisson yang mengalami Overdispersi. 2. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. 3. Penulis tidak membahas tentang generalisasi dari Distribusi Binomial Negatif sebagai campuran distribusi Poisson dan Gamma. 4. Penulis hanya membahas tentang distribusi Poisson yang mengalami overdispersi. 5. Dalam perhitungan penulis menggunakan program R dan SPSS. 6. Penulis tidak membahas tentang Prior Natural Conjugate.

D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skripsi ini adalah:


5

1. Untuk memahami landasan matematis pendugaan model regresi Binomial Negatif dengan metode Newton-Raphson. 2. Untuk dapat menduga parameter-parameter pada model regresi Binomial Negatif menggunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum melalui iterasi Newton-Raphson. 3. Untuk dapat menerapkan model regresi Binomial Negatif pada Poisson yang mengalami Overdispersi dengan metode Newton-Raphson dalam masalah nyata. 4. Untuk memenuhi tugas dalam mencapai gelar sarjana.

E. Manfaat Penulisan Manfaat Penulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang Regresi Binomial Negatif, membahas dasar-dasar teori yang terkait, dapat menentukan parameter-parameter dari model regresi Binomial Negatif, serta dapat menduga model banyaknya kematian Ibu di propinsi Jawa Timur menggunakan model regresi Binomial Negatif.

F. Metode penulisan . Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan pendugaan model regresi Binomial Negatif dengan metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum.


6

G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan pada skripsi ini meliputi lima Bab yaitu: BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas B. Distribusi Poisson C. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya D. Distribusi Binomial Negatif E. Distribusi Binomial Negatif sebagai campuran Distribusi PoissonGamma F. Metode Maksimum Likelihood G. Metode numerik Newton-Raphson H. Keluarga Eksponensial I.

Model Regresi Linear Berganda

J.

Jenis Data Penelitian

K. Model Count Respon


7

L. Uji Kolmogorov-Smirnov BAB III PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF A. Model Regresi Poisson Berganda B. Overdispersi dan regresi Binomial Negatif C. Binomial Negatif sebagai keluarga Eksponensial D. Model Regresi Binomial Negatif E. Pendugaan Parameter untuk Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode Maksimum Likelihood F. Uji Kebaikan Model BAB IV PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA DATA BANYAKNYA KEMATIAN IBU DI PROPINSI JAWA TIMUR A. Deskripsi Data B. Pengolahan Data BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8

BAB II LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random Definisi 2.1 Variabel random 𝑋 adalah fungsi bernilai riil yang domainnya adalah ruang sampel. Definisi 2.2 Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskrit jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu. 2. Fungsi Probabilitas a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3 Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑓(𝑥)) adalah fungsi probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X jika 1) 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥) 2) 𝑓(𝑥) ≥ 0 3) ∑∀𝑥 𝑓(𝑥) = 1


Definisi 2.4 Fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) (cumulative distribution function) dari sebuah variabel random diskrit 𝑋 dengan distribusi probabilitas 𝑓(𝑥) adalah 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑥 < ∞ 𝑡≤𝑥

b. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.5 Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu 𝑋 jika 1) 𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 ∞

2) ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝑏

3) 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Definisi 2.6 Fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) (cumulative distribution function) dari sebuah variabel random kontinu 𝑋 dengan distribusi probabilitas 𝑓(𝑥) adalah 𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, untuk − ∞ < 𝑥 < ∞ −∞

3. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean Definisi 2.7


Misalkan 𝑋 adalah variabel random dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥). Mean atau nilai harapan (expected value) dari 𝑋 adalah 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥) , 𝑋 diskrit 𝑥 ∞

{

𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑋 kontinu −∞

b. Variansi Definisi 2.8 Jika 𝑋 adalah variabel random, variansi dari variabel random 𝑋, maka variansi dari 𝑋 ditulis sebagai 𝑣𝑎𝑟(𝑋) atau 𝑉(𝑋) didefinisikan 2

𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋)) . Teorema 2.1 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))

2

Bukti 𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] = 𝐸(𝑋 2 − 2𝑋𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝐸(2)𝐸(𝑋)𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))

2

2

= 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋)) ∎

c. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Definisi 2.9 Momen ke-k dari variabel random 𝑋 yang diambil sekitar titik asal dinotasikan dengan 𝜇𝑘′ adalah


𝜇𝑘′ = 𝐸(𝑋 𝑘 ) Definisi 2.10 Fungsi

pembangkit

momen

𝑚(𝑡)

dari

sebuah

variabel

random

𝑋 didefinisikan sebagai 𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑥 ). Fungsi pembangkit momen dari 𝑋 dikatakan ada jika terdapat konstanta positif 𝑏 sedemikian sehingga 𝑚(𝑡) adalah berhingga untuk |𝑡| ≤ 𝑏. Fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai ∑ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥), 𝑋 diskrit 𝑚𝑥 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑥 ) =

∞

{

𝑥

∫ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , 𝑋 kontinu −∞

Teorema 2.2 Misalkan 𝑋 variabel acak dengan fungsi pembangkit momen (FPM) 𝑚𝑥 (𝑡) maka 𝑑 𝑘 𝑚(𝑡) | = 𝜇𝑘′ 𝑑𝑡𝑘 𝑡=0 Bukti: Ekspansi Deret maclaurin dari 𝑒 𝑡𝑥 adalah 𝑒 𝑡𝑥 = 1 + 𝑡𝑥 +

(𝑡𝑥)2 (𝑡𝑥)3 (𝑡𝑥)4 + + +⋯ 2! 3! 4!

Diasumsikan 𝑚(𝑘) (𝑡) berhingga untuk 𝑘 = 1, 2, ⋯, maka


𝐸(𝑒 𝑡𝑥 ) = ∑ 𝑒 𝑡𝑥 𝑝(𝑥) 𝑥

(𝑡𝑥)2 (𝑡𝑥)3 (𝑡𝑥)4 = ∑ [1 + 𝑡𝑥 + + + + ⋯ ] 𝑝(𝑥) 2! 3! 4! 𝑥

= ∑ 𝑝(𝑥) 𝑥

𝑡2 𝑡3 2 + 𝑡 ∑ 𝑥 𝑝(𝑥) + ∑ 𝑥 𝑝(𝑥) + ∑ 𝑥 3 𝑝(𝑥) + ⋯ = 1 + 𝑡 𝜇1′ 2! 3! 𝑥

+

𝑑𝑘 𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 𝑘

𝑥

𝑥

𝑡2 ′ 𝑡3 ′ 𝜇 + 𝜇 +⋯ 2! 2 3! 3

atau 𝑚(𝑘) (𝑡) adalah turunan ke-𝑘 dari 𝑚(𝑡) terhadap 𝑡, karena 𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑥 ) = 1 + 𝑡𝜇1′ +

𝑚

(1)

(𝑡) =

𝑚(2) (𝑡) =

𝜇1′

𝑡2 ′ 𝑡3 ′ 𝑡4 ′ 𝜇 + 𝜇 + 𝜇 +⋯ 2! 2 3! 3 4! 4

2𝑡 ′ 3𝑡 2 ′ 4𝑡 3 ′ + 𝜇2 + 𝜇 + 𝜇 +⋯ 2! 3! 3 4! 4

2 ′ 6𝑡 ′ 12𝑡 2 ′ 𝜇 + 𝜇 + 𝜇 +⋯ 2! 2 3! 3 4! 4

=

2 6𝑡 12𝑡 2 ′ 𝜇2′ + 𝜇3′ + 𝜇 +⋯ 2 × 1! 3 × 2! 4 × 3! 4

=

𝜇2′

2𝑡 ′ 3𝑡 2 ′ + 𝜇3 + 𝜇 +⋯ 2! 3! 4

𝑚(3) (𝑡) = 𝜇3′ +

6𝑡 ′ 𝜇 +⋯ 3! 4 2𝑡

′ Secara umum, 𝑚(𝑘) (𝑡) = 𝜇𝑘′ + 2! 𝜇𝑘+1 +

3𝑡 2 3!

Ketika 𝑡 = 0 untuk semua turunan diperoleh 𝑚(1) (0) = 𝜇1′

′ 𝜇𝑘+2 +⋯


𝑚(2) (0) = 𝜇2′ Sehingga secara umum 𝑚(𝑘) (0) = 𝜇𝑘′

∎

Turunan pertama dari fungsi pembangkit momen yaitu 

Untuk variabel kontinu,



Untuk variabel diskrit,

𝑑𝑚(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑚(𝑡) 𝑑𝑡

∞

= 𝑚′ (𝑡) = ∫−∞ 𝑥𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= 𝑚′ (𝑡) = ∑𝑥 𝑥𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥)

Berdasarkan turunan pertama dari FPM diatas, untuk 𝑡 = 0, diperoleh 𝑚(0) = 𝐸(𝑋). Turunan kedua dari fungsi pembangkit momen yaitu: 

Untuk variabel kontinu,



Untuk variabel diskrit,

𝑑2 𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 2

𝑑2 𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 2

∞

= 𝑚′′(𝑡) = ∫−∞ 𝑥 2 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= 𝑚′′ (𝑡) = ∑𝑥 𝑥 2 𝑒 𝑡𝑥 𝑓(𝑥)

Berdasarkan turunan kedua dari FPM diatas, untuk 𝑡 = 0, diperoleh 𝑚" (0) = 𝐸(𝑋 2 ), sehingga 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝜇 2 = 𝑚"(0) − [𝑚′(0)]2 Turunan ke-𝑘 dari FPM untuk 𝑡 = 0 yaitu 𝑚(𝑘) (0) = 𝐸(𝑋 𝑘 ) yang disebut momen ke-𝑘 dari variabel acak 𝑋.

B. Distribusi Poisson Definisi 2.11 Suatu variabel random 𝑌 disebut berdistribusi Poisson dengan parameter 𝜆 jika dan hanya jika fungsi probabilitasnya sebagai berikut


𝑝(𝑦) =

𝜆𝑦 𝑦!

𝑒 −𝜆 , 𝑦 = 0,1,2, …

dengan 𝜆 > 0 Toerema 2.3 Jika 𝑌 berdistribusi Poisson dengan parameter 𝜆 maka 𝜇 = 𝐸(𝑌) = 𝜆 dan 𝜎 2 = 𝑉(𝑌) = 𝜆 Bukti: Berdasarkan Definisi 2.10, diperoleh ∞

𝑚(𝑡) = ∑ 𝑦=0

𝑒 −𝜆 𝜆𝑦 𝑡𝑦 𝑒 𝑦!

∞

∞

𝑦=0

𝑦=0

𝑒 𝑡𝑦−𝜆 𝜆𝑦 (𝜆𝑒 𝑡 )𝑦 −𝜆 =∑ =𝑒 ∑ 𝑦! 𝑦! 𝑎𝑦

Berdasarkan formulasi Taylor 𝑒 𝑎 = ∑∞ 𝑦=0 𝑦! maka diperoleh 𝐸(𝑌) = 𝑚′(𝑡) = 𝑒 −𝜆 𝑒 𝜆𝑒 = 𝑒 𝜆(𝑒 =

𝑡

𝑡 −1)

𝑑 𝜆(𝑒 𝑡 −1) 𝑒 | 𝑑𝑡 𝑡=0

= 𝜆𝑒 𝑡 𝑒 𝜆(𝑒

𝑡 −1)

= 𝜆𝑒 0 𝑒 𝜆(𝑒 𝐸(𝑌 2 ) =

=

|𝑡=0

0 −1)

𝑑2 𝑚(𝑡)| 𝑑𝑡 2 𝑡=0 𝑑 2 𝜆(𝑒 𝑡−1) 𝑡 𝑒 . 𝜆𝑒 𝑑𝑡 2

=𝜆


= 𝑒 𝜆(𝑒 = 𝑒 2𝑡 𝜆2 𝑒 𝜆(𝑒

𝑡 −1)

𝑡 −1)

. 𝜆𝑒 𝑡 . 𝜆𝑒 𝑡 + 𝜆𝑒 𝑡 𝑒 𝜆(𝑒

+ 𝜆𝑒 𝑡 𝑒 𝜆(𝑒

𝑡 −1)

𝑡 −1)

|𝑡=0

= 𝜆2 + 𝜆 Jadi, 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌 2 ) − [𝐸(𝑌)]2 = 𝜆2 + 𝜆 − 𝜆2 =𝜆

C. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya Definisi 2.12 fungsi Gamma didefinisikan sebagai ∞

Γ(𝛼) = ∫ 𝑦 𝛼−1 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 0

Untuk 𝛼 > 0 dan nilai dari integral tersebut adalah bilangan positif. Fungsi Gamma memiliki sifat sebagai berikut: ∞

a. Jika 𝛼 = 1, maka Γ(1) = ∫0 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 1. b. Jika 𝑛 adalah suatu bilangan bulat positif maka diperoleh Γ(𝑛) = ( 𝑛 − 1)!. ∞

c. Jika 𝛼 > 1, maka Γ(𝛼) = ∫0 𝑦 𝛼−1 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = ( 𝛼 − 1)Γ(𝛼 − 1) Definisi 2.14 Suatu variabel acak kontinu 𝑌 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 dan β jika variabel tersebut mempunyai fungsi probabilitas sebagai berikut:


1 𝑦 𝛼−1 𝑒 −𝑦⁄𝛽 , 0≤𝑦≤∞ 𝑓(𝑦) = { Γ(𝛼)𝛽𝛼 0 𝑦 yang lainnya Dengan 𝛼, 𝛽 > 0. Teorema 2.3 Jika 𝑌 adalah berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 maka 𝜇 = 𝐸(𝑌) = 𝛼𝛽 dan 𝜎 2 = 𝑉(𝑌) = 𝛼𝛽 2 Bukti: 1. Mean Berdasarkan definisi 2.7 ∞

𝐸(𝑌) = ∫ 𝑦 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 −∞ −

∞

𝑦

𝑦 𝛼−1 𝑒 𝛽 =∫ 𝑦 𝛼 𝑑𝑦 𝛽 Γ(𝛼) 0 Berasarkan definisi fungsi probabilitas maka ∞

∫ 0

𝑦 𝛼−1 −𝛽 𝑦 𝑒

𝛽 𝛼 Γ(𝛼)

𝑑𝑦 = 1

Sehingga diperoleh ∞

∫ 𝑦 𝛼−1 𝑒

−

𝑦 𝛽

𝑑𝑦 = 𝛽 𝛼 Γ(𝛼)

(2.1)

0 ∞

−

𝑦

𝑦𝛼𝑒 𝛽 𝐸(𝑌) = ∫ 𝛼 𝑑𝑦 0 𝛽 Γ(𝛼) ∞ 𝑦 1 − = 𝛼 ∫ 𝑦 𝛼 𝑒 𝛽 𝑑𝑦 𝛽 Γ(𝛼) 0

Berdasarkan persamaan 2.1 diperoleh


𝐸(𝑌) =

1 𝛽 𝛼+1 Γ(𝛼 + 1) 𝛼 𝛽 Γ(𝛼)

Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka Γ(𝛼 + 1) = 𝛼Γ(α), maka diperoleh 𝐸(𝑌) =

=

1 𝛽 𝛼+1 𝛼 Γ(𝛼) 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) Γ(𝛼)

= 𝛼𝛽 2. Variansi Berdasarkan teorema 2.1 𝑉(𝑌) = 𝐸(𝑌 2 ) − (𝐸(𝑌)) −

∞

2

𝑦

𝑦 𝛼−1 𝑒 𝛽 2) 2 𝐸(𝑌 = ∫ 𝑦 𝑑𝑦 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 0 −

∞

𝑦

𝑦 𝛼+1 𝑒 𝛽 =∫ 𝑑𝑦 𝛼 0 𝛽 Γ(𝛼) =

∞ 𝑦 1 𝛼+1 −𝛽 ∫ 𝑦 𝑒 𝑑𝑦 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 0

Berdasarkan persamaan 2.1 dan definisi sifat fungsi Gamma, maka diperoleh 𝐸(𝑌) =

1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼)

𝛽 𝛼+2 Γ(𝛼 + 2)

𝛽 2 (𝛼 + 1)Γ(𝛼 + 1) = Γ(𝛼) 𝛽 2 (𝛼 + 1)𝛼Γ(𝛼) = Γ(𝛼) = 𝛼𝛽 2 (𝛼 + 1) Sehingga,


𝑉(𝑌) = 𝐸(𝑌 2 ) − (𝐸(𝑌))

2

= 𝛼𝛽 2 (𝛼 + 1) − (𝛼𝛽)2 = 𝛼 2 𝛽 2 + 𝛼𝛽 2 − 𝛼 2 𝛽 2 = 𝛼𝛽 2

D. Distribusi Binomial Negatif Distribusi Binomial Negatif merupakan distribusi yang memiliki beberapa cara dalam hal pendekatannya. Pendekatan klasik yang sering digunakan adalah Distribusi Binomial Negatif sebagai barisan percobaan Bernoulli yaitu jumlah percobaan Bernoulli yang dibutuhkan sampai terjadi 𝑟 buah sukses, dengan setiap ulangan saling bebas, dan probabilitas sukses pada setiap percobaan konstan yaitu 𝑝 sedangkan probabilitas gagal yaitu 1 − 𝑝. Misalkan 𝑦 adalah banyaknya kegagalan sebelum sukses ke-𝑟, maka 𝑟 − 1 sukses dapat terjadi pada sebarang waktu sebelum 𝑥 − 1 ulangan. Misalkan variabel acak 𝑋 menyatakan banyaknya ulangan yang dibutuhkan sampai terjadi 𝑟 buah sukses, maka 𝑋 berdistribusi Binomial Negatif dengan fungsi probabilitas sebagai berikut 𝑥 − 1 𝑟 (1 )𝑝 − 𝑝)𝑥−𝑟 dengan 𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, ⋯ 𝑘−1

𝑓(𝑥) = (

Fungsi probabilitas dari variabel acak 𝑋 dapat dinotasikan ke dalam bentuk lain. Misalkan terdapat 𝑦 banyaknya kegagalan sebelum sukses ke-𝑟 maka 𝑥 merupakan penjumlahan dari 𝑦 kegagalan dengan 𝑟 buah sukses atau 𝑥 = 𝑦 + 𝑟. Jadi, akan dibentuk variabel acak baru yaitu 𝑌, yang menyatakan banyaknya


kegagalan sebelum terjadi 𝑟 buah sukses dengan metode transformasi variabel dengan fungsi transformasinya 𝑌 = 𝑋 − 𝑟. Definisi 2.14 Variabel acak 𝑌 disebut berdistribusi Binomial Negatif jika memiliki fungsi probabilitas 𝑓(𝑦) sebagai berikut 𝑦+𝑟−1 𝑟 𝑓(𝑦) = ( ) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑦 dengan 𝑦 = 0, 1, 2, ⋯ 𝑟−1 Contoh 2.1 Seorang dokter anak merekrut 5 pasangan untuk berpartisipasi dalam penelitiannya. Masing-masing pasangan berharap untuk melahirkan anak secara normal. Misalkan 𝑝 = 𝑃 (pasangan yang dipilih secara acak setuju untuk berpartisipasi). Jika 𝑝 = 0.2, berapakah probabilitas bahwa 15 pasangan harus ditanya sebelum ditemukan 5 pasangan yang setuju untuk berpartisipasi? Penyelesaian: Diketahui 𝑟 = 5, 𝑝 = 0.2, 𝑋 = 10 sehingga 10 + 5 − 1 14 ) 0.25 (1 − 0.2)10 = ( ) 0.25 (0.8)10 = 0.0343 4 5−1

𝑓(𝑦) = ( Teorema 2.4

Mean dan variansi dari distribusi Binomial Negatif adalah 𝐸(𝑌) = 𝜇 =

𝑉𝑎𝑟(𝑌) =

𝑟(1 − 𝑝) 𝑝

𝑟(1 − 𝑝) 𝑝2


Bukti: 1. Mean Misalkan 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)−𝑟 , dalam kalkulus 𝑓(𝑥) dapat mengikuti ekspansi deret Maclaurin yaitu: (1 − 𝑥)

−𝑟

= 𝑓(0) + 𝑓

′ (0)

𝑓 (2) (0) 2 𝑓 (3) (0) 3 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯+ 𝑥 +⋯ 2! 3! 𝑛!

