PEMODELAN SISTEM FUZZY STATIS SECARA UMUM DAN IDENTIFIKASI KONSTANTA PARAMETER DALAM SISTEM FUZZY STATIS Nadia Ersa Febrina1, Rahmi Rusin2 1
Mahasiswa Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 Staff Pengajar DepartemenMatematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 1
[email protected],
[email protected]
2
ABSTRAK Dalam makalah ini dibahas pemodelan sistem fuzzy statis dan proses penetapan konstanta parameternya. Dalam pemodelan sistem fuzzy statis ada lima hal yang harus ditetapkan, variabel input, subhimpunan fuzzy, fungsi keanggotaan himpunan fuzzy, relasi input-output dan konstanta parameter. Algoritma input-output dalam sistem fuzzy statis diaplikasikan untuk melengkapi proses pemodelan sistem fuzzy statis. Penetapan konstanta parameter, dilakukan sedemikian sehingga eror antara nilai output dari model dan data output yang sebenarnya adalah minimum. Dalam makalah ini, metode yang akan digunakan dalam menetapkan konstanta parameter adalah metode Least-Square.
ABSTRACT This paper discusses static fuzzy system modeling and the process of determining its constant parameters. In static fuzzy system modeling, there are five items that must be considered, they are input variables, fuzzy subset, membership function of fuzzy set, input-output relations, and constant parameters. Input-output algorithm in static fuzzy system is applied to complete the static fuzzy system modeling process. Determining constant parameter is done such that the error between output value and real output data is minimum. In this paper, Least-Square method is used to determine the constant parameter. Keywords : Modeling, Static Fuzzy System, Constant Parameter Identification..
1. PENDAHULUAN Himpunan fuzzy dan logika fuzzy adalah salah satu alternatif yang digunakan dalam pendekatan pemodelan matematika untuk banyak sistem yang kompleks atau informasi ukurannya tidak jelas (vague). Teori himpunan fuzzy dan logika fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965 dalam paper-nya yang berjudul “Fuzzy Set” [9]. Sebelum teori himpunan fuzzy dan logika fuzzy diperkenalkan, pada tahun 1960 Zadeh terlebih dahulu mengembangkan pendekatan linguistik dengan informasi linguistik yang vague yang menjadi dasar untuk teori himpunan fuzzy dan logika fuzzy tersebut. Pemodelan yang menggunakan himpunan fuzzy dan logika fuzzy disebut dengan “Pemodelan Sistem Fuzzy”. Sistem fuzzy sendiri dapat dikatakan sebagai sistem yang input dan output-nya merupakan himpunan fuzzy dan relasi input-output-nya menggunakan logika fuzzy. Berdasarkan [3], sistem fuzzy dapat diklasifikasi menjadi sistem fuzzy statis dan sistem fuzzy dinamis. Sistem fuzzy statis merupakan sistem yang tidak melibatkan difference atau differential equation dalam pendeskripsian relasi input dan output-nya. Sedangkan untuk sistem fuzzy dinamis melibatkan difference atau differential equation. Dalam makalah ini yang dibahas hanyalah sistem fuzzy statis.
Saat memodelkan sistem fuzzy statis, salah satu yang harus diperhatikan adalah algoritma inputoutput-nya. Algoritma input-output pada sistem fuzzy statis ada 3 tahap: menghitung nilai output berdasarkan input yang bersesuaian, menghitung nilai keanggotaan output, dan menghitung nilai output akhir (nilai output sistem secara keseluruhan). Ada lima hal yang harus ditetapkan sebelum menerapkan algoritma input-output dalam pemodelan sistem fuzzy statis yaitu variabel input, subhimpunan fuzzy, fungsi keanggotaan, relasi input-output dan konstanta koefisien. Saat penetapan konstanta koefisien atau dikenal dengan proses identifikasi konstanta parameter, yang dilakukan adalah meminimumkan eror antara nilai output dari model dan data output yang sebenarnya dari sistem yang dimodelkan [3]. Dengan kata lain, identifikasi konstanta parameter dilakukan dengan mengestimasi nilai konstanta parameter sedemikian sehingga model sistem mendekati sistem yang sebenarnya. Ada beberapa teknik untuk mengestimasi konstanta parameter, salah satunya adalah menggunakan metode Least-Square.
