Mechanika pro bakaláře Vektorová analýza Skalár je veličina zadaná jednoznačně jediným číselným údajem (teplota, hustota, náboj). V matematice, kde abstrahujeme od měřících jednotek a od názvů veličin, představuje skalár reálné číslo. Jedná se o nejjednodušší fyzikální veličinu, která je i v n-rozměrném prostoru dána jediným údajem – velikostí (odvozeno od scala – stupnice). Vektor je veličina, pro jejíž popsání nepostačuje jen jedno číslo, ale je nutno vzít n čísel, kde n je dimenze příslušného prostoru. Vektor si lze představit jako orientovanou úsečku nebo uspořádanou n-tici bodů (vektorem nemůže být libovolná n-tice, ale musí splňovat určité transformační vztahy). U vektoru rozlišujeme pojmy velikost, směr a orientace. V textu značíme vektory šipkou nad písmenem, např. ~v . Ve fyzice rozlišujeme několik typů vektorů: • vázaný (pevný) vektor je pevně ukotven na jeden bod prostoru (např. intenzita stacionárního elek~ rychlost ~v bodu rotujícího tělesa), trického pole E, • klouzavý vektor je vázaný na přímku, podél které se může libovolně pohybovat, aniž by se změnil jeho fyzikální „účinekÿ (např. síla F~ působící na dokonale tuhé těleso), • volný vektor je vázaný na množinu rovnoběžných přímek, je možno jej libovolně v prostoru posouvat ~ silové dvojice, která působí na dokonale tuhé těleso) (např. moment D Z hlediska reprezentace lze rozlišovat • aritmetický vektor, což je uspořádaná množina čísel, resp. uspořádaná množina dvojic bodů, která se z hlediska dimenze zobrazuje do libovolného geometrického prostoru (přímka, rovina, trojrozměrný prostor), tj. řádková matice. • Po připojení pojmu velikosti lze vytvořit geometrický vektor pomocí pojmu orientované úsečky. Tenzor je složitá veličina, k jejímuž určení je třeba více určovacích prvků než je dimenze prostoru. Tenzory rozlišujeme podle tzv. řádu. Nejjednodušší je tenzor druhého řádu, který má ve fyzice praktický význam a který má v n-rozměrném prostoru n2 složek. V trojrozměrném euklidovském prostoru má 32 = 9 složek,které lze psát jako matici a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Ve zvláštních případech lze tenzor vystihnout menším počtem parametrů než 32 : • symetrický tenzor má složky, splňující podmínku aij = aji a je jednoznačně určen 6 složkami,
• antisymetrický tenzor splňuje podmínku aij = −aji , ze které plyne a11 = a22 = a33 = 0 (prvky na diagonále jsou nulové), což omezuje počet nezávislých a nutných složek na tři.
V trojrozměrném prostoru dále platí, že tenzor nultého řádu má 30 = 1 složku (tj. skalár), tenzor prvního řádu má 31 = 3 složky (tj. vektor). Obecně tedy platí, že tenzor k-tého řádu má nk složek, kde n je dimenze prostoru.
Vektory Fyzikální zákony zapsané ve vektorovém tvaru jsou nezávislé na volbě souřadného systému a mají jednoduchý a přehledný tvar. Z hlediska matematického jsou vektory prvky prostoru (tzv. afinní vektorový prostor), ve kterém jsou pro vektory ~u, ~v ∈ E definovány operace součtu a násobení reálným číslem následujících vlastností: 1. (~u + ~v ) ∈ E, 1
2. ~u ∈ E, α ∈ R, α.~u ∈ E,
3. ~u + ~v = ~v + ~u komutativní zákon, 4. (~u + ~v ) + ~z = ~u + (~v + ~z) asociativní zákon, 5. ~u + ~o = ~u existuje nulový prvek, 6. ~u + ~x = ~o existuje opačný prvek, 7. 0.~u = ~o, α.~o = ~o, 8. α(~u + ~v ) = α.~u + α.~v , 9. (α + β)~u = α.~u + β.~u disociativní zákon, 10. (αβ).~u = α(β.~u) = β(α.~u), 11. 1.~u = ~u. Ekvipoletní dvojice bodů – mají společný střed. Geometrický vektor je množina všech dvojic bodů geometrického prostoru, které jsou ekvipolentní s danou dvojicí. Lineární kombinace vektorů je součet a1 ~u1 + a2 ~u2 + · · · + an ~un , kde ak jsou reálné koeficienty. Říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé, je-li lineární kombinace vektorů rovna nulovému vektoru tehdy a jen tehdy, když a1 = a2 = . . . = an = 0. Je-li E afinním prostorem, na kterém je nadefinován skalární součin vektorů ~u.~v , pak takový prostor nazýváme euklidovský prostor. Skalární součin je zobrazení, které dvěma vektorům přiřadí reálné číslo, a platí pro něj následující vztahy: 1. ~u.~v = ~v .~u 2. (α.~u).~v = ~u.(α.~v ) = α(~u.~v ) 3. (~u + ~v ).~z = ~u.~z + ~v .~z 4. ~v .~v ≥ 0, označujeme v 2 √ √ 5. |~u| = u = u2 = ~u.~u
~v φ
6. ~u.~v = 0 pro kolmé vektory (ortogonální)
~u
7. |~u.~v | ≤ |~u| . |~v | Cauchyho-Buňakovského nerovnost
Pro skalární součin platí ~u.~v = |u| . |v| cos φ, kde φ je úhel, který tyto vektory svírají. Geometricky je skalární součin roven plošnému obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je velikost jednoho vektoru a druhou stranou je průmět druhého vektoru do směru vektoru prvního. Pro skalární součin tří vektorů neplatí asociativní zákon, tj. (~u.~v ).w ~ 6= ~u.(~v .w). ~ Vektor, pro který platí |~u| = 1, se nazývá jednotkový vektor. Existují tři jednotkové vektory báze ~i, ~j, ~k. Tyto vektory jsou vzájemně kolmé, tedy ~i.~j = ~i.~k = ~j.~k = 0. Definujeme ještě vektor elementárního posuvu d~s = dx~i + dy~j + dz~k. Vyjádření vektoru pomocí jeho souřadnic Kolmé průměty vektoru ~u do souřadnicových os jsou složky ux , uy , uz , kde ux = x2 − x1 , uy = y2 − y1 , uz = z2 − z1 . Zapisujeme ~u = (ux , uy , uz ). Velikost vektoru se pomocí souřadnic vyjádří jako q p |~u| = u = u2x + u2y + u2z = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . Jednotlivé složky vektoru můžeme určit pomocí skalárního násobení jednotkovými vektory báze, u x = ~u.~i, uy = ~u.~j, uz = ~u.~k. Pro skalární součin vektorů platí ve složkovém vyjádření ~u.~v = ux vx + uy vy + uz vz . Po srovnání s předchozími vztahy můžeme pro úhel mezi vektory psát cos φ =
ux v x + u y v y + u z v z ~u.~v = . |u| . |v| |u| . |v| 2
z
(x2 , y2 , z2 )
~u
(x1 , y1 , z1 ) x
y
Vektor lze také zadat pomocí směrových úhlů a velikostí, cos α = uux , z čehož ux = u cos α a obdobně pro další složky a úhly β, γ. Jednotkové vektory báze mají složky ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). Vektor ~r = (x, y, z) se nazývá polohový vektor. Pro vektory lze také definovat vektorový součin, jehož výsledkem je také vektor, kolmý k oběma vektorům. Vektorový součin se označuje pomocí ×, tj. w ~ = ~u ×~v . Pro jeho velikost platí w = uv sin φ, kde φ je úhel mezi vektory ~u, ~v . Symbolicky lze složky vektorového součinu vyjádřit pomocí determinantu ~i ~k ~j w ~ = ux uy uz = ~i(uy vz − uz vy ) + ~j(uz vx − ux vz ) + ~k(ux vy − uy vx ). vx vy vz
Geometricky je velikost vektorového součinu číselně rovna obsahu rovnoběžníka sestrojeného z obou vektorů. Směr je kolmý k rovině, ve které vektory ~u, ~v leží. Orientace je určena pravidlem pravé ruky. Vektorový součin není komutativní, platí ~u × ~v = −(~v × ~u). Je ale distributivní, ~u × (~v + w) ~ = ~u × ~v + ~u × w. ~ Pro dvojnásobný vektorový součin platí ~u × (~v × w) ~ = ~v .(~u.w) ~ − w.(~ ~ u.~v ). Dalším součinem je smíšený součin tří vektorů, pro který platí ux uy uz (~u × ~v ).w ~ = vx vy vz . wx wy wz
~u × ~v ~v φ
uv sin φ ~u
Geometrický význam je následující: velikost smíšeného součinu je (~u ×~v).w) ~ = |~u × ~v | . |w| ~ cos α, což je plocha základny rovnoběžnostěnu násobená výškou rovnoběžnostěnu, tj. objem rovnoběžnostěnu. Fyzikálně lze chápat výsledek také jako tok vektoru w ~ plochou ~u × ~b.
Příklady 1. Vektor ~a o velikosti a = 5 svírá s vektorem ~b o velikosti b = 3 úhel φ = 60◦ . Určete velikost vektoru ~c = ~a + ~b. [7] 2. Vektor ~a délky 10 cm svírá úhel φ = 30◦ s vektorem ~b délky 6 cm. Určete velikost ~a − ~b. [5,67 cm] 3. Tři navzájem na sebe kolmé vektory o společném počátku mají velikosti 2a, 2a, a. Stanovte velikost vektoru ~b, který je součtem těchto tří vektorů. [b = 3a] 4. Určete velikost vektoru ~a = −2~i − ~j + 2~k a vypočtěte jeho směrové kosiny. 3
5. Pomocí skalárního součinu určete, jaký úhel spolu svírají vektory ~a = ~i − ~j, ~b = ~i − 2~j + 2~k. [φ = 45◦ ] 6. Stanovte skalární a vektorový součin vektorů (a) ~a = (2, −3, 0), ~b = (1, 0, 4) (b) ~a = (3, 1, 5), ~b = (2, 4, −2) [2; −12~i − 8~j + 3~k; 0; −22~i + 16~j + 10~k] 7. Určete objem rovnoběžnostěnu, jehož tři hrany tvoří vektory ~a = (1, 2, 3), ~b = (−2, 0, 1), ~c = (2, 1, 3). [9] 8. Zjistěte, zda vektory ~a = (1, 6, 5), ~b = (3, −2, 4), ~c = (7, −18, 2) leží v jedné rovině. [ano, objem rovnoběžnostěnu je nulový] 9. Určete vektorový součin dvou vektorů, jejichž velikost je 7 a 4 a svírají spolu úhel 30 ◦ . [14] 10. Určete úhel, který spolu svírají vektory ~a = 3~i − 4~j + ~k,~b = 4~i + 3~j. [90◦ ] 11. Pomocí vektorového součinu vypočítejte plošný obsah P trojúhelníka A 1 = [3, −1, 5], A2 = [2, 1, 4], A3 = [−3, 2, 1]. [5,25] 12. Vypočtěte modul výslednice sil F1 , F2 , F3 působících v hranách pravidelného trojbokého hranolu, vycházejících z jeho vrcholu M . Podstavná hrana hranolu má délku 3, výška hranolu je 3,5; F 1 je rovna délce podstavné hrany, F2 je 35 této délky a F3 je dvojnásobek výšky hranolu. √ [7 2] 13. Stanovte vnitřní úhly trojúhelníka, jehož vrcholy jsou A = [2, −4, 9], B = [−1, −4, 5], C = [6, −4, 6]. [90◦ , 45◦ ] 14. Nechť jsou dány libovolné vektory určené vektory ~a, ~b, ~a = (1, −2, 1), ~b = (2, 3, 5) např. p~ = ~a + 2~b, ~q = 3~a − ~b, ~r = −~a + ~b. Ukažte, že ~c = (13, −7, −1) je kolmý na p~, q~, ~r. 15. Dokažte: ~u × (~v × ~z) = ~v .(~u.~z) − ~z.(~u.~v ).
