MODUL MATEMATIKA EKONOMI 1 LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR

MODUL MATEMATIKA EKONOMI 1 LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR

NAMA

:

NPM

:

KELAS

:

MATA KULIAH

:

HARI/SHIFT

:

PJ

:

KP

:

TUTOR ASBAR

: FAKULTAS EKONOMI : UNIVERSITAS GUNADARMA

DEPOK 2015

Laboratorium Manajemen Dasar

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat, hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan , maka makalah ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran. Struktur materi di dalamnya ini disusun sesuai fungsi-fungsi dasar matematika yang disusun secara garis besar dan pokok dari materi matematika dasar serta berbagai macam penerapan dalam ekonominya. Penyusun meyakini bahwa dalam pembuatan Modul Praktikum Matematika Ekonomi 1 ini masih jauh dari sempurna dan banyak memiliki kekurangan. Oleh karena itu, penyusun mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna penyempurnaan modul praktikum ini agar menjadi lebih baik lagi. Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.

Depok, September 2015

(Tim Litbang MATEK 1)

Matematika Ekonomi 1

ii

Litbang PTA 15/16


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL........................................................................................... i KATA PENGANTAR ........................................................................................ ii DAFTAR ISI ....................................................................................................... iii

DERET HITUNG 1. Konsep Dasar Deret ................................................................................ 1 2. Penerapan Deret Hitung Dalam Ekonomi ............................................... 2 2.1 Contoh Kasus 1 dan Pengerjaam dengan software EC-Math ........... 2 2.2 Contoh Kasus 2 dan Pengerjaam dengan software EC-Math ........... 5 2.3 Contoh Kasus 3 dan Pengerjaam dengan software EC-Math ........... 7 2.4 Contoh Kasus 4 dan Pengerjaam dengan software EC-Math ........... 9 2.5 Contoh Kasus 5 dan Pengerjaam dengan software EC-Math ........... 11

DERET UKUR 1. Konsep Dasar Deret Ukur ....................................................................... 14 1.1 Definisi Deret Ukur ........................................................................... 14 1.2 Rumus Deret Ukur ............................................................................ 14 1.3 Contoh Soal ....................................................................................... 16 2. Penerapan Ekonomi Deret Ukur ............................................................. 21 2.1 Model Bunga Majemuk..................................................................... 21 2.1.1 Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math .......... 22 2.2 Model Bunga Sinambung.................................................................. 27 2.2.1 Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math ......... 27 2.3 Model Present Value ......................................................................... 29 Matematika Ekonomi 1

iii

Litbang PTA 15/16


2.3.1

Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math ....... 30

2.4 Model Pertumbuhan Penduduk ......................................................... 34 2.4.1

Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math ....... 35

FUNGSI LINIER 1 1. Pengertian Fungsi Linier ......................................................................... 40 2. Cara Pembentukan Fungsi Linier ............................................................ 41 2.1 Cara koordinat lereng ........................................................................ 41 2.2 Cara dwi koordinat ............................................................................ 41 2.3 Cara penggal lereng........................................................................... 42 2.4 Cara dwi penggal............................................................................... 43 3. Hubungan 2 Buah Garis Lurus ................................................................ 43 3.1 Berhimpit .......................................................................................... 43 3.2 Sejajar Berpotongan ........................................................................ 44 3.3 Garis lurus ......................................................................................... 44 4. Penggambaran Fungsi Linier .................................................................. 44 5. Penerapan Ekonomi ................................................................................ 45 5.1 Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran, dan Keseimbangan Pasar ... 46 5.2 Pengaruh Pajak Spesifik terhadap Keseimbangan Pasar .................. 49 5.3 Pengaruh Pajak Proporsional terhadap Keseimbangan Pasar ........... 52 5.4 Pengaruh Pajak Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar.................... 55

FUNGSI LINIER 2 1. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

......................................... 59

1.1 Fungsi Konsumsi

.......................................................................... 59

1.2 Fungsi Tabungan

....................................................................... 61

2. Pendapatan Disposible (Yd) 3. Fungsi Pajak Matematika Ekonomi 1

............................................................ 63

..................................................................................... 65 iv

Litbang PTA 15/16


4. Fungsi Investasi ....................................................................................... 67 5. Fungsi Import .......................................................................................... 69 6. Fungsi Pendapatan Nasional ................................................................... 71

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 74


v

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

MATERI 1 DERET HITUNG 1. Konsep Dasar Deret Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Suku adalah bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk suatu deret. Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya deret di golongkan atas deret berhingga dan deret tak berhingga.

Deret

berhingga

adalah

deret

yang

jumlah

sukunya

tertentu/terbatas. Sedangkan Deret tak hingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak tertentu/tidak terbatas. Sedangkan dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku – sukunya deret bisa dibedakan menjadi Deret Hitung, Deret Ukur dan Deret Dinamis. Deret Hitung dalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Deret Ukur adalah deret yang suku-sukunya dibedakan dengan perbandingan suku perurutan

yang memiliki nilai

tetap

yang sering dinamakan dengan

pembanding/rasio (r). Pada modul ini akan dijelaskan lebih lanjut tentang Deret Hitung. Dua hal yang penting untuk diketahui / dihitung dalam setiap persoalan deret, yaitu besarnya nilai pada suatu suku tertentu dan jumlah nilai deret sampai suku yang tertentu.

Rumusnya: Suku ke-n :

Un = a+ (n-1)b Sn = n/2 (a+Un)

Jumlah bilangan sampai suku ke-n :

atau Sn = n/2 (2a+(n-1) b)


1

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

Dimana : a = suku pertama b = beda (selisih antara suku tertentu dengan suku sebelumnya) n = banyaknya suku

2. Penerapan Deret Hitung Dalam Ekonomi Menurut

Malthus,

pada

masa

akan

datang

(mungkin

yang

dimaksudkannya adalah masa sekarang ini) diramalkan bangsa-bangsa akan mengalami kesulitan pangan dan sandang (perekonomian) karena semakin cepatnya pertambahan penduduk sementara pertambahan sandang dan pangan lebih lambat. Dengan kata lain pertambahan penduduk mengkuti Deret Ukur (Deret Geometrik). Sementara Pertambahan sandang dan pangan mengikuti Deret Hitung (Deret Aritmatik). Prinsip Deret Hitung banyak diterapkan dalam menganalisa perilaku perkembangan kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal. Sedangkan prinsip Deret Ukur menganalisa perilaku pertumbuhan. Oleh karena itu prinsip-prinsip Deret Hitung dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabelvariabel kegiatan usaha tersebut sehingga variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. 2.1 Contoh Kasus 1 Pada bulan pertama produksi PT. Tia menghasilkan komputer 11 unit dan terjadi peningkatan setiap bulan sebesar 5 unit. Pada bulan keberapakah perusahaan dapat memproduksi komputer sebanyak 611 unit? dan berapakah jumlah produksi sampai bulan ke-n tersebut? Diketahui : a = 11 Matematika Ekonomi 1

2

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

b=5 Un = 611 Ditanya : n saat Un 611 unit dan Sn? Jawab: Un

= a + (n-1)b

Un

= 611

a + (n - 1) b

= 611

11 + (n -1) 5 = 611 11 + 5n – 5

= 611

5n

= 611 – 11 + 5

5n

= 605

n

= 121

Sn

= n/2 (a + Un)

S121 = 121/2 (11 + 611) = 60,5 (622) = 37631

Analisis: Jadi Jumlah produksi komputer PT. Tia sebesar 611 unit di produksi pada bulan ke-121. Dan jumlah produksi komputer sampai bulan ke-121 adalah 37631 unit.