2. LANDASAN TEORI 2.1 Teori Himpunan Fuzzy
Pemodelan sistem..., Nadia Ersa Febrina, FMIPA UI, 2013
Himpunan fuzzy adalah sebuah kumpulan dari elemen-elemen dalam himpunan semesta dimana batasan elemen-elemen yang masuk ke dalam himpunan fuzzy adalah ambigu, vaque dan tidak jelas. Keanggotaan pada himpunan fuzzy berbeda dengan himpunan crisp (klasik), pada himpunan crisp tidak mengizinkan elemennya mempunyai keanggotaan selain 0 dan 1. Sehingga diperlukan perumuman fungsi karakteristik pada himpunan crisp untuk mendeskripsikan fungsi karakteristik himpunan fuzzy (fungsi keanggotaan) yang elemennya mempunyai keanggotaan parsial yaitu nilai keanggotaannya merupakan nilai kontinu dengan range [0,1] [13]. Fungsi keanggotaan menggambarkan derajat kepercayaan sebuah elemen masuk ke dalam suatu himpunan. Definisi 2.1 (Subhimpunan Fuzzy) Misalkan dan misalkan adalah sebuah subhimpunan dari , - disebut fungsi himpunan semesta . keanggotaan yang mewakili derajat kepercayaan masuk ke . Maka subhimpunan fuzzy didefinisikan sebagai sebuah himpunan dari pasangan berurut (2.1) ( )) {( } Fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy dinotasikan sebagai ( ). [9]
Definisi 2.5 (Normal fuzzy set) Misalkan , - adalah fungsi keanggotaan subhimpunan fuzzy , maka disebut normal jika ( ) (2.7) [9] Extension principle diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1975 dan merupakan elemen yang penting dalam teori himpunan fuzzy. Jika diberikan sebuah pemetaan dari domain ke daerah hasilnya dan di dalam subhimpunan domain telah didefinisikan fungsi keanggotaan, maka extension principle menunjukkan bagaimana menentukan fungsi keanggotaan pada subhimpunan di kodomain yang merupakan daerah hasilnya [12]. Perhatikan fungsi yang merupakan pemetaan dari himpunan crisp ke himpunan crisp . Misalkan adalah subhimpunan fuzzy dari himpunan dengan fungsi keanggotaan . ( ) dalam Lebih lanjut himpunan yang dihasilkan oleh ditetapkan sebagai himpunan fuzzy sehingga perlu didefinisikan fungsi keanggotaannya. Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy dapat didefinisikan dengan: ( ) ( ) (2.8) ( )
Persamaan (2.8) merupakan ciri dari extension principle dan disebut extended function [3]. Bilangan fuzzy didefinisikan sebagai berikut:
Untuk selanjutnya, kata “himpunan fuzzy” bisa digunakan untuk menyatakan “subhimpunan fuzzy” tanpa mengubah makna. Beberapa konsep dasar dari himpunan fuzzy, seperti support, himpunan fuzzy normal, -cut dan himpunan fuzzy konveks didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.2 (Support) Support dari sebuah himpunan ( ), adalah fuzzy dalam himpunan semesta , sebuah himpunan crisp yang berisikan semua elemen dari yang nilai keanggotaannya tidak nol dalam , yaitu ( ) * ( ) (2.2) + [13] Definisi 2.3 (Strong -cut dan Weak -cut) Dua subhimpunan, dan ̅ dari himpunan fuzzy yang didefinisikan masing-masing dengan * ( ) + , ) (2.3) * ( ) + ( (2.4) ̅ disebut strong –cut dan weak –cut ( -level). [3] Definisi 2.4 (Convexity) Sebuah himpunan fuzzy dari himpunan semesta adalah konveks jika dan hanya jika setiap himpunan α-level * ( ) + (2.5) ( ̅ adalah konveks, yakni untuk sembarang , -, dan sembarang ( ( ) ) min* ( ) ( )+ (2.6) [3]
