MODUL 1 GEJALA TRANSIEN Pendahuluan 1. Deskripsi Singkat Bab ini akan membahas tentang kondisi awal kapasitor dan induktor sebagai elemen pasif penyimpan energi. 2. Manfaat Memahami gejala transien pada elemen pasif kapasitor dan induktor. 3. Relevansi Topik Bab Rangkaian Gejala Transien ini merupakan bagian awal sebelum membahas analisis rangkaian orde satu RL dan RC. 4. Kompetensi Khusus Memahami kondisi awal kapasitor dan induktor sebagai elemen pasif penyimpan energi. 5. Topik yang Dibahas Elemen penyimpan energi, pengertian gejala transien, serta periode transien dan rangkaian steady state.
Penyajian 1.1 Elemen penyimpan energi Elemen penyimpan energi merupakan elemen yang menyimpan muatan listrik dalam elemen-elemennya. a. Kapasitor (C) Kapasitor merupakan elemen yang memerlukan arus sebanding dengan turunan waktu tegangan diantara kutub – kutubnya. Secara fisis, terdapat dua lempeng sejajar, yang satu bermuatan positif dan yang lain bermuatan negatif seperti gambar 1.1.
Gambar 1.1 Model kapasitor dengan dua lempeng sejajar
1.1
C=
dimaana :
εA d
………………… ……………… …………. (1)
d = jarak antar lempeengan ε = konsttanta dielektrrik A = luas lempengan j bahan sebagai berikut : Konsstanta dielekktrik (ε) untuuk beberapa jenis Tabeel 1.1 Konstannta dielektrik beeberapa jenis bbahan
Nilaii konstanta diatas meruupakan perm mitivitas relaatif, εr, yangg diperoleh dari ε r =
ε εo
diimana εo adaalah permitiv vitas ruang hampa h (=8,85 x 10-1).
Satuaan dari kapaasitor/kapasiitansi disebuut :
mb Coulom = Farad , atau dapat Volt
dituliskan sebagaai berikut : q = C • V . Bentuk B dari kapasitor seendiri dapat berm macam-macam.
Gambaar 1.2 Model fissik kapasitor
V, maka adda arus i yaang mengaliir sehingga Padaa saat diberii tegangan V muattan q berpindah, jika muuatan positiff (q+) diangggap searah dengan arah arus positif makaa :
i=
ddq ………… ……………… ………………………… ….……… (2)) dt d
Kalaau muatan tersebut t dinnyatakan seb bagai arah arus positiff dari arah pergeerakan sumbber positif :
i=C
dV 1 → dV = dt ………………… ……………… ………… (3)) dt C
1.2
1
1
∫ dV = ∫ C i dt → V = C ∫ i dt
……………………………….(4)
dan simbol untuk kapasitor adalah :
Gambar 1.3 Simbol untuk kapasitor
dengan C =
q . V
i. Energi yang tersimpan dalam kapasitor Untuk menghitung energi yang tersimpan dalam kapasitor dapat menggunakan persamaan berikut : t
Wc = ∫ V i dt dimana i = C −∞
t
= ∫V • C −∞
dV dt
dV dt dt
t
= ∫ V • C dV −∞
t
1 = C ∫ V dV = CV 2 2 −∞
V (t ) V ( −∞ )
………………………………. (5)
pada saat t = t, V(t) = Vo karena kapasitor sudah diisi, sedangkan pada saat t = -∞, V(-∞) = 0 karena kapasitor belum diisi. ii. Kapasitor hubungan seri-paralel
Hubungan seri Dapat dilihat pada gambar berikut ini :
Gambar 1.4 Hubungan seri kapasitor
menurut aturan Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) : V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn …………… (6)
1.3
V1 =
1 1 1 i1 dt , V2 = i2 dt , …, Vn = in dt ………. (7) ∫ ∫ C1 C2 Cn ∫
karena i1 = i2 = ... = in , maka t ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ ∫ i dt …………………………… (8) V = ⎜⎜ + + ... + C n ⎠t o ⎝ C1 C 2
Apabila
V=
i
adalah
variabel
peubah
terhadap
dV , dt
maka
1 i dt + Vo , dimana Vo = harga awal dari kapasitor. C∫
t ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ ∫ i dt + Vo ………….…..….. (9) Jadi, V = ⎜⎜ + + ... + C n ⎠t o ⎝ C1 C2
bila hanya diwakili satu kapasitor maka
