Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB – TU OstravaI
Základní poznatky z logistiky a teorie množin: výrok – pravdivostní hodnota
výroku, negace, disjunkce, konjunkce, implikace, ekvivalence, složené výroky, tautologie, množiny – rovnost, podmnožina, sjednocení, průnik, rozdíl množin Vennovy diagramy, intervaly reálných čísel II
Úpravy algebraických výrazů , zlomky, rozklad kvadratického trojčlenu,
mocniny se záporným exponentem, mocniny s racionálním exponentem, odmocniny, dělení mnohočlenu mnohočlenem. III
Funkce, jejich definiční obory, vlastnosti a grafy: lineární, kvadratické,
lineární lomené, goniometrické, exponenciální a logaritmické. IV
Rovnice a nerovnice o jedné neznámé – lineární, kvadratické, s absolutní
hodnotou, s parametrem, iracionální soustavy rovnic a nerovnic. V
Logaritmy, logaritmické a exponenciální rovnice.
VI
Goniometrické výrazy, rovnice a jednoduché nerovnice.
VII
Posloupnosti – rekurentní určení posloupnosti, aritmetická a geometrická
posloupnost, nekonečná geometrická řada. VIII
Analytická geometrie lineárních a kvadratických útvarů: vektory –
souřadnice, základní operace, skalární součin, přímka v rovnice – parametrické rovnice, obená rovnice, směrnicový a úsekový tvar obecné rovnice přímky, odchylka dvou přímek, rovina v prostoru – parametrické rovnice, obecná rovnice a její úsekový tvar, kuželosečky –definice, základní vlastnosti, rovnice kuželosečky v základní a posunuté poloze. IX
Komplexní čísla – sčítání, násobení, dělení algebraický a goniometrický
tvar, Moivreova věta. X
Kombinatorika – faktoriál, kombinační čísla, kombinace, permutace a
variace, binomická věta.
I
Základní poznatky z logistiky a teorie množin
1. Jsou dány množiny A = {1,2,4,7,11,16},B = {1,3,7,13}, C = {1,6,11,19} Určete a) b) c) d) e) f)
[{1,2,3,4,7,11,13,16}] [{1,3,6,7,11,13,19}] [{1,2,3,4,6,7,11,13,46,19}] [{1,7}] [{1,11}] [{1}]
A ∪B A ∪C A ∪B ∪C A ∩B A ∩C A ∩B ∩C
2. Jsou dány množiny A = {x ∈ R : x − 2 < 1 ∧ x ≥ 2}, B = {x ∈ R : x + 2 ≥ 3} Zapište množiny A,B, A ∪ B, A ∩ B pomocí intervalů [A =< 2;3) B = (−∞;−5 > ∪ < 1; ∞) A ∪ B = (−∞;−5 > ∪ < 1; ∞) A ∩ B =< 2;3)] 3. Jsou dány množiny A = {0;4;−4} a B =< −4;4) . Určete:
[ − 4,4 ]
a) A ∪ B b) c) d) e)
[{0,−4}] [{4}] [(− 4,0) ∪ (0,4)]
A ∩B A −B B−A načrtněte AxB
4. Je dána množina A = {− 2,−1,0,1,2,}. Znázorněte graficky binární relace: a) b) c)
R = {(x, y ) ∈ AxA, x > y} S = {(x, y ∈ AxA, x 2 − y 2 < 1)} T = R∩S
5. Užitím Vennových diagramů rozhodněte, zda pro libovolné podmnožiny A,B,C dané základní množiny platí: a)
(A ∩ B)∪ B = A ∪ B
b)
A ∪B = A ∪B
c)
C ∪ (A ∩ B ) = A ∩ C ∩ C ∩ B
(
) (
)
[platí] [neplatí] [platí]
6. Rozhodni o pravdivosti těchto výroků a) b) 12
číslo 3 je kořenem rovnice x 2 + 9 = 0 právě tehdy, když 9 = −3 číslo 7 je menší než číslo 10 tehdy a jen tehdy, když číslo 8 je menší než číslo
7. Řešte tabulkovou pravdivost následujících výrokových formulí: a)
(A ∧ B) ⇔ (A ∨ B) (A ⇒ B) ⇔ (A ´ ∨ B) [(X ⇒ Y ) ∧ Y ´ ] ⇒ X´
