OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : LUCIA WINDA CESARI NIM : 121414131

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKANMATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2016

i


SKRIPSI

OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

ii


SKRIPSI OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

iii


HALAMAN PERSEMBAHAN

“Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya, bahkan Ia memberikan kekekalan dalam hati mereka...” (Pengkhotbah, 3 : 11)

Karya ini kupersembahkan untuk : Tuhan Yesus yang senantiasa membimbing dan menyertaiku. Bapakku Valentinus Susanto dan Ibuku Veronika Jumiyem. Kakak pertamaku, Felix Santi Wedanti. Kakak keduaku, drh. Bibiana Krisanti dan suami. Keponakanku Cyrilla Diandra Kinarian Putri Nugraha. My Best Partner Ever David Hantoro. Rohkat-kris SMA N 1 Yogyakarta : Silvi, Winda, Ndari, Kiky, dan semua rohkat-kris yang selalu memberi dukungan dan semangat. Kawan, saudara, serta sahabat seperjuangan di Pendidikan Matematika Edith, Riris, Grace, Dennis, Dedy, Anton. Almamaterku, Universitas Sanata Dharma.

iv


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

v


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

: Lucia Winda Cesari

Nomor Mahasiswa

: 121414131

Demi perkembangan ilmu pengetahuan saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin kepada saya atau memberikan royalti pada saya selama masih tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Yogyakarta, 31 Agustus 2016 Yang menyatakan

vi


ABSTRAK Lucia Winda Cesari, 2016. Optimasi Waktu Produksi dan Analisis Keperiodikan pada Graf Sistem Produksi Ber-Loop dengan Menggunakan Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-plus. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji persamaan pada graf sistem produksi ber-loop serta analisis keperiodikannya dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus. Penelitian diawali dengan membuat graf sistem produksi modifikasi sesuai dengan banyaknya loop yang ada pada graf produksi. Selanjutnya disusun aturan sinkronisasi yang sesuai dengan graf modifikasi serta pemodelan sistem persamaan linear sesuai dengan aturan sinkronisasi yang ada. Langkah berikutnya adalah membahas penjadwalan periodik dari barisan keadaan sistem dan output berdasarkan pada sistem persamaan linear aljabar max-plus. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa graf sistem produksi ber-loop dapat disajikan dalam suatu graf modifikasi dengan penambahan unit pemrosesan sesuai banyaknya loop. Dari perhitungan barisan keadaan sistem dan output pada graf sistem produksi ber-loop, barisan input paling lambat dapat ditentukan dengan menjadikan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit-unit pemrosesan yang memulai pemrosesan secara langsung tanpa menunggu unit pemrosesan lain sebagai input pertama. Barisan input selanjutnya ditentukan secara periodik dengan periode sebesar yang merupakan nilai eigen maksimum matriks A. Hal ini membuat barisan keadaan sistem dan output yang terbentuk menjadi periodik. Kata Kunci : Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-plus, Loop, Sistem Produksi, Optimasi, Periodik

vii


ABSTRACT Lucia Winda Cesari, 2016. Optimization of Production Time and Periodicity Analysis in a Production System Graph with Loop Using Linear Equation System in Max-Plus Algebra. Thesis. Mathematic Education Study Program, Mathematic and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. This research aims to study about the equation of production system graph with loop and periodicity analysis using linear equations system in maxplus algebra. This research is started by making modification production system graphs based on the number of loops that exist in the production graph. Then, arranging the synchronization rules based on graph modification and making the mathematic model of linear equations system based on the existing synchronization. The next step is discussing the periodic schedule of the state and output of the system based on a linear equations system in max-plus algebra. The results of this research indicate that graph with loop in production system can be presented in a modification graph by the addition of the processing unit according to the number of the loops. From the calculation of the state and outputs on a production system graph with loop, the slowest input sequence can be determined by making the maximum value of processing time on the processing units as the first input. The maximum value of processing time on the processing units are based on the process that start immediately without waiting for another processing unit. The following input rows are determined periodically with a period of λ which is the maximum eigen value of A. This makes the state and output of the system rows formed to be periodic. Keywords: Linear Equations System in Max-plus Algebra, Loop, Production Systems, Optimization, Periodic

viii


KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmatNya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Optimasi Waktu Produksi dan Analisis Keperiodikan pada Graf Sistem Produksi Ber-Loop dengan Menggunakan Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus” dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. Berbagai hambatan dan rintangan telah penulis hadapi selama penulisan skripsi ini, namun berkat bantuan doa, dukungan, serta motivasi dari semua pihak, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1.

Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.

2.

Dr. Hongki Julie, M.Si selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika.

3.

Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd selaku dosen pembimbing skripsi yang telah berkenan meluangkan waktu, tenaga, serta pikiran untuk membimbing penulis dengan penuh kesabaran selama penulisan skripsi.

4.

Prof. Dr. St. Suwarsono selaku dosen pembimbing akademik yang telah membantu dan membimbing penulis terutama berkaitan dengan hal akademis selama penulis menempuh kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

ix


5.

Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

6.

Ibu Wasilah selaku pemilik pabrik kue yang telah memberikan izin dan kesempatan kepada penulis untuk melakukan observasi.

7.

Kedua orang tuaku, Bapak Valentinus Susanto dan Veronika Jumiyem yang senantiasa memberikan kasih sayang yang tak ternilai serta dukungan baik moral maupun finansial.

8.

Kakak-kakakku, Felix Santi Wedanti, drh. Bibiana Krisanti beserta suami, Bonaventura Jiwantara Adhi N serta keponakanku Cyrilla Diandra Kinarian Putri Nugraha yang selalu memberikan dorongan, motivasi dan penghiburan kepada penulis.

9.

Mas David Hantoro yang senantiasa memberikan perhatian, dukungan, kesabaran, serta motivasi yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

10. Kakak-kakak serta sahabat-sahabatku di Rohkat-kris SMA N 1 Yogyakarta, Silvia Rina Primasari, Rosaliani Windawati, Monica Kuswandari HP, Rizky Cynthia Putri, serta rohkaters semua yang telah memberikan semangat yang luar biasa besar kepada penulis. 11. Sahabat-sahabatku Edith Avendita Asa, Grace Nindita, Riris Ayu, Dennis Meilky La’lang, Dedy Lucky, Antonius Doni yang telah memberikan dukungan, motivasi, serta menemani dalam suka duka selama menempuh kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika.

x


12. Teman – teman seperjuangan di Program Studi Pendidikan Matematika 2012, khususnya kelas C yang telah berbagi pengalaman selama penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma. 13. Rekan-rekan di UKM Pengabdian Masyarakat khususnya pengurus UKM Pengabdian Masyarakat periode 2013-2014 yang telah berbagi pengalaman yang tak ternilai melalui dinamika kepanitiaan serta pelaksanaan programprogram UKM selama penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma. 14. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat dan memberikan wawasan bagi setiap pembaca. Yogyakarta, 31 Agustus 2016

Penulis

xi


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................................ ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii ABSTRACT ......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xvi DAFTAR SIMBOL............................................................................................. xvii BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Kajian Pustaka.............................................................................................. 4 C. Rumusan Masalah ........................................................................................ 5 D. Pembatasan Masalah .................................................................................... 5 E. Batasan Istilah .............................................................................................. 6 F.

Tujuan Penelitian ......................................................................................... 7

G. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 7 H. Metode Penelitian......................................................................................... 8 I.

Sistematika Penulisan .................................................................................. 9 xii


BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 12 A. Optimasi ..................................................................................................... 12 B. Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Max-plus .................................................. 12 C. Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus............................................. 16 D. Teori Graf dalam Aljabar Max-plus ........................................................... 26 E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus ................................... 27 F. Penerapan Aljabar Max-plus dalam Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian dan Sistem Produksi Sederhana .......................................................... 37 BAB III PEMODELAN WAKTU PRODUKSI DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP ....................................................................... 57 A. Loop Tunggal ............................................................................................. 58 B. Loop Berganda (Multi Loop)...................................................................... 66 C. Loop Berganda dengan Banyak Titik (Multi Loop Multi Vertex) .............. 76 D. Analisis Model ......................................................................................... 113 BAB IV ANALISIS WAKTU OPTIMUM DAN PENJADWALAN PRODUKSI SECARA PERIODIK ......................................................................................... 119 A. Analisis Barisan Keadaan Sistem dan Output.......................................... 119 B. Penjadwalan Produksi Secara Periodik .................................................... 129 C. Keterbatasan Penelitian ............................................................................ 131 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 132 A. KESIMPULAN ........................................................................................ 132 B. SARAN .................................................................................................... 133 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 135 LAMPIRAN ........................................................................................................ 136

xiii


DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Tunggal........................ 60 Tabel 3.2 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Tunggal.................. 60 Tabel 3.3 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Berganda...................... 68 Tabel 3.4 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Berganda................ 68 Tabel 3.5 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex........81 Tabel 3.6 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex.. 81 Tabel 3.7 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 1-13....................... 110 Tabel 3.8 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 14-27..................... 111 Tabel 3.9 Matriks B Graf Multi Loop Multi Vertex............................................ 112 Tabel 3.10 Matriks C Graf Multi Loop Multi Vertex............................................ 112 Tabel 4.1 Barisan Keadaan Sistem dan Output Graf Sistem Produksi Loop Tunggal............................................................................................... 120 Tabel 4.2 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Sistem Produksi Loop Tunggal dengan Input Paling Lambat ...................................... 121 Tabel 4.3 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Sistem Produksi Multi Loop dengan Input Paling Lambat .......................................... 121 Tabel 4.4 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex dengan Input Paling Lambat....................... 122 Tabel 4.5 Jadwal Produksi Kue Secara Periodik ............................................... 129

xiv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Contoh Sistem Produksi Sederhana................................................. 38 Gambar 2.2 List Program MATLAB Input-Output SLMI.................................... 48 Gambar 2.3 List Program MATLAB Optimasi Input-Output SLMI..................... 50 Gambar 2.4 List Program MATLAB Nilai Eigen Maksimum.............................. 54 Gambar 3.1 Graf Sistem Produksi Loop Tunggal................................................ 58 Gambar 3.2 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Tunggal ............................ 59 Gambar 3.3 Graf Sistem Produksi Loop Berganda ............................................. 66 Gambar 3.4 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Berganda .......................... 67 Gambar 3.5 Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex............................... 76 Gambar 3.6 Graf Sistem Produksi Modifikasi Multi Loop Multi Vertex............. 78 Gambar 3.7 Graf Sistem Produksi dengan n Loop...............................................117 Gambar 3.8 Graf Sistem Produksi Modifikasi dengan n Loop pada Loop Pertama ............................................................................................ 117

xv


DAFTAR LAMPIRAN

1. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 1............................................... L.1 2. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 2............................................... L.2 3. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 3............................................... L.3 4. Foto Penelitian ............................................................................................ L.4

xvi


DAFTAR SIMBOL

: himpunan tak kosong

yang dilengkapi dengan dua operasi biner

dan : himpunan semua bilangan real : : : operasi max : operasi plus : :{

[

:

[

]| |

: relasi “lebih kecil atau sama dengan” dalam aljabar max-plus : nilai eigen maksimum : tanda akhir pembuktian

xvii


BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar max-plus. Aljabar max-plus muncul sekitar tahun 1950 dan berkembang dengan pesat pada tahun 90’an. Aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan negatif tak terhingga

. Aljabar max-plus dilengkapi dengan

operasi maksimum yang dinotasikan dengan dinotasikan dengan merupakan

.

, dan operasi penjumlahan

dapat dinotasikan sebagai

Elemen

, dengan

merupakan elemen netral pada operasi

merupakan elemen identitas pada operasi

dan 0

. Selanjutnya,

dinotasikan dengan Aljabar max-plus (

merupakan semiring komutatif yang

sekaligus idempoten sebab untuk setiap

berlaku

dan

(Subiono, 2013).

Selain itu, aljabar max-plus juga merupakan semifield sebab untuk setiap memiliki invers yaitu – , sehingga berlaku

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Dalam penerapannya, aljabar max-plus dapat membantu memodelkan ataupun menyelesaikan suatu permasalahan dalam jaringan (teori graf) yang berkaitan dengan masalah sinkronisasi. Aplikasi aljabar max-plus dapat dijumpai dalam penjadwalan penerbangan pesawat di bandara, penjadwalan keberangkatan kereta api, menentukan jalur tercepat, model sistem antrian, maupun dalam sistem produksi sederhana. Secara khusus dalam penelitian ini, penulis menggunakan sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus untuk menghitung waktu optimum dalam sistem produksi sederhana. Dalam masalah pemodelan dan optimasi suatu sistem produksi, terdapat waktu aktivitas yang belum diketahui. Hal ini misalkan karena sistem produksi masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktivitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktivitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman, pendapat para ahli maupun operator sistem produksi tersebut. Untuk itu waktu aktivitas sistem produksi dimodelkan dalam suatu waktu, yang disebut waktu aktivitas (Rudhito, 2003). Aljabar max-plus dapat digunakan untuk menggambarkan secara linear dinamika waktu dari suatu sistem non-linear dalam aljabar konvensional, sehingga pembahasan menjadi lebih mudah (Kasie G. Farlow, 2009:11). Pendekatan aljabar max-plus berguna untuk menentukan dan menganalisis berbagai sifat sistem, tetapi pendekatan hanya dapat diterapkan pada sebagian sistem kejadian diskrit (SKD). Sistem kejadian diskrit selalu dipengaruhi oleh waktu. Setiap waktu bertambah pasti keadaan sistem akan


berubah pula. Tujuan dari sistem kejadian diskrit (SKD) dapat dijabarkan menggunakan model Sistem Linear Max-plus Invarian sebagai berikut.

Optimasi waktu dalam sistem produksi sederhana akan memberikan dampak positif bagi produsen dan konsumen. Produsen memiliki pedoman waktu yang optimal untuk memproduksi barang sehingga proses produksi barang akan menjadi lebih efektif. Di sisi lain, konsumen akan diuntungkan dengan mengetahui waktu pengambilan barang jadi, sehingga tidak perlu direpotkan dengan keterlambatan. Pada penelitian ini akan dihitung waktu optimum produksi dari suatu graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus waktu invarian, serta dibuat penjadwalan aktivitas produksi secara periodik. Pemilihan graf sistem produksi ber-loop terinspirasi dari pengamatan yang dilakukan penulis ke sebuah pabrik pembuatan kue. Proses pembuatan kue yang dialami membutuhkan beberapa kali pemrosesan untuk beberapa mesin dalam satu kali produksi. Dengan kata lain dalam satu periode produksi, satu mesin dapat bekerja lebih dari satu pemrosesan. Hal ini berkaitan dengan kapasitas mesin dalam mengolah bahan. Proses produksi yang mengharuskan beberapa mesin bekerja lebih dari satu kali untuk setiap satu kali produksi membuat graf yang terbentuk memiliki beberapa loop pada beberapa mesin. Selain itu, berdasarkan hasil observasi yang dilakukan masih ditemui beberapa masalah terkait penjadwalan produksi. Proses produksi


belum terjadwal secara periodik sehingga waktu produksi menjadi kurang efektif. Permasalahan nyata dalam produksi kue yang ditemui ini membuat penulis tertarik untuk membuat penjadwalan yang relevan dengan kondisi produksi. B. Kajian Pustaka Dalam penelitian ini penulis memaparkan dua penelitian terdahulu yang relevan dengan optimasi waktu produksi pada graf ber-loop dan penjadwalan produksi secara periodik dalam aljabar max-plus. Mustofa Arifin (2012) memaparkan tentang optimasi waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dengan menggunakan sistem persamaan linear maxplus waktu invarian dan penjadwalan produksinya. Proses produksi dengan 15 unit pemrosesan disajikans dalam suatu graf produksi tanpa loop. Perhitungan dilakukan dengan bantuan aplikasi MATLAB program maxio untuk menentukan barisan output dari sistem produksi dan maxioopt untuk menentukan waktu minimum dan maksimum memulai produksi. Barisan output yang merupakan hasil dari program maxio digunakan sebagai acuan pembuatan jadwal produksi, sedangkan hasil dari program maxioopt sebagai acuan penentuan batas mulai produksi dan pengambilan barang jadi. Produsen dapat menentukan waktu mulai produksi dengan memilih diantara ̂ atau ̃ sehingga waktu penyelesaian produk ̂ atau ̃ mendekati waktu pengambilan pemesanan yang telah ditentukan oleh konsumen. Produsen dapat memilih ̂ atau ̃ (subpenyelesaian terbesar SLMI pada sistem produksi ini) agar dapat mengoptimalkan waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25”


sehingga hasil produksi dapat memenuhi permintaan konsumen dan pesanan bakpia juga dapat dilayani tepat waktu. Subiono dan Nur Sofianah (2009) memaparkan tentang penjadwalan suatu produksi secara periodik dengan menggunakan aljabar max-plus. Nilai eigen matriks A dari persamaan awal dijadikan sebagai acuan untuk membuat persamaan baru yang membuat jadwal produksi menjadi periodik. Pada jurnal tersebut persamaan baru dibuat berdasarkan informasi waktu produksi pada dua mesin. C. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, maka penulis dapat merumuskan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut. 1.

Bagaimana sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus?

2.

Bagaimana menentukan waktu input paling lambat dengan menggunakan aljabar max-plus pada graf sistem produksi ber-loop yang menyebabkan keadaan sistem menjadi periodik?

D. Pembatasan Masalah Pembatasan masalah dalam skripsi ini dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop satu input satu output dengan asumsi kapasitas buffer (penyangga) input maupun internal cukup besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang overflow (meluap). Waktu untuk mempersiapkan bahan-


bahan dalam penelitian ini tidak diperhatikan atau dianggap nol, serta waktu produksi dibatasi sampai barang jadi siap untuk dipasarkan. E. Batasan Istilah Berdasarkan latar belakang, untuk menghindari kesalahpahaman dalam memahami hasil penelitian ini, maka diperlukan batasan istilah sebagai berikut. 1. Waktu Pemrosesan adalah waktu yang diperlukan unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaan (pemrosesan) dalam satu periode produksi. 2. Waktu Produksi adalah waktu yang diperlukan oleh sistem produksi untuk menyelesaikan pekerjaannya dari mulai bahan baku dimasukkan ke sistem hingga menjadi suatu produk dan keluar dari sistem dalam satu periode produksi. 3. Waktu Transfer adalah waktu perpindahan bahan dari suatu unit pemrosesan ke unit pemrosesan yang lain. 4. Waktu Input adalah waktu yang diperlukan saat bahan mentah memasuki unit pemrosesan yang pertama. 5. Graf adalah pasangan

dengan

adalah himpunan berhingga tak

kosong yang beranggotakan titik (vertices) dan pasangan (tak terurut) titik-titik. Anggota

adalah himpunan

disebut rusuk (edges).

6. Loop adalah rusuk pada graf yang hanya memiliki satu titik ujung. 7. Periodik adalah suatu kejadian yang memiliki selang waktu tetap.


F. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah sebagai berikut. 1.

Mengetahui sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus.

2.

Menentukan waktu input paling lambat dengan menggunakan aljabar max-plus pada graf sistem produksi ber-loop yang menyebabkan keadaan sistem menjadi periodik.