Gambar 1.5 Rangkaian ekivalen dari hubungan seri kapasitor
V=
1 i dt + Vo ………………………………………… (10) Cs ∫
dimana
1 1 1 1 ………………..………. (11) = + + ... + C s C1 C 2 Cn
Hubungan paralel Dapat dilihat pada gambar 1.6 berikut ini :
Gambar 1.6 Hubungan paralel kapasitor
menurut aturan Kirchhoff’s Current Law (KCL) : I = I1 + I 2 + I 3 + ... + I n ………………………..………. (12)
I1 = C1
dV dV1 dV , I 2 = C 2 2 , …, I n = Cn n ……….…. (13) dt dt dt 1.4
karena V1 = V2 = ... = Vn , maka
I = C1
dV dV dV + C2 + ... + Cn dt dt dt
= (C1 + C2 + ... + Cn )
dV …………………………..… (14) dt
bila hanya diwakili satu kapasitor maka
Gambar 1.7 Rangkaian ekivalen dari hubungan paralel kapasitor
I = Cp
dV ………………………………………..….. (15) dt
dimana C p = C1 + C 2 + ... + C n …………………...….. (16) b. Induktor (L) Induktor merupakan elemen yang membutuhkan tegangan sebanding dengan turunan waktu atau kecepatan perubahan arus yang mengalir didalamnya. Bentuk fisis dari induktor berupa lilitan kawat seperti gambar 1.8 :
Gambar 1.8 Model untuk induktor
dalam bentuk persamaan dapat dituliskan : V = L
di , dengan satuan Henry dt
(H), dimana arus i yang melewati L berubah terhadap waktu t. Persamaan dari L sebagai berikut : L = dimana :
µo N 2 A l + 0,45d
…………………..…. (17)
N = jumlah lilitan, A = luas penampang ℓ = panjang lilitan
1.5
d = diameter kawat µo = 4πx10-7 Menurut hukum Faraday : “perubahan fluks menyebabkan perubahan tegangan induksi pada setiap lilitan yang sebanding dengan turunan fluks”. Hal ini dapat dilihat pada gambar 1.9 :
Gambar 1.9 Model induktor menurut hukum Faraday
dimana V = N
dφ . dt
Fluks Φ(t) berhubungan dengan arus i dalam kumparan yang mengandung N lilitan. Jadi, N(Φ) mendekati L.i, berikut persamaannya :
Nφ ≈ L • i , sehingga V = L
di dt
1 1 di = Vdt → ∫ di = ∫ Vdt L L i=
1 Vdt + I o dengan Io = harga awal dari induktor. L∫
i. Hubungan seri induktor Hubungan seri induktor dapat dilihat pada gambar berikut :
Gambar 1.10 Hubungan seri untuk induktor
menurut KVL : V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn
= L1
di di1 di + L2 2 + ... + Ln n dt dt dt
dimana I = I1 = I 2 = ...I n sehingga :
V = (L1 + L2 + ... + Ln )
di dt
……………………….…..……. (18)
1.6
atau dapat diwakili dengan rangkaian ekivalen seperti gambar berikut :
Gambar 1.11 Rangkaian ekivalen untuk hubungan seri induktor
dimana V = Ls
di ……………………………………..…. (19) dt
dengan Ls = L1 + L2 + ... + Ln ………………………...…. (20) ii. Hubungan paralel induktor Hubungan paralel induktor dapat dilihat pada gambar 1.12 :
Gambar 1.12 Hubungan paralel untuk induktor
menurut KCL : I = I1 + I 2 + I 3 + ... + I n V1 = V2 = ... = Vn I1 =
1 V1dt + I o L1 ∫
. . . In =
1 Vn dt + I o , sehingga Ln ∫
t ⎛1 1 1 ⎞ I = ⎜⎜ + + ... + ⎟⎟ ∫ V dt + I o …………………….…… (21) Ln ⎠to ⎝ L1 L2
atau dapat diwakili dengan rangkaian ekivalen sebagai berikut :
Gambar 1.13 Rangkaian ekivalen untuk hubungan paralel induktor
1.7
dimana I = dengan
1 Vdt + I o ………………………………..….. (22) Lp ∫
1 1 1 1 …………………………….. (23) = + + ... + L p L1 L2 Ln
c. Hubungan antara tegangan V dan arus I pada elemen R, L dan C 1. Resistor (R) Simbol rangkaian dari resistor seperti gambar 1.14 :
Gambar 1.14 Simbol rangkaian resistor
dimana V = i • R dan i =
V R
2. Induktor (L) Simbol rangkaian dari induktor seperti gambar berikut :
Gambar 1.15 Simbol rangkaian induktor
dimana V = L
t di 1 dan i = ∫ V dt + Vo dt L to