b) c) Určete, které z nich jsou tautologiemi. II
Úprava algebraických výrazů
1. Vypočtěte: ⎞ ⎟⎟ ⎠
−2
⎛ 3ab b) ⎜⎜ 2 2 ⎝ 25 x y
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ x 2 y −3 a) ⎜⎜ −3 ⎝ z⋅t
c)
⎡ y6z2 ⎤ ⎢ 4 6⎥ ⎣x t ⎦ −3
⎛ 4a : ⎜⎜ 2 ⎝ 5 xy
⎞ ⎟⎟ ⎠
−3
2ab ⋅ 3 4a 2b 4 ⋅ 4 8a 3 b 5 ⋅ 6 2a 5 b 4 ⋅ 12 4a 2b 8
⎡⎛ 20 x ⎞ 3 ⎤ ⎟ ⎥ ⎢⎜ ⎢⎣⎝ 3b ⎠ ⎥⎦
[4a b 2
4
⋅ 12 8a11b 5
]
2. Určete nejmenší společný násobek mnohočlenů: a) 5a 2 − 5b 2 ,3a 3 − 3ab 2 ,6ab 2 − 6b 3 b)
(c − a)(c − b), (b − c )(b − a), (a − b)(a − c )
[30ab (a 2
2
− b2
)]
[(a − c )(b − c )(a − b)]
3. Proveďte dělení:
(
)(
)
a) 6 x 4 − 2x 3 − 4 x 2 + 1 : 2x 2 − 3 x + 1
⎤ ⎡ 2 7 7 7x − 3 ⎥ ⎢3 x + x + + 2 4 4 2x 2 − 3 x + 1 ⎦ ⎣
(
b)
(x
c)
(3x
5
)(
⎡ 1 3 14 2 14 x + 65 ⎤ x+ − ⎢ x − ⎥ 25 5 25 5 x 2 − 1 ⎦ ⎣5
)
− 3 x 3 + 2x 2 − 3 : 5 x 2 − 1
6
)
(
)(
)
− 5 x 4 + 2x 3 − 1 : x 3 + 2x + 1
)
x (22 x + 13 )⎤ ⎡ 3 ⎢3 x − 11x − 1 + x 3 + 2x + 1 ⎥ ⎣ ⎦
4. Upravte a stanovte podmínky:
1− x 1+ x + 2 1+ x + x 2 a) 1 − x + x 1+ x 1− x − 2 1+ x + x 1− x + x 2
⎡1 ⎤ ⎢ x 3 , x ≠ 0⎥ ⎣ ⎦
⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ x + 1 x − 1 ⎞⎟ b) ⎜⎜ x − ⎟⎟ ⋅ ⎜ +4 x − x ⎠ ⎝ x −1 x + 1 ⎟⎠ ⎝ 6
c)
d)
x 5 ⋅ 4 x3 ⋅ x 1 3 ⋅ x −1
[x, x > 0]
x −1 2 ⋅ 12 x 5
(a − b)2 + ab : a 5 + b 5 + a 2b 3 + a 3b 2 (a + b)2 − ab (a 3 + b 3 + a 2b + ab 2 )⋅ (a 3 − b 3 )
⎛t t+2 2 t−2 4t ⎞⎟ − + e) ⎜⎜ ⎟ t+2 t2 − 4 ⎠ ⎝ t−2
[4x, x > 0, x ≠ 1]
−1 2
⋅ 4 t2 − 4
[a − b, a ≠ ±b] ⎡ t2 − 4 ⎤ , t > 2⎥ ⎢ ⎢⎣ t + 2 ⎥⎦
5. Upravte algebraické výrazy:
⎛ 2n − 3 n + 1 n2 + 3 ⎞ n3 + 1 ⎟⎟ ⋅ 2 − − 2 a) 2n − ⎜⎜ ⎝ n + 1 2 − 2n 2n − 2 ⎠ n − n ⎡⎛ a + 2 ⎞ 3 a 3 + 4a 2 + 4a ⎤ a b) ⎢⎜ ⎟ : 2 ⎥⋅ ⎣⎢⎝ a − 2 ⎠ 3a − 12a + 12 ⎦⎥ 3 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 2 2 a ⎛ a ⋅b ⎞⎥ a + ab + b 2 ⎢ c) b − ÷ a ⋅ − ⎜ ⎟ −1 ⎢ b ⎠⎥ ⎛b−a⎞ ⎝b−a ⎥ ⎢ 1+ ⎜ ⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎞ ⎛a a +b b 2 b d) ⎜⎜ − ab ⎟⎟ ÷ (a − b) ÷ a+ b ⎠ ⎝ a+ b
⎛ b − ab ⎞⎟ ⎛ a b a+b⎞ ⎟⎟ e) ⎜⎜ a + ÷ ⎜⎜ + − ⎟ + a + b ab b ab ab ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
f)
⎡⎛ x 2 + y 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤ x 3 − xy 2 ⎜ ⎟⎟ ÷ ⎜⎜ − ⎟⎟⎥ ÷ − x ⎢⎜ 2 y 4 ⎝ ⎠ ⎝ y x ⎠⎦ ⎣
2 a 2 + a − 2 ⎡ (a + 2) − a 2 3 ⎤ g) ⋅⎢ − 2 ⎥ 4 3 2 a − 3a ⎣ 4a − 4 a − a⎦
−1
⎛ a+ b⎞ ⎛ ⎞ ⎟ + b⎜ a + b ⎟ a⎜⎜ ⎜ 2a b ⎟ 2b a ⎟⎠ ⎝ ⎠ h) ⎝ −1 −1 ⎛ a + ab ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ b + ab ⎟ ⎜ 2ab ⎟ ⎜ 2ab ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
a a
i) 5
a
43
a
÷ 2
a
1 2 3
⋅ a −1 a
⎤ ⎡ 2(n − 1) ⎢ n , n ≠ ±1, n ≠ 0⎥ ⎦ ⎣ ⎡a + 2 ⎤ ⎢ a − 2 , a ≠ ±2, a ≠ 0⎥ ⎣ ⎦
[b − a, a ≠ 0,b ≠ 0, a ≠ b]
[1,a ≠ b, a ≥ 0,b ≥ 0]
⎡ a+b ⎤ , a > 0, b > 0⎥ ⎢− a ⎣ ⎦ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x + y , x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ ± y ⎥ ⎣ ⎦ ⎡a + 2 ⎤ ⎢ a 4 , a ≠ 3, a ≠ 0, a ≠ ±1⎥ ⎣ ⎦
−1
[ ab,a > 0,b > 0]
[a
5
a2 ,a > 0
]
