PELUANG PARTIKEL PLASMA BERADA PADA DIMENSI DEBYE AKIBAT GANGGUAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER
SISKA CLARA SARI
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Peluang Partikel Plasma berada pada Dimensi Debye akibat Gangguan Gelombang Elektromagnetik dengan menggunakan Persamaan Schrödinger adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juni 2014 Siska Clara Sari NIM G74100024
ABSTRAK SISKA CLARA SARI. Peluang Partikel Plasma berada pada Dimensi Debye akibat Gangguan Gelombang Elektromagnetik dengan menggunakan Persamaan Schrödinger. Dibimbing oleh ABDUL DJAMIL HUSIN. Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan potensial Coulomb plasma dalam koordinat bola menghasilkan solusi persamaan gelombang dan energi partikel plasma. Rapat peluang elektron dan ion pada daerah Debye dengan pengaruh termal adalah sama, yang menandakan plasma dalam keadaan netral. Gangguan gelombang elektromagnetik berupa medan listrik pada plasma diberikan untuk memperoleh fungsi gelombang sistem terganggu. Rapat peluang partikel plasma akibat gangguan gelombang elektromagnetik tertinggi diperoleh ketika frekuensi gelombang elektromagnetik 1.41 kali frekuensi plasma. Kata kunci: gelombang elektromagnetik, plasma, Schrodinger
ABSTRACT SISKA CLARA SARI. Probability Particle Plasma in Debye Length due to Electromagnetic Waves with Schrödinger Equations. Supervised by ABDUL DJAMIL HUSIN. The solution of Schrodinger equations with plasma Coulomb potential in spherical coordinat results solution wave function and energy plasma particle. Electron probability density at Debye length with thermal effect same as ion, which indicates plasma in neutral state. Electromagnetic waves perturbation of an electric field given to result wave function perturbation system. The probability density of plasma particle due to electromagnetic waves perturbation is the largest when an electromagnetic waves frequency 1.41 times the plasma frequency . Keywords: electromagnetic wave, plasma, Schrödinger
PELUANG PARTIKEL PLASMA BERADA PADA DIMENSI DEBYE AKIBAT GANGGUAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER
SISKA CLARA SARI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Peluang Partikel Plasma Berada Pada Dimensi Debye Akibat Gangguan Gelombang Elektromagnetik dengan Menggunakan Persamaan Schrödinger Nama : Siska Clara Sari NIM : G74100024
Disetujui oleh
Abdul Djamil Husin, M.Si Pembimbing
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2013 ini ialah Fisika Plasma dalam Bidang Energi Termonuklir, dengan judul Peluang Partikel Plasma berada pada Dimensi Debye akibat Gangguan Gelombang Elektromagnetik dengan menggunakan Persamaan Schrödinger. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. Kedua orang tua tercinta Bapak Yulianto dan Ibu Yulina Sari, serta adik penulis Yoanda Dwi Praditya yang tidak henti memberikan doa dan dukungannya. 2. Bapak Abdul Djamil Husin, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan saran serta arahan selama penelitian dan penulisan karya ilmiah ini. 3. Bapak Dr. Akhiruddin Maddu dan Ibu Dr. Siti Nikmatin selaku dosen penguji atas saran dan masukkannya dalam karya ilmiah ini. 4. Bapak Sidikrubadi Pramudito, M.Si selaku dosen pembimbing akademik selama perkuliahan, Bapak Dr. Husin Alatas selaku kepala bagian Fisika Teori, seluruh dosen dan staf departemen Fisika IPB, serta staf Perpustakaan FMIPA dan IPB yang telah banyak membantu penulis dalam menyelesaikan perkuliahan di departemen Fisika. 5. Teman-teman Fisika IPB 47, senior, dan junior, sepupu tersayang (Septina Maulida, S.Si), teman sebimbingan (Fahmi Rahmatia), Crazy People, New Seals, Genk Tjantik, Kost Putri Chika, dan Keluarga Mahasiswa Lampung atas segala doa, dukungan, dan bantuannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2014 Siska Clara Sari
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Reaksi Fusi dan Plasma
2
Debye Sheilding
2
Gelombang Pada Plasma dengan Pemodelan Fluida
3
Persamaan Schrödinger
4
Teori Gangguan Bergantung Waktu
5
METODE
6
Waktu dan Tempat Penelitian
6
Metode Penelitian
6
HASIL DAN PEMBAHASAN SIMPULAN DAN SARAN
7 17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
18
RIWAYAT HIDUP
19
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
19
DAFTAR TABEL 1
Rapat peluang untuk lima keadaan kuantum
12
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4
Rapat peluang elektron tanpa gangguan medan listrik 13 Rapat peluang ion tanpa gangguan medan listrik (a) Rapat peluang elektron akibat gangguan medan listrik terhadap daerah Debye (r) (b) terhadap waktu (t) (a) Rapat peluang ion akibat gangguan medan listrik terhadap daerah Debye (r) (b) terhadap waktu (t)
13 16 16
