MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN

2

Determinan Matriks

Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan • Permutasi dan Determinan Matriks • Determinan dengan OBE • Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi Matriks • Solusi SPL • Optimasi

• Model Ekonomi • dan lain-lain.

2

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Permutasi dan Determinan Matriks Permutasi adalah susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan Contoh: Permutasi dari {1,2,3} adalah – (1,2,3) – (1,3,2) – (2,1,3) – (2,3,1)

– (3,1,2) – (3,2,1)

3

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Permutasi dan Determinan Matriks(2) Invers dalam Permutasi Sebuah inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi jika bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lainnya. Jika jumlah inversi dalam satu permutasinya genap maka disebut permutasi genap, dan begitu pula sebaliknya untuk permutasi ganjil. – (1,2,3) → permutasi genap – (1,3,2) → permutasi ganjil – (2,1,3) → permutasi ganjil

– (2,3,1) → permutasi genap – (3,1,2) → permutasi genap – (3,2,1) → permutasi ganjil 4

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Permutasi dan Determinan Matriks(3) Hasil perkalian elementer matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah hasilkali 𝑛 buah unsur dari matriks tersebut tanpa ada pengambilan unsur dari baris dan kolom yang sama Contoh:

𝑎11 𝐴 = 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33

Terdapat 6 (atau 3!) hasil kali elementer dari matriks 𝐴 , yakni 𝑎11 𝑎22 𝑎33 , 𝑎11 𝑎23 𝑎32 , 𝑎12 𝑎21 𝑎33 , 𝑎12 𝑎23 𝑎31 , 𝑎13 𝑎21 𝑎32 , 𝑎13 𝑎22 𝑎31

5

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Permutasi dan Determinan Matriks(4) Hasil kali elementer bertanda 𝑎11 𝑎22 𝑎33 Perhatikan… −𝑎11 𝑎23 𝑎32 Tanda (+/-) muncul sesuai hasil −𝑎12 𝑎21 𝑎33 klasifikasi permutasi indeks kolom, 𝑎12 𝑎23 𝑎31 yaitu : jika genap  + (positif) 𝑎13 𝑎21 𝑎32 jika ganjil  - (negatif) −𝑎13 𝑎22 𝑎31 Determinan didefinisikan elementer dengan bertanda.

sebagai

penjumlahan

hasil

kali

Sehingga hasil kali elementer dari matriks A (determinan) dengan orde 3 × 3 adalah 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31

6

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Permutasi dan Determinan Matriks(5) Contoh: Tentukan Determinan Matriks

𝑎11 𝐴 = 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 𝑎33

Jawab: Menurut definisi: 𝒅𝒆𝒕 𝑨𝟑×𝟑 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑 − 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 + 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟏 Atau dapat dilihat lebih mudah menggunakan 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎11 𝑎12 𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎31 𝑎32

Cara ini tidak berlaku untuk matriks 4x4, dst.

ket : jumlahkan hasil kali elemen yang terlintasi garis hijau dan kurangi hasil kali elemen yang terlintasi garis merah 7

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Permutasi dan Determinan Matriks(6) Contoh: Tentukan Determinan Matriks 3 2 −1 𝐵= 1 1 0 −2 −2 1

Jawab: 3 2 −1 3 2 𝐵 = 1 1 0 1 1 −2 −2 1 −2 −2 = 3 1 1 + 2 0 −2 + −1 1 −2 − −1 1 −2 − 3 0 −2 − 2 1 1 = 3+0+2−2−0−2 =1

8

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan OBE Perhatikan

a. b.

c.

9

det

1 0

2 =3 3

hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol

Determinan matriks segitiga = Hasilkali unsur diagonal?

1 2 3 0 4 5 = 24 0 0 6 1 det 4 7

1/29/2017

0 0 5 0 = 45 8 9

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan OBE(2) Menghitung determinan matriks dengan cara mengkalikan unsurunsur diagonalnya hanya berlaku untuk matriks dengan bentuk segitiga bawah ataupun matriks segitiga atas. Oleh karena itu : Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ Matriks Segitiga Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu :

1.

Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan satu kali pertukaran baris maka 𝒅𝒆𝒕 (𝑩) = − 𝒅𝒆𝒕 (𝑨) Contoh : sehingga

10

1/29/2017

 2 A   1

1  1 

  1 1  B   2 1  

A 3 B 

1 2

1  1

3   A MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan OBE(3) 2.

Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan mengalikan satu baris 𝐴 dengan 𝑘 maka 𝒅𝒆𝒕 (𝑩) = 𝒌 𝒅𝒆𝒕 (𝑨) Contoh : maka

 2 A   1

1  1

2 2 1 B   2 2 2 1

3.

dan

 2 B    2

1  2 

1 2A 6 1

Jika matriks 𝐵 berasal dari matriks 𝐴 dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol 𝑘 lalu dijumlahkan pada baris lain maka 𝒅𝒆𝒕 𝑩 = 𝒅𝒆𝒕 𝑨 Contoh

1 3   A    2  6

Perhatikan 11

A 3

1/29/2017

A  12

1 3 1 3  0  12 2 6

OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2

 - 12 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan OBE(4) Tentukan determinan matriks berikut : 2 1 0   A 1 2 1  0 1 2  