6. Zjednodušte a udejte podmínky existence výrazů: ⎛ a 3 − ab 2 + b 3 b ⎞ ⎛ a 2 − 2ab + 2b 2 b ⎞ ⎟⋅⎜ a) ⎜⎜ − ⎟⎟ − 3 a − b ⎟⎠ ⎜⎝ a 2 − ab + b 2 a⎠ ⎝ (a − b ) ⎡⎛ 3 3a a 2 + ab + b 2 b) ⎢⎜⎜ − 3 ⋅ 3 a+b ⎣⎝ a − b b − a
m−n
c)
m
1 2
−n
1 2
−
⎛ a −2 3 b −1 d) ⎜ −1 − −2 ⎜ b a 3 ⎝
m
3
−n m−n 2
3
[1, a ≠ 0,a ≠ b]
⎤ 2 ⎞ 2a + b ⎟⎟ ÷ 2 ⋅ 2 ⎥ ⎠ a + 2ab + b ⎦ a + b
⎡ ⎤ mn , m ≥ 0, n ≥ 0, m ≠ n⎥ ⎢ ⎣ m+ n ⎦
2
⎞ ⎛ a −13 b −12 ⎟÷⎜ − −1 ⎟ ⎜ −12 b a 3 ⎠ ⎝
1 ⎛ −1 3 ⎜ 3x 3 x e) ⎜ 2 − 4 −1 1 ⎜ x 3 − 2x 3 x 3 − x 3 ⎝
b⎤ ⎡ 6 ⎢ a − b , a ≠ ±b, a ≠ − 2 ⎥ ⎣ ⎦
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎡ 3 a2 + b ⎤ , a ≠ 0, b > 0, b ≠ 3 a 2 ⎥ ⎢3 ⎥⎦ ⎣⎢ a ⋅ b
−1
⎞ −1 ⎟ ⎛ 1 − 2x ⎞ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 3x − 2 ⎠ ⎟ ⎠
2 ⎡ 2 ⎤ ⎢ x /( 2x − 1), x ≠ 3 , x ≠ 2, x ≠ 1, x ≠ 0.5⎥ ⎣ ⎦
7. Rozložte na součiny,resp. Upravte krácením:
[(x − a − b) ⋅ (x − a + b)]
a) x 2 − 2ax + a 2 − b 2 b) abx 2 − 2a ab x + a 2 − b 2
[(x
)(
)
ab − a − b ⋅ x ab − a + b , ab ≥ 0
]
x 2 − 7 x + 10 2x 2 − 13 x + 15
3⎤ ⎡ x−2 ⎢ 2x − 3 , x ≠ 5, x ≠ 2 ⎥ ⎣ ⎦
3 x 2 − 11x + 6 d) 3 x 2 − 17 x + 10
2 ⎡x − 3 ⎤ ⎢ x − 5 , x ≠ 3 , x ≠ 5⎥ ⎣ ⎦
c)
e)
III
2x 3 − 5 x 2 − 2x + 5 x 2 − 4x + 3
Funkce
⎡ (2x − 5 )(x + 1) ⎤ , x ≠ 3, x ≠ 1⎥ ⎢ x−3 ⎣ ⎦
1. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí a vyznačte důležité body (průsečíky s osami x a y, vrcholy apod.) a) y = x 2
y = x2 − 5
y = (x − 5 )
b) y = x 3
y = −x 3
y = x −3
c) y = x
y=− x
y = −x
d) y = 3 x
y = 3 x −1
y = 3 1− x
e) y = 2 x
y = 2−x
y = 3 − 2x
f)
y = 3x
y = 1 − log x
y = log(1 − x )
h) y = log2 x
y = log 1 x
y = log2 x
2
i)
y = sin x
y = sin x
y = 2 + sin
j)
y = tgx
y = tgx
y = tg2x
y = cot g2 x
y = cot g
l)
y = cos x
2
y = log 3 x
g) y = log x
k) y = cot gx
y = (x + 5 )
2
y = 2 cos x
y = cos 2 x
2. Určete definiční obor funkce:
x 2
pro x ∈ − π, π
pro x ∈ − π, π x 2
y = cos
pro x ∈ 0,2π x 2
pro x ∈ 0,4π
a) y =
x −1 x+2
[(− ∞,2) ∪ (− 2, ∞)]
[ − 3,3 ]
b) y = 9 − x 2
(
)
[(− ∞,−3) ∪ (0, ∞)]
2 cos x 2 + sin x
[(− ∞, ∞)]
c) y = x 2 + 3 x d) y =
−1 2
e) y = 2 log(x − 1) f)
y = log(x − 1)
2
[(1, ∞ )] [(− ∞,1) ∪ (1, ∞)]
3. Určete definiční obor funkce: a) y = log
2−x 2+x
b) y = ln e1 ln x
[(− 2,2)] [(0,1) ∪ (1, ∞)]
c) y = ln x 3
[(0, ∞ )]
d) y = ln ln x
[(1, ∞ )]
e) y = ln ln sin x
IV
Rovnice a nerovnice
[0]
1. Řešte rovnice: x 2 − 2x − 8 a) =1 4−x b)
c)
7y − 8 y +4 y −2 = + 2 y − 4 8 − 2y − y y +4 a a − x 11 + = , a je parametr a+x x 10
d) 1 −
a2 − b2 2b , a, b jsou parametry = 2 x − a a − 2ax − x 2
[− 3] [nemá řešení] ⎡ 5a 2a ⎤ ⎢− 7 , 3 ⎥ ⎣ ⎦
[b,2a + b]
2. Pro která x, resp. y je splněna nerovnice: a)
(y − 3 )2 − (y + 6 )2 > 3 − 8 y
x 2 + 5x + 8 ≥0 b) 2 x − 5x − 6
[(− ∞,−3)] [(− ∞,−1) ∪ (6, ∞)]
3. Řešte nerovnice: a)
3 − 2x ≥0 2x − 5
b)
x−5 <3 x+3
[2] [(− ∞,−7) ∪ (− 3, ∞)]
4. Řešte nerovnice: a)
1 1 < x + 1 3x − 2
⎡ ⎛ 2 3 ⎞⎤ ⎢(− ∞,−1) ∪ ⎜ 3 , 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣
b)
2x − 1 x + 2 ≥ x −1 x +1
[(− ∞,−1) ∪ (1, ∞)]
c)
y 3 − ≤1 y − 2 y +1
[(− 1,2) ∪ (8, ∞)]
5. Pro která m má rovnice a) 3(x + 1) = 4 + mx kořen větší než –1 b) x 2 + 2mx + m 2 = 4 oba kořeny záporné