PENDAHULUAN Latar Belakang Reaksi fusi merupakan reaksi penggabungan dua inti atom ringan menjadi inti atom yang lebih berat sambil melepaskan energi. Reaksi fusi dapat terjadi pada fasa plasma, yaitu bentuk ke-empat dari materi yang dicirikan dengan bentuk gas yang mengalami ionisasi.1 Untuk mencapai fasa plasma dibutuhkan temperatur yang sangat tinggi yang setara dengan energi ionisasi atom. Interaksi elektomagnetik antar partikel bermuatan dalam plasma dapat terjadi pada daerah Debye yang memiliki orde sekitar milimeter. Selain pada daerah Debye partikel bermuatan dalam plasma dianggap sama seperti fluida. Inersia ion positif yang lebih besar membuat pergerakan ion positif lebih lambat dibandingkan elektron sehingga membuat peluang untuk terjadinya tumbukan antar ion-ion positif lebih kecil dibandingkan ion. Persamaan gelombang pada plasma dengan mengaggap plasma berperilaku seperti fluida telah diselesaikan dengan mencari solusi dari persamaan kontinuitas dan transfer momentum fluida plasma yang merupakan bentuk persamaan kerapatan partikel pada plasma, yaitu elektron dan ion yang mengindikasikan bahwa dengan adanya gangguan gelombang elektromagnetik maka kerapatan elektron dan ion pada daerah Debye meningkat. Penelitian ini dilakukan dengan meninjau plasma terdiri atas partikel bermuatan yaitu elektron dan ion yang bergerak bebas dalam ruang tiga dimensi sehingga peluang keberadaan partikel plasma pada daerah Debye dapat diketahui dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk masing-masing keadaan yaitu tanpa gangguan dan dengan gangguan gelombang elektromagnetik.
Perumusan Masalah Menghitung peluang keberadaan suatu partikel dalam plasma yang merupakan keadaan gas yang terionisasi dapat diketahui dengan terlebih dahulu mencari persamaan gelombang untuk masing-masing keadaan yaitu sebelum diberi gangguan dan setelah diberi gangguan berupa gelombang elektromagnetik. Persamaan fungsi gelombang ini dapat dihasilkan dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger tiga dimensi dalam koordinat bola menggunakan metode pemisahan variabel sehingga diperoleh tiga persamaan utama yaitu waktu, angular dan radial. Penyelesaian persamaan-persamaan tersebut menggunakan fungsi diferensial Legendre untuk persamaan angular dan fungsi diferensial Lageurre untuk persamaan radial. Plasma dengan gangguan gelombang elektromagnetik diselesaikan dengan mencari fungsi eigen sistem terganggu. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui peluang keberadaan ion dan elektron pada dimensi Debye plasma sebelum diberi gangguan dan setelah diberi gangguan gelombang elektromagnetik dengan persamaan Schrödinger untuk menghasilkan reaksi fusi terkontrol.
2
TINJAUAN PUSTAKA Reaksi Fusi dan Plasma Energi dari matahari dan bintang merupakan hasil reaksi termonuklir. Di bumi reaksi termonuklir atau disebut sebagai reaksi fusi terkontrol merupakan penggabungan dua inti atom ringan menjadi inti atom lebih berat sambil melepaskan energi. Agar reaksi fusi dapat terjadi maka inti-inti harus bergabung dengan melawan gaya tolakan Coulomb. Salah satu cara untuk melawan gaya tolakan Coulomb adalah dengan memanasi ion-ion tersebut dengan suhu yang sangat tinggi, sehingga ion-ion dapat bergerak secara acak mengakibatkan ion-ion bertumbukan dan bergabung, yaitu dengan melawan gaya tolakan Coulomb. Plasma merupakan bentuk ke-empat dari materi yang berbeda dengan zat padat dan fluida (zat cair dan gas).1 Ketika zat padat dipanaskan maka akan ada perubahan fasa menjadi zat cair dan gas, jika pemanasan dilakukan terus-menerus hal ini dapat merusak energi ikat yang dimiliki oleh elektron dengan inti atom, akibatnya elektron akan keluar dari orbitalnya maka elektron dikatakan mengalami ionisasi. Keadaan dimana gas mengalami ionisasi inilah yang disebut sebagai plasma. Plasma terdiri dari partikel-partikel bermuatan listrik yang saling terikat oleh gaya Coulomb sehingga memberikan sifat kolektif pada plasma. Sifat listrik yang dimiliki plasma inilah yang membedakannya dengan fluida lain karena muatan-muatan pada plasma saling berkumpul membangkitkan konsentrasi muatan positif atau muatan negatif sehingga menghasilkan medan listrik. Selain itu gerak dari muatan ini juga membangkitkan arus listrik dan medan magnet. Gaya yang dirasakan oleh masing-masing partikel pada keadaan dimana tidak ada gangguan.3 (1) Persamaan (1) menyatakan bahwa setiap muatan q akan mendapatkan pengaruh medan listrik E akibat kumpulan muatan disekitarnya dan medan magnet B akibat pergerakan muatan-muatan disekitarnya. Debye Shielding Karakteristik fundamental pada sifat kolektif plasma yaitu kemampuannya dalam melindungi diri dari potensial listrik yang diberikan. Hal ini disebabkan oleh konduktivitas listrik yang tinggi yang dimiliki plasma, sehingga arus listrik yang masuk seolah akan dihubung pendek dalam ruang.3Panjang Debye dituliskan dalam persamaan: (2)
dengan dan T merupakan kerapatan elektron dalam plasma dan temperatur elektron dalam plasma. Panjang Debye didefinisikan menggunakan kerapatan dan temperatur elektron karena elektron lebih lebih mudah bergerak dibandingkan ion. Adanya panjang Debye ini dapat diketahui rata-rata jumlah partikel dalam bola Debye yang berkaitan dengan parameter plasma.