Jawab : 2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 1 2 1  2 1 0 0 1 2 12

1/29/2017

pertukaran baris ke - 1 dan ke - 2

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan OBE(5) 1 2 1 A   0 -3 -2 0 1 2 

1 2 1 0 1 2 0 -3 -2

1 2 1  0 1 2 0 0 4

= 4 13

1/29/2017

 2b1  b2

Pertukaran baris ke - 2 dan ke - 3

3b2  b3

(hasil perkalian semua unsur diagonalnya) MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan

 a11 a12 ... a1n    a a ... a  2n  A   21 22 : : :     a a ... a  nn   n1 n 2

Beberapa definisi yang perlu diketahui : 𝑀𝑖𝑗 disebut Minor- ij yaitu determinan matriks 𝐴 dengan menghilangkan baris ke−𝑖 dan kolom ke−𝑗 matriks 𝐴. Contoh :

14

1/29/2017

2 1 0   A 1 2 1  0 1 2  

1

2

maka M 13 

1 0

1 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(2) 𝐶𝑖𝑗 dinamakan kofaktor − 𝒊𝒋 yaitu 𝐶𝑖𝑗 = −1

𝑖+𝑗

𝑀𝑖𝑗

Contoh : 2 1 0   A 1 2 1  0 1 2  

maka

1 1 C12   1 0 2 = – 1 3 .2 1 2

=– 2

15

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(3) Secara umum, kofaktor:

cara

menghitung

determinan

dengan

ekspansi

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke−𝑖 det(𝐴) = 𝑎𝑖1 𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐶𝑖2 + . . . + 𝑎𝑖𝑛 𝐶𝑖𝑛 Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke−𝑗 det(𝐴) = 𝑎𝑖𝑗 𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐶2𝑗 + . . . + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗 Contoh: Hitunglah det(𝐴) dengan ekspansi kofaktor : 2 1 0    A1 2 1  0 1 2   

16

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(4) Jawab : A. Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 3

det( A) 

 a3 j c3 j j 1

= 𝑎31 𝐶31 + 𝑎32 𝐶32 + 𝑎33 𝐶33

 0  1 (1)

3 2

2 1

=0–2+6 =4 17

1/29/2017

2 0 3 3  2 (1) 1 1

1 2 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(5) B. Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 3

det( A)   ai 3ci 3 i 1

= 𝑎13 𝐶13 + 𝑎23 𝐶23 + 𝑎33 𝐶33

 0  1 (1) 23

2 0

2 1  2 (1)33 1 1

1 2

=0–2+6 =4 18

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(6) Misal 𝐴𝑛×𝑛 merupakan matriks yang memiliki invers dan 𝐶𝑖𝑗 adalah kofaktor 𝑎𝑖𝑗 . Maka 𝐶11 𝐶12 … 𝐶1𝑛 𝐶 𝐶22 … 𝐶2𝑛 𝐶 = 21 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 … 𝐶𝑛𝑛 disebut matriks kofaktor 𝐴. Transpos dinamakan adjoin 𝐴 (notasi 𝑎𝑑𝑗(𝐴)). 𝐶11 𝐶21 𝐶12 𝐶22 𝑇 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐶 = ⋮ ⋮ 𝐶1𝑛 𝐶2𝑛

19

1/29/2017

dari matriks tersebut … 𝐶𝑛1 … 𝐶𝑛2 ⋱ ⋮ … 𝐶𝑛𝑛

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(7) Misalkan A punya invers maka

1 𝑎𝑑𝑗 (𝐴) det 𝐴 A mempunyai invers jika dan hanya jika det(𝐴) 𝐴−1 =

0.

Beberapa sifat determinan matriks adalah : 1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka det 𝐴 = det 𝐴𝑡 2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka: det(𝐴) det(𝐵) = det(𝐴𝐵) 3. Jika A mempunyai invers maka : 1 −1 det 𝐴 = det(𝐴) 20

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(8) Contoh: Diketahui

1 0 1   A   1 -1 0   0 2 1   Tentukan matriks adjoin A Jawab : Perhatikan bahwa c11  (1)11

1 0  1 2 1

c12  (1)1 2

1 0  1 0 1

c13  (1)13

1 1 2 0 2

c21  2, c22  1, c23  2, c31  1, c32  1, dan c33  1. 21

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor(9) Sehingga matriks kofaktor dari 𝐴 :

 -1  C  2  1 

-1 1 1

2   - 2 - 1 

Maka matriks Adjoin dari 𝐴 adalah :

 -1  T adj( A)  C   - 1  2  22

1/29/2017

2 1 -2

1  1 - 1  MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

LATIHAN 1. Tentukan determinan matriks dengan

OBE dan ekspansi

kofaktor

2 1 1   P  1 2 1  1 1 2  

dan

 3  2 0   Q   0 1 0   4 4 1  

2. Diketahui :  2 1 0   A   3 4 0  0 0 2  

dan

 1 1 3    B   7 1 2 5 0 1  

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)

23

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

LATIHAN(2) 3. Diketahui :

 1 5 k   D   1 0 1   3 k 4  

Tentukan k jika det (D) = 29 4. Diketahui matriks 1 0  A  2 1 3 4 

0  0 5 

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai det 2 A2  det5B  x det A t B

   

24

1/29/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

THANK YOU