Dengan menggunakan software ecmath adalah sebagai berikut:

a. Pada tampilan awal software ec-math, pilih materi deret hitung lalu pilih mencari Un, Sn, a, b, n seperti di tunjukkan oleh gambar di bawah ini :


3

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

b. Kemudian, setelah pilih mencari Un, Sn, a, b, n dan isikan datanya seperti contoh soal diatas, setelah itu klik hasil seperti di tunjukkan oleh gambar di bawah ini:


4

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

2.2 Contoh Kasus 2 Pabrik Sepatu Kulit “Aldiva Fashion” pada awal tahun memproduksi Sepatu sebanyak 651 pasang. Pada tahun ke-6 pabrik tersebbut dapat memproduksi sebanyak 1115 unit. Berapakah beda produksi setiap tahunnya dan jumlah produksi sampai tahun ke-6? Diketahui : U6 = 1115 a

= 651

n

=6

Ditanya : b dan S6 ? Jawab :


5

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

Un = a + (n-1)b U6 = a + (6 – 1) b 1115 = 651 + 5b 5b = 1115 – 651 5b = 464 5b = 92.8 b

≈ 93 ( dibulatkan )

Sn = n/2 (a + Un) S6 = 6/2 (651 + 1115) S6 = 3 (651 + 1115) S6= 3 (1766) S6= 5298 Analisis: Jadi Beda produksi Sepatu Kulit setiap tahunnya adalah 93 unit dan jumlah produksi Sepatu Kulit sampai tahun keenam adalah 5298 pasang.

Dengan menggunakan software ecmath adalah sebagai berikut : a. Masih pada tampilan software materi deret hitung, isikan datanya seperti contoh soal diatas, setelah itu klik hasil seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah ini:


6

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

Cat: untuk meghapus data yang sudah ada, klik reset

2.3 Contoh Kasus 3 Perusahaan “Aldo Agung Subur” pada bulan ke-5 mampu memproduksi pupuk organik cair sebanyak 156 botol dan pada bulan ke-6 memproduksi 166 botol. Apabila peningkatan produksi pupuk cair tersebut berpola Deret Hitung, berapakah besar produksi pada bulan pertama dan peningkatan produksi setiap bulan? Diketahui : U5 = 156 U6 = 166 Ditanya :


7

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

b dan a ? Jawab : Mencari b U5 = a + 4b = 156 U6 = a + 5b = 166 b = 10 Mencari a U5

= a + 4b

156

= a + 4 (10)

156– 40

=a

116

=a

Analisis: Jadi, besar produksi pupuk organik cair pada bulan pertama sebesar 116 botol dan peningkatan produksi setiap bulannya adalah sebesar 10 botol



8

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

2.4 Contoh Kasus 4 PT. BEBBY ROSE WHITE berhasil meningkatkan produksinya setiap bulan sebanyak 111 botol Air Sari Mawar. Apabila diketahui produksi pada bulan ke-6 sebanyak 1156 botol air sari mawar. Berapa jumlah produksi botol air sari mawar pada awal bulan dan berapakah jumlah produksi sampai bulan ke-6? Diketahui : b

= 111

n

=6

U6 = 1156 Matematika Ekonomi 1

9

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

Ditanya : a dan S6 ? Jawab : Un

= a + (n – 1)b

U6

= 1156

a + (6 – 1) b a + 5b

= 1156

= 1156

a + 5 (111) = 1156 a + 555

= 1156

a

= 1156 – 555

a

= 601

Sn = n/2 (a + Un) S6 = 6/2 (601 + 1156) S6 = 3 (1757) S6 = 5271 Analisis: Jadi jumlah produksi Air Sari Mawar pada bulan pertama adalah sebanyak 601 botol dan jumlah produksi Air Sari Mawar sampai bulan ke-6 adalah 5271 botol.


10

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung


2.5 Contoh Kasus 5 Toko“ TIA FLORIST “ dalam tahun pertama menerima penghasilan dari jasa merangkai bunga sebesar Rp 1.650.000, dengan adanya penambahan tenaga kerja dan peningkatan mutu pelayanan jasa maka penghasilannya mengalami peningkatan sebesar Rp 1.500.000 setiap tahunnya. Maka berapa besar penghasilan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun


11

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

ke-5 dan berapakah penghasilan Toko tersebut sampai dengan tahun ke-5 ? Diketahui : a

= 1.650.000

b

= 1.500.000

n

=5

Ditanya : U5 dan S5 ? Jawab : Un

= a + (n – 1)b

U5

= 1.650.000 + (5 – 1) 1.500.000

U5

= 1.650.000 + 6.000.000

U5

= 7.650.000

Sn = n/2 (a + Un) S5 = 5/2 (1.650.000 + 7.650.000) S5 = 2,5 (9.300.000) S5 = 23.250.000 Analisis:


12

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Hitung

Jadi besarnya penghasilan yang diterima Toko “TIA FLORIST” pada tahun kelima adalah sebesar Rp 7.650.000 dan penghasilan Toko Tia Florist sampai dengan tahun kelima adalah sebesar Rp 23.250.000. Dengan menggunakan software ecmath adalah sebagai berikut : a. Masih pada tampilan software materi deret hitung, isikan datanya seperti contoh soal diatas, setelah itu klik hasil seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah ini:


13

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

MATERI 2 DERET UKUR 1. Konsep Dasar Deret Ukur 1.1 Definisi Deret Ukur 

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah – kaidah tertentu.



Suku adalah bilangan – bilangan yang merupakan unsure dan pembentuk suatu deret.

Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku – sukunya deret bisa dibedakan menjadi Deret Hitung, Deret Ukur, dan Deret Dinamis. Pada bagian ini hanya akan dibahas tentang deret ukur. Adapun definisinya sebagai berikut: Deret Ukur ialah deret yang suku – sukunya dibedakan dengan perbandingan suku per-urutan yang memiliki nilai tetap yang sering dinamakan dengan pembanding/rasio {r}.

1.2 Rumus Deret Ukur 

Mencari Suku ke-n 𝑈𝑛 = 𝑎. 𝑟 (𝑛−1)

Keterangan: Un

= Suku ke-n

a

= Suku pertama

r

= Rasio

n

= Banyaknya suku


14

Litbang PTA 15/16




Materi Deret Ukur

Mencari Jumlah Sampai Suku ke-n o Deret Ukur Berhingga

𝑆𝑛 =

𝑎(𝑟 𝑛 − 1) 𝑟−1

𝑆𝑛 =

Jika r > 1

𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) 1−𝑟

Jika r < 1

Keterangan : Sn = Jumlah sampai suku ke-n a

= Suku pertama

r

= Rasio

n

= Banyaknya suku

o Deret Ukur Tak Berhingga

𝑆𝑛 =

𝑎 1−𝑟

Keterangan : Sn = Jumlah Sampai Suku ke-n a

= Suku Pertama

r

= Rasio


15

Litbang PTA 15/16


n

Materi Deret Ukur

= Tak Hingga (~)

1.3 Contoh Soal Pada sebuah deret ukur diketahui bahwa suku pertamanya adalah 1 dan rasionya 6. Berapakah suku ke-1 deret tersebut? Dik : a=1 r=6 n=5 Dit : U5 ? Jawab : Un = a.r (n-1) U5 = 1.6(5-1) U5 = 1296 Analisis : Jadi, suku ke-5 deret tersebut adalah 1296. Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Matematika


16

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

3. Masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.


17

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

1.4 Diketahui suatu deret geometri sebagai berikut: 1, 6, 36,……………………, . Berapakah jumlah suku ke-5 dari deret tersebut? Dik: a

=5

r

= Un/ Un-1 = 6/1 = 6

n

=5

Dit : S5? Jawab : Sn = a (r n – 1) / r – 1 S5 = 1(65 -1) /6-1 S5 = 1(7776 -1) /5 = 1555 Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunaka EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Matematika.