[(− ∞,3) ∪ (4, ∞)] [m > 2]
6. Zjistěte, která x, resp. y vyhovují nerovnici: a) 3y + 9 > 4y + 3 v oboru přiroz. čísel b) − 3 x <
x 3 + 2x − 2 4
c) y − 3 ≤ 2y + 1
d)
3 > 1 v oboru celých čísel x +1
[1,2,...,5] ⎡⎛ 1 ⎞⎤ ⎢⎜ 4 , ∞ ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣⎝
[kazde ra ln e cislo ] [− 3,−2,0,1]
7. Vyřešte rovnice a nerovnice: a) x − 7 + 4x = 2x − 5
⎡ 2⎤ ⎢− 5 ⎥ ⎣ ⎦
b) y + 3 − y − 2 = −5
[(−∞,−3 >]
c) 2y + 1 − 3 − y < y
[(− 2,1)]
d) 3 x − 1 + 3 x − 1 ≤ x − 1 e) x 2 − 4 ≥ x − 4
f)
x 2 + 10 > 16 − 3 x 2
[nemá řešení] [kazde rea ln e cislo] ⎡⎛ ⎞⎤ 3 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 ⎟⎥ , 13 ∪ ⎢⎜⎜ − 13,− ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
8. Řešte v R, x je neznámá, a, m jsou parametry: x2 x+a a a) 2 + = 0 [pro a=0 je rovnice splněna pro jakékoliv x ≠ 0 , a ≠ 0 − 2 x−a x+a x −a má rovnice jedno řešení x=-2a] 1− x 1+ x 1− x − + = 0 [pro m ≠ ±1,−3 existuje jediné řešení 1 − m 1 + m 1 + 2m + m 2 1 + m + 2m 2 x= , pro m=-3 rovnice nemá řešení] 3+m
b)
9. V RxR příp.RxRxR řešte soustavy rovnic jinou metodou než dosazovací: a) x − y + 3 = 0,
b)
y 3 = x 2
5 2 7 3 − = 5, − = 3 x y x y
c) 3x + 2py = 1, (3p − 1)x − py = 1
d)
z+3 1 y+2 x +1 = = 4, =2 x +1 2 z +1 ¨y + 1
e) 2 x + 3 y = 12,3 x + 2z = 11,3 y + 4 z = 10
[(6,9)] ⎡⎛ 1 ⎞⎤ ⎢⎜ − 1,− 4 ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣⎝
⎡⎛ 3 ⎤ 1 3p − 4 ⎞ ⎟⎟,pro p ≠ − , p ≠ 0⎥ , ⎢⎜⎜ 6 ⎣⎝ 1 + 6p p(1 + 6p ) ⎠ ⎦
[(5,2,0)] [(3,2,1)]
10. Řešte soustavy rovnic: a) x + y 2 = 7, xy 2 = 12 b) x 2 − xy − y 2 = 7, x − y = 1
c) x 2 + y 2 =
1 5 xy, x − y = xy 2 2
[(3,2)(3,−2)(4, 3 )(4,− 3 )] [(− 2,−3)(3,2)] [(− 1− , 2)(2,1)]
11. Která reálná čísla vyhovují rovnici: a) x + x 2 − 9 = 21
b)
(x + 1) − (x − 1) = 3 (x − 1) (x + 1) 2
c)
4 x 2 − 8 x + 5 = 2x + 1
d) 3 + x − 1 = x e) 21 + x 2 − 9 = x f)
x − 2−x ≤1
⎡ 75 ⎤ ⎢7 ⎥ ⎣ ⎦
⎡5 ⎤ ⎢3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1⎤ ⎢− 2 ⎥ ⎣ ⎦
[5] [nemá řešení] ⎡ 1+ 5 ⎤ >⎥ ⎢( −∞, 2 ⎦ ⎣
12. Která přirozená čísla vyhovují nerovnicím: a)
2x + 2 < 2(x − 2) < x + 3 5
b) − 1 ≤ 2 − 2 − x ≤ 1
[4,5,6] [1]
13. Graficky vyřešte soustavu nerovnic: a) 3 x + y − 6 ≤ 0, x − 3 y + 6 ≥ 0 ...Které dvojice přirozených čísel vyhovují? [(1,1), (1,2)] b) 2 x + 3 y < 6,4 x + 6 y > 7 c) y > x 2 − 4 x + 2, x − y ≥ 2 …Které dvojice celých čísel vyhovují? [(2,−1)(2,0)(3,0)(3,1)]
14. Řešte rovnice: a) 2x 3 − 5 x 2 − x + 6 = 0 , je-li jeden z kořenů číslo
3 2
b) x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 + 8 x − 10 = 0 , jestliže má kořen (2 + i) V
⎡ 3 ⎤ ⎢− 1, 2 ,2⎥ ⎣ ⎦
[2 + i,2 − i,−
2, 2
]
Logaritmy. Logaritmické a exponenciální rovnice
1. Stanovte z tak, aby
[2]
a) logz 4 = 2 b) log z 100 = 2 c) logz 0,0001 = 2
[10] ⎡ 1 ⎤ ⎢100 ⎥ ⎣ ⎦
2. Určete: a) log2 4
[2]
1 8
[− 3]
b) log 2
⎡2⎤ ⎢3 ⎥ ⎣ ⎦
c) log 2 3 4
[1]
d) log2 2 3. Co je větší a) log2 5
nebo log2 7
b) log1 2 5 nebo log1 2 7
[log2 7]
[log 5] 12
4. Zjednodušte výraz: a) log a − 2 log b +
