Numerické modelování v aplikované geologii

Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky ˇ Pˇrírodovedecká fakulta Karlova Univerzita v Praze

Pˇrednášky pro obor Geotechnologie

David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)

Numerické modelování v aplikované geologii

Geotechnologie

1 / 49

Geotechnologie

2 / 49

Obsah 1

Úvod do matematického modelování

2

Matematické pojmy

3

Kontinuum

4

ˇ Napetí

5

Pˇretvoˇrení




Úvod do matematického modelování ˇrešení geomechanických úloh mužeme ˇ na: Zpusoby ˚ ˚ rozdelit Observaˇcní: Spolehnutí na pozorování, analogii a zkušenost Semianalytické: Kombinace observaˇcních a matematických ˇ fyzikální pˇrístupu. ˚ Statistika, extrapolace, bez porozumení podstaty jevu˚ Analytické a numerické: Idealizace geologického prostˇredí matematickým modelem. Uzavˇrená (analytická) a numerická ˇrešení. Pˇrednáška se bude zabývat pouze posledním bodem.



Geotechnologie

3 / 49


Úvod do matematického modelování V minulosti pˇrevládal zájem o analytické metody a fyzikální ˇ rítku). – o nem ˇ si modelování (modelové zkoužky ve zmenšeném meˇ ˇrekneme pozdeji. ˇ

Muir Wood (2004)


Bakir et al. (1994)


Geotechnologie

4 / 49


Úvod do matematického modelování Dnes, s rozvojem výpoˇcetní techniky, zaˇcínají numerické metody nabývat výsadní postavení ve využití pro geotechnický design. Matematický model je nástroj pro pochopení problému, nikdy však ne pˇresným rˇešením. Pro jeho úˇcelné využití je nutné znát jeho možnosti a omezení. Model vždy zjednodušuje velmi komplexní ˇ realitu. Je nutno dbát na to, aby byly vystihnuty nejduležit ˚ ejší aspekty ˇrešeného problému.



Geotechnologie

5 / 49


Úvod do matematického modelování Postup pˇri matematickém modelování 1

ˇ Zodpovezení otázky PROCˇ potˇrebuji matematický model. Co s jeho pomocí potˇrebuji vyˇrešit.

2

ˇ S tvorbou modelu je nutno zaˇcít co nejdˇríve. I pˇredbežné výsledky mohou být využity pro plánování polních zkoušek a monitoringu.

3

Je nutno si rozmyslet kvalitativní oˇcekávané výsledky. První model sestavený s pomocí kteréhokoliv programu nebude bezchybný! Chyby je možno odhalit jen pokud co nejjednodušší model postupneˇ zesložit’ujeme.

4

Vždy použijeme co nejjednodušší model, který stále vystihuje ˇ aspekty ˇrešeného problému. nejduležit ˚ ejší



Geotechnologie

6 / 49


Úvod do matematického modelování Postup pˇri matematickém modelování 5

ˇ že není možno sestavit model jenž vystihne základní V pˇrípade, charakteristiky ˇrešeného problému (napˇr. 2D výpoˇcet pro pˇrípad s ˇ výraznými trojrozmernými efekty), je možno provést sérii simulací pro získání výsledku˚ v mezních pˇrípadech. Z rozmezí získaných hodnot je možno odhadnout správné výsledky.



Geotechnologie

7 / 49


Úvod do matematického modelování Oblasti aplikace poˇcítaˇcových modelu˚ v geomechanice 1

ˇ Rešení komplexních geotechnických úloh, kde neexistuje ˇ uzavˇrené (analytické) ˇrešení (interakce nekolika vlivu, ˚ komplikované geologické podmínky . . . ).

feat.nl (2005) David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

8 / 49



Pochopení i rozvoj tradiˇcních metod (progresívní porušování, hledání kritické smykové plochy)

Potts et al. (1997)



Geotechnologie

9 / 49



ˇ vlivu nelinearity (analytická ˇrešení jsou pro Studie a zohlednení lineárneˇ pružný poloprostor, pˇrípadneˇ pro ideálneˇ plastický materiál)

Deane and Basset (1995) David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

10 / 49



Vývoj jednoduchých empirických návrhových vztahu˚ z numerických studií (napˇr. deformace budovy nad výrubem tunelu)

Mroueh and Shahour (2003) Francius et al. (2004) David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

11 / 49



Interpretace údaju˚ z monitoringu, využití pro plánování ˇ nejvhodnejších monitorovacích bodu. ˚

Rahim (2002) David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

12 / 49



ˇ ˇ Interpretace laboratorních zkoušek (nerovnomerné rozdelení ˇ lokalizace deformace) napetí,

Vardoulakis (1977) David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)

Tejchman (2004)


Geotechnologie

13 / 49



ˇ ˇ v okolí Rízení laboratorního programu (nestandardní dráhy napetí geotechnické konstrukce)

Tang et al. (2000)



Geotechnologie

14 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Maticový poˇcet

ˇ Vektor: Jednorozmerné pole skalárních veliˇcin. Znaˇcíme v, vi . Jednotlivé komponenty (složky): v = vi = [v1 , v2 , v3 , . . . , vn ] ˇ V našem pˇrípadeˇ budeme vetšinou uvažovat kartrézskou soustavu souˇradnic, t.j. n = 3.



