FIZIKA I.
MECHANIKA
Ez az anyag azokat a részeket foglalja össze vázlatosan, amelyek az előadás és a vizsga anyagában is szerepelnek, de a Kísérleti Fizika I. ill. a Fizikai alapismeretek c. jegyzetben nem, vagy az előadástól nagyon eltérő módon fordulnak elő. Erre a két jegyzetre fogunk hivatkozni: Láng László: Kísérleti Fizika I. 60930 (J6-930) /Röviden: KF/ Farkas - Wittmann: Fizikai Alapismeretek 60947 (J6-947) /Röviden: FA/
Mechanika 1. Alapfogalmak A pont modellje közelítésként alkalmazható relatíve kisméretű testek mozgásánál. Alkalmazható azonban tetszőleges méretű testek transzlációs mozgása esetén is. Végül a pontmechanika alkalmazhatóságának egy másik területét jelöli ki a tömegközéppont tétele.
2. Koordinátarendszerek 2.1. Descartes-féle koordinátarendszer A háromdimenziós euklideszi térben bevezethető egy Descartes-féle jobbsodrású koordinátarendszer, amelynek egységvektorait szokásosan i, j, k-val, a helyvektort r-rel, a helyvektor koordinátáit x, y, z-vel jelöljük. /KF/ Általánosabban az f-dimenziós euklideszi térben a Descartes-féle koordinátarendszer egységvektorait ei -vel, a helyvektort x-szel, koordinátáit xi-vel jelöljük: f
/2.1/
x=
∑
xi ei
i=1
Hasonlóan e térben bármely a vektorjellegű fizikai mennyiség ebben a bázisban komponensekre bontható: f
/2.2/
a=
∑ i =1
ai ei
ai : a vektor i-edik komponense,
ai ei : a vektor i-edik vektorkomponense. A Descartes-rendszer egységvektorai ortonormált bázist alkotnak, ami azt jelenti, hogy ei ⋅ ej = δij /2.3/ δij : az f×f-es egységmátrix elemei. Ezért a vektorok skaláris szorzata Descartes-rendszerben a komponensek szorzatösszege: /2.4/
a⋅b=
f
∑ i =1
ai bi ,
az a vektor hosszának négyzete pedig: /2.5/
a2 =
f
∑ i =1
ai2
A koordinátarendszer koordinátavonalai azok a vonalak, amelyek mentén egy kivételével minden koordináta konstans. A koordinátatengelyek pedig azok a koordinátavonalak, amelyeknél a konstansok értéke éppen zérus. A Descartes-rendszer koordinátavonalai egyenesek (párhuzamosak illetve merőlegesek).
1
2.2. Általános koordináták Szemléltetésül képzeljünk el egy könnyen nyújtható anyagból készült abrosszal fedett asztalt. A Descartes-féle koordinátavonalak négyzetes hálóját mind az asztalra, mind az abroszra rajzoljuk rá. Nyújtsuk az abroszt az asztal síkjában (a különböző részeket különböző mértékben, zsugorítást is megengedve). Általános koordinátarendszer Ekkor az asztal síkjának bármely pontja kétféleképpen is megadható koordinátákkal, mégpedig az asztalra rajzolt (x1,x2) Descartes-koordinátákkal és az abroszon lévő (q1,q2) általános koordinátákkal. Tekintsük a sík egy x helyvektorú pontját. Ehhez a ponthoz tartozzanak a Descartesrendszerben az (x1,x2) koordináták, egy másik koordinátarendszerben pedig a (q1,q2) koordináták. A két koordinátarendszert vigye át egy differenciálható és invertálható koordináta-transzformáció egymásba: /2.6/ xi = xi (q1,q2) i=1,2 /2.7/ qi = qi (x1,x2) i=1,2 Fejezzük ki az x helyvektort a Descartes-bázisban, de a q-koordinátákkal: x = x1 e1 + x2 e2 = x1 (q1,q2) e1 + x2 (q1,q2) e2 /2.8/ A helyvektor tehát a q-koordináták függvénye. A parciális deriváltak olyan vektorok, amelyek a koordinátavonalak érintői. A /2.9/ b*i = δx / δqi i=1,2 vektor a qi-koordinátavonal érintője irányába mutat. E vektorokat beosztva a hosszukkal normált bázisvektorokat kapunk: i=1,2 /2.10/ bi = b*i / b*i , b i = 1 A sík bármely a vektora kifejezhető ebben a bázisban is: /2.11/ a = a1 b1 + a2 b2 Egészen hasonló módon vezethetők be az f-dimenziós euklideszi térben a (q1,q2,...qf) általános koordináták, és a hozzájuk tartozó bi normált bázisvektorok. Az általános koordinátarendszer a Descartes- koordinátarendszertől több vonatkozásban lényeges eltéréseket mutat: a/ A koordinátavonalak nem feltétlenül egyenesek. b/ A bázisvektorok nem feltétlenül ortogonálisak egymásra, ezért a hosszra és a vektorok skaláris szorzatára nem állanak fel egyszerű összefüggések. c/ A bázisvektorok nem feltétlenül állandóak: a tér minden x pontjához tartozik egy bázis. Tehát a bázis lokális bázis. d/ Az x helyvektor komponensei nem feltétlenül egyenlők a qi koordinátákkal. Sokszor szükségünk van a dx elemi elmozdulás kifejezésére: /2.12/ dx = Σ (dx/dqi)dqi Ha az elemi elmozdulás a qi-koordinátavonal irányába mutat és a dqi koordináta-differenciálhoz tartozik, akkor /2.13/ dx = (dx/dqi)dqi 2