3 (3) Telah diketahui bahwa panjang Debye sangat kecil dibandingkan dengan plasma yang menyebabkan adanya sifat kolektif plasma. Gelombang Pada Plasma dengan Pemodelan Fluida Osilasi gelombang pada plasma merupakan fluktuasi kerapatan partikelpartikel dalam plasma.3 Plasma dapat dimodelkan dengan menggunakan dua model fluida yaitu fluida elektron dan fluida ion. Persamaan kontinuitas dan persamaan trasnfer momentum diperoleh dari persamaan Vlasov, (4) (5) dengan n,u,q,E,p, dan m berturut-turut menyatakan kerapatan partikel, kecepatan partikel, muatan, medan listrik, dan tekanan partikel, serta j menyatakan jenis partikel. Persamaan diatas dapat diselesaikan menggunakan persamaan Maxwell (sistem satuan cgs dalam esu).4 (6) (7) (8)
-
(9) E = medan listrik, B = medan magnet, J = rapat arus, c = kecepatan cahaya. Bentuk persamaan osilasi kerapatan elektron dan ion dengan mengganggap tidak ada faktor medan eksternal yang mempengaruhi plasma dapat dituliskan dalam bentuk linieritas berikut.3 (10) Persamaan osilasi elektron akibat pengaruh termal dituliskan sebagai berikut, (11) dengan merupakan kecepatan elektron karena pengaruh termal dan merupakan frekuensi sudut plasma elektron karena pengaruh internal yang memiliki harga
(12) Persamaan osilasi ion akibat pengaruh termal dituliskan sebagai berikut, (13) dengan Z adalah nomor atom atau jumlah proton, M adalah massa ion, energi termal yang diterima elektron dan adalah energi termal yang diterima ion. Persamaan osilasi kerapatan ion dan elektron didalam plasma dengan adanya gangguan gelombang elektromagnetik didapatkan dengan menyelesaikan persamaan kontinuitas dan transfer momentum dari persamaan Vlasov dengan meninjau bahwa , dengan adalah osilasi kerapatan partikel j karena pengaruh termal dan adalah osilasi
4 kerapatan partikel j karena pengaruh gelombang elektromagnetik. Bentuk osilasi kerapatan elektron dan ion karena pengaruh medan elektromagnetik dapat dituliskan dalam persamaan berikut.3 (14) (15) Bentuk merupakan bentuk osilasi medan internal karena pengaruh medan elektrostatik luar dengan adalah amplitudo medan elektrostatik dari luar dan adalah eksitasi medan internal. Persamaan Schrödinger Fungsi gelombang merupakan kuantitas variabel yang memberikan karakteristik dari gelombang de Broglie dengan lambang Ψ. Harga fungsi gelombang yang berkaitan dengan sebuah benda bergerak pada suatu titik tertentu x, y, z dalam ruang pada saat t bertautan dengan peluang untuk mendapatkan benda tersebut ditempat pada saat t.2 Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan variabel y dalam gerak gelombang pada umumnya namun dapat berupa kuantitas yang kompleks karena Ψ bukanlah kuantitas yang dapat diukur. Fungsi gelombang Ψ untuk partikel bebas dituliskan sebagai berikut.2 (15) Selanjutnya dengan menurunkan dua kali persamaan (16) terhadap x, sekali terhadap t, dan dengan mengambil syarat maka diperoleh bentuk persamaan Schrödinger yang bergantung waktu dalam tiga dimensi koordinat kartesian yaitu (16) dengan memasukkan energi potensial plasma yaitu (17) ND, q, D, r berturut-turut adalah banyaknya partikel pada panjang Debye, muatan partikel, panjang Debye, dan jari-jari bidang. Persamaan Schrödinger yang bergantung waktu dalam tiga dimensi koordinat kartesian yaitu (18) Persamaan Schrodinger dalam koordinat kartesian kadang rumit untuk diselesaikan sehingga penggunaan koordinat bola menjadi hal yang penting untuk diperhatikan. Dalam koordinat bola persamaan Schrödinger memiliki bentuk
(19) Persamaan Schrödinger ini merupakan suatu postulat yang dianggap benar dan dapat diselesaikan dengan syarat batas sesuai dengan partikel yang ditinjau.