3. Kapasitor (C) Simbol rangkaian dari induktor seperti gambar berikut :
Gambar 1.16 Simbol rangkaian kapasitor t
dimana V =
dV 1 i dt + I o dan i = C . ∫ dt C to
Contoh soal 1.1 : Tentukan arus i untuk kapasitor 1mF apabila tegangan yang melewatinya menghasilkan gelombang seperti gambar 1.17 :
1.8
Gambar 1.17 Bentuk gelombang tegangan dari kapasitor untuk contoh soal 1.1
Penyelesaian : pada :
t≤0,
V=0
0 < t ≤ 1,
V = 10t
1 < t ≤ 2,
V = (20-10t)
t > 2,
V=0
diketahui C = 1 mF = 10-3 F dan menurut persamaan i = C pada :
t ≤ 0 maka
i=0A
0 < t ≤ 1 maka
i = 10-2 A
1 < t ≤ 2 maka
i = -10-2 A
t > 2 maka
i=0
dV dt
sehingga hasilnya ditunjukkan gambar 1.18 :
Gambar 1.18 Hasil bentuk gelombang arus dari kapasitor
1.2 Pengertian gejala transien Gejala transien/rangkaian transien mempelajari tentang suatu rangkaian yang dikenakan ke suatu sumber tegangan (secara tiba-tiba). Akan ditinjau pengaruh yang terjadi pada saat awal suatu rangkaian diberi rangsangan dan hubungan pengaruh tersebut dengan tanggapan terpaksa (forced response) dan tanggapan alamiah (natural response).
1.9
Kapan saja sebuah rangkaian diubah dari satu keadaan (kondisi) ke keadaan lainnya, entah karena perubahan sumber terpasang atau perubahan dalam elemen-elemen rangkaian, terdapat suatu periode peralihan (transisi/transien) selama mana arus-arus cabang dan tegangan-tegangan elemen berubah dari nilai semula menjadi nilai yang baru. Periode ini disebut ‘peralihan’ (transien). Setelah peralihan berlaku, keadaan rangkaian disebut ‘menjadi tunak’ atau ‘keadaan mantap’ (steady state). Sekarang, persamaan diferensial linear yang menjelaskan rangkaian akan mempunyai dua bagian penyelesaian. Pemecahan persamaan diferensial menggambarkan respons rangkaian, dan ini dikenal dengan berbagai nama seperti berikut : -
Respons tanpa sumber dikenal sebagai respons alami, respons transien, respons bebas, atau fungsi komplementer.
-
Respons rangkaian yang dikenakan suatu sumber bebas, sebagian respons menggambarkan sifat sumber khusus yang dipakai, bagian respons ini dinamai respons paksaan atau solusi khusus.
-
Komplemen antara respons rangkaian tanpa sumber dan respons rangkaian dengan sumber disebut respons lengkap.
-
Jadi, respons lengkap = respons alami + respons paksaan
-
Sebagai catatan, fungsi komplementer berhubungan dengan peralihan, dan solusi khusus berhubungan dengan keadaan tunak.
1.3 Periode transien dan Rangkaian Steady State a) Keadaan C dan L pada saat mula-mula dan saat setelah lama sekali (t=0+ dan t=∞) Induktor (L) dan kapasitor (C) adalah elemen-elemen pasif yang mampu menyimpan dan memberikan energi yang terbatas jumlahnya.
Induktor Jenis elemen rangkaian ini memerlukan tegangan antara kutubkutubnya yang adalah sebanding dengan kecepatan perubahan arus yang melaluinya terhadap waktu. Secara kuantitatif dapat dituliskan,
V =L
di volt ………………………………………..…… (24) dt
1.10
Konstanta pembanding L adalah induktansi. Induktansi melawan perubahan arus. Dari persamaan (25) memperlihatkan bahwa tidak ada tegangan melintasi sebuah induktor yang menyangkut arus konstan, tak peduli berapa besar arus tersebut. Karena itu, kita dapat memandang sebuah induktor sebagai sebuah ‘hubungan pendek bagi dc’. Kalau digambarkan apa yang sudah dibahas di atas tentang induktor : - pada saat t=0, saklar S ditutup. Sifat dari L selalu menentang akibat yang menimbulkannya.