Ez az elmozdulás tehát egy olyan elemi elmozdulás, ami a qi-koordinátavonalon (azaz a többi koordináta konstans értéke mellett) dqi változásnak felel meg. Általános koordináták esetén dqi nem feltétlenül egyenlő az elemi ívhosszal. Valóban, a /2.13/ elemi elmozduláshoz /2.14/ ds = dx = (δx/δqi)dqi elemi ívhossz tartozik. Elnevezések Ha a koordinátavonalak egyenesek, akkor a koordinátarendszert egyenesvonalúnak mondjuk. Belátható, hogy egy koordinátarendszer akkor és csak akkor egyenesvonalú, ha a normált bázisvektorok állandóak, azaz a tér minden x pontjához ugyanaz a bázis tartozik. Ha a bázisvektorok egymásra merőlegesek, akkor a koordinátarendszer derékszögű /ortogonális/. Derékszögű koordinátarendszerben a dqi koordináta-differenciálok egy elemi téglatestet határoznak meg, amelynek térfogata: f
/2.15/ dV = Π dx/dqidqi i=1
A Descartes-féle koordinátarendszer egyenesvonalú is és derékszögű is. De egy egyenesvonalú derékszögű koordinátarendszer sem feltétlenül Descartes- féle. Tekintsük például az (x) Descartes-féle koordinátarendszert, ebből az x1 = 2q1 transzformációval egyenesvonalú, derékszögű koordinátarendszerhez jutunk, ami azonban mégsem Descartes-féle. 2.3. További speciális koordinátarendszerek Síkbeli polárkoordináta-rendszer A két koordináta most az r sugár és a ϕ szög: /2.16/ x = r cos ϕ y = r sin ϕ A koordinátavonalak az origó középpontú körök, valamint az origóból kiinduló félegyenesek. A koordinátarendszer bázisvektorait szokásosan er-rel és eϕ-vel jelöljük, és radiális illetve poláris egységvektornak nevezzük. A fenti /2.9/ és /2.10/ formulák alkalmazásával kapjuk, hogy /2.17/ er = i cos ϕ + j sin ϕ ( = r / r ) eϕ = -i sin ϕ + j cos ϕ Ez a koordinátarendszer derékszögű és nem egyenesvonalú. Az elemi elmozdulás kifejezése: /2.18/ dr = er dr + eϕ r dϕ A koordinátavonalak irányával meghatározott területelem (kétdimenziós térfogatelem): /2.19/ dA = r dr dϕ Hengerkoordináta-rendszer A hengerkoordináta-rendszerhez úgy jutunk, hogy a síkbeli két polárkoordinátához hozzávesszük harmadiknak a harmadik z Descartes-koordinátát. Tehát:
3
/2.20/ x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ Itt ρ a z tengelytől mért távolságot jelenti. A bázisvektorok most: eρ, eϕ, ez . Az elemi elmozdulás: /2.21/ dr = eρ dr + eϕ r dϕ + ez dz A térfogatelem: /2.22/ dV = ρ dρ dϕ dz
z
Gömbi /térbeli polár-/ koordinátarendszer A gömbi koordinátarendszer egyik koordinátája az origótól mért r sugár. A másik két koordináta pedig a gömbfelület pontjaihoz rendelhető υ illetve ϕ szög. (A gömbfelületen a helyzetmegadás a földrajzból ismert szélességi és hosszúsági fokokkal is történhet, a gömbi koordináták ezektől kissé eltérnek - FA). A υ polárszög a z-tengellyel bezárt szög. Adott r és υ esetén a pont egy ρ = r sin υ sugarú körön /"szélességi kör"/ mozoghat. A kör merőleges a z-tengelyre és középpontja a z-tengelyen van. A körön a pont helyzetét az x-tengellyel párhuzamos sugárral bezárt ϕ azimutszög adja meg. Végülis a koordinátarendszert meghatározó koordináta-transzformáció összefüggései: /2.23/ x = r sinυ cosϕ z = r cosυ υ = r sinυ sinϕ A koordinátarendszer egységvektorai: er /sugárirányú/, eυ /a "hosszúsági kör" érintője irányú/, eϕ /a "szélességi kör" érintője irányú/. Az elemi elmozdulás: /2.24/ dr = er dr + eυ r dυ + eϕ r sinυ dϕ A derékszögű térfogatelem: /2.25/ dV = r2 sinυ dr dυ dϕ
3. Pontkinematika 3.1. Alapok Sebesség: /3.1/
v = r! = v ev , v = s! ev : érintő irányú, előremutató egységvektor
Gyorsulás: a = v! = !r! /3.2/ Mivel a Descartes-koordinátarendszer bázisvektorai állandóak, a sebességvektor és a gyorsulásvektor Descartes-komponensei egyszerűen adódnak /KF/. Általános koordinátarendszerben a sebesség kifejezése /2.12/-ből: v = dx/dt = Σ (dx/dqi)dqi /dt /3.3/ Síkbeli polárkoordináta-rendszerben ebből adódik a sebesség két komponense: 4