5 Teori Gangguan Bergantung Waktu Persamaan Schrödinger bergantung waktu sebelum gangguan (20) Pemisahan variabel (21) dimana merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu yang memiliki bentuk Hamiltonian, (22) Misalkan terdapat dua level energi a dan b maka bentuk Hamiltonian di atas dapat dituliskan. (23) (24) yang memiliki sifat orthogonalitas (25) dalam ekspersi kombinasi linier persamaan Schrödinger bebas waktu memiliki bentuk (26) 5 jika bergantung waktu menjadi: (27) dengan hasil normalisasi yaitu (28) Suatu sistem yang mengalami gangguan harus ditentukan terlebih dahulu bentuk gangguan yang akan diberikan, dengan menganggap gangguan yang diberikan sangat kecil dan bergantung waktu, sistem Hamiltonian dengan ada gangguan H=H0+H’(t) (29) H0 adalah sistem Hamiltonian tanpa gangguan dan H’(t) adalah bentuk gangguan bergantung waktu, maka persamaan Schrödinger memiliki bentuk
(31) berdasarkan sifat orthogonalitas bentuk persamaan diatas dapat dipecahkan dan diperoleh 5 (32) (33) Persamaan diatas memperlihatkan bahwa Ca dan Cb merupakan fungsi yang bergantung terhadap waktu. Untuk kasus khusus elemen diagonal matrik akan saling menghilangkan, dimana (34) (35) Dapat ditentukan Ca dan Cb untuk orde ke-n dimana n=0,1,2,..., sehingga peluang keberadaan atau transisi suatu partikel dapat diketahui, yaitu
6 (36) Orde ke-nol (37) Orde ke-1 (38) (39)
METODE Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilaksanakan pada bulan November 2013 sampai bulan Maret 2014.Tempat penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi Departemen Fisika Institut Pertanian Bogor. Metode Penelitian Dengan menggunakan persamaan Schrödinger yang bergantung waktu akan dicoba untuk mencari peluang keberadaan partikel plasma sebelum dan setelah diberi gangguan gelombang elektromagnetik. Penyelesain persamaan Schrodinger sebelum diberi gangguan dengan teknik pemisahan variabel, sedangkan penyelesaian persamaan Schrödinger setelah diberi gangguan gelombang elektromagnetik dengan teknik penyelesaian teori gangguan. Teknik pemisahan variabel pada persamaan Schrödinger tanpa gangguan menghasilkan tiga persamaan, yaitu : 1. Persamaan fungsi waktu (40) 2. Persamaan angular (41) 3. Persamaan radial (42) Selanjutnya dengan memberikan gangguan gelombang elektromagnetik berupa medan listrik pada sumbu z, yaitu : (43) diperoleh energi partikel plasma pada daerah Debye akibat adanya medan listrik yang besarnya : (44) Sehingga gangguan sistem dapat dituliskan : (45) (46)
7 dengan merupakan bentuk gangguan bebas waktu dengan z merupakan operator qr dalam arah z saja.