18

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur


4. Analisis : Jadi, jumlah sampai suku ke-6 deret tersebut adalah 1555

1.5 Diketahui suatu deret geometri sebagai berikut: 115, 155, 414, 151. Berapakah jumlah suku sampai ke suku ke-16 dari deret tersebut? Dik : a

= 115

r

= Un / Un – 1 = 155 / 115 = 1,35

n

=6

Dit : Sn ? Jawab:


19

Litbang PTA 15/16


Sn = a ( r

n

Materi Deret Ukur

- 1) / r-1

S16 = 115 (1,356 – 1 ) / 1,35 -1 S16 = 115 (5,053445) / 0,35 S16 = 1660,418 Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunaka EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Matematika.



20

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

4. Analisis : Jadi, jumlah sampai suku ke-6 deret tersebut adalah 1660,418

2. Penerapan Ekonomi Deret Ukur 2.1 Model Bunga Majemuk Model bunga majemuk merupakan Deret Ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung nilai modal di masa yang akan datang ditambah dengan akumulasi penambahan bunga, misalnya besarnya pengembalian kredit di masa yang akan datang berdasarkan tigkat bunganya, mengukur nilai sekarang dari jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa yang akan datang, dan sebagainya.  Jika pembayaran bunga dilakukan pertahun 𝐹𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛

 Jika pembayaran bunga dilakukan per hari, per triwulan, per caturwulan, dan per semester Matematika Ekonomi 1

21

Litbang PTA 15/16


Keterangan :

Materi Deret Ukur

𝑖 𝐹𝑛 = 𝑃(1 + ( ))𝑚.𝑛 𝑚

Fn

= Jumlah Investasi Di Masa yang Akan Datang

P

= Jumlah Investasi Sekarang/Awalnya

i

= Tingkat Bunga per tahun

n

= Jumlah Tahun

m

= Frekuensi Pembayaran Bunga dalam setahun

2.1.1 Contoh Soal : Sitta meminjam uang di Bank Cipta sebanyak Rp 5.656.565 untuk jangka waktu 5 tahun, dengan tingkat suku bunga 5 % per tahun. Berapakah jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan Sitta pada saat pelunasan ? Dik : P = 5.656.565 n =5 i = 5 % = 0,05 Dit : F5 = ? Jawab : 𝐹𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 J F5 = 5.656.565 (1 + 0,05)5 F5 = 5.656.565 (1,05)5


22

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

F5 = 7.219.370

Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunaka EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi.

3. Pilih Model Bunga Majemuk lalu masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.


23

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

4. Analisis : Jadi, jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan Sitta pada saat pelunasan adalah Rp 7.219.370

2.1.2 Ipung membeli sebuah mobil sport dengan merek Ferara, secara kredit selama 5 tahun seharga Rp 66.666.555 dengan bunga sebesar 5 % per tahun. Ipung melakukan pembayaran bunga per caturwulan. Berapakah jumlah yang dibayarkan Ipung? Dik : P = 66.666.555 i = 5 % = 0,05 n=5 m = 12/4 = 3 Dit : F5 = ? Jawab : Fn = P (1 + (i/m)) m.nJ


24

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

F5 = 66.666.555 (1 + (0,05/3))3.5 F5 = 85.425.355 Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunaka EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi.

3. Pilih Model Bunga Majemuk lalu masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.


25

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

4. Analisis : Jadi, jumlah seluruh uang yang harus dibayar Ipung adalah Rp 85.425.355

2.2 Model Bunga Sinambung Jika frekuensi pembayaran bunga per tahun (m) sangat besar, bunga yang siperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun, maka model deret ukur yang digunakan adalah metode deret ukur tak terhingga atau sinambung.

𝐹𝑛 = 𝑃. 𝑒. 𝑛 Keterangan : Fn = Jumlah Investasi Di Masa yang Akan Datang P = Jumlah Investasi Sekarang/Awalnya e

= Eksponensial (2,71828)

n

= Jumlah Tahun


26

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

2.2.1 Contoh Soal : Amin mempunyai tabungan deposito darurat dari Bank pemerintah pada masa perang dengan Belanda dengan frekuensi pembayaran bunga setiap 5 menit sekali selama 5 tahun. Nilai tabungan Amin di Bank tersebut yaitu Rp 155.666 pada saat pertama kali setoran. Berapakah jumlah uang Amin 15 tahun kemudian? Dik : P = 155.666 n = 15 Dit : F5

?

Jawab: 𝐹𝑛 = 𝑃. 𝑒. 𝑛 F5 = 155.666 x 2,71828 x 15 F5 = 6.347.156,6172 dibulatkan 6.347.157 Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunaka EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi.


27

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

3. Pilih Model Bunga Sinambung lalu masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.


28

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

4. Analisis : Jadi, jumlah uang Amin 15 tahun kemudian adalah Rp 6.347.157

2.3 Model Present Value Present Value (nilai sekarang) merupakan kebalikan dari compound value (nilai majemuk) adalah besarnya jumlah uang, permulaan periode atas dasar tingkat tertentu dari sejumlah uang yang baru akan kita terima beberapa waktu/periode yang akan datang.  Jika pembayaran bunga dilakukan per tahun 𝑃 = 𝐹𝑛/(1 + 𝑖)𝑛

 Jika pembayaran bunga dilakukan per hari, per triwulan, per kuartal, dan per semester


29

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

𝑖 𝑃 = 𝐹𝑛/(1 + ( ))𝑚.𝑛 𝑚 Keterangan : Fn

= Jumlah Investasi Di Masa yang Akan Datang

P

= Jumlah Investasi Sekarang/Awalnya

i

= Tingkat Bunga per tahun

n

= Jumlah Tahun

m

= Frekuensi Pembayaran Bunga dalam setahun

2.3.1 Contoh Soal Tata menginginkan agar uangnya menjadi Rp 55.616.161 pada 6 tahun yang akan datang, berapakah jumlah uang yang harus ditabung Tata saat ini seandainya diberikan bunga sebesar 6 % per tahun ? Dik : F6 = 55.616.161 i = 6% = 0.06 n =6 Dit : P ? Jawab: 𝑃 = 𝐹𝑛/(1 + 𝑖)𝑛 J P = 55.616.161 / (1 + 0,06)6 P = 55.616.161 / (1,06)6 P = 39.207.199


30

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur


3. Pilih Model Present Value lalu masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.


31

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

4. Analisis : Jadi, jumlah uang yang harus ditabung Tata saat ini adalah Rp 39.207.199 2.3.2 Affan membeli sebuah motor dengan Hondi, secara kredit selama 5 tahun dengan bunga sebesar 6 % per tahun. Affan melakukan pembayaran bunga per triwulan. Jika jumlah uang yang dibayarkan oleh Affan adalah Rp 16.111.555 berapakah mula-mula harga motor tersebut ? Dik : F5

= 16.111.555

i = 6 % = 0.06 n=5 m

= 12/3 = 4

Dit : P=? Jawab : 𝑃 = 𝐹𝑛/(1 + 𝑖/𝑚))𝑚.𝑛 J Matematika Ekonomi 1

32

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

P = 16.111.555 / (1 + (0,06 / 4)4.5 P = 11.962.353 Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunaka EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi.