G. Manfaat Penelitian 1.

Bagi Penulis Penulis mendapatkan pengetahuan baru terkait aljabar max-plus yang belum diperoleh ketika perkuliahan. Melalui penelitian yang dilakukan, penulis memperoleh pengalaman untuk menemukan suatu teori baru terkait aljabar max-plus khususnya pada graf ber-loop yang mampu meningkatkan kemampuan penulis dalam mengaitkan berbagai hal dan belajar membaca pola-pola yang terbentuk dari hail perhitungan barisan keadaan sistem dan output.

2.

Bagi Pembaca Penelitian

yang

dilakukan

bermanfaat

untuk

menambah

pengetahuan pembaca mengenai sistem persamaan linear aljabar maxplus serta aplikasinya dalam optimasi waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop. Selain itu, hasil dari penelitian ini dapat dijadikan


sebagai tambahan informasi dan pustaka bagi lembaga terkait untuk rujukan penelitian atau sebagai bahan perkuliahan tentang aljabar maxplus. Selain itu pembaca juga mendapatkan pengetahuan untuk menentukan

waktu

optimum

suatu

produksi,

sehingga

mampu

menerapkannya untuk permasalahan lain yang relevan. 3. Bagi Produsen Hasil dari penelitian ini dapat dijadikan sebagai rujukan dalam pembuatan jadwal produksi secara periodik. Keperiodikan jadwal dapat mempermudah produsen dalam proses produksi dikarenakan waktu produksi yang dapat diprediksi sebelumnya.

H. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1.

Menentukan tema dan judul penelitian.

2.

Mengumpulkan serta membaca jurnal, tesis, maupun buku terkait sistem persamaan linear aljabar max-plus khususnya sistem persamaan linear aljabar max-plus waktu invarian yang akan digunakan untuk menyusun landasan teori dalam penelitian.

3.

Melakukan observasi lapangan untuk mempertajam latar belakang dan menemukan masalah-masalah dalam sistem produksi terkait.

4.

Menyusun graf sistem produksi ber-loop.

5.

Membuat graf modifikasi dari graf sistem produksi ber-loop.


6.

Membuat aturan sinkronisasi berdasarkan graf sistem produksi modifikasi yang telah dibuat.

7.

Menyusun sistem persamaan linear aljabar max-plus berdasarkan aturan sinkronisasi sebelumnya.

8.

Merepresentasikan sistem persamaan linear aljabar max-plus kedalam bentuk matriks.

9.

Menghitung nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks A.

10. Menghitung barisan keadaan sistem dan output. 11. Membuat analisis penjadwalan periodik berdasarkan waktu input paling lambat. 12. Menyusun jadwal produksi kue berdasarkan barisan keadaan sistem dan output dengan menggunakan waktu input paling lambat. I. Sistematika Penulisan Penulisan skripsi ini akan mengkaji lebih mendalam terkait aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus dalam Sistem Produksi Sederhana terkait waktu optimum produksi. Skripsi ini terdiri atas lima bab. Bab I merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, kajian pustaka, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian serta sistematika penulisan. Bab II berisi penjelasan tentang optimasi serta aljabar max-plus yang meliputi definisi dan sifat-sifat aljabar max-plus, vektor dan matriks atas aljabar max-plus, teori graf dalam aljabar max-plus serta sistem persamaan linear pada aljabar max-plus dan aplikasinya dalam sistem produksi sederhana


sebagai landasan teori. Selain itu diberikan pula algoritma MATLAB untuk mempermudah perhitungan waktu optimum produksi. Bab III berisi pembahasan lebih lanjut mengenai pemodelan optimasi waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pada bab ini akan dibuat graf sistem produksi ber-loop beserta graf modifikasinya yang sesuai dan dilanjutkan dengan membuat aturan sinkronisasi yang sesuai dengan graf sistem

produksi

modifikasi.

Graf

sistem

produksi

yang

disajikan

menampilkan beberapa contoh sistem produksi. Pada contoh ketiga graf sistem produksi yang digunakan merupakan graf sistem produksi tahapan pembuatan kue dari hasil pengamatan yang telah dilakukan. Berdasarkan aturan sinkronisasi kemudian disusun sistem persamaan linearnya. Sistem persamaan linear yang telah disusun selanjutnya direpresentasikan dalam bentuk matriks. Kemudian, dihitung nilai eigen pada matriks . Bab IV berisi analisis waktu optimum produksi berdasarkan perhitungan dengan menggunakan aplikasi MATLAB. Pada bab ini akan dicari keterhubungan nilai eigen matriks

terhadap keperiodikan barisan keadaan

sistem dan output, serta akan dijelaskan cara menentukan waktu input paling lambat. Berdasarkan barisan keadaan sistem dan output yang diperoleh, akan dijelaskan mengenai penjadwalan pada produksi kue yang telah diamati sebelumnya.


Bagian terakhir dalam penulisan skripsi ini berisikan kesimpulan hasil penelitian dan saran-saran yang dapat digunakan dalam penelitian selanjutnya. Bagian terakhir ini termuat dalam Bab V.


BAB II LANDASAN TEORI A. Optimasi Menurut Berlianty & Arifin (2010:9), optimasi adalah proses pencarian satu atau lebih penyelesaian yang berhubungan dengan nilai-nilai dari satu atau lebih fungsi objektif pada suatu masalah sehingga diperoleh satu nilai optimal. Optimasi bertujuan untuk meningkatkan kinerja mesin produksi sehingga mempunyai kualitas yang baik dan hasil kerja yang tinggi. Tujuan tersebut digunakan untuk beberapa perusahaan seperti perusahaan yang bergerak di bidang manufaktur dalam proses produksi. Optimasi banyak memberikan manfaat dalam mengambil keputusan dan dapat diterapkan dalam berbagai bidang diantaranya adalah dalam bidang industri seperti untuk konstruksi sipil atau mesin, pemeliharaan jaringan, dan pengoperasian mesin. Pengoperasian mesin membutuhkan pengambilan keputusan yang tepat agar diperoleh waktu optimal. B. Definisi dan Sifat-sifat Aljabar Max-plus Pembahasan akan diawali dengan definisi semiring. Definisi 2.1 Suatu semiring dua

operasi

adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan biner

dan

yang

12

memenuhi

aksioma

berikut.


i)

merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu memenuhi

, ii)

adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu

memenuhi

iii)Sifat penyerapan elemen netral 0 terhadap operasi

yaitu

iv) Operasi

berlaku

distributif terhadap

yaitu

memenuhi

. Contoh 2.1 Diberikan dan

dengan . Pada

adalah himpunan semua bilangan real

didefinisikan operasi

dan

,

sehingga

berlaku :

. Selanjutnya akan ditunjukkan netral

dan elemen satuan

merupakan semiring dengan elemen .


Bukti : merupakan semiring karena untuk setiap 1.

komutatif, asosiatif, dan memiliki elemen netral a.

b.

c.

2.

asosiatif dan memiliki elemen identitas a.

b.

berlaku :


3. Sifat penyerapan elemen netral

4. Operasi

terhadap operasi

distributif terhadap

a.

b.

Definisi 2.2 Suatu semiring yaitu

dikatakan komutatif jika operasi berlaku

bersifat komutatif,

.

Definisi 2.3 Suatu semiring idempoten, yaitu

dikatakan idempoten jika operasi berlaku

bersifat

.

Menurut Baccelli, et.al (2001) dalam Rudhito (2016:14) istilah semiring idempoten disebut dioid.


Contoh 2.2 Semiring

merupakan

semiring

komutatif

yang

sekaligus

idempoten. Bukti : berlaku :

dan

Definisi 2.4 Suatu semiring komutatif

disebut semifield jika setiap elemen tak

netralnya mempunyai invers terhadap operasi

yaitu

Contoh 2.3 Semiring komutatif

merupakan semifield.

Bukti : terdapat – sehingga berlaku Dari contoh 2.2 dan 2.3 dapat disimpulkan bahwa semifield idempoten. Struktur aljabar yang selanjutnya cukup ditulis

merupakan

disebut aljabar max-plus,

. Elemen-elemen dari

disebut juga

skalar. (Rudhito, 2016) C. Matriks dan Vektor dalam Aljabar Max-plus Himpunan matriks berukuran dinotasikan dengan

untuk

dalam aljabar max-plus . Elemen

pada baris ke-


dan kolom ke- dinotasikan oleh

atau [

dengan

dan

.

Matriks A dapat direpresentasikan sebagai berikut.

[

]

Penjumlahan matriks, perkalian skalar dengan matriks, perkalian antar matriks, serta transpose matriks dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.5 Diberikan matriks

. Elemen ke-

dari

adalah :

[ Dengan

dan

.

Definisi 2.6 Diberikan matriks

dan

. Elemen ke-

dari

adalah : [ ⨂ Dengan

⨂

dan

Definisi 2.7 Diketahui

,

, elemen ke[ ⨂

Dengan

dan

dari ⨂ adalah : ⨂

⨂


Definisi 2.8 Diberikan matriks

, Elemen ke-

dari

adalah :

[ Dengan

dan

Contoh 2.4 Diberikan matriks

1.

*

*

2.

⨂

3.

⨂

+

*

⨂*

+

*

+,

+ *

⨂ ⨂

+⨂*

⨂ ⨂

] +

*

*

+

]

* *

[

+

[

4.

+ maka :

*

+ +

*

+

+


Teorema 2.1 (Rudhito, 2016) Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar sebarang matriks

dan

dan

dan

asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.

1. 2. A 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Selanjutnya akan dibuktikan teorema nomor 4, sedangkan bukti yang lain langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi dalam Bukti : Diambil sebarang

. Unsur ke- matriks

adalah [

(

)

.


(

)

(

)

[

(

)

[

Definisi 2.9 (Rudhito, 2016) Didefinisikan matriks

dengan

{

Definisi 2.10 (Rudhito, 2016) Didefinisikan matriks

dengan

, untuk setiap dan .

Definisi 2.11 (Rudhito, 2016) Untuk sebarang

didefinisikan

.

Definisi 2.12 (Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016) Diberikan suatu matriks

. Skalar

disebut nilai eigen

max-plus matriks A jika terdapat suatu vektor sehingga matriks

. Vektor

dengan

tersebut disebut vektor eigen max-plus

yang bersesuaian dengan .

Teorema 2.2 Diberikan suatu matriks , maka

. Jika

adalah nilai eigen matriks

merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam

di


Bukti : Misalkan

adalah nilai eigen matriks

di

berlaku

dengan

terdapat suatu indeks Karena

. Akibatnya

sehingga

dan

dengan

maka

maka terdapat suatu indeks . Karena

, maka untuk setiap

dan

.

. Karena

sedemikian rupa sehingga

dan

maka

dan

. Demikian

seterusnya dengan cara yang sama seperti di atas, maka diperoleh suatu barisan

sehingga

dengan

untuk

Karena banyak titik dalam graf

berhingga, maka terdapat suatu

dan

sehingga

suatu sirkuit ̃. Misalkan ̃ adalah

,

diperoleh

(

(

(

)

). Karena operasi

(

) )

atau

. Hal ini berarti

di

Akibatnya diperoleh ,

, )

(

sehingga )

bersifat komutatif maka diperoleh

(

)

(

( atau

) merupakan bobot rata-rata sirkuit ̃.

Selanjutnya akan dibahas semimodul atas dalamnya. Dalam Rudhito, 2016 , semimodul atas berikut.

dan

dan relasi urutan di didefinisikan sebagai


Definisi 2.13 Misalkan

adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan

elemen identitas1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif bersama operasi perkalian skalar • :

, dituliskan sebagai

yang memenuhi aksioma berikut. i)

,

ii)

,

iii)

,

berlaku :

,

iv) v) Elemen dalam semimodul disebut vektor. Contoh 2.5 Diberikan

[

setiap

dan untuk setiap

dengan skalar

didefinisikan operasi dan operasi perkalian

[ •

. Untuk

|

dengan

.

[

teorema 2.1 1 dan 2 terlihat bahwa dengan elemen netral

[

merupakan semigrup komutatif . Selanjutnya dengan memperhatikan

teorema 2.1 10, 9, dan 7 dapat disimpulkan bahwa semimodul atas

.

Dari

merupakan


Definisi 2.14 (Wohlgemuth,1990 dalam Rudhito 2016) Relasi

pada himpunan

disebut urutan parsial pada

jika untuk semua

berlaku : i)

Sifat refleksif, yaitu

ii)

Sifat antisimetris, yaitu : jika

iii)

Sifat transitif, yaitu : jika

Elemen

dan

Penulisan

dan dan

, maka , maka

. .

dikatakan komparabel (comparable) jika dapat ditulis juga dengan

dituliskan dengan

. Jika

atau dan

. akan

.

Definisi 2.15 (Wohlgemuth 1990 dalam Rudhito, 2016) Urutan parsial

pada himpunan

dua elemen dalam

disebut urutan total pada

jika setiap

komparabel.

Teorema 2.3 (Rudhito, 2016) Jika

semigrup komutatif idempoten maka relasi

didefinisikan pada

dengan

yang

merupakan urutan parsial

pada . Bukti : Diambil sebarang

.

i) Karena berlaku sifat idempoten maka ii) Jika

dan

maka

sifat komutatif maka diperoleh

. dan

.

. Karena berlaku


iii)

Jika

dan

maka

dan

. Dari sini karena

berlaku sifat asosiatif maka . Dengan demikian

.

Akibat 2.1 Relasi

yang didefinisikan pada

merupakan urutan parsial pada total pada

dengan

. Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan

.

Bukti : Karena

merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut

teorema 2.2 relasi urutan parsial pada


di atas merupakan

. Selanjutnya diambil atau

maka berlaku .

Akibat 2.2 Relasi


dengan

untuk setiap dan , merupakan urutan parsial pada

.

Bukti : Dengan menggunakan teorema 2.1 1, 2, dan 11 dapat dilihat bahwa merupakan semigrup komutatif idempoten, sehingga menurut teorema 2.2 relasi yang didefinisikan pada

di atas merupakan urutan parsial.


Akibat 2.3 Relasi


dengan

untuk setiap , merupakan relasi urutan parsial pada

.

Bukti : Karena

merupakan semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan pada

Relasi


karena *

merupakan urutan parsial pada

terdapat +

*

* +

*

+

bukan merupakan urutan total,

dan

*

+. Sehingga

Demikian juga dengan relasi

dengan

+ dan


merupakan urutan total, karena terdapat vektor dengan

[ [

.

. Dengan demikian

dan

[

[

bukan

[

dan

.

Teorema 2.4 Diberikan matriks

. Jika

dengan

. Bukti : Diambil sebarang

dengan

maka

.

maka


D. Teori Graf dalam Aljabar Max-plus Graf didefinisikan sebagai suatu pasangan (V, E) dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan E adalah suatu himpunan pasangan (takterurut) titik-titik. Anggota E disebut rusuk (edges). Suatu graf berarah didefinisikan sebagai suatu pasangan (V, A) dengan V adalah suatu himpunan titik-titik dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik. Anggota A disebut busur (arc). Untuk busur

disebut titik awal busur dan w disebut titik akhir busur.

Suatu loop adalah busur

.

Jika suatu graf disajikan dalam gambar, titik digambarkan sebagai noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktahnoktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Busur digambarkan sebagai kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah pada ujungnya yang menandakan arah busur. Diberikan

adalah

graf

berarah

dengan

. Suatu lintasan dalam G adalah suatu barisan berhingga busur dengan (

) A untuk suatu l N dan

k = 1, 2, ... , l 1 (Wilson,1972). Lintasan ini direpresentasikan dengan 

... 

. Titik

disebut titik awal lintasan dan titik

disebut titik

akhir lintasan. Untuk suatu lintasan , panjang lintasan didefinisikan sebagai banyak busur yang menyusun dan dinotasikan dengan | | .


Diberikan graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur (j, i) A dikawankan dengan suatu bilangan real

. Bilangan real

disebut bobot busur (j, i),

dinotasikan dengan w(j, i). Dalam penyajiannya dengan gambar untuk graf berarah berbobot, busur diberi label dengan bobotnya. Dari pengertian graf berbobot ini, setiap matriks A 

bersesuaian dengan suatu graf berarah

berbobot seperti diberikan dalam definisi berikut. Definisi 2.16 (Graf bobot, Schutter 1996) Diberikan

. Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dengan

dan

|

Contoh 2.6 Diberikan

[

].

Graf bobot dari A adalah graf berarah berbobot dan

dengan }. Perhatikan

sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot dapat didefinisikan suatu matriks

selalu

dengan :

{

E. Sistem Persamaan Linear dalam Aljabar Max-plus Menurut Rudhito, 2016, secara umum terdapat dua bentuk sistem persamaan linear (SPL) max-plus yaitu SPL max-plus input output dan SPL


max-plus iteratif. Pada bagian ini hanya akan dibahas terkait SPL max-plus input-output. Bentuk umum dari sistem persamaan linear max-plus input output adalah :

dimana

, dan

.

Untuk mencari solusi dari persamaan tersebut terlebih dulu dapat dicari sub penyelesaiannya. Definisi 2.17 (Rudhito, 2016) Diberikan

dan

. Vektor

penyelesaian sistem persamaan linear memenuhi

disebut suatu sub jika vektor

tersebut

.

Sub penyelesaian

selalu ada, karena untuk

[

selalu

berlaku : Definisi 2.18 Sub penyelesaian ̂ dari sistem sistem

jika

disebut sub penyelesaian terbesar

̂ untuk setiap subpenyelesaian

dari sistem

. Teorema 2.5 Diberikan sama dengan

dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya dan

. Sub penyelesaian terbesar

diberikan oleh ̂ dengan ̂ untuk setiap

dan

.

ada dan


Bukti : Perhatikan bahwa:

( A x m b ) {

⨂ ⨂

⨂ ⨂

⨂ ⨂

⨂

⨂

⨂

(

(

⨂ )



+



⨂

 Karena unsur setiap kolom matriks A tidak semuanya sama dengan , maka untuk setiap j selalu ada i sehingga setiap koefisien

yang berarti

berlaku

ada. Mengingat untuk

dan

maka koefisien-

tidak akan berpengaruh pada nilai A x. Sehingga berlaku: (

)

(

)

(

) (

(

( Jadi subpenyelesaian sistem komponen-komponennya memenuhi

)

(

* )

*

di atas adalah setiap vektor (

)

yang


Jika ̂

vektor

[̂ ̂

̂

(

)

untuk setiap

(

( ̂

didefinisikan

̂

)

maka diperoleh :

* (

(̂

)

*

(̂

(⨁

dengan

)

(

̂)

̂

,

Jadi vektor ̂ tersebut merupakan subpenyelesaian sistem –

(

)

̂

maka

̂

. Karena

. Akibatnya

̂.

Jadi vektor ̂ tersebut merupakan subpenyelesaian terbesar sistem

Dengan demikian untuk menyelesaikan sistem persamaan pertama-tama dihitung subpenyelesaian terbesar kemudian diperiksa apakah subpenyelesaian terbesar itu memenuhi sistem persamaan atau tidak. Untuk mempermudah perhitungan subpenyelesaian terbesar

dapat

digunakan cara berikut ini :

̂

[

̂ ̂

]

̂ [

]

[

]


[

]

Jadi untuk menghitung subpenyelesaian terbesar dari sistem persamaan terlebih dulu dapat dicari Jika

sistem

persamaan

linear

̂ max-plus

mempunyai

subpenyelesaian terbesar yang bukan merupakan penyelesaian, maka sistem persamaan linear max-plus tersebut tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut. Andaikan

̅ adalah penyelesaian sistem linear max-plus

berarti

untuk setiap ̅

linear max-plus

yang

. Misal sistem persamaan

mempunyai subpenyelesaian terbesar ̂ yang

bukan merupakan penyelesaian, yang berarti terdapat sehingga

̂

. Karena ̅ juga merupakan subpenyelesaian, maka

̂. Akibatnya menurut teorema 2.3 berlaku ̅

berarti terdapat

̅

̂

untuk setiap sehingga

̂ yang ̅

. Hal ini berakibat ̅

̂

yang

kontradiksi dengan pengandaian di atas. (Rudhito, 2016). Teorema 2.6 (Zimmermann dalam Rudhito, 2016) Andaikan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem merupakan subpenyelesaian sistem

jika dan hanya jika

Bukti : i.