⎡ ⎤ a4 e 3 log , a > 1 , b > 0 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ 1000b a − 1 ⎥⎦
3 1 log e − 3 − log(a − 1) 4 2
⎡ 100a 3 b 4 b − 2 ⎤ 1 1 b) 3 log a + log b + 2 − log(c + 3 ) + log(b − 2) ⎢log > > > − , a 0 , b 2 , c 3 ⎥ 3 4 3 c+3 ⎣ ⎦
5. Určete výraz, jehož logaritmováním dostaneme: a)
3 (log a − log b) − log c + log(a − b ) 2 4
b) log(a − 2) +
log c 1 − (log c + 2 log b ) 2 3
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
(a b )3 (a − b ) 4
c
⎤ , a > b, b > 0, c > 0⎥ ⎥ ⎦
⎡ (a − 2) c ⎤ ⎢ 3 2 , a > 2, b > 0, c > 0⎥ cb ⎣ ⎦
6. Určete všechna řešení rovnic v oboru reálných čísel: a) log( x + 2) − log( x − 1) = 2 − log 4 b)
log 2x =2 log( 4 x − 15)
c) 3 log x + 5 log y = 14;3 2 log x − 5 2 log y = 56
[9 8] [4.5] [100,10]
d) 2 log( x − 2) − log(14 − x ) = 0
[5]
e) log3 ( x − 1) − 2 log3 ( x − 3) = 0
[5]
f)
log2 ( x − 1) = log2 4 log2 (3 − x )
[nemá řešení]
7. Řešte rovnice: a) 3 3 ⋅ 27 2 x −3 = 813 x −5
⎡7 ⎤ ⎢3 ⎥ ⎣ ⎦
1 1 x+2 ⋅9 = 6 ⋅ 4 x +1 − ⋅ 9 x +1 2 3
⎡ 1⎤ ⎢− 2 ⎥ ⎣ ⎦
c) 3 x + 3 x +1 + 3 x + 2 = 5 x + 5 x +1 + 5 x + 2
[− 1,7...]
b) 3 ⋅ 4 x +
⎡3 1⎤ ⎢14 , 14 ⎥ ⎦ ⎣
d) 8 2 x +1 = 32 ⋅ 2 4 y −1 , 5 ⋅ 5 x − y = 25 2 y +1 VI
Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnici
1. Zjistěte, kdy platí nerovnice: π π ⎡ ⎤ ⎢ x ∈< − 4 + kπ, 2 + kπ), k celé ⎥ ⎣ ⎦
a) tgx ≥ −1
b) sin y < −0.5
c) cos 4α <
d) cot g
2 2
⎡ ⎤ 11π ⎛ 7π ⎞ ⎢ y ∈ ⎜ − 6 + 2kπ, 6 + 2kπ ⎟, k celé⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ π π π π ⎤ ⎡ ⎢ε ∈< − 16 + k 2 , 16 + k 2 ), k celé ⎥ ⎦ ⎣
β <1 2
⎡ ⎤ ⎛π ⎞ ⎢β ∈ ⎜ 2 + 2kπ, (k + 1)π ⎟, k celé⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
2. Dokažte, že pro úhel x platí: a)
cos x − cot gx = sin x − 1 cot gx
1 − tg 2 x 2tgx b) = cos 2x sin 2x
π⎤ ⎡ ⎢x ≠ k 2 ⎥ ⎣ ⎦ π⎤ ⎡ ⎢x ≠ k 4 ⎥ ⎦ ⎣
Napište podmínky pro x. 3. Zjednodušte dané výrazy a určete, kdy jsou reálné: a)
sin 2x cos 2x − sin x cos x
π⎤ ⎡ 1 ⎢ cos x , x ≠ k 2 ⎥ ⎣ ⎦
b)
1 1 + 2 1 + tg x 1 + cot g 2 x
c)
1 − cos 2α sin 2α + sin 2α 1 + cos 2α
d)
1 1 2 − − 1 + sin α 1 − sin α cos 2 α
π⎤ ⎡ ⎢1, x ≠ k 2 ⎥ ⎣ ⎦ π⎤ ⎡ ⎢2tgα, α ≠ k 2 ⎥ ⎦ ⎣ π ⎡ 2 ⎤ ⎢ sin α − 1, α ≠ 2 + kπ⎥ ⎣ ⎦
4. Řešte rovnice: a) tgx = 3 cot gx
π ⎡ ⎤ ⎢ x ≠ ± 3 + kπ⎥ ⎣ ⎦
b) sin 2x = sin x
π ⎡ ⎤ ⎢ x = kπ, x ≠ ± 3 + 2kπ⎥ ⎣ ⎦
c) sin 2 x − cos 2 x + sin x = 0 d) 2tgx − 3 cot gx = 1
[x = 30° + k360°,150° + k360°,270° + k360°]
[x = 56°19
sin
x + cos x = 1 2
g) sin 2 x − 7 sin x ⋅ cos x + 6 cos 2 x = 0
+¨k180°,135° + k180°
]
[x = k180°,60° + k180°]
e) sin 2 x − 3 sin x ⋅ cos x = 0 f)
´
[x = k360°,60° + k720°,300° + k720°]
[x = 80°32
ˇ
+ k180°,45° + k180°
]
5. Vypočítejte stranu a obsah pravidelného pětiúhelníka a) Vepsaného b) Opsaného kružnici o poloměru r
[a = 2r sin α,P = 2,5r
2
sin 2α, α = 36°
[a = 2rtgα,P = 5r
2
]
tgα, α = 36°
]
6. Určete velikost všech úhlů a stran trojúhelníka, pro který platí:
[β = 90°, γ = 60°,c = 5 3 ]
a) α = 30°, b = 10, a = 5 b) α = 60°, c = a = 16
[β = γ = 60°,b = 16]
c) α = 120°, a = b = 5
[nemá řešení]