Definisi 2.6 (Bilangan Fuzzy) Bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy konveks dan normal dengan weak α-cut nya adalah sebuah interval tutup. [1] Untuk selanjutnya himpunan fuzzy yang digunakan merupakan bilangan fuzzy. Karena weak -cut-nya adalah interval tutup maka bilangan fuzzy merupakan himpunan dari interval tutup bilangan real sehingga dalam aritmatika bilangan fuzzy dibutuhkan konsep aritmatika interval. Definisi 2.7 Misalkan [ ] 0 1 dan 0 1, di mana , adalah interval subhimpunan dari himpunan bilangan real. Beberapa dasar aritmatika interval didefinisikan sebagai berikut: 1. Penambahan : 0 1 0 1 0 1 2. Pengurangan : 0 1 0 1 0 1 [
3. Kebalikan : Jika [ Jika
[
4. Perkalian : 0 dengan
] maka
]
] maka [ 1 0 *
Pemodelan sistem..., Nadia Ersa Febrina, FMIPA UI, 2013
[ ]
] tidak terdefinisi
1
0
1 +
* 5. Pembagian : 0
0
1
0
1
+ 0
10
1 , dengan
1.
[3] Untuk aritmatika bilangan fuzzy, berdasarkan extension principle terdapat sebuah aturan umum sebagai berikut: ATURAN UMUM. Misalkan dan adalah subhimpunan fuzzy dari himpunan semesta , subhimpunan dari himpunan bilangan real, , dan perhatikan fungsi diperluas dua variabel (two-variable extended function) berikut: Misalkan adalah daerah hasil dari , di mana merupakan subhimpunan fuzzy dari himpunan dengan fungsi keanggotaannya . Jika diberikan , dengan nilai keanggotaan masing( ), dan ( ) ( ) dan maka masing ( ) didefinisikan dengan ( ) ( )+ sup * ( ) (
)
sup min* (
( )
( )+
)
(2.9)
[3] 2.2 Sistem Fuzzy Sistem secara umum mempunyai tiga komponen: input, proses dan output. Sedangkan yang membedakan sistem fuzzy dengan sistem biasa adalah terdapat proses fuzzification dan proses defuzzification. Proses fuzzification digunakan untuk mengubah input yang tidak fuzzy (input crisp) menjadi input fuzzy sehingga bisa diproses didalam
sistem fuzzy. Input yang crisp ditransformasi ke dalam bentuk fuzzy (input fuzzy) dengan mendefinisikan fungsi keanggotaan pada himpunan input yang crisp tersebut. Sedangkan proses defuzzification digunakan untuk mengubah output yang fuzzy menjadi output crisp. Output-output fuzzy ditransformasi kembali menjadi output yang crisp, dengan cara mengkombinasikan output-output fuzzy kedalam hasil crisp yang tunggal sebagai hasil akhir untuk semua output yang ada (sistem secara keseluruhan). Pada bagian “proses” dalam sistem fuzzy pada makalah ini berisikan Bentuk Umum Aturan Logika Fuzzy (kumpulan aturan JIKA-MAKA fuzzy). Jadi, sistem fuzzy dapat dikatakan sebagai sebuah sistem yang input-output-nya adalah himpunan fuzzy dan bagian “proses” berisikan dasar aturan logika fuzzy (kumpulan aturan JIKA-MAKA fuzzy). Ada beberapa metode defuzzification di dalam banyak literatur. Menurut [13], disebutkan bahwa metode defuzzification yang terbaik (berdasarkan eror) adalah metode Center-of-Gravity Defuzzification. Misalkan ada aturan JIKA-MAKA fuzzy, maka formula defuzzification menggunakan metode Center-of-Gravity Defuzzification adalah ∑ ( ) (2.10) ∑ ( ) di mana adalah output fuzzy pada aturan ke- , dan ( ) adalah nilai keanggotaan output fuzzy , . Ada dua tipe aturan sistem fuzzy [10], yaitu: 1. Sistem fuzzy menggunakan aturan Mamdani 2. Sistem fuzzy menggunakan aturan Takagi-Sugeno. Aturan sistem fuzzy yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya adalah sistem fuzzy menggunakan aturan Takagi-Sugeno. Sistem fuzzy secara lengkap dapat dilihat dalam Gambar 2.1.