Andaikan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem

vektor ̂.


Jika vektor

merupakan subpenyelesaian sistem

maka

̂. Hal ini terbukti benar sesuai dengan definisi subpenyelesaian terbesar. ii.

Andaikan

̂. Mengingat operasi

terhadap urutan

dan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem

, maka berlaku yang berarti iii.

pada matriks konsisten

. Jadi

̂


Karena i dan ii benar, maka teorema tersebut terbukti benar.

Teorema 2.7 (Zimmermann dalam Rudhito, 2016) Sistem

mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika

̂

dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari sistem

.

Bukti : i.

Akan

dibuktikan

jika

dimana

̂

subpenyelesaian terbesar dari sistem

̂

sistem

dan

̂

̂

maka . Jadi

mempunyai penyelesaian.

ii. Akan dibuktikan jika ̂

maka berlaku

sehingga ̂ merupakan penyelesaian

terbukti benar

adalah

. Karena ̂ adalah

̂

subpenyelesaian terbesar dari sistem Mengingat berlaku

̂

maka sistem

mempunyai penyelesaian. Andaikan

̂

vektor

mempunyai penyelesaian maka

dimana vektor ̂ adalah subpenyelesaian terbesar dari . Andaikan

yaitu vektor , maka

mempunyai penyelesaian atau

dan

.


Terlihat bahwa


.

Dikarenakan ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem maka berlaku

̂. Mengingat operasi

terhadap urutan

maka berlaku

pada matriks konsisten . Jadi

̂

̂ iii.

Karena i dan ii benar maka teorema tersebut terbukti benar.

Akibat 2.4 (Schutter dan Boom dalam Rudhito,2016) Diberikan

dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya

sama dengan , dan

. Jika ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem

persamaan linear max-plus

maka untuk setiap indeks

terdapat suatu indeks

sedemikian hingga

.

̂ Bukti :

Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus maka menurut teorema 2.4 ̂ dengan

. Hal ini berarti untuk setiap indeks

terdapat suatu indeks atau

̂

untuk setiap

̂

sedemikian hingga .

Definisi 2.19 Diberikan

[

. Didefinisikan ‖ ‖

| |

untuk


Teorema 2.8 (Schutter dan Boom dalam Rudhito, 2016) Diberikan

dengan komponen setiap kolomnya tidak semuanya

sama dengan

dan

. Vektor

̂

terbesar sistem

dan

meminimalkan ‖

‖ . Selanjutnya ‖

dengan ̂ subpenyelesaian ̂‖ , merupakan vektor yang

‖

.

‖

Bukti : Misalkan ̂ subpenyelesaian terbesar sistem

.

i. Jika ̂ merupakan penyelesaian sistem |

̂‖

̂ |

, maka ‖

Akibatnya, ̂ meminimalkan ‖

‖ . ii. Jika ̂ bukan penyelesaian sistem |

̂ |

|

̂ |

.

maka ‖ Karena ̂

̂‖

̂

maka

. Himpunan indeks

yaitu

dapat dipartisi menjadi tiga himpunan

dan

sedemikian

hingga :

̂

̂

untuk semua

̂

untuk semua untuk semua

, dengan

Karena ̂ adalah subpenyelesaian terbesar sistem menurut akibat 2.4 untuk setiap indeks indeks

sedemikian

maka terdapat suatu

sehingga

̂


Akibatnya tidak kosong. Karena ̂ bukan merupakan penyelesaian sistem |

, maka terdapat suatu indeks sehingga

̂ |

. Akibatnya himpunan juga tidak kosong. Sementara himpunan

dapat

kosong ataupun tidak kosong. Menurut teorema 2.3 untuk setiap

̂

berlaku |

|

|

yang berakibat

̂

untuk setiap

̂ |

̂. Dengan memperhatikan

teorema 2.1 6 dan 8 diperoleh bahwa untuk sebarang ̂

. Jika

̂ |

berakibat skalar positif

berlaku

, maka ̂ (

|

̂

. Didefinisikan

)

(

untuk

, dengan

̂

. Karena

, yang

̂

̂

)

, maka diperoleh :

̂

,

Karena ‖

dan

tidak kosong dan ‖

|

mempunyai nilai minimum untuk

untuk semua |

. Jadi

merupakan vektor yang meminimumkan ‖ diperoleh

, maka

| ||

| ( )

yang ̂

‖ . Selanjutnya


‖

‖

(| | |( *

|*

Kemudian akan ditunjukkan bahwa tidak ada vektor Misalkan terdapat vektor ̃

‖

‖

‖

̃ ‖

yang memenuhi

sedemikian hingga

(3.1)

Didefinisikan

̂ maka

̃

̃

merupakan subpenyelesaian terbesar sistem Akibat 2.4 untuk setiap sedemikian

̂

maka menurut

terdapat suatu indeks

hingga

(

. Karena ̂

̂

.

̂

)

Karena

̃

, maka diperoleh

̂

. Karena ketaksamaan (3.1) maka

.

̃

(3.2)

untuk setiap Karena ̂ merupakan subpenyelesaian terbesar sistem maka terdapat suatu indeks atau

sehingga

̂

.

̂

Karena ̂

̂

̂ ̂

Maka

̂ ̂

̂

untuk setiap

̂

(3.3)

Akibatnya : ̃

(

̂

)

Karena ketaksamaan (3.2) maka :

(

)


Jadi terdapat suatu indeks atau

̃

. Hal ini berakibat bahwa ‖

yang bertentangan dengan pemisalan bahwa ‖

̃ ‖ ̃ ‖

̃

sedemikian hingga

.

F. Penerapan Aljabar Max-plus dalam Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian dan Sistem Produksi Sederhana Sistem linear max-plus waktu invarian merupakan sistem kejadian diskrit yang mempunyai waktu aktifitas dan barisan kejadian yang deterministik. Matriks dalam persamaan sistemnya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter . (Rudhito, 2016). Definisi 2.20 (Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian (SLMI), Schutter 1996) Sistem Linear Max-plus Waktu Invarian adalah Sistem Kejadian Diskrit (SKD) yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.

untuk

dengan

kondisi

. Vektor adalah vektor input, dan sistem saat waktu ke- .

awal menyatakan keadaan atau state, adalah vektor output


SLMI seperti dalam definisi diatas secara singkat dituliskan dengan SLMI dan dituliskan SLMI

jika kondisi awal diberikan.

Contoh 2.7

Gambar 2.1 Contoh Sistem Produksi Sederhana Diperhatikan suatu sistem produksi sederhana yang disajikan dalam gambar di atas. Sistem ini terdiri dari 3 unit pemrosesan baku dimasukkan ke pemrosesan untuk

,

dan , dan

,

,

. Bahan

, diproses dan dikirimkan ke

. Waktu

berturut-turut adalah

dan

satuan waktu. Diasumsikan bahwa bahan baku memerlukan satuan waktu untuk dapat masuk dari input ke

dan memerlukan

satuan waktu dari produk yang telah diselesaikan di

untuk sampai di

,

sedangkan waktu transportasi yang lain diabaikan. Pada input sistem dan antara unit pemrosesan terdapat penyangga (buffer), yang berturut-turut disebut buffer input dan buffer internal, dengan kapasitas yang cukup besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang meluap (overflow). Suatu unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika ia telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.


Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera setelah bahan tersedia. Didefinisikan (Rudhito, 2010): i)

: waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-

ii)

,

: waktu saat unit pemrosesan ke-i mulai bekerja untuk pemrosesan ke- ,

iii)

: waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem. Waktu saat

mulai bekerja untuk pemrosesan ke-

dapat

ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan kepemrosesan

, maka bahan mentah ini tersedia pada input unit pada waktu

.

hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke- . Waktu pemrosesan pada

adalah

setengah jadi ke-k akan meninggalkan

satuan waktu, maka produk pada saat

. Hal ini

dapat dituliskan dengan : untuk Dengan alasan yang sama untuk

,

diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:

dan waktu saat produk ke-k yang


untuk

Menggunakan operasi Aljabar Max-plus, persamaan-persamaan dalam model sistem produksi sederhana di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Jika dituliskan dalam bentuk matriks persamaan di atas menjadi : [

] [

[

[ ] untuk

dan

. Hasil di atas dapat juga dituliskan dengan:


untuk

,

dengan

, keadaan awal

[ [

]

, dan

[ ]

, .

[

Analisis Input-Output Sistem Linear Max-plus Waktu-Invariant

Jika kondisi awal dan suatu barisan input diberikan untuk suatu SLMI , maka secara rekursif dapat ditentukan suatu barisan vektor keadaan sistem dan barisan output sistem. Diperhatikan sistem produksi sederhana (Gambar 2.1), misalkan kondisi awal sistem

yang berarti unit pemrosesan

[

berturut-turut memulai aktifitasnya saat waktu pemrosesan dan

dan

dan

sementara unit

masih kosong dan harus menunggu datangnya input dari

. Bahan mentah dimasukkan sistem saat waktu

seterusnya

yang berarti diberikan barisan

input

, dan seterusnya, dengan setiap

dan

untuk

Secara rekursif dapat ditentukan barisan vektor

keadaan berikut.

[

]

[ ]

[

[

]

[ ]

[

]

[

[ ]

]

]

[ ]


[

[

[

]

[

]

]

[

]

]

[

]

[

[

[

]

[

]

[

]

[ ]

[

]

[

]

[ ]

]

] dan seterusnya.

Kemudian diperoleh barisan output sistem sebagai berikut dengan menggunakan

3:

dan seterusnya. Hal ini berarti bahwa produk dapat diambil saat 16, 22, 28, 35, dan seterusnya. Teorema 2.9 (Input-Output SLMI Diberikan

suatu

bilangan

positif

dan vektor input

[ SLMI

bulat

Jika [

vektor

output pada

maka :

dengan

[

] dan

[

]


Bukti : Jika diberikan kondisi awal

dan barisan input

dengan

induksi matematika akan dibuktikan berlaku

(

)

(

)) untuk

(

Diperhatikan bahwa

(

)

Jadi

(

(

benar untuk

))

.

Andaikan benar untuk

(

)

(

(

))

Maka

)

((

Jadi

(

(

*),

(

)

(

(

*)

(

)

(

(

*)

benar untuk

.


Akibatnya diperoleh

(

Diberikan

*

suatu

(

bilangan dan

[ persamaan

)

bulat

positif . [

Jika

untuk

didefinisikan maka

dari

diperoleh :

Atau dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai :

[

]

[ [

]

[

]

]

atau dengan

[

] dan

[

]


Contoh 2.8 Diberikan suatu sistem produksi seperti pada Gambar 2.1. Didefinisikan . Jika diberikan

[ , maka diperoleh

[

*

+ dan

dan

[ dengan

*

+

Diperhatikan bahwa

*

+

*

+

*

+

Hal ini berarti bahwa jika kondisi awal

[

dan bahan baku

dimasukkan ke dalam sistem pada saat waktu maka produk akan meninggalkan sistem pada saat waktu

Berikut akan dibahas masalah input paling lambat pada SLMI Masalah input paling lambat pada SLMI Diberikan suatu bilangan bulat positip [

adalah sebagai berikut: . Diketahui vektor output

. Misalkan vektor

[

adalah

vektor input. Permasalahannya adalah menentukan vektor input u terbesar (waktu paling lambat) sehingga memenuhi dengan K dan H seperti dalam Teorema 2.9.

,


Teorema 2.10 Diberikan SLMI

dengan

Jika

maka

penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI oleh

̂

[̂

̂

dengan

̂

diberikan

̂

(

)

. Bukti : Karena

, maka

.

Akibatnya masalah input paling lambat pada SLMI masalah menentukan vektor input memenuhi

menjadi

terbesar (waktu paling lambat) yang

. Masalah ini merupakan masalah menentukan

subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus Karena sama dengan

maka komponen setiap kolom matriks

̂

tidak semuanya

. Menurut Teorema 2.5 subpenyelesaian terbesar sistem

persamaan linear max-plus [̂

.

diberikan oleh vektor ̂

dengan

̂

̂

(

.

)

Teorema 2.11 Diberikan SLMI

dengan

Jika

maka

penyelesaian masalah minimisasi simpangan ouput pada SLMI diberikan oleh ̃ sistem Bukti : Karena

̂ dan

⁄ , dengan ̂ merupakansubpenyelesaian terbesar |

̂ |.

, maka

.

Akibatnya masalah minimisasi simpangan maksimum output ini menjadi menentukan masalah vektor input

sedemikian hingga

|

̂ |


minimal. Karena

maka komponen setiap kolom matriks

tidak

semuanya sama dengan . Seperti masalah optimisasi yang berkaitan dengan persamaan linear max-plus

, menurut Teorema 2.8 suatu

penyelesaian ̃ untuk masalah di atas diberikan oleh ̃ merupakansubpenyelesaian |

̂ |.

terbesar

sistem

̂

⁄ dengan ̂ dan


Untuk mempermudah dalam perhitungan sistem, berikut diberikan list program MATLAB untuk perhitungan masalah-masalah di atas. % Program MATLAB Menghitung INPUT-OUTPUT Sistem Linear Maxplus Waktu-Invariant % Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma % input: A = matriks max-plus Anxn % B = matriks nx1 % C = matriks 1xn % x0 = kondisi awal % u = barisan input % output: x(k) = barisan keadaan sistem % y(k) = barisan output sistem function io_SLMI = maxio % Memasukkan input disp(' ') disp(' INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) ') disp(' --------------------------------') disp(' ') A = input(' Masukkan matriks A(nxn) = '); disp(' ') B = input(' Masukkan matriks B(nx1) = '); disp(' ') C = input(' Masukkan matriks C(1xn) = '); disp(' ') x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0(nx1) = '); disp(' ') u = input(' Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = '); disp(' ') q = length(u); [a1, a2] = size(A); L = zeros(a1,q); M = zeros(1,q); L(:,1)= x0; % Menghitung x(1) = Ax(0) + Bu(1) [x01, x02] = size(x0); for i = 1 : a1 for j = 1 : x02 Ax0(i, j) = -Inf; for p = 1: a2 Ax0(i, j) = max(Ax0(i, j) , A(i, p) + x0(p, j)); end; end; end; x = max(Ax0, B+u(1));


% Menghitung y(1) = Cx(1) [c1, c2] = size(C); [x1, x2] = size(x); for i = 1 : c1 for j = 1 : x2 Cx(i, j) = -Inf; for p = 1: c2 Cx(i, j) = max(Cx(i, j) , C(i, p) + x(p, j)); end; end; end; L(:,2)= x; M(1,1)= Cx; % Menghitung x(k+1) = Ax(k) + Bu(k+1) dan Menghitung y(k) = Cx(k) utk k=1,2,...,p % Menghitung x(k+1) = Ax(k) + Bu(k+1) [a1, a2] = size(A); [x1, x2] = size(x); for r = 1 : q-1; for i = 1 : a1 for j = 1 : x2 Ax(i, j) = -Inf; for p = 1: a2 Ax(i, j) = max(Ax(i, j) , A(i, p) + x(p, j)); end; end; end; x = max(Ax, B+u(r+1)); % Menghitung y(k) = Cx(k) [c1, c2] = size(C); [x1, x2] = size(x); for i = 1 : c1 for j = 1 : x2 Cx(i, j) = -Inf; for p = 1: c2 Cx(i, j) = max(Cx(i, j) , C(i, p) + x(p, j)); end; end; end;

L(:,r+2)= x; M(1,r+1)= Cx; end; % Menampilkan hasil perhitungan disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '),disp(A) disp(' Matriks B = '),disp(B) disp(' Matriks C = '),disp(C) disp(' Kondisi awal x0 = '),disp(x0) disp(' Barisan input u = '),disp(u') disp(' Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : '), disp(L) disp(' Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : '), disp(M)

Gambar 2.2 List Program MATLAB Input-Output SLMI


% Program MATLAB Menghitung OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-plus Waktu-Invariant % Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma % input: A = matriks max-plus Anxn % B = matriks nx1 % C = matriks 1xn % x0 = kondisi awal % y = barisan output % output:u_topi = barisan input paling lambat % y_topi = barisan outpout untuk u_topi % u_tilde = barisan input minimum simpangan % y_tilde = barisan output untuk u_tilde function opt_input_output = optio % Memasukkan input disp(' ') disp(' OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-plus WaktuInvariant') disp(' ----------------------------------------------------') disp(' ') A = input(' Masukkan matriks A = '); disp(' ') B = input(' Masukkan matriks B = '); disp(' ') C = input(' Masukkan matriks C = '); disp(' ') x0 = input(' Masukkan kondisi awal x0 = '); disp(' ') y = input(' Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = '); disp(' ') q = length(y); % Menghitung C*B = CB [c1, c2] = size(C); [b1, b2] = size(B); for i = 1 : c1 for j = 1 : b2 CB(i, j) = -Inf; for p = 1: c2 CB(i, j) = max(CB(i, j) , C(i, p) + B(p, j)); end; end; end; % Menghitung C*A = CA [c1, c2] = size(C); [a1, a2] = size(A); for i = 1:c1 for j = 1: a2 CA(i, j) = -Inf; for p = 1: c2 CA(i, j) = max(CA(i, j) , C(i, p) + A(p, j)); end; end; end;

L = zeros(q,a2); L(1,:)= CA;


% Menghitung (C*A)*B [ca1, ca2] = size(CA); [b1, b2] = size(B); for i = 1:ca1 for j = 1: b2 CAB(i, j) = -Inf; for p = 1: ca2 CAB(i, j) = max(CAB(i, j) , CA(i, p) + B(p, j)); end; end; end; % Menghitung A^k = Ak [a1, a2]= size(A); D = A; for r = 1 : q-1 r+1; for i = 1 : a1 for j = 1 : a2 Ak(i, j) = -Inf; for p = 1: a2 Ak(i, j) = max(Ak(i, j) , A(i, p) + D(p, j)); end; end; end; % Menghitung C*A^k = CAk [c1, c2] = size(C); [ak1, ak2] = size(Ak); for i = 1 : c1 for j = 1: ak2 CAk(i, j) = -Inf; for p = 1: c2 CAk(i, j) = max(CAk(i, j) , C(i, p) + Ak(p, j)); end; end; end; L(r+1,:)=CAk; % Menghitung CAkB [cak1, cak2] = size(CAk); [b1, b2] = size(B); for i = 1:cak1 for j = 1: b2 CAkB(i, j) = -Inf; for p = 1: cak2 CAkB(i, j) = max(CAkB(i, j) , CAk(i, p) + B(p, j)); end; end; end;