Geotechnologie

15 / 49

Matematické pojmy


Pokud má vektor fyzikální význam, pak je nezávislý na soustaveˇ ˇ eˇ jeho komponent, ale význam zustane souˇradnic. (Dojde ke zmen ˚ zachován). Napˇr. vektor rychlosti:



Geotechnologie

16 / 49

Matematické pojmy


Jeden vektor do druhého pˇrevádíme pomocí takzavené lineární transformace, kde lineárním operátorem je matice.     n1 σ11 σ12 σ13 t1  t2  =  σ21 σ22 σ23   n2  n3 σ31 σ32 σ33 t3 

nebo píšeme ti = σij nj Pokud má tato matice fyzikální význam (význam je nezávislý na soustaveˇ souˇradnic), nazýváme jí tenzorem.



Geotechnologie

17 / 49

Matematické pojmy


Tenzor (druhého ˇrádu): Lineární transformace jednoho vektoru do jiného vektoru (viz. dále). Znaˇcíme T, Tij , σ, σij . Stejneˇ jako vektor mužeme ˚ tenzor vyjádˇrit pomocí komponent v ˇ urˇcité soustaveˇ souˇradnic. Vektor je jednorozmerné pole skalárních veliˇcin, tenzor druhého ˇrádu mužeme ˚ vyjádˇrit pomocí matice:   T11 T12 T13 T =  T21 T22 T23  T31 T32 T33



Geotechnologie

18 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Zápis operací s vektory a maticemi

Budeme používat tzv, indexový zápis. Bude využíváno tzv. Einsteinovo indexování: ˇ Pokud se v souˇcinu nebo v samostatneˇ stojící promenné ˇ vyskytnou dva stejné indexy, provede se souˇcet promenných probíhající pˇres tyto indexy. Souˇcet neprobíhá pro tzv. volný ˇ index, který se vyskytuje i u promenné na levé straneˇ rovnice.



Geotechnologie

19 / 49

Matematické pojmy


Souˇcet dvou matic: Tij = Gij + Hij



   T11 T12 T13 G11 + H11 G12 + H12 G13 + H13  T21 T22 T23  =  G21 + H21 G22 + H22 G23 + H23  T31 T32 T33 G31 + H31 G32 + H32 G33 + H33



Geotechnologie

20 / 49

Matematické pojmy


Násobení matice skalární veliˇcinou: Cij = aTij



   C11 C12 C13 aT11 aT12 aT13  C21 C22 C23  =  aT21 aT22 aT23  C31 C32 C33 aT31 aT32 aT33



Geotechnologie

21 / 49

Geotechnologie

22 / 49

Matematické pojmy


Násobení matice vektorem: bi = Tij dj



   b1 T11 d1 + T12 d2 + T13 d3  b2  =  T21 d1 + T22 d2 + T23 d3  b3 T31 d1 + T32 d2 + T33 d3 Obdobneˇ definujeme násobení dvou matic: Tik = σij jk



Matematické pojmy


Skalární souˇcin dvou vektoru: ˚ c = ti vi

c = t1 v1 + t2 v2 + t3 v3



Geotechnologie

23 / 49

Geotechnologie

24 / 49

Matematické pojmy


Tenzorový souˇcin: Tij = bi dj



   T11 T12 T13 b1 d1 b1 d2 b1 d3  T21 T22 T23  =  b2 d1 b2 d2 b2 d3  T31 T32 T33 b3 d1 b3 d2 b3 d3



Matematické pojmy

Matematické pojmy Maticové operátory

Jednotková matice (tzv. Kroneckerovo delta) znaˇcíme 1ij   1 0 0 1ij =  0 1 0  0 0 1 Stopa tr σ = σij 1ij Euklidovská norma kσk = ˇ Smer ~σij =

√

σij σij

σij kσk

Deviátor dev (σ) = σij − 1ij David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)

tr(σ) 3


Geotechnologie

25 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Rotace soustavy souˇradnic

ˇ eˇ soustavy souˇradnic se zmení ˇ komponenty vektoru cˇ i Pˇri zmen tenzoru, pˇrestože jejich fyzikální význam zustane ˚ zachován. Pro pˇrípad vektoru jsou jeho nové komponenty v cˇ árkovaných souˇradnicích poˇcítány pomocí vi0 = Qij vj