VII
Posloupnosti
1. Vypočtěte žádané prvky aritmetické posloupnosti a) d = −12, a n = 15, s n = 456, n = ?, a1 = ?
[n = 8, a1 = 99] [a10 = 33, d = 3]
b) a1 = 6, s10 = 195, a10 = ?, d = ?
2. Určete aritmetickou posloupnost, u které platí: a1 + a 4 + a 6 = 71 a5 − a2 − a3 = 2
[a1 = 5, d = 1]
3. Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna [o = 72] je 24. Vypočtěte obvod trojúhelníka.
4. Určete a1 q u geometrické posloupnosti, u níž platí: a) a1 + a 4 = 112 b) a 7 − a 5 = 48
⎡ ⎢a1 = 4, q = 3, a1 = 108, q = ⎣
a 2 + a 3 = 48 a 6 + a 5 = 48
s n = 1023
1⎤ 3 ⎥⎦
[a1 = 1, q = 2,n = 10]
5. Stanovte takové číslo, aby zvětšeno postupně o 7,15 a 27 dalo tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.
[9]
6. U geometrické posloupnosti reálných čísel je součet prvních čtyř členů [a1 = 1, q = 2, a1 = −3, q = −2] 15,dalších čtyř 240. Určete tuto posloupnost:
7. Řešte rovnice a)
3 9 27 8 = 1 − + 2 − 3 + ... x x x + 10 x
b)
5 = x + 3 x 2 + x 3 + 3 x 4 + ... 3
c) −
2 = x − 2x 2 + x 3 − 2x 4 + ... 5
[− 6,4] ⎡1 5⎤ ⎢ 2 ,− 7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 1⎤ ⎢ 3 ,− 4 ⎥ ⎣ ⎦
8. Je dán čtverec o straně a. Spojnice středů jeho stran tvoří opět čtverec, spojnice středů nového čtverce tvoří opět čtverec atd. Které mezi se blíží součet obsahů těchto čtverců? 2a 2
[ ]
VIII
Analytická geometrie
1. V trojúhelníku ABC ( A[4;-2], B[2;6], C[-2;0] ) najděte rovnici těžiště z bodu C. [2x - 5y + 4 = 0] 2. jaké úseky tvoří na osách souřadnic přímka jdoucí body A[1;4,5]; B[-4,-3]. [p = -2, q = 3] 3. Určete rovnici přímky jdoucí bodem A[6,5]; která na osách vymezuje úseky, jejichž součet je 22. [x + y - 11 = 0, 5x + 6z - 60 - 0]
4. Určete pro které hodnoty parametru a přímka (a + 2)x + (a 2 − 9)z + 3a 2 − 8a + 5 = 0 a) je rovnoběžná s osou x, b) je rovnoběžná s osou y, c) prochází počátkem. Napište rovnici těchto přímek. [ a) - 5y + 33 = 0 b) x - 56 = 0; 5x + 8 = 0
c) 33x - 56y = 0; 3x - 8y = 0 ]
5. Jaká je rovnice přímky jdoucí bodem A a svírající s osou x úhel ϕ v případech: a) A [6,4]
ϕ = 60 o
b) A [ 4,−3]
ϕ = 135 o
[ x + y −1= 0 ]
c) A [0,−2]
ϕ = 150 o
[ x 3 + 3y + 6 = 0 ]
[ x 3 −z+4−6 3 =0]
6. jaká je rovnice přímky, která prochází průsečíkem přímek x − 5 y + 1 = 0 , 2x + 3 y + 4 = 0 a je rovnoběžná s přímkou y = 2 x . [26 x − 13 y + 44 = 0]
7. Jakou vzdálenost má bod M [5;7] od přímky určené body A [-4, 5] a B [11, -3] [d=6] 8. Určete střed a poloměr kružnice a) x 2 + y 2 − 6 x + 10 y − 2 = 0
……. [ S = [3 ;−5]
r=6]
x 2 + y 2 + 6y − 7 = 0
……. [ S = [0 ;−3]
r=4]
….. [ S = [1 ;−0,5]
r = 1]
b)
c) x 2 + y 2 − 2x + y +
1 = 0; 4