/3.4/ vr = r! vϕ = r ϕ! Egy más levezetést is adhatunk: v = d(rer)/dt = r! er + r e! r /3.5/ Bármely e egységvektor időderiváltja merőleges az egységvektorra. Ezt az állítást az e ⋅ e = 1 összefüggés idő szerinti differenciálásával láthatjuk be. Szemléletesen belátható, hogy az e! vektor nagysága viszont éppen a ϕ! nagyságával egyenlő, s így is eljutunk a /3.4/ formulákhoz: v = r! er + r ϕ! eϕ /3.6/ A gyorsulást a /3.6/ összefüggésből kapjuk további differenciálással /KF/. 3.2. Tangenciális és centripetális gyorsuláskomponens A vektorokat -amint az általános koordinátarendszernél láttuk- többféle bázisban előállíthatjuk komponenseikkel. A pontmechanikában a fentieken kívül használunk még egy olyan bázist, ami a pont pályájához illeszkedik. A pálya egy pontján vezessük be az ev tangenciális egységvektort. Ez a pálya érintője irányába mutat és mozgásirányban előre. A sebességvektor mindig ilyen irányú, mert v = v ev /3.7/ Képezzük most a gyorsulásvektort: a = v! ev + v e! v /3.8/ Tudjuk, hogy egységvektor időderiváltja merőleges az egységvektorra, ezért a második tag merőleges lesz a pálya érintőjére. Ennél azonban többet is mondhatunk. Szigorú matematikai levezetés helyett az eredményt szemléletesen ismertetjük. A pályán tekintsünk egy P pontot, aminél a gyorsulást vizsgáljuk. Vegyünk fel a P előtt egy P1 pontot és a P után egy P2 pontot. Ha ez a három pont nem esik egy egyenesbe, akkor meghatároz egy kört. Ennek a körnek a határesete, amint a P1 és P2 is tart P-hez, a pálya simuló köre a P pontban. A simuló kör sugara legyen R, a sugárirányú, kifelé mutató egységvektor pedig n. Ekkor e! v = - ϕ! n /3.9/ ahol ϕ! = ω a szögsebesség a simuló kör középpontjából nézve. (A mozgást a simuló körön végzett körmozgással közelítjük!) Behelyettesítés után kapjuk, hogy /3.10/ a = at + acp , at = v! ev tangenciális (pálya menti) gyorsulás at = v! = !s! acp = - v ϕ! n centripetális gyorsulás acp = v ϕ! = v2 /R = Rω2 A tangenciális gyorsulás a sebesség nagyságának változásából ered és előre mutat, ha a sebesség nagysága időben növekszik, visszafelé mutat, ha v csökken. A centripetális gyorsulás a sebesség irányának változásából ered és mindig a simuló kör középpontja felé mutat. Ha a mozgás egyenesvonalú, akkor a centripetális gyorsulás zérus, ha a mozgás egyenletes, akkor pedig a tangenciális gyorsulás zérus. Természetesen nemcsak a gyorsulást, hanem más vektorokat is felbonthatunk a pálya egy pontjára vonatkoztatva tangenciális és arra merőleges /normális/ komponensekre. Ennek a felbontásnak szerepe van például súrlódás esetén a nyomóerő számításánál.
5
3.3. Körmozgás A körmozgás tárgyalása legegyszerűbb a kör síkjában felvett polárkoordináta-rendszerben. A kör középpontja legyen a koordinátarendszer origója, sugara r. Mivel r most konstans, a helyvektor, a sebességvektor és a gyorsulásvektor a fenti általános formulákból adódik: a = r β eϕ - r ω2 er /3.11/ r = r er v = r ω eϕ A sebesség nagysága ugyanis: v = rω, ennek időderiváltja rβ, ahol β a szöggyorsulás: ω ! = β. A körmozgás vetülete bármely, az origón átmenő egyenesre rezgőmozgás. Az egyenletes körmozgás vetülete harmonikus rezgőmozgás.
9. A Hamilton-függvény A mechanikai mozgásegyenlet az eddig tárgyalt formában időben másodrendű. Ezért két kezdeti feltételünk volt: a kezdeti helyet és sebességet is meg kellett adnunk ahhoz, hogy egyértelmű megoldáshoz jussunk. A mechanika Hamilton-féle vagy más néven kanonikus felépítésében a mozgásegyenlet időben elsőrendű egyenletrendszer. Ehhez úgy jutunk, hogy bevezetünk új mennyiségeket, az impulzusokat. Minden egyes térkoordinátához rendelünk egy impulzust a következő definícióval: fejezzük ki az Ek kinetikus energiát mint a qi térkoordináták és a q! i sebességkoordináták függvényét; ekkor a pi impulzuskoordináta definíciója: /9.1/ pi = δEi /δ q! i . Egyetlen tömegpont esetén Descartes-rendszerben ezek éppen a korábbról megismert közönséges impulzusvektor koordinátái, általános koordináta-rendszerben általánosított impulzusoknak szokás hívni őket. Tételezzük fel, hogy rendszerünk konzervatív, a potenciális energiát jelöljük Ep-vel. Fejezzük ki a mechanikai energiát a qi koordináták és a pi impulzusok függvényeként, ezt a függvényt nevezzük Hamilton-függvénynek. A Hamilton-függvény értéke tehát a mechanikai energia: /9.2/ H(q,p) = Ep + Ek Egyetlen tömegpont és Descartes-koordinátarendszer esetén /9.3/ H(r,p) = Ep (r) + p2 /2m A mozgásegyenletek ebben a formalizmusban a q! i = δH /δqi p! i = - δH /δpi /9.4/ Hamilton-egyenletek.