Dengan −1 < 𝑥 < 1 sehingga diperoleh (1 − 𝑥)−𝑟 = 1 + 𝑟𝑥 +

(𝑟 + 1)𝑟 2 (𝑟 + 𝑦 − 1)(𝑟 + 𝑦 − 2) ⋯ (𝑟 + 1)𝑟 𝑦 𝑥 +⋯+ 𝑥 2! 𝑦!

+⋯ =1+

(−1)1 (−𝑟)𝑥

+

(−1)2 (−𝑟)(−𝑟 − 1) 2 + 𝑥 +⋯ 2!

(−1)𝑦 (−𝑟)(−𝑟 − 1) ⋯ (−𝑟 − 𝑦 + 2)(−𝑟 − 𝑦 + 1) 𝑦 𝑥 +⋯ 𝑦! −𝑟 0 −𝑟 −𝑟 ) 𝑥 + (−1)1 ( ) 𝑥1 + (−1)2 ( ) 𝑥 2 + ⋯ 0 1 2

= (−1)0 (

−𝑟 + (−1)𝑦 ( 𝑦 ) 𝑥 𝑦 + ⋯ ∞

−𝑟 = ∑(−1)𝑦 ( 𝑦 ) 𝑥 𝑦 𝑦=0

(𝑦 + 𝑟 − 1)(𝑦 + 𝑟 − 2) ⋯ (𝑟 + 1)𝑟 𝑦+𝑟−1 ( )= (𝑦 + 𝑟 − 1 − 𝑟 + 1)! 𝑟−1 =

(𝑦 + 𝑟 − 1)(𝑦 + 𝑟 − 2) ⋯ (𝑟 + 1)𝑟 𝑦!

−𝑟 = (−1)𝑦 ( 𝑦 ) Sehingga Berdasarkan definisi 2.10 diperoleh 𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑌 )


∞

𝑦+𝑟−1 𝑟 = ∑ 𝑒 𝑡𝑦 ( ) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑦 𝑟−1 𝑦=0 ∞

= ∑( 𝑦=0

𝑦+𝑟−1 𝑟 ) 𝑝 [(1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]𝑦 𝑟−1

∞

−𝑟 = 𝑝 ∑ (−1)𝑦 ( 𝑦 ) [(1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]𝑦 𝑟

𝑦=0

= 𝑝𝑟 [1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]−𝑟 𝑝𝑟 = [1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]𝑟 Sehingga diperoleh 𝑚′ (0) = 𝐸(𝑌) 𝑑 𝑝𝑟 = ( )| 𝑑𝑡 [1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]𝑟 𝑡=0 −𝑟(1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 )𝑟−1 ∙ −(1 − 𝑝). 𝑝𝑟 = | ([1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]𝑟 )2 𝑡=0 𝑟(1 − 𝑝) 𝑝𝑟 𝑝𝑟−1 = 𝑝2𝑟 =

𝑟(1 − 𝑝) 𝑝2𝑟 𝑝2𝑟 𝑝

=

𝑟(1 − 𝑝) ∎ 𝑝

2. Variansi Berdasarkan teorema 2.1 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌 2 ) − (𝐸(𝑌)) 𝐸(𝑌 2 ) =

2

𝑑2 𝑝𝑟 ( )| 𝑑𝑡 2 [1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]𝑟 𝑡=0


=

𝑑 2 −𝑟(1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 )𝑟−1 ∙ −(1 − 𝑝). 𝑝𝑟 ( )| ([1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]𝑟 )2 𝑑𝑡 2 𝑡=0

=

𝑟(1 − 𝑝)[1 + (1 − 𝑝)] 𝑝2

Sehingga, 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌 2 ) − (𝐸(𝑌))

2

=

𝑟(1 − 𝑝)[1 + (1 − 𝑝)] (1 − 𝑝)2 − 𝑝2 𝑝2

=

𝑟(1 − 𝑝)[1 + (1 − 𝑝) − 𝑟(1 − 𝑝)] 𝑝2

=

𝑟(1 − 𝑝) ∎ 𝑝2

E. Distribusi Binomial Negatif sebagai Campuran Distribusi Poisson-Gamma Salah satu cara terbentuknya distribusi Binomial Negatif adalah terjadinya overdispersi pada saat menggunakan distribusi Poisson. Data count biasanya memiliki variansi yang lebih besar dari mean, atau yang disebut dengan kondisi overdispersi. Misalkan 𝑌 adalah variabel acak dari suatu populasi yang berdistribusi Poisson dengan 𝐸(𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜆. Kondisi data seperti ini disebut dengan ekuidispersi. Pada kenyataannya, jarang sekali ditemukan data count dalam kondisi ekuidispersi. Pada distribusi Poisson terdapat asumsi mean (𝜆) konstan untuk setiap nilai dari 𝑌, namun dalam kondisi overdispersi, 𝜆 tidak lagi konstan atau bervariasi antar observasi pada populasi. Hal ini menunjukkan bahwa populasi tersebut bergantung pada 𝜆, sehingga dapat dikatakan bahwa 𝜆 merupakan nilai dari suatu variabel acak Ω yang memiliki distribusi tertentu.


Distribusi Gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 dipilih sebagai distribusi dari Ω karena distribusi Gamma merupakan prior natural conjugate dari distribusi Poisson. Karena Ω berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽, maka mean dari Ω adalah 𝜇 = 𝛼𝛽 atau 𝛽 = 𝜇/𝛼 . Misalkan 𝑘 = 1/ 𝛼 maka dapat dikatakan bahwa Ω berdistribusi Gamma dengan parameter (1/k) dan 𝑘𝜇 dengan fungsi probabilitasnya ℎ(𝜆) =

1

1 −𝜆 −1 𝑘 exp ( 𝜆 ) 1 1 𝑘𝜇 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑘

Fungsi probabilitas bersama antara 𝑌|𝜆 dan Ω adalah 𝑒 −𝜆 𝜆𝑦 𝑓(𝑦|𝜆)ℎ(𝜆) = ∙ 𝑦!

1

1 −𝜆 −1 𝑘 𝑒𝑥𝑝 ( 𝜆 ) 1 1 𝑘𝜇 𝑘 (𝑘𝜇) Γ( ) 𝑘

1

=

𝜆 𝑦+𝑘−1 exp (−𝜆 +

−𝜆 ) 𝑘𝜇

1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

Fungsi probabilitas marginal dari 𝑌 adalah 𝑓(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑦|𝜆)ℎ(𝜆)𝑑𝜆

=∫

∞𝜆

1 𝑦+ −1 𝑘 exp (−𝜆

1

∞

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

1

𝑑𝜆

∫ 𝜆 𝑦+𝑘−1 exp (−𝜆 +

1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 0

𝑘

=

−𝜆 ) 𝑘𝜇

1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

0

=

+

−𝜆 ) 𝑑𝜆 𝑘𝜇

∞ −𝜆(𝑘𝜇 + 1) 𝑦+1−1 ∫ 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝜆 𝑘 𝑑𝜆 𝑘𝜇 0


=

=

=

1

1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

∞

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

1

−𝜆(𝑘𝜇 + 1) 𝑦+1−1 𝑘𝜇 + 1 𝑦+𝑘−1 𝑘𝜇 𝑦+𝑘−1 ∫ 𝑒𝑥𝑝 ( )𝜆 𝑘 ( ) ( ) 𝑑𝜆 𝑘𝜇 𝑘𝜇 + 1 𝑘𝜇 0 ∞

1

−𝜆(𝑘𝜇 + 1) 𝜆(𝑘𝜇 + 1) ∫ 𝑒𝑥𝑝 ( )( ) 𝑘𝜇 𝑘𝜇 0

1 𝑦+ −1 𝑘

1

𝑘𝜇 𝑦+𝑘−1 ( ) 𝑑𝜆 𝑘𝜇 + 1

1

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

𝑘𝜇 𝑦+𝑘−1 ∞ −𝜆(𝑘𝜇 + 1) 𝜆(𝑘𝜇 + 1) ( ) ∫ 𝑒𝑥𝑝 ( )( ) 𝑘𝜇 + 1 𝑘𝜇 𝑘𝜇 0

Misalkan 𝑡 =

𝜆(𝑘𝜇+1)

𝑑𝑡

𝑘𝜇

𝑑𝜆

, maka

=

(𝑘𝜇+1) 𝑘𝜇

1 𝑦+ −1 𝑘

𝑘𝜇

sehingga 𝑑𝜆 = 𝑘𝜇+1 𝑑𝑡 sehingga

persamaan 𝑓(𝑦) menjadi 𝑓(𝑦) =

=

=

=

=

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

1 1 1 Γ ( ) (𝑘𝜇)𝑘 𝑦! 𝑘

1

1 𝑘𝜇 𝑦+𝑘−1 ∞ 𝑘𝜇 ( ) ∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑡) (𝑡)𝑦+𝑘−1 𝑑𝑡 𝑘𝜇 + 1 𝑘𝜇 + 1 0 1

∞ 1 𝑘𝜇 𝑦+𝑘−1 𝑘𝜇 ( ) ( ) ∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑡) (𝑡)𝑦+𝑘−1 𝑑𝑡 𝑘𝜇 + 1 𝑘𝜇 + 1 0 1

1 𝑘𝜇 𝑦+𝑘 ∞ ( ) ∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑡) (𝑡)𝑦+𝑘−1 𝑑𝑡 𝑘𝜇 + 1 0 1

𝑘𝜇 𝑦+𝑘 1 ( ) Γ (𝑦 + ) 𝑘𝜇 + 1 𝑘 1

𝑘𝜇 𝑦 𝑘𝜇 𝑘 1 ( ) ( ) Γ (𝑦 + ) 𝑘𝜇 + 1 𝑘𝜇 + 1 𝑘

1 1 Γ (𝑦 + ) 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 = ( ) ( ) 1 𝑘𝜇 + 1 Γ ( ) 𝑦! 𝑘𝜇 + 1 𝑘

𝑑𝜆


fungsi probabilitas dari Distribusi Binomial Negatif sebagai campuran PoissonGamma adalah 1 1 Γ (𝑦 + ) 𝑘 1 𝑘𝜇 𝑦 𝑘 𝑓(𝑦; 𝜇, 𝑘)= ( ) ( ) 1 1 + 𝑘𝜇 𝑦! Γ ( ) 1 + 𝑘𝜇 𝑘

(2.2)

Distribusi Binomial Negatif dengan fungsi probabilitas pada persamaan 2.2 disebut sebagai distribusi campuran Poisson-Gamma. Penurunan distribusi Binomial Negatif di atas tidak berhubungan dengan penurunan klasik sebagai barisan dari percobaan Bernouli pada subbab sebelumnya.

F. Metode Maksimum Likelihood Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum (Maksimum Likelihood Estimation/MLE). Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun 1912. Metode pendugaan ini dapat diterapkan di sebagian besar masalah dan memiliki daya tarik intuitif yang kuat, dan sering menghasilkan penduga yang baik bagi parameter 𝜃. Selain itu untuk sampel yang sangat besar, metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi 𝜃.

Definisi 2.16 Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator/MLE) 𝜃̂𝑀𝐿 dari 𝜃 memaksimumkan fungsi likelihood, L(𝜃|𝑌) atau ekuivalen dengan memaksimumkan log-likelihood 𝑙(𝜃|𝑌).


Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah variabel random kontinu berukuran 𝑛 dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝜃) dan 𝜃 adalah parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari 𝑛 variabel random yang merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui, sehingga fungsi likelihood adalah 𝑛

2.3

𝐿(𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜃) 1

Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi loglikelihood dapat ditulis dalam bentuk : 𝑙 = ln 𝐿( 𝜃)

2.4

Nilai parameter 𝜃 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi peluang. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi likelihoodnya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE 𝜃̂ merupakan penyelesaian dari persamaan berikut : 𝜕𝑙 =0 𝜕𝜃 Misalkan terdapat 𝑘 parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter 𝜃𝑖 dengan Metode Kemungkinan Maksimum 𝜕𝑙 =0 𝜕𝜃𝑖 Dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑘


Contoh 2.2 Misalkan 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 adalah sampel random berdistribusi eksponensial dengan mean 𝛽 dan variansi 𝛽 2 . Temukan 𝛽̂ dengan menggunakan Metode maksimum likelihood. Penyelesaian: 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 adalah variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean 𝛽 dan variansi 𝛽 2 maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai 1 −𝛽𝑦 𝑒 0≤𝑦<∞ 𝑓(𝑦) = {𝛽 0 selainnya Berdasarkan persamaan 2.3 diperoleh fungsi likelihood berikut: 𝐿(𝛽) = 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 |𝛽) = 𝑓(𝑦1 |𝛽) × 𝑓(𝑦2 |𝛽) × … × 𝑓(𝑦𝑛 |𝛽) =

1 −𝑦𝛽1 1 −𝑦𝛽2 1 −𝑦𝛽3 1 −𝑦𝑛 𝑒 × 𝑒 × 𝑒 × ⋯× 𝑒 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽

∑ 𝑦𝑖 1 𝑛 = ( ) 𝑒𝑥𝑝 [− ] 𝛽 𝛽

2.5

Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah ∑ 𝑦𝑖 1 𝑛 𝑙𝑛[𝐿(𝛽)] = 𝑙𝑛 [( ) 𝑒𝑥𝑝 [− ]] 𝛽 𝛽 ∑ 𝑦𝑖 1 𝑛 = 𝑙𝑛 (( ) ) − 𝛽 𝛽 = 𝑛 𝑙𝑛(1) − 𝑛 𝑙𝑛(𝛽) − = −𝑛 𝑙𝑛(𝛽) −

∑ 𝑦𝑖 𝛽

∑ 𝑦𝑖 𝛽

Penduga kemungkinan maksimum dari 𝛽 adalah nilai yang memaksimumkan ln[𝐿(𝛽)], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap 𝛽, maka diperoleh 𝜕 ln[𝐿(𝛽)] =0 𝜕𝛽


−𝑛 ∑ 𝑦𝑖 + 2 =0 𝛽 𝛽 −𝑛𝛽 + ∑ 𝑦𝑖 =0 𝛽2 −𝑛𝛽 + ∑ 𝑦𝑖 = 0 𝛽̂ =

∑ 𝑦𝑖 𝑛

Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk 𝛽 adalah 𝛽̂ =

∑ 𝑦𝑖 𝑛

G. Metode Numerik Newton-Raphson Pendugaan parameter model regresi Binomial Negatif dilakukan dengan metode pendugaan kemungkinan maksimum. Proses untuk menemukan solusi dari turunan fungsi log-likelihood tidak dapat dilakukan secara langsung karena fungsi log-likelihood tidak linear dalam parameter yang ingin ditaksir sehingga membutuhkan metode numerik Newton-Raphson untuk menyelesaikannya. Metode Newton-Raphson adalah metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan dari suatu fungsi non-linear f(x)=0 dengan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Metode Newton-Rhapson yang diperoleh dari deret Taylor. Misalkan 𝑓 mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai pendekatan akarnya. Deret Taylor 𝑓 di sekitar 𝑥 = 𝑥𝑛 adalah 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )(𝑥 − 𝑥𝑛 ) +

𝑓"(𝑥𝑛 ) (𝑥 − 𝑥𝑛 )2 + ⋯ 2!


Untuk 𝑥 yang cukup dekat dengan 𝑥𝑛 maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan, maka akan diperoleh pendekatan 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )(𝑥 − 𝑥𝑛 ) Jika 𝑥 adalah akar dari 𝑓 maka 𝑓(𝑥) = 0 0 = 𝑓(𝑥𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )(𝑥 − 𝑥𝑛 ) −𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )(𝑥 − 𝑥𝑛 ) 𝑥 − 𝑥𝑛 = −

𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )

𝑥 = 𝑥𝑛 −

𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )

Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke 𝑛 + 1 metode Newton-Raphson adalah 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −

𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )

Contoh 2.2 Selesaikan persamaan 𝑥 3 − 𝑥 − 1 = 0 dengan menggunakan metode NewtonRaphson yang diketahui 𝑥0 = 1 dan toleransi adalah 10−7 Penyelesaian: Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 − 1 𝑥0 = 1 Toleransi = 10−7 Oleh karena itu, diperoleh 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 1 Skema iterasi ke 𝑛 + 1 metode Newton Raphson adalah 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −

𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )


Sehingga, Untuk 𝑛 = 0, diperoleh 𝑥0+1 = 𝑥0 − 𝑥1 = 1 −

𝑓(𝑥0 ) 𝑓 ′ (𝑥0 )

𝑥03 − 𝑥0 − 1 3𝑥02 − 1

13 − 1 − 1 3 =1− = = 1.5 312 − 1 2 3 𝑓 ( ) = 0.875 2 Untuk 𝑛 = 1, diperoleh 𝑥1+1 = 𝑥1 − 𝑥2 =

𝑓(𝑥1 ) 𝑓 ′ (𝑥1 )

3 𝑥13 − 𝑥1 − 1 − 2 3𝑥12 − 1

=

3 − 2

=

31 23

3 3 3 (2) − 2 − 1 3 2 3 (2) − 1

= 1.347826087 31 𝑓 ( ) = 0.1006821 23 Untuk 𝑛 = 2 diperoleh 𝑥2+1 = 𝑥2 − 𝑥3 = 𝑥2 −

𝑓(𝑥2 ) 𝑓 ′ (𝑥2 ) 𝑥23 − 𝑥2 − 1 3𝑥22 − 1


31 3 31 31 (23) − 23 − 1 = − 23 31 2 3 (23) − 1 = 1.325200399 𝑓(1.325200399) = 2.058362126 × 10−3 Untuk 𝑛 = 3 diperoleh 𝑥3+1 = 𝑥3 − 𝑥4 = 𝑥3 −

𝑓(𝑥3 ) 𝑓 ′ (𝑥3 ) 𝑥33 − 𝑥3 − 1 3𝑥32 − 1

= 1.325200399 −

(1.325200399)3 − 1.325200399 − 1 3(1.325200399)2 − 1 = 1.324718174

𝑓(1.324718174) = −1.04376 × 10−7 Untuk 𝑛 = 4 diperoleh 𝑥4+1 = 𝑥4 − 𝑥5 = 𝑥4 −

𝑓(𝑥4 ) 𝑓 ′ (𝑥4 ) 𝑥43 − 𝑥4 − 1 3𝑥42 − 1

= 1.324718174 −

(1.324718174)3 − 1.324718174 − 1 3(1.324718174)2 − 1 = 1.324717957

𝑓(1.324717957) = −1.04376 × 10−9 Sehingga akar dari persamaan 𝑥 3 − 𝑥 − 1 = 0 adalah 1.324717957 ≈ 1.324718.