% Menyusun matriks H for i = 1 : q for j = 1 : q if i < j H(i,j) = -Inf; end; if i == j H(i,j) = CB; end; if (i-j) ==1 H(i,j)= CAB; end; if (i-j) == r+1 H(i,j)= CAkB; end; if (i-j) > q H(i,j)=[]; end; end; end; D = Ak; end; % Menghitung K*x0 [l1, l2] = size(L); [x01, x02] = size(x0); for i = 1 : l1 for j = 1 : x02 Kx0(i, j) = -Inf; for p = 1: l2 Kx0(i, j) = max(Kx0(i, j) , L(i, p) + x0(p, j)); end; end; end; if max(Kx0 - y)<=0 % Menghitung input paling lambat u1 (H*(-y)) Ht=H'; my = -y; [ht1, ht2] = size(Ht); [my1, my2] = size(my); for i = 1 : ht1 for j = 1 : my2 Htmy(i, j) = -Inf; for p = 1: ht2 Htmy(i, j) = max(Htmy(i, j) , Ht(i, p) + my(p, j)); end; end; end; u_topi = -Htmy;


% Mengitung H*u_topi [h1, h2] = size(H); [utp1, utp2] = size(u_topi); for i = 1 : h1 for j = 1 : utp2 Hutp(i, j) = -Inf; for p = 1: h2 Hutp(i, j) = max(Hutp(i, j) , H(i, p) + u_topi(p, j)); end; end; end; Hutp; % Menghitung barisan output y untuk u_topi y_topi = max(Kx0, Hutp); % Menghitung input minimum simpangan delta = max(abs(y - y_topi)); u_tilde = u_topi + delta/2; % Mengitung H*u_tilde [h1, h2] = size(H); [utd1, utd2] = size(u_tilde); for i = 1 : h1 for j = 1 : utd2 Hutd(i, j) = -Inf; for p = 1: h2 Hutd(i, j) = max(Hutd(i, j) , H(i, p) + u_tilde(p, j)); end; end; end; Hutd; % Menampilkan hasil perhitungan disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp('Matriks A = '),disp(A) disp('Matriks B = '),disp(B) disp('Matriks C = '),disp(C) disp('Kondisi awal x0 = '),disp(x0) disp('Barisan output y = '),disp(y) disp('Barisan input paling lambat u_topi = '), disp((u_topi)') disp('Barisan output y untuk u_topi = '), disp((y_topi)') disp('Barisan input minimum simpangan u_tilde = '), disp((u_tilde)') disp('Barisan output y untuk u_tilde = '), disp((Hutd)') else disp('Input Minimum Simpangan tidak dapat dikerjakan (Kx0 > y)') end;

Gambar 2.3 List Program MATLAB Optimasi Input-Output SLMI


% Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS Maksimum dan VEKTOR EIGEN % yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A % Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma % input: matriks max-plus Anxn % output: irredusibel/ tak irredusibel matriks A % nilai eigen max-plus maximum % vektor eigen yang bersesuaian function hasilkali = eigmax disp(' ') disp(' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS') disp(' ----------------------------------------------') disp(' ') A = input(' Matriks yang dihitung A = '); disp(' ') disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '), disp(A) % Menghitung A pangkat , trace/pangkat dan nilai eigen maksimum [m, n]= size(A); if m==n if n==2 for i = 1: n for j=1: n if i==j A(i,j) = 0; end; end; end; A0 = min(A); A00 = min(A0); if A00 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; trace = max(diag(A)); D=A; for r=1:n-1 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) ); end; end; end;


A_plus = max(D, C); D=C; trace_perpk(r) = max(diag(D)./(r+1)); lambmax = max(trace_perpk); end; lambmaxmat = max(trace, lambmax); for r=1:n-2 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) ); end; end; end; A_plus1 = max(D, C); D=C; end; if n>2 for i = 1 : n for j = 1 : n if i==j A_plus1(i,j) = 0; end; end; end; A0_plus1 = min(A_plus1); A00_plus1 = min(A0_plus1); if A00_plus1 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; disp('NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A =') disp(lambmaxmat); % Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+ B = A-lambmaxmat; disp(' ') G=B; for s=1:n-1 s+1; for i = 1: m for j = 1: n F(i, j) = -Inf; for p = 1: n F(i, j) = max( F(i, j) , B(i, p) + G(p, j) ); end; end; end;


B_plus = max(G, F); G = F; end; % Menghitung matriks E dan B* for i = 1 : n for j = 1 : n if i ~= j E(i,j) = -Inf; end; end; end; B_star= max(E, B_plus); % Menentukan vektor eigen yang bersesuaian disp(' VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian =') x= diag(B_plus); for t = 1 : n if x(t)>=0 VE = B_star(:,t); disp(VE) end; end; % Perhatian jika yang diinputkan bukan matriks nxn else disp(' ') disp(' P E R H A T I A N ! ! !') disp('BUKAN matriks bujursangkar, nilai eigen tidak didefinisikan') end;

Gambar 2.4 List Program MATLAB Nilai Eigen Maksimum


BAB III PEMODELAN WAKTU PRODUKSI DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP Pada bab ini akan dijelaskan mengenai cara membuat model matematika pada graf ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar maxplus. Penjelasan dilakukan dengan mengelompokkan graf ke dalam 3 sub-bab sesuai jenisnya yaitu loop tunggal, loop berganda (multi loop), dan loop berganda dengan banyak titik (multi loop multi vertex). Masing-masing sub-bab

akan

diawali dengan penyajian graf sistem produksi ber-loop. Selanjutnya akan dibuat graf modifikasi dari graf yang telah tersedia sesuai dengan kondisi awal. Berdasarkan graf modifikasi yang telah dibuat kemudian dibuat aturan sinkronisasi yang sesuai dan selanjutnya akan disusun model matematika dan representasi bentuk matriks yang sesuai dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pada bab ini untuk masing-masing sub-bab akan diberikan dua graf. Graf yang pertama merupakan graf flowshop ber-loop, sedangkan graf yang kedua merupakan modifikasi dari graf flowshop ber-loop. Graf flowshop ber-loop dimodifikasi dengan penambahan unit pemrosesan sehingga graf berubah menjadi flowshop tanpa loop.

57


Dalam kasus ini, pekerjaan yang direpresentasikan dengan loop merupakan pekerjaan yang identik, dilihat dari segi bahan yang dimasukkan maupun waktu pemrosesan. Untuk suatu mesin yang melakukan beberapa kali pekerjaan tetapi dengan bahan dan waktu pemrosesan yang berbeda untuk masing-masing pekerjaan, graf yang tersaji bukan mengandung loop. A. Loop Tunggal Pada bagian ini akan disajikan graf suatu produksi dengan loop tunggal. Graf dengan loop tunggal menandakan bahwa mesin yang mengandung loop tersebut melakukan dua kali pekerjaan (job) dalam satu kali periode produksi. Dengan mengandaikan bentuk segiempat sebagai pemrosesan serta anak panah menunjukkan jalur produksi, graf tersebut dapat tersaji sebagai berikut.

Gambar 3.1 Graf Sistem Produksi Loop Tunggal Pada Gambar 3.1 di atas, anak panah merah menunjukkan alur produksi untuk pekerjaan (job) kedua pada mesin

.

(job) pertama dan mendistribusikannya pada

yang telah menyelesaikan

.

melakukan pekerjaan

pekerjaan pertamanya kemudian memulai lagi pekerjaan keduanya dan mendistribusikannya ke

. Dengan kata lain untuk setiap satu kali produksi


hingga output tersedia, unit pemrosesan

harus melakukan 2 kali pekerjaan

(job) sedangkan unit pemrosesan yang lain hanya melakukan 1 kali pekerjaan. Dalam aljabar max-plus, untuk mempermudah dalam perhitungan waktu optimum produksi dan penjadwalan secara periodik dapat dibuat graf modifikasi dari graf ber-loop dengan menambahkan unit pemrosesan bayangan, sehingga pola aliran berubah menjadi flowshop tanpa loop. Unit pemrosesan bayangan ini merupakan pemrosesan yang terjadi pada loop. Pada Gambar 3.1 unit pemrosesan bayangan akan ditambahkan untuk merepresentasikan pekerjaan kedua pada unit pemrosesan

. Graf tersebut

adalah sebagai berikut.

Gambar 3.2 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Tunggal Pada Gambar 3.2 terlihat bahwa unit pemrosesan bayangan yang ditambahkan untuk merepresentasikan pekerjaan kedua pada Pekerjaan pertama yang telah diselesaikan pada dengan pemrosesan

memulai

menyelesaikan pekerjaannya.

pekerjaannya

.

yang direpresentasikan

kemudian dilanjutkan ke unit pemrosesan dapat

adalah

, sementara itu unit segera

setelah


Setelah melakukan modifikasi graf, diperlukan penyusunan aturan sinkronisasi sebelum membuat sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pembuatan aturan sinkronisasi terlebih dulu diawali dengan pemberian nilai untuk masing-masing waktu transfer dan waktu pemrosesan pada yang sesuai dengan Gambar 3.2. Waktu transfer dan waktu pemrosesan tersaji pada tabel di bawah ini Tabel 3.1 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Tunggal Transfer

Waktu (satuan waktu) 1 2 2 2 2 3 3 0 0

Tabel 3.2 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Tunggal Pemrosesan

Waktu (satuan waktu) 10 8 10 15 10 12

Berdasarkan pada Tabel 3.1 dan Tabel 3.2 kemudian disusun aturan sinkronisasi yang sesuai. Pada Gambar 3.2 terlihat bahwa sistem produksi modifikasi yang ada terdiri dari 6 unit pemrosesan Proses produksi tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut. i)

: waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke

ii)

: waktu saat bahan dilakukan pemrosesan ke- dan mulai bekerja untuk pemrosesan kedengan waktu pemrosesan sebesar

iii)

: waktu saat produk kesistem.

.

yang diselesaikan meninggalkan


1) Aturan sinkronisasi pada unit pemrosesan Waktu saat


dapat

ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan kepemrosesan

, maka bahan mentah ini akan tersedia pada input pada waktu

pemrosesan

. Akan tetapi, unit

hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru

segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada satuan waktu, maka produk setengah jadi kemeninggalkan dan

pada saat

adalah akan

. Selain itu pemrosesan

dilakukan dengan menggunakan mesin yang sama, maka

hanya dapat memulai pemrosesan ke-

segera setelah

selesai

mengerjakan pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang diperlukan adalah

.



dapat

ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan kepemrosesan pemrosesan

, maka bahan mentah ini akan tersedia pada input pada waktu

. Akan tetapi, unit

hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru

segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah


satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan pada saat

.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan setelah bahan setengah jadi dari

dapat

dapat mulai bekerja

selesai diproses untuk pemrosesan ke-

. Bahan setengah jadi akan tersedia dari . Akan tetapi, unit pemrosesan

pada waktu hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

jadi ke- akan meninggalkan

satuan waktu, maka produk setengah pada saat

.




dapat

dapat mulai bekerja




bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu


pemrosesan pada

adalah



.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan setelah bahan setengah jadi dari pemrosesan ke-

dan

dapat mulai bekerja selesai diproses untuk

. Bahan setengah jadi akan tersedia dari

waktu

dapat

pada


pada waktu

. Akan tetapi, unit pemrosesan

hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan

satuan pada saat

.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan setelah bahan setengah jadi dari pemrosesan kewaktu

dan

dapat



pada



pada waktu


hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

satuan


pada saat

.

7) Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat produk jadi kepada

keluar dari sistem adalah saat pemrosesan

telah selesai dan meninggalkan

diperlukan saat produk jadi selesai adalah

, sehingga waktu yang .

Berdasarkan aturan sinkronisasi model matematika yang dapat disusun adalah sebagai berikut.


Sistem persamaan di atas dapat dituliskan sebagai :

, dengan matriks

dan

yang didefinisikan sebagai berikut.


, [

]

, [

]

[ Berdasarkan matriks yang telah tersusun, kemudian akan dicari nilai eigen maksimum dari matriks

dengan bantuan MATLAB. Nilai eigen

maksimum yang bersesuaian dengan matriks

pada sistem di atas adalah 22.

B. Loop Berganda (Multi Loop) Suatu unit pemrosesan dalam sistem produksi dapat memuat beberapa loop (tidak hanya satu). Misal untuk suatu unit pemrosesan

untuk setiap

satu kali produksi dapat memuat n loop. Hal ini menandakan bahwa unit pemrosesan

melakukan pekerjaan sebanyak

kali untuk satu produksi

hingga output tersedia. Berikut ini tersaji graf sistem produksi yang memuat beberapa loop pada satu unit pemrosesan :

Gambar 3.3 Graf Sistem Produksi Loop Berganda Gambar 3.3 menunjukkan bahwa pada unit pemrosesan loop yang menandakan bahwa

terdapat 2

melakukan pekerjaan sebanyak 3 kali dalam

satu kali periode produksi hingga output tersedia. Garis ungu menunjukkan


alur produksi untuk pekerjaan kedua, sedangkan garis hijau menunjukkan alur produksi untuk pekerjaan ketiga. mendistribusikannya ke

melakukan pekerjaan pertama dan

, sementara itu

keduanya dan mendistribusikannya ke

kembali melakukan pekerjaan . Pekerjaan ketiga pada

telah diselesaikan kemudian didistribusikan ke

yang

.

Berdasarkan pada Gambar 3.3 kemudian dapat dibuat graf modifikasi dengan menambahkan unit pemrosesan bayangan sesuai dengan banyaknya loop yang ada. Graf sistem produksi loop berganda yang dimodifikasi adalah sebagai berikut.

Gambar 3.4 Graf Sistem Produksi Modifikasi Loop Berganda Gambar 3.4 menunjukkan bahwa unit pemrosesan bayangan

dan

ditambahkan untuk merepresentasikan pekerjaan kedua dan ketiga pada untuk satu kali periode produksi. Setelah melakukan modifikasi graf, diperlukan penyusunan aturan sinkronisasi sebelum membuat sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pembuatan aturan sinkronisasi terlebih dulu diawali dengan pemberian nilai untuk masing-masing waktu transfer dan waktu pemrosesan pada yang sesuai


dengan Gambar 3.4. Waktu transfer dan waktu pemrosesan tersaji pada tabel di bawah ini: Tabel 3.3 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Loop Berganda Transfer

Tabel 3.4 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Loop Berganda

Waktu (satuan waktu) 0 1 1 2 2 2 2 5 3 3 2 0

Pemrosesan

Waktu (satuan waktu) 5 10 10 8 10 12 10 10

Berdasarkan pada Tabel 3.3 dan Tabel 3.4 kemudian disusun aturan sinkronisasi yang sesuai dengan Gambar 3.4. Pada Gambar 3.4 terlihat bahwa sistem produksi modifikasi yang ada terdiri dari 8 unit pemrosesan . Proses produksi tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut. i)


ii)


iii)

: waktu saat produk kesistem.

.





dapat

ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan keinput pemrosesan pemrosesan

, maka bahan mentah ini akan tersedia pada pada waktu

. Akan tetapi, unit

hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku

baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah meninggalkan

satuan waktu, maka produk setengah jadi kepada saat

akan

.



dapat

ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan keinput pemrosesan pemrosesan

, maka bahan mentah ini akan tersedia pada pada waktu

. Akan tetapi, unit

hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku

baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada adalah

satuan waktu, maka produk setengah jadi ke-

meninggalkan

pada saat

.

akan





dapat mulai bekerja


. Bahan setengah jadi akan tersedia dari . Selain itu unit pemrosesan mesin yang sama, sehingga ke-

setelah

dapat

pada waktu dan

bekerja pada

dapat mulai bekerja untuk pemrosesan

menyelesaikan pemrosesan yakni


hanya dapat mulai bekerja pada

sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

satuan waktu, maka produk setengah jadi ke-

akan meninggalkan

pada saat

.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan setelah bahan setengah jadi dari pemrosesan kewaktu pada waktu

dan

dapat



pada


hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah


menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

satuan


pada saat

.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan setelah bahan setengah jadi dari ke-

dapat

dapat mulai bekerja

selesai diproses untuk pemrosesan


pada waktu hanya dapat

mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

produk setengah jadi ke- akan meninggalkan

satuan waktu, maka pada saat

.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan setelah bahan setengah jadi dari pemrosesan ke-

dan

dapat



pada


waktu


pada waktu


hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada satuan waktu, maka produk setengah jadi kepada saat

adalah

akan meninggalkan

.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan setelah bahan setengah jadi dari ke-

dapat

dapat mulai bekerja

selesai diproses untuk pemrosesan



mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

produk setengah jadi ke- akan meninggalkan

satuan waktu, maka pada saat

.



ditentukan sebagai berikut. Unit pemrosesan

dapat

dapat mulai bekerja


setelah bahan setengah jadi dari pemrosesan ke-

dan

selesai diproses untuk


waktu

pada


pada waktu


hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada satuan waktu, maka produk setengah jadi kepada saat

adalah

akan meninggalkan

.

9) Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat produk jadi ke- keluar dari sistem adalah saat pemrosesan pada

telah selesai dan meninggalkan

diperlukan saat produk jadi selesai adalah

, sehingga waktu yang .




Sistem persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai :

,


dengan matriks

dan


,

[

]

,

[

]

[ Berdasarkan matriks yang telah tersusun, kemudian dicari nilai eigen maksimum dari matriks

dengan bantuan MATLAB. Nilai eigen maksimum

yang bersesuaian dengan matriks

pada sistem di atas adalah 34.

C. Loop Berganda dengan Banyak Titik (Multi Loop Multi Vertex) Pada bagian ini akan dibahas mengenai graf sistem produksi yang memiliki beberapa loop pada beberapa titik. Titik pada bahasan ini berarti unit pemrosesan yang nantinya pada graf akan direpresentasikan dengan bangun segiempat. Contoh yang akan disajikan merupakan kasus nyata yang ditemui dalam suatu produksi kue yang telah diamati sebelumnya. Graf yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Gambar 3.5 Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex


Keterangan : : waktu proses pemindahan bahan yang akan diproses, i = 1,2,…,34 : waktu saat pencampuran tepung terigu, air, dan butter pada

1

: waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur : waktu saat pencampuran tepung terigu, air, dan butter pada

2

: waktu saat pencampuran adonan 1 dengan kuning telur : waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir : waktu saat pencampuran 2 adonan dengan kuning telur : waktu saat pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur : waktu saat pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur : waktu saat pemanggangan pada oven : waktu saat pemanggangan pada oven : waktu saat proses pendinginan : waktu saat proses pengepakan : pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada

1

: pemisahan kuning telur dan putih telur : pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada : pencampuran adonan 1 dengan kuning telur : pencampuran putih telur dengan gula pasir : pencampuran 2 adonan dengan kuning telur : pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur : pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur 2 : pemanggangan lapisan pada oven : pemanggangan lapisan pada oven

2


: proses pendinginan : proses pengepakan Gambar 3.5 menunjukkan bahwa pada unit pemrosesan masing-masing memuat 1 loop. Hal ini berarti bahwa

dan

dan masing-

masing melakukan 2 pekerjaan untuk setiap satu kali periode produksi. Unit pemrosesan

dan

yang memuat masing-masing 5 loop dan 8 loop

melakukan 6 kali pekerjaan dan 9 kali pekerjaan untuk setiap satu kali periode produksi. Dengan kata lain untuk satu kali produksi kue terjadi proses pemisahan putih telur dengan kuning telur ( ) sebanyak 2 kali, proses pencampuran putih telur dengan gula pasir ( ) sebanyak 2 kali, proses pemanggangan lapisan terjadi sebanyak 15 kali pelapisan (6 kali pada 9 kali pada

). Pada sistem produksi di atas, unit pemrosesan

dan dan

bekerja pada mesin yang sama tetapi memiliki bahan dan waktu pemrosesan yang berbeda sehingga tidak memungkinkan untuk membuat loop pada Hal ini membuat

dan

.

dipisahkan oleh unit pemrosesan yang berbeda.