3. Pilih Model Present Value lalu masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.


33

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

4. Analisis : Jadi, mula-mula harga motor tersebut adalah Rp 11.962.353 2.4 Model Pertumbuhan Penduduk Metode ini dinyatakan oleh Malthus, beliau menyatakan bahwa pertumbuhan penduduk dunia dipengaruhi oleh deret ukur atau perubahan berdasarkan rasio tertentu.

𝑃𝑡 = 𝑃1. 𝑅 (𝑡−1)

Keterangan : Pt = Jumlah Penduduk pada Tahun ke-t P1 = Jumlah Penduduk pada Tahun Basis R =1+r r

= Persentase Pertumbuhan per tahun


34

Litbang PTA 15/16


t

Materi Deret Ukur

= Indeks Waktu (tahun)

2.4.1 Contoh Soal Jika diketahui jumlah penduduk di Kota Malang pada tahun 2013 berjumlah 6.666.665 jiwa, dengan tingkat pertumbuhan 6 % per tahun. Berapakah jumlah penduduk di kota Malang tersebut pada tahun 2015 ? Dik : P1 = 6.666.665 r = 6 % = 0,06 t= 3 Dit : P3

?

Jawab : R=1+r R = 1 + 0,06 R = 1,06 j

𝑃𝑡 = 𝑃1. 𝑅 (𝑡−1) P3 = 6.666.665 x 1,06 (3-1) P3 = 7.490.664,794 dibulatkan 7.490.665 Langkah – langkah pengerjaan dengan menggunaka EC-Math: 1. Buka software EC-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi.


35

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

3. Pilih Model Pertumbuhan Penduduk lalu masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.


36

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

4. Analisis : Jadi, jumlah penduduk di kota Malang pada tahun 2015 adalah 7.490.665

2.4.2 Jumlah pendududk di Kota Forres pada tahun 2011 adalah 155.556.616 jiwa dan jumlah penduduk tersebut mengalami kenaikkan pada tahun 2015 menjadi 166.665.515 jiwa. Berapakah tingkat pertumbuhan penduduk di kota tersebut dari tahun 2011 sampai 2015 ? Dik : P1

= 155.556.616

P4

= 166.665.515

t =5 Dit : r ?


37

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

Jawab : 𝑃𝑡 = 𝑃1. 𝑅 (𝑡−1) 166.665.515

= 155.556.616 x R (5-1)

166.665.515

R4

= 155.556.616

R

= 4√1,0714

R

= 1,01739

R

=1+r

1,017 = 1 + r R

= 1,017 – 1

r

= 0,017 = 1,7 %



38

Litbang PTA 15/16


Materi Deret Ukur

3. Pilih Model Pertumbuhan Penduduk lalu masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil.

4. Analisis : Jadi, tingkat pertumbuhan di kota tersebut dari tahun 2011 sampai 2015 adalah 1,7 %


39

Litbang PTA 15/16


Materi Fungsi Linier 1

MATERI 3 FUNGSI LINIER 1 1. PENGERTIAN Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Di antara berbagai macam hubungan fungsional yang ada, fungsi linier merupakan bentuk yang paling sederhana dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi. Fungsi linier atau fungsi berderajat satu adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah satu. Notasi :

y = mx + c

Dimana: y

= Variabel terikat (Dependen Variable)

m

= Koefisien atau lereng fungsi (Gradient)

x

= Variabel bebas (Independen Variable)

c

= Konstanta bebas

Gradient (m) dapat dicari menggunakan rumus:

m=

y2 – y1 x2 – x1

atau

∆y ∆x

Contoh soal: Berapakah gradient yang melalui titik (6, 5) dan titik (5, 15) Dik:

Dit:

x1 = 6

y2 = 15

x2 = 5

y3 = 5

m?


40

Litbang PTA 15/16


Jwb:

m=

15−5 5−6


= -10

Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya, fungsi linear dibedakan menjadi: a. Fungsi Eksplisit : Variabel bebas terletak pada ruas yang berbeda dengan variabel terikat. Contoh: y = -5x + 6 b. Fungsi Implisit : Variabel bebas terletak pada ruas yang sama dengan variabel terikat. Contoh : y + 5x – 6 = 0

2. Cara Pembentukan Fungsi Linier Cara membentuk fungsi linier berbeda-beda, tergantung data yang diketahui. Ada 4 macam cara untuk membentuk fungsi linear, antara lain: 2.1 Cara Koordinat Lereng Cara ini digunakan apabila telah diketahui satu titik (x1, y1) dan telah diketahui gradien atau kemiringan lereng tersebut. Sehingga cara membentuk fungsinya yaitu: (y – y1) = m (x –x1) Contoh soal : Tentukan fungsi linear yang melalui titik (5,6) dengan kemiringan m = 1! Jawab

: (y – y1) = m (x – x1) y – 6 = 1 (x – 5) y–6=x–5 y=x+1

2.2 Cara Dwi Koordinat Cara ini digunakan apabila diketahui dua buah titik, yaitu titik A dengan koordinat (x1,y1) dan titik B dengan koordinat (x2,y2). Maka dapat ditemukan persamaan liniernya dengan rumus: Matematika Ekonomi 1

41

Litbang PTA 15/16



y – y1 x – x1 = y2 – y1 x2 – x1 Contoh: Tentukanlah persamaan fungsi yang melalui titik (6, 1) dan (5, 5)! Jawab : x1 = 6

y1 = 1

x2 = 5

y2 = 5 𝑦–1 5–1

𝑥–6

= 5–6

𝑦–1 4

=

𝑥–6 −1

-1 (y – 1) = 4 (x – 6) -y + 1 = 4x – 24 -y

= 4x – 24 – 1

-y

= 4x – 25

y

= -4x + 25

2.3 Cara Penggal Lereng Cara ini dapat digunakan pada saat diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan diketahui pula lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. Rumus persamaan linearnya: y = mx + c Dimana:

c = penggal (konstansta) m = lereng (gradien)

Contoh: Tentukanlah persamaan linier jika nilai penggal dan garis lereng y = f(x) masing-masing 6 dan 5 ! Jawab: y = 5x + 6


42

Litbang PTA 15/16



2.4 Cara Dwi Penggal Cara ini digunakan apabila diketahui penggal garis tersebut pada masingmasing sumbu, yakni penggal pada sumbu vertikal (x = 0) dan penggal pada sumbu horizontal (y = 0). Apabila a dan c masing-masing adalah penggal pada sumbusumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus , maka persamaan garisnya adalah: 𝒂

𝒚 = 𝒂 − (𝒄) 𝒙 Dimana: a = penggal pada sumbu vertikal b = penggal pada sumbu horizontal

Contoh:

Tentukan persamaan linear apabila sebuah garis lurus pada sumbu

vertikal dan horizontalnya masing-masing 3 dan -6 ! Jawab :

𝑎

𝑦 = 𝑎 – (𝑐 ) 𝑥 3

𝑦 = 3 – −6 𝑥 y = 3 + 0,5 x

3. HUBUNGAN DUA BUAH GARIS LURUS Dua buah garis lurus mempunyai 4 macam kemungkinan hubungan:

3.1 Berhimpit Jika persamaan sebuah garis merupakan kelipatan dari persamaan garis lain maka y = m1x + c akan berhimpit dengan garis y = m2 x + c2 (syarat: y1 = n. y2; c1 = n. c2; dan m1 = n. m2)


43

Litbang PTA 15/16



3.2 Sejajar Jika gradien sebuah garis sama dengan gradien garis yang lain, maka garis y = m 1x + c akan sejajar dengan y = m2 x + c2 (syarat: m1 = m2; c1 ≠ c2)

3.3 Berpotongan Jika gradien sebuah garis tidak sama dengan gradien garis yang lain, maka garis y = m1x + c akan berpotongan dengan y = m2 x + c2 (syarat: m1 ≠ m2)

3.4 Tegak Lurus Jika gradien sebuah garis merupakan kebalikan dari gradien yang lain dengan tanda berlawanan, maka garis y = m1x + c akan tegak lurus dengan garis y = m2 x + c2 1

(syarat: m1 = - m atau m1. m2= -1) 2

4. PENGGAMBARAN FUNGSI LINIER Grafik sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, kemudian menempatkan pasanganpasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Setiap fungsi linier akan menghasilkan sebuah garis lurus (kurva linier).