H. Keluarga Eksponensial Suatu fungsi probabilitas yang tergantung pada suatu parameter 𝜃 dari suatu variable random 𝑌 dikatakan termasuk dalam keluarga eksponensial apabila dapat dituliskan sebagai 𝑓(𝑦; 𝜃, 𝜙) = exp {

𝑦𝑖 𝜃𝑖 − 𝑏(𝜃𝑖 ) + 𝑐(𝑦𝑖 ; 𝜙)} 𝛼𝑖 (𝜙)

2.6

Dengan: 𝜃𝑖 adalah parameter kanonik atau fungsi penghubung 𝑏(𝜃𝑖 ) adalah cumulant 𝛼(𝜙) adalah parameter skala, 𝛼(𝜙) = 1 jika merupakan model count dan diskrit 𝑐(𝑦𝑖 ; 𝜙) adalah suku normalisasi untuk menjamin bahwa total nilai fungsi probabilitas adalah 1 Bentuk keluarga eksponensial adalah unik karena turunan pertama dan turunan kedua dari cumulant terhadap 𝜃 akan menghasilkan mean dan variansi. Hal penting yang harus diingat adalah jika seseorang dapat mengkonversi sebuah fungsi probabilitas ke dalam bentuk keluarga eksponensial maka dapat dengan mudah menghitung mean dan variansi. Semua anggota model linear umum dapat dikonversi ke dalam bentuk eksponensial dengan 𝑏′(𝜃𝑖 ) = mean 𝑏"(𝜃𝑖 ) = variansi Macam-macam keluarga eksponensial antara lain adalah: 1. Distribusi Binomial Negatif 2. Distribusi Poisson 3. Distribusi Gamma


4. Distribusi Beta, dan 5. Distribusi Normal. Pada skripsi ini, penulis hanya akan mendeskripsikan bahwa distribusi Poisson dan distribusi Binomial adalah anggota keluarga eksponensial. Berikut akan ditunjukan bahwa 1.

Distribusi Poisson merupakan keluarga eksponensial Variabel random 𝑌 disebut berdistribusi Poisson jika dan hanya jika fungsi probabilitasnya sebagai berikut 𝑓(𝑦) = untuk

𝜆𝑦 𝑦!

𝑒 −𝜆 , 𝑦 = 0,1,2, … dan 𝜆 > 0

menunjukkan

bahwa

distribusi

Poisson

merupakan

keluarga

eksponensial maka persamaan di atas ditulis ke dalam bentuk persamaan 2.6 yaitu 𝑓(𝑦; 𝜃, 𝜙) = exp {


Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: a. Kedua ruas dari fungsi probabilitas distribusi Poisson di ubah dalam bentuk log diperoleh 𝜆𝑦 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑦)) = log ( 𝑒 −𝜆 ) 𝑦! log(𝑓(𝑦)) = 𝑦 log 𝜆 − 𝜆 − log(𝑥!)

2.7

b. Persamaan 2.7 diubah dalam bentuk eksponensial diperoleh 𝑓(𝑦) = 𝑒𝑥𝑝{𝑦 log 𝜆 − 𝜆 − log(𝑥!)}

2.8

Sehingga dari persamaan 2.8 diperoleh 𝜃 = log 𝜆 sehingga 𝜆 = 𝑒 𝜃 ; 𝑏(𝜃) = 𝑒 𝜃 , 𝛼𝑖 (𝜙) = 1; 𝑐(𝑦𝑖 ; 𝜙) = −log(𝑥!)


Sehingga turunan pertama dan turunan kedua dari 𝑏(𝜃) = 𝑒 𝜃 terhadap 𝜃 akan menghasilkan mean dan variansi sebagai berikut: 𝐸(𝑌) = =

𝜕(𝑏(𝜃)) 𝜕𝜃 𝜕(𝑒 𝜃 ) 𝜕𝜃

= 𝑒𝜃 =𝜆 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝛼𝑖 (𝜙) =

𝜕 2 (𝑏(𝜃)) 𝜕𝜃 2

𝜕 2 (𝑒 𝜃 ) 𝜕𝜃 2

= 𝑒𝜃 =𝜆 2.

Distribusi Binomial merupakan keluarga eksponensial Variabel random 𝑋 yang menyatakan banyaknya sukses pada 𝑛 kali percobaan Bernoulli berdistribusi Binomial yang diberikan dengan 𝑓(𝑥) yaitu 𝑛 𝑓(𝑥) = ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 untuk menunjukkan bahwa distribusi Binomial merupakan keluarga eksponensial maka persamaan di atas ditulis ke dalam bentuk persamaan 2.6 yaitu 𝑓(𝑦; 𝜃, 𝜙) = exp {


Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:


a. Kedua ruas dari fungsi probabilitas distribusi Binomial diubah dalam bentuk log diperoleh 𝑛 log(𝑓(𝑥)) = 𝑙𝑜𝑔 ( ) + 𝑥 𝑙 log 𝑝 + (𝑛 − 𝑥) log(1 − 𝑝) 𝑥

2.9

b. Persamaan 2.9 diubah dalam bentuk eksponensial diperoleh 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 {𝑥[log 𝑝 − log(1 − 𝑝)] + 𝑛 log(1 − 𝑝) + 𝑙𝑜𝑔 ( )} 𝑥 𝑝 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝 {𝑥 log ( ) + 𝑛 log(1 − 𝑝) + 𝑙𝑜𝑔 ( )} 𝑥 1−𝑝 𝑝

2.10 𝑝

Dari persamaan 2.10 diperoleh 𝜃 = log (1−𝑝) sehingga 𝑒 𝜃 = 1−𝑝 𝑒𝜃

−1

karena 𝑝 = 1+𝑒 𝜃 sehingga 1 − 𝑝 = (1 + 𝑒 𝜃 ) , 𝑏(𝜃) = 𝑛 log(1 + 𝑒 𝜃 ) 𝑛 dan 𝑐(𝑥; 𝜙) = 𝑙𝑜𝑔 ( ). 𝑥 Sehingga turunan pertama dan turunan kedua dari 𝑏(𝜃) = 𝑛 log(1 + 𝑒 𝜃 ) terhadap 𝜃 akan menghasilkan mean dan variansi sebagai berikut: 𝐸(𝑌) =

𝜕(𝑏(𝜃)) 𝜕𝜃

𝜕(𝑛 log(1 + 𝑒 𝜃 )) = 𝜕𝜃 𝑒𝜃 =𝑛 1 + 𝑒𝜃 = 𝑛𝑝 𝜕 2 (𝑏(𝜃)) 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝛼𝑖 (𝜙) 𝜕𝜃 2 𝜕 2 (𝑛 log(1 + 𝑒 𝜃 )) = 𝜕𝜃 2 𝑛𝑒 𝜃 = (1 + 𝑒 𝜃 )2


= 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

I.

Model Regresi Linear Berganda Model regresi linear berganda merupakan perluasan dari model regresi

linear sederhana. Regresi berganda seringkali digunakan untuk mengatasi permasalahan analisis regresi yang melibatkan hubungan dari dua atau lebih variable independen. Salah satu contoh penggunaan regresi berganda di bidang pertanian di antaranya ilmuwan pertanian menggunakan analisis regresi untuk mengetahui antara hasil pertanian (misal: produksi padi per hektar) dengan jenis pupuk yang digunakan, kualitas pupuk yang diberikan, jumlah hari hujan, suhu, lama penyinaran matahari, dan infeksi serangga. Sebuah model regresi berganda dapat menerangkan hubungan tersebut yaitu 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑥3𝑖 + 𝛽4 𝑥4𝑖 + 𝛽5 𝑥5𝑖 + 𝛽6 𝑥6𝑖 + 𝜀𝑖 Dengan 𝑌 menyatakan hasil pertanian, 𝑥1 menyatakan jenis pupuk yang digunakan, 𝑥2 menyatakan kuantitas pupuk yang diberikan , 𝑥3 menyatakan jumlah hari hujan, 𝑥4 menyatakan suhu, 𝑥5 menyatakan lama penyinaran matahari, dan 𝑥6 menyatakan infeksi serangga. Persamaan di atas adalah sebuah model regresi linear berganda dengan enam variable independen. Pada umumnya, variable dependen 𝑌 dapat dihubungkan pada 𝑝 variabelvariabel independen yang dapat ditulis dalam bentuk: 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑥3𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝𝑖 + 𝜀𝑖 Persamaan 2.11 merupakan sebuah model regresi linear berganda dengan: 𝑌 = variabel tak bebas

2.11


𝛽0 = intersep 𝛽𝑝 = koefisien regresi dari variabel bebas ke − 𝑝 𝜀𝑖 = galat (𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟) 𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑝 𝑥𝑝𝑖 = nilai variabel bebas ke − p pada pengamatan ke − i Persamaan 2.11 dapat dinayatakan dalam bentuk matriks menjadi:

1 𝑥11 𝑌1 1 𝑥12 𝑌 [ 2] = ⋮ ⋮ ⋮ 𝑌𝑛 [1 𝑥1𝑛

𝑥21 𝑥22 ⋮ 𝑥2𝑛

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

𝑥𝑝1 𝛽0 𝜀1 𝜀2 𝑥𝑝2 𝛽1 [ ]+[ ⋮ ] ⋮ ⋮ 𝜀𝑛 𝛽 𝑥𝑝𝑛 ] 𝑝

Matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut 𝒚 = 𝒙𝜷 + 𝜺 Dengan: 𝒚 = vektor kolom dari variabel tak bebas berordo (𝑛 × 1) 𝒙 = matriks dari variabel bebas berordo (𝑛 × (𝑝 + 1)) 𝜷 = vektor kolom dari parameter berordo ((𝑝 + 1) × 1) 𝜺 = vektor kolom dari galat berordo (𝑛 × 1)

J.

Jenis Data Penelitian

1. Data berdasarkan sumbernya Berdasrkan sumbernya, data penelitian dapat dikelompokkan dalam dua jenis, yaitu data primer dan data sekunder. a.

Data primer adalah data yang diperoleh atau dikumpulkan oleh peneliti secara langsung dari sumber data utama. Untuk mendapatkan data primer, peneliti


harus mengumpulkannya secara langsung. Teknik yang dapat digunakan peneliti untuk mengumpulkan data primer antara lain observasi, wawancara, dan penyebaran kuesioner. b.

Data sekunder adalah data yang diperoleh atau dikumpulkan oleh peneliti dari berbagai sumber yang telah ada. Data sekunder dapat diperoleh dari berbagai sumber seperti Biro Pusat statistik (BPS), buku, jurnal, dan lain-lain.

2.

Data berdasarkan bentuk dan sifatnya Berdasarkan bentuk dan sifanya, data penelitian dapat dibedakan dalam dua jenis yaitu data kualitatif dan data kuantitatif. Data kuantitaif dapat dikelompokkan berdasarkan cara untuk mendapatkannya, yaitu data diskrit dan data kontinu. Berdasarkan sifatnya, data kuantitatif terdiri atas data nominal, data ordinal, data interval dan data rasio. 1.

Data kualitatif Data kualitatif adalah data yang berbentuk kata-kata, bukan dalam bentuk angka. Data kualitatif diperoleh melalui berbagai macam teknik pengumpulan data misalnya wawancara, analisis dokumen, dan lainnya.

2.

Data kuantitatif Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Sesuai dengan bentuknya, data kuantitatif dapat diolah atau dianalisis menggunakan teknik perhitungan matematika atau statistika. Berdasarkan proses atau cara untuk mendapatkannya, data kuantitatif dapat dikelompokkan dalam dua bentuk yaitu sebagai berikut:


a.

Data diskrit adalah data dalam bentuk angka (bilangan) yang diperoleh dengan cara membilang. Contohnya jumlah Sekolah Dasar Negeri di Kecamatan X adalan 20.

b.

Data kontinu adalah data dalam bentuk angka/ bilangan yang diperoleh berdasarkan hasil pengukuran. Data kontinu dapat berbentuk bilangan bulat atau pecahan tergantung jenis skal pengukuran yang digunakan. Contohnya tinggi badan Budi adalah 150.5 centimeter. Berdasarkan tipe skala pengukuran yang digunakan, data kuantitatif dapat dikelompokkan dalam empat jenis yang memiliki sifat berbeda yaitu: 1) Data nominal atau sering disebut juga data kategori adalah data yang diperoleh melalui pengelompokkan obyek berdasrkan kategori tertentu. Perbedaan kategori obyek hanyalah menunjukkan perbedaan kualitatif. Walaupun data nominal dapat dinyatakan dalam bentuk angka, namun angka tersebut tidak memiliki urutan atau makna matematis sehingga tidak dapat digunakan untuk menganalisis data nominal. Contohnya jenis kelamin yang terdiri dari dua kakategori yaitu laki-laki (0) dan perempuan (1), angka 0, dan 1 hanyalah simbol yang digunakan untuk membedakan dua kategori jenis kelamin. Angka-angka tersebut tidak memilki makna kuantitatif artinya angka (1) pada data di atas tidak berarti lebih besar dari angka (0), karena laki-laki tidak memiliki makna lebih besar dari perempuan. Contoh lainnya dalah status pernikahan yang


terdiri dari empat kategori yatu (1) belum menikah (2) menikah (3) janda/duda (4) bercerai. Data tersebut memiliki sifat-sifat yang sama dengan data tentang jenis kelamin. 2) Data ordinal adalah data yang berasal dari suatu objek atau kategori yang telah disusun secara berjenjang menurut besarnya. Setiap data ordinal memiliki tingkatan tertentu yang dapat diurutkan mulai dari yang terendah sampai tertinggi ataupun sebaliknya. Namun demikian, jarak atau rentang antar jenjang tidak harus sama. Dibandingkan dengan data nominal, data ordinal memiliki sifat berbeda dalam hal urutan. Data ordinal berlaku perbandingan dengan menggunakan simbol " > " dan " < ". Contohnya peringkat siswa dalam satu kelas yang menunjukkan urutan prestasi belajar tertinggi sampai terendah. Siswa pada peringkat (1) memiliki prestasi belajar lebih tingi dari pada siswa peringkat (2). 3) Data interval adalah data hasil pengukuran yang dapat diurutkan atas dasar kriteria tertentu serta menunjukan semua sifat yang dimiliki oleh data ordinal. Kelebihan sifat data interval dibandingkan dengan data ordinal adalah memiliki sifat kesamaan jarak. Data interval dapat dilakukan operasi matematik penjumlahan dan pengurangan (+, −). Namun demikian masih terdapat satu sifat yang belum dimiliki yaitu tidak adanya angka nol mutlak pada data interval. 4) Data rasio adalah data yang berbentuk angka dalam arti sesungguhnya karena dilengkapi dengan titik nol absolut sehingga


dapat diterapkan semua bentuk operasi matematik (+, −, ×, ∶). Contohnya panjang suatu benda yang dinyatakan dalam ukuran meter adalah data rasio. Benda yang panjangnya 1 meter berbeda secara nyata dengan benda yang panjangnya 2 meter sehingga dapat dibuat kategori benda yang berukuran 1 meter dan 2 meter (sifat data nominal). Ukuran panjang benda dapat diurutkan mulai dari yang terpanjang sampai yang terpendek (sifat data ordinal). Perbedaan antar benda yang panjangnya 1 meter dengan 2 meter memiliki jarak yang sama dengan perbedaan antar benda yang panjangnya 2 meter dengan 3 (sifat data interval). Kelebihan sifat yang dimiliki data rasio ditunjukkan oleh dua hal yaitu: (1) Angka 0 meter menunjukkan nilai mutlak yang artinya tidak ada benda yang diukur; serta (2) benda yang panjangnya 2 meter, 2 kali lebih panjang dibandingkan dengan benda yang panjangnya 1 meter yang menunjukkan berlakunya semua operasi matematik. Kedua hal tersebut tidak berlaku untuk jenis data nominal, data ordianal, maupun data interval.

K. Model Count Respon Model count respon adalah bagian dari model regresi dengan variabel respon diskrit. Variabel respon diskrit dapat berupa data count yaitu data dengan nilai bilangan bulat non-negatif. Contoh model diskrit adalah sebagai berikut: 

Model regresi logistik biner dan regresi probit




Model regresi Poisson dan Regresi Binomial Negatif

1.

Model regresi logistik biner dan regresi probit

a.

Regresi Logistik Biner Regresi logistik merupakan teknik statistik yang tepat digunakan ketika variabel dependen berbentuk diskrit/kategorial (non-metrik) dan variabel independen dapat berbentuk metrik atau non-metrik. Dengan kata lain, regresi logistik merupakan model yang dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara beberapa variabel independen dengan sebuah variabel dependen yang bersifat dikotomi. Untuk membedakan antara model regresi logistik dengan model regresi linear dapat dilihat pada variabel dependennya. Pada regresi logistik, variabel dependen

berbentuk biner atau dikotomi

sedangkan pada regresi linear variabel dependen diasumsikan kontinu. Contoh apakah seseorang akan membeli barang ilegal (ya atau tidak), dengan variabel prediktornya adalah tingkat pendidikan, tingkat pendapatan, dan status perkawinan? Jadi regresi logistik biner digunakan ketika variabel dependen adalah dikotomi sedangkan variabel independen dapat berbagai tipe. Definisi 2.17 Model regresi logistik dengan 𝑝 variabel bebas adalah sebagai berikut: 𝑒 𝑔(𝑿) 𝜋(𝑿) = 1 + 𝑒 𝑔(𝑿) dengan, 𝑔(𝑿) = 𝛽0 + ∑𝑝𝑗=1 𝛽𝑗 𝑥𝑗 𝛽𝑗 koefisien regresi dari variabel bebas ke-j, 𝑥𝑗 adalah nilai variabel bebas ke-j dari sejumlah p variable bebas dan 𝛽0 adalah konstanta.


b. Regresi Probit Regresi probit sebenarnya serupa dengan regresi logistik yaitu dapat digunakan untuk menganalisis variabel dependen yang bersifat kategori, namun pada regresi probit variabel dependen diasumsikan berdistribusi normal. Jadi, regresi logitik berdasarkan pada asumsi variabel dependen bersifat kategori (variabel kualitatif ) serta menggunakan distribusi Binomial dan regresi probit mengasumsikan variabel dependen yang bersifat kategori (variabel kuantitatif) dan menggunakan distribusi kumulatif normal. Definisi 2.18 Model regresi probit dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽𝑖 𝑥𝑖 + 𝜀 Dengan 𝑌 adalah variabel dependen berdistribusi normal, 𝛽0 merupakan intersep yang tidak diketahui, 𝛽𝑖 = (𝛽1 , 𝛽2 , ⋯ , 𝛽𝑝 ) adalah parameter koefisien, 𝑥𝑖 = (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑝 ) adalah variabel independen dan 𝜀 adalah galat yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi 𝜎 2. 2. Model regresi Poisson dan Regresi Binomial Negatif Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas tentang model count. Semua model count bertujuan untuk menjelaskan banyaknya kejadian dalam interval waktu, ruang, atau volume tertentu dari suatu peristiwa. Ketika variabel dependen berupa data count, maka analisis regresi yang biasa digunakan adalah analisis regresi Poisson.