10. Merev testek mozgásegyenletei Az impulzustétel és az impulzusmomentum tétele természetesen a merev testekre is érvényes. Sőt, ez a két tétel együtt jelenti éppen a merev test mozgásegyenleteit, amelyekből a test mozgása -a kezdőfeltételek ismeretében- meghatározható. Mivel az impulzustételben a külső erők eredője, az impulzusmomentum-tételben a külső forgatónyomatékok eredője szerepel, ezért - egy adott merev testre ható - két erőrendszer ugyanazt a mozgást idézi elő a merev testen, ha ez a két mennyiség ugyanannyi a két erőrendszerre. Tehát két erőrendszer akkor és csak akkor egyenértékű egymással, ha - az erők eredője egyenlő, és - a forgatónyomatékok eredője is egyenlő. Ebből következik például, hogy a merev testre ható erő eltolható a támadásvonal mentén. Egy ilyen eltolásnál ugyanis sem az eredő erő, sem a forgatónyomaték nem változik. 6
Egy síkban ható erőrendszer majdnem mindig helyettesíthető egyetlen eredő erővel. Egyik kivételes eset az erőpár, ennél az eredő erő zérus, az eredő forgatónyomaték viszont nem zérus! Az erőpár M forgatónyomatéka független a vonatkoztatási ponttól, olyan vektor, amely merőleges az erőpár síkjára, nagysága pedig M = d ⋅ F, ahol d az erőpárt alkotó két erő egyenesének távolsága.
11. Kontinuummechanika 11.1. Alapfogalmak A mechanika felosztása: pontmechanika és kiterjedt testek mechanikája. Kiterjedt testek: pontrendszer és kontinuum. Kontinuum: a sűrűség szakaszosan folytonos függvény. A testben véges a sűrűség: 0 < ρ < ∞. Kontinuumok: merev testek és deformálható testek. Deformálható testek: rugalmas testek, szilárd testek, fluidumok, reológiai modellek. V jelölje a test térfogatát és egyúttal a test által elfoglalt tértartományt. Kezdetben (t=t0 vagy t=0) legyen V0, tehát a test pontjai (helyvektorok) kezdetben: x0 ∈ V0 . x0 lesz a részecske "neve", x változik, ahogy a test mozog, de x0-at a test pontjához rögzítjük. A t időpontban a test pontjai: x∈ ∈V. Pontrendszer és kontinuum közelíthető egymással. Dirac-féle delta-függvény. Mozgás: V0 → V, x0 → x leképezés. Jelölés: x = xL (x0,t). Kezdeti feltétel: x0 = xL (x0,0). Feltesszük, hogy invertálható: x0 = x0E (x,t). ?
Mi a matematikai kifejezése annak, hogy az xE függvény az xL függvény inverze?
Jacobi mátrix Kiválasztjuk a testnek egy pontját, a 0 kezdeti időben legyen ez xP0. E pont környezetében a mozgást leíró leképezést lineáris leképezéssel közelíthetjük: /11.1/ ∆x ≈ J ⋅ ∆ x0 , határesetben dx = J ⋅ dx0 , ahol ∆ x0 = x0 - xP0 és x0 a kiválasztott pont környezetének valamely pontja, ami t időben az x pontban lesz. A J Jacobi mátrix elemei: !!! /11.2/ Jik = δxLi /δx0k . A Jacobi mátrix determinánsa a J Jacobi determináns. A Jacobi determináns a térfogatváltozással van szoros kapcsolatban: ha volt egy dV0 térfogatunk, akkor ez a mozgás során dV = J dV0 térfogatba megy át. Tehát a relatív térfogatváltozás: J - 1. ? ?
Hogyan fejezhető ki a sűrűség /relatív/ változása? Mi a térfogat két- és egydimenziós térben?
A Jacobi determináns értéke természetesen függ az időtől: t=0 időben éppen 1. Továbbá függ attól is, melyik volt a kiválasztott xP0 pont, amelynek a környezetében vizsgálódunk. Folytonossági követelmény: 0 < J < ∞. (Véges térfogat végesbe megy át.)