9. Najděte rovnici kružnice, která má střed v bodě S [6, 7] a dotýká se přímky 5 x − 12 y − 24 = 0. [ x 2 + y 2 − 12x − 14 y + 49 = 0]. 10. Stanovte rovnici kružnice dotýkající se dvou rovnoběžných přímek 2 x + y − 5 = 0 a 2x + y + 15 = 0 [( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = 20] 11. Najděte vrchol a ohnisko paraboly. Načrtněte! a) y 2 − 12x − 6 y + 57 = 0 b) x 2 + y 2 + 6 y − 7 = 0 c) x 2 + y 2 − 2x + y +
1 =0 4
[ V = [ 4,3]
r=6]
[ S = [0 ;−3]
r=4]
[ S = [1 ;−0,5]
r = 1]
12. Najděte souřadnice středu a velikosti poloos křivek. Načrtněte! a) 16 x 2 20 y 2 − 64 x − 150 y − 111 = 0
[ elipsa S = [2, 3]
a = 6, b = 4 ]
b) 9 x 2 + 16 y 2 + 36 x − 32y − 92 = 0
[ elipsa S = [ −2, 1]
a = 4, b = 3 ]
[ hyperbola S = [1, − 2]
a = 2, b = 3 ]
[ elipsa S = [3, 1]
a = 3, b = 2 ]
c) 9 x 2 − 4 y 2 − 18 x − 16 y + 29 = 0 d) 4 x 2 + 9 y 2 − 24 x − 18 y + 9 = 0 e) 4 x 2 − y 2 − 8 x − 4 y − 4 = 0 IX
[ hyperbola S = [1, − 2]
a = 1, b = 2 ]
Komplexní čísla
1. Napište ve tvaru a+bi: a)
[7 + i]
(3 + 4i)(1− i)
(
)(
b) 3 + 2i 2 3 − 2i 2
)
[17]
c)
(2 − i 3 )
[1− 4i 3 ]
d)
(3 − i)3
[18 − 26i]
2
e) (1 + 3i) + (5 − i) 2
2
[16 − 4i]
2. Upravte na zlomek s reálným jmenovatelem: a)
2i − 1 4i + 3
b)
2 − 5i − 1 + 3i
⎡ − 17 − i ⎤ ⎢ 10 ⎥ ⎣ ⎦
c)
7 − 5i 2+i
⎡ 9 − 17i ⎤ ⎢ 5 ⎥ ⎦ ⎣
d)
3i − 5 −i+2 1+ i
⎡1 + 2i ⎤ ⎢ 5 ⎥ ⎦ ⎣
[1+ 3i]
3. Pro která reálná čísla x,y platí: a)
[x = −2, y = 4]
(3 − 2i)(i − x ) = 2y − i
[x = 6, y = −5]
b) x(2 + 3i) + y(4 − 3i) = 33i − 8
[nemá řešení]
c) 5(2 − i)x + (3i − 2)y + i = (i − 2)x − 4(1 − i)y + 5
(2 − 3i) ⎛ 3 ⎞ d) ⎜1 + i ⎟ x + (1 − 6i)y = 4 ⎝ 2 ⎠
3 1⎤ ⎡ ⎢ x = 10 , y = 5 ⎥ ⎦ ⎣
4. Určete absolutní hodnotu daných komplexních čísel: a) 3 − 4i
[5]
b) 1/ (1 + i) − 1/ (1 − i)
[1]
c) 1− i 3
[2]
d)
[5 2 ]
(2 − i)(− 1+ 3i)
5. Vyjádřete v goniometrickém tvaru komplexního čísla: a) (1+ i) b) i − 1
[ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)]
[ 2 (cos 3π / 4 + i sin 3π / 4)]
c) 1− i 3
[2(cos 5π / 3 + i sin 5π / 3)]
d) − 1− i 3
[2(cos 4π / 3 + i sin 4π / 3)]
e)
(− 1+ i) / (1+ i)
[cos π / 2 + sin π / 2]
6. Určete kvadratickou rovnici, jejichž jeden kořen je: a) 3 − i / 2 b) 2i
[4x
2
− 24 x + 37 = 0
[x
2
]
+4=0
]
7. Pomocí Moivreovy věty určete a znázornete graficky: π / 2 + 2kπ π / 2 + 2kπ ⎡ ⎤ cos + i sin ; k = 0,1,2⎥ ⎢ 3 3 ⎣ ⎦
a)
3
i
b)
4
1
c)
5
− 32
X
0 + 2kπ 0 + 2kπ ⎤ ⎡ + i sin ; k = 0,1,2,3⎥ ⎢cos 4 4 ⎦ ⎣
⎡ ⎛ ⎤ π + 2kπ π + 2kπ ⎞ + i sin ⎟; k = 0,1,2,3,4⎥ ⎢2 ⋅ ⎜ cos 5 5 ⎠ ⎣ ⎝ ⎦
Kombinatorika. Binomická věta.
1. Z kolika prvků lze vztvořit 210 variací druhé třídy. 2. Kolik tanečních páru lze vytvořit z 18 mužů a 15 žen.
[15] [270]
3. Kolika způsoby můžeme vybrat z 5 chlapců a 5 dívek volejbalové mužstvo, mají[50] li v něm být 2 dívky? 4. Kolika způsoby lze vybrat ze 6 kandidátů do komise 3 z nich?