Pada umumnya, distribusi Poisson merupakan suatu model yang realistis untuk berbagai macam fenomena acak selama nilai dari peubah acak Poisson berupa bilangan bulat non-negatif. Misalkan banyaknya kecelakaan mobil setiap bulan, banyaknya hujan badai setiap tahun, dan kasus lainnya. Pada model Regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi yaitu variansi dari variabel responnya sama dengan mean atau disebut ekuidispersi. Pada kenyataannya asumsi ini sangat jarang terjadi karena data count memiliki variansi yang lebih besar dari meannya atau disebut overdispersi. Dalam kondisi seperti ini model regresi Binomial Negatif merupakan salah satu alternatif yang tepat untuk mengatasinya. Model regresi Binomial Negatif memiliki kegunaan yang sama dengan model regresi Poisson yaitu untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel respon data count dengan satu atau lebih variabel independen, tetapi model regresi Binomial Negatif lebih fleksibel dibandingkan dengan model Regresi Poisson karena asumsi mean dan variansi dari model Regresi Binomial Negatif tidak harus sama. Menurut Hilbe (2011) ada dua pendekatan dasar untuk mengestimasi model data count yaitu 1. Pendugaan Kemungkinan Maksimum 2. Iteratively re-weighted least squares (IRLS) Dalam skripsi ini, penulis mengestimasi model data count dengan menggunakan pendugaan kemungkinan maksimum.


L. Uji Kolmogorov-Smirnov Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data (atau variabel random). Oleh karena itu, dalam skripsi ini untuk mengetahui apakah sampel berdistribusi Poisson akan digunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Uji Kolmogorov-Smirnov adalah suatu uji goodness of fit test (kecocokan), artinya yang diperhatikan adalah tingkat kesesuaian antara sebaran dari serangkaian nilai sampel yang diobservasi dengan suatu distribusi teoritis tertentu. Dalam uji Kolmogorov-Smirnov, pengujian dilakukan pada dua buah fungsi sebaran kumulatif, yaitu sebaran kumulatif yang hipotesiskan dan sebaan kumulatif yang diamati. Misalkan diambil sebuah sampel acak dari suau fungsi sebaran 𝐹(𝑋) yang belum diketahui, akan dipastikan apakah dapat disimpulkan bahwa 𝐹(𝑥) = 𝐹0 (𝑋) untuk semua 𝑥, dengan 𝐹0 (𝑋) adalah fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan. Misalkan variabel random 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 berasal dari distribusi yang tidak diketahui 𝐹(𝑥), akan diuji hipotesis bahwa 𝐹(𝑥) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu 𝐹0 (𝑥). Definisi 2.19 Misalkan 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris 𝐹̂𝑛 (𝑥) di definisikan sebagai 𝐹̂𝑛 (𝑥) = 𝐼{𝑥𝑖 ≤𝑥} adalah fungsi indikator

𝑛 𝑖 ∑ 𝐼{𝑥𝑖 ≤𝑥} 𝑛 𝑖=1


𝐼={

1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥𝑖 ≤ 𝑥 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥𝑖 > 𝑥

Definisi 2.20 Statistik uji Kolmogorov-Smirnov 𝐷𝑛 di definisikan sebagai 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) 𝐷+ = max[𝐹̂𝑛 (𝑥) − 𝐹0 (𝑥)] 𝐷− = max[𝐹0 (𝑥) − 𝐹̂𝑛−1 (𝑥)] Dengan 𝐹̂𝑛 (𝑥) adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui 𝐹(𝑥). Hipotesis uji Kolmogorov-Smirnov adalah 𝐻0 : 𝐹(𝑥) = 𝐹0 (𝑥) untuk setiap 𝑥 dengan 𝐹0 adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan 𝐻1 : 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0 (𝑥) Jika 𝐷𝑛 lebih dari 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 yang diberikan oleh tabel Kolmogorov-Smirnov maka 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼. Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Poisson adalah sebagai berikut: 1. 𝐻0 = data berdistribusi Poisson 𝐻1 = data tidak berdistribusi Poisson 2. Tentukan tingkat signifikansi 𝛼 3. Statistik uji 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷− ) 4. Hitunglah 𝐹0 (𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Poisson


5. Berdasarkan Definisi 2.19 hitunglah fungsi distribusi empiris 𝐹̂𝑛 (𝑥) 6. Berdasarkan Definisi 2.20 hitunglah nilai 𝐷+ dan 𝐷− , dan tentukan maksimum dari 𝐷 (𝐷 = maksimum(𝐷+ , 𝐷− ) 7. Daerah keputusan : 𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷 𝛼 8. Kesimpulan Untuk memudahkan perhitungan, uji Kolmogorov-Smirnov dapat dilakukan dengan SPSS. Contohnya dapat dilihat dalam contoh 2.4 berikut ini: Contoh 2.4 Berikut adalah data suatu sampe acak. Akan diuji apakah datanya berdistribusi Poisson? Table 2.1 Data suatu sampel acak Data

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

0

1

Uji hipotesis: 1.

𝐻0 = data berdistribusi Poisson 𝐻1 = data tidak berdistribusi Poisson

2.

Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05

3. Daerah penolakan Asymp.Sig.(2-tailed)< 𝛼 maka 𝐻0 ditolak


Table 2.2 Hasil Pengujian Kolmogorov-Smirnov One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Data N Poisson Parametera,,b Most Extreme Differences

Mean Absolute Positive Negative

Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. 4.

16 3.06 .247 .247 -.117 .990 .281

Dari hasil uji Kolmogorov-Smirnov di atas tampak bahwa nilai Asymp.Sig.(2tailed) adalah 0.281. jadi, Asymp.Sig.(2-tailed)> 𝛼. Dengan demikian berarti 𝐻0 diterima. Jadi, dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson.


BAB III PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF

A. Model Regresi Poisson Berganda Model regresi Poisson Berganda merupakan perluasan dari model regresi Poisson sederhana, dengan model regresi Poisson Berganda akan diketahui hubungan antara sebuah variabel dependen 𝑌 yang bersifat diskrit, bernilai bulat tak negatif dan berdistribusi Poisson dengan 𝑝 buah variabel independen 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, ⋯, 𝑋𝑝 yang berjenis diskrit, kontinu atau kategorik. Model regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data diskrit yang variabel dependennya berdistribusi Poisson, yang memiliki rata-rata dan variansi sama dengan 𝜆 > 0. Bila diberikan variabel dependen 𝑌 berdistribusi Poisson dengan 𝑝 variabel independen 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, ⋯, 𝑋𝑝 , persamaan regresi 𝑌 dengan 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, ⋯, 𝑋𝑝 dinyatakan seperti persamaan 2.11, maka nilai harapan 𝑌 dengan 𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯, 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 sebagai berikut 𝐸(𝑌| 𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 ) = 𝐸(𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑥3𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝𝑖 + 𝜀𝑖 |𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 )

50


= 𝐸(𝛽0 |𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 ) + 𝐸(𝛽1 𝑋1𝑖 |𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 ) + ⋯ + 𝐸(𝛽𝑝 𝑋𝑝𝑖 |𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 ) + 𝐸(𝜀𝑖 |𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 ) dengan asumsi bahwa 𝐸(𝜀𝑖 |𝑋𝑖 ) = 0, maka = 𝛽0 + 𝛽1 𝐸(𝑋1𝑖 |𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 ) + ⋯ + 𝛽𝑝 𝐸(𝑋𝑝𝑖 |𝑋1𝑖 = 𝑥1𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑥2𝑖 , 𝑋3𝑖 = 𝑥3𝑖 , ⋯ , 𝑋𝑝𝑖 = 𝑥𝑝𝑖 ) + 0 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝𝑖

3.1

Dikarenakan 𝑌|𝑋𝑝𝑖 berdistribusi Poisson, maka nilai rata-ratanya 𝐸(𝑌|𝑋𝑝𝑖 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝𝑖 = 𝜆 harus bernilai tak negatif (dalam interval (𝑜, ∞)), padahal telah diketahui bahwa nilai regresi 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝𝑖 ada dalam interval (−∞, ∞). Oleh karena itu, diperlukan fungsi penghubung (link function) 𝑔 yang dapat membuat 𝜆 memiliki nilai dalam interval (𝑜, ∞), yaitu dengan fungsi penghubung logaritma (logarithm link), sehingga 𝑔(𝜆) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝𝑖

3.2

𝑔 merupakan fungsi logaritma, sehingga model regresi Poisson menjadi ln(𝜆) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑝𝑖

3.3

Atau persamaan 3.3 dapat juga dinyatakan dengan 𝜆 = exp(𝒙′𝒊 𝜷)

3.4

Model regresi Poisson merupakan regresi non-linear yang termasuk keluarga eksponensial.


Parameter 𝜷 dalam model regresi Poisson dapat diduga dengan salah satu metode penduga yaitu metode penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation). Fungsi peluang dari distribusi Poisson adalah 𝑝(𝑦|𝜆) =

𝜆𝑦 𝑦!

𝑒 −𝜆 , 𝑦 = 0,1,2, … dan 𝜆 = exp(𝒙′𝒊 𝜷) sehingga (exp(𝒙′𝒊 𝜷))𝑦 exp(− exp(𝒙′𝒊 𝜷)) 𝑝(𝑦|𝜆) = 𝑦! =

exp(−exp(𝒙′𝒊 𝜷))(exp(𝑦𝒙′𝒊 𝜷) 𝑦!

Berdasarkan persamaan 2.3 diperoleh fungsi likelihood berikut: 𝐿(𝛽) = 𝑝(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 |𝑥11 , ⋯ , 𝑥𝑝𝑖 ; 𝜷) 𝑛

= ∏ 𝑝(𝑦𝑖 |𝑥𝑝𝑖 ; 𝜷) 𝑖=1 𝑛

=∏ 𝑖=1

exp(−exp(𝒙′𝒌𝒊 𝜷))(exp(𝑦𝑖 𝒙′𝒌𝒊 𝜷) 𝑦!

Untuk mendapatkan penduga kemungkinan maksimum dari 𝛽, digunakan fungsi log-likelihood sebagai berikut: 𝑛

ln 𝐿(𝛽) = 𝑙𝑛 ∏ 𝑖=1

exp(− exp(𝒙′𝒌𝒊 𝜷))(exp(𝑦𝑖 𝒙′𝒌𝒊 𝜷) 𝑦!

𝑛

=

𝑙𝑛 ∏ exp(− exp(𝒙′𝒌𝒊 𝜷)) 𝑖=1

𝑛

+

𝑙𝑛 ∏(exp(𝑦𝑖 𝒙′𝒌𝒊 𝜷) 𝑖=1

𝑛

− 𝑙𝑛 ∏ 𝑦! 𝑖=1


𝑛

= ∑ − exp(𝒙′𝒌𝒊 𝜷) 𝑖=1 𝑛

+ ∑ 𝑦𝑖 𝒙′𝒌𝒊 𝜷 𝑖=1 𝒏

𝒏

− ∑ 𝑙𝑛(𝑦!) = ∑(− exp(𝒙′𝒌𝒊 𝜷) + 𝑦𝑖 𝒙′𝒌𝒊 𝜷 − 𝒍𝑛(𝑦!)) 𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

̂ , dapat Memaksimalkan nilai untuk 𝜷, untuk mendapatkan penduganya yaitu 𝜷 dilakukan dari 𝑝 turunan pertama dari fungsi log-likelihood dan turunannya sama dengan nol. ̂ dari persamaan diatas dapat diperoleh dengan Penduga parameter 𝜷 𝒏

𝜕𝑙𝑛𝐿(𝛽) 𝜕 = [∑(− exp(𝒙′𝒌𝒊 𝜷) + 𝑦𝑖 𝒙′𝒌𝒊 𝜷 − 𝒍𝑛(𝑦!))] = 0 𝜕𝛽 𝜕𝛽 𝒊=𝟏

𝑛

∑(𝑦𝑖 − exp(𝒙′𝒌𝒊 𝜷))𝒙′𝒌𝒊 = 0

3.5

𝑖=1

Karena persamaan di atas tidak linear, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pendekatan metode numeris misalnya metode Newton-Raphson. ̂ dari model regresi Poisson dapat diperoleh dengan metode Secara umum, 𝜷 Newton-Raphson sebagai berikut: ̂ 𝒏+𝟏 = 𝜷 ̂ 𝒏 − [𝐻(𝜷 ̂ 𝒏 )]−𝟏 𝒈(𝜷 ̂ 𝒏) 𝜷

3.6

Dengan 𝑔 menyatakan gradien persamaan 3.5, 𝐻 adalah matriks Hessian, yaitu ̂ 𝟏 menyatakan nilai awal. matriks turunan kedua dari fungsi log-likelihood, dan 𝜷


̂ dapat diduga dengan menggunakan program SPSS atau Dalam skripsi ini, 𝜷 program R.

B. Overdispersi dan regresi Binomial Negatif Variabel respon yang berupa data count biasanya dianalisis dengan menggunakan regresi Poisson yang memiliki asumsi mean dan variansi sama. Pada kenyataannya, kondisi seperti ini sangat jarang terjadi karena biasanya data count memiliki variansi yang lebih besar dari mean atau disebut dengan kondisi overdispersi. Overdispersi dalam regresi Poisson dapat mengakibatkan galat standar dari dugaan parameter regresi yang dihasilkan memiliki kecenderungan untuk menjadi lebih rendah dari seharusnya sehingga menghasilkan kesimpulan yang tidak sesuai dengan data. Overdispersi pada data count dapat diindikasikan dengan nilai devians dan pearson chi-squares yang dibagi dengan derajat bebasnya. Jika kedua nilai tersebut lebih dari 1, maka dikatakan terjadi overdispersi pada data. Terdapat dua cara yang dapat digunakan untuk mendeteksi overdispersi, yaitu: 1. Devians Definisi 3.1 Nilai devians dapat ditulis dalam bentuk 𝑛

𝑦𝑖 𝐷2 = 2 ∑ {𝑦𝑖 𝑙𝑛 ( ) − (𝑦𝑖 − 𝜇̂ 𝑖 )} 𝜇̂ 𝑖 𝑖=1


𝜙1 =

𝐷2 ; 𝑑𝑏

Dengan 𝑑𝑏 = 𝑛 − 𝑘 dengan 𝑘 merupakan banyaknya parameter termasuk konstanta, 𝑛 merupakan banyaknya pengamatan dan 𝐷2 adalah nilai Devians. 2. Pearson Chi-squares Definisi 3.2 Nilai Pearson Chi-squares dapat ditulis dalam bentuk 𝑛 2

𝜒 = 2∑ 𝑖=1

(𝑦𝑖 − 𝜇𝑖 )2 𝑣𝑎𝑟(𝑦𝑖 )

𝜒2 𝜙2 = ; 𝑑𝑏 Dengan 𝑑𝑏 = 𝑛 − 𝑘 dengan 𝑘 merupakan banyaknya parameter termasuk konstanta, 𝑛 merupakan banyaknya pengamatan dan 𝜒 2 adalah Pearson Chisquares. Jadi, jika 𝜙1 atau 𝜙2 bernilai lebih dari 1 maka terjadi overdispersi pada data. Oleh karena itu, Model Binomial negatif merupakan alternatif yang sering digunakan untuk kasus overdispersi pada regresi Poisson. Model regresi binomial negatif memiliki kegunaan yang sama dengan model regresi Poisson yaitu untuk menganalisis hubungan antara suatu variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen, tetapi model regresi Binomial Negatif lebih fleksibel dibandingkan dengan model Poisson karena asumsi mean dan variansi dari model Binomial Negatif tidak harus sama. Model ini juga memiliki parameter dispersi yang berguna untuk menggambarkan variasi dari data yang biasa dinotasikan dengan k. Model Binomial Negatif yang akan


digunakan adalah Model Binomial Negatif yang merupakan model campuran antara distribusi Poisson dan Gamma. Distribusi Gamma digunakan untuk menyesuaikan kehadiran overdispersi dalam model Poisson. Definisi 3.3 Fungsi probabilitas dari suatu variabel acak Y yang berdistribusi Binomial Negatif adalah sebagai berikut: 1 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 𝑓(𝑦) = ( ) ( ) , 𝑦 = 0, 1, 2, … 1 1 + 𝑘𝜇 Γ ( ) 𝑦! 1 + 𝑘𝜇 𝑘 Jika 𝑘 sama dengan nol, nilai rata-rata dan variansi akan sama, 𝐸(𝑌𝑖 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑖 ), akan menjadi distribusi Poisson. Jika 𝑘 > 0, variansi akan melebihi nilai rata-rata, 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑖 ) > 𝐸(𝑌𝑖 ), dan distribusi memungkinkan overdispersi.