7
Térmennyiség időderiváltjai Térmennyiség: hely és idő függvénye. /Más szóval: mező./ Elnevezések: homogén: helytől, stacionárius (sztatikus): időtől, izotróp: iránytól való függetlenség. A térmennyiségek hely-időfüggését kétféle módon szokás megadni: Euleri leírás: x,t Lagrange-i leírás: x0,t E L Például: hőmérséklet: T = T (x,t) = T (x0,t). Az x0 részecske sebessége: v = δxL /δt, gyorsulása: a = δvL /δt = δ2xL /dt2 . A sebesség térmennyiség, a sebességtér vektorvonalai az áramvonalak. A pályavonalak pedig a részecskék pályagörbéi. Stacionárius áramlásnál az áramvonalak és a pályavonalak egybeesnek. Az F térmennyiség lokális időderiváltja: δFE /δt; ezt nevezzük parciális időderiváltnak is, és röviden így is jelöljük: δF/δt. Az F térmennyiség szubsztanciális időderiváltja: δFL/δt. A szubsztanciális derivált más jelölése: teljes derivált: dF /dt = δFL/δt. Összefüggés a kétféle időderivált között: /11.3/ dF/dt = δF/δt + v ⋅ ∇F (? Miért?) /konvektív tag/ A gyorsulás kifejezése az Euleri leírásban: a = dv/dt = δv/δt + (v⋅⋅∇)v ?
Hogy van ez Descartes-koordinátákban?
Inkompresszibilis kontinuum: a sűrűség szubsztanciálisan állandó, azaz szubsztanciális időderiváltja zérus. Tenzorok Az n dimenziós vektortérben vegyünk fel egy bázist, ei jelölje a bázisvektorokat. Tegyük fel, hogy a bázis ortonormált, azaz 1 ha i= j ei ⋅ ej = δ ij = egyé bké nt 0 A vektortér bármely x vektora egyértelműen kifejezhető a bázisvektorok lineáris kombinációjaként: x = Σ xiei , itt xi az x vektor koordinátái. Tenzor: homogén lineáris vektor-vektor függvény. Vektor-vektor függvény: független változója és értéke is vektor, pl. u = f(r). Ezt homogén lineárisnak nevezzük, ha teljesül, hogy f (c1 r1 + c2 r2 ) = c1 f (r1 ) + c2 f (r2 ) minden ri vektor és ci skalár esetére. Ha ez az összefüggés teljesül, akkor többtagú lineáris kombinációkra is érvényes, tehát ha az f függvény homogén lineáris, akkor általánosan is érvényes, hogy f (Σ ci xi ) = Σ ci f (xi). Emiatt a homogén lineáris vektor-vektor függvényt egyértelműen meghatározzák a bázisvektorokhoz tartozó f (ei) függvényértékek, hiszen f (x) = f (Σ xi ei ) = Σ xi f (ei). Tenzorjelölés: f (x) → T ⋅ x Egységtenzor: 1, amire 1 ⋅ x = x ∀x. A T tenzor mátrixa: Tij = (T ⋅ ej)i . A bázis megváltoztatása esetén a tenzor marad, de a mátrix komponensei változnak. Egy adott bázis esetén a tenzorok és mátrixaik kölcsönösen egyértelműen megfelelnek egymásnak. Ezért a továbbiakban -egy bázist rögzítve- a tenzort és a mátrixát ugyanazzal a betűvel fogjuk jelölni. Egységtenzor mátrixa egységmátrix: a főátlóban minden elem 1, minden más elem zérus. ~ ~ A T mátrix transzponáltja: T , ahol T ij = Tji .
8
~ Szimmetrikus a T mátrix, ha T =T, aszimmetrikus, ha nem szimmetrikus, és antiszimmetrikus, ~ ha T = -T. Bármely B mátrix felbontható egy S szimmetrikus és egy A antiszimmetrikus mátrix összegére: B ~ ~ = S + A, S = (B+ B )/2, A = (B- B )/2 ~ Ortogonális a T mátrix, ha T ⋅ T = 1. Ortogonális tenzor mátrixa /azaz ortogonális mátrix/ sorvektorai és oszlopvektorai ortogonálisak egymásra: ∑ Tij Tkj = δik és ∑ Tji Tjk = δik . j
j
Ortogonális tenzor megőrzi a skalárszorzatot és így az ortogonális tenzor távolság- és szögtartó lineáris leképezés. Az x /nullvektortól különböző/ vektort a T tenzor sajátvektorának nevezzük, ha létezik olyan λ szám, hogy T ⋅ x = λx. Ekkor λ-t a T tenzor x vektorhoz tartozó sajátértékének nevezzük. A sajátértékeket a det (T-λ1) = 0 sajátérték-egyenletből határozhatjuk meg. n dimenziós térben legfeljebb n sajátérték van. Egy sajátértékhez viszont több sajátvektor is tartozhat. A sajátértékhez legfeljebb annyi független sajátvektor tartozik, amennyi a multiplicitása. A sajátértékek és a sajátvektorok még akkor sem feltétlenül valósak, ha a tenzor minden mátrixeleme valós. Szimmetrikus mátrixnak a multiplicitásokat is figyelembe véve pontosan n valós sajátértéke van. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok egymásra merőlegesek. A mátrix nyoma: a főátlóban lévő elemeinek összege. Feszültségtenzor A kontinuum részecskéire hathatnak külső erők /Fkül/, ezek rendszerint extenzív mennyiségek, bevezethető tehát a fajlagos értékük /f/ és a térfogati sűrűségük /ρf/: /11.4/ Fkül = ∫ f dm = ∫ ρf dV Hathatnak viszont belső erők is. Ezek közelható erők, a szomszédos részecskék a közös határfelületük mentén hatnak csak egymásra. E belső erők matematikailag kezelhető leírását adja a feszültségtenzor. Képzeljük el, hogy a kontinuumban kiválasztunk egy pontot, azon átfektetünk egy dA felületelemet. A felületelem két oldalán képzeljünk el két kis tartományt, az egyiket jelöljük B-vel, a másikat J-vel. A B "baloldali" részecskére a J "jobboldali részecske dF erővel hat. A dA határfelület normálisa /a B szempontjából "külső" normális/ legyen n, ekkor dA = n dA. Az erő most a felületen oszlik el, "felületi extenzív mennyiség", más szóval dF arányos dA-val. Igen ám, de mind dF, mind dA vektorok, s irányuk nem feltétlenül esik egybe, még izotróp testekben sem. A dF erőnek a felületre merőleges /azaz n-nel párhuzamos/ komponensét húzóerőnek, a felületbe eső /azaz n-re merőleges/ komponensét nyíróerőnek /más néven csúsztatóerőnek/ nevezzük. A húzóerő negatívját nyomóerőnek nevezzük. A húzóerő akkor pozitív, ha "kifelé" mutat, a nyomóerő pedig akkor, ha "befelé". Természetesen a III. axióma következtében B is hat J-re, éspedig -dF erővel. A test kiválasztott pontjához tartozik egy T feszültségtenzor, ami tulajdonképpen a dF és a dA közötti arányossági tényező: /11.5/ dF = T ⋅ dA A feszültségtenzor tehát felületi erősűrűség. Descartes-koordinátákban 9
/11.6/
dFi =
∑
Tik ⋅ dAk
k
Tehát a T feszültségtenzor Tik mátrixában az első index az erőre, a második index a felületre utal. Például Tyz a z normálisú "egységnyi" felületre ható erő y komponense. A feszültségtenzor mátrixának főátlójában tehát a húzófeszültségek vannak, a mátrix többi eleme nyírófeszültség. Az itt előforduló esetekben a feszültségtenzor szimmetrikus, azaz Tik = Tki . Alkalmazzuk most egy dV elemi térfogatú tartományra a tömegpontra érvényes /11.7/ ma = Fkül + Fbel egyenletet: /11.8/ ρ dV a = ρ f dV + ∫ T ⋅ dA /az integrál a dV határfelületére veendő/ Integrálva egy tetszőleges, véges térfogatra, a Gauss-féle divergenciatétel felhasználásával kapjuk a kontinuum mozgásegyenletét: /11.9/ ρ dv/dt = ρf + div T Dilatációs tenzor A kontinuum egy xP0 pontját kiválasztva, a mozgást a kiválasztott pont környezetében a J Jacobi-tenzor írja le (/11.1/). Most úgynevezett infinitézimális deformációkra szorítkozunk, amikor J csak kicsit tér el az egységtenzortól: D: elmozdulástenzor, Dik « 1. /11.10/ J = 1 + D Bontsuk fel a D tenzort szimmetrikus és antiszimmetrikus részre: /11.11/ D = R + E ~ E: dilatációs /nyúlási/ tenzor, /11.12/ E = (D + D )/2 ~ R a test merev test-szerű forgásával kapcsolatos. /11.13/ R = (D - D )/2 Ha ilyen rotáció nincs, akkor 1+E: deformációs tenzor. /11.14/ dx = (1+E)⋅dx0 A főátlóban lévő deformációk a húzó /ill. nyomó/ deformációk, a főátlón kívüliek pedig a nyíródeformációk. Izotróp rugalmas test Rugalmas testek esetén a feszültségtenzor kizárólag a deformációs tenzor pillanatnyi értékétől függ. Ha a test nem rugalmas, E korábbi értékei is szerepet játszanak a T pillanatnyi értékében, a testnek "memóriája van". Lineáris /más néven Hooke-/ test esetében T komponensei lineáris módon függenek E komponenseitől: /11.15/ Tik = ∑∑ c ikpq E pq p
q
Ha a test izotróp, akkor ez az összefüggés egyszerűsödik az alábbi formába: /11.16/ T = λθ⋅1 + 2µ⋅E ahol λ és µ a test adatai, az úgynevezett Lamé-állandók, θ pedig az E tenzor nyoma, ez éppen a relatív térfogatváltozás, azaz a J Jacobi-determináns.