Dengan alasan yang sama, hal ini berlaku juga untuk

dan

. Graf

modifikasi yang dapat dibentuk dari Gambar 3.5 adalah sebagai berikut.

Gambar 3.6 Graf Sistem Produksi Modifikasi Multi Loop Multi Vertex


Keterangan : : waktu proses pemindahan bahan yang akan diproses, i = 1,2,…,34 : waktu saat pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada

1

: waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 1 : waktu saat pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada : waktu saat pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 2 : waktu saat pencampuran adonan 1 dengan kuning telur : waktu saat pencampuran adonan 2 dengan kuning telur : waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 1 : waktu saat pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur : waktu saat pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 2 : waktu saat pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur : waktu saat pemanggangan lapisan pertama pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kedua pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan ketiga pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan keempat pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kelima pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan keenam pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan ketujuh pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kedelapan pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kesembilan pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kesepuluh pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kesebelas pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kedua belas pada oven

2


: waktu saat pemanggangan lapisan ketiga belas pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan keempat belas pada oven : waktu saat pemanggangan lapisan kelima belas pada oven : waktu saat proses pendinginan : waktu saat proses pengepakan : pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada

1

: pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 1 : pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 2 : pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada : pencampuran adonan 1 dengan kuning telur : pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 1 : pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 2 : pencampuran adonan 2 dengan kuning telur : pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur : pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur : pemanggangan lapisan pertama pada oven : pemanggangan lapisan kedua pada oven : pemanggangan lapisan ketiga pada oven : pemanggangan lapisan keempat pada oven : pemanggangan lapisan kelima pada oven : pemanggangan lapisan keenam pada oven : pemanggangan lapisan ketujuh pada oven : pemanggangan lapisan kedelapan pada oven : pemanggangan lapisan kesembilan pada oven

2


: pemanggangan lapisan kesepuluh pada oven : pemanggangan lapisan kesebelas pada oven : pemanggangan lapisan kedua belas pada oven : pemanggangan lapisan ketiga belas pada oven : pemanggangan lapisan keempat belas pada oven pemanggangan lapisan kelima belas pada oven : proses pendinginan : proses pengepakan Berdasarkan Gambar 3.6, unit pemrosesan bayangan (

) ditambahkan

untuk merepresentasikan unit pemrosesan yang memuat loop pada

. Hal yang

sama juga dilakukan untuk semua unit pemrosesan yang mengandung loop. Banyaknya unit pemrosesan bayangan yang ditambahkan sesuai dengan banyaknya loop yang ada pada unit pemrosesan tersebut. Setelah melakukan modifikasi graf, diperlukan penyusunan aturan sinkronisasi sebelum membuat sistem persamaan linear aljabar max-plus. Pembuatan aturan sinkronisasi terlebih dulu diawali dengan pemberian nilai untuk masing-masing waktu transfer dan waktu pemrosesan pada yang sesuai dengan Gambar 3.6. Waktu transfer dan waktu pemrosesan tersaji pada tabel di bawah ini Tabel 3.5 Waktu Transfer Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex Transfer

Waktu (detik) 10 5 10 5

Tabel 3.6 Waktu Pemrosesan Graf Sistem Produksi Multi Loop Multi Vertex Pemrosesan

Waktu (detik) 934 435 934 435


0 5 5 5 5 0 13 15 13 15 15 85 85 58 48 41 66 41 55 68 66 68 80 72 86 87 149 82 156 0

295 295 365 295 365 295 212 212 212 212 212 212 212 212 212 212 212 212 212 212 212 2217 848

Berdasarkan pada Tabel 3.5 dan Tabel 3.6 kemudian disusun aturan sinkronisasi yang sesuai dengan Gambar 3.6. Pada Gambar 3.6 terlihat bahwa sistem produksi modifikasi yang ada terdiri dari 27 unit pemrosesan

dan

.

Proses

produksi

tersebut

dapat

didefinisikan sebagai berikut. i)



ii)


iii)

: waktu saat produk kue ke-

.


sistem. 1) Aturan sinkronisasi pada Waktu saat


dapat ditentukan

sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-

, maka bahan mentah ini akan tersedia pada input pemrosesan

pada waktu


hanya dapat

mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

setengah jadi ke- akan meninggalkan itu pemrosesan maka

dan


. Selain

dilakukan dengan menggunakan mesin yang sama,

hanya dapat memulai pemrosesan ke-

segera setelah

selesai mengerjakan pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang diperlukan adalah

.

2) Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat


dapat ditentukan



pada waktu


hanya dapat



adalah

satuan waktu, maka produk

setengah jadi ke- akan meninggalkan itu pemrosesan

dan

pada saat

. Selain

menggunakan mesin yang sama, sehingga

dapat memulai pemrosesan ke-

segera setelah

menyelesaikan

pemrosesan sebelumnya yakni pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang diperlukan adalah



sebagai berikut. Unit pemrosesan setengah jadi dari

dapat ditentukan

akan mulai bekerja setelah bahan


setengah jadi akan tersedia dari Akan tetapi, unit pemrosesan

pada waktu

. Bahan .

hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah

bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah



.




dapat ditentukan



pada waktu


hanya dapat


adalah

satuan waktu, maka produk

setengah jadi ke- akan meninggalkan itu, pemrosesan

dan

pada saat

. Selain

menggunakan mesin yang sama, maka


segera setelah

hanya

selesai mengerjakan

pemrosesan sebelumnya yaitu pemrosesan ke- . Sehingga waktu yang diperlukan adalah

.




dan

dapat ditentukan



Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari dan tersedia dari . Akan tetapi, unit pemrosesan

.

pada waktu

pada waktu hanya dapat mulai bekerja pada

sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k.


Waktu pemrosesan pada

adalah

setengah jadi ke- akan meninggalkan


.




dapat ditentukan



Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari . Unit pemrosesan yang sama sehingga

dan

.

pada waktu menggunakan mesin


Akan tetapi, unit pemrosesan


bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada waktu, maka produk setengah jadi ke-

adalah

satuan

akan meninggalkan

pada saat

.




dan

dapat ditentukan



Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari

pada waktu

.


serta akan tersedia dari

pada waktu

Akan tetapi, unit pemrosesan

hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada maka produk setengah jadi ke-

adalah

akan meninggalkan

satuan waktu, pada saat

.




dan

dapat ditentukan



Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari dan akan tersedia dari . Akan tetapi, unit pemrosesan

.

pada waktu


sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

setengah jadi ke- akan meninggalkan


.



sebagai berikut. Unit pemrosesan

dapat ditentukan



setengah jadi dari

dan


Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari serta akan tersedia dari Akan tetapi, unit pemrosesan

.

pada waktu pada waktu hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada maka produk setengah jadi ke-

adalah

akan meninggalkan

satuan waktu, pada saat

.




dan

dapat ditentukan



Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari serta akan tersedia dari . Akan tetapi, unit pemrosesan

.

pada waktu pada waktu hanya dapat mulai

bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada waktu, maka produk setengah jadi ke.

adalah

akan meninggalkan

satuan pada saat





dapat ditentukan



bahan setengah jadi akan tersedia dari . Akan tetapi, unit pemrosesan

. Sehingga


sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada setengah jadi ke-

adalah

akan meninggalkan

Selain itu, pemrosesan pada sehingga

sampai

dapat memulai proses ke-


.

menggunakan mesin yang sama setelah

menyelesaikan

pemrosesan ke- . Produk setengah jadi kemeninggalkan

pada waktu

.




dapat ditentukan



Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari . Akan tetapi, unit pemrosesan

.


bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan


pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada waktu, maka produk setengah jadi ke-

adalah

satuan

akan meninggalkan

pada saat

.




dapat ditentukan




.



adalah

satuan

akan meninggalkan

pada saat

.




dapat ditentukan




pada waktu

.



hanya dapat mulai


adalah

satuan

akan meninggalkan

pada saat

.




dapat ditentukan




.



adalah

satuan

akan meninggalkan

pada saat

.




dapat ditentukan



setengah jadi dari



.



adalah

satuan

akan meninggalkan

pada saat

.




dan

dapat ditentukan



Sehingga bahan setengah jadi akan tersedia dari serta akan tersedia dari . Akan tetapi, unit pemrosesan

.

pada waktu pada waktu hanya dapat

mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah

satuan waktu, maka produk setengah jadi ke- akan meninggalkan saat

.

pada





dapat ditentukan




.



adalah


pada

.




dapat ditentukan




.



adalah



pada

.




dapat ditentukan




.



adalah


pada

.




dapat ditentukan




.


mulai bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah


menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada

adalah


pada

.




dapat ditentukan




.



adalah


pada

.




dapat ditentukan




pada waktu

.



hanya dapat


adalah


pada

.




dapat ditentukan




.



adalah


pada

.




dapat ditentukan



setengah jadi dari



.

pada waktu


hanya dapat


adalah


pada

.




dapat ditentukan




.


bekerja pada sejumlah bahan setengah jadi segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan setengah jadi untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada waktu, maka produk setengah jadi ke.

adalah

akan meninggalkan

satuan pada saat





dapat ditentukan




.

pada waktu


hanya dapat


adalah


pada

.

28) Aturan Sinkronisasi pada Waktu saat produk jadi ke- keluar dari sistem adalah saat pemrosesan pada telah selesai dan meninggalkan produk jadi selesai adalah

, sehingga waktu yang diperlukan saat .





,









Sistem persamaan di atas dapat dituliskan sebagai :

, dengan matriks

dan

yang didefinisikan pada tabel-tabel selanjutnya.


Matriks

adalah sebagai berikut. Tabel 3.7 Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 1-13 KOLOM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BARIS

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

934 -inf -inf -inf 1868 -inf -inf 2176 -inf -inf 2556 2826 3086 3339 3617 3870 4137 4417 4695 4975 5267 5551 5849 6148 6509 6803 9176

-inf 435 -inf 875 875 1315 875 1255 1315 1695 1635 1905 2165 2418 2696 2949 3216 3496 3774 4054 4346 4630 4928 5227 5588 5882 8255

-inf -inf 934 -inf -inf 1868 -inf -inf -inf 2176 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2556 2836 3114 3394 3686 3970 4268 4567 4928 5222 7595

-inf 435 -inf 875 875 1315 875 1255 1315 1695 1635 1905 2165 2418 2696 2949 3216 3496 3774 4054 4346 4630 4928 5227 5588 5882 8255

295 -inf -inf -inf 1229 -inf -inf 1537 -inf -inf 1917 2187 2447 2700 2978 3231 3498 3778 4056 4336 4628 4912 5210 5509 5870 6164 8537

-inf -inf 295 -inf -inf 1229 -inf -inf -inf 1537 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1917 2197 2475 2755 3047 3331 3629 3928 4289 4583 6956

-inf -inf -inf -inf -inf -inf 365 745 745 1125 1125 1395 1655 1908 2186 2439 2706 2986 3264 3544 3836 4120 4418 4717 5078 5372 7745

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 295 -inf -inf 675 945 1205 1458 1736 1989 2256 2536 2814 3094 3386 3670 3968 4267 4628 4922 7295

-inf -inf -inf -inf -inf -inf 365 745 745 1125 1125 1395 1655 1908 2186 2439 2706 2986 3264 3544 3836 4120 4418 4717 5078 5372 7745

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 675 955 1233 1513 1805 2089 2387 2686 3047 3341 5714

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 212 482 742 995 1273 1526 1793 2073 2351 2631 2923 3207 3505 3804 4165 4459 6832

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 212 472 725 1003 1256 1523 1803 2081 2361 2653 2937 3235 3534 3895 4189 6562

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 212 465 743 996 1263 1543 1821 2101 2393 2677 2975 3274 3635 3929 6302


Tabel 3.8 Tabel Matriks A Graf Multi Loop Multi Vertex Kolom 14-27 KOLOM

BARIS

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

1

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

2

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

3

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

4

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

5

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

6

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

7

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

8

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

9

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

10

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

11

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

212

-inf

-inf

12

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

482

-inf

-inf

13

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

742

-inf

-inf

14

212

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

995

-inf

-inf

15

490

212

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

1273

-inf

-inf

16

743

465

212

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

1526

-inf

-inf

17

1010

732

479

212

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

1793

-inf

-inf

18

1290

1012

759

492

212

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

2073

-inf

-inf

19

1568

1290

1037

770

490

212

-inf

-inf

-inf

-inf

-inf

2351

-inf

-inf

20

1848

1570

1317

1050

770

492

212

-inf

-inf

-inf

-inf

2631

-inf

-inf

21

2140

1862

1609

1342

1062

784

504

212

-inf

-inf

-inf

2923

-inf

-inf

22

2424

2146

1893

1626

1346

1068

788

496

212

-inf

-inf

3207

-inf

-inf

23

2722

2444

2191

1924

1644

1366

1086

794

510

212

-inf

3505

-inf

-inf

24

3021

2743

2490

2223

1943

1665

1385

1093

809

511

212

3804

-inf

-inf

25

3382

3104

2851

2584

2304

2026

1746

1454

1170

872

573

4165

-inf

-inf

26

3676

3398

3145

2878

2598

2320

2040

1748

1464

1166

867

4459

2217

-inf

27

6049

5771

5518

5251

4971

4693

4413

4121

3837

3539

3240

6832

4590

848


Matriks

:

Tabel 3.9 Matriks B Graf Multi Loop Multi Vertex

BARIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Matriks

:

KOLOM 1 10 5 10 445 944 944 445 1252 885 1265 1632 1902 2162 2415 2693 2946 3213 3493 3771 4051 4343 4627 4925 5224 5585 5879 8252

Tabel 3.10 Matriks C Graf Multi Loop Multi Vertex

BARIS 1

KOLOM 1 2 -inf -inf

3 -inf

4 -inf

5 -inf

6 -inf

7 -inf

8 -inf

9 -inf

10 -inf

11 -inf

12 -inf

13 -inf

BARIS 1

15 -inf

17 -inf

18 -inf

19 -inf

20 -inf

21 -inf

22 -inf

23 -inf

24 -inf

25 -inf

26 -inf

27 848

16 -inf

14 -inf


Berdasarkan matriks yang telah tersusun, kemudian akan dicari nilai eigen maksimum dari matriks

dengan bantuan MATLAB. Nilai eigen

maksimum yang bersesuaian dengan matriks

pada sistem di atas adalah

4165. D. Analisis Model Selanjutnya akan dilakukan analisis berdasarkan pengamatan yang dilakukan terhadap beberapa graf yang disajikan. Pengamatan pertama dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop tunggal. Loop tunggal yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang hanya memiliki satu loop. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.1 (graf sistem produksi loop tunggal) sebanyak 5 unit. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.2 (graf sistem produksi modifikasi loop tunggal) sebanyak 6 unit.Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak 5 unit bertambah menjadi 6 unit karena terdapat satu loop. Entry matriks

pada diagonal utama menunjukkan lama waktu yang

dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya. Dapat dilihat bahwa pada diagonal utama , entry

dan

berturut-turut menunjukkan lama waktu menyelesaikan pekerjaannya. Nilai turut merupakan merepresentasikan waktu

dan

untuk dan

secara berturut-

. Perbedaan terjadi pada


yang

merupakan

unit pemrosesan bayangan yang digunakan untuk menunjukkan pekerjaan


kedua dari

, sehingga waktu untuk menyelesaikan pekerjaan hingga dapat

memulai pekerjaan selanjutnya harus menunggu diperoleh dari waktu proses

(

selesai. Nilai 22 pada

ditambah waktu transfer untuk

memastikan mesin sudah kosong dan siap dimulai pekerjaan selanjutnya dan ditambah waktu proses

(

. Nilai 22 pada

,

juga merupakan nilai

eigen maksimum dari matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama yang dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan pekerjaannya adalah 22 satuan waktu yang dalam kasus ini merupakan pemrosesan pada

.

Pengamatan selanjutnya dilakukan pada graf sistem produksi ber-loop ganda. Multi loop yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang memiliki lebih dari satu loop. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.3 (graf sistem produksi loop ganda) sebanyak 6 unit. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.4 (graf sistem produksi modifikasi loop ganda) sebanyak 8 unit. Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak 6 unit bertambah menjadi 8 unit karena terdapat dua loop. Sama seperti pada loop tunggal, entry matriks

pada diagonal utama

menunjukkan lama waktu yang dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya. Pada diagonal utama matriks terlihat pada

yang merupakan waktu

, entry terbesar


merepresentasikan pekerjaan ketiga pada unit pemrosesan dapat menyelesaikan pekerjaannya pada waktu

,

dan

. Sehingga selesai


bekerja. Nilai 34 yang merupakan entry

memiliki nilai yang sama dengan

nilai eigen maksimum matriks . Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama yang dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan pekerjaannya adalah 34 satuan waktu yang dalam kasus ini merupakan pemrosesan pada

.

Pengamatan yang terakhit dilakukan pada graf sistem produksi berloop ganda dengan beberapa titik (Multi loop multi vertex). Multi loop multi vertex yang disajikan merupakan graf sistem produksi yang memiliki lebih dari satu loop pada beberapa mesin. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.5 (graf sistem produksi multi loop multi vertex) sebanyak 12 unit. Unit pemrosesan yang ada pada Gambar 3.6 (graf sistem produksi modifikasi multi loop multi vertex) sebanyak 27 unit.Unit pemrosesan yang awalnya sebanyak 12 unit bertambah menjadi 27 unit karena berdasarkan Gambar 3.5 terdapat 15 loop yang terdiri dari 1 loop pada pada

dan

, 5 loop pada

, dan 8 loop

. Sama seperti pada loop tunggal dan loop ganda, entry matriks

pada

diagonal utama menunjukkan lama waktu yang dibutuhkan dari suatu unit pemrosesan untuk menyelesaikan pekerjaannya. Pada diagonal utama matriks , entry terbesar terlihat pada menyelesaikan pekerjaannya. pada unit pemrosesan pemrosesan

yang merupakan waktu merepresentasikan pekerjaan kesembilan

. Selain itu karena mesin yang digunakan pada unit

sama dengan

maka

dapat menyelesaikan


pekerjaannya pada waktu

,

yang merupakan entry

memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen

maksimum matriks

, hingga

selesai bekerja. Nilai 4165

. Dengan kata lain waktu pemrosesan terlama yang

dibutuhkan suatu mesin pada contoh tersebut untuk menyelesaikan pekerjaannya adalah 4165 satuan waktu yang dalam kasus ini merupakan pemrosesan pada

.

Berdasarkan pengamatan yang dilakukan dapat dilihat bahwa banyaknya unit pemrosesan modifikasi setara dengan jumlahan unit pemrosesan ber-loop ditambah dengan banyaknya loop. Hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut: Teorema 3.1 Jika suatu graf ber-loop memiliki sebanyak sebanyak

unit pemrosesan dan memiliki total loop

, maka banyaknya unit pemrosesan modifikasi yang terjadi .

Bukti : Diberikan suatu graf dengan unit pemrosesan tak identik dan menandakan terdapat

.

pemrosesan identik yang terjadi sehingga terdapat

unit pemrosesan. Banyaknya unit pemrosesan yang terjadi

atau

.