Geotechnologie

26 / 49

Matematické pojmy




Geotechnologie

27 / 49

Matematické pojmy


Transformaˇcní matici Q je pro 2D úlohu možno zapsat jako cos α sin α Q= − sin α cos α Pˇri pootoˇcení souˇradného systému pro tenzor se jeho nové komponenty vypoˇctou z T 0 ij = Qik Tkl Qjl



Geotechnologie

28 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Rotace soustavy souˇradnic a vlastní cˇ ísla

Pro matici T hledáme takový skalár λ a vektor n, aby platilo Tij nj = λni n se oznaˇcuje jako vlastní vektor a λ jako vlastní cˇ íslo. Rotaci souˇradnic lze pro každou symetrickou matici (Tij = Tji ) rotovat tak, že prvky mimo hlavní diagonálu jsou rovné nule. Nenulové diagonální prvky jsou pak rovny vlastním cˇ íslum ˚ matice.



Geotechnologie

29 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Invarianty tenzoru

Invarianty jsou skalární veliˇciny vypoˇctené ze složek tenzoru, jejichž ˇ se zmenou ˇ hodnota se nemení soustavy souˇradnic. Rozlišujeme tˇri invarianty, jež znaˇcíme I1 , I2 a I3 . 1. invariant 2. invariant 3. invariant


I1 = tr(T) 1 I2 = (Tij Tij − I12 ) 2 I3 = det(T)


Geotechnologie

30 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Invarianty tenzoru

Pro diagonální tenzor 

 T11 0 0 T22 0  T= 0 0 0 T33 se invarianty tedy vypoˇctou I1 = T11 + T22 + T33 I2 = −(T11 T22 + T22 T33 + T33 T11 ) I3 = T11 T22 T33



Geotechnologie

31 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Derivace

ˇ funkce v nekoneˇcneˇ malém intervalu Reprezentuje velikost zmeny

Matematická definice pro skalární funkci p(t) dp ∆p = lim dt ∆t→0 ∆t David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

32 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Derivace

Derivaci definujeme i pro vektorové funkce. Derivace vektorové funkce p(t) má komponenty:  dp1  dp  =  dt


dt dp2 dt dp3 dt

  


Geotechnologie

33 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Gradient

ˇ normály k prub ˇ Gradient udává smer ˚ ehu funkce. Pro funkci dvou ˇ promenných f(x1 ,x2 ) zapisujeme ∂f ∂f ∂f grad f = ∇f = = , ∂xi ∂x1 ∂x2



Geotechnologie

34 / 49

Matematické pojmy

Matematické pojmy Gradient

ˇ normály k ploše f(σ) : Gradient funkce f(σ) , kde σ je vektor, udává smer  ∂f(σ)  =  ∂σ


∂f ∂σ1 ∂f ∂σ2 ∂f ∂σ3

   


Geotechnologie

35 / 49

Kontinuum

Kontinuum Matematická definice kontinua: 1

ˇ Matematické funkce popisující kontinuum jsou spojité vcetn eˇ svých derivací

2

ˇ ˇ ploch, kde podmínka 1. neplatí Pˇripouští se konecný pocet

Kontinuum pˇredstavuje spojité prostˇredí, kde jsou všechny veliˇciny definovány pro nekoneˇcneˇ malý bod.



Geotechnologie

36 / 49

Kontinuum

Kontinuum ˇ meˇ ˇ rené veliˇciny v závislosti na meˇ ˇ rítku: Prub ˚ eh



Geotechnologie

37 / 49

ˇ Napetí

ˇ Napetí ˇ zavedl Cauchy v roce 1793. Definoval jej jako sílu Pojem napetí pusobící ˚ na danou plochu: f σ= ab



Geotechnologie

38 / 49

ˇ Napetí

ˇ Napetí ˇ Popis napjatosti je v kontinuu složitejší, definujeme normálové a smykové složky:

ˇ (T11 , T22 , T33 ) jsou Je zˇrejmé, že diagonální složky tenzoru napetí ˇ kolmé na infinitezimální krychli kontinua, nazýváme je proto napetí ˇ ˇ normálová (nekdy znaˇcíme σ). Ostatní složky se nazývají napetí ˇ smyková (nekdy znaˇcíme τ ). David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

39 / 49

ˇ Napetí

ˇ Napetí Pokud v bodeˇ kontinua nepusobí ˚ další síly cˇ i momenty (momenty mohou pusobit ˚ v tzv. polárním kontinuu) a bod je v rovnovážné ˇ je symetrický, tzn. poloze, tenzor napetí

Tij = Tji

ˇ lze pootoˇcit soustavu souˇradnic tak, aby Pro každý tenzor napetí ˇ (Tij pro i 6= j) byla rovná nule. Nenulové smyková napetí ˇ Hlavní napetí ˇ diagonální cˇ leny se pak nazývají hlavní napetí. ˇ ˇ jsou vlastní císla tenzoru napetí.



