PDR. Na levé straně použijeme vícerozměrné per-partes (důsledek z Gauss-Ostrogradského věty)

PDR

1. Pojem slabého řešení 1.1. Homogenní Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici. Nechť Ω ⊂ Rd , d ≥ 2, je otevřená omezená množina. Uvažujeme úlohu −∆u = f,

(1.1)

u = 0,

x∈Ω x ∈ ∂Ω.

¯ splňující (1.1) ve všech bodech. OkamKlasické řešení (1.1) je u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) žitě dostáváme, že toto jde jen pro f ∈ C(Ω). Odvození definice slabého řešení. Předpokládejme, že f ∈ L2 (Ω). Vynásobíme první rovnici v (1.1) testovací funkcí ϕ ∈ D(Ω) a integrujeme Z Z − ∆u ϕ dx = f ϕ dx. Ω

Ω

Na levé straně použijeme vícerozměrné per-partes (důsledek z Gauss-Ostrogradského věty) Věta 1.1. Nechť Ω ⊂ Rd je omezená otevřená množina s konečnou plochou hranice a v každém bodě hranice existuje její vnější normálový vektor. Nechť funkce U, V ¯ a mají spojité první parciální derivace na Ω a tyto derivace se jsou spojité na Ω ¯ Pak pro všechna i = 1, . . . , d platí dají spojitě rozšířit na Ω. Z Z Z ∂V ∂U U dx = − V dx + U V νi dS. ∂xi ∂xi Ω Ω ∂Ω Díky kompaktnosti nosiče ϕ dostáváme Z Z (1.2) ∇u · ∇ϕ dx = f ϕ dx. Ω

Ω

Poznámka 1.2. V předchozím výpočtu jsme se dopustili jisté nekorektnosti. Odstraněna bude na cvičení. Definujme Sobolevův prostor o n ∂v ∈ L2 (Ω) pro všechna i = 1, . . . , d , W 1,2 (Ω) := v ∈ L2 (Ω) : ∂xi kde derivace bereme v distributivním smyslu, opatřený normou d

12 X

∂v 2 kvkW 1,2 (Ω) = kvk2L2 (Ω) + .

2

∂xi L (Ω) i=1

Dále definujeme W01,2 (Ω) jako uzávěr D(Ω) v normě výše. Slabé řešení (1.1) je funkce u ∈ W01,2 (Ω) splňující (1.2) pro všechna ϕ ∈ 1,2 W0 (Ω). 1

2

PDR

Poznámka 1.3. Zatím nejsme dostatečně vybaveni, abychom ukázali, že klasické řešení (1.1) je zároveň řešení slabé. Problém je ukázat, že u ∈ W01,2 (Ω) (ověřit integrovatelnost derivací). Pak už stačí jen otestovat (1.2) funkcí ϕ ∈ W01,2 (Ω). Můžeme psát ϕ = ψ + η, kde ψ ∈ D(Ω) a testování vyhazuje nulu, η ∈ W 1,2 (Ω) a kηkW 1,2 (Ω) < ε. Pak z Hölderovy nerovnosti Z |f η| dx ≤ kf kL2 (Ω) kηkL2 (Ω) ≤ Cε Ω

a

Z |∇u · ∇η| dx ≤ k∇ukL2 (Ω) k∇ηkL2 (Ω) ≤ Cε. Ω

Poznámka 1.4. Testování řešením Z Z |∇u|2 ϕ dx = f u dx Ω

Ω

a tedy z Hölderovy nerovnosti k∇uk2L2 (Ω) ≤ kf kL2 (Ω) kukL2 (Ω) . Časem se dozvíme, že pro funkce z W01,2 (Ω) obecně platí kukL2 (Ω) ≤ C(d, |Ω|)k∇ukL2 (Ω) . Pak tedy budeme mít apriorní odhady k∇ukL2 (Ω) ≤ Ckf kL2 (Ω)

a kukL2 (Ω) ≤ Ckf kL2 (Ω) .

Poznámka 1.5. Kdy nestačí klasické řešení: nehladká vstupní data, metoda s použitím Fourierovy transformace (fundamentální řešení pro Diraca napravo, pak konvoluce), metody z variačního počtu (Věta o horském sedle či Ekelandův variační princip). 1.2. Nutné podmínky ve variačním počtu. Zkoumáme lokální extrémy zob¯ W 1,2 (Ω), razení F : Y 7→ R, kde Y je prostor funkcí (C 1 ((a, b)), C 1 (Ω) ∩ C0 (Ω), 0 . . . ). Definice 1.6 (Lokální minimum). Funkcionál F : Y 7→ R má v y0 ∈ Y lokální minimum, jestliže existuje δ > 0 takové, že ky − y0 kY < δ

=⇒

F (y0 ) ≤ F (y).

Definice 1.7 (Gateauxova derivace). Funkcionál F : Y 7→ R má v y0 ∈ Y Gateauxovu derivaci ve směru h ∈ Y \ {0}, jestliže existuje konečná limita F (y0 + th) − F (y0 ) . t Pokud je y0 ∈ Y bodem lokálního minima funkcionálu F , pak jsou zřejmě všechny existující Gateauxovy derivace nulové. Bod s nulovými Gateauxovými derivacemi se nazývá extremála. dF (y0 ; h) = lim

t→0

Tvrzení 1.8 (Variační formulace Laplaceovy rovnice). Funkce u ∈ W01,2 (Ω) je slabým řešením úlohy (1.1) právě tehdy, když je extremálou funkcionálu Z Z 1 F (u) = |∇u|2 dx − f u dx. 2 Ω Ω Navíc se v takovém případě jedná o lokální minimum.

PDR

3

Důkaz. Platí 1 F (u + tϕ) = 2

Z

2

Z

|∇u| dx − Ω

!

t2 ∇u · ∇ϕ − f ϕ dx + 2 Ω

Z f u dx + t

Ω

Z

|∇ϕ|2 dx,

Ω

tedy (1.3)

F (u + tϕ) − F (u) = t

Z

t ∇u · ∇ϕ − f ϕ dx + 2 Ω

Z

|∇ϕ|2 dx

Ω

a limita pro t → 0 zřejmě existuje pro libovolné pevné ϕ ∈ W01,2 (Ω) a rovná se Z Z (1.4) dF (u; ϕ) = ∇u · ∇ϕ dx − f ϕ dx. Ω

Ω

Tedy u je slabým řešením úlohy (1.1) právě tehdy, když dF (u; ϕ) = 0 pro všechna ϕ ∈ W01,2 (Ω), což znamená, že u je extremálou. Dále, je-li u je slabým řešením úlohy (1.1) a volíme-li t = 1 v (1.3), pak F (u) ≤ F (u + ϕ) pro všechna ϕ ∈ W01,2 (Ω) a tedy u je bodem lokálního minima. 2. Sobolevovy prostory 2.1. Sobolevovské funkce. V dalším Ω je otevřená souvislá. Definice 2.1 (Slabá derivace). Nechť α = (α1 , . . . , αd ) je multiindex a funkce u, vα ∈ L1loc (Ω). Pak vα je slabá derivace u podle xα , jestliže Z Z vα ϕ dx = (−1)|α| uDα ϕ dx pro všechna ϕ ∈ D(Ω). Ω

Ω

Tedy slabá derivace je distributivní derivace, která je navíc funkce z L1loc (Ω). Definice 2.2 (Sobolevův prostor). Nechť k ∈ N a p ∈ [1, ∞]. Pak definujeme W k,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω) pro všechny multiindexy α, kde |α| ≤ k}. Na prostoru W k,p (Ω) zavedeme normu (P 1 ( |α|≤k kDα ukpLp (Ω) ) p kukk,p := kukW k,p (Ω) := max|α|≤k kDα ukL∞ (Ω)

pokud p ∈ [1, ∞) pokud p = ∞.

Tvrzení 2.3 (Vlastnosti slabé derivace). Nechť u, v ∈ W k,p (Ω), k ∈ N a |α| ≤ k. Pak (i) Dα u ∈ W k−|α|,p (Ω) a Dα (Dβ u) = Dβ (Dα u) = Dα+β u kdykoliv |α| + |β| ≤ k (ii) λu + µv ∈ W k,p (Ω) a Dα (λu + µv) = λDα u + µDα v kdykoliv λ, µ ∈ R ˜ ⊂ Ω otevřená, pak u ∈ W k,p (Ω) ˜ (iii) je-li Ω (iv) je-li η ∈ D(Ω), pak ηu ∈ W k,p (Ω) a X α Dα (ηu) = Dβ ηDα−β u. β β≤α

V předchozím tvrzení je třeba dát pozor na význam symbolů β ≤ α a multiindexy.

α β

pro

Tvrzení 2.4 (Základní vlastnosti Sobolevových prostorů). Nechť k ∈ N. Pro p ∈ [1, ∞] je W k,p (Ω) Banachův, pro p = 2 Hilbertův, pro p ∈ [1, ∞) separabilní a pro p ∈ (1, ∞) reflexivní.

4

PDR

Důkaz. Skalární součin se zavede podobně jako na L2 (Ω). Separabilita plyne ze separability odpovídajícího Lebesguea a skutečnosti, že Sobolev se dá vnořit do kartézského součinu Lebesgueů (jednotlivě derivace bereme jako další funkce z Lebesguea). Reflexivita přes stejné zanoření, kartézský součin reflexivních je zřejmě reflexivní, uzavřený podprostor reflexivního je reflexivní. Zajímavá je úplnost. Úplnost Lp (Ω) dává pro libovolný multiindex splňující |α| ≤ k, že Dα un → uα . Potřebujeme ukázat, že uα = Dα u. Máme Z Z Z Z Z |α| α α α |α| α |α| (−1) ϕD u = uD ϕ ← un D ϕ = (−1) ϕD un → (−1) ϕuα , Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

kde relace postupně plynou z definice slabé derivace, konvergence funkcí v Lebesgueovi, definice slabé derivace, postup získání uα . Věta 2.5 (ACL). Je-li Ω ⊂ Rd otevřená, p ∈ [1, ∞] a u ∈ W 1,p (Ω), pak (po případné změně na množině míry nula) je u absolutně spojitá na skoro všech přímkách rovnoběžných se souřadnými osami a slabá derivace se shoduje s klasickou skoro všude. Navíc na uvedených přímkách platí Newtonova formule (částečný výsledek z důkazu předešlé věty v Mazyově knize). Definice 2.6 (Prostor W0k,p (Ω)). Nechť k ∈ N a p ∈ [1, ∞]. Pak definujeme W0k,p (Ω) = D(Ω)

k·kW k,p (Ω)

.

Tvrzení 2.7 (Základní vlastnosti prostorů W0k,p (Ω)). Nechť k ∈ N. Pro p ∈ [1, ∞] je W0k,p (Ω) Banachův, pro p = 2 Hilbertův, pro p ∈ [1, ∞) separabilní a pro p ∈ (1, ∞) reflexivní. Obecně platí W0k,p (Ω) ⊂ W k,p (Ω). Obráceně Tvrzení 2.8. Nechť k ∈ N a p ∈ [1, ∞). Pak W0k,p (Rd ) = W k,p (Rd ). Důkaz. Vně jistého B(R) se už vyintegruje jen málo, přenásobíme hladkou radiálně symetrickou seřezávací funkcí ψ takovou, že ψ = 1 na B(R), ψ = 0 na Rn \ B(R + 1) a |∇ψ| ≤ 2. Zbývá použít hustotu D(B(R+1)) ve W0k,p (B(R+1)), teprve bude. 2.2. Hölderovsky spojité funkce. Pro k ∈ N∪{0} a λ ∈ [0, 1] definujeme prostor ¯ = {u ∈ C k (Ω) ¯ : sup C k,λ (Ω) x6=y

|Dα u(x) − Dα u(x)u(y)| < ∞ kdykoliv |α| ≤ k} |x − y|λ

s normou kukC k,λ (Ω) ¯ = kukC k (Ω) ¯ +

X |α|≤k

sup x6=y

|Dα u(x) − Dα u(y)| . |x − y|λ

¯ nebo C 0,0 (Ω), ¯ lipschitzovské funkce C 0,1 (Ω). ¯ Spojité funkce C 0 (Ω) 0,β ¯ 0,α ¯ Dá se ukázat C (Ω) ,→,→ C (Ω), kdykoliv 0 ≤ α < β ≤ 1. Definice 2.9 (Množiny třídy C k,λ ). Nechť k ∈ N ∪ {0} a λ ∈ [0, 1]. Omezená otevřená množina Ω ⊂ Rd je třídy C k,λ , jestliže existuje m ∈ N souřadných systémů,

PDR

5

čísla α, β > 0 a funkce an ∈ C k,λ ([−α, α]d−1 ) takové, že platí (při značení x = (x1 , . . . , xd−1 , xd ) = (x0 , xd ) v n-tém souřadném systému) d 0 0 0 Ω+ n : = {x ∈ R : |x |∞ < α, an (x ) < xd < an (x ) + β} ⊂ Ω, d 0 0 0 d Ω− n : = {x ∈ R : |x |∞ < α, an (x ) − β < xd < an (x )} ⊂ R \ Ω,

∂n Ω : = {x ∈ Rd : |x0 |∞ < α, an (x0 ) = xd } ⊂ Rd \ Ω a

m [

∂n Ω = ∂Ω.

n=1

2.3. Konvoluční zhlazování. Definice 2.10 (Zhlazovací jádro). Funkce η : Rd 7→ R je zhlazovací jádro, jestliže Z ¯ η ∈ D(Rd ), supp η ⊂ B(1), η ≥ 0, |x| = |y| =⇒ η(x) = η(y), η = 1. Rd

Příklad 2.11. To splňuje například ( C exp( |x|21−1 ) pro |x| < 1 η(x) = 0 pro |x| ≥ 1, kde C = C(d) je volena tak, aby platila poslední podmínka v předchozí definici. V dalším považujme η za pevně danou funkci. Pro ε > 0 definujeme funkci ηε předpisem 1 ηε (x) = d η( xε ) x ∈ Rd . ε Definice 2.12 (Zhlazení funkce). Nechť Ω ⊂ Rd je omezená a otevřená, u ∈ L1loc (Ω), ε > 0 a η je zhlazovací jádro. Zhlazením funkce u (příslušejícím ε a η) nazýváme funkci uε : Ωε 7→ R, kde Ωε = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε}, definovanou předpisem uε = ηε ? u. Tedy Z

Z ηε (x − y)u(y) dy =

uε (x) = Rd

Z ηε (x − y)u(y) dy =

B(x,ε)

u(x − y)ηε (y) dy. Rd

Věta 2.13 (O vlastnostech zhlazení). Nechť Ω ⊂ Rd je omezená otevřená, p ∈ [1, ∞), u ∈ L1loc (Ω) a uε je její zhlazení. Pak (i) uε ∈ C ∞ (Ωε ) (ii) limε→0+ uε (x) = u(x) pro skoro všechna x ∈ Ω (iii) je-li u ∈ C(Ω), pak uε ⇒ u na každé kompaktní množině K ⊂ Ω (iv) je-li u ∈ Lploc (Ω), pak uε → u v Lploc (Ω) (v) je-li u ∈ Lp (Rd ), pak kuε kLp (Rd ) ≤ kukLp (Rd ) pro p ∈ [1, ∞] a uε → u v Lp (Rd ) pro p ∈ [1, ∞). Případ (v) v sobě zahrnuje i u ∈ Lp (Ω) díky rozšíření nulou.

6

PDR

2.4. Aproximace hladkými funkcemi. Pro sobolevovské funkce se pokusíme získat podobné výsledky, jako jsme získali pro lebesgueovské. Nárážíme na dva problémy. Jednak potřebujeme zjistit, zda zhlazené funkce dobře aproximují nejen funkční hodnoty, ale i derivace, což se ukáže, že je v jistém smyslu pravda. Druhý problém spočívá v tom, že zatímco funkce z Lebesgueova prostoru po rozšíření nulou v uvedeném prostoru zůstávají, pro sobolevovské funkce toto neplatí. U hranice oblasti tedy nelze tvrdit, že derivace je zhlazenými funkcemi dobře aproximována. Věta 2.14 (O lokální aproximaci hladkými funkcemi). Nechť k ∈ N, p ∈ [1, ∞) a u ∈ W k,p (Ω). Pak (i) Dα uε = (Dα u)ε na Ωε , k,p ˜ kdykoliv Ω ˜ ⊂⊂ Ω), (ii) uε → u ve Wloc (Ω) (tedy ve W k,p (Ω) k,p d α α (iii) jestliže u ∈ W (R ), pak D uε = (D u)ε na Rd a uε → u ve W k,p (Rd ). Důkaz. (i) Stačí ověřit platnost následující řetězové rovnosti pro x ∈ Ωε ! Z Dα uε (x) = Dα ηε (x − y)u(y) dy B(x,ε)

Z =

Dxα (ηε (x − y))u(y) dy

B(x,ε)

Z =

(−1)|α| Dyα (ηε (x − y))u(y) dy

B(x,ε)

Z =

ηε (x − y)Dα u(y) dy

B(x,ε)

= (Dα u)ε První a pátá rovnost jsou jen definice zhlazení, třetí je derivace složené funkce (funkce je radiálně symetrická), čtvrtá plyne z definice distributivní derivace (testovací funkce ϕ(·) = ηε (x − ·) ∈ D(Rd )). Druhá rovnost je postupná aplikace věty o záměné derivace a integrálu (předpoklady: měřitelnost integrandů před zderivováním, vlastní derivace integrandů, konvergence integálů pro jedno x - vždy omezená funkce s kopaktním nosičem násobená Lp -funkcí, tedy součin vždy v L1 , L1 majoranta zderivovaného integrandu nezávislá na x - vyrobí se podobně jako pro třetí předpoklad). (ii) Nyní stačí aplikovat část (iv) věty o vlastnostech zhlazení na jednotlivé derivace a máme Dα uε = (Dα u)ε → Dα u v Lploc (Ω). (iii) Vlastnost Dα uε = (Dα u)ε se získá jako výše, konvergenci dokážeme aplikací části (v) věty o vlastnostech zhlazení na jednotlivé derivace. Lemma 2.15 (První lemma o rozkladu jednotky). Nechť Ω ⊂ Rd je otevřená množina a {Ωi }i∈I je její otevřené pokrytí. Pak existuje spočetný systém funkcí {ξj }j∈J takový, že platí (i) ξj ∈ D(Rd ) pro všechna j ∈ J (ii) pro každé j ∈ J existuje i ∈ I, že supp ξj ⊂ Ωi (iii) 0 ≤ ξj ≤ 1 pro všechna P j∈J (iv) pro každé x ∈ Ω je j∈J ξj (x) = 1 a navíc pro každý kompakt K ⊂ Ω je ξj 6= 0 pouze pro konečně mnoho j.

PDR

7

Věta 2.16 (O globální aproximaci). Nechť Ω ⊂ Rn je otevřená a omezená, k ∈ N, p ∈ [1, ∞) a u ∈ W k,p (Ω). Pak existují funkce un ∈ C ∞ (Ω) ∩ W k,p (Ω) takové, že un → u Důkaz. Máme Ω =

S∞

i=1

ve W k,p (Ω).

Ωi , kde

Ωi = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > 1i }, i ∈ N. ¯ i+1 , i ∈ N. Zvolme ještě V0 ⊂⊂ Ω, aby Ω = S∞ Vi (stačí Položme Vi = Ωi+3 \ Ω i=0 vzít V0 = Ωj pro j ∈ N, dost velké, aby Ωj−2 byla neprázdná). Nechť {ξj } je hladký rozklad jednotky podřízený systému {Vi }, tedy ξj ∈ D(Vi ),

0 ≤ ξj ≤ 1,

∞ X

ξj = 1 na Ω.

j=0

Podle věty o vlastnostech slabé derivace máme ξj u ∈ W k,p (Ω), navíc supp(ξj u) ⊂ Vi ¯ i ⊃ Vi . (každé j má své i). Definujme ještě množiny Wi = Ωi+4 \ Ω Nyní zvolme n ∈ N. K němu najdeme posloupnost {εj,n } ⊂ (0, ∞) tak malých, aby pro funkce uj,n = (ξj u)εj,n platilo 1 supp uj,n ⊂ Wi a kuj,n − ξj ukW k,p (Ω) < j+1 n2 P∞ Konečně, položme un = j=0 uj,n . Pak un ∈ C ∞ (Ω), neboť ke každému bodu z Ω máme okolí, kde se sčítá jen konečně mnoho nenulových funkcí. Pro libovolné pevně zvolené i ∈ N pak máme jX i −1 i −1

jX 1

uj − ξj u k,p ≤ kuj − ξj ukW k,p (Ω) ≤ . kun − ukW k,p (Ωi ) = n W (Ωi ) j=0 j=0 S∞ Z tohoto odhadu, faktu, že Ω = i=1 Ωi , a Leviho věty aplikované na jednotlivé integrály uvnitř sobolevovské normy dostáváme kun − ukW k,p (Ω) ≤ n1 . V předchozím důkazu jsme nechtěli počítat způsobem ∞

X

uj − ξj u k,p kun − ukW k,p (Ω) = W

j=0

. (Ω)

To bychom nejprve museli ukázat konvergenci sumy a v obecném případě není na první pohled jasné, že nekonečný součet sobolevovských funkcí je sobolevovská funkce, třebaže kontrolujeme normy sčítanců. Ještě dodejme, že nekontrolujeme normy ξj u. Lemma 2.17 (Druhé lemma o rozkladu jednotky). Nechť Ω ⊂ Rd je omezená ote¯ Pak existuje systém funkcí {ξi }k vřená množina a {Ωi }ki=1 je otevřené pokrytí Ω. i=1 takový, že platí (i) ξi ∈ D(Ωi ) pro všechna i ∈ {1, . . . , k} ¯ (ii) 0 ≤ ξi (x) ≤ 1 pro všechna i ∈ {1, . . . , k} a x ∈ Ω Pk ¯ ξi (x) = 1 pro všechna x ∈ Ω. (iii) i=1

Věta 2.18 (O spojitosti translace v Lp ). Nechť u ∈ Lp (Ω), kde Ω ⊂ Rd otevřená a p ∈ [1, ∞). Pak Z |u(x + h) − u(x)|p dx

Ω

h∈Rd ,|h|→0

→

0.

8

PDR

Idea důkazu. Vně veliké koule B(R) je už příspěvek do normy malý. Na B(R + 1) díky Luzinovi najdeme kompakt K, aby |Ω \ K| < ε a u je (stejnoměrně) spojitá na K. Nyní přes {x ∈ K : x + h ∈ K} ∩ B(R) vyintegrujeme pro malé h malé číslo, v opačném případě integrujeme přes malinkatou množinu a použijeme absolutní spojitost integrálu. Věta výše neplatí pro p = ∞, stačí vzít χ(0,1) . Věta 2.19 (O aproximaci až do hranice). Nechť k ∈ N, p ∈ [1, ∞), Ω ⊂ Rd je ¯ taková, že oblast třídy C 0 a u ∈ W k,p (Ω). Pak existuje posloupnost {un } ⊂ C ∞ (Ω) un → u ve W k,p (Ω). Sm − Důkaz. Díky Ω ∈ C 0 máme okolí ∂Ω pokrytoS r=1 Ωr , kde Ωr = Ω+ r ∪ Ωr ∪ ∂r Ω. m Vezměme ještě otevřenou Ω0 ⊂⊂ Ω, aby Ω ⊂ r=0 Ωr . m Nechť {ξr }m r=0 je rozklad jednotky podřízený systému {Ωr }r=0 podle předchozího lemmatu. Označme ur = uξr . Nyní funkce u0 má kompaktní nosič uvnitř Ω, stejně tak zhlazená funkce u0,ε := (u0 )ε pro ε dost malé a tedy (jako v konstrukci v důkazu věty o lokální aproximaci - konvoluční zhlazení dobře aproximuje funkci i její slabé derivace) ε→0+

ku0 − u0,ε kW k,p (Ω) = ku0 − u0,ε kW k,p (supp u0 ∪supp u0,ε ) → 0. Teď k aproximaci zbývajících funkcí ur , r ∈ {1, . . . , m}. Zafixujme r, dále vezměme δ > 0 velmi malé a definujme uδr (x) = ur (x0 , xd + δ) (vysunutí funkce o δ ven z hranice) a teď zhladíme ur,ε := (uδr )ε . Máme kur − ur,ε kW k,p (Ω) ≤ kur − uδr kW k,p (Ω) + kuδr − ur,ε kW k,p (Ω) . Díky větě o spojitosti translace v Lp umíme vhodnou volbou δ udělat první sčítanec na pravé straně tak malý, jak potřebujeme (ur je pevně zvolená funkce). Druhý sčítanec je zase malý díky tomu, že jsme si zakázané okolí hranice, kde konvoluční zhlazení obecně neaproximuje dobře (viz Věta o vlastnostech zhlazení (iv)), vysunuli ven a tak jsme mohli použít konstrukci z Věty o lokální aproximaci. 2.5. Operátor rozšíření. Věta 2.20. Nechť Ω ⊂ Rd je omezená oblast třídy C 0,1 a p ∈ [1, ∞]. Pak existuje spojitý lineární operátor E : W 1,p (Ω) 7→ W 1,p (Rd ) takový, že (i) Eu = u na Ω (ii) Eu má kompaktní nosič v Rd (iii) existuje C = C(d, Ω) taková, že kEukW 1,p (Rd ) ≤ CkukW 1,p (Ω) . Důkaz. Nejprve vyřešíme speciální případ p < ∞, Ω = (−1, 1)d−1 × (0, 1) (horní ¯ supp u ∩ ∂Ω ⊂ (−1, 1)d−1 × {0}. Později ukážeme, jak půlka krychle) a u ∈ C 1 (Ω), se obecný případ na tento převede. Stačí položit  ¯  pro x ∈ Ω u(x) xd 0 0 Eu(x) = −3u(x , −xd ) + 4u(x , − 2 ) pro x ∈ (−1, 1)d−1 × (−2, 0)   0 v ostatních případech Pro C 1 -hladkost Eu je rozhodující jen chování v okolí (−1, 1)d−1 × {0}. Platí Eu(x0 , 0− ) = −3u(x0 , 0+ ) + 4u(x0 , 0+ ) = u(x0 , 0+ ),

PDR

9

dále pro i = 1, . . . , d − 1 ∂Eu 0 ∂Eu 0 ∂Eu 0 (x , 0− ) = (−3 + 4) (x , 0+ ) = (x , 0+ ) ∂xi ∂xi ∂xi a ∂Eu 0 ∂Eu 0 ∂Eu 0 (x , 0− ) = (−3(−1) + 4.(− 12 )) (x , 0+ ) = (x , 0+ ). ∂xd ∂xd ∂xd Navíc zřejmě platí kEukW 1,p (Rd ) ≤ CkukW 1,p (Ω) a C nezávisí ani na d ani na p (je to vidět z trojúhelníkové norovnosti, přechod k argumentu (x0 , − x2d ) se sice projeví v dvakrát větší množině, přes kterou integrujeme, ale integračního oboru se v definici normy týká mocnina p1 ). První zobecnění: u ∈ C 1 (Ω) nahradíme u ∈ W 1,p (Ω). Využije se aproximace hladkými funkcemi až do hranice z předchozí věty (funkce un ), díky linearitě operátoru E je zřejmě {Eun } cauchyovská v W 1,p (Rd ), její limita bude Eu. Druhé zobecnění: (narovnání hranice) vše jako výše, jen Ω = {x0 ∈ (−1, 1)d−1 , xd ∈ (a(x0 ), a(x0 ) + 1)}, kde a je lipschitzovská funkce. Použijeme bi-lipschitzovskou transformaci souřadnic (x0 , xd ) 7→ (x0 , xd + a(x0 )). Podle věty o substituci tato transformace zachovává Sobolevovy prostory a norma se nemění díky jednotkovému Jakobiánu (matice derivací má na diagonále jedničky, obecně nenulový jen poslední řádek). Třetí zobecnění: krychle výše klidně mohla být kvádrem. Čtvrté zobecnění: rozsekání hranice. Stačí použít vhodný rozklad jednotky. Díky omezenosti velikosti gradientu funkcí z rozkladu pak zřejmě platí kξi vkW 1,p (Ω) ≤ CkvkW 1,p (Ω) (skutečně ∇(ξi v) = ξi ∇v + v∇ξi ) a požadované nerovnosti se dají vysčítat až na multiplikativní konstantu nezávislou na p. Případ p = ∞. Provedeme předchozí postup pro všechna p < ∞. Dostaneme kEukW 1,p (Rd ) ≤ CkukW 1,p (Ω) ≤ CkukW 1,∞ (Ω) kde používáme lemma níže.

Poznámka 2.21. Důkaz výše byl převzat ze skript pěti autorů a má dvě slabiny. Jednak je to užití netriviálního výsledku, že složenina lipschitzovského zobrazení se sobolevovským je sobolevovské (integrovatelnost je zřejmá z věty o substituci, ale není jasné, že transformovaná slabá derivace zůstává slabou derivací) a pak zbytečná péče o to, zda rozšířená funkce je stále C 1 (stačilo by to jen přezrcadlit). Evansův přístup předpokládá C 1 -hranici, první krok je rošíření jako u nás, druhý narovnání hranice při němž pracuje se složeninou C 1 -zobrazení, tedy s klasickou derivací a k sobolevovským funkcím přechází až v posledním kroku. Lemma 2.22. Nechť Ω ⊂ Rd je měřitelná a omezená. Jestliže u ∈ L∞ (Ω), pak pro všechna p ∈ [1, ∞) platí u ∈ Lp (Ω) a kukLp (Ω) ≤ C(|Ω|)kukL∞ (Ω) , speciálně C nezávisí na p. Naopak, jestliže u ∈ Lp (Ω) pro všechna p ∈ [1, ∞) a existuje C > 0 takové, že kukLp (Ω) ≤ C pro všechna p ∈ [1, ∞), pak u ∈ L∞ (Ω) a kukL∞ (Ω) ≤ C (tatáž konstanta).

10

PDR

Důkaz. Pokud |u| ≤ C skoro všude na Ω a p ∈ [1, ∞), pak ! p1

Z kukLp (Ω) ≤

C

1

p

= C|Ω| p ≤ C max{1, |Ω|}.

Ω

˜ ⊂ Ω kladné míry takové, Druhá část sporem: nechť kukLp (Ω) ≤ C, existují δ > 0 a Ω ˜ Pak že |u| > C + δ na Ω. ˜ p1 . kukLp (Ω) ≥ (C + δ)|Ω| Dostáváme spor, neboť pravá strana jde k C + δ pro p jdoucí k nekonečnu.

2.6. Věty o spojitém vnoření. V následujícím značíme pro x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd pro i = 2, . . . , d − 1 (x1 , . . . , x ˆi , . . . , xd ) = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 . . . , xd ). Pro i = 1 či i = d analogicky vynecháním souřednice xi . Lemma 2.23 (Gagliardo). Nechť d ≥ 2 a ui ∈ Cc1 (Rd−1 ), pro i = 1, . . . .d, kde ui = ui (x1 , . . . , x ˆi , . . . , xd ) (ve smyslu, že funkce je konstantní v chybějící proměnné). Pak Z

d Y

1 ! d−1

Z d Y

|ui | dx ≤

Rd i=1

d−1

|ui |

ˆ i . . . dxd dx1 . . . dx

.

Rd−1

i=1

Důkaz. V případě d = 2 má nerovnost tvar Z Z Z |u1 (x2 )||u2 (x1 )| dx ≤ |u1 (x2 )| dx2 |u2 (x1 )| dx1 R2

R

R

a plyne z Fubiniho věty. Dále pokračujeme indukcí přes d. Nejprve použijeme Fubiniho a hned po něm Höldera pro d − 1 činitelů a pak ještě Höldera s mocninami d − 1 a d−1 d−2 ! Z Z Z |u1 | . . . |ud | dx = Rd

|u1 |

|u2 | . . . |ud | dx1

Rd−1

Z ≤

dx2 . . . dxd

R

|u1 | Rd−1

1 ! d−1

Z d Y i=2

|ui |d−1 dx1

dx2 . . . dxd

R 1 ! d−1

Z ≤

|u1 |

d−1

dx2 . . . dxd

Rd−1

Z ×

Rd−1 i=2

|ui |d−1 dx1

R

Nyní na hladké funkce Z gi := R

1 ! d−2

|ui |d−1 dx1

d−2 ! d−1

1 ! d−2

Z d Y

,

i = 2, . . . , d,

dx2 . . . dxd

.

PDR

11

aplikujeme indukční předpoklad a dostáváme Z |u1 | . . . |ud | dx Rd

Z

|u1 |d−1 dx2 . . . dxd

≤

1 ! d−1 Z

1 ! d−1

Z |u1 |

d−1

dx2 . . . dxd

Rd−1

|u1 |d−1 dx2 . . . dxd

= Rd−1

|u1 |

d−1

dx2 . . . dxd

Rd−1

1 ! d−2 ! d−2 d−1

d−2

|gi |

ˆ i . . . dxd dx2 . . . dx

Rd−2

Z d Y Rd−2

i=2 1 ! d−1

Z =

gi dx2 . . . dxd

Z d Y i=2

1 ! d−1

Z

! d−2 d−1

Rd−1 i=2

Rd−1

≤

d Y

Z d Y

1 ! d−1

!

Z

|ui |d−1 dx1

ˆ i . . . dxd dx2 . . . dx

R 1 ! d−1

d−1

|ui |

ˆ i . . . dxd dx1 . . . dx

Rd−1

i=2

a to jsme chtěli dokázat. Věta 2.24 (Gagliardo-Nirenberg). Nechť p ∈ [1, d). Označme p∗ = libovolnou u ∈ D(Rd ) platí kukLp∗ (Rd ) ≤

(2.1)

dp d−p .

Pak pro

(d − 1)p k∇ukLp (Rd ) . d−p

d Důkaz. Nejprve případ p = 1. Pak p∗ = d−1 . Z důvodů patrných níže dokažme d 1 tvrzení v obecnějším případě u ∈ Cc (R ). Pro libovolné i = 1, . . . , d platí Z xi ∂u |u(x)| = (x1 , . . . , xi−1 , s, xi+1 , . . . , xs ) ds −∞ ∂xi Z ∞ ≤ |∇u|(x1 , . . . , xi−1 , s, xi+1 , . . . , xs ) ds. −∞

Tedy |u(u)|

d d−1

≤

Z d Y i=1

1 ! d−1

∞

|∇u|(x1 , . . . , xi−1 , s, xi+1 , . . . , xs ) ds

.

−∞

Teď už stačí vše jen přeintegrovat přes Rd a použít Gagliardovo lemma na jedno1 rozměrné integrály z gradientu umocněné na d−1 Z d d kuk d−1d = |u(u)| d−1 dx L d−1 (Rd )

Z ≤

Z d Y

Rd i=1

≤

i=1

Rd

|∇u|(x1 , . . . , xi−1 , s, xi+1 , . . . , xs ) ds Z

Rd−1

Z d Y

1 ! d−1

∞

dx

−∞

Z d Y i=1

=

Rd

!

∞

ˆ i . . . dxd |∇u|(x1 , . . . , xi−1 , s, xi+1 , . . . , xs ) ds dx1 . . . dx

−∞ 1 ! d−1

|∇u| dx

Z

d ! d−1

|∇u| dx

= Rd

d

= k∇ukLd−1 1 (Rd ) ,

1 ! d−1

12

PDR

což jsme chtěli dokázat, neboť (d−1)p d−p |p=1 = 1 a tedy nerovnost je dokázána včetně správné multiplikativní konstanty. Nyní přistupme k případu p ∈ (1, d). Položme γ = (d−1)p d−p a definujme pomocnou γ−1 γ−1 funkci v = |u| u. Zřejmě γ > 1, proto t 7→ |t| t je C 1 -funkce a odtud v ∈ 1 n Cc (R ). Můžeme tedy aplikovat výsledek pro případ p = 1 na v a dostáváme kuk

(d−1)p d−p dp L d−p (Rd )

= kukγ dγ = k|u|γ k d−1 = kvk d−1 ≤ k∇vkL1 (Rd ) d d L (Rd ) L (Rd ) L d−1 (Rd ) Z Z = |∇(|u|γ−1 u)| = γ|u|γ−1 |∇u| Rd

Rd

Z |u|

≤γ

p(γ−1) p−1

! p−1 Z p

! p1 |∇u|

p

Rd

Rd

(v poslední úpravě jsme použili Hölderovu nerovnost). Dále platí p p d(p − 1) dp (γ − 1) = = p−1 p−1 d−p d−p a tedy (d−1)p d−p dp L d−p (Rd )

kuk

≤

dp p−1 (d − 1)p kuk d−pdp p k∇ukLp (Rd ) . d−p L d−p (Rd )

Protože dále (d − 1)p dp p − 1 d−p − = = 1, d−p d−p p d−p vyloučíme-li případ u ≡ 0, kdy je požadovaná nerovnost splněna triviálně, dostáváme (d − 1)p kuk dp d ≤ k∇ukLp (Rd ) . d−p d−p (R ) L ∗

Důsledek 2.25. (i) Nechť p ∈ [1, d). Pak W 1,p (Rd ) ,→ Lp (Rd ) a platí (2.1). ∗ (ii) Nechť p ∈ [1, d) a Ω ⊂ Rn . Pak W01,p (Ω) ,→ Lp (Ω) a platí (2.1). Důkaz. Připomeňme, že W 1,p (Rd ) = W01,p (Rd ), tedy v obou případech lze užít hustotu funkcí z D(Rd ) respektive D(Ω) ⊂ D(Rd ). Podrobně dokážeme tvrzení (ii). Pokud u ∈ W 1,p (Rd ), pak existuje {un } ⊂ C ∞ (Rd ) ∩ W 1,p (Rd ) taková, že un → u ve W 1,p (Rd ). Pro tyto funkce platí (2.1), stačí tedy tedy dokázat k∇un kLp (Rd ) → k∇ukLp (Rd )

a

|un kLp∗ (Rd ) → kukLp∗ (Rd ) .

První konvergence plyne z konvergence ve W 1,p (Rd ). Dále aplikací (2.1) na un − uk ∗ ∗ zjistíme, že {un } je cauchyovská v Lp (Rd ) a tedy existuje v ∈ Lp (Rd ) splňující ∗ un → v v Lp (Rd ). Přechodem k podposloupnosti máme un → v skoro všude. Protože máme zároveň un → u v Lp (Rd ), dostáváme un → u skoro všude, tedy v → u skoro všude. Proto kun kLp∗ (Rd ) → kvkLp∗ (Rd ) = kukLp∗ (Rd ) . Věta 2.26 (Vnoření pro p < d). Nechť p ∈ [1, d) a Ω ⊂ Rd je třídy C 0,1 . Pak pro libovolné q ∈ [1, p∗ ] platí W 1,p (Ω) ,→ Lq (Ω) s konstantou vnoření C = C(d, p, q, Ω).

PDR

13

Důkaz. Pokud q = p∗ , použijeme nejprve operátor rozšíření na W 1,p (Rd ) (tím vstoupí do hry i norma z funkčních hodnot), pak aplikujeme předchozí větu. Rozšíření mám trochu zhorší konstantu z Gagliardo-Nirenberga. Pokud q < p∗ , použijeme postup výše a pak ještě zahöldeříme na levé straně. Věta 2.27 (Vnoření pro p = d). Nechť Ω ⊂ Rd je třídy C 0,1 . Pak pro libovolné q ∈ [1, ∞) platí W 1,d (Ω) ,→ Lq (Ω). Důkaz. Plyne z předchozí věty, neboť Ω je omezená, tedy W 1,d (Ω) ⊂ W 1,p (Ω) pro všechna p ∈ [1, d). Navíc máme p∗ → ∞ pro p → d− . Ve třídě radiálně symetrických funkcí s logaritmickým růstem lze nalézt příklad ukazující, že neplatí vnoření do L∞ (Ω). Věta 2.28 (Odhady pro W01,p (Ω), p ∈ [1, d)). Nechť Ω ⊂ Rd je otevřená a omezená. Nechť p ∈ [1, d) a u ∈ W01,p (Ω). Pak pro každé q ∈ [1, p∗ ] platí kukLq (Ω) ≤ C(p, q, d, Ω)k∇ukLp (Ω) . Důkaz. Případ q = p∗ plyne z Gagliardo-Nirenberga a hustoty D(Ω) ve W01,p (Ω). Ostatní případy se získají pomocí Hölderovy nerovnosti. Pokud je v předchozí větě q = p, odhad se nazývá Friedrichsova nerovnost a jejím důsledkem je ekvivalence klasické sobolevovské normy a takzvané Dirichletovy normy kukW 1,p (Ω) := k∇ukLp (Ω) . 0

∗

Poznámka 2.29. Protože pro p < d máme W 1,p (Rd ) ,→ Lp (Rd ) a navíc triviálně W 1,p (Rd ) ,→ Lp (Rd ), aplikací Höldera dostáváme W 1,p (Rd ) ,→ Lq (Rd ) pro všechna q ∈ [p, p∗ ], neboť pro λ ∈ (0, 1) Z

λp+(1−λ)p∗

u Rd

Z

p

≤

!λ Z

!1−λ p∗

u

u

Rd

Rd

a tedy λp

(1−λ)p∗

∗

∗

kukLλp+(1−λ)p . kukLλp+(1−λ)p∗ (Rd ) ≤ kukLλp+(1−λ)p p (Rd ) p∗ (Rd ) Věta 2.30 (Morrey). Nechť p ∈ (d, ∞). Pak existuje C = C(p, d) > 0, že pro všechna u ∈ C 1 (Rd ) platí kuk

C

0,1− d p

(Rd )

:= kukC(Rd ) + sup x6=y

|u(x) − u(y)| d

|x − y|1− p

≤ CkukW 1,p (Rd ) .