HASIL DAN PEMBAHASAN Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel bermuatan listrik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk pada temperatur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral atau disebut elektron mengalami ionisasi. Plasma sebagai gas bermuatan listrik sehingga penyelesaian permasalahan mengenai plasma dapat dianalogikan dengan persamaan-persamaan pada fluida. Gerak partikel plasma yang dianalogikan seperti gerak fluida mengakibatkan hilangnya hubungan korelasi yaitu tidak adanya energi Coulomb pada plasma. Jika partikel-partikel bermuatan listrik pada plasma terdistribusi seragam maka jumlah elektron akan sama dengan jumlah ion sehingga plasma tidak memiliki energi Coulomb dikatakan plasma dalam keadaan netral. Tidak adanya energi Coulomb artinya ketika muatan uji diberikan pada plasma maka tidak ada energi yang diperlukan untuk menghilangkan partikel plasma dari posisi netral hingga posisi tertentu. Namun dalam kenyataannya meskipun plasma dalam keadaan netral pergerakan elektron akan lebih cepat dibandingkan ion karena elektron memiliki massa yang lebih ringan dibanding ion. Jika memperhatikan gerakan elektron ini maka akan ada energi Coulomb pada plasma yang besarnya negatif karena elektron akan cenderung menarik ion dibandingkan menolak elektron sesamanya. Jika diberikan muatan uji pada maka potensial listrik yang dialami disekitar muatan ini adalah:6 (47) Sehingga energi Coulomb yang dibutuhkan untuk menghilangkan partikel plasma disekitar medan potensial ini yaitu: (48) Muatan uji diberikan berupa muatan positif yang cenderung menarik elektron sehingga energi Coulomb akibat medan potensial dengan menanggap terdapat NDpartikel plasma di dalam dimensi Debye yaitu: (49) Energi Coulomb ini menyatakan besarnya usaha yang dibutuhkan untuk menghilangkan partikel plasma disekitar medan potensial akibat muatan uji. Selanjutnya plasma dapat ditinjau sebagai gas bermuatan listrik yang difokuskan bahwa partikel-partikel plasma bergerak bebas dalam ruang tiga dimensi sehingga dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger dapat diketahui energi eigen, fungsi eigen, dan rapat peluang keberadaan partikel-partikel plasma dalam dimensi Debye. Plasma tanpa Gangguan Medan Listrik Penyelesaian dari persamaan (19) adalah
8
dengan teknik pemisahan variabel maka dihasilkan tiga buah persamaan dalam fungsi waktu, angular, dan radial yang masing-masing berbentuk : Persamaan fungsi waktu (50) Persamaan angular (51) Persamaan radial (52) Penyelesaian untuk masing-masing persamaan di atas adalah : Penyelesaian persamaan fungsi waktu :
, sehingga penyelesaian fungsi waktu adalah (53) Penyelesaian persamaan angular berupa : (54) Persamaan ini didapatkan dengan menggunakan bantuan persamaan Legendre terasosiasi yang tidak ditampilkan dalam pembahasan ini karena hasil normalisasinya berupa konstanta yang tidak bergantung pada semua sehingga tidak digunakan untuk penyelesaian rapat peluang. Penyelesaian persamaan radial dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan pada ruas kiri terlebih dahulu sehingga diperoleh : (55) Misalkan (56) (57) (58) (59) bentuk ini dibatasi pada keadaan energi terikat yaitu keadaan dengan energi negatif . Subtitusikan permisalan di atas pada persamaan radial sehingga diperoleh (60)
9 Pada daerah tak terhingga
maka persamaan (58) menjadi: (61)
sehingga diperoleh penyelesaian fungsi R yaitu (62) yang memiliki penyelesaian lengkap (63) Selanjutnya untuk membuktikan penyelesain ini dapat digunakan maka lakukan diferensial terhadap penyelesaian tersebut.
Jika dimasukkan ke persamaan (60) maka didapatkan bentuk (64) Bentuk persamaan (62) divergen atau menjadi tak terhingga pada saat sehingga solusinya dapat diungkapkan dalam bentuk deret metode Frobenius, yaitu:
Masukkan kembali bentuk deret diatas ke dalam persamaan (60), diperoleh:
(65) Selanjutnya selesaikan persamaan pada ruas kiri untuk s=0. Karena
maka akar-akar bagi v diperoleh:
Solusi yang sesuai diperoleh pada saat menjadi divergen untuk Persamaan (63) menjadi:
, karena pada
solusi
Sehingga diperoleh hubungan rekursi (66) untuk
10
bentuk ini mengambil bentuk umum yang sederhana dengan
maka
mengakibatkan
bentuk ini setara dengan bentuk asimtotik bagi penyelesaian lengkap fungsi R menjadi:
sehingga
(67) Hasil penyelesaian ini jelas ditolak kecuali bentuk ini terbentuk dalam dengan polinomial, sehingga harus dilakukan uji kembali untuk mengasumsikan . Bentuk diferensialnya:
Masukkan bentuk diferensial ini ke persamaan (62) dan diperoleh:
(68) pisahkan
dan
.
persamaan (66) dapat disederhanakan menjadi: (69) Persamaan (69) merupakan persamaan Lagueree terasosiasi yang memiliki bentuk umum:7 (70) sedemikian sehingga:
merupakan permisalan diawal persamaan yang mencakup energi dengan memisalkan untuk maka pada persamaan (66) diperoleh:
Jika
11
(71) merupakan energi eigen sistem. Selanjutnya,
Penyelesaian persamaan Lagueree terasosiasi menjadi:
dengan lengkapnya:
dan
bentuk penyelesaian
(72) merupakan konstanta normalisasi (73) dengan (74) (75) menyatakan jari-jari antar partikel-partikel dalam plasma, m massapartikel (elektron atau ion), ND banyaknya partikel, tetapan Planck, q muatan partikel (elektron atau ion), k tetapan dieletrik, dan panjang dimensi Debye. Sehingga diperoleh fungsi gelombang pada plasma dengan adanya energi Coulomb, yaitu : dengan
Energi didapatkan dari persamaan (71).