Dasar Aturan (Logika) Fuzzy
x elemen dari himpunan crisp U
fuzzification
Koleksi Aturan JIKA-MAKA defuzzification Fuzzy y elemen dari x elemen dari y elemen dari himpunan Fuzzy X
himpunan Fuzzy Y
Gambar 2.1 Skema Sistem Fuzzy yang Lengkap
Pemodelan sistem..., Nadia Ersa Febrina, FMIPA UI, 2013
himpunan crisp V
( )
2.3 Metode Least-Square Misalkan terdapat sistem persamaan linear (2.11)
⋮
Persamaan (2.5) dapat dituliskan kembali dalam bentuk persamaan matriks berikut: (2.12) Dengan adalah sebuah matriks input [ ⋮
⋮ ],
⋮
adalah vektor parameter
yang tidak diketahui
[ ⋮ ], dan
(2.13)
( (
) (
) )(
) (2.19)
Maka turunan dari ( ) adalah ( ) Dengan
( )
(2.20)
̂ maka didapatkan
di
̂ ̂ ̂ (2.21) Jadi nonsingular maka nilai optimal ̂ yang diberikan melalui metode least-squares adalah ̂ ( (2.22) ) [7]
(2.14) Teorema di atas berlaku untuk nonsingular. Apabila singular maka LSE tidak unik dan harus menggunakan konsep generalized inverse untuk menemukan ̂ .
adalah vektor output [ ⋮ ],
(2.15)
Untuk mengidentifikasi keunikan vektor yang tidak diketahui, diperlukan syarat . Jika matriks persegi ( ) dan nonsingular, maka nilai untuk persamaan (2.6) adalah (2.16) Solusi eksak yang memenuhi persamaan (2.12) tidak selalu mungkin didapat, karena mungkin saja data input-output yang diberikan mengandung “noise”. Sehingga bentuk persamaan dengan erornya akan dituliskan kembali menjadi . Karena ̂ dengan eror seminimal akan diestimasi nilai mungkin maka jumlah kuadrat eror dengan memisalkan adalah vektor baris dari matriks dan , didefinisikan sebagai berikut:
3. PEMBAHASAN
(2.16)
3.1 Pemodelan Sistem Fuzzy Statis Dalam proses pemodelan sistem fuzzy statis ada lima hal yang harus di tetapkan: 1. : variabel input, digunakan sebagai premis dari implikasi logika fuzzy. 2. : interval variabel input, yang merupakan himpunan fuzzy. 3. : fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy. 4. : relasi, digunakan untuk mendeskripsikan tingkah laku input dan output. 5. ( ) : konstanta parameter dari model, digunakan untuk model matematika secara keseluruhan. [3]
( ) ( ) di mana . Teorema berikut menyatakan sebuah kondisi perlu yang memenuhi least-square estimator ̂
Setelah kelima hal di atas telah ditetapkan, proses pemodelan sistem fuzzy statis dikatakan lengkap (selesai) apabila telah diaplikasikan algoritma input-output sistem fuzzy statis.