10
Egyszerű nyújtás Egy hasábot nyújtsunk meg az x tengely irányában. A többi lapot hagyjuk szabadon. Ekkor a feszültségtenzor mátrixának egyetlen eleme fog zérustól különbözni: Txx. A dilatációs tenzor mátrixa pedig, amint az szimmetria-megfontolásokból következik, izotróp testben 0 0 ε 1 E = 0 − ε2 0 0 0 − ε 2 A nyújtásra vonatkozó Hooke-törvény szerint a feszültség arányos a relatív megnyúlással, azaz: Txx = E ε1 E: Young-modulus. Esetünkben oldalirányban a test összehúzódik /harántkontrakció/, ami arányos a megnyúlással: ε2 = ν ε1 ν: Poisson-arány, értéke kb. 0,3 – 0,4 a legtöbb anyagra. Az izotróp lineáris, rugalmas testnek két független rugalmassági jellemzője van. A korábban említett Lamé-állandók egyértelműen megadhatók E és ν függvényeként, és viszont. Egyszerű nyírás
Az ábrán vázolt elrendezésben az elmozdulástenzor: 0 ε 0 D = 0 0 0 ahol ε a nyírás szöge. 0 0 0 Ezért a dilatációs tenzor: 0 ε / 2 0 E = ε / 2 0 0 0 0 0 A feszültségtenzor izotróp rugalmas Hooke-féle közeg esetén ekkor: 0 T 0 T = T 0 0 T = µ ε, µ: torziós modulus. 0 0 0
11
Fluidumok Fluidumban nyugalmi állapotban nyírófeszültségek nem lépnek fel. Ideális a fluidum, ha ezt a sajátságát mozgás közben is megőrzi, míg reális vagy más szóval viszkózus fluidumok áramlásakor nyírófeszültségek is fellépnek. A fluidum a gázok és a folyadékok összefoglaló neve. A gázok és folyadékok egyensúlyának és áramlásának törvényszerűségei ugyanis a legtöbb esetben együtt tárgyalhatók. A gázokra jellemző az összenyomhatóság, míg a folyadékok kevésbé összenyomhatók. Inkompresszibilis az a kontinuum, amely egyáltalán nem nyomható össze, azaz sűrűsége nem függ a deformációtól illetve a sebességtől. Izotróp, ideális fluidumra érvényes a Pascal-törvény. A nyomás ilyenkor a fluidum egy pontjában minden irányban ugyanaz, és a nyomóerő mindig merőleges a felületre. A feszűltségtenzor ilyenkor: T = - p⋅1, ahol p a nyomás. Ugyanilyen alakú a feszültségtenzor, ha a fluidum viszkózus, de nyugalomban van. A p nyomás persze függhet a helytől. A földi nehézségi erőtérben két eset különösen gyakori: a/ Inkompresszibilis folyadék esetében p = p0 - ρgz, ahol p0 a nyomás értéke a z=0 magasságban, p a nyomás z magasságban, ρ a folyadék sűrűsége. b/ Izoterm ideális gáz esetére érvényes a barometrikus formula: p = p0⋅exp(-bz), ahol b a gáz minőségétől függő állandó. A Bernoulli-egyenlet Alkalmazzuk a kinetikus energia tételét egy áramlási csőre. Tegyük fel, hogy a fluidum stacionárius áramlásakor az ábrán szereplő P1 és P2 közötti térfogat átmegy a Q1 és Q2 közötti térfogatba. A tömegmegmaradás miatt a két sraffozott részben ugyanannyi a fluidum tömege. A kiválasztott fluidumrész kinetikus energiájának megváltozása: 1 2 2 ∆E kin = ρ 2 ∆V2 v 2 − ρ1 ∆V1 v1 2 Eközben a kiválasztott fluidumrészen -a nehézségi erő és a nyomóerők által végzett- munka: W = g (ρ1∆V1 z1 – ρ2 ∆V2 z2) + p1 ∆V1 – p2 ∆V2 A kinetikus energia tétele szerint e két mennyiség egyenlő egymással. Szorítkozzunk inkompresszibilis fluidumra, ekkor kapjuk egyrészt, hogy A1 v1 = A2 v2 ρ1 = ρ2 = ρ, Másrészt, ezeket felhasználva a kinetikus energia tételében, adódik a p + ρgz + ½ ρv2 = konstans Bernoulli-egyenlet, amely tehát egy áramlási csőre érvényes, ha a közeg inkompresszibilis, az áramlás pedig stacionárius.
(
)
12
Viszkozitás Fluidumok áramlásakor hasonló összefüggés áll fenn a feszültségtenzorra mint amilyen az izotróp rugalmas közeg feszültségtenzorára áll fenn, csak itt a dilatációs tenzor helyett a sebességgradiens tenzor szerepel. A viszkózus fluidum mozgásegyenlete a Navier-Stokes-féle differenciálegyenlet. A viszkozitás mibenléte legegyszerűbben az ábrán látható elrendezésben szemléltethető. A viszkózus nyírófeszültség arányos a sebességgradiens nyírókomponensével: Txy = - η ∂vx / ∂y Az η arányossági tényező a viszkozitás.
