Obsah. Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku

Obsah Úvod do problému

Statistika

Míry polohy (úrovně) Míry centrální tendence Ostatní míry polohy

Zpracování informací ze statistického šetření – Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku

Míry variability Rozptyl Směrodatná odchylka a variační koeficient Rozptyl pro ordinální data Rozpětí

Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz

Míry šikmosti a špičatosti Míry šikmosti Míry špičatosti

20. února 2012

Grafická vizualizace Krabicový graf „Statistikaÿ by Birom

Statistika

Deskriptivní charakteristiky

1 / 28

„Statistikaÿ by Birom

Úvod do problému

jsou číselné charakteristiky, které „koncentrovanouÿ formou (jediným číslem) vyjadřují určitou vlastnost statistického znaku,

◮

obvykle slouží pro popis kvantitativního (kardinálního) statistického znaku, ale některé je možno použít i pro „ jednoduššíÿ statistické znaky (např.: modus)

◮

někdy je problém s jejich interpretací i u diskrétního kardinálního znaku (¯ x je 1,87 dítěte,)

◮

v některých případech mají jiný tvar (předpis) pro populaci a výběr (viz rozptyl) odlehlé hodnoty (pozorování) ◮

◮

pozorování jehož hodnota znaku vybočuje (reálná/nereálná) bývají vlivnými hodnotami

Statistika


◮ ◮

seřazení hodnot podle velikosti, x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ . . . ≤ x(n−1) ≤ x(n) ,

ni absolutní četnost,

pro i = 1, . . . , k;

Pk

i=1

ni = N,

‡ odděluje pojmenování respektive vzorce pro netříděná a tříděná data; navíc vše pro tříděná data je barevně odlišeno,

xi hodnota statistického znaku (i = 1, . . . , n) ‡ hodnota statistického znaku při prostém třídění respektive středu intervalu pro třídění intervalové (i = 1, . . . , k),

ovlivňují výsledek statistické analýzy (výpočet charakteristik, odhadů parametrů, . . . )


n, N rozsah souboru – počet pozorování, x(i) pořadové statistiky,

wi pokud se ve tříděných datech formálně nahradí ni symbolem wi a k symbolem n, pak se obvykle mluví o vahách wi jednotlivých hodnot xi pro i = 1, . . . , n a platí čím vyšší hodnotaP wi , tím větší vliv hodnoty xi pro n výsledný výsledek, pochopitelně N = i=1 wi – proto vážené charakteristiky,

vlivné hodnoty (pozorování) ◮

2 / 28

Značení

◮

◮


Úvod do problému

Popisné (deskriptivní) charakteristiky/statistiky

◮

Statistika

3 / 28


Statistika


4 / 28

Míry polohy (úrovně)


Míry polohy

Průměry I

◮

Mají být typickou hodnotou statistického znaku z daného statistického souboru,

◮

jsou jednoznačně definované a relativně jednoduše zjistitelné,

◮

slouží k porovnání úrovně různých statistických souborů, nebo vývoje statistického souboru v čase,

◮

mají co nejméně podléhat nahodilostem výběru respektive odlehlým hodnotám (pozorováním) – požadavek robustnosti.

x¯ aritmetický průměr ‡ n 1X x¯ = xi n ◮ ◮

◮

◮

n¯ x=

n P



5 / 28

n P

(xi − x¯) = 0,

i=1 n P

(xi − x¯)2 ≤

n P

xi w i

(xi − a)2 , pro libovolné a.

průměr vypočtený klasickým způsobem bez α/2 % největších a nejmenších hodnot (robustnější než „obyčejnýÿ průměr) – méně nerobustní

Statistika


vážený geometrický průměr q √ x¯G = n x1 x2 . . . xn ‡ x¯G = N x1n1 x2n2 . . . xknk ,


6 / 28

Míry centrální tendence

xˆ modus

‡

i = 1, . . . , n

‡

◮ ◮ ◮

i = 1, . . . , k

nejčetnější hodnota znaku (unimodální, bimodální, vícenásobný modus) modální interval – interval s největší četností (relativní či absolutní) odhad módu na základě intervalového třídění ◮

nerobustní míra ovlivněná odlehlými hodnotami, ve výpočtech časových řad a některých indexů (inflace, apod.).