Geotechnologie

40 / 49

ˇ Napetí

ˇ Napetí Znaménková konvence

Komplikaci v orientaci v geotechnických výpoˇctech cˇ asto pˇrinášejí dveˇ ruzné ˚ znaménkové konvence. ˇ V mechanice kontinuua je zabehnutá znaménková konvence jež ˇ a pˇretvoˇrení jako kladná, tlaková jako oznaˇcuje tahová napetí záporná. Tato konvence má za následek že výpoˇcty geotechnických úloh ˇ jsou méneˇ pˇrehledné, nebot’ v geotechnice ve vetšin eˇ pˇrípadu˚ ˇ Proto mechanika zemin vetšinou ˇ figurují tlaková napetí. uvažuje ˇ jako pozitivní. tlaková napetí ˇ My budeme vetšinou uvažovat znaménkovou konvenci mechaniky kontinuua.



Geotechnologie

41 / 49

ˇ Napetí

ˇ Napetí ˇ Invarianty napetí

ˇ jejichž Pro popis stavu napjatosti cˇ asto využíváme invarianty napetí, hodnota je nezávislá na souˇradném systému. ˇ p je modifikovaným prvním invariantem napetí: ˇ Stˇrední napetí p=−

I1 trT =− 3 3

ˇ q je modifikovaný druhý invariant deviátoru "Deviátorové" napetí ˇ napetí: r 3 q= k dev Tk 2



Geotechnologie

42 / 49

ˇ Napetí


ˇ (napˇr. pro Pro axisymetrický stav s diagonálním tenzorem napetí ˇ bežnou triaxiální zkoušku):   Ta 0 0 T =  0 Tr 0  0 0 Tr se vztahy pro výpoˇcet invariantu˚ redukují na Ta + 2Tr 3 q = |Ta − Tr |

p=−

ˇ Casto se však pro triaxiální stav uvažuje q = Ta − Tr ˇ si musíme Pro definici tˇretího používaného invariantu napetí ˇ pojem deviátorová rovina. vysvetlit David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

43 / 49

Geotechnologie

44 / 49

ˇ Napetí


Deviátorová rovina je urˇcena podmínkou trT = const.


⇒

T1 = T2 = T3


ˇ Napetí


ˇ (stˇrední V deviátorové rovineˇ je konstantní první invariant napetí ˇ p). Je proto vhodná pro zobrazení stavu napjatosti s napetí ˇ ˇ promenným druhým a tˇretím invariantem napetí. ˇ se vetšinou ˇ Jako tˇretí invariant napetí uvažuje Lodeho úhel α

J3 cos 3α = − 2

3 J2


3/2


Geotechnologie

45 / 49

Pˇretvoˇrení

Pˇretvoˇrení ˇ Pˇretvoˇrením se oznaˇcuje zmena délky vztažená k puvodní ˚ délce. Následující výpoˇcty jsou pˇresneˇ platné pouze pro infinitezimální (nekoneˇcneˇ malá) pˇretvoˇrení. Velká pˇretvoˇrení jsou mimo náplnˇ tohoto kurzu. Jednoosé pˇretvoˇrení: 11 ≈

∆u1 ∆X1

22 ≈

∆u2 ∆X2



Geotechnologie

46 / 49

Pˇretvoˇrení

Pˇretvoˇrení Pro cˇ istý smyk jenž mužeme ˚ znázornit:

definujeme úhlové pˇretvoˇrení γ12 jako γ12 = 90◦ − ψ = θ12 + θ21 ≈ tan θ12 + tan θ21 = David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


∆u1 ∆u2 + ∆X2 ∆X1 Geotechnologie

47 / 49

Geotechnologie

48 / 49

Pˇretvoˇrení

Pˇretvoˇrení Invarianty pˇretvoˇrení

Pro pˇretvoˇrení využíváme následující invarianty: Objemové pˇretvoˇrení v v = tr() Smykové pˇretvoˇrení s r s =


2 k dev()k 3


Pˇretvoˇrení

Pˇretvoˇrení Invarianty pˇretvoˇrení

Pro axisymetrický stav s diagonálním tenzorem pˇretvoˇrení (napˇr. ˇ pro bežnou triaxiální zkoušku):   a 0 0 =  0 r 0  0 0 r se vztahy pro výpoˇcet invariantu˚ redukují na v = a + 2r s =

2 |a − r | 3

Pro triaxiální zkoušku se cˇ asto uvažuje s = 2/3(a − r ). Dále lze ukázat, že pro nedrénovanou triaxiální zkoušku platí s = a (a samozˇrejmeˇ v = 0). David Mašín (Karlova Univerzita v Praze)


Geotechnologie

49 / 49

Numerické modelování v aplikované geologii

Recommend Documents