Důkaz. Nejprve odhadneme oscilace. Volme libovolné pevné x1 , x2 ∈ Rd (různé). Nechť Q% je krychle se stěnami rovnoběžnými se souřadnými osami, taková, že body x1 , x2 leží na protilehlých stěnách, délku hrany značíme % (tedy % = |x1 − x2 |∞ ). Pak √ % ≤ |x1 − x2 | ≤ d%.

14

PDR

Proto pro libovolné x ∈ Q% a i = 1, 2 máme Z 1 d |u(x) − u(xi )| = u(xi + s(x − xi )) ds 0 ds Z 1 ∇u(xi + s(x − xi )) · (x − xi ) ds = 0 Z 1 ≤ |∇u(xi + s(x − xi ))||x − xi | ds 0

≤

√

Z

1

|∇u(xi + s(x − xi ))| ds.

d% 0

Použijeme-li tento odhad, Fubiniho větu a lineární substituci z = xi + s(x − xi ), "dz = sd dx", která posílá krychli Q% na Qis% = {z ∈ Rd : z = xi + s(x − xi ), x ∈ Q% }, a pak použijeme na vnitřní integrál Hölderovu nerovnost Z Z 1 1 u(x) dx − u(xi ) ≤ d |u(x) − u(xi )| dx d % Q% % Q% √ Z Z 1 d ≤ d−1 |∇u(xi + s(x − xi ))| dsdx % Q% 0 √ Z 1Z d = d−1 |∇u(xi + s(x − xi ))| dxds % 0 Q% √ Z 1 Z d = d−1 s−d |∇u(z)| dzds % 0 Qis% √ Z 1 p−1 d ≤ d−1 s−d k∇ukLp (Rd ) |Qis% | p ds % 0 √ Z 1 p−1 d = d−1 k∇ukLp (Rd ) s−d (s%) p d ds % 0 Z 1 √ 1− d d p = d% k∇ukLp (Rd ) s− p ds 0 √ d 1− dp = % k∇ukLp (Rd ) . 1 − dp Odtud dostáváme

(2.2)

Z Z 1 1 |u(x1 ) − u(x2 )| ≤ u(x1 ) − d u(x) dx + d u(x) dx − u(x2 ) % Q% % Q% √ √ d 2 d 1− dp 2 d ≤ % k∇ukLp (Rd ) ≤ |x1 − x2 |1− p k∇ukLp (Rd ) 1 − dp 1 − dp

z čehož plyne požadovaný odhad druhé části normy.

PDR

15

Nyní odhadneme supremum funkčních hodnot. Volme x ∈ Rd a k němu libovolnou krychli Q1 , aby x ∈ Q1 . Pak pro libovolně y ∈ Q1 platí podle (2.2) d

|u(x)| = |u(y)| + |u(x) − u(y)| ≤ |u(y)| + C|x − y|1− p k∇ukLp (Rd ) ≤ |u(y)| + Ck∇ukLp (Rd ) . Integrací přes Q1 a aplikací Hölderovy nerovnosti dostáváme Z Z |u(x)| = |u(x)| dy ≤ |u(y)| dy + Ck∇ukLp (Rd ) Q1

Q1

≤ kukLp (Rd ) + Ck∇ukLp (Rd ) ≤ CkukW 1,p (Rd ) .

A tentýž odhad platí i pro supremum. Důsledek 2.31. Nechť p ∈ (d, ∞). Pak W 1,p (Rd ) ,→ C ného reprezentanta) s konstantou vnoření C = C(d, p).

0,1− d p

(Rd ) (při volbě vhod-

Důkaz. Volme u ∈ W 1,p (Rd ). Vezměme aproximující posloupnost hladkých funkcí takových, že um → u ve W 1,p (Rd ). Podle předchozí věty máme kum − ul k

C

0,1− d p

(Rd )

≤ Ckum − ul kW 1,p (Rd ) , d

což je cauchyovskost, tedy existuje v ∈ C 0,1− p (Rd ) taková, že um → v

d

v C 0,1− p (Rd ).

Pak nutně u = v skoro všude, jinak odvodíme spor z toho, že um → u v Lp (Rd ) a d zároveň um ⇒ v. Tedy pro vhodného reprezentanta u ∈ C 0,1− p (Rd ). Pak už se použije jen spojitost obou norem, abychom dostali Morreyho nerovnost. Věta 2.32 (Vnoření pro p > d). Nechť p > d a Ω ⊂ Rd je množina třídy C 0,1 . Pak ¯ pro všechna α ∈ [0, 1 − dp ] platí W 1,p (Ω) ,→ C 0,α (Ω). Důkaz. Nejprve použijeme operátor rozšíření, tedy z u ∈ W 1,p (Ω) vyrobíme Eu ∈ W 1,p (Rd ) s kompaktním nosičem. Pak stačí kombinovat inkluzi mezi Sobolevovými prostory na omezené množině s předchozím důsledkem. ¯ Důsledek 2.33. Nechť Ω ⊂ Rd je množina třídy C 0,1 . Pak W 1,∞ (Ω) ,→ C 0,1 (Ω). Důkaz. Díky omezenosti množiny Ω dostáváme W 1,∞ (Ω) ⊂ W 1,p (Ω), pro libovolné p ∈ [1, ∞) a tedy dle předchozí věty a Hölderovy nerovnosti kuk

C

0,1− d p

¯ (Ω)

≤ C(d, p, Ω)kukW 1,p (Ω) ≤ C(d, p, Ω)kukW 1,∞ (Ω) .

Dále konstanta v (2.2) je omezená, je-li p odraženo od d (konstanta byla v důkazu Morreyho věty), tedy existuje jedna konstanta C > 0, že pro libovolné α ∈ [ 21 , 1) a x1 , x2 ∈ Ω |u(x1 ) − u(x2 )| ≤ C|x1 − x2 |α . Odtud dokonce se stejnou konstantou |u(x1 ) − u(x2 )| ≤ C|x1 − x2 |, jinak se snadno odvodí spor.

16

PDR

2.7. Věty o kompaktním vnoření. Věta 2.34 (Kompaktní vnoření pro p < d). Nechť Ω ⊂ Rd je množina třídy C 0,1 a p < d. Pak pro všechna q ∈ [1, p∗ ) platí W 1,p (Ω) ,→,→ Lq (Ω). Důkaz je velmi dlouhý. Věta 2.35 (Kompaktní vnoření pro p ≥ d). Nechť Ω ⊂ Rd je množina třídy C 0,1 . Pak (i) pro všechna q ∈ [1, ∞) je W 1,p (Ω) ,→,→ Lq (Ω) ¯ (ii) pro všechna p > d a α ∈ [0, 1 − dp ) platí W 1,p (Ω) ,→,→ C 0,α (Ω). Důkaz. První tvrzení zřejmě plyne z předchozí věty. Druhé plyne z faktu, že prostory Hölderovsky spojitých funkcí jsou do sebe kompatně vnořené. 2.8. Věta o stopách. Prostor Lp (∂Ω) pro Ω s lipschitzovskou hranicí zavádíme následovně. Je-li funkce u definována skoro všude na ∂Ω, na jednotlivých úsecích hranice (po odpovídající rotaci souřadnic) zkoumáme, zda funkce x0 7→ u(x0 , an (x0 )) n 2 patří do Lp ((−α, α)d−1 ). Při výpočtu normy ještě přidáváme váhu (1 + ( ∂a ∂x1 ) + 1 ∂an 2 2 · · · + ( ∂x ) ) (plošný element pro plochy explicitně zadané jako graf funkce) a d−1 vysčítáváme přes všechny části hranice (bez rozkladu jednotky, tedy některé úseky jsou brány vícekrát, úseků je ale jen konečný počet). Věta 2.36 (O stopách). Nechť Ω ⊂ Rd je dále  dp−p  [1, d−p ] q ∈ [1, ∞)   [1, ∞]

množina třídy C 0,1 a p ∈ [1, ∞]. Nechť pro p < d pro p = d pro p > d.

Pak existuje spojitý lineární operátor T : W 1,p (Ω) 7→ Lq (∂Ω) takový, že pro všechna ¯ platí u ∈ C ∞ (Ω) T u = u|∂Ω . ¯ takže u vhodDůkaz. Pro p > d se použije vnoření do Hölderovských funkcí na Ω, ného reprezentanta známe i funkční hodnoty na hranici. Musí se ale ještě ověřit linearita a spojitost tohoto přirozeně definovaného operátoru (obojí je snadné). Případ p = d bude přetažen z p < d díky vzájemnému vnoření Sobolovových prostorů a dp−p d−p → ∞ pro p → d− . V dalším tedy uvažujme jen p < d a značíme p# = dp−p d−p . Krok 1. (přechod k hladkým funkcím a definice operátoru) ¯ taPodle věty o globální aproximaci až do hranice můžeme najít {un } ⊂ C ∞ (Ω) kovou, že un → u ve W 1,p (Ω). Pokud se nám podaří pro hladké funkce dokázat nerovnost (2.3)

kvkLp# (∂Ω) ≤ C(p, Ω)kvkW 1,p (Ω) ,

přetáhneme pojmy jako cauchyovskost a nezávislost na aproximující posloupnosti # z W 1,p (Ω) do Lp (∂Ω) (úplný prostor). Zbývá dokázat (2.3). Krok 2. S použitím rozkladu jednotky problém převedeme na jeden úsek hranice. Díky omezenosti velikosti gradientu funkcí z rozkladu pak zřejmě platí kξi vkW 1,p (Ω) ≤ CkvkW 1,p (Ω)

PDR

17

(skutečně ∇(ξi v) = ξi ∇v + v∇ξi ) a požadované nerovnosti se dají vysčítat až na multiplikativní konstantu. Krok 3. (důkaz nerovnosti (2.3) na jednom úseku hranice) Je-li rozklad jednotky zvolen tak, aby nosič rozkládající funkce ležel v pásu šířky 2β z definice třídy C 0,1 , pak díky Hölderově nerovnosti (provádí se jen pro p > 1, jinak je důkaz hotov po dvou řádcích následujícího výpočtu) a větě o spojitém vnoření Sobolevových prostorů do prostorů Lebesgueových Z Z Z a(x0 )+β dp−p ∂ 0 p# 0 |v(x0 , y)| d−p dydx0 |v(x )| dx ≤ − ∂y [−α,α]d−1 a(x0 ) [−α,α]d−1 Z Z a(x0 )+β d(p−1) ≤ C(p, d) |∇v(x0 , y)||v(x0 , y)| d−p dydx0 [−α,α]d−1

a(x0 )

≤ C(p, d)k∇vkLp (supp v) kvk 1+

d(p−1) d−p dp L d−p (supp v)

d(p−1)

dp−p

d−p ≤ C(d, p)kvkW 1,pd−p (supp v) = C(d, p)kvkW 1,p (supp v) #

= C(d, p)kvkpW 1,p (supp v) . Věta 2.37 (Charakterizace W01,p (Ω) pomocí stop). Nechť Ω ⊂ Rd je množina třídy C 1 , p ∈ [1, ∞) a u ∈ W 1,p (Ω). Pak u ∈ W01,p (Ω)

⇐⇒

T u = 0 na ∂Ω.

Náznak důkazu. Jedna implikace je jasná. Funkci u aproximujeme funkcemi z D(Ω) a využijeme toho, že operátor stop je spojitý. Druhá implikace je obtížná. Vezmeme ¯ posloupnost C ∞ (Ω)-funkcí z definice T u zmodifikujeme je na funkce z D(Ω) (rozkladem jednotky se přehodíme na jeden kousek hranice, ten narovnáme. Pak funkce přenásobíme vhodnou seřezávací funkcí a zhladíme), dále ukážeme, že i po těchto úpravách stále konvergují k u ve W 1,p (Ω). 2.9. Poincarého nerovnost. Pro funkci z L1 (Ω) definujeme její integrální průměr jako Z 1 uΩ = u dx. |Ω| Ω Věta 2.38 (Poincaré). Nechť Ω ⊂ Rd je omezená oblast třídy C 1 , 1 ≤ p ≤ ∞. Pak pro všechna u ∈ W 1,p (Ω) platí ku − uΩ kLp (Ω) ≤ C(d, p, Ω)k∇ukLp (Ω) . Důkaz. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že uΩ = 0 (přičtení konstanty neovlivní, zda u ∈ W 1,p (Ω) díky omezenosti Ω - příklad na cvičení) a kukLp (Ω) = 1. Pokud by nerovnost neplatila, šlo by najít posloupnost {un } ⊂ W 1,p (Ω) s vlastnostmi uvedenými výše a navíc k∇un kLp (Ω) ≤ n1 . Použijeme větu o kompaktním vnoření a přechodem k vybrané podposloupnosti dostáváme (i pro p = ∞) un → u v Lp (Ω),

kukLp (Ω) = 1 a uΩ = 0 (Lp (Ω) ,→ L1 (Ω)).

Na druhou stranu pro všechna ϕ ∈ D(Ω) a i = 1, . . . , d máme díky k∇un kLp (Ω) ≤ Z Z Z ∂ϕ ∂ϕ ∂un u = lim un = − lim ϕ =0 n→∞ n→∞ ∂x ∂x ∂xi i i Ω Ω Ω

1 n

18

PDR

a tedy u ∈ W 1,p (Ω), ∇u = 0 skoro všude, tedy u je konstantní (příklad na cvičení) a tedy uΩ = 0 je ve sporu s kukLp (Ω) = 1. Věta 2.39 (Poincaré pro kouli). Nechť x ∈ Rd , r > 0, 1 ≤ p ≤ ∞ a u ∈ W 1,p (B(x, r)). Pak ku − uB(x,r) kLp (B(x,r)) ≤ C(d, p)rk∇ukLp (B(x,r)) . Důkaz. Nejprve uvažujeme případ B(x, r) = B(0, 1) a použijeme předchozí větu. Obecný případ získáme posunutím (nemění ani integrální průměr, ani integrál z funkčních hodnot, ani z derivace) a nafouknutím (pro p < ∞: integrální průměr d 1 stejný, norma z funkčních hodnot je přenásobena (rd ) p = r p díky Jakobiánu, norma 1 d derivace zase (r−p rd ) p = r p −1 ; pro p = ∞: první a druhá veličina se nemění, norma derivace vyhodí r−1 ). 2.10. Charakterizace Sobolevových prostorů pomocí diferencí. Je-li h ∈ R a ei jednotkový vektor ve směru osy xi , značíme u(x + hei ) − u(x) ∆hi u(x) = . h Tedy, pokud existuje i-tá parciální derivace v bodě x, platí ∂u (x) = lim ∆hi u(x). h→0 ∂xi Věta 2.40. (i) Nechť p ∈ [1, ∞) a u ∈ W 1,p (Rd ). Nechť i ∈ {1, . . . , d} a h ∈ R\{0}. Pak

∂u

k∆hi ukLp (Rd ) ≤ .

∂xi Lp (Rd ) (ii) Nechť p ∈ (1, ∞) a u ∈ Lp (Rd ). Nechť existují h0 > 0 a Ci > 0, i ∈ {1, . . . , d}, takové, že pro všechna h ∈ R splňující 0 < |h| < h0 a i = 1, . . . , d platí (2.4)

k∆hi ukLp (Rd ) ≤ Ci .

Pak u ∈ W 1,p (Rd ) a pro každé i ∈ {1, . . . , d} platí

∂u

≤ Ci .

∂xi Lp (Rd ) Důkaz. (i) Z hustoty stačí dokázat pro u ∈ D(Rn ) (norma na pravé straně nerovnosti je část toho, vůči čemu jsme hustotu dokazovali, podobně pro levou stranu a pevné h, viz definice ∆hi ). Nechť je tedy v dalším u ∈ D(Rn ) pevné, stejně tak i = 1, . . . , d a h 6= 0. Máme Z u(x + hei ) − u(x) 1 h ∂u = ∆hi u(x) = (x + tei ) dt. h h 0 ∂xi Odtud díky Hölderovi (opatrně, h může být záporné) Z p ∂u 1 h h p 1 · (x + te ) dt |∆i u(x)| = i |h|p 0 ∂xi Z p0 Z p p p p 1 h p0 h ∂u ≤ (x + tei ) dt 1 dt 0 ∂xi |h|p 0 Z Z h ∂u p 1 h ∂u p 1 p−1 = |h| (x + te ) dt = (x + te ) dt. i i p |h| h 0 ∂xi 0 ∂xi

PDR

19

Poslední nerovnost integrujeme přes Rd a použijeme Fubiniho Z Z h p 1 ∂u p h k∆i u(x)kLp (Rd ) ≤ (x + tei ) dt dx h Rd 0 ∂xi Z Z p 1 h ∂u = (x + tei ) dx dt h 0 Rd ∂xi Z

∂u p

1 h

∂u p

, =

p d dt =

h 0 ∂xi L (R ) ∂xi Lp (Rd ) což jsme chtěli dokázat. (ii) Nechť {hn } ⊂ R \ {0} je posloupnost jdoucí k nule. Pak, podle předpokladu (2.4), je {∆hi n u} omezená posloupnost v Lp (Rd ) a tedy díky reflexivitě (pro 1 < p < ∞) lze přejít k takové podposloupnosti, že ∆hi n u * v pro nějaké v ∈ Lp (Rd ). ∂u Nejprve ukažme, že v = ∂x (slabá derivace). Volme testovací funkci ϕ ∈ D(Rd ). i Pak díky substituci ! Z Z Z 1 ∆hi n u(x)ϕ(x) dx = u(x + hn ei )ϕ(x) dx − u(x)ϕ(x) dx hn Rd Rd Rd ! Z Z 1 = u(x)ϕ(x − hn ei ) dx − u(x)ϕ(x) dx hn Rd Rd Z ϕ(x − hn ei ) − ϕ(x) = u(x) dx. hn Rd Nyní Z Z n→∞

Rd

∆hi n u(x)ϕ(x) dx →

v(x)ϕ(x) dx, Rd

0

neboť ∆hi n u * v a ϕ ∈ D(Rd ) ⊂ Lp (Rd ). Na druhou stranu Z Z ∂ϕ ϕ(x − hn ei ) − ϕ(x) n→∞ u(x) dx → − (x)u(x) dx h ∂x d d n i R R podle Lebesgueovy věty, neboť u ∈ Lp (Rd ) ⊂ Lp (supp ϕ) ⊂ L1 (supp ϕ) a

ϕ(x−hn ei )−ϕ(x) hn

jsou omezené (Lagrange a spojitost derivace na kompaktu). Proto Z Z ∂ϕ v(x)ϕ(x) dx = − (x)u(x) dx. ∂x d d i R R

Máme tedy dokázánu existenci slabých derivací a jejich příslušnost do Lp (Rd ). Podle předpokladu u ∈ Lp (Rd ), tedy u ∈ W 1,p (Rd ). Zbývá dokázat odhad normy derivací, ale ten plyne z (2.4) a faktu, že každá norma je slabě polospojitá zdola. Poznámka 2.41. Ve druhé části předchozí charakterizace skutečně nelze připustit p = 1. Stačí volit u = χ(0,1) . Pak u ∈ L1 (R), není to sobolevovská funkce, ale pro libovolně h ∈ (0, 1) platí (pro h ∈ (−1, 0) je výpočet podobný) ( 1 pokud x ∈ (−h, 0] ∪ [1 − h, 1) h |∆ (x)| = h 0 jinak a tedy k∆h kL1 (R) = 2.

20

PDR

Předchozí charakterizace platí i pro obecnou Ω 6= Rd , ale ve znění se musí ošetřit okolí hranice. Věta 2.42. (i) Nechť p ∈ [1, ∞) a u ∈ W 1,p (Ω). Nechť V ⊂⊂ Ω je otevřená a i ∈ {1, . . . , d}. Pak existuje C > 0 takové, že pro všechna h ∈ R splňující 0 < |h| < 1 2 dist(V, ∂Ω) platí

∂u

. k∆hi ukLp (V ) ≤ C

∂xi Lp (Ω) (ii) Nechť p ∈ (1, ∞) a u ∈ Lploc (Ω). Nechť V ⊂⊂ Ω je otevřená a pro každé i ∈ {1, . . . , d} existuje Ci > 0 takové, že pro všechna h ∈ R splňující 0 < |h| < 1 2 dist(V, ∂Ω) platí k∆hi ukLp (V ) ≤ Ci . Pak u ∈ W 1,p (V ) a pro každé i ∈ {1, . . . , d} platí

∂u

≤ Ci .

∂xi Lp (V ) 3. Lineární eliptické rovnice Motivační úloha. Nechť Ω ⊂ Rd je omezená a otevřená. Zabývejme se rovnicí −∆u + u = f0 − div f na Ω (3.1) u = 0 na ∂Ω, Pd ∂fi kde f = (f1 , . . . , fd ) a div f = i=1 ∂xi . Připomeňme si ještě ∆u = div ∇u. Předpokládejme, že f0 , f1 , . . . fd ∈ L2 (Ω). Slabé řešení rovnice (3.1) je dáno vztahem (odvození jako na začátku semestru, tedy přenásobíme funkcemi z D(Ω), integrujeme a na vhodné integrály použijeme per-partes) Z Z Z Z (3.2) ∇u · ∇ϕ + uϕ = f0 ϕ + f · ∇ϕ kdykoliv ϕ ∈ W01,2 (Ω). Ω

Ω

Ω

Ω

Připomeňme Definice 3.1 (Skalární součin). Nechť V je vektorový prostor. Pak (·, ·) : V × V 7→ R(C) nazveme skalárním součinem, jestliže (i) (x, x) ≥ 0 a (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0 (ii) (x, y) = (y, x) (iii) (λx, y) = λ(x, y) a (x + y, z) = (x, z) + (y, z) kdykoliv x, y, z ∈ V a λ ∈ R(C). Věta 3.2 (Rieszova věta o reprezentaci). Nechť H je Hilbertův prostor a L ∈ H ∗ (spojitý lineární funkcionál). Pak existuje právě jedno a ∈ H takové, že hL, hi = (h, a) pro všechna h ∈ H. Navíc kLk = kak. Tvrzení 3.3. Existuje právě jedno slabé řešení úlohy (3.1). Důkaz. Označíme-li

Z

Z ∇u · ∇ϕ +

((u, ϕ)) := Ω

uϕ, Ω

pak operace ((·, ·)) má vlastnosti skalárního součinu na W01,2 (Ω). Označme Z Z hL, ϕi := f0 ϕ + f · ∇ϕ Ω

Ω

PDR

21

a ukažme, že L ∈ (W01,2 (Ω))∗ . Linearita je zřejmá. Dále kLk(W 1,2 (Ω))∗ = 0

|hL, ϕi| ≤

sup kϕk

≤1 1,2 W0 (Ω)

≤

W0

(Ω)

kf0 kL2 (Ω) kϕkL2 (Ω) + kf kL2 (Ω) k∇ϕkL2 (Ω)

sup kϕk

kϕk

Z Z sup f0 ϕ + f · ∇ϕ ≤1 Ω Ω 1,2

≤1 1,2 W0 (Ω)

≤ kf0 kL2 (Ω) + kf kL2 (Ω) < ∞, tedy L je spojitý. Konečně, (3.2) se dá psát jako ((u, ϕ)) = hL, ϕi, kde existence a jednoznačnost u plyne z Rieszovy véty o reprezentaci. Poznámka 3.4. Díky větě o ekvivalenci norem má vlastnost skalárního součinu na W01,2 (Ω) i samotný první člen v definici ((·, ·)). Předchozí výsledky tedy umíme získat i pro obecnější rovnici −∆u + Cu = f0 − div f , kde C ≥ 0. V této kapitole budeme studovat ještě obecnější třídu PDR a budeme potřebovat univerzálnější nastroj, než je Rieszova věta o reprezentaci. Skalární součin nahradíme obecnější bilineární formou Věta 3.5 (Lax-Milgramovo lemma). Nechť X je raálný Hilbertův prostor se ska1 lárním součinem (·, ·)X a normou k · kX = ((·, ·)X ) 2 . Nechť B : X × X 7→ R je bilineární forma, která je X-eliptická (∃m > 0 : u ∈ X ⇒ B(u, u) ≥ mkuk2X ) a Xomezená (∃M > 0 : u, v ∈ X ⇒ |B(u, v)| ≤ M kukX kvkX ). Pak pro každé F ∈ X ∗ existuje právě jedno u ∈ X takové, že B(u, v) = hF, vi

kdykoliv v ∈ X.

Navíc

1 kF kX ∗ . m Důkaz. Nechť F ∈ X ∗ je pevně zvoleno. Dále pro zafixované u ∈ X, podle Rieszovy věty o reprezentaci, existuje w ∈ X takové, že kukX ≤

B(u, ϕ) = (w, ϕ)X

pro všechna ϕ ∈ X.

Definujme operátor A : X 7→ X předpisem Au = w (kde w je získáno předchozí konstrukcí). Tedy B(u, ϕ) = (Au, ϕ)X


V dalším ukážeme, že A je omezený lineární operátor, který je prostý a na. Linearita plyne z linearity B v první složce, neboť pro všechna ϕ ∈ X (A(λu + µv), ϕ)X = B(λu + µv, ϕ) = λB(u, ϕ) + µB(v, ϕ) = λ(Au, ϕ)X + µ(Av, ϕ)X = (λAu + µAv, ϕ)X a teď už stačí jen vše převést na jednu stranu a otestovat vzniklým rozdílem. Nyní omezenost (tedy spojitost). Máme kAuk2X = (Au, Au)X = B(u, Au) ≤ M kukX kAukX . Odtud |AukX ≤ M kukX . Dále mkuk2X ≤ B(u, u) = (Au, u)X ≤ kAukX kukX

=⇒

kukX ≤

1 kAukX . m

22

PDR

Toto zřejmě implikuje prostotu (A je lineární). Navíc A(X) (obraz) je uzavřený (předchozí odhad implikuje také spojitost inverzního zobrazení). Ještě zbývá ukázat, že A(X) = X. Pokud by tomu tak nebylo, existoval by v ∈ X \ {0}, v⊥A(X) (neboť A(X) je uzavřený podprostor). Pak ale mkvk2X ≤ B(v, v) = (Av, v)X = 0, což je spor. Konečně přistupme k hlavní části důkazu. Protože F ∈ X ∗ , podle Rieszovy věty o reprezentaci existuje w ∈ X takový, že hF, vi = (w, v)X

pro všechna v ∈ X.

Protože A(X) = X, k w existuje u ∈ X takové, že w = Au. Tedy hF, vi = (w, v)X = (Au, v)X = B(u, v)

pro všechna v ∈ X.

Ještě ověřme jednoznačnost. Nechť B(u1 , ϕ) = hF, ϕi

B(u2 , ϕ) = hF, ϕi

a


Odečteme obě rovnosti a dosadíme ϕ = u1 − u2 0 = B(u1 − u2 , u1 − u2 ) ≥ mku1 − u2 k2X . Ještě získejme odhad normy kukX dosazením ϕ = u mkuk2X ≤ B(u, u) = hF, ui ≤ kF kX ∗ kukX

=⇒

kukX ≤

1 kF kX ∗ . m

3.1. Třída eliptických úloh s obecnými okrajovými podmínkami. Nechť Ω ⊂ Rd je omezená a otevřená. Řešíme úlohu − div(A∇u) + bu = f

(3.3)

na Ω

s okrajovými podmínkami u = u0 ∂u =g ∂n

na Γ1 na Γ2

(Dirichlet) (Neumann)

∂u + σu = g na Γ3 (Newton). ∂n Zde Γ1 , Γ2 , Γ3 ⊂ ∂Ω jsou otevřené jakožto podmnožiny ∂Ω a existuje N ⊂ ∂Ω splňující Hd−1 (N ) = 0 a ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ N. Dále f : Ω 7→ R b : Ω 7→ R A = (aij )di,j=1 : Ω 7→ Rd×d a

∂u ∂n

u0 : Γ1 7→ R σ : Γ3 7→ R g : Γ2 ∪ Γ3 7→ R Pd ∂u = ∇u · n = i,j=1 ∂xj aij νi , kde ν je vnější normála a n se nazývá konormála.

Poznámka 3.6. Zápis rovnice (3.3) po složkách je −

d X

∂ ∂u aij + bu = f. ∂xj ∂xi i,j=1

Pokud A je konstantně rovná jednotkové matici, jedná se o Laplaceovu rovnici a konormála splývá s vnější normálou.

PDR

23

Technické předpoklady (A0) Ω je třídy C 0,1 (A1) ∃α > 0 : Aξ · ξ ≥ α|ξ|2

pro všechna ξ ∈ Rd a skoro všechna x ∈ Ω

(A2) aij , b ∈ L∞ (Ω), σ ∈ L∞ (Γ3 ) (A3) f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (Γ2 ∪ Γ3 ) (A4) b, σ ≥ 0 (A5) ∃˜ u0 ∈ W 1,2 (Ω) : T u ˜0 |Γ1 = u0

(T je operátor stop).

Poznámka 3.7. Díky předpokladu (A1) máme n · ν = Aν · ν ≥ α|ν|2 = α > 0 a tedy konormála vždy míří ven z oblasti. Odvození slabé formulace ¯ : ϕ|Γ = 0} a V = V¯ k·kW 1,2 (Ω) , tedy W 1,2 (Ω) ⊂ V ⊂ Definujme V := {ϕ ∈ C ∞ (Ω) 1 0 1,2 W (Ω). Navíc V je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru, tedy Hilbertův. Volme ϕ ∈ V. Pak aplikací per-partes a okrajových podmínek (jak pro rovnici tak pro testovačku z V) Z Z d Z X ∂ ∂u aij ϕ fϕ = buϕ − ∂xj ∂xi Ω Ω i,j=1 Ω ! Z Z Z d X ∂u ∂ϕ ∂u = buϕ + aij − aij ϕνj dS ∂xi ∂xj ∂xi Ω Ω ∂Ω i,j=1 d X

Z

∂u ∂ϕ dx − = buϕ + aij ∂xi ∂xj Ω i,j=1

Z

Z

σuϕ dS.

gϕ dS + Γ2 ∪Γ3

Γ3

Dále označme d X

Z ∂u ∂ϕ dx + σuϕ dS ∂xi ∂xj Ω Γ3 i,j=1 Z Z = buϕ + A∇u · ∇ϕ dx + σuϕ dS. Z

B(u, ϕ) =

buϕ +

aij

Ω

Γ3

Definice 3.8. Funkce u je slabým řešením, jestliže u − u ˜0 ∈ V a pro všechna ϕ ∈ V platí Z Z B(u, ϕ) = fϕ + gϕ dS. Γ2 ∪Γ3

Ω

Vhodnější zápis slabého řešení (díky linearitě B(·, ·) v první složce) je u = u ˜0 +v, kde v ∈ V splňuje (3.4)

B(v, ϕ) = hF, ϕi

pro všechna ϕ ∈ V

a zobrazení F je definováno předpisem Z Z hF, ϕi = fϕ + Ω

Γ2 ∪Γ3

gϕ dS − B(˜ u0 , ϕ).

24

PDR

Věta 3.9 (O ekvivalenci skalárního součinu generovaného W 1,2 (Ω) a B(·, ·) na V ). Za předpokladů uvedených výše (i) B(·, ·) je V -omezená a bilineární. (ii) B(·, ·) je V -elptická, pokud navíc platí alespoň jedna z podmínek (α)

Hd−1 (Γ1 ) > 0

(β)

b > 0 na množině kladné Lebesgueovy míry

(γ)

σ > 0 na množině kladné (d − 1)-dimenzionální Hausdorffovy míry.

(iii) Pokud neplatí žádná z podmínek výše (pak se jedná o Neumannovu úlohu), definujme prostor W = {u ∈ W 1,2 (Ω) : uΩ = 0} a pak B(·, ·) je bilineární, W -omezená a W -eliptická. Důkaz. (i) Bilinearita zřejmě plyne z linerity integrálu. Dále omezenost plyne z 2(d−1) Hölderovy nerovnosti, věty o stopách ( dp−p d−p = d−2 ≥ 2) a (A2) Z |B(u, v)| ≤

|buv| + Ω

Z d X ∂u ∂v |σuv| dS dx + aij ∂xi ∂xj Γ3 i,j=1

≤ CkukL2 (Ω) kvkL2 (Ω) + Ck∇ukL2 (Ω) k∇vkL2 (Ω) + CkukL2 (∂Ω) kvkL2 (∂Ω) ≤ CkukW 1,2 (Ω) kvkW 1,2 (Ω) . (ii) Sporem. Pokud tvrzení neplatí, lze nalézt {v n } ⊂ V takové, že kv n kW 1,2 (Ω) = 1

a

B(v n , v n ) → 0.

Protože máme omezenou posloupnost v reflexivním prostoru V a ten je dále kompaktně vnořen do L2 (Ω), nalezneme v ∈ V takové, že (po přechodu k podposloupnosti) v n * v ve W 1,2 (Ω) a v n → v v L2 (Ω). Dále slabá zdola polospojitost normy a (A1) apolu s (A4) dávají k∇v n kL2 (Ω) → 0 a k∇vkL2 (Ω) = 0, tedy ∇v = 0 skoro všude a tedy (dle jednoho z domácích úkolů) v ≡ C. Zároveň dostáváme kvkL2 (Ω) = 1. Pokud nyní platí (α), v ∈ V implikuje v ≡ 0 a to je spor s kvkL2 (Ω) = 1. Dále lze užitím k∇v n kL2 (Ω) → 0 = k∇vkL2 (Ω) a Hölderovy nerovnosti snadno ověřit, že B(v n , v n ) → B(v, v) a tedy Z Z Z Z 0 = B(v, v) = bvv dx + σvv dS = bC 2 dx + σC 2 dS. Ω

Γ3

Ω

Γ3

Toto vede ke sporu v případech (β) a (γ). (iii) Bilinearita a W -omezenost se dokážou jako výše. Pří důkazu W -eliptičnosti se použije konstrukce z důkazu části (ii) (tentokrát nad prostorem W ), spor získáváme opět v momentě, kdy zjistíme, že v je kostantní). Věta 3.10 (O existenci a jednoznačnosti slabého řešení úlohy (3.3)). Nechť platí předpoklady uvedené výše a navíc platí alespoň jedna z podmínek (α), (β) a (γ). Pak existuje právě jedno slabé řešení úlohy (3.3) a navíc kukW 1,2 (Ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kgkL2 (Γ2 ∪Γ3 ) + k˜ u0 kW 1,2 (Ω) .

PDR

25

Důkaz. Použijeme Lax-Milgramovo lemma na problém (3.4). Požadované vlastnosti B(·, ·) dává předchozí věta. Zbývá ověřit, zda F ∈ V ∗ . Máme kF kV ∗ = supϕ∈V,kϕkW 1,2 (Ω) ≤1 |hF, ϕi|. Pro takovou ϕ tedy máme díky předpokladům úlohy a díky větě o stopách (analogický výpočet jako v důkazu (i) z předešlé věty) Z Z |hF, ϕi| = f ϕ + gϕ dS − B(˜ u0 , ϕ) Ω Γ2 ∪Γ3 ≤ kf kL2 (Ω) kϕkL2 (Ω) + kgkL2 (Γ2 ∪Γ3 ) kϕkL2 (Γ2 ∪Γ3 ) + Ck˜ u0 kW 1,2 (Ω) kϕkW 1,2 (Ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kgkL2 (Γ2 ∪Γ3 ) + k˜ u0 kW 1,2 (Ω) . Můžeme tedy použít Lax-Milgramovo lemma a dostáváme jednoznačně určené v ∈ V řešící (3.4). Navíc máme kvkW 1,2 (Ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kgkL2 (Γ2 ∪Γ3 ) + k˜ u0 kW 1,2 (Ω) . Konečně u = u ˜0 +v je slabé řešení úlohy (3.3) a odhad normy plyne z trojúhelníkové nerovnosti a odhadu kvkW 1,2 (Ω) . Zbývá dořešit případ b ≡ 0, σ ≡ 0 a Γ1 = ∅. Neumannova úloha − div(A∇u) = f ∂u =g ∂n se slabou formulací Z Z Z A∇u · ∇ϕ dx = f ϕ dx + Ω

Ω

gϕ dS

na Ω na ∂Ω

pro všechna ϕ ∈ W 1,2 (Ω).

∂Ω

Otestováním ϕ ≡ 1 dostáváme nutnou podmínku řešitelnosti Z Z (3.5) f dx + g dS = 0. Ω

∂Ω

Věta 3.11 (O existenci a jednoznačnosti slabého řešení Neumannovy úlohy). Nechť platí předpoklady uvedené výše v této kapitole a navíc platí (3.5). Pak existuje právě jedno slabé řešení Neumannovy úlohy v prostoru W = {u ∈ W 1,2 (Ω) : uΩ = 0} a platí pro něj kukW 1,2 (Ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kgkL2 (∂Ω) . Navíc všechna slabá řešení v prostoru W 1,2 (Ω) jsou tvaru u ˜ = u + c, kde c ∈ R. Důkaz. Použijeme Lax-Milgramovo lemma na prostoru W . Máme už dokázanou W omezenost a W -eliptičnost formy B(·, ·). Zbývá ověřit, zda F ∈ W ∗ , což se udělá stejně jako v předchozích třech případech (odhadujeme méně členů). Tedy podle Lax-Milgramova lemmatu existuje jednoznačně určené slabé řešení Neumannovy úlohy v prostoru W a splňuje požadovaný odhad normy. Slabé řešení u ∈ W ⊂ W 1,2 (Ω) je zároveň slabým řešením vůči prostoru W 1,2 (Ω), neboť každou testovací funkci ϕ ∈ W 1,2 (Ω) lze psát jako ϕ = (ϕ − ϕΩ ) + ϕΩ . První sčítanec je testovací funkce z W a druhý sčítanec je konstanta, která díky podmínce (3.5) dává při testování nulu.

26

PDR

Dále přičtením aditivní konstanty k u zřejmě dostáváme slabé řešení v prostoru W 1,2 (Ω). Jsou-li v, w ∈ W 1,2 (Ω) dvě slabá řešení, odečteme obě slabé formulace od sebe, otestujeme funkcí ϕ = v − w a použijeme eliptičnost Z Z Z 0= A∇(v − w) · ∇ϕ = A∇(v − w) · ∇(v − w) ≥ α|∇(v − w)|2 . Ω

Ω

Ω

Tedy nutně ∇(v − w) = 0 skoro všude a proto v − w je konstantní.

3.2. Regularita slabého řešení. Začneme motivací. Zabývejme se rovnicí −∆u = f

na Rd

a předpokládejme, že u ∈ W 1,2 (Rd ) je nejen slabé řešení, ale zároveň i klasické, hladké a dostatečně rychle mizející v nekonečnu, aby platily následující úvahy (perpartes). Testujeme-li funkcí ϕ = −∆u = f (klasické řešení), máme Z Z d Z d Z X X ∂ 3 u ∂u ∂2u ∂2u = − f2 = (∆u)2 = 2 2 2 d ∂x ∂xj ∂xj d ∂x ∂x Rd Rd i j i i,j=1 R i,j=1 R =

d Z X i,j=1

Rd

∂2u ∂2u = ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj

Z

|∇2 u|2 .