4
Klasická mechanika hmotného bodu Úvod Předmět klasické mechaniky (dále jen mechaniky) je mechanický pohyb, jeho popis v prostoru a v čase a jeho příčiny. Mechanický pohyb je změna vzájemné polohy těles v prostoru a čase. Klasická mechanika: rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve vakuu, c = 3 · 10 8 m/s. Hmotný bod • fiktivní objekt,
• má všechny relevantní znaky tělesa, které reprezentuje,
• jeho geometrické rozměry jsou v daných souvislostech zanedbatelně malé.
Rozdělení mechaniky Kinematika Popis v prostoru a čase bez uvažování příčin pohybu a jeho změn Dynamika Studium příčin pohybu a jeho změn Statika Mechanika bez pohybu
Přehled kinematiky Předmětem kinematiky je matematický popis mechanického pohybu v prostoru a čase. Pohyb je relativní, proto je nutno udat vztažné těleso, se kterým spojíme vztažný systém (vztažnou soustavu). Vztažné systémy • pravoúhlý (kartézský): x, y, z
• polární souřadnice (dvojrozměrné): poloměr r, úhel φ
• válcové souřadnice: poloměr r, úhel φ, souřadnice z
• kulové souřadnice: poloměr r, úhel φ, úhel θ Kartézský souřadný systém
osa
z základnír vektor k
poèátek [0,0,0]
osa
x
základnír vektor j osa
y
základnír vektor i
Polohový vektor ~r Směrové kosiny: jsou definovány vztahy cos α =
x |~ r| ,
cos β =
y |~ r| ,
cos γ =
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. 5
z |~ r|
a splňují podmínku
p Pro velikost polohového vektoru platí |~r| = x2 + y 2 + z 2 , začíná vždy v počátku a končí na trajektorii. Trajektorie je množina koncových bodů polohového vektoru ~r = ~r(t).
trajektorie
r r r = r (t )
r r
r r (t0) r r (t0+Dt) 0,0,0
t Parametrické rovnice trajektorie vyjadřují polohový vektor pomocí časově závislých funkcí jeho složek, tedy ~r = [x(t), y(t), z(t)] 1: Trajektorii je možno vyjádřit i v implicitním tvaru jako F (x, y, z) = 0. 2: Zavádí se jednotkový vektor ~r0 =
~ r |~ r|
= (cos α, cos β, cos γ).
Příklad 1. Je dán polohovýpvektor ~r = (+12, −5, √ 0) cm. Pak platí |~r| = 122 + (−5)2 cm = 169 cm = 13 cm. −5 Pro směrové kosiny dostáváme cos α = 12 13 , cos β = 13 , cos γ = 0. Příklad 2. Vztahy mezi základními vektory Vektor ~i
Složky
Směrové kosiny
(1, 0, 0)
cos α = 1, cos β = 0, cos γ = 0
~j
(0, 1, 0)
cos α = 0, cos β = 1, cos γ = 0
√ Velikost ~ i = 12 + 02 + 02 = 1 √ ~ j = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1 √ ~ k = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1
~k (0, 0, 1) cos α = 0, cos β = 0, cos γ = 1 Základní vektory jsou tedy jednotkové.
Základní kinematické veličiny Pro kinematický popis pohybu bodu postačují následující veličiny: • (okamžitý) polohový vektor ~r
• okamžitá rychlost ~v
• okamžité zrychlení ~a Zavádí se ještě vedlejší kinematické veličiny • vektor elementárního úhlového otočení 6
r k r i
r j
• vektor úhlové rychlosti
• vektor úhlového zrychlení
Polohový vektor
osa
r r r r r = xi + y j + zk
z g
r k
z b
a
r i
osa
r j
y x
osa
y
x
Okamžitá rychlost je definována derivací polohového vektoru podle času, ~v =
trajektorie
Ds
r v
r v
B
B
Ds = délka oblouku
r Dr
A
d~r = ~r˙ . dt
r r r + Dr
r r 0 Mějme na trajektorii dva body A, B. Střední rychlost pohybu mezi nimi je |~vAB | =
∆~r ∆s ≈ . ∆t ∆t
Limitním přibližováním bodu B nekonečně blízko k bodu A se doba nutná k překonání vzdálenosti mezi nimi blíží k nule a střední rychlost přechází v okamžitou rychlost, ~vAB → ~v . 7
Dle definice tedy ~v = lim ~vAB = lim ∆t→0
∆t→0
∆~r d~r = . ∆t dt
V kartézské soustavě lze psát i ve složkách ~v = (vx , vy , vz ) = (x, ˙ y, ˙ z). ˙
r v
trajektorie
r r (t ) 0,0,0 Vektor rychlosti má směr tečny ke trajektorii a jeho orientace odpovídá rostoucím hodnotám času t. Sledujme nyní pouze velikost rychlosti d~r |d~r| ds = = s. ˙ v = |~v | = = dt dt dt
Vidíme, že velikost rychlosti závisí pouze na časové změně dráhy (délky trajektorie). Typické velikosti rychlostí Šíření elmg. vln ve vakuu Orbitální rotace Země kolem Slunce Zvuk ve vzduchu Automobil na dálnici Lidská chůze (průměrná hodnota) Vodivostní elektron v kovu (vdrift )
3 · 108 m/s 29,8 km/s 332 m/s 36,1 m/s 1,2 m/s ≈ 0, 001 m/s
Délka dráhy (úseku trajektorie)
ds
y
dy dx
a
x
Infinitesimální přírůstek polohového vektoru lze psát jako d~r = dx · ~i + dy · ~j + dz · ~k a pro velikost platí |d~r| = ds =
p
(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 . 8
b
Uvažujme nyní dvojrozměrný případ (trajektorie leží v jedné rovině). Pak je element délky ds = a celá délka je dána integrací jako Z bp Z bp Z b 2 2 ds = (dx) + (dy) = (x) ˙ 2 + (y) ˙ 2 dt, s= a
a
dx dt ,
p
(dx)2 + (dy)2
a
dy dt .
protože platí x˙ = y˙ = Poslední odmocnina v předešlých výrazech je velikost rychlosti v, platí Rb tedy s = a vdt. Okamžité zrychlení ~a je určeno časovou změnou vektoru rychlosti, d~v = ~v˙ dt a opět jej lze v kartézských souřadnicích psát ve složkách ~a =
~a = ax~i + ay~j + az~k = (ax , ay , az ) = (v˙x , v˙y , v˙z ).
r r v + dv 0 B
df
r dv
ds
n
r r r v v + dv
r R
r dv
A
r dv t
r v Vektorový element změny rychlosti d~v nemá žádný obecný vztah k polohovému vekotoru ~r, ale existují určité závislosti. Jestliže se mění: • pouze rychlost, pak má d~v směr tečny k trajektorii a vytváří tečné zrychlení ~a t ,
• pouze směr rychlosti, pak míří d~v ve směru normály k trajektorii a vzniká normálové zrychlení ~a n
V obecném případě je zrychlení dáno součtem obou složek, ~a = ~at + ~an .
Úhlové veličiny vyjádřené vektory: Mějme dva polohové vektory v blízkých časech, ~r(t) a ~r(t + dt), ~ tak, aby byl kolmý na rovinu tvořenou které svírají malý úhel dφ. Tomuto úhlu přiřadíme vektor dφ vektory ~r(t) a ~r(t + dt) a jeho velikost byla dφ. Pro změnu polohového vektoru d~r platí ~ × ~r d~r = dφ ~ a pro velikost dr = |d~r| = dφ |~r| sin π2 . Protože je úhel dφ velmi malý, lze vektor d~r považovat za část kruhového oblouku a psát pro element dráhy ds = dr = dφ |~r| sin π/2 = dφr.
r df
r r (t + dt ) df
r r (t )
9
r dr
Vektorový součin: Pravidlo vývrtky – všechny vývrtky jsou pravotočivé – určuje orientaci vektoru vzniklého vektorovým součinem ~c = ~a × ~b tak, aby výsledný systém byl pravotočivý.
r b
r c a
r a r r r c = a ´ b JAMAICA
Vektor úhlové rychlosti ω ~ se zavádí vztahem ω ~ = a souvisí s obvodovou rychlostí ~v =
~ dφ dt
~ d~r dφ = × ~r = ω ~ × ~r. dt dt
Mezi velikostmi platí vztahy v = |~v | = |~ ω | |~r| sin
π = ωr. 2
r r v = w
r w
r r
r ´ r
r v
Vektor úhlového zrychlení ~ε se definuje obdobně pomocí
d~ ω . dt Vztah ke zrychlení ~a je však složitější. Protože zrychlení je derivací rychlosti podle času, je ~ε =
~a =
d~ ω d~r d~v = × ~r + ω ~× . dt dt dt
Vzhledem k platnosti ω ~ × ~v = ω ~ × (~ ω × ~r) dostáváme ~a = ~ε × ~r + ω ~ × ~v = ~ε × ~r − rω 2 ~n, kde ~n je jednotkový vektor vnější normály a proto má druhý člen −rω 2~n opačný smysl než polohový vektor ~r. Vektor zrychlení se tedy dá rozložit na dva členy: • vektor ~ε × ~r ve směru tečny
• a vektor −rω 2~n mířící do středu křivosti. 10
Rozklad vektoru zrychlení
oskulaèní rovina
normála
teèna
r R
0
df
B ds
A trajektorie
Dříve zmíněné členy se označují jako tečné zrychlení a normálové zrychlení. Tečné zrychlení ~a t = ~ε × ~r v| souvisí se zvětšováním rychlosti pohybu bodu a pro jeho velikost lze psát |~a t | = d|~ dt . Normálové zrychlení 2 v ~an = ω ~ ×~v souvisí se zakřivováním trajektorie a má velikost |~a n | = rω 2 = r . Velikost celkového zrychlení p je vzhledem k jejich vzájemné kolmosti dána vztahem |~a| = a2t + a2n .
r e
r w r at
r v r r
r r r at = e ´ r
r an r an =
r w
r ´ v
osa y
Kruhový pohyb
r r(t)
Sledujme pohyb po kruhové dráze v rovině z = 0. Pak pro složky polohového vektoru platí x = |~r| cos φ, y = |~r| sin φ.
f
x
y osa x
Pro popis takového pohybu je vhodnější přejít do polárních souřadnic r, φ.
Pro rovnoměrný kruhový pohyb platí φ = ωt a okamžitý polohový vektor lze vyjádřit ve tvaru ~r = (r cos ωt)~i + (r sin ωt)~j. Po otočení o úhel 2π se bod dostává do výchozí polohy a délka trajektoR 2π p rie tudíž musí být rovna obvodu kružnice. Podle obecného vztahu máme s = 0 (dx)2 + (dy)2 = q R 2π R 2π r2 (sin2 ωt + cos2 ωtdφ = 0 rdφ = 2πr. Obecně pro délku dráhy platí s = φr. 0 Obvodová rychlost se získá z obecného vztahu a je
~v = (−ωr sin ωt)~i + (ωr cos ωt)~j.
11
q q Absolutní hodnota vektoru rychlosti vychází |~v | = vx2 + vy2 = r2 ω 2 (sin2 ωt + cos2 ωt) = rω. Obvodová rychlost ~v je vektor, který leží v rovině trajektorie, je kolmý na rovinu určenou osou rotace a polohovým vektorem a má směr tečny k trajektorii. Proto jej můžeme zapsat jako ~v = ω ~ × ~r. Zrychlení kruhového pohybu Po dosazení do vztahu ~a =
d~ v dt
získáme h i ~a = − (rω 2 cos ωt)~i + (rω 2 sin ωt)~k .