x¯H harmonický průměr ‡

vážený harmonický průměr n x¯H = P n 1 i=1

‡

xi

x¯H =

x˜0,5 medián

N , k P ni

i=1

◮

xi

Statistika

h n1 − n−1 , 2 2n0 − n1 − n−1 kde x0 – je střed modálního intervalu, n0 – je četnost modálního intervalu, n−1 – je četnost intervalu, který předchází modálnímu intervalu, n1 – je četnost intervalu, který následuje za modálním intervalem a h – je délka modálního intervalu

xˆ ≈ x0 +

(˜ x)

hodnota znaku, jež dělí soubor na dvě poloviny, na ty pozorování s nižšími hodnotami znaku a ty s vyššími hodnotami znaku ◮

x˜0,5

= =

kde xi 6= 0, i = 1, . . . , n ‡ i = 1, . . . , k ◮ nerobustní míra ovlivněná odlehlými hodnotami, ◮ v časových výpočtech (frekvence, . . . )


i=1

i=1


◮

◮

wi

Modus a medián I

x¯G geometrický průměr

◮

i=1

!

xi ,


Průměry II

x¯ = Pn

n X

α-useknutý průměr ◮

Statistika

i=1

1

i=1

i=1


k 1 X x¯ = xi ni N

nerobustní míra ovlivněná odlehlými hodnotami, průměr může představovat rovnoměrnost nebo normu, která vůbec neexistuje a nemá odraz ve skutečnosti, jistě platí: ◮

◮

vážený aritmetický průměr

‡

i=1

◮

kde xi ≥ 0,


◮

◮


7 / 28

x(n/2) + x(n/2+1) 2 x((n+1)/2)

pro n sudé pro n liché

mediánový interval – interval obsahující medián, tj. první interval, pro který platí: kpi ≥ 0,5 odhad mediánu na základě intervalového třídění


Statistika


8 / 28




Modus a medián II n+1 2 ◮

◮

x˜ ≈ x0 +

Ostatní míry polohy

Ostatní míry polohy I −

j−1 P

xmin minimum

ni

i=1

h, nj P kde x0 – je střed mediánového intervalu, j−1 i=1 ni – je kumulativní četnost intervalu, který předchází mediánovému intervalu, nj – je četnost intervalu mediánového intervalu a h – je délka mediánového intervalu

◮

xmin = min x = x(1) = x˜0

xmax maximum ◮

xmax = max x = x(n) = x˜1

x˜0,25 dolní kvartil ◮

hodnota znaku, jež dělí soubor (pozorování) na dvě částí – čtvrtinu a tři čtvrtiny; na čtvrtinu pozorování s nižšími hodnotami znaku a tři čtvrtiny pozorování s vyššími hodnotami znaku

x˜0,75 horní kvartil ◮

hodnota znaku, jež dělí soubor na dvě částí – tři čtvrtiny a čtvrtinu; na čtvrtinu pozorování s nižšími hodnotami znaku a čtvrtinu pozorování s vyššími hodnotami znaku

x˜p p·100% (výběrový) kvantil ◮

◮


Statistika



9 / 28

◮

◮

Statistika


10 / 28

Míry variability

Míry variability

kde S = ⌊p(n − 1) + 1⌋, H = ⌈p(n − 1) + 1⌉ a P = p(n − 1) − S + 1 decil p = 0; 0,1; 0,2; . . . ; 0,9; 1 percentil p = 0; 0,01; 0,02; . . . ; 0,99; 1



Ostatní míry polohy

Ostatní míry polohy II ◮

p ∈ h0; 1i

hodnota znaku, jež dělí soubor na dvě částí – p-tinu a (1 − p)-tinu; p-tinu pozorování s nižšími hodnotami znaku a (1 − p)-tinu s vyššími hodnotami znaku x˜p = (1 − P) · x(S) + P · x(H) ,

Statistika


11 / 28

◮

Vypovídají o variabilitě/proměnlivosti hodnot statistického znaku z daného statistického souboru,

◮

jsou jednoznačně definované a relativně jednoduše zjistitelné,

◮

slouží k porovnání variability různých statistických souborů, nebo vývoje statistického souboru v čase,

◮

mají co nejméně podléhat nahodilostem výběru respektive odlehlým hodnotám – požadavek robustnosti

◮

některé vycházejí v odlišných jednotkách než posuzovaný statistický znak (rozptyly), nebo jsou relativní mírou variability (variační koeficient).


Statistika


12 / 28

Míry variability

Rozptyl

Míry variability

Rozptyl I

Rozptyl II

sp2 (populační) rozptyl ‡

vážený (populační) rozptyl

n 1X sp2 = (xi − x¯)2 n

výběrový rozptyl ‡

◮ ◮ ◮ ◮

◮

sv2 =

‡

sp2 =

1 X (xi − x¯)2 · ni N −1

Statistika


13 / 28

n n 1 XX (xi − xj )2 2n2 i=1 j=1

Míry variability


14 / 28

Směrodatná odchylka a variační koeficient

VX variační koeficient (populační a výběrový)

sv výběrová směrodatná odchylka

q

sp2

VX =

◮

p sv = sv2

◮ ◮

nerobustní míry ovlivněné odlehlými hodnotami, směrodatné odchylky vychází v jednotkách analyzovaného statistického znaku, sp < sv – „daňÿ za výběrové šetření + požadavek nestrannosti odhadu, pro velká n respektive N není znatelný numerický rozdíl mezi populační a výběrovou směrodatnou odchylkou, transformace r r n−1 N −1 sp = sv ‡ sp = sv n N