Rd

Tedy k∇2 ukL2 (Rd ) se dá odhadnout kf kL2 (Rd ) . Dále máme ∂ ∂ ∂ f= (−∆u) = −∆ u , ∂xi ∂xi ∂xi tedy

∂ ∂xi u

řeší Laplaceovu rovnici s pravou stranou

∂ ∂xi f

a tedy dle odhadu výše

k∇3 ukL2 (Rd ) ≤ Ck∇f kL2 (Rd ) . Dá se derivovat dále a lepší kvalita funkce f implikuje lepší kvalitu řešení u. V dalším se budeme potýkat s problémem, že u obecně nebude klasické řešení. Dále se ukazuje, že studium regularity pro omezené oblasti je složitější než na Rd . Proto se budeme zabývat jen problémem Z Z (3.6) A∇u · ∇ϕ + buϕ dx = f ϕ dx pro všechna ϕ ∈ W 1,2 (Rd ). Rd

Rd

Věta 3.12 (O existenci slabého řešení na Rd ). Nechť aij ∈ L∞ (Rd ), b ∈ L∞ (Rd ), Pd b ≥ 0, i,j=1 aij ξi ξj ≥ α|ξ|2 pro všechna x, ξ ∈ Rd , kde α > 0. Pokud f ∈ L2 (Rd ), pak existuje právě jedno řešení (3.6) a splňuje kukW 1,2 (Rd ) ≤ Ckf kL2 (Rd ) . Důkaz. Nechť {Rn } ⊂ (0, ∞) je posloupnost splňující Rn → ∞. Pro zafixované n ∈ N uvažme problém (3.6) na množině B(Rn ) a v prostoru W01,2 B(Rn ). Pak podle věty o existenci v případě Γ1 = ∂Ω s nulovou okrajovou podmínkou existuje jednoznačné řešení un a kun kW 1,2 (Rd ) = kun kW 1,2 (B(Rn )) ≤ Ckf kL2 (B(Rn )) ≤ Ckf kL2 (Rd ) (tady se musí překontrolovat předchozí důkazy, C nesmí záviset na poloměru: skutečně, podle Lax-Milgrama kun kW 1,2 (B(Rn )) ≤ α1 kF k(W 1,2 (B(Rn )))∗ a podle Höldera 0 kF k(W 1,2 (B(Rn )))∗ ≤ kf kL2 (B(Rn )) ). Tedy un je omezená a přechodem k podpo0 sloupnosti un * u. Nechť ϕ ∈ W 1,2 (Rd ). Díky hustotě hladkých funkcí najdeme

PDR

27

ψ ∈ D(Rd ) takovou, že kϕ − ψkW 1,2 (Rd ) < ε. Pak pro všechna n dost velká, aby supp ψ ⊂ B(Rn ) máme Z Z A∇u · ∇ϕ + buϕ dx − f ϕ dx Rd Rd Z Z Z n n ≤ A∇u · ∇ψ + bu ψ dx − |f ||ϕ − ψ| dx f ψ dx + B(Rn ) B(Rn ) Rd Z n n bu(ϕ − ψ) + b(u − u )ψ + A∇u · ∇(ϕ − ψ) + A(∇u − ∇u ) · ∇ψ dx + Rd < 0 + Cε nejsložitější byl asi odhad posledního členu, kde se použila slabá konvergence gradientů v L2 (B(Rn )) (testování gradientu L2 -funkcí je spojitý lineární funkcionál na W 1,2 (B(Rn ))). Zjistili jsme tedy, že u je slabé řešení. Ještě jednoznačnost. Nechť u1 , u2 jsou dvě slabá řešení. Odečteme příslušné rovnice od sebe a otestujeme je ϕ = u1 − u2 Z 0= A∇(u1 − u2 ) · ∇ϕ + b(u1 − u2 )ϕ dx d ZR = A∇(u1 − u2 ) · ∇(u1 − u2 ) + b(u1 − u2 )2 dx Rd Z ≥ α|∇(u1 − u2 )|2 + b(u1 − u2 )2 dx. Rd

Z toho už plyne ∇(u1 − u2 ) = 0 skoro všude, neboť b ≥ 0, takže se liší o konstantu, která musí patřit do W 1,2 (Rd ). Věta 3.13 (O regularitě na Rd ). Nechť aij , b ∈ W 1,∞ (Rd ), f ∈ L2 (Rd ), b ≥ 0 a Pd 2 d i,j=1 aij ξi ξj ≥ α|ξ| pro všechna x, ξ ∈ R , kde α > 0. Pak jednoznačné řešení u ∈ W 1,2 (Rd ) úlohy (3.6) splňuje u ∈ W 2,2 (Rd ) a kukW 2,2 (Rd ) ≤ Ckf kL2 (Rd ) . Důkaz. Použijeme druhou část věty o charakterizaci Sobolevových prostorů pomocí diferencí aplikovanou na ∇u. Už víme, že ∇u ∈ L2 (Rd ) (neboť u ∈ W 1,2 (Rd )) a kukW 1,2 (Rd ) ≤ Ckf kL2 (Rd ) . Zbývá tedy ukázat, že (3.7) Z |∇u(x + hei ) − ∇u(x)|2 dx ≤ Ckf kL2 (Rd ) pro i ∈ {1, . . . , d} a h ∈ R \ {0}. h2 Rd Volme i ∈ {1, . . . , d} a h ∈ R \ {0}. Posunutá testovací funkce v úloze (3.6) je stále přípustná jako testovací funkce, tedy po substituci máme Z Z A(x+hei )∇u(x+hei )·∇ϕ(x)+b(x+hei )u(x+hei )ϕ(x) dx = f (x+hei )ϕ(x) dx. Rd

Rd

∆hi u

1,2

d

Od této rovnice odečteme (3.6) a volíme ϕ = ∈ W (R ). Z A(x + hei )∇u(x + hei ) − A(x)∇u(x) · ∇(∆hi u) Rd Z h + b(x + hei )u(x + hei ) − b(x)u(x) ∆i u dx = (f (x + hei ) − f (x))∆hi u dx. Rd

28

PDR

Tedy (3.8)Z h Rd

A(x)∇(∆hi u)(x) · ∇(∆hi u)(x) + b(x)|∆hi u(x)|2 dx Z =− (A(x + hei ) − A(x))∇u(x + hei ) · ∇(∆hi u)(x) dx Rd Z − (b(x + hei ) − b(x))u(x + hei )∆hi u(x) dx Rd Z + (f (x + hei ) − f (x))∆hi u(x) dx. Rd

Poslední člen ještě upravíme substitucí (3.9) Z Rd

(f (x + hei ) − f (x))∆hi u(x) dx Z 1 f (x + hei )(u(x + hei ) − u(x)) − f (x)(u(x + hei ) − u(x)) dx = h Rd Z 1 =− f (x)((u(x + hei ) − u(x)) − (u(x) − u(x − hei ))) dx h Rd Z h =h f (x)∆−h i (∆i u)(x) dx. Rd

Nyní (3.8) podělíme h, použijeme elipticitu, komutativitu gradientu a diference, b ≥ 0, aij , b ∈ W 1,∞ (Rd ), Hölderovu nerovnost, kukW 1,2 (Rd ) ≤ Ckf kL2 (Rd ) , první část věty o charakterizaci pomocí diferencí (na druhý člen pravé strany přímo, u třetího členu ve tvaru (3.9) nahradíme jen jednu z diferencí) a Youngovu nerovnost 1 2 ab ≤ εa2 + 4ε b αk∆hi (∇u)k2L2 (Rd ) + 0 ≤ Ck∇ukL2 (Rd ) k∆hi (∇u)kL2 (Rd ) + CkukL2 (Rd ) k∇ukL2 (Rd ) + Ckf kL2 (Rd ) k∆hi (∇u)kL2 (Rd ) ≤ Ckf kL2 (Rd ) k∆hi (∇u)kL2 (Rd ) + Ckf kL2 (Rd ) kf kL2 (Rd ) + Ckf kL2 (Rd ) k∆hi (∇u)kL2 (Rd ) α h k∆i (∇u)k2L2 (Rd ) + Ckf k2L2 (Rd ) . 2 Tento odhad implikuje (3.7). ≤

3.3. Princip maxima pro slabá řešení. Uvažujme úlohu − div(A∇u) + bu = 0 na Ω

(3.10)

u = u0

na ∂Ω

s technickými předpoklady ze začátku kapitoly (tam jsme zkoumali obecnější typ rovnic). Již víme, že existuje jednoznačné řešení u ∈ W 1,2 (Ω) splňující u − u ˜0 ∈ W01,2 (Ω) a Z A∇u · ∇ϕ + buϕ dx = 0 pro všechna ϕ ∈ W01,2 (Ω). Ω

PDR

29

Věta 3.14 (Princip maxima). Jestliže u0 ∈ L∞ (∂Ω) a u ∈ W 1,2 (Ω) je slabé řešení úlohy (3.10), pak u ∈ L∞ (Ω) a kukL∞ (Ω) ≤ ku0 kL∞ (∂Ω) . Důkaz. Položme M := ku0 kL∞ (∂Ω) a ϕ = (u − M )+ . Pak podle jednoho z domácích úkolů máme ϕ ∈ W 1,2 (Ω). Dále tvrdíme, že ϕ ∈ W01,2 (Ω). Otázku nulovosti stopy na chvíli odložíme, a všimneme si, že pokud skutečně ϕ ∈ W01,2 (Ω), pak ϕ můžeme použít jako testovací funkci a s využitím ∇M = 0, b ≥ 0 a elipticity Z 0= A∇(u − M ) · ∇(u − M )+ + b(u − M )(u − M )+ + M b(u − M )+ dx Ω Z = A∇(u − M )+ · ∇(u − M )+ + b(u − M )+ (u − M )+ + M b(u − M )+ dx Ω Z ≥α |∇(u − M )+ |2 dx. Ω

Proto ∇(u−M )+ = 0 skoro všude, tedy (u−M )+ je konstantní a díky nulové stopě nulová. Z toho plyne u ≤ M skoro všude. Opačná nerovnost se dokáže přechodem k −u. Vraťme se k otázce nulovosti stopy funkce ϕ = (u − M )+ , která bývá v literatuře označovaná jako zřejmá. Jednak máme T ϕ ≥ 0 skoro všude na ∂Ω (T je operátor stop), neboť operátor stop zachovává nerovnosti (je lineární a pro hladkou ¯ je zřejmě stopa nezáporná, pro nezápornou sobolevovskou nezápornou funkci na Ω funkci máme posloupnost aproximující hladkých, které jsou nezáporné díky tomu, jak funguje konvoluční zhlazování a vysouvání hranice v důkazu věty o aproximaci až do hranice). Zbývá dokázat, že T ϕ ≤ 0 skoro všude na ∂Ω. Nejprve předpokládejme, že ¯ a volme ε > 0. Pak u je stejnoměrně spojitá, tedy na jistém okolí u ∈ C ∞ (Ω) hranice platí u < M + ε, odtud ϕ < ε na tomto okolí. Použijeme-li nyní konstrukci ¯ ϕn → ϕ ve z věty o aproximaci do hranice, máme posloupnost {ϕn } ⊂ C ∞ (Ω), W 1,2 (Ω) a zase díky tomu, jak funguje konvoluce získáme nerovnost ϕn < ε na jistém (o něco menším) okolí hranice. Tyto funkce pak nutně splňují T ϕn < ε na ∂Ω a protože operátor stop je spojitý a zároveň z posloupnosti konvergentní v Lebesgueově prostoru lze vybrat konvergentní skoro všude, máme T ϕ < ε skoro všude na ∂Ω a protože ε > 0 bylo libovolné, dokonce T ϕ ≤ 0 skoro všude na ∂Ω. Konečně, nechť u je obecná sobolevovská. Použijeme aproximaci hladkými funkcemi až do hranice. Pro ně jsme požadované tvrzení právě dokázali. Protože operátor stop je spojitý a z lebesgueovsky konvergentní posloupnosti lze vybrat posloupnost konvergentní skoro všude, stačí ověřit platnost výroku vn → v

ve W 1,2 (Ω)

=⇒

vn+ → v +

ve W 1,2 (Ω).

Protože a+ = 21 (a + |a|), stačí dokázat vn → v

ve W 1,2 (Ω)

=⇒

|vn | → |v| ve W 1,2 (Ω).

Dokažme tedy poslední výrok. Protože přechod k absolutní hodnotě zachovává sobolevovskou normu (|∇v| = |∇|v|| skoro všude), je posloupnost {|vn |} omezená ve W 1,2 (Ω) a má tedy slabě konvergentní podposloupnost. Limitou musí být funkce |v|, díky kompaktnímu vnoření W 1,2 (Ω) do L2 (Ω). Protože navíc vn → v ⇒ kvn kW 1,2 (Ω) → kvkW 1,2 (Ω) ⇒ k |vn | kW 1,2 (Ω) → k |v| kW 1,2 (Ω) ,

30

PDR

díky uniformní konvexitě lebesgueovské normy dostáváme, že slabá konvergence je konvergencí v normě. 3.4. Souvislost s variačním počtem pro symetrický operátor. V této sekci uvažujeme speciální případ úlohy (3.3), kdy aij = aji pro všechna i, j = 1, . . . , d. Použijeme značení Z Z B(u, ϕ) := A∇u · ∇ϕ + buϕ dx + σuϕ dS (jako minule) Ω

Z hH, ϕi :=

fϕ + Ω

a

Γ3

Z gϕ dS

(podobný F , ale nepracujeme s v = u − u ˜0 )

Γ2 ∪Γ3 k·k

¯ : ϕ|Γ = 0} W 1,2 (Ω) (jako minule). V := {ϕ ∈ C ∞ (Ω) 1 Definujeme funkcionál Φ : W 1,2 (Ω) 7→ R předpisem 1 Φ(u) = B(u, u) − hH, ui. 2 Věta 3.15 (Vztah slabého řešení k minimu funkcionálu). Následující výroky jsou ekvivalentní (i) u − u ˜0 ∈ V a B(u, ϕ) = hH, ϕi pro každé ϕ ∈ V (ii) u − u ˜0 ∈ V a Φ(u) ≤ Φ(u + ϕ) pro každé ϕ ∈ V . Důkaz. (i)⇒(ii): Použijeme (i), B(u, ϕ) = B(ϕ, u) (A je symetrická), B(ϕ, ϕ) ≥ 0 (A je eliptická, b, σ ≥ 0) a dostáváme 1 1 Φ(u + ϕ) = B(u, u) + B(u, ϕ) + B(ϕ, ϕ) − hH, ui − hH, ϕi 2 2 1 1 1 = B(u, u) − hH, ui + B(ϕ, ϕ) ≥ B(u, u) − hH, ui = Φ(u). 2 2 2 (ii)⇒(i): Zafixujme h ∈ V . Přímým výpočtem získáme 1 1 Φ(u + th) − Φ(u) = B(u, u) + tB(u, h) + t2 B(h, h) − hH, ui − thH, hi 2 2 1 − B(u, u) − hH, ui 2 1 = tB(u, h) − thH, hi + t2 B(h, h). 2 d Tedy dt Φ(u+th)|t=0 = B(u, h)−hH, hi a tato derivace je pro minimum nulová. Definice 3.16 (Koercivita). Funkcionál Φ : X 7→ R, kde X je Banachův prostor, nazveme koercivním, jestliže kukX → ∞ ⇒ Φ(u) → ∞. Věta 3.17 (Základní věta variačního počtu). Nechť X je reflexivní Banachův prostor Φ : X 7→ R je funkcionál, který je koercivní, slabě zdola polospojitý a zdola omezený. Pak nabývá svého minima. Důkaz. Omezenost zdola implikuje, že m := inf x∈X Φ(x) > −∞. Vezmeme libovolnou minimizující posloupnost funkcionálu Φ a ta je díky koercivitě omezená v normě k · kX . Díky reflexivirě můžeme přejít ke slabě konvergentní podposloupnosti xn * x. Slabá polospojitost zdola pak dává m ≤ Φ(x) ≤ lim inf Φ(xn ) = lim Φ(xn ) = m. n→∞

n→∞

PDR

31

Příklad 3.18. Na W01,p (Ω), kde p ∈ (1, ∞), uvažujme funkcionál Z Z 1 Φ(u) = |∇u|p − f u, p Ω Ω 0

kde f ∈ Lp (Ω). Tento funkcionál je slabě zdola polospojitý (první integrál je mocninou normy, která je slabě zdola polospojitá; druhý integrál je slabě spojitý, neboť f je testovací funkce), snadno díky Hölderovi nahlédneme, že Φ je koercivní a zdola omezený. Má tedy minimizér. V tomto případě pro všechna ϕ ∈ W01,p (Ω) Z Z d |∇u|p−2 ∇u · ∇ϕ dx = f ϕ dx. 0 = Φ(u + tϕ)|t=0 ⇐⇒ dt Ω Ω Tedy u ∈ W01,p (Ω) je slabým řešením úlohy − div(|∇u|p−2 ∇u) = f

na Ω

u = 0 na ∂Ω. Operátor ∆p (u) := div(|∇u|p−2 ∇u) se nazývá p-Laplacián a pro p 6= 2 není lineární. Odvodíme si ještě kritérium pro slabou polospojitost zdola. Nejprve si připomeňme Věta 3.19 (Geometrická Hahn-Banachova). Nechť X je reálný normovaný lineární prostor a A, B ⊂ X jsou disjunktní a konvexní, A je kompaktní a B je uzavřená. Pak existuje α ∈ R a L ∈ X ∗ takové, že A ⊂ {x ∈ X : hL, xi < α}

B ⊂ {x ∈ X : hL, xi > α}.

a

Lemma 3.20. Nechť X je metrický prostor a Φ : X 7→ R. Pak Φ je zdola polospojité

⇔

{x ∈ X : Φ(x) ≤ a} je uzavřená ∀a ∈ R.

Důkaz. Pokud Φ je zdola polospojité a un → u, kde Φ(un ) ≤ a, pak nutně Φ(u) ≤ a. Naopak, pokud un → u, položme I := lim inf n→∞ Φ(un ) a zvolme ε > 0 libovolné. Přejdeme-li k podposloupnosti, pro n dost velké máme Φ(un ) ≤ I +ε a z uzavřenosti {Φ(x) ≤ I + ε} dostáváme Φ(u) ≤ I + ε. Odtud Φ(u) ≤ I. Věta 3.21 (Kriterium pro slabou polospojitost zdola). Nechť X je reálný Banachův prostor a Φ : X 7→ R je zdola polospojité a konvexní. Pak Φ je slabě zdola polospojité. Důkaz. Nechť un * u, I := lim inf n→∞ Φ(un ) a pro spor Φ(u) = I + 2ε, kde ε > 0. Přechodem k podposloupnosti můžeme předpokládat, že Φ(un ) ≤ I + ε pro všechna n ∈ N, tedy {un } ⊂ B := {Φ(x) ≤ I + ε}, která je díky vlastnostem Φ uzavřená a konvexní. Položíme-li A := {u}, geometrická Hahn-Banachova věta dává spor s un * u (což je hL, un i → hL, ui pro ∀L ∈ X ∗ ). Věta 3.22 (Duální variační formulace). Předpokládejme, že b ≡ 0, σ ≡ 0 (na levé straně slabé formulace odstraňujeme členy obsahující u, zůstává jen člen s ∇u) a Γ1 6= ∅. Definujme třídu Z Z Z n o V ∗ := T ∈ L2 (Ω, Rd ) : T · ∇ϕ = fϕ + gϕ dS ∀ϕ ∈ V , Ω

Γ2 ∪Γ3

Ω

kde V je jako na začátku kapitoly k·kW 1,2 (Ω)

¯ : ϕ|Γ = 0} V := {ϕ ∈ C ∞ (Ω) 1

.

32

PDR

Definujme funkcionál Φ∗ na V ∗ předpisem Z Z 1 Φ∗ (T ) = A−1 T · T − ∇˜ u0 · T. 2 Ω Ω Pak platí T je minimizér Φ∗

⇔

T = A∇u, kde u je minimizér Φ.

Důkaz. "⇐": Je-li u minimizér Φ, pak podle věty o vztahu slabého řešení k minimu funkcionálu platí Z Z Z (3.11) A∇u · ∇ϕ = fϕ + gϕ dS Ω

Γ2 ∪Γ3

Ω

pro všechna ϕ ∈ V a tedy T = A∇u ∈ V ∗ . Pokud nyní W ∈ V ∗ , využijeme symetričnost inverzní matice k symetrické, hermiteovskost symetrických matic, elipticitu inverzní matice (stačí uvážit, že A−1 ξ · ξ ≥ α|ξ|2 ⇔ Aη · η ≥ α|Aη|2 , kde Aη = ξ, a přenásobení maticí příliš nezvětšuje normu vektoru), T = A∇u Z Z 1 A−1 W · W − A−1 T · T − ∇˜ u0 · (W − T ) 2 Ω Ω Z Z 1 = A−1 (W − T ) · (W − T ) + A−1 T · (W − T ) 2 Ω Ω Z − ∇˜ u0 · (W − T ) Ω Z Z ≥ A−1 T · (W − T ) − ∇˜ u0 · (W − T ) Ω Ω Z Z = ∇u · (W − T ) − ∇˜ u0 · (W − T ) Ω ZΩ = (W − T ) · ∇(u − u ˜0 ) = 0,

Φ∗ (W ) − Φ∗ (T ) =

Ω

kde poslední rovnost využívá u − u ˜0 ∈ V a T, W ∈ V ∗ . Tedy Φ∗ (W ) ≥ Φ∗ (T ). "⇒": Krok 1: odvození Euler-Lagrangeovy rovnice Nechť W ∈ L2 (Ω, Rd ) splňuje Z W · ∇ϕ = 0 ∀ϕ ∈ V. Ω

Pak pro všechna ε > 0 máme T + εW ∈ V ∗ a proto (zase použijeme hermiteovskost A−1 ) 1 0 ≤ (Φ∗ (T + εW ) − Φ∗ (T )) εZ Z Z ε = A−1 W · W + A−1 T · W − ∇˜ u0 · W 2 Ω Ω Ω Z Z ε→0+ → A−1 T · W − ∇˜ u0 · W. Ω

Ω

Přechodem k −W získáme obrácenou nerovnost, proto Z Z −1 (3.12) 0= A T ·W − ∇˜ u0 · W. Ω

Ω

PDR

33

Krok 2: dokončení důkazu. Na prostoru V hledejme řešení problému Z Z (3.13) ∇u · ∇ϕ = A−1 T · ∇ϕ Ω

∀ϕ ∈ V.

Ω

Metody ze začátku kapitoly (rovnice nespadá do našeho schématu, neboť na pravé straně testujeme ∇ϕ, ale funkcionál odpovídající pravé straně je stále lineární a spojitý) dávají existenci jednoznačného řešení u ∈ W 1,2 (Ω), u = u0 na Γ1 . Volba ϕ = u − u ˜0 v (3.13) dává Z Z (3.14) ∇u · (∇u − ∇˜ u0 ) = A−1 T · (∇u − ∇˜ u0 ) Ω

Ω

−1

a volbou W = A T − ∇u v (3.12) dostáváme (lze testovat díky (3.13)) Z Z (3.15) A−1 T · (A−1 T − ∇u) = ∇˜ u0 · (A−1 T − ∇u). Ω

Ω

Dále máme |∇u − A−1 T |2 = |∇u|2 + |A−1 T |2 − 2A−1 T · ∇u = ∇u · (∇u − ∇˜ u0 ) + ∇u · ∇˜ u0 + A−1 T · (A−1 T − ∇u) − A−1 T · ∇u. Přeintegrujeme-li tuto identitu přes Ω a použijeme-li (3.14) a (3.15), dostáváme k∇u − A−1 T kL2 (Ω) = 0 a proto T = A∇u. Konečně, poslední informace spolu s T ∈ V ∗ dávají, že u je řešení (3.11) a proto u je minimizér Φ (podle věty o vztahu slabého řešení k minimu funkcionálu). 3.5. Obecnější eliptické operátory a Fredholmova alternativa. Na W01,2 (Ω) (tedy oproti zbytku kapitoly máme méně obecné okrajové podmínky) uvažujeme obecnější bilineární formu Z B(u, ϕ) := A∇u · ∇ϕ + Θ · ∇uϕ + Υ · ∇ϕu + buϕ dx, Ω

která odpovídá operátoru Lu = − div(A∇u) + Θ · ∇u −

d X ∂ (Υi u) + bu ∂x i i=1

a také L∗ ϕ = − div(A> ∇ϕ) −

d X ∂ (Θi ϕ) + Υ · ∇ϕ + bϕ. ∂xi i=1

Předpokládáme podmínku eliptičnosti (A1) a aij , Υi , Θi , b ∈ L∞ (Ω) pro všechna i, j ∈ {1, . . . , d} (už nepotřebujeme, aby b ≥ 0). Lemma 3.23 (O vlastnostech formy B(·, ·)). Existují C1 , C2 , γ > 0 takové, že pro všechna u, ϕ ∈ W01,2 (Ω) platí (i)|B(u, ϕ)| ≤ C1 kukW 1,2 (Ω) kϕkW 1,2 (Ω) (ii) C2 kuk2W 1,2 (Ω) ≤ B(u, u) + γkuk2L2 (Ω) .

34

PDR

Důkaz. První vlastnost se získá snadno užitím Hölderovy nerovnosti. Druhá vlastnost se získá díky elipticitě v prvním členu, druhý a třetí se shodně odhadnou pomocí Höldera a pak Younga γkuk2L2 (Ω) + B(u, u) ≥ γkuk2L2 (Ω) + αk∇uk2L2 (Ω) − Ck∇ukL2 (Ω) kukL2 (Ω) − Ckuk2L2 (Ω) ≥ γkuk2L2 (Ω) + αk∇uk2L2 (Ω) −

α C2 k∇uk2L2 (Ω) − kuk2L2 (Ω) − Ckuk2L2 (Ω) 2 2α

α k∇uk2L2 (Ω) . 2 Je-li γ dost velké, dostali jsme požadovanou nerovnost. = (γ − C)kuk2L2 (Ω) +

Věta 3.24 (První existenční). Je-li γ ≥ 0 jako v předchozím lemmatu, pak pro každé ν ≥ γ a pro každé f ∈ L2 (Ω) existuje jednoznačné slabé řešení u ∈ W01,2 (Ω) úlohy Lu + νu = f na Ω u=0

na ∂Ω.

Důkaz. Vezměme γ z předchozího lemmatu. Pro libovolné ν ≥ γ je pak Z Bν (u, ϕ) := B(u, ϕ) + ν uϕ dx Ω

bilineární forma, která je eliptická a omezená (integrál, který jsme do formy oproti minulému lemmatu k formě přidali se odhadne Hölderem). Dále funkcionál Z hF, ϕi := f ϕ dx Ω

je zřejmě lineární a díky Hölderovi také spojitý. Podle Lax-Milgramovy věty tedy existuje jednoznačné W01,2 (Ω)-řešení úlohy Bν (u, ϕ) = hF, ϕi

pro všechna ϕ ∈ W01,2 (Ω).

Další výsledky budou využívat následující větu z funkcionální analýzy. Věta 3.25 (Fredholmova alternativa). Nechť H je Hilbertův prostor a K : H 7→ H je kompatní lineární operátor. Pak (i) N (I − K) je konečnědimenzionální (ii) R(I − K) je uzavřený (iii) R(I − K) = N (I − K ∗ )⊥ (iv) N (I − K) = {0} ⇔ R(I − K) = H (v) dim N (I − K) = dim N (I − K ∗ ) Fredholmova alternativa (viz (iv)): platí právě jeden z následujících výroků • pro každé f ∈ H má úloha u − Ku = f (jednoznačné) řešení • existuje netriviální řešení úlohy u − Ku = 0. V dalším budeme zkoumat úlohu Lu = f na Ω (3.16) u = 0 na ∂Ω.

PDR

35

Věta 3.26 (Druhá existenční). (i) Platí právě jeden z výroků • ∀f ∈ L2 (Ω)∃! slabé řešení (3.16) • existuje netriviální slabé řešení úlohy Lu = 0 na Ω (3.17) u = 0 na ∂Ω. (ii) Platí-li druhý z výroků v časti (i), značí-li N ⊂ W01,2 (Ω) množinu těchto řešení a značí-li N ∗ ⊂ W01,2 (Ω) množinu slabých řešení úlohy L∗ v = 0 na Ω

(3.18)

v = 0 na ∂Ω, ∗

pak dim N = dim N a je to konečné číslo. R (iii) Pro dané f ∈ L2 (Ω) má úloha (3.16) slabé řešení ⇔ Ω f v = 0 ∀v ∈ N ∗ . Důkaz. Nechť γ je dáno lemmatem o vlastnostech formy B(·, ·). Definujme formu Z Bγ (u, ϕ) := B(u, ϕ) + γ uϕ dx Ω

odpovídající operátoru Lγ u = Lu + γu. Pak podle první existenční věty pro každé g ∈ L2 (Ω) existuje jednoznačné řešení u ∈ W01,2 (Ω) úlohy Z Bγ (u, ϕ) = gϕ dx pro všechna ϕ ∈ W01,2 (Ω). Ω

V dalším budeme psát u = Lγ−1 g, platí-li vztah mezi g a u popsaný výše. Definujme operátor K : L2 (Ω) 7→ L2 (Ω) předpisem Kg = γL−1 γ g. Tento operátor je zřejmě lineární. Protože W01,2 (Ω) ,→,→ L2 (Ω) a protože podle lemmatu o vlastnostech B(·, ·) máme Z 2 2 C2 kukW 1,2 (Ω) ≤ B(u, u) + γkukL2 (Ω) = Bγ (u, u) = gu ≤ kgkL2 (Ω) kukL2 (Ω) Ω

≤ kgkL2 (Ω) kukW 1,2 (Ω) , což znamená kukW 1,2 (Ω) ≤ CkgkL2 (Ω) , je K kompaktní operátor. Dále platí následující ekvivalence Z 1,2 u ∈ W0 (Ω) řeší (3.16) ⇔ Bγ (u, ϕ) = (γu + f )ϕ dx ∀ϕ ∈ W01,2 (Ω) Ω

(3.19)

⇔ u = L−1 γ (γu + f ) ⇔ u − Ku = h,

kde h :=

1 Kf. γ

Navíc platí, že Kf = 0 právě tehdy, když f = 0 (jedna implikace plyne z linearity K, druhá z toho, R že pokud by bylo Kf = 0 pro nějaké f 6= 0, ze slabé formulace by plynulo 0 = Ω f ϕ pro všechna ϕ ∈ W01,2 (Ω) a teď se užije Du Bois-Reymond). Nyní dokažme (i). Jednoznačné slabé řešení (3.16) existuje pro všechna f ∈ L2 (Ω) právě tehdy, když existuje jednoznačné řešení u − Ku = h (kde h = γ1 Kf ). K tomu nám podle čtvrté části Fredholmovy alternativy stačí, že neexistuje netriviální řešení úlohy u − Ku = 0. A toto je podle (3.19) (používáme Kf = 0 ⇔ f = 0) ekvivalentní tomu, že neexistuje netriviální slabé řešení homogenní úlohy (3.17). Pokud by naopak netriviální slabé řešení (3.17) existovalo, máme porušenou jednoznačnost v prvním výroku z (i).

36

PDR

Dokažme tvrzení (ii). Konečná dimenze plyne z první části Fredholmovy alternativy. Tvrzení o rovnosti dimenzí plyne z páté části Fredholmovy alternativy, musíme ale ještě ukázat, že K ∗v = v

(3.20)

⇔

v řeší (3.18).

K tomu nám stačí dokázat, že K ∗ = γ(L∗γ )−1 , kde L∗γ := L∗ + γI, pak už bude situace analogická jako v ekvivalenci Ku = u ⇔ u řeší (3.17). Nejprve si povšimněme, že inverzní operátor (L∗γ )−1 je opět dobře definován, viz procedura výše používající Lax-Milgrama. Platí následující ekvivalence (připomeňme, že pracujeme v reálném Hilbertově protoru L2 (Ω) a dá se nahlédnout, že zde jsou husté funkce z D(Ω) potažmo R W01,2 (Ω)), kde pro přehlednost používáme značení (u, v) = Ω uv (3.21) γ(L∗γ )−1 = K ∗ ⇔ (γ(L∗γ )−1 u, v) = (K ∗ u, v) ∀u, v ∈ L2 (Ω) ⇔ (γ(L∗γ )−1 u, v) = (u, Kv) ∀u, v ∈ L2 (Ω) ⇔ ((L∗γ )−1 u, v) = (u, (Lγ )−1 v) ∀u, v ∈ L2 (Ω) ⇔ ((L∗γ )−1 u, v) = (u, (Lγ )−1 v) ∀u, v ∈ W01,2 (Ω) ⇔ (v, (L∗γ )−1 u) = (u, (Lγ )−1 v) ∀u, v ∈ W01,2 (Ω) ∗ −1 ⇔ Bγ (L−1 u) = Bγ∗ ((L∗γ )−1 u, (Lγ )−1 v) ∀u, v ∈ W01,2 (Ω). γ v, (Lγ )

Poslední rovnost platí vždy, neboť Bγ (ϕ, ψ) = Bγ∗ (ψ, ϕ) podle definice bilineárních forem. Tím je dokázáno tvrzení (ii). Dokažme tvrzení (iii). Podle třetí části Fredholmovy alternativy a (3.20) máme Z u − Ku = h má řešení ⇔ hv = 0 pro každé řešení úlohy K ∗ v = v. Ω

Navíc platí Z hv = Ω

1 γ

Z Kf v = Ω

1 γ

Z

f K ∗v =

Ω

1 γ

Z fv Ω

(v první rovnosti bylo užito h = γ1 Kf , ve třetí K ∗ v = v). Tím je dokázáno (iii).

V dalším uvažujeme úlohu Lu = λu + f

(3.22)

na Ω

u = 0 na ∂Ω.

Věta 3.27 (Třetí existenční). (i) Existuje nejvýše spočetná množina Σ ⊂ R taková, že platí λ∈ /Σ

⇔

∀f ∈ L2 (Ω)∃!u ∈ W01,2 (Ω) slabé řešení úlohy (3.22).

(ii) Je-li Σ nekonečná, pak Σ = {λk }∞ k=1 , kde λk → ∞. Důkaz. Podle první existenční věty máme Σ ∪ (−∞, −γ] = ∅. Zafixujme tedy λ > −γ. Můžeme předpokládat, že γ > 0. Podle první části druhé existenční věty (používat ji můžeme, uvažovaný typ PDR obsahuje i tu naši díky členu bu v definici operátoru L) má úloha (3.22) slabé

PDR

37

řešení pro každé f ∈ L2 (Ω) právě tehdy, když neexistuje netriviální slabé řešení homogenního problému. Ten přičtením γu získá tvar Lu + γu = (γ + λ)u na Ω u = 0 na ∂Ω. To při značení z důkazu minulé věty říká, že neexistuje netriviální řešení problému (viz (3.19), pravá strana je tentokrát (γ + λ)u namísto γu + f ) 1 γ+λ u = K((γ + λ)u) = Ku. γ γ γ není vlastní hodnotou operátoru K (o němž jsme si v důkazu Tedy hodnota γ+λ minulé věty ukázali, že je lineární a kompaktní). Spektrum kompaktních operátorů je v nekonečnědimenzionálním Hilbertově prostoru vždy buď konečné, nebo je to posloupnost s limitou nula (bylo na funkcionální analýze). Celkově tedy máme γ • (3.22) má slabé řešení pro každé f ∈ L2 (Ω) ⇔ není vlastní hodnotou K γ+λ • K má spektrum buď konečné, nebo je to posloupnost jdoucí do nuly γ • → 0 ⇔ λk → ∞. γ + λk Z těchto tří informací už plynou požadovaná tvrzení. Množina Σ z předešlé věty se nazývá reálné spektrum operátoru L. Věta 3.28 (O omezenosti inverze). Jestliže λ ∈ / Σ, pak existuje C > 0 takové, že pro všechna f ∈ L2 (Ω) a odpovídající jednoznačná slabá řešení úlohy (3.22) platí kukL2 (Ω) ≤ Ckf kL2 (Ω) . Důkaz. Provedeme důkaz sporem. Nechť existují {fk } a jim odpovídající {uk } taková, že kuk kL2 (Ω) ≥ kkfk kL2 (Ω) pro všechna k ∈ N. Přepíšeme-li rovnici (3.22) do tvaru Lu − λu = f , lze snadno nahlédnout, že můžeme předpokládat kuk kL2 (Ω) = 1 pro všechna k ∈ N. Otestujeme-li slabou formulaci k-té rovnice funkcí uk a použijeme-li eliptičnost, dostáváme Z 0= A∇uk · ∇uk + (Θ + Υ) · ∇uk uk + bu2k − λu2k − fk uk dx Ω

≥ αk∇uk k2L2 (Ω) − Ck∇uk kL2 (Ω) kuk kL2 (Ω) − Ckuk k2L2 (Ω) − kfk kL2 (Ω) kuk kL2 (Ω) . Tedy z omezenosti norem kuk kL2 (Ω) a kfk kL2 (Ω) plyne omezenost k∇uk kL2 (Ω) , potažmo kuk kW 1,2 (Ω) . Přechodem k podposloupnosti získáme u ∈ W01,2 (Ω) takové, že uk * u ve 1,2 2 2 2 W (Ω) R a uk → u v L (Ω). Navíc ∇uk * ∇u v L (Ω) (je-li v ∈ L (Ω), pak u 7→ Ω v∇u je spojitý lineární funkcionál). Využitím těchto konvergencí dostáváme, že u je slabým řešením rovnice Lu = λu, neboť Z Z Z L(uk )ϕ = λ uk ϕ + fk ϕ Ω

Ω

↓ Z

↓

Z L(u)ϕ = λ

Ω

Ω

↓

uϕ + 0. Ω

Zároveň však díky spojitosti normy máme kukL2 (Ω) = 1. Tedy λ ∈ Σ, což je spor.

38

PDR

4. Nelineární eliptické rovnice 4.1. Úvod do variačního počtu v Rd . Nechť Ω ⊂ Rd je otevřená, p ∈ (1, ∞), 0 ∗0 u0 ∈ W 1,p (Ω) a f ∈ Lp (Ω) (stačí f ∈ Lp (Ω) či f ∈ (W 1,p (Ω))∗ ). Naším cílem je hledat minima funkcionálu Z Z (4.1) Φ(u) = F (x, u(x), ∇u(x)) dx − f (x)(u(x) − u0 (x)) dx pro u − u0 ∈

Ω 1,p W0 (Ω) a

Ω

rozumnou funkci F : Ω × R × Rd 7→ R.

Definice 4.1 (Caratheodoryovská funkce). Nechť Ω ⊂ Rd je otevřená a F : Ω × Rm 7→ R. Řekneme, že F je caratheodoryovská funkce (F ∈ Car), jestliže (i) F (·, y) je měřitelná pro každé y ∈ Rm (ii) F (x, ·) je spojitá pro skoro všechna x ∈ Ω. Caratheodoryovskost naší funkce F , která pracuje s proměnnými x, u, ∇u chápeme tak, že podmínka spojitosti se týká proměnných (u, ∇u) = y. Definice 4.2 (Nemyckého zobrazení). Nechť Ω ⊂ Rd je otevřená, u : Ω 7→ Rm a F : Ω × Rm → R. Nemyckého (sustituční) zobrazení F # je definováno předpisem F # (u) = F (·, u(·)) (neboli F # (u)(x) = F (x, u(x)) pro x ∈ Ω). Lemma 4.3. Nechť u : Ω 7→ Rm je měřitelná a F : Ω × Rm → R je caratheodoryovská. Pak F # (u) : Ω 7→ R je měřitelná. Důkaz. Protože u je měřitelná, existuje posloupnost jednoduchých funkcí {un } taková, že un → u skoro všude na Ω. Definujme funkce Fn = F (·, un (·)). Pak Fn → F # (u) skoro všude na Ω, viz vlastnost (ii) pro f ∈ Car. Navíc Fn jsou měřitelné, jak snadno nahlédneme aplikací vlastnosti (i) z caratheodoryovskosti na jednotlivých úrovňových množinách funkcí un . Věta 4.4 (O spojitosti Nemyckého zobrazení na Lebesgueových prostorech). Nechť Ω ⊂ Rd je otevřená, F : Ω × Rm → R je caratheodoryovská, 1 ≤ q1 , . . . , qm , p < ∞ a existují g ∈ Lp (Ω) a L > 0 takové, že platí (4.2)

|F (x, y)| ≤ g(x) + L

m X

qi

|yi | p .

i=1

Pak Nemyckého zobrazení F

#

je spojité zobrazení z Lq1 (Ω)×· · ·×Lqm (Ω) do Lp (Ω).

Důkaz. Pokud u ∈ Lq1 (Ω) × · · · × Lqm (Ω) pak konečnost kF # (u)kLp (Ω) plyne z Minkovského nerovnosti a růstové podmínky (4.2), neboť m m

X X qi qi

kF # (u)kLp (Ω) ≤ |g| + L |ui | p ≤ kgkLp (Ω) + L k|ui | p kLp (Ω) p L (Ω)

i=1

(4.3)

= kgkLp (Ω) + L

m X

qi p Lqi (Ω)

kui k

i=1

< ∞.

i=1

Zároveň vidíme, že F # zobrazuje omezené množiny v Lq1 (Ω) × · · · × Lqm (Ω) na omezené množiny v Lp (Ω). Zbývá spojitost zobrazení F # . Nechť un → u v Lq1 (Ω)×· · ·×Lqm (Ω). Přechodem k podposloupnosti můžeme zajistit, že un → u skoro všude v Ω a kuni − ui kLqi (Ω) ≤ 2−n

pro všechna n ∈ N a i ∈ {1, . . . , m}.