[20]
5. Kolik různých přirozených čísel lze vytvořit z cifer 0,1,2,3,4, nemá-li se žádná [260] cifra v číslech opakovat? 6. Kolik různých převodů lze vytvořit sadou šesti ozubených koleček o různém [30] počtu zubů? 7. Zjednodušte a vypočtěte: ⎛ 4⎞ ⎛6⎞ ⎛7⎞ a) ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
[0]
⎛6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛7⎞ b) ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ ⎝ 4⎠ ⎝5⎠
[56]
⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎛8⎞ ⎛8⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5⎠ ⎝ 4⎠ ⎝5⎠ ⎝ 4⎠
[70]
d)
(n + 3)! / (n + 1)!+(n + 1)! / (n − 1)!−2(n + 2)! / n!
[2]
8. Řešte v oboru přirozených čísel rovnice:
(
)
⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n + 2 ⎞ ⎛ n + 3 ⎞ ⎟⎟ = n3 + 59 / 6 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
a)
[1]
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ b) 6⎜⎜ ⎟⎟ + 2⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 40 ⎠
[nemá řešení]
⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 2 ⎞ ⎟⎟ = 16 ⎟⎟ + ⎜⎜ c) ⎜⎜ ⎝n − 2⎠ ⎝n − 4⎠
[7]
⎛ n ⎞ ⎛ n + 2 ⎞ ⎛ n + 4 ⎞ n3 ⎟⎟ = ⎟⎟ + ⎜⎜ d) ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ + 88 ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2
[6]
9. Řešte v oboru přirozených čísel nerovnice: ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎟⎟ < 30n a) n⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 3 ⎠
[2.3.4.5.6.7]
⎛ n⎞ ⎛n + 3⎞ ⎛n + 5⎞ ⎟⎟ ≤ 153 ⎟⎟ + ⎜⎜ b) 2⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝
[2,3,4,5,6,7]
⎛ n ⎞ ⎛n + 3⎞ ⎟⎟ > 0 ⎟⎟ − ⎜⎜ c) ⎜⎜ ⎝n − 3⎠ ⎝ 3 ⎠
[nemá řešení]
d) n ⋅ (n − 2)! > n!+(n − 1)!
[nemá řešení]
10. Rozveďte pomocí binomické věty a zjednodušte: a)
(x + y )5 + (x − y )5
[2x(x
4
+ 10 x 2 y 2 + 5 y 4
[− 4]
b) (1+ i)
4
c)
(
2 +i 3
)]
)
5
[− 11
2 − i31 3
]
Požadavky na znalosti středoškolské geometrie, potřebná ke studiu konstruktivní geometrie na FS VŠB XI
Planimetrie
Vlastnosti rovinných obrazců: trojúhelníka, čtverce, kosočtverce, obdélníka, rovnoběžníka, lichoběžníka, pravidelného mnohoúhelníka, výšek a těžnic trojúhelníka: Konstrukce rovinných obrazců z daných prvků. Kružnice, její tečna, sečna, nesečna: Středový, úsekový a obvodový úhel. Thaletova věta. Množiny bodů dané vlastnostmi ( osa úsečky, kruhový oblouk,…). Pythagorova věta, Euklidovy věty. Shodnost trojúhelníků, osová souměrnost, středová souměrnost, otáčení rovnoběžné posunutí, totožnost. Podobnost, stejnolehlost. Mocnost bodu ke kružnici. Konstrukce kružnice z daných prvků: B,B,B; t,t,t; t+T,B; t,t,B; t+T,t; B,B,t; Příklady:
a) Je dána přímka p a dva různé body A,B. sestrojte rovnoramenný trojúhelník, jehož základna je AB a vrchol C leží na přímce p. b) Jsou dány různoběžky a,b a bod S. Sestrojte úsečku AB tak, aby bod S byl jejím středem. c) Na přímce určete body, z nichž je danou úsečkou vidět pod daným úhlem. d) Veďte tečny z bodu A ke kružnici k = (S,r).
e) Veďte společné tečny dvou kružnic bez použití stejnolehlosti. f) Veďte společné tečny dvou kružnic pomocí stejnolehlosti. g) Jsou dány dvě různoběžky a,b s nepřístupným průsečíkem a bod M, který neleží na žádné z nich. Bod M spojte s nepřístupným průsečíkem různoběžek a,b (pomocí výšek trojúhelníku a pomocí stejnolehlosti). h) Sestrojte kružnici, která prochází daným bodem a dotýká se dvou daných přímek. i) Do daného trojúhelníka ABC vepište čtverec MNPQ tak, aby MN⊂AB, P∈BC, Q∈CA. j) Jsou dány úsečky velikosti a,b. sestrojte úsečku délky x = a ⋅ b
k) Sestrojte kružnici procházející daným bodem A a dotýkající se kružnice k = (O,r) v bodě T.
l) Sestrojte kružnici, jsou-li dány dvě její rovnoběžné tečny t1,t2 a kružnice k = (S,r), které se má hledaná kružnice dotýkat. m) Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky p v daném bodě T a prochází daným bodem A∉p. n) Je dána přímka AB a bod C∉AB. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky AB v bodě A a prochází bodem C. o) Sestrojte pravidelný a-úhelník (n=3,4,5,6), je-li dán: A) jeho střed a vrchol B) jeho střed a přímka, na níž leží jedna strana XII
Stereometrie
Vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin, tří rovin. Kritéria rovnoběžnosti přímky a roviny, dvou rovin. Kolmost dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin. Kritéria kolmosti přímky a roviny, dvou rovin. Odchylka dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin. Elementární tělesa, jejich vlastnosti (krychle, hranol, jehlan, válec, kužel koule).