C. Binomial Negatif sebagai keluarga Eksponensial Salah satu keluarga dari beberapa distribusi probabilitas yang sering dijumpai adalah keluarga eksponensial. Keuntungan dari suatu distribusi probabilitas yang termasuk anggota keluarga eksponensial adalah kemudahan dalam mengidentifikasi beberapa ukuran distribusi, salah satunya adalah mean sebagai parameter lokasi dan variansi sebagai nuisance parameter. Berikut adalah definisi dari suatu distribusi yang merupakan anggota keluarga eksponensial. Misalkan variabel acak 𝑌 memiliki distribusi probabilitas yang bergantung pada parameter 𝜃 yang dianggap sebagai parameter lokasi dan terdapat parameter lain yaitu 𝜙 yang disebut nuisance parameter. Berdasarkan Hilbe (2011),


distribusi dari 𝑌 merupakan anggota dari keluarga eksponensial jika fungsi probabilitasnya memiliki bentuk seperti persamaan 2.6. Berikut akan ditunjukkan bahwa distribusi Binomial Negatif merupakan salah satu anggota dari keluarga eksponensial. Misalkan 𝑌 adalah suatu varibel acak yang berdistribusi Binomial Negatif dengan parameter 𝑘 dan 𝜇 dengan fungsi probabilitas 1 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 𝑓(𝑦) = ( ) ( ) 1 1 + 𝑘𝜇 Γ ( ) 𝑦! 1 + 𝑘𝜇 𝑘 Dengan menganggap 𝜇 sebagai parameter lokasi dan k sebagai nuisance parameter, maka akan diperoleh: 1 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 𝑓(𝑦) = ( ) ( ) 1 1 + 𝑘𝜇 Γ ( ) 𝑦! 1 + 𝑘𝜇 𝑘 1 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 = exp 𝑙𝑛 (( )( ) ( ) ) 1 1 + 𝑘𝜇 1 + 𝑘𝜇 Γ ( ) 𝑦! 𝑘 ( ) 1 Γ (𝑦 + ) 𝑘 + 𝑦 𝑙𝑛 ( 𝑘𝜇 ) + 1 𝑙𝑛 ( 1 )) = 𝑒𝑥𝑝 𝑙𝑛 ( 1 1 + 𝑘𝜇 𝑘 1 + 𝑘𝜇 Γ ( ) 𝑦! 𝑘 ( ) 1 Γ (𝑦 + ) 𝑘𝜇 𝑘 ) + 1 𝑙𝑛 ( 1 ))) = 𝑒𝑥𝑝 (𝑦 ln (( ) + 𝑙𝑛 ( 1 1 + 𝑘𝜇 𝑘 1 + 𝑘𝜇 Γ ( ) 𝑦! 𝑘 Persamaan 3.7 dapat ditulis kedalam bentuk persamaan 2.6 dengan

3.7


𝜃 = 𝑙𝑛 (

𝑘𝜇 ) 1 + 𝑘𝜇

𝛼(𝜙) = 1 1 𝜏 (𝑦 + ) 𝑘 𝑐(𝑦; 𝜃) = 𝑙𝑛 ( ) 1 𝜏 ( ) 𝑦! 𝑘 1 1 𝑏(𝜃) = − 𝑙𝑛 ( ) 𝑘 1 + 𝑘𝜇 Sehingga terbukti bahwa distribusi binomial negatif merupakan anggota dari keluarga eksponensial. Telah disebutkan sebelumnya bahwa salah satu keuntungan dari anggota keluarga eksponensial adalah mean dan variansi dari distribusi tersebut dapat diidentifikasi dengan mudah, sehingga berdasarkan Hilbe (2011) yaitu a. 𝑏′(𝜃) akan menghasilkan mean b. 𝑏"(𝜃)𝛼(𝜙) akan menghasilkan variansi Jadi, akan dicari mean dan variansi dari variabel random yang berdistribusi binomial negatif dengan menggunakan salah satu sifat dari keluarga eksponensial tersebut. Sebelum memperoleh mean dan variansi dari distribusi Binomial Negatif, dapat didefenisikan bahwa: 𝑔(𝜇) = 𝜃 𝑘𝜇 = 𝑙𝑛 ( ) 1 + 𝑘𝜇 = −𝑙𝑛 ( Sehingga

1 + 1) 𝑘𝜇


1 1 1 1 −𝑙𝑛 ( + 1) = 𝜃 ⟺ ( + 1) = 𝑒 −𝜃 ⟺ = 𝑒 −𝜃 − 1 ⟺ 𝜇 = 𝑘𝜇 𝑘𝜇 𝑘𝜇 𝑘(𝑒 −𝜃 − 1) dan diperoleh 𝑔− (𝜃) = 𝜇 =

1 𝑘(𝑒 −𝜃 − 1)

= [𝑘(𝑒 −𝜃 − 1)]−1 Fungsi cumulant yaitu 1 1 𝑏(𝜃) = − 𝑙𝑛 ( ) 𝑘 1 + 𝑘𝜇 =

1 ln(1 + 𝑘𝜇) 𝑘

sehingga akan diperoleh mean dan variansi dari binomial negatif sebagai berikut: 1. Mean 𝑏 ′ (𝜃) =

𝜕𝑏 𝜕𝜇 𝜕𝜇 𝜕𝜃

=

1 𝑘 −2 (−1)(𝑎𝑒 −𝜃 − 𝑎) (−𝑎𝑒 −𝜃 ) 𝑘 1 + 𝑘𝜇

=

1 −2 (𝑎𝑒 −𝜃 − 𝑎) (𝑎𝑒 −𝜃 ) 1 + 𝑘𝜇

Karena 𝜇 = [𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘]−1 maka 𝑘𝑒 −𝜃 = 𝜇 −1 + 𝑘 sehingga diperoleh 𝑏 ′ (𝜃) = =

1 𝜇 2 (𝜇−1 + 𝑘) 1 + 𝑘𝜇 1 𝜇(1 + 𝑘𝜇) 1 + 𝑘𝜇

=𝜇


2. Variansi Karena 𝛼(𝜙) = 1, maka variansi dari 𝑌 hanya turunan kedua dari cumulant terhadap 𝜃 yaitu sebagai berikut: 𝜕 2 𝑏 𝜕𝜇 2 𝜕𝑏 𝜕 2 𝜇 ( ) + 𝜕𝜇 2 𝜕𝜃 𝜕𝜇 𝜕𝜃 2

𝑏 " (𝜃) = 𝜕2 𝑏

𝜕2 𝜇

Sebelumnya akan dicari 𝜕𝜇2 dan 𝜕𝜃2

𝜕 2 𝑏 𝜕(1 + 𝑘𝜇)−1 −𝑘 = = −𝑘(1 + 𝑘𝜇)−2 = 2 (1 + 𝑘𝜇)2 𝜕𝜇 𝜕𝜇 −2

(𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘) (𝑘𝑒 −𝜃 ) = 𝜇 2 (𝜇 −1 + 𝑘) = 𝜇 + 𝑘𝜇 2 = (𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘)

−1

+ 𝑘(𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘)

−2

Sehingga diperoleh 𝜕 2 𝜇 𝜕 [(𝑘𝑒 = 𝜕𝜃 2

−𝜃

− 𝑘)

−1

−2

+ 𝑘(𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘) ]

𝜕𝜃 −2

= (𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘) (𝑘𝑒 −𝜃 ) + (−2𝑘)(𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘) −2

−3

−3

(−𝑘𝑒 −𝜃 )

= (𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘) (𝑘𝑒 −𝜃 ) + (2𝑘)(𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘) (𝑘𝑒 −𝜃 ) = (𝑘𝑒 −𝜃 ) [(𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘)

−2

= (𝜇 −1 + 𝑘)(𝜇 2 + 2𝑘𝜇 3 ) = (𝜇 −1 + 𝑘)𝜇(𝜇 + 2𝑘𝜇 2 ) = (1 + 𝑘𝜇)(𝜇 + 2𝑘𝜇 2 ) Sehingga turunan kedua dari 𝑏(𝜃) terhadap 𝜃 adalah 𝑏 " (𝜃) =

𝜕 2 𝑏 𝜕𝜇 2 𝜕𝑏 𝜕 2 𝜇 ( ) + 𝜕𝜇 2 𝜕𝜃 𝜕𝜇 𝜕𝜃 2

−3

+ (2𝑘)(𝑘𝑒 −𝜃 − 𝑘) ]


=

−𝑘 1 2 (1 + 𝑘𝜇)(𝜇 + 2𝑘𝜇 2 ) (𝜇(1 + 𝑘𝜇)) + (1 + 𝑘𝜇)2 1 + 𝑘𝜇

= −𝑘𝜇 2 + (𝜇 + 2𝑘𝜇 2 ) = 𝜇 + 𝑘𝜇 2 Jadi, mean dan variansi dari Binomial Negatif secara berturut-turut adalah 𝜇 dan 𝜇 + 𝑘𝜇 2.

D. Model Regresi Binomial Negatif Dalam berbagai eksperimen, seringkali data count yang merupakan objek penelitian (variabel dependen 𝑌) dipengaruhi oleh sejumlah variabel independen. Variabel dependen 𝑌 menyatakan banyaknya kejadian yang diamati pada suatu populasi tertentu. Untuk mengetahui hubungan antara kedua variabel tersebut, maka dapat digunakan suatu model regresi yang didasarkan pada distribusi Binomial Negatif. Salah satu tujuan dari analisis regresi adalah untuk menentukan pola hubungan antara variabel dependen dengan variable independen 𝑋1 , 𝑋2, 𝑋3, ⋯, 𝑋𝑝 .Oleh karena itu, dalam regresi Binomial Negatif hubungan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk 𝐸(𝑌𝑖 |𝑋𝑖 ) = 𝜇𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖1 + 𝛽2 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑖𝑝

3.8

atau dapat dinyatakan dalam notasi matriks 𝐸(𝑌𝑖 |𝑋𝑖 ) = 𝜇𝑖 = 𝒙′𝑖 𝜷

3.9

Nilai dari 𝒙′𝑖 𝜷 pada persamaan di atas dapat bernilai real, sehingga memungkinkan munculnya nilai negatif. Sebagaimana diketahui bahwa ekspektasi


dari distribusi Binomial Negatif harus bernilai positif sehingga perlu dilakukan trasformasi sedemikian sehingga bentuk hubungan antara 𝜇𝑖 dan 𝒙′𝑖 𝜷 menjadi tepat. Hilbe (2011) menyatakan bahwa model Binomial Negatif pada umumnya menggunakan fungsi penghubung logaritma atau log link yaitu η𝑖 = ln(𝜇𝑖 ) = 𝒙′𝑖 𝜷 Fungsi η𝑖 = ln(𝜇𝑖 ) disebut sebagai fungsi link, yaitu fungsi yang menghubungkan 𝜇𝑖 dengan prediktor linear 𝒙′𝑖 𝜷. Oleh sebab itu, model regresi Binomial Negatif untuk memodelkan data count yaitu 𝜇𝑖 = exp(𝒙′𝑖 𝜷)

3.10

dengan 𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛

E.

Pendugaan Parameter untuk Model Regresi Binomial Negatif dengan Metode Maksimum Likelihood Model umum regresi Binomial Negatif dinyatakan dengan: 𝑦𝑖 = exp(𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖1 + 𝛽2 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑥𝑖𝑝 ) + 𝜀𝑖

Dengan 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, ⋯ menyatakan parameter yang tidak diketahui dan 𝜀𝑖 menyatakan galat untuk pengamatan ke-i. Model umum regresi Binomial Negatif dapat diduga dengan 𝑦̂𝑖 = exp(𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑥𝑖1 + 𝛽̂2 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝛽̂𝑝 𝑥𝑖𝑝 ) Untuk mengestimasi parameter 𝛽 dan k dalam regresi Binomial Negatif dapat digunakan metode pendugaan kemungkinan maksimum (MLE). Fungsi likelihood untuk model regresi Binomial Negatif adalah sebagai berikut:


𝑛

𝐿(𝛽, 𝑘) = ∏ 𝑓(𝛽, 𝑘) 𝑖=1

1 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 =∏ ( ) ( ) 1 1 + 𝑘𝜇 1 + 𝑘𝜇 𝑖=1 Γ ( ) 𝑦! 𝑘 𝑛

1 𝑛 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑛 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 =∏ ∏( ) ∏( ) 1 1 + 𝑘𝜇 1 + 𝑘𝜇 𝑖=1 Γ ( ) 𝑦! 𝑖=1 𝑖=1 𝑘 𝑛

Selanjutnya, dari fungsi likelihood diambil nilai log-nya sehingga diperoleh fungsi log- likelihood dari persamaan diatas sebagai berikut: 𝑛

log 𝐿(𝛽, 𝑘) = log (∏ 𝑓(𝛽, 𝑘)) 𝑖=1

1 𝑛 1⁄ Γ (𝑦 + ) 𝑛 𝑘 𝑘𝜇 𝑦 1 𝑘 = log (∏ ∏( ) ∏( ) ) 1 1 + 𝑘𝜇 1 + 𝑘𝜇 𝑖=1 Γ ( ) 𝑦! 𝑖=1 𝑖=1 𝑘 𝑛

1 Γ (𝑦 + ) 𝑘 = ∑ log ( ) 1 Γ( ) 𝑖=1 𝑘 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

− ∑ log(𝑦!) + ∑ 𝑦log(𝑘𝜇) − ∑ 𝑦log(1 + 𝑘𝜇) 𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

1 1 + ∑ log(1) − ∑ log(1 + 𝑘𝜇) 𝑘 𝑘 1 Γ (𝑦 + ) 𝑘 ) = ∑ 𝑙𝑜𝑔 ( 1 Γ( ) 𝑖=1 𝑘 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

1 − ∑ log(𝑦!) + ∑ 𝑦log(𝑘𝜇) − ∑ (𝑦 + ) log(1 + 𝑘𝜇) 𝑘


Diketahui bahwa

Γ(𝑦+𝑘) Γ(𝑘)

= 𝑘 × (1 + 𝑘) × ⋯ × (𝑦 − 1 + 𝑘) untuk 𝑦 bilangan

bulat. Sehingga 1 Γ (𝑦 + ) 𝑘 = 𝑘 −1 × (1 + 𝑘 −1 ) × ⋯ × (𝑦 − 1 + 𝑘 −1 ) 1 Γ( ) 𝑘 Oleh karena itu, log𝐿(𝛽, 𝑘) bisa ditulis tanpa fungsi Gamma dengan 1 Γ (𝑦 + ) 𝑘 log ( ) = log(𝑘 −1 ) + log(1 + 𝑘 −1 ) + ⋯ + log(𝑦 − 1 + 𝑘 −1 ) 1 Γ( ) 𝑘 𝑦−1

1 + 𝑘𝑟 = ∑ log ( ) 𝑘 𝑟=0

Likelihood untuk model regresi Binomial Negatif dapat ditulis sebagai, 𝑛

𝑦−1

𝑖=1

𝑟=0

1 + 𝑘𝑟 log𝐿((𝛽, 𝑘) = ∑ [(∑ log ( )) 𝑘 𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

1 − ∑ log(𝑦!) + ∑ 𝑦log(𝑘𝜇) − ∑ (𝑦 + ) log(1 + 𝑘𝜇)] 𝑘 𝑦−1

𝑛

= ∑ [(log ∑(1 + 𝑘𝑟)) − 𝑦log(𝑘) 𝑖=1

𝑟=0 𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

1 − ∑ log(𝑦!) + ∑ 𝑦log(𝑘𝜇) − ∑ (𝑦 + ) log(1 + 𝑘𝜇)] 𝑘 Oleh karena itu, pendugaan kemungkinan maksimum (𝛽̂ , 𝑘̂) dapat diperoleh dengan memaksimalkan 𝑙(𝛽, 𝑘) terhadap 𝛽 dan 𝑘. Persamaan terkait adalah sebagai berikut:


𝑛

𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 1 1 = ∑𝑦 − ( 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 + )) ′ 𝜕𝛽0 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷) 𝑘 𝑖=1

1 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 + ) 𝑘 = ∑𝑦 − ( ) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑦 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) = ∑𝑦 − ( ) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1 𝑛

𝑦(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) − (𝑦 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) =∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

𝑦 + 𝑦 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑦 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑛

𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1

𝑛

𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 1 1 = ∑ 𝑦𝑥1𝑖 − ( 𝑘 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 + )) ′ 𝜕𝛽1 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷) 𝑘 𝑖=1

1 𝑘 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 + ) 𝑘 = ∑ 𝑦𝑥1𝑖 − ( ) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑛

𝑖=1 𝑛

= ∑ 𝑦𝑥1𝑖 − ( 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1 𝑛

𝑦 𝑘 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) ) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑦𝑥1𝑖 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) − (𝑦 𝑘 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑦𝑥1𝑖 + 𝑦𝑥1𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑦 𝑘 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1


𝑛

𝑦𝑥1𝑖 − 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

𝑥1𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑛

𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 1 1 = ∑ 𝑦𝑥2𝑖 − ( 𝑘 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 + )) ′ 𝜕𝛽2 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷) 𝑘 𝑖=1

1 𝑘 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 + ) 𝑘 = ∑ 𝑦𝑥2𝑖 − ( ) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑦 𝑘 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) = ∑ 𝑦𝑥2𝑖 − ( ) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

𝑦𝑥2𝑖 + 𝑦𝑥2𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑦 𝑘 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑦𝑥2𝑖 − 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑛

𝑥2𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) =∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1

𝑛

𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 1 1 ′ = ∑ 𝑦𝑥3𝑖 − ( 𝑘 𝑥 exp(𝒙 𝜷) (𝑦 + )) 3𝑖 𝒊 𝜕𝛽3 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑘 𝑖=1

1 𝑘 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 + ) 𝑘 ) = ∑ 𝑦𝑥3𝑖 − ( 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑛

𝑖=1 𝑛

= ∑ 𝑦𝑥3𝑖 − ( 𝑖=1

𝑦 𝑘 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) ) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)


𝑛

𝑦𝑥3𝑖 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) − (𝑦 𝑘 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) =∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

𝑦𝑥3𝑖 + 𝑦𝑥3𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑦 𝑘 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑦𝑥3𝑖 − 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑛

𝑥3𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) =∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1

Jadi, secara umum 𝑛

𝑥𝑝𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) =∑ =0 𝜕𝛽𝑝 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1

dan 𝑛

𝑦−1

𝑖=1

𝑟=0

𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 𝑟 𝑦 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) = ∑ [(∑ )− + 𝜕𝑘 1 + 𝑘𝑟 𝑘 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

− (−𝑘

𝑛

𝑦−1

= ∑ [(∑ 𝑖=1

𝑟=0

−2

exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 log(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷)) + 𝑦 + )] 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑘 ′

𝑟 ) + 𝑘 −2 log(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 1 + 𝑘𝑟

exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 − 𝑦 + ] 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑘


𝑦−1

𝑛

= ∑ [(∑ 𝑖=1

𝑟=0

𝑟 ) + 𝑘 −2 log(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 1 + 𝑘𝑟

1 (𝑦 + ) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑘 − ] 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =0 Fungsi log-likelihood di atas didiferensialkan terhadap masing-masing parameter yaitu 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, ⋯ , 𝛽𝑝 dan turunan terhadap 𝑘 dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu 𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽0 𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽1 𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜷 𝜕𝛽2 𝑈(𝜷∗ ) = 𝑈 ( ) = =𝟎 𝒌 ⋮ ⋮ 𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝑙(𝛽, 𝑘) ( 𝜕𝑘 ) 𝜷 𝑈(𝜷∗ ) = 𝑈 ( ) 𝒌


𝑛

𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) ∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑖=1 𝑛

∑ 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑖=1 𝑛

=



𝑥3𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) ∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑖=1

⋮ 𝑥𝑝𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) ∑ 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑛

𝑖=1

1 (𝑦 + ) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑟 𝑘 −2 ′ ∑ [(∑ ) + 𝑘 log(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷)) − ] 1 + 𝑘𝑟 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑦−1

𝑛

( 𝑖=1

𝑟=0

)

=0 Turunan kedua dari fungsi log-likelihood disebut matriks Hessian. Karena persamaan-persamaan dalam matriks 𝑈(𝜷∗ ) tidak linear dalam masingmasing parameternya, maka untuk mencari nilai dari 𝛽0, 𝛽1, ⋯, 𝛽𝑝 dan 𝑘 digunakan metode numerik Newton-Raphson sebagai berikut: ̂𝑛 = 𝜷 ̂ 𝑛−1 − [𝑯(𝜷 ̂ 𝑛−1 )]−1 𝑼(𝜷 ̂ 𝑛−1 ) 𝜷


𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) ⋯ 𝜕𝛽0 𝜕𝛽1 𝜕𝛽0 𝜕𝛽2 𝜕𝛽0 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽0 𝜕𝛽𝑘 𝜕𝛽 2 0

2

𝜕 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) ⋯ 𝜕𝛽0 𝜕𝛽1 𝜕𝛽1 𝜕𝛽2 𝜕𝛽1 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽1 𝜕𝛽𝑘 𝜕𝛽1 2

𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) ⋯ 𝐻 = 𝜕𝛽0 𝜕𝛽2 𝜕𝛽1 𝜕𝛽2 𝜕𝛽2 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽2 𝜕𝛽𝑘 𝜕𝛽2 2 ⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) ⋯ 𝜕𝛽0 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽1 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽2 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽𝑘 𝜕𝛽𝑝 2 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕2 𝑙(𝛽, 𝑘) ⋯ 𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽𝑘 𝜕𝛽𝑘 2 ) ( 𝜕𝛽0 𝜕𝛽𝑘 𝜕𝛽1 𝜕𝛽𝑘 𝜕𝛽2 𝜕𝛽𝑘 dengan

𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽0 2

𝑛

[− exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] − [𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑖=1 𝑛

− exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑖=1

70


𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

− exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) −(1 + 𝑘 𝑦) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑛

[−𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] − [𝑥1𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] 𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝜕𝛽0 𝜕𝛽1 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

−𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑘 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

−𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) −𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 𝑦) =∑ =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑛

[−𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] − [𝑥2𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] 𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝜕𝛽0 𝜕𝛽2 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

−𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑘 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

−𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) −𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 𝑦) =∑ =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

71


𝑛

[−𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] − [𝑥𝑝𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] 𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝜕𝛽0 𝜕𝛽𝑝 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

−𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑘 𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

−𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑘 𝑦 𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) −𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 𝑦) =∑ = ∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑛

𝑦−1

𝑖=1

𝑟=0

𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) −𝑟 2 2 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 2 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) ′ = ∑ [(∑ ) − 3 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷)) + 2 + (1 + 𝑘 𝑟)2 𝜕𝑘 2 𝑘 𝑘 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝑘(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2 𝑦 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + ] (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2

72


𝑛

𝑦−1

𝑖−1

𝑟=0

−𝑟 2 2 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) ′ = ∑ [(∑ ) − 3 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷)) + 2 + (1 + 𝑘 𝑟)2 𝑘 𝑘 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝑘 2 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2 1 (𝑦 + ) (exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝑘 + ] (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2 𝑛

𝑦−1

= ∑ [(∑ 𝑖=1

𝑟=0

−𝑟 2 2 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) ′ ) − 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑘 exp(𝒙 𝜷)) + + 𝒊 (1 + 𝑘 𝑟)2 𝑘3 𝑘 2 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2 𝑘 2 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2

1 (𝑦 + ) (exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝑘 + ] (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2 𝑛

𝑦−1

𝑖=1

𝑟=0

−𝑟 2 2 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) ′ = ∑ [(∑ ) − 3 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 𝜷)) + 2 + (1 + 𝑘 𝑟)2 𝑘 𝑘 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝑘 2 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 1 (𝑦 + ) (exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝑘 + ] (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2

73


1 ′ (𝑦 + ) (exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) −𝑟 2 2 2exp(𝒙 𝜷) 𝒊 𝑘 = ∑ [(∑ ) − 3 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) + 2 + ] (1 + 𝑘 𝑟)2 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))2 𝑘 𝑘 (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) 𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽12

𝑛

𝑦−1

𝑖=1

𝑟=0

𝑛

=∑ 𝑖=1

2 − 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) − [𝑥1𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑥1𝑖 𝑦 − 𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

𝑛

2 2 2 2 −𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥1𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥1𝑖 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥1𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑖=1 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

2 2 2 −𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥1𝑖 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) −(1 + 𝑘 𝑦)𝑥1𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽2 2

𝑛

=∑ 𝑖=1

2 −𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) − [𝑥2𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑥2𝑖 𝑦 − 𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

𝑛

2 2 2 2 −𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥2𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥2𝑖 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥2𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑖=1 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

2 2 2 −𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥2𝑖 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) −(1 + 𝑘 𝑦)𝑥2𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

74


𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽3 2

𝑛

2 −𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) − [𝑥3𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) (𝑥3𝑖 𝑦 − 𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑖=1 𝑛

=∑ 𝑖=1

2 2 2 2 −𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥3𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥3𝑖 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) + 𝑥3𝑖 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

2 2 2 −𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) − 𝑥3𝑖 𝑘 𝑦 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) −(1 + 𝑘 𝑦)𝑥3𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ = ∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

Jadi secara umum, 𝜕 2 𝑙(𝛽, 𝑘) 𝜕𝛽𝑝 2

𝑛

2 −(1 + 𝑘 𝑦)𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) =∑ [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2 𝑖=1

75


F. Uji Kebaikan Model Uji kebaikan model yang berkaitan dengan model linear umum (GLM) antara lain adalah sebagai berikut: 1. 𝑅 2 dan 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑅 2 , 2. Statistik deviansi 3. Uji likelihood ratio 4. Uji Wald dan 5. Kriteria informasi Akaike (AIC) dan kriteria informasi Bayessian (BIC). Di dalam skripsi ini, uji kebaikan model regresi yang digunakan adalah 𝑅 2 dan 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑅 2 , uji likelihood-ratio, dan uji Wald. a. 𝑅 2 dan 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑅 2 Statistik 𝑅 2 biasanya dikenal sebagai koefisien determinasi di dalam model Regresi linear biasa. Statistik 𝑅 2 ini biasanya diinterpretasikan sebagai besarnya persentase dari variasi di dalam data yang dijelaskan oleh model. Nilai dari statistik ini berkisar dari 0-1 dengan nilai yang semakin mendekati 1 merepresentasikan model yang terbentuk semakin baik. Namun, statistik ini kurang tepat digunakan untuk model non-linear seperti Regresi Poisson, Regresi Binomial Negatif dan Regresi Logistik. Statistik 𝑅 2 yang biasanya digunakan untuk model Regresi data count adalah statistik 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑅 2 . Berdasarkan Hilbe (2011), statistik 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑅 2 memiliki formula sebagai berikut: 𝑅𝑃2 = 1 − 𝐿𝐹 /𝐿𝑖


Dengan: 𝐿𝐹 = nilai fungsi log-likelihood dari model yang lengkap 𝐿𝑖 = nilai fungsi log-likelihood dari model yang hanya mengandung intercept Interpretasi koefisien determinasi 𝑅 2 pada Regresi linear tidak dapat diterapkan kepada 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑅 2 . Interpretasi yang dapat dibuat adalah nilai yang sangat kecil yang mengindikasikan lack of fit atau model yang diperoleh kurang baik sedangkan nilai yang cukup besar mengindikasikan model yang baik. b. Uji likelihood -ratio Uji likelihood-ratio adalah uji yang biasa digunakan untuk uji perbandingan model. Uji ini biasanya digunakan untuk model yang bersarang (nested models), tetapi uji ini juga dapat digunakan untuk uji dua model yang berbeda (misalnya apakah sebuah data lebih baik dimodelkan dengan menggunakan model Binomial Negatif atau Poisson). Formula untuk uji likelihood-ratio adalah sebagai berikut: 𝐿𝑅 = −2{𝐿𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑑 − 𝐿𝑓𝑢𝑙𝑙 } Uji likelihood-ratio merupakan uji yang berguna ketika harus diputuskan apakah penambaan satu atau sejumlah variabel penjelas ke dalam model harus dilakukan atau tidak. Selain itu, uji ini digunakan untuk menguji signifikansi dari taksiran model yang telah diperoleh. Berikut ini adalah uji signifikansi model regresi Binomial Negatif, hipotesisnya adalah: 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑃 = 0 𝐻1 : ∃𝛽1 ≠ 0 ; j = 1,2, ⋯ p


Statistik uji yang digunakan adalah 𝐿𝑅 = −2{𝑙𝑜𝑔𝐿̂0 − 𝑙𝑜𝑔𝐿̂1 } 2 Aturan keputusannya 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼 jika 𝐿𝑅 > 𝑋(𝛼,𝐾)

c. Uji Wald Uji ini digunakan untuk menguji signifikansi dari masing-masing variabel penjelas terhadap model. Hipotesis untuk menguji signifikansi dari sembarang koefisien regresi, misalkan 𝛽𝑗 adalah 𝐻0 : 𝛽𝑗 = 0 𝐻1 : 𝛽𝑗 ≠ 0 Statistik uji yang digunakan yaitu 2 𝛽̂𝑗 𝑊𝑗 = [ ] 𝑠𝑒(𝛽̂𝑗 )

Dengan 𝛽̂𝑗 adalah taksiran parameter 𝛽𝑗 dan 𝑠𝑒(𝛽̂𝑗 ) adalah taksiran galat ̂. standar dari 𝛽𝑗 yang diperoleh dari matriks taksiran variansi-kovariansi dari 𝜷 2 Aturan keputusannya adalah 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼 jika 𝑊𝑗 > 𝑋𝛼,1 .

Penolakan 𝐻0 pada tingkat signifikansi 𝛼 berarti bahwa bariabel penjelas ke-j, untuk suatu 𝑗 tertentu (𝑗 = 1,2,3, … , 𝑘) memiliki kontribusi yang signifikan terhadap variabel respon 𝑌. Dalam statistik Uji Wald terdapat 𝑠𝑒(𝛽̂𝑗 ) yang merupakan standar error dari parameter 𝛽̂𝑗 yang diperoleh dari elemen-elemen diagonal minus invers dari


matriks Hessian yang disebut matriks variansi-kovariansi dan dinotasikan dengan ̂ ) yaitu: ̂ (𝜷 𝑽 ̂ ) ≈ −[𝑯(𝜷 ̂ )]−𝟏 ̂ (𝜷 𝑽 𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

≈−

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕𝛽0 2

𝜕𝛽0 𝜕𝛽1

𝜕𝛽0 𝜕𝛽2

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕𝛽0 𝜕𝛽1

𝜕𝛽1 2

𝜕𝛽1 𝜕𝛽2

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕𝛽0 𝜕𝛽2

𝜕𝛽1 𝜕𝛽2

𝜕𝛽2 2

⋮

⋮

⋮

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕𝛽0 𝜕𝛽𝑝



𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

[ 𝜕𝛽0 𝜕𝛽𝑘

𝜕𝛽1 𝜕𝛽𝑘


⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)



𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)



𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)



⋮

−𝟏

⋮

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕𝛽𝑝 2

𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽𝑘

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕2 𝑙(𝛽,𝑘)

𝜕𝛽𝑝 𝜕𝛽𝑘

𝜕𝛽𝑘 2

]

̂ ) merupakan ̂ (𝜷 Elemen diagonal utama ke-𝑝 (𝑝 = 1,2, … , 𝑘 + 1) dari matriks 𝑽 ̂ 𝒑−𝟏 ) dan diperoleh melalui tahapan ̂(𝜷 variansi dari 𝛽̂𝑝−1 , yang dinyatakan dengan 𝒗 sebagai berikut: 1. Turunan parsial kedua dari fungsi log-likelihood terhadap 𝛽̂𝑗 yaitu − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)) ] 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

𝑥𝑝𝑖 (𝑦 𝜕 [∑𝑛𝑖=1

𝜕𝛽𝑝2 𝑛

=∑ 𝑖=1

−𝑥𝑝𝑖 𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)] − 𝑘 𝑥𝑝𝑖 [exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)][𝑥𝑝𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

2. Ekspektasi dari minus matriks Hessian akan menghasilkan matriks Fisher Information, sehingga elemen diagonal dari matriks Fisher Information untuk 𝛽𝑝 adalah


𝐼(𝛽𝑗 ) 𝑛

= 𝐸 [− ∑ 𝑖=1

−𝑥𝑝𝑖 𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)] − 𝑘 𝑥𝑝𝑖 [exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)][𝑥𝑝𝑖 (𝑦 − exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷))] ] [1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)]2

= 𝐼(𝛽𝑝 ) Dalam hal ini, matriks Fisher Information digunakan untuk mengukur seberapa besar informasi dari variabel independen 𝑋𝑝 yang dapat dijelaskan oleh parameter 𝛽𝑝 . Variansi dari 𝛽𝑝 dapat diperoleh dari elemen diagonal matriks 𝑽(𝜷) maka variansi dari 𝛽𝑝 adalah:

𝑣𝑎𝑟(𝛽𝑝 ) = [𝐼(𝛽𝑗 )]

−1

𝑛

2 𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) = [∑ ] 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

−1

𝑖=1

3. Taksiran galat standar untuk 𝛽̂𝑝 dalam model regresi Binomial Negatif adalah 𝑛

2 𝑥𝑝𝑖 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷) 𝑠𝑒(𝛽̂𝑝 ) = √𝑣̂(𝛽̂𝑝 ) = [∑ ] 1 + 𝑘 exp(𝒙𝒊 ′ 𝜷)

−1/2

𝑖=1

Berdasarkan formula taksiran galat standar untuk 𝛽̂𝑝 pada persamaan diatas, dapat dikatakan bahwa galat standar tersebut dipengaruhi oleh parameter 𝑘. Hal tersebut memberikan pengertian bahwa pada saat terjadi overdispersi, model Binomial negatif akan menjadi lebih sensitif terhadap signifikansi dari variabel-variabel penjelasnya karena memperhatikan pengaruh dari overdispersi melalui parameter 𝑘.


Contoh 3.1 Simulasi Regresi Binomial Negatif untuk data Poisson yang mengalami Overdispersi Untuk memberikan contoh simulasi Regresi Binomial Negatif untuk data Poisson yang mengalami overdispersi, akan digunakan data dari Buku Profil Kesehatan Kota Semarang Tahun 2013 yang juga digunakan oleh Ruliana (2015). Pada simulasi berikut, penulis akan mengatasi Poisson yang mengalami overdispersi pada variabel respon dengan menggunakan Regresi Binomial Neagtif. Berikut adalah data banyaknya kasus penyakit campak pada 16 kecamatan di Kota Semarang dengan Variable dependen 𝑌 adalah banyaknya kasus penyakit campak pada 16 kecamatan di kota Semarang dan terdapat empat variable independen yaitu 𝑋1 = imunisasi 𝑋2 = Puskesmas 𝑋3 = Keluarga Miskin 𝑋4 = Kepadatan Penduduk Tabel 3.1 data banyaknya kasus campak pada 16 kecamatan di kota Semarang Kecamatan

𝑌

𝑋1

𝑋2

𝑋3

𝑋4

Mijen

2

955

2

725

1006

Gunungpati

12

1094

2

1776

1402

Banyumanik

8

2692

4

236

5080

Gajah Mungkur

2

855

1

1343

7012

Semarang Selatan

22

2129

2

1313

13882

Candisari

11

1447

2

1550

12187


Tembalang

20

2574

3

3008

3339

Pedurungan

11

2873

2

1705

8549

Genuk

5

2028

2

201

3411

Gayamsari

1

1928

1

88

11939

Semarang Timur

7

1857

3

4603

10211

Semarang Utara

6

1882

2

3183

11671

Semarang Tengah

2

1481

2

778

11596

Semarang Barat

1

2340

5

2660

7298

Tugu

4

539

2

1236

984

Ngaliyan

23

2511

3

2113

3226

Langkah-langkah analisis data mengikuti tahap-tahap berikut: 1. Uji Kolmogorov-Smirnov 2. Pendugaan Model Regresi Poisson 3. Uji signifikansi parameter 4. Uji overdispersi pada Model Regresi Poisson 5. Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif 6. Uji signifikansi Model Regresi Binomial Negatif Berikut adalah langkah-langkah pendugaan pendugaan parameter-parameter dari model regresi Binomial Negatif: 1. Uji Kolmogorov-smirnov Tujuan dari Uji Kolmogorov-Smirnov adalah untuk menentukan apakah data banyaknya kasus penyakit campak pada 16 kecamatan di kota Semarang mengikuti distribusi Poisson atau tidak.


Langkah-langkah uji Kolmogorov-Simirnov untuk distribusi Poisson adalah sebagai berikut: 1) 𝐻0 = data berdistribusi Poisson 𝐻1 = data tidak berdistribusi Poisson 2) Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 3) Daerah penolakan Asymp.Sig.(2-tailed)< 𝛼 maka 𝐻0 ditolak Table 3.2 hasil SPSS One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Data Campak N Poisson Parametera,,b Most Extreme Differences


16 8.56 .304 .304 -.187 1.215 .105

Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. 4) Dari hasil uji Kolmogorov-Smirnov di atas tampak bahwa nilai Asymp.Sig.(2-tailed) adalah 0.105. jadi, Asymp.Sig.(2-tailed)> 𝛼. Dengan demikian berarti 𝐻0 diterima. Jadi, dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson.