12 Hasil pada fungsi gelombang dan energi dipengaruhi oleh tiga bilangan kuantum yaitu bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum orbital (l), dan bilangan kuantum magnetik (m) yang besarnya yaitu:
Rapat Peluang Kerapatan peluang partikel pada titik pada waktu t berbanding lurus dengan d3r yang artinya peluang untuk mendapatkan partikel tersebut pada saat t dalam volume . (76) Kerapatan peluang untuk mendapatkan partikel plasma hanya dipengaruhi oleh fungsi radial saja karena kerapatan peluang pada fungsi waktu dan fungsi angular merupakan konstanta yang tidak bergantung dari semua . Kerapatan peluang radial tidak hanya dipengaruhi oleh r, namun juga berubah terhadap kombinasi bilangan kuantum utama dan bilangan kuantum orbital. Berdasarkan kombinasi bilangan kuantum rapat peluang radial diperlihatkan pada tabel di bawah ini. Tabel 1 Rapat peluang untuk lima keadaan kuantum n
l
1
0
2
0
2
1
3
0
3
1
P(r)
Hasil plot grafik rapat peluang radial elektron dan ion terhadap r dalam satuan meter ditunjukkan pada gambar 1 dan gambar 2.
13 0.35 n=1,l=0 n=2,l=0 n=2,l=1 n=3,l=0 n=3,l=1
0.3
0.25
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
r(m)
-11
x 10
Gambar 1 Rapat peluang elektron tanpa gangguan medan listrik 0.35 n=1,l=0 n=2,l=0 n=2,l=1 n=3,l=0 n=3,l=1
0.3
0.25
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6 r(m)
0.8
1
1.2 -14
x 10
Gambar 2 Rapat peluang ion tanpa gangguan medan listrik Hasil grafik di atas memperlihatkan besar rapat peluang elektron dan ion akibat pengaruh termal yang dipengaruh oleh bilangan kuantum utama dan bilangan kuantum orbital. Besar rapat peluang elektron dan ion menunjukkan nilai yang sama untuk masing-masing bilangan kuantum yaitu pada data1(n=1,l=0) 0.3871, data2 (n=2,l=0) 0.1365, data3 (n=2,l=1) 0.1397, data4 (n=3,l=0) 0.0363, dan data5 (n=3,l=1) 0.0728. Pada keadaan dasar yaitu ketika n=1 dan l=0 diperoleh rapat peluang elektron dan ion tertinggi, hal ini karena sifat partikel yang akan selalu mengisi pada tingkat energi dasar terlebih dahulu kemudian mengisi tingkat energi selanjutnya. Pada gambar 1 elektron telah berada pada posisi 10-11 meter daerah Debye, sedangkan pada gambar 2 ion berada pada posisi 10-14 meter daerah Debye, artinya elektron lebih cepat menuju daerah Debye dibandingkan ion. Hal ini dikarenakan inersia ion yang lebih besar sehingga bergerak lebih lambat dibandingkan elektron. Hasil rapat peluang elektron dan ion ini menunjukkan bahwa pergerakan elektron dan ion merupakan fungsi eksponensial negatif yang besar rapat peluangnya berubah-ubah terhadap bilangan kuantum utama dan bilangan kuantum orbital, selain itu untuk mencapai daerah
14 Debye pergerakan ion masih sangat lambat dibandingkan elektron, sehingga perlu adanya energi tambahan agar elektron dan ion dapat bergerak lebih cepat menuju daerah Debye yang membuat peluang terjadinya tumbukan antar ion-ion semakin besar, sehingga peluang reaksi fusi semakin besar. Plasma dengan Gangguan Medan Listrik Medan listrik luar diberikan pada sumbu z saja : (77) Energi untuk partikel bermuatan akibat adanya medan listrik diberikan oleh : (78)
(79) Besar energi ini yang merupakan gangguan yang akan diberikan pada plasma, sehingga dapat dituliskan :
Bentuk karena merupakan diagonal matriks operator qr pada komponen z. Bentuk gangguan bergantung waktu pada dua level keadaan yaitu 1 dan 2. (80) Berdasarkan teori gangguan bergantung waktu dengan meninjau pada dua level keadaan 1 dan 2, diperoleh persamaan : (81) (82) dengan (83) dimana dan merupakan peluang keberadaan partikel pada fungsi dan yang bergantung waktu. Gangguan dianggap sangat kecil sehingga dianggap sebagai pengganggu bagi , sehingga Hamiltonian dengan gangguan menjadi : (84) dimana karena meninjau pada dua level keadaan yaitu 1 dan 2 maka : (85) sehingga untuk memperoleh fungsi eigen terlebih dahulu perlu mendapatkan dan . Karena gangguan sangat kecil jika partikel dianggap bergerak dari keadaan 1 ke keadaan 2 pada keadaan “lower state” maka : dan (86) yang menandakan apabila partikel-partikel ini tidak mendapatkan gangguan maka partikel-partikel ini akan berada pada keadaan ini untuk selamanya. Selanjutnya dengan adanya gangguan kita dapat mengetahui dan dengan melakukan uji – uji orde.
