Matematika

Fungsi Grafik Fungsi

610.12.005 Matematika Fungsi dan Grafik Fungsi

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia


610.12.005 Matematika


Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi Natural Domain Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi Surjektif, Injektif, dan Bijektif Operasi pada Fungsi Fungsi Invers dan Komposisi

Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah nilai f (x) dari himpunan kedua. Himpunan dari semua nilai yang diperoleh disebut sebagai range dari fungsi.





Bayangkan suatu mesin dengan input berupa nilai x dan menghasilkan output bernama f (x). Setiap nilai input berhubungan dengan sebuah nilai output. Namun, dapat juga terjadi beberapa input yang berbeda yang memberikan output yang sama.





Notasi Fungsi

Fungsi dapat dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: f :A→B





Sumber: http://3.bp.blogspot.com/

A disebut domain atau daerah definisi, dinotasikan Df B disebut kodomain atau daerah kawan dari f Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut range atau daerah hasil, dinotasikan dengan Rf Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Natural Domain

Ketika domain dalam suatu fungsi tidak disebutkan secara spesifik, maka kita mengasumsikan bahwa domainnya adalah himpunan terbesar dari bilangan real di mana fungsi tersebut terdefinisi. Daerah definisi ini disbeut natural domain.





Contoh 1

Tentukan natural domain dari a. f (x) = b. f (x) = c. f (x) =

1 x+2 √ 1 9−x2

q

x x2 −1





Penyelesaian a. Df = {x ∈ R : x 6= −2} = R − {−2} b. Untuk menghindari hasil akar di bagian penyebut bernilai negatif dan nol, maka p 9 − x2 > 0 (3 − x)(3 + x) > 0 Diperoleh Df = {x ∈ R : −3 < x < 3} = (−3, 3)





c. Karena suatu akar ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka: r x ≥0 2 x −1 x ≥0 2 x −1

Diperoleh Df = {x ∈ R : −1 < x ≤ 0 atau x > 1} = (−1, 0] ∪ (1, ∞)





Contoh 2 Misalkan V (x, d) menyatakan volume batang yang berbentuk silindris dengan panjang x dan diameter d.

Tentukan a. Formula untuk V (x, d) b. Domain dan range dari V c. V (4, 0.1) Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Penyelesaian

a. V (x, d) = x · π

d 2 2

=

πxd2 4

b. Karena panjang dan diameter batang harus positif, maka domainnya adalah seluruh pasangan (x, d) di mana x > 0 dan d > 0; Df = {x, d ∈ R : x > 0, d > 0}. Semua volume positif adalah daerah hasil (range) yang mungkin, maka Rf = (0, ∞). c. V (4, 0.1) =

π·4·0.12 4

= 0.01π





Fungsi Genap

Jika f (−x) = f (x) untuk semua x. Contoh: Misalkan f (x) = x2 − 2, maka f (−x) = (−x)2 − 2 = x2 − 2 = f (x)





Fungsi Ganjil

Jika f (−x) = −f (x) untuk semua x. Contoh: Misalkan f (x) = x3 − 2x, maka f (−x) = (−x)3 − 2(−x) = −x3 + 2x = −(x3 − 2x) = −f (x)





Fungsi Surjektif Diberikan fungsi f : A → B Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).

Sumber: http://2.bp.blogspot.com/ Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Fungsi Injektif Apabila anggota himpunan B mempunyai kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).

Sumber: http://1.bp.blogspot.com/





Fungsi Bijektif Apabila setiap anggota B mempunyai tepat satu kawan di A , maka f disebut fungsi bijektif atau fungsi korespondensi 1-1. Fungsi korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Sumber: http://i1172.photobucket.com/albums/r578/aimprof08/fungsibejksi.jpg





Operasi pada Fungsi

Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g, maka 1

(f ± g)(x) = f (x) ± g(x)

2

(αf )(x) = αf (x)

3

(f · g)(x) = f (x) · g(x) f (x) f g (x) = g(x) , asalkan g(x) 6= 0

4

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali fg , D f = {x ∈ Df ∩ Dg : g(x) 6= 0}. g





Contoh 3

Jika f dan g masing-masing: f (x) =

√

x − 1 atau g(x) =

Tentukan f + g, f − g, f · g, dan


1 x+5

f g.




Penyelesaian

(f + g)(x) =

√ √

x−1+

1 x+5 1 x+5

(f − g)(x) = x − 1 − √ 1 (f · g)(x) = x − 1 · x+5 √ (f /g)(x) = x − 1 · (x + 5) Karena Df = [1, ∞) dan Dg = R − {−5}, maka f + g, f − g, f · g, dan fg masing-masing mempunyai domain: [1, ∞).





Latihan 1

1. Tentukan natural domain dari 2

a. f (x) = x24−x √ −x−6 b. f (x) = 2x + 3

2. Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah fungsi genap atau ganjil atau bukan keduanya a. f (x) = x2x−1 √ b. f (x) = √ 3x − 2 c. f (x) = x2 + 4





Fungsi Invers

Diberikan fungsi f : X → Y . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X, dinotasikan g = f −1 (y).





Contoh 4

Tentuka f −1 jika diketahui f (x) = 1 −


x−1 3x+2 .




Penyelesaian

y = f (x) = 1 − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x−1 3x + 2

x−1 3x + 2 (1 − y)(3x + 2) = x − 1 1−y =

3x − 3xy − 2y + 2 = x − 1 2x − 3xy = 2y − 3 x = f −1 (y) =

⇔



2y − 3 2 − 3y



Fungsi Komposisi

Definisi Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f ◦ g, didefinisikan sebagai: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) dengan domain Df = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df }.