2. Pemodelan Regresi Poisson Setelah melakukan pengolahan data menggunakan program R diperoleh nilai untuk parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 pada tabel 3.3 berikut:


Table 3.3 Parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 untuk Regresi Poisson parameter

estimasi

standar error

𝛽0

1.248

0.371

𝛽1

0.001

0.000

𝛽2

-0.269

0.119

𝛽3

0.000

0.000

𝛽4

-0.000

0.000

Jadi, model regresi Poisson yang dihasilkan adalah 𝑦̂𝑖 = exp(1.248 + 0.001𝑥1𝑖 − 0.269𝑥2𝑖 + 0.000𝑥3𝑖 − 0.000𝑥4𝑖 ) 3. Uji signifikansi parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Poisson. Hipotesis: 𝐻0 : 𝛽𝑗 = 0 𝐻1 : 𝛽𝑗 ≠ 0 Statistik uji: 2 𝛽̂𝑗 𝑊𝑗 = [ ] 𝑠𝑒(𝛽̂𝑗 )

Sehingga berdasarkan persamaan diatas diperoleh 2

̂ 𝛽

0.0007625 2

1. 𝑊1 = [𝑠𝑒(𝛽̂1 )] = [0.0001527] = 24.934555 1

2

̂ 𝛽

2. 𝑊2 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [ 21

−0.26989957 2 0.119

] = 5.144112586


̂ 𝛽

2

0.0002018 2

2

−0.00004211 2

3. 𝑊3 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [0.00007624] = 7.006103496 21

̂ 𝛽

4. 𝑊4 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [ 0.00002318 ] = 3.30022553 21

Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan 2 derajat bebas 3 diperoleh nilai 𝜒0.05,3 = 7.81473 sehingga 2 1. 𝑊1 = 24.934555 > 𝜒0.05,3 = 7.81473 maka 𝐻0 ditolak 2 2. 𝑊2 = 5.144112586 < 𝜒0.05,3 = 7.81473 maka 𝐻0 diterima 2 3. 𝑊3 = 7.006103496 < 𝜒0.05,3 = 7.81473 maka 𝐻0 diterima 2 4. 𝑊4 = 3.30022553 < 𝜒0.05,3 = 7.81473 maka 𝐻0 diterima

Artinya pada tingkat signifikansi 0.05 𝑥1 memiliki kontribusi terhadap 𝑌 sedangkan 𝑥1 , 𝑥2 dan 𝑥3 tidak memiliki kontribusi terhadap 𝑌 5. Uji overdispersi pada model Regresi Poisson Uji overdispersi dapat dilihat berdasarkan nilai Devians. Berikut ad Lah langkah-langkah pengujian overdispersi a. Perumusan Hipotesis 𝐻0 : tidak terdapat overdispersi pada model regresi Poisson 𝐻1 : terdapat overdispersi pada model Regresi Poisson b. Statistik uji 𝑦 2 ∑𝑛𝑖=1 {𝑦𝑖 𝑙𝑛 ( 𝑖 ) − (𝑦𝑖 − 𝜇̂ 𝑖 )} 𝜇̂ 𝑖 𝜙1 = 𝑑𝑏 Dengan n adalah banyaknya pengamatan dan k adalah banyaknya parameter termasuk konstanta.


c. Kriteria pengujian 𝐻0 ditolak bila 𝜙1 > 1 d. Perhitungan Perhitungan nilai 𝜙1 pada skripsi ini menggunakan program R dan diperoleh 𝜙1 = 5.721 e. Kesimpulan

𝜙1 =

𝑦 𝜇𝑖

𝑖 ̂ 𝑖 )} 2 ∑𝑛 𝑖=1{𝑦𝑖 𝑙𝑛( ̂ )−(𝑦𝑖 −𝜇

𝑑𝑏

=

62.932 11

= 5.721 > 1 maka 𝐻0 ditolak artinya

model regresi Poisson mengalami overdispersi sehingga hasil analisa regresi Poisson pada langkah 4 tidak dapat digunakan. Oleh karena itu, analisis regresi yang tepat untuk memodelkan data banyaknya kasus campak pada 16 Kecamatan di Kota Semarang adalah menggunakan analisis Regresi Binomial Negatif. 6. Regresi Binomial Negatif Setelah melakukan pengolahan data menggunakan program R diperoleh nilai untuk parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 pada tabel 3.4 berikut: Tabel 3.4 Parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3 , 𝛽4 untuk Regresi Binomial Negatif Parameter 𝛽0 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝛽4

estimasi 1.224 0.001 -0.346 0.000

standar error 0.674 0.000 0.251 0.000

-0.000

0.000

Jadi, model regresi Binomial Negatif yang dihasilkan adalah 𝑦̂𝑖 = exp(1.224 + 0.001𝑥1𝑖 − 0.346𝑥2𝑖 + 0.000𝑥3𝑖 − 0.000𝑥4𝑖 )


7. Uji signifikan model Regresi Binomial Negatif hipotesisnya adalah: 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽𝑗 𝐻1 : ∃𝛽𝑗 ≠ 0 ; j = 1,2 Statistik uji yang digunakan adalah 𝐿𝑅 = −2{𝑙𝑜𝑔𝐿̂0 − 𝑙𝑜𝑔𝐿̂1 } = −2(−101.289 + 95.305 ) = 11.968 Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan 2 2 derajat bebas 4 diperoleh nilai 𝑋(0.05,4) = 9.48773. nilai 𝐿𝑅 = 11.968 > 𝑋(0.05,2) =

9.48773,

maka 𝐻0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 sehingga model Binomial

negatif dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara banyaknya kasus penyakit campak pada 16 Kecamatan di Kota Semarang dengan imunisasi, banyaknya puskesmas, keluarga miskin dan kepadatan penduduk. Jadi, model regresi Binomial Negatif yang terbentuk adalah 𝑦̂𝑖 = exp(1.224 + 0.001𝑥1𝑖 − 0.346𝑥2𝑖 + 0.000𝑥3𝑖 − 0.000𝑥4𝑖 )


BAB IV PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF PADA DATA BANYAKNYA KEMATIAN IBU DI PROPINSI JAWA TIMUR TAHUN 2012

Pada Bab ini akan dibahas suatu masalah nyata tentang banyaknya kematian ibu di Propinsi Jawa Timur pada tahun 2012 di setiap Kabupaten. Undang-undang nomor 36 tahun 2009 tentang kesehatan mengamanatkan bahwa upaya kesehatan ibu ditujukan untuk menjaga kesehatan ibu sehingga mampu melahirkan generasi yang sehat dan berkualitas, serta dapat mengurangi angka kematian ibu sebagai salah satu indicator Renstra dan MDGs. Kegiatan kesehatan ibu dan anak (KIA) merupakan kegiatan prioritas mengingat terdapat indikator dampak yaitu angka kematian Ibu (AKI) dan angka kematian Bayi (AKB) yang merupakan indikator keberhasilan pembangunan daerah, khususnya pembangunan kesehatan. Untuk melihat kinerja kesehatan ibu dan anak, maka perlu untuk melihat secara keseluruhan indikator kesehatan ibu dan anak, yaitu: 1. Cakupan pelayanan ibu hamil K1 2. Cakupan pelayan ibu hamil K4 3. Cakupan pertolongan persalinan oleh tenaga kesehatan 4. Cakupan komplikasi kebidanan ditangani 5. Cakupan pelayanan nifas

88


6. Pelayan imunisasi dan lainnya Angka kematian ibu merupakan jumlah kematian ibu yang terjadi karena proses kehamilan, persalinan dan nifas. Angka kematian ibu dalam Profil Dinas Kesehatan Propinsi Jawa Timur Tahun 2012 merupakan data yang berbentuk count. Distribusi Poisson merupakan distribusi variabel random diskrit namun untuk suatu peristiwa yang jarang terjadi. Kematian ibu merupakan suatu kejadian yang jarang terjadi. Angka kematian Ibu di propinsi Jawa Timur tahun 2012 mempunyai indikasi overdispersi sehingga data angka kematian Ibu di Propinsi Jawa Timur dapat dimodelkan dengan menggunakan model Regresi Binomial Negatif. Berikut adalah variabel yang digunakan dalam penelitian yaitu: 1. Variabel dependen Variabel dependen dalam penelitian ini adalah banyaknya kematian Ibu di Propinsi Jawa Timur tahun 2012 pada 38 Kabupaten/kota. 2. Variabel independen Adapun beberapa variabel independen dalam penelitian ini adalah: 1) Jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT2+) pada ibu hamil (𝑋1 ) 𝑋1 adalah proses membangun kekebalan sebagai upaya pencegahan terhadap infeksi tetanus yang diberikan setelah 4 minggu kehamilan. 2) Jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE1 (30 tablet) (𝑋2 ) 𝑋2 pemberian tablet besi pada Ibu hamil sebanyak 30 tablet 3) Jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE3 (90 tablet) (𝑋3 )


𝑋3 pemberian tablet besi pada Ibu hamil sebanyak 90 tablet 4) Jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT-5) pada ibu hamil (𝑋4 ) 𝑋1 adalah proses membangun kekebalan sebagai upaya pencegahan terhadap infeksi tetanus yang diberikan 1 tahun setelah TT-4. 5) Cakupan K1 (𝑋5 ) 𝑋5 adalah cakupan pelayanan antenatal yang dipantau melalui pelayanan kunjungan baru Ibu hamil. 6) Cakupan K4 (𝑋6 ) 𝑋6 adalah cakupan pelayanan antenatal yang dipantau melalui pelayanan kunjungan baru Ibu hamil sebanyak 4 × yaitu sekali pada triwulan pertama, sekali pada triwulan dua, dan 2 × pada triwulan ketiga. 7) Cakupan ibu bersalin yang ditolong nakes (𝑋7 ) 𝑋7 merupakan proses pelayanan persalinan oleh dokter spesialis kebidanan dan kandungan, dokter umum, dan bidan yang dimulai pada kala I sampai dengan kala IV persalinan. 8) Jumlah Ibu nifas (𝑋8 ) 𝑋8 merupakan masa sesudah persalinan, masa perubahan, pemulihan, dan penyembuhan. Lamanya masa nifas adalah berkisar antara 6 minggu atau 40 hari.


A. Deskripsi Data Untuk melihat karakteristik dari masing-masing variabel maka ditampilkan statistika deskriptif yang dapat dilihat pada tabel 4.1 berikut ini: Tabel 4.1 Deskripsi Data variabel N 𝑌 38 𝑋1 38 𝑋2 38 𝑋3 38 𝑋4 38 𝑋5 38 𝑋6 38 𝑋7 38 𝑋8 38

minimum maksimum Mean Std.deviasi variansi 0.00 14.00 3.8900 3.56200 12.691 0.00 986.54 79.8771 234.41978 54952.634 67.68 107.42 86.7918 8.53393 72.828 65.37 106.44 80.4603 8.57757 73.575 0.00 235.13 11.4742 41.12683 1691.416 75.18 108.57 91.5611 8.06932 65.114 70.67 101.55 84.0605 7.41634 55.002 75.02 101.41 88.9408 6.78990 46.103 74.42 100.80 87.5224 7.03324 49.466

B. Pengolah Data Data pada lampiran 7 merupakan data banyaknya kematian Ibu di Propinsi Jawa Timur yang diambil dari Profil Dinas Kesehatan Propinsi Jawa Timur Tahun 2012. Langkah-langkah analisis data mengikuti tahap-tahap berikut: 1. Uji Kolmogorov-Smirnov 2. Pendugaan Model Regresi Poisson 3. Uji signifikansi parameter 4. Uji overdispersi pada Model Regresi Poisson 5. Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif 6. Uji signifikansi Model Regresi Binomial Negatif


Berikut adalah langkah-langkah pendugaan parameter-parameter dari model regresi Binomial Negatif: 1. Uji Kolmogorov-smirnov Tujuan dari Uji Kolmogorov-Smirnov adalah untuk menentukan apakah data banyaknya kematian Ibu di Propinsi Jawa Timur tahun 2012 pada 38 Kabupaten/kota mengikuti distribusi Poisson atau tidak. Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Poisson adalah sebagai berikut 1) 𝐻0 = data berdistribusi Poisson 𝐻1 = data tidak berdistribusi Poisson 2) Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05 3) Daerah penolakan Asymp.Sig.(2-tailed)< 𝛼 maka 𝐻0 ditolak


Table 4.2 hasil pengujian Kolmogorov-Smirnov One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Y N Poisson Parametera,,b Most Extreme Differences


38 3.89 .216 .216 -.111 1.333 .057

Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. 4) Dari hasil uji Kolmogorov-Smirnov di atas tampak bahwa nilai Asymp.Sig.(2tailed) adalah 0.057. jadi, Asymp.Sig.(2-tailed)> 𝛼. Dengan demikian berarti 𝐻0 diterima. Jadi, dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson. 2. Pemodelan Regresi Poisson Setelah melakukan pengolahan data menggunakan program R diperoleh nilai untuk parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 , 𝛽5, 𝛽6, 𝛽7 , 𝛽8 pada tabel 4.3 berikut: Table 4.3 parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4, 𝛽5, 𝛽6, 𝛽7, 𝛽8 untuk Regresi Poisson parameter 𝛽0 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝛽4 𝛽5 𝛽6 𝛽7 𝛽8

estimasi −0.016 0.001 −0.028 0.050 −0.009 0.170 −0.045 −0.103 −0.034

standar error 1.2678 0.0003 0.0308 0.0309 0.0039 0.0379 0.0243 0.0501 0.0441


Jadi, model regresi Poisson yang dihasilkan adalah 𝑦̂𝑖 = exp(−0.016 + 0.001𝑥1𝑖 − 0.028𝑥2𝑖 + 0.050𝑥3𝑖 − 0.009𝑥4𝑖 + 0.170𝑥5𝑖 − 0.045𝑥6𝑖 − 0.103𝑥7𝑖 − 0.034𝑥8𝑖 ) 3. Uji Signifikansi Parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Poisson. Hipotesis: 𝐻0 : 𝛽𝑗 = 0 𝐻1 : 𝛽𝑗 ≠ 0 Statistik uji: 2 𝛽̂𝑗 𝑊𝑗 = [ ] 𝑠𝑒(𝛽̂𝑗 )

Sehingga berdasarkan persamaan diatas diperoleh 2

̂ 𝛽

0.001 2

1. 𝑊1 = [𝑠𝑒(𝛽̂1 )] = [0.0003] = 11.1111 1

̂ 𝛽

2

−0.028 2

2

0.050 2

2

−0.009 2

2

0.170 2

2. 𝑊2 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [ 0.0308 ] = 0.8264 21

̂ 𝛽

3. 𝑊3 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [0.0309] = 2.6183 21

̂ 𝛽

4. 𝑊4 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [ 0.0039 ] = 5.3254 21

̂ 𝛽

5. 𝑊5 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [0.0379] = 20.1196 21


̂ 𝛽

2

−0.045 2

2

−0.103 2

2

−0.034 2

6. 𝑊6 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [ 0.0243 ] = 3.4293 21

̂ 𝛽

7. 𝑊7 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [ 0.0501 ] = 4.2267 21

̂ 𝛽

8. 𝑊8 = [𝑠𝑒(𝛽̂2 )] = [ 0.0441 ] = 0.5944 21

Berdasarkan tabel Chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat 2 bebas 7 diperoleh nilai 𝜒0.05,7 = 14.0671 sehingga 2 1. 𝑊1 = 11.111 < 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 diterima 2 2. 𝑊2 = 0.8264 < 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 diterima 2 3. 𝑊3 = 2.6183 < 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 diterima 2 4. 𝑊4 = 5.3254 < 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 diterima 2 5. 𝑊5 = 20.1196 > 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 dtolak 2 6. 𝑊6 = 3.4293 < 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 diterima 2 7. 𝑊7 = 4.2267 < 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 diterima 2 8. 𝑊8 = 0.5944 < 𝜒0.05,7 = 14.0671 maka 𝐻0 diterima

Artinya pada tingkat signifikansi 0.05 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥6 , 𝑥7 , 𝑥8 tidak memiliki kontribusi terhadap 𝑌 sedangkan 𝑥5 memiliki kontribusi terhadap 𝑌. Namun analisis pada Regresi Poisson belum bisa digunakan karena belum diuji asumsi equidispersi. Oleh karena itu, maka pada langkah selanjutnya akan diuji asumsi equidispersi.


9. Uji overdispersi pada model Regresi Poisson Uji overdispersi dapat dilihat berdasarkan nilai Devians. Berikut adalah langkah-langkah pengujian overdispersi a. Perumusan Hipotesis 𝐻0 : tidak terdapat overdispersi pada model regresi Poisson 𝐻1 : terdapat overdispersi pada model Regresi Poisson b. Statistik uji 𝑦 2 ∑𝑛𝑖=1 {𝑦𝑖 𝑙𝑛 ( 𝑖 ) − (𝑦𝑖 − 𝜇̂ 𝑖 )} 𝜇̂ 𝑖 𝜙1 = 𝑑𝑏 Dengan n adalah banyaknya pengamatan dan k adalah banyaknya parameter termasuk konstanta. c. Kriteria pengujian 𝐻0 ditolak bila 𝜙1 > 1 d. Perhitungan Perhitungan nilai 𝜙1 pada skripsi ini menggunakan program R dan diperoleh 𝜙1 = 1.766758621 e. Kesimpulan

𝜙1 =

𝑦 𝜇𝑖

𝑖 ̂ 𝑖 )} 2 ∑𝑛 𝑖=1{𝑦𝑖 𝑙𝑛( ̂ )−(𝑦𝑖 −𝜇

𝑑𝑏

=

81.985 29

= 2.827 > 1 maka 𝐻0 ditolak artinya model

regresi Poisson mengalami overdispersi sehingga hasil analisa regresi Poisson pada langkah 4 tidak dapat digunakan. Oleh karena itu, analisis regresi yang tepat untuk


memodelkan jumlah kematian ibu di Propinsi Jawa Timur pada 38 kabupaten/kota adalah menggunakan analisis Regresi Binomial Negatif. 10. Pendugaan Model Regresi Binomial Negatif Setelah melakukan pengolahan data menggunakan program R diperoleh nilai untuk parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 , 𝛽5, 𝛽6, 𝛽7, 𝛽8 pada tabel 4.4 berikut: tabel 4.4 parameter 𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 , 𝛽5, 𝛽6, 𝛽7, 𝛽8 untuk Regresi Binomial Negatif parameter estimasi standar error 𝛽0 −0.851 1.886 𝛽1 0.001 0.001 𝛽2 −0.026 0.046 𝛽3 −0.009 0.046 𝛽4 0.192 0.005 𝛽5 −0.045 0.058 𝛽6 −0.105 0.037 𝛽7 −0.105 0.073 𝛽8 −0.049 0.063 Jadi, model regresi Binomial Negatif yang dihasilkan adalah 𝑦̂𝑖 = exp(−0.851 + 0.001𝑥1 − 0.026𝑥2 − 0.009𝑥3 + 0.192𝑥4 − 0.045𝑥5 − 0.105𝑥6 − 0.105𝑥7 − 0.049𝑥8 ) 11. Uji signifikan model Regresi Binomial Negatif Hipotesisnya adalah: 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = 0 𝐻1 : ∃𝛽𝑗 ≠ 0 ; j = 1,2


Statistik uji yang digunakan adalah 𝐿𝑅 = −2{𝑙𝑜𝑔𝐿̂0 − 𝑙𝑜𝑔𝐿̂1 } = −2(−187.326 + 171.118) = 32.416 Berdasarkan tabel Chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 8 2 2 diperoleh nilai 𝑋(0.05,8) = 15.5073. nilai 𝐿𝑅 = 32.416 > 𝑋(0.05,2) = 15.5073, maka 𝐻0

ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 sehingga model Binomial negatif dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah kematian ibu di Propinsi Jawa Timur pada 38 Kabupaten/kota dengan Jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT2+) pada ibu hamil (𝑋1 ), Jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE1 (30 tablet) (𝑋2 ), Jumlah ibu hamil yang mendapatkan tablet FE3 (90 tablet) (𝑋3 ), Jumlah cakupan imunisasi Tetanus Toksoid (TT-5) pada ibu hamil (𝑋4 ), Cakupan K1 (𝑋5 ), Cakupan K4 (𝑋6 ), Cakupan ibu bersalin yang ditolong nakes (𝑋7 ), dan Jumlah Ibu nifas (𝑋8 ) Jadi, model regresi Binomial Negatif yang terbentuk adalah 𝑦̂𝑖 = exp(−0.851 + 0.001𝑥1𝑖 − 0.026𝑥2𝑖 − 0.009𝑥3𝑖 + 0.192𝑥4𝑖 − 0.045𝑥5𝑖 − 0.105𝑥6𝑖 − 0.105𝑥7𝑖 − 0.049𝑥8𝑖 ) Berikut adalah contoh interpretasi parameter 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, dan 𝛽4 dari model Regresi Binomial Negatif: 1) Interpretasi 𝛽1 = 0.001 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋1 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata 𝑌 (jiwa) akan berlipat 𝑒 0.001 ≈ 1.001 kali artinya tidak ada perubahan yang berarti.