15 Orde ke - 0 disebut sebagai boundary state. Orde ke -1 ;
(87) (88) (89)
asumsi
, maka :
(90) Sehingga fungsi gelombang untuk dua level keadaan diperoleh : (91) Maka peluang keberadaan partikel yang bergerak dari keadaan “boundary state” (92) (93) dengan , merupakan frekuensi plasma yang didapatkan pada dua level energi eigen atau merupakan frekuensi plasma akibat adanya pengaruh termal saja, merupakan frekuensi gelombang elektromagnetik yang diberikan. Besarnya frekuensi gelombang elektromagnetik yang dapat diberikan pada plasma didasarkan pada hubungan potensial vektor dengan medan magnet dan medan listrik dalam plasma sehingga diperoleh persamaan: (94) dengan , adalah kelipatan bilangan bulat.
16 Persamaan (94) merupakan syarat batas bagi frekuensi gelombang elektromagnetik untuk bisa menembus plasma, artinya tidak semua frekuensi gelombang elektromagnetik boleh masuk ke dalam plasma. Ketika syarat ini telah terpenuhi maka akan ada perubahan osilasi partikel-partikel plasma. Perubahan osilasi yang diharapkan adalah menambah peluang keberadaan ion-ion didalam dimensi Debye sehingga peluang tumbukan antar ion-ion semakin besar dan peluang reaksi fusi semakin besar. Selanjutnya dengan mengambil tiga variasi frekuensi gelombang elektromagnetik sebesar 1.41 diperoleh grafik hubungan r dan rapat peluang, serta t dan rapat peluang akibat gangguan gelombang elektromagnetik yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. 0.7
0.7
0.6
=1,41 =1,73 =2,24
0.5
=1,41 =1,73 =2,24
0.6 0 0
0.5
0
0.4
0 0 0
0.4
P
P 0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.5
1
1.5 r(m)
2
2.5
0
3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t(s)
-10
x 10
1.8 -4
x 10
(a) (b) Gambar 3 (a) Rapat peluang elektron akibat gangguan medan listrik terhadap daerah Debye (r) (b) terhadap waktu (t) -4
3.5
-4
x 10
3.5
=1,41 w=2w0 0 w=3w0 =1,73 0 w=5w0 =2,24 0
3 2.5
x 10
=1,41 =1,73 =2,24
3
2.5
2
0 0 0
2
P
P
1.5
1.5
1
1
0.5 0
0.5
0
0.2
0.4
0.6 r(m)
0.8
1
1.2 -13
x 10
0
0
1
2
3
4 t(s)
5
6
7
8 -3
x 10
(a) (b) Gambar 4 (a) Rapat peluang ion akibat gangguan medan listrik terhadap daerah Debye (r) (b) terhadap waktu (t) Gambar 3 dan 4 menunjukkan hubungan rapat peluang dan r (daerah Debye) serta rapat peluang dan t (waktu) untuk elektron dan ion dengan frekuensi gelombang elektromagnetik sebesar dan yang memperlihatkan bahwa partikel-partikel plasma berosilasi secara sinusoidal. Rapat peluang elektron akibat gangguan meningkat dibandingkan sebelum adanya gangguan dan pergerakan elektron semakin cepat, ditunjukkan oleh rapat peluang tertinggi yang berada pada posisi 10-10 meter. Berbeda dengan elektron, rapat
17 peluang ion menurun dibandingkan sebelum adanya gangguan namun pergerakan ion semakin cepat, ditunjukkan oleh rapat peluang tertinggi yang berada pada posisi 10-13 meter, menurunnya rapat peluang ion ini dikarenakan inersia ion yang lebih besar dibandingkan elektron. Semakin besar frekuensi gelombang elektromagnetik yang diberikan peluang keberadaan elektron dan ion pada daerah Debye menurun, peluang terbesar diperoleh ketika frekuensi gelombang elektromagnetik Untuk memperoleh rapat peluang tertinggi maka frekuensi gelombang elektromagnetik yang dapat diberikan yaitu mendekati besarnya frekuensi plasma, namun karena adanya syarat minimal untuk frekeunsi yang dapat masuk ke dalam plasma, maka merupakan frekuensi yang dipilih dalam penelitian ini. Rapat peluang elektron lebih besar dibandingkan rapat peluang ion dan waktu yang dibutuhkan elektron untuk mencapai daerah Debye lebih singkat dibandingkan ion. Hal ini karena inersia ion yang lebih besar sehingga osilasi ion lebih lambat.