Selain itu terdapat perbedaan pada entry matriks diagonal utama yang menunjukkan waktu proses unit pemrosesan bayangan. Entry yang menunjukkan unit pemrosesan bayangan merupakan hasil penjumlahan dari


waktu proses unit pemrosesan asal dan waktu transfernya, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut. Teorema 3.2 Jika

menunjukkan suatu unit pemrosesan dengan loop sebanyak

menunjukkan unit pemrosesan bayangan ke- maka dengan

, dengan

unit pemrosesan

pada matriks

dan sama

menunjukkan waktu pemrosesan pada

dan menunjukkan total waktu transfer dari

hingga

.

Bukti : Diberikan suatu graf seperti berikut.

Gambar 3.7 Graf Sistem Produksi dengan n loop Diambil :

⨂

Untuk

1 mesin Gambar 3.8 Graf Sistem Produksi Modifikasi n loop pada loop pertama Karena

dan

bekerja pada mesin yang sama, waktu pemrosesan yang

dibutuhkan sampai

selesai harus menunggu

diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan pada

selesai. Waktu yang adalah


Untuk Dengan prinsip yang sama, waktu pemrosesan sampai menunggu pemrosesan

selesai harus

selesai pemrosesan. Sehingga waktu yang

diperlukan untuk mesin tersebut hingga menyelesaikan pekerjaan dengan waktu proses untuk menyelesaikan

ditambah dengan waktu

transfer ditambah dengan waktu pemrosesan pada dituliskan

sama

sehingga dapat

: ⨂

Dengan menggunakan prinsip yang sama, pada Waktu

pemrosesan

hingga

⨂

dapat

ditulistkan

:

⨂

⨂ Karena waktu merosesan

menunjukkan lama waktu

dapat memulai pekerjaan kedengan

maka menurut Definisi 2.16, lama waktu pemrosesan

pada unit pemrosesan bersesuaian dengan

setelah menyelesaikan pekerjaan ke-

jika disajikan ke dalam bentuk matriksnya akan . Hal ini mengakibatkan,

.


BAB IV ANALISIS WAKTU OPTIMUM DAN PENJADWALAN PRODUKSI SECARA PERIODIK A. Analisis Barisan Keadaan Sistem dan Output Pada bagian ini dibuat analisis atas persamaan yang telah diperoleh dari graf sistem produksi modifikasi. Analisis ini dilakukan dengan cara menghitung barisan keadaan sistem dan barisan output sistem dengan bantuan program MATLAB. Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat ditentukan waktu optimum serta dapat dibuat jadwal produksi yang periodik. Perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output sistem pada Gambar 3.2 dimulai dengan memberikan kondisi awal ( [

–

–

–

sebagai berikut.

–

Selain dengan memberikan input kondisi awal diberikan pula input berupa matriks

dan

seperti yang telah dijelaskan pada Bab III. Hasil

dari perhitungan barisan keadaan sistem dan barisan output pada Gambar 3.2 dengan menggunakan program MATLAB untuk barisan input

akan tersaji dalam Tabel 4.1.

[

119

dengan


Tabel 4.1 Barisan Keadaan Sistem dan Output Graf Sistem Produksi Loop Tunggal 0 1 2 -inf -inf -inf -inf

1 11 10 23 23 35 48 60

2 33 18 45 45 57 70 82

3 55 26 67 67 79 92 104

4 77 37 89 89 101 114 126

5 99 50 111 111 123 136 148

6 121 62 133 133 145 158 170

Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa selisih waktu mulai produksi antara produksi ke-

dengan produksi kepada masing-masing unit

pemrosesan tidak sama. Dengan kata lain sistem belum periodik. Untuk itu diperlukan suatu perhitungan yang membuat sistem menjadi periodik. Berdasarkan pada barisan keadaan output pada Tabel 4.1 akan dihitung waktu mulai paling lambat( ̂ . Waktu mulai paling lambat membuat keadaan sistem menjadi periodik serta mampu mempertahankan kualitas barang yang diolah. Perhitungan waktu paling lambat dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Hasil dari perhitungan waktu paling lambat ( ̂ adalah sebagai berikut. Barisan input paling lambat ( ̂ = [ Barisan output y untuk ̂ = [ Barisan input minimum simpangan ̃ = [ Barisan output y untuk ̃ =[ Dari hasil perhitungan tersebut, input paling lambat akan digunakan lagi untuk mencari barisan keadaan sistem dengan bantuan program MATLAB.


Hasil dari perhitungan barisan keadaan sistem dengan input paling lambat adalah sebagai berikut. Tabel 4.2 Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Graf Loop Tunggal dengan Input Paling Lambat 0 1 2 -inf -inf -inf -inf

1 11 12 23 23 35 48 60

2 33 34 45 45 57 70 82

3 55 56 67 67 79 92 104

4 77 78 89 89 101 114 126

5 99 100 111 111 123 136 148

6 121 122 133 133 145 158 170

Pada Tabel 4.2 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi kedengan waktu mulai produksi ke-

pada setiap unit pemrosesan. Selisih

waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.2 adalah 22 satuan waktu. Dengan menggunakan cara yang sama dihitung pula barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 dan 3.6. Hasil akhir barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 dengan barisan input paling lambat (̂


[

Tabel 4.3 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi Loop dengan Input Paling Lambat 0 0 1 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

1 10 11 16 28 28 43 40

2 44 45 50 62 62 77 74

3 78 79 84 96 96 111 108

4 112 113 118 130 130 145 142

5 146 147 152 164 164 179 176


57 67

-Inf

91 101

125 135

159 169

193 203

Tabel 4.3 menunjukkan bahwa barisan keadaan sistem mulai periodik setelah produksi ke-1. Barisan keadaan sistem dan output pada Gambar 3.4 periodik dengan periode 34 satuan waktu. Selanjutnya dengan menggunakan cara yang sama ditentukan barisan keadaan sistem dan ouput pada Gambar 3.6 dengan input paling lambat. Barisan keadaan sistem dan output pada Gambar (̂

3.6

dengan

menggunakan

input

paling

lambat


[

Tabel 4.4 Barisan Keadaan Sistem dan Ouput pada Graf Multi Loop Multi Vertex dengan Input Paling Lambat 0 10

1 944

2 5109

3 9274

4 13439

5 17604

5

939

5104

9269

13434

17599

10

944

5109

9274

13439

17604

-inf

1379

5544

9709

13874

18039

-inf

1878

6043

10208

14373

18538

-inf

1878

6043

10208

14373

18538

-inf

1379

5544

9709

13874

18039

-inf

2186

6351

10516

14681

18846

-inf

1819

5984

10149

14314

18479

-inf

2199

6364

10529

14694

18859

-inf

2566

6731

10896

15061

19226

-inf

2836

7001

11166

15331

19496

-inf

3096

7261

11426

15591

19756

-inf

3349

7514

11679

15844

20009

-inf

3627

7792

11957

16122

20287

-inf

3880

8045

12210

16375

20540

-inf

4147

8312

12477

16642

20807

-inf

4427

8592

12757

16922

21087

-inf

4705

8870

13035

17200

21365


-inf

4985

9150

13315

17480

21645

-inf

5277

9442

13607

17772

21937

-inf

5561

9726

13891

18056

22221

-inf

5859

10024

14189

18354

22519

-inf

6158

10323

14488

18653

22818

-inf

6519

10684

14849

19014

23179

-inf

6813

10978

15143

19308

23473

-inf

9186

13351

17516

21681

25846

10034

14199

18364

22529

26694

Pada Tabel 4.4 terlihat bahwa barisan keadaan sistem dan output telah periodik pada saat mulai produksi ke-1. Keperiodikan barisan keadaan sistem dan output tercermin dari kesamaan selisih waktu mulai produksi kedengan waktu mulai produksi ke-

pada setiap unit pemrosesan. Selisih

waktu mulai produksi untuk setiap unit pemrosesan pada Gambar 3.6 adalah 4165 satuan waktu. Berikut ini akan dianalisis keterhubungan antara entry dan nilai eigen matriks A pada sistem persamaan linear aljabar max-plus terhadap waktu input paling lambat dan keperiodikan barisan keadaan sistem dan output sistem produksi berdasarkan pada contoh-contoh yang telah dipaparkan sebelumnya. Pengamatan yang pertama dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi loop tunggal. Barisan keadaan sistem pada graf sistem produksi loop tunggal dengan persamaan

, dengan matriks

dan



, [

]

, [

]

[ dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks

= 22

,menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input paling lambat ̂

[

dengan periode 22 satuan waktu.

Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf loop tunggal mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks A yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama yaitu 10 yang juga merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan untuk unit-unit pemrosesan yang dapat memulai pekerjaan tanpa menunggu unit pemrosesan yang lain. Dalam kasus ini

dan

.

Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks A. Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 22 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks A. Pengamatan selanjutnya dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi loop ganda (Multi loop). Barisan keadaan sistem pada graf sistem produksi multi loop dengan persamaan

,


dengan matriks

dan


,

[

]

,

[

]

[ dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks

= 34,

menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input paling lambat ̂

[

dengan periode 34 satuan waktu.

Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf sistem produksi multi loop mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks

yang terletak

pada baris kedua dan kolom kedua yaitu 10 yang merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit pemrosesan yang dapat memulai produksi secara langsung tanpa harus bergantung pada unit pemrosesan lainnya. Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks . Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 34 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks . Pengamatan yang dilakukan pada barisan keadaan sistem pada sistem produksi ber-loop ganda dengan beberapa titik (Multi loop multi vertex). Barisan keadaan sistem pada graf multi loop multi vertex dengan persamaan

,


dengan matriks

dan

yang didefinisikan pada Tabel 3.7, Tabel 3.8, dan

Tabel 3,9 dan memiliki nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks

=

4165, menunjukkan keperiodikannya pada produksi pertama untuk waktu input paling lambat ̂

dengan periode

[

4165 satuan waktu. Waktu input paling lambat pada produksi pertama untuk graf multi loop multi vertex mempunyai nilai yang sama dengan entry matriks yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama yaitu 934 yang merupakan nilai maksimum waktu pemrosesan pada unit pemrosesan yang dapat memulai produksi secara langsung tanpa harus bergantung pada unit pemrosesan lainnya. Selain itu, periode barisan keadaan sistem dan ouput memiliki nilai yang sama dengan nilai eigen matriks . Hal yang sama juga berlaku pada periode waktu input paling lambat yaitu 4165 satuan waktu yang merupakan nilai eigen dari matriks . Berdasarkan pada pengamatan di atas dapat disimpulkan suatu teorema berikut. Teorema 4.1 Jika terdapat suatu persamaan

,

dengan matriks

[

maksimum dari matriks serta diketahui

hingga

],

, dan input

merupakan nilai eigen

bersesuaian dengan matriks

,

merupakan unit pemrosesan yang memulai


pemrosesan tanpa bergantung pada pemrosesan lainnya maka barisan input paling lambat agar barisan keadaan sistem periodik adalah [ dengan

.

Bukti : Misal diberikan nilai

, maka

.

merupakan unit pemrosesan yang bekerja secara langsung tanpa bergantung pada unit pemrosesan lainnya, sehingga waktu pemrosesan untuk tiap-tiap unit pemrosesannya sama dengan

.

eigen maksimum dari matriks , sehingga

merupakan nilai

merupakan waktu terlama yang

dimiliki suatu unit pemrosesan dalam sistem produksi untuk menyelesaikan pekerjaannya dalam satu periode. Selanjutnya akan diambil input paling lambat untuk produksi pertama. Karena

merupakan unit pemrosesan yang bekerja secara

langsung maka unit-unit pemrosesan tersebut bergantung pada waktu input yang diberikan. Semakin cepat waktu inputnya, semakin cepat pula unit pemrosesan tersebut memulai pekerjaannya, begitupun sebaliknya. Dalam kasus ini akan dicari input yang paling lambat yang memenuhi maka ada

yang memenuhi

bukan input paling lambat. Jika

. Jika Jadi,

maka waktu produksi yang diambil

menjadi tidak optimum karena semua unit pemrosesan dari

hingga

seharusnya telah dapat menyelesaikan proses pertamanya. Hal ini membuat barang akan keluar dari sistem melebihi dari waktu yang diharapkan. Sehingga diambil

yang membuat

tetap.


Jika diambil periode

, maka ada unit pemrosesan yang belum

menyelesaikan pemrosesan sebelumnya saat unit pemrosesan yang lain telah melakukan pemrosesan periode selanjutnya. Hal ini membuat keadaan tidak periodik untuk semua sistem. Selanjutnya diambil

sebagai periode yang

merupakan waktu terlama yang dimiliki suatu unit pemrosesan dalam sistem produksi

untuk

Pengambilan

menyelesaikan

pekerjaannya

dalam

satu

periode.

sebagai periode membuat semua unit pemrosesan telah selesai

melakukan pemrosesan dan siap melakukan pemrosesan selanjutnya. Begitu pun untuk unit pemrosesan dengan waktu pemrosesan sebesar

, unit

pemrosesan tersebut akan segera melakukan pemrosesan selanjutnya tanpa harus menunggu terlalu lama. Jika diambil periode

, maka akan terjadi waktu tunggu pada unit

pemrosesan dengan waktu proses terpanjang sehingga waktu pemrosesan menjadi tidak optimum. Sehingga, periode yang diambil untuk membuat barisan keadaan sistem menjadi periodik adalah

. Seperti dijelaskan diatas, bahwa unit

pemrosesan yang bekerja secara langsung dapat memulai produksi sesuai dengan barisan input yang dimasukkan. Sehingga, agar barisan keadaan sistem optimum dan periodik, barisan input yang dipilih adalah [ dengan

.

Dengan barisan input paling lambat tersebut akan diperoleh barisan keadaan sistem dan ouput yang periodik dengan periode sebesar sistem tersebut,

. Pada

menjadi periode dari barisan keadaan sistem dan output


dikarenakan

yang berupa nilai eigen maksimum dari matriks

merupakan

waktu proses terlama suatu unit pemrosesan dapat menyelesaikan pekerjaannya.

B. Penjadwalan Produksi Secara Periodik Berdasarkan hasil pada bagian A, akan dibuat penjadwalan secara periodik. Penjadwalan akan dilakukan pada graf multi loop multi vertex yang merepresentasikan proses produksi kue secara nyata. Penjadwalan yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut. Tabel 4.5 Jadwal Produksi Kue Secara Periodik Proses Kegiatan Produksi Pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 1 Pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 1 Pencampuran adonan tepung terigu, air, dan butter pada 2 Pemisahan kuning telur dan putih telur tahap 2 Pencampuran adonan 1 dengan kuning telur tahap 1 Pencampuran adonan 2 dengan kuning telur tahap 2 Pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap 1 Pencampuran adonan 1 dengan campuran putih telur 1 Pencampuran putih telur dengan gula pasir tahap

Waktu memulai produksi (WIB) Produksi Ke1

2

3

4

5

07.00.05

08.09.30

09.18.55

10.28.20

11.37.45

07.00.00

08.09.25

09.18.50

10.28.15

11.37.40

07.00.05

08.09.30

09.18.55

10.28.20

11.37.45

07.07.20

08.16.45

09.26.10

10.35.35

11.45.00

07.15.39

08.25.04

09.34.29

10.43.54

11.53.19

07.15.39

08.25.04

09.34.29

10.43.54

11.53.19

07.07.20

08.16.45

09.26.10

10.35.35

11.45.00

07.20.47

08.30.12

09.39.37

10.49.02

11.58.27

07.14.40

08.24.05

09.33.30

10.42.55

11.52.20


2 Pencampuran adonan 2 dengan campuran putih telur 2 Pemanggangan lapisan pertama pada oven Pemanggangan lapisan kedua pada oven Pemanggangan lapisan ketiga pada oven Pemanggangan lapisan keempat pada oven Pemanggangan lapisan kelima pada oven Pemanggangan lapisan keenam pada oven Pemanggangan lapisan ketujuh pada oven Pemanggangan lapisan kedelapan pada oven Pemanggangan lapisan kesembilan pada oven Pemanggangan lapisan kesepuluh pada oven Pemanggangan lapisan kesebelas pada oven Pemanggangan lapisan kedua belas pada oven Pemanggangan lapisan ketiga belas pada oven Pemanggangan lapisan keempat belas pada oven Pemanggangan lapisan kelima belas pada oven Pendinginan Pengepakan Barang jadi siap didistribusikan

07.21.00

08.30.25

09.39.50

10.49.15

11.58.40

07.27.07

08.36.32

09.45.57

10.55.22

12.04.47

07.31.37

08.41.02

09.50.27

10.59.52

12.09.17

07.35.57

08.45.22

09.54.47

11.04.12

12.13.37

07.40.10

08.49.35

09.59.00

11.08.25

12.17.50

07.44.48

08.54.13

10.03.38

11.13.03

12.22.28

07.49.01

08.58.26

10.07.51

11.17.16

12.26.41

07.53.28

09.02.53

10.12.18

11.21.43

12.31.08

07.58.08

09.07.33

10.16.58

11.26.23

12.35.48

08.02.46

09.12.11

10.21.36

11.31.01

12.40.26

08.07.26

09.16.51

10.26.16

11.35.41

12.45.06

08.12.18

09.21.43

10.31.08

11.40.33

12.49.58

08.17.02

09.26.27

10.35.52

11.45.17

12.54.42

08.22.00

09.31.25

10.40.50

11.50.15

12.59.40

08.26.59

09.36.24

10.45.49

11.55.14

13.04.39

08.33.00

09.42.25

10.51.50

12.01.15

13.10.40

08.37.54

09.47.19

10.56.44

12.06.09

13.15.34

09.17.27

10.26.52

11.36.17

12.45.42

13.55.07

09.31.35

10.41.00

11.50.25

12.59.50

14.09.15

Penjadwalan yang dilakukan pada Tabel 4.5 disusun berdasarkan barisan keadaan sistem dan output dengan menggunakan input paling lambat. Penjadwalan dilakukan dengan menggunakan detik sebagai satuan waktu dan pukul 07.00.00 sebagai waktu memulai produksi. Proses kegiatan produksi


yang dituliskan sesuai dengan proses kegiatan produksi sebenarnya. Dengan menjadwalkan secara periodik dan menggunakan input paling lambat, produsen dapat melakukan pekerjaan dengan lebih terjadwal dan kualitas barang setengah jadi menjadi lebih terjaga karena meminimalkan waktu tunggu antar unit pemrosesan. Proses menunggu terjadi pada tahap awal produksi pada saat barang mentah belum mulai diproses. C. Keterbatasan Penelitian Keterbatasan yang dialami penulis dalam pelaksanaan penelitian adalah proses produksi yang dilakukan secara manual untuk beberapa unit pemrosesan. Proses produksi secara manual menyebabkan perhitungan waktu transfer menjadi kurang akurat. Perhitungan waktu transfer dilakukan dengan menghitung waktu rata-rata untuk setiap proses transfer. Perhitungan waktu transfer

yang kurang akurat

akan mempengaruhi waktu produksi.