Statistika

Variační koeficient sp =

◮


Směrodatná odchylka a variační koeficient

sp (populační) směrodatná odchylka

◮

N −1 2 sv N

i=1

Směrodatná odchylka

◮

sp2 =

nerobustní míry ovlivněné odlehlými hodnotami, rozptyl vychází v jednotkách na druhou!, sp2 = x 2 − x¯2 – výpočetní vzorec populačního rozptylu sp2 < sv2 – „daňÿ za výběrové šetření + požadavek nestrannosti odhadu, pro velká n respektive N není znatelný numerický rozdíl mezi populačním a výběrovým rozptylem,

Míry variability

◮

‡

obecná míra variability mezi všemi hodnotami (nejen vůči průměru)

k

1 X (xi − x¯)2 n−1


◮

n−1 2 sv n

vážený výběrový rozptyl

i=1

◮

transformace (Besselova oprava) sp2 =

i=1

n

sv2 =

◮

k 1 X sp2 = (xi − x¯)2 · ni N

‡

i=1

sv2

Rozptyl

Statistika


15 / 28

◮

sp x¯

(VX · 100 %),

VX =

sv x¯

(VX · 100 %)

nerobustní míry ovlivněné odlehlými hodnotami, Vx je bezrozměrná charakteristika respektive procentuálně vyjádřená; Interpretace procentuálního vyjádření: „Vx udává z kolika procent se podílí směrodatná odchylka na aritmetickém průměruÿ, Variační koeficienty jsou relativní míry variability („indexyÿ), což umožňuje porovnávat variabilitu statistických znaků: ◮ ◮

s odlišnými jednotkami, mající sice stejné jednotky, ale odlišnou míru polohy.


Statistika


16 / 28

Míry variability

Rozptyl pro ordinální data

Míry variability

Rozptyl pro ordinální data ◮

◮

◮

Rozpětí

dorvar Rozptyl pro ordinální data dorvar =

R variační rozpětí

4 k −1

k X i−1

R = xmax − xmin kpi (1 − kpi ),

IQR (inter)kvartilové rozpětí IQR = x˜0,75 − x˜0,25

kde k je počet uspořádatelných kategorií a kpi , pro i = 1, . . . , k jsou kumulativní relativní četnosti. Dorvar je variantou rozptylu (míry variability) pro ordinální data.


Statistika

Míry šikmosti a špičatosti


17 / 28

3 n 1 X xi − x¯ n sp i=1



18 / 28

Míry šikmosti

vážený koeficient (populační) šikmosti ‡

mt,3 =

mt,3 > 0 , pak mluvíme o kladném zešikmení – vyšší koncentraci podprůměrných hodnot v porovnání s koncentrací hodnot nadprůměrných, mt,3 = 0 , pak mluvíme symetrickém zešikmení – stejné koncentraci podprůměrných a nadprůměrných hodnot, mt,3 < 0 , pak mluvíme o záporném zešikmení – vyšší koncentraci nadprůměrných hodnot v porovnání s koncentrací hodnot podprůměrných.

3 k 1 X xi − x¯ · ni N sp i=1

třetí centrální moment

mt,3 koeficient výběrové šikmosti (dle MS Excel 2000)

‡

vážený koeficient výběrové šikmosti n

mt,3

X n = (n − 1)(n − 2) i=1

k

mt,3

X N = (N − 1)(N − 2) i=1

◮

Statistika

Koeficient šikmosti II

mt,3 koeficient (populační) šikmosti ‡

◮


Míry šikmosti

Koeficient šikmosti I

mt,3 =

Rozpětí

xi − x¯ sv

3

‡

3

· ni

xi − x¯ sv

Je-li „Statistikaÿ by Birom

Statistika


19 / 28


Statistika


20 / 28


Míry šikmosti


Pearsonova míra šikmosti

Míra špičatosti I

τ Pearsonova míra šikmosti

mt,4 koeficient (populační) špičatosti ‡

x¯ − xˆ τ= sx

mt,4 = ◮

◮

míra šikmosti založená na x¯ a xˆ (přibližná míra)

Je-li ◮

Statistika



‡

mt,4 =

4 k 1 X xi − x¯ · ni N sp i=1

čtvrtý centrální moment

kurt = mt,4 − 3

21 / 28

pro lepší srovnávání se od čtvrtého centrálního momentu odečítá 3, což je hodnota koeficientu špičatosti normálního rozdělení; „většíÿ respektive „menšíÿ špičatost pak určujeme ve srovnání se špičatostí normálního rozdělení