Srovnáme-li vyýsledek s definicí kruhového pohybu, vidíme, že platí ~a = −ω 2~r.
dostředivé zrychlení
Tedy zrychlení má stejný směr, ale opačnou orientaci jako polohový vektor ~r. Míří do počátku souřadnic (středu rotace) a nazývá se proto dostředivé zrychlení. Jeho velikost je rovna velikosti normálového 2 zrychlení |~an | = rω 2 = vr . Tečné zrychlení je v případě rovnoměrného kruhového pohybu nulové, protože absolutní hodnota rychlosti je konstantní. Perioda T je doba potřebná k jednomu oběhu kružnice, resp. doba do opsání úhlu φ = 2π. Protože pro rovnoměrný pohyb platí φ = ωt, získáme srovnáním 2π . T = ω Převrácenou hodnotu periody nazýváme frekvence f=
1 , T
její jednotkou je 1 Hz – hertz. Spojením obou rovnic získáme vztah ω = 2πf. Příklad. Částice se pohybuje po šroubovici, jejíž parametrické rovnice jsou x = 3 cos 2πt,
y = 3 sin 2πt z = 6πt.
a) Najděte vektor rychlosti, velikost vektoru rychlosti a směrové kosiny vektoru rychlosti v čase t = 1 s. b) Najděte vektor zrychlení, velikost vektoru zrychlení a směrové kosiny vektoru zrychlení v čase t = 1 s. Řešení a) Vektor rychlosti:
jeho velikost je |~v | =
q
~v = (vx , vy , vz ) = (x, ˙ y, ˙ z) ˙ = (−6π sin 2πt, 6π cos 2πt, 6π), √ vx2 + vy2 + vz2 = 6π 2 a je nezávislá na čase.
V čase t = 1 s má vektor rychlosti tvar ~v = (0, 6π, 6π) m/s a směrové kosiny tudíž jsou cos α =
vx = 0, |~v |
cos β =
vy 1 =√ , |~v | 2
cos γ =
1 vz =√ . |~v | 2
b) Vektor zrychlení: ~a = (v˙ x , v˙ y , v˙ z ) = (−12π 2 cos 2πt, −12π 2 sin 2πt, 0) = −(2π)2~rxy , 12
kde ~rxy je průmět vektoru ~r do roviny z = 0. Velikost zrychlení je |~a| = nezávislá na čase. Zrychlení má pouze normálovou složku. Směrové kosiny v čase t = 1 s jsou cos α =
ax = −1, |~a|
cos β =
ay = 0, |~a|
cos γ =
q
a2x + a2y + a2z = 12π 2 a je opět
az = 0. |~a|
Protože az je nulová, je vektor zrychlení vždy kolmý k ose z.
Dynamika hmotného bodu Je částí newtonovské mechaniky, tj. mechaniky makroskopických těles, jejichž rychlost je mnohem menší než rychlost světla (ve vakuu). Její základy byly poprvé popsány v díle Isaaca Newtona „Philosophiae naturalis principia mathematicaÿ z roku 1687. Předmět dynamiky Dynamika se zabývá studiem souvislostí mezi vzájemným působením a pohybem těles. K tomu používá tyto základní veličiny: • hmotnost m • hybnost p • sílu F
• kinematické veličiny - polohový vektor ~r, rychlost ~v , zrychlení ~a Nadále se budeme zabývat nejjednodušším případem – hmotným bodem. Hmotnost m je skalární kvanitativní míra tíhových a setrvačných vlastností tělesa. • je dána vnitřní strukturou těles
• nezávisí na volbě vztažné soustavy
• platí zákon zachování celkové hmotnosti
Základní jednotka hmotnosti je [m] = 1 kg (kilogram)1 Hmotnosti některých těles [kg] Slunce 2 · 1030 Země 6 · 1024 3 1 m H2 O 1 · 103 Molekula penicilinu 5 · 10−17 Proton 1, 7 · 10−27 Elektron 9, 1 · 10−31 Hybnost p ~ je vektorová kvanitativní míra mechanického pohybu p~ = m~v • je kolineární s vektorem rychlosti
• charakterizuje míru mechanického pohybu i z hlediska interakcí 1 Jako
jediná základní veličina má v soustavě SI základní jednotku začínající předponou „kiloÿ.
13
Základní jednotka hybnosti je [p] = 1 kg.m.s−1 Síla F~ je vektorová kvanitativní míra vzájemného působení těles, které má za následek buďto změnu jejich pohybového stavu nebo jejich deformaci. Síla je klouzavý vektor – její působiště je v libovolném bodě vektorové přímky, lze ji podél přímky posouvat. Samotný pojem síly je abstrakcí (podobně jako hmotný bod), nemůže reálně existovat bez hmotných objektů (částic či polí), protože vyjadřuje míru jejich vzájemného působení. m Základní jednotkou hybnosti je [F] = 1 N (newton).
r g Příklady sil ~ = m~g, kde ~g je vektor zemského tíhového zrychlení. Tato síla je přímo • Tíha těles G úměrná hmotnosti tělesa (jsou ještě jiné síly, úměrné hmotnosti tělesa?)
r G
• Síla odporu prostředí F~r , která působí při pohybu těles ve vazkém prostředí. Je kolineární s vekto rem rychlosti a má opačný smysl, ve většině případů lze psát pro její velikost F~r = 12 ρCx |v|n , kde ρ je hustota vazkého prostředí, Cx je součinitel a exponent n leží v rozmezí (1, 2). Např. pro osobní automobily při rychlostech nad 80 km/hod. platí, že n = 2, Cx je okolo 0,3.
r v
r Fr
• Síla smykového tření F~t vzniká při smýkání pevného tělesa po podložce. Jestliže není pohyb ve svislém směru, platí ~ , ~ , F~t = µ N ~ +G ~ = 0, N ~ = G N kde µ je součinitel smykového tření z intervalu (0, 1) a N velikost reakce podložky, jež je vždy kolmá k jejímu povrchu.
r N
r v
r Ft
r G • Síly na náboje v elektromagnetickém poli. Tyto síly: – – – –
patří do kategorie elektromagnetických interakcí, jsou o cca 25 řádů silnější než gravitační síly, rozhodující pro chemické a biologické procesy a existenci života, jsou využívány v elektro-technice, -energetice, silno-, slaboproudé elektrotechnice, veškerém průmyslu, informatice, atd.
Newtonovy zákony (NZ) Jsou to základní zákony dynamiky.
14
Zákon setrvačnosti – 1. NZ Těleso setrvává ve stavu rovnoměrného přímočarého pohybu nebo klidu, pokud není nuceno působením jiných těles tento stav změnit. Abstrakce: Formulace tohoto zákona v klasické mechanice je extrapolací emiprických poznatků, protože nedokážeme nikdy eliminovat síly vzájemného působení a tedy přesný experimentální důkaz nelze provést. Platnost zákona však lze pozorovat např. v případě pohybu nebeských těles. Zákon síly – 2. NZ Časová změna hybnosti hmotného bodu je rovna výsledné síle, která na těleso působí. d~ p , F~ = dt kde p~ = m~v je hybnost hmotného bodu a F~ je vektorová výslednice všech působících sil, F~ = F~1 + F~2 + · · · + F~n . Jinak formulováno, působením síly bod získává nenulové zrychlení. V klasické mechanice hmotného bodu je vždy m = konst a proto platí dv d(m~v ) =m , F~ = dt dt což s ohledem na definici zrychlení dává pohybovou rovnici F~ = m~a (v tomto tvaru platí ovšem jen pro hmotný bod a translační – posuvný – pohyb). Uvedená rovnice se používá k zavedení jednotky síly [F] = [m] . [a], 1 N = 1 kg.m.s-2 . Vyjádřeno slovně: Jeden newton je síla, která hmotnému bodu o hmotnosti 1 kg udělí zrychlení 1 ms −2 . Zákon akce a reakce – 3. NZ Jestliže těleso A působí na těleso B silou F~AB , potom těleso B působí na těleso A silou F~BA , a platí F~AB = −F~BA .
r FBA
r FAB
A
B
Působení:: Síly F~AB a F~BA jsou ve vztahu akce a reakce. Každá z nich působí na jiné těleso. Nelze je proto na žádném z těchto těles sečíst. Jestliže tato dvě tělesa považujeme za jeden systém, pak výsledná síla F~AB + F~BA = 0 je rovna výsledné vntiřní síle systému a jako taková je rovna nule (více v kapitole o mechanice tuhého tělesa). Třetí Newtonův zákon představuje základ části fyziky zvané statika.
Inerciální vztažná soustava V přírodě neexistuje ani absolutní klid ani absolutní rovnoměrný přímočarý pohyb, ale závisí na volbě souřadné soustavy. Každá souřadná soustava je spojena s určitým tělesem (vztažným tělesem). Přitom samotné vztažné těleso se může libovolně pohybovat (například Země nebo Slunce), proto není platnost prvního Newtonova zákona univerzální, ale je omezena jen na určité vztažné soustavy.
15
Jako příklad může sloužit kulička na bloku pohybujícím se rychlostí ~v = ~v (t).
r v
Soustava, ve které platí 1. Newtonův zákon, se nazývá inerciální vztažná soustava 2. Opakem je neinerciální soustava, ve které první (ani druhý) zákon neplatí. Neinerciální soustava má vzhledem k inerciální nenulový vektor zrychlení ~a. Příklady: inerciální: sluneční soustava, planeta Země (přibližně), soustavy s ní spojené, atd. neinerciální: dopravní prostředky při zrychlování, zpomalování, změně směru pohybu, startující letadlo, auto jedoucí do zatáčky, kabina výtahu při rozjezdu a zastavení.
Pohybová rovnice a její řešení Rovnice F~ = m~a = m~¨r je pohybová rovnice. Je to vektorová rovnice, která reprezentuje 3 skalární rovnice. V pravoúhlé souřadné soustavě to jsou rovnice Fx = m
d2 x d2 y d2 z , Fy = m 2 , Fz = m 2 . 2 dt dt dt
Existují dvě úlohy: A Jestliže známe trajektorii, můžeme určit působící sílu. Tato úloha je triviální (jedná se o dvojí derivování polohového vektoru podle času). B Jestliže známe souřadnice síly v každém čase t, můžeme (možná?) najít trajektorii pohybu. Tato úloha je fundamentální úlohou dynamiky. Postup řešení úlohy A: 1. zvolíme inerciální souřadný systém 2. jelikož máme dán polohový vektor ~r = ~r(t), derivováním podle času najdeme kinematické veličiny ~v = ~v (t) a ~a = ~a(t) 3. napíšeme tři (nebo dvě) skalární rovnice pro Fx , Fy , Fz . Tím je úloha vyřešena. Postup řešení úlohy B: Jsou dány působící síly F~1 , F~2 , . . . , F~n . Výslednici sil pak pišme ve tvaru F~ =
n X
F~k = Fx~i + Fy~j + Fz~k.
k=1
Pro souřadnice síly tedy platí Fx = m
dvx , dt
Fy = m
dvy , dt
Fz = m
Vektor rychlosti a jeho souřadnice najdeme integrací této rovnice: Z 1 ~ 1 ~ d~v = F dt, ~v = F dt m m 2z
latinského inertia – setrvačnost
16
dvz . dt
První integrál pohybové rovnice je tedy 1 ~v = m
Z
F~ dt + ~v0 ,
resp. ve složkách Z 1 Fx dt + v0x , m Z 1 Fy dt + v0y , vy = m Z 1 Fz dt + v0z , vz = m
(1)
vx =
(2) (3) (4)
kde integrační konstanty ~v0 , případně v0x , v0y ,v0z , reprezentují libovolný vektor rychlosti. Další integrací získáme druhý integrál pohybové rovnice Z ~r = ~v dt + ~r0 , resp. ve složkách rx = x = ry = y = rz = z =
Z
Z
Z
vx dt + x0 ,
(5)
vy dt + y0 ,
(6)
vz dt + z0 ,
(7) (8)
kde integrační konstanty ~r0 , případně x0 , y0 ,z0 , reprezentují libovolný polohový vektor. Vektory ~v0 , ~r0 nevyplývají z řešení diferenciálních rovnic. Pokud je neznáme, má úloha B nekonečně mnoho řešení. Jen jedno řešení má úloha tehdy, jestliže jsou dány tzv. počáteční podmínky
v 0x
x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ), z0 = z(t0 ) = vx (t0 ), v0y = vy (t0 ), v0z = vz (t0 )
(9) (10) (11)
které představují polohový vektor a vektor rychlosti hmotného bodu v určitém definovaném okamžiku t 0 a které množinu řešení omezují na jeden případ.