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. KESIMPULAN Berdasarkan pada pembahasan-pembahasan sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. 1. Sifat-sifat model matematika waktu produksi pada graf sistem produksi ber-loop dengan menggunakan sistem persamaan linear aljabar max-plus adalah sebagai berikut. a. Jika suatu graf ber-loop memiliki total loop sebanyak

unit pemrosesan dan memiliki

, maka banyaknya unit pemrosesan

modifikasi yang terjadi sebanyak b. Jika dan

.

menunjukkan suatu unit pemrosesan dengan loop sebanyak menunjukkan unit pemrosesan bayangan ke- maka

pada matriks

sama dengan

, dengan

menunjukkan waktu pemrosesan pada unit pemrosesan menunjukkan total waktu transfer dari

hingga

2. Jika terdapat suatu persamaan

,

132

.

dan


dengan matriks

[

eigen maksimum dari matriks dengan matriks

],

merupakan nilai

, dan input

, serta diketahui

hingga

bersesuaian merupakan unit

pemrosesan yang memulai pemrosesan tanpa bergantung pada pemrosesan lainnya maka barisan input paling lambat agar barisan keadaan sistem periodik adalah [ dengan

.

B. SARAN Adapun saran-saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut. 1.

Sistem produksi yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi pada sistem produksi pada graf ber-loop dengan satu input satu output. Penelitian selanjutnya dapat membahas tentang sistem produksi pada graf ber-loop dengan multi input multi output.

2.

Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan proses produksi kue secara manual pada beberapa unit pemrosesan sebagai contoh nyata. Hal ini menyebabkan perhitungan waktu transfer menjadi kurang akurat. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan contoh pada suatu produksi dengan semua unit pemrosesan berupa mesin.

3.

Pemodelan graf sistem produksi ber-loop pada penelitian ini dibuat dengan memodifikasi graf melalui penambahan unit pemrosesan.


Penelitian selanjutnya dapat membuat pemodelan tanpa menambahkan unit pemrosesan bayangan.


DAFTAR PUSTAKA

Arifin, Mustofa dan Mustofa. 2012. Aplikasi Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus dalam Mengoptimalisasi Waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” Daerah Istimewa Yogyakarta. Skripsi diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Berlianty, Arifin. (2002). Teknik-Teknik Optimasi Heuristik. ISBN : 987-979-756625-8. De Schutter, B. 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. PhD Thesis. Leuven: Department of Electrical Engineering, Katholieke Universiteit. De Schutter, B and T. Van den Boom. 2008. Max-plus algebra and max-plus linear discrete event system : An Introduction, “Proceedings of the 9th International Workshop on Discrete Event System”. Goteborg, Sweden. Farlow, Kasie G. (2009). Max-Plus Algebra. Thesis submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University. Rudhito, Andy. 2016. Aljabar Max-Plus dan Penerapannya. Yogyakarta : Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP-Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Subiono and Nur Shofianah. 2009. Using Max-Plus Algebra in The Flow Shop Scheduling. The Journal of Technology and Science, Vol. 20, No. 3. Subiono. 2015. Aljabar Min-Max Plus dan Terapannya. Surabaya : Jurusan Matematika, FMIPA-ITS, Surabaya.

135


LAMPIRAN

136


LAMPIRAN 1. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 1 2. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 2 3. Hasil Perhitungan MATLAB untuk Contoh 3 4. Foto Penelitian

137


LAMPIRAN I 1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Matriks Pada Contoh 1 Matriks yang dihitung A = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47 44 47 30 23 12] HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 10 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf 8 -Inf -Inf -Inf -Inf 22 -Inf 22 -Inf -Inf -Inf 22 19 22 15 -Inf -Inf 34 31 34 -Inf 10 -Inf 47 44 47 30 23 12 Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A = 22 VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian = -12 -Inf 0 0 12 25

138


2. Perhitungan Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Contoh 1 INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) Masukkan matriks A(nxn) = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47 44 47 30 23 12] Masukkan matriks B(nx1) = [1;2;13;13;25;38] Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf 12] Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [1;2;-inf;-inf;-inf;-inf] Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [0;13;20;35;48;60] HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 10 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf 8 -Inf -Inf -Inf -Inf 22 -Inf 22 -Inf -Inf -Inf 22 19 22 15 -Inf -Inf 34 31 34 -Inf 10 -Inf 47 44 47 30 23 12 Matriks B = 1 2 13 13 25 38

139


Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

12

Kondisi awal x0 = 1 2 -Inf -Inf -Inf -Inf Barisan input u = 0 13 20 35 48 60 Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : 1 11 33 55 77 99 121 2 10 18 26 37 50 62 -Inf 23 45 67 89 111 133 -Inf 23 45 67 89 111 133 -Inf 35 57 79 101 123 145 -Inf 48 70 92 114 136 158 Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : 60 82 104 126 148 170

140


OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant ---------------------------------------------------Masukkan matriks A = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47 44 47 30 23 12] Masukkan matriks B = [1;2;13;13;25;38] Masukkan matriks C = [-inf -inf -inf -inf -inf 12] Masukkan kondisi awal x0 = [1;2;-inf;-inf;-inf;-inf] Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = [60;82;104;126;148;170] HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 10 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf 8 -Inf -Inf -Inf -Inf 22 -Inf 22 -Inf -Inf -Inf 22 19 22 15 -Inf -Inf 34 31 34 -Inf 10 -Inf 47 44 47 30 23 12 Matriks B = 1 2 13 13 25 38

141


Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

12

Kondisi awal x0 = 1 2 -Inf -Inf -Inf -Inf Barisan output y = 60 82 104 126 148 170 Barisan input paling lambat u_topi = 10 32 54 76 98 120 Barisan output y untuk u_topi = 60 82 104 126 148 170 Barisan input minimum simpangan u_tilde = 10 32 54 76 98 120 Barisan output y untuk u_tilde = 60 82 104 126 148 170

142


>> hitung ans = function io_SLMI = maxio INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) -------------------------------Masukkan matriks A(nxn) = [10 -inf 10 -inf -inf -inf;-inf 8 -inf -inf -inf -inf;22 -inf 22 -inf -inf -inf;22 19 22 15 -inf -inf;34 31 34 -inf 10 -inf;47 44 47 30 23 12] Masukkan matriks B(nx1) = [1;2;13;13;25;38] Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf 12] Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [1;2;-inf;-inf;-inf;-inf] Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [10;32;54;76;98;120] HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 10 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf 8 -Inf -Inf -Inf -Inf 22 -Inf 22 -Inf -Inf -Inf 22 19 22 15 -Inf -Inf 34 31 34 -Inf 10 -Inf 47 44 47 30 23 12

143


Matriks B = 1 2 13 13 25 38 Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

12

Kondisi awal x0 = 1 2 -Inf -Inf -Inf -Inf Barisan input u = 10 32 54 76 98 120 Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : 1 11 33 55 77 99 121 2 12 34 56 78 100 122 -Inf 23 45 67 89 111 133 -Inf 23 45 67 89 111 133 -Inf 35 57 79 101 123 145 -Inf 48 70 92 114 136 158 Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : 60 82 104 126 148 170

144


LAMPIRAN II 1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Matriks Pada Contoh 2 Matriks yang dihitung A = [5 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10 -inf -inf -inf 10 -inf;23 22 22 10 -inf 22 -inf;38 33 37 19 25 12 -inf;52 47 51 33 39 26 51 10]

-inf;-inf 10 -inf 8 -inf -inf 37 -inf;35 -inf

-inf 22 34

-inf -inf -inf;23 -inf -inf 22

-inf 22 -inf

-inf;11 -inf 34

HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 5 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 11 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf 10 -Inf 23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf 23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf 38 33 37 19 25 12 37 -Inf 35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf 52 47 51 33 39 26 51 10 Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A = 34 VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian = -Inf -Inf -24 -12 -12 3 0 17

145


2. Perhitungan Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Contoh 2 INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) -------------------------------Masukkan matriks A(nxn) = [5 -inf;11 -inf 10 -inf -inf 10 -inf 22 34 -inf;52 47 51

-inf -inf -inf;38 33

-inf -inf 33 39

-inf 10 37 26

-inf -inf;23 19 51

-inf 22 25 10]

-inf 22 12

-inf;-inf 10 -inf 8 -inf -inf 37 -inf;35 -inf

-inf 22 34

-inf -inf -inf;23 -inf -inf 22

-inf 22 -inf

Masukkan matriks B(nx1) = [0;1;6;18;18;33;30;47] Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10] Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [0;1;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf] Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [10;20;30;40;50] HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 5 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 11 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf 10 -Inf 23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf 23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf 38 33 37 19 25 12 37 -Inf 35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf 52 47 51 33 39 26 51 10

146


Matriks B = 0 1 6 18 18 33 30 47 Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

10

Kondisi awal x0 = 0 1 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf Barisan input u = 10 20 30 40 50 Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : 0 10 20 30 40 50 1 11 21 31 41 51 -Inf 16 50 84 118 152 -Inf 28 62 96 130 164 -Inf 28 62 96 130 164 -Inf 43 77 111 145 179

147


-Inf -Inf

40 74 108 142 176 57 91 125 159 193

Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : 67 101 135 169 203 OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant ---------------------------------------------------Masukkan matriks A = [5 -inf 10 -inf 11 -inf 10 -inf 23 22 22 8 23 -inf 22 -inf 38 33 37 19 35 -inf 34 -inf 52 47 51 33

-inf -inf -inf -inf 10 25 22 39

-inf -inf -inf -inf -inf 12 -inf 26

-inf -inf 10 22 22 37 34 51

-inf -inf -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; 10]

-inf -inf;

-inf

-inf;

Masukkan matriks B = [0;1;6;18;18;33;30;47] Masukkan matriks C = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10] Masukkan kondisi awal x0 = [0;1;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf] Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = [67;101;135;169;203]

148


HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 5 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 11 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf 10 -Inf 23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf 23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf 38 33 37 19 25 12 37 -Inf 35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf 52 47 51 33 39 26 51 10 Matriks B = 0 1 6 18 18 33 30 47 Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

10

Kondisi awal x0 = 0 1 -Inf -Inf -Inf

149


-Inf -Inf -Inf Barisan output y = 67 101 135 169 203 Barisan input paling lambat u_topi = 10 44 78 112 146 Barisan output y untuk u_topi = 67 101 135 169 203 Barisan input minimum simpangan u_tilde = 10 44 78 112 146 Barisan output y untuk u_tilde = 67 101 135 169 203 >>

150


INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) -------------------------------Masukkan matriks A(nxn) = [5 -inf 10 -inf -inf 11 -inf 10 -inf -inf 23 22 22 8 -inf 23 -inf 22 -inf 10 38 33 37 19 25 35 -inf 34 -inf 22 52 47 51 33 39

-inf -inf -inf -inf -inf 12 -inf 26

-inf -inf 10 22 22 37 34 51

-inf -inf -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; 10]

-inf -inf;

-inf

-inf

-inf;

Masukkan matriks B(nx1) = [0;1;6;18;18;33;30;47] Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 10] Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [0;1;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf;-inf] Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [10;44;78;112;146] HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = 5 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 11 -Inf 10 -Inf -Inf -Inf 10 -Inf 23 22 22 8 -Inf -Inf 22 -Inf 23 -Inf 22 -Inf 10 -Inf 22 -Inf 38 33 37 19 25 12 37 -Inf 35 -Inf 34 -Inf 22 -Inf 34 -Inf 52 47 51 33 39 26 51 10

151


Matriks B = 0 1 6 18 18 33 30 47 Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

10

Kondisi awal x0 = 0 1 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf Barisan input u = 10 44 78 112 146 Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : 0 10 44 78 112 146 1 11 45 79 113 147 -Inf 16 50 84 118 152

152


-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

28 28 43 40 57

62 62 77 74 91

96 96 111 108 125

130 130 145 142 159

164 164 179 176 193

Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : 67 101 135 169 203

153


LAMPIRAN III 1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Matriks Pada Contoh 3 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS ---------------------------------------------Matriks yang dihitung A = [934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf -inf 934 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;1868 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1868 1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2176 1255 -inf 1255 1537 -inf 745 295 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1695 2176 1695 -inf 1537 1125 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1125 675 1125 -inf 212 -inf -inf -inf -inf -inf 212 -inf -inf;2826 1905 -inf 1905 2187 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2165 2447 -inf 1655 1205 1655 -inf 742 472 -inf -inf -inf -inf 742 -inf -inf;3339 2418 995 725 465 212 -inf -inf -inf -inf -inf 3617 2696 -inf 2696 2978 -inf 2186 1736 2186 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1273 -inf 1989 2439 -inf 1526 1256 996 743 465 212

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf -inf -inf -inf 1125 295 -inf -inf -inf;2556 -inf -inf -inf -inf 1395 945 -inf -inf 482 212 -inf -inf -inf 2418 2700 -inf -inf -inf -inf 1273 1003 -inf;3870 2949 -inf -inf -inf

-inf -inf -inf -inf;-inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 365 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1315 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1635 -inf 1635 -inf -inf -inf 1395 -inf 482 -inf -inf;3086 -inf -inf -inf -inf 1908 1458 -inf -inf 995 743 490 212 -inf 2949 3231 -inf -inf -inf

-inf -inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf -inf 365 -inf -inf -inf; -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf 1917 -inf -inf -inf 212 -inf 2165 -inf -inf -inf 1908 -inf -inf -inf; -inf -inf -inf 2439 -inf -inf

154


1526 -inf -inf;4137 732 479 212 -inf 3778 2197 2986 2536 -inf -inf -inf 2073 2081 1821 1568 1290 4054 3394 4054 4336 492 212 -inf -inf 3836 1805 2923 2653 -inf -inf;5551 4630 1893 1626 1346 1068 3629 4418 3968 4418 212 -inf 3505 -inf 3274 3021 2743 2490 4928 5588 5870 4289 1746 1454 1170 872 3341 4459 4189 3929 -inf;9176 8255 7595 5251 4971 4693 4413

3216 2556 3216 -inf -inf -inf 2986 955 2073 -inf -inf;4695 1037 770 490 2755 3544 3094 -inf -inf 2631 2393 2140 1862 3970 4630 4912 788 496 212 2387 3505 3235 -inf;6148 5227 2223 1943 1665 5078 4628 5078 573 4165 -inf 3676 3398 3145 8255 8537 6956 4121 3837 3539

3498 1917 2706 -inf -inf -inf 1803 1543 1290 3774 3114 3774 212 -inf -inf 3544 1513 2631 -inf -inf;5267 1609 1342 1062 3331 4120 3670 -inf -inf 3207 2975 2722 2444 4567 5227 5509 1385 1093 809 3047 4165 3895 -inf;6803 5882 2878 2598 2320 7745 7295 7745 3240 6832 4590

2256 1793 1012 4056 -inf 2361 4346 784 4120 -inf 2191 3928 511 3635 5222 2040 5714 848]

2706 675 1793 -inf -inf;4417 759 492 212 2475 3264 2814 -inf -inf 2351 2101 1848 1570 3686 4346 4628 504 212 -inf 2089 3207 2937 -inf;5849 4928 1924 1644 1366 4717 4267 4717 212 3804 -inf 3382 3104 2851 5882 6164 4583 1748 1464 1166 6832 6562 6302

1523 1263 1010 3496 2836 3496 -inf -inf -inf 3264 1233 2351 -inf -inf;4975 1317 1050 770 3047 3836 3386 -inf -inf 2923 2677 2424 2146 4268 4928 5210 1086 794 510 2686 3804 3534 -inf;6509 5588 2584 2304 2026 5372 4922 5372 867 4459 2217 6049 5771 5518

155


HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = Columns 1 through 16 934 -Inf -Inf -Inf -Inf 435 -Inf 435 -Inf -Inf 934 -Inf -Inf 875 -Inf 875 1868 875 -Inf 875 -Inf 1315 1868 1315 -Inf 875 -Inf 875 2176 1255 -Inf 1255 -Inf 1315 -Inf 1315 -Inf 1695 2176 1695 2556 1635 -Inf 1635 2826 1905 -Inf 1905 3086 2165 -Inf 2165 3339 2418 -Inf 2418 3617 2696 -Inf 2696 3870 2949 -Inf 2949 4137 3216 2556 3216 4417 3496 2836 3496 4695 3774 3114 3774 4975 4054 3394 4054 5267 4346 3686 4346 5551 4630 3970 4630 5849 4928 4268 4928 6148 5227 4567 5227 6509 5588 4928 5588 6803 5882 5222 5882 9176 8255 7595 8255

295 -Inf -Inf -Inf 1229 -Inf -Inf 1537 -Inf -Inf 1917 2187 2447 2700 2978 3231 3498 3778 4056 4336 4628 4912 5210 5509 5870 6164 8537

-Inf -Inf 295 -Inf -Inf 1229 -Inf -Inf -Inf 1537 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 1917 2197 2475 2755 3047 3331 3629 3928 4289 4583 6956

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 365 745 745 1125 1125 1395 1655 1908 2186 2439 2706 2986 3264 3544 3836 4120 4418 4717 5078 5372 7745

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 295 -Inf -Inf 675 945 1205 1458 1736 1989 2256 2536 2814 3094 3386 3670 3968 4267 4628 4922 7295


-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 295 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 675 955 1233 1513 1805 2089 2387 2686 3047 3341 5714

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 482 742 995 1273 1526 1793 2073 2351 2631 2923 3207 3505 3804 4165 4459 6832

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 472 725 1003 1256 1523 1803 2081 2361 2653 2937 3235 3534 3895 4189 6562

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 465 743 996 1263 1543 1821 2101 2393 2677 2975 3274 3635 3929 6302

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 490 743 1010 1290 1568 1848 2140 2424 2722 3021 3382 3676 6049

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 465 732 1012 1290 1570 1862 2146 2444 2743 3104 3398 5771

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 479 759 1037 1317 1609 1893 2191 2490 2851 3145 5518

156


Columns 17 through 27 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 -Inf -Inf -Inf 492 212 -Inf -Inf 770 490 212 -Inf 1050 770 492 212 1342 1062 784 504 1626 1346 1068 788 1924 1644 1366 1086 2223 1943 1665 1385 2584 2304 2026 1746 2878 2598 2320 2040 5251 4971 4693 4413 Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 496 794 1093 1454 1748 4121

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 510 809 1170 1464 3837

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 511 872 1166 3539

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 573 867 3240


-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 2217 4590

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 848

157


NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A = 4165 VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -3953 -3683 -3423 -3170 -2892 -2639 -2372 -2092 -1814 -1534 -1242 -958 -660 -361 0 294 2667

158


2. Perhitungan Barisan Keadaan Sistem dan Output pada Contoh 3 >> hitung ans = function io_SLMI = maxio INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) -------------------------------Masukkan matriks A(nxn) = [934 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf -inf 934 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;1868 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1868 1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2176 1255 -inf 1255 1537 -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1695 2176 1695 -inf 1537 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1125 675 1125 -inf 212 -inf -inf -inf 212 -inf -inf;2826 1905 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf -inf 295 745 -inf -inf -inf -inf 1125 -inf -inf -inf -inf -inf 1905 2187 -inf -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf -inf -inf -inf 1125 295 -inf -inf -inf;2556 -inf -inf -inf -inf 1395 945 -inf -inf 482

-inf -inf -inf -inf;-inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 365 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1315 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1635 -inf 1635 -inf -inf -inf 1395 -inf 482 -inf -inf;3086

-inf -inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf -inf 365 -inf -inf -inf; -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf 1917 -inf -inf -inf 212 -inf 2165 -inf

