Metode Simpleks MUHLIS TAHIR
PENDAHULUAN Metode Simpleks adalah metode penentuan solusi optimal
menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (sama dengan solusi grafik) satu persatu dengan cara perhitungan iteratif sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1). Ada beberapa istilah yang sangat sering kita gunakan dalam metode simpleks, diantaranya iterasi, variabel non-basis, variabel basis, solusi atau nilai kanan, variabel slack, variabel surplus, variabel buatan, kolom pivot, baris pivot, elemen pivot, variabel masuk dan variabel keluar.
BENTUK BAKU Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam
bentuk umum, diubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum ditambahkan satu artificial variable (variabel buatan).
CONTOH KASUS Minimumkan
z = 2x1 + 5,5 x2 Kendala x1 + x2 = 90 0,001x1 + 0,002x2 ≤ 0.9 0,09x1 + 0,6x2 ≥ 27 0,02x1 + 0,06x2 ≤ 45 x1, x2 ≥ 0 Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman linear. Bentuk tersebut dapat diubah ke dalam bentuk baku/standar dengan menambahkan variabel buatan, variabel slack dan variabel surplus sebagai berikut :
Minimumkan Terhadap :
z = 2x1 + 5,5x2 x1 + x2 + s1 = 90 0,001x1 + 0,002x2 + s2 = 0,9 0,09x1 + 0,6x2 – s3 = 27 0,02x1 + 0,06x2 + s4 = 4,5 x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0
Fungsi kendala pertama mendapatkan variabel buatan (s1) karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat (s2 dan s4) mendapatkan variabel slack karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapat surplus variabel (s3) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.
CONTOH KASUS 2 Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
Terhadap :
10x1 + 5x2 ≤ 600 6x1 + 20x2 ≤ 600 8x1 + 15x2 ≤ 600 x1, x2 ≥ 0 Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendalanya menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya.
Bentuk bakunya adalah sebagai berikut :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 Terhadap :
10x1 + 5x2 + s1 = 600 6x1 + 20x2 + s2 = 600 8x1 + 15x2 + s3 = 600 x1, x2, s1. s2, s3 ≥ 0 dimana s1, s2, dan s3 merupakan variabel slack.
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS Gunakan kasus di atas maka tabel awal
simpleksnya adalah
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel
simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien negatif terbesar. Jika tujuan minimasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terkecil. Tidak digunakan kata-kata nilai terkecil dan terbesar karena dalam metode ini tidak memilih nilai terkecil dan terbesar.
Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan
mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif terbesar (untuk tujuan maksimasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Rasio pembagian tidak mungkin bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom pivot. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, maka pilih salah satu secara sembarang.
Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak
pada perpotongan kolom dan baris pivot. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama kali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no.2, jika sudah optimal baca solusi optimalnya.
Penyelesaian pada kasus 2 ;
X2 adalah variabel masuk dan s2 adalah variabel keluar. Elemen pivot adalah 20
Iterasi 1
Perhitungan dilanjutkan ke iterasi 2. Variabel masuk adalah x1 dan variabel keluar
adalah s3
Tabel sudah optimal sehingga perhitungan
iterasi dihentikan.
TABEL OPTIMAL Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi
pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari tabel optimal “ 1. Solusi optimal variabel keputusan. 2. Satus sumber daya 3. Harga bayangan (dual /shadow prices).
Solusi optimal : x1 = 42,857 ; x2 = 17,1329 dan z = 94,2857,
artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $94,2857 maka sebaiknya perusahaan memproduksi produk 1 sebesar 42,857 unit dan produk 2 sebesar 17,1329 unit
Status sumber daya : sumber daya pertama dilihat dari
keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, fungsi kendala pertama periksa keberadaan s1 pada variabel basis tabel optimal; periksa keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala kedua’ periksa keberadaan s3 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga. S1 = 85,7155. Sumber daya iini disebut berlebih (abundant). S2 = s3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).
Harga bayangan : harga bayangan dilihat dari koefisien
variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan. Koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0, dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah = 0. Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 9/70, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 9/70. Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 1/35 dengan demikian harga bayangan sumber daya ketiga adalah 1/5.
Latihan Maksimumkan
Z = 400x1 + 300x2 Terhadap 4x1 + 6x2 ≤ 1200 4x1 + 6x2 ≤ 600 x1 ≤ 250 x2 ≤ 300 Gunakan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah ini.
Tugas Maksimumkan z = 3x1 + 2x2
Terhadap
-x1 + 2x2 ≤ 4 3x1 + 2x2 ≤ 14 x1 – x2 ≤ 3 dimana x1 , x2 ≥ 0