[v0x, v0y, v0z ]
r F
[x0, z0, y0]
17
Příklady řešení pohybové rovnice: Hmotný bod v zemském tíhovém poli Tento pohyb je zpravidla rovinný a probíhá ve svislé rovině. Označení souřadných os volíme x, y. Dva typické příklady: 1. Pohyb nad povrchem Země při zanedbání odporu vzduchu, jako jsou vrhy – svislý, vodorovný, šikmý. 2. Pohyb na nakloněné rovině s uvážením tření na povrchu této roviny. ~ = m~g = (0, −mg), o které předpokládáme, že nezávisí Předpoklady: na hmotný bod působí síla tíže G na výšce nad zemským povrchem. Pohyb v obou příkladech se najde řešením stejné pohybové rovnice, pouze působící síly a počáteční podmínky budou různé.
r v0
vrh svislý
vrh šikmý
r j v0y
y
a
m m
vrh vodorovný
r i v0x
r G 0,0 Vrhy Obvyklé počáteční podmínky pro různé vrhy jsou uvedeny v tabulkách svislý vodorovný šikmý
x0 = 0 x0 = 0 x0 = 0
y0 = 0 y0 = h y0 = 0
v 0x = 0 v 0x = v v0x = v0 cos α
x
v 0y = v v 0y = 0 v0y = v0 sin α
Řešení pohybové rovnice X ax = 0 v x = v 0x x = v 0x t + x 0
Y ay = −g vy = −gt + v0y y = − 12 gt2 + v0y t + y0
Dosazením počátečních podmínek do řešení pohybové rovnice zíkáme následující výsledky. Vrh svislý počáteční rychlostí (0, v) Je charakterizován podmínkami v0x = 0, vy0 = v, x = y = 0. Po dosazení získáme výsledek:
vy = v − gt,
vx = 0, x = 0 1 y = − gt2 + vt 2
Maximální výška vrhu se zjistí z podmínky nulové rychlosti −gtM + v = 0 → tM = 18
dy dt t=t
v . g
= 0, což dává M
Vrh vodorovný počáteční rychlostí (v, 0) Je charakterizován podmínkami v0x = v, vy0 = 0, x = 0, y = h, kde h je výška nad zemí. Po dosazení získáme výsledek: vx = v, vy = −gt,
x = vt 1 y = h − gt2 2
Okamžik tM „dopaduÿ homtného bodu na zem získáme z podmínky nulové výšky, tedy y = 0. Po dosazení získáme p tM = 2h/g.
Místo dopadu hmotného bodu e [xM = x(tM ),0]. Vzálenost dopadu tedy získáme dosazením času tM do rovnice pro x a obdržíme p xM = v 2h/g.
Vrh šikmý počáteční rychlostí (v0 cos α, v0 sin α) Podobným postupem jako dříve dostaneme rovnice trajektorie x = v0 cos αt,
1 y = v0 sin αt − gt2 . 2
r v0 hM
v0y a v0x
xM
x
Nechť se hmotný bod dostane do nejvyššího bodu své trajektorie v čase t M y . V nejvyšším bodě dráhy y(tM y ) = hM je složka rychlosti ve směru osy y nulová a můžeme tedy psát podmínku vy = v0 sin α − gtM y = 0, ze které získáme tM y a jeho dosazením do rovnice pro složku y získáme maximální výšku svislého vrhu hM = y(tM y ) =
v02 sin2 α. 2g
Prozkoumejme nyní nejvzdálenější bod trajektorie – dostřel. Označme místo, kam po svém letu hmotný bod dopadne xM a čas, kdy se tak stane tM x . Souřadnice y je v tomto místě a v tomto okamžiku nulová a máme tedy podmínku 1 y(tM x ) = v0 sin αtM x − gt2M x = 0, 2 z níž dostaneme čas dopadu 2v0 tM x = sin α. g Prostým dosazením získáme dostřel xM = x(tM X ) = 2
v02 v2 cos α sin α = 0 sin(2α). g g 19
Těleso na nakloněné rovině Mějme těleso na rovině nakloněné pod úhlem α, které je taženo silou F (rovnoběžnou s rovinou) vzhůru. Během pohybu uvažujme součinitel vlečného tření µ = konst.. Na těleso pak působící následující síly: ~ = (G sin α, G cos α) G gravitační síla F~ = (−F, 0) tažná síla ~ N = (0, N ) normálová síla, reakce roviny T~ = (T, 0) síla tření Souřadný systém zvolíme podle obrázku a těleso nahradíme hmotným bodem. V ose y není pohyb, proto ay = 0, takže dostáváme podmínku pro rovnováhu sil N − Gy = 0. Ve směru osy x získáme pohybovou rovnici −F + T + Gx = max .Použijeme-li vztah pro sílu tření T = µN , dostaneme výsledné zrychlení F ax = − − g(sin α + µ cos α) . m
Dynamické účinky síly Síla vždy působí neoddělitelně v určitém časovém intervalu ∆t = t2 − t1 a na úseku trajektorie ∆s mezi koncovými body vektorů ~r1 , ~r2 . Síla má dva typy účinku:
Dt = t 2 - t 1
t2
t1 r r1
r r2
1. Během čas. intervalu ∆t se změní hybnost o ∆p – časový účinek síly 2. Na úseku dráhy ∆s se koná mechanická práce ∆A – dráhový účinek síly Časový účinek síly – impuls síly
r dp
r p1
r F
r r p1 + dp
t2 r r1 Podle 2. Newtonova zákona platí F~ =
r r r1 + dr
d~ p dt ,
což lze psát jako F~ dt = d~ p.
20
Integrací dostaneme
Z
t2
F~ dt =
t1
Z
p ~2 p ~1
d~ p=p ~2 − p~1 .
Není-li známa závislost F~ = F~ (t), nelze integrál vyjádřit. Jedná se o určitý integrál a jeho hodnota se dá často určit experimentálně. Proto se definuje impuls síly Z t2 r ~ r I= F~ dt. p2
I
t1
Impuls síly I~ se rovná časovému účinku síly během časového intervalu (t1 , t2 ). ~ působící v určitém časovém intervalu Věta o hybnosti: Impuls síly I, (t1 , t2 ) na hmotný bod, je roven vektorové změně hybnosti ∆~ p tohoto hmotného bodu.
r p1
Nárazová síla: Je-li časový interval ∆t velmi krátký, potom je působící síla nárazová. V tomto případě nastávají velké změny rychlosti při relativně malé změně polohy v prostoru. Má-li nárazová síla po celou dobu nárazu stejný směr, můžeme ji nahradit tzv. střední silou F~0 , která způsobí stejný impuls Z t2 F~ (t) dt = F~0 (t2 − t1 ) = ∆~ p. t1
Jestliže známe změnu hybnosti ∆~ p, můžeme určit střední sílu, a to i tehdy, když neznáme její časový průběh. Příklad 1: Automobil o hmotnosti 1000 kg změnil svoji rychlost z hodnoty v1 = 30 m/s (108 km/hod.) na v2 = 0: 1. brzděním během ∆t = 300 s (5 minut), 2. nárazem na překážku během ∆t = 0, 3 s. Řešení Brzdící síla má velikost F =
m|v2 −v1 | ∆t
=
3·104 ∆t ,
což dává pro:
1. brzdění sílu F = 100 N (odpovídá tíze cca. 10 kg) 2. náraz sílu F = 100000 N (odpovídá tíze cca. 10 tun) Využití nárazových sil : tváření (kování), stavebnictví (buchary) 1. NZ: Z věty o hybnosti plyne 1. Newtonův zákon, protože při F~ = 0 je i ∆~ p = 0, takže pro libovolné t je p ~ = m~v = konst. a proto také ~v = konst., což je 1. NZ. Příklad 2: Střela o hmotnosti m = 2 g opouští hlaveň rychlostí v = 300 m/s. Síla na střelu v hlavni má velikost F = 400 − 34 · 105 t, kde t je čas. Jak dlouho trvá pohyb střely v hlavni? Řešení Dobu, po níž se střela pohybuje v hlavni, označme t1 . Impuls síly má velikost Z t1 4 2 I= (400 − · 105 t) dt = 400t1 − · 105 t21 . 3 3 0 Tento impuls síly je roven změně hybnosti, tzn. ∆p = m∆v = 6 · 10−1 kg.m.s−1 . Dosazením do rovnice I = ∆p dostaneme kvadratickou rovnici 2 · 105 t21 − 1200t1 + 1, 8 = 0. Tato rovnice má dvojný kořen t1 = 3 · 10−3 s. 21
Moment síly Moment síly vzhledem k bodu ~ vzhledem k určitému bodu je kvantitativní vektorová míra vzájemného působení těles, Moment síly M které má za následek otáčivý pohyb vzhledem k tomuto bodu. Jednotka momentu síly [M]=N.m=newton×metr
r F
r M
a
r r y x
Moment síly je definován vztahem
~ = ~r × F~ , M
jeho směr je totožný se směrem okamžité osy rotace, vyjadřuje otáčivý účinek síly a je vázaný na bod. „Geometrický pohledÿ na velikost momentu síly
P
r F
a
a d
r r r M = r ´F
r r
O Velikost momentu síly je
~ M = M = rF sin α = F r| sin {z α} = F d, d
kde d je vzdálenost přímky, ve které Složky momentu síly: ~i ~ M = x Fx
Vlastnosti momentu síly
působí síla F~ , od vztažného bodu O. ~j y Fy
~k z Fz
Mx = xFy − yFx , rozepsáno My = zFx − xFz Mz = xFy − yFx
1. Moment síly vzhledem k bodu se nezmění, jestliže se síla posune po své nositelce (vektorové přímce) 2. Momentová věta: Součet momentů sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je roven momentu výsledné síly vzhledem k tomuto bodu. Důkaz věty 2: Pn Výslednice F~vys = F~1 + F~2 + · · · + F~n = i=1 F~i . Spočteme moment této výslednice ~ vys = ~r × F~vys = ~r × (F~1 + F~2 + · · · + F~n ) M 22
a použijeme distributivní zákon platný pro vektorový součin ~ vys = ~r × F~1 + ~r × F~2 + · · · + ~r × F~n M a získáme výsledek ~ vys = M ~1 +M ~2 +···+M ~n = M
n X
~ i. M
i=1
Moment hybnosti Moment hybnosti ~b vzhledem k určitému bodu je kvantitativní vektorová míra rotačního pohybu vzhledem k tomuto bodu a je definován jako ~b = ~r × p~ = ~r × m~v .
z
r r r b = r ´ p
r b y
r r
r p
x Jednotka momentu hybnosti [b]=[r].[mv]=kg.m2.s−1 ~ a platí analogie 1. věty impulzové Analogie:: Časový účinek momentu hybnosti je tzv. rotační impulz L Z t2 ~ dt = ~b2 − ~b1 . ~ M L= t1
~ Souvislost mezi vektory ~b a M ~ = ~r × m d~v . Vypočítejme derivaci momentu hybnosti podle času Moment síly je definován vztahem M dt d~r d(m~v ) d (~r × m~v ) = × m~v + ~r × . dt dt dt
První člen na pravé straně je nulový (je to vektorový součin kolineárních vektorů). Z toho plyne, že d(m~v ) d (~r × m~v ) = ~r × dt dt a pro moment síly můžeme psát
~ ~ = db , M dt což je analogie 2. Newtonova zákona, resp. pohybová rovnice pro otáčivý pohyb hmotného bodu. Slovně lze psát: Časová změna momentu hybnosti hmotného bodu vzhledem k pevnému bodu je rovna momentu výsledné síly (vzhledem k tomuto bodu), která na tento hmotný bod působí.