159


2165 2447 -inf 1655 -inf -inf -inf -inf 995 725 465 212 3617 2696 -inf 2696 -inf -inf -inf -inf 1989 2439 -inf 1526 1526 -inf -inf;4137 732 479 212 -inf 3778 2197 2986 2536 -inf -inf -inf 2073 2081 1821 1568 1290 4054 3394 4054 4336 492 212 -inf -inf 3836 1805 2923 2653 -inf -inf;5551 4630 1893 1626 1346 1068 3629 4418 3968 4418 212 -inf 3505 -inf 3274 3021 2743 2490 4928 5588 5870 4289 1746 1454 1170 872 3341 4459 4189 3929 -inf;9176 8255 7595 5251 4971 4693 4413

1205 1655 -inf 742 472 212 -inf 742 -inf -inf;3339 2418 -inf 2418 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2978 -inf 2186 1736 2186 -inf 1273 -inf -inf -inf 1273 -inf -inf;3870 1256 996 743 465 212 -inf -inf 3216 2556 3216 3498 1917 2706 2256 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1793 2986 955 2073 1803 1543 1290 1012 -inf -inf;4695 3774 3114 3774 4056 1037 770 490 212 -inf -inf -inf 2755 3544 3094 3544 1513 2631 2361 -inf -inf 2631 -inf -inf;5267 4346 2393 2140 1862 1609 1342 1062 784 3970 4630 4912 3331 4120 3670 4120 788 496 212 -inf -inf 3207 -inf 2387 3505 3235 2975 2722 2444 2191 -inf;6148 5227 4567 5227 5509 3928 2223 1943 1665 1385 1093 809 511 5078 4628 5078 3047 4165 3895 3635 573 4165 -inf -inf;6803 5882 5222 3676 3398 3145 2878 2598 2320 2040 8255 8537 6956 7745 7295 7745 5714 4121 3837 3539 3240 6832 4590 848]

-inf -inf -inf 2700 -inf 1908 -inf -inf -inf 1003 743 490 2949 -inf 2949 -inf -inf -inf 2706 675 1793 -inf -inf;4417 759 492 212 2475 3264 2814 -inf -inf 2351 2101 1848 1570 3686 4346 4628 504 212 -inf 2089 3207 2937 -inf;5849 4928 1924 1644 1366 4717 4267 4717 212 3804 -inf 3382 3104 2851 5882 6164 4583 1748 1464 1166 6832 6562 6302

-inf -inf -inf 1458 1908 -inf 995 -inf -inf; 212 -inf -inf 3231 -inf 2439 -inf -inf -inf 1523 1263 1010 3496 2836 3496 -inf -inf -inf 3264 1233 2351 -inf -inf;4975 1317 1050 770 3047 3836 3386 -inf -inf 2923 2677 2424 2146 4268 4928 5210 1086 794 510 2686 3804 3534 -inf;6509 5588 2584 2304 2026 5372 4922 5372 867 4459 2217 6049 5771 5518

160


Masukkan matriks B(nx1) = [10; 5; 10; 445; 944; 944; 445; 1252; 885; 1265; 1632; 1902; 2162; 2415; 2693; 2946; 3213; 3493; 3771; 4051; 4343; 4627; 4925; 5224; 5585; 5879; 8252] Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf 848]

-inf

-inf

-inf

-inf

161


Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [10; 5; 10; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf] Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [0;600;1800;2400;3000;3600]

162















163


Columns 17 through 27 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 492 770 1050 1342 1626 1924 2223 2584 2878 5251

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 490 770 1062 1346 1644 1943 2304 2598 4971

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 492 784 1068 1366 1665 2026 2320 4693

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 504 788 1086 1385 1746 2040 4413








164


Matriks B = 10 5 10 445 944 944 445 1252 885 1265 1632 1902 2162 2415 2693 2946 3213 3493 3771 4051 4343 4627 4925 5224 5585 5879 8252

165


Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 848 Kondisi awal x0 = 10 5 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

166


Barisan input u = 0

600

1800

2400

3000

Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : 10 944 2173 3402 4631 5860 5 440 1315 2190 3065 3940 10 944 2173 3402 4631 5860 -Inf 880 1755 2630 3505 4380 -Inf 1878 3107 4336 5565 6794 -Inf 1878 3107 4336 5565 6794 -Inf 880 1755 2630 3505 4380 -Inf 2186 3415 4644 5873 7102 -Inf 1320 2195 3070 3945 4820 -Inf 2186 3415 4644 5873 7102 -Inf 2566 6731 10896 15061 19226 -Inf 2836 7001 11166 15331 19496 -Inf 3096 7261 11426 15591 19756 -Inf 3349 7514 11679 15844 20009 -Inf 3627 7792 11957 16122 20287 -Inf 3880 8045 12210 16375 20540 -Inf 4147 8312 12477 16642 20807 -Inf 4427 8592 12757 16922 21087 -Inf 4705 8870 13035 17200 21365 -Inf 4985 9150 13315 17480 21645 -Inf 5277 9442 13607 17772 21937 -Inf 5561 9726 13891 18056 22221 -Inf 5859 10024 14189 18354 22519 -Inf 6158 10323 14488 18653 22818 -Inf 6519 10684 14849 19014 23179 -Inf 6813 10978 15143 19308 23473 -Inf 9186 13351 17516 21681 25846

3600 7089 4815 7089 5255 8023 8023 5255 8331 5695 8331 23391 23661 23921 24174 24452 24705 24972 25252 25530 25810 26102 26386 26684 26983 27344 27638 30011

167


Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : 10034 14199 18364 22529

26694

30859

>> optio OPTIMISASI INPUT-OUTPUT Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant ---------------------------------------------------Masukkan matriks A [934 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2176 1255 -inf -inf -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf;-inf 1695 -inf -inf -inf 1125 675 1125 -inf 212 -inf -inf -inf -inf 2165 2447 -inf -inf -inf -inf 995 725 465

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf -inf 934 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;1868 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1255 1537 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2176 1695 -inf -inf -inf -inf -inf 212 -inf -inf;2826 1905 -inf -inf -inf 1655 1205 1655 -inf 742 -inf 212 -inf -inf

295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf -inf 745 295 -inf -inf -inf -inf 1537 1125 -inf -inf -inf -inf -inf 1905 -inf -inf -inf 742 -inf;3339 -inf -inf

-inf -inf -inf 295 -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf 2187 -inf 472 2418 -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 435 -inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf 365 -inf 365 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf; -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf 1315 -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1125 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;2556 1635 -inf 1635 1917 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1395 945 1395 -inf 482 212 -inf -inf 482 -inf -inf;3086 2165 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2418 2700 -inf 1908 1458 1908 -inf -inf -inf -inf -inf 995 -inf

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1868 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;

168


3617 2696 -inf 2696 -inf -inf -inf -inf 1989 2439 -inf 1526 1526 -inf -inf;4137 732 479 212 -inf 3778 2197 2986 2536 -inf -inf -inf 2073 2081 1821 1568 1290 4054 3394 4054 4336 492 212 -inf -inf 3836 1805 2923 2653 -inf -inf;5551 4630 1893 1626 1346 1068 3629 4418 3968 4418 212 -inf 3505 -inf 3274 3021 2743 2490 4928 5588 5870 4289 1746 1454 1170 872 3341 4459 4189 3929 -inf;9176 8255 7595 5251 4971 4693 4413

2978 -inf 2186 -inf -inf -inf 1256 996 743 3216 2556 3216 -inf -inf -inf 2986 955 2073 -inf -inf;4695 1037 770 490 2755 3544 3094 -inf -inf 2631 2393 2140 1862 3970 4630 4912 788 496 212 2387 3505 3235 -inf;6148 5227 2223 1943 1665 5078 4628 5078 573 4165 -inf 3676 3398 3145 8255 8537 6956 4121 3837 3539

1736 2186 -inf 1273 1273 -inf -inf;3870 465 212 -inf -inf 3498 1917 2706 2256 -inf -inf -inf 1793 1803 1543 1290 1012 3774 3114 3774 4056 212 -inf -inf -inf 3544 1513 2631 2361 -inf -inf;5267 4346 1609 1342 1062 784 3331 4120 3670 4120 -inf -inf 3207 -inf 2975 2722 2444 2191 4567 5227 5509 3928 1385 1093 809 511 3047 4165 3895 3635 -inf;6803 5882 5222 2878 2598 2320 2040 7745 7295 7745 5714 3240 6832 4590 848]

1003 743 490 2949 -inf 2949 -inf -inf -inf 2706 675 1793 -inf -inf;4417 759 492 212 2475 3264 2814 -inf -inf 2351 2101 1848 1570 3686 4346 4628 504 212 -inf 2089 3207 2937 -inf;5849 4928 1924 1644 1366 4717 4267 4717 212 3804 -inf 3382 3104 2851 5882 6164 4583 1748 1464 1166 6832 6562 6302

212 -inf -inf 3231 -inf 2439 -inf -inf -inf 1523 1263 1010 3496 2836 3496 -inf -inf -inf 3264 1233 2351 -inf -inf;4975 1317 1050 770 3047 3836 3386 -inf -inf 2923 2677 2424 2146 4268 4928 5210 1086 794 510 2686 3804 3534 -inf;6509 5588 2584 2304 2026 5372 4922 5372 867 4459 2217 6049 5771 5518

169


Masukkan matriks B = [10; 5; 10; 445; 944; 944; 445; 1252; 885; 1265; 1632; 1902; 2162; 2415; 2693; 2946; 3213; 3493; 3771; 4051; 4343; 4627; 4925; 5224; 5585; 5879; 8252] Masukkan matriks C = [-inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf 848]

-inf

-inf

-inf

-inf

170


Masukkan kondisi awal x0 = [10; 5; 10; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf] Masukkan barisan output (dalam vektor kolom) y = [10034;14199;18364;22529;26694;30859]

171















172


Columns 17 through 27 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 492 770 1050 1342 1626 1924 2223 2584 2878 5251

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 490 770 1062 1346 1644 1943 2304 2598 4971

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 492 784 1068 1366 1665 2026 2320 4693

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 504 788 1086 1385 1746 2040 4413








173


Matriks B = 10 5 10 445 944 944 445 1252 885 1265 1632 1902 2162 2415 2693 2946 3213 3493 3771 4051 4343 4627 4925 5224 5585 5879 8252 Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 848

174


Kondisi awal x0 = 10 5 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

175


Barisan output y = 10034 14199 18364 22529 26694 30859 Barisan input paling lambat u_topi = 934 5099 9264 13429 Barisan output y untuk u_topi = 10034 14199 18364

22529

17594 26694

Barisan input minimum simpangan u_tilde = 934 5099 9264 13429 17594 Barisan output y untuk u_tilde = 10034 14199 18364

22529

26694

21759 30859 21759 30859

176


INPUT-OUTPUT SLMI(A, B, C, x0) -------------------------------Masukkan matriks A(nxn) = [934 -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf -inf 934 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;1868 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1868 1315 -inf 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2176 1255 -inf 1255 1537 -inf 745 295 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1695 2176 1695 -inf 1537 1125 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1125 675 1125 -inf 212 -inf -inf -inf -inf -inf 212 -inf -inf;2826 1905 -inf 1905 2187 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 2165 2447 -inf 1655 1205 1655 -inf 742 472 -inf -inf -inf -inf 742 -inf -inf;3339 2418 995 725 465 212 -inf -inf -inf -inf -inf 3617 2696 -inf 2696 2978 -inf 2186 1736 2186 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1273 -inf 1989 2439 -inf 1526 1256 996 743 465 212 1526 -inf -inf;4137 3216 2556 3216 3498 1917 732 479 212 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 3778 2197 2986 2536 2986 955 2073 1803 1543

-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 295 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 1229 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf -inf -inf -inf 1125 295 -inf -inf -inf;2556 -inf -inf -inf -inf 1395 945 -inf -inf 482 212 -inf -inf -inf 2418 2700 -inf -inf -inf -inf 1273 1003 -inf;3870 2949 -inf -inf -inf 2706 2256 2706 -inf 1793 -inf 1290 1012 759

-inf -inf -inf -inf;-inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 365 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1315 -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf 1635 -inf 1635 -inf -inf -inf 1395 -inf 482 -inf -inf;3086 -inf -inf -inf -inf 1908 1458 -inf -inf 995 743 490 212 -inf 2949 3231 -inf -inf -inf 675 1793 1523 -inf;4417 3496 492 212 -inf

-inf -inf 435 -inf -inf -inf -inf -inf -inf 875 -inf -inf -inf -inf -inf;-inf 1315 -inf -inf 365 -inf -inf -inf; -inf -inf 745 -inf -inf -inf -inf -inf 1917 -inf -inf -inf 212 -inf 2165 -inf -inf -inf 1908 -inf -inf -inf; -inf -inf -inf 2439 -inf -inf 1263 1010 2836 3496 -inf -inf

177


-inf -inf -inf 2081 1821 1568 4054 3394 4054 492 212 -inf 3836 1805 2923 -inf -inf;5551 1893 1626 1346 3629 4418 3968 212 -inf 3505 3274 3021 2743 4928 5588 5870 1746 1454 1170 3341 4459 4189 -inf;9176 8255 5251 4971 4693

2073 1290 4336 -inf 2653 4630 1068 4418 -inf 2490 4289 872 3929 7595 4413

-inf -inf;4695 1037 770 490 2755 3544 3094 -inf -inf 2631 2393 2140 1862 3970 4630 4912 788 496 212 2387 3505 3235 -inf;6148 5227 2223 1943 1665 5078 4628 5078 573 4165 -inf 3676 3398 3145 8255 8537 6956 4121 3837 3539

3774 3114 3774 212 -inf -inf 3544 1513 2631 -inf -inf;5267 1609 1342 1062 3331 4120 3670 -inf -inf 3207 2975 2722 2444 4567 5227 5509 1385 1093 809 3047 4165 3895 -inf;6803 5882 2878 2598 2320 7745 7295 7745 3240 6832 4590

4056 -inf 2361 4346 784 4120 -inf 2191 3928 511 3635 5222 2040 5714 848]

2475 3264 -inf -inf 2101 1848 3686 4346 504 212 2089 3207 -inf;5849 1924 1644 4717 4267 212 3804 3382 3104 5882 6164 1748 1464 6832 6562

2814 2351 1570 4628 -inf 2937 4928 1366 4717 -inf 2851 4583 1166 6302

3264 1233 2351 -inf -inf;4975 1317 1050 770 3047 3836 3386 -inf -inf 2923 2677 2424 2146 4268 4928 5210 1086 794 510 2686 3804 3534 -inf;6509 5588 2584 2304 2026 5372 4922 5372 867 4459 2217 6049 5771 5518

Masukkan matriks B(nx1) = [10; 5; 10; 445; 944; 944; 445; 1252; 885; 1265; 1632; 1902; 2162; 2415; 2693;

178


2946; 3213; 3493; 3771; 4051; 4343; 4627; 4925; 5224; 5585; 5879; 8252] Masukkan matriks C(1xn) = [-inf -inf -inf -inf -inf -inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf -inf

-inf 848]

-inf

-inf

-inf

-inf

Masukkan kondisi awal x0(nx1) = [10; 5; 10; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf;

179


-inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf; -inf] Masukkan barisan input sp kej ke-k u(kx1) = [934;5099;9264;13429;17594] HASIL PERHITUNGAN : =================== Matriks A = Columns 1 through 16 934 -Inf -Inf -Inf -Inf 435 -Inf 435 -Inf -Inf 934 -Inf -Inf 875 -Inf 875 1868 875 -Inf 875 -Inf 1315 1868 1315 -Inf 875 -Inf 875 2176 1255 -Inf 1255 -Inf 1315 -Inf 1315 -Inf 1695 2176 1695 2556 1635 -Inf 1635 2826 1905 -Inf 1905

295 -Inf -Inf -Inf 1229 -Inf -Inf 1537 -Inf -Inf 1917 2187

-Inf -Inf 295 -Inf -Inf 1229 -Inf -Inf -Inf 1537 -Inf -Inf

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 365 745 745 1125 1125 1395

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 295 -Inf -Inf 675 945

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 365 745 745 1125 1125 1395

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 295 -Inf -Inf

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 482

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf




180


3086 2165 -Inf 3339 2418 -Inf 3617 2696 -Inf 3870 2949 -Inf 4137 3216 2556 4417 3496 2836 4695 3774 3114 4975 4054 3394 5267 4346 3686 5551 4630 3970 5849 4928 4268 6148 5227 4567 6509 5588 4928 6803 5882 5222 9176 8255 7595 Columns 17 through 27 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf


2165 2418 2696 2949 3216 3496 3774 4054 4346 4630 4928 5227 5588 5882 8255 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf


-Inf -Inf -Inf -Inf 1917 2197 2475 2755 3047 3331 3629 3928 4289 4583 6956




-Inf -Inf -Inf -Inf 675 955 1233 1513 1805 2089 2387 2686 3047 3341 5714 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 482 742 995


472 725 1003 1256 1523 1803 2081 2361 2653 2937 3235 3534 3895 4189 6562

212 465 743 996 1263 1543 1821 2101 2393 2677 2975 3274 3635 3929 6302

-Inf 212 490 743 1010 1290 1568 1848 2140 2424 2722 3021 3382 3676 6049

-Inf -Inf 212 465 732 1012 1290 1570 1862 2146 2444 2743 3104 3398 5771

-Inf -Inf -Inf 212 479 759 1037 1317 1609 1893 2191 2490 2851 3145 5518


181


-Inf -Inf 212 492 770 1050 1342 1626 1924 2223 2584 2878 5251

-Inf -Inf -Inf 212 490 770 1062 1346 1644 1943 2304 2598 4971

-Inf -Inf -Inf -Inf 212 492 784 1068 1366 1665 2026 2320 4693

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 504 788 1086 1385 1746 2040 4413

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 496 794 1093 1454 1748 4121

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 510 809 1170 1464 3837

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 511 872 1166 3539

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 212 573 867 3240

1273 1526 1793 2073 2351 2631 2923 3207 3505 3804 4165 4459 6832

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 2217 4590

-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 848

Matriks B = 10 5 10 445 944 944 445 1252 885 1265 1632 1902 2162 2415 2693 2946

182


3213 3493 3771 4051 4343 4627 4925 5224 5585 5879 8252 Matriks C = -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 848 Kondisi awal x0 = 10 5 10 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf

183


-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf Barisan input u = 934

5099

9264

13429

17594

Barisan vektor keadaan sistem x(k) utk k = 0,1, 2, ... : 10 944 5109 9274 13439 17604 5 939 5104 9269 13434 17599 10 944 5109 9274 13439 17604 -Inf 1379 5544 9709 13874 18039 -Inf 1878 6043 10208 14373 18538 -Inf 1878 6043 10208 14373 18538 -Inf 1379 5544 9709 13874 18039 -Inf 2186 6351 10516 14681 18846 -Inf 1819 5984 10149 14314 18479 -Inf 2199 6364 10529 14694 18859 -Inf 2566 6731 10896 15061 19226 -Inf 2836 7001 11166 15331 19496 -Inf 3096 7261 11426 15591 19756

184



3349 3627 3880 4147 4427 4705 4985 5277 5561 5859 6158 6519 6813 9186

7514 7792 8045 8312 8592 8870 9150 9442 9726 10024 10323 10684 10978 13351

11679 11957 12210 12477 12757 13035 13315 13607 13891 14189 14488 14849 15143 17516

Barisan output sistem y(k) utk k = 1, 2, ... : 10034 14199 18364 22529

15844 16122 16375 16642 16922 17200 17480 17772 18056 18354 18653 19014 19308 21681

20009 20287 20540 20807 21087 21365 21645 21937 22221 22519 22818 23179 23473 25846

26694

185


LAMPIRAN IV

186


187

OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS

Recommend Documents