Contoh 5

Misalkan f (x) =

x−3 2

dan g(x) =

√

x. Kita mempunyai √

√

x−3 (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 r x−3 x−3 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g = 2 2




Grafik Fungsi

Grafik Fungsi

Untuk menggambarkan grafik fungsi secara manual, kita dapat melakukan tiga langkah berikut: 1

Dapatkan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan/fungsi

2

Gambarkan titik-titik tersebut di sumbu koordinat

3

Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus





Grafik Fungsi



Grafik Fungsi

Rumus Jarak

Rumus Jarak Jarak di antara titik-titik P (x1 , y1 ) dan Q(x2 , y2 ) diberikan oleh p D = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Grafik Fungsi

Contoh 6

Tentukan jarak antara titik P (−2, 5) dan Q(4, −1). Solusi: D=

p √ √ (4 − (−2))2 + (−1 − 5)2 = 72 = 6 2




Grafik Fungsi

Grafik Garis Lurus Grafik garis lurus berasal dari fungsi dengan bentuk y = mx + c di mana x adalah variabel kontrol, y adalah variabel yang diobservasi, dan m serta c adalah konstanta. c dikenal dengan nama intercept di mana grafik melewati/memotong sumbu-y. Untuk mendapatkan nilai c, kita dapat menghitung y ketika x = 0 m disebut sebagai gradien dan menggambarkan seberapa curam garis tersebut. Nilai m dapat diperoleh dengan: m=

∆y y2 − y1 = ∆x x2 − x1




Grafik Fungsi

Contoh 7 Grafik fungsi f (x) = 2x − 1 adalah sebagai berikut




Grafik Fungsi

Ketika x bertambah dari 1 ke 3, kita mempunyai penambahan y yaitu dari 1 ke 5, sehingga ∆x = 3 − 1 = 2 ∆y = 5 − 1 = 4 ∆y = 42 = 2. Intercept c adalah Maka gradiennya adalah m = ∆x ketika grafik memotong sumbu-y, dapat dilihat bahwa c = −1.




Grafik Fungsi

Contoh 8 Apa persamaan fungsi dari grafik berikut?

Solusi: 1 y=− x 2 Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Grafik Fungsi

Grafik Fungsi Polinomial Fungsi polinomial berderajat n mempunyai persamaan f (x) = Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn dengan n bilangan bulat non-negatif, a0 , a1 , . . . , an bilangan-bilangan real, dan an 6= 0. Untuk membuat grafik fungsi polinomial, maka dapat dilakukan hal-hal berikut 1

Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y

2

Ambil beberapa titik, masukkan ke dalam fungsi, dan hubungkan titik-titik tersebut




Grafik Fungsi

Contoh 9 Gambarkan grafik fungsi y = x2 − 3 Solusi: Titik potong terhadap sumbu-x (y = 0) 0 = x2 − 3 √ √ 0 = (x − 3)(x + 3) √ √ x= 3, x=− 3 √ √ diperoleh pasangan titik (− 3, 0) dan ( 3, 0). Titik potong terhadap sumbu-y (x = 0) y = −3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Grafik Fungsi



Grafik Fungsi

Contoh 10

Gambarkan grafik   2x, jika 0 ≤ x < 1 f (x) = x2 , jika 1 ≤ x < 4   3, jika x ≥ 4





Grafik Fungsi



Grafik Fungsi

Latihan 2

2x 1. Tentukan fungsi invers dari f (x) = 3x−1 . √ 2 2. Misalkan f (x) = x2 − 1 dan g(x) = x . Tentukan

a. (f ◦ g)(x) b. (g ◦ f )(x) c. f 4 (x) + g 4 (x)




Grafik Fungsi

3. IMUNISASI Misalkan selama program suatu negara untuk memberikan imunisasi pada populasi penduduk untuk melawan suatu virus influenza tertentu, lembaga-lembaga pelayanan kesehatan menghitung bahwa biaya untuk menyuntik x% populasi penduduk mendekati suatu fungsi 150x juta dolar. C(x) = 200−x a. Tentukan natural domain dari C. b. Untuk nilai x yang mana agar fungsi C(x) dapat diinterpretasikan dalam kehidupan nyata? c. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik 50% pertama dari populasi? d. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik 50% kedua dari populasi? e. Berapa persentase populasi yang disuntik ketika biaya yang dihabiskan adalah sebesar 37.5 juta dolar? Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Grafik Fungsi

4. ALIRAN DARAH Para ahli biologi menemukan bahwa kecepatan darah di arteri merupakan suatu fungsi jarak darah dari pusat arteri. Berdasarkan hukum Poiseuille, kecepatan darah (dalam cm/s) yang berjarak r cm dari pusat arteri dapat dituliskan dalam suatu fungsi S(r) = C(R2 − r2 ), di mana C adalah suatu konstanta dan R adalah jari-jari arteri. Misalkan untuk suatu arteri tertentu, C = 1.76 × 105 dan R = 1.2 × 10−2 cm. a. Hitunglah kecepatan darah pada pusat arteri. b. Hitunglah kecepatan darah pada saat berada di tengah-tengah antara dinding arteri dengan pusat arteri.




Grafik Fungsi

5. POLUSI UDARA Emisi timbal adalah penyebab utama polusi udara. Dengan menggunakan data yang telah dikumpulkan oleh Agen Perlindungan Lingkungan AS pada tahun 1990, dapat ditunjukkan bahwa formula N (t) = −35t2 + 299t + 3, 347 merupakan estimasi jumlah total emisi timbal N (dalam ribuan ton) terjadi di AS t tahun setelah tahun 1990. a. Sketsakan grafik fungsi polusi N (t) b. Perkirakan seberapa banyak emisi timbal pada tahun 1995 menggunakan formula tersebut (jumlah aktualnya adalah sekitar 3,924 ribu ton).



Matematika

Recommend Documents