23
Analogie mezi veličinami a vztahy pro postupný a otáčivý pohyb Postupný pohyb Síla F~ Hybnost p~ = m~v Pohybová rovnice F~ = p~˙ Rt ~ Impuls síly I = t12 F~ dt 1. věta impulzová I~ = ∆~ p
Otáčivý pohyb ~ = ~r × F~ Moment síly M ~b = ~r × p~ Moment hybnosti ~ = ~b˙ Pohybová rovnice M R t2 ~ = ~ dt Rotační impuls L M t1 ~ = ∆~b L
Dráhový účinek síly: mechanická práce Mechanická práce A je skalární kvantitativní míra předaného mechanického pohybu. Nekonečně malá mechanická práce je dA = F~ d~r. Velikost práce závisí na úhlu α, který svírá vektor síly s přírůstkem polohového vektoru, dA = F~ |d~r| cos α = F cos αds. Výraz F cos α je průmět síly F~ do směru d~r, který označíme Fr . Elementární práce je pak rovna součinu průmětu síly Fr do směru tečny k trajektorii a elementu délky dráhy ds.
r r dA= F.dr Fr
r F
,
trajektorie
r dr
r r r + dr
a
r r
0
Celková práce A vykonaná silou F~ mezi body ~r1 , ~r2 je A=
Z
~ r2
F~ d~r =
~ r1
Z
s2
F cos α ds s1
Jednotka práce: [A]=1 joule (J)= 1 N.m V případě úhlu α = 90◦ je výsledná práce nulová. Mezi síly, které nikdy nekonají práci, patří • dostředivá a odstředivá síla (její reakce)
~ působí na náboj Q pohybující se rychlostí • magnetická Lorentzova síla: magnetické pole o indukci B ~ ~v silou F~L = Q~v × B Vyjádření práce pomocí síly a trajektorie Mějme sílu F~ = (Fx , Fy , Fz ) a polohový vektor ~r = (x(t), y(t), z(t)). Elementární práce je skalárním součinem vektorů F~ a d~r. Podle definice skalárního součinu je Z t2
(Fx x˙ + Fy y˙ + Fz z) ˙ dt,
A=
t1
kde jsme použili vyjádření typu dx = xdt. ˙ Příklad 1 Určete práci, kterou vykoná síla F~ = (0, 0, +mg), tedy síla působící na hmotný bod proti tíži, na délce jednoho závitu šroubovice o parametrických rovnicích x = 3 cos 2πt,
y = 3 sin 2πt,
z = 6πt.
Řešení Působením síly se po šroubovici pohybuje hmotný bod směrem nahoru. Za čas t = 1 s budou mít 24
jeho souřadnice x a y stejnou hodnotu jako na počátku. Tzn., že za tuto dobu urazí bod délku jednoho R t2 závitu. Za stejnou dobu se ve směru osy z posune o vzdálenost h = 6p. Použijeme vztah A = (Fx x˙ + Fy y˙ + Fz z) ˙ dt, do kterého dosadíme vektor síly F~ = (0, 0, mg) a vektor rychlosti ~v = (x, ˙ y, ˙ z) ˙ = t1 t2 (−6π sin 2πt, 6π cos 2πt, 6π). Dostaneme A = intt1 mg z˙ dt. Pro meze t1 a t2 , odpovídající posuvu o jeden závit platí t1 = 0 s, t2 = 1 s. Odpovídající souřadnice z jsou z1 = z(t1 ) = 0, z2 = z(t2 ) = h = 6π a R1 výsledná práce je A = 0 mg6π dt = mg6π = mgh. Uvedený vztah se dá zobecnit – nezávisí totiž na tvaru trajektorie, ale jen na rozdílu výšek z 2 −z1 = h. Tedy pro práci síly překonávající gravitační pole platí A = mgh. Příklad 2 Těleso B leží na vodorovné rovině bez tření. Při výchylce do polohy B 0 o délku x na něj působí tzv. pružná síla (též elastická) velikosti F = −kx, která je úměrná konstantě tuhosti k (jednotka [k]=1 N/m) a velikosti výchylky z rovnovážné polohy. V rovnovážné poloze x = 0 je tato síla nulová. Určete práci při protažení pružiny o délku L.
Řešení Při protažení působíme silou F~ 0 proti elastické síle F~ . Jelikož se jedná o jednorozměrný problém, vynecháváme označení vektoru a píšeme pouze F 0 = kx. Práce síly F 0 potom je Z x Z x 1 A= F 0 dx = k x dx = kx2 . 2 0 0
A = (1/2) k x2
A
x® F
F = - kx
Výkon síly P je definován jako podíl elementární práce dA k časovému intervalu dt, během kterého byla tato práce vykonána, dA . P = dt
25
~ r ~ v , tedy je výkon konstantní síly roven součinu této Je-li síla F~ konstantní, lze psát P = Fdtd~r = F~ d~ dt = F ~ síly a rychlosti pohybu hmotného bodu. Jednotka výkonu [P] = 1 W (watt), 1 W = 1 J.s−1 =1 N.m.s−1 Dále se definují pojmy: dA Příkon Pp = dtp – práce za čas příjímaná objektem v Výkon Pv = dA dt – práce za čas vykonaná objektem Pv Účinnost η = Pp < 1.
Energie Energie je jedna z nejdůležitějších a obecně nejznámějších fyzikálních veličin. Slyšíme o ní denně zejména v souvislosti s její výrobou a spotřebou. Při „výroběÿ energie nejde však o její výrobu, ale o přeměnu z jedné formy energie na jinou, z hlediska využití výhodnější. Kinetická energie charakterizuje pohybový stav hmotného bodu v dané vztažné soustavě. Souvisí s prací, kterou konají síly působící na částici, když se mění velikost její rychlosti. Chceme-li měnit rychlost bodu, musíme konat práci. Jestliže na částici o hmotnosti m, která s vněkterém okamžiku pohybuje rychlostí v 1 , působí v časovém intervalu (t1 , t2 ) síly a tyto síly vykonají práci A12 , pak částice má v čase t2 rychlost v2 a platí A12 = 21 mv22 − 21 mv12 . Velikost rychlosti v2 nezávisí na délce trvání děje, na tvaru trajektorie ani na časovém průběhu působících sil, nýbrž jen na práci vykonané působícími silami. Veličina Ek = 12 mv 2 je kinetická energie. Lze psát A12 = Ek2 − Ek1 . Jednotka energie [E] = 1 J (joule) Ve strojní praxi se k akumulaci energie užívají setrvačníky. Síly, kterými působí např. v motoru na ostatní části, konají střídavě kladnou a zápornou práci, takže setrvačník motoru střídavě dodává a odebírá energii a vyhlazuje jeho chod. Kinetickou energii setrvačníků lze užít např. i k pohonu lodí (jako u setrvačníkových dětských autíček). Mohutný, rychle rotující setrvačník má velkou energii. Roztrhne-li se vlivem setrvačných odstředivých sil a skryté vady, má účinek jako slušná nálož dynamitu. Veličina Ek zahrnuje i energii neuspořádaného (tepelného) pohybu molekul v tělesech. Tato část energie se začleňuje do vnitřní energie látky a kinetickou energií soustavy se rozumí pouze pohybová energie uspořádaného pohybu molekul, tj. pohybu tělesa nebo jeho části jako celku. V mechanice máme většinou děje, při nichž se vnitřní energie soustavy nemění. Potenciální (polohová) energie Zvedneme-li v tíhovém poli těleso, vykonáme kladnou práci, aniž těleso získá kinetickou energii. Při zvednutí získalo energii, která závisí na jeho poloze vzhledem k Zemi – polohovou energii. Uvažujme částici o hmotnosti m, která se pohybuje z bodu A1 do bodu A2 po křivce k v tíhovém poli Země. Na částici trvale působí tíhová síla G = mg a další síly, např. odpor vzduchu a síly těles, se kterými přijde pri pohybu do styku. Práce A, kterou síla vykoná, je A = mg(h1 − h2 ). Ze vztahu plyne, že práce A tíhové síly působící na částici závisí jen na rozdílu výšek prvního a posledního bodu trajektorie nad vztažnou rovinou. Nezávisí na tvaru trajektorie ani na rychlosti pohybu, ani na jiných silách, které na částici působily. Znaménko práce závisí na znaménku rozdílu h 1 − h2 . Je-li trajektorie uzavřená křivka, pak je práce nulová A = 0. Předchozí vztah ukazuje, žepráce je rovna rozdílu hodnot veličiny mgh v počáteční a koncové poloze hmotného bodu. Tuto veličinu nazýváme potenciální energie hmotného bodu v tíhovém poli Země a značíme Ep . Tíhová energie soustavy hmotných bodů je součtem tíhových energií všech elementů a lze ji jednoduše vyjádřit pomocí souřadnic jejího těžiště. Nevztahujeme-li úvahy vzhledem k Zemi, ale obecně ke gravitačnímu poli buzenému tělesy libovolné hmotné soustavy (Slunce, Země, Měsíc), pak práce, kterou tyto síly vykonají během libovolného pohybu těles závisí jen na vzájemných polohách těles na začátku a konci děje. Nezávisí na způsobu, jakým se tělesa z počáteční do koncové polohy dostala. Silová pole (nejen gravitační, ale i elektrostatická), která mají tuto vlastnost,se nazývají konzervativní nebo potenciálová. 26
Potenciální energie soustavy, jejíž členy na sebe působí konzervativními silami, je definována takto: Vybereme ze všech možných stavů soustavy, charakterizovaných vzájemnými polohami těles, jeden a označíme jej P0 . Potenciální energii soustavy v tomto stavu označíme Ep0 a položíme ji rovnu nule. Potenciální energii soustavy v libovolném jiném stavu P označíme Ep a definujeme ji vztahem Ep −Ep0 = ∆A, tj. Ep = ∆A, kde ∆A je práce, kterou vykonají uvažované konzervativní síly při přechodu soustavy ze stavu P do stavu P0 .
Zákon zachování celkové mechanické energie Příklad Těleso je v klidu ve výšce h nad povrchem Země. Jeho potenciální energie v tomto bodě je E p = mgh, jeho kinetická energie Wk = 0. V čase t = 0 je těleso uvolněno a padá k Zemi volným pádem. V čase t = tM dopadne na Zem rychlostí vM . Jeho potenciální energie na povrchu Země je Ep = 0. Jaká je v tom okamžiku jeho kinetická energie Ek ? Řešení Pohyb tělesa je rovnoměrně zrychlený v ose z se zrychlením g (volný pádqz výšky h) a je popsán vztahem
z(t) = h − 12 gt2 . Z něho dostaneme pro dopad (z = 0) čas tM = √ vM = gtM = 2gh. Kinetická energie v okamžiku nárazu na Zem je Ek =
2h g .