PDR

Pak funkce vi := |ui | +

∞ X

|uni − ui |

39

i ∈ {1, . . . , m}

n=1

jsou Lqi (Ω)-majoranty pro jednotlivé složky vektorových funkcí z posloupnosti {un }. Z podmínky (4.2) a odhadů (4.3) vidíme, že funkce |g| + L

m X

qi

|vi | p ∈ Lp (Ω)

i=1 #

n

je majorantou posloupnosti {F (u )}. Díky Lebesgueově větě dostáváme Z n→∞ |F # (un ) − F # (u)|p → 0, Ω

neboť F # (un ) → F # (u) skoro všude v Ω (z konvergence un → u skoro všude a spojitosti F (x, ·)) a |F # (un ) − F # (u)|p ≤ 2p |F # (un )|p + 2p |F # (u)|p m p X qi p + 2p |F # (u)|p ∈ L1 (Ω). |vi | p ≤2 g+L i=1

Snadno se dokáže sporem, že výsledek platí pro celou posloupnost.

V dalším se pokusíme aplikovat základní větu variačního počtu na funkcionál (4.1). Největším problémem bude ověřit slabou polospojitost zdola pro funkcionál Z (4.4) Ψ(u) = F (x, u(x), ∇u(x)) dx Ω

s růstovými podmínkami (4.5)

 dp p  h(x) + C1 |y| d−p + C2 |z| C0 |z|p − h(x) ≤ F (x, y, z) ≤ h(x) + C1 |y|r + C2 |z|p   h(x) + C2 |z|p

pro p < d pro p = d pro p > d

pro skoro všechna x ∈ Ω a všechna y ∈ R, z ∈ Rd , kde C0 , C1 , C2 > 0, r > 0 a h ∈ L1 (Ω). Snadno se nahlédne, že pokud je funkce F (x, y, z) konvexní v proměnných y a z, pak je Ψ konvexní funkcionál a jeho případná spojitost (či polospojitost zdola) implikuje jeho slabou polospojitost zdola (podle kriteria pro slabou polospojitost zdola). Pokud je konvexní jen v proměnné z, Ψ už konvexní být nemusí, ale slabou polospojitost zdola neztrácíme. Nejprve si zopakujme. Lemma 4.5 (Mazurovo lemma). Nechť X je Banachův prostor a un * u v X. Pak existují posloupnost {kn } ⊂ N, kn ≥ n pro všechna n ∈ N, a čísla akn ≥ 0, n ∈ N, Pkn k k ∈ {n, . . . , kn }, k=n an = 1 pro všechna n ∈ N, taková, že vn :=

kn X

akn uk → u.

k=n

Věta 4.6 (o vztahu konvexity ve třetí proměnné a slabé polospojitosti zdola). Nechť Ω ⊂ Rd je omezená oblast, p ∈ (1, ∞), F ∈ Car je konvexní ve třetí proměnné a splňuje (4.5). Pak funkcionál Ψ je slabě polospojitý zdola na W 1,p (Ω).

40

PDR

Důkaz. Nechť un * u ve W 1,p (Ω). Označme L := lim inf n→∞ Ψ(un ). Přechodem k podposloupnosti můžeme docílit toho, že Ψ(un ) → L, un → u v Lp (Ω) a un → u skoro všude v Ω. Případným přechodem k funkci F (x, y, z) + |h(x)| můžeme docílit toho, že F je nezáporná. ˜ ⊂ Ω platí Krok 1: Dokážeme, že pro každou měřitelnou Ω Z Z F (x, u, ∇un ). (4.6) F (x, u, ∇u) ≤ lim sup ˜ Ω

˜ Ω

n→∞

Pkn k an ∇uk → Protože ∇un * ∇u v Lp (Ω), díky Mazurovu lemmatu máme vn := k=n ∇u v Lp (Ω) a přechodem k podposloupnosti navíc získáme vn → ∇u skoro všude v Ω. Fatouovo lemma a konvexita F ve třetí proměnné pak dávají na libovolné ˜ ⊂Ω měřitelné Ω Z Z Z F (x, u, ∇u) = lim F (x, u, vn ) ≤ lim inf F (x, u, vn ) ˜ n→∞ Ω

˜ Ω

n→∞

Z = lim inf n→∞

F x, u, ˜ Ω

kn X

akn ∇uk

k=n

˜ Ω

≤ lim inf n→∞

n→∞ k≥n

˜ Ω

˜ Ω k=n

akn F (x, u, ∇uk )

Z

Z ≤ lim inf sup

Z X kn

F (x, u, ∇uk ) = lim sup n→∞

˜ Ω

F (x, u, ∇uk ),

to je (4.6). Krok 2: Dokážeme, že pro každé ε > 0 platí n→∞

(4.7)

|Ωε,n | → 0, kde Ωε,n = {x ∈ Ω : |F (x, un (x), ∇un (x)) − F (x, u(x), ∇un (x))| ≥ ε}.

Pro spor předpokládejme, že neplatí |Ωε,n | → 0, tedy přechodem k podposloupnosti a případným zmenšením čísla ε > 0 dostáváme |Ωε,n | ≥ 2ε

pro všechna n ∈ N.

p

Protože ∇un * ∇u v L (Ω) a Ω je omezená množina, existuje C1 > 0 takové, že k∇un kL1 (Ω) ≤ C1 . Položíme-li Cε = Cε1 , pak Z 1 C1 |{x ∈ Ω : |∇un (x)| ≥ Cε }| ≤ |∇un | ≤ = ε. Cε Ω Cε Položíme-li tedy Ωn = {x ∈ Ωε,n : |∇un (x)| ≤ Cε }, n ∈ N, pak máme pro všechna n ∈ N odhad |Ωn | ≥ ε. Proto pro Ω∞ :=

∞ [ ∞ \

Ωn

platí |Ω∞ | ≥ ε

m=1 n=m

(na průnik teleskopického systému množin jsme použili takzvanou spojitost míry, snadno plyne ze σ-aditivity). Případným zmenšením množiny Ω∞ o množinu nulové míry můžeme zajistit, že pro všechna x ∈ Ω∞ máme un (x) → u(x) a F (x, ·, ·) je spojitá (F ∈ Car). Zvolme nyní pevné x ∈ Ω∞ . Pak x ∈ Ωn pro nekonečně mnoho indexů n ∈ N, přechodem k podposloupnosti můžeme zajistit, že to platí pro všechna n ∈ N. Dále platí |∇un (x)| ≤ Cε pro všechna n ∈ N, přejdeme-li k vybrané posloupnosti máme ξ ∈ Rd takové, že ∇un (x) → ξ. Díky spojitosti F (x, ·, ·) a ∇un (x) → ξ máme F (x, u(x), ∇un (x)) → F (x, u(x), ξ),

PDR

41

na druhou stranu, díky un (x) → u(x) máme také F (x, un (x), ∇un (x)) → F (x, u(x), ξ). Tedy |F (x, un (x), ∇un (x)) − F (x, u(x), ∇un (x))| → 0, což je pro dostatečně velké n ∈ N spor s x ⊂ Ω∞ ⊂ Ωn ⊂ Ωε,n (viz definice Ωε,n ). Tím je (4.7) dokázáno. Krok 3: Dokončení důkazu. Volme ε > 0. Díky (4.7) můžemeSpřechodem k podposloupnosti předpokládat, ∞ že |Ωε,n | < 2−n ε. Položme Ωε = n=1 Ωε,n . Pak máme |Ωε | < ε a pro všechna x ∈ Ω \ Ωε platí (4.8)

|F (x, un (x), ∇un (x)) − F (x, u(x), ∇un (x))| < ε

∀n ∈ N.

Z růstových podmínek a vět o vnoření snadno plyne, že F (x, u, ∇u) ∈ L1 (Ω) a tedy absolutní spojitost Lebesgueova integrálu a odhad |Ωε | < ε zaručují, že Z F (x, u, ∇u) < δ(ε), Ωε

kde δ(ε) > 0, δ(ε) → 0 pro ε → 0+ . Díky tomuto pozorování, nezápornosti F , (4.6) a (4.8) máme Z Z F (x, u, ∇u) Ψ(u) = F (x, u, ∇u) ≤ δ(ε) + Ω Ω\Ωε Z F (x, u, ∇un ) ≤ δ(ε) + lim sup n→∞ Ω\Ωε Z F (x, un , ∇un ) + ε|Ω \ Ωε | ≤ δ(ε) + lim sup n→∞

Ω\Ωε ε→0+

≤ δ(ε) + lim sup Ψ(un ) + ε|Ω| → lim sup Ψ(un ) = lim Ψ(un ). n→∞

n→∞

n→∞

Věta 4.7 (existence minima pro integrand konvexní ve třetí proměnné). Nechť Ω ⊂ 0 Rd je oblast třídy C 0,1 , p ∈ (1, ∞), u0 ∈ W 1,p (Ω) a f ∈ Lp (Ω), F ∈ Car je konvexní ve třetí proměnné a splňuje (4.5). Pak funkcionál Φ definovaný předpisem (4.1) nabývá svého minima na množině {u ∈ W 1,p (Ω) : u − u0 ∈ W01,p (Ω)}. Důkaz. Naše úloha je ekvivalentní tomu, že na prostoru W01,p (Ω) dokazujeme existenci minima funkcionálu (viz (4.1) a (4.4)) Z J(v) = Ψ(u0 + v) − f v. Ω

Díky růstovým podmínkám a větám o vnoření lze snadno nahlédnout, že tento funkcionál skutečně zobrazuje W01,p (Ω) do R. Je-li kvkW 1,p (Ω) omezená, pak díky růstovým podmínkám a Hölderovi máme Z Z J(v) ≥ − h− |f v| ≥ −khkL1 (Ω) − kvkLp (Ω) kf kLp0 (Ω) ≥ −C. Ω

Ω

42

PDR

Naopak, je-li kvkW 1,p (Ω) dostatečně velká, platí díky růstovým podmínkám, Friedrichsově nerovnosti a Hölderovi J(v) ≥ C0 k∇(v + u0 )kpLp (Ω) − khkL1 (Ω) − kvkLp (Ω) kf kLp0 (Ω) ≥ Ckv + u0 kpW 1,p (Ω) − C − CkvkW 1,p (Ω) ≥ C(kvkW 1,p (Ω) − ku0 kW 1,p (Ω) )p − C − CkvkW 1,p (Ω) ≥ CkvkpW 1,p (Ω) − C − CkvkW 1,p (Ω) ≥ CkvkpW 1,p (Ω) . Tedy J je omezený zdola a koercivní. Podle předchozí věty je Ψ(·) slabě polospojitý zdola, tedy i Ψ(u0 + ·). R Nakonec p0 má tuto vlastnost i funkcionál J, neboť f ∈ L (Ω) díky čemuž je v 7→ Ω f v slabě spojitý. Můžeme tedy použít základní větu variačního počtu a tím dokázat existenci minima. 4.2. Nelineární verze Lax-Milgramovy věty. Věta 4.8 (nelineární Lax-Milgram). Nechť X je reálný Hilbertův prostor a T : X 7→ X je lipschitzovsky spojitý, tj. ∃M > 0 : u, v ∈ X ⇒ kT u − T vkX ≤ M ku − vkX a silně monotonní, tj. ∃m > 0 : u, v ∈ X ⇒ (T u − T v, u − v)X ≥ mku − vk2X . Pak pro každé F ∈ X existuje právě jedno u ∈ X takové, že T u = F . Důkaz. Zafixujme libovolné F ∈ X a definujme operátor A : X 7→ X předpisem m Au := u − 2 (T u − F ). M Stačí dokázat, že A je kontakce, Banachova věta o pevném bodě nám pak dá u ∈ X takové, že T u − F = 0. Pro každou dvojici u, v ∈ X máme m m kAu − Avk2X = u − v − 2 (T u − T v), u − v − 2 (T u − T v) M M X m2 m 2 2 = ku − vkX + 4 kT u − T vkX − 2 2 (T u − T v, u − v)X M M 2 2 m m m2 ≤ ku − vk2X 1 + 2 − 2 2 = ku − vk2X 1 − 2 . M M M Tedy A je kontakce a jsme hotovi. Poznámka 4.9. Vždy máme m ≤ M , neboť mku − vk2X ≤ (T u − T v, u − v)X ≤ kT u − T vkX ku − vkX ≤ M |u − vk2X . Proto není nic podezřelého na odhadu kAu − Avk2X ≤ ku − vk2X (1 − Nelineární verzi Lax-Milgramovy věty budeme aplikovat na úlohu −

d X ∂ ai (·, u, ∇u) + a0 (·, u, ∇u) = f ∂xi i=1

u = u0

na Ω na ∂Ω,

m2 M 2 ).

PDR

43

kde f ∈ L2 (Ω), pro všechna i = 0, 1, . . . , d máme ai ∈ Car a |ai (x, y, z)| ≤ C(1 + |y| + |z|)

(4.9)

pro skoro všechna x ∈ Ω a všechna y ∈ R a z ∈ Rd . Poznámka 4.10. Podmínka (4.9) připouští jen lineární růst, což je stejný růst jako v předchozích sekcích, nová je jen nelinearita. Nestudujeme tedy například p-Laplacián. Slabé řešení definujeme jako u ∈ W 1,2 (Ω), které splňuje u − u ˜0 ∈ W01,2 (Ω) (˜ u0 souvisí s u0 jako v předchozí sekci) a

(4.10)

Z X d

ai (·, u, ∇u)

Ω i=1

∂ϕ + a0 (·, u, ∇u)ϕ dx = ∂xi

Z f ϕ dx

∀ϕ ∈ W01,2 (Ω).

Ω

Díky růstové podmínce (4.9) a Hölderově nerovnosti jsou integrály výše konečné kdykoliv u ∈ W 1,2 (Ω). Hledejme řešení ve tvaru u = u ˜0 + w, kde w ∈ W01,2 (Ω). Zavedeme nelineární 1,2 1,2 operátor T˜ : W0 (Ω) 7→ (W0 (Ω))∗ předpisem

hT˜w, ϕi :=

Z X d

ai (·, w + u ˜0 , ∇(w + u ˜0 ))

Ω i=1

∂ϕ + a0 (·, w + u ˜0 , ∇(w + u ˜0 ))ϕ dx. ∂xi

Ten je díky Hölderovi zmíněnému výše omezený a tedy podle Rieszovy věty o reprezentaci pro každé w ∈ W01,2 (Ω) existuje prvek T (w) ∈ W01,2 (Ω) takový, že hT˜w, ϕi = (T w, ϕ)W 1,2 (Ω) 0

a kT wkW 1,2 (Ω) = kT˜wk(W 1,2 (Ω))∗ . 0

0

∂ai d i ¯ Lemma 4.11. (i) Jestliže ∂a ∂y a ∂zj jsou omezené v Ω × R × R pro i = 0, . . . , d a j = 1, . . . , d, pak operátor T je lipschitzovský. (ii) Jestliže existuje α > 0 takové, že

d X i=0,j=1

∂ai ∂ai ξi ξj + ξi ξ0 ∂zj ∂y

! ≥ α|ξ|2

pak operátor T je silně monotonní.

pro s. v. x ∈ Ω a ∀ξ = (ξ0 , . . . , ξd ) ∈ Rd+1

44

PDR

Důkaz. Nejprve si povšimněme, že podle předpokladů obou tvrzení můžeme funkce ai derivovat podle proměnných y a zj . Pak máme (T w − T v, ϕ) = hT˜w − T˜v, ϕi Z X d ∂ϕ = ai (·, w + u ˜0 , ∇(w + u ˜0 )) − ai (·, v + u ˜0 , ∇(v + u ˜0 )) ∂xi Ω i=1 + a0 (·, w + u ˜0 , ∇(w + u ˜0 )) − a0 (·, v + u ˜0 , ∇(v + u ˜0 )) ϕ dx =

Z X d Z Ω i=1

Z

1

0

∂ϕ d ai (·, v + u ˜0 + s(w − v), ∇(v + u ˜0 ) + s(∇w − ∇v)) ds ds ∂xi

1

d a0 (·, v + u ˜0 + s(w − v), ∇(v + u ˜0 ) + s(∇w − ∇v)) dsϕ dx 0 ds ! Z Z Z X d d X ∂ϕ 1 ∂ai ∂(w − v) ∂ϕ 1 ∂ai = (. . . ) ds + (. . . ) ds (w − v) ∂xi 0 ∂y ∂xj ∂xi 0 ∂zj Ω i=1 j=1 +

Z + (w − v)ϕ 0

1

Z 1 d X ∂(w − v) ∂a0 ∂a0 (. . . ) ds + ϕ (. . . ) ds dx. ∂y ∂x j 0 ∂zj j=1

Při důkazu lipschitzovskosti nyní položíme ϕ = T w − T v a Hölder dává kT w − T vk2W 1,2 (Ω) ≤ Ckw − vkW 1,2 (Ω) kT w − T vkW 1,2 (Ω) . Při důkazu silné monotonie položíme ϕ = w − v, ξ0 = w − v a ξi = i = 1, . . . , d, a stačí nám bodový odhad pro d X ∂ai i=1

∂y

ξi ξ0 +

∂(w−v) ∂xi ,

d d d d X X X ∂ai ∂ai ∂a0 2 X ∂a0 ∂ai ξ0 + ξi ξ0 + ξi ξj + ξ0 ξj = ξi ξj . ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z j j j i,j=1 j=1 i=0,j=1 i=0

Věta 4.12 (Existence, jednoznačnost a spojitá závislost na datech). Nechť jsou splněny všechny předpoklady tákající se (4.10) (včetně předpokladů minulého lemmatu). Pak existuje jednoznačné řešení (4.10) a platí pro něj kukW 1,2 (Ω) ≤ C(1 + kf kL2 (Ω) + k˜ u0 kW 1,2 (Ω) ). Důkaz. Hledejme w ∈ W01,2 (Ω), aby u = u ˜0 + w splňovalo (4.10). Použijeme operátor T definovaný výše. Ten je Rpodle předchozího lemmatu lipschitzovský a silně monotonní. Dále zobrazení ϕ 7→ Ω f ϕ je spojité a lineární na W01,2 (Ω), tedy podle R Rieszovy věty existuje F ∈ W01,2 (Ω) takové, že Ω f ϕ = (F, ϕ)W 1,2 (Ω) . Nyní podle 0 nelineární Lax-Milgramovy věty existuje jednoznačné řešení úlohy T w = F , tedy Z f ϕ = (F, ϕ)W 1,2 (Ω) = (T w, ϕ)W 1,2 (Ω) = hT˜w, ϕi 0

Ω

=

Z X d Ω i=1

0

ai (·, w + u ˜0 , ∇(w + u ˜0 ))

∂ϕ + a0 (·, w + u ˜0 , ∇(w + u ˜0 ))ϕ dx. ∂xi

PDR

45

Silná monotonie operátoru T (zaručená předchozím lemmatem) zaručuje jednoznačnost, neboť jsou-li u ˜0 + w a u ˜0 + v dvě řešení pak odečtením slabých formulací od sebe a otestováním funkcí ϕ = w − v dostáváme 0 = (T w, ϕ) − (T v, ϕ) = (T w − T v, ϕ) = (T w − T v, w − v) ≥ mkw − vk2W 1,2 (Ω) . 0

Zbývá dokázat odhad normy. Díky silné monotonii operátoru T a slabé formulaci máme mkwk2W 1,2 (Ω) ≤ (T w − T 0, w − 0) = (T w, w) − (T 0, w) 0 Z Z X d ∂w = fw − + a0 (·, u ˜0 , ∇˜ u0 )w. ai (·, u ˜0 , ∇˜ u0 ) ∂xi Ω Ω i=1 Použijeme-li (4.9) a Höldera, dostáváme mkwk2W 1,2 (Ω) ≤ kf k2 kwk2 + C k1k2 + k˜ u0 k2 + k∇˜ u0 k2 k∇wk2 0 + k1k2 + k˜ u0 k2 + k∇˜ u0 k2 kwk2 ≤ C 1 + kf k2 + k˜ u0 kW 1,2 (Ω) kwkW 1,2 (Ω) . 0

0

Zbývá si připomenout u = w + u ˜0 a použít trojúhelníkovou nerovnost.

Příklad 4.13. Podmínky z této sekce splňuje například rovnice − div(a(x)∇u) + f (u) = 0 na Ω u = 0 na ∂Ω, 0

kde 0 < C1 ≤ a(x) ≤ C2 a C1 ≤ f ≤ C2 . 4.3. Úloha s monotonním diferenciálním operátorem. Nechť p ∈ (1, ∞). Studujeme úlohu −

(4.11)

d X ∂ ai (·, u, ∇u) = f ∂x i i=1

na Ω

u = u0

na ∂Ω,

0

kde f ∈ Lp (Ω), pro všechna i = 1, . . . , d máme ai ∈ Car a pro skoro všechna x ∈ Ω a všechna y ∈ R a z, w ∈ Rd platí (píšeme (a1 , . . . , ad ) = a) (4.12)

|a(x, y, z)| ≤ C(1 + |z|p−1 )

(4.13)

a(x, y, z) · z ≥ α|z|p − C

(kde α > 0) a (a(x, y, z) − a(x, y, w)) · (z − w) ≥ 0.

(4.14)

u0 Slabé řešení definujeme jako u ∈ W 1,p (Ω), které splňuje u − u ˜0 ∈ W01,p (Ω) (˜ souvisí s u0 jako v předchozí sekci) a Z Z (4.15) a(·, u, ∇u) · ∇ϕ dx = f ϕ dx ∀ϕ ∈ W01,p (Ω). Ω

Ω

Hlavním cílem této kapitoly bude dokázat existenci slabého řešení za výše uvedených podmínek. Jednoznačnost vyžaduje zesílení předpokladů.

46

PDR

Věta 4.14. Pokud a(·, ·, ·) nezávisí na proměnné y a je striktně monotonní ve smyslu a(x, z) − a(x, w) · (z − w) > 0 kdykoliv z 6= w, pak slabé řešení úlohy (4.11) je jednoznačné. Důkaz. Nechť u, v jsou dvě slabá řešení. Otestujeme-li pro obě funkce slabou formulaci funkcí ϕ = u − v ∈ W01,p (Ω), po odečtení obou rovnic dostáváme Z a(·, ∇u) − a(·, ∇v) · (∇u − ∇v) = 0. Ω

Protože je díky striktní monotonii integrand nezáporný, musí být roven nule skoro všude. Striktní monotonie pak navíc dává, že ∇u = ∇v skoro všude, tedy u − v je konstantní, což spolu s u − v ∈ W01,p (Ω) implikuje u = v na Ω. V dalším budeme postupně konstruovat řešení. Připomeňme si Věta 4.15 (Browerova věta o pevném bodě v Rm ). Nechť u : B(0, 1) 7→ B(0, 1) je spojitá. Pak má pevný bod. Lemma 4.16. Nechť r > 0 je pevné číslo a spojité zobrazení v : Rm 7→ Rm splňuje v(x) · x ≥ 0

na ∂B(0, r).

Pak existuje x ∈ B(0, r) takové, že v(x) = 0. Důkaz. Pokud by takové x neexistovalo, předpis w(x) := −r

v(x) |v(x)|

x ∈ B(0, r)

by definoval spojité zobrazení w : B(0, r) 7→ ∂B(0, r). Podle Browerovy věty by toto zobrazení mělo pevný bod x0 , pro který by platilo r2 = x0 · x0 = w(x0 ) · x0 = −r

v(x0 ) r · x0 = − (v(x0 ) · x0 ) ≤ 0, |v(x0 )| |v(x0 )|

ale to by byl spor r > 0.

Existenci řešení dokážeme prostřednictvím Galerkinovy metody konstrukcí aproximativních řešení. Vezměme spočetnou hustou podmnožinu ve W01,p (Ω), z ní vyberme lineárně nezávislou podmnožinu {wk }. Aproximativní řešení budou funkce u ˜0 + um , kde um ∈ W01,p (Ω) jsou takové, že um =

m X

dm k wk ,

k=1

zde

dm k

jsou reálné koeficienty, a Z Z (4.16) a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) · ∇wk dx = f wk dx Ω

∀k = 1, . . . , m.

Ω

Tvrzení 4.17. Pro každé m ∈ N existuje aproximativní řešení um . Důkaz. Nechť m ∈ N je pevné. Definujme zobrazení v : Rm 7→ Rm po složkách (v = (v1 , . . . , vm )) předpisem Z m m X X vj (d) := a ·, u ˜0 + dk wk , ∇˜ u0 + dk ∇wk · ∇wj − f wj dx j = 1, . . . , m. Ω

k=1

k=1

PDR

47

Integrály jsou skutečně konečné díky (4.12) a Hölderovi. Dále si dokažme spojitost v. Nechť dn → d ∈ Rm . Pak máme bodovou konvergenci druhé a třetí složky argumentu a(·, ·, ·) uvnitř integrandu, což nám díky ai ∈ Car dává bodovou konvergenci integrandů. Snadno pak ukážeme, že vj (dn ) → vj (d) pomocí Lebesgueovy věty s majorantou (viz (4.12)) m p−1 X C 1 + |∇˜ u0 | + (1 + |dk |)|∇wk | |∇wj | ∈ L1 (Ω). k=1

Dále, je-li r := |d| dost velké, máme díky (4.12), (4.13), Hölderovi a ekvivalenci norem v(d) · d =

m X

dj vj (d)

j=1 m m m m X X X X a ·, u ˜0 + dk wk , ∇˜ u0 + dk ∇wk · dj ∇wj − f dj wj dx

Z = Ω

k=1

j=1

k=1

j=1

m m m X X X a ·, u ˜0 + dk wk , ∇˜ u0 + dk ∇wk · ∇˜ u0 + dj ∇wj

Z = Ω

k=1

j=1

k=1

m m m X X X dk ∇wk · ∇˜ dj wj dx dk wk , ∇˜ u0 + u0 − f − a ·, u ˜0 +

L (Ω)

k=1

j=1

k=1

k=1 m

p

X

dk ∇wk p ≥ α ∇˜ u0 +

m

X

dk wk − C − kf kLp0 (Ω)

m

p−1 X

− C 1 + ∇˜ u0 + dk ∇wk

Lp0 (Ω)

k=1 m

p X

dk ∇wk p ≥ α ∇˜ u0 +

L (Ω)

k=1

Lp (Ω)

k=1

k∇˜ u0 kLp (Ω)

m

X

dk ∇wk − C − C k=1

Lp (Ω)

m

p−1 X

− C ∇˜ u0 + dk ∇wk p . k=1

L (Ω)

Pm Nyní si povšimněme, že zobrazení d 7→ k k=1 dk ∇wk kLp (Ω) je normou na Rm ({wk } jsou lineárně nezávislé), která je díky konečné dimenzi ekvivalentní eukleidovské normě |d|. Pro dostatečně velké |d| tedy máme z předchozího výpočtu v(d) · d ≥ 0. Můžeme tedy aplikovat předchozí lemma a dostáváme d ∈ Rm splňujícíP v(d) = 0. Získali jsme sadu koeficientů d = (d1 , . . . , dm ) takovou, že funkce m u ˜0 + k=1 dk wk je aproximativní řešení. Tvrzení 4.18 (Energetické odhady). Pro každé m ∈ N platí 1 kum kW 1,p (Ω) ≤ C(Ω, a, u ˜0 ) 1 + kf kLp−1 p0 (Ω) .

48

PDR

Důkaz. Definici m-tého aproximativního řešení můžeme zřejmě testovat funkcí um , neboť je lineární kombinací testovacích funkcí. Tedy Youngova nerovnost a Friedrichsova nerovnost dávají Z

Z a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) · ∇um =

f um ≤ kum kLp (Ω) kf kLp0 (Ω)

Ω

Ω

≤

p0 p 1 1 1 εkum kLp (Ω) + 0 kf kLp0 (Ω) p p ε 0

≤ Cεp k∇um kpLp (Ω) + Ckf kpLp0 (Ω) . Na druhou stranu, použijeme-li (4.12), (4.13) a Höldera, dostáváme Z a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) · ∇um Z = a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) · (∇˜ u0 + ∇um ) − a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) · ∇˜ u0 Ω

Ω

≥ αk∇˜ u0 + ∇um kpLp (Ω) − C − Ck1 + |∇˜ u0 + ∇um |p−1 kLp0 (Ω) k∇˜ u0 kLp (Ω) ≥ αk∇˜ u0 + ∇um kpLp (Ω) − C − Ck∇˜ u0 + ∇um kp−1 Lp (Ω) . Požadovaný odhad teď snadno obdržíme z právě získaných nerovností.

Věta 4.19 (Existence slabého řešení). Existuje slabé řešení úlohy (4.11). Důkaz. Podle energetických odhadů je {um } omezená posloupnost ve W01,p (Ω), proto po přechodu k podposloupnosti můžeme předpokládat, že má slabou limitu u ∈ W01,p (Ω). Zbývá ukázat, že u ˜0 + u je slabé řešení úlohy (4.11). 0 Podle (4.12), je {a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um )} omezená posloupnost v Lp (Ω, Rd ), tedy po přechodu k podposloupnosti máme (4.17)

0

v Lp (Ω, Rd ).

a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) * ξ

Proto (4.16) dává Z

Z ξ · ∇wk dx =

Ω

f wk dx

∀k ∈ N

Ω

a z hustoty lineárních kombinací systému wk pak dostáváme Z

Z ξ · ∇v dx =

(4.18) Ω

f v dx

∀v ∈ W01,p (Ω).

Ω

Nyní zafixujme w ∈ W01,p (Ω), použijme (4.14), pak (4.16) testované um , pak um * u a (4.17) (oprávněnost limitního přechodu mezi druhým a třetím řádkem

PDR

49

podrobně zdůvodníme pod výpočtem), nakonec (4.18) s volbou v = u (4.19) Z 0≤ a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) − a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇w) · (∇um − ∇w) ZΩ = f um − a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇um ) · ∇w − a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇w) · (∇um − ∇w) Ω Z m→∞ → f u − ξ · ∇w − a(·, u ˜0 + u, ∇˜ u0 + ∇w) · (∇u − ∇w) Ω Z = ξ∇u − ξ · ∇w − a(·, u ˜0 + u, ∇˜ u0 + ∇w) · (∇u − ∇w) ZΩ = ξ − a(·, u ˜0 + u, ∇˜ u0 + ∇w) · (∇u − ∇w). Ω

V limitním přechodu mezi druhým a třetím řádkem potřebujeme ještě ověřit konvergenci třetího členu. Protože ∇um − ∇w * ∇u − ∇w v Lp (Ω), stačí nám ukázat, že 0 a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇w) → a(·, u ˜0 + u, ∇˜ u0 + ∇w) v Lp (Ω). Tuto vlastnost nám zaručí Lebesgueova věta. Nejprve totiž přechodem k podposloupnosti získáme um → u v Lp (Ω) a um → u skoro všude v Ω, což nám spolu s a ∈ Car zajistí bodovou konvergenci integrandů. Pak již snadno s pomocí (4.12) p zkonstruujeme integrovatelnou majorantu funkcí |a(·, u ˜0 + um , ∇˜ u0 + ∇w)| p−1 . Tím je limitní přechod v (4.19) zdůvodněn. Je-li nyní w tvaru w = u − λv, kde λ > 0 a v ∈ W01,p (Ω), pak (4.19) (po podělení číslem λ) a limitní přechod λ → 0+ (ověří se pomocí Lebesgueovy věty) dávají Z 0≤ ξ − a(·, u ˜0 + u, ∇˜ u0 + ∇u − λ∇v) · ∇v ZΩ → ξ − a(·, u ˜0 + u, ∇˜ u0 + ∇u) · ∇v. Ω

Totéž by platilo i pro funkci −v, tedy máme dokonce Z 0= ξ − a(·, u ˜0 + u, ∇˜ u0 + ∇u) · ∇v

∀v ∈ W01,p (Ω).

Ω

Z poslední rovnosti a (4.18) plyne, že u ˜0 + u je slabé řešení úlohy (4.11).

Věta 4.20 (Princip maxima). Nechť a(·, ·, ·) je striktně monotonní, a(x, y, 0) = 0, f ≡ 0 a ku0 kL∞ (∂Ω) < ∞. Pak u ∈ L∞ (Ω) a kukL∞ (Ω) ≤ ku0 kL∞ (∂Ω) . Důkaz. Nejprve si povšimněme, že pro z 6= 0 máme a(x, y, z) · z = (a(x, y, z) − a(x, y, 0)) · (z − 0) > 0. Označme M = ku0 kL∞ (∂Ω) . Pak ϕ = (u − M )+ ∈ W01,p (Ω) se dá použít jako testovací funkce. Proto Z Z + 0= a(·, u, ∇u) · ∇(u − M ) = a(·, u, ∇u) · ∇u. Ω

{u>M }

Díky pozorování výše tedy musí být ∇u = 0 skoro všude na {u > M }, tedy ∇(u − M )+ = 0 skoro všude na Ω, (u − M )+ je tedy konstantní a proto nulová. Odtud plyne u ≤ M . Opačná nerovnost se dokáže přechodem k −u.

50

PDR

Příklad 4.21. Všechny podmínky z této sekce splňuje například rovnice p−2 − div (1 + |∇u|2 ) 2 ∇u = 0 na Ω u = 0 na ∂Ω, p−2

kde p > 1. Neboli a(z) = (1 + |z|2 ) 2 z. Podmínky (4.12) a (4.13) jsou zřejmě splněny. Dále zřejmě a(0) = 0. Dokažme ještě striktní monotonii. Volme různé z, w ∈ Rd , požadujeme (pišme q = p−2 2 > 0) 0 < (1 + |z|2 )q |z|2 + (1 + |w|2 )q |w|2 − (1 + |z|2 )q + (1 + |w|2 )q z · w. Pokud z = 0, nebo w = 0, nebo |z| = |w| požadovaná nerovnost zřejmě platí. Můžeme tedy předpokládat, že 0 < |z| < |w|. V uvedené situaci je pro nás nejhorší |w| 2 případ w = |w| |z| z. Tento případ tedy uvažujme a pišme t = |z| > 1 a s = |z| > 0. Chceme tedy, aby ψ(t) := (1 + s)q + (1 + t2 s)q t2 − (1 + s)q + (1 + t2 s)q t > 0 kdykoliv t > 1. To plyne z vlastností ψ(1) = 0 a (pro t > 1) 0 0 ψ 0 (t) = 2t(1 + t2 s)q + t2 (1 + t2 s)q − (1 + s)q − (1 + t2 s)q − t (1 + t2 s)q 0 = (t2 − t) (1 + t2 s)q + (2t − 1)(1 + t2 s)q − (1 + s)q > 0. Tím je poslední podmínka ověřena. 5. Sobolev-Bochnerovy prostory d

Nechť Ω ⊂ R je otevřená, X je Banachův prostor, který obsahuje funkce z Ω do R, a T > 0. Budeme pracovat s funkcemi w(t, x) : [0, T ] × Ω 7→ R. Má pak smysl t 7→ w(t, ·) považovat za zobrazení u : [0, T ] 7→ X. Definice 5.1. (i) Zobrazení s : [0, T ] 7→ X se nazývá jednoduché, Sm jestliže existují m ∈ N, ui ∈ X a měřitelné Ei ⊂ [0, T ], i = 1, . . . , m, takové, že i=1 Ei = [0, T ] a s(t) =

m X

χEi (t)ui .

i=1

(ii) Zobrazení u : [0, T ] 7→ X se nazývá silně měřitelné, jestliže existuje posloupnost {sk } jednoduchých zobrazení splňující sk (t) → u(t) pro s.v. t ∈ [0, T ]. (iii) Zobrazení u se nazývá slabě měřitelné, jestliže pro všechna u∗ ∈ X ∗ je t 7→ hu∗ , u(t)i (funkce z [0, T ] do R) měřitelná. Definice 5.2. Řekneme, že u : [0, T ] → 7 X má skoro separabilní obor hodnot, jestliže existuje N ⊂ [0, T ] taková, že |N | = 0 a {u(t) : t ∈ [0, T ] \ N } je separabilní. Věta 5.3 (Pettisova věta). Zobrazení u : [0, T ] 7→ X je silně měřitelné právě tehdy, když je slabě měřitelné a má skoro separabilní obor hodnot (speciálně, je-li X separabilní, pojmy silně měřitelné a slabě měřitelné splývají).

PDR

51

Pm Definice 5.4 (Bochnerův integrál). (i) Je-li s(t) = i=1 χEi (t)ui jednoduché zobrazení, pak definujeme Z T m X s(t) dt := |Ei |ui . 0

i=1

(ii) Silně měřitelné zobrazení u : [0, T ] 7→ X je bochnerovsky integrovatelné, jestliže existuje posloupnost {sn } jednoduchých zobrazení taková, že Z T n→∞ ku − sn kX dt → 0. 0

(iii) Je-li u : [0, T ] 7→ X bochnerovsky integrovatelné a {sn } odpovídající posloupnost jednoduchých zobrazení, pak definujeme Z T Z T sn (t) dt. u(t) dt := lim n→∞

0

0

Poznámka 5.5. V obecné definici se [0, T ] nahradí prostorem s mírou, jednoduché zobrazení dostane integrál jen pokud mají Ei konečnou míru a aproximaci jednoduchými zobrazeními těchto kvalit pak požadujeme pro bochnerovskou integrovatelnost u. Věta 5.6 (Bochnerova věta). Nechť u : [0, T ] 7→ X je silně měřitelné zobrazení. Pak u je bochnerovsky integrovatelné právě tehdy, když t 7→ ku(t)kX ∈ L1 ((0, T )). V takovém případě navíc platí Z T

Z T

u(t) dt ≤ ku(t)kX dt.

0

X

0

Definice 5.7. Pro p ∈ [1, ∞) definujeme prostor Z n p L (0, T ; X) := u : [0, T ] 7→ X : u je silně měřitelné a 0

s normou kukLp (0,T ;X) :=

Z 0

T

T

ku(t)kpX dt < ∞

o

p1 ku(t)kpX dt .

Dále definujeme n o L∞ (0, T ; X) := u : [0, T ] 7→ X : u je silně měřitelné a ess sup(0,T ) ku(t)kX < ∞ a

n o C([0, T ], X) := u : [0, T ] 7→ X : t 7→ u(t) je spojité .

Tvrzení 5.8 (Vlastnosti prostorů Lp (0, T ; X) pro p < ∞). Platí (i) C([0, T ], X) s maximovou normou je Banachův prostor (ii) Lp (0, T ; X) je Banachův prostor a jednoduchá zobrazení jsou v něm hustá (iii) C([0, T ], X) je hustý v Lp (0, T ; X) a odpovídající vnoření je spojité (iv) je-li X separabilní, je i Lp (0, T ; X) separabilní (v) je-li X uniformě konvexní a je-li p > 1, pak i Lp (0, T ; X) je uniformě konvexní (vi) je-li X Hilbertův, pak i L2 (0, T ; X) je Hilbertův se skalárním součinem Z T (u, v)L2 (0,T ;X) = (u(t), v(t))X dt 0

(vii) platí-li X ,→ Y a 1 ≤ q ≤ r ≤ ∞, pak platí i Lr (0, T ; X) ,→ Lq (0, T ; Y ).

52

PDR

Náznak důkazu. Při důkazu hustoty jednoduchých zobrazení z měřitelnosti u ∈ Lp (0, T ; X) dostáváme jednoduchá zobrazení un konvergující skoro všude k u. Modifikujme ( un (t) pokud kun (t)kX ≤ 2ku(t)kX vn (t) := 0 jinak. Pak vn (t) jsou stále jednoduchá zobrazení a navíc konvergují skoro všude k u. Dále kvn (t) − u(t)kpX ≤ 3p ku(t)kpX ∈ L1 ((0, T )). Nyní stačí použít Lebesgueovu větu. Při důkazu hustoty spojitých zobrazení vezmeme jednoduchá zobrazení jako výše. Ta můžeme s libovolnou přesností aproximovat jednoduchými zobrazeními, která jsou navíc konstantní na konečném počtu intervalů. Posledně jmenovaná zobrazení se dají zase libovolně přesně aproximovat spojitými (v okolí místa skoku nahradíme lineárně). Spojitost příslušného vnoření plyne z Z T p1 1 ≤ T p max ku(t)kX . ku(t)kpX dt t∈[0,T ]

0

Poslední vnoření plyne z odhadů (ten druhý využívá Höldera) Z T q1 Z T q1 Z T r1 ku(t)kqY dt ≤C ku(t)kqX dt ≤C ku(t)krX dt . 0

0

0

p

Tvrzení 5.9 (Hölderova nerovnost). Nechť 1 ≤ p ≤ ∞, u ∈ L (0, T ; X) a v ∈ 0 Lp (0, T ; X ∗ ). Pak hv, ui ∈ L1 ((0, T )) a Z T |hv, ui| dt ≤ kvkLp0 (0,T ;X ∗ ) kukLp (0,T ;X) . 0

Důkaz. Díky silné měřitelnosti existují posloupnosti jednoduchých zobrazení {un } a {vn } takové, že un → u a vn → v skoro všude na (0, T ) (to druhé jde v operátorové normě). Odtud hvn , un i → hv, ui skoro všude na (0, T ). Na levé straně máme jednoduché funkce, proto je funkce hv, ui měřitelná. Konečně, pro všechna t ∈ [0, T ] máme hv(t), u(t)i ≤ kv(t)kX ∗ ku(t)kX . Nyní stačí použít klasickou Hölderovu nerovnost.