MÉRLEGEGYENLETEK A fizikai mennyiségek lehetnek pontfüggvények (térmennyiségek) és halmazfüggvények. Az utóbbiak esetében a tér egy halmazához tartozik egy érték. A szokásos szóhasználatban az extenzív mennyiségek olyan halmazfüggvények, amelyekre az additivitás követelménye teljesül: E(A∪B) = E(A) + E(B) ha A∩B = ∅. Extenzív mennyiség (térfogati) sűrűsége: ρE= dE/dV. Értelmezés: a kiszemelt P pontot körülvesszük egy ∆V térfogatú tértartománnyal, ebben van ∆E mennyiség az E extenzív mennyiségből; az átlagsűrűség: ∆E/∆V. Ennek határértéke, amint a ∆V tértartomány a P pontra zsugorodik, a sűrűség a P pontban. Legyen E egy test extenzív mennyisége. Ennek megváltozása fizikailag lehetséges külső okok miatt (beáramlás a környezetből a test határfelületén át) vagy belső okok miatt (az E termelődése, produkciója a test belsejében): ∆E = (∆E)k +(∆E)b . Beosztva a ∆t időtartammal, és a ∆t→0 határékben kapjuk az E extenzív mennyiségre vonatkozó globális (integrális) mérlegegyenletet: dE/dt = -IE + PE . Itt PE az E mennyiség forráserőssége, IE pedig az E mennyiségnek a test határfelületére vonatkozó áramerőssége. Az E mennyiségnek valamely felületre vonatkozó áramerőssége: a felületen átment E mennyiség és az időtartam hányadosának határértéke. Ennek előjele függ attól, melyik átmeneti irányt tüntetjük ki. A forráserősség extenzív mennyiség, sűrűsége a forrássűrűség. Megmaradó az a mennyiség, amelynek forráserőssége mindig zérus. Az áramerősség is halmazfüggvény, de itt a halmazok kétdimenziósak: a szóban forgó felület részfelületei. Erre is értelmezhetünk tehát sűrűséget (felületegységre vonatkoztatott áramerősségérték), ezt nevezzük áramsűrűségnek. Az áramerősség az áramsűrűség fluxusa (felületi integrálja): I = ∫ J ⋅ dA. A mérlegegyenletben szereplő tagokat pontfüggvények integráljaként állíthatjuk elő: dE/dt = d/dt ∫ ρE dV = ∫ δρE /δt dV (ha a határfelület nem mozog) IE = ∫ JE ⋅ dA = ∫ divJ dV (A Gauss-féle divergenciatétel alapján)
13
PE = ∫ σE dV (PE extenzív, σE jelöli a sűrűségét, a forrássűrűséget) Az előforduló térfogati integrálok integrálási tartománya közös (t.i.: a test által elfoglalt V tartomány), ezért a globális mérlegegyenletből: ∫ (dρE /dt + divJE - σE ) dV = 0. Ez az azonosság a test minden részére is fennáll, s ezért, ha az előforduló függvények folytonosak, akkor magának az integrandusnak kell eltűnnie: (ez a mérlegegyenlet lokális alakja) dρE /dt + divJE - σE = 0 A térfogatáramsűrűség: Jv = v. Ezért a konvektív áramsűrűség: J konv = ρE v, idő- és felületegységre vonatkoztatva ennyi E E mennyiséget visz magával a mozgó közeg. A lokális mérlegben szereplő áramsűrűség a teljes áramsűrűség, ami a konvektív tagon kívül tartalmazhat konduktív (vezetési) tagot is: J = J konv + Jkond tehát Jkond = JE - J konv . E E E E A tömeg csak konvektív úton áramolhat, ezért a tömegáramsűrűség: JM = ρv. A tömegmérleg lokális alakja: δρ/δt + div(ρv) = 0. Ezzel egyenértékű a szubsztanciális tömegmérleg: dρ/dt + ρ div v = 0. Inkompresszibilis közeg áramlása esetén dρ/dt = 0, s ezért div v = 0. A lokális mérlegegyenletből matematikai azonosságok, valamint a kétféle időderivált közötti összefüggés felhasználásával kapjuk az E mennyiségre vonatkozó szubsztanciális mérlegegyenletet: - σE = 0 !!! ρ de/δt + div Jkond E
14
1. ALAPFOGALMAK .......................................................................................................1 2. KOORDINÁTARENDSZEREK.....................................................................................1 2.1. Descartes-féle koordinátarendszer ...................................................................................................................... 1 2.2. Általános koordináták .......................................................................................................................................... 2 Elnevezések............................................................................................................................................................... 3 2.3. További speciális koordinátarendszerek............................................................................................................. 3 Síkbeli polárkoordináta-rendszer .............................................................................................................................. 3 Hengerkoordináta-rendszer ....................................................................................................................................... 3 Gömbi /térbeli polár-/ koordinátarendszer ................................................................................................................ 4
3. PONTKINEMATIKA .....................................................................................................4 3.1. Alapok.................................................................................................................................................................... 4 3.2. Tangenciális és centripetális gyorsuláskomponens ............................................................................................ 5 3.3. Körmozgás............................................................................................................................................................. 6
9. A HAMILTON-FÜGGVÉNY..........................................................................................6 10. MEREV TESTEK MOZGÁSEGYENLETEI ................................................................6 11. KONTINUUMMECHANIKA........................................................................................7 11.1. Alapfogalmak ...................................................................................................................................................... 7 Térmennyiség időderiváltjai...................................................................................................................................... 8 Tenzorok ................................................................................................................................................................... 8 Feszültségtenzor........................................................................................................................................................ 9 Dilatációs tenzor ..................................................................................................................................................... 10 Izotróp rugalmas test ............................................................................................................................................... 10 Egyszerű nyújtás ..................................................................................................................................................... 11 Egyszerű nyírás ....................................................................................................................................................... 11 Fluidumok ............................................................................................................................................................... 12 A Bernoulli-egyenlet ............................................................................................................................................... 12 Viszkozitás .............................................................................................................................................................. 13
MÉRLEGEGYENLETEK................................................................................................13
15