Gambar 1.19 Rangkaian induktor untuk t = 0
- pada saat t=0+, L dinyatakan sebagai open circuit (hubungan terbuka).
Gambar 1.20 Rangkaian induktor untuk t = 0+
- setelah cukup lama (t=∞), L dinyatakan sebagai short circuit (hubungan singkat).
Gambar 1.21 Rangkaian induktor untuk t = ∞
Kapasitor Jenis elemen rangkaian ini memerlukan arus yang melaluinya sebanding dengan turunan waktu tegangan antara kutub-kutubnya. Secara kuantitatif dapat dituliskan,
1.11
i=C
dV Ampere ………………………………………… (25) dt
Konstanta pembanding C adalah kapasitansi (menyatakan sifat penyimpanan muatan dalam elemen itu). Kapasitansi menentang perubahan tegangan. Sebuah tegangan konstan yang melalui kapasitor memerlukan arus nol melalui kapasitor tersebut. Jadi, kapasitor adalah ‘rangkaian terbuka bagi dc’. Kalau digambarkan hal-hal tentang kapasitor di atas : - pada saat t=0, saklar S ditutup. Tegangan E mulai mengisi kapasitor.
Gambar 1.22 Rangkaian kapasitor untuk t = 0
- pada saat t=0+, C dinyatakan sebagai short circuit.
Gambar 1.23 Rangkaian kapasitor untuk t = 0+
- Setelah cukup lama (t=∞), C dinyatakan sebagai short circuit.
Gambar 1.24 Rangkaian kapasitor untuk t = ∞
Contoh soal 1.2 : Induktansi dibangkitkan oleh suatu sumber arus sempurna seperti berikut.
Gambar 1.25 Rangkaian induktor dengan sumber arus sempurna
1.12
Bentuk gelombang arus sebagai fungsi waktu seperti berikut :
Gambar 1.26 Bentuk gelombang arus dari induktor untuk contoh soal 1.2
Gambarkan bentuk gelombang tegangan V sebagai fungsi waktu ! Penyelesaian : - Bentuk gelombang tegangan : V = L
di volt. dt
Gambar 1.27 Hasil bentuk gelombang tegangan dari induktor
b) Kondisi awal pada L dan C
Induktor - Saklar S mula-mula di titik 1, pada saat t=0 maka saklar dipindahkan ke titik 2.
Gambar 1.28 Rangkaian induktor untuk kondisi awal
- Pada saat saklar di titik 1, keadaan L seperti berikut. Io merupakan kondisi awal dari L.
Gambar 1.29 Rangkaian induktor saat saklar di titik 1
1.13
- Pada saat t=0+ (saklar sudah berada di titik 2), Io merupakan kondisi awal dari L dan L dinyatakan open circuit.
Gambar 1.30 Rangkaian induktor saat t = 0+
- Pada saat t=∞, kondisi awal Io makin berkurang sehingga akhirnya Io=0 dan L digambarkan short circuit.
Gambar 1.31 Rangkaian induktor saat t = ∞
Kapasitor - Saklar S mula-mula di titik 1, pada saat t=0 maka saklar dipindahkan ke titik 2.
Gambar 1.32 Rangkaian kapasitor untuk kondisi awal
- Pada saat saklar di titik 1, keadaan C seperti berikut. Eo merupakan kondisi wal dari C.
Gambar 1.33 Rangkaian kapasitor saat saklar di titik 1
- Pada saat t=0+ (saklar sudah berada di titik 2), Eo merupakan kondisi awal dari C dan C dinyatakan short circuit.
1.14
Gambar 1.34Rangkaian kapasitor saat t = 0+
- Pada saat t=∞, kondisi awal Eo makin berkurang sehingga akhirnya Eo=0 dan C digambarkan open circuit.