Tvrzení 5.10 (Charakterizace duálu). Nechť X je reflexivní separabilní Banachův 0 prostor a 1 < p < ∞. Pak Lp (0, T ; X)∗ = Lp (0, T ; X ∗ ), přičemž spojitým lineárním 0 funkcionálem odpovídajícím v ∈ Lp (0, T ; X ∗ ) je Z T u 7→ hv(t), u(t)i dt. 0

Tvrzení 5.11 (Variační lemma). Nechť pro u ∈ L1 (0, T ; X) platí Z T ϕ(t)u(t) dt = 0 pro všechny funkce ϕ ∈ D((0, T )). 0

Pak u(t) = 0 skoro všude na (0, T ).

PDR

53

Tvrzení 5.12 (Vlastnosti integrálu). Nechť 1 ≤ p < ∞ a 0 ≤ t ≤ T . Pak platí následující tvrzení. (i) Jestliže u ∈ Lp (0, T ; X), pak E Z t D Z t ∗ hu∗ , ui ds kdykoliv u∗ ∈ X ∗ u(s) ds = u , 0

0

(ii) jestliže u∗ ∈ Lp (0, T ; X ∗ ), pak DZ t E Z t u∗ (s) ds, u = hu∗ , ui ds 0

kdykoliv u ∈ X

0

(iii) jestliže un → u v Lp (0, T ; X), pak Z t Z t n→∞ un (s) ds → u(s) ds 0

vX

0

(iv) pokud navíc p > 1 a X je separabilní a reflexivní, un → u v Lp (0, T ; X) a 0 vn * v v Lp (0, T ; X ∗ ), pak Z t Z t hvn , un i ds → hv, ui ds. 0

0

Náznak důkazu. Tvrzení (i) zřejmě platí pro konstantní zobrazení, odtud snadno pro jednoduché a k obecnému případu se dokonverguje. Tvrzení (ii) se dokáže podobně. Tvrzení (iii) plyne z Bochnerovy věty a vnoření do L1 (0, T ; X). Při důkazu části (iv) integrand přenásobíme χ(0,t) , což neovlivní ani silnou ani slabou konvergenci. Pak už je důkaz snadný. Definice 5.13. Nechť X je reálný separabilní reflexivní prostor, H je reálný separabilní Hilbertův prostor, platí X ,→ H a X je hustý v H. Pak Gelfandovou evoluční trojicí prostorů nazveme X ,→ H = H ∗ ,→ X ∗ . Poznámka 5.14. Spojitost posledního vnoření H ,→ X ∗ se nemusí předpokládat. Plyne ze zřejmé inkluze H ∗ ⊂ X ∗ a skutečnosti, že pro pevné h ∈ H je zobrazení (·, h)H spojitým lineárním zobrazením na X, neboť spojité vnoření X ,→ H a Cauchy-Schwarzova nerovnost dávají (x, h)H ≤ kxkH khkH ≤ kxkX khkH

∀x ∈ X.

Ještě poznamenejme, že hustota X v H má za následek prostotu h 7→ (·, h)H coby zobrazení z H do X ∗ . Dále hustota X v H a reflexivita obou prostorů zaručují, že H ∗ = H je hustý v ∗ X (dá se ukázat sporem a použitím Hahn-Banachovy věty). V dalším předpokládáme, že máme dánu Gelfandovou evoluční trojici X ,→ H ,→ X ∗. Definice 5.15 (Reprezentace v dualitě mezi X a X ∗ ). Pro h ∈ H definujeme hh, xi := (h, x)H

∀x ∈ X.

Pro x∗ ∈ X ∗ definujeme hx∗ , xi := lim hhn , xi n→∞

kde hn → x∗ v X ∗ .

∀x ∈ X,

54

PDR

Poznámka 5.16. Ukažme, že předchozí definice je korektní. Nejprve skalární součin na prostoru H generuje spojitý lineární funkcionál na H a tedy i na X. Dále hustota H ∗ v X ∗ zaručí, že ke každému x∗ ∈ X ∗ najdeme posloupnost {hn ∈ H} takovou, že hn → x∗ v X ∗ . Nezávislost na volbě aproximující posloupnosti snadno plyne z definice operátorové normy. Poznámka 5.17. Jediný důvod zavedení pojmu Gelfandova evoluční trojice bylo zjednodušení, které nabízí předchozí definice. Konkrétně v situaci W01,2 (Ω) ,→ L2 (Ω) ,→ (W01,2 (Ω))∗ můžeme dualitu na W01,2 (Ω) reprezentovat pomocí skalárního součinu na L2 (Ω) a případného limitního přechodu. Přímý postup by vyžadoval následující reprezentaci (W01,2 (Ω))∗ (získá se z Rieszovy věty o reprezentaci) Z u∗ ∈ (W01,2 (Ω))∗ ⇐⇒ ∃f0 , f1 , . . . , fd ∈ L2 (Ω) : hu∗ , ui = f0 u + (f1 , . . . , fd ) · ∇u Ω

∀u ∈ W01,2 (Ω). Definice 5.18 (Slabá derivace). Nechť u ∈ L1 (0, T ; X), v ∈ L1 (0, T ; X ∗ ) a n ∈ N. Zobrazení v nazveme n-tou slabou časovou derivací zobrazení u (píšeme v = u(n) ), jestliže (následují Bochnerovy integrály) Z T Z T u(t)ϕ(n) (t) dt = (−1)n v(t)ϕ(t) dt pro všechna ϕ ∈ D((0, T )). 0

0

Dále definujeme pro 1 < p < ∞ n o 0 W 1,p (0, T ; X) := u ∈ Lp (0, T ; X) : u0 ∈ Lp (0, T ; X ∗ ) s normou kukW 1,p (0,T ;X) = kukLp (0,T ;X) + ku0 kLp0 (0,T ;X ∗ ) . Tvrzení 5.19 (Jednoznačnost slabé časové derivace). Jestliže u(n) = v a u(n) = w, pak v(t) = w(t) pro skoro všechna t ∈ (0, T ).

Důkaz. Důkaz plyne z definice a variačního lemmatu.

Tvrzení 5.20 (Vztah ke slabé konvergenci). Nechť n ∈ N, uk * u v Lp (0, T ; X) a 0 (n) uk * v v Lp (0, T ; X ∗ ), pak u(n) = v na (0, T ). Důkaz. Díky (vii) z tvrzení o vlastnostech prostorů Lp (0, T ; X) snadno nahlédneme, (n) že uk * u v Lq (0, T ; X ∗ ) a uk * v v Lq (0, T ; X ∗ ), kde q = min{p, p0 }. Pro libovolnou ϕ ∈ D((0, T )) pak máme Z T Z T Z T Z T (n) ϕ(n) u dt ( ϕ(n) uk dt = (−1)n ϕuk dt * (−1)n ϕv dt, 0

0

0

0

kde rovnost je jen definice slabé časové derivace a slabé konvergence si vysvětlíme třeba na té napravo. Podle přepokladu jsou oba integrály prvky X ∗ , otestujme je tedy w ∈ X. Podle tvrzení o vlastnostech integrálu (ii) a (iv) pak máme DZ T E Z T (n) (n) ϕuk dt, w = hϕuk , wi dt 0

0

Z = 0

T

(n)

huk , ϕwi dt →

Z

T

Z hv, ϕwi dt =

0

T

hϕv, wi dt = 0

Díky jednoznačnosti slabé limity je důkaz dokončen.

DZ

T

E ϕv dt, w .

0

PDR

55

Tvrzení 5.21 (Existence u(n) ). Nechť u ∈ Lp (0, T ; X), p ∈ (1, ∞). Pak slabá ča0 0 sová derivace u(n) ∈ Lp (0, T ; X ∗ ) existuje právě tehdy, když existuje w ∈ Lp (0, T ; X ∗ ) takové, že Z T Z T hw(t), viϕ(t) dt ∀v ∈ X, ∀ϕ ∈ D([0, T ]). (u(t), v)H ϕ(n) (t) dt = (−1)n 0

0 (n)

V takovém případě u

= w.

Důkaz. Pokud u(n) = w, máme Z T Z T DZ hϕ(n) (t)u(t), vi dt = (ϕ(n) (t)u(t), v)H dt = 0

0

T

ϕ(n) (t)u(t) dt, v

E

0

= (−1)

n

DZ

T

E

ϕ(t)w(t) dt, v = (−1)n

Z

T

hϕ(t)w(t), vi dt. 0

0

V první rovnosti jsme využili v ∈ X ⊂ H ⊂ X ∗ , druhá a čtvrtá rovnost využívají tvrzení o vlastnostech integrálu a třetí definici slabé časové derivace kombinovanou s Hahn-Banachovou větou. Pokud naopak platí integrální rovnost, postupujeme takto Z T Z T DZ T E n n (−1) ϕ(t)w(t) dt, v = (−1) hϕ(t)w(t), vi dt = (ϕ(n) (t)u(t), v)H dt 0

0

Z =

0

T

hϕ(n) (t)u(t), vi dt =

DZ

0

T

E ϕ(n) (t)u(t) dt, v .

0

Poznámka 5.22. Integrální podmínka z předchozí věty se dá díky definici slabé derivace přepsat do tvaru dn (u(t), v)H = hu(n) (t), vi ∀v ∈ X a skoro všechna t ∈ (0, T ). dtn kde časovou derivaci na levé straně chápeme jako slabou. Tvrzení 5.23 (Vlastnosti W 1,p (0, T ; X)). (i) W 1,p (0, T ; X) je reálný Banachův prostor (ii) platí W 1,p (0, T ; X) ,→ C([0, T ], H) (iii) pro všechna u, v ∈ W 1,p (0, T ; X) a libovolná 0 ≤ s ≤ t ≤ T platí následující verze integrace per-partes (hraniční hodnoty nám určují spojití reprezentanti) Z t (u(t), v(t))H − (u(s), v(s))H = hu0 (τ ), v(τ )i + hv 0 (τ ), u(τ )i dτ s

(iv) možina všech polynomů w : [0, T ] 7→ X ve tvaru w(t) =

n X

ai ti

kde ai ∈ X

k=0

je hustá v prostorech W 1,p (0, T ; X), Lp (0, T ; X) a Lp (0, T ; H). Poznámka 5.24. Obecně neplatí W 1,p (0, T ; X) ,→ C([0, T ], X). Navíc samotné vnoření do spojitých zobrazení nelze považovat za lepší výsledek než byly věty o vnoření pro sobolevovské funkce, neboť zde integrujeme pouze přes jednu dimenzi. Idea důkazu per-partes: snadno se ukáže platnost pro u, v ∈ C 1 ([0, T ], H) (využijí se identity typu (u(t), v(t))H = hu(t), v(t)i), pak se použije hustota C 1 ([0, T ], H)

56

PDR

ve W 1,p (0, T ; X) (Ziedler dokazuje dokonce hustotu polynomů zobrazujících [0, T ] do V ). Tvrzení 5.25 (Základní věta integrálního počtu a charakterizace konstantních Rt zobrazení). (i) Nechť u ∈ L1 (0, T ; X) a v(t) := 0 u(s) ds. Pak v ∈ C([0, T ], X) a v 0 = u na (0, T ). (ii) Nechť u ∈ L1 (0, T ; X) a u0 = 0 na (0, T ). Pak u je konstantní. Poznámka 5.26. Naopak, nulovost slabé časové derivace pro konstantní zobrazení se získá snadno z definice. Platí i bochnerovská verze Newtonova vzorce Z T u0 dt = u(T ) − u(0) pokud u0 ∈ L1 (0, T ; X). 0 Rs Skutečně, v uvedené situaci můžeme definovat w(s) := 0 u0 dt. Pak je podle předchozího tvrzení w0 = u0 , w a u se tedy liší o konstantní zobrazení t 7→ u(0). Lemma 5.27 (Ehrlingovo lemma). Nechť X, Y, Z jsou reflexivní separabilní Banachovy prostory a X ,→,→ Y ,→ Z. Pak pro všechna a > 0 existuje C(a) > 0 takové, že pro všechna u ∈ X máme kukY ≤ akukX + C(a)kukZ . Důkaz. Pokud by tvrzení neplatilo, mohli bychom najít a > 0 a {un } ⊂ X takové, že pro všechna n ∈ N máme (díky homogenitě všech tří norem normalizujeme) 1 = kun kX

kun kY ≥ akun kX + nkun kZ .

a

Díky X ,→,→ Y přechodem k posloupnosti dostáváme un → u v Y , tedy i v Z. Máme tedy kukY ≥ a + nkukZ pro všechna n ∈ N, což může nastat jen pokud kukZ = 0, tedy u = 0. Pro n ∈ N dost velké pak máme kun kY < a a dostáváme spor s volbou posloupnosti {un }. Věta 5.28 (Aubin-Lionsova věta). Nechť X, Y, Z jsou reflexivní separabilní Banachovy prostory a X ,→,→ Y ,→ Z a p ∈ (1, ∞). Pak {u ∈ Lp (0, T ; X) : u0 ∈ L1 (0, T ; Z)} ,→,→ Lp (0, T ; Y ) Důkaz. Označme V := {u ∈ Lp (0, T ; X) : u0 ∈ L1 (0, T ; Y )}. Volme omezenou posloupnost {un } ⊂ V . Chceme najít podposloupnost konvergentní v Lp (0, T ; Y ). Předpoklady zaručují, že Lp (0, T ; X) je reflexivní a separabilní, tedy přechodem k podposloupnosti máme un * u v Lp (0, T ; X). Můžeme předpokládat, že u = 0. Ukažme, že dokonce un → u v Lp (0, T ; Y ). Použijme Ehrlingovo lemma s konstantou a hodně malou (upřesníme níže) kun (t)kY ≤ akun (t)kX + Ckun (t)kZ . Výsledek umocníme a integrujeme, pak použijeme omezenost v Lp (0, T ; X) a konstantu a budeme chtít dostatečně malou Z T Z T Z T kun (t)kpY dt ≤ Ca kun (t)kpX dt + C kun (t)kpZ dt 0

0

ε < +C 2

0

Z 0

T

kun (t)kpZ

dt.

PDR

57

Zbývá ukázat, že poslední integrál lze vhodnou volbou δ > 0 udělat libovolně malý pro velké n. Pro pevné δ ∈ (0, T2 ) definujme pomocná zobrazení (integrál níže je Bochnerův) Z 1 δ un (t + τ ) dτ. uδn (t) = δ 0 Pišme Z T2 Z T2 Z T2 p p δ kun (t)kZ dt ≤ C kun (t)kZ dt + C kuδn (t) − un (t)kpZ dt = I1 + I2 0

0

0

( T2

, T ) se odhaduje podobně, jen v definici uδn (t) bereme průměr (integrál přes hodnot nalevo). Nejprve odhadněme I1 . Z un * 0 v Lp (0, T ; X) plyne, že {kun kX } je omezená v 1 L ((0, T )). Pro pevné δ > 0 jsou pak kuδn (t)kX omezené konstantou nezávislou na n 0 a t. Zafixujme t ∈ (0, T2 ). Máme-li x∗ ∈ X ∗ , pak snadno χ(t,t+δ) x∗ ∈ Lp (0, T, X ∗ ) a proto díky un * 0 v Lp (0, T ; X) Z T D Z t+τ E Z t+τ x∗ , u(τ ) dτ = hx∗ , u(τ )i dτ = hχ(t,t+δ) (τ )x∗ , u(τ )i dτ → 0. t

t

0

Z toho snadno plyne uδn (t) * 0 v X. Kompaktní vnoření X ,→,→ Z nám tedy umožňuje získat uδn (t) → 0 v Z (není třeba přechod k podposloupnosti). Můžeme tedy použít Lebesgueovu větu a získat I1 → 0. Pro I2 máme díky předpokladům, základní větě integrálního počtu a Fubiniho větě Z T2 Z T2 Z δ

p

1

p δ I2 = kun (t) − un (t)kZ dt = un (t + τ ) − un (t) dτ dt

δ Z 0 0 0 Z T2 Z δ p 1 kun (t + τ ) − un (t)kZ dτ dt ≤ δ 0 0 Z T2 Z δ Z τ p 1 ≤ ku0n (t + s)kZ ds dτ dt δ 0 0 0 Z T2 Z δ p 1 (δ − s)ku0n (t + s)kZ ds dt = δ 0 0 Z T2 Z T2 p−1 Z δ s 0 0 ≤ kun (t + s)kZ ds 1− kun (t + s)kZ ds dt δ 0 0 0 Z T Z δ s δ→0 ≤C 1 − ds ku0n (r)kZ dr ≤ Cδ → 0. δ 0 0 Příklad 5.29. Typickou aplikací Aubin-Lionsovy věty je ) un * u v L2 (0, T, W01,2 (Ω)) =⇒ v = u0 a unk → u v L2 (0, T, L2 (Ω)), u0n * v v L2 (0, T, (W01,2 (Ω))∗ ) kde informace v = u0 byla získána z tvrzení o vztahu slabé časové derivace ke slabé konvergenci.

58

PDR

Další příprava na evoluční rovnice. Lemma 5.30 (Gronwallovo lemma). (i) Nechť α, β ∈ L1 ((0, T )), α, β ≥ 0 a y : [0, T ] 7→ [0, ∞) je absolutně spojitá funkce splňující y 0 (t) ≤ α(t) + β(t)y(t)

skoro všude na (0, T ).

Pak Z t Z t Z t y(t) ≤ y(0) exp β(s) ds + α(r) exp β(s) ds dr 0

0

pro všechna t ∈ (0, T ).

r

(ii) Nechť α ∈ L1 ((0, T )), β, y ∈ C([0, T ]), β ≥ 0 a Z t y(t) ≤ α(t) + β(s)y(s) ds všude na [0, T ]. 0

Pak Z y(t) ≤ α(t) +

t

Z t β(s)α(s) exp β(r) dr ds

0

všude na [0, T ].

s

Pokud je α navíc neklesající, pak dokonce platí Z t y(t) ≤ α(t) exp β(s) ds

všude na [0, T ].

0

Důkaz. Dokažme první tvrzení. Skoro všude máme Z t 0 Z t Z t 0 y(t) exp − β(s) ds = y (t) exp − β(s) ds − y(t)β(t) exp − β(s) ds 0 0 0 Z t ≤ α(t) exp − β(s) ds . 0

Proto Z t

r

Z y(r) exp −

0

Z t 0 Z β(s) ds dr ≤ α(r) exp −

0

Zároveň také platí Z t Z y(r) exp − 0

0

r

r

β(s) ds dr.

0

0 Z t β(s) ds dr = y(t) exp − β(s) ds − y(0).

0

0

Poslední dva řádky již dávají požadovanou nerovnost. Při důkazu druhého tvrzení nejprve definujme pomocnou funkci Z s Z s v(s) := exp − β(r) dr β(r)y(r) dr s ∈ [0, T ]. 0

0

Zřejmě platí v(0) = 0. Dále zderivováním a využitím předpokládané nerovnosti pro y(t) dostáváme pro všechna s ∈ (0, T ) ! Z s Z s 0 v (s) = exp − β(r) dr −β(s) β(r)y(r) dr + β(s)y(s) 0

0 s

Z ≤ exp −

β(r) dr α(s)β(s).

0

Proto Z v(t) ≤ 0

t

Z exp − 0

s

β(r) dr α(s)β(s) ds

pro všechna t ∈ [0, T ].

PDR

59

Nyní využijeme předpokládanou nerovnost, pak definici funkce v a pak právě získanou nerovnost Z t y(t) ≤ α(t) + β(s)y(s) ds 0 Z t = α(t) + v(t) exp β(r) dr 0 Z t Z s Z t ≤ α(t) + exp − β(r) dr α(s)β(s) ds exp β(r) dr 0 0 0 Z t Z t = α(t) + exp β(r) dr α(s)β(s) ds. 0

s

Tím je dokončen důkaz v obecném případě. Pokud je α navíc neklesající, pokračujeme v odhadech Z t Z t exp β(r) dr β(s) ds y(t) ≤ α(t) + α(t) 0 s Z t Z t d β(r) dr ds = α(t) + α(t) − exp 0 ds s h Z t it = α(t) − α(t) exp β(r) dr 0 s Z t = α(t) − α(t) + α(t) exp β(r) dr . 0

Nyní se budeme zabývat vlastními funkcemi Laplaceova operátoru. Podrobné důkazy jsou v Evansově knize. Začneme tvrzením z funkcionální analýzy. Věta 5.31 (Vlastní vektory kompaktního symetrického operátoru). Nechť H je separabilní Hilbertův prostor a S : H 7→ H je kompaktní symetrický lineární operátor. Pak existuje spočetná ortonormální báze prostoru H tvořená vlastními vektory operátoru S. Dále uvažme operátor typu Lu = − div(A∇u), kde A je eliptická symetrická C (Ω)-matice, Ω je souvislá. Hledáme λk ∈ R a uk ∈ W01,2 (Ω) splňující Z Z (5.1) A∇u · ∇ϕ dx = λk uk ϕ dx ∀ϕ ∈ W01,2 (Ω). ∞

Ω

Ω

Věta 5.32 (Spektrum symetrického operátoru). (i) Každé vlastní číslo operátoru L je reálné. (ii) Vlastní čísla (přiměřeně opakovaná podle násobnosti) splňují 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . .

a

k→∞

λk → ∞.

(iii) Existuje ortonormální báze {wk } prostoru L2 (Ω), kde wk je vlastní funkce odpovídající λk , k ∈ N. Konkrétně pro Laplaceův operátor otestováním funkcí ϕ = wk ∈ W01,2 (Ω) zjistíme, že k∇wk k22 = λk kwk k22 . Dále platí, že je-li δΩ dostatečně hladká, pak uk ∈ C ∞ (Ω) (naše výsledky z minulého semestru ohledně regularity však na důkaz této

60

PDR

vlastnosti nestačí). Ortonormalita na L2 (Ω) implikuje ortonormalitu na W01,2 (Ω), což dostaneme z (5.1) s volbou u = wj a ϕ = wk . Dále si připomeňme úlohu z obyčejných diferenciálních rovnic y˙ = f (t, y(t)) y(t0 ) = y0 , kde f : G 7→ Rm , G ⊂ Rm+1 je otevřená, (t0 , y0 ) ∈ G a platí Caratheodoryho podmínky (i) f (t, ·) je spojitá (ii) f (·, y) je měřitelná (iii) kf k je lokálně majorizována funkcemi, které jsou závislé jen na t a jsou integrovatelné. Věta 5.33. Za předpokladů uvedených výše existuje řešení úlohy ve třídě absolutně spojitých funkcí splňující požadovanou rovnost skoro všude. Je-li dokonce f (t, ·) lokálně lipschitzovská s integrovatelnou konstantou lipschitzovskosti, řešení je jednoznačné. 6. Lineární parabolické rovnice druhého řádu Nechť Ω ⊂ Rd je třídy C 0,1 a T > 0. Označme QT := (0, T ) × Ω. Pro dané funkce aij , bi , c : QT 7→ R, i, j = 1, . . . , d definujme lineární diferenciální operátor Lu := − div(A∇u) + b · ∇u + cu. Budeme hledat slabé řešení úlohy u0 + Lu = f u(0, ·) = a0 u = u0

na QT

(parabolická evoluční rovnice)

na Ω

(počáteční hodnota)

na (0, T ) × ∂Ω (nehomogenní Dirichletova okrajová podmínka),

kde f : QT 7→ R, a0 : Ω 7→ R a u0 : (0, T ) × ∂Ω 7→ R. Technické předpoklady (A0) Ω je třídy C 0,1 (A1) ∃α > 0 : Aξ · ξ ≥ α|ξ|2

pro všechna ξ ∈ Rd a skoro všechna (t, x) ∈ QT

(A2) aij , bi , c ∈ L∞ (QT ) (A3) f ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) (A4) a0 ∈ L2 (Ω) (A5) ∃˜ u0 ∈ L2 (0, T ; W 1,2 (Ω)) ∩ L∞ (0, T ; L2 (Ω)), u ˜00 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) takové, že T u ˜0 |∂Ω = u0

(T je operátor stop) pro skoro všechna t ∈ (0, T ).

K operátoru L a času t ∈ (0, T ) zaveďme operátor A(t) : W 1,2 (Ω) 7→ (W01,2 (Ω))∗ předpisem Z hA(t)v, ϕi := A(t, ·)∇v · ∇ϕ + b(t, ·) · ∇vϕ + c(t, ·)vϕ dx Ω

kde v ∈ W

1,2

(Ω) a ϕ ∈

W01,2 (Ω).

PDR

61

Definice 6.1. Zobrazení u je slabým řešením parabolické evoluční rovnice, jestliže u−u ˜0 ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)),

u0 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ),

u(0) = a0 a (6.1)

hu0 (t), ϕi + hA(t)u(t), ϕi = hf (t), ϕi

∀ϕ ∈ W01,2 (Ω) a s.v. t ∈ (0, T ).

V definici se ve všech třech případech bere dualita mezi prostory (W01,2 (Ω))∗ a W01,2 (Ω). Časová derivace na levé straně je slabá. Platnost pro skoro všechna t ∈ (0, T ) je chápána jako pro všechna t ∈ (0, T ) \ N , kde |N | = 0 a tato množina je nezávislá na volbě ϕ. Poznámka 6.2. Díky k tvrzení o existenci slabé časové derivace je první člen na d (u(t), ϕ)L2 (Ω) . levé straně (6.1) totožný s dt Vzhledem k tomu, že časová derivace v (6.1) je slabá, rovnici čteme jako Z T Z T − (u(t), ϕ)L2 (Ω) Φ0 (t)+hA(t)u(t), ϕiΦ(t) dt = hf (t), ϕiΦ(t) dt ∀Φ ∈ D((0, T )). 0

0

Podle druhé části tvrzení o vlastnostech prostorů W 1,p (0, T ; X) dostáváme, že u, u ˜0 ∈ C([0, T ], L2 (Ω)). Lemma 6.3. Existují C1 , C2 > 0 takové, že pro všechna ϕ, v ∈ W01,2 (Ω), w ∈ W 1,2 (Ω) a skoro všechna t ∈ (0, T ) platí α hA(t)v, vi ≥ k∇vk22 − C1 kvk22 2 a |hA(t)w, ϕi| ≤ C2 kwk1,2 kϕk1,2 . Důkaz. Druhou nerovnost dostaneme snadno aplikací Hölderovy nerovnosti a (A2) a ϕ, w ∈ W 1,2 (Ω) na integrální zápis hA(t)w, ϕi. Použijeme-li také (A1) a nakonec ještě Youngovu nerovnost Z 2 αk∇vk2 ≤ A(t, ·)∇v · ∇v Ω Z = hA(t)v, vi − b(t, ·) · ∇vv + c(t, ·)v 2 Ω

≤ hA(t)v, vi + Ck∇vk2 kvk2 + Ckvk22 C α ≤ hA(t)v, vi + k∇vk2 + kvk22 + Ckvk22 , 2 α z čehož požadovanou nerovnost získáme snadnou úpravou.

Věta 6.4. Existuje právě jedno slabé řešení parabolické rovnice. Navíc splňuje nerovnost Z T Z T sup ku(t)k22 + k∇u(s)k22 ds ≤ C(T ) ka0 k22 + kf (s)k2(W 1,2 (Ω))∗ ds t∈(0,T )

0

0

0

+ sup

k˜ u0 (t)k22

t∈(0,T )

Speciálně u ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)).

Z + 0

!

T

k˜ u0 (s)k21,2

+

k˜ u00 (s)k2(W 1,2 (Ω))∗ 0

ds .

62

PDR

Důkaz. Nejprve dokážeme jednoznačnost za předpokladu, že už máme dokázán odhad ze znění věty. Pak dokážeme zmíněný odhad za předpokladu existence a na závěr existenci v několika krocích. Jednoznačnost. Jsou-li u, v dvě slabá řešení, pak u − v řeší úlohu s nulovými vstupními daty f, a0 , u0 a z odhadu plyne u = v (pro všechna t patří do téže třídy sobolevovských funkcí). Odhad. Předpokládejme, že u je slabé řešení a s ∈ (0, T ) je takové, že v něm platí (6.1). Otestujeme slabou formulaci funkcí ϕ = u(s) − u ˜0 (s) a upravujeme (argument s dále pro jednoduchost nepíšeme) hf, u − u ˜0 i = hu0 , u − u ˜0 i + hAu, u − u ˜0 i = hu0 − u ˜00 , u − u ˜0 i + hA(u − u ˜0 ), u − u ˜0 i + h˜ u00 , u − u ˜0 i + hA˜ u0 , u − u ˜0 i. Dva členy nejvíce napravo převedeme na druhou stranu a rovnost integrujeme (ještě prohodíme levou a pravou stranu) Z t hu0 − u ˜00 , u − u ˜0 i+hA(u − u ˜0 ), u − u ˜0 i ds 0 Z t = hf, u − u ˜0 i − h˜ u00 , u − u ˜0 i − hA˜ u0 , u − u ˜0 i ds. 0

Na první člen nalevo použijeme bochnerovské per-partes (připomeňme H = L2 (Ω)), druhý člen odhadneme pomocí první nerovnosti z předchozího lemmatu (člen se záporným znaménkem převádíme napravo), na členy pravé strany použijeme definici operátorové normy, druhou nerovnost z předchozího lemmatu a Friedrichsovu nerovnost Z 1 α t 1 ku(t) − u ˜0 (t)k22 − ku(0) − u ˜0 (0)k22 + k∇(u − u ˜0 )k22 ds 2 2 2 0 Z t ≤ C1 ku − u ˜0 k22 ds 0 Z t +C kf k(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ u00 k(W 1,2 (Ω))∗ k∇(u − u ˜0 )k2 ds 0 0 0 Z t +C k˜ u0 k1,2 k∇(u − u ˜0 )k2 ds. 0

Dále použijeme vhodnou Youngovu nerovnost na poslední dva integrály napravo (aby součet integrálů z k∇(u−˜ u0 )(s)k22 napravo měl menší multiplikativní konstantu α než 2 ) a snadno pak dostáváme (připomeňme u(0) = a0 ) (6.2) Z t ku(t) − u ˜0 (t)k22 + k∇(u − u ˜0 )k22 ds 0 Z t ≤ Cka0 − u ˜0 (0)k22 + C ku − u ˜0 k22 ds 0 Z t +C kf k2(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ u00 k2(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ u0 k21,2 ds. 0

u ˜0 (t)k22 .

0

0

Nyní odhadneme ku(t) − Uvědomíme si, že předchozí nerovnost zůstává v platnosti i po vynechání druhého členu nalevo, čímž dostáváme tvar vhodný pro

PDR

63

aplikaci Gronwallova lemmatu (ii) na spojitou (viz poznámka za definicí slabého řešení) funkci y(t) = ku(t) − u ˜0 (t)k22 , β ≡ C a za neklesající α(t) bereme celou pravou stranu po vynechání druhého členu ku(t) − u ˜0 (t)k22 ≤ C(T ) ka0 − u ˜0 (0)k22 (6.3)

!

T

Z + 0

kf k2(W 1,2 (Ω))∗ 0

+

k˜ u00 k2(W 1,2 (Ω))∗

+

0

k˜ u0 k21,2

ds .

Nyní máme ku(t)k22 = ku(t) − u ˜0 (t) + u ˜0 (t)k22 ≤ Cku(t) − u ˜0 (t)k22 + Ck˜ u0 (t)k22 (6.4)

≤ Cku(t) − u ˜0 (t)k22 + C sup k˜ u0 (t)k22 t∈(0,T )

a ka0 − u ˜0 (0)k22 ≤ Cka0 k22 + Ck˜ u0 (0)k22 ≤ Cka0 k22 + C sup k˜ u0 (t)k22 . t∈(0,T )

Z posledních tří nerovností plyne, že veličina supt∈(0,T ) ku(t)k22 je odhadnuta pravou stranou dokazované nerovnosti. Zbývá odhadnout druhý člen levé strany (6.2) v případě t = T . Integrujemeli (6.3) přes (0, T ) zjišťujeme, že pro t = T je druhý člen pravé strany (6.2) odhadnut ostatními, proto Z T k∇(u − u ˜0 )k22 ds ≤ C(T ) ka0 − u ˜0 (0)k22 0

Z + 0

!

T

u0 k21,2 ds . u00 k2(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ kf k2(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ 0

0

Nyní ka0 − u ˜0 (0)k22 odhadneme jako výše, na levou stranu použijeme trojúhelníRT kovou nerovnost (podobně jako v (6.4)), přičemž přebytečný člen 0 k∇˜ u0 k22 ds je odhadnut posledním členem napravo. Tím je důkaz odhadu dokončen. Existence. Krok 1 - Galerkinova aproximativní řešení um a jejich existence. Nechť {wk } je spočetná báze prostoru W01,2 (Ω) tvořená vlasními funkcemi Laplaceova operátoru. Tato báze je ortonormální vůči normě na L2 (Ω) a ortogonální vůči Dirichletově normě na W01,2 (Ω). Pro pevně zvolené m ∈ N je Galerkinovo aproximativní řešení dáno vztahy um (t, x) =

m X

dm ˜0 (t, x), k (t)wk (x) + u

k=1

kde dm k : (0, T ) 7→ R pro k = 1, . . . , m, hu0m (t), wk i + hA(t)um (t), wk i = hf (t), wk i

∀k ∈ {1, . . . , m} a s.v. t ∈ (0, T )

a um (0) − u ˜0 (0) = Pm (a0 − u ˜0 (0)), kde Pm je ortogonální projekce do span{w1 , . . . , wm } vůči skalárnímu součinu na L2 (Ω). Upravíme-li první člen nalevo podle poznámky za tvrzením o existenci časové

64

PDR

derivace, tedy hu0m (t), wk i = bez indexu), máme

d dt (um (t), wk )

(skalární součin na L2 (Ω) dále píšeme

m m X X d m dj (t)(wj , wk ) + dm j (t)hA(t)wj , wk i dt j=1 j=1

(6.5)

= hf (t), wk i − h˜ u00 (t), wk i − hA(t)˜ u0 (t), wk i. Počáteční podmínka přechází v m X

dm k (0)wk =

k=1

m X

(a0 − u ˜0 (0), wk )wk ⇐⇒ dm ˜0 (0), wk ) ∀k = 1, . . . , m. k (0) = (a0 − u

k=1 m

m Značíme-li d (t) = (dm 1 (t), . . . , dm (t)), lze soustavu rovnic z (6.5) (v prvním členu na levé straně použijeme ortogonalitu) číst jako

dm˙(t) + M (t)dm (t) = b(t) (M (t) je matice a b(t) vektor). Ověřme ještě Caratheodoryovy podmínky pro funkci f (t, y) = b(t) − M (t)y, abychom dostali existenci aproximativního řešení. Spojitost vůči y je zřejmá (dokonce lipschitzovskost), měřitelnost vůči t se ověří postupně z definic výše (vždy lze aproximovat jednoduchými funkcemi), při hledání integrovatelných majorant zřejmě stačí odhadnout kM (t)kL1 ((0,T )) a kb(t)kL1 ((0,T )) . Odhad první veličiny nám dává Lemma 6.3 (dokonce omezenost) a druhou odhadneme pomocí Hölderovy nerovnosti, technických předpokladů a Lemmatu 6.3. Dostáváme tedy řešení v podobě kolekce absolutně spojitých koeficientů dm k , které mají pro skoro všechna t klasickou časovou derivaci a pro tato t splňují požadovanou diferenciální rovnici. Tuto rovnici splňují i ve slabém smyslu, neboť absolutně spojité funkce jsou diferencovatelné skoro všude, slabě diferencovatelné a platí pro ně per-partes. Krok 2 - Stejnoměrné odhady (vzhledem k m ∈ N). Zafixujme m ∈ N. Rovnici aproximativního řešení um můžeme zřejmě testovat um − u ˜0 , dostáváme hu0m , um − u ˜0 i + hAum , um − u ˜0 i = hf, um − u ˜0 i, neboli h(um − u ˜0 )0 , um − u ˜0 i + hA(um − u ˜0 ), um − u ˜0 i = hf, um − u ˜0 i − h˜ u00 , um − u ˜0 i − hA˜ u0 , um − u ˜0 i. Pomocí Lemmatu 6.3, technických předpokladů, Hölderovy nerovnosti a Friedrichsovy nerovnosti dostáváme α ˜0 )k22 h(um − u ˜0 )0 , um − u ˜0 i + k∇(um − u 2 ˜0 )k2 + Ck˜ u00 k(W 1,2 (Ω))∗ k∇(um − u ˜0 )k2 ≤ Ckum − u ˜0 k22 + Ckf k(W 1,2 (Ω))∗ k∇(um − u 0

0

+ Ck˜ u0 k1,2 k∇(um − u ˜0 )k2 a odtud s využitím Youngovy nerovnosti (6.6) h(um − u ˜0 )0 , um − u ˜0 i + k∇(um − u ˜0 )k22 ≤ Ckum − u ˜0 k22 + Ckf k2(W 1,2 (Ω))∗ + Ck˜ u00 k2(W 1,2 (Ω))∗ + Ck˜ u0 k21,2 . 0

0

PDR

65

V získané nerovnosti vypustíme druhý člen nalevo (je nezáporný), integrujeme přes (0, t), použijeme bochnerovské per-partes, technické předpoklady, odhad kum (0) − u ˜0 (0)k2 = kPm (a0 − u ˜0 (0))k2 ≤ ka0 − u ˜0 (0)k2 ≤ ka0 k2 + k˜ u0 (0)k2 ≤ C a po vynásobení nerovnice dvěma dostáváme kum (t) − u ˜0 (t)k22 ≤ kum (0) − u ˜0 (0)k22 + C

Z

t

kum − u ˜0 k22 ds

0 T

Z

kf k2(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ u00 k2(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ u0 k21,2 ds

+C

0

0

0

t

Z

kum − u ˜0 k22 ds.

=C +C 0

Aplikace Gronwallova lemmatu (ii) s volbou α ≡ C a β ≡ C dává kum (t) − u ˜0 (t)k22 ≤ C exp(C) = C a proto (6.7) sup kum (t) − u ˜0 (t)k22 ≤ C

a také

t∈(0,T )

m sup max{|dm 1 (t)|, . . . , |dm (t)|} ≤ C. t∈(0,T )

Nyní v (6.6) převedeme první člen nalevo na druhou stranu, integrujeme přes (0, T ), pak první člen napravo (vzniklý z bochnerovského per-partes) odhadneme jako výše, druhý je nekladný, třetí odhadneme pomocí (6.7), na zbylé použijeme technické předpoklady (6.8) Z T k∇(um − u ˜0 )k22 ds 0

≤

Z T 1 1 kum (0) − u ˜0 (0)k22 − kum (T ) − u ˜0 (T )k22 + C kum − u ˜0 k22 ds 2 2 0 Z T +C kf k2(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ u00 k(W 1,2 (Ω))∗ + k˜ u00 k21,2 ds 0

0

0

≤ C. Odhadněme ještě časovou derivaci. Nechť ϕ ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)). Pak z konstrukce aproximativního řešení plyne (um − u ˜0 )0 (t) ∈ span{w1 , . . . , wm } a proto h(um − u ˜0 )0 , ϕi = h(um − u ˜0 )0 , Pm ϕi = hf, Pm ϕi − hAum , Pm ϕi − h˜ u00 , Pm ϕi. Díky Lemmatu 6.3, (A3), (A5) a Friedrichsově nerovnosti dostáváme |h(um − u ˜0 )0 , ϕi| ≤ Ckf k(W 1,2 (Ω))∗ k∇(Pm ϕ)k2 + Ck∇um k2 k∇(Pm ϕ)k2 0

+ Ck˜ u00 k(W 1,2 (Ω))∗ k∇(Pm ϕ)k2 . 0

Dále projekce Pm je neexpanzivní i na W01,2 (Ω) (bázové funkce jsou na sebe kolmé jak v L2 (Ω) tak i v W01,2 (Ω)). Proto z předchozí nerovnosti získáme integrací a

66

PDR

užitím Hölderovy nerovnosti, (A3), (6.8) a (A5) Z T |h(um − u ˜0 )0 , ϕi| ds 0 T

Z ≤C 0

˜0 )k2 k∇(Pm ϕ)k2 kf k(W 1,2 (Ω))∗ k∇(Pm ϕ)k2 + k∇(um − u 0

+ k∇˜ u0 k2 k∇(Pm ϕ)k2 + k˜ u00 k(W 1,2 (Ω))∗ k∇(Pm ϕ)k2 ds 0

≤ C(C + C + C + C)kϕkL2 (0,T ;W 1,2 (Ω)) . 0

Konečně, podle charakterizace duálu Bochner-Lebesgueových prostorů dostáváme z předchozí nerovnosti (6.9) k(um − u ˜0 )0 kL2 (0,T ;(W 1,2 (Ω))∗ ) = k(um − u ˜0 )0 k(L2 (0,T ;W 1,2 (Ω))∗ 0

=

0

sup kϕk

≤1 1,2 L2 (0,T ;W0 (Ω))

h(um − u ˜0 )0 , ϕiL2 (0,T ;(W 1,2 (Ω))∗ ),L2 (0,T ;W 1,2 (Ω)) ≤ C. 0

0

Krok 3 - limitní přechod. Díky (6.8) a (6.9) můžeme po přechodu k podposloupnosti předpokládat um − u ˜0 * v (um − u ˜0 )0 * v 0

v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ )

(limity si skutečně odpovídají podle tvrzení o vztahu slabé časové derivace a slabé konvergence). Položme u = v + u ˜0 , což je náš kandidát na slabé řešení. První požadovaná vlastnost u − u ˜0 ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) je zřejmě splněna. Vlastnost u0 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) plyne z (A5) a druhé ze slabých konvergencí. Zbylé vlastnosti z definice slabého řešení dokážeme v následujících krocích. Krok 4 - ověření, že u splňuje slabou formulaci. Nejprve budeme slabou formulaci testovat jen bázovou funkcí wk , kde k ∈ N je pevné. Pro libovolné m ≥ k, je pak wk přípustná jako textovací funkce pro aproximativní řešení um . Odpovídající rovnici přenásobíme funkcí Φ ∈ D(R) a integrujme vzniklý součin přes (0, T ) Z T (6.10) hu0m (s), wk iΦ(s) + hA(s)um (s), wk iΦ(s) − hf (s), wk iΦ(s) ds = 0. 0

Tvrdíme, že platí Z I1 :=

T

hu0m (s) − u0 (s), wk Φ(s)i ds → 0

0

a Z

T

hA(s)(um (s) − u(s)), wk iΦ(s) ds → 0.