Rychlost v tomto čase je
1 mv 2 = mgh 2 M
a je tedy číselně rovná potenciální energii Ep (t = 0). Z toho je vidět, že úbytek potenciální energie je roven přírůstku kinetické energie, −∆Ep = ∆Ek . Přechod k diferenciálům získáváme −dEp = dEk , což lze přepsat do tvaru d(Ep + Ek ) = 0. Jelikož diferenciál součtu Ep + Ek se rovná nule, musí být součet Ep + Ek konstantní, Ep + Ek = konst. Součet kinetické a potenciální energie tělesa v zemském tíhovém poli je konstantní. To je zákon zachování celkové mechanické energie. Dokážeme, že platí nejen pro volný pád tělesa v zemském tíhovém poli, nýbrž zcela obecně pro jakoukoliv konzervativní sílu. Důkaz: Výkon síly F~ během intervalu dt je P =
dA dEk = . dt dt
Platí totiž
1 dA = F~ d~r = mvdv = d( mv 2 ) = dEk 2 Pro konzervativní síly platí vztah dA = −dEp , ze kterého plyne P =−
dEp . dt
Srovnáním dvou rovnic pro výkon P dostáváme dEk dEk d =− ⇒ (Ek + Ep ) = 0 dt dt dt a po integraci získáme zákon zachování celkové mechanické energie Ek + Ep = konst. Platí jen pro konzervativní síly
Součet kinetické a potenciální energie hmotného bodu je v každém okamžiku konstantní. 27
Konzervativní: Zachování = konzervace Konzervativní síly = takové, pro něž je splněn zákon zachování celkové mechanické energie V uvedeném zápisu je zákon zachování celkové mechanické energie jenom zvláštním případem obecnějšího zákona zachování, který se vztahuje na všechny druhy energie. Zákon zachování celkové energie platí v nezměněném tvaru také v kvantové mechanice pro mikročástice: elektrony, fotony, atd. Aplikace: Užití vztahu mezi mechanickou energií a prací, případně zákona zachování celkové mechanické energie je nástroj k řešení problémů klasické mechaniky. Příklad Střela o hmotnosti m = 0, 002 kg opouští ústí hlavně rychlostí v2 = 3000 m/s. Velikost výsledné síly na střelu v hlavni je dána vztahem F = 400 − 8 · 103 x/9, měřeno od bodu začátku pohybu střely. Určete délku hlavně. Řešení Hlaveň je vodorovná, při pohybu střely nedochází ke změně potenciální energie, DeltaW p = O. Přírůstek kinetické energie střely je tedy rovna práci síly F, A = ∆Wk =
1 mv 2 = 90 N. 2 2
Podle definice mechanické práce je Z s Z s (400 − 8 · 103 x/9) dx = 400s − 4000s2/9. F dx = A= 0
0
Spojením předešlých rovnic získáme kvadratickou rovnicí, jejíž dvojnásobným kořenem je s = 0, 45 m, což je hledaná délka hlavně. Práce v poli konzervativních sil: Jelikož změna mechanické energie nezávisí na tvaru dráhy (úseku trajektorie), na které k této změně došlo, nezávisí ani práce v poli konzervativních sil na tvaru dráhy. Počítejme práci konzervativní síly F~k po libovolné dráze z bodu 1 do bodu 2. Z 2 A12 = F~k d~r = Wp2 − Wp1 . 1
Nyní vypočítejme práci této síly po libovolné jiné dráze z bodu 2 do bodu 1: Z 1 A12 = F~k d~r = Wp1 − Wp2 . 2
Sečtěme tyto dvě rovnice: dostaneme celkovou práci na dráze z bodu 2 přes bod 1 zpět do bodu 2, tedy práci po uzavřené křivce k. Dostaneme I A12 + A21 = F~k d~r = 0. k
Práce konzervativní síly po uzavřené dráze je nulová. 1
A12 2 A21
28
Soustava hmotných bodů a tuhé těleso Úvod Dosud umíme řešit jen omezený sortiment problémů, v nichž tvar a vnitřní struktura těles nemají vliv na jejich pohyb. To souvisí s pojmem hmotného bodu, který nepodstatné vlastnosti tělesa zanedbává a jedinou fyzikální veličinou, charakterizující těleso, je jeho hmotnost m. Existuje mnoho mechanických problémů, které lze řešit, když hmotné těleso nahradíme hmotným bodem. Příklady Pohyby vozidel po křivočarých drahách, pohyby střel, pohyb planet ve sluneční soustavě a mnohé další. Touto aproximací však nelze řešit všechny problémy dynamiky těles, protože: 1. dvě síly mohou působit na těleso v obecně různých bodech a tak vést k otáčivému pohybu okolo jeho vlastní osy, 2. působení jedné síly může vést rovněž ke vzniku otáčivého pohybu (eventuelně i posuvného), 3. statické i dynamické vlastnosti prvků stavebních konstrukcí jsou závislé na jejich momentu setrvačnosti vzhledem k určité ose, 4. v točivých strojích jsou rotující součásti (hřídele, setrvačníky), jejichž setrvačné vlastnosti nelze zanedbat a v některých případech (setrvačníky) jsou přímo funkčně využívány. Modely reálného tělesa Reálné těleso můžeme modelovat různými způsoby: • Hmotný bod – způsob užitý v předcházejicí části, zcela se ignoruje vnitřní struktura tělesa; nejvyšší stupeň idealizace • Soustava hmotných bodů – umožňuje zachytit část struktury tělesa diskrétním způsobem a může docházet ke změně vzdáleností mezi jednotlivými body • Tuhá soustava hmotných bodů – jako předchozí, jen vzdálenosti jsou pevné
• Těleso – modeluje reálné těleso jako spojité prostředí (kontinuum) s hustotou element R R ρ, zavádíme tělesa s objemem dV a hmotností dm, celé těleso pak má hmotnost m = m dm = V ρ dV ; těleso může podléhat změně rozměrů (deformacím) • Tuhé těleso – stějně jako v předešlém bodě jde o spojité prostředí, které ale není deformovatelné V tomto kurzu se nebudeme věnovat situacím, kdy dochází k deformacím, které nelze zanedbat.
r dm
Příklad ~ =R ~ × F~ , který způsobí rotaci tělesa jako celku Síla F~ působí na válec na jeho obvodu momentem síly, M 0 okolo pevné osy OO . Jestliže osa není pevná, pak těleso rotuje kolem osy OO 0 a současně se pohybuje jako celek. Druh pohybu závisí na síle F~ a na počátečních podmínkách.
29
Soustava hmotných bodů Soustava hmotných bodů je definována jako množina n hmotných bodů chápaná jako jeden celek. Výběr hmotných bodů, které budou zahrnuty do soustavy je libovolný, závisí na zvoleném postupu řešení. Počet stupňů volnosti soustavy • Hmotný bod – počet stupňů volnosti i hmotného bodu je roven počtu nezávislých souřadnic právě nutných k jednoznačnému určení polohy hmotného bodu v prostoru. – Volný hmotný bod v prostoru má tři stupně volnosti, i0 = 3. Je totiž třeba určit právě tři čísla, tj. souřadnice x, y a z ve zvoleném vztažném systému. – Jestliže je hmotný bod vázán na plochu o rovnici f (x, y, z) = 0, stačí udat pouze dvě souřadnice polohy, třetí souřadnice se vypočítá ze známé rovnice plochy. V takovém případě má hmotný bod 2 stupně volnosti, i0 = 2. – Při pohybu vázaném na křivku o rovnicích z = f (x, y), z = g(x, y) má hmotný bod jeden stupeň volnosti, i0 = 1. Plocha, čára, atd., na kterou je vázán pohyb hmotného bodu, se nazývá vazba a její rovnice je vazební podmínka. Výsledný počet stupňů volnosti je i = i0 − k, kde i0 je počet stupňu volnosti bez vazeb a k je počet vazebních podmínek. Příklad Mějme hmotný bod zavěšený na niti o délce L (matematické kyvadlo). Pro délku L platí L = p x2 + y 2 , což je jediná podmínka (k = 1). Ze dvou souřadnic x, y stačí udat jen jednu, např. x – druhá souřadnice y se vypočítá z rovnice pro L (souřadnice z je stále nulová, pohyb je rovinný). x L
y
• Soustava n hmotných bodů – v trojrozměrném prostoru má i = 3n − k stupňů volnosti, kde k je počet vazebních podmínek (i mezi body navzájem).
Celková hmotnost a celková hybnost soustavy hmotných bodů V určitém čase t = t0 má k-tý bod hmotnost mk , rychlost ~vk a hybnost p~k = mk~vk . r mj Celková hmotnost soustavy hmotných bodů m je skalární kvantitativní míra tího- v j vých a setrvačných vlastností soustavy hmotných bodů a je rovna součtu hmotností jednotlivých bodů n X mn m = m1 + m2 + · · · + m n = mk . r k=1
30
vn
r vk mk
Celková hybnost soustavy hmotných bodů p~ se rovná vektorovému součtu hybností jednotlivých bodů p~ = p~1 + p ~2 + · · · + p ~n =
n X
p~k =
k=1
n X
mk~vk .
k=1
Vnitřní a vnější síly soustavy Na jeden bod ze soustavy hmotných bodů mohou působit dva typy sil: • okolní tělesa, která do soustavy nepočítáme, působí na soustavu vnějšími silami, tuto sílu působící na k-tý bod označme kF~ . • jednotlivé hmotné body soustavy na sebe působí působí vnitřními silami, tuto sílu od bodu j působící na k-tý bod označme F~kj . Pro výpočet výsledné síly působicí na soustavu určíme nejprve výslednou sílu vekF k působící na k-tý bod n X F~k = kF~ + F~kj j=1,j6=k
(v sumaci se nevyskytuje člen j = k, neboť hmotný bod nepůsobí sám na sebe). mk
r Fk 1 r F2 k
r F1k
r F12
r F21
m1
m2
Uvažujme soustavu n hmotných bodů o hmotnostech m1 , m2 , . . . , mn a určeme nyní výslednou sílu. • Vnitřní síly soustavy. Na k-tý bod soustavy působí síly od prvého, druhého, . . ., j-tého, . . ., n-tého hmotného bodu, označené postupně F~k1 , F~k2 , . . . , F~kn . Celková vnitřní síla na k-tý bod tedy je n X F~kj . F~k = F~k1 + F~k2 + · · · + F~kj + · · · + F~kn = j=1,j6=k
Vyjádříme nyní vnitřní sílu pro všechny body soustavy. Získáme tak postupně n rovnic pro F~1 , F~2 ,. . . , F~n . Když tyto rovnice sečteme, dostaneme n n n X X X F~1 + F~2 + · · · + F~k + · · · + F~n = F~k = F~kj . k=1
k=1
j=1
V poslední sumaci vždy najdeme dvě síly, které jsou ve vztahu akce a reakce dle 3. Newtonova zákona. To znamená, že se v soustavě navzájem ruší – vnitřní síla je nulová. Logickým důsledkem jsou tyto věty: 1. Výsledná síla působící na soustavu hmotných bodů je rovna výslednici vnějších sil. 2. Vnitřní síly nemohou změnit pohybový stav soustavy hmotných bodů.
31
Příklad Výsledná vnitřní síla v soustavě tří hmotných bodů. Sčítací indexy k, j probíhají nezávisle hodnoty 1, 2, 3, členy se stejnými indexy se vynechají. 3 X
F~k = F~12 + F~13 + F~21 + F~23 + F~32 + F~31 .
k=1
Mezi těmito sílami platí vztahy F~12 = −F~21 ,
F~13 = −F~31 ,
F~23 = −F~32 .
• Vnější síly. Z přechozího vyplývá, že pouze tyto síly mohou změnit pohybový stav soustavy.
Moment síly v soustavě hmotných bodů Na hmotný bod mk působí vnitřní síla F~kj . Moment této síly k bodu O je
r Fk j
~ kj = ~rk × F~kj . M
r F jk
Obdobně moment vnitřní síly F~jk k tomuto bodu je
r rj k
~ jk = ~rj × F~jk . M Výsledný moment síly je dán jejich vektorovým součtem ~ =M ~ kj + M ~ jk = (~rj − ~rk ) × F~kj , M
r rk
r rj
kde jsme využili zákona akce a reakce. Vektor ~rjk = ~rj −~rk je kolineární s vektorem síly F~jk a proto je jejich vektorový součin nulový. Proto je nulový i výsledný ~ = 0. moment, M
0
Předchozí úvahu lze zobecnit na všechny dvojice vnitřních sil, které jsou všechny ve vztahu akce a reakce podle 3. Newtonova zákona. Obdržíme tvrzení, že výsledný moment všech vnitřních sil soustavy hmotných bodů vzhledem k libovolnému bodu v prostoru je nulový, n n X X
~ jk = 0. M
k=1 j=1,j6=k
To mimo jiné znamená, že soustava hmotných bodů se nemůže otáčet vlivem vnitřních sil.
Hmotný střed soustavy hmotných bodů P~ Uvažujme soustavu hmotných bodů, na kterou působí vnější síly s výslednicí F~ = Fk , a hledejme způsob, jakým popsat chování soustavy při působení této síly. Vhodným přístupem je zavedení pojmu hmotný střed (těžiště). Hmotný střed je fiktivní bod, přiřazený dané soustavě, který má tyto vlastnosti: P • je v něm soustředěna hmotnost celé soustavy m∗ = nk=1 mk , • pohybuje se tak, jako kdyby na něj působila výslednice vnějších sil, Pk • jeho hybnost p~ je proto rovna celkové hybnosti soustavy m~v ∗ = n=1 mk~vk .