Contoh : Gambarkan grafik dari fungsi y = -5x + 6 Jawab : jika x = 0, maka y = 4 → (0,6) jika y = 0, maka x = 2 → (5,0)


44

Litbang PTA 15/16



Y

(0, 6)

y= -5x+ 6 (5,0)

X

Letak grafik dari sebuah fungsi tidak selalu di kuadran pertama, tergantung dari positif atau negatifnya nilai x dan y. Namun, analisis matematika dalam ekonomi lebih memusatkan diri pada kuadran pertama. Selain itu, dalam ilmu ekonomi, biasanya sumbu y menyatakan harga atau price (P). Sedangkan jumlah barang atau quantity (Q).

5. PENERAPAN EKONOMI Fungsi liniear sangat bermanfaat dalam ilmu ekonomi, baik dalam lingkup ekonomi mikro maupun ekonomi makro. Penerapan Fungsi Linier dalam Teori Ekonomi Mikro 1. Fungsi permintaan, fungsi penawaran, dan keseimbangan pasar. 2. Pengaruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar 3. Pengaruh pajak proporsional terhadap keseimbangan ekonomi 4. Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar Penerapan Fungsi Linier dalam Teori Ekonomi Makro 1. Fungsi konsumsi dan fungsi tabungan 2. Pendapatan disposibel 3. Fungsi pajak 4. Fungsi investasi


45

Litbang PTA 15/16



5. Fungsi impor 6. Pendapatan nasional

5.1 Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran, dan Keseimbangan Pasar Fungsi Permintaan Bentuk Umum :

Qd = a - bP

atau

Pd =

𝑎 𝑏

–

1 𝑏

Q

Dalam bentuk persamaan tersebut terlihat bahwa P dan Q berlawanan tanda. Hal ini mencerminkan hukum permintaan, yaitu semakin tinggi harga maka jumlah yang diminta akan semakin berkurang, begitu juga sebaliknya. Oleh karena itu kurva permintaan berlereng negatif.

Fungsi Penawaran Bentuk Umum :

Qs = -a + bP

P=

atau

𝑎 𝑏

1

+ 𝑄 𝑏

Dalam persamaan di atas, terlihat bahwa variabel P dan Q mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Hal ini mencerminkan hukum penawaran, bahwa apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah, begitu juga sebaliknya. Keseimbangan Pasar Suatu barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar sama dengan jumlah barang yang ditawarkan (Qd = Qs). Yakni kurva permintaan dan kurva penawaran berpotongan di satu titik. Pada posisi keseimbangan pasar (E), akan tercipta harga keseimbangan/Equilibrium Price (Pe) dan jumlah keseimbangan/Equilibrium Quantity (Qe).


46

Litbang PTA 15/16



Contoh soal : PT. Indocrude adalah perusahaan yang menghasilkan minyak mentah dan menghitung persediaannya dalam satuan barrel. Berdasarkan riset, diketahui fungsi permintaan akan minyak mentah ditunjukkan oleh persamaan Pd = -5Q + 55, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan oleh persamaan Ps = 6Q + 11 (dalam jutaan rupiah). Berapakah jumlah keseimbangan dan harga keseimbangan yang tercipta di pasar? Gambarkan grafik serta analisisnya !

Dik : Pd = -5Q + 55 Ps = 6Q + 11 Dit :

Qe, Pe

Jawab :

Pd = Ps -5Q + 55 = 6Q + 11

Pd = -5Q + 55

55 – 11 = 6Q + 5Q

Pe = -5 (4) + 55

44 = 11Q

Pe = -20 + 55

Qe = 4

Pe = 35 Qe, Pe (4, 35)

Tentukan titik pada saat P = 0 dan saat Q = 0 Jika P = 0

Jika Q = 0

Pd = -5Q + 55

Q = 7 → (11 , 0)

P = 55 → (0, 55)

Ps = 6Q + 11

Q = -1,83→(-1,83 ; 0)

P = 11 → (0, 11)


47

Litbang PTA 15/16



P 55

35

E (4, 35)

11

-1,83

0

4

11

Q

Analisis : Jadi saat fungsi permintaan Pd = -5Q + 55 dan fungsi penawaran Ps = 6Q + 11, harga keseimbangan yang terjadi di pasar adalah 35 juta rupiah dengan jumlah keseimbangan sebesar 4 barrel. Pada titik keseimbangan tersebut harga yang ditawarkan produsen sama dengan harga yang diinginkan oleh konsumen.

Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec math versi 1.2.1.3 2. Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi “Qd dan Qe”. 3. Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal. 4. Klik check.


48

Litbang PTA 15/16



5. 2 Pengaruh Pajak-Spesifik terhadap Keseimbangan Pasar Pajak spesifik adalah pajak yang dikenakan per tiap unit barang yang diproduksi atau dijual. Setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada konsumen , yaitu dengan cara menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Kurva penawaran akan naik ke atas sehingga keseimbangan pasar akan berubah. Rumus

pajak

spesifik:


Fungsi penawaran sebelum pajak

P = a + bQ

Fungsi penawaran sesudah pajak

P = a + bQ + t

Pajak tanggungan konsumen

tk = Pet - Pe

Pajak tanggungan produsen

tp = t – tk

Pajak yang diterima pemerintah

T = t x Qet

49

Litbang PTA 15/16



Contoh soal : Berdasarkan data BULOG, fungsi permintaan akan gula kristal putih impor di Indonesia adalah Pd = -5Q + 55 , sedangkan fungsi penawarannya yaitu Ps = 6Q + 11. Untuk melindungi produk gula dalam negeri, Kementerian Keuangan menetapkan setiap kilogram gula tersebut akan dikenakan bea masuk sebesar Rp 3/kilogram. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah pajak, pajak yang ditanggung konsumen, pajak yang ditanggung produsen, dan pajak yang diterima pemerintah? Analisislah ! (satuan harga dalam ribuan rupiah) Dik : Pd = -5Q + 55

Dit :

Ps = 6Q + 11

a. (Qe, Pe) dan (Qet, Pet) b. tk, tp, T c. Analisis

Jawab :

Keseimbangan sebelum pajak (4, 35)

t = 3 → Pst = 6Q + 11 + 3 = 6Q + 14 Pd = Pst -5Q + 55 = 6Q + 14

Pst = 6Q + 14

55 – 14 = 6Q + 5Q

Pet = 6 (3,73) + 14

41 = 11Q

Pet = 2,38 + 14

Qet = 3,73

Pet = 36,38

Keseimbangan setelah pajak (3,73 ; 36,38)


50

Litbang PTA 15/16



P

Pergeseran kurva Ps setelah pajak 36,38

(Qet, Pet)

35

(Qe, Pe)

3,73 4 Pajak yang ditanggung konsumen → tk = Pet – Pe tk = 36,38 – 35 = 1,38 Pajak yang ditanggung produsen → tp = t – tk tp = 3 – 1,38 = 1,62 Pajak yang diterima pemerintah → T = t x Qet T = 3 x 3,73 = 11,19

Analisis : Jadi titik keseimbangan sebelum dan sesudah pajak yang tercipta masingmasing sebesar (4, 35) dan (3,73 ; 36,38). Pajak yang ditanggung konsumen dan produsen masing-masing sebesar 1,38 ribu rupiah dan 1,62 ribu rupiah. Pajak yang diterima pemerintah sebesar 11,19 ribu rupiah.

Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec math versi 1.2.1.3 2. Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi “Variabel Pajak Spesifik”. 3. Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal. 4. Klik check.


51

Litbang PTA 15/16



5.3. Pengaruh Pajak Proporsional terhadap Keseimbangan Ekonomi Pajak proporsional adalah suatu pajak yang besarnya ditetapkan berdasarkan persentase (%) tertentu dari harga jualnya. Jika pajak proporsional yang dikenakan sebesar t% dari harga jualnya (P), maka:

Fungsi penawaran sebelum pajak

P = a + bQ

Fungsi penawaran sesudah pajak

P = a + bQ + t.P

Pajak tanggungan konsumen

tk = Pet – Pe

Pajak tanggungan produsen

tp = (t x Pet) – tk

Pajak yang diterima pemerintah

T = (t x Pet) x Qet


52

Litbang PTA 15/16



Contoh soal : CV. Clarity Cloth adalah perusahaan yang memproduksi kain woolfis. Dari hasil survei tahun lalu, fungsi permintaan akan produk disana ditunjukkan oleh persamaan Pd = = -5Q + 55. Sedangkan fungsi penawarannya Ps = 6Q + 11. Tarif pajak yang diberlakukan oleh pemerintah sebesar 5%. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah pajak, pajak yang ditanggung konsumen, pajak yang ditanggung produsen, dan pajak yang diterima pemerintah? Analisislah ! (dalam jutaan rupiah)

Dik : Pd = -5Q + 55 Ps = 6Q + 11 t = 5% = 0,05 Dit :

a. (Qe, Pe) dan (Qet, Pet) b. tk, tp, T c. Analisis

Jawab : Keseimbangan sebelum pajak (4, 35) Ps = 6Q + 11 t = 0,05 →

Pst = 6Q + 11 + 0,05P P – 0,05P = 6Q + 11 0,95P = 6Q + 11 Pst = 6,32Q + 11,58

Pd = Pst -5Q + 55 = 6,32Q + 11,58

Pst = 6,32Q + 11,58

55 – 11,58 = 6,32Q + 5Q

Pet = 6,32 (3,84) + 11,58

43,42 = 11,32Q

Pet = 24,27 + 11,58

Qet = 3,84

Pet = 35,85

Keseimbangan setelah pajak (3,84; 35,85) Matematika Ekonomi 1

53

Litbang PTA 15/16



P

Pergeseran kurva Ps setelah Pajak (Qet, Pet)

35,85 35

(Qe, Pe)

3,84

4

Q

Pajak yang ditanggung konsumen → tk = Pet – Pe tk = 35,85 – 35 = 0,85 Pajak yang ditanggung produsen → tp = (t x Pet) – tk tp = (0,05 x 35,85) – 0,85 = 0,94 Pajak yang diterima pemerintah → T = (t x Pet) x Qet T = (0,05 x 35,85) x 3,84 = 6,88

Analisis : Jadi titik keseimbangan sebelum dan sesudah pajak yang tercipta di pasar masing-masing sebesar (4, 35) dan (3,84; 35,85). Pajak yang ditanggung konsumen dan produsen masing-masing sebesar 0,85 juta rupiah dan 0,94 juta rupiah. Pajak yang diterima pemerintah sebesar 6,88 juta rupiah.

Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec math versi 1.2.1.3 Matematika Ekonomi 1

54

Litbang PTA 15/16



2. Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi untuk “Variable Pajak Proporsional”. 3. Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal. 4. Klik check.

5.4. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar Subsidi adalah pemberian bantuan pemerintah kepada produsen agar meringankan beban pengeluaran (biaya operasional) produsen. Dampak dari subsidi adalah kebalikan dari pengenaan pajak, karena subsidi akan menurunkan harga. Pengenaan subsidi akan membuat kuva penawaran turun ke bawah sehingga keseimbangan pasar akan berubah.


55

Litbang PTA 15/16



Fungsi penawaran sebelum subsidi

P = a + bQ

Fungsi penawaran setelah subsidi

P = a + bQ – s

Subsidi yang dinikmati konsumen

sk = Pe – Pes

Subsidi yang dinikmati produsen

sp = s – sk

Subsidi yang diberikan pemerintah

S = Qes x s

Contoh soal : Penelitian Ilmiah Mahasiswa Gunadarma membuktikan pemanfaatan energi panas bumi dapat terealisasi. Dari hasil penelitian tersebut, Universitas Gunadarma berencana melebarkan sayapnya dibidang transportasi umum menggunakan energi panas bumi yaitu UG Transportation. Berdasarkan kuesioner online, dapat dibentuk fungsi permintaan akan hal tersebut adalah Pd = -5Q + 55. Sedangkan fungsi penawarannya yaitu Ps = 6Q + 11. Proyek tersebut diapresiasi oleh pemerintah dan pemerintah akan memberikan subsidi sebesar Rp 1/kilometer. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi, subsidi yang dinikmati konsumen, subsidi yang dinikmati produsen, dan subsidi yang diberikan pemerintah? Analisislah ! (dalam ribuan rupiah)

Dik : Pd = -5Q + 55 Ps = 6Q + 11 s=1 Dit : a. (Qe, Pe) dan (Qet, Pet) b. sk, sp, S c. Analisis Jawab : Keseimbangan sebelum subsidi (4, 35) Ps = 6Q + 11 s=1→

Pss = 6Q + 11 – 1 Pss = 6Q + 10


56

Litbang PTA 15/16



Pd = Pss -5Q + 55 = 6Q + 10

Pss = 6Q + 10

55 – 10 = 6Q + 5Q

Pes = 6 (4,09) + 10

45 = 11Q

Pes = 24,54 + 10

Qes = 4,09

Pes = 34,54

Keseimbangan setelah subsidi (4,09; 34,54) Pergeseran kurva Ps setelah subsidi

P (Qe, Pe) 35 34,54

(Qes, Pes)

4 4,09

Q

Subsidi yang dinikmati konsumen → sk = Pe – Pes sk = 35 – 34,54 = 0,46 Subsidi yang dinikmati produsen → sp = s – sk sp = 1 – 0,46 = 0,54 Subsidi yang diberikan pemerintah → S = Qes x s S = 4,09 x 1 = 4,09

Analisis : Jadi titik keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi yang tercipta di pasar masing-masing sebesar (4, 35) dan (4,09 ; 34,54). Subsidi yang dinikmati konsumen Matematika Ekonomi 1

57

Litbang PTA 15/16



dan produsen masing-masing sebesar 0,46 ribu rupiah dan 0,54 ribu rupiah. Subsidi yang diberikan pemerintah sebesar 4,09 ribu rupiah.

Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec math versi 1.2.1.3 2. Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi untuk “Variable Subsidi”. 3. Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal. 4. Klik check.


58

Litbang PTA 15/16



MATERI 4 FUNGSI LINEAR 2

1. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan atau pendapatan nasional yang dialokasikan ke dalam dua kategori penggunaan, yaitu digunakan untuk konsumsi dan sisanya untuk ditabung.