I2 := 0

Skutečně, z omezenosti Φ plyne wk Φ ∈ L2 (0, T, W01,2 (Ω)) a proto díky u0m * u0 v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) dostáváme I1 → 0. Dále, díky integrální definici hA(s)v, wi a Lemmatu 6.3 je pro pevné w ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) zobrazení Z T v 7→ hA(s)v(s), w(s)i ds 0

spojitý lineární funkcionál na L (0, T ; W01,2 (Ω)). Protože wk Φ ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) a um * u v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)), dostáváme I2 → 0. 2

PDR

67

Máme proto Z T hu0 (s), wk iΦ(s) + hA(s)u(s), wk iΦ(s) − hf (s), wk iΦ(s) ds = 0

∀k ∈ N.

0

Předchozí identita zřejmě platí i pro lineární kombinace konečného počtu bázových funkcí. Ukážeme, že platí dokonce pro libovolnou ϕ ∈ W01,2 (Ω). Nechť ϕk ∈ span{w1 , . . . , wk }, k ∈ N, jsou takové, že ϕk → ϕ ve W01,2 (Ω). Tvrdíme, že Z T I3 := hu0 (s), ϕk − ϕiΦ(s) ds → 0 0 T

Z

hA(s)u(s), ϕk − ϕiΦ(s) ds → 0

I4 := 0 T

Z

hf (s), ϕk − ϕiΦ(s) ds → 0.

I5 := 0

Dokažme tento mezivýsledek. Nejprve použijeme definici operátorové normy, Hölderovu nerovnost a u0 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) Z T |I3 | ≤ ku0 k(W 1,2 (Ω))∗ kϕk − ϕkW 1,2 (Ω) C ds 0

0

≤C

Z 0

T

0

12 21 (ku0 k2(W 1,2 (Ω))∗ ) ds → 0. kϕk − ϕk2W 1,2 (Ω) 0

0

Nyní díky Lemmatu 6.3 a Hölderově nerovnosti dostáváme Z T |I4 | ≤ C kukW 1,2 (Ω) kϕk − ϕkW 1,2 (Ω) ds → 0. 0

0

Konečně, I5 → 0 se ukáže podobně jako I3 → 0, neboť předpokládáme (A3). Shrneme-li dosavadní výsledky, máme Z T hu0 (s), ϕiΦ(s)+hA(s)u(s), ϕiΦ(s)−hf (s), ϕiΦ(s) ds = 0 ∀Φ ∈ D((0, T )) ∀ϕ ∈ W01,2 (Ω) 0

a proto podle du Bois-Reymondova lemmatu u splňuje (6.1). Krok 5 - ověření, že u splňuje počáteční podmínku. Pokud v rovnici (6.10) uvažujeme Φ ∈ D((−∞, T )) a na první člen přepsaný do tvaru hu0m (s), wk Φ(s)i použijeme bochnerovské per-partes, máme Z T −hwk Φ0 (s), um (s)i + hA(s)um (s), wk iΦ(s) − hf (s), wk iΦ(s) ds (6.11) 0 = (um (0), wk )Φ(0) = (Pm (a0 − u ˜0 (0)) + u ˜0 (0), wk )Φ(0). V dalším využijeme (6.11) k odvození (6.12) Z T −hϕΦ0 (s), u(s)i + hA(s)u(s), ϕiΦ(s) − hf (s), ϕiΦ(s) ds = (a0 , ϕ)Φ(0) ∀ϕ ∈ W01,2 (Ω). 0

Nejprve v identitě (6.11) provedeme limitní přechod m → ∞. Budeme postupovat jako ve čtvrtém kroku. Integrály na levé straně roztrhneme na tři a ukážeme, že vzájemně si odpovídající integrály v identitě (6.11) a v její verzi s u na místě um k

68

PDR

sobě konvergují a že k sobě rovněž konvergují pravé strany, čímž začneme nejdříve. Konvergence (Pm (a0 − u ˜0 (0)) + u ˜0 (0), wk ) → (a0 − u ˜0 (0) + u ˜0 (0), wk ) = (a0 , wk ) se snadno ukáže pomocí Hölderovy nerovnosti a základních vlastností hilbertovských Fourierových řad. Požadovanou konvergenci druhého a třetího integrálu na levé straně (6.11) jsme již ukázalali v předchozím kroku. Zbývá ukázat, že Z T hwk Φ0 (s), um (s) − u(s)i ds → 0. I6 := 0

Protože Φ je omezená a wk ∈ W01,2 (Ω) ,→ (W01,2 (Ω))∗ , snadno nahlédneme, že v I6 jen testujeme slabou konvergenci um − u * 0 v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) jedním z přípustných funkcionálů. Odtud I6 → 0. Zbývá ukázat, že (6.12) můžeme testovat obecnou ϕ ∈ W01,2 (Ω), zatím jsme to ukázali jen pro bázové funkce wk , potažmo lineární kombinace konečného počtu takových funkcí. Nechť tedy ϕk ∈ span{w1 , . . . , wk }, k ∈ N, jsou takové, že ϕk → ϕ ve W01,2 (Ω). Protože a0 ∈ L2 (Ω), snadno (a0 , ϕk ) → (a0 , ϕ). Konvergenci druhého a třetího integrálu na levé straně (6.12) jsme již ukázali v předchozím kroku. Zbývá ukázat Z 0

T

h(ϕk − ϕ)Φ0 (s), u(s)i ds → 0.

I7 := 0

Protože ϕk → ϕ ve W01,2 (Ω) ,→ L2 (Ω), máme Z Z T |I7 | = (ϕk − ϕ)Φ0 (s), u(s) ds ≤ max |Φ0 (s)| s∈[0,T ]

0

Z ≤C

T

|(ϕk − ϕ, u(s))| ds

0

T

kϕk − ϕk2 ku(s)k2 ds → 0. 0

Tím jsme dokončili důkaz (6.12). Nyní si odvodíme identitu, se kterou budeme (6.12) porovnávat. Řešení u otestujeme funkcí ϕ ∈ W01,2 (Ω), vzniklou rovnici přenásobíme funkcí Φ ∈ D((−∞, T )), integrujme součin přes (0, T ) a na první člen přepsaný do tvaru hu0 (s), ϕΦ(t)i použijeme bochnerovské per-partes (tentýž proces, co vedl k (6.11)). Dostáváme (6.13) Z T −hϕΦ0 (s), u(s)i + hA(s)u(s), ϕiΦ(s) − hf (s), ϕiΦ(s) dt = (u(0), ϕ)Φ(0). 0

Odečtením (6.12) od (6.13) získáváme Z Z a0 ϕ = (a0 , ϕ) = (u(0), ϕ) = u(0)ϕ Ω

∀ϕ ∈ W01,2 (Ω)

Ω

a du Bois-Reymondovo lemma dává dokazovanou rovnost u(0) = a0 skoro všude v Ω. Tím je důkaz věty dokončen. Věta 6.5 (Regularita řešení parabolické rovnice). Nechť platí technické předpoklady ze začátku kapitoly a navíc pro všechna i, j = 1, . . . , d aij = aji , u ˜0 ≡ 0,

aij , bi , c nezávisí na t,

a0 ∈ W01,2 (Ω)

a

f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)).

PDR

69

Pak u ∈ L∞ (0, T ; W01,2 (Ω)),

u0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω))

a normy v těchto prostorech jsou odhadnuty normami a0 a f . Pokud je navíc Ω konvexní s dostatečně hladkou hranicí (potřebujeme správnou hladkost vlastních funkcí Laplaceova operátoru a odhad k∇2 um (0)k2 ≤ Ck∆um (0)k2 ) a platí a0 ∈ W 2,2 (Ω)

a

f 0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)),

pak u0 ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) ∩ L∞ (0, T ; L2 (Ω)). Důkaz. Důkaz první části věty. Požadované odhady dokážeme pro galerkinovská aproximativní řešení a pak použijeme konvergenci ke slabému řešení. V naší situaci máme um (t, x) =

m X

dm k (t)wk (x),

k=1

(6.14) (u0m (t), wk ) + hA(t)um (t), wk i = (f (t), wk )

∀k ∈ {1, . . . , m} a s.v. t ∈ (0, T )

(připomeňme, že aproximativní řešení je o něco lepší než slabé: um (t), u0m (t) ∈ W01,2 (Ω), což umožňuje zjednodušený zápis duality, a časová derivace je dokonce klasická skoro všude, dále tentokrát máme f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω))) a um (0) = Pm (a0 ). 0 Vynásobíme k-tou rovnici z definice aproximativního řešení funkcí dm k (t), rozepíšeme hA(t)·, ·i a vzniklé rovnice pak vysčítáme přes k = 1, . . . , m

(6.15)

ku0m k22 +

Z

A∇um · ∇u0m =

Ω

Z Ω

f u0m −

Z

b · ∇um u0m + cum u0m .

Ω

Druhý člen nalevo upravíme s využitím symetrie matice (A∇u0m ·∇um = A∇um · ∇u0m ) a absolutní spojitosti koeficientů dm k (t), napravo použijeme Hölderovu a vhodnou Youngovu nerovnost 1 0 2 1 d ku k + 2 m 2 2 dt

Z

A∇um · ∇um dx ≤ C(kf k22 + k∇um k22 + kum k22 ).

Ω

Násobíme dvěma, integrujme přes (0, t) a použijeme bochnerovskou verzi Newtonovy formule. Výsledek z jedné strany odhadneme s pomocí elipticity matice a počáteční podmínky pro aproximativní řešení (odpovídající člen přesouváme na pravou stranu), pro odhad shora použijeme A2, f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)), a0 ∈ W01,2 (Ω)

70

PDR

a (6.7) (připomeňme u ˜0 ≡ 0) (6.16) Z t ku0m k22 ds + αk∇um (t)k22 0 Z t Z 0 2 ≤ kum k2 ds + A∇um (t) · ∇um (t) dx 0 Ω Z t Z t Z Z d = ku0m k22 ds + A∇um · ∇um dx ds + A∇um (0) · ∇um (0) dx 0 0 ds Ω Ω Z T Z t ≤C k∇um k22 ds + kf k22 + kum k22 ds + k∇Pm (a0 )k22 0 0 Z t k∇um k22 ds ≤C +C 0

kde C nezávisí na m ∈ N a t ∈ (0, T ). Předchozí nerovnost zůstává v platnosti, vynecháme-li první člen nalevo. Na novou nerovnost aplikujeme Gronwallovo lemma (ii) a dostáváme k∇um (t)k22 ≤ C, kde C nezávisí na t. Proto je celá pravá strana v (6.16) odhadnuta konstantou. Celkově Z T (6.17) sup k∇um (t)k22 ≤ C a ku0m k22 ds ≤ C. t∈(0,T )

0

Protože um * u v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)), odhad nalevo spolu s Mazurovým lemmatem dávají (snadno se nahledne, že vk → v v L2 (Ω) a kvk k∞ ≤ C implikuje kvk∞ ≤ C) sup k∇u(t)k22 ≤ C. t∈(0,T )

Omezenost integrálů z ku0m k22 nám po přechodu k podposloupnosti dává u0m * v v L2 (0, T ; L2 (Ω)). Zároveň ale máme u0m * u0 v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) a L2 (0, T ; L2 (Ω)) ,→ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ). Proto v = u0 a u0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)). Důkaz druhé části věty. Nejprve tvrdíme, že pokud na k-tou rovnici z definice aproximativního řešení aplikujeme slabou časovou derivaci, dostáváme Z Z Z Z 0 (6.18) u00m (t)wk + A∇um · ∇wk + (b · ∇um + cum )0 wk = f 0 wk . Ω

Ω

Ω

Ω

= hw0 (t), vi Zasunutí slabé derivace pod integrál nám umožňuje formule z tvrzení o existenci časové derivace. Zbývá ukázat, že všechny uvažované časové derivace jsou v L2 (Ω) a proto se dualita redukuje na skalární součin na L2 (Ω). U všech členů až na první to plyne z předchozích výsledků a předpokladů. Zbývá tedy 00 ukázat u00m (t) ∈ L2 (Ω). Stačí nám studovat vlastnosti dm k . V (6.14) si necháme nalevo jen první člen Z Z Z Z m m X X 0 m m m dm = f w − A d ∇w · ∇w − d b · ∇w w − d cwk2 . k j k j k k j j k ∂ ∂t (w(t), v)

Ω

Ω

j=1

j=1

Ω

Ω

PDR

71

0 Protože f ∈ C(0, T ; L2 (Ω)) a máme (6.7), platí kdm k k2 ≤ C. Dále díky předpokladu 0 2 2 f ∈ L (0, T ; L (Ω)) a větě o existeci slabé derivace Z d f (t)wk = hf 0 (t), wk i = (f 0 (t), wk ) ∈ L2 ((0, T )). dt Ω

Navíc zbytek pravé strany je absolutně spojitá funkce diferencovatelná skoro všude, 0 tedy slabě diferencovatelná a slabá derivace je v L2 ((0, T )) (viz kdm k k2 ≤ C). m 00 2 00 2 2 Celkově dk ∈ L ((0, T )), tedy um ∈ L (0, T ; L (Ω)) a identita (6.18) je dokázána. 0 Vzniklé rovnice v (6.18) vynásobíme dm k (t) a vysčítáme přes k = 1, . . . , m Z Z Z Z 00 0 0 0 0 0 um um + A∇um · ∇um + (b · ∇um + cum ) um = f 0 u0m . Ω

Ω

Ω

Ω

Na levé straně si necháme jen první dva členy, přičemž na ten druhý použijeme elipticitu, napravo použijeme omezenost vstupních dat b, c a vhodný tvar Youngovy nerovnosti (abychom si uplně nevyrušili k∇u0m k22 nalevo) a po úpravě dostáváme Z u00m u0m + C1 k∇u0m k22 ≤ C2 ku0m k22 + kf 0 k22 . Ω

Integrací přes (0, t), respektive přes (0, T ), bochnerovským per-partes aplikovaným na první člen a jednoduchou úpravou dostáváme Z T Z T ku0m (t)k22 + k∇u0m k22 ds ≤ C ku0m (0)k22 + ku0m k22 + kf 0 k22 ds . 0

0

Z předpokladů a dosavadních výsledků umíme odhadnout všechny členy pravé m0 m 00 2 strany až na ten první. Díky spojitosti dm k , dk (viz kdk k2 ≤ C) a f ∈ C([0, T ], L (Ω)) (plyne z předpokladů na f ) můžeme (6.15) vyjádřit pro t = 0 (obecně formule pro slabé řešení platí jen skoro všude; prohození limity a integrálu nám zajistí Lebesgueova věta aplikovaná na tn → 0+ , kde kf (tn ) − f (0)k2 ≤ 2−n kvůli konstrukci majoranty), navíc ve členu s maticí provádíme per-partes s využitím wk ∈ W01,2 (Ω) (pro hladké funkce hraniční členy zmizí, k obecnému případu dokonvergujeme), pak aplikujeme Hölderovu nerovnost ku0m (0)k22 Z Z Z = f (0)u0m (0) − (b · ∇um (0) + cum (0))u0m (0) + div(A∇um (0))u0m (0) Ω Ω Ω 0 ≤ kum (0)k2 kf (0)k2 + Ck∇um (0)k2 + Ckum (0)k2 + Ck∇2 um (0)k2 ≤ Cku0m (0)k2 . V posledním odhadu jsme využili (6.7) (˜ u0 ≡ 0), (6.17) a nerovnost kum (0)k2,2 = kPm (a0 )k2,2 ≤ Cka0 k2,2 ,

(6.19)

jejíž důkaz zatím odložíme. Poslední výpočet implikuje ku0m (0)k2 ≤ C. Celkově jsme dostali Z T (6.20) sup ku0m (t)k22 ≤ C a k∇u0m k22 ds ≤ C. t∈(0,T )

0

Druhá nerovnost zaručuje, že {u0m } je omezená v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)), proto po přechodu k podposloupnosti u0m * v

v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)).

72

PDR

Zároveň už ale víme, že u0m * u0 v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ), proto u0m * u0

v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)),

speciálně u0 ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)).

Konečně, Mazurovo lemma použité na předchozí konvergenci nám spolu s prvním odhadem v (6.20) dává poslední požadovanou vlastnost u0 ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)). Dlužíme ještě důkaz odhadu (6.19). Jsou-li funkce wk dostatečně hladké máme ∆2 um (0) ∈ span{w1 , . . . , wm } a proto kum (0)k22,2 ≤ Ck∇2 um (0)k22 ≤ Ck∆um (0)k22 = C(∆2 um (0), um (0)) = C(∆2 um (0), Pm (a0 )) = C(∆2 um (0), a0 ) = C(∆um (0), ∆a0 ) ≤ Ckum (0)k2,2 ka0 k2,2 a teď stačí použít jen vhodnou Youngovu nerovnost. Tím je důkaz dokončen.

Poznámka 6.6. Odhad k∇2 um (0)k2 ≤ Ck∆um (0)k2 byl odreferován na cvičení. Věta 6.7 (Princip maxima). Nechť platí technické předpoklady ze začátku kapitoly a navíc f ∈ (W01,2 (Ω))∗ je nekladný funkcionál (v ∈ W01,2 (Ω), v ≥ 0 ⇒ hf, vi ≤ 0), c ≥ 0 na QT , u ˜0 ≤ 0 na QT a a0 ≤ 0 na Ω. Pak pro slabé řešení u platí u ≤ 0 skoro všude na QT . Důkaz. Nejprve ukažme, že pro pevné t ∈ (0, T ) platí u+ (t) = max{u(t), 0} ∈ W01,2 (Ω). Použijeme myšlenky z důkazu principu maxima ze třetí kapitoly, kde lze rovněž nalézt podrobnosti. Podle jednoho z domácích úkolů máme u+ (t) ∈ W 1,2 (Ω). Dále u+ ≥ 0 implikuje T u+ ≥ 0, neboť operátor stop zachovává nerovnosti. Nyní máme díky předpokladu u ˜0 ≤ 0 u+ = (u − u ˜0 + u ˜0 )+ ≤ (u − u ˜ 0 )+ . Stačí tedy ukázat, že T (u − u ˜0 )+ ≤ 0, což se dá získat z vlastnosti u − u ˜0 ∈ W01,2 (Ω) (pro hladkou funkci je důkaz zřejmý, k obecné se dokonverguje, viz třetí kapitola). Dále ukážme, že Z t ku+ (t)k22 − ku+ (0)k22 = 2 hu0 , u+ i. 0

Pokud u ∈ C 1 ([0, T ], L2 (Ω)), integrace per-partes dává Z t Z tZ Z tZ 2 2 0 0 ku+ (t)k2 − ku+ (0)k2 = 2 (u+ , u+ ) = 2 u+ u+ = 2 0

0

Z tZ =2 0

{u>0}

u0 u+ = 2

Ω

0

Z tZ 0

Ω

u0 u+ = 2

Z

u0+ u+

{u>0} t 0

(u , u+ ).

0

V obecném případě použijeme hustotu hladkých zobrazení v W 1,2 (0, T ; W 1,2 (Ω)) a s formulí zakonvergujeme. Při limitním přechodu na levé straně používáme spojité vnoření do C([0, T ], L2 (Ω)), na pravé straně u0n → u0 v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) a u+ − (un )+ → 0 v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) (ve třetí kapitole bylo vn → v ve W 1,2 (Ω) =⇒ |vn | → |v| ve W 1,2 (Ω), cehož důkaz modifikujme na náš případ: |un | jsou omezené v L2 (0, T ; W 1,2 (Ω)), po přechodu k podposloupnosti mají slabou limitu a to musí být |u|, neboť un → u v L2 (0, T ; L2 (Ω)). Přechod k absolutní hodnotě zachovává

PDR

73

W 1,2 (Ω)-normu, proto k|un |kL2 (0,T ;W 1,2 (Ω)) → k|u|kL2 (0,T ;W 1,2 (Ω)) a slabá konvergence je díky uniformní konvexitě normová) spolu s rovností Z t Z t Z t 0 0 0 0 hu , u+ i − hun , (un )+ i ds = hu − un , u+ i ds + hu0n , u+ − (un )+ i ds. 0

0

0

Nyní přistupme k hlavní části důkazu. Pro pevné t ∈ (0, T ) otestujme slabou formulaci (6.1) funkcí u+ (t). Dostáváme Z 0 hu , u+ i + A∇u · ∇u+ + b · ∇uu+ + cuu+ dx = hf, u+ i ≤ 0. Ω

Odtud s využitím c ≥ 0 a Hölderovy nerovnosti Z Z Z 0 2 hu , u+ i + A∇u+ · ∇u+ dx ≤ − b · ∇u+ u+ + cu+ dx ≤ |b||∇u+ |u+ dx Ω

Ω

Ω

≤ kbk∞ k∇u+ k2 ku+ k2 . Pokud nyní na druhý člen nalevo použijeme elipticitu a na pravé straně vhodnou Youngovu nerovnost, máme hu0 , u+ i ≤ Cku+ k22 . Odtud získáme integrací a užitím výše dokázané identity pro hu0 , u+ i Z t 2 2 ku+ (t)k2 − ku+ (0)k2 ≤ C ku+ k22 ds. 0

Gronwallovo lemma (ii) pak dává (je třeba ukázat, že t 7→ ku+ (t)k22 je spojité: protože t 7→ u(t) je spojité zobrazení do L2 (Ω), je spojité i t 7→ u+ (t), atd.) ku+ k22 ≤ ku+ (0)k22 exp(Ct) = Ck(a0 )+ k22 = 0 a proto u musí být nekladné.

7. Lineární hyperbolické rovnice druhého řádu Budeme hledat slabé řešení úlohy u00 + Lu = f u(0, ·) = a0 0

u (0, ·) = a1

na QT

(hyperbolická evoluční rovnice)

na Ω

(počáteční výchylka)

na Ω

(počáteční rychlost)

u = 0 na (0, T ) × ∂Ω (Dirichletova okrajová podmínka), kde f : QT 7→ R, a0 , a1 : Ω 7→ R. Technické předpoklady (o něco přísnější než u parabolických rovnic) (A0) Ω je třídy C 0,1 (A1) ∃α > 0 : Aξ · ξ ≥ α|ξ|2

pro všechna ξ ∈ Rd a skoro všechna (t, x) ∈ QT

(A2) aij , bi , c ∈ W 1,∞ (QT ), aij = aji (A3) f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) (A4) a0 ∈ W01,2 (Ω), a1 ∈ L2 (Ω).

74

PDR

Definice 7.1. Zobrazení u je slabým řešením hyperbolické evoluční rovnice, jestliže u ∈ L∞ (0, T ; W01,2 (Ω)),

u0 ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)), u(0) = a0 ,

u00 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ),

u0 (0) = a1

a (7.1)

∀ϕ ∈ W01,2 (Ω) a s.v. t ∈ (0, T ).

hu00 (t), ϕi + hA(t)u(t), ϕi = hf (t), ϕi

V definici se ve všech třech případech bere dualita mezi prostory (W01,2 (Ω))∗ a W01,2 (Ω). Časová derivace na levé straně je slabá. Platnost pro skoro všechna t ∈ (0, T ) je chápána jako pro všechna t ∈ (0, T ) \ N , kde |N | = 0 a tato množina je nezávislá na volbě ϕ. Poznámka 7.2. Díky tvrzení o existenci slabé časové derivace je první člen na levé d2 straně (7.1) totožný s dt 2 (u(t), ϕ)L2 (Ω) . Vzhledem k tomu, že časová derivace v (7.1) je slabá, rovnici čteme jako Z T Z T (u(t), ϕ)Φ00 (t) + hA(t)u(t), ϕiΦ(t) dt = hf (t), ϕiΦ(t) dt ∀Φ ∈ D((0, T )). 0

0

Podle druhé části tvrzení o vlastnostech prostorů W 1,p (0, T ; X) dostáváme, že u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)). Dále u0 ∈ C([0, T ], (W01,2 (Ω))∗ ), k čemuž podle sekce 5.9.2 Evansovy knihy (kde jsou Bochner-Sobolevovy prostory definovány jinak, poměrně krátký důkaz používá konvoluční zhlazení) postačuje u0 , u00 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ). Poznámka 7.3. Jsou-li vstupní data dostatečně hladká, požadavek symetrie matice A v podmínce A2 se týká jen zápisu úlohy. Skutečně, pro klasické řešení platí A − A> A + A> ∇u − div ∇u . − div(A∇u) = − div 2 2 V prvním členu již máme symetrickou matici, zatímco druhý je stejného typu jako b · ∇u, neboť div

A − A> 2

d d 1 X ∂(aij − aji ) ∂u ∂2u 1 X ∇u = (aij − aji ) + 2 i,j=1 ∂xj ∂xi 2 i,j=1 ∂xi ∂xj

a druhý člen na pravé straně poslední formule je nulový. Podobně se dá postupovat i ve slabé formulaci, kde nejprve řešení aproximujeme posloupností hladkých funkcí {un }, pro které můžeme použít per-partes a tím dostat situaci z výpočtu uvedeného ∂(aij −aji ) výše. Protože však členy chceme přičíst k odpovídajícím složkám vektoru b ∂xj 1,∞ a zachovat příslušnost do W (QT ), je vhodné požadovat aij ∈ W 2,∞ (QT ). Lemma 7.4 (Jiná varianta věty o per-partes). Nechť r ∈ (0, T ), u0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)), u00 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) a v, v 0 ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)). Pak Z r Z r Z Z hu00 (t), v(t)i dt = − hu0 (t), v 0 (t)i dt + u0 (r)v(r) dx − u0 (0)v(0) dx. 0

0

Ω

Ω

Důkaz. Pro libovolné δ ∈ (0, T − r) definujme pomocná zobrazení Z 1 t+δ 0 gδ (t) = u (s) ds. δ t

PDR

75

Tvrdíme, že kdykoliv δn ∈ (0, T − r) splňují δn → 0, pak (7.2) Z r Z rZ Z r hgδ0 n , vi dt = lim gδ0 n v dx dt hu00 , vi dt = lim n→∞ n→∞ 0 0 0 Z Ω Z Z rZ 0 gδn v dx dt + gδn (r)v(r) dx − gδn (0)v(0) dx = lim − n→∞ 0 Ω Ω Ω Z r Z Z =− hu0 (t), v 0 (t)i dt + u0 (r)v(r) dx − u0 (0)v(0) dx. 0

Ω

Ω

Vysvětlení první rovnosti zatím odložíme. Druhá rovnost plyne z toho, že gδ0 n zobrazuje do L2 (Ω) (viz (7.3) níže). Ve třetí používáme per-partes vůči Gelfandově trojici, kde jsou všechny tři prostory rovny L2 (Ω), zde v má zřejmě požadované kvality, snadno gδn ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) a podle bochnerovské verze základní věty integrálního počtu gδ0 n (t) =

(7.3)

1 d δn dt

Z

t+δn

u0 (s) ds =

t

u0 (t + δn ) − u0 (t) ∈ L2 (0, r; L2 (Ω)). δn

Ve čtvrté rovnosti jsme použili u0 ∈ C([0, T ]; (W01,2 (Ω))∗ ), v ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) a také u0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) ke zjednodušení zápisu dualit (šel by zjednodušit i první člen pravé strany). Zbývá první rovnost. Stačí ukázat, že u00 − gδ0 n → 0 v L2 (0, r; (W01,2 (Ω))∗ ). Nejprve použijeme (7.3) a bochnerovskou verzi Newtonova vzorce (připomeňme u00 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ )) 00

u (t) −

gδ0 n (t)

u0 (t + δn ) − u0 (t) 1 = u (t) − = u00 (t) − δn δn Z δn 1 u00 (t) − u00 (t + τ ) dτ. = δn 0 00

Z

δn

u00 (t + τ ) dτ

0

Dále tvrdíme, že poslední rovnost implikuje pro skoro všechna t ∈ (0, r) (7.4) ku00 (t) − gδ0 n (t)k(W 1,2 (Ω))∗ ≤ 0

1 δn

Z 0

δn

ku00 (t) − u00 (t + τ )k(W 1,2 (Ω))∗ dτ → 0. 0

Nerovnost plyne z Bochnerovy věty a konvergence skoro všude je verzí věty o tom, že skoro každý bod definičního oboru L1 -funkce je bodem Lebesgueovým (oproti standardní verzi zde máme jen pravostranné intervaly a pracujeme v Bochnerově prostoru). Základními ingrediencemi důkazu jsou aproximace spojitými zobrazeními (silná měřitelnost nám dává aproximaci jednoduchými zobrazeními a ta se dají aproximovat spojitými pomocí metody z důkazu tvrzení o vlastnostech prostorů Lp (0, T ; X)) a Hardy-Littlewoodův odhad maximální funkce (přechod k pravostranným intervalům není podstatný, integrál je jen jednodimenzionální a proto lze stále používat Vitaliho pokrývací větu). Konečně, pro libovolné ε > 0 a libovolnou měřitelnou E ⊂ (0, T ) s dostatečně malou mírou máme díky Bochnerově větě, Jensenově nerovnosti, Fubiniho větě a

76

PDR

absolutní spojitosti Lebesgueova integrálu kombinované s u ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) Z ku00 (t) − gδ0 n (t)k2(W 1,2 (Ω))∗ dt 0

E

Z Z δn

2

1

= u00 (t) − u00 (t + τ ) dτ 1,2 dt

(W0 (Ω))∗ E δn 0 Z Z δn 2 1 ku00 (t) − u00 (t + τ )k(W 1,2 (Ω))∗ dτ dt ≤ 0 E δn 0 Z Z δn 1 ≤ ku00 (t) − u00 (t + τ )k2(W 1,2 (Ω))∗ dτ dt 0 δ E n 0 Z δn Z 1 2ku00 (t)k2(W 1,2 (Ω))∗ + 2ku00 (t + τ )k2(W 1,2 (Ω))∗ dt dτ ≤ 0 0 δn 0 E Z δn 1 ≤ 2ε + 2ε dτ = 4ε. δn 0 Můžeme tedy použít Vitaliho větu o stejné integrovatelnosti (bodová konvergence na množině konečné míry spolu se stejnou integrovatelností implikují L1 -konvergenci) a získat požadovanou konvergenci u00 − gδ0 n → 0 v L2 (0, r; (W01,2 (Ω))∗ ), čímž je důkaz dokončen. Věta 7.5. Existuje jednoznačné slabé řešení hyperbolické rovnice. Důkaz. Jednoznačnost. Nechť u1 a u2 jsou slabá řešení. Pak u = u1 − u2 je slabé řešení problému s volbou a0 ≡ 0, a1 ≡ 0 a f ≡ 0. Naším cílem je dokázat u ≡ 0. Z definice řešení plyne, že u ∈ W 1,2 (0, T ; W01,2 (Ω)), proto můžeme pro libovolné t ∈ (0, T ) použít bochnerovské per-partes a dostáváme Z t 2 2 2 ku(t)k2 = ku(t)k2 − ku(0)k2 = 2 hu0 (s), u(s)i ds. 0

Pro pevně zvolené r ∈ (0, T ) definujme pomocné zobrazení Z t Z r v(t) = − χ(0,r) u(s) ds + u(s) ds. 0

0

Povšimněme si, že v(t) = 0 kdykoliv t ≥ r. Dále u ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) implikuje χ(0,r) u ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) a proto v 0 = −χ(0,r) u podle bochnerovské verze základní věty integrálního počtu. Dále v(t) ∈ W01,2 (Ω) (bochnerovsky integrujeme prvky W01,2 (Ω)) a proto lze v použít k otestování slabého řešení. Integrujeme ještě přes (0, r) Z r hu00 (t), v(t)i + hA(t)u(t), v(t)i dt = 0. 0

Na předchozí identitu aplikujeme zobecněné per-partes (viz lemma na začátku kapitoly) a použijeme-li u0 (0) = a1 = 0, v(r) = 0 a v 0 = χ(0,r) u = u (pracujeme na (0, r)), dostáváme Z r (7.5) hu(t), u0 (t)i − hA(t)v 0 (t), v(t)i dt = 0. 0

PDR

77

Navíc si povšimněme, že symetrie matice, bochnerovské per-partes a v(r) ≡ 0 dávají Z rZ Z rZ A∇v 0 · ∇v = ∇v 0 · A∇v 0 Ω 0 Ω Z rZ Z 0 =− (A∇v) · ∇v − A(0)∇v(0) · ∇v(0) Z Z rΩZ Z0 r ZΩ 0 0 A∇v · ∇v − A(0)∇v(0) · ∇v(0) A ∇v · ∇v − =− 0

0

Ω

Ω

Ω

(využíváme identitu ∇v 0 = (∇v)0 , která se snadno dokáže z definice v a záměnnosti gradientu a Bochnerova integrálu) a proto Z Z Z Z rZ 1 1 r 0 0 A ∇v · ∇v − (7.6) A∇v · ∇v = − A(0)∇v(0) · ∇v(0). 2 0 Ω 2 Ω 0 Ω Dále tvrdíme, že platí následující řetězová nerovnost Z r Z r Z r Z r 1 0 2 0 0 hu , ui dt = (u , u) dt = hu, u i dt = hAv 0 , vi dt ku(r)k2 = 2 0 0 0 0 Z rZ = A∇v 0 · ∇v + b · ∇v 0 v + cv 0 v dx dt 0 ZΩ Z rZ 1 1 A(0)∇v(0) · ∇v(0) dx + − A0 ∇v · ∇v − div(bv)v 0 + cv 0 v dx dt =− 2 Ω 2 0 Ω Z r α ≤ − k∇v(0)k22 + C kuk22 + kvk22 + k∇vk22 dt. 2 0 Na prvním řádku jsme využili u(0) = 0, bochnerovské per-partes, u(t), u0 (t) ∈ L2 (Ω) a (7.5). Při přechodu na druhý řádek jsme použili definici hA·, ·i. Na začátku třetího řádku (7.6), v předposledním členu per-partes vůči prostorovým proměnným (pro slabou derivaci sobolevovských funkcí platí standardní vzoreček pro derivaci součinu: jednu funkci aproximujeme funkcí hladkou a pak použijeme vlastnosti slabé derivace). Na konci jsme použili elipticitu matice, v 0 = u, (A2) a Youngovu nerovnost. Použijme ještě Friedrichsovu nerovnost a dostáváme Z r Z r (7.7) ku(r)k22 + 2k∇v(0)k22 ≤ C ku(t)k22 dt + C k∇v(t)k22 dt. 0

0

Nyní si jednotlivé členy vystupující v (7.7) přepíšeme do podoby, která nám umožní použít Gronwallovo lemma (i). Nejprve máme Z r d ku(r)k22 = ku(t)k22 dt, dr 0 kde se na pravé straně jedná o klasickou derivaci, neboť u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)). Dále platí (prohazování gradientu a Bochnerova integrálu vysvětlíme níže) k∇v(0)k22

Z

= ∇

0

r

2 Z

u(t) dt = 2

0

r

Z r Z t

2

2 d

∇u(s) ds dt ∇u(t) dt =

dr 0 2 2 0

78

PDR

Rt opět s klasickou derivací podle r (r 7→ k 0 ∇u(s) dsk22 je spojitá díky odhadu z Bochnerovy věty a u ∈ L∞ (0, T ; W01,2 (Ω)) ⊂ L2 (0, T ; W01,2 (Ω))) a konečně Z t Z r Z r Z r Z r Z r

2

2

2 u(s) ds dt u(s) ds − ∇ u(s) ds dt = k∇v(t)k2 dt =

∇

∇ 2 2 0 0 0 t 0 0 Z t Z r

2

∇u(s) ds dt =

∇v(0) − 2 0 0 Z r

2

Z t

≤ 2k∇v(0)k22 + 2 ∇u(s) ds dt 2 0 0 Z r Z t

2

= 2rk∇v(0)k22 + 2 ∇u(s) ds dt.

0

2

0

Nyní získané vztahy použijeme v (7.7), přičemž v členu 2k∇v(0)k22 na levé straně přepíšeme jen jednu z norem, tedy ! Z r Z r Z t

2 d

2 ∇u(s) ds dt + k∇v(0)k22 ku(t)k2 dt +

dr 0 2 0 0 ! Z r Z r Z t

2

≤ 2Crk∇v(0)k22 + C ku(t)k22 dt + ∇u(s) ds dt .