32
Výpočet souřadnic hmotného středu Označme ~r∗ polohový vektor hmotného středu. Z výše uvedených vlastností plyne, že musí platit n
d(m~r∗ ) d X mk ~rk , = dt dt k=1
kde ~v ∗ =
∗
d~ r dt
. Obecným řešením rovnice je polohový vektor n
~r =
1 X mk ~rk + ~c, m k=1
kde ~c je libovolný konstantní vektor. Počátek vektoru ~c určuje hmotný střed o polohovém vektoru: Pn mk ~rk m1~r1 + m2~r2 + · · · + mn~rn ∗ ~r = . = Pk=1 n m1 + m 2 + · · · + m n k=1 mk Tato vektorová rovnice vyjadřuje tři skalární rovnice Pn Pn mk y k ∗ k=1 mk xk Pk=1 x∗ = P , y = , n n k=1 mk k=1 mk
Vlastnosti hmotného středu
Pn mk z k z ∗ = Pk=1 . n k=1 mk
• Poloha hmotného středu vzhledem k soustavě hmotných bodů nezávisí na volbě vztažného systému. • Jestliže zvolíme počátekPvztažného systému (jeho souřadné soustavy) v hmotném středu, potom platí ~r∗ = 0, takže také nk=1 mk ~rk = 0. • V hmotném středu soustavy je soustředěna celková hmotnost soustavy.
• Jeho hybnost se rovná vektorovému součtu hybností všech bodů soustavy
• V zemském tíhovém poli je hmotný střed soustavy totožný s působištěm tíhové síly a nazývá se těžiště.
Příklad Nalezněte bod na spojnici Země–Měsíc, v němž leží hmotný střed této soustavy dvou „hmotných bodůÿ. Hmotnost Měsíce mM a hmotnost Země mZ spolu souvisí vztahem mZ = 80mM .
Zemì
Mìsíc
mZ
mM
x=0
x=x* x=xM
Řešení Vztažný systém stanovíme jako osu x. Počátek souřadnic je ve středu Země. Souřadnice hmotného středu bude mM m Z xZ + m M xM = xM , x∗ = mZ + m M mZ + m M po dosazení hodnot xM = 384000 km dostaneme x∗ = 4740 km. Hmotný střed soustavy Země–Měsíc leží 1630 km pod ideálním povrchem kulové Země.
Impulsové věty Druhý Newtonův zákon platil jen pro jeden hmotný bod. Jeho zobecnění pro soustavu hmotných bodů formuluje tzv. impulsové věty. 33
První impulsová věta Vezmeme nejprve jeden hmotný bod k ze soustavy. Pro tento bod tedy platí d~ pk = F~k + dt
n X
F~kj .
j=1,j6=k
První člen F~k je výslednice vnějších sil působících na bod k, druhý člen je výslednice vnitřních sil na bod k. Takové rovnice můžeme napsat pro všechny body k = 1, 2, . . . , n a po jejich sečtení získáme n X d~ pk k=1
dt
=
n X
F~k +
k=1
n n X X
F~kj .
k=1 j=1,j6=k
Poslední člen (dvojitý součet) je výslednice vnitřních sil mezi všemi body soustavy a je tudíž roven nule. Nyní zaměníme pořadí součtu podle k a derivace podle času na levé straně rovnice a zíkáme n
n
k=1
k=1
X d X p~k = F~k . dt Pn
Označíme p~ = k=1 p~k jako celkovou hybnost soustavy hmotných bodů a F~ = všech vnějších sil působících na soustavu a můžeme psát první impulsovou větu
Pn
k=1
F~k jako výslednici
d~ p . F~ = dt Časová změna celkové hybnosti soustavy je rovna výsledné vnější síle působící na soustavu hmotných bodů. Izolovaná soustava Soustava, na kterou nepůsobí vnější síla, tzn. soustava, pro kterou platí F~ = 0, se nazývá izolovaná. Z první impulsové věty pro ni plynou následující důsledky: • Celková hybnost izolované soustavy hmotných bodů je konstantní. Zákon zachování celkové hybnosti izolované soustavy hmot. bodů • Celková mechanická energie izolované soustavy hmotných bodů je konstantní. Zákon zachování celkové energie izolované soustavy hm. b. • Hmotný střed izolované soustavy je buďto v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. Zákon pohybu hmotného středu izolované soustavy hm. b. Příklad Balistické kyvadlo určené pro měření rychlosti střely je bedna s pískem na paralelních závěsech. Na soustavu střely a kyvadla lze nahlížet jako na izolovanou soustavu dvou hmotných bodů. Odvoďte vztah pro určení rychlosti střely z výšky bedny.
v1
v0= 0
v m
m
m0
m0
h
Řešení Označme vlastnosti střely indexem 1 a vlastnosti bedny indexem 2. Na začátku, před vniknutím střely 34
do bedny, máme podmínky pro střelu v1 6= 0, p1 = mv1 a bednu v klidu v0 = p0 = 0, celková hybnost je p = p1 . Těsně po vniknutí střely je v1 = v0 = v a výsledná hybnost soustavy je p = (m1 + m0 )v. Ze zákona zachování celkové hybnosti obdržíme rovnici m1 v1 = (m1 + m0 )v. Po vniknutí střely se začne bedna pohybovat a vlivem závěsů se bude mírně zvedne. Maximální výška h odpovídá nulové rychlosti bedny se střelou a v této poloze je veškerá počáteční kinetická energie přeměněna na potenciální. Ze zákona zachování celkové energie pak plyne vztah 1 m21 v12 = (m1 + m0 )gh. 2 m1 + m 0 Druhá impulsová věta Opět mějme soustavu hmotných bodů s hmotnostmi mk , hybnostmi p~k = mk ~vk P a působícími sílami F~k + F~jk . Moment hybnosti k-tého bodu je ~bk = ~rk × m~vk . ~ k = ~rk × F~k + ~rk × P F~jk způsobuje časovou změnu momentu Moment síly M hybnosti X ~b˙k = ~rk × F~k + ~rk × F~jk ,
r vk r rk
r Fk
mk
což je soustava n rovnic pro k = 1, 2, 3, . . . , n. Rovnice sečteme a dostaneme časovou změnu momentu ˙ hybnosti ~b celé soustavy n n n n X X X X ~b˙ = ~b˙k = ~rk × F~k + k=1
k=1 j=1,j6=k
k=1
~rk × F~jk ,
kde druhý člen (dvojitá sumace) je výsledný moment vnitřních sil a ten je opět nulový. Označíme-li výsledný moment vnějších sil X ~ = M k = 1n ~rk × F~k , získáme druhou impulsovou větu
n
d X~ ~. bk = M dt k=1
Časová změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výslednému momentu vnějších sil. ~ = 0 a proto i ~b˙ = 0, což vede k zákonu zachování momentu hybnosti Pro izolovanou soustavu je M n X
~bk = konst.
k=1
Celkový moment hybnosti izolované soustavy vzhledem k libovolnému pevnému bodu je konstantní. Volba bodu: Jedná se o moment hybnosti a moment síly vzhledem k libovolnému pevnému bodu.
35
Tuhé těleso Tuhé těleso (dále jen těleso) je zvláštní případ tuhé soustavy hmotných bodů, které charakterizuje: • obrovský počet hmotných bodů
• vzdálenosti hmotných bodů jsou konstantní
• vzdálenosti hmotných bodů nezávisí na působících silách.
Reálná tělesa nesplňují podmínky poslední dvě podmínky, protože jsou buďto pružná nebo plastická. Matematický model K vypořádání se s velkým počtem bodů aplikujeme aparát spojitých veličin (integrální a diferenciální počet) na nespojité prostředí, přičemž předpokládáme, že látka v tělese je rozložena spojitě. Zavádíme v tělese element s hmotností dm, který je tak malý, aby umožnil přechod ke spojitému pojetí, ale tak velký, aby obsahoval dostatečný počet atomů nebo molekul (hmotných bodů). Přechod ke spojitým veličinám
dm
. . .
.. .
. .
Přechod ke spojitým veličinám realizujeme formální transformací mk X
→ →
k
dm, Z dm
a vzhledem ke kompatibilitě lze převzít pojmy ze soustavy hmotných bodů. Platí – po přechodu ke spojitým veličinám – všechny vztahy a věty (hmotný střed, první a druhá impulsová věta). R Integrace: Naznačený integrál dm ve skutečnosti znamená integraci přes celý objem tělesa V . Nově se zavádí pojem hustota tuhého tělesa ρ=
element hmotnosti dm = . dV element objemu
Takto zavedená hustota je lokální, tzn. může bý různá v různých místech tělesa. Zavádí se ještě střední hustota ρ¯ = m V . Pro homogenní těleso platí qbarρ = ρ = konst. Celková hmotnost tělesa se pomocí hustoty vyjádří integrací Z m= ρ dV. V
Hmotný střed je definován analogicky
R ~r dm ~r = R dm ∗
a pro jednotlivé složky
R x dm x∗ = R , dm
R y dm y∗ = R , dm
R z dm z∗ = R . dm
V případě homogenního tělesa lze integrace provádět přes objem tělesa a psát Z 1 ~r dV. ~r∗ = V
36
Rovnováha tuhého tělesa Aby bylo těleso v klidu a rovnováze, je nutno splnit dvě podmínky: P • výsledná vnější síla je nulová, F~ = F~k = 0, ~ = PM ~ k. • výsledný moment vnější síly je nulový, M
Tyto podmínky lze splnit třemi různými způsoby, máme tedy tři rovnovážné polohy: • Stabilní rovnováha – při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy vznikne moment síly, který těleso vrací do původní polohy. • Labilní rovnováha – při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy vznikne moment síly, který těleso dále vychyluje z původní polohy. • Indiferetní rovnováha – při vychýlení tělesa jsou opět splněny podmínky rovnováhy, nedochází k dalšímu pohybu.
Druhy pohybu tuhého tělesa Narozdíl od bodu se tuhé těleso může pohybovat dvěma základními způsoby. Translace je posuvný pohyb, při kterém všechny body tělesa se pohybují po rovnoběžných trajektoriích a mají v určitém t stejnou rychlost a zrychlení. ~rA − ~rB d~rA dt d2~rA dt2
= ~rA0 − ~rB 0 = konst. d~rB = dt d2~rB = dt2
B’ B A’
r rB
A
r rA
Translační pohyb tělesa je plně popsán pohybem jediného bodu, např. hmotného středu a lze užít prvního i druhého Newtonova zákona. Rotace je otáčivý pohyb, při kterém všechny body opisují kruhové oblouky se středy na ose rotace. Platí ~ dφ dt d~ ω ~ε = dt ~v = ω ~ × ~r ω ~ =
r w
r rk
r vk m
Při tomto pohybu nelze přímo použít první Newtonův zákon (např. moment dvojice sil). Osa: Je-li poloha osy rotace neměnná k vztažnému systému, pak se osa nazývá pevná. Taková osa se realizuje upevněním v ložiskách. Jestliže se poloha osy mění, pak je to volná osa.
37
Příklad Ilustrativním příkladem může být ruské kolo. Při pomalém otáční (ω → 0) se jednotlivé „kabinkyÿ pohybují pouze posuvným pohybem, nenatáčí se vzhledem k zemi. Při hodně velké rotaci (ω 0) by docházelo k jejich otáčení kolem středu celého kola.