Y=C+S Dimana : Y = Pendapatan Nasional C = Konsumsi S = Saving (Tabungan) 1.1 Fungsi Konsumsi Fungsi yang menjelaskan hubungan antara konsumsi dan pendapatan nasional yang secara umum dirumuskan sebagai berikut :

C = f (Y) = Co + cY Dimana : Co = Konsumsi Otonom c = MPC (Marginal Propensity to Consume) = ∆c / ∆Y Keterangan : a. Konstanta Co menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat pendapatan nasional sebesar nol (0).


59

Litbang PTA 15/16



b. Koefisien c (MPC) mencerminkan besarnya tambahan konsumsi sebagai akibat adanya tambahan pendapatan nasional sejumlah tertentu. c. ∆C

menunjukkan

besarnya

perubahan

konsumsi

dan

∆Y

menunjukkan besarnya perubahan dalam pendapatan nasional yang mengakibatkan besarnya konsumsi termaksud.

½ < MPC < 1 Keterangan : a. MPC < 1 menunjukkan bahwa tambahan pendapatan yang diterima seseorang

tidak

seluruhnya

dipergunakan

untuk

konsumsi,

melainkan sebagai saving (tabungan). Contoh : MPC = 0,8 < 1. b. MPC > ½ menunjukkan bahwa penggunaan tambahan pendapatan, sebagian besar digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu yang jumlahnya lebih kecil merupakan tambahan saving (tabungan). Contoh : MPC = 0,8 > 0,5 dan MPS = 0,2 , karena MPC + MPS = 1 atau c + s = 1 Contoh Kasus 1 Diketahui Konsumsi yang dilakukan oleh masyarakat kalimantan pada saat pendapatan sebesar nol (Co) adalah sebesar 61.111 dengan marginal propensity to consume sebesar 0,55. Bentuklah sebuah fungsi konsumsi dan tentukanlah berapa besar konsumsinya, jika pendapatannya sebesar 511.511 analisislah ! Penyelesaian Diketahui

: Co

= 61.111

Mpc = 0,55 Y

= 511.511

Ditanya

: f (C) ?

Jawab

: f (C) = Co + cY f (C) = 61.111 + 0,55Y


60

Litbang PTA 15/16



C

= 61.111 + 0,55 (511.511)

C

= 61.111 + 281.331,05

C

= 342.442.0,5 atau 342.442

Analisis : Jadi dengan MPC sebesar 0,55 dan konsumsi masyarakat pada pendapatan nol sebesar 61.111 maka fungsi konsumsinya f (C)= 61.111 + 0,55Y dan pada saat pendapatan sebesar 511.511 maka konsumsi masyarakat sebseasar 342.442. 1.2 Fungsi Tabungan Fungsi yang menjelaskan hubungan antara tabungan dengan pendapatan nasional. Saving merupakan bagian dari pendapatan nasional yang tidak dikonsumsi. Maka berdasarkan pengertian tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :

S = g (Y) = So + sY Dimana : So = Saving (tabungan) Otonom s = MPS (Marginal Propensity to Saving) = ∆c / ∆Y Keterangan : a. Hubungan antara Fungsi Tabungan dengan Fungsi Konsumsi adalah sebagai berikut : Y=C+S S=Y–C S = Y – (Co + cY) S = Y – Co – cY S = - Co + (1 – c)Y Keterangan : a. Konstanta So menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).


61

Litbang PTA 15/16



b. Koefisien s (MPS) mencerminkan besarnya tambahan tabungan sebagai akibat adanya tambahan Pendapatan Nasional yang mengakibatkan besarnya tabungan. Contoh Kasus 2 Diketahui konsumsi yang dilakukan oleh masyarakat pada saat pendapatan sebesar nol (Co) adalah sebesar 6.555 dengan Marginal Propensity to Saving sebesar 0,55. Bentuklah sebuah fungsi tabungan berdasarkan datadata dan tentukanlah berapa besar tabungannya jika pendapatan sebesar 651.555. Analisis! Penyelesaian Diketahui

: Co

= 6.555

Mpc = 0,55 Y

= 651.555

Ditanya

: f (C) ?

Jawab

: f (C) = Co + Cy f (C) = 6.555 + 0,55Y

Analisis

C

= 6.555 + 0,55 (651.555)

C

= 6.555 + 358.355,25

C

= 364.910,25

: Jadi dengan MPC sebesar 0,55 dan konsumsi masyarakat

pada pendapatan nol sebesar 6.555 maka fungsi konsumsinya f(C) = 6.555 + 0,55Y dan pada saat pendapatan sebesar 651.555 maka konsumsi masyarakat tersebut sebesar 364.910,25 .


62

Litbang PTA 15/16



2. Pendapatan Disposible Penjumlahan total dari pendapatan semua sektor di dalam suatu negara yang meliputi sektor rumah tangga, sektor badan usaha dan sektor pemerintah. Pendapatan Disposibel adalah Pendapatan Nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat. Namun didalamnya tidak termasuk pendapatan pemerintah seperti pajak, cukai dan sebagainya. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :

Yd = Y – Tx + Tr

Keterangan : a. Tx adalah pajak (merupakan variabel yang memperkecil Pendapatan Disposibel). b. Tr adalah variabel yang memperbesar Pendapatan Disposible, sebab Tr merupakan pembayaran alihan (transfer payment) yang merupakan pembayaran-pembayaran khusus dari pemerintah kepada masyarakat yang sifatnya sebagai pembayaran ekstra atau tunjangan. Misalnya berupa tunjangan pensiun, tunjangan hari raya dan bonus.


63

Litbang PTA 15/16



Contoh Kasus 3 Diketahui pendapatan nasional suatu Negara sebesar 6.555, pemerintah memberikan tunjangan hari raya 516 dan pemerintah menetapkan pajak 16%, hitunglah pendapatan disposibelnya! Penyelesaian Diketahui

:Y

= 6.555

Tx

= 16%

Tr

= 516

Ditanya

: Yd ?

Jawab

: Yd

= Y – Tx + Tr = 6555 – (16% x 6555) + 516 = 6555 – 1048,8 + 516 = 6022,2

Analisis

: Dengan pendapatan nasional sebesar 6.555 dan dikenakan

pajak 16% serta adanya THR sebesar 516 maka besarnya pendapatan disposibel adalah 6022,2 Langkah-langkah pengerjaan dengan software : 1) Buka software Ec math, kemudian pilih materi Fungsi Linier 2 2) Kemudian pilih Pendapatan Nasional lalu input angka yang tertera pada soal, pilih rumus apa yang akan dihitung (di kanan bawah tampilan software), kemudian klik Hitung.


64

Litbang PTA 15/16



Keterangan : a. Sesungguhnya bukan Pendapatan Nasional (Y) yang merupakan variabel bebas dalam persamaan Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan namun Pendapatan Disposible (Yd).

C = f (Y) = Co + cY

S = g (Y) = So + sY

Y=C+S

b. Dengan demikian, persamaan Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan yang sebenarnya adalah :

C = f (Yd) = Co + cYd

S = g (Yd) = So + sYd

Yd = C + S

3. Fungsi Pajak Pajak yang dikenakan pemerintah pada warga negaranya ada 2 macam. Pertama ialah pajak yang jumlahnya tertentu dan tidak dikaitkan dengan pendapatan (T = To). Kedua adalah pajak yang penetapannya dikaitkan dengan tingkat pendapatan yang besarnya merupakan prosentase nilai


65

Litbang PTA 15/16



tertentu dari pendapatan (T = tY). Secara keseluruhan besarnya pajak yang diterima oleh pemerintah yaitu :

T = To + tY Dimana : To = Pajak Otonom t

= Proporsi pajak terhadap pendapatan T T = To + tY T2 = tY T1 = To

To Y Contoh Kasus 4 Raffi Ahmad adalah seorang aktor, ia menerima gaji atau bayarannya sebesar Rp 55.666.555 per bulan dan mendapatkan pajak sebesar 16% tiap bulan. Setiap bulan pemerintah memungut pembayaran pajak dari masyarakat sebesar Rp 1.565.555. maka berapa besarnya pajak yang diterima pemerintah? Analisis! Penyelesaian Diketahui

:Y

= 55.666.555

t

= 16%

To

= 1.565.555

Ditanya

:T?