0

0

2

0

1 Pokud je nyní r ≤ 2C , lze k∇v(0)k22 v nerovnosti vyrušit a pak použít Gronwallovo lemma (i). Získáváme tím pro nezápornou veličinu Z r Z r Z t

2

Φ(r) := ku(t)k22 dt + ∇u(s) ds dt

0

0

2

0

1 odhad Φ(r) ≤ CΦ(0) kdykoliv r ≤ 2C . Protože Φ(0) = 0, máme Φ(r) = 0 na 1 1 [0, 2C ], neboli u(t) = 0 skoro všude na Ω pro t ∈ [0, 2C ]. Nyní si stačí povšimnout, že pro předchozí proceduru byla podstatná jen délka intervalu a skutečnost, že u je nulové v levém krajním bodě. Můžeme tedy postupně pokračovat s navazujícími 1 intervaly délky 2C , až pokryjeme [0, T ]. Ještě poznamenejme, že zde připomínaná konstanta C závisí jen na normách vstupních dat a univerzálních konstantách použitých nerovností. Zůstali jsme ještě dlužni důkaz, že lze prohazovat slabý prostorový gradient a Bochnerův integrál přes čas. Operaci lze zřejmě provést v případě jednoduchého zobrazení díky tvrzení o aritmetických vlastnostech slabé derivace. Pro obecné u ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) vezměme posloupnost jednoduchých zobrazení sn : [0, T ] 7→ W01,2 (Ω) takových, že Z T ku − sn kW 1,2 (Ω) dt → 0. 0

0

Máme Z

Z T

∇u dt −

0

0

T

Z T

∇sn dt = ∇u − ∇sn dt 2 2 0 Z T Z ≤ k∇u − ∇sn k2 dt ≤ 0

0

T

ku − sn kW 1,2 (Ω) dt → 0. 0

PDR

Naopak Z

Z T

u dt −

∇ 0

T

Z

∇sn dt = ∇ 2

0

Z

≤

T

T

Z

≤ 0

Z

sn dt = ∇ 2

0

Z

W01,2 (Ω)

T

u dt − ∇

0

u − sn dt

0

79

T

0

u − sn dt

2

T

ku − sn kW 1,2 (Ω) dt → 0. 0

Na druhém řádku jsme použili Bochnerovu větu. Proto Z T Z T ∇u dt = ∇ u dt skoro všude na Ω. 0

0

Existence. Krok 1 - Galerkinova aproximativní řešení um a jejich existence. Nechť {wk } je spočetná báze prostoru L2 (Ω) tvořená vlasními funkcemi Laplaceova operátoru. Tato báze je ortonormální vůči normě na L2 (Ω) a ortogonální vůči Dirichletově normě na W01,2 (Ω). Pro pevně zvolené m ∈ N je Galerkinovo aproximativní řešení dáno vztahy m X um (t, x) = dm k (t)wk (x), k=1

kde dm k : (0, T ) 7→ R pro k = 1, . . . , m, 00 hum (t), wk i + hA(t)um (t), wk i = hf (t), wk i

∀k ∈ {1, . . . , m} a s.v. t ∈ (0, T ),

um (0) = Pm (a0 ), u0m (0) = Pm (a1 ), kde Pm je ortogonální projekce do span{w1 , . . . , wm } vůči skalárnímu součinu na L2 (Ω). Po úpravě máme (7.8)

m m X X d2 m d (t)(w , w ) + dm j k j j (t)hA(t)wj , wk i = hf (t), wk i. 2 dt j=1 j=1

Počáteční podmínky přechází v dm k (0) = (a0 , wk ) m

a

0 dm k (0) = (a1 , wk )

∀k = 1, . . . , m.

m (dm 1 (t), . . . , dm (t)),

Značíme-li d (t) = lze rovnici (7.8) (v prvním členu na levé straně použijeme ortogonalitu) číst jako dm¨(t) + M (t)dm (t) = b(t). Obvyklým trikem ještě přepíšeme každou rovnici v soustavě na dvě rovnice pracující jen s jednou derivací (zavedeme novou funkci dm˙(t)), výsledkem je tedy systém prvního řádu, na který aplikujeme Caratheodoryho teorii (ověření podmínek provedeme jako v minulé kapitole, přidání nových řádků do soustavy žádný problém nepřineslo) a dostáváme jednoznačné řešení ve třídě absolutně spojitých funkcí. m0 Tedy dm k a dk jsou absolutně spojité a diferenciální rovnice je splněna skoro všude na (0, T ). Ještě připomeňme, že vlastnost mít slabou derivaci je pro absolutně spojitou funkci slabší pojem než klasická derivace skoro všude. Krok 2 - Stejnoměrné odhady (vzhledem k m ∈ N). 0 Rovnici (7.8) přenásobme dm k , vysčítáme rovnice přes k = 1, . . . , m a integrujeme přes (0, t) Z t Z t 00 0 0 hum , um i + hAum , um i ds = hf, u0m i ds, 0

0

80

PDR

neboli (všechny funkce níže patří do L2 (Ω), což zjednodušuje zápis dualit) Z tZ Z tZ f u0m dx ds. u00m u0m + A∇um · ∇u0m + b · ∇um u0m + cum u0m dx ds = (7.9) 0

0

Ω

Ω

Dále díky bochnerovskému per-partes máme Z tZ Z Z 1 1 u00m u0m dx ds = (7.10) u0m (t)u0m (t) dx − u0m (0)u0m (0) dx 2 2 0 Ω Ω Ω a (odvození je podobné jako u (7.6)) (7.11) Z tZ Z Z Z 1 t 1 A∇um · ∇u0m = − A0 ∇um · ∇um + A(t)∇um (t) · ∇um (t) 2 0 Ω 2 Ω 0 Ω Z 1 − A(0)∇um (0) · ∇um (0). 2 Ω Celkově (7.9), (7.10) a (7.11) dávají Z 1 0 2 kum (t)k2 + A∇um (t) · ∇um (t) dx 2 Ω Z tZ 1 0 = A ∇um · ∇um + f u0m − b · ∇um u0m − cum u0m dx ds 0 Ω 2 Z 1 0 2 + kum (0)k2 + A∇um (0) · ∇um (0) dx . 2 Ω S využitím A2, Hölderovy, Youngovy, Friedrichsovy nerovnosti a elipticity dostáváme Z 0 2 kum (t)k2 + A∇um (t) · ∇um (t) dx Ω Z t 0 2 2 ≤ kum (0)k2 + Ck∇um (0)k2 + C k∇um k22 + ku0m k22 + kf k22 ds 0

Z

T

≤ ku0m (0)k22 + Ck∇um (0)k22 + C kf k22 ds 0 Z t Z +C ku0m k22 + A∇um · ∇um dx ds. 0

Ω

Nyní použijeme Gronwallovo lemma (ii) a počáteční podmínky. Dostáváme pro všechna t ∈ [0, T ] Z ku0m (t)k22 + A∇um (t) · ∇um (t) dx Ω

≤ C(ku0m (0)k22 + k∇um (0)k22 + kf k2L2 (0,T,L2 (Ω)) ) = C(kPm (a1 )k22 + k∇Pm (a0 )k22 + kf k2L2 (0,T,L2 (Ω)) ) ≤ C(ka1 k22 + k∇a0 k22 + kf k2L2 (0,T,L2 (Ω)) ) ≤ C. Navíc si povšimněme, že druhý člen prvního řádku díky elipticitě odhaduje shora k∇um (t)k22 . Celkově máme (7.12) kde C nezávisí na m. ku0m kL∞ (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C a kum kL∞ (0,T ;W 1,2 (Ω)) ≤ C 0

PDR

81

Nyní budeme odhadovat operátorovou normu u00m (t). Protože u00m (t) je lineární kombinací funkcí z L2 (Ω) a Pm je projekce do podprostoru tvořeného těmito funkcemi, máme Z ku00m (t)k(W 1,2 (Ω))∗ = sup hu00m (t), vi = sup u00m (t)v dx 0

v∈W01,2 (Ω),kvk1,2 ≤1

v∈W01,2 (Ω),kvk1,2 ≤1

Z =

u00m (t)Pm (v) dx.

sup v∈W01,2 (Ω),kvk1,2 ≤1

Ω

Ω

Navíc protože teď už Pm (v) lze užít jako testovací funkci pro aproximativní řešení, poslední integrál můžeme přepsat pomocí jeho slabé formulace (to jde jen pro skoro všechna t, ale nakonec budeme ještě integrovat), kde pro stručnost píšeme w = Pm (v) a připomínáme kwk1,2 ≤ kvk1,2 ≤ 1 Z Z 00 um w dx = f w − A∇um · ∇w − b · ∇um w − cum w dx Ω Ω ≤ kf k2 + kAk∞ k∇um k2 + kbk∞ k∇um k2 + kck∞ kum k2 kwk1,2 a proto, díky (7.12), po umocnění na druhou a po integraci Z T (7.13) ku00m (t)k2(W 1,2 (Ω))∗ dt ≤ C. 0

0

Krok 3 - limitní přechod. V tomto kroku ukážeme, že pro libovolné p ∈ (1, ∞) máme po přechodu k podposloupnosti um * u v Lp (0, T ; W01,2 (Ω)) u0m * u0

v Lp (0, T ; L2 (Ω))

u00m * u00

v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ).

Navíc u ∈ L∞ (0, T ; W01,2 (Ω)),

u0 ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)) a u00 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ).

Díky (7.12), (7.13) a spojitému vnoření mezi Bochner-Lebesgueovými prostory máme omezenost v příslušných prostorech a lze tedy vybírat slabě konvergentní podposloupnosti. Musíme však zdůvodnit, že slabé limity jsou časovými derivacemi jediného zobrazení, což snadno získáme z tvrzení o vztahu slabé časové derivace a slabé konvergence v Bochner-Lebesgueových prostorech (při aplikaci používáme vnoření ze sedmé části tvrzení o vlastnostech prostorů Lp (0, T ; X): například pokud 0 p ≥ 2, pak máme u0m * u0 i v Lp (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) a dostáváme vztah mezi u a u0 , atd.). Odhad v L∞ -normách získáme ze slabé polospojitosti Lp -norem, (7.12), (7.13), Mazurova lemmatu a tvrzení o charakterizaci L∞ -funkcí pomocí stejnoměrné omezenosti jejich Lp -norem z minulého semestru. Krok 4 - ověření, že u splňuje slabou formulaci. Splnění rovnice (7.1) dokážeme stejně jako v předchozí kapitole: nejprve otestujme slabou formulaci aproximativního řešení bázovou funkcí wk , výsledek přenásobíme Φ ∈ D((0, T )) a integrujeme Z T hu00m (t), wk iΦ(t) + hA(t)um (t), wk iΦ(t) − hf (t), wk iΦ(t) dt = 0. 0

82

PDR

Odtud se dá získat konvergencí jednotlivých členů pod integrálem Z T hu00 (t), wk iΦ(t) + hA(t)u(t), wk iΦ(t) − hf (t), wk iΦ(t) dt = 0. 0

Skutečně, s prvním členem postupujeme jako u parabolické rovnice (tentokrát ale využijeme konvergenci u00m * u00 v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ )) u ostatních členů můžeme rovnou použít mezivýsledky z předchozí kapitoly, neboť formální zápis je stejný jako minule, v této kapitole máme přísnější podmínky na vstupní data aij , bi , c, f a máme lepší výsledky ohledně konvergence aproximativních řešení k u. Ukažme, že dokonce platí (7.14) Z T hu00 (t), ϕiΦ(t)+hA(t)u(t), ϕiΦ(t)−hf (t), ϕiΦ(t) dt = 0 ∀Φ ∈ D((0, T )) ∀ϕ ∈ W01,2 (Ω). 0

Výše jsme dokázali, že (7.14) platí pro bázové funkce. Zřejmě platí také pro lineární kombinace konečného počtu těchto funkcí. Zafixujme ϕ ∈ W01,2 (Ω) a k ní vezměme ϕk ∈ span{w1 , . . . , wk }, k ∈ N, takové, že ϕk → ϕ ve W01,2 (Ω). Zbývá provést limitní přechod k → ∞ v (7.14), což se provede stejně jako v předchozí kapitole (opět jsou všechny členy stejné až na první, kde je vyšší derivace, nicméně vlastnost u00 ∈ L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ ) nám umožňuje použít stejný postup jako minule). Tím je v plné obecnosti dokázána formule (7.14), která spolu s du Bois-Reymondovým lemmatem dává, že u splňuje (7.1). Krok 5 - ověření, že u splňuje počáteční podmínku. Výsledek získáme tak, že slabou formulaci přenásobíme ϕ ∈ D((−∞, T )) (výsledná formule je totožná s identitou v (7.14)). Na první člen ještě dvakrát aplikujeme bochnerovské per-partes (poprvé to zobecněné ze začátku kapitoly, podruhé lze užít obě naše verze) Z T Z T hu00 (t), Φ(t)ϕi dt = − hΦ0 (t)ϕ, u0 (t)i dt − (u0 (0), Φ(0)ϕ) 0

0

Z =

T

hΦ00 (t)ϕ, u(t)i dt + (u(0), Φ0 (0)ϕ) − (u0 (0), Φ(0)ϕ).

0

Tedy Z T hΦ00 (t)ϕ, u(t)i+hA(t)u(t), ϕiΦ(t)−hf (t), ϕiΦ(t) dt = −(u(0), Φ0 (0)ϕ)+(u0 (0), Φ(0)ϕ). 0

Analogickou operaci provedeme s formulí pro aproximativní řešení, kde testujeme jen funkcemi ϕk ∈ span{w1 , . . . , wk }, ale známe počáteční data Z T hΦ00 (t)ϕk , um (t)i + hA(t)um (t), ϕk iΦ(t) − hf (t), ϕk iΦ(t) dt 0

= −(um (0), Φ0 (0)ϕk ) + (u0m (0), Φ(0)ϕk ) = −(Pm (a0 ), ϕk )Φ0 (0) + (Pm (a1 ), ϕk )Φ(0). Pokud ϕk → ϕ ∈ W01,2 (Ω), jako v případě parabolických rovnic k sobě levé strany konvergují (levé strany rozsekneme na tři kusy, druhý a třetí integrál konvergují k čemu mají z minula, v prvním integrálu vystupuje tentokrát Φ00 (t) namísto Φ0 (t), což není podstatné). Celkově (provedeme limitní přechod m → ∞ a pak k → ∞, obě konvergence jsou zdůvodněny podobně jako v minulém kroku) (Pm (a0 ), ϕk )Φ0 (0) − (Pm (a1 ), ϕk )Φ(0) → (u(0), ϕ)Φ0 (0) − (u0 (0), ϕ)Φ(0).

PDR

83

Zároveň ale také máme přímo z konstrukce aproximativních řešení (Pm (a0 ), ϕk )Φ0 (0) − (Pm (a1 ), ϕk )Φ(0) → (a0 , ϕ)Φ0 (0) − (a1 , ϕ)Φ(0). Odtud už speciální volbou Φ a ϕ snadno získáme u(0) = a0 a u0 (0) = a1 . Tím je věta dokázána. Věta 7.6 (Regularita řešení hyperbolické rovnice). Nechť platí technické předpoklady ze začátku kapitoly, ∂Ω je dostatečně hladká, aij , bi , c ∈ W 2,∞ (Ω) (koeficienty nezávisí na t), a0 ∈ W 2,2 (Ω),

a1 ∈ W 1,2 (Ω)

f 0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)).

a

Pak u0 ∈ L∞ (0, T ; W01,2 (Ω))

a

u00 ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)).

Důkaz. Požadované odhady dokážeme pro galerkinovská aproximativní řešení a pak použijeme konvergenci ke slabému řešení. Máme m X um (t, x) = dm k (t)wk (x), k=1

(7.15) (u00m (t), wk ) + hA(t)um (t), wk i = (f (t), wk )

∀k ∈ {1, . . . , m} a s.v. t ∈ (0, T )

(připomeňme, že aproximativní řešení je o něco lepší než slabé: um (t), u0m (t) ∈ W01,2 (Ω), což umožňuje zjednodušený zápis duality, a časová derivace je dokonce klasická skoro všude, dále um (0) = Pm (a0 )

a

u0m (0) = Pm (a1 ).

Nejprve si dokažme dva pomocné výsledky. Prvním je identita Z Z Z Z 0 000 0 (7.16) um (t)wk + A∇um · ∇wk + (b · ∇um + cum ) wk = f 0 wk . Ω

Ω

Ω

Ω

kterou získáme tak, že na (7.15) aplikujeme slabou časovou derivaci. Zasunutí slabé ∂ (w(t), v) = hw0 (t), vi z tvrzení o derivace pod integrál nám umožňuje formule ∂t existenci časové derivace. Zbývá ukázat, že všechny uvažované časové derivace jsou v L2 (Ω) a proto se dualita redukuje na skalární součin na L2 (Ω). U všech členů až na první to plyne z předchozích výsledků a předpokladů. Zbývá tedy ukázat 2 m 000 u000 . V (7.15) si necháme nalevo jen m (t) ∈ L (Ω). Stačí nám studovat vlastnosti dk první člen Z Z X Z Z m m X 00 m m m dm = f w − A d ∇w · ∇w − d b · ∇w w − d cwk2 . k j k j k k j j k Ω

Ω

j=1

j=1

Ω

Ω

Díky předpokladu f 0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) a větě o existeci slabé časové derivace Z d f (t)wk = hf 0 (t), wk i = (f 0 (t), wk ) ∈ L2 ((0, T )). dt Ω Navíc zbytek pravé strany je absolutně spojitá funkce diferencovatelná skoro všude, 0 tedy slabě diferencovatelná a slabá derivace je v L2 ((0, T )) (neboť dm k jsou omem 000 2 zené podle první nerovnosti v (7.12)). Celkově dk ∈ L ((0, T )), tedy u000 m ∈ 2 2 L (0, T ; L (Ω)) a identita (7.16) je dokázána. Druhým pomocným výsledkem je odhad (7.17)

ku00m (0)k22 ≤ C.

84

PDR

0 000 m 00 Díky spojitosti dm (viz kdm k2 ≤ C) a f ∈ C([0, T ], L2 (Ω)) (plyne z předk , dk k pokladů na f ) můžeme (7.15) vyjádřit pro t = 0 (obecně formule pro slabé řešení platí jen skoro všude; prohození limity a integrálu nám zajistí Lebesgueova věta aplikovaná na tn → 0+ , kde kf (tn ) − f (0)k2 ≤ 2−n kvůli konstrukci majoranty). 00 Vynásobíme k-tou rovnici dm k (0) a rovnice sečteme přes k = 1, . . . , m Z Z Z 00 2 00 00 kum (0)k2 + A∇um (0) · ∇um (0) + (b · ∇um (0) + cum (0))um (0) = f (0)u00m (0). Ω

Ω

Ω

W01,2 (Ω)

Ve členu s maticí provádíme per-partes s využitím wk ∈ (pro hladké funkce hraniční členy zmizí, k obecnému případu dokonvergujeme), pak aplikujeme Hölderovu nerovnost a a0 ∈ W 2,2 (Ω) ku00m (0)k22 Z Z Z = f (0)u00m (0) − (b · ∇um (0) + cum (0))u00m (0) + div(A∇um (0))u00m (0) Ω Ω Ω ≤ ku00m (0)k2 kf (0)k2 + Ck∇um (0)k2 + Ckum (0)k2 + Ck∇2 um (0)k2 ≤ Cku00m (0)k2 . V posledním odhadu jsme využili (7.12), um (0) = Pm (a0 ), a0 ∈ W 2,2 (Ω) a (6.19) (pro dostatečně hladkou ∂Ω projekce Pm příliš nezkazí normu ve W 2,2 (Ω)). Z poslední řetězové nerovnosti už snadno plyne (7.17). Nyní přistoupíme k hlavní části důkazu. Jednotlivé rovnice v (7.16) vynásobíme 00 dm k (t) a vysčítáme přes k = 1, . . . , m Z Z Z Z 00 0 00 0 00 u000 u + A∇u · ∇u + (b · ∇u + cu ) u = f 0 u00m . m m m m m m m Ω

Ω

Ω

Ω

Integrujeme přes (0, t), na levé straně si necháme jen první dva členy, aplikujeme na ně bochnerovské per-partes (u členu s maticí postupujeme analogicky jako při odvození (7.6)), napravo použijeme omezenost vstupních dat aij , bi , c a vhodný tvar Youngovy nerovnosti Z 00 2 kum (t)k2 + A∇u0m (t) · ∇u0m (t) Ω Z Z tZ Z tZ 00 2 0 0 000 00 = kum (0)k2 + A∇um (0) · ∇um (0) + 2 um um + 2 A∇u0m · ∇u00m Ω 0 Ω 0 Ω Z Z tZ Z tZ 00 2 0 0 0 00 = kum (0)k2 + A∇um (0) · ∇um (0) + 2 f um − 2 (b · ∇um + cum )0 u00m Ω

≤ ku00m (0)k22 + Ck∇u0m (0)k22 + C

0

Ω

0

t

Z

ku00m k22 + k∇u0m k22 ds + C

0

Ω

Z

T

kf 0 k22 + ku0m k22 ds.

0

Na pravé straně ještě použijeme (7.17), k∇u0m (0)k22 = k∇Pm (a1 )k22 ≤ k∇a1 k22 ≤ C, elipticitu matice, f 0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) a (7.12) Z Z t Z ku00m (t)k22 + A∇u0m (t)·∇u0m (t) ≤ C+C+C ku00m k22 + A∇u0m ·∇u0m ds+C+C. Ω

0

Ω

Nyní aplikujeme Gronwallovo lemma (ii) a dostáváme Z 00 2 kum (t)k2 + A∇u0m (t) · ∇u0m (t) ≤ C. Ω

PDR

85

Odtud sup ku00m (t)k22 ≤ C

(7.18)

sup k∇u0m k22 ≤ C.

a

t∈(0,T )

t∈(0,T )

Druhá nerovnost v (7.18) (připomeňme wk ∈ W01,2 (Ω) a proto u0m (t) ∈ W01,2 (Ω)) zaručuje, že {u0m } je omezená v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)), proto po přechodu k podposloupnosti u0m * v v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)). Zároveň už ale víme (viz důkaz existence), že u0m * u0 v L2 (0, T ; L2 (Ω)), proto u0m * u0

v L2 (0, T ; W01,2 (Ω)),

speciálně u0 ∈ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)).

Konečně, Mazurovo lemma použité na předchozí konvergenci nám spolu s druhým odhadem v (7.18) dává u0 ∈ L∞ (0, T ; W01,2 (Ω)). Analogickým způsobem využijeme první nerovnost v (7.18) a informaci u00m * u00

v L2 (0, T ; (W01,2 (Ω))∗ )

(z důkazu existence) k ověření u00 ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω)).

Tím je důkaz dokončen.

7.1. Konečná rychlost propagace hyperbolické rovnice. V této podkapitole uvažujeme zjednodušený případ B(1) ⊂ Ω, T ≥ 1 a úlohu u00 − ∆u = 0. Položme K = {(t, x) ∈ QT : |x| + t < 1} a Kt = {x ∈ Ω : |x| + t < 1}. Množina K je část kužele, Kt je jeho řez v úrovni t a zřejmě platí Kt = B(1 − t). Věta 7.7. Pokud platí zesílení technických předpokladů uvedené výše, u je hladké klasické řešení hyperbolické rovnice a platí u ≡ 0, u0 ≡ 0 na K0 , pak i u ≡ 0 v K. Důkaz. Pro všechna t ∈ [0, 1] položme Z 1 E(t) := |u0 (t)|2 + |∇u(t)|2 dx. 2 Kt Zřejmě platí E(0) = 0 a E(t) ≥ 0 pro všechna t ∈ [0, 1]. Pokud navíc dokážeme, že E 0 (t) ≤ 0 pro všechna t ∈ (0, 1), budeme mít E(t) = 0 pro všechna t ∈ [0, 1], z čehož již snadno plyne požadované tvrzení. Zderivujme tedy předpis pro E(t). Díky tomu, že Z Z 1−t Z . . . dx = . . . dS d%, B(1−t)

0

S(%)

máme E 0 (t) =

Z Kt

u0 (t)u00 (t) + ∇u(t) · ∇u0 (t) dx −

1 2

Z ∂Kt

|u0 (t)|2 + |∇u(t)|2 dS.

86

PDR

Na druhý člen použijeme per-partes, využijeme identitu u00 − ∆u = 0 a pak Youngovu nerovnost Z Z E 0 (t) = u00 (t)u0 (t) − ∆u(t)u0 (t) dx + u0 (t)∇u(t) · ν dS Kt ∂Kt Z 1 0 |u (t)|2 + |∇u(t)|2 dS − 2 ∂Kt Z Z 1 |u0 (t)|2 + |∇u(t)|2 dS = u0 (t)∇u(t) · ν dS − 2 ∂Kt ∂Kt Z Z 1 0 2 1 ≤ |u (t)| + |∇u(t)|2 dS − |u0 (t)|2 + |∇u(t)|2 dS = 0. 2 ∂Kt ∂Kt 2 Tím jsme dostali požadovaný odhad E 0 (t) a důkaz je dokončen.

8. Rotheova metoda pro nelineární parabolické rovnice Budeme hledat slabé řešení úlohy u0 − div(a(x, u, ∇u)) = f

na QT

u(0, ·) = a0 u=0

na Ω na (0, T ) × ∂Ω,

kde f : QT 7→ R a a0 : Ω 7→ R. Technické předpoklady (pro s.v. x ∈ Ω a ∀y ∈ R, z, w ∈ Rd ) (A0) Ω je třídy C 0,1 , p ∈ (1, ∞) (A1) ai ∈ Car (A2) (a(x, y, z) − a(x, y, w)) · (z − w) ≥ 0 (A3) |a(x, y, z)| ≤ C(1 + |z|p−1 ) (A4) ∃α > 0 : a(x, y, z) · z ≥ α|z|p − C 0

(A5) f ∈ Lp (0, T ; (W01,p (Ω))∗ ) (A6) a0 ∈ L2 (Ω). Definice 8.1. Zobrazení u je slabým řešením parabolické evoluční rovnice, jestliže u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)),

u ∈ Lp (0, T ; W01,p (Ω)),

0

u0 ∈ Lp (0, T ; (W01,p (Ω))∗ ),

u(0) = a0 a (8.1) 0

Z

hu (t), ϕi+

a(·, u, ∇u)·∇ϕ dx = hf (t), ϕi

∀ϕ ∈ W01,p (Ω)∩L2 (Ω) a s.v. t ∈ (0, T ).

Ω

Poznámka 8.2. Výsledky této sekce souvisí se sekcí 4.3, kde jsme dokazovali existenci řešení úlohy Z Z a(·, u, ∇u) · ∇ϕ dx = f ϕ dx ∀ϕ ∈ W01,p (Ω). Ω

Ω p0

Tenkrát jsme uvažovali f ∈ L (Ω), ale s minimem velmi drobných změn v důkazu bychom uměli pracovat i s pravou stranou ve tvaru hf, ϕi, kde f ∈ (W01,p (Ω))∗ , protože v důkazech vždy vystačíme s odhadem |hf, ϕi| ≤ Ckϕk1,p .

PDR

87

Pokud bychom pracovali na prostoru W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) (zajímavé jen pro p ∈ (1, 2)), dá se dokázat analogický výsledek s pravou stranou tvaru hf, ϕi+(g, ϕ)L2 (Ω) , kde f ∈ (W01,p (Ω))∗ a g ∈ L2 (Ω) a k levé straně přičítáme libovolný kladný násobek (u, ϕ)L2 (Ω) . Tedy máme úlohu Z Z Z a(·, u, ∇u) · ∇ϕ dx + c uϕ dx = hf, ϕi + gϕ dx. Ω

Ω

Ω

Poznámky 8.3. • Budeme pracovat s Gelfandovou trojicí W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) ,→ L2 (Ω) ,→ (W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω))∗ . • Připomeňme, že podmínky A2-A4 splňuje například p-Laplacián. Věta 8.4. Za technických předpokladů uvedených výše má parabolická úloha řešení. Pokud navíc a nezávisí na u, toto řešení je jednoznačné. Důkaz. Jednoznačnost. Nechť u, v jsou řešení. Zafixujme s ∈ [0, T ], pro které lze testovat, a otestujme pro obě zobrazení jejich slabou formulaci funkcí u(s) − v(s) ∈ W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) Z hu0 − v 0 , u − vi + (a(·, ∇u) − a(·, ∇v)) · (∇u − ∇v) dx = 0. Ω

Integrujme přes (0, t), na první člen levé strany použijme bochnerovské per-partes (lze, neboť (W01,p (Ω))∗ ⊂ (W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω))∗ ) a u(0) = a0 = v(0), na druhý A2 ku(t) − v(t)k22 = ku(t) − v(t)k22 − ku(0) − v(0)k22 Z t =2 hu0 − v 0 , u − vi ds 0 Z tZ = −2 (a(·, ∇u) − a(·, ∇v)) · (∇u − ∇v) dx ds ≤ 0. 0

Ω

Protože t ∈ [0, T ] bylo libovolné, dokázali jsme jednoznačnost. Existence. Základní idea důkazu je podobná jako v předchozích kapitolách. Použijeme ovšem odlišný přístup při konstrukci aproximativních řešení um , kde nejprve rozsekáme interval [0, T ] na m podintervalů shodné délky, na jednotlivých podintervalech potlačíme roli času natolik, že na nich řešíme eliptickou rovnici s monotonním operátorem (jako v sekci 4.3), pak odvodíme uniformní odhady zaručující existenci slabé limity u. Ukážeme, že u splňuje slabou formulaci a počáteční podmínku. Oproti předchozím kapitolám bude naše práce těžší v tom, že budeme čelit důsledkům potlačení role času při konstrukci aproximativních řešení. Pomůžeme si konstrukcí posloupnosti aproximativních řešení u ˜m , která již s časem pracují lépe, a ukážeme, že obě posloupnosti mají shodnou slabou limitu u. Krok 1 - aproximativní řešení um a jejich existence. T , tk = kτ pro k = 0, . . . , m − 1 a Pro pevné m ∈ N položme τ = m Z tk+1 1 fk = f (t) dt ∈ (W01,p (Ω))∗ (bochnerovský integrální průměr). τ tk Aproximativním řešením bude po částech konstantní zobrazení splňující um (t0 ) = a0 , konstantní na intervalech (tk , tk+1 ] a (pro jednoduchost v dalším značíme ηk :=

88

PDR

um (tk ) ∈ W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω)) Z Z ηk+1 − ηk ϕ dx + a(·, ηk+1 ,∇ηk+1 ) · ∇ϕ dx = hfk , ϕi τ (8.2) Ω Ω ∀ϕ ∈ W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) ∀k = 0, . . . , m − 1. R Přesuňme člen Ω ητk ϕ dx na pravou stranu, pak dostáváme eliptickou úlohu z poznámky za definicí slabého řešení. Výsledek o existenci aplikujeme postupně pro k = 0, . . . , m − 1 a dostáváme (obecně nejednoznačné) aproximativní řešení um . Krok 2 - uniformní odhady a slabá limita. Jednotlivé rovnice v (8.2) otestujeme ϕ := ηk+1 a vysčítáme přes k = 0, . . . , M , kde M < m je zatím libovolné Z X M

(ηk+1 − ηk )ηk+1 + τ

Ω k=0

M X

M X a(·, ηk+1 , ∇ηk+1 ) · ∇ηk+1 dx = τ hfk , ηk+1 i.

k=0

k=0

V prvním členu využijeme identitu (ηk+1 − ηk )ηk+1 =

2 ηk+1 η2 (ηk+1 − ηk )2 − k + , 2 2 2 η2

díky níž se mnohé členy vyruší, pak ještě 20 přesuneme na pravou stranu (8.3) Z 2 M M X ηM +1 X (ηk+1 − ηk )2 a(·, ηk+1 ,∇ηk+1 ) · ∇ηk+1 dx + +τ 2 2 Ω k=0 k=0 Z 2 M X η0 = dx + τ hfk , ηk+1 i. Ω 2 k=0

Dále využijeme toho, že ηk jsou hodnoty po částech konstantního zobrazení um a τ = tk+1 − tk . Dostáváme Z X M

τ a(·, ηk+1 , ∇ηk+1 ) · ∇ηk+1 dx =

Ω k=0

M Z X k=0

=

tk+1

Z a(·, ηk+1 , ∇ηk+1 ) · ∇ηk+1 dx dt

tk

M Z X

Ω

tk+1

k=0 tk Z (M +1)τ

Z a(·, um , ∇um ) · ∇um dx dt Ω

Z a(·, um , ∇um ) · ∇um dx dt

= 0

Ω

a díky definici fk a tvrzení o vlastnostech Bochnerova integrálu τ

M X

hfk , ηk+1 i =

M DZ X

tk+1

M Z E X f dt, ηk+1 =

tk k=0 Z (M +1)τ

k=0

k=0

tk+1

hf, ηk+1 i dt

tk

hf, um i dt.

= 0

V (8.3) použijeme právě odvozené identity (poslední člen ještě odhadneme pomocí součinu norem) a navíc třetí člen levé strany odhadneme pomocí A4 (konstantu

PDR

89

přesouváme na pravou stranu) Z (M +1)τ Z 2 M um (tM +1 ) X (um (tk+1 ) − um (tk ))2 k∇um kpp dt dx + α + 2 2 0 Ω k=0 Z (M +1)τ 2 ka0 k2 ≤C+ kf k(W 1,p (Ω))∗ kum k1,p dt. + 0 2 0 Aplikujeme vhodnou verzi Youngovy nerovnosti na poslední člen pravé strany tak, aby složka obsahující kum kp1,p nevyrušila poslední člen levé strany (to jde díky Friedrichsově nerovnosti) a po jednoduché úpravě máme Z Ω

u2m (tM +1 ) +

M X

(M +1)τ

Z (um (tk+1 ) − um (tk ))2 dx +

kum kp1,p dt

0

k=0

≤ C + Cka0 k22 + C

Z 0

T

0

kf kp(W 1,p (Ω))∗ dt ≤ C. 0

Protože M bylo libovolné a um je konstantní na intervalech (tk , tk+1 ], dostáváme (8.4) m−1 X kηk+1 − ηk k22 ≤ C, kum kL∞ (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C a kum kLp (0,T ;W 1,p (Ω)) ≤ C. 0

k=0

Navíc poslední omezenost spolu s A3 ještě dává ka(·, um , ∇um )kLp0 (0,T ;Lp0 (Ω,Rd )) ≤ C. Přechodem k podposloupnosti tedy dostáváme (viz tvrzení o vnoření BochnerLebesgueových prostorů) um * u

v Lp (0, T ; W01,p (Ω))

um * u

v Lp (0, T ; L2 (Ω))

um * u

v L2 (0, T ; L2 (Ω)) 0

0

v Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )).

a(·, um , ∇um ) * A

Krok 3 - druhá posloupnost a její limita. Zobrazení um zmodifikujeme na po částech lineární u ˜m tím, že na jednotlivých intervalech [tk , tk+1 ] definujeme u ˜m (t) = um (tk ) +

t − tk t − tk (um (tk+1 ) − um (tk )) = ηk + (ηk+1 − ηk ). τ τ

Snadno se ověří, že zůstaly zachovány vlastnosti k˜ um kL∞ (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C

a

k˜ um kLp (0,T ;W 1,p (Ω)) ≤ C, 0

navíc nová zobrazení mají všude až na body tk klasickou časovou derivaci u ˜0m (t) =

1 (um (tk+1 ) − um (tk )) τ

pro t ∈ (tk , tk+1 ).

Uniformní odhad pro slabou časovou derivaci, která se shoduje s derivací klasickou existující mimo {tk } (shoda se dokáže snadno z definice) získáme pomocí A3,

90

PDR

Hölderovy nerovnosti a (8.2), kde se u0m nachází v prvním členu nalevo Z

u ˜0m ϕ dx = −

Z a(·, ηk+1 , ∇ηk+1 ) · ∇ϕ dx + hfk , ϕi

Ω

Ω

≤ (C + Ck∇ηk+1 kp−1 )k∇ϕkp + kfk k(W 1,p (Ω))∗ kϕk1,p . p 0

Odtud pro t ∈ / {tk } k˜ u0m k(W 1,p (Ω))∗ = 0

Z sup kϕk1,p ≤1

Ω

u ˜0m ϕ dx ≤ C 1 + k∇ηk+1 kpp−1 + kfk k(W 1,p (Ω))∗ 0

a po umocnění na p0 a integraci přes (0, T ) Z 0

T

0

k˜ u0m kp(W 1,p (Ω))∗ dt ≤ C 1+

Z

0

T

k∇um kpp dt+

m−1 X Z tk+1

0

k=0

tk

!

0

kfk kp(W 1,p (Ω))∗ dt

≤ C,

0

neboť druhý člen prostředního výrazu byl odhadnut v (8.4) a pro třetí máme díky Bochnerově větě, Jensenově nerovnosti a A5 m−1 X Z tk+1 k=0

tk

0

kfk kp(W 1,p (Ω))∗ dt = 0

m−1 X Z tk+1 k=0

≤

Z

tk+1

tk

p0

f (s) ds

(W01,p (Ω))∗

dt

m−1 X Z tk+1 k=0

≤

tk

1

τ

tk

m−1 XZ k=0 T

Z =

0

tk+1

tk

Z p0 1 tk+1 kf (s)k(W 1,p (Ω))∗ ds dt 0 τ tk Z 0 1 tk+1 kf (s)kp(W 1,p (Ω))∗ ds dt τ tk 0 0

kf (s)kp(W 1,p (Ω))∗ ds ≤ C. 0

Přechodem k podposloupnosti tedy dostáváme (viz tvrzení o vztahu slabé časové derivace a slabé konvergence) u ˜m * u ˜

v Lp (0, T ; W01,p (Ω))

u ˜0m * u ˜0

v Lp (0, T ; (W01,p (Ω))∗ ).

0

Nyní aplikujeme Aubin-Lionsovu větu na trojici prostorů W01,p (Ω) ,→,→ Lp (Ω) ,→ (W0d,p (Ω))∗ (síla Aubin-Lionsovy věty spočívá v tom, že třetí prostor může být zvolen jako velmi ošklivý; poslední vnoření skutečně platí: obecná Sobolevova věta dává W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω) pro 1q = p1 − kd , což lze ostatně získat iterací Sobolevovy věty pro W 1,p (Ω)) a známého vzorečku 1q = p1 − d1 ) a dostáváme (8.5)

u ˜m → u ˜

v Lp (0, T ; Lp (Ω)).

PDR

91

Ukažme, že u ˜ = u. Díky (8.4) platí (8.6) Z T m−1 X Z tk+1 kum − u ˜m k22 dt = kum − u ˜m k22 dt 0

k=0

=

k=0

=

2 t − tk

(ηk+1 − ηk ) dt

ηk+1 − ηk + τ 2

tk

m−1 XZ k=0

≤

tk

m−1 X Z tk+1

tk+1

tk

m−1 X Z tk+1 k=0

t − t k 2 kηk+1 − ηk k22 1 − dt τ kηk+1 −

ηk k22

m−1 X

dt = τ

tk

kηk+1 − ηk k22 ≤

k=0

CT . m

To znamená um − u ˜m → 0 v L2 (0, T ; L2 (Ω)). Připomeňme, že už máme um * u v 1,p Lp (0, T ; W0 (Ω)) a u ˜m * u ˜ v Lp (0, T ; W01,p (Ω)). Díky vnoření Bochnerových prostorů platí všechny tři konvergence i jako slabé v Lq (0, T ; Lq (Ω)), kde q = min{2, p}, proto snadno dostáváme u = u ˜. Krok 4 - ověření, že u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)) a splňuje počáteční podmínku. První vlastnost získáme z druhé části tvrzení o vlastnostech prostorů W 1,p (0, T ; X) a naší volby Gelfandovy trojice, pokud ukážeme, že u ∈ Lp (0, T ; W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω))

a

0

u0 ∈ Lp (0, T ; (W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω))∗ ).

První požadavek plyne okamžitě ze slabých konvergencí dokázaných v druhém 0 kroku, ten druhý zase z toho, že u0 ∈ Lp (0, T ; (W01,p (Ω))∗ ) a (W01,p (Ω))∗ ) ,→ (W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω))∗ . Tím je dokázáno u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)). Nyní ověříme splnění podmínky u(0) = a0 . Zafixujme malá kladná čísla τ, h a definujme lipschitzovskou funkci   pro t ∈ [0, τ ] 1 1 Φ(t) = 1 − h (t − τ ) pro t ∈ [τ, τ + h]   0 pro t ≥ τ + h. Vezmeme slabou formulaci pro um , přenásobíme ji Φ(t), integrujeme přes (0, T ), pak ještě použijeme bochnerovské per-partes a Φ(T ) = 0 m−1 X Z tk+1 hfk , ϕiΦ dt k=0

tk T

Z

Z

= 0

Z

u ˜0m ϕΦ dx dt +

Ω T Z

=− 0

Ω

Z

T

Z a(·, um , ∇um ) · ∇ϕΦ dx dt

0

u ˜m ϕΦ0 dx dt −

Ω

Z

Z

T

Z a(·, um , ∇um ) · ∇ϕΦ dx dt.

um (0)ϕΦ(0) + Ω

0

Ω

Dále, limitní přechod m → ∞ (vysvětlíme níže) a naše speciální volba Φ dávají Z Z Z Z τ +h Z Z τ +h 1 τ +h uϕ dx dt− a0 ϕ dx+ A·∇ϕΦ dx dt = hf, ϕiΦ dt. (8.7) h τ Ω Ω 0 Ω 0 Při konvergenci prvního členu nalevo jsme využili u ˜m * u v L2 (0, T ; L2 (Ω)) (neboť 2 2 um * u v L (0, T ; L (Ω)) a k˜ um − um kL2 (0,T ;L2 (Ω)) → 0) a ϕΦ0 ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω))

92

PDR

(neboť ϕ ∈ L2 (Ω)). U druhého jen připomeňme, že vždy um (0) = a0 přímo z konstrukce. U třetího jsme již ve druhém kroku ukázali a(·, um , ∇um ) * A 0 0 v Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )) a navíc zřejmě ∇ϕΦ ∈ Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )), neboť máme 1,p ϕ ∈ W0 (Ω) ∩ L2 (Ω). Konvergence k integrálu na pravé straně plyne ze stejnoměrné spojitosti Φ, neboť si jednotlivé sčítance můžeme přepsat do tvaru Z tk+1 D Z tk+1 Z tk+1 Z tk+1 E 1 1 f (s) ds, ϕ Φ(t) dt = hf (s), ϕi ds Φ(t) dt τ τ tk tk tk tk Z tk+1 1 Z tk+1 Φ(t) dt ds = hf (s), ϕi τ tk tk (neboli integrál ze součinu jedné funkce a integrálního průměru druhé funkce je stejný jako integrál z druhé funkce vynásobené průměrem té první). Máme tedy dokázanou formuli (8.7). Proveďme v ní limitní přechod h → 0+ (u prvního členu nalevo kombinujeme u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)) a odhad z Bochnerovy věty, u zbývajících členů absolutní spojitost Lebesgueova integrálu) Z τ Z Z Z τZ A · ∇ϕΦ dx dt = hf, ϕiΦ dt. u(τ )ϕ dx − a0 ϕ dx + Ω

0

Ω

0

Ω

Nyní ještě provedeme linitní přechod τ → 0+ (při zdůvodnění prohození limity a integrálu v prvním členu použijeme u ∈ C([0, T ], L2 (Ω)) a Hölderovu nerovnost) a máme Z Z u(0)ϕ dx = Ω

a0 ϕ dx. Ω

Protože ϕ ∈ W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) bylo libovolné, poslední identita platí pro všechny funkce z D(Ω) a du Bois-Reymondovo lemma dává u(0) = a0 . Krok 5 - ověření, že u splňuje slabou formulaci. Tentokrát začneme tím, že slabou formulaci pro um přenásobíme Φ(t), kde Φ ∈ D((0, T )) respektive Φ = χ(0,τ ) (časem využijeme obě volby), a integrujeme přes (0, T ) Z TZ Z TZ m Z tk+1 X u ˜0m ϕΦ dx dt + a(·, um , ∇um ) · ∇ϕΦ dx dt = hfk , ϕiΦ dt. 0

Ω

0

Ω

Limitní přechod m → ∞ dává Z T Z (8.8) hu0 , ϕΦi dt + 0

tk

k=0

0

T

Z

Z A · ∇ϕΦ dx dt =

Ω

T

hf, ϕiΦ dt. 0 0

˜0 v Lp (0, T ; (W01,p (Ω))∗ ), Konvergence prvního integrálu nalevo plyne z u ˜0m * u u ostatních integrálů je zdůvodnění limitních přechodů stejné jako v důkazu identity u(0) = a0 . Zbývá ukázat, že A = a(·, u, ∇u). Nejprve si dokážeme, že (8.9)

um (t) * u(t) v L2 (Ω)

pro skoro všechna t ∈ (0, T ).