Kinetická energie tuhého tělesa Kinetická energie tuhého tělesa je součetem kinetických energií všech jeho bodů n
Ek =
1X mk vk2 . 2 k=1
Energie translace Všechny body tělesa mají při translaci stejnou rychlost ~v1 = ~v2 = · = ~vn = ~v , proto je n
Ek =
1 2X 1 v mk = m∗ v 2 , 2 2 k=1
kde jsme použili hmotnost hmotného středu m∗ . Energie rotace Všechny body mají stejnou úhlovou rychlost ω. Liší se však obvodovou rychlostí, která má pro k-tý bod velikost vk = rk ω, kde rk je kolmá vzdálenost od osy rotace k bodu k. Kinetická energie bodu k tedy je 1 1 Ek = mk vk2 = mk rk2 ω 2 2 2 a součtem přes všechny body získáme kinetickou energie celého tělesa n
Ek =
n
1 X 1X mk rk2 ω 2 = ω 2 mk rk2 , 2 2 k=1
r vk
r w r rk
mk
k=1
kde jsem využili konstantnosti úhlové rychlosti ω. P Výraz mk rk2 závisí pouze na rozložení hmotnosti v tělese a nedá se obecně vyjádřit pro libovolné těleso. Nazývá se moment setrvačnosti n X J= mk rk2 . k=1
Pro kinetickou energii rotačního pohybu pak lze psát 1 2 Jω . 2 Moment setrvačnosti a úhlová rychlost v tomto vyjádření zastávají analogické role jako hmotnost a rychlost při translačním pohybu. Ek =
38
Königova věta Výsledná kinetická energie obecného pohybu je rovna součtu kinetické energie translačního pohybu a kinetické energie rotačního pohybu 1 1 Ek = m∗ v 2 + Jω 2 . 2 2
Moment setrvačnosti je skalární kvantitativní míra setrvačných vlastností tělesa při otáčivém pohybu. Pro diskretní rozložení látky je definována vztahem n X J= mk rk2 , k=1
pro spojité rozložení J=
Z
r2 dm. m
Velikost momentu závisí na ose, k níž je počítán. Jednotka momentu setrvačnosti [J] = kg.m2 Poloměr setrvačnosti Rg (též gyrační poloměr) je taková vzdálenost od osy, při které se bude jediný hmotný bod (s hmotností rovnající se hmotnosti tělesa) chovat při rotaci shodně s daným tělesem, tj. bude mít stejný moment setrvačnosti, r Z J 2 2 J = r dm = mRg → Rg = . m
m Rg
J m
Výpočet momentu setrvačnosti R Základem je výpočet podle definice, tedy ze vztahu J = r2 dm. Vyjádříme hmotnostní element pomocí hustoty a objemu, dm = ρdV = ρdxdydz. Pak lze psát Z Z Z O O’ J= ρr2 dx dy dz,
Ja
resp. pro homogenní těleso J =ρ
Z Z Z
JT r2 dx dy dz.
Určuje se tedy pomocí trojné integrace. Známe-li moment setrvačnosti k nějaké ose, můžeme použít Steinerovu větu. Nechť je JT moment setrvačnosti vzhledem k ose o jdoucí těžištěm tělesa.
39
m a
Pak moment setrvačnosti Ja vzhledem k jiné ose o0 rovnoběžné s o určíme ze vztahu Jo0 = JT + md2 , kde d je vzdálenost obou os. Příklady Válcová deska Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní válcové desky s poloměrem R vzhledem k ose jdoucí středem kolmo na její plochu. Tloušťka desky je h a hustota ρ. Řešení rdf dr Element plochy desky má tvar dS = rdrdφ, objemu pak dV = dSh a element df dS hmotnosti je dm = ρrdrdφh. Po dosazení do definice získáme Z R Z 2π 1 R J =h ρr3 dφ dr = πρR4 h. 2 0 0 Protože celková hmotnost desky je m = πρR 2 h, lze vztah přepsat do tvaru Jdeska =
1 mR2 . 2
Koule Určete moment setrvačnosti JR plné homogenní koule o poloměru R a hmotnosti m vzhledem k ose, která se dotýká koule na jejím povrchu. Řešení Příklad rozložíme na dvě části. • Podle Steinerovy věty platí JR = JT + mR2 , protože vzdálenost os je d = R. • Moment vzhledem k těžišti JT vypočteme z definice, JT = 52 mR2 . Výsledný moment setrvačnosti tedy je
R JT
JR =
2 7 mR2 + mR2 = mR2 . 5 5
Moment setrvačnosti a moment hybnosti Stanovme nyní souvislost mezi momentem setrvačnosti J a momentem hybnosti ~b. Uvažujme bod k rotující okolo svislé osy s úhlovou rychlostí ω ~ . Moment hybnosti tohoto bodu bude ~bk = ~rk × mk~vk = mk r2 ω k~ , kde jsme dosadili za ~vk = ω × ~rk . Součet přes celé těleso dává X ~b = ω mk rk2 . ~ k
r vk r mk rk m J
Výraz se sumací představuje moment setrvačnosti, takže získáváme rovnici pro rotaci tuhého tělesa kolem pevné osy ~b = J~ ω, která platí pro tělesa libovolného tvaru a pro libovolnou osu rotace. Pohybová rovnice Pohybovou rovnici pro rotaci tuhého tělesa okolo pevné osy odvodíme ve formální analogii k pohybové rovnici hmotného bodu podle druhého Newtonova zákona. 40
Rovnice pro moment hybnosti ~b tuhého tělesa, jež má moment setrvačnosti J vzhledem k pevné ose rotace, okolo níž rotuje úhlovou rychlostí ω ~ je ~b = J~ ω. Provedeme-li první derivaci podle času, získáme ~b˙ = J ω ~˙ . ˙ ~ aω Protože platí ~b = M ~˙ = ~ε, získáváme pohybovou rovnici pro rotaci tuhého tělesa kolem pevné osy ~ = J~ε M Příklad Na setrvačník, který má tvar plného homogenního válce o poloměru R a moment setrvačnosti J a který je v klidu, začne v čase t = 0 působit tečná síla F , která má konstantní velikost otáčení. Určete: 1. počet otáček setrvačníku během prvních k sekund, 2. oběžnou rychlost bodů na plášti válce setrvačníku na konci k-té sekundy,
r R
r F
3. kinetickou energii válce na konci k-té sekundy, 4. poloměr setrvačnosti Rg válcového setrvačníku Řešení ~ síly F~ na obvodu válce je M ~ =R ~ × F~ a velikost je M = RF . Pohybová rovnice pro rotaci Moment M kolem pevné osy tedy je M = Jε = RF, z čehož získáme úhlové zrychlení ε=
RF . J
Integrací pak získáme úhlovou dráhu qphi =
1 2 RF 2 2 εt = k t0 , 2 2J
kde t0 = 1 s. Řešení úlohy tedy jsou: 1. Počet otáček je n =
φ 2π
=
RF k2 t20 4qpiJ .
2. Oběžná rychlost pláště válce na konci k-té sekundy je v = Rω = Rεt = 3. Kinetická energie Ek = 12 Jω 2 = 12 J(εt)2 = válce.
F 2 k2 t20 mR2 ,
4. Z definice poloměru setrvačnosti plyne Rg =
q
J m
R2 F kt0 . J
kde jse využili vztahu pro moment setrvačnosti =
R √ . 2
Zákon zachování momentu hybnosti pro tuhé těleso ˙ ~ . Jestliže M ~ = 0, tzn. na Vyjdeme z pohybové rovnice pro rotaci tuhého tělesa okolo pevné osy ~b = M ˙~ těleso nepůsobí žádný moment síly, pak b a jeho moment hybnosti ~b je konstantní, X
~bk = konst.
k
41
Příklad Počáteční úhlová rychlost akrobata, který skáče tzv. salto, je ω 1 = 2πs−1 vzhledem k ose procházející jeho těžištěm; jeho moment setrvačnosti vzhledem k téže ose je J1 = 1, 5 kg.m2 . Aby zvýšil úhlovou rychlost, akrobat přitáhne ruce i nohy k tělu. Tím klesne jeho moment setrvačnosti na J 2 = 0, 5 kg.m2 . Určete jeho novou úhlovou rychlost ω2 a změnu kinetické energie ∆Ek. Řešení Původní moment hybnosti byl b1 , nový je b2 = b1 . Proto je J1 ω1 = J2 ω2 , takže ω2 = JJ21 ω1 = 6πs−1 . Změna kinetické energie pak je ∆Ek =
1 J1 ω12 − J2 ω22 = 6π 2 J. 2
Práci A = ∆Ek vykoná akrobat, když přitáhne ruce a nohy k tělu.
Práce při otáčení tuhého tělesa Víme, že práce je dráhový účinek síly. Nyní budeme hledat dráhový účinek momentu síly.
r ds
y+dy dy
y
m
dx
r F
r r
dj j
x
x+dx
~ = ~r × F ~ . Síla F~ způsobí v rovině xy (s osou rotace z) posunutí Na bod působí síla F~ momentem M d~s, jehož velikost je ds = rdφ, a průměty do os jsou dx = −ds sin φ = −rdφ sin φ, dy = +ds cos φ = +rdφ cos φ. Elementární práce při rotaci o úhel dφ je dA = Fx dx + Fy dy = (Fy x − Fx y)dφ. Výraz v závorce odpovídá souřadnici Mz momentu síly a tedy dA = Mz dφ. Celková práce při otočení tělesa o úhel Φ okolo pevné osy z je Z Φ A= Mz dφ, 0
což se zobecní pro libovolnou orientaci osy rotace na A=
Z
φ2
~ ~ dφ. =M
φ1
R ~r Analogie: Tato rovnice je analogická k definici práce A = ~r12 F~ d~r. Analogií lze nalézt i výkon při otáčení tuhého tělesa Z dA d ~ = M~ ~ dφ ~ ω, P = = M dt dt ~ = konst. je-li M 42
Příklad Vypočítáme práci potřebnou k tomu, aby válec vykonal se stálým zrychlením právě n otáček (navážeme na předchozí příklad). Řešeni Vykonaná práce bude Z φn A= M dφ, 0
kde M = RF . Horní mez integrálu je úhlová dráha vykonaná během prvních k sekund. Práce potom je A = RF φk . Pro n otáček musí být φk = 2nπ a řešením je A = 2nRF π.
Rovinný pohyb tuhého tělesa Tuhé těleso koná rovinný pohyb, jestliže vektor okamžité rychlosti ~v k každého hmotného bodu k je trvale rovnoběžný s určitou rovinou; pro určitost budeme uvažovat zpravidla rovinu xy. Rovinný pohyb tuhého tělesa se skládá z postupného pohybu hmotného středu rychlostí ~v ∗ , která leží v rovině xy, a z rotace okolo osy procházející hmotným středem kolmo k rovině xy. Příklady: • Pohyb střely v zemském tíhovém poli
• Pohyb kol dopravních prostředků (krátkodobě)
• Pohyb kyvadla
• Pohyb planet ve sluneční soustavě
Rovinný pohyb zahrnuje současně dvě rovnice – pohybovou rovnici pro pohyb hmotného středu T a pohybovou rovnice pro rotaci okolo okamžité osy rotace.
osa y
r v
T
Z
f
Mìsíc
V
S
M
r r*
y* osa x
x* Pohyb hmotného středu popisuje vektorová rovnice
2 ∗
d ~r F~ = m 2 , dt kde m je celková hmotnost tělesa, F~ výsledná síla působící na těleso. Ekvivalentní jsou dvě skalární rovnice d2 x ∗ d2 y ∗ Fx = m 2 , Fy = m 2 . dt dt Rotace tuhého tělesa okolo osy procházející hmotným středem T kolmo k rovině xy je popsána rovnicí d2 φ = Mz , dt2 kde JT je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose kolmé k rovině XY a procházející těžištěm, M z je složka výsledného momentu síly, která způsobuje rotaci tělesa okolo osy z. JT =
43
Příklad Homogenní válec se valí bez klouzání přímočaře po vodorovné rovině působením síly F~ , která má působiště v hmotném středu (těžišti) válce. Hmotný střed válce se pohybuje ve směru osy x podle vztahu x = 12 at2 , ~ a sílu tření T~ . kde a = konst. Určete sílu F~ , reakci podložky N y
r r
r F
r v
r G r N
r T
x
Řešení Působící síly mají následující složky F~ = (F, 0),
T~ = (T, 0),
~ = (0, G), G
~ = (0, N ). N
Vyšetřujme postupně dva pohyby: dx dt .
1. Translace těžiště s rychlostí ~v = (0, v), kde v = mx¨T = F − T,
Zde máme pohybové rovnice
my¨T = N − G.
Protože se válec nepohybuje ve směru osy y, je y¨T = 0 a tedy N = G. Pro rychlost hmotného středu ˙ kde ω je úhlová rychlost rotace. Zrychlení je dáno vztahem a = x¨T = rφ. ¨ platí x˙T = rω = rφ, 2. Rotace okolo vodorovné osy procházející těžištěm s úhlovou rychlostí ω = tvar J φ¨ = T r, kde J = 12 mr2 . Spojením rovnic pro translaci a rotaci získáme 1 2a mr = Tr 2 r
→
Z rovnice pro xT dostaneme ma = F − což dává výsledek F = 23 ma.
44
T = ma , 2
ma . 2
dφ dt .
Pohybová rovnice má