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Persamaan gelombang partikel pada plasma telah diselesaikan dengan menggunakan persamaan Schrödinger bergantung waktu. Rapat peluang partikel plasma dengan gangguan medan listrik menghasilkan fungsi sinusoidal, berbeda dengan rapat peluang partikel plasma tanpa gangguan yang merupakan fungsi eksponensial negatif. Sebelum diberi gangguan medan listrik pergerakan elektron menuju daerah Debye lebih cepat 103 kali dibandingkan pergerakan ion dengan besar rapat peluang yang sama. Rapat peluang sebelum adanya gangguan ini mengindikasikan plasma dalam keadaan netral. Selanjutnya dengan adanya gangguan medan listrik rapat peluang elektron meningkat lebih besar dibandingkan ion dan membutuhkan waktu yang lebih singkat untuk mencapai daerah Debye. Hal ini megindikasikan ketika ion mencapai daerah Debye maka elektron telah meninggalkan daerah Debye, akibatnya peluang tumbukan antar ion pada daerah Debye semakin besar sehingga reaksi fusi dapat berlangsung. Gelombang elektromagnetik mendorong elektron keluar daerah Debye dan mendorong ion memasuki daerah Debye. Frekuensi gelombang elektromagnetik mempengaruhi besarnya rapat peluang, rapat peluang tertinggi diperoleh ketika frekuensi gelombang elektromagnetik 1.41 kali frekuensi plasma. Saran Penelitian selanjutnya sebaiknya memperhatikan transformasi koordinat dalam menyelesaikan persamaan Schrödinger yang disesuaikan dengan kungkungan plasma yang sebenarnya seperti tokamak, sehingga koordinat yang digunakan merupakan koordinat pada tokamak. Dalam penelitian ini gerakan partikel plasma yang bersifat heliks tidak dimasukkan dalam analisa hasil, sebaiknya penelitian selanjutnya memperhatikan faktor ini.
18
DAFTAR PUSTAKA 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11
Howard, John. Introduction to Plasma Physics C17 LectrureNotes. Plasma Research Laboratory. Australian National University. Australia. 2002. Beiser, Arthur. Konsep Fisika Modern Edisi Keempat. Erlangga: Jakarta. 1992. Kruer, Willian L. The Physics of Laser Plasma Interaction. AddisonWesley Publishing Company, Inc. United States of America. 1988. Griffiths, D.J. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall International, Inc. New Jersey. 1989. Griffiths, D.J. Introduction to Quantum Mechanics. Prentice-Hall International, Inc. New Jersey. 1994. Krall, Nicholas A. Principles of Plasma Physics. McGraw-Hill, Inc. Tokyo Japan. 1973. Hassani, Sadri. Mathematical Methods. Springer-Verlag, Inc. New York. 2000. Rosario, Brilyan. [Skripsi]. Uraian Rinci Solusi Persamaan Schrodinger untuk Potensial Coulomb Simetri Bola. Program Studi Fisika. FMIPA. Universitas Hasanuddin. 2013 Ruswandi, Erus. [Skripsi]. Interaksi Gelombang Elektromagnetik dengan Plasma. Program Studi Fisika. FMIPA. IPB. 2006. Zettili, Nouredine. Quantum Mechanics : Concept and Aplpication. John Wiley & Sons, Ltd. England. 2001. Fletcher, Glenn. Introduction Mathematical Methods in Physics. Wm. C. Brown Communication, Inc. United State of America. 1994.
19
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di kota Metro provinsi Lampung pada tanggal 31 Juli 1992 sebagai anak pertama dari dua bersaudara pasangan Bapak Yulianto dan Ibu Yulina Sari. Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 1 Perumnas Way Kandis pada tahun 2004, melanjutkan pendidikan menengah pertama di SMP Negeri 12 Bandar Lampung lulus tahun 2007, dan melanjutkan pendidikan menengah atas di SMA Negeri 3 Bandar Lampung lulus tahun 2010. Pada tahun 2010 penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) sebagai mahasiswi Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada tahun 2011 penulis menerima beasiswa melalui seleksi berkas dan wawancara oleh Eka Tjipa Foundation melalui program beasiswa Tjipta Sarjana Bangun Desa, dan dana beasiswa diberikan selama 4 tahun perkuliahan. Selama perkuliahan penulis aktif sebagai pengurus Himpunan Mahasiswa Fisika di departemen PSDM pada tahun 2011-2012. Penulis juga aktif sebagai asisten praktikum fisika umum dan fisika dasar bagi mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) IPB pada tahun 20122014. Selain itu penulis juga merupakan mahasiswa penerima dana hibah dikti pada Program Kreativitas Mahasiswa bidang penelitian tahun 2014.