Míry špičatosti

Statistika

Grafická vizualizace

Míra špičatosti II

vážený koeficient (populační) špičatosti

kurt modifikovaný koeficient (populační) špičatosti

◮


4 n 1 X xi − x¯ n sp i=1

τ > 0 , pak mluvíme o kladném zešikmení – koncentrace některých podprůměrných hodnot je vyšší v porovnání s koncentrací hodnot nadprůměrných, τ = 0 , pak mluvíme symetrickém zešikmení – „průměrnéÿ hodnoty jsou nejčastější, τ < 0 , pak mluvíme o záporném zešikmení – koncentrace některých nadprůměrných hodnot je vyšší v porovnání s koncentrací hodnot podprůměrných.


22 / 28

Krabicový graf

Krabicový graf – Box-plot

mt,4 koeficient výběrové špičatosti (dle MS Excel 2000) mt,4

Míry špičatosti

‡

vážený koeficient výběrové špičatosti

◮

4 n X xi − x¯ (n + 1)n = (n − 1)(n − 2)(n − 3) sv i=1 k

mt,4 =

◮

X (N + 1)N (N − 1)(N − 2)(N − 3) i=1

xi − x¯ sv

4

vizualizace popisných statistik – vybrané míry polohy a vybraných variabilit plným názvem Box-and-whisker(s) plot – krabicový graf s vousy ◮

‡

◮

celý graf je složen z boxu (krabice), „vousůÿ, příčné čárky respektive čtverečku jaké hodnoty volit pro nastavení krabicového grafu záleží povaze dat a záměru analýzy – principiálně lze pro nastavení volit parametry x¯ a s, to pro „ilustraciÿ statistické indukce, nebo x˜0,50 a IQR, to pro analýzu odlehlých pozorování

· ni

kurt modifikovaný koeficient výběrové špičatosti ‡ vážený modifikovaný koeficient výběrové špičatosti (dle MS Excel 2000) kurt = mt,4 − ◮

◮

Je-li

3(n − 1)2 (n − 2)(n − 3)

‡

kurt = mt,4 −

3(N − 1)2 (N − 2)(N − 3)

stejné jak pro koeficient (populační) špičatosti

kurt > 0 , pak mluvíme o kladné špičatosti – koncentrace průměrných hodnot je vyšší, než bývá u normálního rozdělení, kurt = 0 , pak mluvíme o normální špičatosti – koncentrace průměrných hodnot je právě taková jako u normálníhoStatistika rozdělení, „Statistikaÿ by Birom Deskriptivní charakteristiky 23 / 28 kurt 0 , pak mluvíme o záporné špičatosti – koncentrace odlehlých hodnot je vyšší,


Statistika


24 / 28


Krabicový graf


Box-plot

Krabicový graf

Box-plot

Cena zaplacená za celkový spotřebitelský úvěr

Cena zaplacená za celkový spotřebitelský úvěr – dle provozoven I

28000

28000

26000

26000 24000

— x˜0,50 = 6 741

24000 22000

x˜

x0,75 0,25 –˜

20000

⊤ ⊥

18000 16000 14000

tj.4 995–9 086

8000

x0,75 0,25 –˜

⊤ ⊥

18000

Rozsah neodlehlých hodnot = (1 584; 15 093)

16000

Rozsah neodlehlých hodnot

◦ Odlehlé hodnoty

14000

∗ Extrémní hodnoty

12000

∗ Extrémní hodnoty

10000

x˜

20000

◦ Odlehlé hodnoty

12000

— x˜0,50

22000

10000 8000 6000

6000

4000

4000

2000

2000

0 Strakonice Vytvořeno v programuPrachatice STATISTICA Klatovy komplet 6.1 Cz

0 Vytvořeno v programu STATISTICA komplet 6.1 Cz


Statistika



25 / 28


Krabicový graf

Statistika


Box-plot

Cena zaplacená za celkový spotřebitelský úvěr – dle provozoven II

Cena zaplacená za celkový spotřebitelský úvěr – dle provozoven III

8200

16000

x¯ ± s

7800

⊤ ⊥

7600

7400

14000

x¯

x¯ ± 1,96 · sv

8000

6000

7000

4000

6800

2000

6600


28 / 28

sv √ n

x¯ ± 1,96 ·

sv √ n

0

Strakonice Vytvořeno v programuPrachatice STATISTICAKlatovy komplet 6.1 Cz


⊤ ⊥

10000

7200

x¯

x¯ ±

12000

v

26 / 28

Krabicový graf

Box-plot

8000


Strakonice Vytvořeno v programuPrachatice STATISTICA Klatovy komplet 6.1 Cz

Statistika


27 / 28


Statistika

Obsah. Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku

Recommend Documents