Teorema 2.1: (Estimasi Least-Squares) Kuadrat eror ̂, dalam persamaan (2.16) diminimumkan ketika disebut least-squares estimator (LSE), di mana memenuhi persamaan normal ̂ (2.17) Jika nonsingular, ̂ adalah unik dan diberikan dengan ̂ (2.18) ( ) [8]
3.2 Algoritma Relasi Input-Output pada Sistem Fuzzy Statis Algoritma input-output sistem fuzzy mempunyai tiga tahap, yaitu 1. Mencari nilai output yang bersesuaian dengan nilai input. 2. Menetapkan nilai keanggotaan output. Dalam makalah ini nilai keanggotaan output didapatkan berdasarkan Aturan Umum
( )
∑(
)
( )
Bukti: Dalam estimasi nilai dengan metode LeastSquares untuk persamaan , dapat dilakukan dengan melihat turunan ( ) terhadap akan sama dengan nol.
{ (
( )
( )
)
(
)}
(3.1)
3. Selanjutnya mencari nilai akhir sistem fuzzy, didapatkan dengan proses defuzzification. Metode
Pemodelan sistem..., Nadia Ersa Febrina, FMIPA UI, 2013
defuzzification yang digunakan adalah Center-ofGravity Defuzzification: ∑ ( ) (3.2) ∑ ( ) 3.3
Identifikasi Konstanta Parameter dalam Pemodelan Sistem Fuzzy Statis
Dalam tahap pemodelan, setelah relasi inputoutput telah ditetapkan, maka selanjutnya yang ditetapkan adalah konstanta koefisiennya. Sehingga yang dibahas selanjutnya adalah masalah penetapan konstanta koefisien atau dikenal dengan identifikasi konstanta parameter. Penetapan konstanta koefisien penting karena digunakan untuk model sistem secara keseluruhan. Salah satu metode mengidentifikasi konstanta parameter yang sering digunakan adalah metode Least-Squares. Berikut akan dilihat bagaimana metode Least-Squares ini digunakan untuk mengidentifikasi parameter dalam pemodelan sistem fuzzy statis dengan relasi input-output-nya berbentuk linear : Anggap terdapat aturan-aturan JIKA-MAKA fuzzy sebanyak : :“
JIKA MAKA
⋮
Dengan memasukkan input pertama sampai input keM kedalam persamaan output akhir (3.7), maka didapat persamaan output dari setiap data, , sebagai berikut: -
∑,
⋮ [
]
-
∑,
(3.8)
⋮ [
]
⋮ -
∑,
⋮ [
]
Maka persamaan output akhir (3.8) dapat ditulis kembali dengan ⋮
DAN ... DAN ”,
:“
JIKA di MAKA ”.
(3.3)
di
DAN ... DAN
∑ ∑
( ) ( )
[
⋮
]
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
[
Untuk setiap , semua himpunan fuzzy merupakan himpunan fuzzy yang sama , dan . Jadi output akhir untuk input yang diberikan berdasarkan algoritma input-output sistem fuzzy statis yang dijelaskan sebelumnya adalah sebagai berikut: ∑
]
⋮ [
(
(
))
⋮
( ) (3.5) ∑ ( ) Maka persamaan output akhir dapat ditulis kembali menjadi (
)
⋮
⋮
⋮ ] (
,
-(
,
-[ ⋮ ] input
(
(
(3.6) ∑
Misalkan terdapat data sebanyak sebagai berikut:
]
(3.9) Persamaan matriks (3.9) dapat dituliskan dalam matriks (3.10) di mana
[
∑,
⋮
(3.4)
di mana
∑
⋮
.
) (
( )
))
) , (3.12) (3.13)
) (
)/
(3.14)
(3.7) dan
output
Dalam mengestimasi nilai maka biasanya lebih besar sama dengan ( ( )), atau dengan kata lain, jumlah data input-output lebih banyak dari pada jumlah parameter yang akan diestimasi. Metode Least-Squares standar dapat digunakan dalam mengestimasi nilai pada pemodelan sistem fuzzy, karena entri-entri dalam matrik dan merupakan skalar (bilangan real). Karena identifikasi konstanta
Pemodelan sistem..., Nadia Ersa Febrina, FMIPA UI, 2013
parameter menggunakan metode Least-Square dengan membuat eror yang seminimal mungkin, maka dapat dikatakan nilai yang didapat dari metode LeastSquare akan membuat model dari sistem mendekati sistem yang sebenarnya. Dengan kata lain, model sistem yang didapat menggunakan metode LeastSquare akan optimal.