Předně díky (8.5) a (8.6) máme um → u v Lq (0, T ; Lq (Ω)), q = min{2, p}, a proto po případném přechodu k podposloupnosti (8.10)

um (t) → u(t) v Lq (Ω)

pro skoro všechna t ∈ (0, T ).

Na druhou stranu, podle prostředního odhadu v (8.4) pro skoro všechna t ∈ (0, T ) je {um (t)} omezená v L2 (Ω) a lze tedy vybrat slabě konvergentní podposloupnost.

PDR

93

Pokud je t navíc takové, že platí (8.10), musí být slabou limitou u(t). To platí pro libovolnou podposloupnost, tedy celá posloupnost splňuje (8.9) pro toto t. Pokračujeme důkazem pomocného výsledku (8.11) Z tZ Z tZ a(·, um , ∇um ) · ∇um dx ds ≤ A · ∇u dx ds pro s.v. t ∈ (0, T ). lim sup m→∞

0

Ω

0

Ω

Volme t ∈ (0, T ), pro které platí (8.9). Pro každé m ∈ N vezměme k = k(m) tak, m aby tm k < t ≤ tk+1 (horní index u dělících bodů značí, že tyto body odpovídají aproximativnímu řešení um ). Levou stranu požadované nerovnosti si přepíšeme do m tvaru vhodného pro použití A2, pak ještě použijeme A3 a nakonec tm k+1 − tk → 0 spolu s posledním odhadem v (8.4) a Hölderovou nerovností Z tZ a(·, um , ∇um ) · ∇um dx ds 0 Ω Z tZ Z tZ a(·, um , 0) · ∇um (a(·, um , ∇um ) − a(·, um , 0)) · (∇um − 0) + = 0

Z

0

Ω Z tm k+1

Ω

Z tZ (a(·, um , ∇um ) − a(·, um , 0)) · (∇um − 0) +

≤ Ω

0 tm k+1

Z

Z

Z

tm k+1

0 tm k+1

Z

a(·, um , 0) · ∇um

Ω

t

Z

≤

Ω

Z

tm k+1

Z

a(·, um , ∇um ) · ∇um + C 0

Ω tm k+1

Z

Ω

Z

a(·, um , ∇um ) · ∇um −

=

a(·, um , 0) · ∇um 0

|∇um | t

Ω

Z

≤

a(·, um , ∇um ) · ∇um dx ds + o(1). 0

Ω

Stačí nám tedy odhadovat integrál úplně napravo. Použijeme identitu (8.3), pak v integrálu z hfk , um i přehodíme průměr z f na um , které je konstantní na interm m valech (tm k , tk+1 ), a nakonec použijeme um (tk+1 ) = um (t), což plyne z právě připomenuté vlatnosti um , a změnu horní integrační meze, kterou spolu s posledním krokem vysvětlíme pod výpočtem Z tm Z k+1 a(·, um , ∇um ) · ∇um dx ds 0

Ω

Z = Ω

k

X a20 dx + τ hfj , um i − 2 j=0

Z Ω

u2m (tm k+1 ) − 2

Z X k m 2 (um (tm j+1 ) − um (tj )) Ω j=0

2

tm k+1

Z 1 2 (ka0 k22 − kum (tm )k ) + hf, um i ds k+1 2 2 0 Z t 1 hf, um i ds + o(1) ≤ (ka0 k22 − kum (t)k22 ) + 2 0 Z t 1 ≤ (ka0 k22 − ku(t)k22 ) + hf, ui ds + o(1). 2 0 ≤

Při přechodu od um k u jsme ve druhém členu využili (8.9) a slabou zdola polospojitost normy, pod integrálem využíváme um * u v Lp (0, T ; W01,p (Ω)) spolu s A5. V odhadu souvisejícím se změnou horní integrační meze jsme využili Hölderovu nerovnost, podmínku A5 kombinovanou s absolutní spojitostí Lebesqueova integrálu

94

PDR

a poslední nerovnost v (8.4), abychom dostali Z tm Z tm k+1 k+1 |hf, um i| ds ≤ kf (s)k(W 1,p (Ω))∗ kum (s)kW 1,p (Ω) ds t

0

t

0

m→∞

≤ kf kLp0 (t,tm

1,p (Ω))∗ k+1 ;(W0

kum kLp (0,T ;W 1,p (Ω)) → 0. 0

Rt Shrneme dosavadní výsledky, integrál 0 hf, ui ds přepíšeme pomocí identity (8.8) testované u(s) ∈ W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) a s volbou Φ = χ(0,t) , nakonec na člen s časovou derivací použijeme bochnerovské per-partes Z tZ a(·, um , ∇um ) · ∇um dx ds lim sup m→∞ 0 Ω Z t 1 2 2 ≤ (ka0 k2 − ku(t)k2 ) + hf, ui ds 2 0 Z t Z tZ 1 2 2 0 = (ka0 k2 − ku(t)k2 ) + hu , ui ds + A · ∇u dx ds 2 0 0 Ω Z tZ = A · ∇u dx ds. 0

Ω

Tím je nerovnost (8.11) dokázána. Důkaz identity A = a(·, u, ∇u) dokončíme pomocí Mintyho triku. Zafixujme libovolné B ∈ Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )). Díky A2 a (8.11) máme (limitní přechod mezi třetím a čtvrtým řádkem vysvětlíme pod výpočtem) (8.12) Z tZ 0 ≤ lim sup (a(·, um , ∇um ) − a(·, um , B)) · (∇um − B) m→∞ 0 Ω Z tZ ≤ lim sup a(·, um , ∇um ) · ∇um m→∞ 0 Ω Z tZ − lim inf a(·, um , B) · (∇um − B) + a(·, um , ∇um ) · B m→∞ 0 Ω Z tZ Z tZ ≤ A · ∇u − a(·, u, B) · (∇u − B) + A · B 0 Ω 0 Ω Z tZ = (A − a(·, u, B)) · (∇u − B). 0

Ω

Konvergence integrálu z druhého členu integrandu na třetím řádku plyne snadno 0 0 z a(·, um , ∇um ) * A v Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )). U prvního členu nám stačí ukázat, že 0 0 a(·, um , B) → a(·, u, B) v Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )), neboli Z TZ Z 0 0 |a(·, um , B) − a(·, u, B)|p dx dt = |a(·, um , B) − a(·, u, B)|p dx dt → 0. 0

Ω

QT

Použijeme Lebesgueovu větu. Díky (8.5) a (8.6) máme po přechodu k podposloupnosti um → u skoro všude v (0,T), což spolu s A1 dává bodovou konvergenci integrandů skoro všude na QT . Zbývá vyrobit majorantu, což provedeme využitím A3 a B ∈ Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )) 0

0

|a(·, um , B) − a(·, u, B)|p ≤ C(1 + |B|p−1 )p ≤ C(1 + |B|p ) ∈ L1 (QT ). Tím je limitní přechod zdůvodněn.

PDR

95

Pokud položíme B = ∇u − λH, kde λ > 0 a H ∈ Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )), nerovnost (8.12) po podělení λ přechází v Z tZ 0≤ (A − a(·, u, ∇u − λH)) · H. 0

Ω

Po limitním přechodu λ → 0+ dostáváme (použijeme Lebesgueovu větu, neboť ai ∈ Car, H ∈ Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )), ∇u ∈ Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )) a máme A3) Z tZ 0≤ (A − a(·, u, ∇u)) · H. 0

Ω

Přechodem k −H dostaneme opačnou nerovnost. Tento výsledek jsme dostali pro skoro všechna t ∈ (0, T ) (viz platnost (8.9) a (8.11)), navíc Lebesgueův integrál je absolutně spojitý, proto Z TZ (A − a(·, u, ∇u)) · H. 0= 0

Ω

Protože H ∈ Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )) bylo libovolné a duál odděluje body, dokázali jsme poslední požadovanou vlastnost A = a(·, u, ∇u)

0

0

jakožto prvky Lp (0, T ; Lp (Ω, Rd )).

9. Lineární teorie semigrup Začneme motivací. Uvažme rovnici u0 − ∆u = 0 s počáteční podmínkou u0 . Pro t ≥ 0 označme S(t)u0 = u(t), neboli S(t) je lineární operátor, který přiřadí počáteční podmínce řešení v čase t. Ten má následující vlastnosti S(0) = Id S(t + s)u0 = S(t)S(s)u0 = S(s)S(t)u0 lim kS(t)u0 − S(t0 )u0 k2 = 0.

t→t0

Definice 9.1. Nechť X je Banachův prostor. Třída omezených lineárních operátorů {S(t)}t≥0 zobrazujících X do X se nazývá semigrupou, jestliže pro všechna v ∈ X a s, t, t0 ≥ 0 S(0) = Id S(t + s)v = S(t)S(s)v = S(s)S(t)v lim kS(t)v − S(t0 )vkX = 0 (pro t0 = 0 jen jednostranná limita).

t→t0

Dále se nazývá ω-kontraktivní (pro ω ∈ R), jestliže kS(t)vkX ≤ exp(ωt)kvkX pro všechna v ∈ X a všechna t ≥ 0 (neboli operátorová norma splňuje kS(t)k ≤ exp(ωt); v dalším operátorovou normu píšeme bez indexu). Definice 9.2. Nechť {S(t)}t≥0 je semigrupa. Označme n o S(t)v − v D(A) := v ∈ X : lim existuje v X t→0+ t a S(t)v − v Av := lim kdykoliv v ∈ D(A). t→0+ t

96

PDR

Pak operátor A : D(A) 7→ X se nazývá generátor semigrupy {S(t)}t≥0 a D(A) je jeho definiční obor. Věta 9.3 (Vlastnosti generátoru semigrupy). Nechť {S(t)}t≥0 je ω-kontraktivní semigrupa a v ∈ D(A). Pak (i) S(t)v ∈ D(A) pro všechna t ≥ 0 (ii) AS(t)v = S(t)Av pro všechna t ≥ 0 d (iii) dt S(t)v = AS(t)v, dokonce t 7→ S(t)v je z C 1 ((0, ∞), X) (iv) D(A) je hustý v X (v) A má uzavřený graf (tedy {vn } ⊂ D(A), vn → v, Avn → w ⇒ v ∈ D(A), Av = w). Důkaz. Tvrzení (i) a (ii) získáme pomocí druhé vlastnosti z definice semigrupy (prohození pořadí operátorů), linearity a spojitosti v čase lim

s→0+

S(t)S(s)v − S(t)v S(s)v − v S(s)S(t)v − S(t)v = lim = lim S(t) s→0+ s→0+ s s s S(s)v − v = S(t) lim = S(t)Av. s→0+ s

Při důkazu tvrzení (iii) si derivaci napíšeme pomocí limity, kterou spočteme nejdřív zprava (analogické výpočtu výše) lim

s→0+

S(t + s)v − S(t)v = AS(t)v. s

Při výpočtu limity zleva (uvažujeme jen 0 < |s| < t) využijeme druhou vlastnost z definice semigrupy, linearitu, spojitost v čase, ω-kontraktivitu a tvrzení (ii) lim

s→0+

S(t − s)v − S(t)v S(t − s)v − S(t − s)S(s)v = lim s→0+ −s −s v − S(s)v S(s)v − v = lim S(t − s) = lim S(t − s) s→0+ s→0+ −s s S(s)v − v − Av = lim S(t − s)Av + lim S(t − s) s→0+ s→0+ s = S(t)Av + 0 = AS(t)v,

neboť

S(s)v − v

S(s)v − v

− Av ≤ kS(t − s)k − Av

S(t − s) s s X X

S(s)v − v

≤ exp(ω(t − s)) − Av s X

n1 o S(s)v − v

≤ exp max ωt, ωt − Av → 0. 2 s X d S(t)v = AS(t)v a protože výraz AS(t)v = S(t)Av je spojitý v čase, Máme tedy dt máme i druhou část tvrzení. R1 Dokažme tvrzení (iv). Zvolme v ∈ X libovolné, položme vn = n 0n S(s)v ds (Bochnerův integrál, který existuje díky spojitosti semigrupy v čase). Chceme ukázat, že kvn − vkX → 0 a vn ∈ D(A). První vlastnost plyne ze spojitosti semigrupy

PDR

97

v čase, neboť

Z

kvn − vkX = n

1 n

0

S(s)v − S(0)v ds

Z ≤n

X

1 n

kS(s)v − S(0)vkX ds 0

≤ max1 kS(s)v − S(0)vkX → 0. s∈[0, n ]

Druhá vlastnost plyne z výpočtu (podrobnosti uvedeme níže), kde 0 < t < n1 Z n1 Z n1 S(t)vn − vn n S(t) = S(s)v ds − S(s)v ds t t 0 0 Z n1 Z n1 n = S(t + s)v ds − S(s)v ds t 0 0 1 Z n1 Z n t+ n S(s)v ds − S(s)v ds = t t 0 Z t Z t+ n1 t→0 1 n + S(s)v ds → n S = S(s)v ds − v − S(0)v . 1 t n 0 n V limitním přechodu na konci jsme využili časovou spojitost. Prohození operátoru a Bochnerova integrálu při přechodu na druhý řádek je zřejmé v případě, kdy s 7→ S(s)v je jednoduché zobrazení (neboť S(t) je lineární). V obecném případě využijeme toho, že s 7→ S(s)v je spojité, lze jej tedy aproximovat jednoduchými zobrazeními a S(t) je spojitý na X (je lineární a omezený). Při důkazu tvrzení (v) předpokládejme, že {vn } ⊂ D(A), vn → v a Avn → w. Podle (iii) a (ii) máme Z t Z t Z t d S(t)vn − vn = S(s)vn ds = AS(s)vn ds = S(s)Avn ds. 0 ds 0 0 Odtud Z t

S(t)v − v =

S(s)w ds 0

(nalevo jsme použili vn → v, napravo Avn → w a stejnoměrnou omezenost S(s), s ∈ [0, t], která plyne z ω-kontraktivity). Nyní díky časové spojitosti Z 1 t S(t)v − v = lim S(s)w ds = w. lim t→0+ t 0 t→0+ t Tedy v ∈ D(A) a Av = w.

Pro nás bude zajímavější obrácený postup, kdy k lineárnímu operátoru A : D(A) 7→ X s hustým definičním oborem a uzavřeným grafem budeme konstruovat semigrupu. Nejprve si připomeňme Věta 9.4 (Věta o uzavřeném grafu). Nechť X, Y jsou Banachovy prostory, L : X 7→ Y je lineární, D(L) = X a L má uzavřený graf. Pak L je spojité. Definice 9.5. Řekneme, že λ ∈ R patří do rezolventní množiny operátoru A (píšeme λ ∈ %(A)), jestliže operátor λI − A : D(A) 7→ X je prostý a na. Je-li λ ∈ %(A), rezolventní operátor Rλ : X 7→ X je definován jako (λI − A)−1 .

98

PDR

Pomocí věty o uzavřeném grafu se snadno ověří, že pro λ ∈ %(A) je Rλ omezený lineární operátor. Věta 9.6 (Vlastnosti rezolventních operátorů). Nechť platí podmínky uvedené výše. Pak (i) Rλ Av = ARλ v pro všechna v ∈ D(A) (ii) Rλ − Rµ = (λ − µ)Rλ Rµ kdykoliv λ, µ ∈ %(A) (iii) Rλ Rµ = Rµ Rλ kdykoliv λ, µ ∈ %(A) (iv) je-li A generátor ω-kontraktivní semigrupy {S(t)}t≥0 , pak (ω, ∞) ⊂ %(A) a pro všechna λ ∈ (ω, ∞) platí Z

∞

exp(−λt)S(t)v dt

Rλ v =

a

kRλ k ≤

0

1 . λ−ω

Důkaz. Dokažme tvrzení (i). Protože inverzní zobrazení k lineárnímu je opět lineární, máme Rλ Av = (λI − A)−1 Av = (λI − A)−1 (Av − λv + λv) = −v + (λI − A)−1 λv = −v + λRλ v. Na druhou stranu ARλ v = (A − λI + λI)Rλ v = −v + λRλ v. Tím je požadovaná rovnost dokázána. Část (ii) je dokázána výpočtem Rλ − Rµ = Rλ (I − (λI − A)Rµ ) = Rλ (I − (µI − A)Rµ + (µ − λ)IRµ ) = (µ − λ)Rλ Rµ . Třetí tvrzení plyne z druhého. R∞ Dokažme tvrzení (iv). Pro všechna v ∈ X položme Jv := 0 exp(−λt)S(t)v dt. Zobrazení pod integrálem je silně měřitelné díky spojitosti t 7→ S(t)v. Dále použijeme ω-kontraktivitu a λ > ω Z ∞

Z ∞

kJvkX = exp(−λt)S(t)v dt ≤ exp(−λt)kS(t)vkX dt X 0 0 Z ∞ Z ∞ ≤ exp(−λt) exp(ωt)kvkX dt = kvkX exp(−(λ − ω)t) dt 0

0

1 = kvkX . λ−ω Zbývá tedy ukázat, že λ ∈ %(A), (λI − A) je prosté a na a Jv = Rλ v. Pro libovolná s > 0 a v ∈ X máme (zasunutí operátoru S(s) pod integrál se zdůvodní stejně jako

PDR

99

v důkazu minulé věty) S(s)Jv − Jv s Z ∞ Z ∞ 1 exp(−λt)S(t)v dt exp(−λt)S(t)v dt − S(s) = s 0 Z 0∞ Z 1 ∞ = exp(−λt)S(t)v dt exp(−λt)S(t + s)v dt − s 0 0 Z Z ∞ 1 ∞ = exp(−λ(t − s))S(t)v dt − exp(−λt)S(t)v dt s 0 Z ∞s Z exp(−λ(t − s)) − exp(−λt) 1 s = exp(−λ(t − s))S(t)v dt S(t)v dt − s s 0 0 Z ∞ Z s exp(λs) − 1 1 = exp(−λt)S(t)v dt − exp(λs) exp(−λt)S(t)v dt. s s 0 0 Proto AJv = lim

s→0+

S(s)Jv − Jv = λJv − S(0)v = λJv − v s

a tedy (λI − A)Jv = v

∀v ∈ X

(speciálně λI − A je na).

Na druhou stranu, pokud v ∈ D(A), tvrdíme Z ∞ Z (9.1) AJv = A exp(−λt)S(t)v dt = 0

∞

exp(−λt)S(t)Av dt = JAv.

0

Skutečně, první a poslední rovnost plynou z definice J. Při důkazu druhé rovnosti využijeme toho, že integrand je spojitý a pro všechna t patří do D(A) (věta o vlastnostech generátoru semigrupy) a integrál tedy můžeme aproximovat integrálem z po částech konstantního zobrazení, tj. konečně mnoho intervalů konečné délky, na zbytku identická nula díky λ > ω a ω-kontraktivitě (reprezentace této aproximace je vidět ve volbě zn níže). Libovolně přesnou aproximaci můžeme udělat zároveň pro integrand exp(−λt)S(t)v a zároveň pro exp(−λt)S(t)Av (A sice obecně spojitý není, ale pro pevné v ∈ D(A) je i Av pevný prvek X s konečnou normou). Proto Pkn pro zn := k=1 (tk − tk−1 ) exp(λtk )S(tk )v máme Z ∞ zn → z := exp(−λt)S(t)v dt 0

a zároveň lim Azn = lim A

n→∞

n→∞

n→∞

Z =

(tk − tk−1 ) exp(−λtk )AS(tk )v

k=1 kn X

n→∞

(tk − tk−1 ) exp(−λtk )S(tk )v

k=1 kn X

= lim

= lim

kn X

(tk − tk−1 ) exp(−λtk )S(tk )Av

k=1

∞

exp(−λt)S(t)Av dt =: w. 0

100

PDR

Protože A má uzavřený graf, musí platit z ∈ D(A) a zároveň Az = w, což je dokazovaná druhá rovnost v (9.1). Podle (9.1) máme v = (λI − A)Jv = λJv − AJv = λJv − JAv = J(λI − A)v a tedy J(λI − A)v = v

∀v ∈ D(A)

Celkově λ ∈ %(A) a J = (λI − A)

−1

(speciálně λI − A je prosté).

= Rλ .

Věta 9.7 (Hille-Yosidova věta). Nechť A : D(A) 7→ X je lineární operátor s hustým definičním oborem a uzavřeným grafem. Pak A je generátorem ω-kontraktivní semigrupy právě tehdy, když 1 pro všechna λ > ω. (ω, ∞) ⊂ %(A) a kRλ k ≤ λ−ω Důkaz. Implikaci "⇒"dává čtvrtá část předchozí věty. Obrácenou implikaci dokážeme v několika krocích (semigrupu zkonstruujeme). Krok 1. (aproximativní operátor Aλ ) Zafixujme λ > ω a položme Aλ := λARλ = λ(A − λI + λI)Rλ = −λI + λ2 Rλ . Platí D(Aλ ) = X (tedy má lepší definiční obor než A). Nejprve ukažme, že λ→∞

Aλ v → Av

(9.2)

∀v ∈ D(A).

Pro všechna v ∈ D(A) máme díky ARλ = Rλ A (viz první část předchozí věty) a 1 předpokladu kRλ k ≤ λ−ω kλRλ v − vkX = k(A − λI + λI)Rλ vkX = kARλ vkX = kRλ AvkX kAvkX λ→∞ → 0. λ−ω Tedy λRλ v → v, zatím ale jen pro všechna v ∈ D(A). Zvolme tedy libovolné v ∈ X. Pak z hustoty D(A) v X existují {vn } ⊂ D(A) taková, že vn → v. Proto 1 díky kRλ k ≤ λ−ω a předchozímu odhadu pro kλRλ vn − vn kX dostáváme pro λ a n dost velké kλRλ v − vkX ≤ kλRλ v − λRλ vn kX + kλRλ vn − vn kX + kvn − vkX ≤ kRλ kkAvkX ≤

kAvn kX + kvn − vkX λ−ω λ kAvn kX ≤ kvn − vkX + + kvn − vkX λ−ω λ−ω 2kAvn kX ≤ Ckvn − vkX + . λ Odtud již snadno λRλ v → v pro všechna v ∈ X (skutečně, první člen úplně napravo umíme udělat libovolně malý volbou hodně velkého n a pro takto zvolené pevné n vezmene tak velké λ, že bude malý i druhý člen). Tento výsledek použijeme spolu s definicí Aλ a ARλ = Rλ A ≤ λkRλ kkvn − vkX +

λ→∞

Aλ v − Av = λARλ v − Av = λRλ Av − Av = (λRλ − I)Av → 0. Tím je dokázáno (9.2).

PDR

101

Krok 2. (aproximativní semigrupa {Sλ (t)}t≥0 ) Zafixujme λ > ω. Pro všechna t ≥ 0 definujme Sλ (t) := exp(tAλ ) = exp((−λI + λ2 Rλ )t) = exp(−λt)

∞ X (λ2 t)k k=0

k!

Rλk .

Máme

(9.3)

∞ X (λ2 t)k

∞ X λ 2 t k 1 k! λ − ω k! k=0 k=0 λ2 t ω2 t = exp −λt + = exp ωt + , λ−ω λ−ω

kSλ (t)k ≤ exp(−λt)

kRλk k ≤ exp(−λt)

což implikuje, že Sλ (t) je dobře definovaný omezený lineární operátor. Snadno se dá ověřit, že {Sλ (t)}t≥0 má semigrupové vlastnosti (tu druhou lze ověřit pomocí vzorečku exp(a + b) = exp(a) exp(b) rozepsaného pomocí sumy). Ještě ověříme, že Aλ je generátor semigrupy {Sλ (t)}t≥0 derivací podle času (časová derivace je silnější pojem než potřebujeme, neboť obsahuje i limitní přechod zleva; je nutné ověřit stejnoměrnou konvergenci sumy po derivaci) ∞

∞

k=0

k=1

X (λ2 t)k X (λ2 t)k k d d t Sλ (t)v = exp(−λt) Rλk v = −λSλ (t)v + exp(−λt) Rλk v dt dt k! k! = −λSλ (t)v + λ2 Rλ Sλ (t)v = Aλ Sλ (t)v. Nyní stačí položit t = 0. Krok 3. ({S(t)}t≥0 jako limita {Sλ (t)}t≥0 pro λ → ∞) Začneme cauchyovskostí {Sλ (t)}t≥0 . Zafixujme λ, µ > ω a v ∈ D(A). Pak platí (vysvětlíme pod výpočtem) Z t d Sλ (t)v − Sµ (t)v = Sµ (t − s)Sλ (s)v ds 0 ds Z t (9.4) = −Aµ Sµ (t − s)Sλ (s)v + Sµ (t − s)Aλ Sλ (s)v ds 0 Z t = Sµ (t − s)Sλ (s)(Aλ v − Aµ v) ds. 0

Na prvním řadku jsme použili Newtonovu formuli a skutečnost, že v krajních bodech je vždy jeden ze skládaných operátorů identita. Při derivování jsme jednak použili poslední výpočet z druhého kroku, navíc kalkulus derivování složeniny operátorů ze semigrupy vychází ze vzorečku S(t + h)S(t + h)v − S(t)S(t)v h S(t + h)S(t + h)v − S(t)S(t + h)v S(t)S(t + h)v − S(t)S(t)v = + . h h Na posledním řádku jsme využili toho, že Rλ Rµ = Rµ Rλ , ARλ = Rλ A a ARµ = Rµ A (vše je z věty o vlastnostech rezolventních operátorů) implikují Aµ Aλ = Aλ Aµ (viz definici Aλ ) a proto také Aµ Sλ (t) = Sλ (t)Aµ .

102

PDR

Nyní podle (9.4) a (9.3) kSλ (t)v − Sµ (t)vkX Z t kSµ (t − s)kkSλ (s)kkAλ v − Aµ vkX ds ≤ (9.5) 0 Z t ω 2 (t − s) ω2 s ≤ kAλ v − Aµ vkX exp ω(t − s) + exp ωs + ds. µ−ω λ−ω 0 Odtud již snadno nahlédneme, že pro pevné t a v je Sλ (t)v cauchyovská v X (pro λ → ∞; podle (9.2) je Aλ (t) cauchyovská a integrál je omezený pro λ, µ odražené od ω). Můžeme tedy definovat ∀t ≥ 0, ∀v ∈ D(A).

S(t)v := lim Sλ (t)v λ→∞

Provedeme ještě rozšíření operátoru S(t) z D(A) na celé X. Zafixujme t ≥ 0 a v ∈ X. Vezměme {vn } ⊂ D(A) tak, aby vn → v. Pak kSλ (t)v − Sµ (t)vkX ≤ kSλ (t)vn − Sµ (t)vn kX + kSλ (t)vn − Sλ (t)vkX + kSµ (t)vn − Sµ (t)vkX odkud už plyne cauchyovskost (na první člen použijeme (9.5) spolu s výsledkem (9.2), na zbývající členy použijeme (9.3) a vn → v). Ještě si povšimněme, že na omezených časových intervalech jsme získali cauchzovskost pro stejnoměrnou konvergenci Sλ (t)v → S(t)v vůči t. Proto lze definovat (9.6)

∀t ≥ 0, ∀v ∈ X.

S(t)v := lim Sλ (t)v λ→∞

Krok 4. ({S(t)}t≥0 je ω-kontraktivní semigrupa) Limitním přehodem v (9.3) dostáváme ω-kontraktivitu. Vlastnost S(0) = Id je důsledkem Sλ (0) = Id a limitního přechodu. Druhá semigrupová vlastnost plyne z kS(s + t)v − S(s)S(t)vkX ≤ kS(s + t)v − Sλ (s + t)vkX + kSλ (s + t)v − Sλ (s)Sλ (t)vkX + kSλ (s)Sλ (t)v − Sλ (s)S(t)vkX + kSλ (s)S(t)v − S(s)S(t)vkX , kde první člen pravé strany umíme udělat libovolně malý volbou hodně velkého λ, druhý je vždy nulový, ve třetím můžeme použít konvergenci spolu s uniformním odhadem (9.3), v posledním použijeme opět konvergenci. Spojitost vůči času plyne z kS(t)v−S(t0 )vkX ≤ kS(t)v−Sλ (t)vkX +kSλ (t)v−Sλ (t0 )vkX +kSλ (t0 )v−S(t0 )vkX , kde první a třetí člen umíme udělat libovolně malý volbou dostatečně velkého λ (máme stejnoměrnou konvergenci vůči času například na (0, 2t0 )) a pro pevně zvolené λ už máme malý i druhý člen, je-li |t − t0 | malá. Krok 5. (A je generátorem {S(t)}t≥0 ) Nechť B : D(B) 7→ X je generátor {S(t)}t≥0 . Stejnými metodami jako při odvození (9.4) získáme Z t Z t Z t d Sλ (s)v ds = Aλ Sλ (s)v ds = Sλ (s)Aλ v ds. Sλ (t)v − v = 0 0 0 ds Limitním přechodem λ → ∞ získáme pro v ∈ D(A) Z t (9.7) S(t)v − v = S(s)Av ds, 0

PDR

103

neboť nalevo lze užít (9.6) a napravo (viz (9.3), (9.2) a (9.6), kde se jedná o stejnoměrnou konvergenci na omezených intervalech) λ→∞

kSλ (s)Aλ v − S(s)AvkX ≤ kSλ (s)kkAλ v − AvkX + kSλ (s)Av − S(s)AvkX ⇒ 0. Z (9.7) a spojitosti s 7→ S(s)Av máme S(t)v − v 1 Bv = lim = lim t→0+ t→0 t + t

(9.8)

t

Z

S(s)Av ds = Av

∀v ∈ D(A).

0

Tedy D(B) ⊃ D(A) a oba jsou husté v X. Podle předpokladu dokazované implikace máme (ω, ∞) ⊂ %A, zároveň také z věty o vlastnostech rezolventních operátorů víme, že (ω, ∞) ⊂ %B. Tedy pro libovolné λ ∈ (ω, ∞) ⊂ %A ∩ %B podle definice rezolventní množiny platí X = (λI − B)(D(B)) přičemž zobrazení je prosté. Zároveň s využitím (9.8) X = (λI − A)(D(A)) = (λI − B)(D(A)). Proto nutně D(B) = D(A), což je množina, pro niž máme (9.8). Tedy A = B a A je generátorem {S(t)}t≥0 . Aplikace na parabolickou rovnici. Uvažme úlohu u0 + Lu = 0 u=0

(9.9)

u(0, ·) = a0

na QT na [0, T ] × ∂Ω na Ω,

kde Lu := − div(A∇u) + b · ∇u + cu a máme technické předpoklady (A0) Ω má hladkou hranici (A1) ∃α > 0 : Aξ · ξ ≥ α|ξ|2

pro všechna ξ ∈ Rd a všechna (t, x) ∈ QT

(A2) aij , bi , c ∈ C ∞ (Ω) (nezávisí na t) (A3) a0 ∈ L2 (Ω). Úlohu přeformulujeme pro aplikaci teorie semugrup, kde X = L2 (Ω), D(A) := W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω) a Av := −Lv pro v ∈ D(A). K našemu diferenciálnímu operátoru přiřadíme bilineární formu Z B(u, ϕ) := A∇u · ∇ϕ + b · ∇uϕ + cuϕ dx Ω

a platí pro ni (viz Lemma o vlastnostech formy B(·, ·) v kapitole o Fredholmově alternativě, kde jsme měli o něco obecnější diferenciální operátory) (9.10)

Ckuk2W 1,2 (Ω) ≤ B(u, u) + ωkuk2L2 (Ω) ,

kde C, ω > 0. Věta 9.8. Operátor A generuje ω-kontraktivní semigrupu {S(t)}t≥0 na L2 (Ω).

104

PDR

Důkaz. Důkaz spočívá v aplikaci Hille-Yosidovy věty. Předně D(A) je hustý v L2 (Ω). Pokračujeme důkazem uzavřenosti grafu. Nejprve odcitujme výsledek Evansovy knihy. Věta 4 v sekci 6.3.2 říká, že řešení rovnice Lu = f s nulovou okrajovou podmínkou a s f ∈ L2 (Ω) splňuje u ∈ W 2,2 (Ω)

a

kuk2,2 ≤ Ckf k2 + Ckuk2

(věta je velmi podobná naší větě o regularitě na Rd ze třetí kapitoly). Předpokládejme, že {vn } ⊂ D(A), vn → v a Avn → w v L2 (Ω). Chceme v ∈ D(A) a Av = w. Dále si povšimněme, že vn řeší slabou formulaci eliptické úlohy Lvn = Lvn (položili jsme f = Lvn ), což není úplně zřejmé, neboť ve členu s maticí se provádí per-partes pouze na levé straně. To je ale v našem případě ekvivalentní úprava, neboť vn ∈ W 2,2 (Ω), testovací funkce je z W01,2 (Ω) a obě funkce umíme aproximovat hladkými funkcemi v příslušných normách. Protože L je lineární a vn řeší eliptickou úlohu zmíněnou výše, po aplikaci výsledku o regularitě slabého řešení máme kvk − vl k2,2 ≤ CkAvk − Avl k2 + Ckvk − vl k2 . Proto plyne z vn → v a Avn → w, že {vn } je cauchyovská v W 2,2 (Ω). Odtud a z vn → v v L2 (Ω) dostáváme vn → v v W 2,2 (Ω). To na jednu stranu zaručuje, že v ∈ D(A), na druhou stranu z definice L máme Avk → Av v L2 (Ω) a tedy Av = w. Dále ukážeme, že (ω, ∞) ⊂ %(A). Podle první existenční věty ze třetí kapitoly existuje jednoznačné řešení u ∈ W01,2 (Ω) úlohy Lu + λu = f

(9.11)

na Ω

u = 0 na ∂Ω. 2

kdykoliv f ∈ L (Ω) a λ ≥ ω (klíčový je odhad (9.10)). Věta o regularitě opět zaručuje, že u ∈ W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω). To lze interpretovat (připomeňme Av = −Lv) tak, že λI − A : D(A) 7→ L2 (Ω) je prosté a na kdykoliv λ ≥ ω. Proto máme (ω, ∞) ⊂ %(A). Ve slabé formulaci problému (9.11), to jest B(u, ϕ) + λ(u, ϕ) = (f, ϕ)

∀ϕ ∈ W01,2 (Ω),

zvolíme ϕ = u a použijeme (9.10) (λ − ω)kuk22 ≤ kf k2 kuk2 . Proto pro všechna λ > ω máme 1 1 kf k2 neboli kRλ k ≤ , λ−ω λ−ω čímž jsme splnili poslední požadavek Hille-Yosidovy věty. kRλ f k2 = kuk2 ≤

Aplikace na hyperbolickou rovnici. Uvažme úlohu u00 + Lu = 0 u=0

(9.12) u(0, ·) = a0 ,

0

u (0, ·) = a1

na QT na [0, T ] × ∂Ω na Ω,

kde Lu := − div(A∇u) + cu

PDR

105

a máme technické předpoklady (A0) Ω má hladkou hranici (A1) ∃α > 0 : Aξ · ξ ≥ α|ξ|2

pro všechna ξ ∈ Rd a všechna (t, x) ∈ QT

(A2) aij , c ∈ C ∞ (Ω) (nezávisí na t), aij = aji , c ≥ 0 (A3) a0 ∈ W01,2 (Ω), a1 ∈ L2 (Ω). Úlohu nejprve přepíšeme na systém rovnic prvního řádu u0 = v,

v 0 + Lu = 0

na QT na [0, T ] × ∂Ω

u=0 u(0, ·) = a0 ,

v(0, ·) = a1

na Ω.

Technické předpoklady zaručují existenci β > 0 takového, že (9.13)

βkuk1,2 ≤ B(u, u)

∀u ∈ W01,2 (Ω).

Položíme X = W01,2 (Ω) × L2 (Ω), D(A) := (W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω)) × W01,2 (Ω) a A(u, v) := (v, −Lu) pro (u, v) ∈ D(A) (v této časti textu (·, ·) značí dvě složky prvku X, pro přehlednost zde budeme skalární součin na L2 (Ω) psát jako (·, ·)2 ). Na prostoru X lze zavést skalární součin (při ověření požadovaných vlastností se využije elipticita a symetrie A spolu s c ≥ 0) (9.14)

((u1 , v1 ), (u2 , v2 ))X := B(u1 , u2 ) + (v1 , v2 )2 . 1

2 a Standardním způsobem pak definujeme normu jako k(u, v)kX = ((u, v), (u, v))X platí pro ni Cauchy-Schwarzova nerovnost.

Věta 9.9. Operátor A generuje 0-kontraktivní semigrupu {S(t)}t≥0 na W01,2 (Ω) × L2 (Ω). Důkaz. Důkaz spočívá v aplikaci Hille-Yosidovy věty. Předně D(A) je hustý díky hustotě D(Ω) v uvažovaných prostorech. Pokračujeme důkazem uzavřenosti grafu. Předpokládejme, že {(un , vn )} ⊂ D(A) splňuje (9.15) (un , vn ) → (u, v) a A(un , vn ) = (vn , −Lun ) → (g, h) v W01,2 (Ω) × L2 (Ω). Chceme (u, v) ∈ D(A) a A(u, v) = (g, h). Díky (9.15) máme (9.16)

v = g ∈ W01,2 (Ω)

a

− Lun → h v L2 (Ω).

Protože L je lineární a un je slabé řešení úlohy Lun = Lun (položili jsme f = Lun , podrobnosti byly uvedeny v aplikaci na parabolickou rovnici), máme podle výsledku o regularitě kuk − ul k2,2 ≤ CkLuk − Lul k2 + Ckuk − ul k2 . Proto podle (9.15) a (9.16) je {un } cauchyovská v prostoru W 2,2 (Ω) a proto un → u v W 2,2 (Ω). Kombinací tohoto výsledku a první části (9.16) získáváme (u, v) ∈ D(A). Konečně, konvergence un → u v W 2,2 (Ω) zaručuje, že Lun → Lu v L2 (Ω). Tento výsledek spolu s (9.16) dávají A(u, v) = (v, −Lu) = (g, h).

106

PDR

Tím je uzavřenost grafu dokázána. Dále ukážeme, že (0, ∞) ⊂ %(A). K tomu studujeme vlastnosti zobrazení λI − A : D(A) 7→ X, neboli operátorovou rovnici λ(u, v) − A(u, v) = (g, h). Ta se dá díky definici operátoru A napsat po složkách (pro u ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω) a v ∈ W01,2 (Ω)) λu − v = g (9.17) λv + Lu = h. Z první rovnice si vyjádříme v, dosadíme ho do druhé a dostáváme λ2 u + Lu = λg + h. První existenční věta ze třetí kapitoly nám dává jednoznačné slabé řešení u ∈ W01,2 (Ω), kdykoliv λ2 ≥ 0. Věta o regularitě navíc zaručuje, že u ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω). Nyní již stačí položit v = λu − g ∈ W01,2 (Ω) (skutečně, g ∈ W01,2 (Ω) podle volby X) a pak (u, v) je jednoznačné řešení původního problému. Máme tedy (0, ∞) ⊂ %(A). Nechť nyní λ > 0, (g, h) ∈ X a (u, v) = Rλ (g, h) je jednoznačné řešení, které jsme získali výše. Ve slabé formulaci druhé rovnice v (9.17), tedy λ(v, ϕ)2 + B(u, ϕ) = (h, ϕ)2

∀ϕ ∈ W01,2 (Ω),

volíme ϕ = v λkvk22 + B(u, v) = (h, v)2 . Využijme ještě vztah v = λu − g a použijeme značení (9.14) spolu s CauchySchwarzovou nerovností λk(u, v)k2X = λ(kvk22 + B(u, u)) = λkvk22 + B(u, v) + B(u, g) = (v, h)2 + B(u, g) = ((u, v), (g, h))X ≤ k(u, v)kX k(g, h)kX . Proto pro všechna λ > 0 máme 1 k(g, h)kX neboli λ čímž jsme splnili poslední požadavek Hille-Yosidovy věty. kRλ (g, h)kX = k(u, v)kX ≤

kRλ k ≤

1 , λ

PDR. Na levé straně použijeme vícerozměrné per-partes (důsledek z Gauss-Ostrogradského věty)

Recommend Documents