Jawab

: T = To + Ty = 1.565.555 + 16%(Rp 55.666.555) = Rp 1.565.555 + Rp 8.906.648,8 = Rp 10.472.203,8


66

Litbang PTA 15/16


Analisis


: Jadi, dengan gaji sebesar Rp 55.666.555 dan pajak yang

dikenakan kepada Raffi sebesar 16%, ditambah pajak ruting Rp 1.565.555, maka pajak yang diterima pemerintah sebesar Rp 10.472.203,8 Langkah-langkah pengerjaan dengan software : 1) Buka software Ec math, kemudian pilih materi Fungsi Linier 2 2) Pilih Pendapatan Nasional lalu input angka yang tertera pada soal, pilih rumus apa yang akan dihitung (di kanan bawah tampilan software), kemudian klik Hitung.

4. Fungsi Investasi Permintaan akan investasi merupakan fungsi dari tingkat bunga. Permintaan ini berbanding terbalik dengan tingkat bunga. Artinya meningkatkan tingkat bunga akan mengakibatkan berkurangnya investasi. Jika investasi dilambangkan dengan (I) dan tingkat bunga dilambangkan dengan (i), maka fungsi permintaan akan investasi dapat dituliskan sebagai berikut :


67

Litbang PTA 15/16



I = f (i) = Io - pi Dimana : Io = Investasi Otonom i = Tingkat Bunga P = Proprosi I terhadap lo Contoh Kasus 5 Pada tahun 2002, permintaan akan investasi di Jepang ditunjukkan oleh persamaan I = 6.515.111 – 1.655i, berapa besarnya investasi saat tingkat bunga bank yang berlaku 55%? Analisislah ! Penyelesaian Diketahui

: I = 6.515.111 – 1.655i

Ditanya

: I ketika i= 55% ?

Jawab

: I = 6.515.111 – 1655i = 6.515.111 – 1655(55%) = 6.515.111 – 910,25 = 6.514.200,75

Analisis

: Jadi, dengan persamaan investasi I = 6.515.111 – 1.655i

dan tingkat bunga sebesar 55%, maka besarnya investasi di Jepang adalah sebesar 6.514.200,75.

Langkah-langkah pengerjaan dengan software : 1) Buka software Ec math, kemudian pilih materi Fungsi Linier 2 2) Pilih Pendapatan Nasional lalu input angka yang tertera pada soal, pilih rumus apa yang akan dihitung (di kanan bawah tampilan software), kemudian klik Hitung.


68

Litbang PTA 15/16



5. Fungsi Import Import (M) suatu negara merupakan Fungsi Pendapatan Nasional dan cenderung berkorelasi positif. Semakin besar Pendapatan Nasional suatu negara, maka semakin besar pula nilai importnya. Hubungan import dengan Pendapatan Nasional dapat dirumuskan :

M = Mo + mY Dimana : Mo = Import Otonom m = MPI (Marginal Propensif to Import) = ∆M / ∆Y


69

Litbang PTA 15/16



Contoh Kasus 6 Import otonom di New York tahun 2015 sebesar 15.116. perubahan importnya sebesar 0,5. Tentukan besarnya import di New York jika penadapatan nasional pada tahun 2015 sebesar Rp.65.116 ? Analisislah ! Penyelesaian Diketahui

:Y

= 65.116

Mo

= 15.116

m

= 0,5

Ditanya

:M?

Jawab

:M

= Mo + My = 15.116 + 0,5Y = 15.116 + 0,5 (65.116) = 15.116 + 32.558 = 47.674

Analisis

: Jadi besarnya import Negara New York pada tahun 2015

dengan import otonomnya 15.116 adalah sebesar 47.674. Langkah-langkah pengerjaan dengan software : 1) Buka software Ec math, kemudian pilih materi Fungsi Linier 2 2) Pilih Pendapatan Nasional lalu input angka yang tertera pada soal, pilih rumus apa yang akan dihitung (di kanan bawah tampilan software), kemudian klik Hitung.


70

Litbang PTA 15/16



6. Fungsi Pendapatan Nasional Pendapatan Nasional adalah jumlah nilai seluruh keluaran (barang dan jasa) yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Perhitungan pendapatan nasional dapat dilakukan dengan 3 macam pendekatan, yaitu pendekatan produksi, pendekatan pendapatan dan pendekatan pengeluaran. Ditinjau dari segi pendekatan pengeluaran, pendapatan nasional adalah jumlah pengeluaran rumah tangga, sektor badan usaha, sektor pemerintah dan sektor luar negeri. a. Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat (C). b. Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi (I). c. Pengeluaran sektor pemerintah dicerminkan oleh (G). d. Pengeluaran perdagangan dengan luar negeri dicerminkan dari selisih antara ekspor dan impor negara yang bersangkutan (X – M). Dengan demikian, persamaan matematis Pendapatan Nasional menurut pendekatan pengeluaran (model perekonomian terbuka) adalah :

Y = C + I + G + (X – M) Matematika Ekonomi 1

71

Litbang PTA 15/16



Contoh Kasus 7 Diketahui suatu fungsi konsumsi masyarakat negara X adalah C = 655 + 0,5Y, investasi sebesar 165, pengeluaran pemerintah sebesar 111, sedangkan perdagangan luar negri untuk ekspor sebesar 611 dan impor sebesar 511. hitunglah pendapatan nasional negara X tersebut! Analisis! Diketahui

: C = 655+0,5Y I = 165 G = 111 X = 611 M = 511

Ditanya

:Y?

Jawab

:Y Y

= C + I + G + (X - M) = 655 + 0,5Y + 165 + 111 + (611 – 511)

Y-0,5Y = 931 + 100 0,5Y = 1.031 Y Analisis

= 2.062

: Jadi, dengan konsumsi C=655+0,5Y, investasi sebesar

165, pengeluaran pemerintah 111, ekspor 611, dan impor sebesar 511. maka pendapatan nasional yang diperoleh sebesar 2.062 Langkah-langkah pengerjaan dengan software : 1) Buka software Ec math, kemudian pilih materi Fungsi Linier 2 2) Pilih Pendapatan Nasional lalu input angka yang tertera pada soal, pilih rumus apa yang akan dihitung (di kanan bawah tampilan software), kemudian klik Hitung.


72

Litbang PTA 15/16




73

Litbang PTA 15/16


DAFTAR PUSTAKA

Dumairy (1995). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, edisi kedua. Penerbit : BPFE Yogyakarta

Modul Matematika Ekonomi 1, Lab Manajemen Dasar Periode ATA 2013/2014

Sugiarto., Said Kelana., Tedy Herlambang., Rachmat Sudjana,. Brastoro (2000). Ekonomi Mikro – Pendekatan Praktis. Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama Sukirno, Sadorno (2003). Makroekonomi – Teori Pengantar. Jakarta : PT. Raja Grafindo Persada Jakarta

Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 2002


74

Litbang PTA 15/16

MODUL MATEMATIKA EKONOMI 1 LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR

Recommend Documents