4. KESIMPULAN Dalam membuat model matematika untuk sistem fuzzy statis ada lima hal yang harus ditetapkan variabel input, subhimpunan fuzzy, fungsi keanggotaan himpunan fuzzy, relasi input-output dan konstanta parameter. Setelah kelima hal tersebut telah ditetapkan, proses pemodelan sistem fuzzy statis dikatakan lengkap (selesai) apabila telah diaplikasikan algoritma input-output yaitu: 1. menghitung nilai output berdasarkan input yang bersesuaian, 2. menetapkan nilai keanggotaan output, salah satunya dengan menggunakan Aturan Umum dan 3. menetapkan nilai output akhir (nilai output sistem secara keseluruhan) melalui proses defuzzification, salah satunya adalah dengan menggunakan metode Center-of-Gravity Defuzzification. Salah satu metode untuk menetapkan konstanta koefisien (identifikasi konstanta parameter) pada sistem fuzzy statis dengan relasi input-outputnya berbentuk linear adalah metode Least-Square. Sebelum mengidentifikasi konstanta parameter saat memodelkan sistem fuzzy statis, terlebih dahulu dilakukan pembentukan matriks dan sedemikian sehingga entri di setiap matriksnya adalah skalar. Karena entri matriks dan adalah skalar, metode Least-Square yang digunakan adalah metode LeastSquare biasa. Karena error yang dihasilkan dengan metode Least-Square minimal, maka model sistem tersebut mendekati sistem yang sebenarnya.
UCAPAN TERIMA KASIH Alhamdulillahi rabbil „aalamin, puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan paper ini.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Departemen Matematika yang telah memfasilitasi penulis dalam menyelesaikan paper ini.
DAFTAR PUSTAKA [1] Bojadziev, G. & Bojadziev, M. (2007). Fuzzy Logic for Business, Finances and Management. Singapore: World Scientific. [2] Burden, R.L & Faire, J.D. (2001). Numerical Analysis. United Statet of America: Books/Cole. [3] Chen, G. & Pham, T.T. (2001). Introduction to Fuzzy Set, Fuzzy Logic and Fuzzy Control System. United State of America: CRC Press. [4] Dubois, D. & Prade, H. (1980). Fuzzy Set and System: Theory and Applications. Academic Press. [5] Gao, S., Zhang, Z. & Cao, C. (2009). Multiplication Operation of Fuzzy Number. Jurnal of Software, 4,4. [6] Strang, G (2006). Linear Algebra and Its Applications. (4th ed.) : Thomson-Books/Cole [7] Jamshidi, M. (2003). Tools for Intelligent Control: Fuzzy Controller, Neural Networks and Genetic Algoritms. The Royal Society, 361, 1781-1808. [8] Jang, J.S.R., Sun, C.T. & Mizutani, E. (1997). Neuro-Fuzzy and Soft Computing (A Computational Approch to Learning and Machine Intelligence. United State of America: Prentice-Hall International. [9] Leondes, C.T.(Ed.). (1998). Neural Network System Techniques and Applications: Fuzzy Logic and Expert Systems Applications (Vols 6). United State of America: Academic Press. [10] Nanayakkara, T., Sahin, F. & Jamshidi, M. (2010). Intelligent Control System with an Introduction to System of System Engineering. United State of America: CRC Press. [11] Reznik, L. (1997). Fuzzy Controller : Newness. [12] Passino, K.M. & Yurkovich, S. (1998). Fuzzy Control. California: Addison-Wesley Longman. [13] Wang, L.X. (1997). A Course in Fuzzy Systems and Control : Printice-Hall International
Pemodelan sistem..., Nadia Ersa Febrina, FMIPA UI, 2013