Gambar 1.35 Rangkaian kapasitor saat t = ∞
Contoh soal 1.3 :
Gambar 1.36 Rangkaian untuk contoh soal 1.3
Pada saat t=0, saklar S ditutup. Pada saat t=0+, kapasitor 4F menjadi short circuit dan induktor 3H menjadi open circuit. Pada saat t=∞, kapasitor 4F menjadi open circuit dan induktor 3H menjadi short circuit. Tentukan : arus i pada masing-masing loop pada saat t=0 dan t=∞ ! Penyelesaian : - Pada saat t=0+, rangkaian menjadi seperti berikut :
Gambar 1.37 Rangkaian untuk contoh soal 3 saat t = 0+
i4 = 0A, Voc = 10v
1.15
Rp =
2× 2 = 1Ω 2+2
Rs = Rp + 1Ω = 2Ω i1 =
2 2 2 Voc × i1 = 2,5A × i1 = × 5 = 2,5A, i3 = = 5A, i2 = 2+2 2+2 2+2 Rs
- Pada saat t=∞, rangkaian menjadi seperti berikut :
Gambar 1.38 Rangkaian untuk contoh soal 3 saat t = ∞
atau dapat disederhanakan seperti berikut :
Gambar 1.39 Rangkaian yang disederhanakan untuk contoh soal 3 saat t = ∞
untuk mencari I1 dan I2, gunakan persamaan berikut : 3I1 – 2I2 = 10 -2I1 + 2I2 = 0 dengan menggunakan metode determinan kita peroleh I1 dan I2 : 10 − 2 0 2 20 I1 = = = 10 A 3 −2 2 −2 2
dan
3 10 −2 0 20 I2 = = = 10 A 3 −2 2 −2 2
i3 = I1 – I2 = 10 – 10 = 0A; i1 = I1 = 10A; i2 = 0A; i4 = i1 = 10A. Latihan
1. Turunkan rumus untuk rangkaian ekivalen dari rangkaian seri kapasitor berikut ini !
1.16
2 Turunkaan rumus unntuk rangkaian ekivalenn dari rangkkaian paraleel induktor 2. berikut ini !
3 Jelaskan 3. n kondisi indduktor dalam m suatu rangk kaian dengann tegangan untuk u t = 0+ dan t = ∞ !
4 Jelaskan 4. n kondisi kappasitor dalam m suatu ranggkaian denggan tegangann untuk t = 0+ dan t = ∞ !
R Rangkuman n D Dua elemen n pasif pen nyimpan eneergi adalah kapasitor ddan induktoor. Apabila k keduanya diiberi eksitassi berupa suumber tegang gan atau sum mber arus, maka m akan t terjadi dua periode p yaituu periode trannsien dan steeady state ( aatau keadaann mantap ).
P Penutup T formattif Test 1. Dalam
rangkaian
( ) ( )
berikut
( )
ini
nilai
V , t<0 ⎧12V v(t ) = ⎨ . ⎩6 cos t , t ≥ 0
Tentukan
( )
vC 0 + , iC 0 + , (dvC dt ) 0 + , daan (diC dt ) 0 + .
2 Terdapatt bentuk gellombang aruus dari suatu induktor sepperti berikutt : 2.
1.17
Gambarkan bentuk gelombang daya sesaat P sebagai fungsi waktu ! 3. Terdapat rangkaian seperti berikut :
Tentukan tegangan eL pada saat t = 0 dan t = ∞ !
Umpan Balik
Cocokan jawaban anda dengan Kunci Jawaban. Hitunglah jawaban anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Modul 1. Rumus : Tingkat Penguasaan =
Jumlah jawaban anda yang benar × 100% 3
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai: 90 – 100 %
= baik sekali
80 – 89 %
= baik
70 – 79 %
= cukup
< 70 %
= kurang
Tindak Lanjut
Bila anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan ke materi selanjutnya. Tetapi bila tingkat penguasaan anda masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi modul 1, terutama bagian yang belum anda kuasai.
Kunci jawaban
( )
( ) ( )
( )
3 vC 0 + = 9V , iC 0 + = − A, (dvC dt ) 0 + = −3 V dtk , 4 1. Jawabannya : + dan (diC dt ) 0 = 1 A dtk 1.18
2. Bentuk gelombang daya sesaat P sebagai fungsi waktu :
3. Tegangan eL pada saat t = 0 adalah 5 volt dan saat t = ∞ adalah 0 volt.
1.19