2) Interpretasi 𝛽2 = −0.026 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋2 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka 𝑌 (jiwa) cenderung berkurang sebesar exp(−0.026) kali. 3) Interpretasi 𝛽3 = −0.009 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋3 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata 𝑌 cenderung berkurang sebesar exp(−0.009) kali. 4) Interpretasi 𝛽4 = 0.192 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋4 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata 𝑌 akan berlipat e0.192 kali. 5) Interpretasi 𝛽5 = −0.045 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋5 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata 𝑌 cenderung berkurang sebesar exp(−0.045) kali. 6) Interpretasi 𝛽6 = −0.105 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋6 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata 𝑌 cenderung berkurang sebesar exp(−0.105) kali. 7) Interpretasi 𝛽7 = −0.105 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋7 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata 𝑌 cenderung berkurang sebesar exp(−0.105) kali. 8) Interpretasi 𝛽8 = −0.049 Untuk setiap kenaikan 1 persen 𝑋8 , dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata 𝑌 cenderung berkurang sebesar exp(−0.049) kali.


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan Data count adalah data hasil percobaan acak yang nilai-nilainya merupakan bilangan bulat non-negatif. Distribusi yang biasa digunakan untuk memodelkan data count adalah distribusi Poisson yang memiliki asumsi mean dan variansi yang sama. Saat terjadi overdispersi, yaitu keadaan dimana variansi lebih besar dari nilai mean, maka asumsi mean dan variansi pada distribusi Poisson tidak lagi terpenuhi. Oleh karena itu, diperlukan distribusi lain untuk menganalisis data count tersebut yaitu model regresi Binomial Negatif. Pada model regresi Binomial negatif, variabel dependen diasumsikan berdistribusi Binomial Negatif. Binomial Negatif yang digunakan merupakan distribusi campuran antara distribusi Poisson dan Gamma. Pendugaan parameter-parameter dalam model regresi Binomial Negatif dilakukan dengan metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum. Solusi dari persamaan log-likelihood diperoleh dengan menggunakan metode Newon-Raphson karena persamaan log-likelihood yang diperoleh tidak linear dalam parameternya. Model untuk Regresi Binomial Negatif pada data banyaknya kematian Ibu di Provinsi Jawa Timur pada tahun 2012 adalah sebagai berikut:

100


𝑦̂𝑖 = exp(−0.851 + 0.001𝑥1𝑖 − 0.026𝑥2𝑖 − 0.009𝑥3𝑖 + 0.192𝑥4𝑖 − 0.045𝑥5𝑖 − 0.105𝑥6𝑖 − 0.105𝑥7𝑖 − 0.049𝑥8𝑖 )

B. Saran Saran untuk pengembangan skripsi ini adalah membahas metode lain untuk menangani overdispersi pada data Poisson, seperti metode Quasi-Poisson, metode Binomial Negatif umum (NB-P), generalized Poisson Regression. Selain metode pendugaan kemungkinan maksimum, pendugaan parameter dari distribusi Binomial Negatif dapat dilakukan dengan metode lain diantaranya adalah metode Quasi likelihood dan metode pendugaan kemungkinan maksimum Bootstrapped dan metode pendugaan parameter moment.


DAFTAR PUSTAKA Agresti, A. (2007). An Introduction to Categorical Data Analysis. New York: John Wiley & Sons. Agresti, A. (2002). Categorical Data Analysis. Second Edition. New York: John Wiley & Sons. Barnon, N. D. (1992). The Analysis of Count Data: Overdispersion and Autocorrelation. American Sociological Association. 22: 179-220. Berk, R., MacDonald, J. M. (2008). Overdispersion and Poisson Regression. Philadelphia: Springer. Brown, D. L., Zhau, H. Linda. (2002). A Test for the Poison Distribution. The Indian Journal of statistics. 64: 611-625. Cahyandari, R. (2014). Pengujian Overdispersi pada Model Regresi Poisson. Statistika. 14 (2): 69-76. Cameron, A. C., Trivedi, P. K. (1998). Regression Analysis of Count Data. New York: Cambridge University Press. Clark, R. D., et all. (2004). A Primer on the Exponential Family of Distributions. Lecture note. Cook, J. D. (2009). Notes on the Negative Binomial Distribution. Lecture note. 102


Diaconis, P., Yivisaker, D. (1979). Conjugate Priors for Exponential Families. The annals of statistics. 7 (2): 269-281. Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Timur. Profil Kesehatan Provinsi Jawa Timur 2012. Surabaya: Dinas Kesehatan Propinsi Jawa Timur, 2013. Gelhan,

Andrew,

et

all

(2007).

Data

Analysis

Using

Regression

and

Multilevel/Hierarchical Models. Cambridge: Cambridge University Press. Hilbe, J. M. (2011). Negative Binomial Regression. Second Edition. Cambridge: Cambridge University Press. Hilbe, J. M. (2014). Modeling Count Data. New York: Cambridge University Press. Ismail, N., Jemain, A. A. (2007). Handling Overdispersion with Negative Binomial and Generalzed Poisson Regression Models. Virgina: Casualty Actuarial Society Forum. Johnson, N. L., et all. (1992). Univariate Discrete Distribution. New York: The Willey Interscience Publication. Kothari, R. C. (2004). Research Methodology Methods & Techniques. New Delhi: New Age International. Lawal, B. (2003). Categorical Data Analysis with SAS and SPSS Application. London: Lawrence Erlbaum Associates.


Lawless, F. J. (1987). Negative Binomial and Mixed Poisson Regression. The Canadian Journal of statistics. 15 (3): 209-225. Lord, D., Park, J. B. Negative Binomial Regression Models and Estimation Methods. Lecture note. McCullagh, P., Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models. London: Chapman and Hall. Muntafiah, Rena, et all. (2014). Pemodelan Regresi Binomial Negatif untuk Mengatasi Overdispersion pada Regresi Poisson. Statistika. 2 (1). Ruliana. 2015. Pemodelan Generalized Poisson Regression (GPR) untuk mengatasi pelanggaran Equidispersion pada Regresi Poisson kasus Campak di kota Semarang. Skirpsi. Utami, W. T. (2013). Analisis Regresi Binomial Negatif untuk Mengatasi Overdispersion Regresi Poisson pada kasus demam berdarah dengue. Statistika. 1 (2). Winkelmann, R. (2008). Econometric Analysis of Count Data. New York: Springer. Zeileis, Achim., et all. (2008). Regression Models for Count Data in R. Journal of statistical Software. 27 (8).


LAMPIRAN

Lampiran 1 Penyelesaian contoh 2.2 dengan menggunakan program R > ##Metode Newton-Raphson > Newton=function(f,tol=1e-12,x0=1, N=100){ + h=1e-12 + i=1;x1=x0 + p=numeric(N) + while(i<=N){ + df.dx=(f(x0+h)-f(x0))/h + x1=(x0-(f(x0)/df.dx)) + p[i]=x1 + i=i+1 + if(abs(x1-x0) ##contoh soal menggunakan Newton-Raphson > f=function(x){x^3-x-1} 105


> h=1e-12 > df.dx=function(x){(f(x+h)-f(x))/h} > df.dx(1);df.dx(2) [1] 2.000178 [1] 11.00098 > app=Newton(f,tol=1e-12,x0=1) > app [1] 1.499956 1.347828 1.325204 1.324718 1.324718 1.324718 1.324718 ##hasil dari app di atas menunjukan bahwa x1=1.499956, x2=1.347828, x3=1.325204, x4=1.324718, x5=1.324718, x6=1.324718, x7=1.324718 dan akar dari persamaan x^3-x-1=0 adalah 1.324718

Lampiran 2 Uji Kolmogorov-Smirnov untuk contoh 2.2

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Data N Poisson Parametera,,b Most Extreme Differences


Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data.

16 3.06 .247 .247 -.117 .990 .281


Lampiran 3

Data banyaknya kasus campak pada 16 kecamatan di kota Semarang Kecamatan Mijen Gunungpati Banyumanik Gajah Mungkur SemarangSelatan Candisari Tembalang Pedurungan Genuk Gayamsari Semarang Timur Semarang Utara SemarangTengah Semarang Barat Tugu Ngaliyan

𝑌 2 12 8 2 22 11 20 11 5 1 7 6 2 1 4 23

𝑋1 955 1094 2692 855 2129 1447 2574 2873 2028 1928 1857 1882 1481 2340 539 2511

𝑋2 2 2 4 1 2 2 3 2 2 1 3 2 2 5 2 3

𝑋3 725 1776 236 1343 1313 1550 3008 1705 201 88 4603 3183 778 2660 1236 2113

𝑋4 1006 1402 5080 7012 13882 12187 3339 8549 3411 11939 10211 11671 11596 7298 984 3226


Lampiran 4 Uji Kolmogorov-Smirnov untuk variabel dependent contoh 3.1

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Data Campak N Poisson Parametera,,b Most Extreme Differences



16 8.56 .304 .304 -.187 1.215 .105

Lampiran 5 Pemodelan Regresi Poisson pada data banyaknya kasus campak pada 16 kecamatan di

kota Semarang > data_campak=read.csv(file.choose()) > data_campak > Y=data_campak[,1] > X1=data_campak[,2] > X2=data_campak[,3] > X3=data_campak[,4] > X4=data_campak[,5]


> Regresi_Poisson=glm(Y~X1+X2+X3+X4, family=poisson) > summary(Regresi_Poisson) Call: glm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4, family = poisson) Deviance Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max

-2.8844 -1.4262 -1.2431 0.9236 4.2930

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 1.248e+00 3.706e-01 3.368 0.000757 *** X1

7.625e-04 1.527e-04 4.994 5.9e-07 ***

X2

-2.699e-01 1.190e-01 -2.269 0.023268 *

X3

2.018e-04 7.624e-05 2.647 0.008115 **

X4

-4.211e-05 2.318e-05 -1.817 0.069268 .

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: 94.345 on 15 degrees of freedom Residual deviance: 62.932 on 11 degrees of freedom AIC: 130.52 Number of Fisher Scoring iterations: 5


Lampiran 6 Pemodelan Regresi Binomial Negatif pada data banyaknya kasus campak pada 16

kecamatan di kota Semarang > library(MASS) > Regresi_Binomial_Negatif=glm.nb(Y~X1+X2+X3+X4) > summary(Regresi_Binomial_Negatif) Call: glm.nb(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4, init.theta = 2.49970112, link = log) Deviance Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max

-1.8691 -0.8137 -0.6142 0.3736 1.6968 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 1.224e+00 6.741e-01 1.815 0.0695 . X1

8.193e-04 3.383e-04 2.422 0.0154 *

X2

-3.458e-01 2.509e-01 -1.378 0.1682

X3

2.255e-04 1.661e-04 1.357 0.1747

X4

-3.428e-05 4.785e-05 -0.717 0.4737

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


(Dispersion parameter for Negative Binomial(2.4997) family taken to be 1) Null deviance: 23.852 on 15 degrees of freedom Residual deviance: 16.601 on 11 degrees of freedom AIC: 107.31 Number of Fisher Scoring iterations: 1 Theta: 2.50 Std. Err.: 1.19 2 x log-likelihood: -95.305


Lampiran 7 Pemodelan Regresi Binomial Negatif tanpa variabel independent pada data banyaknya

kasus campak pada 16 kecamatan di kota Semarang > regresi_Binomial_Negatif=glm.nb(Y~1) > summary(regresi_Binomial_Negatif) Call: glm.nb(formula = Y ~ 1, init.theta = 1.577483673, link = log) Deviance Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max

-1.6631 -1.2795 -0.3037 0.3317 1.3905 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 2.1474

0.2166 9.914 <2e-16 ***

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for Negative Binomial(1.5775) family taken to be 1) Null deviance: 16.907 on 15 degrees of freedom Residual deviance: 16.907 on 15 degrees of freedom AIC: 105.29 Number of Fisher Scoring iterations: 1 Theta: 1.577


Std. Err.: 0.645 2 x log-likelihood: -101.289

Lampiran 8 Data banyaknya kematian Ibu di Propinsi Jawa Timur tahun 2012 𝑌 4 1

𝑋1 0.00 11.19

𝑋2 74.61 76.06

𝑋3 70.87 76.42

𝑋5 96.78 83.6

𝑋6 90.01 77.51

𝑋7 92.59 80.76

𝑋8 92.26 80.84

84.6

𝑋4 0.00 1.53 0.00

2

0.00

102.42

103.37

83.64

98.88

97.33

0

0.00

88.53

83.94

0.00

91.66

85.04

89.57

86.38

4

0.00

86.57

79.75

0.00

91.15

84.42

89.26

89.39

7

6.23

89.41

84.56

0.00

95.38

90.79

92.42

88.78

8

92.39

88.96

94.62

93.07

90.69

103.44

95.63

12.78 0.00

98.16

1

23.05 0.00

102.45

91.41

100.83

96.04

13

0.00

87.82

81.58

0.00

89.3

70.67

85.15

85.63

2

0.00

88.07

81.32

0.00

88.43

79.89

87.04

88.06

6

96.03

86.24

91.61

90.8

95.68

79.7

72.41

0.20 0.00

96.07

8

1.03 0.00

87.05

75.21

82.08

81.11

7

0.00

91.69

79.95

0.00

91.69

79.41

87.23

86.97

10

0.00

90.65

80.43

0.00

89.32

82.8

86.02

82.38

2

0.00

81.54

75.83

0.00

83.83

80.87

84.94

77.53

5

0.00

80.22

73.87

0.00

89.23

78.89

86.56

84.18

6 5 2 0 5 3 7

26.3 0.00 0.15 52.91 12.68 40.55 986.54 0.00

91.97 86 74.52 77.36 95.03 99.07 90.32

86.85 81.04 71.74 74.28 92.26 88.98 87.93

92.18 90.5 78.45 85.87 95.03 103.6 89.98

86.56 84.46 73.31 82.04 92.26 92.45 87.47

90.33 93.32 75.06 85.52 93.92 98.4 93.76

90.58 86.37 74.42 83.79 92.32 95.37 91.22

86.85

84.88

12.19 0.00 0.06 13.17 4.37 13.14 9.68 0.00

108.57

101.55

101.41

100.8

5


5

0.00

88.73

83.12

0.00

91.03

82.52

88.96

87.33

3 5 3 1 1

80.32 79.87 87.59 80.1 67.68

72.85 65.37 81.9 70.78 66.51

93.98 83.72 90.3 76.05 75.15

98.98 96.65 90.74 86.95 75.02

99.57 100.43 88.5 87.7 74.75

78.43

73.07

11.37 0.00 0.68 235.13 1.38 0.00

103.78 106.7 95.4 88.95 75.18

0

53.32 0.00 1.81 596.78 5.73 0.00

79.99

73.53

82.45

79.54

1

0.00

107.42

106.44

0.00

78.44

73.25

79.99

80.22

2 0 0 0 14 0

250.27 0.00 28.17 3.28 934.87 0.47

87.06 83.16 85.57 95.39 85.36 81.14

76.89 68.5 76.74 92.21 83.55 75.24

105.81 0.00 14.09 0.07 0.04 0.33

96.04 95.22 83.01 95.39 87.4 81.14

89.11 90.47 77.58 92.21 84.69 74.85

88.88 93.51 80.62 95.57 81.24 81.27

85.57 93.48 78.9 92.52 78.88 80.34

Lampiran 9 Uji Kolmogorov-Smirnov untuk banyaknya kematian Ibu di propinsi Jawa timur tahun 2012

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Y N Poisson Parametera,,b Most Extreme Differences



38 3.89 .216 .216 -.111 1.333 .057


Lampiran 10 Pemodelan Regresi Poisson pada data banyaknya kematian Ibu di Propinsi Jawa Timur

tahun 2012 > data=read.csv(file.choose()) > data > Y=data[,1] > X1=data[,2] > X2=data[,3] > X3=data[,4] > X4=data[,5] > X5=data[,6] > X6=data[,7] > X7=data[,8] > X8=data[,9] > Regresi_Poisson=glm(Y~X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8, family=poisson) > summary(Regresi_Poisson) Call: glm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8, family = poisson) Deviance Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max

-2.7128 -1.6982 -0.4699 1.0928 2.7845 Coefficients:


Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -0.0157082 1.2678450 -0.012 0.990115 X1

0.0011083 0.0003005 3.688 0.000226 ***

X2

-0.0280953 0.0308357 -0.911 0.362227

X3

0.0504269 0.0308850 1.633 0.102526

X4

-0.0086866 0.0039030 -2.226 0.026042 *

X5

0.1700451 0.0378694 4.490 7.11e-06 ***

X6

-0.0453599 0.0243296 -1.864 0.062266 .

X7

-0.1025708 0.0501153 -2.047 0.040688 *

X8

-0.0343675 0.0440876 -0.780 0.435669

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: 127.842 on 37 degrees of freedom Residual deviance: 81.985 on 29 degrees of freedom AIC: 199.12 Number of Fisher Scoring iterations: 5


Lampiran 11 Pemodelan Regresi Binomial Negatif pada data banyaknya kematian Ibu di Propinsi Jawa

Timur tahun 2012 > library(MASS) > Regresi_Binomial_Negatif=glm.nb(Y~X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8) > summary(Regresi_Binomial_Negatif) Call: glm.nb(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8, init.theta = 3.306785892, link = log) Deviance Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max

-2.2197 -1.2097 -0.2982 0.6762 1.7235 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -0.8507402 1.8859419 -0.451 0.651921 X1

0.0013135 0.0005345 2.458 0.013990 *

X2

-0.0257783 0.0458529 -0.562 0.573982

X3

0.0516181 0.0457189 1.129 0.258885

X4

-0.0089608 0.0048721 -1.839 0.065882 .

X5

0.1919947 0.0581520 3.302 0.000961 ***

X6

-0.0452282 0.0371100 -1.219 0.222935

X7

-0.1054134 0.0730148 -1.444 0.148816


X8

-0.0487728 0.0633830 -0.769 0.441601

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for Negative Binomial(3.3068) family taken to be 1) Null deviance: 67.117 on 37 degrees of freedom Residual deviance: 45.850 on 29 degrees of freedom AIC: 191.12 Number of Fisher Scoring iterations: 1 Theta: 3.31 Std. Err.: 1.69 2 x log-likelihood: -171.118


Lampiran 12 Pemodelan Regresi Binomial Negatif tanpa variabel independent pada data banyaknya

kematian Ibu di Propinsi Jawa Timur tahun 2012 > Regresi_Binomial_Negatif=glm.nb(Y~1) > summary(Regresi_Binomial_Negatif) Call: glm.nb(formula = Y ~ 1, init.theta = 1.414255469, link = log) Deviance Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max

-1.9343 -1.0419 -0.2517 0.4290 1.7217 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 1.3596

0.1593 8.537 <2e-16 ***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for Negative Binomial(1.4143) family taken to be 1) Null deviance: 44.181 on 37 degrees of freedom Residual deviance: 44.181 on 37 degrees of freedom AIC: 191.33 Number of Fisher Scoring iterations: 1 Theta: 1.414 Std. Err.: 0.495 2 x log-likelihood: -187.326

PENDUGAAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF DENGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM. Skripsi

Recommend Documents